as Superiores (Calculo)

Introduccion a las Matematicas Superiores

Material elaborado por los Profesores:

Salomon Alarcon

Florentino Baeza

Sergio Barrientos

Bernardo Leon de la Barra

hola

II

Prefacio

Estimado alumno, el presente texto ha sido creado con el objetivo de guiar tu estudio

teorico de los contenidos que seran evaluados en los certamenes del curso Introduccion a

las Matematicas Superiores. En el primer certamen se evaluaron los capıtulos 1 y 2 en la

Parte I; para el segundo certamen, los capıtulos 3 y 4 en la Parte I; para el tercer certamen

se evaluaron los capıtulos 5 y 6 en la parte II (esos apuntes aquı estan incompletos, hay

mas contenidos que se evaluaron) y para el cuarto certamen se evaluaran el capıtulo 7 en

la parte II y el capıtulo 8 en la parte III de este texto (tambien se evaluara el capıtulo de

funciones que aquı no aparece). Recuerda que este no es un texto de matematica formal,

por lo que si deseas profundizar mas en el estudio de los temas aquı tratados, te sugerimos

que revises la bibliografıa que hemos recomendado en el Programa del Curso.

Es nuestro deseo que este texto sea una verdadera ayuda en tu preparacion para rendir

tu cuarto certamen y mas adelante el examen global, recordandote de paso que el exito que

puedas tener en este curso dependera exclusivamente de tu esfuerzo. Suerte.

Tus Profesores de MAT-001.

III

hola

IV

Indice general

Prefacio III

Indice general V

I Matematica elemental I 1

1. Introduccion al sistema numerico real 3

1.1. Los numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1. El cuerpo de los numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2. Otras propiedades algebraicas de los numeros reales . . . . . . . . . 7

1.1.3. Orden en IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.4. Otras propiedades de orden en IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.5. Valor absoluto de un numero real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.6. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.7. Potencias de base real y exponente entero . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2. Los numeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.1. Comparacion entre numeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.2. Amplificacion y simplificacion de fracciones . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.3. Fracciones propias e impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.4. Operatoria en IQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.5. Transformacion de un numero decimal a fraccion . . . . . . . . . . . 21

1.3. Razones, proporciones y porcentaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.1. Razones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.2. Proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.3. Proporcionalidad directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.4. Proporcionalidad inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

V

INDICE GENERAL

1.3.5. Tanto por ciento. Porcentaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2. Algebra elemental I 29

2.1. Expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.1. Monomios, binomios, trinomios y polinomios . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.2. Valoracion de expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2. Adicion y multiplicacion de expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.1. Adicion de expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.2. Multiplicacion de expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.3. Uso de parentesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.4. Productos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3. Factorizacion y simplificacion de expresiones algebraicas . . . . . 33

2.3.1. Factorizacion de expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.2. Simplificacion de expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4. M.C.D. y m.c.m. entre expresiones algebraicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5. Ecuaciones de primer grado con una incognita . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5.1. Resolucion de una ecuacion de primer grado con una incognita . . . 35

2.5.2. Analisis de las soluciones de una ecuacion de primer grado con una

incognita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.5.3. Ecuaciones de primer grado con valor absoluto . . . . . . . . . . . . 37

2.6. Inecuaciones de primer grado con una incognita . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.6.1. Resolucion de una inecuacion de primer grado con una incognita . . 41

2.6.2. Sistemas de inecuaciones con una incognita . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.6.3. Inecuacion de primer grado con valor absoluto . . . . . . . . . . . . . 43

2.7. Resolucion de problemas con enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3. Geometrıa elemental I 49

3.1. Construcciones geometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2. Congruencia de figuras planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2.1. Congruencia de polıgonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2.2. Congruencia de triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.3. Isometrıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3. Semejanza de figuras planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.3.1. Semejanza de polıgonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

VI

INDICE GENERAL

3.3.2. Semejanza de triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.3.3. Homotecias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4. Geometrıa analıtica elemental 67

4.1. Coordenadas cartesianas en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2.1. Division de un trazo en una razon dada r . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.3. Pendiente de un trazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.4. La ecuacion de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.4.1. Representacion de una recta conocida su ecuacion . . . . . . . . . . . 76

4.5. Posicion relativa entre dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.5.1. Angulo de inclinacion de una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.5.2. Rectas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.5.3. Rectas perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.6. Ecuaciones de primer grado con dos incognitas . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.6.1. Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incognitas . . . . . 84

4.7. Inecuaciones de primer grado con dos incognitas . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.7.1. Sistemas de inecuaciones lineales con dos incognitas . . . . . . . . . 92

II Matematica elemental II 101

5. Los numeros irracionales 103

5.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.2. Radicacion. Raız n-esima de un numero real . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.2.1. Raız cuadrada de un numero real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.2.2. Raız cubica de un numero real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.2.3. Raız n-esima de un numero real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.2.4. Potencias de exponente racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.2.5. Potenciacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.3. Logaritmacion. Logaritmo de un numero real . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6. Algebra elemental II 113

6.1. Fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.1.1. Operaciones entre fracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . 114

VII

INDICE GENERAL

6.1.2. Ecuaciones que involucran fracciones algebraicas reducibles a una

de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

7. Trigonometrıa 123

7.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7.2. Razones Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.3. Identidades Trigonometricas Fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

7.4. Razones trigonometricas entre triangulos semejantes . . . . . . . . . . . . . 127

7.4.1. Reduccion a triangulos rectangulos de hipotenusa 1 (unidad) . . . . 128

7.5. Angulos notables y los valores de las razones trigonometricas asociadas . . 128

7.5.1. Tabla de razones trigonometricas de angulos notables . . . . . . . . . 129

7.5.2. Problemas de Trigonometrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.6. Circunferencia Goniometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

7.6.1. Reduccion al Cuadrante I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

7.7. Identidades Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

7.8. Ecuaciones Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

7.9. Teoremas del Seno y del Coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

7.9.1. Teorema del Seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

7.9.2. Teorema del Coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

7.9.3. Aplicaciones finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

III Nociones de matematica superior 143

8. Introduccion a la teorıa de Logica y Conjuntos 145

8.1. Logica proposicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

8.1.1. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

8.2. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

8.2.1. Complemento: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

8.2.2. Interseccion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

8.2.3. Union: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

8.2.4. Diferencia: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

8.2.5. Cardinalidad: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

8.2.6. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

VIII

Parte I

Matematica elemental I

1

Capıtulo 1

Introduccion al sistema numerico real

1.1. Los numeros reales

Desde la perspectiva de las aplicaciones y de la resolucion de problemas, el conjunto

numerico de mayor relevancia es el de los numeros reales, que denotamos por R , debido a

la gran cantidad de propiedades que verifica, a saber: axiomas de cuerpo , axiomas de orden y

el axioma de completitud. Ademas, este conjunto posee un fuerte caracter geometrico ya que

puede ser representado por una recta, la cual llamamos recta numerica real: a cada punto

de una recta se le asocia un unico numero real.

Algunos subconjuntos notables de R y sus notaciones son:

N = {1, 2, 3, . . .} denota al conjunto de los numeros naturales.

N0 = N ∪ {0} denota al conjunto de los numeros cardinales.

Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .} denota al conjunto de los numeros enteros.

Q ={pq

: p, q ∈ Z ∧ q 6= 0}

denota al conjunto de los numeros racionales.

Q′ = I = denota al conjunto de los numeros irracionales (por ejemplo:√

2,√

3, π, e).

OBSERVACION 1.1.1 Recordar que

Ademas:

Q ∩Q′ = ∅ y Q ∪Q′ = R.

Conviene aclarar en este momento lo siguiente: Q contiene a todos los numeros con

representacion fraccionaria (numeros con una cantidad finita de decimales o con una

cantidad infinita periodica o semiperiodica), mientras queQ′ contiene a todos los numeros

con infinitos decimales no periodicos. �

3

CAPITULO 1. INTRODUCCION AL SISTEMA NUMERICO REAL

Representacion de los numeros reales en la recta numerica

Notar que si uno comienza a ubicar todas las fracciones racionales en la recta, visualmente

da la impresion de que uno logra cubrir toda la recta; sin embargo, esto dista mucho de

ser cierto, pues faltan aun todos los numeros irracionales, los cuales son muchos mas que

los racionales. Esto ultimo se puede chequear facilmente de la siguiente forma. Se sabe

que un numero racional mas uno irracional es otro numero irracional. Luego, como√

2 es

irracional (se probara mas adelante), tambien lo es r +√

2, donde r es cualquier

racional; por lo tanto hay al menos igual cantidad de irracionales que de racionales.

Pero tambien es irracional√

3, de manera que r+√

3, tambien es irracional para cualquier r

racional; por lo tanto hay al menos el doble de numeros irracionales que de

racionales. Mas generalmente, se sabe que√p, con p un numero natural primo, es

tambien un numero irracional, entonces considerando el hecho de que hay

infinitos numeros primos, tendremos que en realidad hay muchos mas numeros

irracionales que racionales.

A continuacion trataremos los axiomas de cuerpo y de orden de los numeros reales,

enfatizaremos en su representacion y estudiaremos con mayor detalle a uno de sus

subconjuntos notables, los racionales.

1.1.1. El cuerpo de los numeros reales

Consideramos en R las operaciones: adicion (+), y multiplicacion (·). El trıo (R,+, ·)denota a R dotado de estas dos operaciones y verifica las siguientes propiedades:

PARA LA ADICION EN R

(A0) Clausura:(∀a, b ∈ R)(a+ b ∈ R)

(A1) Conmutatividad:(∀a, b ∈ R)(a+ b = b+ a)

(A2) Asociatividad:(∀a, b, c ∈ R)

(a+ (b+ c) = (a+ b) + c

)4

1.1. LOS NUMEROS REALES

(A3) Existencia de un elemento neutro aditivo (el cero):

(∃0 ∈ R) tal que (∀a ∈ R)(0 + a = a+ 0 = a)

(A4) Existencia de un elemento inverso aditivo:

(∀a ∈ R)(∃(−a) ∈ R

)tal que

(a+ (−a) = (−a) + a = 0

).

PARA LA MULTIPLICACION EN R

(M0) Clausura:(∀a, b ∈ R)(a · b ∈ R)

(M1) Conmutatividad:(∀a, b ∈ R)(a · b = b · a)

(M2) Asociatividad:(∀a, b, c ∈ R)

(a · (b · c) = (a · b) · c

)(M3) Existencia de un elemento neutro multiplicativo (el uno):

(∃1 ∈ R) tal que (∀a ∈ R)(1 · a = a · 1 = a)

(M4) Existencia de un elemento inverso multiplicativo salvo para el neutro aditivo:

(∀a ∈ R \ {0})(∃a−1 ∈ R \ {0}) tal que(a · a−1 = a−1 · a = 1

)PARA LA MULTIPLICACION CON RESPECTO A LA ADICION EN R

(MA) Distributividad de la multiplicacion con respecto a la adicion:

(∀ a, b, c ∈ R)(a · (b+ c) = (b+ c) · a = a · b+ a · c

)Las propiedades anteriores corresponden a los axiomas de cuerpo en R. Ellas se aceptan y

no requieren demostracion; sin embargo, dan origen a una serie de otras propiedades.

OBSERVACION 1.1.2 Las propiedades (A0)-(A4) constituyen un grupo conmutativo sobre

el par (R,+); las propiedades (M0)-(M4) constituyen un grupo conmutativo sobre el par

(R \ {0}, ·). y ademas tenemos la propiedad (MA). En consecuencia, el trıo (R,+, ·) posee

la estructura algebraica conocida como cuerpo.

5


OBSERVACION 1.1.3 La propiedad (A4) (Existencia de un elemento inverso aditivo) nos

permite definir la operacion sustraccion en R, la cual denotamos por el signo −, de la

siguiente manera:

(∀a, b ∈ R)(a− b = a+ (−b))

OBSERVACION 1.1.4 La propiedad (M4) (Existencia de un elemento inverso

multiplicativo, salvo para el cero) nos permite definir la operacion division en R \ {0},la cual denotamos por el signo :, de la siguiente manera:

(∀a, b ∈ R, b 6= 0)(a : b = a · b−1)

entendiendo que si b 6= 0, b−1 =1

by a · b−1 = a · 1

b=a

b.

OBSERVACION 1.1.5 La propiedad (A4) tambien nos permite introducir en la

representacion de R el concepto de opuesto o simetrico de un numero (simetrıa con

respecto al cero):

a+ 0 = 0 + a = a ∧ (−a) + 0 = 0 + (−a) = −a

y como

a+ (−a) = (−a) + a = 0,

podemos decir que los numeros a y −a estan a igual distancia del 0.

6


1.1.2. Otras propiedades algebraicas de los numeros reales

A partir de los axiomas de cuerpo, y usando las reglas de la logica proposicional,

podemos obtener otras propiedades que cumplen los numeros reales:

1. [0 es elemento absorbente multiplicativo] (∀a ∈ R)(a · 0 = 0)

2. (∀a, b ∈ R)(a · b = 0⇔ a = 0 ∨ b = 0)

3. [Cancelacion aditiva] (∀a, b, c ∈ R)(a+ b = a+ c⇔ b = c)

4. (∀a ∈ R)(− (−a) = a

)EJERCICIO 1.1.1 Sean a, b ∈ R. Demuestra las siguientes propiedades:

a) (−1) · a = −a

b) −(a · b) = (−a) · b = a · (−b)

c) (−1)2 = 1

d) a 6= 0⇒ (a−1)−1 = a

1.1.3. Orden en IR

Para establecer una relacion de orden en el conjunto de los numeros reales, es

conveniente considerar un subconjunto de R, denotado por R+, el cual llamaremos

conjunto de los numeros reales positivos. Este conjunto queda definido por los siguientes

axiomas:

(O1) Invarianza para la adicion

(∀a, b ∈ R)(a ∈ R+ ∧ b ∈ R+ ⇒ a+ b ∈ R+)

(O2) Invarianza para la multiplicacion

(∀a, b ∈ R)(a ∈ R+ ∧ b ∈ R+ ⇒ a · b ∈ R+)

(O3) Tricotomıa

(∀a ∈ R)(a ∈ R+ ∨ a = 0 ∨ − a ∈ R+)

Las propiedades anteriores corresponden a los axiomas de orden en R. Ellas se aceptan

y no requieren demostracion; sin embargo, dan origen a una serie de otras propiedades.

7


DEFINICION 1.1.1 Sean a, b ∈ R. Se definen las siguientes relaciones entre a y b:

1. Decimos que a es mayor que b, lo que denotamos por a > b, si a− b ∈ R+; es decir:

(a > b)⇔ (a− b ∈ R+)

2. Decimos que a es menor o igual que b, o equivalentemente que a no es mayor que b, lo

que denotamos por a 6 b, si −(a− b) = b− a ∈ R+ o a = b; es decir:

(a 6 b)⇔ (b− a ∈ R+ ∨ a = b)

3. Decimos que a es menor que b, lo que denotamos por a < b, si −(a− b) = b− a ∈ R+;

es decir:

(a < b)⇔ (b− a ∈ R+)

4. Decimos que a es mayor o igual que b, o equivalentemente que a no es menor que b, lo

que denotamos por a > b, si a− b ∈ R+ o a = b; es decir:

(a > b)⇔ (a− b ∈ R+ ∨ a = b)

Desde la definicion de >, se deduce que

a ∈ R+ ⇔ a > 0.

Ademas, desde la propiedad de tricotomıa y la definicion de 6, se sigue que

a ∈ R+ ⇔ (−a 6∈ R+ ∧ a 6= 0)⇔ (−a 6 0 ∧ a 6= 0)⇔ −a < 0.

Luego, existe otro subconjunto de R, el cual denotaremos por R−, y que llamaremos

conjunto de los numeros reales negativos, como sigue

a ∈ R− ⇔ a < 0.

Es claro ahora que R− corresponde al conjunto de los inversos aditivos de los elementos

en R+, y que la union de ambos conjuntos con cero resulta ser todo R. Se tiene:

R− ∪ {0} ∪R+ = R ∧ R− ∩ {0} = ∅ ∧ R+ ∩ {0} = ∅ ∧ R− ∩R+ = ∅.

8


1.1.4. Otras propiedades de orden en IR

1. El par (R,6) corresponde a una relacion de orden. Esto es, verifica:

(O4) Reflexividad(∀a ∈ R)(a 6 a)

(O5) Antisimetrıa(∀a, b ∈ R)(a 6 b ∧ b 6 a⇒ a = b)

(O6) Transitividad(∀a, b, c ∈ R)(a 6 b ∧ b 6 c⇒ a 6 c)

2. (∀a, b ∈ R)(a > b⇔ ∃p > 0 tal que a = b+ p)

3. (∀a, b, c ∈ R)(a > b⇔ a+ c > b+ c)

4. (∀a, b, c ∈ R)(a > b ∧ c > 0⇒ a · c > b · c

)5. (∀a, b, c ∈ R)(a > b ∧ c < 0⇒ a · c < b · c)

6. (∀a ∈ R)(a2 > 0)

7. (∀a ∈ R)(a > 0⇒ a−1 > 0)

8. (∀a, b ∈ R)(a > b > 0⇒ b−1 > a−1)

9. (∀a, b ∈ R)(a > b > 0⇒ a2 > b2)

OBSERVACION 1.1.6 La propiedad (M4), mas las propiedades de orden previas, nos

permiten introducir en la representacion de R el concepto de recıproco o inverso de un

numero (proporcionalidad inversa del numero con respecto al 1)

a ∈ R \ {0} ⇔ a−1 ∈ R \ {0}

y comoa · a−1 = a−1 · a = 1

podemos decir que los numeros a y a−1 son inversamente proporcionales con respecto al

1 si a > 0; y con respecto al −1 si a < 0.

9


OBSERVACION 1.1.7 Comparando los numeros sobre la recta numerica real de izquierda

a derecha, los numeros reales quedan ordenados de menor a mayor.

OBSERVACION 1.1.8 El axioma de completitud, que aquı no estudiaremos, intuitivamente

indica que entre dos numeros reales diferentes existe otro numero real, de manera que la

recta numerica quedara totalmente cubierta de numeros reales.

EJERCICIO 1.1.2 ll

1. Traza una recta numerica fijando la unidad. Luego, ubique sobre ella los enteros

entre 3 y −3, inclusive, y los numeros reales ±√

2, ±√

3, ±√

5, ±√

7, ±1

2, ±7

4y ±7

2.

2. Representa en la recta numerica a 2 +√

2 y 3−√

2.

3. Comprueba geometricamente que 2 < 3⇒ −2 > −3 y 3 > 0⇒ −3 < 0

4. Prueba que (∀a, b ∈ R)(a2 + b2 > 2ab)

5. Prueba que: (∀a, b ∈ R+)(a+ b > 2√ab)

6. Prueba que (∀a ∈ R+)(a+

1

a> 2)

7. Prueba que (∀a, b ∈ R)(a2

b2+b2

a2> 2)

8. Prueba que (∀a, b ∈ R−)(√a

b+

√b

a> 2)

9. Prueba que(a+ b = 1⇒ a2 + b2 >

1

2

)1.1.5. Valor absoluto de un numero real

DEFINICION 1.1.2 Sean a y b dos numeros reales. Definimos la distancia entre a y b,

denotada por dist(a, b) a la diferencia no negativa entre a y b, esto es:

a− b si a− b > 0; o bien, b− a si b− a > 0.

EJERCICIO 1.1.3 ll

1. Calcula la distancia entre los pares de numeros reales dados a continuacion.

Comprueba tus resultados en una recta numerica:

a) 3 y − 4 b) − 7 y − 5 c) − 3 y 4 d) 5 y 0 e) 0 y − 5 f) − 1 y 6

10


2. De las siguientes afirmaciones, subraya aquellas que son verdaderas

a) dist(−13, 2) = dist(−2, 13) b) dist(√

5,√

2) = dist(√

5,√

2) c) dist(2, 5) = dist(5, 2)

d) dist(−9,−32) = dist(3

2, 9) e) dist(−a,−b) = dist(b, a) f) dist(a, b) = dist(b, a)

g) dist(5, 0) = 5 h) dist(1−√

2, 0)=√

2−1=−5 i) dist(−5, 0) = dist(0, 5)

OBSERVACION 1.1.9 La distancia entre un numero real dado y el cero es muy sencilla de

calcular, pues corresponde al numero real dado sin su signo, de modo que este quede

positivo. Este caso particular, de la distancia de un valor real al cero, corresponde al

concepto matematico denominado valor absoluto.

DEFINICION 1.1.3 Sea a ∈ IR. Llamamos valor absoluto de a, el cual denotamos por |a|, al

valor dist(a, 0). Es decir,

|a| = dist(a, 0)

OBSERVACION 1.1.10 Una definicion alternativa del valor absoluto de un numero es la

siguiente:

|a| =

a si a > 0

−a si a < 0

EJEMPLO 1.1.1 ll

1. |3| = 3 pues 3 > 0.

2. | −√

2| = −(−√

2) =√

2 pues −√

2 < 0

3. Sea a > 0. ¿Cual es el valor de |1− a|?

Solucion.

I Caso 0 < a < 1.

Notar que en este caso 1− a > 0, entonces

|1− a| = 1− a

I Caso a > 1.

Notar que en este caso 1− a 6 0, entonces

|1− a| = −(1− a) = −1 + a = a− 1 �

11


EJERCICIO 1.1.4 De las siguientes afirmaciones subraya aquellas que son siempre

verdaderas

a) |3|+ |0| = |3 + 0| b) |2|+ |3| = |2 + 3| c) | − 3|+ | − 2| = | − 3− 2|

d) |a|+ |b| = |a+ b| e) | − 2 + 3| > | − 2| − |3| f) |5− 2| > |5|+ | − 2|

g) |5 + 6| > |5|+ |6| h) |a+ b| > |a| − |b| i) |a− b| 6 |a|+ |b|

Propiedades que verifica el valor absoluto de un numero real

1. (∀a, b ∈ R)(|a · b| = |a| · |b|)

2. (∀a, b ∈ R)(b 6= 0⇒

∣∣∣ab ∣∣∣ = |a||b|

)3. (∀a, b ∈ R)

(|a| − |b| 6 |a± b| 6 |a|+ |b|

)4. (∀a, b ∈ R+)

(|a|+ |b| = |a+ b|

)5. (∀a, b ∈ R−)

(|a|+ |b| = |a+ b|

)6. (∀a ∈ R)

(|a| =

√a2)

1.1.6. Intervalos

Una forma usual de escribir y representar ciertos subconjuntos de los numeros

reales que involucran desigualdades en su definicion son los intervalos:

1. Llamamos intervalo abierto al conjunto:

]a, b[:= {x ∈ R : a < x < b}

Graficamente, este conjunto se representa en una recta numerica como sigue:

2. Llamamos intervalo cerrado al conjunto:

[a, b] := {x ∈ R : a 6 x 6 b}


12


3. Llamamos intervalo semi abierto por derecha al conjunto:

[a, b[:= {x ∈ R : a 6 x < b}


4. Llamamos intervalo semi abierto por izquierda al conjunto:

]a, b] := {x ∈ R : a < x 6 b}


5. Llamamos intervalo infinito abierto por derecha al conjunto:

]−∞, b[:= {x ∈ R : x < b}


6. Llamamos intervalo infinito abierto por izquierda al conjunto:

]a,+∞[:= {x ∈ R : x > a}


13


7. Llamamos intervalo infinito cerrado por derecha al conjunto:

]−∞, b] := {x ∈ R : x 6 b}


8. Llamamos intervalo infinito cerrado por izquierda al conjunto:

[a,+∞[:= {x ∈ R : x > a}


EJERCICIO 1.1.5 ll

1. Representa en una recta numerica los valores de x que verifican cada una de las

siguientes desigualdades:

a)x2 − 4 > 0 b)x2 − 4 6 0 c) |x| > 2 d) |2x− 1| > 0 e) |x+ 1| > 1

2. Escribe el conjunto de valores de x que representa a cada uno de los graficos

obtenidos en el problema previo

3. Escribe en notacion de intervalo cada conjunto obtenido en el problema anterior.

4. Representa en una recta numerica los valores de x que verifican cada una de las

siguientes desigualdades:

a) |x| < 4 b) |x− 5| < 4 c) |x| > 3 d) |x+ 2| > 3

5. Expresa en notacion conjuntista los siguientes intervalos indicando de que tipo de

intervalo se trata, y representalos graficamente:

a) ]−∞, 4[ b) [−12, 5[ c) [−√

13,√

13] d) [4,+∞[

14


1.1.7. Potencias de base real y exponente entero

DEFINICION 1.1.4 Sea a ∈ R y sea n ∈ N. Se define la n-esima potencia de a, la cual

denotamos por an, como sigue:

an = a · a · . . . · a︸︷︷︸n veces a

NOTACION 1.1.1 Si a 6= 0, (a−1)n = a−1 · a−1 · . . . · a−1︸︷︷︸n veces a−1

=1

a· 1

a· . . . · 1

a= a−n

Propiedades que cumplen las potencias

Sean n,m ∈ Z y sean a, b ∈ R. Entonces

1. Potencias de base 0 y 1

0n = 0 ∀n ∈ N 1n = 1 ∀n ∈ ZOBSERVACION: 00 no esta definido.

2. Multiplicacion de potencias de igual base

an · am = an+m

3. Division de potencias de igual base

an : am = an−m, con a 6= 0

En particular,

a0 = 1, con a 6= 0 ∧ a1 = a

4. Multiplicacion de potencias de igual exponente

an · bn = (ab)n

5. Division de potencias de igual exponente

an : bn = (a : b)n

6. Potencia de una potencia

(an)m = an·m

15


OBSERVACION 1.1.11 ll

•(ab

)−n=( ba

)n• a

n

bn=(ab

)n• a > 0⇒ an > 0

• (a > 0)(an = am ⇔ m = n)

• (a > 1)(m > n > 0⇔ am > an)

• (0 < a < 1)(m > n > 0⇔ an > am)

• (n ∈ Z ∧ n es par )(a 6= 0⇒ an > 0).

• (n ∈ Z ∧ n es impar )

({a > 0⇒ an > 0

a < 0⇒ an < 0

)

Prioridad de la operatoria

1o) Parentesis

2o) Potencias

3o) Multiplicacion y/o Division

4o) Adicion y/o Sustraccion

EJERCICIO 1.1.6 ll

1. Calcule

a) 25 = b) 03 = c) (−1)4 = d) (30 − 13)−2 = e) (−1)n = f)53 · 45

102 · 26=

2. Simplifique

a) [23 · 22) · 35]4 = b)[( 1

−7

)3]−1

= c)23 + 2−3

43 + 1= d) − (−2)3 − (−2)2 =

3. Encuentre los valores de n que permiten verificar la igualdad

32 · 3n = 35

16

1.2. LOS NUMEROS RACIONALES

1.2. Los numeros racionales

El conjunto de los numeros racionales se denota por Q y esta dado por:

Q ={ab/ a, b ∈ Z ∧ b 6= 0

}.

La expresiona

b, con b 6= 0, se denomina fraccion y esta se compone de dos partes: a que se

llama numerador, y b, que se llama denominador.

OBSERVACION 1.2.1a

1= a y

a

0no esta definido.

1.2.1. Comparacion entre numeros racionales

Seana

b,c

d∈ Q. Entonces

a

b=c

d⇔ a · d = b · c

Si ademas b, d ∈ Z+, entonces

a

b>c

d⇔ a · d > b · c

a

b<c

d⇔ a · d < b · c

1.2.2. Amplificacion y simplificacion de fracciones

Seana

b,c

d∈ Q. Entonces

a · nb · n

=a

b, ∀n ∈ Z \ {0}

anbn

=a

b, ∀n ∈ Z \ {0}

OBSERVACION 1.2.2 Para muchos efectos es conveniente igualar los denominadores de

las fracciones. Lo hacemos usando el concepto de m.c.m. y amplificamos y/o

simplificamos.

17


EJEMPLO 1.2.1 Si queremos ordenar de mayor a menor las fracciones

2

3,5

6,3

4

una buena forma de hacerlo es igualando los denominadores y comparar los numeradores

obtenidos. Como m.c.m.(3, 6, 4) = 12, amplificamos cada fraccion convenientemente para

que todos los denominadores sean 12, ası obtenemos:

2

3=

2 · 43 · 4

=8

12;

5

6=

5 · 26 · 2

=10

12;

3

4=

3 · 34 · 3

=9

12

Por lo tanto, como 8 < 9 < 10, concluimos que:

2

3<

3

4<

5

6.

