UniversidadeEstadualPaulistaFaculdadedeEngenhariadeIlhaSolteiraDepartamentodeMatematicaCampus de Ilha SolteiraNotasdeEquacoesDiferenciaisOrdinariasJaimeEdmundoApazaRodriguezEdsonDonizetedeCarvalhoIlhaSolteira-SP,setembrode2010Sumario2Sumario1 Introducao 111.1 Introducao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.1 Ummodelomatematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.2 Aconstrucaodemodelosmatematicos . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2 DenicoesBasicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3 SolucoesdeumaEquacaoDiferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.1 SolucoesExplcitaseImplcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.4 AlgunsComentariosAdicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.5 Observacoesrelativasassolucoesdasequacoesdiferenciaisordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 EquacoesDiferenciaisOrdinariasdePrimeiraOrdem 372.1 Introducao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2 EquacoesLinearescomCoecientesVariaveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3 EquacoesSeparaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.4 EquacoesExatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.4.1 FatoresIntegrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.5 EquacoesLinearesenao-Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643SUMARIO SUMARIO2.5.1 Existenciaeunicidadedesolucoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.5.2 Intervalodedenicao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.5.3 Solucaogeral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.5.4 Solucoesimplcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.6 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.6.1 AplicacoesnaMecanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.6.2 AplicacoesemCircuitosEletricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.6.3 AplicacoesnaGeometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.6.4 AplicacoesnaQumica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.6.5 Aplicacoes`atemperaturaedesintegracaoradiativa . . . . . . . . . 893 EquacoesLinearesdeSegundaOrdem 953.1 Introducao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.2 EquacoesHomogeneascomCoecientesConstantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.3 SolucoesFundamentaisdeEquacoesLinearesHomogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.4 IndependenciaLineareoWronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.5 RazesComplexasdaEquacaoCaracterstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.6 ReducaodeOrdem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1323.7 EquacoesNao-homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.7.1 MetododosCoecientesIndeterminados . . . . . . . . . . . . . . . 1353.7.2 MetododeVariacaodosParametros . . . . . . . . . . . . . . . . . 1443.8 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1543.8.1 VibracoesMecanicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1543.8.2 CircuitosEletricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1633.8.3 ProblemasDiversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1664SUMARIO SUMARIO4 EquacoesDiferenciaisdeOrdemSuperior 1714.1 Introducao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714.2 EquacoesLinearesdeordemn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1725SUMARIO SUMARIO6ListadeFiguras1.1 corpoemquedalivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2 Pendulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1 JosephLouisLagrange(1736-1813) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1453.2 RobertHooke(1635-1703) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1547LISTADEFIGURAS LISTADEFIGURAS8ListadeTabelas9LISTADETABELAS LISTADETABELAS10Captulo1Introducao1.1 IntroducaoUmaequacaodaformaF(x, y, y, , y(n)) = 0,ondexea( unica)variavelindepen-denteey=y(x)avariavel dependente, chama-seequacaodiferencial ordinaria. Paraalguns, ointeresseintrnsicopelasequacoesdiferenciaisemotivosucienteparaestuda-las; para a maioria, as possveis aplicacoes em outros ramos do conhecimento faz do temaumassuntointeressante.MuitasleisgeraisdaFsica, BiologiaeEconomiaencontramsuaexpressaonaturalnessas equacoes. Varios princpios ou leis que regem o comportamento do mundo fsico saoproposicoes ou relacoes envolvendo uma taxa de varia cao segundo a qual certos fenomenosacontecem. Expressas nalinguagemmatematica, as relacoes saoequacoes e as taxassaoderivadas. Equacoescontendoderivadassaoequacoesdiferenciais. Portanto, paracompreender,resolvereinvestigarproblemasenvolvendoomovimentodeuidos,ouxode corrente eletrica em circuitos, a dissipacao de calor em objetos solidos, a propagacao edeteccao de ondas ssmicas, o aumento ou diminuicao de populacoes, entre muitos outros,eprecisoterumbomconhecimentosobreequacoesdiferenciais.Poroutrolado, questoesdapropriamatematica(TopologiaeGeometriaDiferencial,CalculodeVariacoeseoutras)saoformuladasporequacoesdiferenciaisordinariasouse111.1Introducao Introducaoreduzemaelas.Oestudodaequacoes diferenciais ordinarias comecoucomos metodos doCalculoDiferencial e Integral, descobertos por Isaac Newton(1642-1727) e por Gottifried WilhelmLeibnitz(1646-1716), eelaboradosnonal doseculoXVIIpararesolverproblemasmo-tivadospor consideracoesfsicasegeometricas. Aevolucaodestesmetodos, tornouasEquacoes Diferenciais como um novo ramo da Matematica, e em meados do seculo XVIIIsetransformounumadisciplinaindependente.Neste momento, a busca e analise de solucoes tornou-se uma nalidade propria. Tambemnesta epoca caram conhecidos os metodos elementares de resolucao (integracao) de variostiposdeequacoesdiferencias, tais comoas devariaveisseparaveis(y=f(y)g(x)), aslineares (y=f(x)y+g(x)), as de Bernoulli (y=p(x)y+q(x)yn), as de Clairaut(f(y) +xy= y),asdeRiccati (y= f0(x) +f1(x)y +f2(x)y2),tradicionalmenteestuda-dosemmuitoscursosintrodutoriosdecalculo.A natureza daquilo que era considerado solucao foi mudando gradualmente, num pro-cessoqueacompanhoue, asvezes, propiciouodesenvolvimentodoproprioconceitodefuncao. Inicialmentebuscavam-sesolucoesexpressasemtermosdefuncoeselementares,ouseja,polinomiais,racionais,trigonometricaseexponenciais. Posteriormentepassou-seaconsiderarsatisfatorioexpressarasolucaonaformadeumaintegral(quadratura)con-tendooperacoeselementaresenvolvendoestasfuncoes,aindaqueamesmanaoadmitisseumaexpressaoemtermosdestas. Quandoestesdoiscaminhosdeixaramderesolverosproblemasfocalizados,surgiramassolucoesexpressaspormeiodeseriesinnitas(aindasemapreocupacaocomaanalisedaconvergenciadasmesmas).Nonal doseculoXVIII aTeoriadas Equacoes Diferenciais setransformounumadasdisciplinasmatematicasmaisimportanteseometodomaisefetivoparaapesquisacientca. As contribuicoes deEuler, Lagrange, Laplace eoutros expandiramnotavel-mente oconhecimentodentrodoCalculodaVariacoes, MecanicaCeleste, TeoriadasOscilacoes, Elasticidade, DinamicadosFludos, etc. Nestaepocaseinicioutambemadescobertadasrelacoesdasequacoesdiferenciaiscomasfuncoesdevariavel complexa,12Introducao 1.1Introducaoseries de potencias e trigonometricas e funcoes especiais (conhecidas como de Bessel, etc.).Ograuqueoconhecimentomatematicoatingiunestaprimeirafasecouregistradonaobra de Euler: InstitutionesCalculiIntegraisem 4volumes,o ultimo deles publicadoem1794.NoseculoXIXosfundamentosdaAnaliseMatematicaexperimentaramumarevisaoe reformula caogerais visandomaior rigor e exatidao. Assim, os conceitos de limite,derivada,convergencia de series numericas e series de funcoes e outros processos innitosforamdenidosemtermosaritmeticos. Aintegral,quenoseculoanterioreraconcebidacomoprimitiva, foi denidacomolimitedeumasequenciadesomas. Estemovimentodefundamentacaonaodeixoudeatingir asequacoesdiferenciais. Enquantonoseculoanteriorprocurava-seumasolucaogeralparaumaequacaodiferencialdada,passou-seaconsiderarcomoquestaopreviaemcadaproblemaaexistenciaeunicidadedesolucoessatisfazendodadosiniciais. EsteeoproblemadeCauchy (estudado, porexemplo, emJ.Sotomayor,LicoesdeEquacoesDiferenciaisOrdinarias). Tomava-seentaoumaamplaclasse de equacoes diferenciais, como as lineares, por exemplo, para as quais a existencia eunicidade das solucoes estava aceita e procuravam-se propriedades gerais destas solucoes apartir de caractersticas das funcoes que deniam a equacao diferencial. Por outro lado, ometodo de separacao de variaveis aplicado a certas equacoes diferenciais parciais conduziuaequacoesordinariasquenaoadmitemsolucoesemtermosdefuncoeselementarescon-hecidas, como e o caso das equacoes de Sturm-Liouvillee das equacoes de Fuchs(linearescom coecientes analticos complexos com singularidades isoladas regulares). As primeirasfornecemumexemplocaractersticodeumproblemalineardecontorno, enquantoqueas equacoes Fuchsianas sistematizam varios tipos de equacoes especiais surgidas original-mente no seculo XVIII em trabalhos de Euler e Bernoulli e estudadas tambem por GausseRiemann. IncluemequacoesderelevanciadaFsica-Matematica, comoasdeBessel,LegendreeGauss(ouhipergeometrica).Ummarcodereferenciafundamental naevolucaodasequacoesdiferenciaseotra-balho de Poincare: Memoiresurlescurbesdeniesparune equationdierentielle(1881)131.1Introducao Introducaonoqual saolancadas as bases daTeoriaQualitativadas Equacoes Diferenciais. Estateoriavisaadescricaodaconguracaoglobal dassolucoeseoefeitodepequenasper-turbacoesdascondicoesiniciais(estabilidade). Oestudodaestabilidadedeumsistema,deenormeimportancianatecnologiacontemporanea, tevesuaorigememquestoes deMecanicaCelesteestudadasinicialmenteporNewton, LagrangeeLaplace. Aperguntaeseumapequenaperturbacaonaposicaoevelocidadedeumcorpocelesteocolocaemumaorbitaqueseafastaouconvergeparaaorbitaoriginal. Oproblemageral daesta-bilidade foi simultaneamente estudado por Liapounov, que juntamente com PoincarequeeconsideradoofundadordaTeoriaQualitativadasEquacoesDiferenciais.OutroaspectodaTeoriaQualitativa, tambemestudadoporPoincare, visadescreverocomportamentoassintoticodas solucoes e aestruturade seus conjuntos limites. Ocomportamento assintotico de uma solucao se obtem quando se faz a variavel independente(tempo)tenderparainnito. Oconjuntolimitepodeserumpontodeequilibrio, umasolucaoperiodicaououtroconjuntomaiscomplicado.Uma equacao diferencial que descreve algum fenomeno fsico e chamado, muitas vezes,demodelomatematicodoprocesso. Valeapenaressaltarquemesmoasequacoesdifer-enciais mais simples fornecemmodelos uteis defenomenofsicos importantes. VamosilustraristocomumexemplonaproximaSecao.1.1.1 UmmodelomatematicoSuponhaqueumcorpo, demassamestacaindoaltodeumedifciocomoilustraaFigura3.1.Vamosformularumaequacaodiferencialquedescreveseumovimento.Usaremostparadenotarotempoev= v(t)pararepresentaravelocidadedoobjetoemqueda, comofuncaodet. Aescolhadasunidadesdemedidaeumtantoarbitraria;assim,vamosmedirotempotemsegundos(s)eavelocidadevemmetrosporsegundo(m/s). Alemdisso,vamossuporquevepositivaquandoosentidodomovimento eparabaixo.14Introducao 1.1IntroducaoFigura1.1: corpoemquedalivreAlei fsicaqueregeomovimentodeobjetoseasegundalei deNewton, expressapelaequacaoF=ma,ondeFeaforcatotalagindosobreoobjeto,mamassaeasuaaceleracao.Nestecaso,paramanterasunidadesdemedidaconsistentes,teremosmemquilogra-mas(kg),Femnewtons(N)eaemmetrosporsegundoaoquadrado(m/s2).Comoa =dvdt,aequacaoanteriorsereescrevecomoF= mdvdt. (1.1)Agora, existemforcasagindosobreoobjeto. Agravidadeexerceumaforcaigual aopeso do objeto, ou seja mg, onde g e a aceleracao devida `a gravidade. Tambem existe umafor cadevido`aresistenciadoar, v, proporcional `avelocidade, ondeeumaconstantechamadadecoecientedaresistenciadoar.Paraescreverumaexpressaoparaaforcatotal F, lembramosqueagravidadeage151.1Introducao Introducaosempreparabaixo, enquantoaresistenciadoarageparacima. LogoF=mg veassimsubstituindonaEquacao1.1,temos:mdvdt= mg v. (1.2)Esta equacao e um modelo matematico (simples) de um objeto em queda. Observamosqueomodelocontemtresconstantesm, g, . Asconstantesme dependemdoobjetoemparticular;poroutrolado,aconstantegeamesmaparatodososobjetos.Para resolver a equacao acima precisamos encontrar uma funcao v= v(t) que satisfacaa equacao. Isso nao e difcil e sera mostrado mais pra frente. Entretanto, vamos ver o quepodemosdescobrirsobresolucoessem, defato, acharqualquerumadelas. Parailustrarmelhor tal fato vamos atribuir alguns valores numericos para as variaveis me . Supondom = 10(Kg.) e = 2(kg.m/s2),assimaequacao1.1,torna-sedvdt= 9, 8 v5. (1.3)Agora, analizamos esta equacao do ponto de vista geometrico. Suponha v= 40, entaodv/dt = 1, 8. Issosignicaqueainclinacaodeumasolucaov= v(t)temovalor1, 8emqualquerpontoondev=40. Istopodeserrepresentadogracamentenumplanocarte-sianotv, tracandopequenossegmentosderetacomcoecienteangular1, 8emdiversospontos aolongodaretav =40. Procedendodeigual formacomoutros valores devobtemosnoplanooquechama-sedeumcampodedirecoes. Ofatoimportantedestecampodedirecoes equecadasegmentodereta etangenteaogracodeumasolucaodaequacao1.3.Destemodo,mesmonaotendoencontradoqualquersolucao,podemosfazerdeducoesqualitativassobreocomportamentodassolucoes. Porexemplo, sevformenordoquecerto valor crtico, entao todos os segmentos de reta tem coecientes angulares positivos ea velocidade do objeto em queda aumenta enquanto ele cai. Por outro lado, se v for maiordoqueovalorcrtico, entaoossegmentosderetatemcoecientesangularesnegativos16Introducao 1.1Introducaoeoobjetoemquedavai diminuindoavelocidade`amedidaquecai. Mas, qual eessevalorcrticodevqueseparaosobjetoscujavelocidadeestaaumentandodaquelescujavelocidadeestadiminuindo? Nocasodaequacaoacima, essevalor crtico(solucaodeequilbrio)ev=49m/s,obtidadefazerdv/dt=0. Defato,afuncaoconstantev=49easolucaodeequilbriopoisnaovariacomotempo; estacorrespondeaumequilbrioentreagravidadeearesistenciadoar.Aabordagemfeitanoexemploacimapodeseraplicadanocasogeraleosresultadossaoessencialmenteosmesmos. Nestecaso,asolucaodeequlibrio ev= mg/.Oscamposdedirecoessaoferramentas uteisnoestudodesolucoesdeequacoesdifer-enciaisdaformadydt= f(t, y), (1.4)ondefeumafuncaodadadeduasvariaveis, algumavezeschamadadefuncaotaxadevariacao.Para uma equacao do tipo acima, um campo de direcoes pode ser construdo calculandofem cada ponto de uma malha retangular consistindo em, pelo menos, algumas centenasde pontos. Entao, em cada ponto da malha desenha-se um pequeno segmento de reta cujocoecienteangular eovalordafuncaofnaqueleponto. Dessaforma,cadasegmentodereta e tangente ao graco de uma solucao contendo aquele ponto. Um campo de direcoesdesenhadoemumamalharazoavelmentenaforneceumaboaideiadocomportamentoglobal das solucoes de uma equacao diferencial. A construcao de um campo de direcoes eumprimeiropasso utilnainvestigacaosobreumaequacaodiferencial.E preciso fazer duas observacoes. Para construir um campo de direcoes, muitas vezes,nao precisamos resolver a equacao diferencial, bastando calcular a funcao f(t, y), (mesmopara equacoes diferenciais muito difceis). Por outro lado, desenhar um campo de direcoeseumatarefaparaumcomputadorpoisimplicacalculosrepetidosdevaloresdafuncaodada.171.2DenicoesBasicas Introducao1.1.2 AconstrucaodemodelosmatematicosParapodermosfazer usodasequacoesdiferenciaisemaplicacoesnasmaisdiversasareasdoconhecimento, precisamos, primeiro, formularaequacaodiferencial apropriadaque descreve, ou modela, o problema em questao. Cada problema e diferente um do outroeaartedemodelarnaoeumahabilidadequepodeserreduzidaaumalistaderegras.Apesardisso,podeser utillistaralgunspassosdoprocesoaseguir:(1) Identicar as variaveis independente e dependente (muitas vezes, a variavel indepen-dente eotempo).(2) Escolher asunidadesdemedida. Estaescolhaearbitraria, masalgumasescolhaspodemsermaisconvenientesdoqueoutras.(3) Usaralgumalei ouprincpiobasicoqueregeoproblemaemquestao. Istorequeralgumafamiliaridadecomocampodeaplicacaodoproblema.(4) Expressar a lei ou princpio em funcao das variaveis escolhidas. Pode ser preciso usarconstantesfsicasouparametros,comvaloresapropriadosparaeles. Tambempodeser utilusarvariaveisauxiliaresouintermediarias.(5) Vericarsecadaparceladaequacaoestanasmesmasmedidasfsicasparasercon-sistentedopontodevistadimensional.(6) Em casos mais complicados, o modelo pode envolver um sistema com varias equacoesdiferenciais.1.2 DenicoesBasicasDenicao 1.2.1.Uma equacao que contem as derivadas de uma ou mais variaveis depen-dentes em relacao auma oumais variaveis independentes e dita EquacaoDiferencial.Asequacoesdiferenciaissaoclassicadasquantoaotipoem:18Introducao 1.2DenicoesBasicas(1) Equacoes Diferenciais Ordinarias: sao as que contem so derivadas ordinarias de umaoumaisvariaveisdependentescomrelacaoauma unicavariavelindependente.(2) EquacoesDiferenciaisParciais: saoasquecontemasderivadasparciaisdeumaoumaisvariaveisdependentesemrelacaoaduasoumaisvariaveisindependentes.Exemplo1.2.1. (EquacoesDiferenciaisOrdinarias)(i)dydx y + 1 = 0;(ii) (y x)dx + 4xdy= 0;(iii)dudx+dvdx= x;(iv)d2ydx2 2dydx+ 6y= 0.Exemplo1.2.2. (EquacoesDiferenciaisParciais)(i)uy= vx;(ii) xux+yuy= u;(iii)2ux2=2ut2 2ut;(iv)2vx2+2vy2+2vz2= 0.Observacao1.2.1. Nestasnotasdeaulasestudaremosunicamenteequacoesdiferenciaisordinarias.Asequacoesdiferenciaistambemsaoclassicadasquantoaordem. Denimoscomoordem de uma Equacao Diferencial como sendo ordem da derivada de maior ordem dadanaequacao.Exemplo1.2.3. (i)d2ydx2+ 5(dydx)34y= ex(EDOdesegundaordem);191.2DenicoesBasicas Introducao(ii) (y x)dx + 4xdy= 0 ou 4xdydx+y= x,(EDOdeprimeiraordem);Denicao 1.2.2.Se uma equacao diferencial pode-se racionalizar a respeito das derivadasquecontemeeliminarestasdosseusdenominadores, oexpoentedaderivadademaiorordemchama-sedegraudaequacaodiferencial.Exemplo1.2.4. (i) Aequacaodiferencial(y)2/3= 1 +ypode-seracionalizarelevandoaocuboambososmembros,obtendoassim(y)2= (1 +y)3. Portantoestaequacaotemgrau2.(ii) Aequacaodiferencialy +(y)2= lnyeumexemplodeumaequacaocujograunaoestadenido.Emgeral,umaequacaodiferencialordinariageralden-esimaordem edadaporF(x, y, y, y, , y(n)) = 0. (1.5)Comocasoespecialdaequacao1.6temosaEDOaseguirdadapelaDenicao1.2.3.Denicao1.2.3. Umaequacaodiferencial ordinariaeditalinearsepodeserescritanaformaan(x)y(n)+ an1(x)y(n1)+ +a1(x)y +a0(x)y= g(x). (1.6)ondeai(x), i = 1, . . . , neg(x)saofuncoesreais.Asequacoesdiferenciaisordinariaslinearessaocaracterizadasporduaspropriedades:(i)yetodassuasderivadassaodeprimeirograu(apotenciadecadatermoenvolvendoye1).(ii)CadacoecientenaEquacao1.6dependeapenasdex.Denicao1.2.4. Umaequacaodiferencial quenaoelineareditanao-linear.20Introducao 1.2DenicoesBasicasExemplo1.2.5. (i) xdy +ydx = 0,EDOlineardeprimeiraordem;(ii) y2y +y= 0,EDOlineardesegundaordem;(iii) x3yx2y + 3xy + 5y= ex,EDOlineardeterceiraordem;(iv) yy2y= x,EDOnao-lineardesegundaordem(umcoecientedependedey);(v) y + y2= 0,EDOnao-lineardeterceiraordem(ytempotencia2).Um problema fsico simples que leva a uma equacao diferencial nao-linear e o problemadopendulo. OanguloqueumpendulodecomprimentoLoscilandofazcomadirecaoverticalconformeaFigura1.2Figura1.2: Pendulosatisfazaequacaod2dt2+gLsen = 0. (1.7)Apresencadaparcelaenvolvendosenfazcomqueaequacaoacimasejanao-linear.Ateoriamatematicaeosmetodospararesolverequacoeslinearesestaobastantede-senvolvidos. Emcontraste, ateoriaparaequacoesnao-linearesemaiscomplicadaeosmetodosderesolucaosaomenossatisfatorios. Emvistadisso, eauspiciosoquemuitosproblemassignicativoslevamaequacoesdiferenciaisordinariaslinearesoupodemseraproximadosporequacoeslineares. Paraocasodopendulo,porexemplo,seoangulofor pequeno, entao sen e assim a equacao anterior pode ser aproximada pela equacao211.3SolucoesdeumaEquacaoDiferencial Introducaod2dt2+gL = 0. (1.8)Este processo de aproximar uma equacao nao-linear por uma linear e chamado de lin-earizacaoe e extremamente util para tratar equacoes nao-lineares. Apesar disto, existemmuitosfenomenosfsicosquenaopodemserrepresentadosadequadamenteporequacoeslineares.Anvel elementar e natural enfatizar as partes mas simples e diretas doassunto,portantonamaior parte destas notas estaremos abordandoas equacoes lineares. Noentanto,noproximocaptulolidaremoscomalgumasequacoesnao-lineares.Dado que o objetivo nestas notas e achar solucoes para equacoes diferenciais ordinarias,vamosdiscutiracercadelas.1.3 SolucoesdeumaEquacaoDiferencialDenicao 1.3.1. Dizemos que umafuncaof denidaemumintervaloI que temnderivadascontnuasemI,asquaisquandosubstitudasnaEquacao1.9F(x, y, y, , y(n)) = 0 (1.9)reduz a uma identidade, e denominadasolucao para a equacao diferencial no intervalodado.OintervaloIpodeserdotipoI= (a, b), I= [a, b]ouI= (0, ).Exemplo1.3.1. (i) Afuncaoy=x416eumasolucaoparaaequacaonao-lineardydx=xy1/2,nointervaloI= (, +). !Vericar!.(ii) Afuncaoy= xexeumasoluc aoparaaequacaolineary2y +y= 0,nointervaloI= (, +).22Introducao 1.3SolucoesdeumaEquacaoDiferencialObservacao1.3.1. (i) NosExemplos1.3.1[i]e[ii],afuncaoy= 0tambemsatisfazaequacaodada,paratodox R. Estasolucaoeconhecidacomosolucaotrivial.(ii) Nem toda equacao diferencial possui necessariamente uma solucao. Assim, as equacoes(y)2+ 1 = 0e(y)2+y2+ 4 = 0naopossuemsolucoesreais.(iii) Aequacaodesegundaordem(y)2+ 10y4=0possui unicamenteasolucaotrivialy= 0.Em muitos casos, e preciso achar solucoes de equacoes diferenciais satisfazendo certascondicoes, chamadascondicoesiniciais oucondicoesdecontorno. Estascondicoespo-demsemanifestardemodocompletamente natural,comoocorrenumproblemafsicooumaterial. Nestescasos,naosodevemosnosperguntarseexistesolucao,ounao,eseex-istem,seraqueexistemoutras. Porexemplo,suponhaaequacaodiferencial xy2y= 0edeseja-seacharumasolucaosatisfazendoacondicaoy(1)=1. Temosquey=cx2eumasolucaogeral. Paraquesejasatisfeitaacondicaodada, devemosterc=1epor-tantoy= x2(solucaoparticular)quesatisfazacondicaodada. Seesta ea unicasolucaosatisfazendoessacondicao eumaquestaoaindanaorespondida.Para mostrar o importante papel das condicoes na determinacao da existencia de umasolucao, consideremos ocasodamesmaequacaoanterior sujeita`acondicaoy(0) =1.Considerandoasolucaoy= cx2, eclaroquenenhumvalordecsatisfazessacondicao.Dasobservacoesacima, deduzimosqueexistem, pelomenostresquestoes, arespeitodasequacoesdiferenciais:(1) Existencia:Dada uma equacao diferencial, existe uma solucao satisfazendo certascondicoesdadas?(2)Unicidade: Seexistesolucaosatisfazendoascondicoesdadas,podeexistirumaoutrasolucaodiferentequetambemassatisfaca?