UNIVERSIDAD TECNICA DE MANABI

FACULTAD DE CIENCIAS MATEMATICAS FISICAS Y QUIMICAS

TRABAJO DE INVESTIGACION

TEMA

ANALISIS DE ESTRUCTURAS INDETERMINADAS POR EL METODO DE CROSS

MATERIA

ESTRUCTURAS II

AUTOR

VELASCO MERO XAVIER ANDRES

DOCENTE

ING. JORGE PALACIOS

7MO SEMESTRE DE CREDITO “A”

ING CIVIL

INDICE

INTRODUCCION JUSTIFICACION OBJETIVOS OBJETIVOS GENERALES Y ESPECIFICOS MARCO TEORICO

1. METODO DE CROSS

Conceptos Fundamentales Pares de empotramiento: Rigidez angular, factor de transporte, momento de transportado y

rigidez lineal. El factor de transporte Momento trasladado: Factores de Distribución Convención de signos

2. Análisis de Vigas Continuas

Apoyo simple en extremos: Voladizo Formulas de MEP SIMPLIFICACIONES

3. El método de Cross aplicado a estructuras translacionales:

Relación entre empujes y desplazamientos

Introducción

El Método de distribución de momentos o método de Cross es un método de análisis estructural para vigas estáticamente indeterminadas y marcos, desarrollado por Hardy Cross. Fue publicado en 1930 en una revista de la ASCE. El método sólo calcula el efecto de los momentos flectores e ignora los efectos axiales y cortantes.

En el método de distribución de momentos, cada articulación de la estructura ha de ser analizada, y es fijada a fin de desarrollar los Momentos en los Extremos Fijos. El método de distribución de momentos en términos matemáticos puede ser demostrado como el proceso de resolver una serie de sistemas de ecuaciones por medio de iteración y aproximaciones sucesivas.

Justificación

El efectuar esta investigación me ha servido de gran aporte a mis conocimientos, ya que por medio del mismo puedo tener un enfoque más amplio de la resolución de problemas sobres estructuras indeterminadas y por ende a lo que se someten sus métodos de solución.

OBJETIVOS

OBJETIVOS GENERALES

Obtener un conocimiento amplio acerca del comportamiento de las estructuras indeterminadas por el método de solución de Cross.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Conocer los distintos tipos de formulas de empotramientos perfectos.

Determinar cuál es la utilización de las formulas de empotramiento perfecto.

Saber cuáles son los pasos para la resolución de estructuras hiperestáticas.

Marco Teórico

Conceptos Fundamentales.

El método de Cross está basado en el método de las deformaciones. Por lo tanto los conceptos son los mismos en ambos métodos.

Pares de empotramiento:

Una viga empotrada-empotrada, como la representada en la figura 2a, está sometida a un sistema de acciones. Su deformada es la que aparece en la figura 2b. En ella se pueden considerar tres tramos, tal y como se representa en la figura 2c.

Los tramos primero y último, de acuerdo con el convenio, tienen flexión negativa, mientras que el tramo intermedio presenta flexión positiva. Los momentos flectores MA y MB en los apoyos serán negativos, así como los momentos del tramo intermedio son positivos. Por el principio de acción y reacción, la viga ejerce sobre los apoyos unos momentos (figura 2d) y los apoyos sobre las vigas otros, que serán iguales y de sentido contrario. A estos momentos se les llama pares de empotramiento (figura 2e). Por tanto, los pares de empotramiento son las acciones que ejercen los apoyos sobre la pieza.

Estos pares de empotramiento tienen el mismo valor absoluto que los momentos flectores MA y MB. Tomando el convenio de signos de la figura 2f, el par en el apoyo A es positivo, mientras que el par en B es negativo. Como los momentos flectores en los apoyos son de signo negativo, para pasar de momentos flectores a pares de empotramiento basta cambiar de signo al de la izquierda y mantener el signo al de la derecha. De igual modo se opera para pasar de pares de empotramiento a momentos flectores.

En las piezas verticales se actúa de la misma forma. Como no hay establecido un signo de flexión, se define uno. Para pasar de pares de empotramiento a momentos flectores, o a la inversa, se cambia de signo al valor de un extremo.

Rigidez angular, factor de transporte, momento de transportado y rigidez lineal.

La rigidez angular se definió como el momento que hay que aplicar en el extremo de un miembro estructural para producir una rotación unitaria de dicho extremo.

Esta es por lo tanto la rigidez angular para un miembro con un extremo articulado y el otro empotrado.

En el caso de un miembro con los dos extremos articulados la rigidez angular para este tipo de miembros es reducida a lo siguiente:

Es común que en las estructuras se usen el mismo material para los distintos miembros. Cuando esto sucede, el valor de E es el mismo para todos los miembros. Como además lo que interesa en la mayoría de los casos es la rigidez relativa de los diferentes miembros estructurales, suele considerarse que la rigidez relativa de un miembro con un extremo articulado y otro empotrado es:

k= IL

Esta rigidez se denomina rigidez angular simplificada. Si se usa esta rigidez para las 2 figuras anteriores la ecuación quedaría:

k =34

K

Ya que la relación entre los valores de las ecuaciones es precisamente 34 .

