ARMA/ARIMA modeliai

VU EF V.Karpuškienė

ARMA/ARIMA modeliai

2011-09-20Literatūra: Asteriou D.Applied Econometrics A Moderm approach using EWievs and Microfit. Palgrave Macmilan, 2008 sk.13 ARIMA Models and Box-Jenkins methotology psl.245-264

Maddala G.S., Kajal Lahiri Introduction to Econometrics., 2010 Chapter 12, psl.481-508


Paskaitos dalys

• ARIMA modelio struktūra

• Modelio įvertinimas: Box-Jenkins procedūra

• Stacionarumo užtikrinimas

• ARIMA modelio įvertinimas

• Modelio diagnostika

• Prognozavimas ARIMA modelio pagalba


ARMA/ARIMA modelio struktūra

• ARIMA modelių tikslas – prognozuoti nagrinėjamus ekonominius reiškinius

• Pagrindinė idėja – prognozės sudaromos panaudojant nagrinėjamo reiškinio pradinių duomenų ir modelio paklaidų pokyčių ypatumus.


ARIMA modelio struktūra

• ARIMA –Autoregressive Integrated Moving Average Process

• ARIMA modelio struktūra:– autoregresinis (AR) procesas– Integravimo I procesas– slenkamųjų vidurkių (MA) procesas


ARMA modelis

yt + 1yt-1 +...+ pyt-p + 1t-1 + ...+ qt-q + t,

AR procesas MA procesas

Gali būti:

yt + β٠t + 1yt-1 +...+ pyt-p + 1t-1 + ...+ qt-q + t,

yt 1yt-1 +...+ pyt-p + 1t-1 + ...+ qt-q + t,


ARMA/ARIMA modelio struktūraAutoregresinis procesas

AR(p)• Autoregresinis procesas aiškina laiko eilutės stebėjimus

ankstesniaisiais stebėjimais:

Yt =1Yt-1 + 2Yt-2 +...+ pYt-p + t

yt –laiko eilutės stebėjimai

1...1 – autoregresinio proceso parametrai

t – atsitiktinės paklaidos,

p – autoregresinio proceso eilė.

p

ititit YY

1


ARIMA modelio struktūraAutoregresinis procesas

tp

pt LLLY )...1( 221

Kur L –lago operatorius

itti YYL

Lago operatoriaus savybė:


ARMA/ARIMA modelio struktūraSlenkamųjų vidurkių procesas

MA(q)

• Slenkamųjų vidurkių procesas aiškina laiko eilutės stebėjimus Yt modelio paklaidomis:

Yt = t + 1t-1 + 2t-2 +...+ qt-q

q

jjtjttY

1


ARMA/ARIMA modelio struktūraSlenkamųjų vidurkių procesas

tq

qt LLLY )...1( 221


ARMA/ARIMA modelio struktūra

ARMA (p,q) modelis

p

i

q

jjtjtitit YY

1 1

Yt =1Yt-1 + 2Yt-2 +...+ pYt-p + t + 1t-1 + 2t-2 +...+ qt-q


ARMA/ARIMA modelį galima sudaryti

stacionarioms arba silpno stacionarumo laiko eilutėms !!!!!!!!!!!!!!!!!

Stacionarumas

• Griežtas stacionarumas

• Silpnas stacionarumas


ARMA/ARIMA modelio griežtas stacionarumas

1) laiko eilutės vidurkis pastovus:E(Yt) =y=const1;

(suskaidžius stebėjimus į atskiras grupes, kiekvienos grupės vidurkis turi būti toks pats)

2) laiko eilutės dispersija pastovi:E(Yt-y

)2=2

y=const2;(kiekvienos grupės dispersija turi būti vienoda)

3) laiko eilutės stebėjimų kovariacija nepriklauso nuo laiko:

E[(Yt-y)(Yt-k-y)]=k=const3;


ARMA/ARIMA modelio silpnas stacionarumas

1) laiko eilutės vidurkis pastovus:

E(Yt) =y=const1; (suskaidžius stebėjimus į atskiras grupes, kiekvienos

grupės vidurkis turi būti toks pats)

(kiekvienos grupės dispersija turi būti vienoda)

2) laiko eilutės stebėjimų kovariacija nepriklauso nuo laiko:

E[(Yt-y)(Yt-k-y)]=k


Griežtai stacionari laiko eilutė

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

-50 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800


Nestacionari laiko eilutėNestacionarumas dėl trendo

6.8

7.0

7.2

7.4

7.6

7.8

8.0

8.2

-50 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800


Silpnai stacionari laiko eilutė(Nestacionarumas dėl dispersijos)

-0.25

-0.20

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

-0.25

-0.20

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

-50 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800


Modelio įvertinimas: Box-Jenkins procedūra

Pirmas žingsnis: ARMA proceso stacionarumo nustatymas

Antras žingsnis: Užtikrinamas stacionarumas integruojant laiko eilutę

Trečias žingsnis: ARMA proceso p ir q eilės nustatymas

Ketvirtas žingsnis: ARMA modelio ir jo alternatyvų vertinimas

Penktas žingsnis: Modelio diagnostika


Laiko eilutės stacionarumo nustatymas

• Grafinė analizė

• Autokoreliacijos funkcijų analizė

• Dispersijos pastovumo analizė

• Vienetinės šaknies testai (DF (Dickey Fuller) ir ADF

Grafinė analizė


600

800

1,000

1,200

1,400

1,600

1,800

00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13

DU_PRIV

400,000

450,000

500,000

550,000

600,000

650,000

700,000

00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13

DIRB_PRIV


Laiko eilutės stacionarumo nustatymas

ACF -Autokoreliacijos analizė

T

tt

T

ktktt

k

yy

yyyyr

1

2

1

)(

))((

kur rk – k-ojo lago autokoreliacijos koeficientas,

PAC -Dalinės autokoreliacijos funkcija

ktkttt yyyy ˆ...ˆˆˆ 22110

Dalinės koreliacijos koeficientai yra yt autoregresijos parametrų įverčiai ρi


Autokoreliacijos funkcijų analizė(ACF ir PACF)

Nestacionarus procesas pagal kovariaciją

Dirb_priv korelogramaDate: 09/24/13 Time: 12:56Sample: 2000Q1 2013Q2Included observations: 54

Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob

1 0.952 0.952 51.677 0.0002 0.884 -0.22... 97.145 0.0003 0.798 -0.20... 134.95 0.0004 0.700 -0.13... 164.59 0.0005 0.596 -0.06... 186.54 0.0006 0.494 -0.01... 201.90 0.0007 0.397 0.003 212.03 0.0008 0.305 -0.02... 218.16 0.0009 0.216 -0.08... 221.31 0.000

1... 0.142 0.063 222.69 0.0001... 0.077 -0.00... 223.11 0.0001... 0.021 -0.01... 223.14 0.000

Du_priv korelograma

Date: 09/24/13 Time: 12:59Sample: 2000Q1 2013Q2Included observations: 54


1 0.964 0.964 52.983 0.0002 0.922 -0.09... 102.37 0.0003 0.876 -0.06... 147.89 0.0004 0.828 -0.05... 189.37 0.0005 0.775 -0.08... 226.48 0.0006 0.720 -0.06... 259.10 0.0007 0.662 -0.04... 287.31 0.0008 0.605 -0.01... 311.40 0.0009 0.549 -0.03... 331.63 0.000

1... 0.492 -0.02... 348.29 0.0001... 0.437 -0.01... 361.73 0.0001... 0.383 -0.03... 372.28 0.000


EViews: View Correlogram

Autokoreliacijos funkcijų analizė (ACF ir PACF)Stacionarus procesas pagal kovariaciją



