Apostila AlLinear 2010 U1

8/16/2019 Apostila AlLinear 2010 U1

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Álgebra Linear 1

Prof (ªs) : MSc.Elisa Netto Zanette, Dr ª . Ledina Lentz Pereira e MSc. Sandra Regina da Silva Fabris

UNESCUNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE

Caderno Pedagógico de:

MSc Elisa Netto ZanetteDrª Ledina Lentz Pereira

MSc Sandra Regina da Silva Fabris

Criciúma (SC), 2010



Álgebra Linear 2


INTRODUÇÃO

A Matemática , desde os seus primórdios, entrelaça-se intimamente com a história dacivilização e é uma das alvancas principais do progresso humano (BAUMGART 1, 1997). Váriosconceitos básicos dessa ciência, criados para atender a certas necessidades e resolver problemasespecíficos, posteriormente revelaram uma utilidade bem mais ampla do que a inicialmente pensadae vieram, com a evolução das idéias e o desenvolvimento das teorias, a adquirir uma posiçãodefinitiva de grande relevância na Matemática (LIMA 2, 2000, p.28).

Observamos uma mudança contínua que se processa tanto nas condições sócio-político-econômica das sociedades quanto na própria Matemática. Ë fato que a validez das teoriasMatemáticas é perene e subsiste através dos séculos. Porém, a posição dessas teorias e técnicas aelas associadas, varia bastante em termos de importância, alcance e eficácia em fase dos novosdesenvolvimentos, das novas descobertas e da ocorrência de áreas recentes de aplicação, dentro efora da Matemática (LIMA3, 2001, p.159).

Usamos Matemática diariamente, mesmo sem perceber. Isso só, poderia justificar a suaimportância. É facilmente percebida, nas atividades simples do homem às mais complexas, nosesportes, na estatística, nas construções, nas previsões orçamentárias. Sem dúvida, ela confere

“poder” aos economistas, aos empresários, etc. A Matemática é ferramenta imprescindível para que

se possa ordenar os pensamentos, porque desafia e desenvolve a mente, ajuda a compreender aslinguagens que se utiliza no cotidiano.As concepções matemáticas desenvolvidas e acumuladas nas diversas gerações podem ser

divididas em Aritmética (números), Álgebra (letras + números) e Geometria (figuras planas eespaciais). A Trigonometria pode ser considerada como um ramo da Geometria e a GeometriaAnalítica como uma fusão da Álgebra com a Geometria. Resolvemos os problemas como o uso daaritmética, da geometria, da trigonometria, da álgebra, do cálculo diferencial e integral, etc. Algunsproblemas podem ser solucionados ao mesmo tempo pela Álgebra, ou Geometria ou Aritmética.Coube a Descartes a solução de problemas geométricos através da Álgebra e vice-versa, em 1637.

Para Baumgart (1999) a origem da palavra “álgebra” é estranha e intrigante. Ela não se sujeitaa uma etimologia nítida como, por exemplo, a palavra “aritmética”, que se deriva do grego arithmos(número). Álgebra é uma variante latina da palavra árabe al-jabr (às vezes transliterada al-jebr ),usada no título de um livro, Hisab al-jabr w’al-muqabalah (“Ciência das equações”), escrito emBagdá (ano 825) por um matemático árabe. Esse tratado de álgebra é com freqüência citado,abrevidamente, como Al-jabr. Ainda que originalmente “álgebra” refira-se a equações, a palavrahoje tem um significado muito mais amplo e uma definição satisfatória requer um enfoque, tantocronológico quanto conceitual, em duas fases: (1) Álgebra antiga (elementar) é o estudo dasequações e métodos de resolvê-las; (2) Álgebra moderna (abstrata) é o estudo das estruturasmatemáticas tais como grupos, anéis, corpos, etc.

A Álgebra Linear (o nome indica sua origem geométrica) ou Álgebra Vetorial é uma parte daÁlgebra que, por sua vez, é um ramo da Matemática na qual são estudados matrizes, espaçosvetoriais e transformações lineares que contribuem para um estudo detalhado de sistemas linearesde equações. É um fato histórico que a invenção da Álgebra Linear tenha origem nos estudos desistemas lineares de equações.

Segundo o matemático Elon Lages Lima (LIMA, 2001), a Álgebra Linear é o estudo dos espaçosvetoriais e das transformações lineares entre eles. Quando os espaços têm dimensões finitas, astransformações lineares possuem matrizes. Também têm matrizes as formas bilineares e, mais,particularmente, as formas quadráticas. Assim a Álgebra Linear, além de vetores e transformaçõeslineares, lida também com matrizes e formas quadráticas.1 BAUMGART, John K.Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula:Álgebra. Trad. Hygino H Domingues. São Paulo:Atual, 1997. 2 LIMA, Elon Lages.Meu Profesor de Matemática e outras histórias. (Coleção do Professor de Matemática: SBA Sociedade Brasileira deMatemática). Rio de Janeiro: Solgraf Publicações Ltda, 2000.3 LIMA, Elon Lages.Matemática e Ensino. (Coleção do Professor de Matemática: SBA Sociedade Brasileira de Matemática). Rio deJaneiro: R&S, 2001.



Álgebra Linear 3


Tanto a Álgebra Linear como a Geometria Analítica aplicam-se a várias áreas, em especial àsEngenharias. Possibilitam explicar princípios fundamentais e simplificar os cálculos em Engenharia,Ciência da Computação, Física, Biologia, Matemática, Economia e Estatística. É, portanto relevante etem destaque em diversos cursos superiores, na graduação e na pós-graduação.

Muitos dos temas do âmbito da Álgebra Linear fazem parte integrande de planos de estudosdesses cursos já citados. Para Lay 4 (1999) a Álgebra Linear (e a Geometria Analítica, como suasubsidiária) constitui uma das áreas da Matemática com mais vastas e variadas aplicações incluindoa sua importância para as diversas áreas da própria Matemática – da Análise à Estatística e àInvestigação Operacional – em que temas fundamentais como Cálculo Matricial ou o Cálculo Vetorialsão de utilização constante e cotidiana. É de extrema importância para em seus tópicos maisavançados, simplificando sua teoria e em geral, para a maior parte da Matemática.

Numa análise comparativa com a Geometria, a Álgebra, como estrutura lógica, têm-sedesenvolvido mais recentemente, principalmente nos últimos 100 anos, com formulação simples,onde poucos axiomas são suficientes para organizar toda a estrutura da Álgebra. Por sua vez, aGeometria, desenvolvida inicialmente pelos Gregos a mais de 2.000 anos, está sintetizada nos

“Elementos de Euclides” que formam a base da Geometria Plana e Sólida atual, conservando amaneira sistemática de analisar as propriedades de pontos, retas, triângulos, círculos e outrasconfigurações. Têm-se introduzido em estudos recentes, conjuntos de axiomas e postulados quemelhoram sua estrutura lógica, mas o conteúdo da Geometria permanece o mesmo.

Descobriu-se que, essencialmente, toda Geometria pode ser desenvolvida em linguagemalgébrica. Na associação de pontos e retas ao invés da geometria usual, realiza-se operaçõesalgébricas em certos objetos, denominados vetores. Esses vetores obedecem a certas leis algébricas,similares aos números. Assim, trabalhamos teoremas da geometria através de teoremas da álgebrados vetores com ênfase nas equações, identidades e desigualdade em lugar de conceitosgeométricos como, congruência, semelhança e interseção de segmentos.

Os vetores têm papel relevante, não apenas na Matemática, como na aplicação em outrasáreas. O estudo desses vetores, normalmente é feito por meio de dois tratamentos que secompletam: Geométrico e Algébrico. A grande vantagem da abordagem geométrica é de possibilitarpredominantemente a visualização dos conceitos que são apresentados para estudo, o que favoreceseu entendimento que sob o ponto de vista algébrico, são mais formais e abstratos.

Apesar da Álgebra Linear representar um campo abstrato da Matemática, ela tem um grandenúmero de aplicações dentro e fora da Matemática. Haetinger (2007) cita algumas e afirma que,apesar de não conseguir abordá-las todas, num curso de Álgebra, o objetivo é que o estudante tomecontato com o que representa o estado da arte desta área. Alguns exemplos 5 de aplicações: Jogos deEstratégia; Distribuição de Temperatura de Equilíbrio; Genética; Crescimento Populacional por FaixaEtária; Criptografia; Tomografia Computadorizada; etc.

Nos temas a serem trabalhados, incluimos a discussão sobre os conceitos teóricos formalmenteinstituidos, acompanhados de exemplos e atividades. Os textos são escritos em linguagem simples,mas com rigor matemático. São apresentados em forma de resumo e de modo algum, dispensam apesquisa do acadêmico aos diversos livros didáticos da área. Portanto, para aprofundar seusconhecimentos, sugerimos como fontes, os livros e links relacionados na bibliografia.

4 LAY, C David.Álgebra Linear e suas aplicações. 2ed. Trad. Ricardo Camelier e Valéria de M. Iório. Rio de Janeiro: LTC, 1999.5 HAETINGER, Claus. 2007. Disponível emhttp://ensino.univates.br/~chaet/Algebra_Linear.html . Acesso em Jan 2009.

Essa introdução - associando a geometria com a álgebra de vetores - é informal e objetiva formaruma noção intuitiva da Álgebra. O conteúdo programático de Álgebra Linear foi elaborado, visandoum conhecimento dos conceitos mínimos e indispensáveis, de modo que se possa perceber a inter-relação entre os mesmos e a sua aplicação conjunta.



Álgebra Linear 4


SUMÁRIO

INTRODUÇÃO............................................................................................................................................................................ I MATRIZES...............................................................................................................................................................................

1 Introdução ...................................................................................................................................................................... 2. Definição .........................................................................................................................................................................

3. Tipos de Matrizes ..................................................................................................................................................... 10 4. Proposições: Igualdade de Matrizes e Matriz Oposta ....................................................................... 12 5. Matriz Transposta .................................................................................................................................................... 12 6. Simetria em Matrizes ............................................................................................................................................. 13

Lista 1 de Atividades - Matrizes ...................................................................................................................................... 7. Operações com Matrizes ..................................................................................................................................... 16

7.1 Adição e Subtração de matrizes ............................................................................................................... 16 7.2 Multiplicação por um escalar ..................................................................................................................... 17 7.3 Multiplicação entre matrizes ...................................................................................................................... 18

8. Potência de uma Matriz ....................................................................................................................................... 22 9. Propriedades das Operações com Matrizes .............................................................................................. 23

Lista 2 de Atividades – Operações com Matrizes............................................................................................................ 10. Equivalência de Matrizes .................................................................................................................................. 28

Lista 3 de Atividades – Equivalência de Matrizes/escalonamento................................................................................... II DETERMINANTES E MATRIZES.................................................................................................................................... 32

1 Classe de uma Permutação ................................................................................................................................. 32 2 Determinante de uma matriz ............................................................................................................................. 33

2.1 Determinante de 1ª ordem ......................................................................................................................... 34 2.2 Determinante de 2ª ordem ......................................................................................................................... 34 2.3 Determinante de 3ª ordem: Regra de Sarrus ................................................................................... 35 2.4 Determinante de ordem n > 3: Teorema de LAPLACE ................................................................. 37 2.5 Processo de triangulação para cálculo de determinante ........................................................... 38

3 Propriedades dos determinantes ..................................................................................................................... 39 4 Determinante e Matriz Inversa ......................................................................................................................... 40

Lista 4 de atividades – Determinantes e Matrizes............................................................................................................ 5 Aplicação matemática do conceito de determinantes na geometria .......................................... 46

Lista 5 de atividades - Determinantes .............................................................................................................................. III SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES E MATRIZES............................................................................................ 48

1 Equações Lineares .................................................................................................................................................... 48 2 Sistema de Equações Lineares .......................................................................................................................... 50

2.1 Conceito ................................................................................................................................................................. 5 2.2 Representação Matricial de um Sistema de Equações Lineares ............................................ 50 2.3 Classificação dos Sistemas de Equações Lineares ......................................................................... 52 2.4 Equivalência de Sistemas de Equações Lineares ............................................................................ 54 2.5 Resolução de Sistemas de Equações Lineares pelo princípio da equivalência:Método de condensação ou de eliminação de Gauss-Jordan ........................................................... 55 2.6 Solução de um sistema de equações lineares pela Regra de Cramer ................................. 58 3 Sistema Homogêneo de Equações Lineares: Discussão da solução ............................................ 59

Lista 6 de atividades – Parte I.......................................................................................................................................... Lista 6 de atividades - Parte II .........................................................................................................................................

4 Discussão de um Sistema de Equações Lineares homogênio e não-homogênio .................. 65 Lista 7 de atividades ........................................................................................................................................................

APÊNDICE A...................................................................................................................................................................... 6 Matriz de Co-Fatores e Adjunta Clássica. ........................................................................................................ 67 Aplicação de Determinante: Adjunta Clássica e Matriz Inversa ........................................................ 67

1 Encontrando a Matriz de Co-fatores .......................................................................................................... 67 2 Encontrando a Matriz Adjunta Clássica .................................................................................................... 68



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3 Encontrando a Matriz Inversa por Determinante ............................................................................... 70 Lista de atividades – Determinantes, Matriz Inversa e Adjunta Clássica.........................................................................

Bibliografia ........................................................................................................................................................................ 7



Álgebra Linear 6


CCCAAAPPPÍÍÍTTTUUULLLOOO III MMAATTR R II ZZEESS,, DDEETTEER R MMII NNAANNTTEESS EE SSII SSTTEEMMAASS

s Matrizes formam um importante conceito em matemática, de especial uso no estudo detransformações lineares. Os fundamentos e operações básicas com matrizes, determinantes e

sistemas de equações lineares são importantes no desenvolvimento de conceitos da ÁlgebraLinear e portanto, pré-requisito para o estudo da mesma.

I MATRIZES

1 Introdução

requentemente nos deparamos com conjuntos de números ou outros objetos matemáticos, que

podem ser tratados em blocos por serem operados essencialmente da mesma maneira. Paraisso, usamos matrizes .As matrizes são tabelas de números, utilizados como instrumentos de cálculo, surgidas em meadosdo século XVII como um novo instrumento que, de início, servia para resolver sistemas lineares.Dentre as matrizes as que mais uso teve e tem, é a matriz quadrada.As primeiras concepções sobre matrizes na Matemática, surgiram com o inglês Arthur Cayley (1821-1895). Sua preocupação vinculava-se na forma e na estrutura em Álgebra. Sob esse aspecto, criouum modelo considerado referência mas sem a menor idéia de qualquer possível utilidade prática.Hoje a teoria das matrizes é uma das partes da matemática mais férteis em aplicação: naMatemática, na Física, na Física Atômica, na Estatística, na Economia, na Engenharia, naComputação, etc. Várias operações executadas por cérebros eletrônicos são computações por

matrizes. As matrizes são tabelas de números, utilizados como instrumentos de cálculo. Dos eventose atividades nos quais somos, direta ou indiretamente, envolvidos no cotidiano, muitos deles podemser dispostos em forma de tabela/matrizes.