EJERCICIO 1.2.1 ll

1. Simplifica

a)8 · 6 · 21

9 · 16 · 14= b)

25 · 32

100=

2. Compara las siguientes fracciones y ordenalas de menor a mayor

a)3

4,7

8,5

6b)

21

12,7

4,35

20c)

10

9,5

7,3

6

3. Ubica en la recta numerica los siguientes valores reales (use compas para precisar su

respuesta)−5

4,1

2,√

3,

√3

2,−1, 3

2

3,−√

2

4. Simplifica las siguientes expresiones

a) (x−3)2 = b)(5

3

)4

· 33

20·(15

4

)−1

5. Calcula

a)(√

34−23+5−1

)(40−3·3−1)= b) (2−1+3−1)(2−1−3−1)+(2−1·20)−4 : 23 = c)

(34 + 33)2

93=

6. Encuentra el valor de n que permite verificar la igualdad

a) (22 : 4) · 2n = 4 b) 2−1 · 2n + 4 = 9 · 25

18


1.2.3. Fracciones propias e impropias

Sean a, b ∈ N. Entonces:

a < b⇒ a

bes una fraccion propia

a > b⇒ a

bes una fraccion impropia

OBSERVACION 1.2.3 Toda fraccion impropia se puede escribir como numero mixto. Por

ejemplo:42 : 9 = 4

6��

Luego, tenemos que

42

9= 4

6

9(notar que 4 · 9 + 6 = 42) ∧ 42

9=

42 : 3

9 : 3=

14

3= 4

2

3⇒ 4

6

9= 4

2

3.

1.2.4. Operatoria en IQ

En Q se pueden efectuar las cuatro operaciones basicas, salvo la division por 0. En efecto:(ab

+c

d∈ Q ∧ a

b− c

d∈ Q ∧ a

b· cd∈ Q ∧ c

d6= 0⇒ a

b:c

d∈ Q

) (∀ab,c

d∈ Q

).

I ADICION Y SUSTRACCION

Seana

b,c

d∈ Q, entonces

a

b+c

d=ad+ bc

bd

OBSERVACION 1.2.4 Una forma de sumar dos o mas fracciones es encontrando el mınimo

comun multiplo (m.c.m.) entre los denominadores de todas las fracciones.

EJEMPLO 1.2.23

5+

4

15− 5

6=

3·6 + 4·2− 5·530

Notar que m.c.m(5, 15, 6) = 30, 5 en 30 cabe 6 veces, 15 en 30 cabe 2 veces y 6 en 30 cabe 5

veces.

19


IMULTIPLICACION

Seana

b,c

d∈ Q, entonces

a

b· cd

=ac

bd

I DIVISION

Seana

b,c

d∈ Q, con

c

d6= 0, entonces

a

b:c

d=ad

bc

Lenguaje basico

Sea r ∈ Q. Entonces:

I El inverso aditivo (u opuesto) de r es −r

I El inverso multiplicativo (o recıproco) de r es1

r

I La mitad de r es1

2· r =

r

2

I Un tercio de r es1

3· r =

r

3

I Cuatro quintos de r es4

5· r =

4r

5

I La sexta parte de r es1

6· r =

r

6

OBSERVACION 1.2.5 Recordar que sia

b∈ Q y m ∈ Z, entonces

m · ab

=m

1· ab

=ma

b

20


1.2.5. Transformacion de un numero decimal a fraccion

Decimal finito a fraccion

Se escribe en el numerador el numero completo pero sin la coma, y se escribe en el

denominador un 1 acompanado de tantos ceros como decimales tiene el numero

original. Por ejemplo:

0, 075 =75

1000=

25 · 325 · 40

=3

40.

Decimal periodico a fraccion

Se escribe en el numerador la diferencia entre el numero completo, sin la coma, y la parte

entera del numero original, y se escribe en el denominador igual cantidad de nueves que

la cantidad de cifras periodicas que tiene el numero original. Por ejemplo:

3, 12 =312− 3

99=

309

99=

3 · 103

3 · 33=

103

33.

Decimal semiperiodico a fraccion

Se escribe en el numerador la diferencia entre el numero completo, sin la coma, y el

numero que antecede al perıodo, sin la coma, y se escribe en el denominador igual

cantidad de nueves que la cantidad de cifras periodicas que tiene el numero original

acompanado de tantos ceros como cifras tiene el anteperıodo. Por ejemplo:

0, 2135 =2135− 21

9900=

2114

9900=

2 · 1057

2 · 4950=

1057

4950.

EJERCICIO 1.2.2

1. Calcula

a)2

3· −3

5:

4

5−(− 1− 1

−4

)+

2

5· 10

4: 2 b) 4−

1− 1

3

1− 2

1− 2

5

c)

2

3· 15

8− 3

41

2− 1

3

d) 0, 27 + 0, 45

21


2. En una biblioteca existen 210 libros dedicados a cuatro ramas: Ciencias Naturales,

Historia, Matematicas y Lenguaje. Un tercio de los libros estan dedicados a Lenguaje,

tres septimas partes a Historia, y la sexta parte a Matematica. ¿Cuantos libros estan

dedicados a Ciencias Naturales?

3. Calcula

a)2

3:

5

6· 12

15−(2

3− 1

4:

5

4

)− 2

2

5b)

1

2−

2− 3

4

3− 1

4

c)

4

5· 25

2− 3

4:

6

82

5:

3

10− 1

3· 6

4

d) 0, 3 · 0, 15

4. Pedro desea comprar 2 kilogramos de cacao. Regresa desde un supermercado con 5

paquetitos de1

8kg., 3 de

1

4kg. y 1 de

1

2kg. ¿Cuantos kilogramos le faltaron para

completar los 2 kilogramos?

1.3. Razones, proporciones y porcentaje

1.3.1. Razones

DEFINICION 1.3.1 Una razon entre dos cantidades es una comparacion por cuociente

entre ellas. Si a y b son las cantidades y queremos comparar a con respecto a b mediante

una razon, escribimos

a : b oa

b

y leemos: “a es a b”. En este caso, a se denomina antecedente y b se denomina consecuente.

EJERCICIO 1.3.1 ll

1. En una granja hay patos, gallinas y pavos que suman en total 600 aves. Si hay 240

patos y la razon entre los pavos y las gallinas es 7 : 3, entonces ¿cuantos pavos hay

en la granja?

2. Camila es 4 anos mayor que Javiera. Si actualmente sus edades estan en la razon

3 : 5, ¿que edad tiene Camila?

22

1.3. RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJE

1.3.2. Proporciones

DEFINICION 1.3.2 Una proporcion es una igualdad entre dos razones. Si las razones

iguales son a : b y c : d, entonces escribimos

a : b = c : d oa

b=c

d

y leemos: “a es a b como c es a d”; a y d se denominan extremos; b y c se denominan medios.

Propiedad fundamental de las proporciones

En toda proporcion el producto de los medios es igual al producto de los extremos; ası:

a : b = c : d⇔ a

b=c

d⇔ ad = bc.

OBSERVACION 1.3.1 La proporcion a : b = c : d puede ser vista como una igualdad entre

fracciones. Desde este punto de vista:

I existe una constante k que corresponde al valor numerico del cuociente entre a y b (o

entre c y d). Mas aun,a = kb y c = kd.

La constante k se denomina constante de proporcionalidad.

I existe una nueva proporcion, a saber:a

a+ b=

c

c+ d.

OBSERVACION 1.3.2 Cuando tenemos una igualdad entre mas de dos razones hablamos

de serie de razones. Por ejemplo: a : x = b : y = c : z son tres razones iguales, esto se puede

escribir en forma compacta como sigue:

a : b : c = x : y : z.

En particular lo siguiente vale:a+ b+ c

x+ y + z=a

x=b

y=c

z= k.

EJERCICIO 1.3.2 ll

1. Hallar el valor de x en la proporcion5

2x+ 5=

3

x+ 4.

2. Las edades de Juan, Diego y Alonso estan en la razon 3 : 5 : 4. Si sus edades suman

96 anos, ¿que edad tiene Alonso?

23


1.3.3. Proporcionalidad directa

Si A y B representan valores variables, diremos que A es directamente proporcional a B

si la razon entre dos valores cualesquiera de A es igual a la razon de los correspondientes

valores de B.

Equivalentemente, dos variables A y B son directamente proporcionales si el coeficiente

entre ellas es constante. Este coeficiente, que denotamos k, corresponde a la constante de

proporcionalidad.

EJEMPLO 1.3.1 Si cada uno de los DVD’s de una coleccion de un total de 20 cuesta $2.500,

podemos escribir una tabla de precios que indique los valores de 1, 2, 3, . . . , 20 DVD’s.

Numero de DVD’s 1 2 3 . . . 20

Precio en $ 2.500 5.000 7.500 . . . 50.000

Claramente, el numero de DVD’s es directamente proporcional con el precio que se paga

por ellos. Aquı la constante de proporcionalidad es1

2500= 0, 0004.

OBSERVACION 1.3.3 En una proporcion directa, ambas variables aumentan por un factor

comun o ambas variables disminuyen por a un factor comun.

Representacion grafica de dos variables directamente proporcionales

Si A y B son dos variables directamente proporcionales, de manera queA

B= k, donde

k es la constante de proporcionalidad entreA yB, entonces en particularA = k ·B. Luego,

podemos representar esta situacion en un grafico en forma de recta (o puntos sobre una

recta) que parte en el origen y tiene pendiente k. En general, si

A

B=a1

b1=a2

b2=a3

b3= . . . =

anbn

= k,

entonces el grafico asociado serıa como el de la figura a continuacion:

24


EJERCICIO 1.3.3 ll

1. Si m cuadernos de un mismo tipo cuestan $P . ¿Cuanto costaran n de esos mismos

cuadernos?

2. Si A varıa proporcionalmente con respecto a B, entonces de acuerdo a la tabla, ¿cual

es el valor de2

5y − x2?

A x 7 12

B 15 35 y

1.3.4. Proporcionalidad inversa

Si A y B representan valores variables, diremos que A es inversamente proporcional a B

si la razon entre dos valores cualesquiera de A es igual a la razon inversa de los

correspondientes valores de B.

Equivalentemente, dos variables A y B son inversamente proporcionales si producto

entre ellas es constante. Este producto, que denotamos k, corresponde a la constante de

proporcionalidad inversa.

EJEMPLO 1.3.2 Si 8 obreros realizan un trabajo en 400 dıas, es evidente que mientras mas

obreros comiencen a trabajar, menos dıas se demoraran en realizar el mismo trabajo; luego,

podemos escribir una tabla que muestre esta situacion

Numero de Obreros 8 10 16 . . . 32

Dıas de trabajo 400 320 200 . . . 100

25


Claramente, el numero de obreros es inversamente proporcional a los dıas trabajados para

terminar la obra. En el caso particular del ejemplo, la constante de proporcionalidad es

8 · 400 = 10 · 320 = 16 · 200 = . . . = 3.200.

OBSERVACION 1.3.4 En una proporcion inversa, si una variable aumenta por un factor la

otra variable disminuye por el recıproco del mismo factor. De igual forma, si una variable

disminuye por un factor la otra variable aumenta por el recıproco del mismo factor.

Representacion grafica de dos variables inversamente proporcionales

Si A y B son dos variables inversamente proporcionales, de manera que A · B = k,

donde k es la constante de proporcionalidad inversa entre A y B, entonces en particular

A =k

B. Luego, podemos representar esta situacion en un grafico en forma de una

hiperbola equilatera (o puntos sobre tal curva). En general, si

A ·B = a1 · b1 = a2 · b2 = a3 · b3 = . . . = an · bn = k,

entonces el grafico asociado serıa como el de la siguiente figura a continuacion:

EJERCICIO 1.3.4 ll

1. Se sabe que las variables A y B son inversamente proporcionales y que cuando A

vale 40, B vale 60. Cuando B vale 80, ¿cuanto vale A?

2. Si 6 obreros pintan una casa en 20 dıas. ¿En cuantos dıas pintan la misma casa 12

obreros?

26


1.3.5. Tanto por ciento. Porcentaje

La expresion matematica p% se lee “p por ciento” y equivale a la razonp

100.

Por otro lado, el porcentaje corresponde a un termino del caso particular de una

proporcionalidad directa de la forma:

a

c=

p

100.

Especıficamente, en la proporcion previa a es el porcentaje, c es la cantidad de referencia y p

es el tanto por ciento.

OBSERVACION 1.3.5 La frase: “el p% de c es a” se interpreta comop

100· c = a.

TABLA DE PORCENTAJES NOTABLES

Tanto por ciento de c Fraccion irreductible Decimal

1 % de c1|

100|· c 0, 01 · c

10 % de c1|

10|· c 0, 1 · c

12, 5 % de c1|

8|· c 0, 125 · c

20 % de c1|

5|· c 0, 2 · c

25 % de c1|

4|· c 0, 25 · c

33, 3 % de c1|

3|· c 0, 3 · c

50 % de c1|

2|· c 0, 5 · c

66, 6 % de c2|

3|· c 0, 6 · c

75 % de c3|

4|· c 0, 75 · c

EJERCICIO 1.3.5 Encuentra el valor de x que corresponda

a)x es el 15 % de 80 b) El x% de 45 es 15 c) El 40 % de x es 350

27


Aumento porcentual

Sea c una cantidad fija. Si aumentamos c en su p%, obtenemos:

c ·(

1 +p

100

)

Disminucion porcentual

Sea c una cantidad fija. Si disminuimos c en su p%, obtenemos:

c ·(

1− p

100

)

Reajuste

Una cantidad c a la cual se le aplica un reajuste de un d% corresponde a un aumento

porcentual si d > 0, o a una disminucion porcentual si d < 0 (o bien al hecho que se

diga que el reajuste es negativo).

EJERCICIO 1.3.6 ll

1. Un tienda esta liquidando desde hoy todos sus productos de ropa en un 20 % por fin

de temporada. Si la tienda tiene una polera a $30.000, ¿cuanto costaba esta ayer?

2. El dueno de una empresa decide subir los sueldos de sus empleados en un 12, 5 %. Si

uno de sus empleados gana $120.000 mensuales, ¿cual sera su nuevo sueldo

mensual?

Porcentajes sucesivos

El a% del b% de una cantidad c corresponde a la cantidad

a

100· b

100· c

EJERCICIO 1.3.7 ll

1. El a% del 22 % de 600 es 2046. ¿Cuanto vale a?

2. El 10 % del 15 % de x es 450. ¿Cuanto vale la mitad de x?

28

Capıtulo 2

Algebra elemental I

El algebra es una generalizacion del estudio de los numeros reales que

incluye cantidades variables que se representan por letras.

2.1. Expresiones algebraicas

Una expresion algebraica es una combinacion de numeros y letras unidas o separadas

entre sı por una o mas operaciones matematicas. Por ejemplo, las siguientes son algunas

expresiones algebraicas.

1) 5x 2) a2 + b3 3) r2 − 3s+2

3rs3.

Las operaciones multiplicacion y/o division unen numeros y letras en lo que llamamos

termino de una expresion algebraica. Luego, una expresion algebraica esta compuesta por

uno o mas terminos separados por las operaciones adicion y/o sustraccion. Por ejemplo:

1) 3x tiene un termino 2) x2 +2y tiene dos terminos 3) a+ab−c tiene tres terminos.

La parte numerica de un termino se denomina coeficiente numerico y la parte literal, factor

literal. Por ejemplo:

En el termino√

2x2y el coeficiente numerico es√

2 y el factor literal es x2y.

2.1.1. Monomios, binomios, trinomios y polinomios

Una expresion algebraica puede clasificarse de acuerdo al numero de terminos que

posee. Ası, llamamos:

I monomio a una expresion algebraica de un termino

29

CAPITULO 2. ALGEBRA ELEMENTAL I

I binomio a una expresion algebraica de dos terminos

I trinomio a una expresion algebraica de tres terminos

I polinomio a una expresion algebraica de uno o mas terminos.

2.1.2. Valoracion de expresiones algebraicas

Cuando le asignamos un valor numerico a las letras de los factores literales de cada

termino de una expresion algebraica decimos que estamos valorando tal expresion.

EJERCICIOS 2.1.1

1. Sea a =√

2 y sea b =√

3; entonces ¿cual es el valor de a4 − b2?

2. Se define la operacion a~ b =b− aab

. ¿Cual es el valor de 0, 0001~ (−0, 0002)?

2.2. Adicion y multiplicacion de expresiones algebraicas

2.2.1. Adicion de expresiones algebraicas

Terminos semejantes

Dos o mas monomios son semejantes si sus partes literales son iguales. Por ejemplo,

los monomios 3x2y y 5x2y son semejantes, pero el monomio 3xy2 no es a ninguno de

ellos pues su parte literal no coincide con la parte literal de los otros.

Reduccion de terminos semejantes

Uno o mas monomios, se pueden sumar si ellos son semejantes. La operacion se efectua

sumando los coeficientes numericos respectivos, conservando el termino semejante. Los

terminos de una suma que no sean semejantes no se pueden reducir. Por ejemplo:

3xy−6x2+12xy+6x−4x2−5xy = (3 + 12− 5)xy +(−6− 4)x2+6x = 10xy−10x2+6x

30

2.2. ADICION Y MULTIPLICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

2.2.2. Multiplicacion de expresiones algebraicas

Producto de monomio por monomio

Para multiplicar dos monomios, se multiplican los coeficientes numericos entre sı y los

factores literales entre sı, aplicando las propiedades de las potencias cuando corresponda.

Por ejemplo:

4x2y3z · 3x3y2z2 = 12x5y5z3.

Producto entre polinomios

Para multiplicar dos polinomios, debemos aplicar la propiedad distributiva

de la multiplicacion sobre la adicion, tal como se hace con los numeros. El producto se

hace termino a termino y al finalizar se reducen los terminos semejantes. Por ejemplo:

(x− 2y)(3x+ y − z) = x · 3x+ x · y + x · (−z) + (−2y) · 3x+ (−2y) · y + (−2y) · (−z)

= 3x2 + xy − xz − 6xy − 2y2 + 2yz

= 3x2 − 2y2 − 5xy − xz + 2yz

EJERCICIOS 2.2.1 Desarrolla las siguientes operaciones entre expresiones algebraicas y

reduce los terminos semejantes

1. (3x− 2y)(4x− 5y) =

2. (−0, 45u− 0, 3v + 8uv + 3) + (3− 2uv + v − 0, 1u) =

3.(3

4ab3c−1

)(16

15a2b−2c4

)=

4. (2x+ 1)(xn − 2xn+1 + 2xn+2 − 2xn+3) =

5. (3xy + x2 − 2x2y)− (y2 − 3x2y + x2 − 3xy) =

2.2.3. Uso de parentesis

Cuando tenemos un signo + o − antecediendo a un parentesis, conviene eliminar el

parentesis multiplicando este signo por cada termino al interior del parentesis. Si hay

varios parentesis al interior de otro, conviene aplicar el criterio previo eliminando los

31


parentesis desde el que esta mas al interior hacia afuera, reduciendo terminos semejantes

en la medida de lo posible. Por ejemplo:

3x− {5 + [4− (2− x) + x]} = 3x− {5 + [4− 2 + x+ x]}

= 3x− {5 + [2 + 2x]}

= 3x− {5 + 2 + 2x}

= 3x− 5− 2− 2x

= x− 7

EJERCICIOS 2.2.2 Reduce las siguientes expresiones algebraicas:

1. −2x− {3x− (2x+ 3)− [4− (3− x) + x] + 5} =

2. 2x− y + {4x− (2x+ 3y)− [4y − {(3y − 2x)− (3x+ y)}] + y} =

3. −(3− 0, 2x2) + {x2 − 3, 2x− [(x+ 1)(0, 2x− 3) + x2]} =

2.2.4. Productos notables

Un producto notable es una multiplicacion algebraica que tiene un desarrollo de

formulacion bien caracterizada.

TABLA DE PRODUCTOS NOTABLES

Producto Notable Expresion Desarrollo

Producto de binomios con termino comun (x+ a)(x+ b)||| x2 + (a+ b)x+ ab

Cuadrado de binomio (a± b)2||| a2 ± 2ab+ b2

Suma por diferencia (a+ b)(a− b)||| a2 − b2

Cubo de binomio (a± b)3||| a3 ± 3a2b+ 3ab2 ± b3

Cuadrado de trinomio (a+ b+ c)2||| a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc

EJERCICIOS 2.2.3 Escribe el producto correspondiente sin desarrollar

1. (x+ 4y)(x− 5y) =

2. (0, 2a+ 0, 1)(0, 2a− 0, 01) =

3. (u2 + v)2 =

32

2.3. FACTORIZACION Y SIMPLIFICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

4. (na −mb)2 =

5. (u+ v)2(u− v)2 =

6. (0, 3a2b− 0, 1b2)(0, 1b2 + 0, 3a2b) =

2.3. Factorizacion y simplificacion de expresiones

algebraicas

2.3.1. Factorizacion de expresiones algebraicas

La factorizacion de una expresion algebraica consiste en escribir esta como un productode otras expresiones algebraicas. En particular, decimos que los factores son primos si ellosno se pueden continuar factorizando.

TABLA DE FACTORIZACIONES NOTABLES

Expresion Nombre Factorizacion

xa+ xb+ xc Polinomio con factor comun x(a+ b+ c)|||x2 + bx+ c (Trinomio) (x+ p)(x+ q) con p+ q = b, pq = c|||x2 ± 2ax+ a2 Trinomio cuadrado perfecto ||| (x± a)2

x2 − a2 Diferencia de cuadrados ||| (x+ a)(x− a)

x3 − a3 Diferencia de cubos ||| (x− a)(x2 + ax+ a2)

x3 + a3 Suma de cubos||| (x+ a)(x2 − ax+ a2)

ax2 + bx+ c (Trinomio con factor)|||(ax+ p)(ax+ q)

a|||||

|||con p+ q = b, pq = ac

ax+ bx+ ay + by (Caso especial)||| (a+ b)(x+ y)

2.3.2. Simplificacion de expresiones algebraicas

La simplificacion de expresiones algebraicas se realiza cuando tenemos un cuociente

entre dos expresiones algebraicas las que al ser factorizadas poseen factores comunes

sobre los cuales se aplican las reglas de las potencias. Por ejemplo:

x2 + 4x+ 4

x2 − 4=

(x+ 2)2

(x+ 2)(x− 2)=x+ 2

x− 2.

33


EJERCICIOS 2.3.1

1. Simplifica la expresion algebraica2xy − 6x2yz

2x

2. Factoriza la expresion a2b2 + 4ab3 + 4b4

3. Si 4=z2 + 5z + 6, 5=z2 − z − 6, B=z2 + 4z + 4 y C=z2 − 9, entonces ¿cuanto

vale4 · 5C ·B

?

4. Factoriza la expresion 8y3 − 24y2 − 2y + 6

2.4. M.C.D. y m.c.m. entre expresiones algebraicas.

Para calcular el Maximo Comun Divisor (M.C.D.) entre dos o mas expresiones algebraicas

efectuamos el producto de todos los factores primos comunes entre las expresiones

involucradas con el menor exponente observado. Esto es lo mismo que hacıamos con los

numeros. Por ejemplo:

El M.C.D. entre x3 − x2 = x2(x− 1) y x3 − 2x2 + x = x(x− 1)2 es x(x− 1).

Para calcular el Mınimo Comun Multiplo (m.c.m.) entre dos o mas expresiones algebraicas

descomponemos cada expresion en factores primos y multiplicamos los factores primos

de todas las expresiones involucradas con el mayor exponente observado. Esto es lo

mismo que hacıamos con los numeros. Por ejemplo:

El m.c.m entre x3 − x2 = x2(x− 1) y x3 − 2x2 + x = x(x− 1)2 es x2(x− 1)2.

EJERCICIOS 2.4.1

1. Si A =1

xy B =

1

y. ¿Cual es el valor de Ay −Bx?

2. Si u=x

x+1, v=

1

x−1, w=

x

x2−1y t=

x+1

x−1, entonces ¿cual es el valor de (u+v−2w)t?

3. Simplificax2 + 2xy + y2

x2 − y2· x

2 − 2xy + y2

x+ y

4. Simplificau2 + 3u+ 2

u2 − 3u− 10:u2 + 2u+ 1

u2 − 2u− 15

34

2.5. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA

2.5. Ecuaciones de primer grado con una incognita

Una ecuacion es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que contienen terminos

desconocidos llamados incognitas.

Una ecuacion de primer grado con una incognita es una ecuacion que se puede reducir a la

forma:

ax+ b = 0

donde a y b son numeros reales y x es la incognita a determinar.

Una raız o solucion de una ecuacion corresponde a un valor de la incognita que permite

verificar la igualdad.

La reunion de las posibles soluciones de una ecuacion corresponde a su conjunto solucion.

Si dos o mas ecuaciones tienen exactamente el mismo conjunto solucion, entonces decimos

que ellas son equivalentes.

2.5.1. Resolucion de una ecuacion de primer grado con una incognita

Para resolver una ecuacion de primer grado con una incognita despejamos la incognita.

Para ello operamos con operaciones inversas a ambos lados de la igualdad, para que esta

se mantenga, hasta conseguir aislar la incognita.

EJEMPLOS 2.5.1 Resuelve las siguientes ecuaciones para x.

1. 4x+ 16 = 14

2. (x+ 3)2 = (x− 2)(x+ 1)

3. (x− 3)(x+ 1) = (x+√

3)(x−√

3)− 2x

4. (x+ 1)2 − 2x = x2

5. a)x+ a

5+x+ b

10= 1

b) ¿Cuanto vale x si a = 5 y b = 0?

6. a) (x− a)(x+ a) = (x− 2a)2 [a 6= 0]

b) ¿Cual debe ser el valor de a para que la solucion en a) sea 12?

35


Soluciones.

1. 4x+ 16 = 14 ⇒ 4x = 14− 16

⇒ 4x = −2

⇒ x = −2

4= −1

2�

2. (x+ 3)2 = (x− 2)(x+ 1) ⇒ x2 + 6x+ 9 = x2 − x− 2

⇒ 6x+ 9 = −x− 2

⇒ 7x = −11

⇒ x = −11

7�

3. (x− 3)(x+ 1) = (x+√

3)(x−√

3)− 2x ⇒ x2 − 2x− 3 = x2 − 3− 2x

⇒ 0 = 0

Como hemos llegado a un resultado que es verdadero, tenemos que

∴ cualquier x ∈ IR es solucion de la ecuacion. �

4. (x+ 1)2 − 2x = x2 ⇒ x2 + 2x+ 1− 2x = x2

⇒ 1 = 0

Como hemos llegado a un resultado que es falso, tenemos que

∴ ningun x ∈ IR es solucion de la ecuacion. �

5. a)x+ a

5+x+ b

10= 1 ⇒ 2(x+ a) + (x+ b)

10= 1

⇒ 2x+ 2a+ x+ b = 10

⇒ 3x = 10− 2a− b

⇒ x =10− 2a− b

3�

b) Cuando a = 5 y b = 0, obtenemos x =10− 2a− b

3=

10− 10− 0

3= 0. �

6. a) (x− a)(x+ a) = (x− 2a)2 ⇒ x2 − a2 = x2 − 4ax+ 4a2

⇒ 0 = −4ax+ 5a2

⇒ 4ax = 5a2

⇒ x =5a2

4a(pues a 6= 0)

⇒ x =5a

4�

b) x =1

2⇔ 5a

4=

1

2⇔ a =

4

10=

2

5�

36


2.5.2. Analisis de las soluciones de una ecuacion de primer grado con

una incognita

Una ecuacion de primer grado de la forma

ax+ b = 0

puede no tener solucion, tener solucion unica o poseer infinitas soluciones, dependiendo

de los valor de a y b:

I Si a 6= 0, la ecuacion tiene solucion unica; a saber: x =−ba

I Si a = 0 y b 6= 0, la ecuacion NO tiene solucion; pues tendrıamos

0 · x+ b = 0⇔ 0 + b = 0⇔ b = 0

que es una contradiccion con el hecho que b 6= 0.

I Si a = b = 0, la ecuacion tiene infinitas soluciones; a saber: todoR, pues tendrıamos

0 · x+ 0 = 0⇔ 0 = 0

lo que es siempre verdadero cualquiera sea x ∈ R.

EJERCICIOS 2.5.1

1. ¿Cual debe ser el valor de a en la ecuacion ax + 5 = 2x + 3 para que esta no tenga

solucion?

2. ¿Que valor de a permite que la ecuacion a2x − 3 = 2ax − (x + 3a) tenga infinitas

soluciones?

2.5.3. Ecuaciones de primer grado con valor absoluto

Los siguientes ejemplos corresponden a ecuaciones de primer grado con valor absoluto.

Ellos se han resuelto mediante un uso estricto de la definicion de valor absoluto, con la

finalidad de observar que siempre es posible descartar algunos de los casos que se

originan por la aplicacion directa de este concepto en la resolucion de cualquier

ejercicio similar a alguno de los ejemplos planteados (vea las observaciones despues de

cada ejemplo).

