Apunte de Clases MAT201
36
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CAT ´ OLICA DE VALPARAISO Instituto de Matem´ aticas CALCULO I MAT 201 Profesora: Elena Orellana Villaz´ on. Valpara´ ıso, 2011.
-
Upload
joakoo-de-pablo-perez -
Category
Documents
-
view
271 -
download
0
Transcript of Apunte de Clases MAT201
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE VALPARAISO
Instituto de Matematicas
CALCULO I
MAT 201
Profesora: Elena Orellana Villazon.
Valparaıso, 2011.
2
Indice general
1. Lımites y Continuidad 5
1.1. Lımites de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1. Algebra de Lımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2. Lımites Laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.4. Continuidad de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.5. Funcion Exponencial y Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2. Derivadas 19
2.1. Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1. Interpretacion Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2. Algebra de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.3. Regla de la Cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.4. Derivadas de Orden Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2. Aplicaciones de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1. Aplicacion Fısica de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.2. Razon de Cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.3. Derivada de una Funcion Implıcita . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.4. Derivada de una Funcion Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3. Maximos y Mınimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.1. Funciones Crecientes y Decrecientes . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.2. Valor Maximo y Mınimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.3. Criterio de la Primera Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.4. Criterio de la Segunda Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3
Fechas Pruebas
1. Primera Prueba: Miercoles 20 de abril, clave 1-2.
2. Segunda Prueba: Miercoles 25 de mayo, clave 1-2.
3. Tercera Prueba: Miercoles 22 de junio, clave 1-2.
4. Controles semanales
5. Examen: Lunes 4 de julio.
Ponderacion Pruebas: 80%
Ponderacion Controles: 20%
4
Capıtulo 1
Lımites y Continuidad
1.1. Lımites de Funciones
Definicion 1 (Punto de Acumulacion) Sean a ∈ R y A ⊆ R. Diremos que un
punto a es un punto de acumulacion de A si para todo ε > 0, una vecindad de a,
Vε(a) contiene algun punto p ∈ A diferente de a. Es decir,
∀ε > 0, (Vε(a)− {a}) ∩ A 6= ∅
La definicion anterior es equivalente a decir que:
(∀ε > 0)(∃p ∈ A)(|p− a| < ε)
Donde,
|p− a| < ε ⇔ −ε + a < p < ε + a
El conjunto de todos los puntos de acumulacion se denota por:
A′ = {a ∈ R : a es punto de acumulacion}
Observacion: Una vecindad de tamano ε > 0 de un punto a, es un abierto que
contiene al punto a y es de la forma:
Vε(a) =]a− ε, a + ε[
Ejemplo 1 1. Sea A = Z, A′ = ∅2. Sea A =]a, b[, como toda vecindad de a y de b intersecta a A se tiene que
A′ = [a, b]
5
3. Sea A = Q, A′ = R4. Sea A =]− 1, 2]∪{4}∪ [5, 7[, 4 no es punto de acumulacion de A pues para
V =]3, 5[ se tiene que
(V − {4}) ∩ A = ∅
5. Sea A = { 1n
: n ≥ 1}, A′ = {0}.
Proposicion 1 Sea A ⊆ R un conjunto no vacıo. Un punto a es de acumulacion,
si y solo sı, toda vecindad de a contiene infinitos puntos de A.
Definicion 2 (Lımites de Funciones Reales) Sean A ⊆ R, a ∈ A′, f : A → Runa funcion y L ∈ R. Diremos que el lımite de f(x) es L cuando x tiende a a si
para toda vecindad de L de radio ε > 0, Vε(L) existe una vecindad de a de radio
δ > 0, Vδ(a) tal que
x ∈ (Vδ(a)− {a}) ⇒ f(x) ∈ Vε(L)
Notacion:
lımx→a
f(x) = L
Es decir,
lımx→a
f(x) = L ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)((0 < |x−a| < δ∧x ∈ Dom(f)) ⇒ |f(x)−L| < ε)
Interpretacion Geometrica
La definicion de lımite nos dice que todas las imagenes de la funcion f que
estan a una distancia menor que ε de L tienen su preimagen en alguna vecindad del
punto a.
Ejemplo 2 Demuestre usando la definicion de lımite que
lımx→1
(3x + 2) = 5
Demostracion: Para todo ε > 0, existe δ = ε3
tal que
0 < |x− 1| < δ ⇔ 0 < |3x− 3| < 3δ
⇔ 0 < |3x + 2− 5| < 3δ = ε
⇔ 0 < |f(x)− L| < δ = ε3
6
Por lo tanto, para todo ε > 0, existe δ = ε3
tal que
0 < |x− 1| < δ ⇒ 0 < |f(x)− 5| < ε
Observacion: En general, si lımx→p(ax + b) = ap + b basta tomar δ = ε|a| .
Ejemplo 3 Demuestre usando la definicion de lımite que
lımx→3
x2 − 9
x− 3= 6
Demostracion: Para todo ε > 0, existe δ = ε tal que
0 < |x− 3| < δ ⇒ 0 <
∣∣∣∣x2 − 9
x− 3− 6
∣∣∣∣ < ε
0 < |x− 3| < δ ⇔ 0 < |x + 3− 6| < δ
⇔ 0 < |(x + 3)x−3x−3
− 6| < δ
⇔ 0 < |f(x)− 6| < δ = ε
Ejemplo 4 Demuestre usando la definicion de lımite que
lımx→0
x sin
(1
x
)= 0
Demostracion: Sea ε > 0 debemos encontrar δ > 0 que cumpla con la definicion
0 < |x− 0| < δ ⇔ 0 < |f(x)− 0| < ε
⇔ 0 < |x sin(
1x
)| < ε
Luego,
|x|| sin(
1
x
)| ≤ |x| < ε
Por lo tanto, ε = δ.