VVVooocccêêê sssaaabbbiiiaaa qqquuueee ::: A geração dos movimentos e deformações que vemos nos efeitos especiais do cinema, da TV, dosgames de computadores e nas visualizações das simulações científicas está baseada na multiplicaçãode matrizes 4x4 no caso espacial e 3x3 no caso plano. Nessas aplicações o problema computacionalnão está no tamanho das matrizes mas na quantidade delas e na rapidez de processamento dasmultiplicações (para que se tenha um movimento realístico).Em muitas outras aplicações, temos uma situação quase que oposta: uma única matriz é suficientemas seu tamanho pode ir a ordem de centenas e mesmo milhares de linhas e colunas. Isso ocorre

normalmente em problemas que envolvem o estudo de campos elétricos, magnéticos, de tensõeselásticas, térmicos, etc, os quais - por um processo de discretização - são reduzidos a um sistemade equações lineares, cuja matriz tem grande tamanho. Esse tipo de problema é um dos maiscomuns em vários campos da Engenharia. Outra situação que nos leva a nos envolvermos commatrizes enormes são as associadas a grandes redes de distribuição de energia elétrica, redes decomunicações, redes de transporte, etc. (SILVEIRA, 1999).

2. Definição

A

F



Álgebra Linear 7


hamamos de matriz de ordem m por n a qualquer quadro ou tabela formada por m x n elementos (números, polinômios, frações, etc.) dispostos em m linhas e n colunas.Ou, uma matriz é qualquer tabela formada por números ou outro tipo de objeto matemático

que se pretende operar em bloco, simultaneamente.Ou, uma matriz é um conjunto ordenado de números e estão associdados a duas dimensões: adimensão das linhas e a das colunas. Um importante exemplo prático de matriz surge na

informática: os programas conhecidos como planilhas eletrônicas correspondem a matrizes. Umaplanilha, tal como uma matriz, está dividida em linhas e colunas e, cada célula da planilharepresenta um elemento da matriz.De forma genérica, uma matriz pode ser representada por uma letra maiúscula do alfabeto ou porseus elementos representativos. Estes elementos são dispostos normalmente entre parênteses ( )ou entre colchetes [ ] ou duplas barras . Da mesma forma, cada elementos está associado adois subíndices que indicam sua posição na matriz.Assim, podemos dizer que cada elemento de uma mátria A é representado por a ij, onde i representaa linha e j a coluna, onde o elemento a se encontra localizado. A matriz com m linhas e n colunaspossui dimensão mxn (lê-se m por n) e indicamos por Amxn.

Exemplo 1:

(a) A2x3 =

−

−

534012 é uma matriz de 2 linhas e 3 colunas onde cada elemento de A ocupa

um lugar determinado na matriz. O elemento (-5), por exemplo está na segunda linha (i=2) eterceira coluna (j=3) que indicamos por a 23 = -5. Os demais elementos indicamos por:

534012

232221

131211−===

=−==

aaa

aaa

(b) B2x2 =4

91

ié uma matriz de ordem 2 x 2 ou B = [b ij]2x2

(c) C1x4 = [ ]9422 − é uma matriz de ordem 1 x 4 ou C = [c ij]2x2 Exemplo 2: Consideremos a situação-problema de 03 pessoas, candidatas a um emprego esubmetidas a testes. Podemos representar o resultado dos testes num quadro de avaliação:

1º teste 2º teste 3º teste

Teresa 4,0 3,5 1,0

Paulo 5,0 7,3 8,0

Marcos 4,8 7,2 3,0

André 9,0 8,8 6,5Os números distribuidos na horizontal representam a pessoa avaliada e formam o quedenominamos de linha e, os colocados na vertical representam o grau de aprovação no teste esão chamados de coluna . A tabela de valores resultante do quadro é denominada matriz ecada número é chamado de elemento .Neste exemplo, temos uma tabela/matriz de ordem quatro por três (4 x 3 ) ou seja, é uma amatriz com 4 linhas e 3 colunas. Assim, representamos a situação-problema em:

C



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A4x3 =

5,68,80,90,32,78,40,83,70,50,15,30,4

Exemplo 3: Vamos considerar agora, a representação em matriz da seguinte situação:Analisando a pontuação (de 0 a 10) obtida por Paulo, André e Luana, no programa deformação continuada da empresa em que trabalham, nos últimos anos, temos: Paulo, com 8,7, 9 e 8 pontos; André, com 6, 6, 7, 6 e Luana, com 4, 8, 5, 9.Esta situação-problema pode ser representando num quadro ou numa matriz com a pontuaçãodos três por ano. Observe:Representando num quadro:

2004 2005 2006 2007

Paulo 8 7 9 8

André 6 6 7 6

Luana 4 8 5 9

Representando numa matriz:

Para saber a pontuação de André, por exemplo, em 2006, basta procurar o número que fica na2ª linha e na 3ª coluna da tabela ou da matriz. Temos nesse caso, uma matriz de ordem 3 x 3 ou seja, nossa matriz tem 3 linhas e 3 colunas e indicamos por A 3,3. Quando uma matriz tem onúmero de linhas igual ao número de colunas, é chamada de matriz quadrada. Exemplo 4: Vamos avaliar uma outra situação-problema na comparação entre pessoas comseus respectivos pesos, alturas e idade. Podemos representar no quadro abaixo os valoresencontrados:

Altura(m) Massa(kg) Idade(anos)Eduardo 1,83 72 18

Fernando 1,75 54 14Este quadro pode ser representada por uma matriz A de ordem 2 x 3 ou seja com 2 linhas e 3 colunas. As linhas são enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita.

A2x3 = 145475,1187283,1

LINHAS

COLUNAS

1ª linha2a linha

3ª coluna2a coluna1a coluna



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Resumindo:

1. Algebricamente, usamos letras maiúsculas (A, B, ...) para indicar as matrizes genéricas eletras minúsculas ou números para indicar os elementos.

2. As tabelas com m linhas e n colunas são denominadas matrizes de ordem m x n . Portanto:Denomina-se matriz de ordem m x n (lê-se: m por n ) com m , n ≥≥≥≥ 1 , a uma tabela formada

por m x n elementos (números, polinômios, funções, etc.), dispostos em m linhas e n colunas.3. A representação genérica de uma matriz A de ordem m x n é:

Amxn =

mnmmm

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

..................

...

...

321

2232221

1131211

, com m e n ∈ N*

Indica-se a matriz acima por:Amxn = [ a ij ] m x n com i ∈ {1, 2, ..., m} ⊂ N e j ∈ { 1, 2, ..., n} ⊂ N ouAmxn = [ a ij ] , (1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n).Note que cada elemento a ij da matriz A, está vinculado a dois índices: i e j. O primeiroindica a linha e o segundo a coluna em que o elemento pertence. Exemplo: O elemento a 25 indica que o elemento a está localizado na 2ª linha e 5ª coluna da matriz A.

4. A representação de uma matriz a partir de uma lei de formação permite calcular o seu númerode elementos e encontrá-los.Exemplo: Encontre a matriz A = (a ij)3x2 sabendo que a ij = 2i – 3j.Resolvendo: A representação abreviada de A = (a i j)3 x 3 indica que A tem ordem 3 x 2 ou seja 3linhas e 2 colunas. Então m x n = 3 x 2 = 6. Assim, nossa matriz tem 6 elementos e sua

representação genérica é A 3x2 =

3231

2221

1211

aaaa

aa

. Logo, para a ij = 2i – 3j temos:

⇔⇔⇔⇔ a11 = 2.1 - 3.1 = 2 – 3 = -1a12 = 2.1 – 3.2 = 2 – 6 = -4a21 = 2.2 – 3.1 = 4 – 3 = 1a22 = 2.2 – 3.2 = 4 – 6 = -2a31 = 3.3 – 3.1 = 9 – 3 = 6a32 = 3.3 – 3.2 = 9 – 6 = 3.

A matriz procurada é A 3x2 =

−

−−

362141



Álgebra Linear 10


3. Tipos de Matrizes

lgumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais. Vamosconhecer!

1. Matriz Retangular: Se m ≠≠≠≠ n então A é dita matriz retangular de ordem m x n.

Exemplo: A3x4=

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

é uma matriz retangular de ordem 3 ×××× 4 ou A = [a ij]3x4

2. Matriz Linha ou vetor linha : É a matriz de ordem 1 x n, ouseja, formada por uma única linha. Exemplo: A1x4 =( )8513 −

3. Matriz Coluna ou vetor coluna : É a matriz de ordem m x 1,

ou seja, com uma única coluna. Exemplo: B2x1 =

−94

.

4. Matriz Nula ou matriz nula : É a matriz em que todos os elementos são nulos. É representada

por 0m x n. Exemplo: 02x3 = 000000

Exemplo complementar: A tabela a seguir apresenta os preços dos produtos químicos paratratamento de água P 1, P2, P3, P4 das empresas A, B, e C.

P1 P2 P3 P4 A 190 182 204 179B 191 180 200 177C 192 181 205 175

Neste exemplo temos uma matriz retangular de ordem 3 x 4, formada por 3 linhase 4 colunas. Os preços da empresa A formam a matriz linha 1x4 indicada por A =

( )179204182190 . Idem para os preços das empresas B e C. Os preços do produto P 1, relacionados as empresas A, B e C formam a matriz coluna

3x1, indicada por P 1=

192191190

. Idem para os produtos P 2, P3 e P4 .

5. Matriz Quadrada : Se m = n então a matriz A é denominada matriz quadrada de ordem n isto é, A é uma matriz que tem um número igual de linhas e colunas. Exemplos:

A3x3=333231

232221

131211

aaa

aaaaaa

e B2x2=

−

4031 . A é uma matriz quadrada de ordem 3 e B tem ordem 2.

Os elementos aij da matriz quadrada quando i = j formam a diagonal principal da matriz.A outra diagonal é chamada diagonal secundária .

Exemplo: A3x3=333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

Diagonal principal

Diagonal secundária

Note que: Matrizes com acaracterística de ser linha oucoluna têm papel importantena Álgebra e sãodenominadas vetores . Eestes têm representaçãogeométrica no plano e no

espaço tridimensional.



Álgebra Linear 11


Na diagonal principal estão os elementos que têm os dois índices iguais → a11, a 22, ... a nn

Na diagonal secundária estão os elementos a ij tais que i+j = n+1 ou seja, que têm soma dosíndices igual a n+1 → São: a 1n, a 2(n-1) , ... a n1.

As matrizes quadradas se classificam em:5.1 Matriz diagonal : É a matriz quadrada em que

todos os elementos que não estão na diagonalprincipal são iguais a zero ou seja, se A=[ a ij ],então a ij = 0 quando i ≠ j. Indicamos por D =diag (a 11, a 22, ... a nn ).

Exemplo 1: D3x3 = −

2000310005

5.2 Matriz identidade ou matriz unidade : É amatriz quadrada em que todos os elementos dadiagonal principal são iguais a 1 e os demais sãonulos. É representada por I n, sendo n a ordemda matriz ou simplesmente I.

Ou, matriz identidade é uma matriz diagonalcom os elementos não nulos iguais a 1.

Exemplo: I3 =100010001

Pode ser representada genericamente por:

In = [ a ij ] com a ij =≠

= jise0, jise,1

Note que: A multiplicação de qualquer matrizpela identidade resulta na matriz original.

5.3 Matriz escalar ou singular : É a matrizdiagonal cujos elementos da diagonal principalsão iguais. Note que toda matriz identidade éuma matriz escalar.

Exemplo: A3 =500050005

5.4 Matriz triangular superior : É a matrizquadrada cujos elementos abaixo da diagonal

principal são nulos ou é a matriz A=[a ij] cujoselementos a ij são nulos (a ij = 0) para i > j Exemplo:A4 = −

2000010012201865

5.5 Matriz triangular inferior : É a matrizquadrada cujos elementos acima da diagonalprincipal são nulos ou é a matriz quadradaA=[aij] cujos elementos a ij são nulos (a ij = 0)para i < j

Exemplo:A4 =−

2523011900200005

Note que: Uma Matriz diagonal é simultaneamente triangular superior e triangular inferior. Porexemplo:

Uma agência de automóveis efetuou de vendas,durante o quatro trimestre: 106 Gols no 1 o mês, 45Zafiras no 2 o mês, no último mês foram 20 Passats.Observe, ao lado, a tabela de vendas e a matrizdiagonal que é simultaneamente triangular.

Gol Zafira

Passat

M1 106

0 0

M2 0 45 0M3 0 0 20

ou

2000045000106



Álgebra Linear 12


4. Proposições: Igualdade de Matrizes e Matriz Oposta

4.1 Duas matrizes de mesma ordem podem ser iguais.

Duas matrizes A = [ a ij ] e B =[ b ij ], de mesma ordem, são iguais se, e somente se, todos seuselementos correspondentes são iguais ou seja, se a ij = b ij.

Exemplo 1: A matriz A = [ 2 -4 1,5 ] é igual a matriz B = [ a -4 1,5 ] se, cadaum dos seus elementos são iguais. Neste caso, a = 2.

Exemplo 2: Seja A =

d c

ba e B =

− 51

61 . A=B se a = 1, b = 6, c = -1 e d = 5.

Exemplo 3: Seja A =

−

2241 e B =

+

−

w y

z x

12 temos que A = B ou B = A se

−

2241

=

+

−

w y

z x

12

⇔

=

−=−

=+

=

242

211

w

z

y

x

⇔

=

−=

=

=

22

11

w

z

y

x

4.2 Toda matriz A tem uma matriz oposta (-A).

Se A = [ a ij ] m x n então existe uma matriz oposta de A representada por (-A) de modo que a ij = - a ij. A matriz (-A) oposta de A é obtida trocando-se todos os sinais dos elementos de A oumultiplicando A pelo escalar (-1).

Exemplo 1 : Se A=

−

4031

então (-A) =

−

−

4031

.

Exemplo 2 : Se A=

−

2241 então B é oposta de A se B =

−−

−

2241

5. Matriz Transposta

ada uma matriz A m,n, chama-se transposta de A a matriz A t que se obtem trocandoordenadamente as linhas pelas colunas.Ou, a matriz transposta de uma matriz A= [a ij], de ordem mxn, é a matriz A t, de ordem nxm,

que se obtém escrevendo ordenadamente as linhas de A como colunas ou vice-versa.Exemplo: Se A =

−−

−

324611

então At =

−

−−

362141

Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de At e a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna.

