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Article publié par le Laboratoire de Construction en Béton de l'EPFL Paper published by the Structural Concrete Laboratory of EPFL Article publié par le Laboratoire de Construction en Béton de l'EPFL Paper published by the Structural Concrete Laboratory of EPFL Title: La teoría de la fisura crítica como base teórica para el diseño de losas frente a punzonamiento en el nuevo Código Modelo 2010 (The Critical Shear Crack Theory as a physical model for punching shear design and its implementation into new Model Code 2010) Authors: Fernández Ruiz M., Sagaseta J., Muttoni A. Published in: Hormigón y Acero Volume: Pages: n° 263 pp. 49-63 Country: Spain Year of publication: 2012 Type of publication: Peer reviewed journal article Please quote as: Fernández Ruiz M., Sagaseta J., Muttoni A., La teoría de la fisura crítica como base teórica para el diseño de losas frente a punzonamiento en el nuevo Código Modelo 2010 (The Critical Shear Crack Theory as a physical model for punching shear design and its implementation into new Model Code 2010), Hormigón y Acero, n° 263, Spain, 2012, pp. 49-63. [Fernandez12] Downloaded by infoscience (http://help-infoscience.epfl.ch/about) 128.178.209.20 on 05.06.2012 17:51
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    ArticlepubliparleLaboratoiredeConstructionenBtondel'EPFLPaperpublishedbytheStructuralConcreteLaboratoryofEPFL

    Title: LateoradelafisuracrticacomobasetericaparaeldiseodelosasfrenteapunzonamientoenelnuevoCdigoModelo2010(TheCriticalShearCrackTheoryasaphysicalmodelforpunchingsheardesignanditsimplementationintonewModelCode2010)

    Authors: FernndezRuizM.,SagasetaJ.,MuttoniA.

    Publishedin: HormignyAcero

    Volume:Pages:

    n263pp.49-63

    Country: Spain

    Yearofpublication: 2012

    Typeofpublication: Peerreviewedjournalarticle

    Pleasequoteas: FernndezRuizM.,SagasetaJ.,MuttoniA.,La teora de la fisura crtica comobase terica para el diseo de losas frente a punzonamiento en el nuevo CdigoModelo 2010 (The Critical Shear Crack Theory as a physical model for punchingshear design and its implementation into new Model Code 2010),HormignyAcero,n263,Spain,2012,pp.49-63.

    [Fernandez12]Downloadedbyinfoscience(http://help-infoscience.epfl.ch/about)128.178.209.20on05.06.201217:51

    http://ibeton.epfl.chhttp://ibeton.epfl.ch/default_e.asphttp://ibeton.epfl.chhttp://ibeton.epfl.ch/default_e.asphttp://ibeton.epfl.ch/Public/publications.asp?nomPers=migferna&l=ehttp://ibeton.epfl.ch/Public/publications.asp?nomPers=sagaseta&l=ehttp://ibeton.epfl.ch/Public/publications.asp?nomPers=Muttoni&l=e

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    La teora de la fisura crtica como baseterica para el diseo de losas frente apunzonamiento en el nuevo CdigoModelo 2010The Critical Shear Crack Theory as a physical model forpunching shear design and its implementation into newModel Code 2010

    Miguel Fernndez Ruiz(1), Juan Sagaseta Albajar(2) y Aurelio Muttoni(1)

    Recibido | Received: 28-01-2011Aceptado | Accepted: 20-04-2011

    (1) cole Polytechnique Fdrale de Lausanne, ENAC (Lausana, Suiza).(2) University of Surrey, Division of Civil, Chem.and Env. Engineering (Guildford, Reino Unido).

    Persona de contacto / Corresponding author: [email protected]

    Volumen 63, n 263, 49-63 | enero-marzo 2012 | ISSN: 0439-5689

    Resumen

    En abril de 2010, se public el primer borrador del nuevo Cdigo Modelo 2010. Dicho borrador presenta di-ferencias importantes en el tratamiento de ciertos fenmenos, entre ellos el esfuerzo cortante y el punzona-miento. A diferencia del Cdigo Modelo 90 (o de ciertas normativas nacionales e internacionales como ACI 318-08, EC-2 o EHE-08), el Cdigo Modelo 2010 basa sus mtodos de diseo en modelos fsicos en vez de enfrmulas empricas. En este artculo se analiza y explica la metodologa propuesta para el punzonamiento, ba-sada en la teora de la fisura crtica. Para ello se describen y justifican los fundamentos tericos de dicha teora,explicando posteriormente su aplicacin en el diseo y verificacin de estructuras as como su aplicacin me-diante diferentes niveles de aproximacin.

    Palabras clave: punzonamiento, teora de la fisura crtica, Cdigo Modelo 2010, losas, transferencia de momen-to.

    Abstract*

    On April 2010, the first complete draft of new Model Code 2010 was published. It introduced a number of innovativedesign approaches, some of them with respect to shear and punching shear. Contrary to Model Code 90 (or some na-tional and international codes such as ACI 318-08, EC-2 or EHE-08), the new Model Code 2010 grounds such design ap-proaches on physical models rather than on empirical formulas. This paper gives an overview of the methodology proposedfor punching shear, which is based on the critical shear crack theory. The fundamentals of this theory are explained and jus-tified as well as the application of the theory to the design and assessment of flat slabs. The paper also introduces the de-sign of structures following a levels-of-approximation approach and how can this be applied to punching shear design.

    Keywords: punching shear, critical shear crack theory, Model Code 2010, flat slabs, moment transfer.

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    * An extensive English language summary of the present article is provided on page 108 of this issue both for the convenience of non-Spanish-speaking readers and inclusion in databases.