Ejemplo 5 Calcule
lımx→0
√3 + x−
√3
x
Solucion:lımx→0
√3+x−
√3
x·√
3+x+√
3√3+x+
√3
= lımx→03+x−3
x(√
3+x+√
3)
= lımx→0x
x(√
3+x+√
3)
= lımx→01
(√
3+x+√
3)
= 12√
3
7
Teorema 1 (Unicidad del Lımite) Sean A ⊆ R, f : A → R y a ∈ A′. Si existe
el lımite de f cuando x tiende al punto a entonces el lımx→a f(x) es unico. Es decir,
lımx→a
f(x) = L1 y lımx→a
f(x) = L2 ⇒ L1 = L2
1.1.1. Algebra de Lımites
Sean f : R → R, g : R → R funciones, A ⊆ R un conjunto tal que A ⊆Dom(f) ∩Dom(g) y a ∈ A′. Supongamos que lımx→a f(x) = L y lımx→a g(x) = M
entonces
1. El lımite de (f + g) existe
lımx→a
(f + g)(x) = lımx→a
f(x) + lımx→a
g(x) = L + M
2. El lımite del producto (f · g) existe
lımx→a
(f · g)(x) = lımx→a
f(x) · lımx→a
g(x) = L ·M
En particular, si α ∈ R, el lımite de αf(x) esta dado por:
lımx→a
αf(x) = α lımx→a
f(x) = αL
3. El lımite del cuociente(
fg
)existe cuando g(x) 6= 0 para todo x ∈ Dom(g)
lımx→a
(f
g
)(x) =
lımx→a f(x)
lımx→a g(x)=
L
M
4. El lımite de una constante, c ∈ R
lımx→a
c = c y lımx→a
x = a
5. Si (lımx→a f(x))p, con p ∈ N existe, entonces
(lımx→a
f(x))p = lımx→a
(f(x))p
8
1.1.2. Lımites Laterales
Definicion 3 (Lımite Laterales) Sean A ⊆ R y f : A → R una funcion. Diremos
que L ∈ R es el lımite lateral derecho de f(x) cuando x → a por la derecha si se
cumple que:
lımx→a+
f(x) = L ⇔ (∀ε > 0)(∃δ1 > 0)(a < x < a + δ1 ⇒ |f(x)− L| < ε)
Diremos que L ∈ R es el lımite lateral izquierdo de f(x) cuando x → a por la
izquierda si se cumple que:
lımx→a−
f(x) = L ⇔ (∀ε > 0)(∃δ2 > 0)(a− δ2 < x < a ⇒ |f(x)− L| < ε)
Si los lımites laterales existen y son iguales entonces diremos que el lımite de
f cuando x → a existe. Es decir,
lımx→a+
f(x) = lımx→a−
f(x) = lımx→a
f(x)
Donde δ = mın{δ1, δ2}
Ejemplo 6 Sean f : R → Z definida por f(x) = [x]. Entonces
lımx→1−
[x] = 0 y lımx→1+
[x] = 1
Luego, el lımite de f(x) no existe.
1.1.3. Ejercicios
1. Sea f : R → R+ definida por
|x| =
{x ; x ≥ 0
−x ; x < 0
Determine, si existe, lımx→0|x|x
Solucion
lımx→0−
−x
x= −1 y lım
x→0+
x
x= 1
Luego, el lımite de lımx→0|x|x
no existe.
9
2. Sea f : R → R definida por
f(x) =
{[x] ; x ≥ 1
2x− 1 ; x < 1
Determine, si existe, lımx→1 f(x).
Solucion
lımx→1+
[x] = 1 y lımx→1−
2x− 1 = 1
Luego, el lımite de lımx→1 f(x) = 1.
3. Sea f : [−1, 1] → R definida por
f(x) =
{1− x2 ;−1 ≤ x ≤ 0
2− x ; 0 < x ≤ 1
Determine, si existe, lımx→0 f(x).
Solucion
lımx→0+
(1− x2) = 1 y lımx→0−
(2− x) = 2
Luego, el lımite de lımx→0 f(x) no existe.
Limites de Polinomios y funciones racionales
Sean p(x) y q(x) dos polinomios con coeficientes en R. Si q(a) 6= 0 entonces
lımx→a
p(x)
q(x)=
lımx→a p(x)
lımx→a q(x)=
p(a)
q(a)
Ejemplo 7 Sean f : R → R definida por f(x) = x+1x−2
. Calcule lımx→2x+1x−2
Como lımx→2 x − 2 = 0 y lımx→2 = x + 1 = 3. La regla anterior no se puede
aplicar y en este caso el lımite de f(x) no existe.
Lımites Trigonometricos importantes
1.
lımx→0
sin(x)
x= 1
10
2.
lımx→∞
sin(x)
x= 0
3.
lımx→0
sin( 1x)
1x
= 0
4.
lımx→∞
sin( 1x)
1x
= 1
5.
lımx→0
sin
(1
x
)= no existe
6.
lımx→∞
sin
(1
x
)= 0
7.
lımx→0
cos(x)
x= no existe
8.
lımx→0
x
cos(x)= 0
9.
lımx→0
1− cos(x)
x= 0
Ejemplo 8 Calcule
lımx→0
1−√
cos(x)
x2
Teorema 2 (Acotamiento o Sandwich) Sean A ⊆ R, a ∈ A′, f : A → R,
g : A → R y h : A → R y V (a) vecindad de a tal que
1.
(∀x ∈ (V (a)− {a}) ∩ A)(f(x) ≤ g(x) ≤ h(x))
2.
lımx→a
f(x) = lımx→a
h(x) = L
Entonces
lımx→a
g(x) = L
11
Observacion: Si lımx→a f(x) y lımx→a g(x) existen y ademas f(x) ≤ g(x) entonces
lımx→a f(x) ≤ lımx→a g(x).
