Aristo

5/17/2018 Aristo - slidepdf.com

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I N S T R U C C I O N E S

P A R A E l u s a

D E L A R E G 1 A

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8960

O!SIClV'

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-1.',-

Reservedos lodos derechos, elp.. 1 1111Ulll la trnducci on CIldlorncs extrenieros.

Prohibidd ICI It t III 1 6 n 10lClI0 parcial,

© 1963by ARISTO~WERKE'C I N t H l l If « PAPEKG . HAMBURG' IA/SLl/RL

Impresoen A I , n t I I I r Boref KG • 6461

2

INDICE

1. Generalidades 4

1.1 Manejo de la regia de cdlculo .. 4

1.2 Reseiia de propiedad 4

1.3 Tratamiento de las reglas de cc'ticuloARISTO 4

1.4 Soportes n2770 para reglas de cnlculo '. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 51.5 Representocion grc'tfica de los ejemplos 5

2. Disposiclon de las escalas ; '.: . . 6

3. Lectura de los escalas 8

4. Lectura de las escalas en las reglas de calculo de bolsillo '. . . . . 9

5. Cdlculo de tanteo 9

6. Fundamento delcc'tlculo .............•......•...................... 10

7. Multiplicacion '.•.. " 11

8. Division 11

9. Las escalas desplazadas CF y DF ' '" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11

9.1 Cc'tlculo de tablas sin «cor rirniento» de le i regtilla 12

9.2 Lectura directa de multiplicaciones y divislone_spor el nurnero n .. 12

10. Multiplicaci6n y division combinadas ., 13

11. Las escalas reclproccs CI y CIF .........•...•..................... 13

12. Proporciones 15

13. Las escalas A . B. y K ' ...............•.............. 15

13J EI cdlculo con las escalas de cuadrados A y B 16

14. Escala pitoqoricc P 16

15. Funciones trigonometricas : . ...•...••.................. 17

15.1 Esco!o de semis'S ........................••................. 17

15.2 Escala de t'angentes T1 y T2 : . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18

15.3 Escala ST .. :'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • . . . .. 18

15.4 Conversion grados <-> radlones ~...•....•............•....... 20

15.5. Las marcas e ' y o" ' ; 20

15.6 AR(STO-Studio 4009 21

16. Cdlculo trlqonometrico de trl6ngulos pianos 22

16.1 Nurneros complejos , ..•.•.•.........•..... 24

17. Escalas exponenciales LL1- LL3 Y LL01:_tIL03 ••...........•........ 25

17.1 Potencias y rakes de exponente 10 y ~ O O . . .. . .. . .. . .. • .. . .. . .. 25

17.2 Potencias y =aX ...•..............................•........ 25

17.3 Casos particulares d y _ aX 27

17.4 Potencias y =X . . . .. • . . .. . . .. • . . •• . • • • • .• • • • • .. • . . •. . . . .. . 28

17.5 Rakes ............••................••.•..•.••.....•....... 29

17.6 Logaritmos ,.....•••••••......•.•...... 29

31

31

33

33

33

34

34

34

35

18.

19.

elos exponencial •.••....•............

con las escalcs xpen nclol .

20 . 1363 ..........•.•.•.................. 35

10 N Z 35

35

36

36

I I I , • • • • • • • • • ~• • I • • I Itt I • • • • • • • • • ,I • • • • • •

n para unldddes 1 1 1 0 r n Irlco •.......•.....

3



1. GenerCilidades

Esta instruccion de maneja trata d las escalas de 10 regia de cdlculo, de su

aleance y de su campa de aplicaci6n. S o explica como se caleula con las escalas

y que relaciones existen entre ella . Para coda escald se presentan ejemplos

para adarar el principio en que sa belsa, AI igual que en unformulario se indica10 mas importante.' /'

iPara el cdlculo con 10 regia es mec aria 10 prdctlco! Para ejemplos y extensas

explicaciones recomendamoslos IIbr s:

Hcssenpfluq.: . Der Rechensteb ARISTO-Sludio

Stender/Schuchardt: Der modern Rochensiab

1.1 Manejo de lo. regl? de cdl via

Para el cnlculo 10 mds cornodo.es t ncr 10 regia de cdlculo en 10 m ono y en tal

posicion can respecto a 10 luz, ~~ 1 1 ' 1 raya del cursor no de ninguna sam bra.

La colocccion mas exacta de la roSllllo se consigue mediante, presion y contra"

presion. Can una de las monos sage 16 parte sobresaliente de la reglilla.

muy cerca del cuerpo de 10'regia c l dlculo, con el dedo pulgor y el indice, de

forma que maviendo los dedos a Id V :c que se apoyan sobre el cuerpo de la regiasea posible firer y empujar. C010110 Iro mono se coge el listoncilla superior de'

la regia de cdlculo, de forma que eon 10 punta del dedo pulgar pueda efectunrse

una contrcpresion sabre el final d I I reqllllc. .

Fig.1

La coloccclon del cursor puede of Iucrse can una mana, pera se consique de

una manera mas rdpldo y exccfa 11los dedos pulqnr e Indice de ambos monos.

Para que ~I cursor no se lddee y 10 l I y a del curso~ seul levcrdcslernpre vertical -mente a las dlvlslones debe de dp r Ir1rse ligeramente el ccnto guip. del cursor,

que se encuentra enfrente del rn w II dcl cur sor , contra el canto .de.lo regIa.;,..:

1.2 Reseiia de propiedad

En el estuche se encuentro debaJa d 1 0 oscala de nurneros normales ARISTO1364

un suplementa tronspo rente, quo I''in de clojcrniento a 10 escala de numeros

normales. La tarj,etita que se emCIiInlrCl debajo puede sacarse doblando 10 tiratrnnspnrentey en ella puede escf1Ilbl'\l 01 nombre. '

1.3 Tratamiento de las regl~1 de cdlculo A~ISTO

La regia decdlculo es un VqU0S0 I 1 i l ~Io auxiliar de cdlculo y necesita un trata-

miento cuidadoso. Las escalas y . I ursor deben de prategerse de 10 suciedad

y de los nrcfiozosvpnrc que 1010ofrll l 1 (1 oxactitud de 10 lectura .

. Se recomienda limpiarla regia de v :t. on cuan.do con el producto especial.cle'

limpieza DEPAROL y despues pl:Jllrln 11 seco. En ningun caso deben de

pleorse praductos qulrnlcos, yo qu Ito pueden desfruir las .divisiones.I I

4

Debe de proteqerse 10 r egia de las gomas de borrar pldstlcos y de sus residuos,

yo que estos pueden dufior 10 superficie del ARISToPAL. Aderncs debe de evitcrse

sucolocnclon en lugares calientes, como p. ej. sobre radiadores de culefccclon

a a pleno sol, yo que a temperaturas superiores a 60° C pueden presentarse

deformaciones. Para reglas de caleulo con tales defies no habra recambio

bajo garantia.

1.4 Soportes n.!!770para reglas de-cdlculo

(solo para 0968)

Los soportes nQ 770 para reg las de cdlculo que se suministran con la ARISTO-

Studio 0968 se el)cplaQ lateral mente sobre 16 regia de cclculo y dan a ambas carasuna posicion mas -elevndn e inclinada, es ,,!,acir. mas favorable para su lec!ura

sobre el escritor'io. De esta forma son fOcilmente abarcables las escalas, cuando

p. ej. 10 re'~'ld de:'c61;culo se encuentra sobre la mesa para el cclculo de tobias.

La posicion elevada p~rmite sobre todo ~lli.bre movi miento de cursores con lupa.

I F,ig.2

AI encajar lateral mente los soportes de 10 regia de cclculo se gira la ARISTO-

Studio de forma que la cora de los angulos este hacia arriba. Los saportes se'empujan entonces de tal forma sobre los puentes de union de la regia de cdlculo,

que puedaverse el estriado, y los resaltesdel soporte puedan enccjcr en las

ranuras de los puentes de union.

1.5 Representacion grafica de los 'ejemplos

A conflnuaclon se usa una representcclon abrevlada de los ejemplos, que nos

muestra mejor el camino seguido para hnllor la soluclon y el orden de las

colocaciones, que la representcclon conveactoncl de 10 regia de cdlculo, Las

escclcs vienen representcdns par Ilneos ,p,a~alelas en cuyos extremos se hallasu denornlncclon cbreviadc. Los slguientes slrnbolos facilitan la lectura de las

fi.guros: -,

Poslclon i'nicial

Posicion intermedia

o

•I)

®

Resultado final

Posicion0

ectura de un resultcdo Intermedio

r-..l" ....ar la vuelta a 10 regia do celculo

Las f lechcs Indican It! s ue s le n de opera-

clones y 1 0 ell!" eeien rI I rnevlrnlento

Una raya vcrtleal r pr S Mia I cursor. - I\lg.3

5



LA REGLA DE CALCULO ARISTO·STUDIO

La ARISTO-Studio es una regia de cdlculo universal con escalas exponenciales para cientificos, ingenieros y estudiantes.

2. Disposlcion de las escalas

Cara ST Escala de tangentes, senos y arcos para angulos desde 0,55° hasta6° 1ngular T1 Escala de tangentes para dnqulos desde 5,5° hasta 45° en el cuerpoT2 Escala de tangentes para dnqulos desde 45° hasta 84,5°

JF Escala fundamental desplazado por at JIX

CF Escala fundamental desplczcda por n nx _

)IF Escola recfproca de CF 1/nx en 10 reglillaCI Escala redproca de C 1/xC Escala fundamental x

D EscnJa fundamen ol x

I1-~ en el cuerpo

"Escc C! ce s~nos de 5,,50a 9()D 1 : sinen sentido inverso marcado en ro]o de 0° a 84,5° como escala de cosenos 1 : cos

T,

-e ten nx

nx 0 >-

;& : n ~ ~, i r m a: :; <to~

"'Jl-ii' ne s.ln

nOF

CF

AR1STO elF

STUDIO CI

C

Cara angular

- -- -~-

Cora exponenciol LLo1 Escala exponencial, alcance 0,99-0,9 e-O,01x

ILo2 alcance 0,91-0,35 e-O,1x

en el cuerpoLLo3 alcani::e 0,4 -10-5 e-x

A Escala de cuadrados x2

B Escala de cuadrados x2

IEscala de rncmtisos Igx

K Esca la de cubo~ x3en la reglilla

C Escala fundamental xD Escala fundamental x

IL3 Escala exponencial, alcance 2,5 -105 eX

LL2 alcance 1,1 -3,0 eO,1x en el cuerpo

LL1 alcance 1,01-1,11 eO,01x

I ' 1 0 " " ' ""-"" o



3: Lectura de las escalas

Para el empleo de la regia de cdlculo es esencial la lectura rdpldc y segura de

las escalas. Las figuras 6 a 9 presenlan ejemplos de lectura en las escalas funda-

menlales C y D, que son las mas usadas. Los inlervalos principales se han

marcado con rayas de division largas y con nurneros del1 al10 (fig. 6). EI10 estd

marcado en la cara de los dnqulos de nuevo con el1, ya que esla raya de divisionpuede considerarse como principi~ de una nueva escala identicc a la precedente.

1I

61

7 8 9 11 I . 1 I

4I

51

Fig.6

En el inlervalo de las cifras 1 01 2 se asemeja la escala 01 cuadro de divisiones

de una regia graduada milime1ricamenle, con 10 unlco diferencia de que aqui

los inlervalos enlre divisiones van dlsminuyendo hacia la derecha.