1 -0.17... -0.17... 1.6876 0.1942 -0.13... -0.16... 2.6650 0.2643 0.008 -0.05... 2.6685 0.4464 0.229 0.211 5.7436 0.2195 -0.16... -0.09... 7.4003 0.1936 -0.15... -0.15... 8.7996 0.1857 -0.06... -0.17... 9.0695 0.2488 -0.04... -0.20... 9.1939 0.3269 -0.03... -0.06... 9.2601 0.414

1... -0.08... -0.10... 9.7153 0.4661... 0.180 0.163 11.941 0.3681... -0.10... -0.09... 12.773 0.386

Box – Pierce Q – statistika


Autokoreliacijos funkcijų analizė (ACF ir PACF)

Box – Pierce Q – statistika – tai tiesinė kvadratinių autokoreliacijų kombinacija

m

kkm mXrTQ

1

22 )(~

Box – Pierce Q – statistika tikrinama jungtinė hipotezė, H0: Iki m-tojo lago reikšmingos autokoreliacijos nėra

HA: Iki m-tojo lago yra bent vienas koreliacijos koef yra

reikšmingas

Dispersijos pastovumo analizė

• Atliekame laiko eilutės pogrupių dispersijų lygybės testą. (statistika)


Test for Equality of Variances of DIRB_PRSACategorized by values of DIRB_PRSADate: 09/24/13 Time: 17:28Sample: 2000Q1 2013Q2Included observations: 54

Method df Value Probability

Bartlett 2 1.303051 0.5212Levene (2, 51) 1.843097 0.1687Brown-Forsythe (2, 51) 1.308886 0.2790

Category Statistics

Mean Abs. Mean Abs.DIRB_PRSA Count Std. Dev. Mean Diff. Median Diff.[400000, 50... 15 24646.85 20277.94 20254.52[500000, 60... 21 29670.16 25943.73 25408.09[600000, 70... 18 33275.57 29254.65 28981.61

All 54 83920.53 25473.54 25167.71

Test for Equality of Variances of DU_PRIVSACategorized by values of DU_PRIVSADate: 09/24/13 Time: 17:32Sample: 2000Q1 2013Q2Included observations: 54

Method df Value Probability

Bartlett 2 11.97584 0.0025Levene (2, 51) 7.832446 0.0011Brown-Forsythe (2, 51) 6.695240 0.0026

Category Statistics

Mean Abs. Mean Abs.DU_PRIVSA Count Std. Dev. Mean Diff. Median Diff.[500, 1000) 24 81.64915 67.74856 67.74856

[1000, 1500... 7 160.5155 126.9723 124.1720[1500, 2000... 23 59.02774 48.79887 48.49161

All 54 390.7584 67.35454 66.86067


ARIMA modeliai

I(d) – integruotumo eilė– Nestacionari laiko eilutė turi būti transformuojama į

stacionarią. Tam paprastai naudojama integravimo procedūra:

yt= yt- yt-1.– Jei pirmos eilės skirtumai taip pat nestacionarūs,

taikomas antros eilės integravimas (ir t.t.):

yt= yt- yt-1= (yt- yt-1) – (yt-1- yt-2) = yt - 2yt-1 + yt-2.– Galima imti ir logaritmų skirtumines transformacijas

log(yt) = log(yt)- log(yt-1)


ARIMA modeliaiIntegruotumo eilės nustatymas

• Autokoreliacijos funkcijų analizė

• Mažiausios dispersijos testas

• Vienetinės šaknies testai: Dickey Fuller ir ADF testai

Autokoreliacijos funkcijų analizėintegruotumo eilei nustatyti



1 0.964 0.964 52.983 0.0002 0.922 -0.09... 102.37 0.0003 0.876 -0.06... 147.89 0.0004 0.828 -0.05... 189.37 0.0005 0.775 -0.08... 226.48 0.0006 0.720 -0.06... 259.10 0.0007 0.662 -0.04... 287.31 0.0008 0.605 -0.01... 311.40 0.0009 0.549 -0.03... 331.63 0.000

1... 0.492 -0.02... 348.29 0.0001... 0.437 -0.01... 361.73 0.0001... 0.383 -0.03... 372.28 0.000

