Areas e Volumes

5/26/2018 Areas e Volumes

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reas e VolumesEngenharia

Profa: Alessandra Stadler Favaro Misiak

Cascavel 2010

FACULDADEASSISGURGACZFAG


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Introduo ao Clculo reas e Volumes Engenharia - FAG

Prof Alessandra Stadler Favaro Misiak 2

reas

Unidade de rea

Para a unidade de medida de rea, traamos um quadrado cujo lado tem uma unidade de comprimento.

Esta unidade pode ser o metro, o centmetro, o quilmetro, etc.

rea do Retngulo

A figura ao lado mostra o retngulo ABCD, que mede 3 unidades de comprimento e 2 unidades de altura. O

segmento horizontal que passa no meio do retngulo e os segmentos verticais, dividem o retngulo em seisquadrados tendo cada um 1 unidade de rea.

A rea do retngulo ABCD a soma das reas destes seis quadrados. O nmero de unidades de rea doretngulo coincide com o obtido pelo produto do nmero de unidades do comprimento da base AB pelo nmero deunidades da altura BC. Assim:

A = b h

rea do quadrado

Um quadrado um caso particular de retngulo cuja medida da base igual medida da altura. A rea doquadrado pode ser obtida pelo produto da medida da base por si mesma.

Esta a razo pela qual a segunda potncia do nmero x, indicada por x, tem o nome de quadrado de xe a reaA do quadrado obtida pelo quadrado da medida do lado x.

A = x


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rea do Paralelogramo

Qualquer lado do paralelogramo pode ser tomado como sua base e a altura correspondente o segmentoperpendicular reta que contm a base at o ponto onde esta reta intercepta o lado oposto do paralelogramo.

No paralelogramo ABCD abaixo esquerda, os segmentos verticais tracejados so congruentes e qualquer umdeles pode representar a altura do paralelogramo em relao base AB.

No paralelogramo RSTV acima direita, os dois segmentos tracejados so congruentes e qualquer um deles poderepresentar a altura do paralelogramo em relao base RV.

A rea A do paralelogramo obtida pelo produto da medida da base b pela medida da altura h.

A=bh

rea do losango

O losango um paralelogramo e a sua rea tambm igual ao produto do comprimento da medida da base pelamedida da altura.

A rea do losango o semi-produto das medidas das diagonais.

2*21 DdA =

rea do trapzio

Em um trapzio existe uma base menor de medida b1, uma base maior de medida B2e uma altura com medida h.


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A rea A do trapzio o produto da mdia aritmtica entre as medidas das bases pela medida da altura.

( )

221 hbBA

+=

rea do Tringulo

A rea de um tringulo qualquer a metade do produto da medida da base pela medida da altura.

2

hbA

=

Casos especiais: Conhecidos dois lados (a e b) e o ngulo (^

C) formado por eles:

2

)(CsenbaA

=

Conhecidos trs lados (a, b e c):

2

cbap

++=

)()()( cpbpappA =


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rea do Tringulo eqiltero

No triangulo eqiltero, todos os lados so congruentes, todos os ngulos internos so congruentes (60 0, 600, 600)e toda altura tambm mediana e bissetriz. Assim:

4

32 =

lA

rea do hexgono regular

O hexgono regular um polgono especial, pois formado por seis tringulos eqilteros. Assim:

64

32

=

lA

rea do circulo regular

rea do crculo o valor limite da seqncia das reas das regies poligonais regulares inscritas no crculoquando o nmero n de lados das poligonais aumenta arbitrariamente.

2

rA =


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EXERCCIOS:1. Feito o levantamento de um terreno, foram determinados os lados indicados na figura abaixo. Nessas

condies, qual a rea do terreno?

2. Um terreno tem a forma de um trapzio de bases 20m e 14m, e a altura 11m. Nesse terreno, construiu-seuma piscina retangular de 8m por 5m. No restante do terreno foram colocadas pedras. Qual rea foiutilizada para colocar pedra?