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    Volumen 63, n 263, 49-63 | enero-marzo 2012 | ISSN: 0439-5689 M. Fernndez, J. Sagaseta y A. Muttoni

    La teora de la fisura crtica como base terica para el diseo de losas frente a punzonamiento

    1. INTRODUCCIN

    La construccin mediante losas de hormign no ner-vadas y apoyadas sobre pilares comenz de maneraprcticamente simultnea en Europa y Amrica en laprimera dcada del siglo XX de la mano de Maillarty Turner con respectivas patentes [1, 2] (ver figura 1a).Las ventajas de dicho sistema de construccin eranevidentes, contando una gran sencillez y economaen la construccin al mismo tiempo que ofrecan te-chos planos, cuyas ventajas desde el punto de vistade la arquitectura ya haban sido reconocidas y ex-ploradas (aunque infructuosamente) mediante la tc-nica de la piedra armada en el siglo XVIII por J-GSoufflot [3]. El desarrollo y validacin de dicho siste-ma (figura 1b) permiti la construccin de edificios ydepsitos (figura 1c, ver [4, 5]) extendindose su usopor Amrica del norte y Europa (fundamentalmenteSuiza, Francia, Espaa, los pases blticos y Rusia[1]). En Espaa, dicho sistema fue utilizado en nume-rosas ocasiones, como lo demuestran los ejemplosposteriores a 1932 descritos por Carlos FernndezCasado [6] (figura 1d).

    Respecto al comportamiento resistente de las losasplanas, sus estados lmite determinantes para la elec-cin del canto de la losa son normalmente las flechas(condiciones de servicio) as como la resistencia fren-te al punzonamiento en las zonas de apoyo de las lo-sas sobre pilares [7]. El modo de rotura por punzona-miento es particularmente delicado puesto que tieneun carcter potencialmente frgil, pudiendo ademsser propagable a otras columnas (salvo que se dis-pongan medidas especficas como armaduras trans-versales, armaduras de integridad o cuantas bajasde flexin [8]).

    Hasta 1960, hubo relativamente pocas investigacio-nes sobre la resistencia a punzonamiento de losas dehormign (un resumen detallado puede consultarseen [9]). Posteriormente, una serie de investigacionescomenzaron a desarrollarse en estados Unidos [10,11] y en Suecia [12]. Las investigaciones efectuadasen Norteamrica dieron lugar a formulaciones de di-seo empricas, sobre las cuales se basaron posterior-mente las normas americanas ACI. En Suecia, encambio, el modelo propuesto por Kinnunen y Ny -

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    Figura 1. Primeras aplicaciones y desarrollos de losas planas sobre columnas con capiteles: (a) disposicin de armaduras de flexinsegn el sistema de Maillart (izquierda) y de Turner (derecha) [4]; (b) ensayo de losa plana efectuado en 1908 por R. Maillart [4];

    (c) depsito de Zrich-Giesshbel (ing. R. Maillart, 1910) [4,5]; y (d) depsito de mercancas del puerto de pasajes (Guipzcoa, 1936,ing. C. Fernndez Casado) [6]

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    M. Fernndez, J. Sagaseta y A. MuttoniVolumen 63, n 263, 49-63 | enero-marzo 2012 | ISSN: 0439-5689

    La teora de la fisura crtica como base terica para el diseo de losas frente a punzonamiento

    mediante campaas experimentales [28]. Posterior -mente, una serie de trabajos tericos y validacionessistemticas de los ensayos de la literatura cientfica[29,30] permitieron establecer los modelos de clculopara el punzonamiento en la norma suiza SIA 162 en1993. Una serie de trabajos posteriores [31] permitie-ron la mejora del modelo de clculo para el punzona-miento y cortante en vigas y losas sin armaduratransversal (norma suiza SIA 262 de 2003 [22]).Asimismo, una serie de investigaciones complemen-tarias han permitido extender su aplicacin a otroscasos como losas con armaduras de punzonamiento[32, 33] o el punzonamiento en casos no simtricos[34]. Sus resultados han sido validados mediante en-sayos disponibles en la literatura tcnica as comogracias a 146 ensayos especficos realizados en lacole Polytechnique Fdrale de Lausana con losasde dimensiones tpicas de 3,0 3,0 0,25 m (pero lle-gando hasta losas de hasta 50 cm de canto [35]).

    La implementacin de la teora de la fisura crtica enun mtodo de diseo frente a punzonamiento se harevelado eficaz y conduce a expresiones de diseocompactas [34], donde sus trminos tienen un signi-ficado fsico claro y comprensible [7]. Actualmente,adems del Cdigo Modelo 2010, la norma suiza SIA262 se encuentra completamente basada en ella, per-mitiendo el dimensionamiento y la verificacin de laseguridad estructural de losas segn sus principios.

    En este artculo, las bases tericas de la teora de la fi-sura crtica son descritas con rigor as como los m-todos de dimensionamiento basados en ella e inclui-dos en el borrador del nuevo Cdigo Modelo 2010(una versin actualizada de dicho texto puede con-sultarse en [36]). El artculo se completa con una ex-plicacin sobre su aplicacin utilizando diferentesniveles de aproximacin en el clculo.

    2. BASES TERICAS DE LA TEORA DE LA FISURACRTICA

    La teora de la fisura crtica est basada en la hiptesisque la resistencia a cortante en elementos de hormi-gn sin armadura transversal depende de la abertu-ra y rugosidad de una fisura (crtica) que se de sarrollaa travs de la biela comprimida transmitiendo el es-fuerzo cortante [37, 7]. La posicin de dicha fisura sepresenta por ejemplo en la figura 2a para el caso delpunzonamiento en la regin de apoyo de una losa.

