PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL PERESCUELA DE POSGRADOMAESTRA EN ENSEANZA DE LA MATEMTICA SECUNDARIA

Trabajo colaborativo N 1

Elaborado porMarco Antonio MOYA SILVESTREWilly Hernn SALAZAR TORRES

Presentado aProf. Jess Victoria FLORES SALAZAR

CursoMtodos de Investigacin en Educacin Matemtica

Lima, abril de 2015

TESIS ASIGNADAAutor: Nixo Nez SnchezTtulo de la tesis : La resolucin de problemas con inecuaciones cuadrticas. Una propuesta en el marco de la Teora de Situaciones Didcticas.PREGUNTASPregunta 01: La tesis contempla las cuatro fases de acuerdo a la ingeniera didctica? Explique de manera resumida (mapa/esquema/tabla/cuadro, etc.) como estn estructuradas las fases de la I.D en la presente tesis. La tesis si contempla las cuatro fases de la Ingeniera Didctica, las cuales se pasa a mostrar de manera resumida en la siguiente tabla:FASES DE LA INGENIERIA DIDACTICAASPECTOS QUE CONTEMPLA LA TESIS

ANLISIS PRELIMINARAntecedentes

Anlisis epistemolgico

Anlisis cognitivo

Anlisis didctico

Campo de restricciones

Marco Terico

Objetivos de la Investigacin

CONCEPCIN Y ANLISIS A PRIORIVariables macro didcticas (implcitas)

Variables micro didcticas (explicitas)

Parte descriptiva

Parte predictiva

FASE EXPERIMENTALExplicitacin de los objetivos de la investigacin:

Condiciones de la realizacin de la investigacin

Establecimiento del contrato didctico

Aplicacin de los instrumentos (actividades) de la investigacin

Registro de observaciones

Anlisis a posteriori local

ANLISIS A POSTERIORI Comparacin entre comportamientos esperado y observados

Similitudes y diferencias entre los comportamientos esperados y observados

Conclusiones

Recomendaciones

Pregunta 02: En la fase de Anlisis Preliminar, realice un anlisis crtico de la dimensin epistemolgica, cognitiva y didctica presentada en la tesis.La presente investigacin presenta la fase de anlisis preliminar en forma explcita, explicando las diferentes dimensiones de esta fase.En la dimensin epistemolgica, la cual se menciona explcitamente el objetivo de su presentacin, el autor presenta una breve historia de las inecuaciones, luego muestra el tratamiento del objeto matemtico, tomando como referencia el libro de Leithold en la que presentan el procedimiento para resolver las inecuaciones cuadrticas y las aplicaciones del objeto matemtico, mostrando tres ejemplos intramatemticos y un ejemplo contextualizado.En nuestra opinin la presentacin de la dimensin epistemolgica de la tesis es pertinente porque responde a lo indicado por Artigue, Douady y Moreno (1995), donde sealan que la dimensin epistemolgica analiza los contenidos considerados en la enseanza. En relacin al anlisis cognitivo, segn Artigue (1998, citado por De Faria, 2006).la dimensin cognitiva est asociada a las caractersticas cognitivas de los alumnos a los que se dirige la enseanza. En la investigacin observamos que la presentacin de la dimensin cognitiva es adecuada, pues presenta el examen que se aplic a 28 estudiantes, la evaluacin consisti de siete problemas de respuestas abiertas, sobre representaciones algebraicas, ecuaciones cuadrticas, funciones cuadrticas, interpretacin grfica de las ecuaciones cuadrticas, para establecer el conocimiento previo de los estudiantes, obteniendo de los resultados las dificultades y limitaciones de los temas que son prerrequisitos para estudiar las inecuaciones cuadrtica.Con respecto a la dimensin didctica Artigue, Douady y Moreno (1995), seala que se asocia a las caractersticas del funcionamiento del sistema de enseanza. En la tesis observamos que esta dimensin esta presentada adecuadamente, porque se detalla la estructura curricular en la que est enmarcado el objeto matemtico, inecuaciones cuadrticas, en la Universidad Seor de Sipn. Tambin, realiza un breve anlisis de tres textos respecto a la introduccin y tratamiento de las inecuaciones cuadrticas as como el tipo de ejercicios o problemas que utilizan en el proceso de resolucin del objeto matemtico.Pregunta 03: Qu aspectos especficos de cada fase de la I.D se encuentra presentes o no en le tesis analizada? Explique con sus propias palabras?Pasaremos a mencionar los aspectos especficos de cada fase dentro de la Ingeniera Didctica.1. ANLISIS PRELIMINARDentro de esta fase, la tesis presenta los aspectos especficos de la I.D. que deben considerarse en el anlisis preliminar, los cuales pasamos a detallar con nuestras propias palabras:1.1. Antecedentes:El investigador muestra seis antecedentes en referencia a su objeto matemtico: inecuaciones cuadrticas, las cuales desde nuestro punto de vista es posible rescatar dos aspectos: cognitivo y didctico. Por ello pasamos a mostrar dichos aspectos de cada antecedente:ANTECEDENTEASPECTO COGNITIVOASPECTO DIDCTICO

