Apuntes de Análisis de Sistemas 2020-I

Apuntes de Análisis de Sistemas

2020-IDr.-Ing. Miguel Parada Contzen

Descripción de Asignatura• Nombre Asignatura: Análisis de Sistemas(para ICE)

• Código: 410245

• Profesor: Dr.-Ing. Miguel Parada Contzen ([email protected])

• Horario:

– Lu 15:40 - 17:50hrs, S208EG

– Ma 17:10 - 18:30hrs, S209EG

– Ju 14:10 - 15:30hrs, S208EG

• Algunas fuentes:

[1] Panos J. Antsaklis and Anthony N. Michel. A Linear Systems Primer. 1st ed.Birkhäuser, 2007.

[2] Chi-Tsong Chen. Linear System Theory and Design. 3rd ed. Oxford Uni-versity Press, 1999.

[3] Richard C. Dorf and Robert H. Bishop. Modern Control Systems. 12th ed.Prentice Hall, 2011.

[4] José Espinoza and Daniel G. Sbarbaro. Apuntes Sistemas Lineales Dinámi-cos. Departamento de Ingeniería Eléctrica, Universidad de Concepción.2019.

[5] Katsuhiko Ogata. Modern Control Engineering. 5th ed. Prentice Hall, 2010.

• Contenidos:

1 Introducción 51.1 Definiciones en sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Modelación de fenómenos físicos . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Principios generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2 Sistemas mecánicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.3 Sistemas electromecánicos . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.4 Sistemas hidráulicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

MPC 2020-I 1 Análisis de Sistemas

2 Modelos en el espacio de estados 112.1 Sistemas en tiempo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Ecuaciones de estado continuas . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.2 Solución de ecuaciones de estado continuas . . . . . . . 13

2.1.3 Solución numérica de ecuaciones de estado continuas . . 14

2.1.4 Convergencia de solución . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.5 Dicretización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Sistemas en tiempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.1 Ecuaciones de estado discretas . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.2 Solución de ecuaciones de estado discretas . . . . . . . 23

2.2.3 Convergencia de solución . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 Sistemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.1 Modelos no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.2 Series de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.3 Linealización por serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . 27

2.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Señales 343.1 Señales como funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2 Señales importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.1 Tiempo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.2 Tiempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3 Transformaciones en el dominio del tiempo . . . . . . . . . . . 39

3.3.1 Transformaciones simples . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3.2 Convolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4 Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.5 Transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.6 Equivalencias usuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.7 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.7.1 Tiempo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.7.2 Relación con series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . 58

3.7.3 Tiempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62


4 Funciones de Transferencia 644.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.1.1 Sistemas lineales en tiempo continuo . . . . . . . . . . 64

4.1.2 Sistemas lineales en tiempo discreto . . . . . . . . . . . 67

4.1.3 Retentor de orden cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2 Análisis en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.2.1 Entradas periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.2.2 Diagramas de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.2.3 Reglas de construcción de diagramas de Bode asintóticos 79

4.2.4 Retardos continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.2.5 Diagramas de Bode en tiempo discreto . . . . . . . . . 83

4.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

• Evaluaciones:

– Certamen 1 (C1, 30%): 28/05/2020?– Certamen 2 (C2, 40%): 23/07/2020?– Tarea 1 (T1, 15%) (máximo tres estudiantes por grupo): 04/06/2020?– Tarea 2 (T2, 15%) (máximo tres estudiantes por grupo): 30/07/2020?– Evaluación integradora (E, 40%) (se requiere solicitud (S) del estudiante

interesado, por escrito)

• Sobre informes escritos:

– Informes deben ser entregados en formato digital como un único archivo.pdf y enviados por correo electrónico institucional del profesor respons-able.

– Cualquier formato digital distinto al pdf como .doc, .docx, .txt, .tex, .ps,.rar, .zip, etc, será ignorado y el informe marcado como no recibido.

– De existir códigos, estos deben incluirse como Anexos.– Informes atrasados se recibirán pero descontando un punto (de la escala

1,0 a 7,0) por cada día de atraso. Es decir, un informe con un día de atrasopuede optar a una nota máxima de 6,0, con dos días de atraso a un 5,0, etc.Informes con seis días de atraso o más, serán evaluados con nota 1,0.

– Si no se entrega alguna evaluación, el estudiante no cumple los requisitospara aprobar la asignatura.

– En las tareas o informes que se refieran a la resolución de ejercicios, elno responder un ejercicio no será evaluado con puntaje cero, sino que conun puntaje negativo igual en módulo al puntaje máximo del ejercicio encuestión. Por ejemplo, una tarea compuesta de tres ejercicios cada unocon un puntaje máximo de dos puntos, en la cual el último ejercicio no seresponde y los dos primeros ejercicios fueron correctamente respondidos,será evaluada con 2+2−2 = 2 puntos. Y no con 2+2+0 = 4 puntos.


• Copias y otros actos deshonestos similares se castigan con nota 1,0 en evaluaciónrespectiva.

• Sin perjuicio de lo anterior, se evaluará caso a caso si proceden sanciones may-ores.

• Cálculo de nota:

NP = 0,30 ·C1+0,40 ·C2+0,15 ·T 1+0,15 ·T 2;Si !S:

NF = NP;En otro caso:

NF = 0,6 ·NP+0,4 ·E;Si NF >= 3,95:

estudiante aprueba;


1 Introducción

1.1 Definiciones en sistemasProblema 1 (Análisis de sistemas). ¿Por qué queremos analizar sistemas?

Procesou: entradas y: salidas

Definición 1.1 (Proceso). Un proceso es una realidad física (o virtual) que exhibeun comportamiento temporal.

Definición 1.2 (Sistema). Un sistema es una abstracción de un proceso (o de unainterconexión de procesos) considerando objetivos de estudio.

Definición 1.3 (Señales). Una señal es una cantidad que varía en el tiempo y querepresenta cierta información sobre el estado del sistema.

• Definición 1.3.1 (Entradas). Una variable de entrada es una señal externa alsistema, que puede ser modificada arbitrariamente, pero que incide en el compor-tamiento del sistema. u(t) ∈ R, u(t) ∈ Rp,u(k) ∈ R, u(k) ∈ Rp.

• Definición 1.3.2 (Salidas). Una variable de salida es una señal que permiteevaluar u observar el comportamiento de un sistema en función de su objetivo.y(t) ∈ R, y(t) ∈ Rq, y(k) ∈ R, y(k) ∈ Rq.

• Definición 1.3.3 (Perturbaciones). Una perturbación es una señal externa alsistema, que NO puede ser modificada arbitrariamente, y que incide en el com-portamiento del sistema. p(t) ∈ R, p(t) ∈ Rr, p(k) ∈ R, p(k) ∈ Rr.

• Definición 1.3.4 (Variables de estado). El conjunto de variables de estadoson todas aquellas señales que definen totalmente la condición de un sistema.x(t) ∈ R, x(t) ∈ Rn, x(k) ∈ R, x(k) ∈ Rn.

• Definición 1.3.5 (Parámetros). Los parámetros son cantidades que fijan cier-tas características de un sistema sin representar información sobre el estado delproceso.

Definición 1.4 (Modelo). Un modelo es una representación funcional de un sis-tema.


Ejemplo 1.1 (Máquina sincrónica).

https://electricalfundablog.com/synchronous-motor/

Definición 1.5 (Clasificación de modelos).

• Definición 1.5.1 (Lineal). Un modelo es lineal si cumple con los principiosde superposición y homogeneidad. i.e. Un modelo y = H(u), con entradas u1 yu2 distintas, con respuestas respectivamente dadas por y1 = H(u1) e y2 = H(u2),es lineal sii:

H(u1 +u2) = y1 + y2 (superposición)

H(α ·u1) = α · y1 (homogeneidad)

con α ∈ R.

• Definición 1.5.2 (En tiempo continuo). Un modelo en tiempo continuo estal que las señales asociadas dependen de una variable t ∈ R continua que sedenomina "tiempo".

• Definición 1.5.3 (En tiempo discreto). Un modelo en tiempo continuo es talque las señales asociadas dependen de una variable k ∈ Z discreta que se denom-ina "tiempo".

• Definición 1.5.4 (En estados continuos). Un modelo en estados continuos estal que las variables de estado pertenecen a un espacio continuo. E.g. x ∈ Rn,x ∈ [0,20].

• Definición 1.5.5 (En estados discretos). Un modelo en estados discretos estal que las variables de estado pertenecen a un espacio continuo. E.g. x ∈ Zn,x ∈ [’ON’, ’OFF’].


https://electricalfundablog.com/synchronous-motor/

• Definición 1.5.6 (Estático). Un modelo es estático, si todas las señales asoci-adas son constantes en el tiempo.

• Definición 1.5.7 (Dinámico). Un modelo es dinámico, si alguna cantidad varíaen el tiempo.

• Definición 1.5.8 (Causal). Un modelo es causal, si el valor presente de todaslas señales no depende de sus valores futuros.

• Definición 1.5.9 (Tiempo invariante). Un modelo es tiempo invariante si susparámetros no dependen del tiempo.

• Definición 1.5.10 (Tiempo variante). Un modelo es tiempo variante si susparámetros dependen del tiempo.

• Definición 1.5.11 (Parámetros concentrados). Un modelo es de parámetrosconcentrados, si sus parámetros no dependen de la distribución espacial.

• Definición 1.5.12 (Parámetros distribuidos). Un modelo es de parámetros dis-tribuidos, si sus parámetros dependen de la distribución espacial, habitualmenteen términos diferenciales.

1.2 Modelación de fenómenos físicos1.2.1 Principios generales

Definición 1.6 (Modelos Fenomenológicos). Un modelo fenomenológico se ob-tiene haciendo un análisis de las leyes fundamentales que rigen el comportamientode los componentes de un sistema.

Definición 1.7 (Ecuaciones de balance).

∆P(t)∆t→ dP(t)

dt= Fe(t)−Fs(t)+Cg(t)−Cc(t)

Definición 1.8 (Principio de mínima acción).

J =∫ t2

t1L(x(t))dt

L(·): Lagrangiano en sistemas mecánicos = dif entre energía cinética y poten-cial.


Definición 1.9 (Modelos empíricos). Un modelo empírico se obtiene de la obser-vación directa de observar el comportamiento de un sistema al excitarlo externa-mente.

Ejemplo 1.2 (Máquina sincrónica). Swing equation:

Jdωr

dt= Tm−Te

1.2.2 Sistemas mecánicos

Ejemplo 1.3 (Péndulo).

• Sumatoria de torques:

Jθ = Tg +Tr +T

ml2θ =−mgl sin(θ)−dl2

θ +T


1.2.3 Sistemas electromecánicos

Ejemplo 1.4 (Motor DC).

• Circuito de armadura:

va(t) = Raia +Laddt

ia + ea.

• Conexión electromagnética:

ea = kφ ωm

Te = kφ ia

• Ecuaciones mecánicas:

J = JL + Jm

JαL = Te−TL−bωm

αL =ddt

ωm

1.2.4 Sistemas hidráulicos

Ejemplo 1.5 (Estanque).

• Flujo hidrostático:

q(t) = kv

√∆p(t)

ρ.