    Una confirmacin de la validez de esta hiptesispuede ser obtenida mediante el estudio de un mode-lo fsico donde se considera la capacidad de transmi-sin de esfuerzo cortante gracias a los mecanismosde engranamiento de ridos y contribucin del hor-mign en traccin (considerando su fisuracin). Segnse muestra en [7], admitiendo como grado de liber-

    lander [12] con una base fsica slida, no tuvo unagran repercusin como modelo de dimensionamien-to debido a la gran complejidad en su aplicacin [8].Como consecuencia, los modelos empricos (basadosen los trabajos de Moe [11] y posteriormente deZsutty [13] para el esfuerzo cortante) fueron mayori-tariamente adoptados por las diferentes normativasy recomendaciones. Dichas formulas empricas fue-ron desarrolladas a partir de los ensayos disponiblesmediante la aplicacin de anlisis dimensional y deregresin lineal. Su aplicacin sin embargo ha dista-do de ser satisfactoria, puesto que la influencia de al-gunos parmetros relevantes (como el efecto de esca-la por ejemplo) no fue identificada e introducidahasta cierto tiempo despus o bien las frmulas enciertos casos (fuera de sus lmites de calibracin nor-malmente desconocidos por los proyectistas) podanproducir resultados con errores importantes. Comoconsecuencia de esta situacin, se produjeron dife-rentes colapsos y fallos en elementos sometidos a es-fuerzo cortante o punzonamiento [14, 8]. Esta situa-cin, claramente insatisfactoria, ha continuado hastanuestros das con diferentes normativas nacionales einternacionales (MC-90 [15], ACI 318-08 [16], EC-2[17]) basadas todava en frmulas empricas.

    Como reaccin a dichas formulaciones empricas, sellevaron a cabo diversos estudios con el objetivo deinvestigar los mecanismos que permiten la transmi-sin del esfuerzo cortante en elementos de hormignarmado [18, 19, 20, 21]. Gracias a dichas investigacio-nes, una serie de teoras con una base fsica slida(como la teora del campo de compresiones modifi-cada [21]) pudieron ser desarrolladas, permitiendouna comprensin clara e intuitiva de los mecanismosresistentes frente a esfuerzo cortante as como de losparmetros geomtricos y mecnicos relevantes. Laimplementacin de dichas teoras en normas y reco-mendaciones de diseo se ha mostrado tambin muyeficaz, dando lugar a formulaciones compactas y defcil uso en la prctica (SIA 2003 [22], CSA 2004 [23]).Adems, los modelos con base fsica permiten (siem-pre que los lmites de validez de la teora sigan sien-do aplicables o se adapten) el anlisis y dimensiona-miento de sistemas complejos e incluso la invencinde sistemas innovadores as como la prediccin decomportamientos todava no investigados donde eluso de formulaciones empricas no es posible.

    El primer borrador disponible del nuevo CdigoModelo 2010 [24, 25] presenta una apuesta decididaen la integracin de modelos de clculo con bases f-sicas slidas. En este sentido, para el diseo frente alestado lmite ltimo de punzonamiento, propone eluso de un mtodo de clculo basado en la teora dela fisura crtica. Dicha teora fue desarrollada por A.Muttoni en 1985 en el politcnico de Zrich [26] pa-ra su aplicacin en el clculo de la resistencia a pun-zonamiento de losas sin armadura transversal en elborrador de la norma suiza SIA 162 [27]. Sus hipte-sis principales fueron validadas en una primera fase

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    La teora de la fisura crtica como base terica para el diseo de losas frente a punzonamiento

    tad la rotacin de la losa cerca de la zona de la colum-na (ver figura 2b), la resistencia a esfuerzo cortante sereduce con el aumento de la rotacin, ver figura 2c. Endicha figura, los ejes han sido normalizados para teneren cuenta el tamao de la columna o regin de apoyode la losa, la resistencia a la compresin del hormigny del tamao de la losa y del rido (esta normalizacinse justifica posteriormente).

    Un anlisis detallado de las contribuciones del en-granamiento y del hormign en traccin [38] sobre labase de los resultados del modelo fsico de la figura2b revela que la contribucin del hormign en trac-cin es determinante para pequeas rotaciones (can-tos reducidos, cuantas elevadas de armadura flexio-nal) mientras que el engranamiento de ridos do minala resistencia para rotaciones moderadas o elevadas.Una comparacin de la regin de rotura (obtenida apartir de valores relativamente extremos de las en-volventes de rotura, ver figura 2c) con una amplia ba-se de ensayos de la literatura cientfica (recopilada en[7]) confirma la validez de dicho modelo fsico y mues-tra una excelente correlacin, ver figura 2d.

    A efectos de diseo de losas frente a punzonamiento,y teniendo en cuenta el ancho relativamente reduci-do de la regin de rotura, el clculo mediante el mo-

    delo fsico precedente no es normalmente necesario.Una simplificacin basada en un criterio simplifica-do de rotura es suficiente ([7, 31]). Dicha expresinsupone que la resistencia a cortante, tradicionalmen-te correlacionada con la raz cuadrada de la resisten-cia a la compresin (posteriormente a los trabajos deMoody et al. [39]) depende de la abertura y de la ru-gosidad de la fisura crtica:

    (1)

    Donde VR se refiere a la resistencia a punzonamien-to, b0 a un permetro de control (establecido a dv/2del borde de la superficie de apoyo, lo que reprodu-ce correctamente las flexiones y cortantes en la zonacrtica [38]), dv es la altura esttica resistente a cortan-te (distancia entre el centro de gravedad de la arma-dura de flexin y la superficie de apoyo de la losa, lacual no coincide siempre con el canto til como se ex-plicar posteriormente), fc es la resistencia a la com-presin del hormign (medida en cilindro, expresinvalidada hasta hormigones de 100 MPa de resisten-cia [7]), w se refiere a la abertura de la fisura crtica ydg al tamao mximo del rido. Segn Muttoni [7, 31],

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    Figura 2. Aplicacin de la teora de la fisura crtica para el punzonamiento de losas: (a) posicin de la fisura crtica interceptando labiela comprimida; (b) modelo fsico para el anlisis de la resistencia a punzonamiento [38]; (c) envolventes de rotura calculadas segnel modelo fsico de la figura (b) (canto entre 100 y 500 mm (d = 95-450 mm), cuanta de armadura entre 0,4% y 1,6%, resistencia a la

    compresin entre 15 y 60 MPa, tamao del rido entre 8 y 32 mm, dimetro de la columna entre 100 y 200 mm); y (d) comparacin dela regin de rotura con los resultados de 99 ensayos obtenidos de la literatura cientfica (datos segn Muttoni [7])

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    M. Fernndez, J. Sagaseta y A. MuttoniVolumen 63, n 263, 49-63 | enero-marzo 2012 | ISSN: 0439-5689

    La teora de la fisura crtica como base terica para el diseo de losas frente a punzonamiento

    Dicha expresin, comparada en la figura 3 al criteriomedio y los resultados de ensayos es la que se en-cuentra finalmente recogida en el borrador delCdigo Modelo 2010.