Du_priv_pradinių duomenų korelograma

(d(Du_priv) pradinių duomenų skirtumų korelograma



1 0.514 0.514 14.782 0.0002 0.436 0.235 25.668 0.0003 0.269 -0.03... 29.871 0.0004 0.265 0.096 34.055 0.0005 0.126 -0.08... 35.023 0.0006 0.054 -0.08... 35.201 0.0007 -0.08... -0.13... 35.624 0.0008 -0.14... -0.10... 36.961 0.0009 -0.14... 0.019 38.350 0.000

1... -0.26... -0.18... 43.070 0.0001... -0.21... 0.039 46.153 0.0001... -0.29... -0.10... 52.134 0.000



1 -0.39... -0.39... 8.7348 0.0032 0.085 -0.08... 9.1421 0.0103 -0.18... -0.22... 11.161 0.0114 0.143 -0.01... 12.356 0.0155 -0.05... -0.02... 12.563 0.0286 0.067 0.023 12.841 0.0467 -0.09... -0.04... 13.388 0.0638 -0.05... -0.14... 13.592 0.0939 0.127 0.064 14.639 0.101

1... -0.17... -0.17... 16.764 0.0801... 0.134 -0.01... 17.993 0.0821... -0.24... -0.22... 22.025 0.037

(Du_privm2) pradinių duomenų antrųjų skirtumų korelograma


Mažiausios dispersijos testas

• Procedūra:– Sudarome tris laiko eilutes:

• Yt

Yt =dYt

Yt= d(Yt, 2)

– Integravimo eilei nustatyti išrenkame duomenų eilutę su mažiausia dispersija


Vienetinės šaknies testai

• Integruotumo eilei nustatyti dažniausiai naudojami vienetinės šaknies testai – Išplėstinis Dickey-Fuller (augmented Dickey-

Fuller) (ADF) – Phillips-Perron testas (PP testas).


Vienetinės šaknies testai ADF testas

• Taikant ADF testą, norint patikrinti, ar kintamasis yt yra stacionarus, sudarome regresiją:

DF -testas

• ADF -testas

• Ši regresija pertvarkoma į tokią:

t

k

jjtktt yycy

11

ttt ycy 11

ttt ycy 1


Vienetinės šaknies testai DF testas

• Taikant DF testą, norint patikrinti, ar kintamasis yt yra stacionarus, sudarome regresiją:

• Ši regresija pertvarkoma į tokią:

ttt ycy 11

ttt ycy 1

ttt ycy 1


Vienetinės šaknies testai ADF testas

H0: (kintamasis Yt nėra stacionarus ir turi būti integruotas bent 1-a eile):

H1 : kintamasis Yt yra stacionarus

Testo statistika:

Išvada: galime atmesti hipotezę H0 , jeigu

0

0

)ˆ(

ˆ

Set

)ˆ(

ˆ

Set


ADF testas

• Jeigu laiko eilutė yra integruota pirma eile, tikrinama ar ji yra integruota antra eile

ttt YcY 12

ADF testas


Null Hypothesis: DU_PRIVSA has a unit rootExogenous: NoneLag Length: 1 (Automatic - based on SIC, maxlag=10)

t-Statistic Prob.*

Augmented Dickey-Fuller test statistic 1.375023 0.9559Test critical values: 1% level -2.610192

5% level -1.94724810% level -1.612797

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Augmented Dickey-Fuller Test EquationDependent Variable: D(DU_PRIVSA)Method: Least SquaresDate: 09/24/13 Time: 18:47Sample (adjusted): 2000Q3 2013Q2Included observations: 52 after adjustments

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

DU_PRIVSA(-1) 0.005552 0.004037 1.375023 0.1753D(DU_PRIVSA(-1)) 0.537277 0.122478 4.386730 0.0001

R-squared 0.251045 Mean dependent var 18.71730Adjusted R-squared 0.236066 S.D. dependent var 37.63006S.E. of regression 32.88992 Akaike info criterion 9.861912Sum squared resid 54087.33 Schwarz criterion 9.936959Log likelihood -254.4097 Hannan-Quinn criter. 9.890683Durbin-Watson stat 2.173218