1007 1095 1221:) 1355 1573 1@47

,:11111111Iillllllllllllllllllllllllljlllllllllljlll'llll1\11:I'IIIIIJIIIIIIIII\III'IIIII:1111111111I1I1I1

1 1.1 1.2 1.3 lA 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2Fig.7 Lectura en el intervale de 1 a 2

La cifra 2 de una regia qrcducdo rnllimdtriccrnente puede significa r 2cm, 20 mm,

0,2 drn, 0,02 m, elc.; es decir, quedejcndo las dimensiones a un lado aparece el

2 relacionado con las diferenles polencias de diez. De forma oncloqc las cifras

de 10 escala de 10 regia de cclculo no dan indicocion alguna dellugar de 10 coma.

Por ello es aconsejable leer 10 s uceslon de cifras sin coma, expresdndolcs indivi-

dualmente, p. e].: uno-Ires-cuatro y no ciento Ireinla y cuatro. De esla forma no

se confunden ni se olvidan cifras. Como ejercicio puede moverse lenlamente la

raya del cu r sor desde el valor 'la 10 derecha y leer en coda division: 101, 102,

103,104,105,106,107,108,109" HO, 111, 112, 113, etc.

La ,raya del cursor es tan fino en relcclon con el ancho de los i ntervalos, que

puede graduarse con toda seguridad el centro enlre dos divisiones. Pero el ojo

aprecia tcrnbien pequeiias fracciones de un inlervalo, de forma que con algunaprdctlcc, puede apreciarse hasta la decimn parle de un intervc!o y con ello seobtiene 10 cuarla cifra. , ..

Como ejercicio se mueve lentamenle el cursor hctcia 10 derecha apreciando

por ejemplo entre las divisiones 1310 y 1320: 1311, 1312, 1313, 1314, 1315, etc.

Entre una division marcada con una cifra y la siguiente deben de lenerse en

cuenta los ceros, sobre todo al comienzo de la escala; p. ej.: 1000, 1001, 1002,

1003, etc. (vecse 1007 en fig. 7).

203 2155 235 283 302 3495 379

II!IIIIII~ 1IIIIIIIItllllllllllllj 1111jIIIIijllljlllqil1qr!'1rjlllljllllllllj'~IIIIIIIPlllilllllll11ll

2 2.5 3 - n : 3.5 4

Debido a que los intervalos a la izquierda de la cifra 2 son ya muy pequefios,

se ha grabado en el i ntervalo siguiente entre las cifras 2 y 4 solamenle coda

segunda raya de division; de ahi resulta un nuevo cuadro de division, en el que

se alri buyen a coda raya valores pares: 200, 202, 204, 206, 208, 210, 212, 214 etc.

La milad de coda intervalo nos da los valores impares: 201, 203, 205, 207, 209,

211,213, etc. La fig. 8 da algunos ejemplos de lectura.

8

En el intervalo de 4 a 10 las marcas son intervclos de 5 unidades, de forma que

las lecluras en las sucesivas rayas divisorias son: 400, 405, 410, 415, 420, 425,

430 elc.

Los valores inlermedios deben de apreciarse; en 10 milad enlre 400 y 405 se

encuenlra el valor 4025, un pocb a la izquierda el valor 402, y un poco a la

derecha el valor 403. Correspond ienlemenle, 10 milad del inlervalo siguiente

corresponde al valor 4075. La fig. 9 presenla una serie de lecluras.

4. Lectura de las escalas en las reglas de ccilculo de bolsillo

(solamenle para 868)

Debido a la menor longilud de la regia 'las escalas de la regia de cdlculo de

bolsillo estdn subdivididas de dislinta forma que en la regia de cdlculo de 25 cm.

Los tres inlervalos principales aparecen aqui en olro orden.

1 (11) (12l (13)

II:IIIIII:IIII! IIII I ,

lQ3 us 124

Il'ltervale ael ~ al 2

Fig.10

21 (21 ) (22 ) (23 ) ~41 (2

1

5)

III 111:1 II:: , I

215 2325 249

lntervc!o del 2 01 5

5 6 7

111111111:" 11111:11111I I I

52 583 655

Inlervalo eel 5 al 10

En el inlervalo del 1 al 2 solamenle esl<'in numerados los valores 1, 1,5 Y 2.

La segunda cifra se halla medianle las rayas de division largas, como 10muestran

los nurneros enlre pcrentesis, p. ej., (12). Las rayas de division corlas que se

encuenlran enlre las anleriores nos dan 10 lercera cifra de dos en dos unidades,

p. ej., 124. Esla lercera cifra es siempre un nurnero par: 0, 2, 4, 6, 08, los valores

impares se encuenlran en 10 mitad de estos intervolos, p. ej., 103.

En el intervalo de las rayas de division numeradas del 2 01 5 se halla a su vez 10

segunda cifra conlando las rayas de division largos, p. ej., (23). Las rayas de

division cortes nos dan el 5 de 10 tercera cifra, p. ej., 215. Todos los demos

vclores delcclfrc se aprecian.

En el i ntervalo de 5 a 10 solamente estd nurnercdc a su vez la primera cifra.

La segundo cifra se halla contando las rayas de division cortas 01 Iguol que en

una regia graduada milimetricamente, p. ej., 52. La tercero clfra se oprecia

entre los i ntervclos anteriores, p. ej., 583.

S. Ccilculo de tanteo

En el capitulo 2 se hace hinccple en que en 10 regia do celculc graduan y leenunicamenle sucesiones de cifras. Solamenle despues do un cdlculo do tanloo sa

determina 10 posicion correcla de la coma en el rosultado y con 0110 adornas sa

obliene un control de 10 primera cifra del cdlculo m dlal1t lc r gla.

Reglas para cclculos de tcnteo :

j Redondear los valores a cifras completas!

p. ej.: 3,43"" 3 9,51 "'" 10 7,61 "" 8

[En las mulliplicaciones se redondea un factor hacla arriba y et olro hacia abajo!

p. ej.: 8,92· 127"", 10· 120 = 1200

2,19·9830"", 2· 10000 = 20000

j Simplificar las divisiones!

9



Numerador y denoniinador se redondean en el rnlsrno senlido~

725 _ 7,25 ""!_ "" 1,4p. ej.: 539 - 5,39 5

640 . 15,3 "" 60 . 20 =240

51· 0,8 5· 1

EI sacar las polencias de diez facilila el cdlculc

grandes 0 muy pequeiios.

p. ej.: 73215 =7 . 104

89 "" 9 . 101

con valores nurnerlcos muy

0,0078 =8.10-3

0,706 "" 7 . 10-1

AI mulliplicar 0 dividir con valores numericos muy. grandes 0 muy pequeiios 10

sepcrccicn de las potencies de diez do mayor clcrldcd, '

'. 007325.0000518"" 8 .10-2.5.10-4 = 40.10-6

= 4.10-5

p. el··, '

2950 _ 3.103

=0,5.106

0,00598 - 6.10-3

6. Fundamento del cdlculo

EI c dlculo con 10 regia de cclculo corr sponde a una sumo 0 resla me<;anica de

lEI principio en que se be 0 cl cclculo puede enlenderse facllmenlesegmen os. h d r frenlecon dos reglas graduadas milimeirioomenie que se acen es rzor una

a 10 olro. .La fig 11 presenta el ejemplo 2 + 3 .. S. Si e l extremo inicio l de 10 regia superior

se colocc sobre el valor 2 de 10 ragltl Inferior, puede sumarse a este valor 2,

con ayuda de 10 regia superior,' el '10101' 3 p or ejemplo. Debajo del valor 3. de 10

regia superior se encuentra el resultedo 5 en 10 regia inferior. En ~~ fig. 11

pod ria leerse tornbien 2 + 1 = 3 0 20 + 15 = 35, si contamos los mi ltrne tros.

3

----~o 1 234

11111111111111111111111111111111111111111

II I I I II I I 'II I I 'II I I I II I I 'II I I 'II I I I II I I I II I I I II I I I Io I 2 3 4 5

2

Fig.11 Adioi6n grafica <:On escalas

Tcrnbien 10 sustroccion 5 - 3 =2 pu dll deducirse de 10 f ig. 11, siguiendo el

proceso inverso. Del segmenlo 5 do lu .( clio inferior se resla el segmento 3 de ~a

escala superior, para 10 c ual se colo ( !lItIS valores 5 y 3 uno sobre ol ro y debc]o

del exlremo inicial de 10 escala sup rill' se halla el resultado 2 en 10 escala

inferior.En 10 regia de cclculo se ha llan unfl J( nlos sobre un cuerpo fijo y olras sobre

a reglilla desplazable. La partloull1llilliri de 10 regia de cdlculo eslriba en que

~~tas escalas son loga, ri tmicas . D lil furma lo ad~c~o.n,de dos segmentos da

una niultiplicacion y la sustrccclen t IInvlcrte en dlvlsion,)

10

----~,-------...--.--:

7. Multiplicaci6n

(Se suman dos segmentos)

EI 1 de 10 escala C del comienzo de 10

reglilla se coloca sobre el valor 18 de D.

Llevado el cursor 01 valor 13 de 10

escala C se sumo el segmento 13 01segmento 18 y el resultado 234 puede

leerse bajo 10 raya del cursor en 10

escala D. Mediante un . cdlculo de

tanteo, p. ej., (20 . 10 = 200) se deter-

mina 10 posicion de 10 coma.

Para calculcir el producto-f B . 7,8 tenemos que efectuar un «corrlmtento » de 10

, reglilla, esto es, colocendcel final de 10 escala C sobre el 18 de 10 e scala D.

En 10 ARISTo-Studio puede evitarse este inconveniente continuando el cdlculo

con los escclos superiores CFjDF. , \

Las escalas Cf y DF permiten esta sirnplificccion del cdlculo, porque son una

repeticion de las escalas fundamentales C y D con 10 diferencia de que el 1 de

estas escalas queda aproximadamente en el centro de 10 regia de cclculo. Cuando

por ejemplo, en el par interior de escalas se halla el 1 de 10 e scala C frente 01

18 de la D, tnrnbien se encuentra el1 de la escala CF frente el18 de .10 DF Y por

tanto puede multiplicarse en ambos pares de escalas con el factor 18. La mul-

tiplicccion 18·7,8 se calcula mediante las escalas CFjDF colocando la raya del

cursor en el 7,8 de 10 e scala CF y leyendo 140,4 en la escala DF.

g ~ - - ~ - - - - - - - - - - ~ ~ - - - - - ~ ~elF ~x

€I - - ~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - i--~~--~~~--~~~~.~

~ig.12 18·13 =234

18· 0.285 = 5,13

18· 7,8 = 140,4

8. Division

(Substrccclon de dos segmentos , inversion de la multlpllccclon)

La raya 'del cu r sor se coloca sobre el

valor 2620 en 10 escala D y mediante

la regl ill a colocamos el nurnero 17,7

de lo escala C bajo la raya del cursor

,de forma que ambos valores queden

uno frente a otro. EI resultado 148 se

lee bajo el principio de la escala C, 0 en

otros casos bajo el final de la reglilla.

Sobre el1 de la escala CF puede leerse

natural mente el mismo resultado en la

escala DF, ya que tcrnbien en estas

escalas estd colocada lei division

2620: 17,7.

La misma colococlon de la reglilla es tcmolen v611c1a para 10 multlpllcccion

148 ·17,7 =2620. La diferencia entre multlpllccclcn y clivi 16n osl6 solamente

en el orden seguido en las operaciones. En la dlvl 16n' I I r sultado respec-

tivamente bajo el comienzo 0 final de 10 escala d 10 r 11110,no exlstlendo un

«corrimiento» de ella. Esta ventaja se aprov horo r polldomente en los

capitulos siguientes.

g ~ - - - - - - - - - - - - - - _ , - - - - - - - ~ ~elF ~x

---i-

1",7 xo • 11.11 2020 x

Fig. 13 2620: 17,7 _ 148

ani 0: 3000: 20 -= 150

9. Las escalas desplazadas CF y OF

Las escalas CF y DF son una repeticlon de 10 colo' rundamenlales C y D,

pero desplazadas con respecto a esta de tal forme, < \ U ~ . . . 3,142 en CF 0 DF

respect ivamente se encuentra exoctcrnente sobl' prlnctp!o 0 final de las

escalas CoD. EI v alor 1 se encuentra cproxlmadarn nt on 10 mitad de la regia

11



de cdlculo, de forma que con las' escalas desplazadas obtenemos una sobre

division de media longitud de regia. Los dos pares de escalas C(D y CF(DF

forman una unidad de trabajo de la que resultan extraordinarias ventajas en

mult ipl icaciones, cclculos de toblos y proporciones.