    3. RESISTENCIA Y CAPACIDAD DE DEFORMACIN DELOSAS SIN ARMADURA TRANSVERSAL

    El comportamiento de losas sin armadura transver-sal puede ser estimado gracias al criterio de rotura.Para ello es necesario caracterizar el comportamien-to de una losa mediante su curva carga-rotacin en laregin de la columna (ver figura 4). La interseccin dedichas curvas (punto A de la figura 4) permite calcu-lar la carga de rotura (VR). Adems de la carga de ro-tura, la rotacin de rotura (R) puede tambin obte-nerse por este mtodo, lo que permite determinar lacapacidad de deformacin y carcter (dctil o frgil)del elemento.

    El clculo de la curva carga-rotacin puede ser efec-tuado de diferentes maneras:

    Frmulas analticas para casos sencillos (axi-sim-tricos) [7]

    el clculo de la abertura de la fisura crtica (w) puedesuponerse proporcional al producto de la rotacin dela losa por el canto til de la losad (ver figura 2a):

    (2)

    De donde el siguiente criterio de rotura (valores me-dios) fue propuesto por Muttoni [7, 31] (ver figura 3):

    (3)

    Donde dg0 se refiere a un tamao de referencia delrido (igual a 16 mm). Para el dimensionamiento, di-cho criterio de rotura puede ser reformulado intro-duciendo el formato de seguridad (c), adoptandovalores caractersticos de la resistencia a la compre-sin del hormign (fck) y ajustando los parmetros dela expresin para garantizar un percentil caractersti-co 5% (Muttoni [7,31]).

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    Figura 3. Comparacin de la banda de rotura (figura 2c) con los criterios de rotura (valores medios y caractersticos (c = 1)) de lateora de la fisura crtica

    Figura 4. Clculo de la resistencia a punzonamiento de una losa y de su capacidad de deformacin segn la teora de la fisura crtica

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    Volumen 63, n 263, 49-63 | enero-marzo 2012 | ISSN: 0439-5689 M. Fernndez, J. Sagaseta y A. Muttoni

    La teora de la fisura crtica como base terica para el diseo de losas frente a punzonamiento

    Frmulas simplificadas basadas en las ecuacionesanalticas [7, 40]

    Mtodos numricos basados en diferencias finitas[9] o elementos finitos [41]

    La precisin en la respuesta obtenida con los diferen-tes mtodos vara as como el tiempo necesario parala determinacin de la curva carga rotacin. Para di-mensionamiento de estructuras normales, el uso deuna ecuacin simplificada es normalmente suficien-te [7,32]. En el nuevo Cdigo Modelo 2010 privilegiaesta metodologa proponiendo la expresin siguien-te [7] para losas armadas:

    (5)

    Donde rs se refiere a la distancia desde el eje de la co-lumna (o superficie de apoyo) hasta la zona de mo-mento de flexin nulo (para losas con luces regularesrs 0.22 , siendo la luz entre columnas), fyd es el va-lor de clculo del lmite elstico de las armaduras deflexin, Es es el valor de su mdulo de elasticidad,mSd es el momento medio (por unidad de longitud)en la banda de apoyo de la columna y mRd es el mo-mento resistente medio de clculo (por unidad delongitud) en la banda de apoyo.

    El uso de metodologas ms precisas (por ejemplonumricas) para la determinacin de la curva carga-rotacin es posible aunque normalmente slo estjustificado para el anlisis de estructuras relativa-mente complejas o para la evaluacin de la capaci-dad resistente de estructuras existentes. Basndoseen esta posibilidad, el cdigo modelo propone el cl-culo mediante niveles de aproximacin, que serntratados con detalle posteriormente.

    4 . LOSAS CON ARMADURA DE PUNZONAMIENTO

    La aplicacin de la teora de la fisura crtica es tam-bin posible para losas con armadura transversal.Esto est justificado debido a que la rotura en dichoscasos se produce nuevamente por localizacin de lasdeformaciones [42]. Debe notarse que esta considera-cin deriva del fuerte gradiente de esfuerzos en lazona de apoyo de la losa, y no es sin embargo aplica-ble a vigas con armadura transversal (donde la loca-lizacin de deformaciones en una fisura puede serevitada mediante la disposicin de una armaduratransversal [42]). Para sistemas respetando una seriede reglas constructivas mnimas (descritas por ejem-plo en el nuevo cdigo modelo), los modos de rotu-ra determinantes en losas con armadura transversalson (ver figura 5):

    Aplastamiento de las bielas comprimidas en unabanda de cortante (figura 5a)

    Punzonamiento con activacin de las armadurastransversales (en el interior de la zona armadatransversalmente, figura 5b)

    Punzonamiento al exterior de la zona armadatransversalmente (figura 5c)

    Debe notarse que, adems, la rotura por flexin de lalosa puede tambin desarrollarse en losas con cuan-tas bajas de armadura de flexin y suficiente arma-dura transversal [32].