Definicion 4 (Funcion acotada) Sea f : A → R una funcion. Diremos que f es
acotada si existe K > 0 tal que
|f(x)| ≤ K, ∀x ∈ A
Teorema 3 (Cero aniquila) Sean f : A → R una funcion acotada en una vecin-
dad de a, V (a) y g : B → R una funcion. Si lımx→a g(x) = 0 entonces lımx→a g(x) ·f(x) = 0
Ejemplo 9 Calcule
lımx→0
x sin
(1
x
)Ejemplo 10 Calcule
lımx→∞
x cos(x)
x2 + 1
Teorema 4 (Teorema de Sustitucion) Sean A, B dos conjuntos en R, f : A →R y g : B → R dos funciones tal que f(A) ⊂ B. Supongamos que lımx→a f(x) = b y
que existe una vecindad de a, V (a) tal que f(x) 6= b, para todo x ∈ (V (a)−{a}) ⊂ A.
Si lımu→b g(u) = L entonces lımx→a g(f(x)) = L. Es decir,
lımx→a
g(f(x)) = lımu→b
g(u) = L
Ejemplo 11 Calcule
lımx→π
sin(x− π)
x− π
Ejemplo 12 Calcule
lımx→π
3
1− 2 cos(x)
π − 3x
Corolario 1 Sean A, B dos conjuntos en R, f : A → R y g : B → R dos funciones
tal que f(A) ⊂ B. Si a ∈ A′, b ∈ B ∩ B′, lımx→a f(x) = b y lımx→b g(x) = g(b)
entonces lımx→a(g ◦ f)(x) = g(b).
12
Definicion 5 (Lımites al infinito) Diremos que L es el lımite de f(x) cuando
x → +∞ si dado ε > 0 existe M > 0 tal que si x > M entonces |f(x)− L| < ε. Es
decir,
lımx→+∞
f(x) = L
Diremos que L es el lımite de f(x) cuando x → −∞ si dado ε > 0 existe
M < 0 tal que si x < M entonces |f(x)− L| < ε. Es decir,
lımx→−∞
f(x) = L
1.1.4. Continuidad de Funciones
Definicion 6 (Continuidad de Funciones) Sea A ⊆ R, a ∈ A. Diremos que f
es contınua en el punto a, si para toda vecindad de f(a), que llamaremos, Vε(f(a))
existe una vecindad de a, Vδ(a) tal que
f(Vδ(a)) ⊆ Vε(f(a))
Es decir,
(∀ε > 0)(∃δ > 0)(|x− a| < δ ∧ x ∈ Dom(f) ⇒ |f(x)− f(a)| < ε)
Diremos que f es contınua en A, si f es continua en cada punto a en A.
Para determinar si una funcion f es contınua en el punto a debemos verificar
que se cumplen las siguientes condiciones:
1. lımx→a f(x) = f(a)
2. lımx→a+ f(x) = lımx→a− f(x) = lımx→a f(x)
Ejemplo 13 Sea f : R → R definida por f(x) = c. La funcion constante es contınua
en todo los reales.
Ejemplo 14 Sea f : R → R definida por
f(x) =
{[x] ; x ≥ 4
x ; x < 4
Determine si f es contınua.
13
Ejemplo 15 Determine a ∈ R de modo que f : R → R definida por
f(x) =
{x√
x−√
8√x−√
2; x > 2
ax + 1 ; x ≤ 2
sea contınua en x = 2.
Observacion: Si una funcion es discontınua en un punto x = a no podemos concluir
que el lımite no existe, es posible que a /∈ Dom(f) o f(a) 6= lımx→a f(x).
Ejemplo 16 Sea f : R − {1} → R tal que f(x) = x2−1x−1
. Luego, f no esta definida
en x = 1, pero
lımx→1
x2 − 1
x− 1= 2.
Ejemplo 17 Sea f : R → R definida por
f(x) =
{sin(x−3)
x−3; x 6= 3
5 ; x = 3
Luego, f(3) = 5 pero lımx→3sin(x−3)
x−3= 1
Ejemplo 18 Sean f : R − {0} → R tal que f(x) = 1x
y g : R − {0} → R tal que
f(x) = sin(
1x
). Luego,
lımx→0
1
x= ∞ y lım
x→0sin
(1
x
)= ∞
Observando los diferentes ejemplos de existencia y calculo de lımites podemos
constatar que existen dos tipos de discontinuidades: unas que se deben a la no
existencia del lımite en el punto y otras, en cambio, tienen lımite.
Definicion 7 (Discontinuidad Reparable) Cuando en un punto el lımite existe
y no coincide con el valor de la funcion evaluada en ese punto, se puede redefinir
la funcion en dicho punto dandole como valor el lımite. La nueva funcion es ahora
continua en el punto en cuestion. A esto se le llama discontinuidad reparable.
Ejemplo 19 Sea f : R − {4} → R tal que f(x) = x2−4x−2
no esta definida en x = 2,
pero
lımx→2
x2 − 4
x− 2= 4.
14
Luego podemos redefinir la funcion para que sea contınua.
f(x) =
{x2−4x−2
; x 6= 2
4 ; x = 2
En general para f : R−{a} → R dada por f(x) = x2−a2
x−ase tiene que f no esta defi-
nida en x = a, pero lımx→ax2−a2
x−a= 2a. Luego podemos redefinir la funcion para que
sea contınua.
f(x) =
{x2−a2
x−a; x 6= a
2a ; x = a
Ejemplo 20 Sea f : R → R definida por
f(x) =
x2+2x− sin(2x)
;−π2
< x < 0
1 ; x = 0
ln(3x2 + e)−1 ; x > 0
Determine si f es contınua en x = 0. En caso de que no lo sea redefinir la funcion.
Teorema 5 (Algebra de Funciones Contınua) Sea f : A → R, g : B :→ Rcontınuas cada una en a ∈ A ∩B. Entonces
1. f + g, f − g, f · g son contınuas en a.
2. Si g(a) 6= 0 entonces fg
es contınua en a.
Teorema 6 (La compuesta de funciones contınuas es contınua) Sean f : A →R contınua en a y g : B → R contınua en b = f(a) tal que f(A) ⊆ B entonces
g ◦ f : A → R es contınua en a.
Teorema 7 (Teorema del Valor Intermedio) Sean a, b ∈ R y f : [a, b] → Rcontınua. Si γ ∈ R y cumple que f(a) < γ < f(b) entonces γ tiene al menos una
preimagen en el intervalo ]a, b[. Es decir, existe c ∈]a, b[ tal que f(c) = γ.