EI indice 1 de 10 e scala CF senoia siempre sobre 10 e scala DF el mismo nurnero

que el1, 0 bien el1 0 de 10 e scala C sabre 10D. Las multiplicaciones hechas hasta

ahora pueden comenzarse tarnblen con el par de escalas CF(DF, y con la ventajade que siempre se habra elegido ls groduacion inicial correcta. Es lnnecescr io

entonces el pensar si ha de ernpezorse con el extremo izquierdo 0 derecho de 10

escala. AI hacer una division con los escclcs superiores, el numerador y eldenominador se encuentran en la regia de cclculo en igual posicion que al

escribirlos en forma de quebrado.

Cuando el resultado no puede leerse on uno de los pares de escalas, siempre es

posible la lectura en el otro, sin necesldad de un «corrimiento» de la reglilla.Las franjas amarillas sobre la reglillo slrven para recordar, que, los factores se

qruduon en las escalas desplazables C y CF de la reglilla y que el resultado se

halla sobre D debajo de C 0 sobre DF oncima de CF.

9.1 Ccilculo de tobias sin corrlmlento de 10 reglilla

x 1,7

y 49,3

Para x = 5 puede leerse sin; corrl-

miento de la reglilla en el par d

escalas superiores CF y DF.

28,2 1Y = -- = 28,2 . -

x x

x 7,43 2,92 1,567

Y 3,795 9,66 18,0

x 1y=--=--·x

18,2 18,2

x 3,17 112,1

Y

0,1742 6,16

10

"...-

DF (0).11.5 (0)290 " xCF .5 .10 nx

ICIF nx

CI1x

C .1.7 .3.45 x

D 29 1.!J49." (!il00 x

Fig.14

290

DFCF

CI~

CI

CD

. , . . - - ~.18

1.567

1 7.43 2.92

28.2 • 3 ,7 95 ·9.66. ,Fig.15

, _ . , .

OF IO\S.IS nxCF .112.1 nx

1elF : r : c x

CIIx

818'2 ,.'3.17 x'I ~)O.1742

"Fig. 16

9.2 Lectura direda de mulblpl] IIclones y divisiones por el mirnero rr

Como las escalas CF y DF estdn ti l phi l 111m por el valor n, se obtiene 10ventaja

de que 01 pasar de D a DF 0de C (J 1., " r ctuo una multlplicccion y en sentido

inverso una division por ot, Si so II I II I'or ejemplo con 10 raya del cursor el

didmetro d sobre 10 escala D, pu d I II I 111 la escala DFel perimetro U = t t. . d

de la circunferencia. De forma 1 11 11 \1 11I I 0 calcula 10 pulsncion w = 2 n f,

cuando se ha graduado 2 f en D,

12

nxnx

1nx

Ixxx

En todas las operaciones que conten-

gan el fac tor ot, se tiene este en cuenta'en la ultima lectura pasando a las

escalas desplazadas. Una recopi locion

de los cdlculos con el fac tor n que son

posibles con una qrcducclon del cursorpuede verse en 10 fig. 17.

.-exn"

1

nx

1

,"

err • : nIb~ ~c ~~/dVan • b/1t

I.1/a b ~z . • r f/ d

Q .l/b • din

.I i

DFeF

CIF

CI

gx

Fig. 17 Cctculcs con"

10. Multiplicacion y divisi6n combinadas

En cclculos con expresiones de 10a·b

forma -c- sirve 10 regia:

Primero dividir, despues multiplicar.

Una vez efectuada 10d ivision 345 : 132

(fig. 18) no es necesario leer el resul-

tado intermedio, ya que 10 regia de

cdlculo estd graduada para efectuar

10 multiplicccion. EI cursor se lIevahasta el valor 22 de la escala C y selee debajo en 10 e scala Del resultado

57,5.

Si este ejemplo 10 ampliamos mediante el factor 19,5 en el denominador,

345 . 22

132. 19,5 = 2,95

DF~F

~IF

~I

C . ' 132

1 9 Q92.S1 345

-------+------~~1

nxI

""57.S

Tcntee

345 300 , 20 =6"132' 22 = 57.,5 100 v

puede dividirse a continuccion el resultado, colocando el valor 19,5 de la escala

C debajo de 10 raya del cursor, de forma que 57,5 sea dividido por 19,5. Si en

tales expresiones existen mas factores, tanto' en el denominador como en el

numerador, se divide y se multi plica alternadamente. La vcriucion ritmica de

las graduaciones de reqlillo y cursor trae conslgo un flujo constante en el

cclculo con un minima de graduaciones.

Puede ocurrir en el cdlculo de estas expresiones, que despues de la division 10

reglilla sobresalga demasiado del cuerpo de 10 rQgld y que sea necesario antes

de 10multlpliccclon un wrrlmlento de la reglilid. M cllonlo 10clecclon adecuada

de 10 graduacion de la division con CfD 0 CF(DF p u d vltarse en 10 m ayoria

de los casos este coso 'portlcu lcr .

11. Las escalas reciprocas CI y CIF

La escalaCI estc dividida de Igual forma que 10 se 10 fundomontoles C y D,

pero transcurre de derecha a Izquierda, lIevondo nurn rc 16n ro]c para evitar

errores de lectura.

Colocando el cursor en cualquler valor x de 1 0

redproco en CI, como indica 01 s fmbolo C010CCld II I xlr mo dcrecho de laescala. Sobre el 5 en C se encuentro 1/5 = 0,2 n CI . • lmpertcnta notar que

la forrnoclon de redprocos vale tomblen en nlldQ lnv rse, cs declr , en el

sentidode CI a C; p. ej., do b olo del valor 4 on C I n U nrre 1/11 = 0,25 en C.

Una lectura o.casional de los valores reclprocos 1 1 0 lu l i f t Clrlo 10 presencia de la

escala CI. Su mision principal consiste ,el Jquo Clliorro muehc graduaciones en

el cclcu lo de expresiones compuestos .

4 .. 1 45uede escrlblrso como 4·5I 4 . m lsm e quo 1 7 5 '

Esta forma de escribir resulte mas bien rare, p r p O I ' I celcuto can la regiade cclculo presenta 10 vento]c de poder cenv rllr un dlvl 16n en una multi-

13



plicccion, y reclproccrnente, uncmultlplicocion en una division. Un «juego» con

nurneros sencil los nos mostroro rnejor 10utilldudde esta trcnsformccion :

1. Llevando el cursor sobre el6 de D

y raoviendo el 2 de C hasta coloccrlo

bajo 10 raya del cursor, tendremos 10

divi sion normal 6: 2 =3 (fig.' 1~).

Dejando el cu rsor en su sitio, desplo-

zemos 10 realilla hasta situar el 2 de 10

escolq .CI b.:i' jo 10 raya del cursor, can

10 que efecfuamos. 10 multlpllcccion

6 . 2, leyendo el resultado 12 bajo el1

de 10 reglilla, 01 igual que en una

divi si'on (fig. 20). En realidad hernes

efectucdo una division, 6 :'0,5, dadoque 01 l Ievar bajo 10 raya del cursor

el 2 de CI, lIevamos 01 mismo tiempo

el 0,5 deC.

2. Dejando ahora el uno de 10 escala

C sobre el12 de D Y l Ievando el cursorsobre el 4 de C, obtenemos 10 rnultlpll-

ccclon 12 . 4 =48 de 10 forma normal

(fig. 21). Perot'rasladando el cursornl

4 de CI, leemos el resultado de 10

division 12: 4 =3, en D ( fig. 22) . Con

otras palabras: debido Q que bcjo e'l

4 de CI estd en C el valor redproco

1/4 =0,25, en realidad hemos cclcu-

lado 12·0,25 =3.

Exi st en por 10 tanto para la rnultlpli-

cccion y division dos posibilidades de

qrcduoclon, de las cuales el calculader

experimentcdo escoqerd en cada case10 mejor, con el fin de obtener, en' el

cclculo de una expresion compuesta,

divisiones y multiplicaciones alternadas.