Null Hypothesis: D(DU_PRIVSA) has a unit rootExogenous: NoneLag Length: 0 (Automatic - based on SIC, maxlag=10)

t-Statistic Prob.*

Augmented Dickey-Fuller test statistic -3.509771 0.0007Test critical values: 1% level -2.610192

5% level -1.94724810% level -1.612797

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Augmented Dickey-Fuller Test EquationDependent Variable: D(DU_PRIVSA,2)Method: Least SquaresDate: 09/24/13 Time: 18:48Sample (adjusted): 2000Q3 2013Q2Included observations: 52 after adjustments

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

D(DU_PRIVSA(-1)) -0.386012 0.109982 -3.509771 0.0009

R-squared 0.194357 Mean dependent var -0.564083Adjusted R-squared 0.194357 S.D. dependent var 36.96162S.E. of regression 33.17587 Akaike info criterion 9.860566Sum squared resid 56132.57 Schwarz criterion 9.898090Log likelihood -255.3747 Hannan-Quinn criter. 9.874952Durbin-Watson stat 2.262367


ARMA/ARIMA modelio p ir q vėlavimų eilės nustatymas

Nustatyti AR ir MA procesus geriausiai aprašančius (generuojančius) nagrinėjamą reiškinį. Parenkamos kelios alternatyvos

• ADF testo pagalba nustatoma integravimo eilė (I)

• Nustatoma AR(p) proceso vėlavimo eilė p

• Nustatoma MA(q) proceso vėlavimo eilė q



AR(p) nustatymas• AR(p) proceso eilė p nustatoma tiriant dalinės

autokoreliacijos koeficientus PAC – (dalinės autokoreliacijos koeficientas parodo yt koreliavimą (sąryšį) tik

su konkretaus lago (k) Yt-k reikšmėmis, t.y. eliminuojant kitų lagų Yt-i, ik įtaką).

• Dalinės koreliacijos koeficientai PAC yra Yt autoregresijos parametrų įverčiai

ktkttt yyyy ˆ...ˆˆˆ 22110



AR(p) nustatymasAR procesui būdinga tai, jog dalinės

autokoreliacijos koeficientas PAC p vėlavimų yra didelis (1,..., p), o likusiuose vėlavimuose dalinė autokoreliacija (p+1,..., p) yra nebereikšminga.



AR(p) nustatymas

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

AR(1) PAC – dalinės autokoreliacijos grafikas



-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

AR(2) PAC – dalinės autokoreliacijos grafikas



AR(p) nustatymas

• Didėjant vėlavimo periodui k AR(1) proceso autokoreliacijos koeficientas AC eksponentiškai mažėja



MA(q) nustatymas

•MA proceso eilė nustatoma tiriant autokoreliacijos koeficientus AC

• rk koeficientas parodo Yt bendrą koreliaciją su visais Yt-1,..., Yt-k:

n

tt

kn

tktt

k

yy

yyyyr

1

2

1

)(

))((



MA(q) nustatymas

• MA procesui būdinga tai, jog autokoreliacijos koeficientas AC yra didelis q vėlavimų (r1,..., rq).

• Likusiuose vėlavimuose autokoreliacija yra nebereikšminga (rq+1,...,rk).