37


EJEMPLO 2.5.1

1. Resuelve la ecuacion |2x− 5| = 12.

Solucion.

|2x− 5| =

{2x− 5 si 2x− 5 > 0

−(2x− 5) = −2x+ 5 si 2x− 5 < 0

Luego, hacemos el estudio en dos casos:

• PRIMER CASO:

2x− 5 > 0⇒ |2x− 5| = 2x− 5 ∧ x >5

2

Luego, la ecuacion a resolver es:

2x− 5 = 12⇔ 2x = 17⇔ x =17

2

(con x >

5

2

)• SEGUNDO CASO

2x− 5 < 0⇒ |2x− 5| = −(2x− 5) ∧ x <5

2

Luego, la ecuacion a resolver es:

−(2x− 5) = 12⇔ 2x− 5 = −12⇔ x = −7

2

(con x <

5

2

)CONCLUSION Por lo tanto, el conjunto solucion de la ecuacion es

S =

{17

2,−7

2

}�

OBSERVACION 2.5.1 Para resolver una ecuacion de la forma |ax+b| = c, procedemos

como sigue:

1o. Chequeamos que c sea mayor o igual a 0, pues por definicion un valor absoluto

es mayor o igual a 0. En caso de que c sea negativo, entonces la ecuacion no tendra

solucion y escribimos su conjunto solucion de la siguiente forma: S = ∅.

2o. Si c > 0, entonces resolvemos las ecuaciones:

ax+ b = c ∧ ax+ b = −c

y el conjunto solucion S resultante estara formado los valores reales correspondientes

a las soluciones de cada una de las ecuaciones previas.

38


2. Resuelve la ecuacion |x− 3| = |2x+ 5|.

Solucion.

|x− 3| =

{x− 3 si x− 3 > 0

−(x− 3) = −x+ 3 si x− 3 < 0

|2x+ 5| =

{2x+ 5 si 2x+ 5 > 0

−(2x+ 5) = −2x− 5 si 2x+ 5 < 0

Luego, hacemos el estudio en cuatro casos:

• PRIMER CASO

x− 3 > 0 ∧ 2x+ 5 > 0 ⇔(x > 3 ∧ x > −5

2

)⇒ x > 3

⇒ |x− 3| = x− 3 ∧ |2x+ 5| = 2x+ 5

Luego, la ecuacion a resolver es para x tales que (x > 3):

x− 3 = 2x+ 5⇔ x− 2x = 5 + 3⇔ −x = 8⇔ x = −8

Pero x > 3 y x = −8 es imposible, ası que en este caso no hay solucion.

• SEGUNDO CASO

(x− 3 > 0 ∧ 2x+ 5 < 0)⇔(x > 3 ∧ x < −5

2

)Notar que x > 3 y x < −5

2es imposible, ası que en este caso tampoco hay solucion.

• TERCER CASO

(x− 3 < 0 ∧ 2x+ 5 > 0) ⇔(x < 3 ∧ x > −5

2

)⇔(−5

26 x < 3

)⇔ (|x− 3| = −(x− 3) ∧ |2x+ 5| = 2x+ 5)

Luego, la ecuacion a resolver es para x tales que(−5

26 x < 3

):

−(x− 3) = 2x+ 5⇔ −x+ 3 = 2x+ 5⇔ −x− 2x = 5− 3⇔ −3x = 2⇔ x = −2

3

Notar que −52< −2

3< 3

• CUARTO CASO

(x− 3 < 0 ∧ 2x+ 5 < 0) ⇔(x < 3 ∧ x < −5

2

)⇒(x < −5

2

)⇔ (|x− 3| = −(x− 3) ∧ |2x+ 5| = −(2x+ 5))

39


Luego, la ecuacion a resolver es para x tales que(x < −5

2

):

−(x− 3) = −(2x+ 5)⇔ x− 3 = 2x+ 5⇔ x− 2x = 5 + 3⇔ −x = 8⇔ x = −8

Notar que −8 < −52

CONCLUSION Por lo tanto, el conjunto solucion de la ecuacion es

S =

{−8,−2

3

}�

OBSERVACION 2.5.2 Para resolver una ecuacion de la forma |ax + b| = |cx + d|,procedemos como sigue:

Resolvemos las ecuaciones

ax+ b = cx+ d ∧ ax+ b = −cx− d.

El conjunto solucion S resultante estara formado por los valores reales correspondientes

a las soluciones de cada una de las ecuaciones previas.

OBSERVACION 2.5.3 Para resolver una ecuacion de la forma |ax + b| = cx + d, lo

hacemos exactamente igual que para resolver la ecuacion |ax + b| = |cx + d|, con la

salvedad de que ahora es imprescindible chequear que los valores de x encontrados

verifiquen realmente la igualdad |ax+ b| = cx+ d.

EJERCICIOS 2.5.2 Resuelve las siguientes ecuaciones con valor absoluto

1. |x− 5| = 16

2. |4x− 12| = 16

3. |3x− 13| = |4x+ 21|

4. |4x+ 3| = |5− 2x|

5. |5x− 6| = 3x+ 1

6. |x+ 8| = x

7. |x+ 8| = −x

8. | − x− 8| = x

9. x+ |3x+ 2| = −5x+ 3

10. x+ |x+ 3| = 2x− 5 + |x+ 1|

40

2.6. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA

2.6. Inecuaciones de primer grado con una incognita

Una inecuacion es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas que contienen

terminos desconocidos llamados incognitas.

Una inecuacion de primer grado con una incognita es una inecuacion que se puede reducir a

la forma:

ax+ b 6 0 ∨ ax+ b < 0 ∨ ax+ b > 0 ∨ ax+ b > 0

donde a y b son numeros reales y x es la incognita a determinar.

Una raız o solucion de una inecuacion corresponde a un valor de la incognita que permite

verificar la desigualdad.

La reunion de las posibles soluciones de una inecuacion corresponde a su conjunto solucion.

Si dos o mas inecuaciones tienen exactamente el mismo conjunto solucion, entonces

decimos que ellas son equivalentes.

2.6.1. Resolucion de una inecuacion de primer grado con una incognita

Para resolver una inecuacion de primer grado con una incognita, despejamos la

incognita. Para ello operamos con operaciones inversas a ambos lados de la desigualdad,

teniendo especial cuidado con los inversos multiplicativos negativos, pues al multiplicar

por un numero negativo en una desigualdad, esta cambia de sentido.

EJEMPLO 2.6.1 Resuelve la desigualdad: 5x+ 1 > 3x− 3

Solucion. 5x+ 1 > 3x− 3 ⇒ 5x+ 1− (3x− 3) > 0

⇒ 5x+ 1− 3x+ 3 > 0

⇒ 2x+ 4 > 0

⇒ 2x > −4

⇒ x > −2

Luego el conjunto solucion es: S = {x ∈ IR/x > −2}.

41


EJERCICIOS 2.6.1

1. Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) 6x− 2 6 3x+ 10

b) 2 64x− 2

36 6

c) x+ < 4− x+ 2

2. Si x satisface la desigualdad7

4< x <

9

4. Determina los posibles valores de y, cuando

y = 4x− 8

2.6.2. Sistemas de inecuaciones con una incognita

Un sistema de inecuaciones de primer grado con una incognita esta formado por

varias inecuaciones de primer grado con una misma incognita. El sistema se resuelve

como sigue: resolvemos por separado cada inecuacion y luego intersecamos todos los

conjuntos solucion para obtener el conjunto solucion del sistema.

EJERCICIOS 2.6.2 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones

1.

{x > 3

x < 4

2.

x > 2

−7 < x 6 4

x 6 −6

3.

2x− 7 > 3

5x− 2 < 4x+ 1

x > 100

4.

{5x 6 3x+ 2

x > 1

42


2.6.3. Inecuacion de primer grado con valor absoluto

Los siguientes ejemplos corresponden a inecuaciones de primer grado con valor

absoluto. Ellos se han resuelto mediante un uso estricto de la definicion de valor absoluto,

con la finalidad de observar que siempre es posible descartar algunos de los casos que

se originan por la aplicacion directa de la definicion de valor absoluto en la resolucion

de cualquier ejercicio similar a alguno de los ejemplos planteados (vea las observaciones

despues de cada ejemplo).

EJEMPLO 2.6.2

1. |2x− 3| < 5

Solucion. Por definicion de valor absoluto:

|2x− 3| =

{2x− 3 si 2x− 3 > 0

−(2x− 3) si 2x− 3 < 0


• PRIMER CASO

(2x− 3 > 0⇔ x >

3

2

)⇒ |2x− 3| = 2x− 3

Luego la inecuacion a resolver es para x tales que x > 32:

2x− 3 < 5⇒ 2x < 5 + 3⇒ 2x < 8⇒ x < 4

Notar que, x > 32∧ x < 4⇔ 3

26 x < 4, se representa en la recta real como:

• SEGUNDO CASO

(2x− 3 < 0⇔ x <

3

2

)⇒ |2x− 3| = −(2x− 3) = −2x+ 3

Luego la inecuacion a resolver es para x tales que x < 32:

−2x+ 3 < 5⇒ −2x < 5− 3⇒ −2x < 2⇒ x > −1

Notar que, x < 32∧ x > −1⇔ −1 < x < 3

2, se representa en la recta real como:

43


CONCLUSION Por lo tanto, el conjunto solucion de la inecuacion es

S =

]−1,

3

2

[∪[

3

2, 4

[=]− 1, 4[ �

que corresponde en la recta numerica a

OBSERVACION 2.6.1 Para resolver una inecuacion de la forma |ax + b| < c,

procedemos como sigue:

1o. Chequeamos que c sea mayor que 0, pues por definicion un valor absoluto es

mayor o igual a 0. En caso de que c sea negativo o 0, entonces la inecuacion no

tendra solucion y escribimos su conjunto solucion de la siguiente forma: S = ∅.

2o. Si c > 0, entonces resolvemos la inecuacion

−c < ax+ b < c

El conjunto solucion S resultante estara formado los valores reales correspondientes

a las soluciones de la desigualdad previa.

2. Resolver la inecuacion |3x+ 5| > 6

Solucion. Por definicion de valor absoluto:

|3x+ 5| =

{3x+ 5 si 3x+ 5 > 0

−(3x+ 5) si 3x+ 5 < 0


• PRIMER CASO

(3x+ 5 > 0⇔ x > −5

3

)⇒ |3x+ 5| = 3x+ 5

Luego la inecuacion a resolver es para x tales que x > −53:

3x+ 5 > 6⇒ 3x > 6− 5⇒ 3x > 1⇒ x >1

3

Notar que, x > −53∧ x > 1

3⇒ x > 1

3, y se representa en la recta real como:

44


• SEGUNDO CASO

(3x+ 5 < 0⇔ x < −5

3

)⇒ |3x+ 5| = −(3x+ 5) = −3x− 5

Luego la inecuacion a resolver es para x tales que x < −53:

−3x− 5 > 6⇒ −3x > 6 + 5⇒ −3x > 11⇒ x < −11

3

Notar que, x < −53∧ x < −11

3⇒ x < −11

3, y se representa en la recta real como:

CONCLUSION Por lo tanto, el conjunto solucion de la inecuacion es

S =

]−∞,−11

3

[∪]

1

3,+∞

[�

que corresponde en la recta numerica a

OBSERVACION 2.6.2 Para resolver una inecuacion de la forma |ax+b| > c, procedemos

como sigue:

1o. Si c < 0, entonces la inecuacion tendra por solucion cualquier valor real, entonces

escribimos su conjunto solucion como sigue: S = R.

2o. Si c > 0, entonces resolvemos las inecuaciones

ax+ b < −c ∧ ax+ b > c

El conjunto solucion S resultante estara formado los valores reales correspondientes

a las soluciones de la desigualdad previa.

45


OBSERVACION 2.6.3 Otra forma de resolver una inecuacion de la forma |ax+ b| > c,

es la siguiente:

1o. Resolvemos la inecuacion |ax+ b| 6 c.

2o. Las soluciones de |ax + b| > c seran todos aquellos valores reales que le faltan al

conjunto solucion de |ax+ b| 6 c para completar IR.

Por ejemplo: Si resolvemos la inecuacion |3x+5| 6 6 encontraremos que su conjunto

solucion es

S1 =

[−11

3,1

3

]Por otro lado, ya vimos que |3x+ 5| > 6 tiene por solucion a

S2 =

]−∞,−11

3

[∪]

1

3,+∞

[Finalmente observamos que

S1 ∪ S2 = IR ∧ S1 ∩ S2 = ∅.

EJERCICIOS 2.6.3

1. Resuelve la siguientes inecuaciones:

a) |7x− 3| < 6

b) |4x+ 5| 6 8

c) |3x− 4| > 34

d) |16− 5x| > 3

e) |2x− 4| < 4x+ 3

f ) |x− 5| > 1− x

2. Si y = 3x+ 5, demostrar que |x− 1| < 1

10⇒ |y − 8| < 3

10

2.7. Resolucion de problemas con enunciado

Para resolver un problema con enunciado, es conveniente seguir los siguientes pasos.

1o) Lee cuidadosamente el enunciado del problema.

46

2.7. RESOLUCION DE PROBLEMAS CON ENUNCIADO

2o) Identifica claramente el o los objetos por los cuales se pregunta y asıgnales un letra

(estas seran las incognitas).

3o) Si es necesario, dibuja una figura o grafico que represente la situacion planteada.

4o) Anota todos los datos del problema, y si corresponde, ubıcalos en el dibujo trazado.

5o) Identifica las materias o contenidos especıficos que te ayudaran a resolver tu trabajo

6o) Planifica el trabajo que realizaras, escribiendo en primer lugar las relaciones

matematicas que conectan los datos y las incognitas [ecuaciones o inecuaciones].

7o) Identifica las restricciones numericas que puedan tener las relaciones planteadas.

8o) Una vez resueltas las ecuaciones o inecuaciones que planteaste, verifica que

los valores encontrados sean realmente validos para el problema.

9o) Por ultimo, escribe tu respuesta en forma clara y precisa.

EJERCICIOS 2.7.1

1. Un hombre tiene 30 anos mas que su hijo y 25 anos menos que su padre. ¿Que edad

tiene el hombre si entre las edades de los tres suman 100 anos?

2. La diferencia entre los7

8y los

8

15de un numero es 6. ¿Cual es el numero?

3. La suma de dos numeros es 64 y su diferencia es 16. ¿Cuales son los numeros?

4. La diferencia de dos numeros es a su producto como 1 : 30. Si la suma de los valores

recıprocos de los numeros es2

15. ¿Cuales son los numeros?

5. Una Companıa fabrica termostatos. Por cada termostato, el costo combinado de la

mano de obra y del material usado es de $4; y el costo fijo de la companıa en un

mes (gastos de luz, agua, arriendo, etc.) es de $60.000. Si el precio de venta de un

termostato es de $7, ¿Cuantos termostatos debe vender la companıa para obtener

ganancia despues de 30 dıas?

6. La UTFSM esta considerando ofrecer un curso de gestion en recursos medio-

ambientales. El curso resulta economicamente factible si se matriculan al menos 30

personas pagando US$50 cada una. La UTFSM, pensando en reducir los costos de los

47


estudiantes que se matriculen, descontara US$1,25 por cada persona que se

matricule por sobre los 30. ¿Cuantas personas se deben matricular para que el

dinero recibido por concepto de matrıculas nunca sea menor que el correspondiente

a 30 personas?

7. A los pintores generalmente se les paga por hora o por obra terminada. El salario

que reciben puede afectar su velocidad de trabajo. Por ejemplo, suponga que pueden

trabajar por US$8,50 la hora, o por US$300 mas US$3 por cada hora por debajo de

40, si completan el trabajo en menos de 40 horas. Suponga que el trabajo les toma t

horas. ¿Para que valores de t el salario por hora es mejor?

8. En biologıa, la regla bioclimatica para zonas templadas establece que en primavera y

a principios de verano, fenomenos periodicos tales como la aparicion de insectos y la

maduracion de frutas se demoran, por lo general, alrededor de 4 dıas mas por cada

1.500 m de altura por sobre el nivel del mar. Esta regla es modelada por la siguiente

expresion d =4n

1.500, donde d = demora en dıas; n = cambio de altura medida en metros.

Si esta regla es valida para 0 6 n 6 4.000. Determina la mınima y la maxima demora

para que un fruto madure entre los 1.600 m y 2.300 m sobre el nivel del mar.

9. En un pequeno negocio familiar se emplean dos trabajadores que solo laboran unas

horas por semana. La cantidad total de los salarios que se pagan mensualmente a

estos empleados varıa entre los $128.000 y los $146.000. Si un empleado gana $18.000

mas que el otro, determina las posibles cantidades ganadas mensualmente por cada

empleado.

10. Una resistencia de 7 Ohm y una resistencia variable R se instalan en paralelo. La

resistencia resultante es RT =7R

7 +R. Determina los valores de la resistencia variable

R para los cuales la resistencia resultante es mayor que 3 Ohm pero menor que 5

Ohm.

48

Capıtulo 3

Geometrıa elemental I

3.1. Construcciones geometricas

A continuacion resolveremos algunos problemas de construcciones geometricas

usando solamente regla y compas. Previo a la resolucion del problema, sera necesario

elaborar un plan de trabajo que nos permita identificar los pasos necesarios para llevar

a cabo tal construccion. Finalmente, trazaremos la figura solicitada siguiendo los pasos

antes determinados, y si es necesario, haremos uso de algunos resultados conocidos de la

geometrıa plana para concluir.

EJEMPLOS 3.1.1

1. Dado el segmento AB, traza otro segmento que sea congruente a el.

2. Dado el angulo ∠ABC, dibuja otro angulo que sea congruente a el.

3. Dado el segmento AB, determina su punto medio.

4. Dado el segmento AB, traza su simetral (recta perpendicular a AB que pasa por su

punto medio).

5. Dado el angulo ∠ABC, traza su bisectriz.

6. Dados una recta L y un punto P fuera de ella, traza una recta paralela a L que pase

por P .

EJERCICIOS 3.1.1

1. Dados una recta L y un punto P fuera de ella, traza una recta perpendicular a L que

pase por P .

49

CAPITULO 3. GEOMETRIA ELEMENTAL I

2. Dado el segmento AB, traza una recta perpendicular a AB que pase por A.

3. Dados una circunferencia C y un punto P en el exterior de ella, traza las rectas

tangentes a C que pasen por P .

4. Dadas una recta L y una circunferencia C, traza una recta tangente a C que sea

paralela a L.

5. Dados los segmentos AB, CD y EF , construye un triangulo cuyos lados sean

congruentes a los tres segmentos dados.

6. Dados los angulos ∠ABC y ∠PQR, y el segmento MN , construye un triangulo tal

que posea dos angulos congruentes a los dados y el lado adyacente a estos angulos,

congruente a MN .

3.2. Congruencia de figuras planasUsualmente decimos que dos objetos son congruentes si ellos tienen exactamente la

misma forma y el mismo tamano. Por ejemplo, cuando fotocopiamos una figura al 100 %,

obtenemos otra figura que es congruente a la original. Otro ejemplo, mas sofisticado que

el anterior, lo encontramos en el area industrial: la produccion en serie de autos,

botellas, planos de casas, libros, juguetes, neumaticos, etc. . . , da como resultado una gran

cantidad de objetos congruentes entre sı. En la naturaleza tambien es posible observar

figuras congruentes: en un panal de abejas, los bordes superiores de las celdas donde se

crıan las larvas son hexagonos regulares congruentes.

El resto de este capıtulo lo dedicaremos a estudiar el concepto de congruencias de

figuras planas. Especıficamente, congruencia de polıgonos.

3.2.1. Congruencia de polıgonosIntuitivamente, dos polıgonos son congruentes si al colocar uno sobre el otro estos

coinciden exactamente. Es decir, existe una correspondencia entre los vertices de las

figuras: a cada vertice del primer polıgono le corresponde un unico vertice del segundo.

Correspondencias como esta reciben el nombre de biyectivas o biunıvocas o uno a uno. No es

difıcil observar que si dos polıgonos son congruentes, entonces los lados correspondientes

deben tener la misma longitud y los angulos correspondientes la misma medida.

50

3.2. CONGRUENCIA DE FIGURAS PLANAS

DEFINICION 3.2.1 Decimos que dos polıgonos son congruentes si es posible establecer una

correspondencia uno a uno entre sus vertices de manera tal que

1. Los lados correspondientes tengan la misma longitud.

2. Los angulos correspondientes tengan la misma medida.

o en otras palabras, dos polıgonos son congruentes si

1. Sus lados correspondientes son congruentes

2. Sus angulos correspondientes son congruentes.

EJEMPLO 3.2.1 A continuacion se muestran dos polıgonos congruentes:

A↔ P, B ↔ Q, C ↔ R, D ↔ S, E ↔ T ;

AB ∼= PQ, BC ∼= QR, CD ∼= RS, DE ∼= ST , EA ∼= TP ;

]A = ]P, ]B = ]Q, ]C = ]R, ]D = ]S, ]E = ]T.

EJEMPLO 3.2.2 A continuacion se muestran dos triangulos congruentes:

A↔ A′, B ↔ B′, C ↔ C ′;

AB ∼= A′B′, BC ∼= B′C ′, CA ∼= C ′A′;

α = α′, β = β′, γ = γ′.

OBSERVACION 3.2.1 Recordemos que un polıgono de n lados, con n > 3, se puede

descomponer en n − 2 triangulos. Luego, para estudiar la congruencia de polıgonos sera

suficiente con estudiar en detalle la congruencia de triangulos.

51


3.2.2. Congruencia de triangulos

Para indicar que4ABC y4PQR son congruentes escribimos

4ABC ∼= 4PQR.

Esto quiere decir que se tienen las siguientes correspondencias entre los vertices:

A↔ P, B ↔ Q, C ↔ R

y las siguientes congruencias:

1) entre los lados correspondientes,

AB ∼= PQ, AC ∼= PR, BC ∼= QR;

2) entre los angulos correspondientes,

∠A ∼= ∠P, ∠B ∼= ∠Q, ∠C ∼= ∠R.

Axiomas de congruencia

La reproduccion de triangulos mediante el uso de regla y compas nos permite

establecer algunas conjeturas sobre la congruencia de triangulos.

EJEMPLO 3.2.3

1. Dado un 4ABC, construye un 4DEF tal que AC = DF , ]A = ]D, AB = DE.

Luego, compara las medidas de los angulos y lados correspondientes. ¿Podemos

concluir que4ABC ∼= 4DEF ?

2. Repite el experimento utilizando otros triangulos. ¿Es cada triangulo obtenido

congruente a su correspondiente triangulo inicial? ¿Que opinas acerca de la

siguiente conjetura: “Dos triangulos son congruentes si tienen respectivamente

congruentes dos lados y el angulo comprendido entre ellos”?

Al tipo de correspondencia anterior la llamaremos correspondencia del tipo lado, angulo, lado

o simplemente LAL.

52


EJEMPLO 3.2.4

1. Dado un 4ABC, construye un 4DEF tal que ]A = ]D; AC = DF , ]C = ]F .






congruentes un lado y los dos angulos adyacentes a ese lado”

Al tipo de correspondencia anterior la llamaremos correspondencia del tipo angulo, lado,

angulo o simplemente ALA.

EJEMPLO 3.2.5

1. Dado un 4ABC, construye un 4DEF tal que AB = DE, BC = EF y CA = FD.






congruentes sus tres lados”?

Al tipo de correspondencia anterior la llamaremos correspondencia del tipo lado, lado, lado o

simplemente LLL.

Las conjeturas previas, basadas solamente en la observacion y experimentacion,

constituyen los axiomas de congruencia de triangulos. Estos axiomas son fundamentales

para continuar el desarrollo teorico de la geometrıa, pues nos permitiran probar una gran

cantidad de resultados asociados a los triangulos y, mas generalmente, a los polıgonos.

AXIOMA 3.2.1 (LAL) Dos triangulos son congruentes si tienen respectivamente

congruentes dos lados y el angulo comprendido entre ellos

AXIOMA 3.2.2 (ALA) Dos triangulos son congruentes si tienen respectivamente

congruentes un lado y los dos angulos adyacentes a ese lado

53


AXIOMA 3.2.3 (LLL) Dos triangulos son congruentes si tienen respectivamente

congruentes sus tres lados

Ahora cabe preguntarse ¿existen otras correspondencias con tres elementos primarios

del triangulo que permitan establecer congruencia? En primer lugar, notemos que las

correspondencias posibles entre elementos primarios del triangulo son: LLL, AAA, ALA,

LAL, AAL, LAA, LLA y ALL. Notemos tambien que las correspondencias AAL y LAA

son equivalentes, pues se trata de un lado, de un angulo adyacente a ese lado y de un

angulo opuesto a ese lado. De igual manera, las correspondencias ALL y LLA son

equivalentes, pues se trata de un angulo, de un lado adyacente a tal angulo y de un lado

opuesto a dicho angulo. Por lo tanto, resta estudiar las correspondencias AAA, LAA y

LLA.

Estudio de la correspondencia AAA. Observa la siguiente figura:

Como BD ‖ CE, observamos que entre 4ABD y 4ACE existe una correspondencia del

tipo AAA, pero claramente estos triangulos no son congruentes. Por lo que AAA no es

una correspondencia de congruencia entre triangulos.

Estudio de la correspondencia LLA. Observa la siguiente figura:

Como ^CBD = ^CDB, tenemos que 4DBC es isosceles de base DB, y por lo tanto

CD = CB; pero ademas, CA = CA y ^CAD = ^CAB. Luego, entre 4ABC y 4ADCexiste una correspondencia del tipo LLA, pero claramente estos triangulos no son

54


congruentes. Por lo que LLA no es una correspondencia de congruencia entre

triangulos.

Estudio de la correspondencia LAA. Observa la figura a continuacion:

Asumamos que BA = ED, ^BAC = ÊDF y ÂCB = ^DFE. Luego, 4ABC y

4DEF estan en correspondencia LLA. Si esta correspondencia no permite establecer

congruencia entre 4ABC y 4DEF , entonces sin perdida de generalidad podemos

suponer que AC < DF , y extender AC, mas alla de C, hasta un punto C ′ tal que

AC ′ = DF . Ahora, como BA = ED, ^BAC ′ = ÊDF (pues ^BAC ′ = ^BAC y por

hipotesis ^BAC = ÊDF ) y AC ′ = DF , deducimos desde el axioma LAL, que

4ABC ′ ∼= 4DEF . En particular, tendremos que ÂC ′B = ^DFE, y como por hipotesis

ÂCB = ^DFE, concluimos que ÂC ′B = ÂCB, que es una contradiccion, pues

∠ACB es un angulo exterior del4CC ′B, y como∠ACB no es adyacente con el∠AC ′B, se

deberıa verificar que ÂCB > ÂC ′B. La contradiccion viene de suponer que AC < DF ;

luego, AC = DF y como por hipotesis ^BAC = ÊDF y BA = ED, desde el axioma

LAL concluimos que 4ABC ∼= 4DEF (Notar que la demostracion es identica si

suponemos que AC > DF , solo deberıamos intercambiar en la figura y en la

demostracion C ′ por C). De esta forma hemos probado el siguiente teorema:

TEOREMA 3.2.1 (LAA) Dos triangulos son congruentes si tienen respectivamente

congruentes un lado, un angulo adyacente a aquel lado y el angulo opuesto a ese

mismo lado.

COROLARIO 3.2.1 Dos triangulos rectangulos son congruentes si tienen respectivamente

congruentes la hipotenusa y un cateto.

EJERCICIOS 3.2.1 Demostrar los siguientes teoremas

1. En todo triangulo isosceles, los angulos opuestos a los lados congruentes son

congruentes.

55


2. En todo triangulo isosceles, el segmento que une el vertice opuesto a la base con el

punto medio de esta, es perpendicular a la base.

3. Las diagonales de un rombo son perpendiculares y se cortan en su punto medio.

3.2.3. Isometrıas

En nuestro contexto, entenderemos por isometrıa a una relacion de desplazamiento de

un conjunto de puntos del plano, a otro lugar del plano, conservando las distancias y

ubicaciones respectivas entre los puntos de manera que si dos cambian de orientacion,

todos cambian de orientacion en el mismo sentido que los otros dos. Este concepto es

mucho mas general, pero para nuestros objetivos actuales sera suficiente entenderlo de

esta manera. En particular, una isometrıa aplicada a una figura dada del plano, genera otra

figura en el mismo plano la cual resulta congruente a la figura dada, pero tal vez ubicada

en otro lugar del plano y en una posicion visualmente diferente.

A continuacion estudiaremos algunos casos especiales de isometrıas en el plano

cartesiano.

DEFINICION 3.2.2 Sea O el origen en el plano cartesiano, esto es O = (0, 0). Llamamos

traslacion con direccion y sentido−→P =

−→OP y distancia d a la isometrıa T (

−→P , d) la cual hace

corresponder a cada punto Q del plano, un punto Q′ del mismo plano, de manera que

QQ′ ‖ OP y QQ′ = d. Aquı−→P se denomina vector de traslacion.Usualmente esto se denota

T (−→P , d)[Q] = Q′.

En otras palabras, las Traslaciones son isometrıas que permiten desplazar en

lınea recta todos los puntos del plano siguiendo una determinada direccion, sentido y

distancia. Ademas, es evidente que al aplicar una traslacion a una figura se obtiene otra

figura que es congruente a la original y que no importa el numero de traslaciones que se

le haga a una figura, siempre es posible reducir todas aquellas en una unica traslacion.

