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Máster de Ensayos en Vuelo
AREA DE MECANICA DE FLUIDOS Y AERODINÁMICA
José Meseguer, Ángel Sanz
www.idr.upm.es
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Máster de Ensayos en Vuelo
ÍndiceCaracterísticas generales de los fluidosEquilibrio de gases. Atmósfera estándarEcuaciones generalesRegímenes de vuelo
Ecuación de Bernoulli. Régimen incompresibleMagnitudes de remanso en gases idealesOndas de choque Interacción onda de choque - capa límite
Movimiento irrotacional.Aerodinámica. Efecto de la viscosidadFuerzas sobre un perfil. Teorema de Kutta-YukovskiBorde de salida afilado de los perfilesCapa límite
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Máster de Ensayos en Vuelo
Características generales de los fluidos
Capacidad para deformarse indefinidamente bajo la acción de fuerzas exteriores
Carecen de forma, adaptándose a las condiciones externas (gases, líquidos)
No presentan resistencia a la deformación, pero sía la velocidad de deformación (viscosidad)
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Máster de Ensayos en Vuelo
Características generales de los fluidos
Estructura molecular de la materia
Fluido como medio continuo
Energía interna
Presión
Temperatura
Entropía
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Máster de Ensayos en Vuelo
Características generales de los fluidos
Termodinámica del equilibrio
Equilibrio mecánico y térmico
Variables de estado (p, ρ, T, e, s,..)
Ecuaciones de estado
líquidos ρ = cte ; gases p/ρ = RgT
Principios de la termodinámica
Equilibrio termodinámico local
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Máster de Ensayos en Vuelo
Características generales de los fluidosFenómenos de transporte por difusión
Calor por conducción. Ley de Fourierconductividad térmica
Masa. Ley de Fickdifusión de especies
Cantidad de movimiento.viscosidad
Fenómenos de transporte por convección
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Máster de Ensayos en Vuelo
Equilibrio de gases. Atmósfera estándarEquilibrio de una columna de gas
p
p+dp
dz
d dd d( )gg
p g z gp zT zp R Tρ ρ
ρρ= − ⎫
=⎬= ⎭
0
d d dln( ) ( )
z
g o g
p g p gz zp R T z p R T z= → = − ∫
Se supone una distribución T(z), obtenida experimentalmente
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Máster de Ensayos en Vuelo
Equilibrio de gases. Atmosfera estándarEquilibrio de una columna de gas
ESTRATOSFERA
TROPOSFERA
z (km)
T (K)
32
23
11
216 228 270 2880
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Equilibrio de gases. Atmosfera estándarTroposfera: ( ) ( 288 K; 6.5 K/km)o oT z T z Tα α= − = =
1g gg gR R
o
o o o
T zp zp T Tα αα α−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 1 1
1g gg gR R
o
o o o o o
T z p T zT p T Tα ααρ α
ρ
− − −−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Atmósfera estable:ρ disminuye con la altura
→
1 0g
gRα − > 34,9 K/km
g
gRα <
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Máster de Ensayos en Vuelo
Equilibrio de gases. Atmosfera estándarAtmósfera estable:ρ disminuye con la altura
1 0g
gRα − > 34,9 K/km
g
gRα <
Condición necesaria, pero no suficiente:Hay otros efectos (p.e calentamiento del suelo)
Inversión térmica, dT/dz>0. Niveles de contaminación altos.Estratosfera: marcadamente estable, peligro para contaminación.
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Ejemplo: Aerodinámica
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Máster de Ensayos en Vuelo
A380
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Sistema de ejes viento
U∞
x
yz
sustentación L M. guiñada
fuerza lateral FyM. cabeceo
resistencia aerodinámica D M. balance
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Máster de Ensayos en Vuelo
Los medios continuos satisfacen cuatro principios fundamentales: 1) conservación de la materia, 2) segunda ley de Newton (balance de la cantidad de movimiento), 3) primer principio de la Termodinámica (conservación de la energía), y 4) segundo principio de la Termodinámica.