Diez (1995)Manifiesta que los alumnos presentan adaptacin mecnica en la resolucin de inecuacionesPropone generar estrategias diferentes para este objeto matemtico, pero no detalla cuales son dichas estrategias.

Barboza (2006)Manifiesta que los estudiantes cometen errores de concepcin en el empleo de las propiedades de los realesPropone construcciones mentales para que comprendan la inecuacin, tambin propone resoluciones en contextos grficos, uso de tablas, calculadoras grficas y computadoras.

Borello (2007)Establece que las convicciones del maestro constituye un elemento que influye en el aprendizaje de los estudiantesPropone y destaca la importancia del mtodo grafico para afrontar problemas de inecuaciones.

Guajardo (2010)El problema de los estudiantes es calcular el dominio de funciones con raz cuadradaPropone establecer con claridad los requerimientos del problema y no introducir definicin formal hasta que las desigualdades estn claras

De la Fuente y Valdez (2001)Establece que la dificultad de los estudiantes est en conectar conceptos matemticos y algortmicosPropone interactuar con el objeto en su doble status, el herramental y el objetal en diversos contextos como el grafico, algebraico y numrico.

Boero y Bazzine (2004)Manifiesta que existen procedimientos rutinarios que no son comprensibles para los estudiantes.Propone ensear las desigualdades basado en el concepto de funcin.

1.2. Anlisis epistemolgicoDescripcin histrica del objeto matemtico inecuaciones cuadrticasDescribe histricamente al objeto matemtico inecuacin cuadrtica en una variable, y realiza una presentacin terica del mismoEn la descripcin histrica, rescatamos algunos aspectos que consideramos importantes: El concepto de desigualdad aparece en el siglo XVII y XVIII, con Thomas Harriot (1560-1621) y Pierre Bouguer (1698-1758) Cita a Bagni (2008), quien realiza investigaciones sobre ecuaciones e inecuaciones Concluye con la afirmacin que las ecuaciones han influido en el tratamiento de resolucin de inecuaciones. No encontr referencias histricas sobre inecuaciones cuadrticas.Objeto matemtico inecuaciones cuadrticasEl autor realiza una descripcin terica del objeto inecuaciones cuadrticas, de donde rescatamos algunos aspectos: Definicin de una desigualdad cuadrtica Resolucin de una desigualdad mediante nmeros crticos y nmeros de prueba. Propone ejemplos Explicacin grafica de la resolucin de una desigualdad Inecuaciones cuadrticas con solucin vaca Inecuaciones cuadrticas en problemas contextualizados.

1.3. Anlisis cognitivoEn esta fase se analizan las caractersticas cognitivas de los estudiantes, en relacin al objeto matemtico inecuaciones cuadrticas, viendo dificultades y errores comunes, as como los conocimientos previos que ellos tienen respectos a este objeto.El investigador para realizar el anlisis cognitivo de los estudiantes elabor una prueba de conocimientos previos, sobre inecuaciones cuadrticas, en base a una actividad de 7 preguntas, las cuales pretenda recoger pre requisitos de los estudiantes como:Propiedades de orden delos nmeros realesCorrespondencia entre nmero real y la recta realGrafica de unin e interseccin de intervalosRepresentacin algebraica de enunciados verbales sobre desigualdadesResolucin de ecuaciones cuadrticasGraficas de funciones cuadrticasInterpretaciones de grficas de funciones cuadrticas.