MA(q) nustatymas

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

MA(1) AC – Autokoreliacijos grafikas



MA(q) nustatymas

MA(2) AC – Autokoreliacijos grafikas

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0



Procesas Autokoreliacijos funkcija (ACF)

Dalinės autokoreliacijos funkcija (PACF)

AR (1) Eksponentiškai mažėja Po pirmo vėlavimo didelės reikšmės kituose tampa visiškai nežymi

AR (p) Mažėja eksponentiškai ar silpstančiais priešingų ženklų cikliniais svyravimais

p vėlavimų - didelės reikšmės, po to staiga krenta iki beveik nulio

MA (1) Po pirmo vėlavimo didelės reikšmės kituose tampa visiškai nežymi

Eksponentiškai mažėja

MA (q) p vėlavimų - didelės reikšmės, po to staiga krenta iki nulio

Mažėja eksponentiškai ar silpstančiais priešingų ženklų cikliniais svyravimais


ARMA/ARIMA modelio parametrų (koeficientų) vertinimas

• Parametrų įvertinimas: kartu yra vertinami vėluojančių Yt-k kintamųjų ir paklaidų parametrai, todėl naudojamas maksimalaus tikėtinumo metodas, taikant iteracinę optimizavimo procedūrą.

• EViews: ls d(Y)=C ar(1) ma(1)

Regresijos parametrų vertinimo metodai

• MKM – rasti tokius parametrų β1, β2 įverčius, kurie minimizuoja modelio paklaidas, t.y atsitiktinę modelio dalį.

• MTM – rasti tokius parametrų įverčius β1, β2, kurie maksimizuoja sisteminės dalies ir Yi atitikimo tikimybę

Maksimalaus tikėtinumo metodas

Yt = β1 + β2Yt-1+ut

Tarkim nagrinėjame porinę priklausomybę, kurios Yt – atsitiktinis dydis pasiskirstęs N(, σ2)

MTM – esmė

max),ˆ,...ˆ,ˆ...,( 22121 nn YYYYYYf

Maksimalaus tikėtinumo metodas

),( 2121 tt YYf =

2

2121 )(

2

1exp

2

1

tt YY

)ln(2ln1(2

2

T

eTl

Maksimalaus tikėtinumo funkcija

max


Sudaryto ARMA/ARIMA modelio adekvatumo vertinimas

• Vertinimo kriterijai – Modelio paklaidų autokoreliacijos AC grafiko

vertinimas– Ljung-Box testas (Q statistika)– R2, adj.R2, AIC ir Schwarz ir kt.

determinuotumo kriterijai



Modelio paklaidų AC grafiko vertinimas

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

Nereikšmingos modelio paklaidos

EViews: View Correlogram



AC grafiko vertinimas

Reikšmingos modelio paklaidos

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0



Ljung-Box testas (Q statistika)

qpkriTTQ i

k

ik

22

1

1

~2

H0: nėra paklaidų autokoreliacijos

H1: yra paklaidų autokoreliacija

kur T – stebėjimų skaičius, k – vėlavimo periodų skaičius, ri – i-ojo lago

autokoreliacijos įvertis, - reikšmingumo lygmuo, p – AR, o q – MA eilė.



Ljung-Box testas (Q statistika)

– Išvada:• Jei apskaičiuota Q - statistikos reikšmė yra mažesnė

už kritinę teorinio 2(k-p-q) skirstinio reikšmę (ar pagal Q-statistiką nustatyta reikšmingumo tikimybė yra didesnė už pasirinktą reikšmingumo lygmenį), daroma 1- reikšmingumo išvada, kad paklaidos neautokoreliuoja ir modelis sudarytas adekvačiai.


Paklaidų korelograma



Ką daryti, jeigu yra reikšmingų paklaidų?



Ką daryti, jeigu yra reikšmingų paklaidų?

• Išeitis:– Įtraukti į sudarytą modelį atitinkamo vėlavimo

skaičiaus kintamąjį. • Didinant AR ir MA eilę, visada gali būti užtikrintas likučių

nereikšmingumas

• Rizika: – Didinant AR ir MA eilę didėja tikimybė aprašyti ne

pagrindinį dinamikos ypatumą, o atsitiktinius nuokrypius

– Įtraukti ar ne? • Atsakymas: tikslinga apskaičiuoti AIC ir Schwarcz kriterijus

jie leidžia įvertinti papildomojo kintamojo įtraukimo į modelį pagrįstumą

Determinuotumo rodikliai

• R2 ir adjR2

• AIC – Akaike Information Criterion

• FPE – Finite Prediction Error

• SBC –Schwarz Bayesian Criterior

• HQC - Hannan and Quin Criterion


Prognozavimas ARMA/ARIMA modelio pagalba

• Prognozuojant ARMA modeliais– į identifikuoto ir įvertinto modelio vieno periodo

prognozės išraišką įstatomos žinomos (yt,..., yt-p+1) ir pagal modelio išraišką apskaičiuotos (t,..., t-q+1) reikšmės.