DEFINICION 3.2.3 Sea P un punto del plano y sea α una medida angular dada. Llamamos

rotacion con centro en P y giro angular α a la isometrıa R(P, α) la cual hace corresponder

a cada punto Q un punto Q′ del mismo plano de manera que QP = Q′P y ^QPQ′ = α.

Usualmente esto se denota R(P, α)[Q] = Q′.

En otras palabras, las Rotaciones son isometrıas que permiten girar en un angulo dado

todos los puntos del plano siguiendo un arco de circunferencia que tiene un centro bien

56


determinado. Ademas, es evidente que al aplicar una rotacion a una figura, se obtiene una

figura congruente a la original.

DEFINICION 3.2.4 Sea L una recta. Llamamos simetrıa axial de eje L a la isometrıa Sa(L)

la cual hace corresponder a cada punto Q de un plano que contiene a L, un punto Q′ del

mismo plano, de manera que la recta L se transforme en simetral deQQ′. Usualmente esto

se denota Sa(L)[Q] = Q′.

En otras palabras, las simetrıas axiales son isometrıas que invierten los puntos del plano

con respecto a una recta. Ademas, es evidente que al aplicar una simetrıa axial a una

figura, se obtiene una figura congruente a la original. Por otro lado, es usual llamar eje

de simetrıa de una figura a aquella recta que permite dividir tal figura en dos partes

simetricas con respecto a la recta.

DEFINICION 3.2.5 Sea O un punto. LLamamos reflexion central de centro O a la isometrıa

Sc(O) que hace corresponder a cada punto Q de un plano que contenga a O, un punto

Q′ del mismo plano, de manera que el punto O se transforme en el punto medio de PP ′.

Usualmente esto se denota Sc(O)[Q] = Q′.

En otras palabras, las reflexiones centrales son isometrıas que invierten los puntos del

plano sin afectar las distancias entre ellos con respecto a un punto. Ademas, es evidente

que al aplicar una reflexion central a una figura, se obtiene una figura congruente a la

original y que una reflexion con respecto a un punto O equivale a una rotacion con centro

en O de 180o.

57


EJERCICIOS 3.2.2 En la figura se observa un polıgono cuyas vertices tienen coordenadas

(−8, 1), (−8, 5), (−13, 5), (−13, 7), (−15, 4), (−12, 1).

1. Traslada el polıgono 8 unidades a la derecha, y 6 unidades hacia arriba de la actual;

o equivalentemente, realiza a la figura la traslacion T(−−−→(4, 3), 10

). Senala las

coordenadas del nuevo polıgono.

2. Rota el polıgono en 90o con centro en el origen; o equivalentemente, realiza la

rotacion R ((0, 0), 90o). Senala las coordenadas del nuevo polıgono.

3. Traza una simetrıa axial del polıgono con respecto al eje y; o equivalentemente,

realiza la simetrıa axial Sa(eje y). Senala las coordenadas del polıgono obtenido.

4. Traza una reflexion central del polıgono con respecto al origen; o equivalentemente,

realiza la reflexion Sc ((0, 0)). Senala las coordenadas del polıgono obtenido.

5. Traslada la figura de manera que quede ubicada 12 unidades a la derecha, y 9

unidades abajo de la actual; o equivalentemente, realiza a la figura la traslacion

T(−−−−→(4,−3), 15

). Senala las coordenadas de la nueva figura.

6. Rota la figura en −90o = 270o con centro en el origen; o equivalentemente, realiza la

rotacion R ((0, 0), 270o). Senala las coordenadas de la nueva figura.

7. Traza una simetrıa axial de la figura con respecto al eje x ; o equivalentemente, realiza

la simetrıa axial Sa(eje x). Senala las coordenadas de la nueva figura.

8. Traza una reflexion central de la figura con respecto al origen; o equivalentemente,

realiza la reflexion Sc ((0, 0)). Senala las coordenadas de la nueva figura.

58

3.3. SEMEJANZA DE FIGURAS PLANAS

3.3. Semejanza de figuras planas

3.3.1. Semejanza de polıgonosIntuitivamente, dos polıgonos son semejantes si es posible amplificar todos los lados

de aquel de menor tamano en una misma proporcion, manteniendo los angulos

formados entre ellos, de manera que se obtenga un polıgono congruente al otro. En otras

palabras, existe una correspondencia biunıvoca entre los vertices de los dos polıgonos (a

cada vertice del primer polıgono le corresponde un unico vertice del segundo), tal que

las medidas de los lados correspondientes estan en una misma proporcion y los angulos

correspondientes son congruentes.

59


DEFINICION 3.3.1 Dos polıgonos son semejantes si existe una correspondencia uno a uno

entre sus vertices de manera tal que

1) las medidas de los lados correspondientes estan en una misma proporcion.

2) los angulos correspondientes son congruentes.

EJEMPLO 3.3.1 A continuacion se muestran dos polıgonos semejantes:

A↔ P B ↔ Q C ↔ R D ↔ S E ↔ T

AB

PQ=BC

QR=CD

RS=DE

ST=EA

TP

]A = ]P ]B = ]Q ]C = ]R ]D = ]S ]E = ]T

EJEMPLO 3.3.2 A continuacion se muestran dos triangulos semejantes:

A↔ A′ B ↔ B′ C ↔ C ′

AB

A′B′=

BC

B′C ′=

CA

C ′A′

α = α′ β = β′ γ = γ′

OBSERVACION 3.3.1 Recordemos que un polıgono de n lados, con n > 3, se puede

descomponer en n − 2 triangulos. Luego, para estudiar la semejanza de polıgonos sera

suficiente con estudiar en detalle la semejanza de triangulos.

60


3.3.2. Semejanza de triangulos

Para indicar que los triangulo4ABC y4PQR son semejantes escribimos

4ABC ∼ 4PQR.

Esto quiere decir que se tienen las siguientes correspondencias entre los vertices:

A↔ P, B ↔ Q, C ↔ R

y

1) las medidas de los lados correspondientes son proporcionales,

AB

PQ=AC

PR=BC

QR

2) los angulos correspondientes son congruentes,

∠A ∼= ∠P, ∠B ∼= ∠Q, ∠C ∼= ∠R.

Teoremas de semejanza

TEOREMA 3.3.1 (TEOREMA DE THALES) Sean L1 y L2 dos rectas secantes en un punto O,

y sean L3 y L4 dos rectas tales que

L1 ∩ L3 = {A}, L1 ∩ L4 = {A′}, L2 ∩ L3 = {B} y L2 ∩ L4 = {B′}.

Entonces:OA

OA′=OB

OB′⇔ L3 ‖ L4.

61


COROLARIO 3.3.1 (TRAZOS PROPORCIONALES) Sean L1 y L2 dos rectas secantes en un

punto O, y sean L3, L4 y L5 rectas tales que

L1∩L3 = {A}, L2∩L3 = {A′}, L1∩L4 = {B}, L2∩L4 = {B′}, L1∩L5 = {C}, L2∩L5 = {C ′}.

Entonces:AB

BC=A′B′

B′C ′⇔ L1 ‖ L2 ‖ L3.

TEOREMA 3.3.2 (AAA) Dos triangulos son semejantes si tienen sus angulos interiores

congruentes.

COROLARIO 3.3.2 (AA) Dos triangulos son congruentes si tienen dos angulos interiores

congruentes.

EJERCICIOS 3.3.1

1. Asumamos que AB = 150 cm. Si un punto P divide interiormente a AB en la razon

2 : 3, determina la medida de AP y PB.

2. A un rectangulo de 16 cm de largo por 10 cm de ancho, un cırculo de 6 cm de radio

y un triangulo equilatero de lado 8 cm, se les toma una fotocopia en reduccion de

manera que todo lo que mide 12 cm en el original, mide 9 cm en la reduccion. ¿Cuales

son las medidas de las figuras en la reduccion?

62


3. En la figura a continuacion BD ‖ CE. Si se asume que, AB = 4 cm, AD = 7 cm y

DE = 12 cm, calcula la medida de BC.

4. En la figura a continuacion ED ‖ AB. Si se asume que CA = 21 cm, AB = 14 cm y

ED = 6 cm, determina la medida de EC.

5. Las rectas L1, L2 y L3 de la figura a continuacion son paralelas. Si se asume que

BD = 8 cm, DF = 24 cm y CE = 18 cm, encuentra la medida de AC.

6. En la figura a continuacion CD ‖ AB. Si OD = (x + 1) cm, OA = (4x − 1) cm,

CO = (x+ 2) cm y OB = (4x+ 1) cm. ¿Cuanto mide cada uno de esos trazos?

63


7. En la figura a continuacion ¿Que valor debe tener x para que L1 sea paralela a L2?

8. Tres postes, en posicion vertical sobre una superficie plana, se encuentran alineados

con alturas de menor a mayor. El poste mas pequeno esta a 3, 6 metros del poste del

medio, y a 12, 6 metros de aquel de mayor altura. Si el poste de menor altura mide

1, 7 metros y el poste del medio mide 4, 1 metros, ¿cual debe ser la altura del poste

mas alto para que las cumbres de los tres postes sean colineales?

3.3.3. Homotecias

DEFINICION 3.3.2 Una homotecia de centro O y razon k 6= 0, es una transformacion

geometrica H(O, k) que hace corresponder a cada punto P del plano, un punto P ′ del

mismo plano determinado de la siguiente forma: si k > 0, P ′ sera el punto de la semirrecta

de origen O que pasa por P , ubicado a distancia k · d de O, donde d = OP ; mientras que si

k < 0, P ′ sera el punto de la semirrecta de origen O opuesta a P , ubicado a distancia |k| · dde O. Usualmente esto se denota H(O, k)[P ] = P ′.

En otras palabras, entenderemos por homotecia a una trasformacion geometrica que,

a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. Es claro que

si a una figura se le aplica una homotecia, se obtiene una figura semejante a la inicial. Mas

aun, si la razon es k = 1 la figura resultante es la misma figura inicial, y si k = −1, se

obtiene una figura congruente a la original, coincidiendo esta ultima situacion con una

reflexion central de centro el punto fijo.

EJEMPLO 3.3.3 Sean f y g dos transformaciones homoteticas definidas como sigue:

f = H(O, 2) y g = H

(O,−3

2

).

En particular, f(A) = H(O, 2)[A] = A′ quiere que 2 · OA = OA′, con A′ ∈−→OA, y

g(A) = H(O,−3

2

)[A] = A′′ quiere decir que −3

2·OA = OA′′, con A′′ ∈

−→AO.

64


65


66

Capıtulo 4

Geometrıa analıtica elemental

4.1. Coordenadas cartesianas en el plano

Dado un plano P , escogemos un puntoO de el y dos rectas perpendiculares enO, cada

una representando aR y ubicadas de manera que una este en posicion horizontal y la otra

en posicion vertical. Generalmente, a la recta horizontal la llamamos eje x, y a la recta

vertical la llamamos eje y. Sobre el eje x los numeros reales se ubican en forma creciente

de izquierda a derecha, y en el eje y los numeros reales se ubican en forma creciente de

abajo hacia arriba. El punto asociado con el valor 0 de cada recta real es justo el punto

donde se produce la interseccion entre ambos ejes.

Ahora, si ubicamos un numero real a en la recta real representada por el eje x y trazamos

la recta paralela al eje y que pasa por el eje x en el valor a, y ubicamos un numero real b

en la recta real representada por el eje y y trazamos la recta paralela al eje x que pasa por

el eje y en el valor b; entonces, la interseccion entre ambas paralelas determina un unico

punto P del plano P que esta a distancia |a| del eje y y a distancia |b| del eje x.

67

CAPITULO 4. GEOMETRIA ANALITICA ELEMENTAL

Al punto P lo denotaremos analıticamente por (a, b), es decir P = (a, b). De este modo, los

puntos del plano P pueden ser interpretados de manera unica como pares ordenados de

numeros en R × R. Ademas, los valores a y b que conforman el punto P = (a, b) reciben

el nombre de coordenadas del punto. Mas particularmente, a la primera coordenada, en

nuestro caso a, se le llama abscisa y a la segunda coordenada, en nuestro caso b, se le llama

ordenada. Ası, por ejemplo, si P = (−2, 3) entonces −2 es la abscisa y 3 es la ordenada.

Un plano tal que a cada uno de sus puntos se le ha asignado un par de coordenadas

en la forma previamente descrita, recibe el nombre de plano de coordenadas cartesianasR2, o

simplemente plano cartesiano, nombre dado en honor a su creador, el matematico frances

Rene Descartes. Si los ejes horizontal y vertical han sido nombrados como eje x y eje y,

respectivamente; entonces, para referirse al plano cartesiano correspondiente, tambien es

usual hablar de plano xy. Mas aun, los ejes x e y dividen al plano cartesiano en cuatro

cuadrantes, tal como lo indica la figura a continuacion:

En el primer cuadrante ambas coordenadas son positivas. En el segundo cuadrante, la

abscisa es negativa y la ordenada es positiva. En el tercer cuadrante ambas coordenadas

son negativas y finalmente, en el cuarto cuadrante, la abscisa es positiva y la ordenada es

negativa.

68

4.2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

EJERCICIOS 4.1.1

1. ¿En que cuadrante del plano xy se encuentran los siguientes puntos: A = (1, 2),

B = (−3, 1), C = (2,−3), D = (−3, 5), E = (−2, 0) y F = (0,−1)?. Representalos en

el plano.

2. Los puntos (3, 8) y (−3, 6) ¿de cual eje estan a igual distancia?

3. Si P pertenece al eje x, entonces ¿que forma tiene P ?¿(a, 0) o (0, b)?

4. Asumamos que (a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d). Entonces, para Q = (2, 13) y R = (−3, 2

5),

¿cuales son las coordenadas de P = Q+R?

5. El paralelogramo de la figura a continuacion es un rombo de lado a y altura h.

Ubique un vertice del rombo en el origen del plano cartesiano. Determine, en

funcion de a y h, las restantes coordenadas de los vertices del rombo.

6. Las coordenadas de los puntos de un trazo son de la forma (x, 2) con 3 6 x 6 5.

Represente el trazo en el plano xy.

7. Si A tiene coordenadas (a1, a2) y B tiene coordenadas (b1, b2). ¿Cuales son las

coordenadas del punto medio M del segmento AB?

4.2. Distancia entre dos puntos

Sean A = (x1, y1) y B = (x2, y2) dos puntos del plano cartesiano.

69


Es claro, desde la figura previa, que podemos calcular la distancia entreA yB aplicando el

Teorema de Pitagoras en el4ACB. Como AC = (x2 − x1) y BC = (y2 − y1) tenemos que:

AB =√AC2 +BC2

o equivalentemente:

AB =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

Notar que si y1 = y2 = 0 (es decir, los puntos A y B estan sobre el eje x), se tiene que:

AB =√

(x2 − x1)2 = |x2 − x1|.

EJEMPLOS 4.2.1

1. Calcula la distancia entre los puntos:

a) A = (1, 2) y B = (3, 5),

b) A = (−3, 1) y B = (2,−3).

Solucion.

a) AB =√

(3− 1)2 + (5− 2)2 =√

4 + 9 =√

13,

b) AB =√

(2− (−3))2 + ((−3)− 1)2 =√

25 + 16 =√

41. �

2. Calcula las medidas de los lados del triangulo de vertices: A = (−3, 0), B = (5, 4) y

C = (−3, 8).

Solucion.

AB =√

(5 + 3)2 + (4− 0)2 =√

64 + 16 =√

80 = 4√

5,

AC =√

(−3 + 5)2 + (8− 0)2 =√

0 + 64 = 8, y

BC =√

(−3− 5)2 + (8− 4)2 =√

64 + 16 =√

80 = 4√

5.

Luego, el triangulo es isosceles, por tener dos lados de igual medida. �

3. Demuestre que en todo triangulo una mediana mide la mitad del lado paralelo a

ella.

Solucion. Asumamos conocido que las coordenadas del punto medio de un trazo

corresponden a las semisumas de las coordenadas de los extremos del trazo.

Entonces para un triangulo cualquiera de vertices A = (x1, y1), B = (x2, y2) y

C = (x3, y3), si llamamos M y N a los puntos medios de AC y BC, respectivamente,

entonces se tiene que:

70

4.2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

M =

(x1 + x3

2,y1 + y3

2

)y N =

(x2 + x3

2,y2 + y3

2

).

Luego:MN =

√(x2 + x3

2− x1 + x3

2

)2

+

(y2 + xy

2− y1 + y3

2

)2

=

√(x2 − x1

2

)2

+

(y2 − y1

2

)2

=

√(x2 − x1)2

4+

(y2 − y1)2

4

=1

2

√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

=1

2AB. �

4.2.1. Division de un trazo en una razon dada r

Sean A = (x1, y1) y B = (x2, y2) dos puntos del plano cartesiano y sea P = (x, y) un

punto de AB que divide al trazo AB en una razon r, r > 0, esto es:

AP

PB= r o AP = rPB.

Sin perdida de generalidad, la situacion previa puede representarse en el plano cartesiano

como sigue:

71


Por propiedades de segmentos proporcionales entre paralelas, tenemos que:

AP

PB= r =

x− x1

x2 − x,

entonces:

x− x1 = r(x2 − x)⇒ x(1 + r) = x1 + rx2 ⇒ x =x1 + rx2

1 + r.

Por otro lado, tambien tenemos que:

AP

PB= r =

y − y1

y2 − yentonces:

y − y1 = r(y2 − y)⇒ y(1 + r) = y1 + ry2 ⇒ y =y1 + ry2

1 + r.

Por lo tanto:

P =

(x1 + rx2

1 + r,y1 + ry2

1 + r

).

OBSERVACION 4.2.1 Notar que en el caso particular r = 1, P corresponde al punto medio

de AB, es decir:

P =

(x1 + x2

2,y1 + y2

2

).

EJEMPLO 4.2.1 Dado un triangulo de vertices A = (x1, y1), B = (x2, y2) y C = (x3, y3),

encuentre las coordenadas del punto medio D de AB. Luego, encuentre las coordenadas

del punto G que divide a CD en la razon 2 : 1. Pruebe que G = A+B+C3

, es decir: G es el

promedio de los tres vertices A, B y C.

Solucion.

Como D es el punto medio de AB, tenemos que:

D =

(x1 + x2

2,y1 + y2

2

).

Usando el cambio de variables:

u =x1 + x2

2∧ v =

y1 + y2

2,

de manera que D = (u, v). Ahora, como G divide a CD en la razon 2 : 1, obtenemos que:

G =

(x3 + 2u

3,y3 + 2v

3

).

Luego:

G =

(x3 + (x1 + x2)

3,y3 + (y1 + y2)

3

)=

(x1, y1)

3+

(x2, y2)

3+

(x3, y3)

3=A+B + C

3.

Mas aun, G corresponde al centro de gravedad del4ABC. �

72

4.3. PENDIENTE DE UN TRAZO

4.3. Pendiente de un trazo

DEFINICION 4.3.1 Sean A = (x1, y1) y B = (x2, y2) dos puntos del plano cartesiano.

Llamamos pendiente de AB al valor mAB definido como sigue:

mAB =

y2 − y1

x2 − x1

, si x2 6= x1

no esta definida en R si x1 = x2.

Desde la definicion, si AB es paralelo al eje x, entonces mAB = 0; y si AB es paralelo al eje

y, entonces mAB no esta definida en R.

EJEMPLOS 4.3.1

1. Calcula la pendiente de AB si:

i) A = (1, 3) y B = (2, 7)

ii) A = (1, 3) y B = (5, 3)

iii) A = (1, 3) y B = (1, 5).

73


Solucion.

i) mAB =7− 3

2− 1=

4

1= 4.

ii) mAB =3− 3

5− 1=

0

4= 0.

iii) mAB no esta definida en R. �

2. Use la nocion de pendiente de un trazo para decidir si los puntos A, B y C a

continuacion son colineales:

a) A = (2, 3), B = (4, 6) y C = (5, 5)

b) A = (0, 3), B = (1, 5) y C = (2, 7).

Solucion.

a) mAB =6− 3

4− 2=

3

2y mBC =

5− 6

5− 4=−1

1= −1. Como mAB 6= mBC los puntos A,

B y C no son colineales.

b) mAB =5− 3

1− 0=

2

1= 2 y mBC =

7− 5

2− 1=

2

1= 2. Como AB y BC tienen la

misma pendiente, y B es un punto en ambos trazos, se sigue que A, B y C son

colineales. �

OBSERVACION 4.3.1 La propiedad que establece que tres o mas puntos son colineales si

las pendientes de los trazos cuyos extremos son un par cualquiera de estos puntos son

iguales, nos permitira definir la pendiente de una recta como la pendiente de un trazo

cualquiera contenido en la recta.

4.4. La ecuacion de la recta

Desde la geometrıa euclideana, sabemos que dos puntos diferentes del plano

determinan una unica recta que los contiene. Este hecho nos permitira encontrar una

relacion analıtica que represente a los puntos de una recta en el plano cartesiano de

manera unica.

Consideremos los puntos A = (x1, y1) y B = (x2, y2), con A 6= B, y la recta que pasa

por estos puntos:

74

4.4. LA ECUACION DE LA RECTA

De acuerdo a la Observacion 4.3.1, para P 6= A tenemos que: P ∈←→AB si y solo si

mAP = mAB.

En otras palabras, para x 6= x1 y x2 6= x1:

y − y1

x− x1

=y2 − y1

x2 − x1

.

Ahora, multiplicando ambos miembros de la igualdad anterior por (x−x1), obtenemos la

ecuacion:

y − y1 =y2 − y1

x2 − x1

(x− x1), (4.4.1)

que corresponde a la ecuacion de la recta que pasa por dos puntos: (x1, y1) y (x2, y2).

En particular, si la recta corta al eje x en (a, 0) y al eje y en (0, b), con a 6= 0 y b 6= 0,

entonces obtenemos que la ecuacion (4.4.1) se reduce a:

y − 0 = − ba

(x− a)⇔ y = − bax− b⇔ b

ax+ y = b.

Entonces, dividiendo cada termino de esta ultima ecuacion por b, obtenemos la ecuacion:

x

a+y

b= 1, (4.4.2)

conocida como ecuacion de interceptos de la recta o ecuacion de segmentos o ecuacion canonica

de la recta.

Por otro lado, como la recta determinada por dos puntos es unica, es claro que la

pendiente entre dos puntos cualesquiera de la recta debe ser constante. Luego, podemos

decir que la pendiente de una recta es unica e igual a la pendiente entre dos puntos

cualesquiera de ella; y por lo tanto, en la ecuacion de la recta (4.4.1), podemos reemplazar

mAB =y2 − y1

x2 − x1

75


por m, y obtener la ecuacion:

y − y1 = m(x− x1), (4.4.3)

que corresponde a la ecuacion de la recta conocida su pendiente: m; y un punto de ella: (x1, y1).

En particular, si la recta tiene pendiente m y corta al eje y en (0, b), la ecuacion (4.4.3)

equivale a y − b = m(x− 0); la cual se reduce a

y = mx+ b. (4.4.4)

Esta ultima ecuacion es conocida como ecuacion principal de la recta.

Mas generalmente, concluimos que una recta en el Plano Cartesiano corresponde a una

ecuacion de primer grado entre las variables x e y. Es decir, para ciertas constantes A,B y

C, con A 6= 0 o B 6= 0, una recta en el Plano Cartesiano siempre se puede escribir como

una ecuacion de la forma:

Ax+By + C = 0. (4.4.5)

La ecuacion de la recta escrita de esta forma es conocida como ecuacion general de la recta.

Es claro entonces que las ecuaciones:

2x+ 2y − 5 = 0

y = 2x+ 3

x

10+y

3= 1

representan rectas en el plano cartesiano. Mas aun, como la ecuacion de la recta es unica,

entonces dada la ecuacion de una recta en alguna de sus formas: (4.4.1),(4.4.2),(4.4.3),(4.4.4)

o (4.4.5), siempre podemos obtener sus otras formas de manera unica. A modo de ejemplo,

sea L una recta del plano cuya ecuacion general asociada es 2x + 3y − 5 = 0. Despejando

la variable y, obtenemos: y = −23x + 5

3que es la ecuacion principal de L con m = −2

3y

b = 53. Por otro lado, mediante arreglos adecuados obtenemos la ecuacion

x52

+y53

= 1, que

es la forma canonica o de interceptos de L con a = 52

y b = 53.

4.4.1. Representacion de una recta conocida su ecuacion

Sabemos que para representar una recta en el plano cartesiano, basta con conocer dos

puntos de ella. Entonces, dada una recta de ecuacion general Ax + By + C = 0, es facil

encontrar dos puntos que verifiquen la ecuacion. En efecto, si x = 0, entonces By+C = 0,

76

4.4. LA ECUACION DE LA RECTA

de donde y = −CB

y ası (0,−CB

) es un punto de la recta; en cambio, si y = 0, entonces

Ax + C = 0, de donde x = −CA

y ası (−CA, 0) es otro punto de la recta. Con los dos puntos

encontrados; a saber (0,−CB

) y (−CA, 0), podemos trazar la recta, pues, como ya hemos

mencionado, dos puntos distintos del plano determinan una unica recta.

Por ejemplo, para la recta L : 2x + 3y − 5 = 0, si x = 0 entonces y = 53; por lo tanto

P1 =(0, 53) ∈ L. Por otro lado, si y = 0, entonces x = 5

2; por lo tanto P2 =(5

2, 0) ∈ L. Entonces

la recta L corresponde a la recta que pasa por P1 = (0, 53) y P2 = (5

2, 0) y se representa en el

plano cartesiano como se muestra en la figura a continuacion:

EJERCICIOS 4.4.1

1. Representa en el plano cartesiano las rectas:

i) 3x− 2y + 5 = 0,

ii) x9

+ yx

= 1,

iii) y = 2x− 3.

2. Determina la ecuacion de la recta que:

i) tiene pendiente 3 y pasa por (0, 0)

ii) pasa por los puntos (1, 1) y (3, 3).

3. Encuentra las ecuaciones de las rectas que contienen a los lados del triangulo

de vertices A = (1, 1), B = (5, 0) y C = (0, 5).

4. Encuentra la ecuacion de la mediana opuesta a AB en el triangulo del ejercicio 3.

5. Encuentra las ecuaciones de las rectas que contienen a las alturas del triangulo

del ejercicio 3. (Asume el siguiente hecho: si m es la pendiente de L, entonces la

pendiente de una perpendicular a L es − 1m

).

77


4.5. Posicion relativa entre dos rectas

4.5.1. Angulo de inclinacion de una recta

Toda recta en el Plano Cartesiano corta al eje x en un solo punto, o bien es paralela al

eje x. Nos interesa tratar el caso cuando la recta corta al eje x en un solo punto (el otro caso

es trivial).

DEFINICION 4.5.1 Sea L una recta secante al eje x en un punto P . Llamamos angulo de

inclinacion de la recta L a la medida de la region angular, medida en sentido antihorario,

que esta comprendida entre el semirrayo con origen en P orientado hacia el lado positivo

del eje x y contenido en el, y el semirrayo con origen en P contenido en la recta L.

En particular, como ya hemos mencionado antes, si la pendiente de la recta es m, entonces

dados dos puntos distintos de L, supongamos A = (x1, y1) y B = (x2, y2), la pendiente del

trazo cuyos extremos son estos puntos tambien es m. Es decir:

m =y2 − y1

x2 − x1

.

Entonces es valido preguntarse ahora, ¿que relacion existe entre el angulo de inclinacion

α de la recta L y su pendiente m?

Para responder a esta pregunta, es importante notar que siempre es posible asociar a

los puntos A y B de la recta L un triangulo rectangulo, como en la figura a continuacion:

78

4.5. POSICION RELATIVA ENTRE DOS RECTAS

Notar que, si 0o < α < 90o, uno tiene que: AC = x2 − x1 y BC = y2 − y1. Luego,

cateto opuesto a ∠αcateto adyacente a ∠α

=y2 − y1

x2 − x1

;

pero la razon del lado izquierdo de la igualdad es conocida como la tangente del ∠α

(usualmente denotada por tanα), y la razon del lado derecho de la igualdad corresponde

a m, que es la pendiente de la recta L; por lo tanto, tenemos que:

tanα = m,

resultado que facilmente se extiende a todo valor de α tal que 0o 6 α < 180o.

OBSERVACION 4.5.1 En el capıtulo de trigonometrıa estudiaremos con detalle las razones

trigonometricas. En particular, estableceremos que tanα > 0 si 0o < α < 90o, tanα < 0

si 90o < α < 180o y que tanα = −tan (180o − α); correspondiendo a cada valor de α, con

0o < α < 180o, α 6= 90o, un unico valor real.

4.5.2. Rectas paralelas

Desde la definicion de angulo de inclinacion de una recta y como consecuencia

directa del resultado geometrico que asegura que dos rectas son paralelas si los angulos

correspondientes son congruentes, resulta evidente el siguiente teorema:

TEOREMA 4.5.1 Dos rectas en el plano cartesiano son paralelas si y solo si ellas tienen la

misma pendiente.