3. Um campo de futebol tem 80 m de comprimento e 42 m de largura. Qual a sua rea?

4. O proprietrio de uma casa quer transformar um quartinho em uma dispensa e quer azulejar as paredes.As medidas desse cmodo so: 2 paredes de 2 m de comprimento por 2 m de altura e outras 2 paredes de1,5 m de comprimento por 2 m de altura, menos a medida da porta de entrada que de 1 m por 2 m dealtura. Sabendo que os azulejos medem 20 cm por 20 cm. Quantos azulejos, no mnimo, devem sercomprados.

5. Uma piscina tem 25 m de comprimento por 10 m de largura por 2 m de profundidade. Quantos litros degua so necessrios para ench-la?

6. Um terreno tem forma quadrada, de lado 30,2m. Calcule a rea desse terreno.

7. Para ladrilhar totalmente uma parede de 27m2de rea foram usadas peas quadradas de 15cm de lado.Quantas peas foram usadas?

8. A rea de um trapzio 39m2. A base maior mede 17m e a altura 3m. Qual a medida da base menor?

9. O permetro de um tringulo eqiltero 30cm. Calcule a rea desse tringulo.

10. De uma chapa de alumnio foi recortada uma regio retangular eqiltera de lado 20cm. Qual rea dessaregio foi recortada?

11. Qual a rea de toda a parte colorida da figura abaixo? E da rea no pintada?


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12. Calcule a rea de uma regio triangular limitada pelo triangulo cujos lados medem 4cm, 6cm e 8cm?

13. Calcule a rea do terreno cuja forma e dimenses esto representadas pela figura.

14. Qual a rea regio triangular limitada pelo triangulo cujas as medidas esto indicadas na figura ao lado?

15. Um terreno tem a forma da figura abaixo e suas medidas esto indicadas na figura. Calcule a rea desse

terreno.

16. A rea de um tringulo eqiltero de 316 cm2. Nessas condies, qual permetro do tringulo?

17. Calcule a rea da regio poligonal de uma cartolina limitada por um hexgono regular de lado 10cm.

18. Um piso de cermica tem a forma hexagonal regular. O lado do piso mede 8cm. Qual a rea desse piso?19. Um hexgono regular tem 12cm de lado. Determine a rea desse hexgono.

20. Uma pizzaria oferece aos seus clientes pizzas grandes, de forma circular, por R$ 5,40. Para atender algunspedidos, a pizzaria passar a oferecer a seus clientes pizzas mdias, tambm de forma circular. Qualdever ser o preo da pizza mdia, se os preos das pizzas mdias e grandes so proporcionais s suasreas? ( raio da pizza grande 18cm e da mdia 12cm)

21. Um disco de cobre tem 20cm de dimetro. Qual a rea desse disco?22. Qual a rea da figura a seguir?


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23. Quatro crculos de raios unitrio, cujos centros so vrtices de um quadrado, so tangentes exteriormentedois a dois. A rea da parte sombreada :

24. Na figura, ABCD uma figura de lado igual a 8. Os arcos que limitam a regio sombreada tem raios iguaisa 8 e seus centros em A e C. Calcule a rea pintada.

25. Determine a rea das figuras a seguir:

a) 10cm b)7cm

10cm

7cm10cm

c) d)

4m

4m

A B

C D


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26. Determine a rea das figuras pintadas.

a) b)

c)

d)


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Volumes

Prisma

Prisma um slido geomtrico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em planos paralelos.

Quanto base, os prismas mais comuns esto mostrados na tabela:

Prisma triangular Prisma quadrangular Prisma pentagonal Prisma hexagonal

Base:Tringulo Base:Quadrado Base:Pentgono Base:Hexgono

Planificao do prisma

Um prisma um slido formado por todos os pontos do espao localizados dentro dos planos que contm asfaces laterais e os planos das bases.