La rigidez K` se denomina rigidez angular simplificada modificada.

El factor de transporte

Se define como la relación entre el momento que se desarrolla en el extremo de un miembro cuando se aplica un momento en el otro extremo.

Se calculo que la relación de los momentos de MBA es ½ del momento MAB. Por lo tanto el factor de transporte de la figura 7.1 es:

FT=12

Si un miembro tiene sus dos extremos articulados como la fig 7.2 al aplicar un momento en el extremo A no se desarrolla ningún momento en el extremo B, precisamente porque está articulado. En este caso el factor de transporte vale 0.

Si los dos están empotrados, como la fig. 7.3 los momentos en ambos extremos valen:

Mab=Mba=6 EI

l2

Rigidez lineal en un miembro empotrado en un extremo y articulado en otro.

Momento trasladado:

Al aplicar un momento en un extremo articulado A se genera un momento MBA en el otro extremo B. Si este extremo es articulado, el momento es cero, en tanto que si es empotrado será diferente de cero. Dicho momento se llama momento traslado o transmitido.

Factores de Distribución

Los factores de distribución pueden ser definidos como las proporciones de los momentos no balanceados llevados por cada uno de los miembros.

Es un valor que permite distribuir un momento aplicado en un nodo entre los diversos miembros conectados a él. Se calcula como:

Convención de signos

Un momento actuando en sentido horario es considerado positivo. Esto difiere de la [convención de signos] usual en ingeniería, la cual emplea un sistema de coordenadas cartesianas con el eje positivo X a la derecha y el eje positivo Y hacia arriba, resultando en momentos positivos sobre el eje Z siendo antihorarios

Análisis de Vigas Continuas.

Procedimiento:

Calcule los factores de distribución en cada uno de los nudos que pueda girar. Se calcula este factor a todos los miembros que converjan en el nudo en forma rígida.

1. Calcule los momentos en extremos fijos o momentos de empotramiento (FEM o FE).

2. Equilibre los momentos en todos los nodos que tengan libertad para girar:

3. En cada nodo, evalúe el momento no equilibrado y distribúyalo a los miembros conectados al nodo. El momento distribuido en cada uno de los miembros rígidamente conectado al nodo se obtiene multiplicando el negativo del momento no equilibrado por el FD para el extremo del miembro.

4. Traslade la mitad de cada momento distribuido hacia el extremo opuesto del miembro.

5. Repita los pasos 4 y 5 hasta que todos lo nodos libres queden equilibrados o bien los momentos no equilibrados en estos sean suficientemente pequeños como para despreciarse.

6. Determine los momentos finales en los extremos de los miembros sumando algebraicamente el momento en extremo fijo y todos los momentos distribuidos y trasladados en el extremo de cada miembro. Si la distribución es correcta, entonces los momentos finales deben satisfacer las condiciones de equilibrio en todos los nodos que puedan girar.

7. Calcule las fuerzas cortantes en los miembros

8. Calcule las reacciones

9. Trace los diagramas de cortante y momento, usando la convención de signos de la viga.

Condiciones de apoyo

Apoyo simple en extremos:

Puede analizarse la viga usando la simplificación para apoyos simples, tomando en cuenta que la rigidez relativa de 3I/4L para los claros adyacentes a los mismos. Con esto, se equilibra sólo una vez este nodo, y ya no se les traslada ningún momento adicional.

Voladizo:

Los tramos en voladizo no aportan rigidez al nodo correspondiente. Sin embargo, este momento en el voladizo debe calcularse y aplicarse en el nodo, el cual se consideraría como simple.

A efectos prácticos los extremos articulados se eliminan en el cálculo de estructuras mediante el método de Cross. Lo mismo ocurre con los extremos perfectamente empotrados, pues al momento inicial en el extremo empotrado hay que sumar todos los momentos transmitidos por el nudo opuesto. El no transmite ninguno, por lo que el momento final es igual al momento inicial en el nudo más la mitad del correspondiente al extremo opuesto, pudiendo también eliminarse a efectos prácticos.

Los cálculos son aún más simples si la pieza en cuestión no tiene cargas o momentos directamente aplicados a ella, pues entonces el momento final es únicamente la mitad del correspondiente al extremo opuesto.

En el caso de una viga en voladizo, por ejemplo la CD de la figura 6, al encontrarse libre el extremo C para girar, si se le aplica un par se produce giro sin que la pieza pueda poner ninguna resistencia. La rigidez es nula.

SIMPLIFICACIONES

Cualquier estado de carga (P, M, q) actuando sobre una estructura simétrica puede descomponerse en la suma de cargas de valor mitad y sus simétricas, más otro estado de carga de valor mitad y sus antimétricas (Teorema de Andrée; figura 7).

Las consideraciones de deformación de la estructura en los casos de simetría y antimetría conducen a las dos conclusiones siguientes:

- En una estructura simétrica, las secciones de los ejes de las piezas de la estructura contenidas en el eje de simetría no giran y sólo experimentan corrimientos a lo largo de dicho eje.