(3) Determinacao:Se existem uma ou mais solucoes satisfazendo as condicoes dadas,comofazerparadeterminarelas?231.3SolucoesdeumaEquacaoDiferencial IntroducaoAnvel elementar, tende-searessaltar aterceiraquestao, evitandoinclusivemen-cionar as duas primeiras. O motivo para faze-lo e simples: os conhecimentos matematicosnecessariospararesponderessasquestoesdemaneiracompletaestaoalemdaquiloquegeralmenteeadquiridonosdoisprimeirosanosdoensinosuperior. Portanto, ofsico,engenheiroououtrocientistapodeatedesconheceraexistenciadessasquestoes.Eim-portantequeos alunos quevaofazer usodealgumas equacoes diferenciais saibamdaexistenciadetaisquestoes, mesmosemteratingidoaindaosconhecimentosnecessariosparacompreende-los.Paraperceber asuaimportancia, suponhaquefoi possvel achar umasolucaosat-isfazendocertascondicoes.Eclaroqueaquestaodaexistenciafoi respondidaarma-tivamente. Agora, seraconvenientepesquisarparasaberseexistemsolucoesdiferentessatisfazendo as condicoes estabelecidas. Se existissem, isto signicaria (se a equacao surgiudeumproblemapratico)queosistemafsicooumaterialcomporta-sedeformasdistin-tassobasmesmascondicoes,oquedefatodiriaqueamatematicanaoconcordacomaciencia. Naturalmente, nestecaso, haveriaquepensaremrevisaraequacaodiferencialatequeosresultadosconcordemcomosfatosfsicos.Suponha, por outro lado, que foi possvel garantir denitivamente que nao existe umasolucao. Entao claramente nao teria sentido perder tempo tentando encontrar um metododeacharasolucao.Um dos objetivos destas notas consiste em fornecer uma introducao a alguns dos maisimportantesproblemasquesurgemnacienciaetecnologiaeparaating-loseraprecisomostrarcomoseresolvemequacoesdiferenciaisqueprovemdaformulacaomatematicadessesproblemas. Oleitordevesaberqueexistemtresetapasnaresolucaoteoricadosproblemascientcos:(1) Formulacao matematica do problema cientco: As leis da ciencia, baseadasnaturalmenteemexperimentos,seexpressamatravesdeequacoesdiferenciais.(2) Resolucao das equacoes:E preciso resolver essas equacoes, sujeitas as condicoesestabelecidaspeloproblemafsico, paradeterminarasolucao. Osmetodospodemdar24Introducao 1.3SolucoesdeumaEquacaoDiferencialuma solucao exata ou solucao aproximada. No estudo das solucoes devem ser levadas emcontaasquestoesdeexistenciaeunicidade.(3)Interpretacaocientcadassolucoes: Interpretaroqueaconte cesicamenteapartirdasolucaoencontrada. Istopodeserfeitoconstruindotabelasougracosparacompararateoriacomaparteexperimental.1.3.1 SolucoesExplcitaseImplcitasUma solucao para a equacao 1.9 que pode ser escrita na forma y= f(x) e dita solucaoexplcita.Exemplo1.3.2. (i) A funcao y= e2xe uma solucao explcita para a equacao diferencialdydx= 2y.(ii) A funcao y= xexe uma solucao explcita para a equacao diferencial y2y+y= 0.UmrelacaoG(x, y)=0eumasolucaoimplcitaparaaequacao1.9numintervaloIsedeneumaoumaissolucoesexplcitasemI.Exemplo1.3.3. (i) Arelacaox2+ y2 4=0eumasolucaoimplcitaparaaequacaodydx= xynointervalo(2, 2). Observar que essarelacaodene duas funcoesdiferenciaveisexplcitas: y=4 x2e y= 4 x2em(2, 2). Alemdisso,notarquequalquerrelacaodaformax2+y2c = 0satisfazformalmenteaequacaodada, paraqualquerconstantec. Porem, eclaroquearelacaodevesemprefazersentido no conjunto R dos n umeros reais. Logo, por exemplo, a relacao x2+y2+1 = 0naodeterminaumasolucaodaequacaodiferencial dada.(ii) Arelacaoy33x +3y 5 = 0 esolucaodaequacaodiferencialy +2y(y)2= 0. Defato,aoderivararelacaoarespeitodextemosy=1y2+ 1, y= 2y(y2+ 1)2.251.3SolucoesdeumaEquacaoDiferencial IntroducaoLogo,substituindonaequacaodiferencialobtemosaidentidade.Agora, dada uma equacao diferencial, geralmente possui um n umero innito de solucoes.Exemplo1.3.4. (i) Por substituicao direta, pode-se vericar que qualquer funcao (curva)dafamliadesolucoesaumparametroy= cex,ondeceumaconstantearbitraria,satisfazaequacaodydx= 2y. Asolucaotrivial y= 0eummembrodestafamliadesolucoescorrespondenteac = 0.(ii) Afamliadefuncoes(curvas)y=cxex, ondeceumaconstante,eumafamliadesolucoesdaequacaoy2y +y= 0.(iii) Para qualquer valor da constante c, a funcao y=cx+1 e uma famlia de solucoes daequacaodiferencial deprimeiraordemxdydx+ y=1, nointervalo(0, ). Defato,dydx= cx2, logoxdydx+y= x(cx2 ) +cx+ 1 = 1.Assim,variando o parametro c obtemos uma innidade de solucoes. Em particular,fazendoc = 0obtemosasolucaoconstantey= 1.Observar tambem que y=cx+1 e uma solucao da equacao diferencial dada em qual-querintervaloquenaocontenhaaorigem. Afuncaoy=cx+ 1naoediferenciavelemx = 0.(iv) As funcoes y =c1cos4x e y =c2sen4x, ondec1, c2saoconstantes arbitrarias,saosolucoes paraaequacaodiferencial y+ 16y =0. Tambemafuncaosomay= c1cos4x +c2sen4xesolucao! Vericar!(v) Asfuncoesy=ex, y=ex, y=c1ex, y=c2exe y=c1ex+ c2exsaotodassolucoesdaequacaodiferencial lineardesegundaordemy y=0. Observarquey= c1exesolucaoparaqualquerescolhadec1,masy= ex+c1, c1 = 0naosatisfazaequacao.(vi) Qualquerfuncao dafamlia desolucoes a umparametro y= cx4e uma solucao paraaequacaodiferencial xy4y= 0. Poroutrolado,afuncao26Introducao1.4AlgunsComentariosAdicionaisy=___x4, x < 0x4, x 0e tambem solucao. Observar que esta funcao nao pode ser obtida a partir de y= cx4porintermediodeum unicaescolhadoparametroc.1.4 AlgunsComentariosAdicionaisQuando resolvemos uma equacao diferencial ordinaria do tipo F(x, y, y) = 0, normal-menteobtemosumafamliadecurvasoufuncoesG(x, y, c)=0contendoumparametroarbitrario, tal que cada membro da famlia e uma solucao da equacao diferencial. Na reali-dade, quando resolvemos uma equacao diferencial de n-esima ordem F(x, y, y, , y(n)) =0esperamosobterumafamliadesolucoesan-parametrosG(x, y, c1, , cn) = 0.Umasolucaoparaumaequacaodiferencial queindependedeparametrosarbitrarioseditasolucaoparticular. Umaformadeobterumasolucaoparticulareescolhervaloresespeccos paraos parametros nafamliade solucoes. Por exemplo, paraaequacaodiferencial yy= 0 temos que y= cexe uma famlia de solucoes a um parametro. Parac = 0, c = 2, c = 5obtemosassolucoesparticularesy= 0, y= 2ex, y= 5ex.As vezes, uma equacao diferencial possui uma solucao que nao pode ser obtida especi-candoosparametrosemumafamliadesolucoes. Talsolucao editasolucaosingular.Exemplo1.4.1. Paraaequacaodiferencial y=xy1/2, umafamliadesolucoesaumparametroey=_x24+c_2. Quandoc=0,asolucaoresultanteey=x416. Nestecaso,asolucaotrivial y=0eumasolucaosingularpois naopodeserobtidadafamliadesolucoesatravesdeumaescolhadoparametroc.SetodasolucaoparaaequacaoF(x, y, y, , y(n)) = 0nointervaloIpodeserobtidadarelacaoG(x, y, c1, , cn) =0, paraumaescolhaapropriadados parametrosci, i =271.5Observacoesrelativasassolucoesdasequacoesdiferenciaisordinarias Introducao1, 2, , n, dizemosqueafamliadesolucoesan-parametroseuma solucaogeral (oucompleta) para a equacao diferencial. Este nome e mais usado no caso de equacoesdiferenciaislineares. Arepresentacaogeometricadasolucaogeraleumafamliainnitadecurvas,chamadasdecurvasintegrais. Cadacurvaintegral estaassociadaaumvalorparticulardaconstanteeeogracodasolucaocorrespondenteaquelevalor.1.5 ObservacoesrelativasassolucoesdasequacoesdiferenciaisordinariasEstudaremosalgumaspropriedadesdassolucoesdasequacoesdiferenciaisordinarias.Amdefacilitaronossoestudo,consideraremosumexemplosimples. Sejaafuncaox = asen2t +bcos2t, (1.10)ondea, bsaoconstantes. Derivandoobtemosdxdt= 2acos2t 2bsen2t, (1.11)d2xdt2= 4asen2t 4bcos2t. (1.12)Dasigualdades1.11e1.12temosqued2xdt2= 4x, (1.13)que e uma equacao diferencial de segunda ordem.E obvio que esta equacao foi obtidadaEquacao1.10eliminandoasconstantesaeb. TambemeclaroqueaEquacao1.10esolucao da Equacao 1.13. As constantes a e b nao possuem valores especcos e a Equacao1.10 eumasolucaogeraldaEquacao1.13quaisquerquesejamosvaloresdasconstantes.Alemdisso,nao epossvelsubstituiressasduasconstantesporumn umeromenordelas.Ditasconstantessaochamadasdeconstantesarbitrariasessenciais.28Introducao1.5ObservacoesrelativasassolucoesdasequacoesdiferenciaisordinariasAssim, emgeral, umarelacaocontendonconstantes arbitrarias conduziraaumaequacaodiferencialordinariaden-esimaordemaoeliminarasconstantes.Os matematicos conseguirammostrar o seguinte resultado que apresentamos semdemonstra caoTeorema1.5.1. Umarelacaoentreumavariavel dependenteeoutraindependentequecontenha n constantes arbitrarias podera ser derivada de modo a obter uma equacao difer-encial deordemnnaqual naoexistamconstantesarbitrarias.Exemplo1.5.1. Encontraraequacaodiferencial darelacaoy= ae3x+ be2x+ce2x, (1.14)ondea, b, csaoconstantesarbitrarias.DerivandoaRelacao1.14temosy= 3ae3x2be2x+ 2ce2x. (1.15)Eliminamos aconstante b se multiplicarmos por 2arequacao1.14e somarmos aequacao1.15. Assimobtemos2y +y= 5ae3x+ 4ce2x(1.16)Derivandoaequacao1.16temos2y +y= 15ae3x+ 8ce2x(1.17)Multiplicandoaequacao1.16por3esubtraindoaequacao1.17doresultado,obtemos6y +yy= 4ce2x, (1.18)quetemumasoconstantearbitraria. Aoderivaraequacao1.18resultaem291.5Observacoesrelativasassolucoesdasequacoesdiferenciaisordinarias Introducao6y +yy= 8ce2x. (1.19)Multiplicandoaequacao1.18por2esubtraindoaequacao1.20doresultado, elimi-namosaconstanteceteremosy3y4y + 12y= 0, (1.20)queeumaequacaodiferencial deterceiraordemecujasolucaoeaequacao1.14.Observar que poderia se obter uma equacao diferencial de ordem maior que tenha comosolucaoarelacaodada. Istopodeservericadoderivandoaequacao1.20. Maslembrarquesempredevemosteraordemdaequacaoigual aon umerodeconstantesarbitrarias(essenciais).Exemplo1.5.2. Encontrarumaequacaodiferencial paraafamliadetodasascircun-ferenciasderaio1ecentroemqualquerponto(a, b).Aequacaodessacircunferenciae(x a)2+ (y b)2= 1 (1.21)Derivandoaequacao1.21emrelacaoaxobtemos2(x a) + 2(y b)y= 0 (1.22)Colocandoemevidencia(x a)esubstituindonaequacao1.21teremos(y b)2(y)2+ (y b)2= 1, (1.23)demodoqueeliminamosaconstantea.Agora,paraeliminarb,colocamosemevidencia(y b),obtendoy b = [1 + (y)2]1/2(1.24)30Introducao1.5ObservacoesrelativasassolucoesdasequacoesdiferenciaisordinariasDerivandoesimplicandoesta ultimaequacaoresultay[1 + (y)2]3/2= 1 (1.25)queeaequacaodesegundaordempedida.Oleitordevelembrarqueoprimeiromembrodaequacao1.25eacurvaturadeumacurva plana. Assim, a equacao 1.25 estabelece que a curvatura de certa curva plana, numpontoqualquerdacurva,eigual a1, emvalorabsoluto. Somenteascircunferenciasderaio1possuemestapropriedade.Nos Exemplos 1.5.1 e 1.5.2 podemos indagar se as solucoes encontradas sao as unicas.Emgeral, dadaumarelacaocomnconstantesarbitrarias, seraa unicasolucaodasuaequacaodiferencialcorrespondenteden-esimoordem?Arespostaequenaoenecessarioqueistoocorra. Podemexistirsolucoesdistintas`arelacaodada(ecasos particulares delasaoobtidos atribuindovalores as constantesarbitrarias).Considereaequacaoy= xy + (y)2(1.26)Verica-se que y =cx+c2e umasolucao. Recprocamente, aequacaodadae aequacaodiferencialdarelacaoy= cx + c2. Noentanto,tambemsevericaquey= x24esolucao,apesardequenao epossvelobterelapormediodeumaescolhadaconstantec. Estescasos, poucofrequentesnapratica, podemaparecereebomleva-losemconta.OsmatematicostemmostradooseguinteresultadoTeorema 1.5.2.Sob certas condicoes (de existencia e unicidade) uma equacao diferencialden-esimaordempossueuma unicasolucaocomnconstantesarbitrarias.Comojavimos,estasolucao easolucaogeral.311.5Observacoesrelativasassolucoesdasequacoesdiferenciaisordinarias IntroducaoAmaioriadas equacoes diferenciais quetrataremos possuemsolucoes unicas satis-fazendo certas condicoes. No entanto, mostraremos atraves de um exemplo, a