Teorema 8 (Bolzano-Weierstrass) Sean a, b ∈ R y f : [a, b] → R tal que
1. f es contınua en un intervalo cerrado y acotado [a, b].
2. f(a) · f(b) < 0, es decir f(a) y f(b) tienen distintos signos.
15
Entonces f tiene una raız en el intervalo ]a, b[. Es decir, existe c ∈]a, b[ tal que
f(c) = 0.
Teorema 9 (Weierstrass) Sea f : [a, b] → R una funcion continua en un intervalo
cerrado y acotado [a, b]. Entonces f es acotada y alcanza su valor maximo M y
su valor mınimo m. Es decir, existen puntos x1, x2 ∈ [a, b] tal que f(x1) = M y
f(x2) = m.
1.1.5. Funcion Exponencial y Logaritmo
Definicion 8 (Funcion Exponencial) La funcion exponencial esta definida por:
expa : R → R+
x 7→ expa(x) = ax
con a > 0 y a 6= 1
La funcion exponencial es creciente si a > 1 y es decreciente si 0 < a < 1
Propiedades de los exponentes
Sean a ∈ R con a > 0 y a 6= 1, α ∈ R.
1. a0 = 1
2. axay = ax+y
3. ax
ay = ax−y
4. (aαx) = (aα)x
Definicion 9 (Funcion logaritmo) La funcion Logarıtmo es la inversa de la fun-
cion exponencial, es decir:
ay = x ⇔ loga(x) = y
Diremos que ¨y es el logaritmo en base a de x”. La funcion logaritmo esta definida
por:
loga : R+ → Rx 7→ loga(x)
con a > 0 y a 6= 1.
La funcion logaritmo es creciente si a > 1 y es decreciente si 0 < a < 1.
16
Propiedades de los logaritmos
Sean a ∈ R con a > 0 y a 6= 1, α ∈ R.
1. loga(a) = 1
2. loga(1) = 0
3. loga(xy) = loga(x) + loga(y)
4. loga(xy) = loga(x)− loga(y)
5. loga(xα) = α loga(x)
Observacion:
lımx→∞
(1 +
α
x
)x
= eα
lımx→0
ax − 1
x= ln(a)
Ejemplo 21 Calcule
lımx→∞
2x − 7x
2x + 7x√
3
Ejemplo 22 Calcule
lımx→∞
(x + 8
x + 7
)2x
17
18
Capıtulo 2
Derivadas
2.1. Derivadas
Definicion 10 (Funcion Derivable) Sean I ⊆ R, f : I → R y a ∈ A′. Diremos
que f es derivable en el punto a, si existe el siguiente lımite
f ′(a) = lımx→a
f(x)− f(a)
x− a
Donde f ′(a) es la derivada de f en el punto a.
En el lımite anterior podemos hacer el siguiente cambio de variable h = x−a, luego
f ′(a) = lımh→0
f(h + a)− f(a)
h
Si J ⊆ I y f : J → R es una funcion derivable en todo punto x ∈ J podemos
definir la funcion derivada de f como
f ′ : J → Rx 7→ f ′(x)
Notacion: La derivada de f en el punto a la denotaremos por f ′(a) o tambien dfdx
(a).
Ejemplo 23 Calcule, usando la definicion, la derivada de:
1. f(x) = c.
2. f(x) = mx + b, con m, b ∈ R.
3. f(x) = sin(x).
19
Derivadas Importantes
1. (xn)′ = nxn−1, con n ∈ Z.
2. (x1n )′ = 1
nx
1n−1, con n ∈ Z− {0}.
3. (ex)′ = ex.
4. (ln(x))′ = 1x. x 6= 0.
5. (ax)′ = ln(a)ax
6. (sin(x))′ = cos(x).
7. (cos(x))′ = − sin(x).
8. (tan(x))′ = sec2(x)
9. (arctan(x))′ = 11+x2
10. (arcsin(x))′ = 1√1−x2 , |x| < 1
11. (arc cos(x))′ = − 1√1−x2 , |x| < 1
Definicion 11 (Derivadas laterales) Diremos que la derivada a la derecha del
punto x = a existe si
f ′(a+) = lımx→a+
f(x)− f(a)
x− a
existe.
Diremos que derivada a la izquierda del punto x = a existe si
f ′(a−) = lımx→a−
f(x)− f(a)
x− a
existe.
Ejemplo 24 La funcion f(x) = |x| no tiene derivada en x = 0.
Teorema 10 Si f es derivable en un punto x = a entonces f es contınua en x = a.
20
Demostracion:
lımx→a
f(x)−f(a) = lımx→a
(f(x)−f(a))·x− a
x− a= lım
x→a·f(x)− f(a)
x− alımx→a
(x−a) = f ′(a)·0 = 0
Por lo tanto,
lımx→a
f(x)− f(a) = 0 ⇔ lımx→a
f(x) = f(a)
�
Observacion: Una funcion derivable es siempre contınua, pero una funcion contınua
no siempre es derivable.
Ejemplo 25 Sea f : R → R+ definida por f(x) = |x + 2|, esta funcion es contınua
en x = −2, pero no es derivable en x = −2.
2.1.1. Interpretacion Geometrica
Consideremos la curva y = f(x).
1. Si f es derivable en el punto x = a entonces, para la grafica de f existe la
recta tangente en x = a, donde la pendiente es la derivada en x = a, es decir,
f ′(a).
2. Si f es derivable en el punto x = a entonces, llamaremos recta tangente a la
grafica de f en el punto (a, f(a)) a la recta que pasa por el punto x = a y
tiene pendiente f ′(a) cuya ecuacion esta dada por:
y − f(a)
x− a= f ′(a)
Donde
y = f ′(a)(x− a) + f(a)
3. Si f ′(a) = ∞, entonces la recta tangente al grafico de f en el punto (a, f(a))
es x = a.