La formulación se completa con las relaciones constitutivas; p. e., la o las ecuaciones de estado para los fluidos, o la ley de viscosidad de Stokes
Ecuaciones generales
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Ecuación de conservación de la masa
D
dv
ds n
V
S
d d d 0d
v st
ρ ρ+ ⋅ =∫ ∫ V nD S
Dρ/Dt = ∂ρ/∂t + V·∇ρ
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Máster de Ensayos en Vuelo
Balance de cantidad de movimiento
d d ( )d d d dd
v s p s s vt
ρ ρ τ ρ′+ ⋅ = − + ⋅ +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ mV V V n n n FD S S S D
ρ τ ρDD
V Fmt p= −∇ + ∇ ⋅ ′ +
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Máster de Ensayos en Vuelo
Ecuación de la energía (1/2)
( )DD v rq
e k T p Qt
ρ = ∇ ⋅ ∇ − ∇ ⋅ + Φ − ∇ ⋅ +rV q
( ) ( )v τ τ′ ′Φ = ∇ ⋅ ⋅ − ∇ ⋅ ⋅V V
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Máster de Ensayos en Vuelo
Ecuación de la energía (2/2)
( )pD DD D v rq
T pc k T Qt t
ρ = + ∇ ⋅ ∇ + Φ − ∇ ⋅ +rq
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Balance de cantidad de movimiento
ρ τ ρDD
V Fmt p= −∇ + ∇ ⋅ ′ +
ˆC
=xx ˆ ρρ
ρ∞= ˆ tt
C U ∞= ˆ
U∞=
VV ˆ ppp∞
= ˆg
= mm
FF
2 2
ˆ 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ( )ˆ 3p gCp
t U CU Uμρ ρ ρ
ρρ∞
∞ ∞∞ ∞ ∞
∂ ⎡ ⎤+ ⋅∇ = − ∇ + Δ + ∇ ∇ ⋅ +⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦ mV V V V V F
22M U
pργ ∞ ∞
∞∞
=2
Fr UgC
∞=Re U Cρμ
∞ ∞=
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Máster de Ensayos en Vuelo
Balance de cantidad de movimiento
2Fr 1U
gC∞= >>Re 1U Cρ
μ∞ ∞= >>
ρ DD
Vt p= −∇
2D 1 1( ) ( )D 2
V pt t t ρ
∂ ∂= + ⋅∇ = + ∇ − × ∇× = − ∇
∂ ∂V V VV V V V
Puede integrarse en algunos casos
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Máster de Ensayos en Vuelo
Balance de cantidad de movimiento
Re 1U Cρμ
∞ ∞= >>
Efecto de la viscosidad despreciable salvo en ciertas zonas localizadas del dominio fluido (capas limites y estelas)
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Máster de Ensayos en Vuelo
Ecuación de la energía
( )pD DD D v
T pc k Tt t
ρ = + ∇ ⋅ ∇ + Φ
pc T UC
ρ∞ ∞ ∞2
2UC
μ ∞2
kTC
∞
2
p
MD ReD
vTct
ρ
∞Φ( )
p
1D Re PrD
k TTct
ρ
∇ ⋅ ∇⋅
adiabático viscosidad despreciable
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Máster de Ensayos en Vuelo
Ecuación de la energía
DD
st
st s= + ⋅∇ =∂
∂V 0
Si la entropía es constante (y la misma) en el infinito corriente arriba, es la misma constante en
todo el camporelación de barotropía: la relación entre la presión y la
densidad es única en todo el campo fluido, no dependiendo de la temperatura de forma independiente,
- movimientos de líquidos (ρ =cte)- movimientos isentrópicos de gases (p/ργ =cte)
Ecuación de estado
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Máster de Ensayos en Vuelo
- líquidos ρ = cte- gases perfectos p = ρRT
R= 287 m2·s-2·K-1
Ecuación de estado
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Máster de Ensayos en Vuelo
Regímenes de vuelo
Número de Mach
Regímenes de vuelo
Número de Mach
Régimen incompresible: 0 ≤ M∞ ≤ 0,3Régimen incompresible: 0 ≤ M∞ ≤ 0,3
Régimen compresibleRégimen compresible
Subsónico: 0,3 ≤ M∞ ≤ 0,8
Transónico: 0,8 ≤ M∞ ≤ 1,1
Supersónico: 1,1 ≤ M∞ ≤ 5,0
Hipersónico: 5,0 ≤ M∞
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Máster de Ensayos en Vuelo
Compresibilidad
Propagación de una perturbación en diversos regímenes de vueloa) Subsónico bajo, b) subsónico alto, c) supersónico
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Máster de Ensayos en Vuelo
Compresibilidad
Configuraciones fluidas alrededor de un perfil para diversos números de Mach
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Máster de Ensayos en Vuelo
Ecuación de Bernoulli
2 20
1 12 2
U p U p pρ ρ∞ ∞ ∞ ∞+ = + =
Movimiento incompresible
Movimiento compresibleEcuación de Euler- Bernoulli
222 2 21 1 ; / ; 1.4
2 1 2 1aaU U a pγ ρ γ
γ γ∞
∞+ = + = =− −
p. dinámica p. estática p. remanso
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Máster de Ensayos en Vuelo
Magnitudes de remanso en gases ideales
Movimiento sin adición de calor, fluido ideal. Se conserva la entropía.En proceso estacionario, despreciando efectos de las fuerzas másicas (v2 >> gL) se conserva la entalpía de remanso.