importanciadosaspectosrelativosaexistenciaeunicidade.Considereaequacaodiferencialxy3y= 0 (1.27)Asolucaogeraldaequacao1.27 ey= cx3,ondec eumaconstantearbitraria.Impondoacondicaoy(1) = 1 eobtidaasolucao(particular)y= x3.Nao edifcilmostrarquey=___ax3, x 0, (1.28)bx3, x 0,ondea, bsaoconstantes, eumasolucao maisgeralquey= cx3. Escolhendoa = 1,demodoasatisfazeracondicaoy(1) = 1eb = 0,asolucao(1.28)tomaaformay=___x3, x 0, (1.29)0, x 0,Este exemplo mostra simplesmente a necessidade de se saber quando existe umasolucao unica. Mesmosemdemonstracao,apresentamosoresultadoaseguirTeorema1.5.3. Considereaequacaodeprimeiraordemy=F(x, y) esuponhaqueF(x, y)satisfazendoascondicoes(i)e(ii):(i) F(x, y) ereal,nita,univalenteecontinuaemtodosospontosdeumacertaregiaoRdoplano,(i)F(x, y)yereal,nita,univalenteecontinuaemR.EntaoexisteemRuma unicasolucaoy= f(x)quepassaporumpontodadodeR.32Introducao1.5ObservacoesrelativasassolucoesdasequacoesdiferenciaisordinariasO Teorema 1.5.3 estabelece condicoes sucientespara a existencia e unicidade de umasolucao, ouseja, sesaovericadasascondicoes(i)e(ii)a, cagarantidaaexistenciaeunicidade. Noentanto, as condicoesnaosaonecessarias, ouseja, mesmonaosendosatisfeitasascondicoes, podeexistirsolucao unica. Deveseobservarqueoteoremanaodizcomoacharasolucao. Paraequacoesdeordemsuperiorexistemresultadosanalogos.Usando o Teorema, o dilemado Exemplo anterior caria resolvido. A equacao equiv-alente ey=3yxsemprequex =0. Nestecaso, F(x, y) =3yx ,Fy=3xsaoreais, nitas, univalentes econtinuasemtodosospontosdaregiaox > 0eportanto epossvelgarantiraunicidade.Domesmomodo, egarantidaaunicidadedesolucaonaregiaox 0.Observacao2.2.1. Notarquep(t)=2ttemumadescontinuidadeemt=0. Asolucaoy =t2+1t2e ilimitadae, quandot 0+, se temy+. Estee oefeitodadescontinuidadeinnitanaorigem. Portanto, asolucaoy=t2+1t2, parat 0(c) y +2ty=costt2, y() = 0, t > 0, (d)t3y + 4t2y= et, y(1) = 0.Exerccio2.2.10. Considereoproblemadevalor inicial y+12y =2cost, y(0) =1.Encontrarascoordenadasdoprimeiropontodemaximolocal dasolucao,parat > 0.452.2EquacoesLinearescomCoecientesVariaveisEquacoesDiferenciaisOrdinariasdePrimeiraOrdemExerccio2.2.11. Considereoproblemadevalorinicial y +23y=1 12t, y(0)=y0.Encontrarovalordey0paraoqual asolucaoy=y(t) encostanoeixot, mas naooatravessa.Exerccio2.2.12. Encontrarovalordey0paraoqual asolucaodoproblemadevalorinicial yy= 1 + 3sent, y(0) = y0,permanecenitaquandot .Exerccio2.2.13. Sejaaequacaodiferencial y + ay=bet, ondea, saoconstantespositivaseb R. Mostrarquetodasolucaoy=y(t)daequacaodiferencial dadatemapropriedadequey 0quandot .Exerccio2.2.14. (VariacaodosParametros)Considereoseguintemetododeres-olucaodaequacaolineargeral deprimeiraordemy +p(t)y= g(t).(a) Seg(t) 0,mostrarqueasolucaoey= Aep(t)dt,ondeAeconstante.(b) Seg(t) 0,suponhaqueasolucaoedaformay(t) = A(t)ep(t)dt,ondeA = A(t).Substituindoy(t)naequacaodiferencial dada, mostrarqueA(t)devesatisfazeracondicaoA(t) = g(t)ep(t)dt.(c) EncontrarafuncaoA(t)daequacaoem(b). LogosubstituirA(t)naequacaoy=A(t)ep(t)dtedeterminary=y(t). Vericarqueasolucaoobtidadestaformacoincidecomaobtidanometododescritoanteriormente. EstatecnicaeconhecidacomoometododeVaria caodosParametros.Exerccio2.2.15. Usandoometododescritoem2.2.14,resolver(a) y2y= t2e2t, (b)y +1ty= 3cost, t > 0.46EquacoesDiferenciaisOrdinariasdePrimeiraOrdem 2.3EquacoesSeparaveis2.3 EquacoesSeparaveisParaumaequacaodiferenciavel dotipodydt=ay + b, coma, bconstantes, javimosumprocessodeintegra caodireta. Vamosmostrarnestasecaoqueesteprocessopode-seaplicaraumaclassemuitomaiordeequacoesdiferenciais. Usaremos, porconveniencia,xnolugardet.Aequacaogeraldeprimeiraordem edaformadydx= f(x, y). (2.26)Se a equacao 2.7 for nao-linear, nao existe um metodo universalmente aplicavel. Vamosconsiderar aqui umasubclassedeequacoesdeprimeiraordemparaasquaispossaseraplicavelumprocessodeintegracaodireta.Paraidenticarestaclassedeequacoes,escrevamosaequacao2.26naformaM(x, y) + N(x, y)dydx= 0. (2.27)Sempre epossvelfazerisso. BastadenirM(x, y) = f(x, y)eN(x, y) = 1(defato,existemoutrasformas).SeM= M(x)eN= N(y),aequacao2.26assumeaformaM(x) +N(y)dydx= 0. (2.28)Estaequacao editaseparavel,poisseforescritanaformadiferencialM(x)dx + N(y)dy= 0, (2.29)entaoasparcelaspodemserseparadaspelosinaldeigualdade.Exemplo2.3.1. Resolveraequacaodydx=x21 y2. (2.30)472.3EquacoesSeparaveisEquacoesDiferenciaisOrdinariasdePrimeiraOrdemSolucao:Estaequacaopodeserescritanaformax2+ (1 y2)dydx= 0. (2.31)Temosentaoddx_x33+y y33_ = 0.Portanto,x3+ 3y y3= c, (2.32)com c constante e uma equacao para as curvas integrais da equacao 2.30. Assim, qualquerfuncaodiferenciavely= (x),satisfazendo2.32 eumasolucaoparaaequacao2.30.Agora,voltamos`aequacao2.28. SejamH1, H2funcoes,taisqueH1(x) = M(x), H2(y) = N(y). (2.33)Entao,aequacao2.29temaformaH1(x) +H2(y)dydx= 0. (2.34)Pelaregradacadeia, temos H2(y)dydx=ddx(H2(y)). Logo, aequacao2.34cadaformaddx [H1(x) +H2(y)] = 0. (2.35)IntegrandoobtemosH1(x) +H2(y) = c, (2.36)ondeceumaconstante. Assim, qualquerfuncaodiferenciavely=(x)satisfazendoarelacao2.36e umasolucaodaequacao2.28. Emoutras palavras, aequacao2.3648EquacoesDiferenciaisOrdinariasdePrimeiraOrdem 2.3EquacoesSeparaveisdeneasolucaoimplcitamente. AsfuncoesH1, H2saoprimitivasarbitrariasdeM, Nrespectivamente.Se alem da equacao diferencial, e dada uma condicao inicial y(x0) = y0, entao a solucaoda equacao 2.28, satisfazendo essa condicao e obtida fazendo x = x0, y= y0em 2.36. IstoimplicaH1(x0) +H2(y0) = c. (2.37)Substituindoem2.36etendoemcontaqueH1(x) H1(x0) =xx0M(s)dsH2(y) H2(y0) =yy0N(s)dsobtemosH1(x) H1(x0) +H2(y) H2(y0) = 0Logoxx0M(s)ds +yy0N(s)ds = 0. (2.38)Arelacao2.38 eumarepresentacaoimplcitadasolucaodaequacao2.28quesatisfazacondicaoinicialy(x0) = y0.Exemplo2.3.2. Resolveroproblemadevalorinicialdydx=3x2+ 4x + 22(y 1), y(0) = 1,edeterminarointervalonoqual asolucaoexiste.Solucao:Podemosescreveraequacaodiferencialnaforma492.3EquacoesSeparaveisEquacoesDiferenciaisOrdinariasdePrimeiraOrdem2(y 1)dy= (3x2+ 4x + 2)dx.Integrando,obtemos y2= 2y= x3+2x2+2x +c,onde c e uma constante arbitraria.Acondicaoy(0)= 1, implicac=3. Portanto, asolucao(naformaimplcita)edadapory2= 2y= x3+ 2x2+ 2x + 3.Emformaexplcita,podemosobtery= 1 x3+ 2x2+ 2x + 4.Destasduassolucoes,apenasumadelassatisfazacondicaoiniciale ey= 1 x3+ 2x2+ 2x + 4.Paradeterminarointervaloemqueasolucaoacimaevalida,precisamossaberondequex3+ 2x2+ 2x + 4>0. Temosquex3+ 2x2+ 2x + 4=0sosex= 2. Logo, ointervaloprocurado ex > 2.Exemplo2.3.3. Resolveroproblemadevalorinicialdydx=ycosx1 + 2y2, y(0) = 1.Soulucao:Temosque1 + 2y2ydy= cosxdx.Integrandotemosln|y| +y2= senx +c.Acondicaoy(0) = 1implicac = 1. Portanto,asolucao edadaimplicitamentepor50EquacoesDiferenciaisOrdinariasdePrimeiraOrdem 2.3EquacoesSeparaveisln|y| +y2= senx + 1.Observar que nenhuma solucao cruza o eixo x. Quando y= 0, a expressao ln|y| +y2=,masaespressaosenx + 1nuncatorna-seilimitada. Assim,nenhumpontodoeixoxsatisfazaigualdadeln|y| + y2= senx + 1.Portanto,asolucaosempresatisfazofatodeserpositiva.ExercciosExerccio2.3.1. Resolverasequacoesdadas(a)dydx=x exy +ey, (b)dydx=x21 +y2.Exerccio 2.3.2.Em cada caso a seguir, encontrar a solucao do problema da valor inicialedeterminar,pelomenosaproximadamente,ointervalonoqual asolucaoestadenida(a) xdx + yexdy= 0, y(0) = 1, (b)y= xy3(1 +x2)1/2, y(0) = 2(c) y= 2x/(1 + 2y), y(2) = 0 (d)y= (3x2ex)/(2y 5), y(0) = 1(e) sen2xdx +cos3ydy= 0, y(/2) = /3,(f ) y2(1 x2)1/2dy= arcsenxdx, y(0) = 0.Exerccio2.3.3. Resolveroproblemadevalorinicialy= 2(1 +x)(1 +y2), y(0) = 0edeterminarondeasolucaoatingeseuvalormnimo.Exerccio2.3.4. Resolveraequacaodydx=ay +bcy + d,ondea, b, c, dsaoconstantes.512.3EquacoesSeparaveisEquacoesDiferenciaisOrdinariasdePrimeiraOrdemExerccio 2.3.5.(Equacoes Homogeneas) Seja a equacao dy/dx = f(x, y). Se f(x, y)pode ser escrita em funcao apenas da razao y/x,entao a equacao e ditahomogenea. Taisequacoessemprepodemsertransformadasemequacoesseparaveisporumamudancadevariavel dependente. Oexercicioaseguir ilustracomoresolver equacoes de primeiraordemhomogeneas.Considereaequacaodydx=y 4xx y. ()(a)Mostrarqueaequacaoacimapodeserescritanaformadydx=(y/x) 41 (y/x). ()Logoehomogenea.(b)Dena-sev= y/x,ouy= xv(x). Expressardy/dxemfuncaodex, v edv/dx.(c)Substituiry e dy/dxnaequacao(**)pelasexpressoesencontradasnoitem(b)queenvolvemv e dv/dx. Mostrarqueaequacaodiferencial resultanteexdvdx=v241 v. ( )Observarqueestaequacaoeseparavel.(d)Resolveraequac ao(***)paravemfuncaodex.(e)Encontrarasolucaoparaaequacao(*).Exerccio2.3.6. Emcadacasoseguinte,mostrarqueaequacaodiferencial ehomogeneaeresolve-lapelometodoilustradoem2.3.5:(a)dydx=x2+xy +y2x2. (b)dydx=4y 3x2x y.(c)dydx=x2+ 3y22xy. (d)dydx= 4x + 3y2x +y.(e)dydx=x + 3yx y. (f )dydx=x23y22xy.52EquacoesDiferenciaisOrdinariasdePrimeiraOrdem 2.4EquacoesExatas2.4 EquacoesExatasVamos considerar agoraumaclassedeequacoes conhecidas comoequacoes exatas,paraasquaistambemexisteummetododesolucao.Parailustraraideiadometodo,consideremosaequacaodiferencial2x +y2+ 2xydydx= 0. (2.39)Esta equacao nao e linear nem separavel; portanto, os metodos anteriormente estuda-dosnaosaoaplicaveis. Noentanto,observemosqueafuncao(x, y) = x2+ xy2satisfazaseguintecondicao2x + y2=x, 2xy=y. (2.40)Portanto,aequacaodiferencialpodeserescritanaformax+ydydx= 0. (2.41)Supondoquey= y(x)eusandoaregradacadeia,aequacao2.41tomaaformaddx=ddx(x2+xy2) = 0. (2.42)Logo,(x, y) = x2+ xy2= c,ondec eumaconstantearbitraria, easolucaogeralde2.39,dadaimplcitamente.O passo chave na resolucao da equacao 2.39 foi o fato de reconhecer de que existe umafuncaoquesatisfazaequacao2.40.Emgeral,suponhaquedadaumaequacaodiferencialM(x, y) + N(x, y)dydx= 0. (2.43)Conseguimosidenticaraexistenciadeumafuncaotalque532.4EquacoesExatasEquacoesDiferenciaisOrdinariasdePrimeiraOrdemx(x, y) = M(x, y),y(x, y) = N(x, y), (2.44)etalque(x, y)=c,denay=(x)implicitamentecomoumafuncaodiferenciaveldex. EntaoM(x, y) +N(x, y)dydx=x+ydydx=ddx(x, (x)),eaequacaodiferencial2.43,torna-seddx(x, (x)) = 0. (2.45)Nestecaso,aequacao2.43 echamadadeequacaodiferencial exata.Assolucoesde2.43,osuaequivalente2.45,saodadasemformaimplcitapor(x, y) = c, (2.46)ondec eumaconstantearbitraria.Noexemploanteriorfoi facil verqueaequacaodiferencial eexata, reconhecendoafuncao , e portanto, achar a solucao. Em casos mais complicados, pode nao ser tao facilfazeristo. Oresultadoaseguirforneceummetododecomodeterminar,seumaequacaodiferencial eexataounao.Observacao2.4.1. Estemetododeseencontrarumafuncaocomosolucaodeumaequacaonaforma2.43 eumrecursomuitorecorrenteemCalculoVetorial. Ousejadadoumcampovetorial F= (M, N)denidoemumconjunto R2. Dizemosqueocampovetorial Feconservativoem, seexisteumafuncaodiferenciavel : Rtal que(F) = d = (x, y). AfuncaoeditafuncaopotencialassociadaaocampoF.Teorema 2.4.1. Suponha que as funcoes M, N, Mye Nx, onde os ndices denotamderivadas parciais, saocontnuas naregiaoretangular R: 0. Logomostrarquec1t2+ c2t1tambemesolucao,quaisquerquesejamc1ec2.Exerccio3.3.2. Vericarquey1(t) =1ey2(t) =t1/2saoduas solucoes daequacaodiferencial yy+ (y)2=0, parat >0. Logomostrarquec1+ c2t1/2naoe, emgeral,solucao. ExplicarporqueesseresultadonaocontradizoTeorema3.3.2.Exerccio3.3.3. Mostrarque, sey=(t)eumasolucaodaequacaodiferencial y +p(t)y + q(t)y=g(t), ondeg(t)naoeidenticamentenula, entaoy=c(t), ondec =1constante,naoesolucao. Justicar.1133.3SolucoesFundamentaisdeEquacoesLinearesHomogeneas EquacoesLinearesdeSegundaOrdemExerccio 3.3.4. Afuncao y =sen(t2) pode ser solucao de uma equacao da formay+ p(t)y+ q(t)y=0, comcoecientesconstantes, emumintervalocontendot=0?Justicarsuaresposta.Exerccio3.3.5. SeW(f, g)(t) = 3e4tesef(t) = e2t,encontrarg(t).Exerccio3.3.6. SeW(f, g)eowronskianodef eg, eseu=2f g, v=f+ 2g,encontrarW(u, v)emfuncaodeW(f, g).Exerccio3.3.7. Nosproblemasaseguir, vericarqueasfuncoesy1ey2saosolucoesdaequacaodiferencial dada. Elasformamumconjuntofundamental desolucoes?