As faces laterais e as bases formam a envoltria deste slido. Esta envoltria uma "superfcie" que pode serplanificada no plano cartesiano. Tal planificao se realiza como se cortssemos com uma tesoura esta envoltriaexatamente sobre as arestas para obter uma regio plana formada por reas congruentes s faces laterais e sbases. A planificao til para facilitar os clculos das reas lateral e total.


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rea da superfcie do prisma

Em todo prisma, consideramos:

rea lateral (Al): formada pela rea da superfcie lateral;

rea total (At): formada pela rea da superfcie lateral e pelas bases;

EXEMPLOS:1. Em um prisma hexagonal regular, a aresta da base mede 3cm e a aresta da face lateral mede 6cm.

Calcule:a) rea da base;b) rea lateral;c) rea total.

2. Uma indstria precisa fabricar 10.000 caixas de sabo com as medidas da figura abaixo. Desprezando asabas, calcule aproximadamente, quantos m2de papelo sero necessrios.

3. Quantos cm2de cartolina, aproximadamente, foram usados para montar um cubo de 10cm de aresta?

4. Dispondo de uma folha de cartolina de 50cm de comprimento por 30cm de largura, pode-se construir uma

caixa aberta cortando um quadrado de 8cm de lado em cada canto da folha. Quantos cm2

de material sonecessrios ter essa caixa?


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Volume de um prisma

O volume de um poliedro correspondente regio de espao limitada pelo poliedro. O volume de um prisma dado por:

V(prisma) = Abase.h

Volume do paraleleppedo reto retangular:

V = a.b.c

Volume do Hexaedro regular ou cubo:

V = a3

EXEMPLOS:1. Qual o volume de concreto necessrio para fazer uma laje de 20cm de espessura em uma sala de 3m por

4m?

2. Quais so as medidas das arestas dos cubos cujos volumes so:

a) 125 dm3 b) 3 3 cm3

3. Sabendo-se que foram gastos 0,96 m2de material para se montar uma caixa cbica , calcule o volume da

mesma.

4. Qual o volume de areia que cabe em uma caixa de base hexagonal de aresta da base 11cm e de altura35cm ?

5. Calcule o volume do prisma reto indicado na figura abaixo:

Introduo aos cilindros

O conceito de cilindro muito importante. Nas cozinhas encontramos aplicaes intensas do uso de cilindros. Nasconstrues, observamos caixas d'gua, ferramentas, objetos, vasos de plantas, todos eles com formascilndricas.

15cm20cm 12 cm

25 cm


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Os cilindros abaixo sugerem alguma aplicao importante em sua vida?

A Construo de cilindros

Seja P um plano e nele vamos construir um crculo de raio r e tomemos tambm um segmento de reta AB que noseja paralelo ao plano P e nem esteja contido neste plano P. Um cilindro circular a reunio de todos ossegmentos congruentes e paralelos a AB com uma extremidade no crculo.

Observamos que um cilindro uma superfcie no espao R, mas muitas vezes vale a pena considerar o cilindrocomo a regio slida contida dentro do cilindro. Quando nos referirmos ao cilindro como um slido usaremosaspas, isto , "cilindro"e quando for superfcie, simplesmente escreveremos cilindro.

A reta que contm o segmento AB denominada geratrize a curva que fica no plano do "cho" a diretriz.

Em funo da inclinao do segmento AB em relao ao plano do "cho", o cilindro ser chamado reto ou oblquo,respectivamente, se o segmento AB for perpendicular ou oblquo ao plano que contm a curva diretriz.

Objetos geomtricos em um "cilindro"

Em um cilindro, podemos identificar vrios elementos:


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1. Base: a regio plana contendo a curva diretriz e todo o seu interior. Num cilindro existem duasbases.

2. Eixo: o segmento de reta que liga os centros das bases do "cilindro".3. Altura: A altura de um cilindro a distncia entre os dois planos paralelos que contm as bases do

"cilindro".4. Superfcie Lateral: o conjunto de todos os pontos do espao, que no estejam nas bases, obtidos

pelo deslocamento paralelo da geratriz sempre apoiada sobre a curva diretriz.5. Superfcie Total: o conjunto de todos os pontos da superfcie lateral reunido com os pontos dasbases do cilindro.