Finalizada la aplicacin, se describieron algunas conclusiones:Dificultad para considerar en qu casos el producto de dos nmeros es positivo o negativoLimitaciones para ordenar los nmeros reales en la recta real.Dificultad para notar la inclusin o no de un valor en un intervalo cuando es abierto o cerradoDificultad para representar algebraicamente un enunciado verbal sobre desigualdad.Dificultad para resolver ecuaciones cuadrticas, especialmente la son factorizable en RDificultad para esbozar grafica de una expresin cuadrtica.Dificultad para la interpretacin de una grfica de funcin cuadrtica.

1.4. Anlisis didcticoEl investigador realiza un anlisis del proceso de enseanza y aprendizaje de inecuaciones cuadrticas, recursos con que se cuenta, estrategias, y como lo abordan algunos textos el objeto matemtico.Tambin realiza una descripcin de cmo se aborda este objeto matemtico en la Universidad Seor de Sipn de Lima, Per de la cual describimos algunos aspectos:El tema corresponde al curso de Lgico Matemtica, que dura 16 semanas, distribuido en 8 horas semanales con 4 horas de teora, 2 de practica 2 de nivelacin y reforzamiento.Trabajan con un mdulo entregado por la institucin al inicio del ciclo, donde contiene parte terica y practica que es producto de una recopilacin de textos universitarios.La metodologa es meramente expositiva por parte del profesor, con eventuales trabajos en grupos y la asesora del profesor. Pero no existe la devolucin por parte del profesorMs que centrarse en problemas contextualizados, se ensea el objeto matemtico de manera algortmica.No se evidencia por lo tanto las fases de accin, formulacin ni validacin.En cuanto a los textos, el autor realiza un anlisis en los textos de:Leithold Lois: Matemticas previas al clculoStewart James: Pre calculo: Matemticas para el calculoSwokowsky Earl. : Algebra y Trigonometra con Geometra Analtica.1.5. Campo de restricciones27 estudiantes del I ciclo de la escuela de Artes y Diseo Grfico Empresarial de la Universidad Seor de Sipn de Lima-Per entre 17 y 21 aos de edad.Dentro del plan de estudios contempla el tema de Inecuaciones Cuadrticas en el curso de Lgico Matemtico.2. CONCEPCION Y ANALISI A PRIORIVariables macro didcticasEl autor aunque no lo expone de manera explcita, podemos como resultado de la lectura de la tesis inferir algunas variables macro didctica, que a continuacin presentamos: Las dificultades reveladas en la prueba previa de conocimientos, que se tom para ver el nivel en que se encontraban los estudiantes respecto al objeto matemtico inecuaciones cuadrticas. El nmero de sesiones que estn previstas para la parte experimental: 4 sesiones El ambiente donde se va a desarrollar la parte experimenta: el saln de clases La cantidad de estudiantes para la parte experimental es de 27. Los grupos con los que se trabajara la parte experimental son de 3 estudiantes por grupo.Variables micro didcticasEn la presente tesis realizaremos el anlisis de las variables micro didcticas en la actividad 1, la cual ha sido elegida porque consideramos las ms relevantes dentro de la parte experimentalActividad 1Construyendo un jardn. Problema con una inecuacin cuadrtica

Variables micro didcticas Tipo de desigualdad Trinomio cuadrtico: factorizable en los reales Grfica de la funcin que cumpla la condicin Conjunto solucin de la funcin, obtenida de manera grfica Parte descriptivaEl investigador propone lo que podra estar en juego en ambas actividades para los estudiantes en funcin de las fases de accin, formulacin y validacinParte predictivaActividad 1temInteraccinRespuestas esperadas - I Parte individualPosible dificultad

aAccinRepresenten grficamente el problemaIdentifiquen la variable x y la asocien a la longitud el terrenoQue identifiquen la variable x

bAccin

Que representen algebraicamente el rea del terreno y del jardn No precisa

cAccinRepresenten algebraicamente con una inecuacin el rea del jardn con las condiciones dadas: No precisa

dAccinQue determinen dos valores de x que representen la longitud del terrenoQue propongan errneamente los valores de x

eAccinQue determinen dos valores que no pueda tomar x, es decir que no cumpla la condicin: No precisa

fAccin

Que realicen transposicin de trminos de a la forma No precisa

gAccinGrafiquen la funcin cuadrtica

En la grfica identifiquen los valore de x, que satisfaga Identificar los valores de x que satisfagan

hAccinIdentifiquen los valores de x que representen la longitud del terreno y la condicin de ser recortado 2m. para satisfacer el rea del jardn con las condiciones dadas: Determinen los valores de x y representarlos en un intervalo.