(a)y + 4y= 0; y1(t) = cos2t, y2(t) = sen2t,(b)y2y +y= 0; y1(t) = et, y2(t) = tet,(c)t2yt(t + 2)y + (t + 2)y= 0; y1(t) = t, y2(t) = tet, t > 0,(d)(1 tctgt)yty + y= 0; y1(t) = t, y2(t) = sent, 0 < t < .Exerccio3.3.8. EquacoesExatas. AequacaoP(x)y + Q(x)y + R(x)y=0editaexatasepoderserescritanaforma[P(x)y] + [f(x)y]=0, ondef(x)podeserdeter-minadaemfuncaodeP(x), Q(x)eR(x). Essa ultimaequacaopoderserintegradaumavezimediatamente, resultandoemumaequacaodeprimeiraordemparayquepodeserresolvidacomonocaptulo2. Igualandooscoecientesdasequacoesprecedenteseelim-inandof(x), mostrarqueumacondicaonecessariaesucienteparaqueaequacaosejaexataequeP(x) Q(x) +R(x) = 0.Exerccio3.3.9. Nosproblemasaseguir,usaroresultadodoExerccio3.3.8paradeter-minarseaequacaodadaeexata. Seassimfor,resolve-la.(a)y +xy +y= 0; (b)y + 3x2y +xy= 0;(c)xy(cosx)y + (senx)y= 0, x > 0, (d)x2y +xyy= 0, x > 0.Exerccio3.3.10. EquacaoAdjunta. Seumaequacaolinearhomogeneadesegundaordemnao eexata,podesertornadaexatamultiplicandoporumfatorintegranteapropri-ado (x). Precisa-se entao que (x) seja tal que (x)P(x)y+(x)Q(x)y+(x)R(x)y= 0114EquacoesLinearesdeSegundaOrdem3.4IndependenciaLineareoWronskianopossaserescritanaforma[(x)P(x)y] + [f(x)y]= 0. Igualandooscoecientesnessasduas equacoes e eliminando f(x), mostrar que a funcao (x) precisa satisfazer a condicaoP + (2PQ) + (PQ+ R) = 0.Estaequacaoedita adjuntadaequacaooriginal eemuito util nateoriaavancadadeequacoesdiferenciais. Emgeral, oproblemaderesolveraequacaodiferencial adjuntaetaodifcil quantooderesolveraequacaooriginal, demodoquesoepossvel encontrarumfatorintegranteparaumaequacaodesegundaordem,emdeterminadoscasos.Exerccio 3.3.11.Nos problemas a seguir, encontrar a equacao adjunta da equacao difer-encial dada.(a)x2y + xy + (x22)y= 0,(EquacaodeBessel),(b)(1 x2)y2xy + ( + 1)y= 0,(EquacaodeLegendre),(c)yxy= 0,(EquacaodeAiry).Exerccio 3.3.12. Seja a equacao diferencial de segunda ordemP(x)y+Q(x)y+R(x)y= 0. Mostrarqueaadjuntadaequacaoadjuntaeaequacaooriginal.Exerccio3.3.13. UmaequacaolineardesegundaordemP(x)y + Q(x)y + R(x)y= 0editaauto-adjuntasesuaadjunta eigual`aequacaooriginal. MostrarqueumacondicaonecessariaparaP(x)y+Q(x)y+R(x)y =0ser auto-adjuntae que P(x) =Q(x).DeterminarseasequacaoesdoExerccio3.3.11saoauto-adjuntas.3.4 IndependenciaLineareoWronskianoArepresentacaodasolucaogeral deumaequacaodiferencial linear homogeneadesegundaordemcomocombinacaolineardeduassolucoes,cujowronskiano ediferentedezero, esta intimamente ligada ao conceito de independencia linear de duas funcoes. Esse eum conceito algebrico muito importante e tem signicado que vai alem do contexto atual.1153.4IndependenciaLineareoWronskiano EquacoesLinearesdeSegundaOrdemDuas funcoes f eg saoditas linearmentedependentes (LD) emumintervaloI seexistemconstantesk1ek2,comumadelasdiferentedezero,taisquek1f(t) +k2g(t) = 0,paratodot I.As funcoes fe g sao ditas linearmente independentes (LI) em Ise nao sao linearmentedependentesemI,ouseja,aigualdadek1f(t) +k2g(t) = 0,so evalidaparatodot I,sek1= k2= 0.Essasdenicoespodemserestendidasparaumn umeroarbitrariodefuncoes,emborasejadifcildeterminarseoconjunto eLIouLD.Nocasodeduasfuncoes,adependencialinearsignicaqueasfuncoessaoproporcionaisecasocontrario,temosaindependencialinear.ExemplosExemplo3.4.1. Asfuncoessentecos(t /2)saoLDemqualquerintervalo.Defato,k1sent +k2cos(t /2) = 0,evalidaparatodot,seescolhemosk1= 1ek2= 1.Exemplo3.4.2. Asfuncoesetee2tsaoLIemqualquerintervaloI.Defato,vamossuporquek1et+k2e2t= 0,paratodot I. Escolha-set0, t1 I,comt0 = t1. Assimtemosk1et0+k2e2t0= 0,116EquacoesLinearesdeSegundaOrdem3.4IndependenciaLineareoWronskianok1et1+k2e2t1= 0.Odeterminantedamatrizdoscoecientes eet0e2t1e2t0et1= et0et1(et1et0).Comoestedeterminanteediferentedezero, poist0 =t1, seguequea unicasolucaodosistemaacima ek1= k2= 0. Logo,etee2tsaoLI.Exemplo3.4.3. Asfuncoesf(t) = t3eg(t) = |t|3saoLD,paraqualquerintervaloI.Bastaobservarqueg(t)=f(t), set 0eg(t)= f(t), set 0, y1(t) = t2;(b)t2y + 2ty2y= 0; t > 0, y1(t) = t;(c)t2y + 3ty +y= 0; t > 0, y1(t) = t1;(d)xyy + 4x3y= 0; x > 0, y1(x) = senx2;(e)x2y +xy + (x21/4)y= 0; x > 0, y1(x) = x1/2senx.Exerccio3.6.5. Considereaequacaodiferencialxy(x + n)y + ny= 0,onden N. Ointeressantedestaequacaoequeelapossui umasolucaoexponencial eumasolucaopolinomial.(a)Vericarqueumasolucaoey1(x) = ex.(b)Mostrarqueumasegundasoluc aotemaformay2(x)=cexxnexdx. Calculary2(x)paran = 1en = 2. Vericarque,comc = 1/n!,temosy2(x) = 1 +x1!+x22!+ +xnn!.Observarquey2(x)ejustamenteasomadasn + 1primeirasparcelasdaseriedeTaylorparaexemtornodex = 0.Exerccio3.6.6. Considereaequacaodiferencialy +(xy +y) = 0,134EquacoesLinearesdeSegundaOrdem 3.7EquacoesNao-homogeneasqueaparecenoestudodaturbulenciaemumuxouniformeaopassarporumcilindrocircular. Vericarquey1(x)=ex2/2eumasolucaoeencontrarasolucaogeral comoumaintegral.Exerccio3.6.7. Sea, becsaoconstantespositivas, mostrarquetodasassolucoesdaequacaoay +by +cy= 0tendemazeroquandot .Exerccio 3.6.8. (a) Se a > 0 e c > 0, mas b = 0, mostrar que o resultado do Exerccio3.6.7 nao e mais valido, mas que todas as solucoes permanecem limitadas quando t .(b) Se a >0 e b >0, mas c =0, mostrar que oresultadodoExercicio3.6.7naoemaisvalido, masquetodasassolucoestendemaumaconstante, quedependedacondicaoinicial , quandot . Determinarestaconstanteparaacondicaoinicialy(0) = y0, y(0) = y0.3.7 EquacoesNao-homogeneas3.7.1 MetododosCoecientesIndeterminadosConsideremosumaequacaonao-homogeneaL[y] = y + p(t)y +q(t)y= g(t), (3.19)ondep, qegsaocontnuasemumintervaloabertoI.Apartir daequacao(3.19), podemos denir umaequacaohomogenaassociadadaformaL[y] = y +p(t)y +q(t)y= 0. (3.20)Os resultados a seguir descrevem a estrutura das solucoes da equacao (3.19) e fornecemsubsdiosparaconstruirmossuasolucaogeral.1353.7EquacoesNao-homogeneas EquacoesLinearesdeSegundaOrdemTeorema 3.7.1.Se Y1e Y2sao duas solucoes da equacao (3.19), entao a diferenca Y1Y2e uma solucao da equacao (3.20). Alem disso, se y1 e y2 formam um conjunto fundamentaldesolucoesparaaequacao(3.20),entaoY1(t) Y2(t) = c1y1(t) +c2y2(t), (3.21)ondec1ec2saoconstantesdeterminadas.Demonstracao: Porhipotese,temosqueL[Y1](t) = g(t), L[Y2](t) = g(t). (3.22)Subtraindoasegundadaprimeiradessasequacoes,resultaemL[Y1](t) L[Y2](t) = 0. (3.23)ComoL[Y1] L[Y2] = L[Y1Y2],aequacao(3.23)podeserreescritaporL[Y1Y2](t) = 0, (3.24)quearmaqueY1 Y2eumasolucaodaequacao(3.20). Poroutrolado, sabemosquetoda solucao da equacao (3.20) pode ser expressa como combinacao linear das funcoes deumconjuntofundamentaldesolucoes,segue-seentaoqueY1(t) Y2(t) = c1y1(t) +c2y2(t).Teorema3.7.2. Asolucaogeral daequacaonao-homogenea(3.19)podeserescritanaformay= (t) = c1y1(t) + c2y2(t) + Y (t), (3.25)ondey1ey2formamumconjuntofundamental desolucoes daequacaohomogeneaassociada(3.20), c1e c2saoconstantes arbitrarias e Y algumasolucaoespeccadaequacaonao-homog`enea(3.19).136EquacoesLinearesdeSegundaOrdem 3.7EquacoesNao-homogeneasDemonstracao: SeguedoTeorema3.7.1. Observamosqueaequacao(3.21)Y1(t) Y2(t) = c1y1(t) +c2y2(t),evalidaseidenticarmosY1comumasolucaoarbitrariadaequacao(3.19)eY2comasolucaoespeccaY . Assim,daequacao(3.21),resulta(t) Y (t) = c1y1(t) +c2y2(t),que eequivalenteaequacao(3.25).Observarmosque, comoeumasolucaoarbitrariadaequacao(3.19), aexpressao(3.25) inclui todas as solucoes da equacao (3.19). Portanto, e natural chama-la de solucaogeral.Emlinhas gerais oTeorema3.7.2nos forneceumprocedimentopararesolver umaequacaonao-homogenea,paratalseguiremosasseguintesetapas.Etapa 1: Encontrar a solucao geral c1y1(t)+c2y2(t) da equacao homogenea associada.Ecomumchamarestasolucaodesolucaocomplementare edenotadaporyc(t).Etapa 2: Encontrar uma unica solucao Y (t) da equacao nao-homogenea. Esta solucaoeconhecidacomosolucaoparticular.Etapa3:Somarasduassolucoesdasetapasacima.Nas secoes anteriores discutimos o como encontrar yc(t) no caso da equacao homogeneater coecientes constantes. Aseguir descreveremos dois metodos paraencontrar umasolucaoparticularY (t)daequacaonao-homogenea(3.19). Essesdoismetodossaocon-hecidoscomocoecientesindeterminadosevariacaodosparametros.MetododosCoecientesIndeterminadosEstemetodoprecisadeumahipoteseinicial sobre a forma da solucao particular Y (t), mas com os coecientes nao especicados.Logo substituimos isto na equacao (3.19) e tentaremos determinar os coecientes, de modoqueaequacaosejasatisfeita. Nocasoemqueforsatisfeitaaequacao,teremosachadoa1373.7EquacoesNao-homogeneas EquacoesLinearesdeSegundaOrdemsolucao particular Y (t). Caso contrario, nao existe solucao da forma suposta, e neste casodeveremosmodicarahipoteseinicial,etentarnovamente.Maiorvantagemdometodo: Facildeexecutar,umavezfeitaahipoteseinicialsobreaformadeY (t).Maiorlimitacaodometodo:Util principalmenteparaequacoesparaasquaisefacilescreveraformacorretadasolucaoparticular.E por isso que este metodo e usado, em geral, para equacoes com coecientes constantese cujo termo nao-homogeneo pertence a uma classe relativamente pequena de funcoes. Emparticular, consideraremos termos nao-homogeneos consistindoempolinomios, funcoesexponenciais,senosecosenos. Apesardisso,ometodo e utilpararesolvervariosproble-masquetemaplicacoesimportantes. Deoutrolado,conheceralgummetododealgebracomputacionalseramuito utilnasaplicacoes.ExemplosExemplo3.7.1. Encontrarasolucaoparticulardaequacaoy3y4y= 3e2t(3.26)BuscaremosumasolucaoY ,talqueY3Y4Y= 3e2t. Comoaderivadadeumafuncaoexponencial eumm ultiplodelamesma,podemossuporY (t) = ae2t,onde a eocoecientequeiremosdeterminar.TemosY(t) = 2ae2teY(t) = 4ae2t. Substituindonaequacao(3.26),resultaem6ae2t= 3e2t,assimteremosa = 1/2. Destaformaumasolucaoparticular e,Y (t) = 12e2t. (3.27)138EquacoesLinearesdeSegundaOrdem 3.7EquacoesNao-homogeneasExemplo3.7.2. Encontrarumasolucaoparticulardaequacaoy3y4y= 2sent (3.28)VamossuporY (t) = asent,onde a eocoecientequevamosdeterminar.TemosY(t) = acosteY(t) = asent. Substituindonaequacao(3.28),resulta5asent 3acost = 2sent, ou (2 + 5a)sent + 3acost = 0. (3.29)As funcoes sent e cost sao LI, de modo que (3.29) e valida num intervalo onde 2+5a =3a = 0. Estascondicoescontraditoriassignicamquenaoexisteescolhadaconstante aquetorne(3.29)valida, paratodot. Entao, ahipotesesobreY (t)naofoi adequada.Modicamos a nossa hpotese sobre Y (t) e vamos supor agora Y (t) = asent +bcost, ondeaebsaooscoecientesqueiremosdeterminar. TemosY(t) = acost bsent, Y(t) = asent bcost.Substituindonaequacao(3.28)earrumandoostermos,teremos(a + 3b 4a)sent + (b 3a 4b)cost = 2sent. (3.30)Segueque 5a + 3b=2 e 3a 5b=0. Resultandoema= 5/17eb=3/17.Portanto,asolucaoparticular eY (t) = 517sent +317cost.Exemplo3.7.3. Encontrarumasolucaoparticulardaequacaoy3y4y= 4t21.Vamos supor Y (t) = at2+bt+c, ondea, b e c