212oh h v= +
212oh h v= +
2 2 221 1 1 12 2 2 2o
p o p op p
pg
Tv v vc T c T v T T c T c T pc Rρ
= + → = + → = + = + =
2 2 22
1 1 11 1 12 2 2v v Mp a
γ γ γ
γ ρ
− − −+ = + = + 1/2211 2
o oa T Ma Tγ −⎡ ⎤= = +⎢ ⎥⎣ ⎦
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Máster de Ensayos en Vuelo
Condiciones críticas: cuando se alcanza M = 1
1/ 1 1/ 1 / 11 1 1 11 ; ;* 2 2 * 2 * 2o o op T
p T
γ γ γ γρ γ γ γ γρ
− − −− + + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Magnitudes de remanso en gases ideales
1/ 1 / 12 21 11 ; 12 2
o opM Mp
γ γ γρ γ γρ
− −− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Utilizando la ecuación de estado y evolución isentrópica
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Máster de Ensayos en Vuelo
0
1
0,528
0
M
1
x
p/po ps1/po
ps2/po
Ms2
Ms1
Magnitudes de remanso en gases ideales
12( 1)211* 1 2
* * 12
MUAA U M
γγγ
ρρ γ
+−−⎡ ⎤+⎢ ⎥= = ⎢ ⎥+
⎢ ⎥⎣ ⎦
A*: área necesaria para alcanzar condiciones críticas a partir de un área dada A
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Máster de Ensayos en Vuelo
Ondas de choque
Normales
v1 v2
M1 > 1
ρ1
p1
M2 < 1
ρ2
p2
v1 v2d1d2
1 11 1
1 1
d vt fv d= = 2 22 2
2 2
d vt fv d= =
Se conserva la entalpía de remanso
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Máster de Ensayos en Vuelo
Ondas de choque
M1>M2 > 1
M1 > 1
M1 > 1δ < δmax δ > δmaxOblicuas
M1 > 1 M2 < 1
M3 > 1
Curvas
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34
Máster de Ensayos en Vuelo
Ondas de choque
Expansión de Prandtl-Mayer
M1 > 1M2 > M1p1
ρ1
ρ2 < ρ1
p2 < p1
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35
Máster de Ensayos en Vuelo
Interacción onda de choque - capa límiteOnda de choque normal y una capa límite turbulenta
Corriente principal: fluido que pasa a través de la onda de choque.Capa intermedia: fluido pasa a través de la onda oblicua (tendrá una presión de remanso diferente de la del flujo principal)Capa viscosa: incluye la zona de separación.
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36
Máster de Ensayos en Vuelo
La forma de la interacción depende del espesor de la capa límite
Interacción onda de choque - capa límite
Sistemas de ondas en presencia de :(a) una capa límite delgada, y (b) una capa límite gruesa
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37
Máster de Ensayos en Vuelo
Movimiento irrotacional.
dΓ = ⋅∫ V lC
Circulación
( )d d d dU WU x W z x zz x
∂ ∂⎛ ⎞Γ = + = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∫ ∫∫C S
Circulación a lo largo de C, es el flujo del rotor a través de S (Teorema de Stokes)
( )d dσΓ = ⋅ = ∇× ⋅∫ ∫∫V l V nC S
d d dU W x zz x
∂ ∂⎛ ⎞Γ = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠Giro de la partícula
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Máster de Ensayos en Vuelo
Hilos de torbellinos
Conservación de la Circulación
( ) 3
d4π
o
r×Γ
= ∫x rV x
C
Ley de Biot-Savart
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Máster de Ensayos en Vuelo
Movimiento irrotacional
Si el irrotacional en S es nulo, la circulación a lo largo de C también
Si la circulación es nula en cualquier línea, no depende del dominio de integración, el integrando es una diferencial exacta, V·dl = dΦ .
V = ∇Φ,
.d d d d d d d d .dU x V y W z x y zx y z
∂Φ ∂Φ ∂Φ= Φ = + + = + + = ∇Φ
∂ ∂ ∂V l l
Φ(x,y,z,t), potencial de velocidades
( , , )x y z
∂Φ ∂Φ ∂Φ= = ∇Φ
∂ ∂ ∂V
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40
Máster de Ensayos en Vuelo
AerodinámicaDe las hipótesis de número de Reynolds alto y capa límite adherida, fuerzas másicas despreciables y número de Mach pequeño (la densidad del aire se puede suponer constante), se deduce que la circulación del vector velocidad a lo largo de una línea fluida cerrada se debe mantener constante. Como además se supone que el avión se mueve a través del aire en calma, el movimiento es irrotacionalcorriente arriba y por tanto irrotacional en todo el dominio fluido.