• Diferencial de presión:∆p(t) = ρgh(t)

• Balance de volumen:

dV (h)dt

=∂V (h)

∂hdhdt

= qin(t)−qout(t)


1.3 Ejercicios1.1.- Para las realidades físicas de las figuras más abajo,

(a) detalle distintos objetivos de estudio.

(b) identifique todas las cantidades de interés.

(c) clasifique las cantidades anteriores en términos de entradas, salidas, vari-ables de estados, etc.

(d) clasifique los modelos de los sistemas anteriores de acuerdo a lineal/no lin-eal, tiempo continuo/discreto, etc.

Biotrén: http://www.fesur.cl/biotren/

Procesador:https:

//www.spdigital.cl/products/view/54527

ENAP:https://es.wikipedia.org/wiki/Co

lumna_de_fraccionamiento

ARAUCO:https:

//en.wikipedia.org/wiki/Boiler

CAP:https:

//es.wikipedia.org/wik

i/Alto_horno

1.2.- Determine, describa, y clasifique los modelos matemáticos de las siguientes re-alidades físicas:

(a) un motor DC.

(b) un generador sincrónico.

(c) un transformador delta-estrella.

(d) un convertidor boost.

(e) un convertidor buck.

(f) un inversor fuente de voltaje.

(g) un motor jaula de ardilla.

(h) un motor sincrónico.

(i) una turbina eólica.

(j) una turbina hidráulica.

(k) una turbina a vapor.

(l) un panel solar.


http://www.fesur.cl/biotren/

https://www.spdigital.cl/products/view/54527

https://www.spdigital.cl/products/view/54527

https://es.wikipedia.org/wiki/Columna_de_fraccionamiento

https://es.wikipedia.org/wiki/Columna_de_fraccionamiento

https://en.wikipedia.org/wiki/Boiler

https://en.wikipedia.org/wiki/Boiler

https://es.wikipedia.org/wiki/Alto_horno



2 Modelos en el espacio de estados

2.1 Sistemas en tiempo continuo2.1.1 Ecuaciones de estado continuas

Ejemplo 2.1 (Circuito LCR).

v(t)

−+e(t)

L i(t)

C R

Definición 2.1 (Ecuación diferencial lineal). con m ∈ N, n ∈ N, y m < n:

dnydtn +an−1

dn−1ydtn−1 + · · ·+a1

dydt

+a0y = bmdmudtm +bm−1

dm−1udtm−1 + · · ·+b1

dudt

+b0u

Definición 2.2 (Forma canónica observable (SISO)). Con x ∈ Rn,

x =

−an−1 1 0 · · · 0−an−2 0 1 0

......

. . .−a1 0 0 1−a0 0 0 · · · 0

x+

bn−1bn−2

...b0

u

y =[1 0 0 · · · 0

]x


Definición 2.3 (Forma canónica controlable (SISO)).

x =

−an−1 −an−2 · · · −a1 −a0

1 0 · · · 0 00 1 0 0...

. . ....

0 1 0

x+

100...0

u

y =[bn−1 bn−2 · · · b0

]x

Definición 2.4 (Modelo Lineal de Estados continuos (MIMO)).

x = Ax+Bu+Epy = Cx+Du+Fp,

donde x ∈ Rn, u ∈ Rp, y ∈ Rq, p ∈ Rr.

∫+

A

C

E

B

D

F

+x(t)x(t) y(t)u(t)

p(t)

Definición 2.5 (Transformación de similitud). T ∈ Rn×n invertible (no singular)(de rango completo) (de rango n).

Si se define:x := Tx ⇐⇒ x = T−1x


Entonces,

˙x = Tx= TAx+TBu+TEp

= TAT−1x+TBu+TEp

y = CT−1x+Du+Ep

2.1.2 Solución de ecuaciones de estado continuas


e = Ldidt

+ v

i =Cdvdt

+ v/R

¿Y en el caso general?

x = Ax+Bu

Primero, es necesario saber que

ddt

eAt = AeAt = eAtA

donde

eAt := I+At +12!

A2t2 + ...+1k!

Aktk + ...=∞

∑k=0

1k!

Aktk

Pre-multiplicando por e−At se obtiene:

e−At x− e−AtAx = e−AtBu

Lo cual implica:ddt

e−Atx

= e−AtBu

Integrando:

e−Aτ x(τ)∣∣τ=tτ=t0

=∫ t

t0e−Aτ Bu(τ)dτ

Luego:

e−Atx(t)− e−A·t0x(t0) =∫ t

t0e−Aτ Bu(τ)dτ

Como(eAt)−1

= e−At ,

x(t) = eA(t−t0)x(t0)+ eAt∫ t

t0e−Aτ Bu(τ)dτ

= eA(t−t0)x(t0)+∫ t

t0eA(t−τ)Bu(τ)dτ


Verifiquemos (con t0 = 0):

x(t) =ddt

(eAtx(0)+ eAt

∫ t

0e−Aτ Bu(τ)dτ

)=

ddt

(eAtx(0)

)+

ddt

(eAt∫ t

0e−Aτ Bu(τ)dτ

)= AeAtx(0)+

(AeAt

∫ t

0e−Aτ Bu(τ)dτ + eAte−AtBu(t)

)= A

(eAtx(0)+ eAt

∫ t

0e−Aτ Bu(τ)dτ

)+Bu(t)

= Ax(t)+Bu(t).

Definición 2.6 (Matriz de transición de estados continua).

ΦΦΦ(t) = eAt

2.1.3 Solución numérica de ecuaciones de estado continuas

¿Cómo soluciona un software una ecuación diferencial?

Ejemplo 2.3 (Circuito LCR). Ejemplo en Matlab©.

1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%2 clc3 clear all4 close all5 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%6 global A B7

8 R = 100;9 L = 250e−03;

10 C = 0.5e−04;11

12 A = [0, −1/L;13 1/C, −1/(R*C)];14 B = [1/L; 0];15

16 Tini = 0;17 Tfin = 0.1;18 Tsim = 0.00001;19

20 ancho = 60;21 alto = 60;22 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%23 %respuesta homogEnea24 v0 = 10;25 i0 = v0/R;26 x0 = [i0;v0];


27

28 Te = Tini:Tsim:Tfin;29 ve = zeros(size(Te));30

31 [t,x] = ode45(@(t,x)f_LCR(t,x,ve,Te),Tini:Tsim:Tfin,x0');32 e = interp1(Te,ve,t);33

34 figure35 subplot(3,1,1)36 plot(t,e)37 grid38 ylabel('e')39 subplot(3,1,2)40 plot(t,x(:,1))41 grid42 ylabel('i')43 subplot(3,1,3)44 plot(t,x(:,2))45 grid46 ylabel('v')47

48 set(gcf,'PaperUnits','centimeters','PaperPosition',[0 0 ...ancho alto]); %[0 0 ancho alto]

49 print('−depsc','−r200','LCRhomogenea.eps') % FunciOn para ...guardar .eps

50

51 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%52 %respuesta forzada53 v0 = 0;54 i0 = 0;55 x0 = [i0;v0];56 e0 = 0;57 ee = 10;58 te = 0.02;59

60 Te = Tini:Tsim:Tfin;61 ve = e0*ones(size(Te));62 for kk=1:length(Te),63 if Te(kk)≥te,64 ve(kk) = ee;65 end66 end67

68 [t,x] = ode45(@(t,x)f_LCR(t,x,ve,Te),Tini:Tsim:Tfin,x0');69 e = interp1(Te,ve,t);70

71 figure72 subplot(3,1,1)73 plot(t,e)74 grid75 ylabel('e')76 subplot(3,1,2)77 plot(t,x(:,1))78 grid79 ylabel('i')80 subplot(3,1,3)


81 plot(t,x(:,2))82 grid83 ylabel('v')84 set(gcf,'PaperUnits','centimeters','PaperPosition',[0 0 ...

ancho alto]); %[0 0 ancho alto]85 print('−depsc','−r200','LCRforzada.eps') % FunciOn para ...

guardar .eps

1 function dx = f_LCR(t,x,ve,Te)2 global A B3

4 ek = interp1(Te,ve,t);5

6 dx = A*x + B*ek;

Respuesta Homogénea:

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

e

-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

i

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

v

-5

0

5

10


Respuesta forzada:

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

e

0

2

4

6

8

10

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

i

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

v

-5

0

5

10

15

2.1.4 Convergencia de solución

Ejemplo 2.4 (Ecuación de primer orden). Sea x : R+0 7→ R, con x(0) = x0 tal que

x = ax+b.

Solución candidata: x(t) = Ae−t/τ +B.

Matriz diagonalizable: A = Tdiagλini=1 T−1, con λi ∈ eigA.

E.g. [−1/4 −1/2

3/8 −5/4

]=

[1 2

1/2 3

][−1/2 0

0 −1

][1 2

1/2 3

]−1

Forma canónica de Jordan1: A = TJJT−1J . E.g.

J =

λ1 0 0 0 0 00 λ2 1 0 0 00 0 λ2 0 0 00 0 0 λ3 1 00 0 0 0 λ3 10 0 0 0 0 λ3

1https://en.wikipedia.org/wiki/Camille_Jordan


https://en.wikipedia.org/wiki/Camille_Jordan

Propiedad de la exponencial:

eAt = eTJT−1t = TeJtT−1

Función matricial de un bloque de Jordan:

f (Ji) = f

λ 1 0 · · · 00 λ 1 · · · 0...

.... . . . . .

...0 0 0 λ 10 0 0 0 λ

=

f (λ ) ∂ f∂λ

(λ ) 12

∂ 2 f∂λ 2 (λ ) · · · 1

(n−1)!∂ n−1 f∂λ n−1 (λ )

0 f (λ ) ∂ f∂λ

(λ ) · · · 1(n−2)!

∂ n−2 f∂λ n−2 (λ )

......

. . . . . ....

0 0 0 f (λ ) ∂ f∂λ

(λ )0 0 0 0 f (λ )

Para la función exponencial entonces:

eJit =

eλ t teλ t t2

2 eλ t · · · tn−1

(n−1)! eλ t

0 eλ t teλ t · · · tn−2

(n−2)! eλ t

......

. . . . . ....

0 0 0 eλ t teλ t

0 0 0 0 eλ t

Convergencia:

limt→+∞

eJt = 0

realλ

imagλ


2.1.5 Dicretización

¿Y si observamos el proceso cada T > 0 instantes solamente?Muestreador retentor:

t=kT

∀t ∈ [kT,(k+1)T ], la respuesta en el tiempo es:

x(t) = eA(t−kT )x(kT )+∫ t

kTeA(t−τ)Bu(τ)dτ

= eA(t−kT )x(kT )+(∫ t

kTeA(t−τ)Bdτ

)u(kT )

Evaluando en el instante t = (k+1)T ,

x((k+1)T ) = eAT x(kT )+(∫ T

0eA(T−σ)Bdσ

)u(kT )

Entonces,

x((k+1)T ) = eAT x(kT )+(∫ T

0eA(T−σ)Bdσ

)u(kT )

ys(kT ) = Cx(kT )+Du(kT )



v(t)

−+e(t)

L i(t)

C R

Entrada escalón discreta:

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

e

0

2

4

6

8

10

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

i

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

v

-5

0

5

10

15


Entrada rampa continua:

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

e

0

2

4

6

8

10

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

i

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

v

-5

0

5

10

15

Entrada rampa discreta:

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

e

0

2

4

6

8

10

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

i

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

v

-5

0

5

10

15


Valores propios de la exponencial:

Av = λv

eAT v =

(∞

∑k=0

1k!