Obs: Algumas propriedades se definem nas transpostas envolvendo soma e produtode matrizes. Portanto, serão comentadas após as operações com matrizes.

D



Álgebra Linear 13


6. Simetria em Matrizes

ma matriz qualquer quadrada , pode ser simétrica e anti-simétrica . Observe:

6.1 Matriz simétrica : É a matriz quadrada de ordemn tal que A = A t. É a matriz cujos elementos a ij =a ji. Em geral a matriz simétrica é indicada pelaletra S Também podemos dizer que: Se uma matriz(quadrada) A e a sua transposta A t são iguais, istoé, as jiij aa = para todo i e j, então a matriz A ésimétrica (com relação a sua diagonal principal).A = At Matriz Simétrica

Exemplo: A =

−

−

712130 205 = At = S

Observe que na Matriz simétrica oselementos dispostos simetricamente emrelação a diagonal principal são iguais.Neste exemplo, temos:

a12 = a 21= 0 a13 = a 31= 2 a23 = a 32= -1

6.2 Matriz anti-simétrica : É a matriz quadrada deordem n tal que A t = (-A) ou é a matriz cujoselementos a ij = (-a ji) para i ≠ j e aij=0 para i=j. Emgeral a matriz simétrica é indicada pela letra S´ A = -A t Matriz anti-simétrica Observe nos exemplos que, como A=(-A t ) então Aé simétrica e

a12 = - a 21, a13 = - a 31, a23 = - a 32 a11 = a 22 = a 33 = 0

NNNooottt eee qqquuueee ::: Se uma matriz A é anti-simétria, seuselementos dispostos simétricamente em relação àdiagonal principal são opostos e os elementos dadiagonal principal são nulos.

Exemplo 1: A=−

−

−

012105250

=-At = S´

Exemplo 2: B=−−

−

031304140

=-Bt = S´

Agora, tente você!

Resolva a lista de atividades 1

U



Álgebra Linear 14


Lista 1 de Atividades - Matrizes1. Uma agência de automóveis efetuou de vendas, durante o quatro trimestre: 106 Gols, 40 Zafiras e

12 Passats no 1 o mês, 100 Gols, 22 Zafiras e 6 Passats no 2 o mês, no último mês foram 86 Gols,40 Zafiras e 20 Passats. Monte a tabela de vendas e transforme em matriz.

2. Encontre as matrizes definidas em:

(a) A=(a ij)3x2 com a ij=i–5j (b) B=(b ij)4x4 com b ij ==≠− jise,0 jise1

3. Encontre as matrizes definidas em:

(a) A=(a ij)3x2 com a ij=4i–j(b) B=(b ij)3x3 com b ij =i 2+j 2

(c) C=(c ij)2x3 com c ij ==+

≠

jise,2

jise4

ji

ji

(d) D = (d ij)3x3, matriz identidade

4. Considere a matriz B =

5,68,80,90,32,78,40,83,77,50,15,30,4

. Encontre os valores dos seguintes elementos de B:

a) b 11 b) b 21 c) b 12 d) b 32 e) b 42 f) b 24

5. Uma matriz possui 8 elementos. Quais os tipos possíveis para essa matriz? 1x8, 2x3, 5x7, 4x2,2x4, 2x6!

6. Quantos elementos tem uma matriz de ordem 4 por 7?7. Encontre a tabela de carros financiados por uma agência bancária nos meses de junho, julho e

agosto. Represente em matriz e analise: (a) Qual o modelo de carro mais financiado? (b) Em qualmês houve um maior número de carros financiados. (c) Qual o total de carros financiados pelaagência mensalmente e, ao final dos três meses?

8. Dê exemplo de:(a) Matriz simétrica S e anti-simétrica S´de ordem 3.(b) Matriz escalar de ordem 4.(c) Matriz Identidade de ordem 5.

9. Considere as matrizes retangulares A =62004531 + x

e B =64004631

− y.

(d) Determine os valores de x e y de forma que as matrizes A e B sejam iguais;(b) Encontre A t e Bt.

10. Determine a matriz oposta de A 2x3 =

−

250

321

11. A partir de uma matriz triangular superior de ordem 3, encontre a sua matriz oposta.12. A partir de uma matriz diagonal de ordem 4, encontre sua transposta.

13. Encontre a transposta da matriz A = [a ij]3x2 em que a ij =≠−

=−

jii j

ji ji

se se

14. Para a matriz linha A = [a ij]1x3 em que a ij =2i-j, prove que (A t)t = A.15. Encontre a matriz diagonal A = [a ij] de ordem 3, sabendo que a ij = 3i-j. Após, determine asoma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal secundária.



Álgebra Linear 15


16. Para A = −

21536

420 y e B =

−

z

x

8413560

encontre os valores de x, y e z para B = A t.

17. Verifique se a matriz identidade de ordem 3 é simétrica ou anti-simétrica e justifique.18. Determine uma matriz triangular superior A e uma matriz triangular inferior B de ordem 3,

para a ij = i+j e b ij = i-j.

19. Considere a matriz A =18

9431

− z

y x . Para que valores de x, y e z, A é uma matriz simétrica.

Respostas da Lista de Atividades 1

(1) Gol Zafira PassatM1 106 40 12M2 100 22 6

3 86 40 20

(2) A=−−

−−

−−

728394

(2) B =

−−−

−−−

−−−

−−−

0111101111011110

(3) A =

10116723

(3) B =

18131013851052

(3) C =

3 / 8683 / 423

;

(3) D =

100010001

(4) (a) b11=4,0 (b) b12=3,5 (c) b 42=8,8 (d) b21=5,7 (e) b31=7,2 (f) b24=não existe;

(5) 1x8, 4x2 e 2x4 (6) 4x7 = 28 elementos (7) 2015115 104598

25106

(a) modelo A; (b) mês 07; (c) mês 06 = 113; mês 07 =

153 e mês 08 = 150. Ao final de 3 meses financiaram 416 carros.

(8)(a) S =

−

−

20424453

23106; S=

−

−−

042403230 (b) E=

2000020000200002

(c) I =

1000001000001000001000001

(9a) x=1 e y = 6

(9b)At=

64

260301

Bt; (10) (-A)=

−−

−−

250321 , (11) A=

180013801052

, (-A) =

−

−−

−−−

180013801052 (12) D =

−

7000

010000300002

= D t.

(13) At

−

−−

101210 (14) A = ( )101 − , At =

− 101

, (At)t = ( )101 − = A (provado) ( 15) D =

33

22

11

000000

a

a

a =

600040002

→

(2+4+6)+(0+4+0) = 16. (16) x= 2 , y=8 e z=2 ou S={( 2 ,8,2)}; (17) É simétrica pois a ij = a ji para i ≠ j e não é anti-

simétrica pois a ij ≠ 0 para i = j; (18) A =

600540432

, B =

012001000

(19) A é simétrica para x=3, y = 8 e z = 4

204086622100

1240106



Álgebra Linear 16


7. Operações com Matrizes

7.1 Adição e Subtração de matrizes

uas matrizes, A = [a ij] e B = [b ij], só podem ser adicionadas ou subtraídas se tem a mesma

ordem. Neste caso, a soma (adição) de A com B é uma matriz C = [c ij], indica-se por A + B= C, tal que:cij = a ij + b ij

A diferença (subtração) entre duas matrizes A e B, de mesma ordem, é definida pela soma de Acom (-B), indica-se: A + (-B) = A – B, tal que:

cij = a ij - b ij

Assim, duas matrizes podem ser somadas (ou subtraídas) se e somente se elas possuem a mesmadimensão ijij ba =

Exemplo 1: Se =2221

1211aaaa A e =

2221

1211bbbb B então

++

++=+

22222121

12121111babababa B A

Exemplo 2: A tabela a seguir mostra o número de embalagens em mil, dos modelos C 1, C2,C3 produzidas numa semana pelas industrias A, B e C integrantes de um mesmo grupoempresarial, numa semana:

C1 C2 C3 A 18 41 17B 17 52 15C 25 48 19

A matriz correspondente a produção das embalagens é indicada por P 1 =194825155217 174118 .

Considerando que a quantidade de embalagens semanais produzidas não se altera, qual o totalde embalagens produzidas pelo grupo, por indústria e por modelo, ao final de duas semanas?

1ª semana + 2ª semana = P 1 + P 2 =194825155217174118

+194825155217174118

=3896503010434348236

.

A matriz P1 + P 2 indica a produção por empresa e produto ao final de duas semanas. Temosentão:Indústria A: produziu 36 mil embalagens do modelo C 1, 82 mil do C 2 e 34 mil de C 3.Indústria B: produziu 34 mil embalagens do modelo C 1, 104 mil do C 2 e 30 mil de C 3.Indústria C: produziu 50 mil embalagens do modelo C 1, 96 mil do C 2 e 38 mil de C 3.

Este é um exemplo de soma de matrizes Analisando a matriz resultante, podemos encontrar outros dados, facilmente. Por exemplo: O total de embalagens produzidas do modelo C 1 (= 120 000), do modelo C 2 (= 282 000), domodelo C3 (=102 000).

O total de embalagens produzidas, por industria, nos três modelos: A (=152 000), B (=168000) e C = (184 000)

O total de embalagens produzidas nas três industrias (=504 000)

D



Álgebra Linear 17


Exemplo 3: Se A =

0241

e B =

6835

então A + B =

0241

+

6835

=

61076

Exemplo 4: Se A =

0241 e B =

6835

então A - B =

0241

-

6835

=

−−

−

6614

Exemplo 5: Se A=

−−−

753234

321 e B=

−

351484

323 então,

A+B=

−−−

753234

321+

−

351484

323=

+++

−+−+−+−

+++

375513)4(28344

332231=

−

10104650

644=C

A–B=

−−−

753234

321-

−

351484

323=

−−−

−−−−−−−

−−−

375513)4(28344

332231=

−−

−

4022118002

=D

Exemplo 6: Se A = [ ]12 −b e B = 3231 ⇒ A + B = + 22

37

b

Exemplo 7: Se A = [ ]152 − e B = [ ]423 − então A + (-B) = A–B = [ ]571 −−

7.2 Multiplicação por um escalar

eja A = [a ij] e k um escalar (número) real ou complexo. O produto da matriz A pelo escalar k, é a matriz B = [b

ij] tal que b

ij = k a

ij , ou seja, é a matriz obtida multiplicando-se cada

elemento de A por k → b ij = ka ij

Exemplo 1: k A = k

0241

=

024

k

k k se k=5 temos 5A=5

0241

=

010205

=B

Exemplo 2: Se A= [ ]423 − então = A.31 [ ]423.

31

− = − 4.312.

313.

31 =

−

34

321 .

Exemplo 3: Considermos o mesmo problema anterior do quadro demonstrativo de produçãode embalagens de indústrias que integram o mesmo grupo empresarial. A tabela a seguirmostra o número de embalagens em mil, dos modelos C 1, C2, C3 produzidas pelas industrias A,B e C, numa semana:

C1 C2 C3 A 18 41 17B 17 52 15C 25 48 19

S



Álgebra Linear 18


A matriz correspondente a produção das embalagens é indicada por P 1 =194825155217174118

. Para

atender as necessidades do mercado, a produção precisa dobrar nas duas últimas semanas domês. Qual deve ser o quadro de produção da empresa num mês de 04 semanas?

1ª semana: P 1 =194825155217174118

= P2 → 2ª semana;

3ª semana: P 3 = 2.P 1 = 2.194825155217174118

=3896503010434348236

= P4 → 4ª semana;

Produção nas 4 semanas: P 1+P 2+ P 3 + P 4 = 3. P 4 =

114288150

90312102102246108

OU podemos resolver fazendo P i = 6.P 1= 6.194825155217174118

=11428815090312102

102246108

7.3 Multiplicação entre matrizes

Vamos introduzir o conceito a partir de exemplos:

Exemplo 1: Em três lojas A, B, C, de uma rede, são vendidos mensalmente, calçados do tipo C 1, C2e C3 conforme tabela:

Tabela MatrizC1 C2 C3

A 18 41 17B 17 52 15C 10 39 16

V =163910155217174118

Se os calçados do tipo C 1, C2 e C3 são vendidos respectivamente no valor de 50, 40 e 60 reais cada,

então os preços das mercadorias podem ser representadas pela matriz P =604050

.

O valor recebido pelas vendas dos calçados na loja A é obtido pela multiplicação de cada elementoda 1ª linha da matriz V pelos correspondentes elementos da matriz P. Assim,

V =163910155217174118

. P =604050

= 18.50+41.40+17.60 = 900+1640+1020 = 3560 reais → Loja A



Álgebra Linear 19


Da mesma forma, obtemos o valor recebido pelas vendas das lojas B e C.

V =163910155217174118

. P =604050

= 17.50+52.40+15.60 = 850+2080+900 = 3830 reais → Loja B

V =163910155217174118

. P =604050

= 10.50+39.40+16.60 = 500+1560+960 = 3020 reais → Loja C

Portanto, o valor recebido pelas vendas dos três tipos de calçados nas lojas A, B e C é representado

pela matriz V.P =163910155217174118

.604050

=302038303560

. Assim, o valor recebido pelas lojas A, B e C na

venda mensal dos calçados do tipo C 1, C2 e C3 é de R$ 10.410,00 que equivale a R$ 3.560,00 daLoja A, R$ 3.830,00 da Loja B e R$ 3.020,00 da Loja C.

Exemplo 2: Uma empresa produz dois tipos de produtos, P 1 e P2. São usados três tipos deingredientes na produção: x, y, z nas seguintes proporções:

Tabela MatrizP1 P2

x 3 1y 4 2z 3 7

Ip =732413

Diariamente são fabricados 80 produtos do tipo P 1 e 120 do tipo P 2. Esta quantidade de

produtos pode ser representada pela matriz produção P =

12080 .

Para saber a quantidade de ingredientes utilizados diariamente, fazemos:Ingrediente x → 3.80+1.120 = 240+120=360Ingrediente y → 4.80+2.120 = 320+240=560Ingrediente z → 3.80+7.120 = 240+840=1080

Esta quantidade de produtos pode ser representada pela matriz P i =

1080560360

.

Podemos obter esta matriz P i denominada de matriz produto de I p por P, da seguinte forma:

732413

.

12080

=

+

++

120.780.2120.280.4120.180.3

=

1080560360

= P i

Note que: cada elemento da matriz final é a soma dos produtos ordenados de uma linha daprimeira matriz pela coluna da segunda matriz ou seja:

360 = 3.80+1.120560 = 4.80+2.1201080= 3.80+7.120

Este é mais um exemplo de multiplicação de matrizes.



Álgebra Linear 20


Conceituando o produto de matrizes:

Utilizamos na definição de produto de matrizes o conceito de somatório: Vamos rever este conceito?