En otras palabras, si L1 y L2 son dos rectas en el plano cartesiano, α1 y α2 sus respectivos

angulos de inclinacion y m1 y m2 sus respectivos angulos de inclinacion; entonces

L1 ‖ L2 ⇔ α1 = α2 ⇔ m1 = m2.

79


Es claro ahora que, para m0 un valor real fijo, la familia de rectas Lb : y = m0x + b, con

b un valor real arbitrario, representa una familia de rectas paralelas. Ası por ejemplo, las

rectas y = 2x, y = 2x − 3 e y = 2x + 7 son paralelas entre sı. Tambien es claro que si las

ecuaciones de dos rectas estan dadas en su forma general, supongamos:

L1 : A1x+B1y + C1 = 0

L2 : A2x+B2y + C2 = 0

entonces sus pendientes respectivas son: m1 = −A1

B1

y m2 = −A2

B2

. Luego,

L1 ‖ L2 ⇔A1

B1

=A2

B2

.

Ası por ejemplo, las rectas x + 3y + 5 = 0 y 2x + 6y + 7 = 0, son rectas paralelas, pues1

3=

2

6.

4.5.3. Rectas perpendiculares

De acuerdo a nuestra definicion de angulo de inclinacion de una recta, dos rectas son

perpendiculares si y solo si la diferencia entre sus angulos de inclinacion es de 90o. Es decir, si

L1 y L2 son dos rectas en el plano cartesiano, y α1 y α2 son sus angulos de inclinacion

respectivos, entonces:

L1 ⊥ L2 ⇔ |α2 − α1| = 90o

En efecto, la figura a continuacion muestra geometricamente la relacion previa:

El resultado es una consecuencia del teorema del angulo exterior de un triangulo, el cual

establece que la medida del angulo exterior de un triangulo es igual a la suma de las

medidas de los angulos interiores no adyacentes a el. Luego, segun nuestra figura,

tendremos que α2 = α1 + 90o; y por lo tanto tendremos que |α2 − α1| = 90o. Mas aun,

80

4.5. POSICION RELATIVA ENTRE DOS RECTAS

de acuerdo a la figura previa, el 4ABC es rectangulo en C, y ası, por definicion de

tangente, obtenemos:

tanα1 =BC

AC∧ tan (180o − α2) =

AC

BC.

Entonces:

tanα1 =1

tan (180o − α2). (4.5.6)

Por otro lado, desde la Observacion 4.5.1 tenemos que tan (180o − α2) = −tanα2 y, de

acuerdo a la relacion entre el angulo de inclinacion de la recta y la pendiente de la

recta, tanα1 = m1, con m1 la pendiente de L1, y tanα2 = m2, con m2 la pendiente de

L2. Concluimos por lo tanto que:

m1 = − 1

m2

.

En resumen, hemos probado el siguiente resultado:

TEOREMA 4.5.2 Dos rectas del plano cartesiano, con pendientes reales no nulas, son

perpendiculares si y solo si el producto de sus respectivas pendientes es igual a −1.

En otras palabras, si L1 y L2 son dos rectas en el plano cartesiano, α1 y α2 sus respectivos

angulos de inclinacion y m1 y m2 sus respectivos angulos de inclinacion; entonces

L1 ⊥ L2 ⇔ |α1 − α2| = 90o ⇔ m1 ·m2 = −1.

Ahora es evidente que una recta perpendicular a L : y = mx + b es L′ : y = − 1mx + b′.

Ası por ejemplo, las rectas y = 2x e y = −12x− 3 son perpendiculares entre sı. Tambien es

claro que si las ecuaciones de dos rectas estan dadas en su forma general, supongamos:

L1 : A1x+B1y + C1 = 0

L2 : A2x+B2y + C2 = 0

entonces sus pendientes respectivas son: m1 = −A1

B1

y m2 = −A2

B2

. Luego,

L1 ⊥ L2 ⇔A1

B1

· A2

B2

= −1⇔ A1

B1

= −B2

A1

.

Ası por ejemplo, las rectas x + 3y + 5 = 0 y 6x − 2y + 7 = 0, son rectas perpendiculares,

pues1

3= −(−2)

6.

81


EJEMPLOS 4.5.1

1. Encuentra una recta paralela y otra perpendicular a la recta L : x+ y = 1.

Solucion. Una recta paralela es, por ejemplo, 2x + 2y = 5 pues tiene pendiente

−22

=−1, tal como la recta L. Por otro lado, una recta perpendicular a L debe tener

pendiente igual a − 1−1

= 1. En particular, la recta de ecuacion x − y = 1 tiene

pendiente 1. �

2. ¿Que puedes decir de los siguientes pares de rectas?

a) L : 2x− 3y = 5 y L′ : 4x− 6y = 10

b) L : 2x− 3y = 5 y L′ : 2x− 3y = 7

c) L : 2x− 3y = 5 y L′ : 3x+ 2y = 7

Solucion.

a) Son paralelas coincidentes; es decir, tienen todos sus puntos en comun. Luego,

L ‖ L′ ∧ L ∩ L′ = L = L′.

b) Son paralelas disjuntas. Luego,

L ‖ L′ ∧ L ∩ L′ = ∅.

c) Son perpendiculares y tienen un solo punto en comun. Luego,

L ⊥ L′ ∧ L ∩ L′ = {P}. �

4.6. Ecuaciones de primer grado con dos incognitas

Desde el punto de vista analıtico, una ecuacion de primer grado con dos incognitas

representa en el Plano Cartesiano a una unica recta. Luego, cada punto de la recta debe

verificar la ecuacion que la representa; y como una recta tiene infinitos puntos, la

ecuacion de la recta tendra infinitas soluciones. De igual forma, es claro que las soluciones

de una ecuacion de primer grado con dos incognitas corresponden a pares ordenados y

que la union de todas las soluciones de la ecuacion corresponde a una unica recta en el

plano. Para trazar esta recta, es usual hacer una tabla de valores que considere

al menos dos pares ordenados que sean soluciones de la ecuacion (vea para estas

instancias la Subseccion 4.4.1: Representacion de una recta conocida su ecuacion).

82

4.6. ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS

Por ejemplo, si consideremos la ecuacion

2x− y = 2,

una tabla de valores asociada a esta ecuacion se puede confeccionar despejando la variable

y, en nuestro caso y = 2x− 2 (que corresponde a la ecuacion principal de la recta). Luego,

consideramos valores arbitrarios de x, y evaluamos en la ultima ecuacion para obtener los

respectivos valores de y:

x y = 2x− 2 Par asociado

−2 2 · (−2)− 2 = −6 (−2,−6)

−1 2 · (−1)− 2 = −4 (−1,−4)

0 2 · 0− 2 = −2 (0,−2)

1 2 · 1− 2 = 0 (1, 0)

2 2 · 2− 2 = 2 (2, 2)

El siguiente paso consiste en ubicar al menos dos de estos puntos en el plano cartesiano,

para luego trazar la recta como en la figura a continuacion:

OBSERVACION 4.6.1 Las ecuaciones de primer grado tambien son conocidas como

ecuaciones lineales. Una ecuacion lineal puede poseer n incognitas x1, x2, · · · , xn, en cuyo

caso adquiere la forma

a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = c,

donde los coeficientes ai y la constante c son numeros reales. Aquı i = 1, 2, . . . , n y n es

cualquier entero positivo. Ası, por ejemplo, las ecuaciones: 2x − y = 1 y x + y =√

2 son

lineales; mientras que las ecuaciones: 4x+ 2xy = 3 y y = 2x+√x no son lineales, pues los

terminos 2xy y√x no son de primer grado.

83


4.6.1. Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incognitas

Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incognitas es un arreglo entre dos

ecuaciones lineales con las mismas dos incognitas. La forma general de un sistema de

ecuaciones con incognitas x e y de este tipo es:

ax+ by = c

dx+ ey = f

donde a, b, c, d, e y e son coeficientes reales.

Una solucion del sistema de ecuaciones de incognitas x e y, es cualquier par ordenado

(x0, y0) que verifique simultaneamente ambas ecuaciones; y el conjunto formado por

todas las posibles soluciones del sistema se llama conjunto solucion del sistema. Ahora,

como cada ecuacion del sistema representa a una recta en el plano cartesiano, podemos

aprovechar tal representacion geometrica para realizar un estudio analıtico de las

soluciones de un sistema.

EJEMPLO 4.6.1 El conjunto solucion del sistema:

x+ y = 1

x− y = 0

es S = {(12, 1

2)}; pues con x = 1

2e y = 1

2ambas igualdades se cumplen; y no hay mas pares

ordenados que permitan verificar simultaneamente ambas ecuaciones. Esta situacion

puede ser observada claramente cuando trazamos las rectas asociadas a las ecuaciones

x+ y = 1 y x− y = 1:

Notemos que estas rectas se intersecan en un unico punto; a saber: (12, 1

2). �

84


EJEMPLO 4.6.2 Consideremos ahora el sistema:

x+ y = 1

2x+ 2y = 3

Observemos que las rectas asociadas a las ecuaciones de este sistema tienen la misma

pendiente: m = −1. Por lo tanto, las rectas son paralelas. Ahora, si multiplicamos la

primera ecuacion por 2, obtenemos la ecuacion 2x+2y = 2, que claramente representa una

recta paralela y disjunta a aquella que representa la segunda ecuacion del sistema, es decir

la interseccion entre ambas rectas es vacıa.

Analıticamente esto equivale a decir que el sistema no tiene solucion o, equivalentemente,

que el sistema de ecuaciones es inconsistente. �

EJEMPLO 4.6.3 En el sistema:x+ y = 1

2x+ 2y = 2

es facil observar que si dividimos cada termino de la segunda ecuacion por 2, obtenemos

una ecuacion identica a la primera, luego las rectas que representan las ecuaciones del

sistema son paralelas coincidentes, que equivale a decir que representan la misma recta, y

ası, cada punto de la recta representa una solucion del sistema.

85


Luego, el sistema tiene infinitas soluciones. �

En resumen, un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incognitas puede ser

representado graficamente mediante el trazado, en un mismo plano cartesiano, de cada

una de las rectas que representan a cada una de sus ecuaciones. Ademas, a partir del

grafico resultante, podemos obtener informacion sobre el conjunto solucion del sistema

mediante un analisis de las posiciones relativas que tengan tales rectas en el plano carte-

siano.

I Si las rectas que representan a las ecuaciones del sistema son dos rectas no paralelas,

entonces el sistema tiene solucion unica. Las rectas se cortan en un unico punto,

cuyo par ordenado asociado corresponde precisamente a la solucion del sistema.

En otras palabras, para que el sistema

ax+ by = c

dx+ ey= f

tenga solucion unica, las pendientes de las rectas asociadas a sus ecuaciones deben

ser diferentes; es decir, se debe verificar que −ab6= −d

e, lo cual equivale a decir que:

a · e 6= d · b.

I Si las rectas que representan a las ecuaciones del sistema son dos rectas paralelas

disjuntas, el sistema no tiene solucion. Las rectas no se intersecan; es decir, la

interseccion entre ellas es vacıa y, por lo tanto, el sistema no tiene solucion.


ax+ by = c

dx+ ey= f

no tenga solucion, las pendientes de las rectas asociadas a sus ecuaciones deben

ser iguales y al dividir cada ecuacion por su respectivo coeficiente en y (estamos

asumiendo que estos coeficientes son no nulos) se deben obtener los mismos nuevos

coeficientes para x e y, pero no el mismo termino constante; es decir, se debe verificar

que −ab

= −de

y quec

b6= f


a · e = d · b ∧ c · e 6= f · b.

86


I Si las rectas que representan a las ecuaciones del sistema son dos rectas paralelas

coincidentes, entonces el sistema tiene infinitas soluciones. Las rectas coinciden en

todos sus puntos y los pares ordenados asociados a cada punto de la recta

corresponden precisamente a las soluciones del sistema.


ax+ by = c

dx+ ey= f

tenga infinitas soluciones, las pendientes de las rectas asociadas a sus ecuaciones

deben ser iguales y al dividir cada ecuacion por su respectivo coeficiente en y

(estamos asumiendo que estos coeficientes son no nulos) se deben obtener los

mismos nuevos coeficientes para x e y, y el mismo termino constante; es decir, se

debe verificar que −ab

= −de

y quec

b=f


a · e = d · b ∧ c · e = f · b.

OBSERVACION 4.6.2 La condicion para que el sistema tenga infinitas soluciones puede

ser cambiada por la siguiente:

ax+ by − c = k · (dx+ ey − f) para alguna constante k 6= 0 independiente de x e y.

Metodos de resolucion algebraica de un sistema de ecuaciones

IMETODO DE SUSTITUCION

Consiste en despejar una variable en una de las dos ecuaciones y reemplazarla en la otra,

obteniendose una ecuacion lineal con una incognita la cual se resuelve. El valor obtenido

se reemplaza en alguna de las ecuaciones previas para calcular el valor de la otra variable.

IMETODO DE REDUCCION

Consiste en escoger una variable como referencia y multiplicar cada ecuacion por un

factor conveniente de manera que, despues de realizar el producto, los coeficientes de

la variable escogida resulten cantidades opuestas en las ecuaciones. Luego, se suman

ambas ecuaciones y se resuelve la ecuacion con una incognita resultante . El valor

obtenido se reemplaza en alguna de las ecuaciones previas para calcular el valor de la

otra variable.

87


A continuacion presentamos algunos ejemplos donde hacemos uso de las posiciones

relativas de las rectas que representan a las ecuaciones de un sistema de ecuaciones

lineales con dos incognitas, y resolvemos analıticamente tal sistema, sin necesidad de re-

currir al trazado de sus graficas asociadas.

EJEMPLOS 4.6.1

1. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: 2x+ 4y = 6

x− 2y = 1

Solucion. Como m1 = −246= 1

2= m2, donde m1 es la pendiente de la recta

asociada a la primera ecuacion del sistema y m2 es la pendiente de la recta asociada

a la segunda; entonces el sistema tiene solucion unica. Resolviendo el sistema

algebraicamente, obtenemos:

2x+ 4y = 6

x− 2y = 1

/ : 2

1

1

1⇒

1

+

x+ 2y = 3

x− 2y = 1

1⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2.

Reemplazando x = 2 en cualquiera de las ecuaciones del sistema, obtenemos que

y = 12. Luego, el conjunto solucion del sistema es:

S ={(

2,1

2

)}. �

2. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: 2x+ 4y = 6

x+ 2y = 3

Solucion. Como m1 = −24

= −12

= m2, donde m1 es la pendiente de la recta

asociada a la primera ecuacion del sistema y m2 es la pendiente de la recta asociada

a la segunda; entonces las rectas asociadas al sistema son paralelas. Ahora, como

2x+ 4y − 6 = 2(x+ 2y − 3),

concluimos que las rectas asociadas al sistema son paralelas coincidentes y ası, el

sistema tiene infinitas soluciones. Por lo tanto, si ponemos x = t, donde t representa

un numero real cualquiera; y despejamos y en cualquiera de las ecuaciones,

obtenemos y = 3−t2

, entonces el conjunto solucion del sistema es:

S ={(t,

3− t2

)/t ∈ R

}. �

88


3. Analiza los posibles conjuntos solucion del sistema:

x+ 2y = 4

3x+ αy = 12

para diferentes valores de α.

Solucion. El sistema tiene infinitas soluciones si se verifican las igualdades:

−1

2= − 3

α∧ 4

2=

12

α.

Despejando, obtenemos que α = 6, y entonces se cumple:

3(x+ 2y − 4) = 3x+ 6y − 12.

Ahora, poniendo x = t, donde t representa un numero real cualquiera, y despejando

y en cualquiera de las ecuaciones, obtenemos y = 4−t2

. Por lo tanto, si α = 6, el

conjunto solucion del sistema es:

S ={(t,

4− t2

)/t ∈ R

}.

Por otro lado, el sistema tiene solucion unica si

−1

26= − 3

α;

lo que equivale a decir que para α 6= 6, el sistema tiene solucion unica. Notar que

si despejamos x en la primera ecuacion del sistema, obtenemos x = 4 − 2y; y

reemplazando este valor de x en la segunda ecuacion, nos queda la ecuacion

12 − 6y + αy = 12. Tomando en cuenta que α 6= 6, podemos despejar y de esta

ultima ecuacion y obtener que y = 0; luego, reemplazamos este valor de y en

cualquiera de las dos ecuaciones y obtenemos que x = 4. Por lo tanto, si α 6= 6,

el conjunto solucion del sistema es:

S = {(4, 0)}. �

EJERCICIO 4.6.1 Analiza los posibles conjuntos solucion del sistema:

x+ 2y = 4

2x+ αy = β

para diversos valores de α y β.

89


4.7. Inecuaciones de primer grado con dos incognitas

Una inecuacion de primer grado con dos incognitas es una inecuacion que se puede reducir

a una de las siguientes formas:

ax+ by + c < 0 ∨ ax+ by + c > 0 ∨ ax+ by + c 6 0 ∨ ax+ by + c > 0.

Notar que, graficamente la recta de ecuacion ax + by + c = 0 divide al plano xy en dos

semiplanos abiertos:

Luego, los puntos (x, y) del plano que cumplen con desigualdad ax+ by + c < 0, son:

y los puntos (x, y) del plano que satisfacen la desigualdad ax+ by + c > 0, son:

La recta pertenece al semiplano inferior si ax+ by + c 6 0:

90

4.7. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS

y pertenece al semiplano superior si ax+ by + c > 0:

Desde los comentarios previos, deducimos que la recta asociada a una inecuacion es el

borde de un semiplano y pertenecera a la solucion de la inecuacion si la desigualdad es del

tipo > o 6, mientras que no pertenecera a la solucion de la inecuacion si la desigualdad

es del tipo > o <. Para saber cual de los semiplanos corresponde a la soluciones de la

inecuacion, basta evaluar un solo par de coordenadas, como por ejemplo el (0, 0), y ver si

se cumple o no la desigualdad. Si la desigualdad se cumple, entonces el semiplano que

contiene a dicho punto de prueba corresponde a las soluciones de la inecuacion; en caso

contrario, el semiplano que no contiene al punto de prueba correspondera a las soluciones

de la inecuacion.

OBSERVACION 4.7.1 No se debe tomar un punto de la recta borde asociada a la

inecuacion como un punto de prueba. Por otra lado, al representar una inecuacion en el

plano cartesiano, es muy usual indicar el semiplano solucion con una flecha pequena des-

de la recta borde y perpendicular a ella, en direccion hacia el lado donde se encuentre un

punto de prueba que verifique la inecuacion.

EJEMPLO 4.7.1 Consideremos la inecuacion x+ y < 1 y escojamos el (0, 0) como punto de

prueba. Entonces 0 + 0 < 1 es verdadero. Luego, representamos el conjunto solucion de la

inecuacion como sigue:

91


4.7.1. Sistemas de inecuaciones lineales con dos incognitas

Llamamos sistema de inecuaciones lineales con dos incognitas al conjunto o sistema

formado por dos o mas inecuaciones lineales con dos incognitas. Por ejemplo, un sistema

de inecuaciones con dos incognitas es:

a1x+ b1y + c1 < 0

a2x+ b2y + c2 > 0

Resolver el sistema se reduce a encontrar la interseccion de los semiplanos soluciones de

cada una de las inecuaciones involucradas en el sistema.

Dicha interseccion es un subconjunto convexo del plano; es decir, una region del plano

tal que para dos puntos cualesquiera de la region, el segmento de recta que los une esta

totalmente contenido en la region. Los segmentos que limitan al conjunto convexo se

llaman bordes o lados y la interseccion de ellos, vertices. Los conjuntos convexos pueden

ser cerrados o abiertos respecto a cada lado o vertice, segun sea que se incluya este o no

en la solucion.

EJEMPLOS 4.7.1

1. Encuentra la region del plano xy que satisface las siguientes condiciones

x > 0, y > 0, 3x+ 2y 6 120, x+ 2y 6 80

Ademas, identifica los lados y los vertices de la region encontrada e indica en que

punto de la region la funcion f(x, y) = 20 000x+ 15 000y tiene valor maximo.

92


Solucion.

Zona de soluciones factibles

De acuerdo al grafico, es facil notar que los bordes estan sobre las rectas: x = 0, y = 0,

x+ 2y = 80 y 3x+ 2y = 120; y los vertices corresponden a: la interseccion de la recta

x + 2y = 80 con el eje y, que el punto A = (0, 40); la interseccion entre las rectas

x+ 2y = 80 y 3x+ 2y = 120, que es el punto B que resuelve el sistema:

3x+ 2y = 120

x+ 2y = 80⇒ B = (20, 30);

y la interseccion de la recta 3x + 2y = 120 con el eje y, que es el punto C = (40, 0).

Finalmente, evaluamos f(x, y) = 20000x+ 15000y en cada vertice obtenido:

f(A) = f(0, 40) = 15 000 · 40 = 600 800,

f(B) = f(20, 30) = 20 000 · 20 + 15 000 · 30 = 850 000,

f(C) = f(40, 0) = 20 000 · 40 = 800 000;

y concluimos que el maximo de f(x, y), en la region dada, ocurre en el punto de

coordenadas (20, 30).

2. Encuentra la region del plano xy que satisface las siguientes inecuaciones:

x > 0, y > 0, x+ y 6 10, x 6 6, y > 2, y > 2 , x > y,

y encuentra el punto de esta region donde la funcion f(x, y) = 0,1x + 0,07y alcanza

su mayor valor. �

93


Solucion.

Zona de soluciones factibles

Los vertices correspondientes son A = (2, 2) (interseccion entre y = x e y = 2);

B = (5, 5) (interseccion entre x + y = 20 e y = x); C = (6, 4) (interseccion entre

x + y = 10 e x = 6; y D = (6, 2), interseccion entre x = 6 e y = 2. Ahora evaluamos

f(x, y) = 0,1x+ 0,07y en cada uno de los vertices y obtenemos:

f(A) = f(2, 2) = 0,1 · 2 + 0,07 · 2 = 0,34

f(B) = f(5, 5) = 0,1 · 5 + 0,07 · 5 = 0,40

f(C) = f(6, 4) = 0,1 · 6 + 0,07 · 4 = 0,88

f(C) = f(6, 2) = 0,1 · 6 + 0,07 · 2 = 0,74.

Por lo tanto, el mayor valor de f(x, y), en la region senalada, se alcanza en (6, 4). �

3. [Problema de transporte] Una empresa posee 2 fabricas, P1 y P2, dedicadas a la

produccion de cierto artıculo, el cual vende en 3 ciudades diferentes: C1, C2 y C3.

Se sabe que en P1 la empresa produce 5 000 unidades del artıculo, y en P2, 7 000

unidades. Las 12 000 unidades las distribuyen ası: 3 500 en C1, 4 000 en C2 y 4 500 en

C3. Si los costos de transporte, en euros por unidad de producto, desde las fabricas

hasta las ciudades estan dados en la siguiente tabla:

Envıos Hasta C1 Hasta C2 Hasta C3

Desde P1 3 2.5 3.5

Desde P2 2.25 3.75 4

Determina el numero de artıculos que debe enviar la empresa desde cada fabrica

hacia cada ciudad para que los costos de transporte sean mınimos.

94


Solucion. Para problemas de este tipo necesitamos definir nuevas variables. Sean

x = numero de unidades transportadas desde P1 a C1, y = numero de unidades

transportadas desde P1 a C2 y z = numero de unidades transportadas desde P1 a C3.

Entonces se debe cumplir que:

x+ y + z = 5 000.

Si desde P1 a C1 se envıan x unidades, y como en C1 necesitan 3 500, desde P2

se mandaran a C1 (3 500 − x) unidades. Razonando del mismo modo con y y z,

obtenemos la siguiente tabla:


Desde P1 x y 5 000− x− yDesde P2 3 500− x 3 000− y x+ y − 500

Aquı hemos sustituido z por (5 000− y − x), pues x + y + z = 5 000 y ası reducimos

las 3 incognitas a 2 solamente. Por otro lado, es claro que cada cantidad ha de ser

mayor o igual que cero, es decir:

x > 0

3 500− x > 0

y > 0

4 000− y > 0

5 000− x− y > 0

−500 + x+ y > 0

que equivale a x > 0

x 6 3 500

y > 0

y 6 4 000

x+ y 6 5 000

x+ y > 500

Como se trata de minimizar costos, la funcion objetivo estara dada por:

C(x, y) = 3·x+2,5·y+3,5·(5 000−x−y)+2,25·(3 500−x)+3,75·(4 000−y)+4·(−500+x+y),

o equivalentemente:

C(x, y) = 1,25 · x− 0,75 · y + 22 625.

El siguiente grafico muestra la region donde las soluciones del problema tienen

sentido:

95


Notar que los vertices senalados en la grafica son: A = (0, 500), B = (0, 4 000),

C = (1 000, 4 000), D = (3 500, 1 500), E = (3 500, 0) y F = (500, 0), y evaluando

cada uno de ellos en C(x, y), obtenemos:

C(0, 500) = 22 250

C(0, 4 000) = 19 625

C(1 000, 4 000) = 20 875

C(3 500, 1 500) = 25 875

C(3 500, 0) = 27 000

C(500, 0) = 23 250

Por lo tanto, el mınimo se da en B, cuando x = 0 e y = 4 000. Es decir, las unidades

a distribuir son:


Desde P1 0 4 000 1 000

Desde P2 3 500 0 3 500

EJERCICIOS 4.7.1

I Sistemas de ecuaciones con dos incognitas.

1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

96


a)2x+ 3y = 13

x− 2y = 3d)

x+ 2y = 7

2x+ 5y = −3g)

3x− 6y = 8

2x+ 5y = 1

b)x− 5y = 32

3x+ y = 12e)

x− 5y = 32

2x− 10y = 16h)

x− 5y = 32

2x− 5y = 64

c)2x− 3y = 2

3x+ 2y = 8f )

2x− 3y = 2

2x− 3y = 4i)

2x− 3y = 2

3x− 9y = 6

2. Representa en el plano cartesiano cada uno de los sistemas anteriores.

3. Considera el sistema homogeneo

ax+ by = 0

cx+ dy = 0

Demuestra que si x = x0 e y = y0 es solucion del sistema, entonces x = kx0 e

y = ky0 tambien lo es.

4. En el sistema anterior, prueba que si las rectas correspondientes son paralelas,

entonces son coincidentes; es decir, el sistema tiene infinitas soluciones. Expresa

algebraicamente dichas soluciones.

5. Prueba que el sistema del ejercicio 3. tiene solucion unica si ad − bc 6= 0. ¿Cual

es dicha solucion?.

6. Prueba que si el sistema homogeneo:

a1x+ b1y = 0

a2x+ b2y = 0

verifica a1b2 − a2b1 = 0, entonces tiene infinitas soluciones.

7. Encuentra al menos tres trıos de numeros enteros x, y y z que sean solucion del

sistema:

x+ y + z = 9

x+ 5y + 10z = 44

8. Considera los sistemas:

a)x− y = 3

2x− 2y = kb)

x− y = 3

3x+ ky = 9

Analiza, para cada caso, si existen valores del parametro k que permitan al

sistema tener: solucion unica, infinitas soluciones o ninguna solucion real.

97


9. Encuentra los valores de a y b, que permiten que el sistema

2x+ y = 5

6x+ ay = b

tenga: solucion unica, infinitas soluciones o ninguna solucion real.

II. Sistemas de inecuaciones con dos incognitas

1. Resuelve las inecuaciones graficamente, achurando la zona o region del plano

que verifica la inecuacion y traza la lınea recta que la bordea.

a) 3x+ 2y + 6 < 0

b) 2x+ 3y > 0

c) x− y + 1 6 0

d) x+ 2y + 4 > 0

2. Representa la region del plano xy que satisface el sistema de inecuaciones:

a) 2x+ 3y + 4 > 0

x− 2y − 2 < 0

x+ y − 1 6 0

b) y > 0

2x+ 4y > 8

2x− 5y 6 0

−x+ 5y 6 5

c) x > 0

y > 0

3x+ 2y 6 120

x+ 2y 6 80

d) x > 0

y > 0

x+ y 6 10

x 6 6

y > 2

x > y

e) x > 0

y > 0

x+ yx 6 120

x 6 100

x+ y 6 150

3. Una persona tiene 10 millones de pesos en sus fondos previsionales, los que

desea invertir en fondos de tipo A y de tipo B. Los del tipo A son mas riesgosos

pero producen un beneficio anual promedio del 10 %. Los de tipo B son mas

seguros, pero solo producen un beneficio promedio del 7 % anual. Despues de

varias deliberaciones la persona decide invertir como maximo 6 millones en el

fondo tipo A y por lo menos 2 millones en el fondo tipo B. Si ademas, decide

que lo invertido enA sea por lo menos igual a lo invertido enB, entonces ¿como

debe invertir sus 10 millones de modo que, con estas condiciones, el beneficio

anual sea maximo?