6. rea lateral: a medida da superfcie lateral do cilindro.7. rea total: a medida da superfcie total do cilindro.8. Seo meridiana de um cilindro: uma regio poligonal obtida pela interseo de um plano vertical

que passa pelo centro do cilindro com o cilindro.

Classificao dos cilindros circulares

1. Cilindro circular oblquo: Apresenta as geratrizes oblquas em relao aos planos das bases.

2. Cilindro circular reto: As geratrizes so perpendiculares aos planos das bases. Este tipo de cilindro tambm chamado de cilindro de revoluo, pois gerado pela rotao de um retngulo.3. Cilindro eqiltero: um cilindro de revoluo cuja seo meridiana um quadrado.

rea lateral e rea total de um cilindro circular reto

Em um cilindro circular reto, a rea lateral dada por:

Alateral = 2 r h

onde r o raio da base e h a altura do cilindro. A rea total corresponde soma da rea lateral com o dobro da

rea da base.

Atotal= Alateral+ 2. AbaseAtotal=

22 2r h r + Atotal= 2 ( )r h r +

Volume de um "cilindro"

Em um cilindro, o volume dado pelo produto da rea da base pela altura.

V = Abase.h

Se a base um crculo de raio r, e pi=3,141593..., ento:

V = 2r h


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Um cilindro circular equiltero aquele cuja altura igual ao dimetro da base, isto h=2r. Neste caso,para calcular a rea lateral, a rea total e o volume, podemos usar as frmulas, dadas por:

Alateral=24 r

Abase=2

r Atotal= Alateral+ 2. Abase= 26 r

Volume = Abase.h =2 2r r = 32 r

EXEMPLO

1. Seja um cilindro circular reto de raio igual a 2cm e altura 3cm. Calcular a rea lateral, rea total e o seu volume.

2. Qual a capacidade de uma lata de refrigerante que tem a forma cilndrica, com 7cm de dimetro e 14 cm dealtura?

3. Para fabricar uma caixa de lpis de cor, preciso saber inicialmente qual o volume de cada lpis. Calculeento o volume de um lpis (sem apontar) que tem 8mm de dimetro e 8cm de comprimento e, em seguida,determine o valor aproximado de 20 lpis (use = 3,14).

O conceito de cone

Considere uma regio plana limitada por uma curva suave (sem quinas), fechada e um ponto P fora desse plano.

Denominamos cone ao slido formado pela reunio de todos os segmentos de reta que tm uma extremidade emum ponto P (vrtice) e a outra num ponto qualquer da regio.

Elementos do cone

Em um cone, podem ser identificados vrios elementos:


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1. Vrtice de um cone o ponto P, onde concorrem todos os segmentos de reta.2. Base de um cone a regio plana contida no interior da curva, inclusive a prpria curva.3. Eixo do cone quando a base do cone uma regio que possui centro, o eixo o segmento de reta

que passa pelo vrtice P e pelo centro da base.4. Geratriz qualquer segmento que tenha uma extremidade no vrtice do cone e a outra na curva que

envolve a base.5. Altura a distncia do vrtice do cone ao plano da base.

6. Superfcie lateral de um cone a reunio de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade emP e a outra na curva que envolve a base.7. Superfcie do cone a reunio da superfcie lateral com a base do cone que o crculo.8. Seo meridiana de um cone uma regio triangular obtida pela interseo do cone com um plano

que contem o eixo do mesmo.

Classificao do cone

Ao observar a posio relativa do eixo em relao base, os cones podem ser classificados como retos ouoblquos. Um cone dito reto quando o eixo perpendicular ao plano da base e oblquo quando no um conereto. Ao lado apresentamos um cone oblquo.