Saiba Mais:

Definição:Produto entre duas matrizes A e B só é possível se o número de colunas da primeira é igualao número de linhas da segunda matriz. Se existir o produto de A por B, o tipo da matrizproduto é dado pelo número de linhas de Ae pelo número de colunas de B. Pode existir oproduto de A por B, mas não existir o produto de B por A.

Dadas as matrizes A = (a ik)mxn e B = (b ik)mxp, define-se como produto de A por B a matriz C =(cij)mxp tal que o elemento c ij é a soma dos produtos da i-ésima linha de A pelos elementoscorrespondentes da j-ésima coluna de B.

C = A ⋅⋅⋅⋅ B ⇒⇒⇒⇒ c ij = ).(1 ik

p

k ik B A∑ =

Se considerarmos, por exemplo, as matrizes A = [ a ij ] 2xn e B = [ b ij ] mx1, com m = n, o produto AB,nesta ordem, é a matriz C = [ c ij ]2x1 tal que, c ij é a soma dos produtos, na ordem em que estãodispostos, dos elementos da matriz-linha A, pelos elementos da matriz-coluna B. Note que a matrizresultante C tem o mesmo número de linhas de A e o número de colunas de B.

Exemplo 1: Seja A = [ ]423 − , B =421

, C =352624 e D =

672101321425

.

a) A x B = ?Resolução: A1x3 x B3x1 = [(3x1) + (-2x2) + (4x4)] = [3-4+16] = [15] = C 1 x 1.

b) B x C = ?Resolução: B3x1 x C2x2 =? Não existe produto BC pois o nº de colunas de B é diferente donº de linhas de C ou 1 ≠ 2.

c) C x D = ?

Resolução: C2x3 x D3x4 = 352624 x

672101321425

= M2x4 =24232221

14131211

aaaa

aaaa

Para determinar M que é o produto das matrizes C x D, consideramos cada linha damatriz A como uma matriz-linha e cada coluna da matriz B como matriz-coluna.Calculamos cada elementos a ij da matriz M = CD. Como?(1) Multiplicamos a 1ª linha de C pela 1ª coluna de D. A seguir, multiplicamos a 1ª linha

de C pela 2ª coluna de D. E, assim, sucessivamente, multiplicamos a 1ª linha de C

O

Na multiplicação de matrizes, utilizamos o símbolo de somatório ∑ (letrasigma maiúscula do alfabeto grego) para representar uma soma. Por exemplo,a soma a 1+ a 2+ a 3+ a 4+ a 5 pode ser representada abreviadamente por:

∑=

5

1iia (lê-se: somatório de a i com i variando de 1 a 5). Assim, ∑

=

5

1iia = a 1+ a 2+

a3+ a 4+ a 5. Generalizando: ∑=

n

miia = a m+ a m+1 + a m+2 +...+ a n. Neste caso, i é o

índice da soma, m é o limite inferior do somatório e n é o limite superior dosomatório.

Exemplo: ∑=

5

1

23i

i = 3.1 2+3.2 2+3.3 2+3.4 2+3.5 2=3.1+3.4+3.9+3.16+3.25=165.



Álgebra Linear 21


pela 3ª e 4ª colunas de D. Obtemos respectivamente, os elementos a 11, a 12, a13 e a 14 que formam a primeira linha da matriz M.

(2) Encontramos a segunda linha de M, multiplicando a 2ª linha de C pela 1ª, 2ª, 3ª e4ª coluna de D e assim sucessivamente. Ou seja:

a 11 = (1ª linha de C)x(1ª coluna de D) = 4x5 + 2x2 + 6x1 = 20 + 4 + 6 = 30 a 12 = (1ª linha de C)x(2ª coluna de D) = 4x2 + 2x3 + 6x2 = 8 + 6 + 12 = 26a 13 = (1ª linha de C)x(3ª coluna de D) = 4x4 + 2x1 + 6x7 = 16 + 2 +42 = 60a 14 = (1ª linha de C)x(4ª coluna de D) = 4x1 + 2x0 + 6x6 = 4 + 0 + 36 = 40 a 21 = (2ª linha de C)x(1ª coluna de D) = 2x5 + 5x2 + 3x1 = 10 + 10 + 3 = 23 a 22 = (2ª linha de C)x(2ª coluna de D) = 2x2 + 5x3 + 3x2 = 4 + 15 + 6 = 25 a 23 = (2ª linha de C)x(3ª coluna de D) = 2x4 + 5x1 + 3x7 = 8 + 5 + 21 = 34 a 24 = (2ª linha de C)x(4ª coluna de D) = 2x1 + 5x0 + 3x6 = 2 + 0 + 18 = 20

Portanto, o produto das matrizes C (2,3) e D(3,4) é a matriz M (2,4) =

2034252340602630

Exemplo 6 2: Sejam as matrizes A e B defindas por: A =43

21 e B =

−

24

31. Determinar a

matriz C resultante do produto de A por B. Resolução: O produto de A com B resulta numa matriz C, quadrada de ordem 2.Procedemos multiplicando os elementos equivalentes de cada linhas de A por cadacolunas de B, adicionando os resultados. Vejamos:

A2x2 x B2x2 = C2x2 =2221

1211

cc

cc . Fazendo A.B temos A.B =4321

.−

2431

=

C11 =resultado do produto e soma da 1ª linha com 1ª coluna




6 SOMATEMATICA:Ensino Superior: Teoria, Exercícios. (CD-Room). Virtuous Tecnologia da Informação Ltda. 2008



Álgebra Linear 22


Portanto, A2x2 x B2x2 = C2x2 =2221

1211

cc

cc =171377

Observe que, fazendo B.A, neste caso, obtemos um resultado diferente de A.B.

B2x2 x A2x2 =−

24

31.

43

21=

Portanto, B 2x2 x A2x2 = D2x2 =2221

1211

d d

d d =1610108

.

8. Potência de uma Matriz

ma matriz quadrada A pode ser multiplicada n vezes por si mesma. A matriz que resultadessas operações, e que representamos por An é denominada potência n da matriz A .

Exemplo 1 : A =

0211

→ A2 = A.A =

0211

.

0211

=

2213

. Assim, a matriz

2213

é a

potência 2 da matriz A e indicamos por A 2.

Note que:

Se An = A para n ≥ 2 então A é uma matriz periódica . Em particular se a matriz é periódica paran = 2 ou seja, se A 2 = A então A também é chamada de uma matriz idempotente .

Se existir um número n , inteiro e positivo, tal que A n=0 então A é uma matriz nihilpotente.

Note que, se A2

= 0, então A3

= A4

= A5

= ... = An

= 0Exemplos:

Exemplo 1 : A matriz A =

−−

−−

−

344232

112 é idempotente porque

A2 = A ou, A.A =

−−

−−

−

344232

112.

−−

−−

−

344232

112 =

−−

−−

−

344232

112=A

U

Dica: Utilizando o conceito de matriz transposta e produto de matrizes podemos verificarde uma matriz é ortogonal (formada por vetores linhas ou vetores colunas cujo ângulo entre siequivale a 90º). Se uma matriz A multiplicada pela sua transposta resulta na matriz Identidadeentão os vetores de A são perpendiculares ou ortogonais.Assim, se A. At = I então A é uma matriz ortogonal.



Álgebra Linear 23


Exemplo 2 : A matriz 7 A =

−−

−−

−

444333

111 é nihilpotente de índice 2 porque A 2 = 0, A 3 = A4

= ... =0. Portanto A 3 = A2.A = 0.A=0.

Exemplo 3 : A matriz B =

−−− 312625311

é nihilpotente de ordem 3 porque

A3 = 0 ou A.A =

−−− 311933000

e A2.A =

000000000

= 0.

Como A3 = 0 então A 4 = A5 = ... = A n =0

Exemplo 4 : As matrizes A =

−− 64

96 e B =

− 129

1612 são nihilpotente de índice 2 porque

A2 = 0 e B 2 = 0.

9. Propriedades das Operações com Matrizes Propriedades da adição de matrizes

Para as matrizes A, B e C, de mesma ordem, valem as seguintes propriedades:1) Comutativa2) Associativa

3) Elementro Neutro4) Simétrica

A + B = B + CA+ (B + C) = (A + B) + C

A + 0 = 0 + A , sendo 0 a matriz NulaA + (-A) = A - A = 0

Propriedades do produto de uma matriz por um escalarPara as matrizes A e B, de mesma ordem e k e k’, escalares quaisquer, então:

k(A + B) = kA + kB e (k m k’) A = kA m k’A.E, também, (kk’) A = k(k’ A) e se kA = kB então A = B.

Propriedades do produto de matrizesSejam as matrizes A, B e C. Verificadas as condições de existência para a multiplicação dematrizes, valem as seguintes propriedades:

1) Associativa2) Distributiva em relação à adição3) Elementro Neutro

A(BC) = (AB)C(A+B)C = AC + BC ou C(A+B) = CA + CB AIn = I nA = A, sendo In a matriz Identidade de ordem n

Note que:

7 Steinbruch (1987, p.406)



Álgebra Linear 24


(i)(ii)(iii)(iv)

(v)

Se o produto AB é possível, então ( kA)B = A(kB) = k(AB) para qualquer k escalar.Se AB= 0, não implica necessariamente que A = 0 ou B = 0Se AB=AC, não implica necessariamente que B=C Se A e B são matrizes quadradas (igual número de linhas e colunas), ambos os produtosAB e BA podem ser calculados. Entretanto, na multiplicação de matrizes, a ordem dosfatores não é indiferente. Em geral, AB≠ BA.

A2x2 =−

−

0111 , B2x2 =

−

4321 então AB =

−

−−

2124 e BA =

−−

−

3113

Se AB = BA, as matrizes são ditas comutativas . Propriedades da matriz transposta

Sejam A e B, matrizes, k um escalar qualquer e, se satisfazem as condições de adição emultiplicação de matrizes, são válidas as propriedades:1) (A + B)t = A t + B t

2) (kA)t = kA t

3) (AB)t = B t A t ⇒ (AB) t ≠ A t B t

4) (At) t = A 5) (-A)t = -(A t)

Propriedades das matrizes simétricas e anti-simétricasSejam A e B, matrizes, k um escalar qualquer e, se satisfazem as condições de adição emultiplicação de matrizes, são válidas as propriedades:1) O produto de uma matriz quadrada A pela sua transposta At é uma matriz simétrica S Assim, A ⋅⋅⋅⋅

At = S2) A soma de uma matriz quadrada A com sua transposta At é uma matriz simétrica S

Assim, S = A + A t = S t

3) A diferença entre uma matriz A e sua transposta At, é uma matriz anti-simétrica S’ Assim, A - At = S’

Exemplo 1: Consideremos as matrizes A e sua transposta At para:A =

−

4031 e sua transposta A t =

− 43

01 .

Fazendo A ⋅⋅⋅⋅ At =

−

4031

⋅⋅⋅⋅

− 43

01 =

+−+

−+−−+

4.40.0)3.(41.04).3(0.1)3).(3(1.1 =

−

−

16121210 = S. Note

que a matriz resultante S é uma matriz simétrica pois s 12 = s 21

Fazendo A + At =

−

4031 +

− 43

01 =

−

−

8332 = S

Note que a matriz resultante S é uma matriz simétrica pois s 12 = s 21

Fazendo A - At =

−

4031

-

− 43

01=

−

0330

= S’ Note que a matriz resultante S’ é uma matriz anti-simétrica pois (-s 12)= s 21

AAAgggooorrraaa ,,, ttt eeennnttt eee vvvooocccêêê !!! Resolva a Lista de Atividades

Lista 2 de Atividades – Operações com Matrizes1. Encontre os elementos da matriz A = (a ij)3x2 em que a ij = i + j e da matriz B = (b ij)3x2 em que a ij = i - j . Encontre:



Álgebra Linear 25


(b) A + B; (c) A + (-B); (d) 5A + 3B.

2. Considere as matrizes A =

−

−

2211 , B =

−

−

2054 , C =

−

−

312119 e D =

−

342111 .

(a) Verifique se A ⋅ B = B ⋅ A;(b) Determine (A ⋅ C) + (B ⋅ D);(c) É possível determinar C ⋅ D? Justifique.

3. Para as matrizes quadradas de ordem 3 definidas por A=(a ij) com a ij =i 2 e B=(b ij) com b ij=-j 2 encontre:(a) A+B (b) A+(-B) (c) A.2B (d) (AB)+(BA)

4. Se A =263174952

calcule:

(a) A + At = S. Verifique se S é uma matriz simétrica e justifique;

(b) A - At = P. Verifique se P é uma matriz anti-simétrica e justifique.

5. Considere as matrizes A =− 7532

, B =−

−−

918721

534 e C =

−

−

695243172

. Encontre as

matrizes S e verifique se são simétricas e/ou anti-simétricas.(a) S = A.A t (b) S = C+C t (c) S = C - C t (d) S = B – B t (e) S = B + B t

6. Para atender a um projeto experimental de tratamento de esgoto, foram elaborados doismodelos de experimentos E 1 e E2. Nos dois modelos serão utilizados os mesmos produtos x, y ez para tratamento com dosagens diferentes. No experimento E 1 serão utilizados 5 medidas do

produto x, 8 medidas do produto y e 1 medida do produto z. No experimento E 2 a dosagemequivale a 4, 6 e 3 medidas de x, y e z, respectivamente. Para controle, serão produzidas 75amostras do experimento E 1 e 96 amostras do experimento E 2. Estruture o problema em tabelae matriz e determine:

(a) quantas dosagens de produtos serão utilizados para a produção das amostras?(b) Considerando que, o custo de dosagem dos produtos equivalem a: R$ 1,30 para x, R$

2,30 para y e R$ 7,50 para z. Qual o custo por amostra? Qual o custo total para aprodução das amostras?

7. Considere as matrizes triangulares superiores A e B e as matrizes trinagulares inferiores C e D,

definidas por A =

200 310

112

, B =

−−

200 130

121

, C =

111 011

002

e D =

−− 121 010

002

.

Determine:(a) E = A.B;(b) F = C.D(c) Classifique E e F por triangular inferior ou superior.(d) Verifique se a matriz A é ortogonal .

8. Prove que, o produto de duas matrizes diagonais resulta numa matriz diagonal. Utilize matrizesde ordem 3.



Álgebra Linear 27


−

400730172

; (7b) F =

− 131012004

; (7c) E é triangular superior e F é inferior. (8) Criar matrizes e provar. (9a) Fazer A.At

e mostrar que o resultado é a matriz identidade (Dica: lembre-se que sen 2x + cos 2x = 1). (9b) As matrizes B e C sãoidempotentes de ordem 2 ou de período 1 porque B.B=B 2=B e C2=C.