1.x

C x

D ",Fig. ~ 9 -

· ~ rI1x 1

C xIII

"Fig. 20

CI

t ·~ iQ xD x

Fig; 21

""""~'====~=-'='-~'==~- !

~~~~~~~~~~~-.~Las. relaciones hasta cqul descritcs entre las escolcs C y CI son vclidos tam bien

.pcrc las escalas CF y CIF. Para dorse.cuento de ello resul ta util repeti r e l «juego

de nurneros» anterior con el qrupe de escalas CF/Df/CIF. Y quien aproveche

adecuadamente las ventajas de Ins escalas desplazadas, uscrc por igual laescala CIF como la escala Cr.

aExpresiones del tipo c-b-c 0 b. c • d ' ir'"'"'

t.l.l054DF !:!x ' )

etc., se resuelven alternando rnult iplt-CF -.'0,95 nx I,

Icaciones y divisiones como en el coso en ; n"i '

de multiplicocion y division combine- CI .L" . ~ X

das (cap. 10). Durante el ccilculo puede c xD t : ' ~ 5 ' "asarse del grupo de escalas C, D Y

CI 01 CF, DF y CIF. ,para evitar el ig.23

«corrimiento» de 10 reglilla.

En el ejemplo de 10 fig. 23 se co loco , 01 igual que .en una division. el185 de lo

escala D enfrente del 6 de 10 escala CI y se efectuc la rnultlpllccclon por 0,95

mediante 10 escala superior CF. EI resultcdoj 054 aparece encima del nurneroanterior en la escala DF.

n. Proporciones

ace I I d f' '1 'Las proporciones de 10 forma- =- =- = .... se co cu an e manera aCI con, b d f

10 regia de 'caiculo, porque habiendo coloccdo una de las ~~Iaciones, pueden

leerse todas las demos con solo mover el cursor, La sepcrocion entre 10 escala

del cuerpo y 10 escala de 10 reglilla viene a ser como la raya de la frocclon. Por

ella se pr-efer ird esta forma de cclculo siempre que sea posible.

Ejemplo: 9,5 kg de una mercancia cueston 6,30 pts.; icuanto cuestan 8,4 kg 1

La solucion con la regia de tres es:

6,30 . 8 4 =5 579,50 " .,

EI proceso de cclculo se ve mejor si se establece 10 proporcion entre peso y

precio. Colocando el peso dado 9,5

en 10 escala DF frente 01 precio 6,30

en 10 escala CF. se encontrnr dn chore

en las escalas CF/DF y C/D los pesos y

precios, que estdn en 10 misma pro-

porcion (cociente), uno frente a otro.

En DF y D se encuentran sequn 10'_ primera graduaciOn todos los pesos,yen la escala CF yC los precios corres- p_"".;:p_o_rc_i.;..on.;..e,;"s ..

pondientes. Frente aipeso ~,4 se leero, '. ...•consiquicnternente el precio 5,57. En laflgl:Jra 24 se encuentran dibujadcs mas

relaciones entre peso y precio.

", 10,6 kg cuestan pts. 7,03 (en lasescalas CF/DF)

3.8 kg cuestan pts. 2',52 (en las escalos C/D)

2,8 kg cuestan p t s , 1 ;8~ (en las escalos C/D)

1 kg cuesta pts. 0166 (en las escalas C/D

~ ~ ~ ~ ~ - - ~ ~ ~ -I

nxIx

Por 10 tanto 10 proporcion puede ser continuada hosta deride se quiera:

kg 9,5 8,4 10,6 '3,8 2,8 1

pts. = 6,3 = 5.57 = 7,03 =2,52 = 1,86 = = 0,66 = ...

EI cclculo de proporciones es pues, bastarnte lndependtente de las reglas dadas

hasta ahora. Es indiferente donde y cornose encucntrcn uno frente a otro los

valoresde kg y pts., mientras ¥e tenga cuidado en busocr los pesos alii donde se

graduo el primer peso y leer los precios correspondlentes en 10 escala cotoccdc

enfrente. En el ejemplo arri ba explicado podrlo hcberss groduado 6,3 en la

escola DF y 9.5 en 10 escc!c DF, entonces tam bien tend rIa que leerse enfrente

del 8,4de CF el resultado 5,57 en DF.

13. Las escalas A, By K

Colocando 10 raya del cursor sobre un valor cualquloro x de 10 escala C, puede

leerse su cuadrado x2 en la escala By su cubo x3 n 10 oscala K. En el proceso

inversose obtiene 10 roiz cuodrada 0 la ralz cublcc.

a)

b) 32,72 =3.272 '102, =1070

32,73 =3,273. 103 = 35000

2

c) y9 =3

2

d) y S 1 =7.14

3

V 3 6 4 = 7,14

-1iII-r-_'1on--~"""--*'5"-1 -~!--I---1---4-----I--lg x

Pcllnclo., y rarces----

15



La posici6n de 10 c oma se halla mediante un cclculo aproximado. En el cclculo

de potencias y ruices es ventajoso separor las potencias de diez para obtenernurneros cuyo resultado sea fccilrnente estimable. Par ella las escalas de cuadra-

dos estdn numeradas de 1 0100, Y 10 escclo de cubos de 1 01000. EI intervalo

en que ha de colocarse el cursor resulta de 10 numeraci6n de las escalas.

Ejemplo.s:

V 3 2 0 0 = V 32 . 100 = 10· V 3 2 = 10·5,66 = 56,6 (separaci6n de 102n)

3 3 181 3 1 3 1,~ = __ '_ = _. V 1 8 1 , 3 = -·5,66 = 5,66 (separaci6n de 103n)V VIUlu 1000 10 _ 10

13.1 EI ccilculo con las escalas A y B

las escalo.s A y B son ldentlccs, 01 igual que las escalas fundamentales C y D,

con la diferencia de que en elias estcn yuxtapuestas dos escalas fundamentales

reducidas a lo.rnltcd. EI intervalo. Izquierdo estd numerado. de 1 010 Y el derecho .

de 10 a 100. Con estas escalas puedan calcularse, pues, todos los pro.blemas

planteado.s hasta ohorc, de igual forme pero con menor exactitud, yo que parasu graduaci6n s610. se dispone de 10m ltad de 10 Io.ngitud de 10. regia de cdlculo,

En. rnuchos cdlculos que se han cornenzcdo elevando. 01 cuadrado. resulta mds

comedo seguir el cclculo con 10 escalo de cucdrcdos,

14. Escala pitagorica

Sequn el teorema de Pitago.ras, 10

relaci6n entre los lcdos de un tridn-

gulo. rectdnqulo de hipotenusa 1 es:

y=~.

Para cualquier Poslclo.n de x en 10.escala fundamental, se leerd en 10

escala P el valor de y =~;

Recfprocamente, vale tam bien

x = 1 - y2. En el ejemplo de

fig. 27 puede verse, que 0,6 puede sgraduado. tanto. en 10. escala D corn

en 10 P, encontrcndose el resulted

siempre en 10. escala vecina corr •

pondiente.

Elijase siempre 10. colocccion m6

favo.rable para una mayo.r excctltud,

En el ejemplo Y 1 - 0,152 =0.9887

coloco 0,15 en 10 escala D.

Ejemplo de 10. elect rotecnic :

fi~.26

c~~__~~~ ~~~~x

O J 9 ° 6 : 0 . 6 x

p ~ 0 . 6 6 0 . 6 v 1 - i 2

Fig.27: V 1 _ 0,6' =0,8

Carga aparente

Cargo. activo

Cargo. reactiva

~.1,O

~ 0,85

~ V1-0,852- 0 , " I Fig. 28

Esta forma de calcular solo " 1 1 1 1 1 1 1 1 , cucndo 10 hipotenusa es 1, 10, a

100, etc., sobro todo n 10 cony lUll 1 1 1 1 1 " coseno. En los demos tridnqulos

roctangulo r ulta ma I 0 1 1 1 I I , , 1 1 1 1 It 1 I 1 I I JO)1ometrica (vecse el capitulo 16) .

16

y

Tornbien tiene utilidad para obtener con mas precisi6n ciertas raices cuadradas

como p. ej.:

y ' o : 9 1 = y 1 - 0,09 = 0,9540

0,09 se gradua en 10p arte izquierda de 10.escalaA,entonces tenemos yo,09 =0,3

en D y 'el valor y 1 = - 0,32 = 0,9540 en P. Se mejora 10. exactitud desde uno

hasta 0,65. Esta forma de cdlculo solo debe usarse, cuando el radicando es unpoco mas pequ efio que 0.01; 1 ; 100; etc.

15. Funciones trigonometricas

Todas las funciones de <ingulos estcn relacionadas can las escalas fundamen-

tales y los dnqulos estdn indicados en divisi6n de 360° can subdivisi6n decimal.

Si se coloca un cnqulo can el cursor en las escalas 5, Tl a T2, se encuenlra en 10

escala D el valor de 10. funci6n triqonornetrlco correspondienle. En el sentido

inverso puede leerse para un valor de funci6n colocado en Del ongulo corres-

pondiente en las escalas 5, Tt 0 T2. La numeraci6n de cnqulos de las esca las

can divisi6n decimalS, T1 y T2 vale solamente para los valores de grado escritos.

La regia de cclculo do solamente los valores de funci6n para cnqulos en elprimer. cuandrante. Para 10 reducci6n de un cnqulo cualquiera en el primer

cuadrante estdn conjuntas las funciones de dnqulos en una tabla.

±ex: 90° ± a, 180° ± ex: 270° + a

sen ± sen ex: + cos a =+ = sen a - cos a

cos + cos ex: =+ = sen a - cos a ±sen ex:

tan ± tan cx : =+ = cot a ± tan o: =+ = cot o;

cot ± cater. =+ = tan cx : ± cot CY . =+ = tan a

15.1 Escala de senos 5

La escala 5 comprende los volore de los senos de los angulos de 5,50 a 90° yen

sentido inverso numerada en ro]o para valores del coscno desde 00 a 84,5°.Todos los vola res del seno a coseno leidos en 10 escclc D mplczcn par 0, ...

Los valores del seno de los an ulos ex:> 45° pucden to rSQ con mayor exacl itud

sequn 10.relaci6n sen fY . = 1 - cos2 fY . e~ 10 escalc P num rada n ro]o ; para

10. graduaci6n de un cnqulo 50 usan las ci fras ro]e d 10 cola S. Regia nemo-

tecnica para las funciones sanoldoles : Graduar y I r I mpr n escolcs de

igual color. _

Como cos a =Y 1 - sen2 ex: 5 validapara los cosenos de los angulos

x < 45° 10 siguiente regia ncmotec-

nica: Para cualquier graduacl6n en

10 escala 5 debe hacerse 10 lecture en <l:81n

las escalas Do P de distinto color. I" -<l:C08

sen 26° = 0,~4=38=-- _

sen 82° =Y 1 - cos2 82°=0,9903

arc sen 0,54 =32,7°

cos 75° =0,,=.;25::..:8:.:8'--

cos T" = 1 - sen2 7°

=0,99255

arc cos 0,9852 =9,87°

11 0

~ t ± r U V H b ls = ~ ~ : ' ' ' ' "n 117"

•I a . 3 D , 1 1 1 1

= - - - - - - - - - - - - - - - ~17



15.2 Las escalas de tangentes Tt y T2

La escala de tangentes consiste de dos partes; Tl va de 5,5° hasta 45° y T2 de 45°

hasta 84,5°. Los valores tangenciales para los dnqulos colocados en las escalas

de tangentes se leen en 10 escala O . Para los unqulos colocados en 10 escala Tt ,

se hallan los valores funcionales entre 0,1 y 1,0; para los colocados en T2, entre

1,0 y 10,0.

1Para buscar los valores cotangenciales se utiliza 10 formula cot ex = tan ex es

decir, se forman los valores reciprocos. Los valores cotangenciales se leen para

todos los angulos en 10 escala CI. Para todos los dnqulos colocados en Tt , se

hallan los valores cotangenciales entre 1,0 y 10,0; para todos los colocados en

T2, entre 0,1 y 1,0.

Ejemplos:

tan 14° = 0,2493

tan 23,6° = 0,437

tan 41,1° = 0,872

tan 51,2° = 1,244tan 73,4° = 3,35

tan 80° = 5,67

are tan 1,75 = 60,25°

are tan 2,0 = 63,43°

cot 9° = 6,31

cot 23,6° = 2,289

cot 41,1° = 1,146

cot 51,2° = 0,804

cot 73,4° = 0,298

cot 77° = 0,2309

are cot 2,0 = 26,57°

are cot 1,75 = 29,74°

8

'!

c ' 1 4 '

• 60.25° BO '

I!~t?5

.0.2493 £ 5 . 6 7

..q: tan

nx'TI'

tn.1. .

ST

Tl

T2

8~CIF

CI

<tare

4an

Fig. 31 Tangente

. .4rc

r" ~26.57O <r tan

<t tan77 '

n.n'1n.1

I',i ~6.3~0.230' (,: 2.0 x

x

.' 1 rx

.I

.32 Cotangente

ST

Tl

T2

8~CIF

CI

Fig

15.3 Escala ST

Cuando se Irala de hallar los valor

como los de cos exy cot e x para ang u I

on« y Ian ex para angulos ex< 5,5°, asi

84,5°, es vdlido 10 nproxlrncclon:

sen ex "" tan ex "" cos (90° - 0 I i )n .

t (90° - ex) '"" - exO= 0,01745 ex180

La escala ST estc numerada de 0, 0 II 6°, pero graduada en radianes. Esto

permite 10 lectura de los valores exe I II arcos de los cnqulos sobre 10 escala

fundamental 0, asi como los valor Ilproximados de senos y tangentes de

angulos pequef ios, La numercclon 1 1 1 ~11 sentido contra rio de 10 escala ST

desde 84° a 89,45°, es vdlldc para IQ f( II spondientes valores del coseno y de

la cotangente.

La analogia entre sen a, tan IX y II 1 / cs muy buena hasta los 4°; p. ej.

sen 4° = 0,0698, tan 4° = 0,0699 Y nil II" 0,0698. Para dnqulos mayores se

calcula com mayor exactitud npllccuttu]

~n~ ~n~sen a "" ex. ~ rasp I IIVilIlIIHlte tan ex "" ex . ~

)

18

Para calcular los ejemplos de arriba se transforman los problemas como sigue:

Con ayuda del cursor se pone sen 6° en la escala S 0 tan 6° en T, frente 01 valordel cnqulo en CI. A continuacl6n se carre el cursor sobre el 6 en 10 escalo CIF,

para leer el resultado en OF. Los valores cos o. paraex < 5,7°ysenex pcro « > 84,3°

pueden leerse solo de uno mcnerc poco exacta en 10 regia de cdlculo, Aqui

ayuda como aproximaci6n el prlncip io de un desar rollo en serie:

r X _ 2

cos IX "" 1 - 2exen rod)

Ejemplos:

° sen 6° .sen 4,7 = 4,7· ~ = 0,0819

° sen 6°sen 5,3 = 5,3 . ~ = 0,0924

° .' tan 6°tan 4,7 =4,7 . - - = 0,0822

, 6°

tan 6°tan 5,3° =5,3 . ~ =0,0928

sen 6°sena =--

_ _ ! _ . 6°IX

ST ~ '5 <Iarc "\ rTl , ,

<I ta n I ,I, ,

T2 <I ta n \ /J;)F n.

,/

CF n. I,I "IF / I

n. /,

< 1 : 1 1. / I

• /,

< 1:,

0 ; 0.0262.J

Fig. 34 cos 1,50 =0,999657

•;t 0.0819F nx

CF nx

elFI. I

nxe( '.7 1

xe xIi)

•1 1 ~5 o ! : = t sin

~6' <); co.. . _ _ .Fig. 33 sen 4.70 = 0,0819

tan 6°tanex=--

.l, .6°ex

0,02622Ejemplos: cos 1,50 ... 1 - --2- o,9Q96 7 «(I,311) i

sen 86,5° _ co

19



15.4 Conversion grados +-+ radianes

La conversion de gradas en radianes resulta con la graduacion del cursor en el

paso de la escala ST ala D, debido a que la escala ST es una escala fundamental

desplazada con respedo ala Den n/180. Siguiendo el sentido inverso se paso de

radianes a grados. Este cclculc no 5610 es vo lido para los cnqulos indicados en

10 escala ST, sino tornblen para todos los cnqulos, debido a 10 subdivision

decimal de los grados, yo que el 1 puede leerse tam bien como 0,1°, 10°, etc., ypor ello solo se cambia 10 coma en los radianes (fig. 35). EI uno de 10 escala ST

es 10 marco de graduacion de n/180.

Ejemplos: a) 0,1° = 0,001745 rad

b) 10° = 0,1745 rod TI

c) 5° = 0,08725 rad 1 T 2

OF

d) 0,5° = 0,008 725 rad eF

elF

01

8

ST

., ~~ , . so -

~:O.017i15 ~O,!f725

4an

4an

rex:It.t

nx1x

xx

Fig. 35

Si los onqulos pequefios se dan en mlnutos 0 segundos, se convierten estos en'

valores decimales de grado: l' = 1/600 Y 1" = 1/3600° (vennse tornbien los

pdrrufos 15.5 y 19.1).

Graduando el 60 el 36 de la escclc CF bajo el 1 de la escala ST se obtiene una

disposicion para calcular tablas, muy procticc para estes transformaciones.

15.5 las marcos e ' y e "

Las marcos e' y e" de las escalas C de 10 reglilla fcclllton la conversion, cuando

los cnqulos pequefios vienen dados en minutes 0 segundos. Su significado es:

r 180, 6 34e=-O= 38

n(ml.nulos)

180o" = -' 60·60 = 206265 (segundos)

n

De esla forma basta efectuar una ~i'I \l11011para obtener la conversion:

rxl a"

Ejernpl os : arc IX (/22'

arc 22' = -,- = 0,00640 rad1 2

= 400' = 0,1163

'~r 'arc 400' rad 8~ rex

1 2 'n.

elFI

17" = 17:: = 0,0000824 rad: I t>!

arc elI

1 2 .'9' ' . " ,x

8X

380" ez : (!l,O,O0640 x

arc 380" = -,-; ='0,001843 rod ~1 2 Itg.36

Haciendo uso de estes marcos se faelllhlJ! rnucho el cclculo con dnqulos y arcos

pcquefios para radios cualesquiera.

20

b(X= r'e. cuando se busca el dnqulo.

O C • rb = -- , cuando se busca 10 longilud

1 2del arco.

Ejemplos:

b

0,6 ,IX = 4s . 1 2 = 45,8'

, 48", 67b = --,,- = 0,0156

1 2

Fig. 37

15.6 ARISTO·Studio 4009

Les escalas tr lqonometriccs S, Tt , T2 Y ST vienen en 10ARISTO·Studio 0968/4009

en grad os centeslrncles. EI cdlculc con las escalas angulares se efectua de igual

forma que 10 descrita en los capltulos 15 al 15.5. Varian los ejemplos y lasrelaciones descritas, yo que el angulo recto vale 1009. Para el cdlculo de lasfunciones complementar ios debe tenerse en cuenta:

cos IX = sen (1009 - (X)

1cot IX = tan (1009 - IX ) = --

tan IX

Po ruIo qrnducclon de 4009 se hacen a continuccion los e jemplos de los capitu los15.1 aI15.5.

15.6.1

sen 269 0,397

----sen 829 = V1-cos2

82 9 =0,9063

arc sen 0,54 36,39

cos 75g 0,383----

cos 79 =V1-sen279=0,99396

arc cos 0,9852 = 10,979

- - + - - - - - ~ ~ r _ - - ~ ~ - - - .I " f = X 2

~~r_-- A~~~~~----~~~~

I

15.6.2

tan 149 = 0,2235

tan 80g =3,078

tan 80g = cot 20g = 3,078

arc tan 1,75 = 66,95g

cot 779 = 0,378

arc cot 2,0 = = 87,449

<l: ton

15.6.3 sen IX = tan IX = cos (100g -- IX ) = em ! ( 1 0 0 U

Para senos d~ angulos grandos y coserres Ijj

oproxirnoclon mediante el prlnclpio de desarl'

o '0 hcce una

21



s : r ; 6 2 9 4a,c -, _ - lLol,

TI, ,

LL0 24tah, ,, /

T2 4 tan,

r LL03,, ,DF nx ' x ' A<::F nx

"

B

€IF I ' ' L, 'nx , ,f ' ,

<::1 ' , Kx - i ',

e x -j,

CD Q 9 0.03142 X

- - D

~~Fig . 40 cos 2g = 0,999506

Ejemplos: cos 2g = 1 -r- O,03~422 = 1 - 0,000494 = 0,999506

sen 95g = cos 59 =1 - 0,07862= 1 - 0,00308 = 0,99692

2

15.6.4 La escala ST en la ARISTO-Studlo 4009 es una escala fundamental despla-

n " nzada en 200' EI uno de esta escala es la marca de qrcduocion para 200'

a) 0,19 = 0,001571 rad

c) O,5g = 0,007854 rad

b) 10g = 0,1571 rad

d) 59 =0,07854 rad

15.6.5 La suceslon de numeros de la marca 1 2 es Igual para grados centesirnales ,

minutos centesimales y segundos centesimales, debido a la subdivision

deci rnul de los grados centesimales .

1 2 9 6 3 , 6 6

pC 6 3 6 6

ilc =636600

16. Cdlculo trigonometrico de triangulos pianos

La ventaja de las escclcs trigonom61rl as no reside solamente en poder leer

funciones trlqonornetrrcos. Mas irnpo r-

tonte es, que puede calcularse COil

elias sin tener que leer los valores d c

las funciones.

EI teoremcde los senos es un tfplco

ejemplo de la cpllccclcn del c61culo

de proporciones en la regia de CQI·

culo:

a b c

sena = sen fJ =sen y

a

A L-o(__ ~~ __ -'-P-' B

Fig . 41

Colocando una de las relaciones, p a r a 1 0 cual basta graduar frente a la longi-

tud del lado en la escala C el angul Ol'ucsto en -lc escala S, est6n colocadas!odos las demos, de forma que pu d I, "r~c para coda lado el dnqulo opues!o

y reciprocamente para cada angulo I [rulo opuesto.

EI caso mas frecuente en la prcctle , I ~6lculo de triangulos rectdnqulos, En

este caso particular es y =90° ye ll 11 10 sen y =1, csl como sen a = cos fJy sen f J = cos a.

2 2

,

Sequnlos datos tendremos dos formas de resoluclon:

1. Se dan dos datos cualesquiera (excepto los del caso 2).2. Se dan los catetos a y b.

Colocando frente ala. hipotenusa 5 de la escala Cel1 de la escala 0 como valor

correspondiente al sen 90°, se encontrcro frente al cateto 3 de C el dnqulo

a = 36,88° correspondiente en la escala S. Sin mover la reglilla, se coloca el

cursor sobre el 36,88° de la numeraci6n roja de la escala S. Entonces puedeefeduarse en C la ledura del lado

b =4, opuesto al angulo f J .Correspondientemente procederemos,

cuando los datos son un cateto y un

dnqulo, graduando la relcclon entre el

cateto y el seno del cnqulo opuesto con

las escalas 5 y C. Algunas veces es masconveniente calcular con la escclo CF

en vez de lei C, para evitar un «CO-

rrimiento» de la reglilla.

Ejemplo para 2:

Datos: a = 3, b = 6

Incognitas: a, f J , c

ton « =2 = 3.~, 6 6

cuentra el resultado c =6,71 en la esccla CI, y

b c a

sen « = senfJ = T = c o s f J = ~

aAdernds es: tan a = b

., '

,~Ejernplo para 1 :

Datos: c =5, a = 3

Incognitas:

Conslderese :

a , f J , b

f J =90° - a

b

Q

B