Observao: Para efeito de aplicaes, os cones mais importantes so os cones retos. Em funo das bases, oscones recebem nomes especiais. Por exemplo, um cone dito circular se a base um crculo e dito elptico se a

base uma regio elptica.

Observaes sobre um cone circular reto

Um cone circular reto denominado cone de revoluo por ser obtido pela rotao (revoluo) de um tringuloretngulo em torno de um de seus catetos


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A seo meridiana do cone circular reto a interseo do cone com um plano que contem o eixo do cone. Nafigura ao lado, a seo meridiana a regio triangular limitada pelo tringulo issceles VAB.

Em um cone circular reto, todas as geratrizes so congruentes entre si. Se g a medida da geratriz ento, peloTeorema de Pitgoras, temos uma relao notvel no cone: g=h+r, que pode ser "vista" na figura abaixo:

A rea da base do cone dada por:

Abase=2

r

A rea Lateral de um cone circular reto pode ser obtida em funo de g (medida da geratriz) e r (raio da base docone):

Alateral = r g

A rea total de um cone circular reto pode ser obtida em funo de g (medida da geratriz) e r (raio da base docone):

Atotal = r g +2

r = = ( )r g h +

O volume do cone obtido por 1/3 do produto da rea da base pela altura, ento:

V = 21

3 r h

Cones Equilteros

Um cone circular reto um cone equiltero se a sua seo meridiana uma regio triangular equiltera e nestecaso a medida da geratriz igual medida do dimetro da base.


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O volume do cone eqiltero obtido por 1/3 do produto da rea da base pela altura, ento:

V = 31

33

r

A rea lateral pode ser obtida por:

Alateral= r g = 2r r =22 r

E a rea total ser dada por:

Atotal=23 r

EXEMPLOS1. Um cone tem 10cm de altura e raio da base igual a 4cm. Calcule a:

a) medida da sua geratriz;b) rea lateral;c) rea total;d) o volume

2. Qual a capacidade de uma casquinha de sorvete de forma cnica cujo dimetro de 6cm e cujaaltura 10cm?


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EXERCCIOS

1. Num paraleleppedo, as dimenses da base so 4cm e 7 cm. Sendo a altura do paraleleppedo 5cm,determine o volume. Quanto material ser usado para construir est caixa?

2. Quantos litros de gua so necessrios para encher uma caixa d`gua cujas dimenses so: 1,20m por90cm por 1m? (lembre-se que 1m3=1000l).

3. Um cubo tem rea de 96 m2. Qual a medida da aresta do cubo? Determine seu volume.

4. As bases de um prisma so tringulos eqilteros e a s faces laterais so regies retangulares. Determinea rea total do prisma sendo 6cm a medida da aresta da base e 10cm a medida da aresta lateral. Determine seuvolume.

5. Quantos cm2de papel adesivo so gasto para cobrir a superfcie total de uma pea sextavada cuja a formae medidas esto na figura abaixo? Qual o volume da pea?

6. As dimenses de um paraleleppedo retngulo so 5cm, 8cm e 12cm. Uma cavidade em forma de prismareto de base triangular de 3cm de lado, estende-se da base inferior base superior do paraleleppedo.Determine a rea total da figura resultante (Contanto a parte de dentro e de fora). Determine o volume do slidoresultante (sem o prima triangular).

7. A rea da base de um prisma regular de base hexagonal de 12 3 cm2. Calcule a rea lateral, sabendoque a aresta lateral o dobro da aresta da base.8. dado um prisma pentagonal regular no qual a aresta da base mede 5cm e a aresta lateral mede 10cm.Qual a rea lateral do prisma?

9. Quantos m2de azulejo so necessrios para revestir at o teto a s quatro paredes de uma cozinha com asdimenses da figura ao lado? Sabe-se, tambm, que cada porta tem 1,60m2de rea e a janela tem uma rea de2m2. Qual o volume dessa cozinha?


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10. Qual o volume em litros de uma caixa-d`gua cbica cuja aresta mede 120cm? Quanto material cm2dematerial necessrio para construir essa caixa?