(10) A e B são nihilpotentes de ordem 2 pois A 2=0=A3=A4 =... Idem para a matriz B. (11) AB=

4800040002

e AB é diagonal.

(12) A2 =

−−

−−

−

344232

112. Como A2 ≠ A não é idempotente.



Álgebra Linear 28


10. Equivalência de Matrizes

izemos que duas matrizes A e B, de mesma ordem, são equivalentes quando são obtidas apartir de operações elementares efetuadas entre elas ou:Dada uma matriz A, diz-se que uma matriz B, de mesma ordem, é equivalente a matriz A

(indica-se B∼

A) se for obtida a partir de operações elementares efetuadas em A, ondecada linha ( L i ou j ) de B é uma combinação linear das linhas de A.

A matriz B encontrada é equivalente a matriz A e também é denominada, matriz escalonada porlinhas de A . As operações elementares possíveis são:1. Li ⇔⇔⇔⇔ L j 2. Li ⇔⇔⇔⇔ k.L j com k ≠ 03. Li ⇔⇔⇔⇔ k.L j + L i com k ≠ 0

1. Troca de linhas entre si;2. Multiplicação de linha por escalar;3. Substituição de uma linha pela adição de k vezes

outra linha.

Note que: Se aplicarmos as inversas das operações em B, obtemos A.

A matriz B encontrada é dita matriz escalonada por linhas de A .Exemplo 1 : Se A =

− 4321

então podemos encontar uma matriz B =− 100

21 dita

matriz escalonada por linhas de A .

Uma matriz B equivalente a uma matriz A é dita matriz escalonada reduzida por linhas (ou matriz na forma canônica por linhas) se:

os elementos distinguidos 8 são únicos não nulos de suas respectivas colunas; os elementos distinguidos são iguais a 1.

Exemplo 2 : B =1001

Exemplo 3 : B =

410070102001

A matriz B está representada na forma canônica por linhas pois o 1º elemento de cadalinha é igual a 1 e é o único não nulo em sua respectiva coluna.

Exemplo 4 : Para a matriz A =

−−

−−

−

−

1311111500

1113111012

encontre sua matriz B,

equivalente a A ou seja encontre a matriz escalonada por linhas de A.Resolução: Nosso objetivo é encontrar uma matriz B cujos elementos abaixo da diagonalformada pelos elementos (2), (3), (-5), (-3) sejam todos iguais a zero. Para issoaplicamos as operações elementares de linhas L i:

8 Elementos distinguidos são os primeiros elementos não nulos das linhas de uma matriz

D



Álgebra Linear 29


A =

−−−

−−

−

−

1314111500

1113111072

L4 ⇔ L3 (troca de linhas entre si)

∼

−−

−−−−

−

−

1150013141

1113111072

∼

L2 ⇔ L1 + 2L2;L3 ⇔ L1 - 2L3.

∼

−−

−

−

115003721033210 11072

∼

L3 ⇔ L2 + L3.∼

−−

−

−

115006104003321011072

∼

L4 ⇔ 5L3 + 4L4.∼

−

−

26540006104003321011072

= B

Note que a matriz B encontrada é equivalente a matriz A e,abaixo da diagonal todos os elementos são nulos.A matriz B também é chamada, forma escalonada de A. ∼

−

−

26540006104003321011072

= B

Importante: Para a solução de alguns problemas matemáticos, uma matriz B, escalonada por linhasde A, necessita apresentar-se numa forma mais reduzida, ou seja, na forma escalonada reduzidapor linhas . Neste caso, pode-se afirmar que:

Uma matriz B equivalente a A é dita matriz escalonada reduzida por linhas (ou matriz naforma canônica por linhas) se, e somente se, seus elementos distinguidos são iguais a um

e são os únicos não nulos de suas respectivas colunas .

Exemplos: C = 100 010

001

ou D = 4100 2010

9001

ou E =

−

10000 07100

03021

.

As matrizes C, D e E, estão representadas na forma canônica por linhas pois o 1º elemento de cadalinha é igual ao número 1 e, é o único não nulo em sua respectiva coluna.

AAAgggooorrraaa ,,, ttt eeennnttteee vvvooocccêêê !!! Resolva a Lista 3 de atividades



Álgebra Linear 30


Lista 3 de Atividades – Equivalência de Matrizes/escalonamento1. Encontre a forma escalonada por linhas das matrizes A. Indique-as por A´.

a) A =−

231110012121

b) A =

−

−−

−

1240511

412023

c) A=

−

0110200102011011

d) A =

−

−

−

323

6342

2. Encontre a forma escalonada por linhas das matrizes e verifique se estão corretas asequivalências:

a) A=

−−

−

501301212001

∼

010021202001

=B b) A=−−

−−−−

185126243

1121∼

−

−

5511003120

1121=B

c)A=

−−

−−

−−

7283

21311241

∼

−

−−

8000

11101241

=Bd) A =

− 9020

∼

0020

= B

3. Encontre a forma canônica por linhas das matrizes:

a) A=

−

−−

−

521614436

b) A =

−

−

−

562633214212121

c) A=

−

−

−

4350120031402310

4. Encontre a matriz triangular superior que seja equivalente a cada uma das matrizes dadas.

A =1053521132

B =1053521132

C =

− 1103222103421231

D =

−

−−

−

521614436

E =

2226213452111314321

−

−

F =

875654321

G =223142111

−

−

H =−

−

−

241132111

5. Encontre a matriz escada, equivalente por linhas

A =

−

22421111

1121 B =

−

−

−

523334212313212

C=

−

−

111122125103

D =321322121321

−

−−

6. Aplicação de escalonamento de matrizes: Tente resolver o sistema, aplicando a equivalência dematrizes.



Álgebra Linear 31


=−+

=+−

=−+

192344422

632

z y x

z y x

z y x

Respostas da Lista de Atividades 3

(1) (a) A´= −−

000300250

121; (b) A´=

−

00045001270023

; (c) C´=−

−

−

000022001210

1011; (d) D´=

−

000042

;

(2) Não são equivalentes somente as matrizes (2b) e (2c) pois em (2b) A´ ≈

−

−

299003120

1121≠ B e em (2c),

temos A ≈

−−

000011101241

≠ B.

(3) (a)

−

0009

26109

701; (b)

− 611000001003

40021; (c)

0000100001000010

(4) A ∼−−

400910

521 B ∼

−

−

000310121

C ∼ −

15000410010101231

D∼ −

−

00052180436

E∼

00002200

74104321

−−

−

; F ∼

100210321

G ∼

−

1100120111

H ∼

−

−

000 350

111 (5a) A∼

00002010

1121 (5b) B ∼

−−

−

82000 55410

13212; (5c) C ∼

−

−

22000010

1111(Observe que houve troca de linhas);

(5d) D∼

−

−

−−

1070044301321

(6) O sistema equivale a matriz escalonada −−

−

10100081060

6321. A solução do sistema é x = 3, y = 3

e z = 1 ou S = {(3,3,1)}.



Álgebra Linear 32


II DETERMINANTES E MATRIZES

1 Classe de uma Permutação

ara uma melhor compreensão do conceito de determinantes é importante revermos osconceitos de permutação. Conceito: Dados n objetos distintos a 1, a 2, ..., a n. Uma permutação σσσσ destes objetos consiste em dispô–los em uma determinada ordem. Ou seja, para n elementos

distintos denominamos de permutação a disposição dos mesmos numa certa ordem.

As permutações podem nos dizer o nº de arranjos possíveis em certas situações. Representamospermutação por S(A) ou S(n).

Exemplo: Para os algarismos 1, 2 e 3 podemos obter 6 permutações que são:1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2, 3 2 1

Permutação principal (2º) (3º) (4º) (5º) (6º)

A quantidade de permutações dos n elementos é dada por n! (lê-se: n fatorial ) onde:

n ! = n x (n-1) x (n-2) x . . . x 2 x 1 para n > 0.

Portanto, se n = 3 temos: 3! = 3 x 2 x 1 = 6 permutações. Se n = 0 temos 0! = 1.

Proposições:

Diz-se que dois elementos de uma permutação formam uma inversão se estão em ordeminversa à da permutação principal. Considerando uma permutação a c b , os elementos c e b formam uma inversão.

Para uma permutação do conjunto N*, dizemos que existe uma inversão quando um númerointeiro precede um outro menor que ele.Exemplo1: Os algarismos 1, 2, 3, 4 e 6 admitem 120 permutações pois 5!=5 x 4 x 3 x 2 x 1 =

120 e a permutação 6 4 3 2 1 admite 10 inversões que são: 64, 63, 62, 61, 43, 42,41, 32, 31 e 21.

Exemplo 2: A permutação 54321 tem 10 inversões que são: 54, 53, 52, 52, 43, 42, 41, 32, 31e 21.

Exemplo 3: A permutação 4521 tem 05 inversões que são: 42, 41, 52, 51 e 21.

Observe na tabela de números as permutações e inversões dos algarismos 1, 2, 3:

Permutações Nº de inversões Permutações Nº de inversões

1 2 3 0 2 3 1 2

1 3 2 1 3 1 2 2

2 1 3 1 3 2 1 3

Uma permutação tem classe par ou classe ímpar , (indica-se classe σ σσ σ ) conforme apresentaum número par ou ímpar de inversões. Assim, para σ uma permutação arbitrária em S n, (Sn → indica o conjunto de permutações), dizemos que σσσσ é ímpar ou par, conforme exista um nº parou ímpar de pares ( i, k) para os quais i > k mas i precede k em σσσσ . Exemplificando: Apermutação 1 3 2 tem uma inversão, logo tem classe ímpar.

P



Álgebra Linear 33


Definimos como sinal ou paridade da classe σ σσ σ , indica-se sgn σ σσ σ por

Sgn σσσσ =− .,1

;,1

ímpar é se

par é se

σ

σ

Ou seja: Quando na permutação existir um número par de inversões então o sinal de σσσσ ( sgn σσσσ ) é

positivo. Quando na permutação existir um número ímpar de inversões então sgn σσσσ é negativo.

Exemplo1: A permutação σ σσ σ 5 3 1 2 4 tem 6 inversões (quantidade par) logo sgn σ σσ σ =1.Exemplo 2: S3 = 3! = 3.2.1 = 6. Observe na tabela a seguir.

Permutação σ 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1

Nº de inversões 0 1 1 2 2 3

Par ou ímpar Par Ímpar Ímpar Par Par Ímpar

Sgn σ + - - + + -

2 Determinante de uma matriz

imos que a matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, édo tipo nxn). A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome dedeterminante .

Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos: • Resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares; • Cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas ascoordenadas dos seus vértices.

Mas, o que é um determinante?Denomina-se determinante de uma matriz quadrada à soma algébrica dos produtos que se obtém,efetuando todas as permutações dos segundos índices do termo principal, fixados os primeirosíndices, e fazendo-se preceder dos produtos o sinal (+) ou (-), conforme a permutação dos segundosíndices seja de classe par ou ímpar.

Defini-se como termo principal , ao produto dos elementos da diagonal principal de umamatriz quadrada;

Denomina-se ordem de um determinante a mesma ordem da matriz a que o mesmo equivale; Indica-se o determinante de uma matriz quadrada A, por det A , representando a matriz entre

dois traços verticais.A notação do determinante de uma matriz é || ou seja, representamos o determinante de umamatriz entre duas barras verticais, que não têm o significado de módulo.

Saiba Mais:

V



Álgebra Linear 34


Como calcular o determinante?

2.1 Determinante de 1ª ordem

ada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a 11], o seu determinante é o próprio número reala11 ou seja, det M =|a 11| = a 11

Exemplo:

M= [5] det M = 5 ou |5| = 5 M = [-6] det M = -6 ou |-6| = -6

2.2 Determinante de 2ª ordem

ada a matriz quadrada M de ordem 2, por definição o determinante associado a M,determinante de 2ª ordem, é dado por:

D

D

Considere a seguinte situação problema: Qual o valor real de x e y para que A.B = C sendo A =

4521

, B =

y

x e C =

− 11

?. Para determinar os valores de x e y, aplicamos o produto A.B =

C e obtemos:

4521 .

y x =

− 11 . Resolvendo o produto, encontramos:

+

+

y x

y x

452

=

− 11

. Aplicando o conceito de igualdade de matrizes, temos o sistema:

−=+

=+

14512

y x

y x Resolvendo o sistema pelo método de adição, temos:

−=+

=+

145.(-5) 12

y x

y x⇔

−=+

−=−−

145 5105 y x y x ⇔

6)104(6104 145

5105

−=−

−=−

−=+

−=−−

y

y y y x

y x

⇔ y =104 6−

− =)5.2()4.1( 6−

− =66−

− =1. Se fizermos o

mesmo procedimento para encontrar o valor de x, iremos observar que o denominador também é(-6). Portanto x = -1. Observe que a expressão numérica (1.4)-(2.5), comum nas expressões,permite que calculemos o valor de x e y e determina se o sistema tem solução (se é determinadaou indeterminada). Daí a origem do nome determinante . Observe também que a expressão

(1.4)-(2.5) tem relação com os termos da matriz A=

4521

. A teoria dos determinantes surgiu,

quase simultaneamente, na Alemanha e no Japão, quando dois matemáticos, Leibniz (1646-1716)e Seki S.Kowa (1642-1708), resolveram problemas de eliminações, necessárias à resolução de umsistema de n equações lineares com n variáveis. Depois deles, surgiram os trabalhs de Cramer,Bezout, Laplace, Vandermonde, Lagrange, Cauchy e Jacobri.



Álgebra Linear 35


Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto doselementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

Observe os exemplos:

(a) Para M =5432 temos: det M = (2.5)-(4.3) = 10-12= -2.

(b) Se A =

21

43

então det A =21

43

= (1 x 4) – (2 x 3) = -2

2.3 Determinante de 3ª ordem: Regra de Sarrus

determinante de uma matriz de ordem 3 pode ser obtido pela regra de Sarrus.

Acompanhe como aplicamos essa regra para D=

333231

232221

131211

aaa

aaaaaa

.

1º passo : Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira ou repetimos à direita doselementos da matriz A, as duas primeiras colunas:

2º passo : Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os doisprodutos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve serprecedida do sinal positivo):

3º passo : Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os doisprodutos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal ( a soma deve serprecedida do sinal negativo):

O



Álgebra Linear 36


Assim:

ou det D = + a11 a22 a33 + a 13 a21 a32 + a 12 a23 a31 - a11 a23 a32 - a12 a21 a33 - a13 a22 a31

Exemplo 1: Encontrar |A| para A =

−

−

011021121

.

Resolução: Pela regra de Sarrus, fazemos112121

011021121

−

−

−

−

=

(-1.2.0)+(2.0.-1)+(1.1.1)-(2.1.0)-(-1.0.1)-(1.2.-1) = 0+0+1-0-0+2 = 3.Logo |A|= 3 ou Det A = 3.