    4.1. Punzonamiento fuera de la zona reforzada conarmadura transversal

    El modo de rotura por punzonamiento fuera de lazona con armadura transversal puede ser directa-mente estudiado mediante la adopcin del criteriode rotura de las losas sin armadura transversal. Debeno obstante considerarse la reduccin en la altura es-ttica eficaz (dv) puesto que el apoyo de las bielascomprimidas se efecta en el plano del anclaje de laarmadura transversal y no en el intrads de la losa(ver ejemplos en la figura 6).

    4.2 Punzonamiento en el interior de la zonareforzada con armadura transversal

    La rotura en el interior de la zona reforzada con ar-madura transversal puede tambin ser estudiada

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    Figura 5. Modos de rotura en losas con armadura transversal:(a) aplastamiento de bielas; (b) punzonamiento con localizacin

    de deformaciones en la zona con armadura transversal; y (c) punzonamiento fuera de la zona con armadura transversal

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    La teora de la fisura crtica como base terica para el diseo de losas frente a punzonamiento

    La contribucin del hormign (VRc) puede ser direc-tamente estimada mediante el criterio de rotura de lateora de la fisura crtica, lo que implica una dismi-nucin de dicha contribucin con el aumento de ladeformacin (rotacin) de la losa. Respecto a la con-tribucin de la armadura transversal (VRs), su activa-cin es progresiva con la rotacin, con deformacio-nes y tensiones que aumentan en la armaduraconforme aumenta tambin la abertura de la fisuracrtica (figura 7c). Este hecho [32] implica un aumen-to en el esfuerzo cortante transmitido por las arma-duras con la rotacin hasta que llegan a su plastifica-cin, momento a partir del cual su contribucin semantiene constante.

    Es interesante observar que la contribucin en roturadel hormign (VRc) es inferior a la resistencia de la losasin armadura transversal (VRc0) (ver figura 7c). Este he-cho se encuentra recogido por diversos modelos emp-ricos. Por ejemplo, ACI 318-08 propone una reduccinconstante del 50% y el EC-2 propone una reduccinconstante del 25%. Segn el modelo presentado por lateora de la fisura crtica, dicha reduccin no es constan-te, sino que depende de las caractersticas mecnicas ygeomtricas de la losa, pudiendo evaluarse de maneraprecisa para cada caso (pequeas reducciones para con-tribuciones bajas o moderadas de VRs y reducciones sig-nificativas para contribuciones importantes de VRs).Este mtodo ha demos tra do ser mucho ms potente,general y preciso que las formulaciones empricas [32].

    mediante la teora de la fisura crtica debido a la lo-calizacin de las deformaciones en una sola fisura[42] (ver Figura 5b). En este caso (ver figura 7), la re-sistencia a punzonamiento debe considerar tanto lacontribucin del hormign como de las armadurastransversales:

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    Figura 6. Punzonamiento al exterior de la zona con armaduratransversal: (a) pernos; (b) cercos; y (c) cabezal metlico

    embebido

    Figura 7. Comportamiento de losas con armadura transversal: (a) desarrollo de la fisura crtica y activacin de la armadura; y (b,c) contribucin del hormign y del acero

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    La teora de la fisura crtica como base terica para el diseo de losas frente a punzonamiento

    El Cdigo Modelo 2010 tiene en cuenta la activacinde las armaduras transversales mediante la expre-sin siguiente (valores de clculo):

    (7)

    Donde Asw es la armadura activada (en un cono derotura a 45), ke es un coeficiente que considera lasconcentraciones de esfuerzos (y que ser explicadoposteriormente), hace referencia a la inclinacin delas armaduras transversales (90 para armadurasverticales) y la tensin en la armadura (swd) es obte-nida mediante la ecuacin:

    (8)

    Dicha expresin ha sido derivada por FernndezRuiz y Muttoni [32] admitiendo la cinemtica pro-puesta en la figura 2a y considerando la adherenciade la armadura transversal. Otras expresiones ms re-finadas o aplicables a tipos especiales de armaduratransversal (adherente, pretensada, pegada con resi-na) pueden consultarse en [32, 33].

    4.3. Aplastamiento de las bielas comprimidas

    El aplastamiento de las bielas puede desarrollarsepara losas con elevadas cuantas de armadura a laflexin y de armadura transversal. Este modo de ro-tura se caracteriza por el desarrollo de una banda(fig. 5a) localizando las deformaciones de cortante enproximidad de la zona de apoyo. La resistencia dedicha banda se encuentra fuertemente influenciadapor su estado de deformaciones transversales (fisu-racin) [21], el cual puede ser estimado, segn se ex-plic anteriormente, por las rotaciones de la losa cer-ca de la zona de apoyo. Por analoga [32] se aceptaentonces que el criterio de rotura frente a aplasta-miento de bielas es proporcional al criterio de roturade la resistencia de losas sin armadura transversal,resultando:

    (9a)

    (9b)

    Donde dg (tamao mximo del rido) permite consi-derar el ancho de la banda de cortante y es un par-metro que mide la eficiencia del sistema de punzona-miento. Para dimensionamiento de sistemas res petandoreglas constructivas convencionales, el valor de pue-de ser adoptado igual a 2.0. Para sistemas ms efi-

    cientes (con capacidades de anclaje mejoradas o re-glas constructivas ms estrictas) dicho valor puedeaumentarse sensiblemente [38].

    4.4. Validacin del modelo de la teora de la fisuracrtica

    La figura 8 muestra una comparacin de los resulta-dos de ensayos recopilados en [32] con el modelopropuesto por la teora de la fisura crtica para susformulaciones tanto medias como caracterstica. Losresultados muestran una excelente correlacin, condispersiones sensiblemente inferiores a las obtenidasmediante otros modelos de clculo (como el EC-2 oACI 318-08).