sao os coecientes que iremos determinar.Derivandoesubstituindonaequacao,obtemos4at2+ (6a 4b)t + 2a 3b 4c = 4t21.1393.7EquacoesNao-homogeneas EquacoesLinearesdeSegundaOrdemIgualandooscoecientescorrespondentes,resultaa = 1, b = 3/2ec = 11/8. Assim,asolucaoparticular eY (t) = t2+32t 118.Exemplo3.7.4. Encontrarumasolucaoparticulardaequacaoy3y4y= 8etcos2t. (3.31)Nestecaso,vamossuporY (t) = aetcos2t +betsen2t.SeguequeY(t) = (a + 2b)etcos2t + (2a +b)etsen2t,Y(t) = (3a + 4b)etcos2t + (4a 3b)etsen2t.Substituindoestasigualdadesnaequacao(14)resultaqueaebdevemsatisfazer10a + 2b = 8, 2a 10b = 0.Resolvendo,obtemosa = 10/13eb = 2/13. Logo,asolucaoparticular eY (t) =1013etcos2t +213etsen2t.Agora, suponha g(t) = g1(t)+g2(t) e que Y1 e Y2 sao solucoes particulares das equacoesay +by +cy= g1(t),ay +by +cy= g2(t),respectivamente. EntaoY1 +Y2eumasolucaoparticulardaequacaoay +by +cy= g(t).Exemplo3.7.5. Encontrarumasolucaoparticulardaequacaoy3y4y= 3e2t+ 2sent 8etcos2t.140EquacoesLinearesdeSegundaOrdem 3.7EquacoesNao-homogeneasSeparandoostermos,obtemostresequacoesy3y4y= 3e2t,y3y4y= 2sent,y3y4y= 8etcos2t.PelosExemplos3.7.1,3.7.2e3.7.3,resultaqueasolucaoparticularprocurada eY (t) = 12e2t517sent +317cost +1013etcos2t +213etsen2t.OExemplo3.7.6mostraumaprovaveldiculdadequepodeseapresentaremalgunscasos.Exemplo3.7.6. Encontrarumasolucaoparticulardaequacaoy + 4y= 3cos2t. (3.32)SupondoY (t) = acos2t +bsen2t,derivandoesubstituindonaequacao(3.32),resulta(4a 4a)cos2t + (4b 4b)sen2t = 0 = 3cos2t.Observamos que naoexiste escolhade ae b que satisfacaaequacao. Portanto, naoexistesolucaoparticularquetenhaessaforma. Istodeve-seaofatodeque, aoresolveraequacaohomogenea, y + 4y=0, associadaaequacao(3.32), suasolucaogeraledaforma c1cos2t +c2sen2t e portanto,nao poderia ser solucao da equacao nao-homogenea.Para encontrar uma solucao de (3.32), devemos considerar uma forma um pouco difer-ente. Assim, supondoY (t) =atcos2t + btsen2t, derivandoesubstituindonaequacao(3.32)resulta4asen2t + 4bcos2t = 3cos2t.Portantoobtemosa = 0eb = 3/4. Logo,asolucaoparticularprocurada eY (t) =34tsen2t.1413.7EquacoesNao-homogeneas EquacoesLinearesdeSegundaOrdemVamos resumir as etapas envolvidas em encontrar a solucao de uma equacao diferencialnao-homogeneadaformaay +by +cy= g(t), (3.33)ondea, becsaoconstantes.(I)Encontrarasolucaogeraldaequacaohomogeneaassociada.(II) Vericar queafuncaog(t)edotipoexponencial, senos ecosenos, polinomialousomasouprodutosdetaisfuncoes. Casocontrario, usarometododevaria caodosparametros(queveremosnaSecao3.7.2).(III) Seg(t) =g1(t) + g2(t) + + gn(t), entaoformar nsubequacoes, cadaumacontendoapenasumadasparcelasgi(t). Isto eay +by +cy= gi(t),ondei = 1, 2, , n.(IV) Achar uma solucao particular Yi(t), para a i-esima equacao, consistindo da funcaoapropriada. SeexistirqualquerduplicacaonaformasupostaparaYi(t)comassolucoesda equacao homogenea, entao multiplicar Yi(t) por t ou (se necessario) por t2, de modo aremoveraduplicacao.(V) Formar asomaY1(t)+ +Yn(t), que seraasolucaoparticular daequacaohomogeneacompleta.(VI)Formarasomadasolucaogeraldaequacaohomogeneaetapa(I)comasolucaoparticulardaequacaonao-homogeneaetapa(VI). Essaseraasolucaogeral daequacaonao-homogenea.(VII)Usar,segundoocaso,ascondicoesiniciaisparadeterminarosvaloresdascon-stantesarbitrariasnasolucaogeral.ExercciosExerccio3.7.1. Emcadacaso,encontrarasolucaogeral daequacaodiferencial dada142EquacoesLinearesdeSegundaOrdem 3.7EquacoesNao-homogeneas(a)y + 2y + 5y= 3sen2t; (b)y2y3y= 3tet;(c)y + 2y= 3 + 4sen2t; (d)y + 9y= 6 +t2e3t;(e)2y + 3y +y= t2+ 3sent; (f )y +y= 3sen2t +tcos2t;(g)y +y + 4y= 2senht; (h)yy2y= cosh2t.Exerccio3.7.2. Encontrarassolucoesdosproblemasdevaloresiniciais(a)y + 4y= t2+ 3et, y(0) = 0, y(0) = 2;(b)y2y +y= 4 +tet, y(0) = 1, y(0) = 1;(c)y + 4y= 3sen2t, y(0) = 2, y(0) = 1;(d)y + 2y + 5y= 4etcos2t, y(0) = 1, y(0) = 0.Exerccio3.7.3. Nosproblemasseguintes,determinarumaformaadequadaparaY (t)eusarometododoscoecientesindeterminadosparaencontrarumasolucaoparticulardaequacaodiferencial dada.(a)y + 3y= 2t4+t2e3t+sen3t;(b)y +y= t(1 + sent);(c)y5y + 6y= etcos2t + e2t(3t + 4)sent;(d)y + 3y + 2y= et(t2+ 1)sen2t + 3etcost + 4et.Exerccio3.7.4. Determinarasolucaogeral daequacaodiferencialy +2y=Nm=1amsenmt,onde > 0e = m,param = 1, , N.Exerccio3.7.5. Determinarasolucaoy= (t)daequacaodiferencialy +y=___t, 0 t et, t > ,satisfazendoascondicoesiniciaisy(0) = 0ey(0) = 1. Suponhaqueyeysaocontnuasemt = .1433.7EquacoesNao-homogeneas EquacoesLinearesdeSegundaOrdemSugestao: Resolver, primeiro, o problema de valor inicial para t e logo para t > ,determinandoasconstantesnessa ultimasolucaoapartirdascondicoesdecontinuidadeemt = .Exerccio3.7.6. Umprocedimentodiferentepararesolveraequacaodiferencialy +by + cy= (D2+bD +c)y= g(t), ()onde b e c sao constantes e Ddenota o operador derivada em relacao a t. Sejam r1e r2asrazesdopolinomiocaractersticodaequacaohomogeneaassociada. Estasrazespodemserreaisedistintas,reaiseiguaisoucomplexasconjugadas.(a)Vericarqueaequacao(*)podeserescritanaformafatorada(D r1)(D r2)y= g(t),onder1 +r2= ber1r2= c.(b)Sejau=(D r2)y. Mostrarqueasolucaodaequacao(*)podeserencontradaresolvendoasduasequacoesdeprimeiraordemseguintes:(D r1)u = g(t), (D r2)y= u(t).7)Nosexerciciosseguintes,usarometododescritonoexercicio6).(a)y3y4y= 3e2t; (b)2y + 3y + y= t2+ 3sent;(c)y + 2y + y= 2et; (d)y + 2y= 3 + 4sen2t.3.7.2 MetododeVariacaodosParametrosEste metodo e devido ao matematico Lagrange, italiano de nascimento e frances de na-cionalidade, que forneceu uma outra maneira de encontrar uma solucao particular de umaequacaonao-homogeneaecomplementandoometododoscoecientesindeterminados.Principalvantagem:Eummetodogeral,podeseraplicadoaqualquerequacaoenaoprecisadehipotesessobreaformadasolucao.144EquacoesLinearesdeSegundaOrdem 3.7EquacoesNao-homogeneasFigura3.1: JosephLouisLagrange(1736-1813)Umadiculdadedometodoeterquecalculardeterminadasintegraisenvolvendootermonao-homogeneo.Exemplo3.7.7. Encontreumasolucaoparticulardaequacaoy + 4y= 3csct. (3.34)NotemosquenoExemplo3.7.7naopodemosaplicarometododoscoecientesinde-terminadospoisotermo cst envolvequocientesdefuncoesenaosomasouprodutosdefuncoes. Precisamos,portanto,deumanovaestrategicaparaencontrarasolucao.Asolucaogeraldaequacaohomogeneaassociada y + 4y= 0 eyc(t) = c1cos2t + c2sen2t. (3.35)Iremos substituir as constantes c1e c2da equacao 3.35 pelas funcoes u1(t) e u2(t), emseguidadeterminarestasfuncoesdetalmaneiraquey= u1(t)cos2t +u2(t)sen2t. (3.36)sejasolucaodaequacaonao-homogenea3.34.1453.7EquacoesNao-homogeneas EquacoesLinearesdeSegundaOrdemParadeterminaru1eu2eprecisosubstituir(3.36)naequacao(3.34). Noentanto,mesmosemfazeressasubstituicao, podemosanteciparqueoresultadoserauma unicaequacao envolvendo alguma combinacao de u1e u2e suas derivadas primeiras e segundas.Jaquetemosapenasumaequacaoeduasfuncoesadeterminar, espera-sequeexistammuitasescolhaspossveis. Deoutraforma, podemossercapazesdeimporumasegundacondicaoanossaescolha, obtendoassimduas equacoes paraas duas funcoes u1eu2.Mostraremosdepoisqueepossvel escolheressasegundacondicaodemodoatornaroscalculosmaisecientes.Voltandoaequacao(3.36),derivandoeordenandoostermos,teremosy= 2u1(t)sen2t + 2u2(t)cos2t + u1(t)cos2t +u2(t)sen2t. (3.37)Iremos impor uma segunda condicao sobre u1 e u2, ou seja , que sera dada pela equacao(3.38)u1(t)cos2t +u2(t)sen2t = 0. (3.38)Segueentao,daequacao(3.37)quey= 2u1(t)sen2t + 2u2(t)cos2t. (3.39)A pesar de nao car claro ainda o efeito da condicao (3.38), conseguimos simplicar aexpressaoparay. Asegundaderivada ey= 4u1(t)cos2t 4u2(t)sen2t 2u1(t)sen2t + 2u2(t)cos2t. (3.40)Agora,substituindoyeynaequacao(3.34),temosqueu1eu2devemsatisfazer2u1(t)sen2t + 2u2(t)cos2t = csct. (3.41)Assim, queremos escolher u1e u2de modo a satisfazer as equacoes (3.38) e (3.41), quepodemserconsideradascomoumpardeequacoeslinearesparau1eu2. Resolvendoeste146EquacoesLinearesdeSegundaOrdem 3.7EquacoesNao-homogeneassistema,obtemosu2(t) = u1(t)cos2tsen2t. (3.42)Substituindoestevalornaequacao(3.41),resultau1(t) = 3csctsen2t2= 3cost. (3.43)Agora,substituindoestaexpressaoparau1(t)naequacao(3.42),temosqueu2(t) =3costcos2tsen2t=3(1 2sen2t)2sent=32csct 3sent. (3.44)Obtidasu1(t)eu2(t),integramosparaobteru1(t)eu2(t).Logo,u1(t) = 3sent +c1, u2(t) =32ln|csct ctgt| + 3cost +c2.Finalmente,substituindou1(t)eu2(t)naequacao(3.36),temosy= 3sent +32ln|csct ctgt|sen2t +c1cos2t +c2sen2t, (3.45)que easolucaogeraldaequacao(3.34),ondec1ec2saoconstantesarbitrarias.Aexpressao c1cos2t + c2sen2t correspondeasolucaogeral daequacaohomogeneaassociadae 3sent +32ln|csct ctgt|sen2t eumasolucaoparticular daequacaonao-homogenea.Agora, vamosdiscutirseometododevariacaodosparametrospodeseraplicadoaumaequacaoarbitraria. Consideremosentaoaequacaoy +p(t)y +q(t)y= g(t), (3.46)ondep, qegsaofuncoescontnuas. Vamossuporqueyc(t) = c1y1(t) +c2y2(t), (3.47)1473.7EquacoesNao-homogeneas EquacoesLinearesdeSegundaOrdemeasolucaogeraldaequacaohomogeneaassociaday +p(t)y +q(t)y= 0. (3.48)Essahipoteseeimportante, poisateagorasofoi mostradocomoresolveraequacao(3.48)quandotivercoecientesconstantes.Seguindooexemploacima,substituimosc1ec2porfuncoesu1(t)eu2(t). Assim,y(t) = u1(t)y1(t) +u2(t)y2(t). (3.49)Vamos determinar u1(t) e u2(t) de modo que a igualdade (3.49) seja solucao da equacao(3.46),emvezdaequacao(3.48). Derivando(3.49),obtemosy(t) = u1(t)y1(t) +u1(t)y1(t) +u2(t)y2(t) + u2(t)y2(t). (3.50)Analogamente,comozemosnoExemplo3.7.7,vamossuporu1(t)y1(t) +u2(t)y2(t) = 0. (3.51)Daequacao(3.50),temosy= u1(t)y1(t) +u2(t)y2(t). (3.52)Derivandonovamente,obteremosy(t) = u1(t)y1(t) +u1(t)y1(t) + u2(t)y2(t) +u2(t)y2(t). (3.53)Substituindoy, yeynaequacao(3.46)ereeordenandoostermos,resultau1(t)[y1(t) +p(t)y1(t) +q(t)y1(t)]+u2(t)[y2(t) +p(t)y2(t) + q(t)y2(t)]+u1(t)y1(t) +u2(t)y2(t) = g(t).148EquacoesLinearesdeSegundaOrdem 3.7EquacoesNao-homogeneasComoy1ey2saosolucoesdaequacaohomogenea,aexpressaoacima,estasereduzau1(t)y1(t) +u2(t)y2(t) = g(t). (3.54)Asequacoes(3.51)e(3.54)formamumsistemadeduasequcaoeslinearesalgebricasparaasderivadasdasfuncoesu1eu2. Resolvendoessesistema,obtemosu1(t) = y2(t)g(t)W(y1, y2)(t), u2(t) =y1(t)g(t)W(y1, y2)(t), (3.55)onde W(y1, y2) e o wronskiano de y1e y2. Observar que a divisao por We valida poisy1ey2formamumconjuntofundamentaldesolucoeseportanto,W = 0. Integrandoasequacoes(3.55),encontramosasfuncoesprocuradasu1(t) = y2(t)g(t)W(y1, y2)dt +c1,u1(t) =y1(t)g(t)W(y1, y2)dt +c2.Finalmente,substituindoestesvaloresnaequacao(3.49),obtemosasolucaogeraldaequacao(3.46). Talresultado edescritopeloTeorema3.7.3.Teorema3.7.3. Seasfuncoesp, qegsaocontnuasemumintervaloabertoI eseasfuncoes y1e y2sao solucoes LI da equacao homogenea (3.48), associada a equacao (3.46),entaoumasolucaoparticulardaequacao(3.46)eY (t) = y1(t)y2(t)g(t)W(y1, y2)dt +y2(t)y1(t)g(t)W(y1, y2)dt (3.56)easolucaogeraledadapory= c1y1(t) +c2y2(t) +Y (t).Observandoaexpressao(3.56)epeloprocessodesenvolvidonasuadeducao,observa-mosduasdiculdadesnousodometododevariacaodosparametros.1493.7EquacoesNao-homogeneas EquacoesLinearesdeSegundaOrdem(I) A determinacao de y1 e y2 (ou seja, o conjunto fundamental de solucoes da equacao(3.48)quandooscoecientesnaosaoconstantes).