En estas circunstancias la velocidad del fluido deriva de un potencial de velocidades, Φ, que ha de satisfacer la ecuación de Laplace
2 2 2
2 2 2 0x y z
∂ Φ ∂ Φ ∂ ΦΔΦ = + + =
∂ ∂ ∂( ) 0∇ ⋅ = ∇ ⋅ ∇Φ = ΔΦ =V
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Máster de Ensayos en Vuelo
Efecto de la viscosidad
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Máster de Ensayos en VueloIDR/UPM, E.T.S.I. AERONÁUTICOS
Fuerzas sobre un perfil. Teorema de Kutta-Yukovski
Fuerzas sobre un perfil. Teorema de Kutta-Yukovski
Cálculo de las fuerzas aerodinámicas globales sobre el perfil
Volumen de control para aplicar el teorema de conservación de la cantidad de movimiento
Cálculo de las fuerzas aerodinámicas globales sobre el perfil
Volumen de control para aplicar el teorema de conservación de la cantidad de movimiento
θ
l = ρ∞ΓU∞ fórmula de Kutta
d = 0 paradoja de D´Alembert
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Máster de Ensayos en VueloIDR/UPM, E.T.S.I. AERONÁUTICOS
Borde de salida afilado de los perfiles. Hipótesis de Kutta
Borde de salida afilado de los perfiles. Hipótesis de Kutta
La corriente se acelera en el extradós y se frena en el intradós
La corriente se acelera en el extradós y se frena en el intradós
¿Qué pasa si el borde de salida es romo?
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Máster de Ensayos en VueloIDR/UPM, E.T.S.I. AERONÁUTICOS
Generación de sustentación
Generación de sustentación
Borde de salida afilado de los perfiles. Generación de circulación
Borde de salida afilado de los perfiles. Generación de circulación
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Máster de Ensayos en VueloIDR/UPM, E.T.S.I. AERONÁUTICOS
Borde de salida afilado de los perfiles. Hipotesis de KuttaBorde de salida afilado de los perfiles. Hipotesis de Kutta
Generación de sustentación
Generación de sustentación
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Máster de Ensayos en VueloIDR/UPM, E.T.S.I. AERONÁUTICOS
Distribución de fuerzas sobre un perfilDistribución de fuerzas sobre un perfil
La distribución de presión genera una fuerza vertical neta
La distribución de presión genera una fuerza vertical neta
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Máster de Ensayos en Vuelo
Números de Reynolds altos: la viscosidad se aprecia sólo en la capa límite, que es muy delgada, y en la estela viscosa.
capa límite 1/6capa límite 1/6
- La presión es constante a lo largo de rectas perpendiculares a la superficie del perfil
- No influye en el campo exterior de presiones
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Máster de Ensayos en Vuelo
capa límite 2/6capa límite 2/6
Ensanchamiento: va gastando la cantidad de movimiento
gradiente de presiones favorable: la capa límite se acelera y gana cantidad de movimiento, lo que ayuda a equilibrar el rozamiento en la pared
τw
p p + dp
fricción, deceleración de láminas contiguas gradientes adversos de presión
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Máster de Ensayos en Vuelo
capa límite 3/6capa límite 3/6 desprendimiento
-gradiente adverso de presión: las láminas fluidas más cercanas a la pared se deceleran comparativamente más que las más alejadas
-las partículas próximas a la pared terminan por retroceder en vez de avanzar
p1
p2 p3
p1 < p2 < p3
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50
Máster de Ensayos en Vuelo
La hipótesis de que la capa límite es delgada puede dejar de ser válida incluso antes del desprendimiento.
En estas condiciones la viscosidad influye en el campo de presiones sobre el obstáculo.
capa límite 4/6capa límite 4/6 desprendimiento
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Máster de Ensayos en Vuelo
Laminar: las láminas fluidas se mueven ordenadamente y entre ellas hay sólo un intercambio viscoso (a escala molecular) de cantidad de movimiento. - inestable (pasa a turbulenta: transición)- mezcla poco eficaz, perfil poco lleno, baja fricción, poco resistente
capa límite 5/6capa límite 5/6 Laminar/turbulenta
a) b)
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Máster de Ensayos en Vuelo
Turbulenta: las partículas fluidas, que inicialmente se movían paralelamente entre sí, siguen trayectorias que se entrecruzan de forma muy complicadaIntercambio de cantidad de movimiento tiene lugar a escala macroscópica.
- mezcla muy eficaz- perfil muy lleno- alta fricción - resistente a gradientes adversos de presión
Régimen de crucero: interesa retrasar la transición (perfiles laminares)Retrasar desprendimiento: generadores de turbulencia
capa límite 6/6capa límite 6/6 Laminar/turbulenta
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Máster de Ensayos en Vuelo