    5. APLICACIONES PRCTICAS, NIVELES DEAPROXIMACIN

    Una de las ventajas significativas ofrecidas por una te-ora basada en un modelo fsico es que la precisin conla que se evalan sus diferentes parmetros, y por con-siguiente la precisin en el clculo obtenida con el mo-delo fsico, puede ser refinada en diferentes etapas declculo. El cdigo modelo aprovecha esta posibilidadpermitiendo el dimensionamiento o verificacin frentea punzonamiento de losas segn diferentes niveles deaproximacin. La filosofa de los niveles de aproxima-cin [43, 44] sigue en realidad la lgica tradicional en larealizacin de proyectos. En sus primeras fases (estu-dios preliminares, anteproyecto), cuando la definicinde una estructura todava es relativamente poco elabo-rada, slo se tiene normalmente la necesidad de verifi-car los espesores o dimensiones de las losas, lo cual de-be efectuarse con clculos sencillos (normalmenteefectuados a mano). En fases posteriores del proyecto,para el dimensionamiento definitivo, el nivel de preci-sin necesario en la estimacin de la respuesta estruc-tural aumenta, teniendo que definirse exactamente losespesores y las armaduras de flexin y punzonamien-to necesarias. Por consiguiente, los clculos simplifica-dos evocados para el anteproyecto no son su ficientes yse requiere una mejor estimacin de los diferentes pa-rmetros de clculo requeridos por el modelo (momen-tos actuantes en la zona sobre la columna, excentricida-des de la carga,). En este nivel de proyecto, elproyecto se apoya normalmente en anlisis efectuadossobre modelos elsticos de la losa. Eventualmente, pa-ra algunas estructuras especiales o para determinar lacapacidad resistente de estructuras existentes, puedeser aconsejable utilizar eva luaciones ms precisas delos parmetros de clculo (por ejemplo con el fin deevitar refuerzos innecesarios). En este caso, el desarro-llo de anlisis no lineales del comportamiento de la lo-sa son nor malmente necesarios.

    El diseo segn esta filosofa permite mejorar la pre-cisin en la estimacin de la respuesta resistente deun elemento segn sea necesario, requirindose para

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    (criterio valoresmedios)

    (criterio valorescaractersticos)

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    La teora de la fisura crtica como base terica para el diseo de losas frente a punzonamiento

    elstico (valor de clculo) y mdulo de elasticidad dela armadura). Una losa que respete este criterio esta-r dimensionada de forma prudente (valor mnimode resistencia) y posee una capacidad de deforma-cin grande (roturas dctiles). Debe notarse que undimensionamiento segn este nivel de aproximacinno requiere la determinacin de la cuanta de arma-dura sobre columna, parmetro necesario sin embar-go para el clculo segn EHE-08 [45] o el EC-2.

    5.2. Nivel de aproximacin II

    Una mejor estimacin de la rotacin determinantepuede ser obtenida mediante la evaluacin completade la ecuacin (5). Para ello debe conocerse el mo-mento resistente (mRd) y por lo tanto la cuanta de ar-madura. La evaluacin del momento en banda (mSd)se establece a partir de frmulas calibradas para di-ferentes casos: columnas de borde, de ngulo e inte-riores [38]. Algunas aplicaciones de las formulas pro-puestas en el borrador del Cdigo Modelo 2010sern discutidas ms adelante.

    En estos casos (msd < mRd) la capacidad de deforma-cin de la estructura no est garantizada (roturas po-tencialmente frgiles para cuantas elevadas y/o pe-queos cantos) y debe disponerse una armadura deintegridad o de punzonamiento.

    ello no obstante un mayor tiempo de anlisis (ver fi-gura 9). Puede observarse que la aplicacin coheren-te de esta metodologa de diseo requiere que el mo-delo de clculo est basado en un modelo fsico,consistente y nico, para todos los niveles de aproxi-macin, de manera que la mejora en la estimacin re-sistente provenga nicamente de la mayor precisinen la estimacin de los parmetros de clculo (en es-te caso, principalmente en las rotaciones y concentra-ciones de esfuerzos cortantes).

    En el caso del punzonamiento segn el Cdigo Mo -delo 2010, el clculo segn niveles de aproximacinpermite refinar progresivamente la estimacin de larotacin determinante.

    5.1. Nivel de aproximacin I

    El primer nivel de aproximacin efecta una hiptesisprudente sobre la abertura de las fisuras en la regincrtica a punzonamiento admitiendo que las armadu-ras de flexin llegan a la plastificacin (mSd = mRd).Introduciendo esta hiptesis en la ecuacin (5) resulta:

    (10)

    Valor que depende nicamente de valores geomtri-cos (luz de la losa, canto til) y de las caractersticasmecnicas del acero usado como armadura (lmite

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    (a) (b) (c)

    Figura 8. Comparacin de la teora de la fisura crtica con los resultados de ensayos recopilados en [32] (cociente entre la resistenciamedida y la resistencia calculada, valores superiores a la unidad indicando estimaciones prudentes, CdV = Coeficiente de Variacin):(a) criterio de rotura medio (activacin de la armadura considerando tensiones de adherencia cuando sea aplicable); (b) criterio de

    rotura caracterstico (criterio de rotura y activacin de armaduras segn MC-2010); y (c) comparacin al EC-2

    Figura 9. Diseo mediante niveles de aproximacin

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    Volumen 63, n 263, 49-63 | enero-marzo 2012 | ISSN: 0439-5689 M. Fernndez, J. Sagaseta y A. Muttoni

    La teora de la fisura crtica como base terica para el diseo de losas frente a punzonamiento

    5.3. Nivel de aproximacin III

    El valor del momento de banda en la ecuacin (5)puede ser estimado de manera ms precisa para ca-da caso particular (teniendo en cuenta las peculiari-dades de cada estructura) si su determinacin se ha-ce integrando directamente una ley de momentoselstica en el ancho de la banda de apoyo. Dicha in-tegracin puede efectuarse a partir, por ejemplo, delos resultados de un clculo elstico obtenido segnel mtodo de los elementos finitos. Gracias a estaevaluacin ms precisa, el coeficiente 1,5 de la ecua-cin (5) puede ser remplazado por 1,2 [25]. Debe no-tarse que el momento de la banda se compara con elmomento resistente de las armaduras y, por consi-guiente, dicho momento de comparacin debe consi-derar tanto los momentos de flexin como los de tor-sin (a fin de obtener momento de dimensionamientode la armadura).