AkT k

)v

=∞

∑k=0

1k!

T kAkv

=∞

∑k=0

1k!

T kλ

kv

= eT λ v

Si λ ∈ R: eT λ > 0.

Si λ = σ + ω ∈ C: eT λ = eT σ (cos(T ω)+ sin(T ω)).

Ejemplo 2.6 (Sistema discreto con polo negativo).

x(k+1) =−12

x(k)

2.2 Sistemas en tiempo discreto2.2.1 Ecuaciones de estado discretas

Representación de sistemas en el dominio de tiempo discreto.

Definición 2.7 (Ecuación de diferencias lineal). con m ∈ N, n ∈ N, y m < n:

y(k+n)+an−1y(k+n−1)+ · · ·+a1y(k+1)+a0y(k) =

bmu(k+m)+bm−1u(k+m−1)+ · · ·+b1u(k+1)+b0u(k)

Definición 2.8 (Modelo Lineal de Estados discretos (MIMO)).

x(k+1) = Ax(k)+Bu(k)+Ep(k)y(k) = Cx(k)+Du(k)+Fp(k),

donde x(k) ∈ Rn, u(k) ∈ Rp, y(k) ∈ Rq, p(k) ∈ Rr.


∆+

A

C

E

B

D

F

+x(k)x(k+1) y(k)u(k)

p(k)

2.2.2 Solución de ecuaciones de estado discretas

Sistema, ∀k ∈ N0:

x(k+1) = Ax(k)+Bu(k)

Condición inicial x(0) = x0 y u(0) = u0:

x(1) = Ax(0)+Bu(0) = Ax0 +Bu0

x(2) = Ax(1)+Bu(1) = A2x0 +ABu(0)+Bu(1)

x(3) = Ax(2)+Bu(2) = A3x0 +A2Bu(0)+ABu(1)+Bu(2)

x(4) = Ax(3)+Bu(3) = A4x0 +A3Bu(0)+A2Bu(1)+ABu(2)+Bu(3)... =

...

Solución candidata:

x(k) = Akx0 +k−1

∑i=0

Ak−1−iBu(i)


Verificar:

x(k+1) = Ak+1x0 +k

∑i=0

Ak−iBu(i)

= AAkx0 +

(k−1

∑i=0

Ak−iBu(i)

)+Ak−kBu(k)

= AAkx0 +A

(k−1

∑i=0

Ak−1−iBu(i)

)+Bu(k)

= A

(Akx0 +

k−1

∑i=0

Ak−1−iBu(i)

)+Bu(k)

= Ax(k)+Bu(k)

Definición 2.9 (Matriz de transición de estados discreta).

ΦΦΦ(k) = Ak

2.2.3 Convergencia de solución

Ejemplo 2.7 (Ecuación de primer orden). Sea x : Z+0 7→ R, con x(0) = x0 tal que

x(k+1) = ax(k)+b.

Solución candidata: x(k) = ACk +B.

Descomposición de Jordan: A = TJJT−1J :

Ak =(TJJT−1

J)k

= TJJT−1J TJJT−1

J · · ·TJJT−1J︸︷︷︸

k veces

= TJJkT−1J

Función de un bloque de Jordan:

Jki =

λ k kλ k−1 k(k−1)

2 λ k−2 · · · k!(k−n+1)!(n−1)! λ k−n+1

0 λ k kλ k−1 · · · k!(k−n+2)!(n−1)! λ k−n+2

......

. . . . . ....

0 0 0 λ k kλ k−1

0 0 0 0 λ k

Convergencia:

limk→+∞

Jk = 0


realλ

imagλ

2.3 Sistemas no lineales2.3.1 Modelos no lineales

Definición 2.10 (Sistema no lineal invariante en tiempo continuo).

x(t) = f(x(t),u(t),p(t))y(t) = h(x(t),u(t),p(t))

f(x(t),u(t),p(t)) =

f1(x(t),u(t),p(t))f2(x(t),u(t),p(t))

...fn(x(t),u(t),p(t))

h(x(t),u(t),p(t)) =

h1(x(t),u(t),p(t))h2(x(t),u(t),p(t))

...hq(x(t),u(t),p(t))

Definición 2.11 (Punto de equilibrio tiempo continuo). (xo,uo,po) es un puntode equilibrio en tiempo continuo sii

0 = f(xo,uo,po)


Definición 2.12 (Sistema no lineal invariante en tiempo discreto).

x(k+1) = f(x(k),u(k),p(k))y(k) = h(x(k),u(k),p(k))

Definición 2.13 (Punto de equilibrio tiempo discreto). (xo,uo,po) es un punto deequilibrio en tiempo discreto sii

xo = f(xo,uo,po)

Punto de equilibrio v/s punto de operación v/s punto de operación nominal

2.3.2 Series de Taylor

Teorema 2.1 (Taylora).

f (x) = f (xo)+

(∂ f (x)

∂x

∣∣∣∣x=xo

)(x− xo)+

12!

(∂ 2 f (x)

∂x2

∣∣∣∣x=xo

)(x− xo)

2 + . . .

=∞

∑n=0

1n!

(∂ n f (x)

∂xn

∣∣∣∣x=xo

)(x− xo)

n

ahttps://en.wikipedia.org/wiki/Brook_Taylor

0.5 1 1.5 2 2.50

10

20

30

40

50

f(x)T

1(x)

T2(x)

T3(x)

1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9 1.95 22.5

3

3.5

4

4.5

5

f(x)T

1(x)

T2(x)

T3(x)

Si |x− xo| 1, entonces se pueden despreciar los valores de orden superior y


https://en.wikipedia.org/wiki/Brook_Taylor

tenemos:

f (x)≈ f (xo)+

(∂ f (x)

∂x

∣∣∣∣x=xo

)∆x

donde ∆x = x− xo.Aplicando a un sistema en tiempo continuo tenemos:

∆x = x− xo

= x

= f (x)

≈ f (xo)+

(∂ f (x)

∂x

∣∣∣∣x=xo

)∆x

=

(∂ f (x)

∂x

∣∣∣∣x=xo

)∆x

Y en un sistema en tiempo discreto:

∆x(k+1) = x(k+1)− xo

= f (x(k+1))− f (xo)

≈

(∂ f (x)

∂x

∣∣∣∣x=xo

)∆x

2.3.3 Linealización por serie de Taylor

En general, aplicando el procedimiento en cada una de las direcciones:

∆x = A∆x+B∆u+E∆p∆y = C∆x+D∆u+F∆p

∆x(k+1) = A∆x(k)+B∆u(k)+E∆p(k)∆y(k) = C∆x(k)+D∆u(k)+F∆p(k)

son aproximaciones lineales de los sistemas no lineales descritos anteriormente paratiempo continuo o discreto, donde ∆x= x−xo, ∆u= u−uo, ∆p= p−po, y ∆y= y−yoson variaciones de las variables con respecto al punto de operación; y con:

A = ∇xf∣∣∣∣x=xou=uop=po

=∂ f∂x

∣∣∣∣x=xou=uop=po

=

∂ f1∂x1

∂ f1∂x2

· · · ∂ f1∂xn

∂ f2∂x1

∂ f2∂x2

· · · ∂ f2∂xn

......

. . ....

∂ fn∂x1

∂ fn∂x2

· · · ∂ fn∂xn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x=xou=uop=po


B = ∇uf∣∣∣∣x=xou=uop=po

=∂ f∂u


=

∂ f1∂u1

∂ f1∂u2

· · · ∂ f1∂up

∂ f2∂u1

∂ f2∂u2

· · · ∂ f2∂up

......

. . ....

∂ fn∂u1

∂ fn∂u2

· · · ∂ fn∂up

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x=xou=uop=po

E = ∇pf∣∣∣∣x=xou=uop=po

=∂ f∂p


=

∂ f1∂ p1

∂ f1∂ p2

· · · ∂ f1∂ pr

∂ f2∂ p1

∂ f2∂ p2

· · · ∂ f2∂ pr

......

. . ....

∂ fn∂ p1

∂ fn∂ p2

· · · ∂ fn∂ pr


C = ∇xh∣∣∣∣x=xou=uop=po

=∂h∂x


=

∂h1∂x1

∂h1∂x2

· · · ∂h1∂xn

∂h2∂x1

∂h2∂x2

· · · ∂h2∂xn

......

. . ....

∂hq∂x1

∂hq∂x2

· · · ∂hq∂xn


D = ∇uh∣∣∣∣x=xou=uop=po

=∂h∂u


=

∂h1∂u1

∂h1∂u2

· · · ∂h1∂up

∂h2∂u1

∂h2∂u2

· · · ∂h2∂up

......

. . ....

∂hq∂u1

∂hq∂u2

· · · ∂hq∂up

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x=xou=uop=po

F = ∇ph∣∣∣∣x=xou=uop=po

=∂h∂p


=

∂h1∂ p1

∂h1∂ p2

· · · ∂h1∂ pr

∂h2∂ p1

∂h2∂ p2

· · · ∂h2∂ pr

......

. . ....

∂hq∂ p1

∂hq∂ p2

· · · ∂hq∂ pr

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x=xou=uop=po


Ejemplo 2.8 (Buck).

v(t)

e(t)

Sw L i(t)

C R

Modelo con estados discretos (Sw ∈ 0,1):

didt

=1L

Sw · e− 1L

v

dvdt

=1C

i− 1RC

v

Modelo promedio:

didt

=1L

u · e− 1L

v

dvdt

=1C

i− 1RC

v

Modelo linealizado:

d∆idt

=1L

uo ·∆e+1L

eo ·∆u− 1L

∆v

d∆vdt

=1C

∆i− 1RC

∆v


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

e

10

10.2

10.4

10.6

10.8

11

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

d

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

i

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

v

0

2

4

6

8

10


2.4 Ejercicios2.1.- Considere que H(t) = 1, cuando t ≥ 0 y H(t) = 0, cuando t < 0. Encuentre las

respuestas homogénea y forzada de las siguientes ecuaciones diferenciales antecondiciones iniciales arbitrarias. Analice su convergencia.

a) ddt y(t)+ y(t) = H(t)+a, a > 0

b) d2

dt2 y(t)+ y(t) = H(t)+a, a > 0

c) d3

dt3 y(t)+ y(t) = H(t)+a, a > 0

d) ddt y(t) + y(t) = asin(ωt), a > 0,ω > 0

e) ddt y(t)+ y(t) = ae−σt , a > 0, σ > 0

f) ddt y(t)+2y(t) = 10H(t)

g) ddt y(t)+2y(t) = 10H(t−2)

h) ddt y(t)+2y(t) = d

dt H(t)

i) ddt y(t)+ y2(t) = H(t)

j) ddt y(t)+ |y(t)|y(t) = H(t)

2.2.- Considere que H(k) = 1, cuando k ≥ 0 y H(k) = 0, cuando k < 0. Encuentre lasrespuestas homogénea y forzada de las siguientes ecuaciones de diferencias antecondiciones iniciales arbitrarias. Analice su convergencia.

a) y(k+1)+ 12 y(k) = H(k)

b) y(k+1)+ 32 y(k) = H(k)

c) y(k+1)+ y(k) = H(k)+a, a > 0d) y(k+2)+ y(k) = H(k)+a, a > 0e) y(k+3)+ y(k) = H(k)+a, a > 0f) y(k+ 1)+ y(k) = asin(Ωk), a > 0,

Ω > 0

g) y(k+1)+y(k) = ae−σk, a > 0, σ >0

h) y(k+1)+ay(k) = H(k−1), a > 0

i) y(k+1)+ay(k) = H(k+1), a > 0

j) y(k+1)+ay(k) =H(k)−H(k−1),a > 0

k) y(k+1)+ y2(k) = 0

2.3.- Esboce las gráficas temporales de las funciones y(t) ó y(k) encontradas en losapartados anteriores.