4. Si f es una funcion con derivada en x = a distinta de 0, llamaremos recta
normal al grafico de f en el punto (a, f(a)) a la recta perpendicular a la recta
tangente en ese punto y que pasa por el. Es decir, es la recta cuya ecuacion es:
y = − 1
f ′(a)(x− a) + f(a)
21
Si f ′(a) = 0, entonces la recta normal al grafico de f en el punto (a, f(a)) es
x = a.
Si f ′(a) = ∞, entonces la recta normal al grafico de f en el punto (a, f(a)) es
y = f(a).
Ejemplo 26 Encuentre la ecuacion de la recta tangente a f(x) = x4 − 3x2 + 2, en
el punto (0, 1).
Ejemplo 27 Encuentre los valores de a, b, c ∈ R para los cuales las graficas de
f(x) = x2 + ax + b y f(x) = x3 − c se intersectan en el punto (1, 2) y tengan la
misma pendiente en ese punto.
2.1.2. Algebra de Derivadas
Sean f y g funciones derivables en x = a y α ∈ R. Entonces
1. (αf)′(a) = αf ′(a).
2. (f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a).
3. (fg)′(a) = f ′(a)g(a) + f(a)g′(a).
4. Si g(a) 6= 0 entonces (f
g
)′
(a) =f ′(a)g(a)− g′(a)f(a)
g2(a)
Corolario 2 Sea g una funcion derivable en x = a, con g(a) 6= 0. Entonces la
funcion 1g
es derivable en x = a.(1
g
)′
(a) =−g′(a)
g2(a)
Definicion 12 (Funcion Derivable o Diferenciable) Diremos que una funcion
f es derivable o diferenciable en un intervalo cerrado y acotado [a, b], si existe la
derivada en cada punto del intervalo abierto ]a, b[, es decir, existe la derivada a la
derecha en x = a y a la izquierda en x = b.
22
Ejemplo 28 Considere la funcion f : R → R definida por
f(x) =
{3 + ax ; x ≤ 1
x2 + b ; x > 1
con a, b ∈ R. Determine a, b de modo que f sea diferenciable en el punto x = 1.
Solucion: Primero tenemos que encontrar las condiciones para que f sea contınua
en x = 1.
1. f(1) = 3 + a
2. lımx→1+(x2 + b) = 1 + b y lımx→1−(3 + ax) = 3 + a
Luego,
b = 2 + a
Ahora, determinemos las condiciones para que f sea derivable en x = 1
lımx→1−
3 + ax− 3− a
x− 1= lım
x→1−
a(x− 1)
x− 1= a
Por otro lado,
lımx→1+
x2 + b− 3− a
x− 1
como b = 2 + a reemplazamos
lımx→1+
x2 + 2 + a− 3− a
x− 1= lım
x→1+
x2 − 1
x− 1= lım
x→1+
(x− 1)(x + 1)
x− 1= 2
Por lo tanto, a = 2 y b = 4.
2.1.3. Regla de la Cadena
Definicion 13 (Regla de la Cadena) Sean f : A → R y g : B → R tal que
f(A) ⊆ B y a ∈ A ∩ A′, b = f(a) ∈ B ∩ B′. Si existe f ′(a) y g′(b) entonces existe
(g ◦ f)′(a) la cual esta definida por:
(g ◦ f)′(a) = g′(b)f ′(a) = g′(f(a))f ′(a)
Ejemplo 29
Derivar las siguientes funciones
23
1. f(x) = (x + 1)2(x− 3)5.
2. f(x) =√
x2 + 1.
3. f(x) = 3 cos(x2) tan(x).
Ejemplo 30 El costo de producir x unidades de cierto artıculo es c(x) = 13x2 +
4x + 53 dolares y el nivel de produccion, t horas despues de iniciado el proceso de
produccion es x(t) = 15t2 + 3
100t unidades. ¿A que razon cambia el costo respecto del
tiempo al cabo de 4 horas?
Solucion: Debemos calcular (c ◦ x)′(t) = c′(x(t))x′(t). La derivada de la funcion
costo con respecto a las unidades es c′(x) = 23x + 4 y la derivada de la funcion
unidad con respecto al tiempo es x′(t) = 25t + 3
100.
Por la regla de la cadena tenemos que
(c ◦ x)′(t) = c′(x(t))x′(t) =
(2
3x + 4
) (2
5t +
3
100
)Cuando t = 4 el nivel de produccion es x(4) = 1
5·(4)2 + 3
100·4 = 3, 32 unidades.
Finalmente,dc
dt=
(2
3· 3, 32 + 4
) (2
5· 4 +
3
100
)= 10, 13
Por lo tanto, despues de 4 horas, el costo crece a una razon de US$10,13 por hora.
Ejemplo 31 Un estudio ambiental de cierta comunidad indica que el nivel diario de
monoxido de carbono en el aire sera c(p) =√
0, 5p2 + 17 partes por millon cuando
la poblacion es p miles. Se estima que dentro de t anos la poblacion de la comunidad
sera p(t) = 3, 1+0, 1t2 miles. ¿A que razon cambiara el nivel de monoxido de carbono
respecto al tiempo dentro de 3 anos?
Solucion: Debemos calcular (c ◦ p)′(t) = c′(p(t))p′(t). La derivada de la funcion
monoxido de carbono con respecto a la poblacion es
c′(p) =0, 5p√
0, 5p2 + 17
y la derivada de la funcion poblacion con respecto al tiempo es
p′(t) = 0, 2t
24
Por la regla de la cadena tenemos que
(c ◦ p)′(t) = c′(p(t))p′(t) =0, 5p√
0, 5p2 + 17· 0, 2t =
0, 1pt√0, 5p2 + 17
Cuando t = 3 el nivel de monoxido de carbono es p(3) = 3, 1 + 0, 1 · 9 = 4.
Finalmente,
(c ◦ p)′(t) =0, 1 · 4 · 3√0, 5 · 16 + 17
= 0, 24
partes por millon por ano.