~~~-----~~cFig . 4 2

e Q= 3 • b=4 .0.005 XIII .'10 X

P v ; : : : x ;

S ~sin.0:=;:16.88° o:=36.86°(rojo) <fCOS

Sit

.._"

• 2 3,QS

.,. ' ~ " . ~,

:-1'-aul'<I: tin<I: co.

< J : arc

4an

li2 <Ian

Il>FelF

€:)F

nxnx

;hJ.X

•y;:;;;

01

Fig . 4/, [ )"d " I ,, ,, 1 1 1 1 1 1 1 1

onlramos

. a sen aproporcion"1 = 1jC:' fJ = 90° - 26,6° = 6;.\,4°,

Si a > b, es decir a > 45°, el angulo no sa I II 10

EI proceso de cdlcu!o siguiente es igual al d rlln la T2

ani rlor.

En el caso de a > b , 0sea a > 1.5°, no se lee el Q II 1 1 1 1 1

La marcha siguiente del cclculo es la miSli11flqUI II

descrito:

Ino n T 2 .r lo rmen te

23



Ejemplo para 2:

Datos: a = 2, b = 4,5

Incognitas: ex , { 3 , c

5i en el cdlculo de trlcnqulos rectan-

gulares se procura denominar el co-

teto mas pequefio siempre con 0,pueden hallarse los vclores. buscados

con los proporciones siguientes.

ton ex sen ex

• T- (. 26.6°

.6.71 5. ,U3

!p 'G .5°. . _ _ .

ST

TI

T2

OFCF

CIF

CI

C0

P

S

<tare

<ttan

<t ta n

>I.nx

I

" X1 ,xxx

f f-Xi-d etn-e t cos

Flg .4S

5e coloca el cateto mas pequef io a =2 en CI, sobre el1 de recho de 1 0 escala D.

Por encima de b = 4,5 en CI se lee en Clngulo ex = 23,95° en T1. A c o n t i n . u u c i o n

se lIeva 1 0 raya del cursor sobresen e x = = 23,95° en 5 y se,lee 1 0 hipotenusa c =4,92

en CI. (3 =90° - 23,95° =66,05°.

16.1 Numeros cornplejos,

Estas dos formas de resolucion de

tridnqulos rect6ngulos tienen gran

importancia en el cdlculo vector-ial,asi como en el cdlculo de nurneres

complejos. 5e trata siempre en estos

casos de transformar coordenadas

rectcnqulcres a polares y viceversa.

Numeros compiejos expresados en

forma de componentes Z =a + ib s

pueden sumar y restor fdcilrnente,

mientras que por el contrano 1 0 forma

vectorial Z = r : ei<P= r/'l'!_esnecesc-

ria para multiplicar, dividir 0 poten-

ciar. Por este motivo resulta tanfrecuente 10 conversion de uno forma

en otra.