2.4.- Exprese las ecuaciones de los apartados anteriores en la forma x(t) = Ax(t)+Bu(t) ó x(k+1) = Ax(k)+Bu(k) según corresponda.

2.5.- Encuentre los valores propios de las matrices de estado resultantes en el apartadoanterior y grafíquelos en el plano complejo.

2.6.- Encuentre la forma canónica de Jordan de las matrices de estado resultantes en elapartado anterior.

2.7.- Repita todo lo anterior para

a) x(t) =[−4 12 −3

]x(t)+

[12

]H(t), y(t) =

[4 10

]x(t)+H(t).

b) x(t) =[

4 12 3

]x(t)+

[12

]H(t), y(t) =

[4 10

]x(t)+H(t).


c) x(k+1) =[−4 12 −3

]x(k)+

[12

]H(k), y(k) =

[4 10

]x(k)+H(k).

d) x(k+1) =[

0,4 1,00 0,3

]x(k)+

[12

]H(k), y(k) =

[4 10

]x(k)+H(k).

2.8.- Para una matriz arbitraria A ∈Rn×n, considerando que los valores (λ ) y vectores(v) propios cumplen con Av = λv, demuestre los siguientes enunciados:

a) si T ∈ Cn×n es invertible, entonces(TAT−1)k

= TAkT−1, ∀k ∈ N (ayuda:use inducción).

b) si λ ∈ eigA, entonces kλ ∈ eigkA, ∀k ∈ R (ayuda: use Av = λv).

c) si T ∈ Cn×n es invertible y λ ∈ eigA, entonces λ ∈ eig

TAT−1 (ayuda:use w = Tv).

d) si λ ∈ eigA, entonces λ m ∈ eigAm, ∀m ∈ N0 (ayuda: use inducción).

e) si v es un vector propio de A y de B, entonces v es un vector propio de A+B.

2.9.- Utilice la definición de la función exponencial matricial para demostrar los sigu-ientes enunciados:

a) eTAT−1= TeAT−1

b) ddt eAt = AeAt = eAtA

c) λ ∈ eigA =⇒ eλ ∈ eig

eAd) si v es un vector propio de A, entonces v es también un vector propio de eA.

e) si T ∈ Cn×n es invertible, entonces eTAT−1= TeAT−1.

2.10.- Determine las matrices de transición discretas y continuas de las siguientes ma-trices:

a) A =

[a11 00 a22

]b) A =

[0 a12

a21 0

]c) A =

[0 1−1 0

]2.11.- Encuentre los valores propios de las siguientes matrices y grafíquelos en el plano

complejo.

a) A =

[a bc d

], con a, b, c, d ⊂ R.

b) A =

[σ ω

−ω σ

], con σ , ω ⊂ R

c) A =

a b c0 1 ω

0 −ω 1

, con a, b, c, ω ⊂ R y a > 0


d) A =

λ1 a b c0 λ2 d e0 0 λ3 f0 0 0 λ4

, con a, b, c, d, e, f ⊂ R.

e) A =

λ1 1 a b0 λ1 c d0 0 λ2 00 0 1 λ2

, con a, b, c, d ⊂ R.

2.12.- Encuentre los sistemas equivalentes en tiempo discreto de los siguientes sistemasen tiempo continuo.

a) ddt y(t)+ y(t) = u(t)

b) d2

dt2 y(t)+ y(t) = u(t)

c) d3

dt3 y(t)+ y(t) = u(t)

d) ddt y(t)+2y(t) = 10u(t)

e) ddt y(t)+2y(t) = 10u(t−2)

f) x(t) =

[0 ab c

]x(t) +

[10

]u(t),

y(t) =[1 0

]x(t)+u(t).

2.13.- Linealice los siguientes sistemas en torno a un punto de operación

a) ddt y(t)+ y2(t) = u(t)

b) ddt y(t)+ |y(t)|y(t) = u(t)

c) ddt y(t)+ sin(y(t)) = u(t)

d) ddt y(t)+u(t)sin(y(t)) = 0

e) y(k+1)+ y2(k) = u(k)

f) y(k+1)+ y(k)u(k) = 0

g) y(k+1)+ y(k)ea·u(k) = 0


3 Señales

3.1 Señales como funciones

Definición 3.1 (Soporte). El soporte de una señal x(t) son los intervalos de tiempodonde la señal no es idénticamente nula. D(x(t)) = t ∈ R|x(t) 6= 0.

• Definición 3.1.1 (Soporte positivo). Una señal tiene soporte positivo si D =R+

• Definición 3.1.2 (Soporte negativo). Una señal tiene soporte negativo si D =R−

Definición 3.2 (Simetría). Una señal es simétrica (o par) si x(t) = x(−t).

Definición 3.3 (Antisimetría). Una señal es antisimétrica (o impar) si x(t) =−x(−t).

Definición 3.4 (Periocidad). Una señal es períodica de período T > 0 si x(t) =x(t + k ·T ), ∀k ∈ Z.

Definición 3.5 (Ortogonalidad). Dos señales x1(t) y x2(t), son ortognales en [a,b]sii

< x1(t),x2(t)>=∫ b

ax1(t)x2(t)dt = 0

3.2 Señales importantes3.2.1 Tiempo continuo

Considere las señales:Hε(t) :=

11+ e−2t/ε

δε(t) :=ddt

Hε(t) =2ε

1e2t/ε +2+ e−2t/ε

.


-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

epsilon = 0.200epsilon = 0.100epsilon = 0.050epsilon = 0.025

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

epsilon = 0.200epsilon = 0.100epsilon = 0.050epsilon = 0.025

Definición 3.6 (Señales de prueba continuas).

• Definición 3.6.1 (Impulso (delta de Diraca)).

δ (t) =

0 , t 6= 0+∞ , t = 0

t

f (t)

δ (t) δ (t− t0)

• Definición 3.6.2 (Escalón (Función de Heavysideb)).

H(t) =

1 , t ≥ 00 , t < 0

t

f (t)H(t− t0)


• Definición 3.6.3 (Rampa).

r(t) =

t , t ≥ 00 , t < 0

t

f (t)r(t− t0)

ahttps://en.wikipedia.org/wiki/Paul_Diracbhttps://en.wikipedia.org/wiki/Oliver_Heaviside

Notar que:ddt

r(t) = H(t)ddt

H(t) = δ (t)

r(t) =∫ t

−∞

H(τ)dτ H(t) =∫ t

−∞

δ (τ)dτ

Definición 3.7 (Otras señales habituales).

• Definición 3.7.1 (Exponencial).

f (t) = e(σ+ω)t = eσt (cos(ωt)+ sin(ωt))

• Definición 3.7.2 (Sinusoidal).

f (t) = Asin(ωt +φ) = Asin(2π f · t +φ)


https://en.wikipedia.org/wiki/Paul_Dirac

https://en.wikipedia.org/wiki/Oliver_Heaviside

3.2.2 Tiempo discreto

Definición 3.8 (Señales de prueba discretas).

• Definición 3.8.1 (Impulso discreto).

δ (k) =

0 , k 6= 01 , k = 0

k

f (k)

δ (k) δ (k− k0)

• Definición 3.8.2 (Escalón discreto).

H(k) =

1 , k ≥ 00 , k < 0

k

f (k)H(k− k0)


• Definición 3.8.3 (Rampa discreta).

r(k) =

k , k ≥ 00 , k < 0

k

f (k)

r(k− k0)

Notar que:r(k+1)− r(k) = H(k) H(k+1)−H(k) = δ (k)

r(k) =k

∑i=0

H(k− i−1) H(k) =k

∑i=0

δ (k− i)

Muestreador ideal:

y(k) =∞

∑i=0

y(iT )δ (k− i)

Retentor:

y(t) =∞

∑i=0

y(i)(H(t− iT )−H(t− iT −T ))

Definición 3.9 (Otras señales habituales).

• Definición 3.9.1 (Exponencial muestreada).

f (k) = e(σ+ω)T k = eσT k (cos(ωT k)+ sin(ωT k))

• Definición 3.9.2 (Sinusoidal muestreada).

f (k) = Asin(ωT k+φ) = Asin(2π f ·T k+φ)


-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1

Teorema 3.1 (Muestreo de Nyquista). Si la frecuencia más alta de una señalperíodica análoga f (t) es fmax, y la señal se muestreea a una frecuencia fmuestreo =1/T > 2 fmax, entonces la señal f (t) se puede recuperar totalmente a partir de lasmuestras.

ahttps://en.wikipedia.org/wiki/Harry_Nyquist

3.3 Transformaciones en el dominio del tiempo3.3.1 Transformaciones simples

Transformación sobre variable dependiente

f (t) 7→ α f (t)+β

• |α|> 1: Amplificación.

• |α|< 1: Atenuación.

• α < 0: Reflexión con respecto al eje g(t) = β .

• β > 0: corrimiento hacia arriba.

• β < 0: corrimiento hacia abajo.

• α = 1/( fmax− fmin) y β =− fmin/( fmax− fmin): Normalización de recorrido.


https://en.wikipedia.org/wiki/Harry_Nyquist

Transformación sobre variable independiente

f (t) 7→ f (at +b)

• |a|> 1: Compresión.

• |a|< 1: Dilación.

• a < 0: Reflexión con respecto al eje t = b.

• b > 0 y a > 0: desplazamiento a la izquierda.

• b < 0 y a > 0: desplazamiento a la derecha.

3.3.2 Convolución

Definición 3.10 (Convolución continua).

f (t)∗g(t) =∫ +∞

−∞

f (t− τ)g(τ)dτ = h(t)

Si g(t) tiene soporte positivo:

f (t)∗g(t) =∫ +∞

−∞

f (t− τ)g(τ)dτ

=∫ 0

−∞

f (t− τ)g(τ)dτ +∫ +∞

0f (t− τ)g(τ)dτ

=∫ +∞


Si f (t) tiene soporte positivo:

f (t)∗g(t) =∫ +∞

−∞

f (t− τ)g(τ)dτ

=−∫ −∞

+∞

f (x)g(t− x)dx, x = t− τ

=∫ +∞

−∞

f (x)g(t− x)dx

=∫ +∞

0f (x)g(t− x)dx

=−∫ −∞

tf (t− τ)g(τ)dτ

=∫ t

−∞

f (t− τ)g(τ)dτ

Si g(t) y f (t) tienen soporte positivo:

f (t)∗g(t) =∫ +∞

−∞

f (t− τ)g(τ)dτ

=∫ t



Propiedades de la convolución continua

• Conmutatividad: f (t)∗g(t) = g(t)∗ f (t).

f (t)∗g(t) =∫ +∞

−∞

f (t− τ)g(τ)dτ

=∫ +∞

−∞

f (x)g(t− x)dx

=∫ +∞

−∞

g(t− x) f (x)dx

= g(t)∗ f (t)

• Distributividad con respecto a la suma: f (t)∗ (g(t)+h(t)) = f (t)∗g(t)+ f (t)∗h(t).