Respuestas esperadas II Parte grupalPosible dificultad

f, g, hValidacinDeterminen la regla de correspondencia de la inecuacin cuadrtica

Determinen todos los valores de x que representen la longitud del terreno en el intervalo Que haya discrepancias

Respuestas esperadas III Parte grupalPosible dificultad

aFormulacinQue representen grficamente al terreno cuadrado de 6m., y al ampliado.

Identificar la variable x

bFormulacinQue representen algebraicamente el rea del terreno ampliado: No precisa

cFormulacinQue representen algebraicamente la relacin del rea del terreno ampliado y que no exceda los 64m2

Se espera dificultades en la representacin algebraica

dAccinQue determinen dos valores para x que represente el rea del terreno ampliado

Es posible que utilicen el ensayo y error para encontrar dichos valores

eAccinQue determinen dos valores que no puede tomar x para representar el rea del terreno ampliado.No precisa

fFormulacinQue realicen una transposicin en trminos de la expresin No precisa

gFormulacinQue grafiquen la expresin cuadrtica y hallen los valores de x en la grfica, que cumpla Posible dificultad en encontrar el vrtice de la parbola

hValidacin

Que determinen todos los valores de x que represente el ancho de la franja ampliada en el terreno rectangular que cumpla la condicin dada por , es decir No precisa

3. EXPERIMENTACINEn esta fase precisaremos las etapas durante el proceso de experimentacin.Cabe resaltar que el investigador cumpli tambin el rol de profesor, adems de un observador para el recojo de la informacin relevante de la interaccin entre los estudiantes. La experimentacin se desarroll en cuatro sesiones de 100min, 90min, 100min y 90min respectivamente.Esta fase la vamos a dividir en:1. Explicitacin de los objetivos de la investigacin:En la actividad 1 no se evidencia que el investigador haya explicitado los objetivos de su investigacin.2. Condiciones de la realizacin de la investigacinEn la actividad 1 se explicita las condiciones de la experimentacin: Participan 26 estudiantes en una sesin de 100 min Se formaron 3 grupos de ocho estudiantes y un grupo de dos estudiantes La actividad est dividida en tres partes Contiene parte individual y parte grupal 3. Establecimiento del contrato didcticoEn la actividad 1 aunque no se precisa textualmente, el autor manifiesta implcitamente que existi el contrato didctico, ya que hace referencia a las pautas y acuerdos que llegaron para el normal desenvolvimiento en la aplicacin de las actividades.4. Aplicacin de los instrumentos (actividades) de la investigacinEn esta fase se aplic las cuatro actividades a los estudiantes. Detallaremos algunas caractersticas de este proceso de aplicacin: Se trabaj con 27 estudiantes del I ciclo de la Escuela de Artes y Diseo Grfico Empresarial dela Universidad Seor de Sipn de Lima-Per, con edades entre 17 y 21 aos de edad. Se cont con un cronograma de aplicacin de las cuatro actividades, precisando el da, la hora y el lugar. El investigador cumpli el rol de profesor, y se cont con un observador quien registro informacin relevante del trabajo de los estudiantes. Las cuatro actividades se desarrollaron en sesiones de 100min, 90min, 100min y 90min respectivamente. La presencia del observador no influyo ene le comportamiento de los estudiantes, ya que ellos estaban acostumbrados a este tipo de trabajos. Ya que la experimentacin duro ms de una sesin, se realiz un anlisis a posteriori local.

5. Registro de observaciones Fichas de observacin6. Anlisis a posteriori localEn esta etapa, el investigador a modo de comentario realiza un anlisis del trabajo desarrollado por los estudiantes y los asocia a la parte predictiva que se estableci en la fase de concepcin y anlisis a priori. Los principales aspectos a resaltar son:En la actividad 1: Dependencia de los estudiantes con el profesor para resolver los problemas (parte individual), aqu el profesor hizo la devolucin a los estudiantes para aclarar algunos aspectos. En la segunda parte que fue grupal se not integracin en los grupos, no todos aportaban pero culminaron la actividad En la tercera parte grupal, culminaron ms rpidamente, aunque muchos grupos no revisaron sus respuestas para observar si haban errores.