Exemplo 2: Determine o valor de x sabendo que3815214

−

x

x

=0

Resolução: Pela regra de Sarrus, fazemos81

24

3815214

−−

x x

x x

= 0. Logo,

12x – 5x + 16 – 6x – 160 +x = 0 → 2x – 144 = 0 → x = 144/2 → x = 72 .



Álgebra Linear 37


2.4 Determinante de ordem n > 3: Teorema de LAPLACE

imos que a regra de Sarrus é válida para o cálculo do determinante de uma matriz de ordem3. Quando a matriz é de ordem superior a 3, devemos empregar o Teorema de Laplace parachegar a determinantes de ordem 3 e depois aplicar a regra de Sarrus.

Teorema de LAPLACE: Segundo Laplace, o determinante da matriz A = a ij é igual à soma dosprodutos obtidos multiplicando os elementos de qualquer linha(ou coluna) de A pelos seusrespectivos cofatores C ij:

det A = a i1 Ci1 + a i2 Ci2 + ...+ a in Cin

oudet A = a 1j C1j + a 2j C2j + ... + a nj Cnj

Mas, o que são cofatores? Reveja este assunto no Apêndice A deste caderno.

•

Exemplo 2: Seja A =

−

−

317132

101.

O Det A, segundo Laplace é calculado da seguinte forma:Escolha uma linha ou coluna → dê preferência para aquela que tem elementos nulos. Nestecaso escolhemos a linha 1.

Det A = (-1) . C 11 + (0). C 12 + (1). C 13 (fixada 1ª linha ).

Det A = (-1) . (-1) 1+1 3113 − + (0). C 12 + (1). (-1) 1+3

1732

Det A = (-1) . 1 . [9-(-1)] + 0 + 1. 1 . (2-21)

Det A = -1.1.10 + 0 + 1.1.-19

Det A = - 10 + 0 - 19

Det A = - 29

Por Regra de Sarrus temos

Det A =

−−

−

1732 01

317132 101 = (-1.3.3)+(0.-1.7)+(1.2.1)-(1.3.7)-(-1.1.-1)-(3.0.2)

= -9 + 0 + 2 – 21 – 1 – 0 = -29.

Exemplo 3: Seja A =

−

241325

431. Calcule o Det A.

O Det A, segundo Laplace:

V



Álgebra Linear 38


Det A = (1) . C 11 + (5). C 21 + (1). C 31 (fixada 1ª coluna).

Det A = (1) . (-1) 1+1 2432 −

+ (5). (-1) 2+1 2443

+ (1). (-1) 3+1 32

43−

Det A = (1) . 1 . [4-(-12)] + (5).(-1).(6-16) + 1. 1 . (-9-8)

Det A = (1).1.(16) + (5).(-1).(-10) + 1. 1 . (-17)Det A = 16 + 50 + (-17)

Det A = 49

Por Regra de Sarrus temos

Det A =

−

412531

241325

431 = (1.2.2)+(3.-3.1)+(4.5.4)-(4.2.1)-(1.-3.4)-(3.5.2)

= 4 -9 + 80 – 8 + 12 - 30 = 96 – 47 = 49.

2.5 Processo de triangulação para cálculo de determinante

processo de triangulação para cálculo de determinante pode ser aplicado em todasas matrizes quadradas de ordem n ≥≥≥≥ 2.

Para se executar o processo de triangulação, se procura colocar, por meio de operações adequadas(e das respectivas compensações quando for o caso), como elementos da diagonal principal, excetoo último, o número 1.

Obtido o nº 1 na 1ª linha e 1ª coluna, isto é, a 11 = 1, substituindo-se, por meio de operaçõescompetentes, todos os demais elementos da 1ª coluna por zeros; da mesma forma, depois de obtera22 = 1, substituem-se os demais elementos da 2ª coluna, situados abaixo de a 22 por zeros, e assimpor diante. Quanto a cada um dos elementos da diagonal principal da matriz A, três hipótesespodem ocorrer:

1ª) O elemento é igual a zero → neste caso, deve-se proceder a operação de troca de linhas emultiplicar o det A por –1, como compensação, isto é, para que o determinante de A conserve o seuvalor.

2ª) O elemento é igual a k ≠ 1 → nesse caso, deve-se multiplicar todos os elementos da linha por i/k,com o que se obtém o número 1 como elemento da diagonal principal dessa linha. Por outro lado,para compensar, isto é, para que o det A mantenha o seu valor, deve-se multiplicá-lo pelo inversode 1/k, isto é k.

3ª) O elemento é igual a 1 → nesse caso nada a fazer no que diz respeito à diagonal principal.

Agora, tente você Calcule o determinante da matriz

=

435231712

A , usando o processo da

triangulação. Vocë deve obter como resposta, det A = - 66

O



Álgebra Linear 39


3 Propriedades dos determinantes

s matrizes quadradas de ordem n apresentam as seguintes propriedades:

1. O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao de sua transposta A t ou seja, |A| =|At |.

Exemplo 1 : Se A =

4231

então A t =

4321

. E, det A t = 1.4 – 2.3 = -2 = det A.

Exemplo 2: det A = 342212321

= 9 = det A t =323412221

= 9

2. Se a matriz quadrada A tem duas linhas (ou colunas) iguais então det A = 0 ou se duas

filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo.

Exemplo 1: Exemplo 2: 3. Se a matriz quadrada A tem uma linha ou coluna nula então det A = 0 ou Quando todos os

elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo.Exemplos:

4. Se uma matriz quadrada A trocarmos a posição de duas linhas (ou colunas) odeterminante troca de sinal.

Exemplo:5. Se A é uma matriz triangular (superior ou inferior) então det A = produto dos elementos

diagonais. Exemplos:

6. Se cada elemento de uma linha (ou coluna) de uma matriz quadrada A é multiplicado porum escalar k então o det A fica multiplicado por k.

Conseqüência: Se cada elemento de uma linha (ou coluna) de uma matriz A contém umfator k, podemos coloca-lo em evidência.

A



Álgebra Linear 40


Exemplo 1: A =0321154361

⇒ A’= 3012154321

⇒ (det A) = 3 (det A’).

Exemplos 2 e 3

7. O determinante de um produto de duas matrizes A e B é igual ao produto de seusdeterminantes ou seja, det(A.B) = (det A) . (det B) ou |A.B|=|A|.|B.|

8. Uma matriz quadrada A é inversível se o det A ≠ 0.

9. Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinaçõeslineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, entãoseu determinante é nulo. Exemplo:

10Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos aoselementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filasparalelas.

Exemplo: 9342212321

= Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o

dobro da 2ª, temos:

4 Determinante e Matriz Inversa

onsideremos a matriz quadrada A, de ordem n. Definimos como inversa de A, a matriz A-1 talque A . A-1 =I = A-1 . A sendo I a matriz identidade de ordem n.

Proposições:(i) Se A tem inversa, diz-se que A é inversível.

C



Álgebra Linear 41


(ii) Se A e B são matrizes quadradas, de mesma ordem e inversíveis, então:(A-1)-1 =A AxB é inversível (A.B)-1 = B -1 .A-1 (A+B)-1 =A-1 + B -1 Posto A = n.

(iii) Toda matriz quadrada A, cujo determinante é nulo, é dita matriz singular e, se odeterminante de A for diferente de zero, dizemos que A é uma matriz não-singular . Emconseqüência, toda matriz não-singular sempre tem inversa e toda matriz singular nãotem inversa . Portanto, nem toda matriz quadrada tem inversa.

(iv) Se a matriz A tem inversa, então o determinante da matriz A é não nulo → det A ≠ 0 e detA-1 =

ADet1

(v) Se A é uma matriz inversível, n × n, com n ≥ 2, então: A –1 =Adet

1 . Adj A

Esta proposição envolve o conceito de determinantes e matriz adjunta clássica (Adj A). Pararever o conceito de matriz adjunta clássica, e o calculo de matriz inversa por determinante,consulte o Apêndice A no final do caderno pedagógico.

(vi) Uma matriz A é dita ortogonal se a sua transposta é igual a sua inversa ou, A é ortogonal seAt = A-1.

Saiba Mais:

Exemplo: A matriz M =−

21

23

23

21

é ortogonal porque o produto de M pela sua matriz

transposta, resulta na matriz identidade. Neste caso, a matriz inversa de M é a suatransposta. Assim, se M . Mt = M t . M = I então Mt = M -1 Logo M é ortogonal.

A solução de problemas que envolvem matrizes e suas inversas exigem, em geral, o conhecimentodos algoritmos matemáticos de:

(1º) Verificação se duas matrizes são inversas; (2º) Determinação da matriz inversa de uma matriz dada.

Como verificar se duas matrizes são inversas?

Exemplo 1: Verifique se a matriz A =

35712 é inversa da matriz B =

−

−

12573 .

Resolução: Para verificar se a matriz A é inversa de B aplicamos o conceito A . A-1 =I = A-1 . A Ou seja, devemos provar que a multiplicação das duas matrizes, resulta na matriz identidade.

Assim, podemos fazer A.B = I ou B.A = I.

A.B = I →→→→

35712

.

−

−

12573

=

+−−+

+−−+

12.3)7.(5)5.(33.512.7)7.(12)5.(73.12

=

1001

= I (provado). A e B são

inversas porque AB = I Como determinar a inversa de uma matriz?

A partir do conceito de matriz inversa podemos verificar aORTOGONALIDADE DE MATRIZES. Dizemos que uma matriz M éortogonal quando sua inversa M -1 é igual a sua transposta M t.Se Mt = M-1 e como M.M-1 = M-1.M = I então podemos também afirmarque M . Mt = M t . M = I (I representa a matriz identidade).



Álgebra Linear 42


Para determinar a matriz inversa, temos algumas opções de procedimentos matemáticos.

Opção 1: Determinando a matriz inversa de A pela aplicação do conceito A . A-1 =I

Neste caso, utilizamos também conhecimento sobre a resolução de sistemas lineares .

Exemplo 1 : Encontre a matriz inversa de A =− 31

21.

Resolução: Aplicando o conceito temos que A . A-1 =I

Sabemos que I =1001

. Supondo A-1 =d c

ba, fazemos

− 3121

.d c

ba=

1001

.

Resolvendo o produto das matrizes encontramos,

+−+−

++

d bca

d bca

31312121

=1001

. Comparando os resultados obtemos:

=+−

=+

0312

ca

ca e

=+−

=+

1302

d b

d b. Resolvendo os sistemas encontramos como resposta:

a=53 , b=

52−

, c=51 , d=

51 . Portando a matriz procurada A -1 =

d c

ba é A-1 =

−

51

51

52

53

.

Podemos facilmente comprovar se a matriz encontrada é solução do problema. Bastamultiplicar a matriz A pela sua inversa e verificar que o resultado do produto é a matriz

identidade I. Ou seja, A -1 . A =

−

51

51

52

53

.− 31

21= I.

Opção 2: Determinando a matriz inversa pelo Teorema da Inversibilidade (por redução daslinhas) Uma matriz A de ordem n é inversível se existe uma seqüência de operações elementares que

transforme A numa matriz identidade . Uma matriz A-1 pode ser obtida aplicando a mesma seqüência de operações elementares

iniciando-se com a matriz identidade.Exemplo:

Ache a inversa da matriz A =201110011

se existir.

Resolução:

100010001

201110011

≈≈≈≈

−− 101010001

210110011

≈≈≈≈ ....

−

−

−

31

31

31

31

32

31

31

32

32

100010001

Resolva a Lista 4 de atividades



Álgebra Linear 43


Lista 4 de atividades – Determinantes e Matrizes

(1) Calcule o determinante de cada matriz:

a) A=

−

−

431250

112 b) B=

−

−−

160152423

c) C=

−

−−

−

20342113

02013221

d) D=

132314523

e) E =1007980521

f) F =7729000431

−

g) G =

1212704023533121

h) H =

−1321

(2) Dada P =

−

−

220112

112, calcule o determinante de P 2; (3) Encontre lAl =

24011300

31202012

−

−

(4) Para A =

−

−

427103314

e B =

−−− 3211293862

. Verificar se Det (AB) = Det A. Det B.

(5) Para A=

x

x

2112

B=

−

0111

10

x

x

x

,C=

100

0105432

101

x

x

x

, encontre x para Det A+Det B=Det C

(6) Resolver as equações determinando o valor real de x em cada equação:

a) x

x

x

2472564

− =-128 b)

1021523180112

x

x

x

−

−

−

=6 c)3

21

x x

x x

x x

=0d)

42215

x

x+−=0 e) 2

2

11

x

x−

−=0

(7) Encontre os valores de a e b que transformam as matrizes A e B em inversas ou seja,

determine a e b sabendo que AB = I, sendo I a matriz identidade, com A = a

a

00 e B= 1

1b

b

(8) Se A= 1021

e B= 1102

, calcule AB-BA e verifique se: (a) A é inversa de B; (b) A é singular

(9) Mostre que as matrizes A e B são inversas sendo A =

5142 e B =

−

−

3 / 16 / 13 / 26 / 5 .

(10) Prove que a matriz B é inversa da matriz A, sendo B =101210011

− e A =111212

211

−

−

−−



Álgebra Linear 44


(11) Considere a matriz A =

α α

α α

sen-cos cossen . Verifique se a matriz A é ortogonal (Dica: lembre-se

que A é ortogonal se A.A t=I). Em caso afirmativo, encontre sua inversa.

(12) Prove que a matriz M =

100

0cossen0sen-cos

α α

α α

é ortogonal. E, determine sua inversa

(STEINBRUCH, 1987, p.411)

(13) Determinar a inversa das matrizes: A =

352224312

, B =

345231712

, C =

35712

(14) Encontre a inversa A -1 da matriz A =

−

101210011

e prove que A.A -1 =I

(15) Encontre a matriz inversa pelo processo de inversão (ou triangulação), para:

(a)

−

−

112211 111 ;(b)

− 111111 012 ;(c)

−

101111 122 ;(d)

− 211111 121 ;(e)

−

−

111111 111 ;(f)

−−

−

111110 111

Respostas:1(a) 21; 1(b) -11; 1(c) -131 (Dica: Aplicar Laplace); 1(d) 30; 1(e) Por propriedade o determinante de uma matriz triangularé o produto dos elementos da digaonal principal ou seja, Det E =8; 1(f) 0; 1(g) 0 (Dica: Aplicar Laplace); 1(h) -7;

(2) Como P2 =

−+

−−+

+−−

22222122122

221122então Det P 2 = 64. Note que é mais prático fazer 648.8. ==PP ; (3) − 14; (4)

Det AB =926824211651192

= AB = 0. E, como lAl=-9 e lBl=0, temos que lAl.lBl=(-9).0 = 0. Portanto lABl = lAl.lBl;

(5) x =43

; (6a) x = 2; (6b) x = 7; (6c) x = 0 ou x = 2 (6d) x = 2,5 ou x = − 2 (6e) x =± 1.