• Asociatividad: f (t)∗ (g(t)∗h(t)) = ( f (t)∗g(t))∗h(t).

• Convolución con un impulso desplazado:

f (t)∗δ (t− t0) =∫ +∞

−∞

f (t− τ)δ (τ− t0)dτ

=∫ +∞

−∞

f (t−σ − t0)δ (σ)dσ

=∫ +∞

−∞

f (t− t0)δ (σ)dσ

= f (t− t0)∫ +∞

−∞

δ (σ)dσ

= f (t− t0)

• Convolución con escalón:

f (t)∗H(t) =∫ +∞

−∞

f (t− τ)H(τ)dτ

=∫ +∞

0f (t− τ)1dτ

=−∫ −∞

tf (σ)dσ

=∫ t

−∞

f (σ)dσ


Definición 3.11 (Convolución discreta).

f (k)∗g(k) =+∞

∑i=−∞

f (k− i)g(i)

3.4 Transformada de LaplaceUna integral converge de forma simple si∣∣∣∣∫−∞

+∞ f (t)dt∣∣∣∣< M < ∞.

Definición 3.12 (Transformada de Laplacea).

L f (t)= F(s) =∫ +∞

0f (t)e−stdt

con f (t) ∈ R, t ∈ R+ y s = σ + ω ∈ C.

ahttps://en.wikipedia.org/wiki/Pierre-Simon_Laplace

Notar que la función F(σ + ω) converge sólo para algunos valores de s = σ + ω ∈C.

La abscisa de convergencia absoluta es el valor σc para el cual se cumple que L f (t)converge ∀σ > σc. (define el dominio de la función f (s)).

Ejemplo 3.1 (Transformadas básicas).

• L δ (t)= 1

• L H(t)= 1/s

• L r(t)= 1/s2

• L e−at= 1/(s+a)

Definición 3.13 (Transformada de Laplace inversa).

f (t) = L −1 F(s)= 12π

limω→∞

∫ c1+ω

c1−ωf (s)etsds

con c1 > σc


https://en.wikipedia.org/wiki/Pierre-Simon_Laplace

Ejemplo 3.2 (Fracciones Parciales).

L −1

as(s+a)

= H(t)− e−atH(t)

Definición 3.14 (Transformada de Laplace bilateral).

L2 f (t)=∫ +∞

−∞

f (t)e−stdt

con f (t) ∈ R, t ∈ R+ y s = σ + ω ∈ C.

Linealidad:

L α f1(t)+β f2(t)=∫ +∞

0(α f1(t)+β f2(t))e−stdt

= α

∫ +∞

0f1(t)e−stdt +β

∫ +∞

0f2(t)e−stdt

L α f1(t)+β f2(t)= αF1(s)+βF2(s)

Escalamiento en el tiempo:

L f (at)=∫ +∞

0f (at)e−stdt, τ = at =⇒ dτ = adt

=1a

∫ +∞

0f (τ)e−(s/a)τ dτ

L f (at)= 1a

F(s/a)

Desplazamiento en el tiempo:

L f (t−a)=∫ +∞

0f (t−a)e−stdt, τ = t−a =⇒ dτ = dt

=∫ +∞

0f (τ)e−s(τ+a)dt

=∫ +∞

0f (τ)e−sτ e−sadt

= e−sa∫ +∞

0f (τ)e−sτ dt

L f (t−a)= e−saF(s)


Desplazamiento en frecuencia:

L

f (t)e−at= ∫ +∞

0f (t)e−ate−stdt

=∫ +∞

0f (t)e−(a+s)tdt

L

f (t)e−at= F(s+a)

Derivación en el tiempo:

L f (t)=∫ +∞

0f (t)e−stdt

=∫ +∞

0f (t)

ddt

(−1

se−st

)dt

Regla de la cadena ("un valiente soldado vestido de uniforme"):∫u

dvdt

dt = uv−∫

vdudt

dt

Luego,

L f (t)= f (t)(−1

se−st

)∣∣∣∣+∞

0−∫ +∞

0

(−1

se−st

)d fdt

dt

=1s

f (0)+1s

∫ +∞

0

d fdt

e−stdt

=1s

f (0)+1sL

d fdt

Por lo tanto, si f (0) = 0,

L

d fdt

= sF(s)

Repitiendo el proceso:

L

dn fdtn

= snF(s)


Integración en el tiempo:

L f (t)=∫ +∞

0f (t)e−stdt

=∫ +∞

0e−st d

dt

(∫ t

0f (τ)dτ

)dt

= e−st∫ t

0f (τ)dτ

∣∣∣∣+∞

0−∫ +∞

0

(∫ t

0f (τ)dτ

)ddt

(e−st)dt

= (0−0)+ s∫ +∞

0

(∫ t

0f (τ)dτ

)e−stdt

= sL∫ t

0f (τ)dτ

L

∫ t

0f (τ)dτ

=

1s

F(s)

Derivación en frecuencia:

dnF(s)dsn =

dn

dsn

∫ +∞

0f (t)e−stdt

=∫ +∞

0f (t)

(dn

dsn e−st)

dt

=∫ +∞

0f (t)((−1)ntn)e−stdt

= (−1)n∫ +∞

0tn f (t)e−stdt

L tn f (t)= (−1)n dnF(s)dsn

Integración en frecuencia:∫ +∞

wF(s)ds =

∫ +∞

w

(∫∞

0f (t)e−stdt

)ds

=∫

∞

0f (t)

(∫ +∞

we−stds

)dt

=∫

∞

0

f (t)−t

e−st ∣∣+∞

w dt

=∫

∞

0

f (t)t

e−wtdt

L f (t)/t=∫ +∞

sF(w)dw


Teorema del valor inicial:

L

d fdt

+ f (0) = sL f (t)∫ +∞

0

d fdt

e−stdt + f (0) = sL f (t)

lims→+∞

(∫ +∞

0

d fdt

e−stdt + f (0))= lim

s→+∞(sL f (t))

f (0) = lims→+∞

(sF(s))

Teorema del valor final:

L

d fdt

+ f (0) = sL f (t)∫ +∞

0

d fdt

e−stdt + f (0) = sL f (t)

lims→0

(∫ +∞

0

d fdt

e−stdt + f (0))= lim

s→0(sL f (t))∫ +∞

0

d fdt

dt + f (0) = lims→0

(sL f (t))

limt→+∞

f (t)− f (0)+ f (0) = lims→0

(sL f (t))

limt→+∞

f (t) = lims→0

(sF(s))

Trenes de señales:

L

∞

∑i=0

f (t− iT )

=∫ +∞

0

(∞

∑i=0

f (t− iT )

)e−stdt

=∞

∑i=0

∫ +∞

0f (t− iT )e−stdt

=∞

∑i=0

e−siT L f (t)

= L f (t)∞

∑i=0

e−siT

L

∞

∑i=0

f (t− iT )

= F(s)

11− e−sT


Convolución:

L f (t)∗g(t)=∫ +∞

0

(∫ +∞

0g(t− τ) f (τ)dτ

)e−stdt

=∫ +∞

0

∫ +∞

0g(t− τ)e−stesτ f (τ)e−sτ dtdτ , σ = t− τ

=∫ +∞

0

∫ +∞

0g(σ)e−sσ f (τ)e−sτ dσdτ

=∫ +∞

0g(σ)e−sσ dσ

∫ +∞

0f (τ)e−sτ dτ

L f (t)∗g(t)= F(s)G(s)

Modulación:

L f (t)g(t)=∫ +∞

0f (t)g(t)e−stdt

=∫ +∞

0f (t)

(1

2π

∫ c1+∞

c1−∞G(w) · ewtdw

)e−stdt

=1

2π

∫ c1+∞

c1−∞

∫ +∞

0f (t)ewte−stdtG(w)dw

=1

2π

∫ c1+∞

c1−∞

∫ +∞

0f (t)e−(s−w)tdtG(w)dw

L f (t)g(t)= 12π

∫ c1+∞

c1−∞F(s−w)G(w)dw

3.5 Transformada ZLa suma de una progresión geométrica:

∞

∑k=0

rk = 1+ r+ r2 + r3 + ...= limn→∞

11− rn

1− r=

11− r

converge sólo si |r|< 1, con r ∈ C. Además,(1

1− r

)2

=

(∞

∑k=0

rk

)2

=∞

∑k=0

rk∞

∑i=0

ri =∞

∑k=0

(rk

∞

∑i=0

ri

)= 1(1+ r+ r2 + ...)+ r(1+ r+ r2 + ...)+ r2(1+ r+ r2 + ...)+ ...

= 1+2r+3r2 +4r3 + ...

=∞

∑k=0

(k+1)rk


Definición 3.15 (Transformada Z).

Z f (kT )= F(z) =∞

∑k=0

f (kT )z−k

con f (kT ) ∈ R, k ∈ N0, z = u+ v ∈ C.

Ejemplo 3.3 (Transformadas básicas).

• Z δ (kT )= 1

• Z H(kT )= 1/(1− z−1)

• Z r(kT )= T z−1/(1− z−1)2

• Z

e−aT k= 1/(1− e−aT z−1)

Definición 3.16 (Transformada Z inversa).

f (kT ) = Z −1 F(z)= 12π

∮Γ

F(z)zk−1dz

con T el período de muestreo, f (kT ) ∈ R, k ∈ N0, z = u+ v ∈ C, y Γ es uncontorno cerrado donde la transformada converge.

Ejemplo 3.4 (Transformada Z inversa).

F(z) =(1− e−T )z−1

(1− z−1)(1− e−T z−1)

Linealidad:

Z α f1(k)+β f2(k)=+∞

∑k=0

(α f1(k)+β f2(k))z−k

= α

+∞

∑k=0

f1(k)z−k +β

+∞

∑k=0

f2(k)z−k

Z α f1(k)+β f2(k)= αF1(z)+βF2(z)


Escalamiento en el tiempo:

Z f (akT )=+∞

∑k=0

f (akT )z−k, n = ak

=+∞

∑n=0

f (nT )z−n/a

=+∞

∑n=0

f (nT )(

z1/a)−n

Z f (akT )= F(z1/a)

Desplazamiento en el tiempo:

Z f (kT −aT )=+∞

∑k=0

f (kT −aT )z−k, n = k−a, a > 0

=+∞

∑n=−a

f (nT )z−n−a

=+∞

∑n=−a

f (nT )z−nz−a

= z−a−1

∑n=−a

f (nT )z−n + z−a∞

∑n=0

f (nT )z−n

Z f (kT −aT )= z−aF(z)+ z−a−1

∑n=−a

f (nT )z−n

Z f (kT +aT )=+∞

∑k=0

f (kT +aT )z−k, n = k+a, a > 0

=+∞

∑n=a

f (nT )z−n+a

=+∞

∑n=a

f (nT )z−nza

= za∞

∑n=0

f (nT )z−n− zaa−1

∑n=0

f (nT )z−n

Z f (kT +aT )= zaF(z)− zaa−1

∑n=0

f (nT )z−n


Desplazamiento en frecuencia:

Z

ak f (kT )=

+∞

∑k=0

ak f (kT )z−k

=+∞

∑k=0

f (kT )(za−1)−k

=+∞

∑k=0

f (kT )(z/a)−k

Z

ak f (kT )= F(z/a)