    5.4. Nivel de aproximacin IV

    La estimacin de la rotacin mediante la ecuacin (5)puede tambin ser sustituida por los resultados (cur-va carga-rotacin de la losa alrededor de una colum-na) obtenidos mediante un anlisis no lineal de lacurva carga-rotacin de la estructura. Dicho anlisisdebe tener en cuenta la influencia de la fisuracin, laplastificacin de armaduras, la prdida de rigidez re-lativa a torsin frente a flexin [46] y del fenmenode sobre-rigidez de las armaduras traccionadas(tension-stiffening).

    Dicha metodologa goza de una generalidad absolu-ta y permite adems la obtencin de resultados pre-cisos [40, 41]. Sin embargo, es recomendable restrin-gir su empleo a casos especiales, como la evaluacinde la resistencia de estructuras existentes, debido alsignificativo tiempo de anlisis requerido (prepara-

    cin de datos y elaboracin de resultados) as comode necesitar un cierto nivel de experiencia en el usode estas herramientas.

    5.5. Ejemplo de aplicacin

    Un ejemplo de aplicacin de la metodologa de cl-culo basada en niveles de aproximacin y recogidaen el borrador del nuevo Cdigo Modelo 2010 puedeconsultarse en la referencia [47] (ver figura 10). Dichotrabajo permite comprender la simplicidad y poten-cia del mtodo propuesto al aplicarlo a una estructu-ra de geometra y caractersticas similar a una real.

    6. INFLUENCIA DE LOS MOMENTOS DEEMPOTRAMIENTO Y CONCENTRACIONES DEESFUERZOS CORTANTES

    En las secciones precedentes, se ha estudiado la resis-tencia a punzonamiento de una losa asumiendo uncomportamiento axi-simtrico. Sin embargo, en laprctica, las distribuciones de tensiones cortantes yde momentos no son normalmente uniformes y axi-simtricas [48, 34]. Este es por ejemplo el caso de lo-sas con luces irregulares (con momento transferido ala columna) o con luces diferentes en dos direccionesas como de columnas de borde y de esquina.

    La influencia de la transferencia de un momento en-tre una losa y una columna puede observarse en la fi-gura 11. Dicha figura muestra una serie de ensayosefectuada por Krger [49] donde la carga concentra-da se aplica con una excentricidad constante duran-te el ensayo (figura 11a). Un anlisis mediante camposde esfuerzos cortantes [46] muestra que conforme laexcentricidad de la carga aumenta, los esfuerzos cor-tantes se concentran en la zona comprimida de la su-perficie de apoyo.

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    Figura 10. Ejemplo de aplicacin prctica [47]: (a) estructura analizada; y (b) vista en planta y dimensiones de la losa analizada(losa de 25 cm de canto)

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    M. Fernndez, J. Sagaseta y A. MuttoniVolumen 63, n 263, 49-63 | enero-marzo 2012 | ISSN: 0439-5689

    La teora de la fisura crtica como base terica para el diseo de losas frente a punzonamiento

    un campo de cortantes. Ambas tcnicas fueron pre-sentadas y discutidas anteriormente por los autoresen [46]. Respecto a la concentracin en las fisuras deflexin, este efecto (aumento de los momentos de fle-xin en un lado de la columna) se encuentra recogi-do directamente mediante un clculo usando los ni-veles III y IV de aproximacin y ha sido tambinincluido en las frmulas analticas de diseo de nivelII [38]. Por ejemplo, para columnas interiores, la ex-presin analtica (nivel de aproximacin II) propues-ta para el clculo de los momentos en la banda en elCdigo Modelo 2010 es:

    (11)

    Donde el momento en la banda (mSd) es igual a un mo -mento de referencia (Vd/8, aproximadamente igual

    Adems de este efecto de concentracin de esfuerzoscortantes, la seccin de la figura 11e muestra otroefecto significativo de elementos con transferenciade momento entre columna y losa. Como puede ob-servarse en la figura, las fisuras de flexin se concen-tran en la zona sometida a momentos mayores, loque conlleva a aberturas de fisura mayores y conse-cuentemente reduce la resistencia al esfuerzo cortan-te en dicha zona [34].

    Ambos efectos, aumento local de los esfuerzos cor-tantes y reduccin de la resistencia (mayores abertu-ras de fisura) deben considerarse para la estimacinde la resistencia del elemento. En la formulacin dela teora de la fisura crtica presentada en el borradordel Cdigo Modelo 2010, la concentracin de esfuer-zos puede considerarse mediante el empleo de for-mulas simplificadas (a travs de un coeficiente deno-minado ke) o bien mediante interpretacin directa de

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    Figura 11. Transferencia de momento entre losa y columna: (a) geometra y cargas de los ensayos de Krger [49] (cotas en [mm]); (b-d) campos de cortante para diferentes excentricidades de la carga (0, 160 mm and 320 mm respectivamente); y (e) seccin del

    elemento P30A (excentricidad igual a 320 mm) tras la ruptura de punzonamiento

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    La teora de la fisura crtica como base terica para el diseo de losas frente a punzonamiento

    al momento de banda de una losa axi-simtrica) alque se le aade un trmino que considera el momen-to transferido entre la columna y la losa (Md) as co-mo la excentricidad (e) del eje de la columna (eje dereferencia para el clculo de esfuerzos) respecto alcentro de gravedad del permetro de control.Respecto al denominador de dicho trmino (2bs), con-sidera que el momento total a transferir se reparte enel ancho de la banda a partes iguales en las dos carasparalelas al momento.

    Es interesante observar que el nivel de aproximacinI (ecuacin 9) no considera este fenmeno (concen-tracin de fisuras de flexin) ya que de manera pru-dente considera plastificadas todas las armadurasprximas a la columna (abertura mxima de fisura).