4. ANLISIS A POSTERIORIEl anlisis de esta fase se hace evidente en la presente tesis ya que el investigador confronta los comportamientos esperados con los comportamientos observados durante la experimentacin.Precisaremos esta confrontacin en las actividades que hemos venido analizando.ACTIVIDAD 1

ITEMCOMPARACIN ENTRE EL COMPORTAMIENTO ESPERADO Y EL OBSERVADOOBSERVACIONES

PARTE I - INDIVIDUAL

aSe cumpli lo esperado.Lograron disear la situacin problema con una representacin grficaRepresentaron el terreno cuadrado y el recortadoTuvieron cierta dificultad en identificar la variable x, pues no lo asociaban a la longitud del terreno. Luego de la devolucin se esclareci este impase

bSe cumpli lo esperado.Representaron algebraicamente el rea del terreno y del jardnLa grafica anterior sirvi parar desarrollar esta expresin.Los estudiantes se repetan que x representaba la longitud del terreno

cSe cumpli lo esperado

Representaron el rea del jardn con las condiciones dadas No mostraron dificultad para representar esta inecuacin.Mostraron inters en resolver esta situacin

d y eSe cumpli parcialmente lo esperado.Para determinar dos valores para x para cada una de las situaciones, no lo pudieron hacer.Luego del ensayo y error pudieron encontrar un grupo de ellos.

Manifestaron que para ellos es ms fcil probar con los nmeros y luego reemplazarlos en al expresin.

fSe cumpli lo esperado.

Realizaron la transposicin de trminos y obtuvieron Identificaron que la parte de la izquierda de la inecuacin es una funcin cuadrtica

gNo se cumpli lo esperadoDe los 27 estudiantes solo tres graficaron correctamente e identificaron los valores para x No recordaban como se grafica una funcin cuadrtica.Se ocup mayor tiempo del previsto.

hNo se cumpli lo esperadoNingn alumno logro determinar los valores de x No se percataron que para realizar era necesario realizar la grfica de g y ver el tem d. Ya que la mayora no realiz la parte g trajo como consecuencia que no realicen la h.

PARTE II - GRUPAL

f, g, h Se cumpli lo esperado.Lograron determinar la regla de correspondencia de la funcin cuadrtica y su grfica.

Cuatro grupos identificaron los valores de x para la longitud del terrenoLa dificultad presentada en el tem h en la parte individual, en esta parte fue resuelta al estar en grupo y por encontrarse en la fase de formulacin.El tem h, en la fase de accin no fue resuelta sin embargo en la de formulacin si, ello debido a la discusin de todo el grupo.

PARTE III GRUPAL

aSe cumpli con lo esperadoLos grupos representaron la situacin presentada.Utilizaron un grfico para representar el terreno cuadrado y otro para el terreno ampliado con franjas.Cuatro grupos mostraron dificultades para explicar que representaba x.El paso por la fase de accin sirvi de mucho para que los estudiantes propusieran sus argumentos.

b y cSe cumpli con lo esperado

Representaron algebraicamente el rea del terreno ampliado , luego Un grupo tuvo dificultades para formular esta expresin por confundir el signo de la desigualdad.Se observa la dificultad para realizar este tipo de representacin de situaciones contextualizadas.

d y eSe cumpli con lo esperadoMediante ensayo error los grupos determinaron los valores de x que satisfagan la condicin del problema. Solo un grupo no pudo determinar los valores de x

fTodos los grupos realizaron la transposicin de trminos de la expresin Ninguna

gSolo 4 de los ocho grupos graficaron correctamente Se detectaron que los errores son el ubicar el vrtice y el punto de corte con el eje horizontalYa que esta dificultad persiste, el autor manifiesta que debe ser tratada anticipadamente a la aplicacin

hMostraron dificultades para encontrar los avalores de x Se observ que de cada grupo sus integrantes por ensayo y error buscaban individualmente los valores de x, luego los compartan al grupo.Como los grupos compartan con otros grupos sus respuestas, fue necesario realizar la fase de validacin.

El autor tambin realiza una comparacin entre las semejanzas y diferencias entre los comportamientos previstos y los observados:Semejanzas entre lo esperado y lo observadoDificultades para determinar los valores de x, de acuerdo a las condiciones del problema.Dificultades para representar el conjunto solucin de una inecuacin cuadrticaDificultades para utilizar sus conocimientos previos en la resolucin de problemas de inecuacin cuadrtica.Dificultad para desarrollar procedimientos algebraicos en la resolucin de inecuaciones cuadrticas.