2.1.4. Derivadas de Orden Superior
Definicion 14 Diremos que una funcion f es dos veces derivable en un punto x = a
si f ′ tiene derivada en x = a, la llamaremos segunda derivada de f en el punto x = a
y la denotaremos por f ′′(a).
f ′′(a) = lımh→0
f ′(a + h)− f ′(a)
h
Definicion 15 Diremos que la funcion f es dos veces diferenciable en I ⊆ R, si f
es dos veces derivable en todo punto de I.
Ejemplo 32 f(x) = sin(x), f ′(x) = cos(x), f ′′(x) = − sin(x).
Definicion 16 Sea f :]a, b[→ R una funcion. Si f es contınua en ]a, b[ diremos que
es clase C(0) en ]a, b[. Si f ′ es contınua en ]a, b[ diremos que es clase C(1) en ]a, b[.
En general, si fn :]a, b[→ R es contınua, entonces f es de clase C(n) en ]a, b[.
2.2. Aplicaciones de la derivada
2.2.1. Aplicacion Fısica de la derivada
Definicion 17 (Velocidad Media) Sea s(t) la funcion posicion en el tiempo t de
un objeto que se mueve en lınea recta. La velocidad media del objeto en el intervalo
[t, t + ∆t] esta dada por
s(t) =∆s
∆t=
s(t + ∆t)− s(t)
∆t
Donde ∆s∆t
es el incremento que experimenta s cuando t crece o decrece.
25
Definicion 18 (Velocidad Instantanea) Sea s(t) la funcion posicion en el tiem-
po t de un objeto en movimiento rectilıneo. La velocidad de un objeto en el instante
t esta dada por
s′(t) = lım∆t→0
s(t + ∆t)− s(t)
∆t
Donde v(t) = s′(t).
Definicion 19 (Aceleracion) Sea s(t) la funcion posicion en el tiempo t de un
objeto en movimiento rectilıneo. La velocidad de un objeto en el instante t esta dada
por
s′′(t) = lım∆t→0
v(t + ∆t)− v(t)
∆t
Donde v′(t) = s′′(t).
Ejemplo 33 Un cuerpo compacto cae libremente con un movimiento rectilıneo,
segun la funcion s(t) = 1600− 4, 9t2.
1. ¿Cuanto tardara el cuerpo en llegar al suelo?.
2. ¿Cual es la funcion velocidad y la funcion aceleracion?.
3. Calcule la velocidad y la aceleracion 2 segundos despues que se inicia el movi-
miento?.
4. ¿A que altura se encontrara el cuerpo, 5 segundos despues de empezar a caer?.
Solucion:
1. El cuerpo esta en el suelo cuando la funcion posicion es igual a cero.
s(t) = 1600− 4, 9t2 = 0
Luego, t = 18
2. La funcion velocidad esta dada por v(t) = s′(t) = −9, 8t. La funcion acelera-
cion esta dada por a(t) = s′′(t) = −9, 8
3. La velocidad y la aceleracion 2 segundos despues que se inicia el movimiento
son: v(2) = −19, 6 y a(2) = −9, 8
26
4. La altura esta dada por:
s(5) = 1600− 4, 9 · 25 = 1477, 5
Ejemplo 34 Sea s(t) = t2 + 6t + 10 la funcion posicion de una partıcula que se
mueve en lınea recta horizontal
1. ¿Cual es la posicion de la partıcula cuando s(t) = v(t)?.
2. ¿Cual es la velocidad de la partıcula cuando v(t) = −a(t)?.
Solucion: 1. La condicion es que s(t) = v(t). Luego,
t2 + 6t + 10 = 2t + 6 ⇔ t = −2
Por lo tanto,
s(−2) = 2
2.
a(t) = s′′(t)
Luego,
a(t) = 2
Por lo tanto, v(t) = −2.
2.2.2. Razon de Cambio
La velocidad se puede interpretar como la variacion de posicion de la funcion
s(t) con respecto al tiempo. La aceleracion se puede interpretar como la razon de
cambio de la velocidad con respecto al tiempo t. Sea f una funcion derivable respecto
al tiempo t.
Llamaremos tasa o razon media de variacion de y = f(t) en el intervalo [t, t+h]
al cuociente:f(t + h)− f(t)
h
Llamaremos tasa o razon de variacion de y = f(t) con respecto a t al siguiente
lımite:
f ′(t) = lımh→0
f(t + h)− f(t)
h
27
2.2.3. Derivada de una Funcion Implıcita
Dada una relacion, F (x, y) = 0 es posible encontrar una funcion y(x), esta
funcion existe y podemos calcular su derivada.
Teorema 11 Sea F : R×R → R una funcion que cumple con las siguientes condi-
ciones.
1. Existe un punto (x0, y0) ∈ R2 tal que F (x0, y0) = 0.
2. F es una funcion contınuamente diferenciable en una vecindad del punto
(x0, y0) ∈ R2.
3. dFdy
(x0, y0) 6= 0
Entonces existe una funcion implıcita y = f(x) definida en I =]a, b[ que contiene a
x0 y cuyo recorrido contiene a y0 tal que y0 = f(x0) y luego, F (x0, f(x0)) = 0, mas
aun F (x, f(x)) = 0 para todo x ∈ I. Su derivada esta dada por
dy
dx= −
dFdxdFdy
Ejemplo 35 Supongamos que las siguientes funciones son contınuamente diferen-
ciables en R2, encuentre la derivada en cada caso.
1. F (x, y) = xy4 + x2y + 3x3 − y + 2.
2. F (x, y) = cos(x2 + y)− 2y + 3.
3. F (x, y) = y2 sin(x)− e(x+y) + 1.
Ejemplo 36 Encuentre la ecuacion de la recta tangente y la recta normal a la curva
x23 − y
23 − y = 1, en el punto (1,−1).
Solucion:23x−
13 − 2
3y−
13
dydx− dy
dx= 0
dydx
(23y−
13 + 1
)= 2
3x−
13
dydx
=23x−
13
23y−
13 +1
28
Evaluando en el punto (1,−1) tenemos que:
dy
dx= 2
Por lo tanto, la ecuacion de la recta tangente, y = 2x− 3 y la ecuacion de la recta
normal, y = −12x− 1
2.
