1 

 

Math 4030 SA – Probability and Statistics 

Assignment #4 

(Due: 4:00 PM, Thursday, May 16, 2013) 

1. Prove that for Poisson distribution 

( 1; ) ,( ; ) 1

f xf x x

λ λλ

+=

+ for  0,1,2,3,...x =  

2. Use  the  recursion  formula  in  above  question  1  to  calculate  the  probability  values  of  a Poisson  distribution  with 2.5λ = ,  for 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9x = .  Draw  the  probability 

histogram of the distribution. 

3. Use Table 2 to find 

(a) (4;7)F ; 

(b) (4;7)f ; 

(c) 19

6( ;8)

kf k

=∑ . 

4. At  a  checkout  counter  customers  arrive  at  an  average  of  1.5  per  minute.  Find  the probabilities that 

(a) Exactly 1 will arrive in any given minute; 

(b) Exactly 2 will arrive in any given minute; 

(c) At most 5 will arrive in any given minute; 

(d) At least 4 will arrive during any interval of 3 minutes; 

(e) At most 10 will arrive during any interval of 10 minutes. 

5. In a given city, 5% of all drivers get at  least one parking  ticket per year. Use  the Poisson approximation  to  binomial  distribution  to  determine  the  probability  that  among  90 randomly chosen drivers: 

(a) 4 will get at least one parking ticket in any given year; 

2 

 

(b) At least 3 will get at least one parking ticket in any given year; 

(c) At most 8 will get at least one parking ticket in any given year. 

6. In a “torture test”, a light switch is turned on and off until it fails. If the probability that the switch will fail at any time when it is turned on or off is 0.0015, what is the probability that the switch will survive 1000 turnings of on or off without fail? (Assuming that the conditions for geometric distribution are met.) 

7. Random variable X is defined below. For each case, identify the distribution of X (Binomial, Hypergeometric,  Poisson, Geometric,  or Negative Binomial),  as well  as  the  values  of  the parameters. 

(a) Flip a balanced coin 400 times, let X be the number of heads observed. 

(b) A  class has 12  female  students and 42 male  students. Randomly  select 6  students  to form a team. Let X be the number of female students on the team. 

(c) A basketball player makes 85% of her  free  throws. Let X be  the number of successful shots she will make before the first miss. 

(d) Computer breakdown happens  randomly, 1.5  times  a week on  average.  Let X be  the number of breakdowns happened in any given day. 

(e) A candidate invited for a visit has probability of 0.3 of being hired. Let X be the number of candidates who have been invited for a visit before 2 of them are hired. 

8. As  can  easily  be  shown,  the  probabilities  of  getting  0,  1,  2,  or  3  heads  from  tossing  3 balanced coins are 0.125, 0.375, 0.375, and 0.125. What is the probability of getting 2 heads twice, 1 head 3 times in 6 tosses of these 3 coins? 

9. The probability density function of a random variable is given by  

2 , 0 2,( )

0, .kx x

f xelsewhere

⎧ < <= ⎨⎩

 

Find  

(a) The constant  k ; 

(b) (0 1)P x< < ; 

(c) (1 6)P x< < ; 

3 

 

(d) Mean of the random variable X; 

(e) Variance of the variable X. 

10. If a  random variable has  the standard normal distribution,  find  the probability  that  it will take on a value(s) 

(a) Less than 1.25; 

(b) Greater than 2.5; 

(c) Less than – 1.2; 

(d) Greater than – 3.1; 

(e) Between 0 and 2.3; 

(f) Between 1.22 and 2.43; 

(g) Between – 1.45 and – 0.45; 

(h) Between – 1.70 and 1.35; 

11. Find z  if the probability that a standard normal distributed random variable will take on a value is 

(a) Less than z is 0.98; 

(b) Great than z is 0.21; 

(c) Greater than z is 0.5; 

(d) Greater than z is 0.65; 

(e) Less than z is 0.025. 

12. Given a random variable having the normal distribution with  15.2μ =  and  2 1.56σ = , find 

the probabilities that it will take on a value 

(a) Greater than 15.1; 

(b) Less than 12.5; 

(c) Between 12.0 and 17.5; 

(d) Between 16.5 and 16.8. 

4 

 

13. Find the quartiles of the standard normal distribution 0.25z− ,  0.50z , and  0.25z . 

14. A  stamping machine produces  can  tops whose diameters are normally distributed with a standard deviation of 0.01 inch. At what “normal” (mean) diameter should the machine be set so that no more than 5% of the can tops produced have diameters exceeding 3 inches? 

15. If a random variable has the binomial distribution with n = 40 and p = 0.36, use the normal approximation to determine the probabilities that it will take on 

(a) A value greater than 20; 

(b) A value less than 15; 

(c) The value 15. 

Note:  in this question np  is not  large enough to use normal to approximate the binomial, but for practice purpose we will do it anyway.