98


4. Se desea preparar una dieta con dos alimentos: A y B, la cual requiere 3 000

calorıas y 80 gramos de proteınas. Si cada unidad de A cuesta US$8 y contiene

500 calorıas y 10 gramos de proteına; y cada unidad de B cuesta US$12 y

contiene 500 calorıas y 20 gramos de proteına, ¿que cantidad de unidades de

A y de B se deben comprar para satisfacer las exigencias de la dieta a un costo

mınimo?

5. Un fabricante artesanal de bicicletas cuenta con 80 Kilos de acero y 120 Kilos de

aluminio para hacer bicicletas de paseo y de montana, las cuales quiere vender

a 20 mil pesos y 15 mil pesos respectivamente. Si para cada bicicleta de paseo

usa 1 Kilo de acero y 3 Kilos de aluminio, y para cada bicicleta de montana

usa 2 Kilos de acero y 2 Kilos de aluminio, ¿cuantas bicicletas de cada clase

fabricara para obtener el mayor beneficio posible?

6. Un ayudante de matematica dedica parte de su tiempo a escribir en lenguaje

LATEXdos tipos de guıas: de Algebra y de Calculo. Por cada guıa de Algebra que

escribe el recibe 5 mil pesos y por cada guıa de calculo recibe 7 mil pesos. Si

el estudiante a lo mas puede hacer 12 guıas de Algebra y 10 guıas de Calculo

durante el semestre, con la restriccion que solo le cancelaran 15 guıas como

maximo por semestre, ¿cuantas guıas de cada tipo debe escribir el ayudante

para que su beneficio sea maximo?

7. Dos fabricas de cemento, F1 y F2, producen respectivamente 3 000 y 4 000 sacos

de cemento al dıa, los cuales envıan a tres centros de ventas C1, C2 y C3) en

cantidades de 3 000, 2 500 y 1 500 sacos respectivamente. Si los costos, en euros

por cada saco, del transporte de cada fabrica a los puntos de venta vienen dados

por:


Desde P1 2 2.5 2

Desde P2 1.5 3 1

Entonces, determina como hay que distribuir la produccion de cemento para

que el transporte resulte lo mas economico posible.

99


100

Parte II

Matematica elemental II

101

Capıtulo 5

Los numeros irracionales

5.1. Introduccion

En la primera parte del curso estudiamos el conjunto de los numeros reales tanto en

su concepcion axiomatica como en su interpretacion geometrica: cada punto de una recta

representa un unico numero real. En particular, centramos nuestro estudio en el conjunto

de los numeros racionales, el cual denotamos Q, definido como sigue:

Q ={mn

: n ∈ Z ∧ n ∈ Z \ {0}}.

En ese momento, observamos que desde el punto de vista geometrico, no es posible cubrir

completamente una recta numerica representando allı solo los numeros racionales. Este

hecho sugiere que deben existir otros numeros reales, y fue cuando demostramos que√

2

y√

3 no son numeros racionales. Mas aun, observamos que al sumar un numero racional

cualquiera con√

2, o con√

3, la suma obtenida tampoco corresponde a un numero racio-

nal. Por lo tanto, es claro que los numeros reales que no son racionales son muchısimos

mas que los que sı lo son.

DEFINICION 5.1.1 Llamamos conjunto de los numeros irracionales al conjunto Q′ definido

por

Q′ = {x ∈ R : x 6∈ Q}.

En otras palabras, los numeros irracionales son todos aquellos numeros reales que no se

pueden representar como una fraccion con numerador y denominador enteros, siendo el

denominador distinto de 0. Es decir, los numeros irracionales son todos aquellos numeros

reales que poseen infinitos decimales, los cuales no son periodicos ni semiperiodicos.

Otros ejemplos conocidos de numeros irracionales son

- El numero pi: π = 3, 1415926535897 . . .

103

CAPITULO 5. LOS NUMEROS IRRACIONALES

- El numero exponencial: e = 2, 7182818284 . . .

- El numero aureo: Φ = 1, 6180339887498 . . .

Pero nos interesa conocer mas numeros irracionales. Para ello, introduciremos nuevas

operaciones entre numeros naturales, enteros y/o racionales. Al operar estos numeros con

estas nuevas operaciones apareceran una cantidad impresionante de valores que seran

irracionales. Finalmente, extenderemos estas nuevas operaciones a todo numero real y

estudiaremos sus propiedades.

Para hacernos una idea de como surgen estas nuevas operaciones, vamos a describir

una posible explicacion que relaciona a los conjuntos numericos y las operaciones que co-

nocemos entre dos numeros. Partimos considerando el conjunto de los numeros naturales

(N), y la operacion binaria interna mas elemental que conocemos en este conjunto, que es

la adicion (+). A continuacion consideramos una segunda operacion binaria interna en el

conjunto de los numeros naturales: la multiplicacion (·). Esta operacion corresponde basi-

camente a la adicion de un mismo numero natural n veces, donde n representa tambien

a un numero natural. Entonces, con el afan de estudiar procesos inversos, comenzamos a

extender nuestros conocimientos.

Frente a la interrogante:

Sean a y b dos numeros naturales. ¿Que valor debe tener x para que se cumpla:

a+ x = b?

surge la operacion inversa de la adicion, la cual conocemos como sustraccion (−). Notan-

do que a+ x = x+ a, nuestra respuesta es conocida: x = b− a. Claramente este valor no

siempre define un natural, ası que introducimos un nuevo conjunto numerico: el conjunto

de los numeros enteros (Z). Luego, extendemos de forma muy natural el uso de las ope-

raciones adicion y sustraccion en el conjunto de los numeros enteros y nos interesamos en

responder la siguiente interrogante:

Sean a y b dos valores enteros. ¿Que valor debe tener x para que se cumpla: a · x = b?

Entonces surge la operacion inversa de la multiplicacion, la cual conocemos como divi-

sion (÷). Notando que a · x = x · a, nuestra respuesta es conocida: x = b ÷ a. Claramente

este valor no siempre define un numero entero, ası que asumiendo que a 6= 0, resulta

evidente introducir un nuevo conjunto numerico: el conjunto de los numeros racionales

(Q). Nuevamente podemos extender de forma muy natural el uso las operaciones adicion

y sustraccion, multiplicacion y division en el conjunto de los numeros racionales. Hasta

104

5.1. INTRODUCCION

aquı hemos completado el estudio de las cuatro operaciones elementales de la aritmetica

en Q.

Ahora consideramos la operacion potenciacion. Esta operacion parte en el contexto de

los numeros naturales y corresponde a la multiplicacion de un mismo numero natural m,

una cantidad n de veces; actualmente al numero m lo conocemos como base y al numero n

como exponente. Estudiar el proceso inverso de esta operacion es bastante mas difıcil que

en el caso de la adicion y la multiplicacion por una razon fundamental: en general, no

se obtiene un mismo resultado si intercambiamos la base con el exponente. Esta falta de

conmutatividad entre la base y el exponente nos permite vislumbrar que la potenciacion

debe tener dos operaciones inversas: una relacionada con la base y la otra relacionada con

el exponente. Estas nuevas operaciones son las que nos permiten determinar muchısimos

otros numeros reales que son irracionales.

Cuando estamos interesados en identificar la base de una potencia, nos enfrentamos a

la siguiente interrogante:

Sea n un numero natural y sea q un numero racional. ¿Que valor debe tener x para que se

cumpla: xn = q?

Entonces surge la operacion radicacion, la cual nos permite concluir que x = n√q. Sin

embargo, esto no es tan simple, pues la expresion n√q define un numero real solo para

adecuados valores de n y q. Este concepto ahora se relaciona con el de potencia de exponente

fraccionario.

En un sentido similar, cuando estamos interesados en identificar el exponente, nos

enfrentamos a la siguiente interrogante:

Sean a y b dos valores racionales. ¿Que valor debe tener x para que se cumpla: ax = b?

Entonces surge la operacion logaritmacion y obtenemos x = loga b. Nuevamente este

asunto no es tan simple pues la expresion loga b define un numero real solo para valo-

res adecuados de a y b, donde a se llama base del logaritmo y b se llama argumento del

logaritmo. Finalmente, extendemos el concepto de potencia considerando su base y su

exponente real, y el de logaritmo considerando su base y su argumento real.

Sin embargo, antes de comenzar nuestro estudio sobre las dos ultimas operaciones an-

tes mencionadas (con el afan de obtener mas numeros irracionales) es conveniente senalar

que historicamente los numeros y operaciones entre ellos surgieron de acuerdo a las ne-

cesidades que existıan en determinadas epocas y no necesariamente en el orden que he-

mos planteado anteriormente. Sabemos que los primeros numeros conocidos, incluso en

105


la pre-historia, fueron los naturales, usados basicamente para contar o enumerar. Existen

antecedentes que alrededor del ano 2300 A.C. los sumerios poseıan una forma de organi-

zar los numeros, el sistema sexagesimal, y que para alrededor del 2000 A.C. los babilonios

ya operaban con las cuatro operaciones elementales entre numeros naturales, e incluso

habıan desarrollado el concepto de cuadrado y cubo de un numero. Los egipcios, alre-

dedor del ano 1800 A.C. introdujeron las fracciones entre naturales con numerador igual

a la unidad, salvo algunas excepciones; concepto desarrollado por los griegos. Los egip-

cios tambien introdujeron en su simbologıa, quizas de una forma intuitiva, el sistema de

numeracion decimal y aparentemente tambien habıan desarrollado el concepto del cero.

Algunos ejemplos de numeros no racionales fueron introducidas por los griegos alrede-

dor del ano 500 A.C.; segun la tradicion griega, por esos anos Hipaso de Metaponto, un

discıpulo de Pitagoras, descubrio el afamado Teorema de Pitagoras (quedo con ese nom-

bre pues el era un miembro de la Escuela Pitagorica); y como consecuencia de esto, des-

cubrio que√

2 no era un numero racional. Como Pitagoras no estaba de acuerdo con la

aparicion de numeros de estas caracterısticas, intento rebatir los argumentos de Hipaso

con el uso de la logica. La molestia de Pitagoras se producıa porque el numero√

2 “en-

suciaba”la perfeccion de los numeros racionales, por lo que no deberıa existir. Hipaso fue

entonces expulsado de la Escuela Pitagorica donde se construyo una tumba con su nom-

bre, mostrando ası que para los pitagoricos el estaba muerto. Pero para nuestra sorpresa

aun no se conocıan los numeros negativos. De hecho, los siguientes hitos historicos acerca

de los numeros ya son parte de la era cristiana. Existen antecedentes de que fueron los in-

dios quienes introdujeron los numeros enteros negativos y el cero de manera mas formal

recien alrededor del ano 600, pero esto no se conocerıa en el mundo occidental sino hasta

el siglo X cuando los arabes, quienes complementaron sus conocimientos matematicos con

los de los indios, los introdujeron a Europa durante su invasion Espana. De hecho, formal-

mente esto ocurrio gracias a Fibonacci en su libro Liber abaci publicado el ano 1202. A esas

alturas tambien se conocıa el concepto de potencia de un numero, el cual hacia finales del

siglo XIII habıa extendido su uso considerando la base positiva enQ y el exponente enN y

en un grado similar se habıa estudiado el concepto de raız n-esima de un numero racional

positivo. Fue el profesor parisino Nicole Oresmes en el siglo XIV, quien extendio el con-

cepto de radicacion a potencias con exponente fraccionario; uniendo de esta forma estos

dos conceptos. El concepto de logaritmo fue introducido por John Neper el ano 1614, en

su obra titulada Canonis mirifici logarithmorum descriptio, aunque hay quienes sugieren que

106

5.2. RADICACION. RAIZ n-ESIMA DE UN NUMERO REAL

el primero en usarlos fue Joost Burgi, un matematico y relojero suizo contemporaneo a

Neper. Con la introduccion de las raıces y los logaritmos quedo claro que habıan muchos

numeros reales no racionales, ası que ya era momento de ordenar todos los conocimien-

tos. Los numeros reales (R), tal como los conocemos hoy, es historia bastante mas reciente,

al igual que la concepcion de las operaciones potenciacion y logaritmacion en R.

5.2. Radicacion. Raız n-esima de un numero real

5.2.1. Raız cuadrada de un numero real

DEFINICION 5.2.1 La raız cuadrada de un numero real a existe en R y se denota por√a,

si existe un numero real b tal que el cuadrado de b es igual a a. Es decir:

√a = b ⇔ b2 = a

OBSERVACION 5.2.1 De acuerdo a la definicion, no todo numero real tiene raız cuadrada.

En efecto, para que√a tenga sentido en R, a debe ser mayor o igual que cero.

Algunas raıces cuadradas elementales

√0 = 0 pues 02 = 0 ;

√49 = 7 pues 72 = 49 ;

√196 = 14 pues 142 = 196;

√1 = 1 pues 12 = 1 ;

√64 = 8 pues 82 = 64 ;

√225 = 15 pues 152 = 225;

√4 = 2 pues 22 = 4 ;

√81 = 9 pues 92 = 81 ;

√256 = 16 pues 162 = 256;

√9 = 3 pues 32 = 9 ;

√100 = 10 pues 102 = 100;

√289 = 17 pues 172 = 289;

√16 = 4 pues 42 = 16 ;

√121 = 11 pues 112 = 121;

√324 = 18 pues 182 = 324;

√25 = 5 pues 52 = 25 ;

√144 = 12 pues 122 = 144;

√361 = 19 pues 192 = 361;

√36 = 6 pues 62 = 36 ;

√169 = 13 pues 132 = 169;

√400 = 20 pues 202 = 400

OBSERVACION 5.2.2 La raız cuadrada de un numero negativo no esta definida, por lo

tanto no es un numero irracional y tampoco un racional.

Otros numeros irracionales

I Todas las raıces cuadradas no exactas son numeros irracionales. Por ejemplo:

√2 = 1, 414213562 . . .

√3 = 1, 732050808 . . .

√5 = 2, 236067977 . . .

107


I Las operaciones entre un racional y un irracional, salvo la multiplicacion y/o division

por cero, producen un irracional. Por ejemplo:

−2√

3 ∈ Q′√

2

5∈ Q′ 2

3π∈ Q′ 5 + π ∈ Q′ 1

5e− 2

3∈ Q′.

OBSERVACION 5.2.3 No siempre las operaciones entre numeros irracionales correspon-

den a un irracional. Por ejemplo:

√2 ∈ Q′ ∧

√8 ∈ Q′, pero

√2 ·√

8 =√

16 = 4 /∈ Q′

OBSERVACION 5.2.4 El sımbolo √ es una variante de la letra r correspondiente a la

inicial de la palabra, en latın, radix que significa es nuestra lengua raız. Este sımbolo es

el que se asocia a la operacion radicacion. En el siglo XVI usaban la letra mayuscula R y

le agregaban q para quadratus o una c para cubus, que era extraer raız cuadrada o raız

cubica, ası por ejemplo R.q4372 era√

4372.

5.2.2. Raız cubica de un numero real

Para tener mas ejemplos de numeros irracionales, introducimos aquı el concepto de raız

cubica de un numero.

DEFINICION 5.2.2 La raız cubica de un numero real a existe en R y se denota por 3√a, si

existe un numero real b tal que el cubo de b es igual a a. Es decir:

3√a = b ⇔ b3 = a

OBSERVACION 5.2.5

I Recordemos que en una raız cuadrada la cantidad subradical (la cantidad numerica

bajo la raız) NO puede ser negativa. Por ejemplo:

√−4 /∈ IR, pues no hay numeros reales cuyo cuadrado sea − 4,

(De hecho todo numero real al cuadrado es mayor o igual a cero gracias a la regla de los

signos pues estamos multiplicando un numero por sı mismo; esto es x · x > 0, ∀x ∈ IR).

I Cuando se trata de una raız cubica la situacion es diferente. Ahora todo numero real posee

raız cubica, esto se debe nuevamente a la regla de los signos. Por ejemplo:

3√−8 = −2 ∈ IR, pues (−2)3 = −8.

108

5.2. RADICACION. RAIZ n-ESIMA DE UN NUMERO REAL

Algunas raıces cubicas elementales

3√

1 = 1 pues 13 = 1 ; 3√

216 = 6 pues 63 = 216 ;

3√

8 = 2 pues 23 = 8 ; 3√

343 = 7 pues 73 = 343 ;

3√

27 = 3 pues 33 = 27 ; 3√

512 = 8 pues 83 = 512 ;

3√

64 = 4 pues 43 = 64 ; 3√

729 = 9 pues 93 = 729 ;

3√

125 = 5 pues 53 = 125 ; 3√

1000 = 10 pues 103 = 1000.

5.2.3. Raız n-esima de un numero real

Los conceptos de raız cuadrada y raız cubica se pueden extender al de raız de ındice

n, o bien raız n-esima de un numero real como sigue:

DEFINICION 5.2.3 Sea a,∈ IR y sea n un numero natural. Entonces, decimos que la raız

n-esima del numero real a existe en R y se denota por n√a, si existe un numero real b tal

que la n-esima potencia de b es igual a a. Es decir:

n√a = b⇔ bn = a

OBSERVACION 5.2.6 Las raıces de ındice par no estan definidas en IR si a < 0; mientras

que las raıces de ındice impar estan definidas en IR para todo a ∈ IR.

Propiedades de la raız n-esima de un numero real

Sean n y m dos numeros naturales, y sean a y b dos numeros reales. Asumamos que

existen en R: n√a, n√b, m√a, m√b, n√ab, n

√a

b, n√anb, n

√m√a y nm

√a. Entonces:

1. n√

0 = 0

2. n√

1 = 1

3. n√a · n√b = n√ab

4.n√a

n√b

= n

√a

bsi b 6= 0

5. n√a · m√a = mn

√an+m

6.n√a

m√a

= mn√am−n

7. n√

m√a = nm

√a

8. a n√b = n√anb

109


Prioridad en la operatoria

1o) Parentesis

2o) Potencias y/o Raıces

3o) Productos y/o Cuocientes

4o) Sumas y/o Restas

5.2.4. Potencias de exponente racional

Sea a un numero real y sean p un numero entero y n un numero natural tales que p y n

no poseen factores comunes. Si n√a ∈ R, definimos:

apn = n√ap.

Con esta definicion, se comprueba facilmente que las potencias de exponente fraccionario

cumplen las mismas propiedades de las potencias de exponente entero. Mas aun, ahora

todas las raıces n-esimas se pueden interpretar como potencias y extender las potencias

de base real y exponente fraccionario a exponentes que tambien son reales.

Propiedades de la raız n-esima de un numero real

Sean p y q dos numeros enteros, sean n y m dos numeros naturales, y sean a y b dos

numeros reales. Asumamos que existen en R: n√a, n√b, m√a, m√b, n√ab, n

√a

b, n√anb, n

√m√a y

nm√a. Entonces:

1. 0pn = 0

2. 1qm = 1

3. apn b

pn = (ab)

pn

4.a

pn

bpn

=(ab

) pn

si b 6= 0

5. apn · a q

m = amp+nq

mn

6.a

pn

aqm

= amp−nq

mn

7.(a

pn

) qm = a

pqmn .

110

5.3. LOGARITMACION. LOGARITMO DE UN NUMERO REAL

5.2.5. Potenciacion

A continuacion se puede definir la operacion potenciacion entre numeros reales posi-

tivos sin mayor dificultad. Entonces, al considerar un numero real positivo a, con a 6= 1, y

trazar una curva en el plano cartesiano que represente la relacion

y = ax

obtenemos los siguientes graficos:

5.3. Logaritmacion. Logaritmo de un numero real

DEFINICION 5.3.1 Sean a y p dos numeros reales positivos, a 6= 1. El logaritmo en base a

de p existe en R y se denota por loga p, si existe un numero real r tal que ar es igual a p. Es

decir:

loga p = r ⇔ ar = p.

El numero real positivo p se llama argumento del logaritmo.

OBSERVACION 5.3.1 Es usual usar la siguiente notacion

log10 p = log p

y

loge p = ln p

conocido como logaritmo natural.

La definicion de logaritmo nos permite establecer una relacion de reciprocidad con la

de potencia. De esta forma, para estudiar las propiedades que verifican los logaritmos

podemos hacerlo mediante las propiedades de las potencias.

111


Propiedades de los logaritmos

Sean a, b y c numeros reales positivos distintos de 1, sean p y q numeros reales positivos

y sea r un numero real. Entonces:

1. loga 1 = 0

2. loga a = 1

3. loga pq = loga p+ loga q

4. logapq

= loga p− loga q si b 6= 0

5. loga pr = r loga p

6. loga b =logc a

logc b

7. aloga p = p

8. loga p = − log 1ap

Al considerar un numero real positivo a, con a 6= 1, y trazar una curva en el plano

cartesiano que represente la relacion

y = loga x⇔ ay = x

obtenemos los siguientes graficos (que corresponden a una reflexion de los graficos de las

potencias con respecto al eje y = x pues basicamente hemos cambiado la x por la y:

112

Capıtulo 6

Algebra elemental II

6.1. Fracciones algebraicas

Una expresion algebraica fraccionaria tal que su numerador y su denominador son

polinomios recibe el nombre de fraccion algebraica.

EJEMPLO 6.1.1 Las siguientes expresiones

a)a

bx; b)

4x− y2x− y

; c)a3b4x2

x2y + xy2; d)

x2 − 4

x2 + 5x+ 6

son fracciones algebraicas. �

Si el polinomio en el denominador contiene n factores literales; digamos x1, x2, . . . , xn,

llamaremos dominio de valores admisibles o conjunto de restricciones de la fraccion algebraica

al conjunto formado por todas las n-uplas de la forma (x1, x2, . . . , xn) tales que el polino-

mio no se anula.

EJEMPLO 6.1.2

a) El dominio de valores de admisibles de la fraccion algebraicaa

bxes

{(b, x) : b 6= 0 ∧ x 6= 0}. �

b) El conjunto de restricciones de la fraccion algebraica4x− y2x− y

es

{(x, y) : y 6= 2x}. �

c) Las restricciones para que la fraccion algebraicaa3b4x2

x2y + xy2este bien definida son

x 6= 0, y 6= 0, y x 6= −y; pues x2y + xy2 = xy(x+ y) debe ser distinto de 0. �

113

CAPITULO 6. ALGEBRA ELEMENTAL II

d) Los valores de x para los cuales la fraccionx2 − 4

x2 + 5x+ 6esta bien definida son

x 6= −3 ∧ x 6= −2; pues x2 + 5x+ 6 = (x+ 2)(x+ 3) debe ser distinto de 0. �

OBSERVACION 6.1.1 Recordar que para todo a, b ∈ R, la fracciona

b

representa un numero real si y solo si b 6= 0.

6.1.1. Operaciones entre fracciones algebraicas

Basicamente, la forma de operar con fracciones algebraicas es una replica de la forma

de operar con fracciones racionales numericas.

Antes, recordemos un ejemplo numerico las operaciones adicion y sustraccion entre

fracciones racionales numericas.

EJEMPLO 6.1.3 Cuando realizamos el siguiente calculo:

2

3+

5

6− 7

2

en general procedemos de la siguiente forma. Primero encontramos el mınimo comun

multiplo entre los denominadores

m.c.m(2, 3, 6) = 3 · 2 = 6.

Luego, amplificamos adecuadamente cada fraccion de manera que los denominadores

nuevos obtenidos para cada fraccion sean iguales a 6:

2

3+

5

6− 7

2=

2 · 23 · 2

+5

6− 7 · 3

2 · 3=

2 · 2 + 5− 7 · 26

Finalmente realizamos las operaciones indicadas y concluimos:

2

3+

5

6− 7

2=

4 + 5− 14

6= −5

6. �

Notar que un aspecto clave en nuestro ejemplo previo fue encontrar el mınimo comun

denominador posible entre los denominadores de las fracciones involucradas en el ejem-

plo (o mınimo comun multiplo entre los denominadores de las fracciones). Este aspecto

tambien sera clave cuando operemos con la adicion o sustraccion de fracciones algebraicas.

Luego, es conveniente recordar un metodo para encontrar mınimo comun multiplo entre

numeros que pueda facilmente ser adaptado para encontrar mınimo comun multiplo en-

tre polinomios.

114

6.1. FRACCIONES ALGEBRAICAS

EJEMPLO 6.1.4 Cuando calculamos el mınimo comun multiplo entre los numeros natura-

les,

8, 12, 18 y 21

una forma de hacerlo es descomponiendo cada numero en factores primos:

8 = 2 · 2 · 2 = 23

12 = 2 · 2 · 3 = 22 · 318 = 2 · 3 · 3 = 2 · 32

21 = 3 · 7.

Luego, escogemos cada factor primo que aparezca entre todos los numeros factorizados,

con su potencia mas alta, a saber

23, 32 y 7,

y los multiplicamos para obtener el mınimo comun multiplo:

m.c.m(8, 12, 18, 21) = 23 · 32 · 7 = 504. �

Mınimo comun multiplo entre expresiones algebraicas polinomiales

Procedemos como sigue: consideramos cada factor polinomial no factorizable (llama-

dos polinomios irreductibles) entre todos los polinomios involucrados, con su potencia mas

alta; lo mismo con los factores numericos.

EJEMPLO 6.1.5 Encuentra el mınimo comun multiplo entre las siguientes expresiones

algebraicas

a) cd2, ac, 3ab2d3

b) a− b, ab− b2, a3 − b3

c) x3 − 4x, x2 − 3x+ 2, x4 − 4x3 + 4x2

Solucion:

a) Ya estan factorizados los polinomios. Ahora, escogemos los factores con sus potencias

mas altas

3, a, b2, c, d3.

Luego, el mınimo comun multiplo entre las expresiones cd2, ac, 3ab2d3 es:

3ab2cd3. �

115


b) Primero factorizamos aquellos polinomios que no lo estan:

ab− b2 = b(a− b) y a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2).

[Notar que a2 +ab+ b2 no es factorizable]. Ahora escogemos los factores con sus potencias

mas altas

b, (a− b), (a2 + ab+ b2).

Luego, el mınimo comun multiplo entre las expresiones a− b, ab− b2, a3 − b3 es:

b(a− b)(a2 + ab+ b2). �

c) Primero factorizamos aquellos polinomios que no lo estan:

x3 − 4x = x(x2 − 4) = x(x− 2)(x+ 2), x2 − 3x+ 2 = (x− 2)(x− 1)

y

x4 − 4x3 + 4x2 = x2(x2 − 4x+ 4) = x2(x− 2)2.

Ahora escogemos los factores con sus potencias mas altas

x2, (x− 2)2, (x+ 2).

Luego, el mınimo comun multiplo entre las expresiones x3−4x, x2−3x+2, x4−4x3 +4x2

es:

x2(x− 2)2(x+ 1). �

Adicion y sustraccion de fracciones algebraicas

Como hemos mencionado anteriormente, podemos proceder tal como en la adicion o

sustraccion de fracciones racionales numericas.

EJEMPLO 6.1.6 Simplifica las siguientes expresiones, senalando sus restricciones.

a)1 + 2k

2a− 1− 2− 3k

2a− 1

b)5

x2 − y2+

4

x2y − xy2

c)x+ 2

x− y+

4− xx2 − y2

− 2− xx+ y

116


Solucion:

a) Como los denominadores son iguales, podemos restar directamente los numeradores,

teniendo especial cuidado con los terminos afectados por la recta. Para evitar cometer

errores, es conveniente agregar parentesis a los numeradores:

1 + 2k

2a− 1− 2− 3k

2a− 1=

(1 + 2k)

2a− 1− (2− 3k)

2a− 1

=(1 + 2k)− (2− 3k)

2a− 1=

1 + 2k − 2 + 3k

2a− 1=

5k − 1

2a− 1,

y la restriccion es a 6= 1

2. �

b) Factorizamos los denominadores, y calculamos el mınimo comun multiplo para expre-

sar las fracciones involucradas con un mınimo comun denominador:

5

x2 − y2+

4

x2y − xy2=

5

(x− y)(x+ y)+

4

xy(x− y)

=5xy + 4(x+ y)

xy(x− y)(x+ y)=

4x+ 4y + 5xy

xy(x− y)(x+ y).

y las restricciones son x 6= 0, y 6= 0, x 6= y y x 6= −y. �c) Factorizamos los denominadores, y calculamos el mınimo comun multiplo para expre-

sar las fracciones involucradas con un mınimo comun denominador:

x+ 2

x− y+

4− xx2 − y2

− 2− xx+ y

=x+ 2

x− y+

4− x(x− y)(x+ y)

− 2− xx+ y

=(x+ 2)(x+ y)

(x− y)(x+ y)+

(4− x)

(x− y)(x+ y)− (2− x)(x− y)

(x+ y)(x− y)

=x2 + xy + 2x+ 2y + 4− x− 2x+ 2y + x2 − xy

(x− y)(x+ y)

=4y − x+ 2x2 + 4

(x− y)(x+ y). �

Antes de continuar con la multiplicacion y division de fracciones algebraicas, recorde-

mos brevemente estas operaciones entre fracciones racionales numericas.