Ejemplo 37 Encuentre la ecuacion de la recta tangente a la curva 3x2+xy+y2+y =
2, en el punto (0, 1).
Solucion:6x + y + x dy
dx+ 2y dy
dx+ dy
dx= 0
dydx
(x + 2y + 1) = −6x− ydydx
= −6x−yx+2y+1
Evaluando en el punto (0, 1) tenemos que:
dy
dx=
1
3
Por lo tanto, la ecuacion de la recta tangente, y = 13x + 1.
2.2.4. Derivada de una Funcion Inversa
Teorema 12 Sea f : [a, b] → R una funcion derivable sobre [a, b] tal que f ′(x) 6= 0
y f ′ es contınua para todo x ∈ [a, b]. Entonces, f−1 existe y es diferenciable sobre el
recorrido de f .
(f−1)′(f(x)) =1
f ′(x)
para todo x ∈ [a, b].
Observacion: Sea y = f(x).
(f−1)′(y) =1
f ′(f−1(y))
Demostracion: Como f ′ es contınua y f ′(x) 6= 0, entonces f es estrictamente
creciente o decreciente y ademas f es inyectiva y contınua en [a, b]. Luego, existe
f−1 : [m,M ] → [a, b]. Sea y0 ∈ [m, M ] y x0 ∈ [a, b] tal que f(x0) = y0 entonces
f−1(y0) = x0. Luego,
29
(f−1)′(y) = lımy→y0
f−1(y)−f−1(y0)y−y0
= lımy→y0
x−x0
f(x)−f(x0)
= lımy→y0
1f(x)−f(x0)
x−x0
Por lo tanto,
(f−1)′(y) =1
f ′(f−1(y))
Ejemplo 38 Encuentre la derivada de la funcion inmversa.
1. f(x) =√
1− x−1
2.3. Maximos y Mınimos
2.3.1. Funciones Crecientes y Decrecientes
Definicion 20 (Funcion Creciente) Diremos que una funcion f : A → B es
creciente en A si
(∀a, b ∈ A)(a < b ⇒ f(a) ≤ f(b))
Definicion 21 (Funcion Estrictamente Creciente) Diremos que una funcion
f : A → B es estrictamente creciente en A si
(∀a, b ∈ A)(a < b ⇒ f(a) < f(b))
Definicion 22 (Funcion Decreciente) Diremos que una funcion f : A → B es
decreciente en A si
(∀a, b ∈ A)(a < b ⇒ f(a) ≥ f(b))
Definicion 23 (Funcion Estrictamente Decreciente) Diremos que una funcion
f : A → B es estrictamente decreciente en A si
(∀a, b ∈ A)(a < b ⇒ f(a) > f(b))
30
2.3.2. Valor Maximo y Mınimo
Definicion 24 (Valor Maximo Absoluto) Sean f : A ⊆ R → R y a ∈ A. Dire-
mos que f(a) es el valor maximo o maximo absoluto de f si
(∀x ∈ A)(f(x) ≤ f(a))
Definicion 25 (Valor Mınimo Absoluto) Sean f : A ⊆ R → R y a ∈ A. Dire-
mos que f(a) es el valor mınimo o mınimo absoluto de f si
(∀x ∈ A)(f(x) ≥ f(a))
Definicion 26 (Valor Maximo Relativo) Sean f : A ⊆ R → R y α ∈ A. Di-
remos que α ∈ A es un valor maximo relativo o maximo local de f si existe una
vecindad de α, Vε(α) tal que f(α) es el maximo absoluto de la funcion f restringida
a la vecindad Vε(α). Es decir,
(∀x ∈ Vε(α))(f(α) ≥ f(x))
Definicion 27 (Valor Maximo Relativo Estricto) Sean f : A ⊆ R → R y
α ∈ A. Diremos que α ∈ A es un valor maximo relativo estricto de f si existe
una vecindad de α, Vε(α) tal que
(∀x ∈ Vε(α)− {α})(f(α) > f(x))
Definicion 28 (Valor Mınimo Relativo) Sean f : A ⊆ R → R y α ∈ A. Di-
remos que α ∈ A es un valor mınimo relativo o mınimo local de f si existe una
vecindad de α, Vε(α) tal que f(α) es el mınimo absoluto de la funcion f restringida
a la vecindad Vε(α). Es decir,
(∀x ∈ Vε(α))(f(α) ≤ f(x))
Definicion 29 (Valor Mınimo Relativo Estricto) Sean f : A ⊆ R → R y α ∈A. Diremos que α ∈ A es un valor mınimo relativo estricto de f si existe una
vecindad de α, Vε(α) tal que
(∀x ∈ Vε(α)− {α})(f(α) < f(x))
Teorema 13 Sea f : A ⊆ R → R una funcion derivable en A. Entonces
31
1. Si f ′(x) ≥ 0 en ]a, b[ se tiene que f es creciente en [a, b]
2. Si f ′(x) > 0 en ]a, b[ se tiene que f es estrictamente creciente en [a, b]
3. Si f ′(x) ≤ 0 en ]a, b[ se tiene que f es decreciente en [a, b]
4. Si f ′(x) < 0 en ]a, b[ se tiene que f es estrictamente decreciente en [a, b]
2.3.3. Criterio de la Primera Derivada
Definicion 30 (Punto Crıtico) Sea f : A ⊆ R → R una funcion derivable en A.
Un punto c ∈ A, es un punto crıtico de f si f ′(c) = 0 o bien f ′(c) no esta definida.
Teorema 14 (Criterio de la Primera Derivada) Sea f una funcion continua
en un intervalo [a, b] y derivable ]a, b[, no necesariamente derivable en c ∈ A.
1. Si existe ε > 0 tal que f ′(x) > 0 en ]c − ε, c[ (vecindad izquierda de c) y
f ′(x) < 0 en ]c, c + ε[ (vecindad derecha de c), entonces f tiene un maximo
local estricto x = c.