(II)Ocalculodasintegraisqueaparecememnaequacao(3.56)dependemexclusiva-mentedey1, y2eg. Aousar(3.56)vericarqueaequacaodiferencial edaforma(3.46);casocontrario,otermonao-homogeneog(t)naoseraidenticadocorretamente.Uma vantagem do metodo e que a equacao (3.56) fornece uma expressao para a solucaoparticularY (t)emtermosdeumafuncaonao-homogeneaarbitrariag(t).ExercciosExerccio3.7.7.Usar o metodo de variacao dos parametros para encontrar uma solucaoparticular das equacoes dadas. Logo, vericar suasolucaousandoometododos coe-cientesindeterminados(a)y5y + 6y= 2et; (b)yy2y= 2et;(c)y + 2y + y= 3et; (d)4y4y +y= 16et/2.Exerccio3.7.8. Encontrarumasolucaogeral emcadacaso(a)y + 9y= 9sec23t, 0 < t < /6; (b)y + 4y= 3csc2t, 0 < t < /2;(c)y + 4y + 4y= t2e2t, t > 0; (d)y2y +y= et/(1 +t2).Exerccio 3.7.9. Emcadacaso, vericar que as funcoes y1e y2dadas satisfazemaequacaohomogeneaassociada, logoencontrar umasolucaoparticular daequacaonao-homogeneadada.(a)t2yt(t + 2)y + (t + 2)y= 2t3, t > 0; y1(t) = t, y2(t) = tet;(b)ty(1 + t)y +y= t2e2t, t > 0; y1(t) = 1 +t, y2(t) = et;(c)x2y3xy + 4y= x2lnx, x > 0; y1(x) = x2, y2(x) = x2lnx;(d)x2y + xy + (x2 0, 25)y=3x3/2senx, x>0; y1(x)=x1/2senx, y2(x)=x1/2cosx.150EquacoesLinearesdeSegundaOrdem 3.7EquacoesNao-homogeneasExerccio3.7.10. ConsidereoseguinteproblemadevalorinicialL[y] = y + p(t)y +q(t)y= g(t), y(t0) = y0, y(t0) = y0.Mostrarqueasolucaopodeserescritanaformay= u(t) +v(t),ondeuevsaosolucoesdosdoisproblemasdevalorinicialL[u] = 0, u(t0) = y0, u(t0) = y0,L[v] = g(t), v(t0) = 0, v(t0) = 0,respectivamente. (Istosignicaqueaspartesnao-homogeneasnaequacaodiferencial enascondicoesiniciaispodemsertratadasseparadamente). Observarqueafuncaouefacil deseencontrar,seforconhecidoumconjuntofundamental desolucoesparaL[u].Exerccio3.7.11. NaexpressaoaseguirY (t) = y1(t)y2(t)g(t)W(y1, y2)dt +y2(t)y1(t)g(t)W(y1, y2)dt,escolha-se o limite inferior de integracao como o ponto inicial t0e entao mostrar que Y (t)torna-seY (t) =tt0y1(s)y2(t) y1(t)y2(s)y1(s)y2(s) y1(s)y2(s)g(s)ds.MostrarqueY (t)eumasolucaodoproblemadevalorinicialL[y] = g(t), y(t0) = 0, y(t0) = 0.Assim,pode-seidenticarY comvdoexercicio4).Exerccio3.7.12. (a)Usaroresultadodoexercicio5)paramostrarqueasolucaodoproblemadevalorinicialy +y= g(t), y(t0) = 0, y(t0) = 0,ey=tt0sen(t s)g(s)ds.1513.7EquacoesNao-homogeneas EquacoesLinearesdeSegundaOrdem(b)Encontrarasolucaodoproblemadevalorinicialy +y= g(t), y(0) = y0, y(0) = y0.7) Usar oresultadodoexercicio5) paraencontrar asolucaodoproblemadevalorinicialL[y] = (D a)(D b)y= g(t), y(t0) = 0, y(t0) = 0,ondea = bsaon umerosreais.Exerccio3.7.13.Usar o resultado do exercicio 5) para encontrar a solucao do problemadevalorinicialL[y] = [D22D + (2+2)]y= g(t), y(t0) = 0, y(t0) = 0.Notarqueasrazesdaequacaocaractersticasao i.Exerccio 3.7.14.Usar o resultado do problema 5) para encontrar a solucao do problemadevalorinicialL[y] = (D a)2y= g(t), y(t0) = 0, y(t0) = 0,ondeaeumn umeroreal arbitrario.Exerccio3.7.15. Combinarosresultadosdosexercicios7),8)e9)paramostrarqueasolucaodoproblemadevalorinicialL[y] = (aD2+bD + c)y= g(t), y(t0) = 0, y(t0) = 0,ondea, becsaoconstantes,temaformay= (t) =tt0K(t s)g(s)ds.AfuncaoKdepende apenas das solucoes y1e y2daequac aohomogeneaassociadaeindependedotermonao-homogeneo. UmavezdeterminadoK, todososproblemasnao-homogeneos envolvendoomesmooperador diferencial Lcamreduzidos aocalculodeumaintegral. Observar, tambem, queKdependedet s. Aintegral acimaeditaaconvolucaodeKegeKeon ucleodessaconvolucao.152EquacoesLinearesdeSegundaOrdem 3.7EquacoesNao-homogeneasExerccio3.7.16. Ometododereducaodeordem(secao3.6)tambempodeserusadopararesolveraequacaonao-homogeneay +p(t)y + q(t)y= g(t), ()desde que se conheca uma solucao y1da equacao homogenea associada. Seja y= v(t)y1(t).Mostrarqueysatisfazaequacao(*)sevforsolucaodaequacaoy1(t)v + [2y1(t) +p(t)y1(t)]v= g(t). ()Aequacao(**) eumaequacaolineardeprimeiraordememv. Resolvendoestaequacao,integrandooresultadoemultiplicandopory1(t),obtemosasolucaode(*).Exerccio 3.7.17.Usando o metodo esquematizado no exercicio 11), resolver as equacoesdadas(a)t2y2ty + 2y= 4t2, t > 0, y1(t) = t;(b)t2y + 7ty + 5y= t, t > 0, y1(t) = t1;(c)t2y(1 + t)y +y= t2e2t, t > 0, y1(t) = 1 +t;(d)(1 t)y +tyy= 2(t 1)2et, 0 < t < 1, y1(t) = et.Exerccio3.7.18. Mostrarquey=1t0F(s)sen(t s)ds,easolucaodaequacaodiferencialy+2y= F(t),comconstante,sujeitaascondicoesiniciaisy(0) = y(0) = 0.Exerccio3.7.19.(a) Mostrar que y= at2+bt e a solucao geral da equacao t2y2ty+2y= 0.(b)Apartirde(a),encontrarasolucaogeral det2y2ty + 2y= tet.1533.8Aplicacoes EquacoesLinearesdeSegundaOrdem3.8 Aplicacoes3.8.1 VibracoesMecanicasVamos estudar o movimento de uma massa presa a uma mola. Este e o primeiro passonainvestigacaodesistemasvibratoriosmaiscomplexos.Considereumamassampenduradaemumadasextremidadesdeumamolaverticalcomumcomprimentooriginall. AmassacausaumalongamentoLdamolaparabaixo(nosentidopositivo). Existemduasforcasagindosobreopontoondeamassaestapresa`amola. Aforcagravitacional,oupesodamassa,puxaparabaixoetemmoduloigualamg, ondegeaaceleracaodagravidade. TambemexisteumaforcaFs, devido`amola,quepuxaparacima. SupondoqueoalongamentoLdamola epequeno,aforcadamolaca proxima deve ser proporcional a L. Isto e conhecido como a Lei de Hooke. IdealizadaporRobertHooke,umdosmaiorescientistasexperimentaisinglesesdoseculoXVII.Figura3.2: RobertHooke(1635-1703)154EquacoesLinearesdeSegundaOrdem 3.8AplicacoesLeideHooke: A forca que exerce uma mola, e que tende a restituir a massa m a suaposicao de equilbrio e proporcional a distancia que separa m de sua posicao de equilbrio.Assim, podemosescreverFs= kL, ondekeaconstantedeproporcionalidadedamola. Comoamassaestaemequilbrio,asduasforcasestaobalanceadas,ouseja,mg kL = 0. Paraw= mg,umpesodado,pode-semedirLedepoisusaraigualdadeacimaparadeterminark,cujasunidadessaoforca/comprimento.Estamosinteressadosemestudar omovimentodamassa, sejanapresencadeumaforcaexternaousejasobumdeslocamentoinicial. Denotemosporu(t)odeslocamentodamassaapartirdesuaposicaodeequilbrionoinstantet. Entao,pelaleideNewton,mu(t) = f(t), (3.57)ondeueaaceleracaodamassaef aforcatotal agindosobreamassa. Parasedeterminarfdevemosconsiderarasquatroforcasseparadas1. Opesow = mgdamassa,sempreagindoparabaixo.2. A forca da mola Fs, supostamente proporcional ao alongamento total L+u, sempreagepararestauraramolaasuaposicaonatural.SeL + u > 0,entaoamolaestadistendidaeaforcadamolapuxaparacima. NestecasoFs= k(L +u). (3.58)SeL + u 0 eaconstantedeamortecimento.Sedu/dt 0;b)u(t) = (A +Bt)et/2m, se 24km = 0;c)u(t) = et/2m(Acost +Bsent), =(4km2)1/22m> 0, se 24km < 0.Como m, , k > 0, entao 24km < 2. Assim, se 24km 0, temos r1< 0, r2< 0.Se 24km < 0, temos r1, r2 C, mas com parte real negativa. Assim, em todos os casos,asolucaoutendeazeroquandot . IstoocorreindependentementedosvaloresdasconstantesarbitrariasAeB, ouseja, independedas condicoesiniciais. Estefatosimplesmenteconrmaqueoamortecimentodissipagradualmenteaenergiadosistemae,emconsequencia,omovimentovaiparandoconformeotempopassar.O caso mais importante e o c), que ocorre quando o amortecimento e pequeno. FazendoA = RcoseB= Rsenobtemosu(t) = Ret/2mcos(t ).Odeslocamentocaentre as curvas u= Ret/2m; logoe parecidacomumaondaco-senoidal cuja amplitude diminui quando t aumenta. Este movimento e chamado de os-cilacaoamortecidaouvibracaoamortecida. O fator R depende de m, , ke das condicoesiniciais.Emboraomovimentonaosejaperodico, oparametrodeterminaafrequenciase-gundaqual amassaoscilaparacimaeparabaixo. Porisso, ueditoquasefrequencia.1613.8Aplicacoes EquacoesLinearesdeSegundaOrdemComparandocomafrequenciawdomovimentosemamortecimento,temosquew=(4km2)1/2/2mk/m=_1 24km_1/2= 1 28km.Esta ultimaaproximacaoevalidaquando2/4kmepequeno. Estasituacaoereferidacomopoucoamortecida. Assim, oefeitodepoucoamortecimentoereduzir, ligeira-mente, afrequenciadaoscilacao. AquantidadeTd=2/editaquaseperodo.Eotempo entre dois maximos ou mnimos sucessivos da posicao da massa ou entre passagenssucessivas da massa por sua posicao de equilbrio indo no mesmo sentido. A relacao entreTeTdedadaporTdT=w=_1 24km_1/2=_1 +28km_,ondea ultimaaproximacao evalidaquando2/4km epequeno. Assim,poucoamorteci-mentoaumentaoquaseperodo.Exemplo3.8.4. Omovimentode determinadosistemamola-massae governadopelaequacaodiferencialu + 0, 125u + u = 0,ondeuemedidoempesetemsegundos. Seu(0) = 2eu(0) = 0,(a)Determinaraposicaodamassaemqualquerinstante.(b)Encontraraquasefrequenciaeoquaseperodo.(c)Determinaroinstanteemqueamassapassapelaprimeiravezpelasuaposicaodeequlbrio.Asolucaodaequacaodiferencialdada eu(t) = et/16_Acos25516t + Bsen25516t_.AscondicoesiniciaisimpicamA=2eB=2/255. Logo, asolucaodoproblemadevalorinicial eu(t) = et/16_2cos25516t +2255sen25516t_ =32255et/16cos_25516t _,162EquacoesLinearesdeSegundaOrdem 3.8Aplicacoesondetag= 1/255,demodoque 0, 06254.A quase frequencia e =255/16 0, 998 e o quase perodo e td= 2/ 6, 295 seg.Essesvaloresdiferemligeiramentedosvalorescorrespondentes(1e2,respectivamente)paraaoscilacaosemamortecimento.Paraencontraroinstantenoqualamassapassa,pelaprimeiravez,pelasuaposicaodeequilbrio, fazemosnasolucaoacima255t/16 =/2, onde/2eomenorzeropositivodafuncaocoseno. Entao,resolvendoparat,obtemost =16255(2+)= 1, 637seg.3.8.2 CircuitosEletricosConsidere um circuito eletrico simples, onde a corrente eletrica I, medida em amperes,eumafuncaodotempot. AresistenciaR(emohms),acapacitanciaC(emfarads)eaindutanciaL(emhenrys)saotodasconstantespositivasconhecidas. Atensaoaplicada(ou forca eletromotriz) E(em volts) e uma funcao de t. Uma outra componente fsica queentra na discussao e a carga total Q (em coulombs) no capacitor no instante t. A relacaoentreacargaQeacorrenteIeI= dQ/dt.Ouxodecorrentenocircuitoeregidopelalei deKirchho. Pelasleiselementaresdafsica,sabemos:Aquedadetensao(oudevoltagem)noresistor eIR.Aquedadetensao(oudevoltagem)nocapacitor eQ/C.Aquedadetensao(oudevoltagem)noindutor eLdI/dt.Portanto,pelaleideKirchho,temosLdIdt+RI +1CQ = E(t). (3.63)SubstituindoI,obtemosaequacaodiferencialLQ +RQ +1CQ = E(t), (3.64)1633.8Aplicacoes EquacoesLinearesdeSegundaOrdemparaacargaQ. AscondicoesiniciaissaoQ(t0) = Q0, Q(t0) = I(t0) = I0. (3.65)Precisamossaber acarganocapacitor eacorrentenocircuito, emalguminstanteinicialt0.Podemosobterumaequacaodiferencial paraacorrenteI, bastaderivaraequacao(3.64),eseguidasubstituirmosIpordQ/dt. ResultandoemLI +RI +1CI= E(t), (3.66)comascondicoesiniciaisdadasporI(t0) = I0, I(t0) = I0. (3.67)Daequacao(3.63)seguequeI0=E(t0) RI0(I/C)Q0L. (3.68)Portanto,I0tambem edeterminadopelacargaepelacorrenteiniciais,quesaoquan-tidadesfsicasmensuraveis.A conclusao importante desta discussao e que o uxo de corrente no circuito e descritopor umproblemadevalor inicial quetemprecisamenteamesmaformadequeoquedescreve o movimento de um sistema mola-massa. Observe a analogia entre as quantidadesmecanicaseeletricas:AcargaQcorrespondeaodeslocamentou.AindutanciaLcorresponde`amassam.AresistenciaRcorresponde`aconstantedeamortecimento.1/Ccorresponde`aconstantekdamola.AtensaoouforcaeletromotrizE(t)corresponde`aforcaexternaF(t).AcorrenteI= dQ/dtcorresponde`avelocidadev= du/dt.164EquacoesLinearesdeSegundaOrdem 3.8AplicacoesExemplo 3.8.5. Conecta-se emserie umindutor de 0, 5 henrys, umaresistenciade6 ohms, umcapacitor de 0, 02 faradys, uma tensao comvoltagemaltenada dada por24sen10t,comt 0euminterruptor.(a)Estabeleceraequacaodiferencial paraacargainstantaneadocapacitor.