– Vienintelė laiko momentu t nežinoma reikšmė – laukiama ateities paklaida E(t+1) – yra lygi nuliui.

111111t ˆˆ...ˆˆˆ...ˆˆy tqtqtptpt yy



Prognozuojant ARMA modeliais• Norint gauti tolesnę prognozę, naudojami ir prognozuojami dydžiai. Pavyzdžiui,

dviejų periodų prognozė:

• Todėl pirmiausia apskaičiuojama t+1 laikotarpio prognozė, toliau t+2, t+3 ir t.t.

2112112t ˆˆ...ˆˆˆ...ˆˆy qtqtptpt yy



Prognozuojant ARIMA modeliais

•ARIMA modeliuose vietoje pirminių reikšmių įsistatome pirmos eilės skirtumų reikšmes. Prognozuojamos ne Yt reikšmės, o jų pirmos eilės skirtumų dydžiai (Yt)

•Prognozuojamos absoliutinės Yt reikšmės išskaičiuojame iš skirtuminės schemos: Yt+1Yt+1- yt Yt+1Yt+Yt+1.


Prognozių tikslumo rodikliaiABSOLIUTŪS TIKSLUMO RODIKLIAI

• ME - vidutinė paklaida: [ME 1/n (yt - yPt)]– Adekvačiai sudaryto modelio ME lygi ar labai artima

nuliui.

• MAE – vidutinė absoliutinė paklaida:

MAE 1/n |yt - yPt|– Kai lyginamas faktinės ir teorinės reikšmės atitikimas šis

rodiklis vadinamas vidutiniu absoliutiniu nuokrypiu


Prognozių tikslumo rodikliai

• SSE – prognozės likučių kvadratų suma:• SSE (yt - yPt)2.

• MSE – vidutinė kvadratinė paklaida:• MSE 1/(n-k ) (yt - yPt)2, kur n- stebėjimų, k –

modelio parametrų skaičius.• RMSE – šaknis iš vidutinės kvadratinės

paklaidos:

• AIC – Akaike’s informacijos kriterijus:• BIC (SBC) – Schwarz kriterijus:

21ptt yy

knRMSE


Prognozių tikslumo rodikliaiSantykiniai rodikliai

•MAPE – vidutinė absoliutinė procentinė paklaida:MAPE 100/n |(yt - yPt)/ yt|.

MPE – vidutinė procentinė paklaida:MPE 100/n [(yt - yPt)/ yt].

MAPE ir MPE yra mažai prasmingi, kai faktinė reikšmė yra artima nuliui (yt0), nes

rodiklių reikšmė tada artėja prie begalybės.R2 – determinacijos koeficientas

Adj. R2 – koreguotas determinacijos koeficientas

Box-Jenkins procedūros schema

Duomenų paruošimas: a )logarimavimas dispersijai stabilizuoti

b) integravimas trendui eliminuoti

Modelio sudarymas: a) analizuojami duomenų, ACF, PACF diagramos

Parametrų vertinimas : a ) modelio parametrų vertinimas

b) integravimas trendui eliminuoti

Modelio adekvatumo verinimas: a ) paklaidų ACF ir PACF b) Ljung-Box testas

Prognozavimas : a ) modelio naudojimas prognozėms

Ar paklaidos yra baltasis triukšmas? Ne

Taip

Nu

statymas

Vertin

imas ir

diagfn

ostika

Taikymas

ARMA/ARIMA modeliai

Documents

Transcript of ARMA/ARIMA modeliai