EJEMPLO 6.1.7 Cuando realizamos el siguiente calculo:

2

3· 5

6

en general procedemos de la siguiente forma. Multiplicamos directamente numerador

con numerador y denominador con denominador, formando una nueva fraccion la cual

117


simplificamos adecuadamente para concluir

2

3· 5

6=

2/ · 53 · 6/

=1 · 53 · 3

=5

9. �

EJEMPLO 6.1.8 Cuando realizamos el siguiente calculo:2

3÷ 5

6

en general procedemos de la siguiente forma. Usando la definicion de division entre

numeros reales, y una propiedad de las potencias, obtenemos

2

3÷ 5

6=

2

3·(

5

6

)−1

=2

3· 6

5

Finalmente, procedemos como en la multiplicacion de fracciones racionales numericas

para concluir2

3÷ 5

6=

2 · 6/3/ · 5

=2 · 21 · 5

=4

5. �

Multiplicacion y division de fracciones algebraicas

Como hemos mencionado anteriormente, procedemos tal como en la adicion o sustrac-

cion de fracciones racionales numericas. Sin embargo, antes de simplificar en una fraccion

algebraica, debemos descartar todos aquellos casos en que el denominador se anula.

EJEMPLO 6.1.9 Simplifica las siguientes expresiones, senalando sus restricciones.

a)2x2 + 7xy + 6y2

x+ 2· x− 3

2x+ 3y

b)x+ y

x2 − y2÷ x3 − y3

x2y − xy2

c)x− yx+ 2

· 4− 2x

x2 − y2÷ 4− x2

x+ y

Solucion:

a) Notar que las restricciones son

x 6= −2 ∧ 2x 6= 3y,

mientras que

2x2 + 7xy + 6y2 =2 (2x2 + 7xy + 6y2)

2=

(2x) 2 + 7y (2x) + 12y2

2

=(2x+ 3y) (2x+ 4y)

2= (x+ 2y) (2x+ 3y)

118


(Primero amplificamos por 2; luego buscamos dos expresiones tales que su suma sea 7y y

que su producto sea 12y2; y estas son 3y y 4y, y finalmente factorizamos y simplificamos

por 2). Entonces, considerando las restricciones previas, se sigue que si x 6= −2 ∧ 2x 6= 3y.

Ası:2x2 + 7xy + 6y2

x+ 2· x− 3

2x+ 3y=

(x+ 2y) (2x+ 3y) (x− 3)

(x+ 2) (2x+ 3y)= x− 3 �

b) Notar que los factores en los denominadores de las fracciones algebraicas son

x2 − y2 = (x+ y) (x− y)

x2y − xy2 = xy (x− y) .

Luego, tenemos las siguientes restricciones

x 6= y ∧ x 6= −y ∧ x 6= 0 ∧ y 6= 0.

Por otro lado, el divisor en la division es

x3 − y3

x2y − xy2=

(x− y) (x2 + xy + y2)

xy (x− y).

Entonces tenemos que

x 6= y ∧ x 6= 0 ∧ y 6= 0⇒(

(x− y) (x2 + xy + y2)

xy (x− y)6= 0⇔

(x2 + xy + y2

)6= 0

)y esto ultimo es siempre cierto pues x2+xy+y2 no es factorizable en polinomios de primer

grado. Luego, las unicas restricciones son x 6= y, x 6= −y, x 6= 0, y 6= 0. Considerando estas

restricciones, obtenemos

x+ y

x2 − y2÷ x3 − y3

x2y − xy2=

x+ y

(x+ y) (x− y)÷ (x− y) (x2 + xy + y2)

xy (x− y)

=(x+ y)

(x+ y) (x− y)· xy (x− y)

(x− y) (x2 + xy + y2)

=xy

(x− y) (x2 + xy + y2)�

c) Notar que los factores en los denominadores de las fracciones algebraicas son

x+ 2

x2 − y2 = (x+ y) (x− y)

x+ y.

119


Luego, tenemos las siguientes restricciones

x 6= −2 ∧ x 6= −y ∧ x 6= y.

Por otro lado, el divisor en la division es4− x2

x+ y=

(2− x) (2 + x)

(x+ y).

Entonces tenemos que

x 6= −y ∧ x 6= −2⇒(

(2− x) (2 + x)

(x+ y)6= 0⇔ (2− x) 6= 0⇔ x 6= 2

).

Luego, las restricciones son x 6= y, x 6= −y, x 6= 0 e y 6= 0. Considerando estas restricciones,

obtenemosx− yx+ 2

· 4− 2x

x2 − y2÷ 4− x2

x+ y=

x+ y

(x+ y) (x− y)÷ (x− y) (x2 + xy + y2)

xy (x− y)

=(x+ y)

(x+ y) (x− y)· xy (x− y)

(x− y) (x2 + xy + y2)

=xy

(x− y) (x2 + xy + y2)�

6.1.2. Ecuaciones que involucran fracciones algebraicas reducibles a una

de primer grado

Partimos recordando como resolver una ecuacion de primer grado con coeficientes

racionales.

EJEMPLO 6.1.10 Resolver la siguiente ecuacion:x+ 1

5+x+ 2

10− 2x− 3

2= 3

Solucion: Para no tener problemas con las operaciones entre las fracciones involucradas,

conviene encerrar entre parentesis cada numerador. Luego, calculamos el mınimo comun

multiplo entre los denominadores involucrados, a saber m.c.m(2, 10, 5) = 10, y multipli-

camos cada termino de la ecuacion por este valor:

(x+ 1)

5+

(x+ 2)

10− (2x− 3)

2= 3 / · 10

⇒ 2(x+ 1) + (x+ 2)− 5(2x− 3) = 10 · 3⇒ 2x+ 2 + x+ 2− 10x+ 15 = 30

⇒ −7x = 11

⇒ x = −11

7�

120


Para resolver una ecuacion que involucra fracciones algebraicas, la forma de proceder es

muy similar, resaltando el hecho que ahora debemos hacer las restricciones necesarias a

cada termino de la ecuacion para realizar las operaciones que nos permitan reducirla a

una ecuacion que ya sepamos resolver.

EJEMPLO 6.1.11 Resolver la siguiente ecuacion:

x− 1

x− 3− x− 3

x− 2− 4x

x2 − 5x+ 6= 0

Solucion: En primer lugar, notemos que

x2 − 5x+ 6 = (x− 3)(x− 2)

Luego, la ecuacion esta bien definida para valores de x que verifiquen

x 6= 3 ∧ x 6= 2.

Considerando estas restricciones, encontramos ahora el mınimo comun multiplo entre los

denominadores y multiplicamos la ecuacion por tal expresion. Tenemos

m.c.m.(

(x−3), (x−2), x2−5x+6)

= m.c.m.(

(x−3), (x−2), (x−2)(x−3))

= (x−3)(x−2).

Se sigue quex− 1

x− 3− x− 3

x− 2− 4x

x2 − 5x+ 6= 0

121


122

Capıtulo 7

Trigonometrıa

7.1. Introduccion

El principal problema que aborda la trigonometrıa es el de calcular las medidas de los

lados y angulos de un triangulo, conocidas las medidas de algunos de ellos. Resolver este

tipo de problemas, en apariencia sencillos, tomo anos en ser descubierto por el hombre.

Entre las motivaciones que posiblemente originaron estos estudios, se encuentra el hecho

de que el hombre debıa realizar ciertas mediciones, ya sea en el campo o en la ciudad,

basandose solo en algunos datos que poseıa. Por ejemplo, para calcular alturas de cerros,

arboles, edificaciones, etc. . .

En la actualidad, las aplicaciones de la trigonometrıa se han diversificado. En Fısi-

ca, es comun usarla en cierto tipo de problemas que miden la intensidad de un cam-

po electrico. En Construccion, es una herramienta de ayuda para efectuar armaduras de

tipo Fink. En Astronomıa, se usa para medir distancias a estrellas proximas mediante

tecnicas de triangulacion. En Geografıa, se emplea en la medicion de distancias entre

puntos geograficos. En diversas areas tambien es posible encontrar mas aplicaciones, por

ejemplo: en sistemas de navegacion por satelites, en movimientos de brazos roboticos, en

Topografıa, etc. . .

Figura 7.1: Armadura de tipo Fink

123

CAPITULO 7. TRIGONOMETRIA

7.2. Razones Trigonometricas

A continuacion estableceremos algunas relaciones entre los lados de un triangulo

rectangulo con respecto a uno de sus angulos agudos:

Figura 7.2: Triangulo Rectangulo

Se definen las siguientes razones trigonometricas:

1. seno de ∠θ, como:

sen θ =cateto opuesto a ∠θ

hipotenusa

2. coseno de ∠θ, como:

cos θ =cateto adyacente a ∠θ

hipotenusa

3. tangente de ∠θ, como:

tan θ =cateto opuesto a ∠θ

cateto adyacente a ∠θ

4. cosecante de ∠θ, como:

csc θ =hipotenusa

cateto opuesto a ∠θ

5. secante de ∠θ, como:

sec θ =hipotenusa

cateto adyacente a ∠θ

6. cotangente de ∠θ, como:

cot θ =cateto adyacente a ∠θcateto opuesto a ∠θ

124

7.3. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTALES

7.3. Identidades Trigonometricas Fundamentales

Desde el Teorema de Pitagoras tenemos:

Figura 7.3: Teorema de Pitagoras

y aplicando las definiciones de la seccion anterior al triangulo de la Figura 2.2, obtenemos

sen θ =a

c; cos θ =

b

c; tan θ =

a

b

csc θ =c

a; sec θ =

c

b; cot θ =

b

a

Entonces:1. tan θ =

a

b=

acbc

=sen θ

cos θ

∴ tan θ =sen θ

cos θ

2. cot θ =b

a=

bcac

=cos θ

sen θ

∴ cot θ =cos θ

sen θ

3. tan θ =a

b=

1ba

=1

cot θ

∴ tan θ =1

cot θ

4. cot θ =b

a=

1ab

=1

tan θ

∴ cot θ =1

tan θ

5. sen θ =a

c=

1ac

=1

csc θ

∴ sen θ =1

csc θ

125


6. csc θ =c

a=

1ac

=1

sen θ

∴ csc θ =1

sen θ

7. cos θ =b

c=

1cb

=1

sec θ

∴ cos θ =1

sec θ

8. sec θ =c

b=

1bc

=1

cos θ

∴ sec θ =1

cos θ

9. a2 + b2 = c2 ⇒ a2

c2+b2

c2=c2

c2

⇒(ac

)2

+(bc

)2

= 1

⇒ sen 2θ + cos 2θ = 1

∴ sen 2θ + cos 2θ = 1

10. a2 + b2 = c2 ⇒ a2

a2+b2

a2=c2

a2

⇒ 1 +( ba

)2

=( ca

)2

⇒ 1 + cot 2θ = csc 2θ

∴ 1 + cot 2θ = csc 2θ

11. a2 + b2 = c2 ⇒ a2

b2+b2

b2=c2

b2

⇒(ab

)2

+ 1 =(cb

)2

⇒ tan 2θ + 1 = sec 2θ

∴ tan 2θ + 1 = sec 2θ

126

7.4. RAZONES TRIGONOMETRICAS ENTRE TRIANGULOS SEMEJANTES

7.4. Razones trigonometricas entre triangulos semejantes

EJEMPLOS 7.4.1

1. Justifica por que los siguientes dos triangulos son rectangulos y semejantes, e indica

la razon de semejanza entre ellos (aquı la unidad de medida de los lados es la misma

para cada triangulo, y en este caso la omitimos):

Figura 7.4:4 equilatero de lado 1

a) Establece una correspondencia de congruencia entre los angulos de los triangu-

los, indicandolos en la otra figura.

b) Para aquellos angulos congruentes al ∠α, calcula las razones trigonometricas

seno, coseno y tangente asociadas a estos angulos.

c) ¿Que puedes decir de los valores de las razones trigonometricas asociadas a

cada angulo congruente?

2. Justifica por que los siguientes dos triangulos son rectangulos y semejantes, e indica

la razon de semejanza entre ellos:


a) Establece una correspondencia de congruencia entre los angulos de los triangu-

los

127


b) Para aquellos angulos congruentes al ∠α, calcula las razones trigonometricas

seno, coseno y tangente asociadas a estos angulos.

c) ¿Que puedes decir de los valores de las razones trigonometricas asociadas a

cada angulo congruente?

7.4.1. Reduccion a triangulos rectangulos de hipotenusa 1 (unidad)Los ejemplos anteriores nos muestran que para cada triangulo rectangulo podemos

encontrar otro semejante de hipotenusa 1 (unidad). Ademas, las razones trigonometricas

resultan iguales pues la constante de proporcionalidad se simplifica. De esta forma, para

estudiar las razones trigonometricas en triangulos rectangulos, bastara con estudiar en

detalle lo que suceda con los triangulos rectangulos de hipotenusa 1 (unidad). Al calcular

las razones trigonometricas en triangulo rectangulo lo que realmente interesa es la medida

del angulo que se toma como referencia.

7.5. Angulos notables y los valores de las razones trigo-

nometricas asociadas• Estudiemos a continuacion el triangulo equilatero de lado 1. En la figura a continua-

cion determinaremos la medida de la altura h.


Desde la figura previa , obtenemos los siguientes resultados:

(1◦) cos 30◦ =√

32∧ sen 30◦ = 1

2

(2◦) cos 60◦ = 12∧ sen 60◦ =

√3

2

128

7.5. ANGULOS NOTABLES Y LOS VALORES DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICASASOCIADAS

• Ahora, estudiemos el triangulo rectangulo isosceles de hipotenusa 1. En la figura a

continuacion determinaremos la medida x del cateto:

Figura 7.7:4 rectangulo isosceles de hipotenusa 1

Desde la figura previa, obtenemos los siguientes resultados:

(3◦) cos 45◦ = 1√2∧ sen 45◦ = 1√

2

• Intuitivamente, uno puede observar que sen 0◦ = 0 y cos 0◦ = 1 (recordar la identidad

fundamental de la trigonometrıa), luego tan 0◦ = 0.

• Intuitivamente, uno puede observar que sen 90◦ = 0 y cos 90◦ = 1 (recordar la iden-

tidad fundamental de la trigonometrıa), luego tan 90◦ no esta definida en R (pues

tangente es el cuociente entre seno y coseno)

7.5.1. Tabla de razones trigonometricas de angulos notables

Ayudado por los resultados de esta seccion obtenemos la siguiente tabla de valores

para las razones trigonometricas sen , cos y tan :

θ = 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦

sen θ 01

2

1√2

√3

21

cos θ 1

√3

2

1√2

1

20

tan θ 01√3

1√

3 @

129


7.5.2. Problemas de Trigonometrıa

EJEMPLOS 7.5.1 Resuelve los siguientes problemas:

1. Una persona ubica un extremo de una escalera en el suelo y otro en el borde del

techo de su casa, formando esta con el suelo un angulo de 60◦. Si la escalera mide 25

metros, ¿a que altura esta el techo de la casa del suelo?

2. En un triangulo isosceles cuya base mide 40 cm y cuyos angulos basales miden 30◦,

¿cuanto mide su area y perımetro?

Solucion.

1. (1◦) Modelamos el problema real mediante un dibujo simplificado que identifique

la informacion del problema y sus incognitas. Sea h la altura desde el techo hasta el

suelo

(2◦) Interpretamos el dibujo simplificado y hacemos los calculos correspondientes

de acuerdo a la informacion que se tenga (en nuestro caso tenemos un triangulo

rectangulo y conocemos uno de sus angulos agudos, nos preguntamos por el cateto

opuesto a este angulo y conocemos su hipotenusa. Luego, es conveniente recurrir a

la razon trigonometrica seno del angulo agudo dado). Tenemos:

sen 60◦ =h

25⇒ h = 25 · sen 60◦ ⇒ h = 25 ·

√3

2.

(3◦) Concluimos:

La altura desde el techo hasta el suelo es de 25√

32

metros.

2. (1◦) Modelamos el problema mediante un dibujo simplificado que identifique la in-

formacion del problema y sus incognitas. Sea h la altura del triangulo isosceles que

se interseca con su base y sea x la medida de cada uno de sus lados congruentes

130

7.5. ANGULOS NOTABLES Y LOS VALORES DE LAS RAZONES TRIGONOMETRICASASOCIADAS

(2◦) Interpretamos el dibujo simplificado y hacemos los calculos correspondientes

de acuerdo a la informacion que se tenga (en nuestro caso tenemos un triangulo

rectangulo y conocemos uno de sus angulos agudos, nos preguntamos por la hipo-

tenusa y conocemos la medida del lado adyacente a este angulo. Luego, es conve-

niente recurrir a la razon trigonometrica coseno del angulo agudo dado). Tenemos:

cos 30◦ =20

x⇒ x =

20

cos 30◦⇒ x = 20 · 2√

3=

40√

3

3

y encontramos el valor de h usando pitagoras:

202 + h2 = x2 ⇒ h2 =

(40√

3

3

)2

− 202 ⇒ h2 =1600− 1200

3⇒ h =

20√3

=20√

3

3

o recurriendo a la funcion tangente:

tan 30o =h

20⇒ h = 20 · tan 30o ⇒ h =

20√

3

3.

(3◦) Concluimos:

El perımetro del triangulo mide(

80√

33

+ 40)

metros y su area mide 400√

33

metros

cuadrados.

EJERCICIOS 7.5.1 1. Un arbusto de 12√

3 m de altura en perpendicular al suelo, pro-

yecta una sombra de 12 m. ¿Cual es el angulo que forma la direccion de los rayos

solares con la horizontal?

2. La velocidad inicial de un proyectil es de 26 mseg

, formando un angulo de 50◦ con

el suelo horizontal. Calcule la velocidad de la componente horizontal (considere

sen 50◦ = 0, 76).

3. Al despegar un jet, se eleva describiendo una trayectoria recta que forma un angulo

de 30◦ con la horizontal. ¿Que distancia ha volado el jet al alcanzar con esta trayec-

toria una altura de 2 000 m?

131


4. Si se tiene un rectangulo de 6√

6 cm. por 6√

3 cm, ¿cual es la medida del angulo

formado por la diagonal y el lado menor?

5. Si la altura de un triangulo equilatero es 14. ¿Cuanto mide su lado?

6. La ciudad de Oslo, Noruega, tiene una latitud de 60◦, considerando 6 370 km como

la longitud del radio terrestre, encuentre la distancia de Oslo al plano ecuatorial.

7. Encuentre la tension de los cables que sostienen el cuerpo que pesa 70 Kg. Tomese

en cuenta que la componente vertical en cada una de las fuerzas de tension T es de

35 Kg.

8. Determina las medidas de los restantes lados del siguiente triangulo:

7.6. Circunferencia Goniometrica

Partimos recordando la siguiente relacion entre las formas de medir un angulo:

360◦medicion en GRADOS

≡ 2πmedicion en RADIANES

A partir de esta relacion obtenemos la siguiente tabla de valores:

0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 120◦ 135◦ 150◦ 180◦ 210◦ 225◦ 240◦ 270◦ 300◦ 315◦ 330◦ 360◦

0π

6π

4π

3π

22π3

3π4

5π6

π7π6

5π4

4π3

3π2

5π3

7π4

11π6

2π

Ahora consideramos una circunferencia de radio 1 centrada en el origen de R2. Vamos a

medir angulos con vertice en el origen, cuyo lado inicial es el rayo contenido en el eje x

132

7.6. CIRCUNFERENCIA GONIOMETRICA

lado positivo. La medicion se hace en sentido antihorario. Suponiendo que θ es el angulo

que queremos medir, asociaremos el par (x0, y0) sobre la circunferencia, que corresponde

a la interseccion del lado terminal del angulo con la circunferencia, el par (cos θ, sen θ),

lo que es posible gracias a la deficion de las razones trigonometricas seno y coseno del

angulo θ sobre un triangulo rectangulo:

Figura 7.8: Circunferencia Goniometrica

OBSERVACION 7.6.1 Notemos que el signo de cos θ y sen θ dependen del signo de x0 e y0

respectivamente. Por ejemplo, en el segundo cuadrante, un punto (x0, y0) sobre la

circunferencia es tal que x0 < 0 e y0 > 0. Luego, cos θ < 0 y sen θ > 0.

Figura 7.9: Un angulo en el Cuadrante II

133


OBSERVACION 7.6.2 Como una consecuencia de los resultados hasta aquı obtenidos para

la circunferencia gonometrica, tenemos:

Figura 7.10: Valores de coseno y seno en el Cuadrante I

7.6.1. Reduccion al Cuadrante I

1. Caso cuando pasamos desde el Cuadrante II al Cuadrante I.

Observemos el siguiente dibujo:

Figura 7.11: Reduccion desde el Cuadrante II al Cuadrante I

Observar desde la figura que:

θ = π − α ∈ IIC.⇔ α = π − θ ∈ IC. ∧ cos θ = −cosα ∧ sen θ = senα

∴ θ ∈]π

2, π[⇒

cos θ = −cos (π − θ)

sen θ = sen (π − θ)

2. Caso cuando pasamos desde el Cuadrante III al Cuadrante I.


134

7.6. CIRCUNFERENCIA GONIOMETRICA

Figura 7.12: Reduccion desde el Cuadrante III al Cuadrante I


θ = π + α ∈ IIIC.⇔ α = θ − π ∈ IC. ∧ cos θ = −cosα ∧ sen θ = −senα

∴ θ ∈]π, 3π

2

[⇒

cos θ = −cos (θ − π)

sen θ = −sen (θ − π)

3. Caso cuando pasamos desde el Cuadrante IV al Cuadrante I.


Figura 7.13: Reduccion desde el Cuadrante IV al Cuadrante I


135


θ = 2π − α ∈ IVC.⇔ α = 2π − θ ∈ IC. ∧ cos θ = cosα ∧ sen θ = −senα

∴ θ ∈]3π

2, 2π[⇒

cos θ = cos (2π − θ)

sen θ = −sen (2π − θ)

OBSERVACION 7.6.3 (ANGULOS NEGATIVOS) Sea α un angulo. La notacion−α senala que

el angulo α se mide en sentido antihorario a partir del rayo que comienza en el origen con-

tenido en el eje x lado positivo. Entonces desde la Figura 2.10 obtenemos lo siguiente:

sen (−α) = −sen θ cos (−α) = cosα

Por otro lado (−1)n = −1 si n es impar y (−1)n = 1 si n es par. Estos hechos justifican el

que digamos que sen es impar y cos es par.

OBSERVACION 7.6.4 (ANGULOS QUE NO PERTENECEN AL INTERVALO [0, 2π[) Sea α ∈ [0, 2π[.

No es difıcil ver desde la Figura 2.10 que

α = 2π + α = 4π + α = 6π + α = . . . = 2nπ + α, ∀n ∈ N,

tomando en cuenta que cada vuelta completa de la circunferencia equivale en

radianes a 2π. Luego, n representa el numero de vueltas alrededor del cırculo que uno

a dado, pero en terminos practicos el angulo es el mismo.

Ayudado por los resultados de esta seccion obtenemos la siguente tabla de valores para

las razones trigonometricas sen , cos y tan :

0 π6

π4

π3

π2

2π3

3π4

5π6 π 7π

65π4

4π3

3π2

5π6

7π4

11π6 2π

sen θ 0 12

1√2

√3

2 1√

32

1√2

12 0 − 1

2 − 1√2−√

32 −1 −

√3

2 − 1√2− 1

2 0

cos θ 1√

32

1√2

12 0 − 1

2 − 1√2−√

32 −1 −

√3

2 − 1√2− 1

2 0 12

1√2

√3

2 1

tan θ 0 1√3

1√

3 @ −√

3 −1 − 1√3

0 1√3

1√

3 @ −√

3 −1 − 1√3

0

7.7. Identidades Trigonometricas

Notemos que podemos extender los resultados obtenidos para las identidades trigo-

nometricas en angulos entre 0◦ y 90◦ a angulos de cualquier medidas. Basandonos en

aquellos resultados, ahora con la generalidad que corresponda y descartando aquellos ca-

sos de angulos donde alguno de los lados de la identidad se indefine, podemos demostrar

nuevas identidades trigonometricas.

EJEMPLOS 7.7.1 Prueba las siguientes identidades trigonometricas:

136

7.7. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

1.senα

1 + cosα+

1 + cosα

senα=

2

senα

2. 1 + cosα + senα + tanα = (1 + cosα) (1 + tanα)

3.senα

1− cosα=

1 + cosα

senα

Solucion.

1. Consideramos α 6= nπ para n ∈ Z. Entonces:

senα

1 + cosα+

1 + cosα

senα=

sen 2α + (1 + cosα)2

(1 + cosα) senα

=sen 2α + 1 + 2cosα + cos 2α

(1 + cosα) senα

=2 + 2cosα

(1 + cosα) senαpues sen 2α + cos 2α = 1

=2 (1 + cosα)

(1 + cosα) senα

=2

senα

2. Consideramos α 6= π2

+ nπ para n ∈ Z. Entonces:

1 + cosα + senα + tanα = 1 + cosα + senα +senα

cosα

=cosα + cos 2α + senαcosα + senα

cosα

=(cosα + cos 2α) + (senα + senαcosα)

cosα

=cosα (1 + cosα) + senα (1 + cosα)

cosα

=(cosα + senα) (1 + cosα)

cosα

=(cosα + senα)

cosα· (1 + cosα)

1

=(cosα

cosα+

senα

cosα

)· (1 + cosα)

1= (1 + tanα) (1 + cosα)

3. Consideramos α 6= nπ para n ∈ Z. Entonces:

senα

1− cosα=

senα

1− cosα· 1 + cosα

1 + cosα

=senα (1 + cosα)

1− cos 2α

=senα (1 + cosα)

sen 2αpues cos 2α = 1− sen 2α

=1 + cosα

senα

137


EJERCICIOS 7.7.1 Haciendo las restricciones necesarias, prueba las siguientes identidades

trigonometricas:

1. tanα + cotα = cscα · secα

2. sec 2α + csc 2α = sec 2α · csc 2α

3.senα

1− cosα= cscα + cotα

4.secα

tanα + cotα= senα

5.1− senα

cosα=

cosα

1 + senα

6. tanα =senα√

1− sen2 α

7. 1− (cosα− senα)2 = 2 senα · cosα

8.sen2 α

senα− cosα+

senα + cosα

1− tan 2α= senα + cosα

9. tan 2α− sen2 α = sen2 α · tan 2α

10. sen3 α (1 + cotα) + cos 3α (1 + tanα) = senα + cosα

11. (cotα + 1)2 + (cotα− 1)2 =2

sen2 α

7.8. Ecuaciones TrigonometricasAhora usaremos todo lo que hemos aprendido acerca de trigonometrıa junto a nuestros

conocimientos generales acerca de la resolucion de ecuaciones con una incognita para

resolver ecuaciones mas complejas.

EJEMPLOS 7.8.1 Resolver las siguientes ecuaciones trigonometricas:

1. sen2 x = 2 sen x · cosx

2. sec 2x+ tan 2x = 2

3. (1− tanx) (senx · cos 3x− cosx sen3 x) = 0

138

7.8. ECUACIONES TRIGONOMETRICAS

Solucion.

1. sen 2x = 2senxcosx

⇒ sen 2x− 2senxcosx = 0

⇒ senx (senx− 2cosx) = 0

⇒ senx = 0 ∨ senx = 2cosx / ( )2

⇒ senx = 0 ∨ sen 2x = 4 (1− sen 2x) pues cos 2x = 1− sen 2x

⇒ x = nπ ∨ sen 2x = 45

para n ∈ Z

⇒ x = nπ ∨

{senx = 2√

5+ 2nπ

senx = − 2√5

+ 2nπpara n ∈ Z

=⇒ x = nπ ∨

x = arcsen(

2√5

+ 2nπ)

x = arcsen(− 2√

5+ 2nπ

) para n ∈ Z

2. sec 2x+ tan 2x = 2

⇒ 1cos 2x

+ sen 2xcos 2x

= 2 x 6= π2

+ nπ, n ∈ Z⇒ 1 + sen 2x = 2cos 2x

⇒ 1 + (1− cos 2x) = 2cos 2x pues sen 2x = 1− cos 2x

⇒ cos 2x = 23

⇒ cosx =√

23

⇒

x = arc cos√

23

+ 2nπ ∨ x = arc cos√

23

+ 2nπ

x = arc cos(−√

23

)+ 2nπ ∨ x = − arc cos

(−√

23

)+ 2nπ

para n ∈ Z

3. (1− tanx) (senxcos 3x− cosxsen 3x) = 0

⇒ (1− tanx) cosxsenx (cosx+ senx) (senx− cosx) = 0 x 6= π2

+ nπ, n ∈ Z⇒ tanx = 1 ∨ senx = 0 ∨ cosx = −senx ∨ senx = cosx pues cosx 6= 0

⇒ x = π4

+ nπ ∨ x = nπ ∨ x = 34π + nπ para n ∈ Z

EJERCICIOS 7.8.1 Resuelva las siguientes ecuaciones trigonometricas para x ∈ [−π, π]:

1. cotx+ cscx = −2cos (2x) · cscx

2. 6senx · cosx+ 2senx+ 3cosx+ 1 = 0

3. sen (4x)− sen (2x)− cos (3x) = 0

4. cot 2x+ 5cotx+ 6 = 0

139


7.9. Teoremas del Seno y del Coseno

7.9.1. Teorema del Seno

Considere un triangulo cualquiera junto a sus elementos primarios, como por ejemplo

el de la figura:

Entonces siempre se tiene que:

a : b : c = senα : sen β : sen γ

o bien,

senα

a=

sen β

b=

sen γ

c

Estos resultados se conocen como Teorema del Seno y su demostracion es muy sencilla.