(b) Encontrar a carga e a corrente no instante t, se a carga do capacitor e zero, quandoefechadoointerruptoremt = 0.Aquedadetensaonaresistenciae6I,noindutore0, 5IenocapacitoreQ/0, 02 =50Q. Portanto,segundoaleideKirchho,temos6I= 0, 5I + 50Q = 24sen10t.ComoI= Q,resultaemQ + 12Q + 100Q = 48sen10t. ()AscondicoesiniciaissaoQ(0) = 0eQ(0) = 0.Asolucaocomplementarde(*)(solucaodaequacaohomogeneahomogenea) eQc(t) = e6t(Acos8t +Bsen8t).Admitindo como solucao particular a expressao asen10t +bcos10t, resulta a = 0 e b =2/5. Portanto,asolucaogeralde(*) eQ(t) = e6t(Acos8t +Bsen8t) 25cos10t.AscondicoesiniciaisimplicamA = 2/5eB= 3/10. Assim,asolucaoprocurada eQ(t) =110e6t(4cos8t + 3sen8t) 25cos10t.Observarqueotermocomofatore6teasolucaotransitoria,quetendeazero,quandot . A solucao estacionaria e formada pelo termo 25cos10t. Ele se conserva quandootermotransitoriodesaparece.1653.8Aplicacoes EquacoesLinearesdeSegundaOrdem3.8.3 ProblemasDiversosNesta secao estudaremos varios problemas ilustrativos que conduzem a equacoes difer-enciaislinearescomcoecientesconstantes.Exemplo3.8.6. Umacaixaemformadeumcubode3mdearesta, utuaemaguastranquilas(cujamassaespeccae1000kg/m3). Observa-sequeacaixaoscilasubindoedescendo,comumperodode1/2seg. Determinaropesodacaixa.Ocubocolocadonaagua, temumaposicaodeequilbrioinicial eoutra, quandoesumergidonaagua. Nestaposicao, existeumaforcaquetendeaempurraracaixaparacima. Paradeterminarestaforca,precisamosdeumaleifsicaconhecidapor:Princpio de Arquimedes: Um objeto, parcial ou totalmente sumergido num uido,apresenta uma forca de empuxo para cima cujo valor e igual ao peso do uido desalojado.Segundo este princpio, o peso do cubo e igual ao peso da agua que ocupava a parte docubosumergida. Essaparteenecessariaparaequipararopesodocubo. Observarque,estandoocuboemequilbrio,existeumapartedeledentrodaagua,dealturax=x(t),equandoesubmergido, essaparteeigualmentesubmergida. Entao, resultaclaroqueexiste umaforcaadicional, naoequilibrada, igual aopesodaaguaque ocupariaessaregiao. Como as dimensoes dessa regiao sao x m por 3 m por 3 m e como a agua pesa 1000kg/m3, o peso da agua que normalmente ocuparia essa regiao sera 1000x33 = 9000xkg. Esteeovalornumericodaforcatotalquetendeamovimentarocubo(estaforcaeanaloga`aforcaderestituicaodeumamolavibrante). SeWkg eopesodacaixa,temospelaSegundaLeideNewtonwg x= 9000x, ou x +88200Wx = 0. ()Asolucaogeralde(*) ex(t) = Acos88200Wt +Bsen88200Wt,166EquacoesLinearesdeSegundaOrdem 3.8Aplicacoesdeondededuzimosqueoperodo eT=288200/W, ou T=2W297.Igualandoestaexpressaoa1/2seg.,obtemosW= 559kg.,aproximadamente.Exemplo3.8.7. Umpendulosimples, consistindodeumamassameumarame(oucordanao-elastica),temcomprimentol emassadeprezvel. Supondoqueosistemapodevibrarlivrementenumplanovertical,determinaroperododavibracao.Sejaoanguloformadopeloarameeavertical numinstantequalquer. Quandoamassamencontra-seemmovimento, atuamsobreeladuasforcas: atensaoFdacordaeopesomgdamassa. Sedecompomosopesomgnasduascomponentes,umaparalelae a outra perpendicular `atrajetoria do movimento, entaoe claro que a componenteperpendicular e equilibrada pela tensao F. Portanto, a forca total que age tangencialmente`atrajetoria emgsen. Escolhemosossinaisdemodoque > 0quandoamassaestejaadireitadavertical e0,aforcaresultanteencontra-sedirigida`aesquerdaequando< 0,estadirigida`adireita. Portanto,aforcatotalseradada,emmagnitudeesentido, por mgsen. Comoocomprimentodoarcoes=l, aplicandoaLei deNewton,obtemosmd2sdt2= mld2dt2= mgsen, oud2dt2= glsen. ()Aequacao(*)naopode-seresolverexatamenteemtermosdefuncoeselementares. Fare-mosumaaproxima caoparaangulospequenos,demodoquesen = ,expressandoemradianos. Assim,aequacao(*)canaformad2dt2+gl= 0. ()Sendo ig/lasrazesdaequacaocaractersticaassociada,temosasolucaogeral(t) = Aseng/lt +Bcosg/lt,1673.8Aplicacoes EquacoesLinearesdeSegundaOrdemdeondededuzimosqueoperodoTestadadoporT=2g/l, ou T= 2l/g,que eumaformulaconhecidadafsicaelementar.ExercciosExerccio3.8.1. Umamassade2libras(quase900g)esticaumamolade6polegadas(quase15cm)Seamassaepuxadaparabaixo3polegadasadicionaisedepoisesolta,esenaohaamortecimento, determinaraposicaoudamassaemqualquerinstantet.Encontrarafrequencia,operodoeaamplitudedomovimento.Exerccio3.8.2. Umamassade3libras(quase1, 36kg)esticaumamolade3polegadas(quase7, 6cm)Seamassaeempurradaparacima, contraindoamolade1polegadaedepoiscolocadaemmovimento,comumavelocidadeparabaixode2pes/seg,esenaohaamortecimento, determinaraposicaoudamassaemqualquerinstantet. Encontrarafrequencia,operodo,aamplitudeeafasedomovimento.Exerccio3.8.3. Umcircuitoemserietemumcapacitorde0, 25 106faradyseumindutorde1henry. Seacargainicial nocapacitorede106coulombenaohacorrenteinicial,encontraracargaQnocapacitoremqualquerinstantet.Exerccio3.8.4. Umcircuitoemserietemumcapacitorde103faradys, umresistorde3 102ohmseumindutorde0, 2henrys. Seacargainicial nocapacitorede106coulombenaohacorrenteinicial,encontraracargaQnocapacitoremqualquerinstantet.Exerccio3.8.5. Mostrarqueasolucaodoproblemadevalorinicialmu +u + ku = 0, u(t0) = u0, u(t0) = u0,podeserexpressacomoasomau=v + w, ondevsatisfazascondicoesiniciaisv(t0)=u0, v(t0) = 0, w satisfaz as condicoes iniciais w(t0) = 0, w(t0) = u0e ambas satisfazem168EquacoesLinearesdeSegundaOrdem 3.8Aplicacoesa mesma equacao diferencial que u. (Este e um outro exemplo de superposicao de solucoesdeproblemasmaissimplesparaseobterasolucaodeumproblemamaisgeral).Exerccio 3.8.6.Mostrar que a expressao A cos w0t+B sen w0t pode ser escrita na formar sen(w0t). Determinar r e em funcao de A e B. Se R cos(w0t) = r sen(w0t),determinararelacaoentreR, r, e.Exerccio3.8.7. Aposicaodeumdeterminadosistemamola-massasatisfazoproblemadevalorinicial32u +ku = 0, u(0) = 2, u(0) = v.Observa-se que o perodo e a amplitude do movimento resultante sao e 3 respectivamente.Determinarosvaloresdekev.Exerccio 3.8.8. Saoconectados emserie umaforcaeletromotriz de 500volts, umaresisntenciade20ohms,umindutorde4henryseumcondensadorde0, 008faradys. AcargaQeaintensidadedacorrenteIsaonulasquandot = 0. Determinar:(a)QeIemqualquerinstantet 0.(b)QeIquandotsejamuitogrande.Exerccio3.8.9. Umcubodearesta1, 5m. ecujopesoe250Kg. utuaemaguastranquilas.`Eempurradoligeiramenteparabaixoelogoesolto,demodoqueoscila. De-terminarafrequenciaeoperododasvibracoes.1693.8Aplicacoes EquacoesLinearesdeSegundaOrdem170Captulo4EquacoesDiferenciaisdeOrdemSuperior4.1 IntroducaoNoCaptulo2zemosumestudogeraldeEquacoesDiferenciaisdePrimeiraOrdem,vimos metodos de resolucao desde que soubessemos o tipo de Equacao diferencial que es-tavamostrandoemsendoequacoesseparaveis,lineares,exatas,homogeneas. Mostramosquemesmoqueessassolucoesestivessenaformadeumafamliadesolucoes,somentenocasodaslinearesdeprimeiraordempoderamosobtersolucoesgerais. JanoCaptulo3,vimosmetodosdesoluc oesparaequacoeslinearesdeordem2,paraistoistodesenvolve-mosumateoriageralparaequacoeslinearesdeordem2,estudamoscertasEDOsujeitasaoPVI,vimosquesuasolucao e unica.ClassicamosasEquacoesLinearesdeOrdem2emHomogeneaseNaoHo-mogeneas. ParaocasodasEquacoesLinearesHomogeneas,estudamosdoistipos:as que apresentam coecientes constantese as que os coecientes dependem do parametrot. EmseguidaestudamosasEquacoesLinearesNaoHomogeneasatravezdosmetodosdoscoecientesadeterminaredavariacaodeparametros.1714.2EquacoesLinearesdeordemn EquacoesDiferenciaisdeOrdemSuperiorNesteCaptuloveremosqueesteestudorealizadoparaequacoesdeordem2podemsergeneralizadosparaordenssuperiores. Nestesentido,faremosumapanhadoderesultadosde maneira mais rapida, um vez que em muitos casos a prova de boa parte destes resultadoeumageneralizacaodosresultadosdeordem2. DeixaremosboapartedasprovasdestesresultadoscomoexercciosaolongodesteCaptulo.4.2 EquacoesLinearesdeordemnUmaequacaodiferenciallineardeordemn eumaequacaodaformaa0(t)dnydtn+a1(t)dn1ydtn1+ +an1(t)dydt+an(t)y= k(t). (4.1)ondepodemossupor queasfuncoesa0(t), a1(t), . . . , an(t) egsaocontnuasemumintervaloI R,ecomacondicaodequea0(t)nuncaseanulanesteintervalo.Aestaequacao(4.1)podemosassociarooperadordiferencial linearLdeordemn,dadonaforma:L[y] =dnydtn+ p1(t)dn1ydtn1+ + pn1(t)dydt+pn(t)y= g(t). (4.2)ondep1(t) =a1(t)a0(t), . . . , pn(t) =an(t)a0(t)eg(t) =k(t)a0(t)Notemos que nesta situacao, um problema de valor inicial estara sujeita a n condicoesiniciaisy(t0) = y0, y(t0) = y0, . . . , y(n1)(t0) = y(n1)0,ondet0podeserqualquerpontonointervaloI.O Teorema (4.2.1) garante a existencia e unicidade de solucoes de uma equacao difer-enciallinear(4.1)sujeitaaumPVI.172EquacoesDiferenciaisdeOrdemSuperior4.2EquacoesLinearesdeordemnTeorema4.2.1. Sendoasfuncoesp1(t), . . . , pn(t)eg(t)contnuasemumintervaloI,entaoexisteuma unicasolucaoy= (t)daequacaodiferenciallinear(4.2),sujeitoaumPVIcomodenidoemumintervaloI.1734.2EquacoesLinearesdeordemn EquacoesDiferenciaisdeOrdemSuperiorExemplo4.2.1. ConsideremososeguintePVI3y + 5yy + 7y= 0; y(1) = 0, y(1) = 0, y(1) = 0temos que esta equacao apresenta a solucao trivia y= 0, sendo esta equacao de terceiraordemlinear, segue-sepeloTeorema(4.2.1) quey =0ea unicasolucaoemqualquerintervalocontendot = 1.Exemplo4.2.2. ConsideremososeguintePVIy4y= 12t; y(0) = 4, y(0) = 1.Pode-se, vericarfacilmentequey=3e2t+ e2t 3teasolucaodoPVI. Segue-se,peloTeorema(4.2.1)queasolucaoe unica.Exemplo4.2.3. ConsideremososeguintePVIt2y2ty + 2y= 6; y(0) = 3, y(0) = 1,demaneirarapidaepossvel vericarqueafamliadefuncoesy=ct2+ t + 3saosolucoes PVI nointervaloR+. Notemos quenestecaso, aEDOnaoelinear, edestaformaoTeorema(4.2.1)quegaranteaunicidadenaopodeseraplicado.ComofeitonoCaptulo3,comecaremosnossoestudodasequacoesdiferenciaisdeor-demsuperiorpelasEquacoesHomogeneas,dadasnaforma:L[y] =dnydtn+p1(t)dn1ydtn1+ +pn1(t)dydt+pn(t)y= 0. (4.3)Note que se tivermos nsolucoes y1, . . . , ynparaaequacao(4.3), entaopor calculodireto,demaneirasimilarcomozemosnoCaptulo2,teremosqueacombinacaolineardestasolucoestambem eumasolucaoparaaequacao(4.3).Nestemomento,surgedemaneiranuturalosseguintesquestionamentos:174EquacoesDiferenciaisdeOrdemSuperior4.2EquacoesLinearesdeordemnTodasassolucoesdeL[y] = 0estaoincludasemy(t) = c1y1(t) + +cnyn(t)?Epossvelqueexistamoutrassolucoescomformasdiferentes?Comecamos aestudar estaquestaoinvestigandose as constantes c1, . . . , cnpodemserescolhidasdemodoqueasolucaoy(t)satisfacaaequacao(4.3), eseparaqualquerescollhat0 I,ondeasfuncoesp1(t), . . . , pn(t)eescolhasy0, y0, . . . , y(n1)0. Teremosquesercapazesdedeterminarc1, . . . , cndemodoqueasequacoesc1y1(t0) + +cnyn(t0) = y0,c1y1(t0) + +cnyn(t0) = y0.. . .c1y(n1)1(t0) + +cny(n1)n(t0) = y(n1)0,sejamsatifeitas.Reparequeestesistemapodeserrepresentadomatricialmentepor__y1(t 0) . . . yn(t0)y1(t0) . . . yn(t0). . . . . . . . .y(n1)1(t0) . . . y(n1)n(t0)__.__c1c2...cn__=__y0y1...y(n1)0__O sistema pode ser resolvido de maneira unica para as constantes c1. . . , cn, desde quedeterminantedamatrizdoscoecientestenhadeterminantenaonulo.Noentanto,casoodeterminante damatrizdos coecientes sejanulo,entao e possvelencontrarvaloresy0, . . . , y(n1)0demodoqueosistenanaotenhasolucao.Assim,podemosestabelecerascondicoenecessariasesucientesparaaexistenciadesolucoesdaEDO,paravaloresarbritariasdey0, . . . , y(n1)0, edeque175ReferenciasBibliogracasW(y1, . . . , yn) =y1y2. . . yn. . . .. . . .y(n1)1y(n1)2. . . y(n1)nnao se anu