Diferencia unitaria:

Z f (kT )− f (kT −T )= F(z)− z−1F(z)

Z f (kT )− f (kT −T )= (1− z−1)F(z)

Sumatoria ( f (kT ) con soporte positivo):

Z

k

∑i=0

f (iT )

= Z

k

∑i=−∞

f (iT )

=

+∞

∑k=0

k

∑i=−∞

f (iT )z−k, n = k− i

=+∞

∑k=0

0

∑n=+∞

f (kT −nT )z−k =+∞

∑n=0

+∞

∑k=0

f (kT −nT )z−k

=+∞

∑n=0

z−nF(z) =

(+∞

∑n=0

z−n

)F(z)

Z

k

∑i=0

f (iT )

=

11− z−1 F(z)

Teorema del valor inicial:

limz→+∞

Z f (kT )= limz→+∞

+∞

∑k=0

f (kT )z−k

= limz→+∞

f (0)++∞

∑k=1

f (kT )z−k

limz→+∞

Z f (kT )= f (0)


Teorema del valor final:

limz→1

[(1− z−1)F(z)

]= lim

z→1[Z f (kT )− f (kT −T )]

= limz→1

[+∞

∑k=0

f (kT )z−k−+∞

∑k=0

f (kT −T )z−k

]

=+∞

∑k=0

f (kT )−+∞

∑k=0

f (kT −T )

= limn→+∞

[n

∑k=0

f (kT )− f (kT −T )

]= lim

n→+∞[ f (n)− f (−T )]

limz→1

[(1− z−1)F(z)

]= lim

k→+∞f (k)

Convolución:

Z f (kT )∗g(kT )=+∞

∑k=0

f (kT )∗g(kT )z−k

=+∞

∑k=0

+∞

∑i=0

f (iT )g(kT − iT )z−k, n = k− i

=+∞

∑n=−i

+∞

∑i=0

f (iT )g(nT )z−n−i

=+∞

∑n=−i

g(nT )z−n+∞

∑i=0

f (iT )z−i

=+∞

∑n=0

g(nT )z−n+∞

∑i=0

f (iT )z−i

Z f (kT )∗g(kT )= F(z)G(z)


3.6 Equivalencias usuales

f (t) F(s) = L f (t) f (kT )= f (t)|t=kTF(z) =

Z f (kT )

δ (t− τ) e−sτ – –

H(t−nT )−H(t−T −nT )

1−e−sT

s e−snT δ (kT −nT ) z−n

H(t) 1/s H(kT ) 11−z−1

r(t) 1/s2 r(kT ) T z−1

(1−z−1)2

t2H(t) 2/s3 (kT )2H(kT ) T 2z−1(1+z−1)(1−z−1)3

e−atH(t) 1s+a e−aT kH(kT ) 1

1−e−aT z−1

(1− e−at)H(t) as(s+a) (1− e−aT k)H(kT ) (1−e−aT )z−1

(1−z−1)(1−e−aT z−1)

te−atH(t) 1(s+a)2 kTe−aT kH(kT ) Te−aT )z−1

(1−e−aT z−1)2

sin(ωt)H(t) ω

s2+ω2 sin(ωkT ) z−1 sin(ωT )1−2z−1 cos(ωT )+z−2

cos(ωt)H(t) ss2+ω2 cos(ωkT ) 1−z−1 cos(ωT )

1−2z−1 cos(ωT )+z−2

e−at sin(ωt)H(t) ω

(s+a)2+ω2 e−akT sin(ωkT ) e−aT z−1 sin(ωT )1−2e−aT z−1 cos(ωT )+e−2aT z−2

e−at cos(ωt)H(t) (s+a)(s+a)2+ω2 e−akT cos(ωkT ) 1−e−aT z−1 cos(ωT )

1−2e−aT z−1 cos(ωT )+e−2aT z−2


3.7 Transformada de Fourier3.7.1 Tiempo continuo

Definición 3.17 (Transformada de Fouriera).

F f (t)= F(ω) =∫ +∞

−∞

f (t)e−ωtdt

con f (t) ∈ R, t ∈ R+ y ω ∈ R.

ahttps://en.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourier

Nota 3.1 (Equivalencias).

• F f (t)= L2 f (t)|s=ω

• si f (t) tiene soporte positivo, F f (t)= L f (t)|s=ω

Ejemplo 3.5 (Fourier).

• F

e−|t|= 2/(1+ω2)

• F e−tH(t) = 1/(a+ ω)

• F δ (t−a)= e−ωa

• F H(t +a)−H(t−a)= 2sin(ωa)/ω

Ejemplo 3.6 (Análisis en Frecuencia).

tiempo [s]-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

f(t)

0

0.5

1

ω [rad/s]-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

real

F

(ω)

-2

0

2

4

ω [rad/s]-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

|F(ω

)|

0

1

2

3

4

ω [rad/s]-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

F(ω

) [°

]

0

50

100

150

200


https://en.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourier

Definición 3.18 (Transformada de Fourier inversa).

F−1 F(ω)= 12π

∫ +∞

−∞

F(ω)eωtdω

con f (t) ∈ R, t ∈ R+ y ω ∈ R.

Ejemplo 3.7 (Anti Fourier).

• F−1 δ (ω−ω0)= eω0t/(2π)

• F−1 πδ (ω−ω0)+πδ (ω +ω0)= cos(ω0t)

Simetría: Si g(t) = F(ω)|ω=t , con F(ω) = F f (t),

F g(t)=∫ +∞

−∞

g(t)e−ωtdt

=∫ +∞

−∞

F(ω)|ω=t e−ωtdt

= 2π1

2π

∫ +∞

−∞

F(ω)|ω=t e−ωtdt, Ω =−t

= 2π1

2π

∫ +∞

−∞

F(Ω)e(−ω)ΩdΩ

= 2π f (t)|t=−ω

F g(t)= 2π f (t)|t=−ω

Convolución:

F−1 F(ω)G(ω)= 12π

∫ +∞

−∞

F(ω)G(ω)eωtdω

=1

2π

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞

f (τ)e−ωτ dτG(ω)eωtdω

=∫ +∞

−∞

12π

∫ +∞

−∞

G(ω)eω(t−τ)dω f (τ)dτ

=∫ +∞

−∞

g(t− τ) f (τ)dτ

F f (t)∗g(t)= F(ω)G(ω)


Suma de Poisson:La suma de Poisson2 indica que para f : R 7→ R con F(ω) = F f (t),

+∞

∑n=−∞

f (t +nT )≡ 1T

+∞

∑m=−∞

F(m/T )e2πmt/T

Aplicando a un tren de impulsos se tiene:

+∞

∑n=−∞

δ (t−nT )≡ 1T

+∞

∑m=−∞

e2πmt/T

Luego,

F

+∞

∑n=−∞

δ (t−nT )

= F

1T

+∞

∑m=−∞

e2πmt/T

=

2π

T

+∞

∑m=−∞

δ (ω−2πm/T )

2https://en.wikipedia.org/wiki/Simeon_Denis_Poisson


https://en.wikipedia.org/wiki/Simeon_Denis_Poisson

Ejemplo 3.8 (Poisson).

f (t) =1T

+M

∑m=−M

e2πmt/T

M ∈ 2,5,50,500

t [s]-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

f(t)

-10

0

10

20

t [s]-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

f(t)

-20

0

20

40

t [s]-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

f(t)

-200

0

200

400

t [s]-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

f(t)

-2000

0

2000

4000


Producto:

F f (t)g(t)=∫ +∞

−∞

f (t)g(t)e−ωtdt

=∫ +∞

−∞

f (t)1

2π

∫ +∞

−∞

G(ψ)eψtdψe−ωtdt

=1

2π

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞

f (t)e(ψ−ω)tdt G(ψ)dψ

=1

2π

∫ +∞

−∞

F(ψ−ω)G(ψ)dψ

F f (t)g(t)= 12π

F(ω)∗G(ω)

Modulación AM:

F f (t)cos(ω0t)= 12π

F(ω)∗ (πδ (ω−ω0)+πδ (ω +ω0))

=12(F(ω−ω0)+F(ω +ω0))

Muestreo por impulsos:

F

f (t)

+∞

∑k=−∞

δ (t− kT )

=

12π

F(ω)∗F

+∞

∑k=−∞

δ (t− kT )

=1

2πF(ω)∗

(2π

T

+∞

∑m=−∞

δ (ω−2πm/T )

)

=1T

+∞

∑m=−∞

F(ω−2πm/T )

Conjugación:

F f (t)∗=∫ +∞

−∞

f (t)∗e−ωtdt

=∫ +∞

−∞

(f (t)eωt)∗ dt

=

(∫ +∞

−∞

f (t)e−(−ω)tdt)∗

= F∗(−ω)

En particular, si f (t) = f (t)∗ (si la función es real)

F(−ω) = F∗(ω)


Teoremas de Potencia y Energía:La relación de Parseval3 (o Teorema de la Potencia):∫ +∞

−∞

f (t)g∗(t)dt =∫ +∞

−∞

f (t)(

12π

∫ +∞

−∞

G(ω)eωtdω

)∗dt

=∫ +∞

−∞

f (t)1

2π

∫ +∞

−∞

G(ω)∗e−ωtdωdt

=1

2π

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞

f (t)e−ωtdtG(ω)∗dω

=1

2π

∫ +∞

−∞

F(ω)G(ω)∗dω

En particular, el Teorema de Plancherel4 (o Teorema de la Energía )

∫ +∞

−∞

| f (t)|2dt =∫ +∞

−∞

f (t) f ∗(t)dt

=1

2π

∫ +∞

−∞

F(ω)F(ω)∗dω

=1

2π

∫ +∞

−∞

|F(ω)|2dω

3.7.2 Relación con series de Fourier

Definición 3.19 (Coeficientes de Fouriera). Para una señal f (t) periódica de pe-riodo T ,

Fn f (t)= c(n) =1T

∫ T/2

−T/2f (t)e−ω0nt

aTransformada de Fourier en Frecuencia Discreta

Definición 3.20 (Serie de Fouriera).

f (t) = F−1n c(n)=

+∞

∑n=−∞

c(n)eω0nt

aTransformada de Fourier en Frecuencia Discreta Inversa

3https://en.wikipedia.org/wiki/Marc-Antoine_Parseval4https://en.wikipedia.org/wiki/Michel_Plancherel


https://en.wikipedia.org/wiki/Marc-Antoine_Parseval

https://en.wikipedia.org/wiki/Michel_Plancherel

Ejemplo 3.9 (Series de Fourier).T = 6 =⇒ ω0 = 2π/T = 1,0472 . . . , a = 2:

tiempo [s]-15 -10 -5 0 5 10 15

f(t)

-0.5

0

0.5

1

1.5

ω [rad/s]-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

real

F

(ω)

-1

0

1

2

3

4

3.7.3 Tiempo discreto

F

f (t)

+∞

∑k=−∞

δ (t− kT )

=

+∞

∑k=−∞

F f (t)δ (t− kT )

=+∞

∑k=−∞

F f (kT )δ (t− kT )

=+∞

∑k=−∞

f (kT )F δ (t− kT )

=+∞

∑k=−∞

f (kT )e−ΩkT

Definición 3.21 (Transformada de Fourier en tiempo discreto).