Diferencias entre lo esperado y lo observado.Empleo de un mayor tiempo al previsto en la resolucin de inecuaciones cuadrticas.Ms errores de los previstos en el manejo de los conocimientos previosSe encontr menos claridad que la prevista en la interpretacin del significado de la variable en los problemas sobre inecuaciones cuadrticas

ConclusionesEl autor plantea las conclusiones en relacin a sus objetivos:En relacin al primer objetivo especfico: Disear una secuencia didctica con actividades y problemas de dificultad graduada, que contribuya a la construccin del concepto de inecuacin cuadrtica y a comprender sus procesos de resolucin, el autor toma como referencia el anlisis epistemolgico, didctico y cognitivo para elaborar su secuencia didctica de actividades. Toma en cuenta los textos universitarios y la prueba de conocimientos previos de los estudiantes para disear tal secuencia. El autor sostiene que se cumpli este objetivo.En relacin al segundo objetivo especfico: Aplicar la secuencia didctica y analizar los resultados comparando los efectos esperados y los observados en el marco de la TSD de la aplicacin de las actividades, se realiz con todos el proceso planificado y recogiendo la informacin necesaria para contrastar con los comportamientos esperados tal como lo detallamos. En ese sentido se cumpli este objetivo.En relacin al tercer objetivo especfico: Redisear las secuencias didcticas ejecutadas inicialmente considerando los resultados de la experimentacin y los efectos esperados y observados para garantizar la construccin del concepto de inecuacin cuadrtica y la comprensin de los procesos de resolucin en problemas que requieran el uso de este objeto matemticosobre el rediseo, se observa que no existen elementos para el rediseo de la estructura salvo en el tiempo como ya lo describimos tambin. En este sentido el rediseo en relacin al tiempo habr que tenerlo en cuenta para investigaciones posteriores.RecomendacionesEn cuanto al objeto matemtico, el autor recomienda en virtud de toda la investigacin:Combinar problemas contextualizados, y no apurarse en dar tcnicas de resolucin demasiado pronto.Disear actividades que permitan la construccin y apropiacin del conocimiento a travs de las fases de accin, formulacin y validacinLos textos no ofrecen gran gama de problemas contextualizados, por ellos es reto para los docentes trabajar en ello.

Pregunta 4: En la tesis analizada el investigador consider explcita o implcitamente las variables macro-didcticas? Explique detalladamente cules son esas variables en la investigacin.En la presente investigacin las variables macro didcticas se presentan de forma implcita son:1. La organizacin de los estudiantes ser libremente conformando ocho grupos de tres integrantes y un grupo de dos1. Las aulas de la institucin tienen infraestructura adecuada: carpetas individuales movibles y equipo multimedia.1. La entrega de material conteniendo las situaciones al inicio de cada actividad, donde se detallar las acciones a realizar tanto individual como grupales.1. Los contenidos considerados como prerrequisito para el desarrollo de las actividades, fueron explicados en la misma asignatura anticipadamente en clases anteriores, detallado en el silabo. 1. El tratamiento del tema fue realizado de acuerdo a las caractersticas del grupo, considerndose para las actividades de aprendizaje, situaciones concretas que permitan una adecuada comprensin conceptual y un pertinente manejo procedimental.

ReferenciasNez, N. (2012). La resolucin de problemas com inecuaciones cuadrticas. Uma propuesta en el marco de la Teoria de Situaciones Didcticas. (Tesis de Maestra en Enseanza de las Matemticas). Pontificia Universidad Catlica del Per, Lima, Per. Recuperado de http://tesis.pucp.edu.pe/repositorio/bitstream/ handle/ 123456789 /1641 / NU %c3%91EZ_SANCHEZ_NIXO_RESOLUCION_DIDACTICAS.pdf?sequence=1De Faria, E. (2006). Ingeniera Didctica. Cuadernos de Investigacin y Formacin en Educacin Matemtica. 1(2), pp. 01-09. Artigue, M., Douady, R., Moreno, L. (1995). Ingeniera Didctica en Educacin Matemtica. Mxico: Grupo Editorial Iberoamrica. Recuperado de http://core.ac.uk /download/pdf/ 123 412 68.pdf