Ejemplos: Z = 4,5 + i 1 ,3 = 4,68 /16,13"

EI proceso de cclculo resulta de 10

24

Z = 6,7 /49° = 4,39 + i 5,05

xpllcociones anteriores y de 10 fig. 47.

fi

1 7 . Las escalos exponenciales LL1·L13 y LL01.LL03

Los escaias exponenciales estcn divididas logaritmicamente de forma doble y

referidas a las escalas fundamentales. EI intervalo de 10-5 a 105 estd dividido en

seis escalas. Los tres escalas e-x (LLo) abarcan el intervalo desde 10-5 hasta

0,99 y las tres escalas eX (LL) el intervalo 1,01 hasta 105. Las escalas exponen-

ciales son escalas con colocccion fija de la como, es decir el valor 1,35 significa

ton solo 1,35 y no 13,5 0135 como ocurre con las escalas fundamentales.

Las escalas LL y LLo 'son recfprocas entre sf. Con elias pueden ser calculados

los valores recfprocos de los nurneros 2,5 con mayor exactitud que con lasescalas C. I0CIF. ' '

, 1Ejemplo: 1,0170 =0,98328

Con las escalas exponenciales se transforman cdlculos de potencias y de ralces

en una adicion 0 sustrccclon de segmentos. Con ello pueden calcularse cucles-

quiera potencias, rakes y logaritmos dentro del intervalo.

17.1 Potencias y raices de exponente 0indice 10 y 100

Las escalas exponenciales esjcn colocadas de tal forma, que al pasar de una.escclo LL a 10 contigua se calcula respectivamente 10 potencia de exponente 10 0

10 rafz de este fndice sequn sea el senti do de paso. Las variaciones posibles puedenverse en 10 f ig. 48 Y en los ejemplos.

lLo111, .0-1 • b _ 1/ 10 0 .0.98522 e-o .oh :

Lbo , 1/010 • a-1O • b - 11 0 .0.S617 e-O•h:lectura en

1/000 .0-100 • b -! .0.2257Ejemplos: 1 0 escala Llo3 e-

A' x,1,01510 = 1,1605 LL2 B x'

L Ig x1,015100 = 4,43 LL3 K x'

1,015-100 = 0,2257 = 1/4,43 LL03 G

III1,015-10 = 0,8617 = 1/1,1605 LL02 Lb 3, QOO • ~,43 . ',015-1 = 0,98522 = 1/1,015 LLo1

LL ,.0,0 '~ , 1 ,1 60 6

eO .1x

lL 1

' : " " % )1,015eO.01 )

Fig. 48 R laclon onlro las o"alas Ll,

Estos casos se presentan pocas veces en la prcctlcc, pero Irvon para facilitar10 co rnp rens l on del funcionamiento de las escalas xpon nclal .

17.2 Potencias y =X

Analogamente a 1 0 multiplicaci6n con las escalas fund m 1 11 01 5 , se eleva a un

nurnero a cualquier exponente con las escalas L L y IQ cola fu"damental C.Proceso del ccilculo:

a) Con 10 ayuda del cursor se coloca el p>rinclplo 0 final d 10 cola C sobreel valor de 1 0 base «a» en 1 0 escolo Ll; €orr $j :lo l1dl 1 1 1 ' •

b) Grcducclon del exponente x sobre la escala C m vi nd e I cursor.

c) 5e lee la potencia bajo el cursor en 10 escala 1 . 1 . a d u < : 1 d a ,

Mediante 1 0 qrcducclon del valor de 1 0 base bll n le 1'0 Iclon adecuadapara calcular una tabla de valores para 1mfunc lon y (lx, L a rig, 49 presenta10 posicion de 1 0 funcion y =3,2x, encontrdnde I u r 01 ' obr I exponentex =2,5 Y sus variaciones decimales.

25

- .



.\

~

-IF""Lec tura en

10 esco]o LLo.• , 0 ,9 , '1 ; 1 1 3 .4 e-G ,01z

Ejemplos:.0\747.6

-

lLo2 e-O.b3,22,5 = 18,3 LL3

•• Oi05{;6 ,_. e- jlo3

3,2°,25 = 1,338 Ll2A x'

= xa3,2°,025 LL1

E !

= 1,02955 L == Ig x'j

3,2-2.5 0,0546 LL03 K x'

=-

C • 2.5 . 3 . 1 0.36 x3,2--°,25 = 0,7476 LL02 D x

3,2-°,025 = LLo1LL3 -c ·18.3 ·36.8

e'0,97134 3.2

e O . l xLL2.1.3(38 -1,5"2

3,23,1 = 36,8 LL3 L~. e o . o 1X

• 1.02955

3,2°,36 = 1,52 LI:..2Fig. 4~ i?efe~"ias

Reg'la s pa ra 10 lectura de y = aX- ,

LLo. e-O~Ohc

a) Para exponentes x posit ives ten- LL020.85 • . 0 . 58 9 6 · e-O,h,

dremos 10 graduaci6n y el resu'[-LLo3 e "

tado en el mismo grupo de escalasA x'

LL1-LL3 o bien LL01-LL03, es B . x'

declr, enlos del . mismo color . L Ig x

Para exponentes x neqctivos hay K .'que pasar de un grupo a ctro c I 3.25 x

(cambio de color). D x'

LL3 e'

b) De forma cnd loqc a 10 designaci6n Ll2 ·1.696e O : ' x

de las escalas en su extremo de-LL.

eO,Olll irecho; se efectuc 10 lectu ra ern 10

J I. Ii .escala LL inmediata de Indice

Fig. S0 Base < ~inferior, cuando se despl0'2:a I!Jn ,lugar a 10 izquierda 10 coma del ~exponente (ver ejemplos en 10

Illo. e-O,Oh: \

fig. 49). ,0.685 .Oi36. e-D•hLLo2

c) Si segradua 10 base con el ext reme: Ll03 e-derecho de 10 reglilla, 10 lectu'Fa

A x'se efectunrri en 10 escala contiiiJua B x'

de indice superior (fig: 52). L 1 9 x

K . 'Para 0 1 las potencias € o n c .1 x

.~a < D x

exponente positive se encontrurdn 0 1 ' 1 LL3 e'il grupo de escalas LL01-LL03 y. laS

LL 2 eO . tx

de exponente negativo en el grl!Jpo ~6 · ( g _ . ' Z 8

LL . eO,OI.

LL1-LL3.

Ejemplos: Fig. 51 'Prineilp't0 c ! l i e < 1: se •• e I~ .aso.

0-:,

0,853,25=0,5896 lvecse fig. 50 LLol e-o.otx

0,85-3,25 = 1,696 JLL02

\,01685 e-O.lx.

1,462,7 = 2,78

\LLo3

c, e-x

1,46-2.7 = 0,36 veose fig. 5~~

X'X2

0,6852,7 = 0,36

J

o fig: 52I. ig x \'

0,685-2.7 =2,78K x'

Para estos ejemplos son posibles do~ 82.7/ 1 0 x

x r .oluciones, yo que puede coloccrse ILL 3

• 2 . 78 )e'

principio 0el final de 10 r eq li l la sobnLl2 e9:Ix

10 base. 1.~6

III eo.ol~I

i O . .

26 Flg.52 ' ,Fiegl oe e sebr e I"'lise

'~

I

U3 Casos particulares de y = aX

Las posibilidades de variaci6n del exponents y de 10 base estrin limitadas por elintervalo de las escalas exponenclales .

17.3.1 y < 100000 e y < 0,00001

Cuando el .resultodo de una potencia sobrepasa el alcance de las escalas

exponenciales. debe descamponerse el exponente en sumandos y con ello 10patencia en factores.

Ejemplo:

3,1419 = 3,146+6+7 = (3.146)2, 3,147 =0'.-962 .106.3.103 =2,76.109

Para exponentes nega tivos el prcceso es el mismo.

17.3.2 0,99 < Y < 1,01

Cunndo el valor de una potcnc!c resulta comprendido entre 0,99 y 1,01, el

resultado no puede ser hallado n las escalas LL por trcturse de un exponentepequefio, '

EI desarrollo en serie:

+ X x2

2 x3 3a-x = 1 ± 'I T In (1 + 2 T In a ± 3! In 0+

nos da paraestos casos uno aproxlmaci6n:

a±x = = 1 ± x : In 0 para! x : In a I ~ 1

Cuando colocamos el 1 de 10 cele C con ayuda del cursor sobre 10 base «a»

en la escala LL, tcrnblen se ncentrcro el 1 sobre el valor In a en 10 escala D

(ver porr cfos 17.4 y 17.6). Y ahot'a unamultiplicaci6n por x desplazando el

cursor a este valor de la escclc C, da sobre 10 escala D 10 lectura x . In a. Si este

valor intermedio 10 sumamos a rcs tcmos de 1, se abtiene el valor de la poten-

cia a ± X deseado. Cuanto rnd p quefio sea el exponents, tanto m as exacto esel resultado.

Ejemplo:

3,2°,0025 "" 1 + 0,0025· In 3, 2 (continucclon del olernplo 3,2x)

= 1 + 0,002908 . . ~ ,002908

3,2-°,0025 = 1 - 0,002908 _ 0,997092

Si se desplaza la coma del xpencnte hcelendol toclovla rn 1101' , el resultadonodifiere mas que en el num ro d e ceros 0nucv s d pu c d 10 coma.

312°,00025 =1,0002906

17.3.3 0,99 < a < 1,01

Cuando en la polencia y = = aX, la base estcit cor n] r 11clldo ntr 0,99 y 1,01, se

usa tcmbi en una cproxlmcclon, 'Sequn el desarrollo en serlc 01 11 'rlor vale a';X III1 .~ X , 1 11a, Como a vale

aproximadamente 1, puedo a crlblrse: 0= 1 ± n, Cillo euel r ultc :

aX = = (1 :I: n i x = 1 , ! I f x . I n ( 1 l 11)

rn2

II"In (1 ± 1 1 ) - ± n - '2 :1: ,

,." ± n (po rm I n

.. 1 ± n x 'li la ~01 I n, ." 1 + nx ( PQ~Q I II

In (1 :I: n)

(1 ± n i x

(1 ± n)-X

1)

1)

1)

27



Cuando el alcance de las escalas LL no es suficiente para 10 qruduocion de 10

base «a», se usa 10 escala D como una escala LL, con 10 diferencia de que en

vez de colocor a =1± n, se coloca el valor Inl.

Colocando el1 de la escala C sobre «n » en 10escala D, 10 coloccc ion es prcc-

ticamente ldenticn a 10 de 1 ± n en una escala exponencial, por 10 que puede

suponerse continuocion de esta con el alcance 1,001 hasta 1,01 00,99 hasta 0,999,

etc. Para valores de «n » decrecientes, 10 oproximccion In (1 ± n) = ± n vasiendo rnds exacla.

La polencia se forma como siempre, solamenle que ahora se trata de una

simple rnultlpllcccion n . x. EI resultado leido en D tiene que ser completado

surncndolo 0 restdndolo de uno. Si con exponentes mayores se alcanza el inter-

valo de los escalas LL existentes, se lee directamente el resultado en 10 escala

exponencial correspondiente.

Ejemplos: Lectura en 10 escala

1,00233,7 = (1 + 0,0023)3,7 = 1,00851 Sumar D a 1

1,002337 =1,0888 LL1

0,99773,7 = (1 - 0,0023)3,7 = 0,99149 Restar D de 1

0.997737 ='0,9184 LL01Colocando el cursor sobre el principio de la escala D , 10 sepo rocion entre la raya

del cursor y el valor 1,01 de 10 escala LL. da una idea del maximo error que

puede cometerse con estos cdlculos aproximados. Los errores en la op roxl rnccion

son mdxlrnos, cuando se gradua y se Ice en 10 escala auxiliar D.