- En una estructura antimétrica, las secciones contenidas en el eje de antimetría giran y sólo experimentan corrimientos en sentido perpendicular a dicho eje.

En los casos de estructuras simétricas con cargas simétricas se pueden realizar dos simplificaciones, en función de que el eje de simetría de la estructura coincida con el punto medio de un vano (figura 8) o con una pieza estructural (figura 9).

El método de Cross aplicado a estructuras translacionales:

Se trata de calcular en una pieza empotrada-empotrada los pares de empotramiento que genera un desplazamiento d, como se indica en la figura 1a.

Al ser los desplazamientos y los giros de pequeña magnitud en comparación con las dimensiones principales, el problema se puede descomponer en fases sencillas.

Se suponen rigideces K y K’, y factores de transmisión b y b’, según se considere el extremo origen.

Atendiendo al pequeño valor del ángulo girado, se puede igualar el ángulo con la tangente.

O sea,

En la figura 1c se calculan los pares de empotramiento cuando la pieza gira un ángulo q en el apoyo A. El par de empotramiento en A vale K×q, mientras que el par de empotramiento en B toma el valor K×q×b.

De igual modo, en la figura 1d se representa el valor de los pares de empotramiento al girar la pieza un ángulo q en el apoyo B. Así, en A es igual a K’×q×b’, y en B, K’×q.

La figura 1e resume las tres fases anteriores que comprende el problema inicial.

Los pares de empotramiento en A y B valen, respectivamente, q×(K’×b’+K) y q×(K×b+K’).

La figura 1e resume las tres fases anteriores que comprende el problema inicial.

Los pares de empotramiento en A y B valen, respectivamente, q×(K’×b’+K) y q×(K×b+K’).

Sustituyendo el ángulo q por su tangente , los pares de empotramiento valen:

Si las piezas son de sección constante y del mismo material,

obteniendo:

Si la situación de partida es la inversa, es decir, si se conocen los pares de empotramiento MA y MB en una pieza que puede desplazarse de B a B’, se obtiene el desplazamiento d por cualquiera de las relaciones siguientes:

Con un razonamiento análogo, las expresiones anteriores pueden simplificarse en el caso de considerar las piezas de sección constante y del mismo material. Así:

Relación entre fuerzas y pares de empotramiento:

Consideremos una pieza AB biempotrada, sometida a una fuerza F horizontal, tal y como se representa en la figura 2. Si el extremo B puede desplazarse, al llegar a una posición de equilibrio, se cumple:

Si lo que se desea es hallar los pares de empotramiento, sólo se dispone de una ecuación, la (1). Para poder calcular estos pares de empotramiento es necesario recurrir a las expresiones obtenidas al estudiar las relaciones entre desplazamientos y pares de empotramiento, estudiadas en el apartado anterior, y así disponer del siguiente sistema:

En este caso se prescinde del conocimiento del desplazamiento, por lo que puede eliminarse de las expresiones anteriores. Así se obtienen los pares en función de la fuerza.

Si sucede que las piezas son de sección constante y del mismo material

Operando se tiene:

Si la situación de partida es la inversa, es decir, si se conocen los pares de empotramiento MA y MB en una pieza que puede desplazarse de B a B’, se obtiene la fuerza mediante la siguiente ecuación:

Relación entre empujes y desplazamientos

En el apartado precedente establecíamos el siguiente sistema:

En esta ocasión se prescinde del conocimiento de los pares, por lo que pueden eliminarse de las expresiones anteriores. Así se obtiene la fuerza en función del desplazamiento.

Si se realiza la simplifación de suponer las piezas de sección constante y del mismo material, se obtiene:

Al igual que en los casos anteriores, es inmediato obtener la relación inversa; en este caso la obtención del desplazamiento en función de la fuerza F:

CONLUSIONES

El método de Cross es un método de tanteo y de repeticiones que nos ayudan a obtener nuestros momentos negativos los cuales los utilizamos para resolver vigas, pórticos o marcos, vigas con desplazamientos, y también se puede observar que es como un comprobador ya que los resultados MF están en función de MF`.

GLOSARIO

Tanslacional:

Un cuerpo se encuentra en equilibrio traslacional cuando la sumatoria de todas las componentes en X es igual a 0 y todas las componentes en Y es igual a 0

Empotramiento:

Conexión entre dos miembros estructurales que impide la rotación y el desplazamiento en cualquier dirección de un miembro con respecto al eje.

Rigidez:

Es la propiedad que tienen los cuerpos para soportar la deformación.

ANEXOS

BIBLIOGRAFIA

https://www.u-cursos.cl/fau/2008/2/AO505/1/material.../3126

www.uhu.es/javier.pajon/apuntes/segundonivel/ cross 2.pdf

ANALISIS ESTRUCTURAL, GONZÁLEZ CUEVAS

Capitulo 7 pág. 403

https://www.uursos.cl/fau/2008/2/AO505/1/material.../

3126

http://www.arquba.com/software-gratis/vigas/