(7) A.B=I →

a

a

00 .

11b

b =1001

→ a=1 e b = 0 ; (8) AB-BA=1124

. 3142

= −

−

2022

. (a ) A não é inversa de B

pois AB ≠ I. (b) A não é singular pois A não é uma matriz diagonal.

(9) A e B são inversas se A.B=I (verdadeiro) ou A.B=I →

5142

.

−

−

3 / 16 / 13 / 26 / 5

= 1001

(provado). Ou, a partir de A,

encontre B. Vejamos: A.B=I →

5142

.

d c

ba=I 10

01 →

++

++

d bca

d bca

554242

=1001

. Logo=+

=+

05142

ca

cae

=+

=+

15042

d b

d b. Resolvendo os sistemas encontramos os valores de a, b, c, d que equivale a matriz

−

−

3 / 16 / 13 / 26 / 5

;

(10)101210011

− .111212

211

−

−

−−

=000010001

;



Álgebra Linear 45


(11) A é ortogonal porque A.At = I. Então sua inversa é A -1 = At =

α α

α α

sen-cos- cossen

.

(12) M é ortogonal porque M.Mt = I. E, M t =

1000cossen-0sencos

α α

α α

é inversa de M ou seja M t = M-1.

13) A-1 =

−

−

−−

04 / 12 / 14 / 104 / 18 / 18 / 38 / 1

, B-1 =

−

−−

−−

66 / 566 / 111 / 222 / 122 / 911 / 166 / 1966 / 1711 / 1

, C-1 =

−

−

12573 ; (14) A.A -1=

101210011

− .111212

211

−

−

−−

=100010001

= I; 15(a)

−

−−

−

7 / 27 / 37 / 17 / 37 / 17 / 5

7 / 17 / 27 / 3; 15(b)

−−

−

−

2 / 12 / 31111

2 / 12 / 10; 15(c)

−−

−

−

641330541

;15(d)

−

−

−−

132011153

;15(e)

−

−

2 / 102 / 102 / 12 / 1

2 / 12 / 10; 15(f)

−

−

2 / 102 / 12 / 112 / 1

110.Verificação:

=−

100010001

1 AA



Álgebra Linear 46


5 Aplicação matemática do conceito de determinantes na geometria

amos conhecer algumas aplicações dos determinantes que, em geral, são tratados com maisformalismo nos estudos envolvendo geometria analítica.

Aplicação 1: Condição de alinhamento de 3 pontosSejam três pontos A(x 1,y1), B(x2,y2) e C(x 3,y3).

Eles estarão alinhados ou seja, farão parte de uma mesma reta, se111

33

22

11

y x

y x

y x

= 0.

Exemplo: Verifique se os pontos A(0,1), B(1,2) e C(2,3) estão alinhados.

Resolução:A, B e C estão alinhados pois132121110

=0 ou seja,322110

132121110

=0+2+3-4-0-1=0.

De fato, A, B e C estão alinhados, como se verifica na projeção geométrica →

Aplicação 2: Cálculo da área de um triângulo conhecendo os vértices

Sejam os vértices do triângulo definidos nos pontos A(x 1,y1), B(x2,y2) e C(x 3,y3).Se eles NÃO estiverem alinhados, formarão um triângulo .

A área deste triângulo será S= D21 sendo D=

111

33

22

11

y x

y x y x

.

Exemplo: Determine a área do triângulo ABC cujos vértices são definidos em A (1,1), B(3,4) eC(5,2).

Resolução: S= D21

sendo D=125143

111

=4+5+6-20-3-2=-10.

Portanto, para S = D21 temos S = 5

21010.

2110

21

===− . A área do

triângulo ABC é 5 u.a. (unidade de área).

Agora, tente você! Resolva a Lista 5 de atividades.

V



Álgebra Linear 47


Lista 5 de atividades - Determinantes

1 Verifique se os pontos A(1,2), B(2,3) e C(4,5) estão alinhados.2 Determine a área do triângulo ABC cujos vértices são A(2,3), B(1,8) e C(2,5).

3 Os pontos A(1,2), B(x’’, y’’) e C(5,-2) estão numa mesma reta. Determine os valores do ponto B,sabendo que ele está sobre o eixo x.4 Num sistema de coordenadas cartesianas com suas unidades em cm, são localizados três pontosA(-2,3), B(3,-3) e C(6,3). Calcule em cm 2 a área da figura determinada pelos pontos.5 Dois vértices de um triângulo são (3,-5) e (-1,-3). A área do triângulo é 16 cm 2. Encontre o valorda abscissa do terceiro vértice sabendo que a ordenada é 5.6 Determine m real para que os pontos (3,1), (m,2) e (1,m+1) não estejam alinhados.7 Verifique se os pontos estão alinhados. Em caso negativo, encontra a área do triângulo formadopor ABC.(a) A(1,3), B(-1,2), C(1,4)(b) A(1,3), B(1,4), C(2,-1)(a) A(1,3), B(2,4), C(3,5)

Respostas:

1) Sim; 2) S = 1 u.a.; 3) B(3,0) 4) 24 cm 2 5) x = -33 6) m≠ 1 ou m≠ 2.

7ª) Como141121131

− = -2 e portanto é diferente de zero, significa que os pontos não são alinhados. Portanto, formam um

triângulo ABC cuja área é igual a2

ABC = 1 u.a. (unidade de área)

7b) Não são alinhados e a área do triângulo ABC = 1/2 u.a. (unidade de área)7ª) São alinhados pois o determinante é nulo então não formam um triângulo ABC.



Álgebra Linear 48


III SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES E MATRIZES

1 Equações Lineares

idéia de equação tem estreita relação com a noção de equilíbrio e a metáfora da balança é,normalmente utilizada para trabalhar esta noção. Entretanto, Lins 9 (1997), afirma que essametáfora não é oportuna para casos com valores negativos, do tipo 3x + 35 = 2. Neste caso,deve-se enfatizar que, modificada a situação, a metáfora já não resolve. Outras noções 10

associadas a equações são: igualdade e variável .Uma equação com n variáveis x 1, x2,...,x n cuja combinação linear resulte em alguma constante édefinida como uma equação linear .

Ou, Toda equação escrita na forma a 1 x1 + a 2 x2 + a 3 x3 + . . . + a n xn = b é denominada equaçãolinear , em que: a1, a 2, ...,a n são os coeficientes das variáveis x1, x2, ..., x n são as variáveis ou incógnitas b é o termo independente .

Os valores das variáveis que transformam a equação numa identidade formam sua solução e sãodenominadas raízes da equação linear.

Exemplos: a) 2x 1 + 3x 2 - x 3 = 5 é uma equação linear a três incógnitas ou três variáveis x 1, x2, e x 3 b) x+y+z+t=-1 é uma equação linear de quatro incógnitas ou quatro variáveis x, y, z e t.

Observações: 1) Quando o termo independente b for igual a zero, a equação linear denomina-se equação

linear homogênea . Por exemplo: 5x - 3y = 0.2) Uma equação linear não apresenta termos da forma 2

1x , x 1 . x2, etc, isto é, cada termo daequação tem uma única incógnita, cujo expoente é sempre 1. As equações 2

13x + 2x 2 = -3 e-4x. y + z = 2 não são lineares.

3) A solução de uma equação linear a n incógnitas é a seqüência de números reais ou n-uplaou ênupla (·1,·2, ..., α n), que, colocados respectivamente no lugar de x 1, x2, ..., x n, tornamverdadeira a igualdade dada.

4) Uma solução evidente da equação linear homogênea 3x + y = 0 é a dupla (0,0).

Vejamos alguns exemplos de equações lineares

Exemplo 1: Dada a equação linear 4x - y + z = 2, encontrar uma de suas soluções.Resolução: Podemos atribuir valores arbitrários à x e y e obter o valor de z. Por exemplo, se

x = 2 e y = 0, temos 4.2 - 0 + z = 2. Logo z = -6Neste caso, uma das soluções é a tripla ordenada (2, 0, -6).Mas, podemos resolver a equação isolando do lado esquerdo da igualdade, a primeira

variável e teríamos: 4x - y + z = 2 → 4x = 2 + y - z → x =4

2 z y −+.

9 LINS, Romulo C. e GIMENEZ, Joaquim. Perspectivas em Aritmética e Álgebra para o século XXI . SP , Papirus, 1997.10 Para saber mais, acesse ao texto de OLIVEIRA http://www.tvebrasil.com.br/salto/boletins2003/eda/pgm1.htm

A



Álgebra Linear 49


Neste caso temos como solução geral da equação Sg = {4

2 z y −+, y, z} para y e z

variáveis livres reais.Note que esta equação assume várias soluções. A variável x depende de y e z. Se y = 2 ez = 0 temos como solução, dita solução particular, a tripla ordenada (1,2,0). Se y = 0 e z= (-6) temos como Sp, (2,0,-6),....

Resposta: A solução seral da equação é Sg = { 42 z y −+

, y, z} para y, z reais. Uma soluçãoparticular poderia ser Sp = {(0,0,2)} para y=0 e z=2.

Exemplo 2: Dada a equação 3x - 2y = 5, determinar α para que a dupla (-1, α ) seja solução daequação.Resolução: Pelo enunciado do problema, sabemos que a dupla (-1, α ) significa que x = (-1) e y =

α . Assim, substituindo na equação estes valores temos: 3x - 2y = 5 ⇒ 3(-1) - 2 α = 5 ⇒ -3 - 2 α = 5 ⇒ - 2 α = 5+3 ⇒ α = -4

Resposta: O valor de α para a dupla (-1, α ) seja solução da equação é α = -4

Exemplo 3: A equação linear 3x + y = - 2 admite, entre outras, as raízes x = 0 e y = -2 pois 3.0 +(-2) = -2. Qual a solução geral:

Resolução: Para encontrar a solução geral dessa equação, isolamos uma das variáveis e obtemos:

3x + y = - 2 ⇒ 3x = - 2 – y ⇒ x =3

2 y−−∀ y ∈ R.

Resposta: A solução geral da equação, indicada por S é: Sg = {(3

2 y−−, y), ∀ y ∈ IR}. Note que

a equação tem infinitas soluções reais a partir do valor que atribuímos para y. Se

atribuirmos a y o valor 4, por exemplo, obtemos x = 236

342

−=−

=−−

. Portanto, x = (-2)

para y = 4. Logo Sg = {(4,-2)}.Exemplo 4: Qual o valor de k, para que a 4-upla u = (3, -2, 0, 1) seja solução da equação linear

kx - y + 3z - w = 0?

Resolução: Como u = (3,-2,0,1) é a solução da equação linear, temos x=3, y=-2, z=0 e w=1.

Substituindo esses valores na equação, encontramos o valor de k.kx - y + 3z - w = 0k.3 – (-2) + 3.0 - 1 = 0 ⇒ k.3 +2 + 0 - 1 = 0 ⇒ 3k + 1 = 0 ⇒ k = -1/3.Verificando: (-1/3).3-(-2)+3.0-1=-1+2-1=0

Resposta: O valor de k, para que a 4-upla u = (3,-2,0,1) seja solução da equação é k=-1/3.Exemplo 5: A equação linear 2x - y + z = 1 tem qual solução?

Resolução: Se 2x – y + z = 1 ⇔ 2x = 1 – y – z ⇔ x =2

1+−− z y para ∀ y, z ∈ IR.

Resposta: A solução geral da equação é Sg = {(2

1+−− z y , y, z) para ∀ y, z ∈ IR}.

Proposições: Se a equação é da forma 0x 1 + 0x 2 + . . . + 0x n = b , então:



Álgebra Linear 50


(i) Se b = 0 , então qualquer n-upla de escalares 11 reais é solução da equação. Exemplo: 0x + 0y+ 0z = 0. Neste caso, temos como solução S = {(x,y,z), ∀ x, y, z ∈ R}.

(ii) Se b ≠≠≠≠ 0 então a equação linear não tem solução. Exemplo: 0x + 0y + 0z = 3 ⇒ 0x = 3 – 0y

- 0z ⇒ x=0

003 z y −−(solução impossível)

2 Sistema de Equações Lineares

2.1 Conceito

m grupo de m equações de mesmas variáveis n, mas com possíveis combinações linearesdistintas forma um sistema definido como sistema de equações lineares de ordem m x n.

Ou, um sistema de equações lineares é um conjunto de equações da forma

=++++

=++++

=++++

=++++

mnmnmmm

nn

nn

nn

b xa xa xa xa

b xa xa xa xa

b xa xa xa xa

b xa xa xa xa

..........................................................

.........

332211

33333232131

22323222121

11313212111

com:

m equações n variáveis a ij indicando os coeficientes (números reais ou complexos) das variáveis para i = (1,

2, ..., m) e j = (1, 2, 3, ..., n) b i indicando os termos independentes ou seja, as constantes (números reais ou

complexos) para i = (1, 2, ..., m).

A solução ou as raízes do sistema é uma lista de números ou n-upla (x 1,x2,...,x n) querepresenta os valores das variáveis e satisfaz simultaneamente as m equações lineares.

Observação: Se o termo independente de todas as equações do sistema for nulo, isto é, b 1 = b 2 =... = b n = 0 o sistema linear é homogêneo.

Exemplo :=+−

=++

=−+

03250402

zyxzyxzyx

Uma solução evidente do sistema linear homogêneo é x = y = z =0 ou S = {(0,0,0)}Esta solução chama-se solução trivial do sistema homogêneo.Se o sistema homogêneo admitir outra solução em que asincógnitas não são todas nulas, a solução será chamada soluçãonão trivial.

2.2 Representação Matricial de um Sistema de Equações Lineares

odo sistema de equações pode ser representado na forma de matriz, como uma matrizcompleta ou como uma matriz simples. Dentre as variadas aplicações, as matrizes sãoutilizadas na resolução de um sistema de equações lineares.

11 Números

U

T



Álgebra Linear 51


Consideremos o sistema linear

=++++

=++++

=++++

=++++

mnmnmmm

nn

nn

nn

b xa xa xa xa

b xa xa xa xa

b xa xa xa xa

b xa xa xa xa

..........................................................

.........

332211

33333232131

22323222121

11313212111

Utilizando matrizes, representamos o sistema da seguinte forma:

mn2m1m

n22221

n11211

aaa

aaaaaa

L

MMM

L

L

.

nx

xx

M2

1

=

nb

bb

M2

1

Exemplo: Representação-padrão do sistema Representação na forma matricial

=−+

−=+−

=−+

8271634

052

321

321

321

xxxxxx

xxx

−

−

−

217634152

.