F f (kT )= F(Ω) =+∞

∑k=−∞

f (kT )e−ΩkT

Nota 3.2 (Equivalencias). Si f (kT ) tiene soporte positivo, F(Ω) = F(z)|z=eΩT .

Definición 3.22 (Transformada de Fourier en tiempo discreto inversa).

f (kT ) = F−1 F(Ω)=∫ T

0F(Ω)eΩkT dΩ


Ejemplo 3.10 (Fourier tiempo discreto).

f (kT ) = H(kT +aT )−H(kT −aT )

F(Ω) =eΩaT

1− e−ΩT −e−ΩaT

1− e−ΩT

tiempo [s]-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

f(kT

)

0

0.5

1

Ω [rad/s]-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

| F(Ω

) |

0

5

10

15

20

Ω [rad/s]-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

F

(Ω)

-200

-100

0

100

200

Definición 3.23 (Coeficientes de Fourier en tiempo discretoa).Para una señal f (kT ) periódica de periodo T0 = 2π/Ω0,

Fm f (kT )= c(m) =1N

N−1

∑k=0

f (kT )e−mΩ0kT

donde N = T0/T = 2π/(Ω0T ) ∈ N.

aTransformada de Fourier Discreta

Definición 3.24 (Serie de Fourier en tiempo discretoa).

f (kT ) = F−1m c(m)=

N−1

∑m=0

c(m)emω0kT

aTransformada de Fourier Discreta Inversa


Ejemplo 3.11 (Series de Fourier tiempo discreto).

tiempo [s]-15 -10 -5 0 5 10 15

f(kT

)

0

0.5

1

ω [rad/s]-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

| F(ω

) |

0

10

20

ω [rad/s]-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

F

(ω)

-200

0

200

tiempo [s]-15 -10 -5 0 5 10 15

f(kT

)

0

0.5

1


3.8 Ejercicios3.1.- Utilice las transformaciones correspondientes para resolver y(·) en las ecuaciones

de los ejercicios 2.1, 2.2, y 2.7 y compare sus resultados con lo obtenido anteri-ormente.

3.2.- Determine y grafique el módulo y fase como función de la frecuencia de lastransformadas de Fourier de las funciones y(·) en el apartado anterior.

3.3.- Determine las señales en el dominio del tiempo continuo o discreto de las sigu-ientes funciones.

a) F(s) = 12s+1

b) F(s) = 12s2+1

c) F(s) = 1s2+6s+1

d) F(s) = s2s+1

e) F(s) = s2s2+1

f) F(s) = ss2+6s+1

g) F(s) = s2+ss2+5s+1

h) F(s) = s2+ss2+5s+1 e−3s

i) F(s) = 12s+1

1sn , n ∈ N

j) F(s) = 12s2+1

1sn , n ∈ N

k) F(s) = 1s2+6s+1

1sn , n ∈ N

l) F(s) = Kτs+1

1s

m) F(s) = Kτs+1 e−θs 1

s

n) F(s) = Kω2n

s2+2ξ ωns+ω2n

1s , ξ ∈ [0,1]

o) F(s) = Kω2n

s2+2ξ ωns+ω2n

1s , ξ ∈ [1,∞[

p) F(s) = Kω2n

s2+2ξ ωns+ω2n

e−θs 1s

q) F(z) = 12z−1−1

r) F(z) = 12z−1

s) F(z) = 12z−1−1

1z−1−1

t) F(z) = 1az−1−1

1z−1−1

u) F(z) = 1−a1−az−1

z−1

z−1−1

v) F(z) = 1−az−a

z1−z

w) F(z) = az−1

(1−az−1)2

3.4.- Demuestre todas las equivalencias de la table en la sección 3.6. Grafique lasseñales en los dominios del tiempo continuo y discreto.

3.5.- Determine las transformadas de Laplace de las siguientes funciones con ∆ > 0 yA > 0. Grafique las funciones en el espacio del tiempo.

a) f (t) = A · (H(t +∆)−H(t−∆))

b) f (t) = A · (r(t +∆)−2 · r(t)+ r(t−∆))

c) f (t) = A√

1− t2/∆2 ∈ Rd) f (t) = A · (r(t +∆)−H(t +∆)− r(t−∆)−H(t−∆))

e) f (t)=A·(H(t +∆)−H(t +(1− p)∆)−H(t− (1− p)∆)+H(t−∆)), p∈ [0,1]f) f (t) = A · (−r(t +∆)+2r(t +∆/2)−2r(t−∆/2)+ r(t−∆))

3.6.- Determine las transformadas y coeficientes de Fourier de las funciones en elapartado anterior. Grafique las funciones en el espacio de la frecuencia.


3.7.- Reemplace en las señales del apartado anterior la variable ω por t. Esto generaránuevas señales en el tiempo. Calcule la transformada de Fourier de estas nuevasseñales. ¿Qué observa?

3.8.- Convierta las señales anteriores en períodicas, es decir fp(t) = ∑+∞n=−∞ f (t−nT ),

con T ≥ 2∆, y calcule sus transformadas de Fourier.

3.9.- Determine las transformadas de Fourier de fAM(t) = fp(t)cos(2πt/T ) con fp(t)como en ejercicio anterior.

3.10.- Calcule las transformadas de Fourier de f (k) := f (t)|t=kTmy fp(k) := fp(t)

∣∣t=kTm

,donde Tm < T es el período de muestreo.


4 Funciones de Transferencia

4.1 Definiciones4.1.1 Sistemas lineales en tiempo continuo

Ejemplo 4.1 (Sistema de segundo orden).

d2ydt2 +2ξ ωn

dydt

+ω2n y(t) = kω

2n u(t)

Para una ecuación diferencial,

n

∑i=0

aidiy(t)

dt i =m

∑j=0

b jd ju(t)

dt j

donde an = 1, y con condiciones iniciales nulas, i.e. y(0) = u(0) = 0,

Definición 4.1 (Función de Transferencia (continua)).

Huy(s) =y(s)u(s)

=∑

mj=0 b js j

∑ni=0 aisi =

bmsm + · · ·+b1s+b0

sn +an−1sn−1 + . . .a1s+a0

• Definición 4.1.1 (Polinomio característico).

d(s) =n

∑i=0

aisi = sn +an−1sn−1 + . . .a1s+a0

• Definición 4.1.2 (Polos).

P(Huy(s)) = λ ∈ C|d(λ ) = 0

• Definición 4.1.3 (Ceros).

C(Huy(s)) =

s ∈ C|n(s) =

m

∑j=0

b js j = 0

• Definición 4.1.4 (Diagrama de bloque).

Huy(s) y(t)u(t)

La salida en el dominio del tiempo

y(t) = L −1Huy(s)u(s)

= huy(t)∗u(t)


¿Qué pasa con entrada impulso?

y(s) = Huy(s)u(s)

= Huy(s)δ (s)

= Huy(s) ·1

y(t) = L −1Huy(s)= huy(t)

¿Qué pasa a largo plazo ante entrada constante?

limt→∞

y(t) = lims→0

s · y(s)

= lims→0

s ·Huy(s)u(s)

= lims→0

s ·Huy(s)H(s)

= lims→0

s ·Huy(s)1s

= lims→0

Huy(s)

¿Con condición inicial distinta de cero?

x = Ax =⇒ sx(s)−x0 = Ax(s)

=⇒ x(s) = (sI−A)−1 x0

=⇒ x(s) = L

eAtx0

L ΦΦΦ(t)= L

eAt= (sI−A)−1

¿Y en un sistema MIMO?:

x = Ax+Bu =⇒ L x= L Ax+Bu=⇒ sx(s) = Ax(s)+Bu(s)=⇒ (sI−A)x(s) = Bu(s)

=⇒ x(s) = (sI−A)−1 Bu(s)

=⇒ x(s) =1

detsI−AadjsI−ABu(s)

=⇒ y(s) = Cx(s)+Du(s)

=

(C

1detsI−A

adjsI−AB+D)

u(s)


Definición 4.2 (Matriz de Transferencia (continua)).

Huy(s) = C(sI−A)−1 B+D


d(s) = detsI−A


P(Huy(s)) = λ ∈ C|d(λ ) = 0

Ejemplo 4.2 (Estanque).

ke−θs

τs+1 +−

1As

y

fe

fs

u

Ejemplo 4.3 (Motor DC).

+−

1Las+Ra

Kφ

Kφ

+−

1Js+b

va ia

Te

Tm

ωm


4.1.2 Sistemas lineales en tiempo discreto

Ejemplo 4.4 (Sistema de segundo orden).

y(k+2)+2ξ ωny(k+1)+ω2n y(k) = ω

2n u(k)

Para una ecuación de diferencias,

n

∑i=0

aiy(kT + iT ) =m

∑j=0

b ju(kT + jT )

donde an = 1, y con condiciones iniciales nulas, i.e. y(0) = u(0) = 0,

Definición 4.3 (Función de Transferencia (discreta)).

Huy(z) =y(z)u(z)

=∑

mj=0 b jz j

∑ni=0 aizi =

bmzm + · · ·+b1z+b0

zn +an−1zn−1 + . . .a1z+a0


d(z) =n

∑i=0

aizi = zn +an−1zn−1 + . . .a1z+a0


P(Huy(z)) = λ ∈ C|d(λ ) = 0

• Definición 4.3.3 (Ceros).

C(Huy(z)) =

z ∈ C|n(z) =

m

∑j=0

b jz j = 0

• Definición 4.3.4 (Diagrama de bloque).

Huy(z) y(kT )u(kT )

La salida en el dominio del tiempo

y(kT ) = Z −1Huy(z)u(z)

= huy(kT )∗u(kT )


¿Qué pasa con entrada impulso?

y(z) = Huy(z)u(z)

= Huy(z)δ (z)

= Huy(z) ·1

y(kT ) = Z −1Huy(z)= huy(kT )

¿Qué pasa a largo plazo ante entrada constante?

limk→∞

y(kT ) = limz→1

(1− z−1) · y(z)

= limz→1

(1− z−1) ·Huy(z)u(z)

= limz→1

(1− z−1) ·Huy(z)H(z)

= limz→1

(1− z−1) ·Huy(z)1

(1− z−1)

= limz→1

Huy(z)

¿Con condición inicial distinta de cero?

x(k+1) = Ax(k) =⇒ zx(z)− zx0 = Ax(z)

=⇒ x(z) = (zI−A)−1 zx0

=⇒ x(z) = Z

Ak

x0

Z ΦΦΦ(k)= Z

Ak= (zI−A)−1 z

¿Y en un sistema MIMO?:

x(k+1) = Ax(k)+Bu(k) =⇒ Z x(k+1)= Z Ax(k)+Bu(k)=⇒ zx(z) = Ax(z)+Bu(z)=⇒ (zI−A)zx(z) = Bu(z)

=⇒ x(z) = (zI−A)−1 Bu(z)

=⇒ x(z) =1

detzI−AadjzI−ABu(z)

=⇒ y(z) = Cx(z)+Du(z)

=

(C

1detzI−A

adjzI−AB+D)

u(z)


Definición 4.4 (Matriz de Transferencia (discreta)).

Huy(z) = C(zI−A)−1 B+D


d(z) = detzI−A


P(Huy(z)) = λ ∈ C|d(λ ) = 0

4.1.3 Retentor de orden cero

S/H v(t)v(kT )

k

v(k)

t

v(t)

Respuesta a impulso discreto:

k

u(k)

δ (kT )

t

u(t)

H(t)−H(t−T )

HS/H(s) = L H(t)−H(t−T )= 1− e−sT

s


Ejemplo 4.5 (Controlador Digital).