    La figura 12 presenta una comparativa de la preci-sin obtenida usando las frmulas analticas del C -digo Modelo 2010 para el nivel de aproximacin II yIII. Los resultados se muestran satisfactorios y con-sistentes para todos los casos analizados (columnas

    de borde, esquina y centrales), siendo la precisinmejor para el nivel de aproximacin III debido a laestimacin ms precisa de los momentos en la ban-da. Un comparacin con el EC-2 (figura 13) muestraque dicho modelo, con base emprica, no captura co-rrectamente la influencia de la excentricidad y puedeproporcionar resultados potencialmente del lado dela inseguridad para grandes excentricidades.

    Investigaciones recientes [34] presentan cmo efec-tuar estudios ms refinados de este fenmeno, consi-derando redistribuciones de esfuerzo cortante entrelas zonas sometidas a diferentes niveles de solicita-cin esfuerzos cortantes y momentos de flexin.

    7. CONCLUSIONES

    En este artculo se han presentado los fundamentostericos de la teora de la fisura crtica as como suimplementacin en el borrador del nuevo CdigoModelo 2010. Sus conclusiones ms importantes son:

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    Figura 12. Comparacin de la teora de la fisura crtica con ensayos sobre columnas interiores, de borde y de esquina (series experimentales segn [38])

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    M. Fernndez, J. Sagaseta y A. MuttoniVolumen 63, n 263, 49-63 | enero-marzo 2012 | ISSN: 0439-5689

    La teora de la fisura crtica como base terica para el diseo de losas frente a punzonamiento

    Md = valor de clculo del momento flector

    Vd = valor de clculo del esfuerzo cortante

    VR = resistencia a punzonamiento

    VRd = valor de clculo de la resistencia a punzo-namiento

    VRc = contribucin del hormign en la resistenciaa punzonamiento

    VRs = contribucin de la armadura transversal enla resistencia a punzonamiento

    VRd,s = valor de clculo de la contribucin de la ar-madura transversal en la resistencia a pun-zonamiento

    b0 = permetro de control

    bs = ancho de la banda de apoyo a proximidadde la columna o zona de introduccin decargas

    d = canto til

    dv = altura esttica resistente a cortante

    dg = tamao mximo del rido

    dg0 = tamao de rido de referencia (16 mm)

    eu = excentricidad de la carga respecto del cen-tro de gravedad del permetro de control

    fbd = resistencia de clculo de adherencia (puedeadoptarse 3 MPa para barras corrugadas yhormigones convencionales)

    fc = resistencia del hormign a la compresin(medida en cilindro)

    fck = resistencia caracterstica del hormign a lacompresin (medida en cilindro)

    fyd = valor de clculo del lmite elstico de la ar-madura de flexin

    fywd = valor de clculo del lmite elstico de la ar-madura transversal

    1. La teora de la fisura crtica est basada en un mo-delo fsico consistente, teniendo en cuenta los di-ferentes mecanismos resistentes que permiten latransmisin del esfuerzo cortante.

    2. La resistencia frente a punzonamiento en losas sinarmadura transversal se reduce a medida que lasdeformaciones (abertura de fisuras) aumentan.Un parmetro eficaz para cuantificar las deforma-ciones en la regin crtica a punzonamiento es surotacin en torno a la zona de apoyo.

    3. Si la resistencia se expresa en funcin de la capa-cidad de deformacin (rotacin) de las losas, lasroturas se desarrollan en una regin bien definida.El ancho de dicha regin es relativamente estre-cho y puede ser aproximada a efectos prcticospor un criterio de rotura.

    4. El clculo de la carga de rotura necesita, adems delcriterio de rotura, de la definicin de la curva carga-rotacin (comportamiento flexional) de la losa.

    5. Dicha curva puede ser estimada con mayor o me-nor precisin, permitiendo establecer diferentes ni-veles de aproximacin para la aplicacin de la teo-ra.

    6. Utilizando las hiptesis de la teora de la fisuracrtica, la contribucin de armaduras transversa-les a la transmisin del esfuerzo cortante puedetambin ser estimada. De esta manera, puedenobtenerse nuevamente expresiones de diseocompactas y con un fundamento fsico.

    7. La teora de la fisura crtica puede ser utilizada demanera consistente para el estudio de casos don-de haya transferencia de momentos y concentra-ciones de esfuerzos cortantes.

    NOTACIN

    Asw = rea de la armadura transversal

    Es = mdulo de elasticidad de la armadura

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    (a) (b) (c)

    Figura 13. Comparacin del EC-2 con ensayos sobre columnas: (a) interiores; (b) de borde y (c) de esquina(series experimentales segn [38])

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    La teora de la fisura crtica como base terica para el diseo de losas frente a punzonamiento

    ke = coeficiente de excentricidad

    = luz entre columnas

    mRd = momento resistente medio de clculo (porunidad de longitud) en la banda de apoyo

    msd = momento medio (por unidad de longitud)en la banda de apoyo

    rs = distancia desde el eje de la columna (o su-perficie de apoyo) hasta la zona de momento de fle-xin nulo

    w = abertura de la fisura crtica

    = inclinacin de las armaduras transversales(90 para armaduras verticales)

    c = factor parcial de seguridad del hormign

    e = excentricidad del eje de la columna (eje dereferencia para el clculo de esfuerzos) res-pecto al centro de gravedad del permetrode control

    w = dimetro de la armadura transversal

    = coeficiente midiendo la eficiencia de unsistema de armadura contra el punzona-miento

    = rotacin de la losa en la zona de apoyo dela losa

    R = rotacin de la losa en rotura

    wd = valor de clculo de la tensin en la arma-dura transversal

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    M. Fernndez, J. Sagaseta y A. MuttoniVolumen 63, n 263, 49-63 | enero-marzo 2012 | ISSN: 0439-5689

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