17.3.4 Mejora en la exactitud del ccilculo

Se alcanza mayor exactitud,(:uando 10discrepancia entre la escala fundamental

y 10 e scala exponencial exacta en el intervalo 1.001 hasta 1 ,01 se corrige teniendo

en cuenta el termino cundrrrlico del d sarrolio en serie.

A) In (1 ± n) = ± n (1 + = n/2) 01 poner la base en la escala D.

B) e±x = 1 ±' x (1 ± x/2) 01 l eer en la escala D.

Si el resultado fuese leldo en una escala exponencial, basta la cor reccion A

para la qrnduocion en 10 e scala D. Cuando todo el cdlculo se hace con D, debe

de corregirse la q roduccion y la leotura (formula B ).

Ejemplo:

1,00233,7 =1,008540.0023· (1 - 1/2·0.0023) = = 0,00e3' 0,99885 =0,002297 que se coloco r d en

vez de n =0,0023 en la escala D €OI1 11 de 10 rGglil la.

La «potenclocion » 1 + 0,002297· 3,' da 1,00850. Comola lectura se hizo en

10 escala D. es necesario corregir COi l la formula B:

0.00850 . (1 + 1/2 . 0,00850) = O,008 0 . 1 ,00425 = 0,00854.

Despues de sumar 1 el resultado 0 : 1,00854 (exaclamente: 1 ,0085362).Este cdlculo parece cornpliccdo, p ro Iras haberlo praclicadoes muy sencillo,

pudiendo efectuarse final mente 100 rrecciones a simple' vista. Estas correc-

ciones yo no son necesarias, cucmd lu bose es < 1,001, porque entonces se

olconzo con 10 oproxlrnccion la pr I 16n de la regia de cclculo.

1 7 : . 4 Potencias y = eX

y =eX es un coso especial de 0610ul co n 10 reglilla en su posicion inicial, yo

que entonces 10 base es el nUIJiIOrO 2,718. Como sea que la escala D tiene

con respecto a los escolos eXI?01'111 101llsesta colocccion, basta 10 grad uccion

28

del exponente mediante el cursor sobre .10 escala D para potencios de bose e.

Los resultados de los ejemplos (fijarse solo en los escalas del cuerpo) dan un

ejemplo del exponente 1,489 con sus variaciones decimales.

e1.489 = 4.43 e-1,489 = 0,2257

eO,1489 =1,1605 e-O,1489 =0.8617

eO,01489 =1,015 e-O,01489 =0,98522

Con mas variaciones se logra 10 coincidencia con e±x =1 ± x.

eO,001 /,8 9 =1.001489

X

l1l.S Ralces a =v Y

Con las escalas exponenclales p u den extraerse rakes de cualquier radicando.

EI cclculo de rakes, recfproco d I cclculo de potencias, se asemeja 01 cdlculo

de una division con las escc!o LL y 10 escala fundamental C. Si se qrcduc 10

poten,cia 3,22,5 =18,3 como s xpllco en el apartado 17.2. puede leerse en el2,5

sentido contrario V18,3 = 3,2,

Proceso de cci1culo:

a) Colocar frente 01 rcdlccnde «y » sobre la escala LL el indice «x» de la rclzsobre 10 e scala C.

b) Lectura del valor de la rafz bajo el principio 0 final de 10 reglilia sobre 10

escala LL correspondlont ,

Las normas para la lectura dodos on el apartado 17.2 tcrnbien se aplican aquf.

Hay que observer, no obstanla, que 10 lectura bajo el extremo derecho de 10

reglilla debe de hacerse en 10 cola inmediata de nurnerccion inferior

(LL1- LL3 0 LL01- LL03).

L L o l

Ejemplos:

0,771V 2 1 =52,1 o:n- = 0,0192

V 2 17,7

1K

V 2 1 =1,485 ~ =0,6734 If;D

V 2 1 ~L3

771

. ~ 2V 2 1 =1,0403 n-= 0,96122 lLl

{2 1

17'.6 Logaritmos

17.6.1 Logaritmos de ba

---+.----j.----~~--+----Igx

__ 80,Ix

Con las escalas exponenclal s puede heliar

Los logaritmos son la invor a do 10 potencle

escribiendo 10 potencia y su lnvcrso :

y =aX. x .. 109",Y ( lease: logdrllll1 y n IH I Q )

Luego 10 determinacion de un logar itmo !loin

cia, en la que se busca el expencnre.

II~ c lIII I n

logarilmos.

v o mejor

IIII lu lei' d unooten-

29



- - 0 '"I ~D

~X

lL35 125

e'

ll2 eO.IlI:

III e o . o - ' l £

~,

Fig, St. le.g, 125 =3,e

Proceso de cdlculo :

a) Grcduucion del cursor sobre el va-

lor de la base «a» en la escala LL.

b) Coloccr bajo la raya del cursor el

extreme ini cia l ofinal de la regl ill a.

c) Grcduccion del nurncro «y» sobrela escala LL mediante la raya del

cursor.

d) Lectura del logarilmo bajo la raya del cursor en la escala C.

La posicion de la coma se halla seg6n la relcclon loga a =1 ;

Colocando el principio de la reglilla sobre la base «o », enlonces los logaritmos

ala derecha del valor «a» serdn mayo res que 1 ya la izquierda menores que 1.

Normas para la lectura:

'a) Todo paso a la escala LL contigua - en el orden LL3, LL2, LL1 0 LL03, LL02,

LL01 - hace que la coma en el logaritmo se corra' un lugar a la izquierda,

en el orden contra rio un lugar a la derecha.

b) Los logaritmos serdn positivos (ncqotivos), cuando el nurnero y la base

estdn graduados en escalas LL de Igual (distinto) color.

Ejemplos para pract icar :

109216 =4,0

1092 1,02 =0,02857

1092 O,25 =2

17.6.2 ,Logari tmos decimales

/

Colocando el1 de la escala C sobre Illibase 10 en la escala, LL3, pueden

leerse en la escala C 'los loqorltraos

decimale~ de cada nurnero graduacdo

en la escala LL (fig. 55 Y 56).

Dado que los logaritmos dectmcles

son de uso muy frecuente; se lila

afiadido en la reglilla la escala L, 1:(',J(l

nos da las mantisas de los nurnerosgraduados en la escala C. AI igual quo

cuando se usa la tabla de loqcrltrnes,

se halla la caracteristica sequn la re!)la

«nurnero de cifras menos 1» y se sumo

a la mantisa. Sobre cada valor de 10escala C se encuentra su logaritme yala inversa para cada logaritmo so

puede leer directamente su numere.

Para el uso de la escala L, se mue v esolamente el cursor, encontrcnd'ose

entonces los logari tmos decimales con

mayor facilidad que con las escalas LL,

Por el contrario, en el alcance de IQI

escala LL 1, pueden leerse rcsultcdos

m as exaetos.

.-..~O.28831 X

D <, X

u,s1 9, <,

es

Lt21.92

eO.!;'::

LLI eO,Oll:

Fig. 55 Ig i ~",9. '~'= 0 J ,Za '33!

rLLol ~_o.orx

Lto,,0!5 e-Olt .* .

Ll.os0.015 e-X

A x'B x'

L Ig x

K x '

8I • Q Q1 ZB 3 0~J'6a9) • - 1\ 82 4 o . 0 :3 0 10 , - _ , ~

x

LL 3JO 5'0

e'

Ll2 2eO .1x

L L 1 eO.01 'x

"1103

~,

Fig, 56 '!.;;ji:g'r.il,rt],!!§,!I:~i"",!llgs

30

Ejemplo: Ig 1,03 =0.01283 con la eseoio LL1

Ig 1,03 =0.013 con la escala L

1091050 1,699

109102 0,301

109101,03 0,01283

109100,015 = -1,82410910°,5 = -0,3010

109109 ,1 =-1

109106 0,778

109101,14 0,0569

109101,015 = 0,00647

AI graduar con el extremo Izquierdo de la escala C se encuentran todas las

lecturas a la izquierda del valor b6slco y son (!lortanto < 1; p. e j.: 109109 =0,954.


Logaritmos de nurneros < 1 son neqctivos,

17.6.3 Logaritmos naturales

Los logaritmos naturales de base «e»

se encuentran al pasar de las escalas

exponenciales a la escala fundamental

D (fig. 57!.


In 4,375 = 1,475

In 0,622 =-0,475

In 0,05 =-2,994

GD

lL3

~L2

I L I L I

~'I 1.50' , ·0.239 ·0.0583 ~

• 1 , . 5 e '-,-

1.27eO.b:

-- 1.06eO.Oh:

. .57 In 1 . , 5 - 1,504

In 1,27 - 0,239In1,06 _ 0,0583

Fig,

18. Otras apl icaciones de las escalc xpon nclnles

La reglilla del lcdo exponenclal conti ene, apart d 10 clivi

y de la escala de cuadrados B, 10 e sc cl od 'e r n: Io n 'l l C I L y 10 d

que se pueden ca\cular aport de las cxpreslon '101'n1QI3

log X tcrnblen polenc ias de 10 forma aV ~, a Vx , a10 )( (I , r olno I09orltmos de la

forma loga 2x, log,! 3 x, Ig 109C1

x,

La escala CF puede uscrse tambl<ln en relaclon n 1 0 1para evi ta r un «corrimiento» do la reglilla el QolculClI' I'

18,1

16 n fundamental C

cubos K, de forma3

x 2, x 3, V x , V x Y

xponenciales,

lal s

5i se gradua el valor de una bas «0» com el p rln Ip l d le i ICQIO C sobre una

escala LL, , pueden leerse los vc lores de las pol' 11 leu I arft U Qlq1 J1 r exponente

o los logaritmos de cualqul r nur ncro p nr a esc ro , U 1 le bas «a» colocada

en una escala LL es un factor d proporetonclfd d,

18.1.1 Y1 =an Y2 _ am

log Y1 =n . log a log Y2 - m ' log a

log a = log Y1 = log YZ

n m

In a In Y1= In y zresp. -1- =n- In III."

31



Conociendo tres valores de una proporci6n, puede calcularse el cuarto, obte-

nlendose con esta graduaci6n multiples proporclcnes mas. Se presenta asi otro

printipioAe proporciones favorable para el cclculo con la regia, su aplicaci6n

depende.unlccmente en pasar los problemas indicados a esta forma de propor-ci6n. '

18.1.2m- m

y = an -+ log y = - log an

!'"""""

C 2.7 6.8 x0 x

tle.4.3 • 3 9, ft . '

eu e O . 1 1 C

lL. eO .Ota

m n

6,8_ 4 32,7 log Y= log 4,3

Y -, -+ 6,8 2,7

Colocando el 4,3 de la escala LL3 frente al 2,7 de la escala C, puede leerse bajo

el 6,8 de C el resultado 39,4 en la escala LL3. ~

De igual forma se resuelven problemas pnrecidos : 12,7 '

Y = v '4,36,8 0 y2,7 = 4,36,8

cig.59leg 4,3 log 39,4

2y-=-U

18.1.3

Muchas leyesde la naluraleza pueden escribirse en forma de proporclon del

tipo antedicho, wando la vcrlcclon de una variable es proporcional a la

diferencia de logaritmos de la otravariable:

log Y2 - log Yl = const (x2 - xl)

aAI ser: log a ~ log b =10g

b,

puede trcnsforrncrse la ecuaci6n:

Y2log - = const (x2 - Xl)

YlUna variaci6n de xl a x2 en el intervalo «i», trae como consecuencia una

variaci6n de Yl a Y2' Llamando r ala relaci6n ~,es decir,la fracci6n que quedaY2

de la cantidod inlciol, 10ecuaci6n se convierte en:

log r' log r 1 log r2-. - = const ='-.--

, '1 'zEjemplo: Desintegraci6n radiact iva .