2. Si existe ε > 0 tal que f ′(x) < 0 en ]c − ε, c[ (vecindad izquierda de c) y
f ′(x) > 0 en ]c, c + ε[ (vecindad derecha de c), entonces f tiene un mınimo
local estricto x = c.
Maximo relativo o maximo local
x c− ε c c + ε
f ′(x) + −f(x) ↗ ↘
Mınimo relativo o mınimo local
x c− ε c c + ε
f ′(x) − +
f(x) ↘ ↗
Ejemplo 39 Sea f(x) = x3 − 92x2 + 6x. Determine los intervalos en que f es
estrictamente creciente o decreciente.
32
La derivada de f es f ′(x) = 3x2 − 9x + 6 = 0 ⇔ (x− 1)(x− 2) = 0.
Puntos crıticos x = 1, x = 2.
]−∞, 1[ ]1, 2[ ]2, +∞[
x− 1 - + +
x− 2 - - +
(x− 1)(x− 2) + - +
f ′(x) > 0 f ′(x) < 0 f ′(x) > 0
Por lo tanto, f es creciente en el intervalo ]−∞, 1[ y en ]2, +∞[ y es decreciente en
]1, 2[.
Ahora, en x = 1, f(1) = 52, es un maximo absoluto y en x = 2, f(2) = 2 es un
mınimo absoluto.
Teorema 15 Sea f una funcion contınua en un intervalo I tal que alcanza su valor
maximo o mınimo en un punto x = c, con c ∈ I. Si f ′(c) existe, entonces f ′(c) = 0.
Teorema 16 (Teorema de Rolle) Sea f : [a, b] → R una funcion contınua tal
que
1. f es derivable para todo x ∈]a, b[.
2. f(a) = f(b).
Entonces existe c ∈]a, b[ tal que f ′(c) = 0.
Teorema 17 (Teorema del Valor Medio) Sea f una funcion definida en A y
[a, b] ∈ A tal que
1. f es contınua en [a, b].
2. f es derivable en ]a, b[.
Entonces, existe al menos un c ∈]a, b[ tal que
f ′(c) =f(b)− f(a)
b− a
33
Teorema 18 (Teorema del Valor Medio Generalizado) Sean f, g : [a, b] → Rfunciones contınuas y derivables en ]a, b[ tal que para todo x ∈]a, b[ g′(x) 6= 0.
Entonces existe c ∈]a, b[ tal que
f ′(c)
g′(c)=
f(b)− f(a)
g(b)− g(a)
Ejemplo 40 Demuestre que si f es una funcion contınua en un intervalo I tal que
f ′(x) = 0 para todo x ∈ I entonces f es constante.
Demostracion: Sean a, b ∈ I tal que a < b. Por el Teorema del valor medio, existe
c ∈ I tal que a < c < b y
f ′(c) =f(b)− f(a)
b− a= 0
Esto implia que
f(b) = f(a)
para todo a, b ∈ I. Por lo tanto, f es constante.
2.3.4. Criterio de la Segunda Derivada
Teorema 19 (Criterio de la Segunda Derivada) Sean f una funcion con se-
gunda derivada contınua y c un punto crıtico.
1. Si f ′′(c) > 0 entonces f tiene un mınimo local en c.
2. Si f ′′(c) < 0 entonces f tiene un maximo local en c.
3. Si f ′′(c) = 0 entonces no hay informacion.
Definicion 31 (Funcion Convexa⋃
) Sean I ⊆ R y f : I → R una funcion.
Diremos que f es convexa o concava hacia arriba en I si para todo a, b ∈ I, con
a < x < b el punto (x, f(x)) queda sobre la recta tangente en cada punto de I.
Definicion 32 (Funcion Concava⋂
) Sean I ⊆ R y f : I → R una funcion.
Diremos que f es concava o concava hacia abajo en I si para todo a, b ∈ I, con
a < x < b el punto (x, f(x)) queda bajo la recta tangente en cada punto de I.
Teorema 20 Sea f una funcion dos veces derivable en un intervalo ]a, b[
34
1. Si f ′′(x) > 0 entonces f es convexa, para todo x ∈]a, b[.
2. Si f ′′(x) < 0 entonces f es concava, para todo x ∈]a, b[.
Ejemplo 41 Determine si la siguiente funcion tiene un maximo o un mınimo.
f : [0, 2π] → Rx 7→ sin(x)(1 + cos(x))
Para encontrar los posibles a maximos y mınimos debemos resolver la ecuacion
f ′(x) = 0.
f ′(x) = cos(x)(1 + cos(x))− sin2(x)
= cos(x) + cos2(x)− sin2(x)
= cos(x) + cos2(x)− (1− cos2(x))
= 2 cos2(x) + cos(x)− 1
Luego,
f ′(x) = 2 cos2(x) + cos(x)− 1 = 0
Sea u = cos(x).
2u2 + u− 1 = 0
Las soluciones de esta ecuacion son u1 = 12, u2 = −1. Ası tenemos que, los puntos
crıticos son: x1 = π3, x2 = 5π
3y x3 = π.
Para analizar los puntos crıticos encontrados, calculamos la segunda derivada
de f .
f ′′(x) = − sin(x)(4 cos(x) + 1))
Por lo tanto,
f ′′(π
3
)= − sin(
π
3)(4 cos(
π
3) + 1)) = −3
√3
2< 0
Ası, f tiene un maximo en x = π3
f ′′(
5π
3
)= − sin(
5π
3)(4 cos(
5π
3) + 1)) =
3√
3
2> 0
Ası, f tiene un mınimo en x = 5π3
f ′′(π) = − sin(π)(4 cos(π) + 1)) = 0
Para x = π no hay informacion.
35
Teorema 21 (Teorema del valor medio para funciones o de Cauchy) Sean
f(x) y g(x) funciones derivables, cuyas derivadas no se anulan simultaneamente en
el intervalo [a, b] y si g(a) 6= g(b) entonces existe c ∈]a, b[ para el cual,
f(b)− f(a)
g(b)− g(a)=
f ′(c)
g′(c)
36