11. Qual o volume de um cubo de aresta 5 3 ? E a rea total?

12. Quanto mede a aresta de um cubo que tem 1000 dm3de volume?

13. Qual deve ser a medida da aresta de uma caixa-dgua cbica para que ela possa conter 8000 l de gua?

14. Uma caixa de papelo tem o tipo e o tamanho da figura ao lado. Sua base uma regio limitada por umtrapzio issceles de altura 20cm e de bases 10cm e 40cm. Quantos m2 de papelo so necessrios para sefazer uma caixa desse tipo? Determine o volume da caixa.

15. Trs cubos de chumbo so com arestas de 6cm, 8cm e 10cm, respectivamente, so fundidas em umanica pea cbica. Qual o volume da pea cbica nica? Qual a medida da aresta? Determine a rea total.

16. Calcule o volume de uma pea de metal cuja formas esto na figura abaixo:

17. Uma piscina tem as dimenses: 12m de comprimento, 7m de largura e 2,70m de profundidade. Qual aquantidade mxima em litros que essa piscina pode conter. Se para ladrilhar a piscina foram usados azulejosquadrados de 20cm de lado. Quantas peas, aproximadamente, foram usadas?

18. O volume de um prisma de base quadrada 700cm3. O permetro da base de 40cm. Calcule a altura oprisma e a rea total.


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c) a rea total;d) seu volume.

c) a rea total;d) seu volume.

19. Qual a capacidade de uma lata que tem a forma cilndrica, com 10cm de dimetro e 20 cm de altura?Quanto alumnio gasto para construir esta lata/.

20. Um cilindro circular reto tem 10cm de altura e sua base tem 12cm de dimetro. Determine a rea da base,rea lateral, rea total e seu volume.

21. Quantos centmetros quadrados de papel so necessrios, aproximadamente, para a fabricao de umcigarro, sabendo que o cigarro tem a forma cilndrica cuja a base tem 8mm de dimetro e seu comprimento de8cm? Qual o volume do cigarro?22. Um tanque cilndrico tem 3m de profundidade. Sua base superior aberta e tem 4m de dimetro. Quantosgales de tinta so necessrios para pintar o interior desse tanque, se para cada m 2gasta-se 1/ 4 de galo?

23. Duas latas tem a forma cilndrica. A lata mais alta tem o dobro da altura da outra, mas seu dimetro ametade do dimetro da lata mais baixa. Em qual das duas latas se utiliza menos material? Em qual a capacidade maior?

24. Uma caneta esferogrfica tem a forma cilndrica. O raio da base 6mm e o comprimento da caneta 16cm.Quantos cm2tem a superfcie lateral dessa caneta? Qual o volume de tinta que cabe no interior dela?

25. Um cilindro reto tem 48m2de rea total. A altura do cilindro 5cm. Determine o volume do cilindro. Qual a sua rea total?

26. Uma pea de madeira tem as dimenses e a forma da figura abaixo. Qual o volume de madeiraempregado para fabricar essa pea?

27. Um cone tem 10cm de altura e raio da base igual a 4cm. Determine sua rea lateral e seu volume.

28. Um cone tem 24cm de altura e o raio da base igual a 8cm. Calcule;a) a medida da geratriz;b) a rea lateral;

29. A geratriz de um cone circular reto mede 10cm e o raio da base igual a 4cm. Calcule:a) a medida da altura do cone;b) a rea lateral;

30. A rea lateral de um cone 24cm2e o raio de sua base 4cm. Qual a rea total do cone? Determine ovolume

31. Um tanque cnico tem 4m de profundidade e seu topo circular tem 6m de dimetro. Qual o volumemximo, em litros, que esse tanque pode conter de lquido? Determine quantos m2de material foi utilizado paraconstruir este tanque.

32. Qual a capacidade de uma casquinha de sorvete de forma cnica cujo dimetro 8cm e cuja a altura 12cm? ( 1cm3= 1ml)

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