Un elemento se desintegra en 30 dins un 40%, quedando el 60%.

,A I cabo de cucnto tiempo existird solurnente el 20%1

il = 30

r1 =0,6

r2 =0,2 ~="'=f---~"""'tr.... ......~= :=-+--~,...,.,ji-". Ig x

-....,.." ~~ _ _ = =:I == "= ,,.....,~ X3

~~~.~9~4~.5 ~~3~0~ __ ~~

Llo1 ----+,_----==1i=-- e~O.Oh.

L lo 2 _ _ -f-__ ---'\r!"0"",6_-_e-o.lJ.

LLo._~~1l",,2c,._ __ -,l- e-

AB

L

K

eID

Fig. 60

log 0,6 log 0,2- - - - w - =--x- x = 94,S dlcrs

32

18.1.4

Si se desea multiplicar un logarllmo poruno ci fra constante , se coloca enfrente

de la constante en la escclc C 10 base del logaritmo en la escala LL, obteniendo

csl una disposici6n tabular qu permlte hallor las multiplicaclones de la constante

con los logaritmos de 1 0 beso . '

Para x =c· 10gaY se escrt ben en forma ;de proporci6n:

F e, . . . . . . .

2 .4 .0.511 X10 x

:LL.10 10 0

0

ILt2 toeO• 1x

ILL1 eO.Oh

,FIg. 61 x = 2·19 Y

2· 10910 100 =4

2· 10910 1,8 = 0,511

Todos los logaritmos en base 10 pueden ser multipliccdos, segun muestra 10

f ig. 61, con el factor 2. Con las ecsalas LLo tam bien los logaritmos de valores <1.

Es frecuente en electrotecnlc tener que hallar los decibelios correspondientes

a una relaci6n de voltajes dada:

A idB ~ 20 Ig-;;:

2

Ejemplos:

20 dB 20 Ig 1040 dB 20lg 100

5,11 dB = 20 Ig 1,8

18.2 Funciones hiperb6licas

La adecuada disposici6n de las escclos exponenciales permite el colculo defunciones hiperb6licas. Como las potencies de exponente positivo se encuentrcn

frente a las de exponente negCltlvo, basta una graduaci6n del cursor para 10

lectura de e +Xy e-X. a partir de las cuoles se caleula facilmente las funcioneshi perb61 icas. '

1 ( x 'X )Sh x = '2 e - e-;

1 'Ch x = '2 (eX + e"':x~

(eX _ e-X)Th x =;;__--~

(e" + e-X)

E I cursor y sus marcos

La marco 36 (sclcrncnto V61ida po va los tlpos nil 868 y 0968)

En la parte superior dcreche dol onverso del cursor existe una raya corta

(fig. 62) que lee el valor 36 11 las escnlos CF/DF, cuando la raya central largose halla en el 1 de las sccle C/D. De esl!1l forma resulta una multiplicaci6n

pOl' 36, cuondo estando 01cur 0" on cualqOier poslcl6n, sa pasa de C/D a CF/DF,

resultando una comodo COIW 1"16n parai_es casos slgulentes:

33



1 hora = 3600segundos

1 m js = 3,6 kmjh

10 = 3600"

100% = 3600

1 cfio = 360 dias

1 kWh = 3,6,106 julios

ARISTO

"AI

/\I

I

I

~ -

C a l . . @t,

0 0 PS

t , - - - 1\ \

\,

\ \

\ \

, \ j. , ,

. '" AgtSrO 10.

XA 1

=36 _Q m (conductividad)mm

Fig. 62 Fig. 63

19.2 Area del circulo y peso de barras de acero

En el reverso del cursor (fig. 63) 10 distancia desde 10 raya central hasta las

rayas cortas de 10 parte, superior izquierda e inferior derecha es igual 01 factor

n/4 =0,785 (respecto a 10 escala de cuadrados) y sirve para calcular el area

del clrculo sequn 10 formula q =d2. n/4. Si 10 raya central del cursor se lIeva

sobre el didrne+ro d en 10 escala D, puede leerse el area del drculo (0 10 secclon

transversal de una barra redonda) arriba en la escala A con la raya de 10i zquierda . La misma relocion existe entre 10 raya inferior izquierda y 10 central.

Como sea que la distancia entre las rayas corresponde tam bien al peso especi-

fico del acero 7,85 g/cm3, despues de hal lar 10 seccion transversal con la raya

central, puede leerse c.on la raya de 10 izquierda el peso de una barra de acero

por unidad de longitud. Por ultimo, Ilevando el principio de 10 escala B 'de 10

reglilla debajo de la raya superior izquierda del cursor, se obtendrd.moviendo

el cursor, el peso de una barra de cualquier longitud.

Esta posibilidad no existe en la nQ 01068, yo que en ella el factor nj4 solo est a

contenido una vez pasando de 10 raya derecha inferior a la izquierda superior.

19.3 Las marcas kW y PS (CV)

La seporcclon entre 10 raya central y 10 rncrco superior derechc, do en lasescalas de cuadrados el factor de conversion de kW en CV (PS) y reclproco-

mente (veose fig. 63).

Si se coloca por ejemplo, 10 raya central sabre 20 kW, 10 raya superior derechc

indica 27,2 CV. Redprocamente, 10 colocacion de 7 CV con 10 marco superlor

derecha, do en 10 raya central 5,15 kW.

Para cdlculos en unidades inglesas se sirven cursores especiales con 10 marcoHP. Este cursor se puede obtener bajo el nurnero de pedido L 0968 E. .

En las reglas nQ 01068 de 50 cm de longitud, 10 denornincclon kW se encuentra

en 10 marco superior lzqulerdo. Se hacen las mismas conversiones con esta

marco y 10 de 10 derecha, que corresponde a CV.

34

,Las rayas del cursor es'lon o[ustcdos de tal modo 01 conjunto de escalas, que

siempre es posible poser tl un lcdo a otre en cuclquler c6lculo. Can el fin de

proceder a 10 limpieza d I cur or este se puede sepcrcr de 10 regia de cdlculo

sin que par ello se plordo I alu te , Los cris tc les dol cur or van Illes a los brazos

de e st e, , par un Icd o, can cuct r e tornillos y, par I 0 11 '0 , C a ll dos que parecen

pulsadores. Para cpercr 01 cursor de 10 , regia sa 01'1'1 ton hec!e cbc]o con las

uf ics de los pulgarc 1 0 ex t r eme s marca~os con fl ella ii i 10 brazos del cursor,hasta que se obra 01 pulsodor. EI pu l sodo r superior S o br all vantar el cristal

y, entonces, el cursor puede quitarse fac(l'mente.

19.5 Ajuste del cursor

En el coso de que el cursor precise ajus)e, p. e], n I Co 0 de colocar uno de

repuesto, se coloca 10 regia de cdlculo sobre una m a, d tal modo, que el lade

del cursor can cuatro tornillos quede hocle arriba, pu6s de oflojar estos

cuatro tornil los con un destorni llador cdeeucde, da la vu llc a la regia de

cdlculo y se coloca, 10 mas exactamente posjble, la raya d I cursor sabre el final

de las escalas triqonornetriccs, Entonces lse de nu valri I1 t l e v u cl te a la regia

de cdlculovcon sumo cuidado para no mover I ur#ol ' , y u] tondolo bien,5e

alfnea el vidrio superior del cursor con lo s valor f lne t! 1 do las escalas. Par

ultimo se atornillan bien los cuatro tornillos.I'

20. Escala de nurneros normales 1369(. cola NZ)(solamente para 0968)

,20.1 Disposici6n de 10 escala NZ

La norrncltzcctcn y la tipificccion se han cony rill

de toda fcbrlcnclon racional ; con ella alcanzan 10

importancia coda vez mayor en 10 tecnlcc, I.DIN 323 son valores selecclonndos de una serl ·111

al sistemo de nurneros decimal. La relccion 5 V

subdivision logaritmica D y 10 escala de 'I~a,ntl (j

Frente a los valores uniformemente esca omodo dse encuentran en la escala los nurneros corre~p ndl M'II.

son sequn DIN 323 valores redondeados' de I n~m 1 '0 ,

De las escalas L y D resulta una escala NZ, sl ~uprhn 10 ala 0 y sa colocon

los nurneros normales en las divlsiones correspcnd] fit = d 1(;1mc:ola do mantlsassimplificada.

Frente a las diez divisiones numeradas: de 10 ala d m an!'1 0 sup crlo r se

encuentran los nurneros normales de la s er lc R 1 0. 1 .0 ubd lvl 1 01 1d la oscala

de mantisas en 20 partes iguales nos lIeva a 10 n e m r S ne rm al d 10 serieR 20.

20.2 Finalidad de 10 escola NZ

Como primera cpllccclon se tendrd en 10 escala N un Qyuda pa r a 10 memoria,

de forma que siempre tendremos a mono 10 s ve le r N% 11 '10U u clc . A de rn csson prdc t icos para 10 cons t r u cc i on de cuadvfCula I) r d logorltmlcos simplesy dobles en papel cuadriculado normal para 1 , ,1 ' r'pr 'Iaclon S nornoqrcflcos.

Como de la rnultiplicccion a division de numorO$ normal s re vita s l cmpre otro

nurnero normal, se tendrc un cucdro tabular d l' I~m rQ~ nermeles como tabla

grafica de cdlculo.

La cornbinccion de nurneros normales y manl lsou n uno scala 'Ilene 10 ventaja,

que se simplifican enormemente los cdlcules do IImoQlon logorltmicos, ya quefrente a los nurneros normales se encuentram en le 010 d rncntts os logaritmos

35



sencillos, que se suman 0reston facilmente de memoria. Aiiadiendo las co r ac-

teristicas (como en el cclculo con 10 tabla de logaritmos) se obtiene un resultado

exado en cuanto a 10 posicion de 10 coma.

En muchos casos puede usarse tcrnbien 10 escala NZ, si se redondea, p. ej.

tomando para r c el valor 3,15 0 para y = 7,85 el valor y = 8.Las mantisas correspondientes a Jos nurneros normales se leen en la escala de

mantisas que se encuentra sobre los nurneros hormales. Debe ponerse especial

otencion a la caracteristica, ya que de ella depende principalmente la exactituddel cdlculo,

En formulas mas complicadas es conveniente apuntar los logaritmos 01 hacer sulectura, para poder repasar 10 cdlclon. Numeros naturales menores que 1

(p. ej. 0,8) suelen expresarse mejor mediante logaritmos neqctlvos, p. ej.

Ig 0,8 = -0,1 en vez de Ig 0,8 = 0,9 -1.

Las escalas Ly D permiten un cdlculo logarftmico mas exado yo que representan

una tabla logaritmica de 3 cifras.

20. 3 Escalas logaritmicas

Para representar escalas logarftmicas 0 cuadros se encuentran en 10 regia

NZ escalas logarftmicas con longitudes de base de 150 mm, 100 rnm, 50 rnrn y25 rnrn, Las longitudes 125 rnrn y 250mm pueden saccrse de 10 reglilla de 10

regia de cclculo.

20.4 Factores de conversion para unidades no metr lcns

En el esludio de libros tecnicos ingleses y americanos presentan dificultades las

unidades no metr icns, porque hay que buscar los faelores de conversion. Estetrabajo 10 ahorran en gran parte las tobias de 10 regia NZ yo que contiene los

principales faclores de conversion. Como base sirvlo principalmente el libro

R. Stille «Messen und Rechnen in der Physik», editorlul : Vieweg & Sohn.

36

Aristo

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