Sistema Digital

Huy(s),Hpy(s)Ha(s)S/H

S

z−1Hc(z)+−

e(k)

Hst(s)

yr(k) y(t)

p(t)

u(t)v(t)v(k)

yst(k) yst(t)


4.2 Análisis en frecuencia4.2.1 Entradas periódicas

Ejemplo 4.6 (Entrada sinusoidal).

y(s) =1

s+aL Asin(ω0t)

y(t) = Aω0

a2 +ω20

e−at +A1√

a2 +ω20

sin(ω0t− arctan(ω0/a))

Si huy(t) es la salida a entrada impulso de un sistema:

y(t) = huy(t)∗u(t)

Ante entrada sinusoidal: u(t) = eωt = cos(ωt)+ sin(ωt)

y(t) = huy(t)∗ eωt

=∫ +∞

−∞

huy(τ)eω(t−τ)dτ

=∫ +∞

−∞

huy(τ)e−ωτ eωtdτ

= eωt∫ +∞

−∞

huy(τ)e−ωτ dτ

= eωtF

huy(t)

y(t) = Huy(ω)eωt

Huy(ω) = real

Huy(ω)+ imag

Huy(ω)

= |Huy(ω)| Huy(ω) = |Huy(ω)|e ∠Huy(ω)

Ejemplo 4.7 (Módulo y fase).

Huy(s) =1

s+a


4.2.2 Diagramas de Bode

Definición 4.5 (Diagrama de Bodea ). Es el gráfico del módulo (medido en deci-belesb [dB]), y la fase (medida en grados [°]) de una función de transferencia,H(s)|s=ω ∈ C, como función de la frecuencia angular ω (medida en [rad/s]) enescala logarítmica.

ahttps://en.wikipedia.org/wiki/Hendrik_Wade_Bodebhttps://en.wikipedia.org/wiki/Alexander_Graham_Bell

Cantidad en decibeles:|H(s)|[dB] = 20log(|H(s)|)

Ejemplo 4.8 (Bode de integrador).

Huy(s) = 1/s

Mag

nitu

de (

dB)

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

10-2 10-1 100 101 102

Pha

se (

deg)

-91

-90.5

-90

-89.5

-89

Bode Diagram

Frequency (rad/s)


https://en.wikipedia.org/wiki/Hendrik_Wade_Bode

https://en.wikipedia.org/wiki/Alexander_Graham_Bell

Ejemplo 4.9 (Bode de primer orden).

Huy(s) = 1/(s+a)

Mag

nitu

de (

dB)

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

10-2 10-1 100 101 102

Pha

se (

deg)

-90

-45

0

Bode Diagram

Frequency (rad/s)


Ejemplo 4.10 (Bode de segundo orden).

Huy(s) = kω2

n

s2 +2ξ ωns+ω2n

ωn ∈ 0,5; 1,0; 1,5

Mag

nitu

de (

dB)

-100

-80

-60

-40

-20

0

10-2 10-1 100 101 102

Pha

se (

deg)

-180

-135

-90

-45

0

Bode Diagram

Frequency (rad/s)


ξ ∈ 0,25; 1,0; 2,5

Mag

nitu

de (

dB)

-100

-50

0

50

10-2 10-1 100 101 102

Pha

se (

deg)

-180

-135

-90

-45

0

Bode Diagram

Frequency (rad/s)


k ∈ 0,5; 1,0; 1,5

Mag

nitu

de (

dB)

-100

-50

0

50

10-2 10-1 100 101 102

Pha

se (

deg)

-180

-135

-90

-45

0

Bode Diagram

Frequency (rad/s)


Ejemplo 4.11 (Amplificadores Operacionales).

−

+

R f

vo(t)

R1

Rvi(t)

C

−

+

R f

vo(t)

R1

C

vi(t)

R

Hpb(s) =(

R f

R1+1)

1/(CR)s+1/(CR)

Hpa(s) =(

R f

R1+1)

ss+1/(CR)

Mag

nitu

de (

dB)

-40

-30

-20

-10

0

10

10-1 100 101 102 103 104 105 106

Pha

se (

deg)

-90

-45

0

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

Mag

nitu

de (

dB)

-40

-30

-20

-10

0

10

10-1 100 101 102 103 104 105 106

Pha

se (

deg)

0

45

90

Bode Diagram

Frequency (rad/s)


Ejemplo 4.12 (Filtro Pasa Banda).

Hab(s) = Hpb(s)Hpa(s)

Mag

nitu

de (

dB)

-30

-20

-10

0

10

20

10-1 100 101 102 103 104 105 106

Pha

se (

deg)

-90

-45

0

45

90

Bode Diagram

Frequency (rad/s)


4.2.3 Reglas de construcción de diagramas de Bode asintóticos

Huy(s)= ks±N

(∏

i

pi

s+ pi

)(∏

i

s+ ci

ci

)(∏

i

ω2n,i

s2 +2ξiωn,is+ω2n,i

)(∏

i

s2 +2ξiωn,is+ω2n,i

ω2n,i

)

Para ω → 0+:

• Sistema sin polos ni ceros en el origen. Ej. Huy(s) = 1/(s+a)

– Módulo es 20logHuy(0)[dB] (recta horizontal).

– Fase es 0° (recta horizontal).

• Sistema con N polos en el origen. Ej. Huy(s) = 1/sN

– Módulo varía −20N[dB/dec] (recta de pendiente negativa).

– Fase es −N ·90° (recta horizontal).

• Sistema con N ceros en el origen. Ej. Huy(s) = sN

– Módulo varía +20N[dB/dec] (recta de pendiente positiva).

– Fase es N ·90° (recta horizontal).

Para ω > 0:

• Un polo real de orden r ubicado en s =−a < 0. Ej. Huy(s) = ar/(s+a)r.

– Módulo varía −20r[dB/dec] a partir de ω = a.

– Fase comienza a bajar una década antes de ω = a y una década despuéscompleta una disminución de r ·90°.

– Para suavizar la curva de magnitud, se restan 3r[dB] al valor de magnituden ω = a.

• Un cero real de orden r ubicado en s =−a < 0. Ej. Huy(s) = (s+a)r/ar.

– Módulo varía +20r[dB/dec] a partir de ω = a.

– Fase comienza a subir una década antes de ω = a y una década despuéscompleta una alza de r ·90°.

– Para suavizar la curva de magnitud, se agregan 3r[dB] al valor de magnituden ω = a.

• Un par de polos complejos conjugados con parte real no positiva tales que (s/ωn)2+

2ξ (s/ωn)+1 = 0.

– Módulo varía −40[dB/dec] a partir de ω = ωn.

– Fase comienza a bajar antes de ω = ωn y completa una disminución de180°.


– Para valores de ξ ≤ 0,5, la magnitud presenta un "pico de resonancia" y elcambio de la fase es abrupto.

• Un par de ceros complejos conjugados con parte real no positiva tales que (s/ωn)2+

2ξ (s/ωn)+1 = 0.

– Módulo varía +40[dB/dec] a partir de ω = ωn.

– Fase comienza a subir antes de ω = ωn y completa una alza de 180°.

– Para valores de ξ ≤ 0,5, la magnitud presenta un "pico de resonancia" y elcambio de la fase es abrupto.

Ejemplo 4.13 (Bode Asintótico).

Huy(s) = 10,001

s+0,001s+0,1

0,1102

s2 +4s+102s2 +4000s+100002

100002

Mag

nitu

de (

dB)

-200

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104 105 106 107

Pha

se (

deg)

-180

-135

-90

-45

0

Bode Diagram

Frequency (rad/s)


Ejemplo 4.14 (Sistema de fase no mínima).

H1(s) =100s+100

s2 +60s+100H2(s) =

−100s+100s2 +60s+100

Mag

nitu

de (

dB)

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

10-2 10-1 100 101 102 103

Pha

se (

deg)

-90

-45

0

45

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

Mag

nitu

de (

dB)

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

10-2 10-1 100 101 102 103

Pha

se (

deg)

90

180

270

360

Bode Diagram

Frequency (rad/s)


4.2.4 Retardos continuos

L f (t−θ)= L f (t)e−sθ

Además,e−sθ

∣∣∣s=ω

= e−ωθ = cos(ωθ)− sin(ωθ)∣∣∣∣e−sθ

∣∣∣s=ω

∣∣∣∣= cos2(ωθ)+ sin2(ωθ) = 1

arge−sθ

∣∣∣s=ω= arctan

(−sin(ωθ)

cos(ωθ)

)=−ωθ

Ejemplo 4.15 (Bode con retardo).

Huy(s) = e−sθ/(s+a)

θ ∈ 0,0; 0,01; 0,02

Mag

nitu

de (

dB)

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

10-2 10-1 100 101 102

Pha

se (

deg)

-270

-180

-90

0

Bode Diagram

Frequency (rad/s)


4.2.5 Diagramas de Bode en tiempo discreto

y(kT ) = huy(kT )∗ eΩkT

=+∞

∑i=−∞

huy(iT )eΩ(k−i)T

=+∞

∑i=−∞

huy(iT )eΩkT e−ΩiT

= eΩkT+∞

∑i=−∞

huy(iT )e−ΩiT

= eΩkT F

huy(kT )

= eΩkT Z

huy(kT )∣∣

z=eΩT

y(kT ) = Huy(eΩT )eΩkT

Ejemplo 4.16 (Bode discreto).

Huy(z) = b/(z−a)

T = 0,2, a = e−10T , b = 1−a.

Mag

nitu

de [d

B]

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

Frequency [rad/s]10-2 10-1 100 101 102 103

Pha

se [d

eg]

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200


4.3 Ejercicios4.1.- Encuentre las funciones de transferencia entre las entradas u(·) y las salidas y(·)

en los siguientes sistemas:

a) ddt y(t)+ y(t) = u(t)

b) d2

dt2 y(t)+ y(t) = u(t)

c) d3

dt3 y(t)+ y(t) = u(t)

d) ddt y(t)+2y(t) = 10u(t−2)

e) ddt y(t)+2y(t) = d

dt u(t)

f) τddt y(t)+ y(t) = ku(t)

g) τddt y(t)+ y(t) = ku(t−θ)

h) τddt y(t)+ y(t) = k d

dt u(t−θ)

i) d2

dt2 y(t) + 2ξ ωnddt y(t) + ω2

n y(t) =

kω2n u(t−θ)

j) y(k+1)+ 12 y(k) = u(k)

k) y(k+1)+ 32 y(k) = u(k)

l) y(k+1)+ y(k) = u(k)

m) y(k+2)+ y(k) = u(k)

n) y(k+3)+ y(k) = u(k)

o) y(k+1)+ay(k) = u(k−1), a > 0

p) y(k+1)+ay(k) = u(k+1), a > 0

q) y(k+ 1)+ ay(k) = u(k)− u(k− 1),a > 0

4.2.- Determine los polos, ceros, y ganancias DC de las funciones del apartado ante-rior.

4.3.- Determine las respuestas a impulso, escalón, rampa, y exponencial compleja delas funciones del apartado anterior

4.4.- Esboce los diagramas de Bode asintóticos de las funciones del apartado anterior.


Apuntes de Análisis de Sistemas 2020-I

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