EJEMPLO 7.9.1 En cada figura encontrar el valor de x:

140

7.9. TEOREMAS DEL SENO Y DEL COSENO

7.9.2. Teorema del Coseno

Considere un triangulo cualquiera junto a sus elementos primarios, como por ejemplo

el de la figura:

Entonces siempre se tiene que:

a2 = b2 + c2 − 2 · b · c · cosα

b2 = a2 + c2 − 2 · a · c · cos β

c2 = a2 + b2 − 2 · a · b · cos γ

Estos resultados se conocen como Teorema del Coseno y su demostracion es muy sencilla.

EJEMPLO 7.9.2 En cada figura encontrar el valor de x:

7.9.3. Aplicaciones finales

EJERCICIOS 7.9.1

1. Resuelva los siguientes problemas con enunciado:

a) Los angulos de elevacion de un aeroplano se miden desde la base y desde lo

mas alto de un edificio que mide 20 metros de altura. El angulo en la cima del

edificio es 35◦ y el angulo desde la base del edificio es 40◦. Encuentre la altitud

del aeroplano.

141


b) Un hombre a 100 metros de la base de un risco observa desde el suelo la cima

de este con un angulo de elevacion de 28◦. Si el risco forma un angulo de 65◦

con el suelo, determine su altura aproximada.

c) Desde un faro se observa un bote en direccion sur con un angulo de

depresion de 55◦ y desde el mismo lugar se observa otro bote en

direccion poniente con un angulo de depresion de 28◦. Calcular la

altura del faro si la distancia entre los dos botes es de 150 metros.

2. En la siguiente figura, determine el valor de x.

3. Resuelva todos los elementos primarios del triangulo de acuerdo a los datos que se

le dan.

a) α = 80◦, β = 20◦, b = 7

b) β = 37◦, γ = 51◦, a = 5

c) γ = 15◦, a = 8, c = 5

d) a = 5, b = 7, c = 8

e) γ = 55◦, a = 25, b = 10

f ) α = 30◦, b = 20, c = 15

142

Parte III

Nociones de matematica superior

143

Capıtulo 8

Introduccion a la teorıa de Logica y Conjuntos

8.1. Logica proposicional

Muchas clases de oraciones aparecen en el lenguaje comun, incluyendo enunciados

basados en hechos, opiniones, ordenes y preguntas. La logica simbolica estudia solo el

primer tipo de oracion, la clase que concierne a los hechos.

DEFINICION 8.1.1 Una proposicion(o enunciado) se define como una oracion declarativa

que es verdadera o falsa (valores de verdad), pero no ambas de manera simultanea.

EJEMPLO 8.1.1 Los dos enunciados siguientes son proposiciones

1. La Casa Central de la USM esta ubicada en el Cerro Los Placeres de Valparaıso

2.√

2 es racional

Cada una es verdadera o falsa. Sin embargo, basandose en esta definicion.

EJEMPLO 8.1.2 Las siguientes oraciones no son proposiciones

1. ¡Que lindo esta tu peinado!

2. Desarrolla la guıa de ejercicios

3. ¿Que dıa es el proximo certamen de MAT001?

4. Esta frase es falsa

Estas oraciones no pueden identificarse como verdaderas o falsas, la primera es una opi-

nion, la segunda es una orden, la tercera es una pregunta y la cuarta una paradoja; si

suponemos que es verdadera, entonces es falsa, y si suponemos que es falsa, entonces es

verdadera.

145

CAPITULO 8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE LOGICA Y CONJUNTOS

NOTACION 8.1.1 Para identificar de manera simbolica una cierta proposicion se usan le-

tras del alfabeto como son p, q, r, s, ...etc.

DEFINICION 8.1.2 Una proposicion compuesta puede formarse por la combinacion de

dos o mas proposiciones. Las proposiciones que forman una proposicion compuesta re-

ciben el nombre de componentes de la proposicion. Para la formacion de proposiciones

compuestas pueden usarse varios conectivos logicos, o simplemente conectivos. Palabras

como y, o, no,y si ... entonces, son ejemplos de conectivos. (Aunque una proposicion tal

como Hoy no es martes consta de dos componentes, por conveniencia se considera se con-

sidera compuesta, ya que su valor de verdad se determina observando el valor de verdad

de una proposicion diferente: Hoy es martes.)

EJERCICIOS 8.1.1 Decida si cada proposicion es compuesta o no

1. Eduardo cursa el paralelo 1 de MAT001 y Marcelo el paralelo 12 de MAT021.

2. Un alumno de MAT001 puede aprobar la asignatura o reprobarla.

3. Si el profesor lo dijo, entonces debe ser verdadero.

4. Este texto lo escribio Ortega y Gaset.

DEFINICION 8.1.3 Negacion:

La oracion MAT024 es una asignatura impartida por el Departamento de Matematica de la

USM es una proposicion; la negacion de esta proposicion es MAT024 no es una asignatura

impartida por el Departamento de Matematica de la USM y es una nueva proposicion.

OBSERVACION 8.1.1

1. Al respecto de los valores de verdad de la negacion podemos decir que si la pro-

posicion es verdadera su negacion es falsa y si la proposicion es falsa entonces la

negacion sera verdadera, en lo referente a la notacion simbolica, si p es una proposi-

cion su negacion la denotaremos por p o bien,∼ p

2. que para ciertos analisis en matematica es practico en el afan de demostrar la vera-

cidad de cierta proposicion, probar la falsedad de la negacion

146

8.1. LOGICA PROPOSICIONAL

EJEMPLO 8.1.3 Recordemos la notacion utilizada en las desigualdades, en relacion a la

negacion:

La negacion de a es menor que 7 es a no es menor que 7. Como no podemos utilizar ”no”,

lo cual requerirıa escribir a ≮ 7, redactamos la negacion como a es mayor o igual a 7, o

a > 7

DEFINICION 8.1.4 Conjuncion:

A partir de dos proposiciones p y q formaremos la conjuncion de p y q, simbolizada por

p ∧ q. En el lenguaje comun, el conectivo logico y implica la idea de ”ambos”.

El lunes le sigue inmediatamente al domingo y marzo es el mes que sigue a febrero.

es verdadera, ya que cada proposicion componente es verdadera. Por otra parte, la pro-

posicion

2 es par y el cuadrado de su sucesor es par.

es falsa, a pesar de que parte de la proposicion (2 es par) es verdadera, para que la con-

juncion p ∧ q sea verdadera, ambas deben ser verdaderas y la segunda componente (el

cuadrado de su sucesor es par) es falsa. Los resultados del valor de la conjuncion depen-

diendo de los valores de verdad de las proposiciones componentes las resumiremos en

una tabla, llamada tabla de verdad.

p q p ∧ qV V V

V F F

F V F

F F F

EJEMPLO 8.1.4 Sea p la proposicion log4

√8 = 3

2y q la proposicion x2 + 6x + 1 tiene

raıces recıprocas, Encuentre el valor de verdad de p ∧ q.

Aquı p es falsa y q es verdadera, al observar el tercer renglon de la tabla de verdad de la

conjuncion se muestra que p ∧ q es falsa.

Consideremos la proposicion el libro se le entregara a Juan o el libro se le entregara a

Luis, significa que si va uno de los dos, el libro se le entrega, si van los dos tambien se

entrega y solamente en caso de que no vaya ninguno de los dos no se debe entregar. Por

147


otra parte la proposicion Pedro ira de compras en autobus o en automovil, significa que

Pedro va de compras en autobus, o bien, lo hace en automovil, pero no en ambos. Para

evitar este tipo de ambiguedad definimos.

DEFINICION 8.1.5 Disyuncion

A partir de dos proposiciones p y q, formamos la proposicion compuesta p o q, la que

simbolizaremos mediante p ∨ q, para representar la opcion de p o q o ambas. Con este

significado de o, p∨ q se denomina disyuncion inclusiva, o simplemente disyuncion de p

y q.

Pedro le propone a su profesor: El lunes proximo traere resuelta la Tarea No1 o la Tarea

No2, llegado el lunes el profesor estara decepcionado de su estudiante, solo si este llega

sin ninguna de las dos tareas resueltas. La disyuncion p∨ q es falsa solo si las dos propo-

siciones componentes son falsas, la tabla de verdad para la disyuncion es la siguiente:

p q p ∨ qV V V

V F V

F V V

F F F

OBSERVACION 8.1.2 Los signos de las desigualdades 6 y > son ejemplos usuales de dis-

yuncion inclusiva. Por ejemplo, x 6 6 es verdadera, si cualquiera de las dos proposiciones

x < 6 o x = 6 se cumplen

EJEMPLO 8.1.5 La siguiente lista muestra algunas proposiciones y la razon por la cual

cada una es verdadera.

Proposicion Razon por la cual es verdadera

8 > 8 8 = 8

3 > 1 3 > 1

−5 6 −3 −5 < −3

−4 6 −4 −4 = −4

DEFINICION 8.1.6 Proposicion Condicional:

Si la construyes el vendra

La Voz en la pelıcula de 1990 Field of Dreams

148


Ray Kinsella, un granjero de Iowa en la pelıcula Field of Dreams escucho una voz desde

el cielo y lo interpreto como una promesa de que si construıa un campo de beisbol en su

campo de maız, entonces el fantasma de Joe Jackson (una estrella del beisbol de principios

del siglo XX) vendrıa a jugar a el. La promesa le llego en forma de una proposicion condi-

cional. Una proposicion condicional es una proposicion compuesta que usa el conectivo

Si ... ,entonces. Por ejemplo, algunas proposiciones condicionales son:

? Si leo por un largo tiempo, entonces me dolera la cabeza.

? Si las miradas mataran, entonces estarıa muerto.

? Si el no regresa pronto, entonces tendras que ir a buscarlo.

En cada una de estas proposiciones condicionales, la componente escrita despues de la

palabra si da una condicion (no necesariamente la unica) bajo la cual la proposicion que

sigue a la palabra entonces sera verdadera. Por ejemplo, la afirmacion: Si la temperatura

sobre los 90oF, entonces ire a la playa nos dice una condicion posible bajo la cual ire a la

playa→ si la temperatura sobre los 90oF.

La condicional se escribe con una flecha, de tal modo, la proposicion, si p, entonces q, se

simboliza por:

p⇒ q

Leamos p ⇒ q como p implica a q, o si p, entonces q. En la condicional p ⇒ q, la propo-

sicion p se denomina antecedente ( o hipotesis), mientras que la proposicion q se llama

consecuente (o tesis)

OBSERVACION 8.1.3 El conectivo condicional podrıa no estar siempre de manera explıci-

ta. Esto es, podrıa estar oculto en una expresion cotidiana. Por ejemplo, la proposicion

Los ninos no lloran

puede escribirse en la forma si ..., entonces como sigue

Si eres nino, entonces no lloras

Otro ejemplo, la afirmacion

Es difıcil estudiar cuando se esta distraıdo

149


puede escribirse

Si se esta distraıdo, entonces es difıcil estudiar.

Como se observo antes en la cita de la pelıcula Field of Dreams, la palabra entonces algu-

nas veces no se incluye en la proposicion, pero se sobrentiende que esta ahı en el contexto

de la misma. La proposicion mencionada, tu la construyes es el antecedente y el vendra es

el consecuente.

La tabla de verdad de la condicional (implicancia) es un poco mas difıcil de definir de lo

que fueron las tablas anteriores, para ver como definir la tabla de verdad de la condicional,

analizaremos el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 8.1.6 Hugo, padre de Luis le dice a su hijo.

Si apruebas MAT001, entonces te regalare un automovil.

Como antes, hay cuatro combinaciones posibles de valores de verdad para dos compo-

nentes de la proposicion. Sea p la proposicion Si apruebas MAT001 y sea q te regalare un

automovil.

Conforme analizamos las cuatro posibilidades, serıa util pensar en terminos de lo siguien-

te: ¿Se enoja Luis con su padre?. Si lo hizo, entonces la proposicion condicional se consi-

dera falsa; en caso contrario,la proposicion condicional es verdadera.

1. Si Luis aprueba MAT001 y Hugo le regala el automovil, ¿se enoja Luis con su pa-

dre?

2. Si Luis aprueba MAT001 y Hugo no le regala el automovil, ¿se enoja Luis con su

padre?

3. Si Luis reprueba MAT001 y Hugo le regala el automovil, ¿se enoja Luis con su

padre?

4. Si Luis reprueba MAT001 y Hugo no le regala el automovil, ¿se enoja Luis con su

padre?

El ejemplo anterior nos sugiere la siguiente tabla de verdad para la condicional:

150


p q p⇒ q

V V V

V F F

F V V

F F V

DEFINICION 8.1.7 Bicondicional:

La proposicion compuesta de p si, y solo si q (tambien abreviada a menudo p ssi q) se

llama bicondicional, simbolizada por p ⇔ q, y se interpreta como la conjuncion de dos

condicionales p⇒ q y q ⇒ p. Usando sımbolos esta conjuncion se escribe

(p⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

de modo que por definicion

p⇔ q ≡ (p⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

Mediante esta definicion, la tabla de verdad para la bicondicional p ⇔ q queda definida

mediante:

p q p⇔ q

V V V

V F F

F V F

F F V

EJEMPLO 8.1.7 Diga si cada una de las proposiciones siguientes son verdaderas o falsas

1. 6 + 9 = 15 si, y solo si 12 + 4 = 16

Ambas 6 + 9 = 15 y 12 + 4 = 16 son verdaderas. De acuerdo con la tabla de verdad

de la bicondicional, esta proposicion es verdadera.

2. 5 + 2 = 10 si, y solo si 17 + 19 = 36

Ya que la primera componente (5 + 2 = 10) es falsa y la segunda es verdadera, la

proposicion bicondicional completa es falsa.

3. 6 = 5 si, y solo si 12 6= 12

Ambos componentes de la proposicion son falsos, ası que el ultimo renglon de la

tabla de verdad para la bicondicional, la proposicion completa es verdadera. (¡Para

entender esto habrıa que reflexionar un poco mas!)

151


El resumen que sigue describe como pueden recordarse estas tablas de verdad

Resumen de tablas de verdad basicas

1. ∼ p, la negacion de p, tiene valor de verdad opuesto al de p

2. p ∧ q, la conjuncion, es verdadera solo cuando ambas, p y q, son verdaderas

3. p ∨ q, la disyuncion, es falsa, solo cuando amabas, p y q, son falsas

4. p⇒ q, la condicional, es falsa solo cuando p es verdadera y q es falsa.

5. p⇔ q, la bicondicional, es verdadera cuando p y q tiene el mismo valor de verdad.

8.1.1. Ejercicios Propuestos

Ejercicios de Tipo 1

1. Escriba la negacion de Todo el mundo ama a alguien en algun momento

2. Sea p la proposicion 3 < 5 y q la proposicion 12 tiene 4 divisores, hallar el valor de

verdad de∼ p∧ ∼ q

3. Dado que∼ p es falsa y q es falsa, indique el valor de verdad de p⇒ q


4. De una negacion para la desigualdad y < −2.

5. Si p es una proposicion falsa, ¿cual es el valor de verdad de p ∧ (∼ q ∨ r)?

6. Decidir si las proposiciones siguientes son logicamente equivalentes: Si esto vuela,

entonces es un pajaro y Esto no vuela o es un pajaro


7. Intente negar la oracion El numero exacto de palabras en esta oracion es diez y vea

que sucede. Explique el problema que surge

8. ¿La proposicion 5 > 2 es una conjuncion o una disyuncion?

9. Determinar el valor de verdad de la proposicion: Si m2 es un numero par, entonces

m es un numero par.

152

8.2. CONJUNTOS

8.2. Conjuntos

DEFINICION 8.2.1 Conjuntos y Elementos:

Supongamos que el proceso mental que une objetos bajo una caracterıstica particular nos

da un conocimiento intuitivo adecuado de lo que entendemos por un conjunto. Los objetos

reunidos de esta manera se llaman elementos y decimos que estos pertenecen al conjunto

En general representamos los elementos por letras minusculas a, b, c, · · · , x, y, z y los

conjuntos con letras mayusculas A, B, · · · . Cuando queremos senalar que un elemento a

pertenece a un conjunto A, lo denotamos por:

a ∈ A (a pertenece a A)

El sımbolo ∈ representa la relacion fundamental de la teorıa de conjuntos, la relacion de

pertenencia. Esta es la relacion entre un elemento y un conjunto. Para expresar que un

elemento a no pertenece al conjunto A, lo denotamos por:

a /∈ A (a no pertenece a A)

EJEMPLO 8.2.1 Si A representa al conjunto de los numeros primos, entonces, 3 ∈ A y

12 /∈ A

EJEMPLO 8.2.2 Si S es el conjunto de las soluciones reales de la ecuacion x2− 3x− 10 = 0,

podemos asegurar que 1 /∈ B y 5 ∈ B.

Un conjunto puede designarse enumerando sus elementos dentro de llaves (extension).

Por ejemplo, si A es el conjunto de los primeros cinco enteros positivos, escribimos:

A = {1, 2, 3, 4, 5}

En este caso 2 ∈ A y 7 /∈ B.

Otra notacion comun para este conjunto es A = {x/x es un entero y 1 6 x 6 5} (ex-

tension). En este caso la diagonal / que aparece dentro de las llaves se lee como tal que,

los sımbolos {x/ · · · } se lee el conjunto de todos los x tal que · · · , las propiedades que

van despues del / nos ayudan a determinar los elementos del conjunto descrito.

¡Tenga cuidado!. La notacion A = {x/1 6 x 6 5} no es una descripcion adecuada del

153


conjunto A, a menos que hayamos acordado previamente que los elementos considerados

son enteros. Al adoptar esa convencion, decimos que estamos especificando un universo

o universo de discurso, que por lo general de denota por U , o bienU . Ası, solo elegiremos

elementos de U para formar nuestros conjuntos. En este ejemplo particular, Si U denota

el conjunto de los enteros o de los enteros positivos, entonces A = {x/1 6 x 6 5} es una

descripcion adecuada de A. Si U es el conjunto de los reales {x/1 6 x 6 5} contendrıa

todos los numeros reales entre 1 y 5 inclusive; si U esta formado solamente por enteros

pares, entonces los unicos elementos de {x/1 6 x 6 5} serıan 2 y 4. Para enfatizar el con-

junto universo escribiremos de manera mas acertada {x ∈ U/ · · · }

Consideremos un conjunto como el siguiente {x ∈ R/x2 +1 < 0}, nos encontramos enton-

ces con un conjunto vacıo (es decir, sin elementos). Ejemplifiquemos esta situacion de otra

manera, suponga que la Asociacion Nacional de Futbol hizo construir de finas maderas

un estante donde pondra las copas de los mundiales adultos de futbol que ha ganado,

lamentablemente, tan bello estante esta ahı vacıo, a la espera de que llegue algun trofeo,

es decir, esta el lugar preparado para contener elementos, sin embargo, ningun elemento

esta en ese lugar. Definimos entonces a un tal conjunto (sin elementos) como el conjunto

vacıo y lo denotamos mediante ∅, podemos escribir ∅ = { }.En la mayorıa de las areas de las matematicas, nuestro razonamiento puede ser auxi-

liado y esclarecido mediante el uso de diversos tipos de dibujos y diagramas. En la teorıa

de conjuntos, comunmente usamos los llamados diagramas de Venn, desarrollados por

el logico John Venn (1834-1923). En estos diagramas el conjunto universal esta represen-

tado por un rectangulo y los demas conjuntos de interes dentro de nuestro universo se

representan mediante regiones ovaladas, o en ocasiones por cırculos u otras formas.

154

8.2. CONJUNTOS

EJEMPLO 8.2.3 Consideremos los conjuntos:

A = {1, 2, 3, 6} = {x ∈ N/x es divisor de 6},B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, · · · } = {x ∈ N/x es par},C = {x ∈ R/x2−1

x+1= 0}

D = {x ∈ R/ x−1x2−1

= 12}

E = {x ∈ R/(x− 1)(x+ 1)(x− 2) = 0}F = {x ∈ R/(x− 1)(x+ 1) = 0}

Los conjuntos A, C, D, E y F , son ejemplos de conjuntos finitos, mientras que B es un

ejemplo de un conjunto infinito. Al trabajar con conjuntos comoA yB, podemos describir

los conjuntos por comprension, o bien, enumerar los elementos suficientes para indicar,

esperamos, un patron evidente y de esa manera expresarlos por extension.

Para cualquier conjunto finito M , |M | (o equivalentemente #M ) denota el numero de sus

elementos y se conoce como el cardinal o tamano de M , en el ejemplo anterior, se tiene:

|A| = 4, |C| = 1, |D| = 0, |E| = 3 y |F | = 2.

Se puede observar que todo elemento de F , es a su vez un elemento de E. Esta importante

relacion se da en toda la teorıa de conjuntos y sus aplicaciones y conduce a la siguiente

definicion:

DEFINICION 8.2.2 Si M y N son conjuntos definidos en un universo comun U , decimos

que M es subconjunto de N y escribimos M ⊆ N o N ⊇ M , si cada elemento de M es a

su vez un elemento de N .Sı, ademas, N contiene un elemento que no esta en M , entonces

M es un subconjunto propio de N y se denota como M ⊂ N o N ⊃M .

OBSERVACION 8.2.1 Para cualquier conjunto A, se tiene: ∅ ⊆ A ⊆ U

DEFINICION 8.2.3 Se dice que 2 conjuntos A y B son iguales, cuando ambos tienen los

mismos elementos, es decir, si cada elemento de A pertenece a B y si cada elemento que

pertenece a B pertenece tambien a A. La igualdad entre conjuntos se denota A = B.

155


OBSERVACION 8.2.2 Podemos observar de las dos definiciones anteriores que A = B sı,

y solo si A ⊆ B y B ⊆ A. Esta equivalencia es usada con frecuencia como tecnica de

demostracion para probar que dos conjuntos son iguales.

Operatoria entre Conjuntos

8.2.1. Complemento:

Para cualquier conjunto A dentro de un universo referencial U , el complemento de A,

denotado por Ac (o bien, A′), es el conjunto de elementos de U que no estan en A.

Ac = {x ∈ U/x /∈ A}

EJEMPLO 8.2.4 1. Considere el universo U = {a, e, i, o, u} y el conjunto A = {a, i},entonces

Ac = {e, o, u}

2. Considere el conjunto U = R y el conjunto A = {x ∈ R/x < 3} = (−∞, 3), entonces,

su conjunto complementario de A es: Ac = {x ∈ R/x > 3} = [3,+∞)

OBSERVACION 8.2.3 Algun resultado inmediato de la definicion es:

i) ∅c = U

ii) U c = ∅

iii) Si A ⊆ B ⇒ Bc ⊆ Ac

156

8.2. CONJUNTOS

8.2.2. Interseccion:

La interseccion entre los conjuntos A y B, denotado por A ∩ B, es el conjunto de los

elementos comunes a ambos conjuntos A y B, esto es:

A ∩B = {x ∈ U/x ∈ A ∧ x ∈ B}

EJEMPLO 8.2.5 1. Si A = {1, 3, 5} y B = {4, 5, 6, 7}, entonces A ∩B = {5}

2. Si A = (−∞, 2] y B = (0,+∞), entonces A ∩ B = (0, 2] Los elementos de A son los

reales que cumplen la desigualdad x 6 2 y los que pertenecen a B estan caracteri-

zados por la desigualdad x > 0, luego, los que satisfacen simultaneamente ambas

desigualdades cumplen 0 < x ∧ x 6 2, o como regularmente se escribe: 0 < x 6 2.

OBSERVACION 8.2.4

1. Dos conjuntos A y B sin elementos en comun (A ∩ B = ∅) se llaman conjuntos

disjuntos

2. Si A ⊆ B, entonces A ∩B = A

3. ∅ ∩ A = ∅

4. A ∩ U = A

5. A ∩ Ac = ∅

157


8.2.3. Union:

La union entre los conjuntos A y B, denotado por A∪B, es el conjunto cuyos elemen-

tos pertenecen a cualquiera de los dos conjuntos A y B, esto es:

A ∪B = {x ∈ U/x ∈ A ∨ x ∈ B}

EJEMPLO 8.2.6 1. Si A = {1, 3, 5} y B = {4, 5, 6, 7}, entonces A ∪B = {1, 3, 4, 5, 6, 7}

2. Si A = (−∞,−1) y B = [3,+∞), entonces A ∪B = (−∞,−1) ∪ [3,+∞)

OBSERVACION 8.2.5 Algunas propiedades basicas son:

1. ∅ ∪ A = A

2. A ∪ U = U

3. Si A ⊆ B, entonces A ∪B = B

4. A ∪ Ac = U

8.2.4. Diferencia:

La diferencia entre los conjuntos A y B, denotado por A\B, es el conjunto cuyos

elementos pertenecen a A, pero no pertenecen a B, esto es:

A\B = {x ∈ U/x ∈ A ∨ x /∈ B}

158

8.2. CONJUNTOS

EJEMPLO 8.2.7 1. Si A = {1, 3, 5} y B = {4, 5, 6, 7}, entonces A ∪B = {1, 3}

2. Si A = {x ∈ R/ 1x−1∈ R}, entonces, en lugar de escribir A, mediante la union

(−∞, 1) ∪ (1,+∞), lo podemos hacer mediante la diferencia mediante: R\{1}

OBSERVACION 8.2.6

Algunas propiedades basicas son:

A\∅ = A

A\U = ∅

Si A ∩B = ∅, entonces A\B = A

A\B ⊆ A

8.2.5. Cardinalidad:

Consideremos un conjunto universo finito U .

1. |∅| = 0

2. |Ac|+ |A| = |U |

3. Si A ⊆ B, entonces |A| 6 |B|

4. Sı A ⊂ B, entonces |A| < |B|

5. |A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|

6. |A ∪B ∪ C| = |A|+ |B|+ |C| − |A ∩B| − |A ∩ C| − |B ∩ C|+ |A ∩B ∩ C|

159


EJEMPLO 8.2.8 Bob Carlton es un jefe de seccion de una companıa de servicios electri-

cos. Los empleados de su seccion se encargan de cortar grandes arboles, escalar postes y

unir cables. Recientemente, Carlton presento el siguiente reporte a la gerencia de servicios:

Mi seccion incluye 100 empleados

1. T = el conjunto de empleados que pueden cortar arboles grandes,

2. P = el conjunto de empleados que pueden escalar postes,

3. W = el conjunto de empleados que pueden unir cables,

donde se tiene:

|T | = 45, |P | = 50, |W | = 57, |T ∩ P | = 28, |P ∩W | = 20, |T ∩W | = 25, |T ∩ P ∩W | = 11 y

|T c ∩P c ∩W c| = 9, la informacion entregada por Carlton a la gerencia aparece en la figura

adjunta

8.2.6. Ejercicios Propuestos

Ejercicios Tipo 1:

Considere U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, }, A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6}, C={1,2,3},D={4,5,6} y E = {2, 3, 4, 5}, determinar cada uno de los siguientes conjuntos:

a) (A ∪B)c

b) #[(D\E) ∩B]

c) (A\B) ∪ (B\A)

d) (C ∪D)c ∩ E

160

8.2. CONJUNTOS

Ejercicios Tipo 2:

a) Si A = {x ∈ R/x es racional} y B = {x ∈ R/x es irracional}, entonces

1) A ∪B =

2) A ∩B =

b) Si A = {x ∈ R/x2 − 3x− 4 > 0} y B = {x ∈ R/x2 − 3x− 10 6 0}. Expresar

ya sea mediante union o interseccion de intervalos los siguientes conjuntos.

1) A

2) B

3) A ∩B

4) Ac ∪Bc

c) Escribir como union de intervalos reales la solucion en R de x >1

x

d) Escriba {x ∈ R/|x| 6= 3} como union de intervalos reales y como diferencia de

conjuntos.

e) Expresar por extension el conjunto A = {n ∈ Z/n2 − 3n− 4 6 0}

Ejercicios Tipo 3:

Ayudandose de diagramas de Venn visualizar la veracidad de la proposiciones si-

guientes y luego pruebelas algebraicamente.

a) Si A ⊆ B ⇒ A ∩B = A

b) Si A ⊆ B ⇒ A ∪B = B

c) Si A ⊆ B ⇒ Bc ⊆ Ac

d) A ∩Bc = A sı, y solo si A ∩B = ∅

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