3

2

1

xxx

= −

81

0

Note que: Também podemos transpor os coeficientes do sistema para uma matriz. Neste caso temosduas formas de representar:

Representação geral de um sistema deequações lineares como uma matrizcompleta (ou matriz ampliada ).

Representação de um sistema de equaçõeslineares como uma matriz simples .

1

31

21

11

...ma

a

a

a

2

32

22

12

...ma

a

a

a

3

33

23

13

...ma

a

a

a

...

...

...

...

...

mn

n

n

n

a

a

a

a

...3

2

1

mb

b

b

b

...3

2

1

1

31

21

11

...ma

a

a

a

2

32

22

12

...ma

a

a

a

3

33

23

13

...ma

a

a

a

...

...

...

...

...

mn

n

n

n

a

a

a

a

...3

2

1

Lembre-se que: Numa matriz, as filas horizontais de números chamam-se linhas e as filasverticais colunas .

Matriz constituída peloscoeficientes das incógnitas

Matriz coluna constituídapelas incógnitas

Matriz coluna dostermosindependentes



Álgebra Linear 52


2.3 Classificação dos Sistemas de Equações Lineares

s sistemas lineares são classificados, quanto as possíveis soluções. Podem ter uma únicasolução, nenhuma ou diversas. Observe:

Exemplo 1:

(a) O sistema S==+

=+

01

y x

y x, não tem soluções porque não existem valores para x e y cuja

soma seja simultaneamente 1 e 0. Logo S = ∅

(b) O sistema=+

=−

221

y x

y x, tem a única solução x = 0 e y = 1. Logo S = {(0,1)}

(c) O sistema=+

=+

4222

y x

y x, tem a solução x=-2y, para cada valor de y. Neste caso é

indeterminado, possui infinitas soluções. Sua Solução Geral SG = {(-2y,y)} para qualquer y real.Podemos encontrar várias soluções particulares. Uma delas, por exemplo, poderia ser Sp = {(-2,1)} para y = 1 ou Sp= {(-6,3)} para y = 3, etc.

Note que:

• Um sistema de equações é possível se possuir pelo menos uma solução. De outro modo éimpossível . Um sistema possível também é denominado de consistente ou compatível .E, um sistema impossível também é denominado de inconsistente ou incompatível .

• Geometricamente, em R 2 podemos "visualizar" estas classificações. Assim, considerando umsistema cartesiano ortogonal R 2 (x,y) e duas retas r e s definidas na forma geral por a11 x +a12 y =b 1 e a21 x + a22 y =b 2.

Representando-as em um sistema de equações lineares do tipo 2 x 2, temos

S ==+

=+

22221

11211

b ya xa

b ya xa

O SISTEMA LINEAR

POSSÍVEL (COMPATÍVEL)Quando tem solução

IMPOSSÍVEL (INCOMPATÍVEL)Quando não tem solução

DETERMINADO

Admite uma única solução

INDETERMINADO

Admite infinitas soluções



Álgebra Linear 53


1. Se para algum par de retas específico obtivermos um sistemapossível e determinado então encontramos um único ponto(x, y), ou seja, uma única solução que satisfaça a ambas asequações simultaneamente (as retas, geometricamente, sãoconcorrentes 12 e coincidentes neste ponto).

2. Se para um outro par de retas tivermos um sistema classificadocomo possível e indeterminado , então teremos comorepresentação geométrica da solução uma outra reta querepresenta todos os valores possíveis que satisfaçam asequações (as retas, geometricamente, são coincidentes 13).

3. E finalmente, se por acaso o sistema for impossível , então nãohá ponto que seja comum as duas retas (as retas,geometricamente, são paralelas 14 - nunca se encontrarão).

Vamos analisar alguns 15 exemplos !

Exemplo 1: S1

==+

=+

3212

y x

y x

−=−

=+≅

20012

y x

y x−=

=+≅

2012

y

y x

O sistema S 1 não tem solução, portanto é um sistemainconsistente ou impossível.

Retas paralelas em S 1 : Sistema impossível

Exemplo 6:

S2 ==−

=+

24

y x

y x=+

=+≅

2204

y x

y x =

=≅

13

y

x

O sistema S 2 tem somente a solução S = {(3,1)},portanto é um sistema consistente e determinado.

Retas concorrentes em S 2: sistema determinado e tem um ponto em comum (3,1) que é asolução do sistema

12 Retas concorrentes: Duas retas são concorrentes se elas têm um ponto em comum. As retas perpendiculares são retas concorrentes queformam entre si um ângulo reto. 13Retas coincidentes: Duas retas sobrepostas num mesmo plano – todos os pontos são comuns.14 Retas paralelas: Duas retas eqüidistantes em todos os seus pontos – nenhum ponto é comuns.15 Para saber mais: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/eq1g/eq1g.htm



Álgebra Linear 54


Exemplo 7: S3

==+

=+≅

=+

=+

00012

22412

y x

y x

y x

y x −=≅=+≅

2112 y

x y x

O sistema S 3 tem infinitas soluções para 0x+0y=0,

portanto é um sistema consistente e indeterminado. A fórmula que representa a universalidade de soluções

possíveis é Sg={( y y ,

21−

) para y ∈ R ou C}.

Retas coincidentes em S 3: S istema indeterminado

Assim, geometricamente, pode-se interpretar a solução de um sistema qualquer, no plano R 2, onde:1. Se o sistema é consistente e determinado, as retas se interceptam num único ponto (ponto

solução do sistema);2. Se o sistema é consistente e indeterminado, as retas são coincidentes;3. Se o sistema é impossível ou inconsistente, as retas são paralelas.

2.4 Equivalência de Sistemas de Equações Lineares

e dois sistemas lineares, S1 e S2, admitem a mesma solução, eles são ditos sistemasequivalentes. Veja os exemplos:

Exemplo 1: Os sistemas=+−

=+

5342

y x

y x e

−=−

−=+−

113

y x

y x são equivalentes porque tem a

mesma solução S={(1,2)}Exemplo 2: Como os sistemas admitem a mesma solução {(1,-2)}, S 1 e S 2 são equivalentes.

⇒=−

−=+

4253

1 yxyx

:S S = {(1,-2)} e⇒

−=+−

=+

13

22

32 yx

yx

:S S = {(1,-2)}

Teorema 1

Dado o sistema de equações S, obtêm-se um sistema equivalente quando se efetua as operaçõeselementares sobre suas equações que são:

1. Permutação de duas equações;2. Multiplicação de uma equação por um escalar k, real e não nulo;3. Substituição de uma equação por sua soma com outra equação, eventualmente multiplicada

pelo escalar k ∈ R* .

Usando as operações descritas no Teorema 1 , é sempre possível construir um sistema equivalente.Assim, podemos encontrar a solução de um sistema, através da transformação sucessiva do mesmoem sistemas equivalentes, até obtermos os resultados das suas variáveis.

S



Álgebra Linear 55


Proposições (i) As variáveis (ou incógnitas) que num sistema na forma escalonada por linhas (sistemas

equivalentes), não aparecem no início de nenhuma equação, são denominadas variáveislivres .

(ii) Para determinar o número de variáveis livres de um sistema aplicamos após o processo deequivalência das linhas, a fórmula:

nº de variáveis livres = n variáveis - m equações não nulas.

(iii) Se o sistema é consistente e indeterminado podemos determinar a solução geral do sistema esoluções particulares do sistema. Para encontrar soluções particulares, atribuímos valores paraas variáveis livres, que farão parte da solução geral.

2.5 Resolução de Sistemas de Equações Lineares pelo princípio da equivalência:Método de condensação ou de eliminação de Gauss-Jordan

técnica básica para determinar as soluções de um sistema de equações lineares é o métodode eliminação (de Gauss –forma escalonada)

Exemplo 1: Consideremos o sistema de equações,

S1 ==++

−=++

=++

2242112

z y x

z y x

z y x

. Podemos determinar a solução do sistema pelo processo de

equivalência de sistemas ou de matriz. Vejamos:

Método 1: Equivalência de sistemas - Escalonamento

S1 ==++

−=++

=++

2242112

z y x

z y x

z y x

≅ =++

=++

=++

0000200

12

z y x

z y x

z y x

≅ =

=++

212

y

z y x.

Substituindo o valor de y = 2, na 1ª equação do sistema equivalente a S 1, temos:

≅ =

=++

212.2

y

z x≅ =

−−=

241

y

z x≅ =

−−=

23

y

z x.

Note que: O sistema é consistente (possível) e indeterminado pois admite mais de uma solução para as

suas variáveis. O sistema apresenta uma variável livre ( z). A quantidade de variáveis livres pode ser

determinada pela fórmula: nº de variáveis livres = 3 – 2 = 1 (conforme proposição ii). Podemos obter uma solução geral e soluções particulares.

Solução geral: S´= {(-3-z, 2, z) ∀ z ∈ R}.Uma solução particular para o sistema: S´= {(-4,2,1)} para z = 1.

Método 2: Equivalência de matrizes

A



Álgebra Linear 56


S1 ==++

−=++

=++

2242112

z y x

z y x

z y x

A matriz completa de S 1 é:

211

412

211

+

−

+

211

Vamos transformar a matriz completa de S em matrizes equivalentes aplicando a operações

elementares citadas no Teorema 1 :

211

412

211

+

−

+

211

≅

001

012

001

021

Para encontrar a 2ª matriz, aplicamos na 1ª as

operações: L 2 = L2 – L1 e L3 = L3 – 2L1 .

A matriz equivalente encontrada corresponde ao sistema S 1==

=++

212

y

z y x ⇔ y=2.

Substituindo o valor encontrado para y na 1ª equação do sistema equivalente a S temos:x+2y+z =1 ⇔ x+2.2+z =1 ⇔ x = -3-z.O sistema é possível e indeterminado com uma solução geral S´= {(-3-z, 2, z) ∀ z ∈ R} euma solução particular S´= {(-3,2,0)} para z = 0.

Observe outros exemplos:Exemplo 2: No sistema abaixo, vamos reduzir na forma escalonada, aplicando as operaçõesconvenientes:

+−=→=++

+−=→=−+

+−=→=++

=−+

414

313

212

222262213452

113432

L L L z y x

L L L z y x

L L L z y x

z y x

~

+−=→=+

+−=→=+

=+

=−+

424

323

21482 52 74 432

L L L z y

L L L z y

z y

z y x

~−=−

=+

=−+

22 74 432

z

z y

z y x

Note que o sistema na forma escalonada apresenta 3 equações não nulas nas trêsvariáveis, então o sistema é consistente de solução única.Onde: Por L3, temos 2z = 2 ⇒ z = 1; Por L 2, temos y = 3 e, por L 1, temos: x = 1Logo, a 3–upla (1, 3, 1) é a única solução do sistema. Ou S = {(1,3,1)}

Exemplo 3: Considere o sistema:

→=−++

→=+−+

→=+−+

3

2

1

5233342231322

Lw z y x

Lw z y x

Lw z y x

1º) Aplicando a operação L 2 = -3L 1 + 2L3 e, em seguida também L 3 = -3L 1 + 2L3

→=−+

→=−+

→=+−+

3

2

1

713123554

1322

Lw z y

Lw z y

Lw z y x

2º) Aplicando a operação L 3 = -3L 2 + L3 teremos

−=

=−+

=+−+

82

554

1322

w

w z y

w z y x

variável livre

O sistema na forma escalonada apresenta o número de equações não nulas inferior aonúmero de incógnitas, logo o sistema terá várias soluções.

Observação: Chamamos variável livre avariável que no sistema na forma escalonadanão inicia nenhuma equação.No exemplo a variável z não inicia emnenhuma das três equações do sistema. Logoé a variável livre.



Álgebra Linear 58


S ==++

=++−

=−+

22212

03

z y x

z y x

z y x escalonando temos:

=++

=−+

=+++−

22203

12

z y x

z y x

z y x ~

=

=+

=++−

10354

12 z y

z y x . O sistema na

forma escalonada apresenta a equação 0 = 1 que é inconsistente (falso). Portanto o sistemaé impossível e temos então S = ∅

2.6 Solução de um sistema de equações lineares pela Regra de Cramer

Para saber mais: APLICAÇÃO DE DETERMINANTE às equações lineares: Regra de Cramer

De uso restrito, a regra de Cramer é utilizada, em geral, para resolver sistemas com 2 ou 3equações e com 2 ou 3 variáveis. Acima disso, torna-se um processo extenso e trabalhos(praticamente inaplicável).Supondo como exemplo, um sistema com três variáveis, x, y, e z. Para resolver o sistema pelaRegra de Cramer, devemos:

1. Encontrar o determinante D =∆

da matriz dos coeficientes x, y e z;2. Calcular o determinante Dx = ∆ x da matriz que se obtém, substituindo a coluna doscoeficientes de x pela coluna dos termos independentes;

3. Determinar os valores das variáveis x, y e z pela fórmula x =∆

∆ x , y =∆

∆ y e z =∆

∆ z .

Seja o sistema W:

=++++

=++++

=++++

=++++

mnmnmmm

nn

nn

nn

b xa xa xa xa

b xa xa xa xa

b xa xa xa xa

b xa xa xa xa

...

................................................................

332211

33333232131

22323222121

11313212111

(1) ∆ equivale ao determinante de uma matrizA, formada pelos coeficientes das incógnitas dosistema W

(2) ∆ x equivale ao determinante de uma matrizAx, que se obtém a partir da matriz A,substituindo-se a coluna dos coeficientes de x 1 pela coluna dos termos independentes.

∆ = Det A =

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

L

MMM

L

L

21

22221

11211

∆ x = Det Ax1 =

mnmn

n

n

aab

aab

aab

L

MMM

L

L

2

2222

1121

(3) De maneira análoga a ∆ x podemos

determinar ∆ y e ∆ z

∆ y=Det Ax2=

mnnm

n

n

aba

aba

aba

L

MMM

L

L

1

2221

1111

e ∆ z=Det Axn =

nmm baa

baa

baa

L

MMM

L

L

21

22221

11211

(4) Pela regra de Cramer x 1 =x=∆

∆ x = A

A x

detdet 1 x2 = y=

∆

∆ y = A

A x

detdet 2 e z =

∆

∆ z .

Generalizando, pela regra de Cramer, x n = A

A xn

detdet



Álgebra Linear 59


Exemplo 1: Resolva o sistema S, aplicando Cramer.

S ==++

=++

−=−−

223124

z y x

z y x

z y x

.

Resolução: Temos ∆=123112111 −−

, ∆x =122111114 −−−

, ∆y =123112141 −−

,∆z =223112411 −−

.

Resolvendo os determinantes, encontramos:∆ = 1-3-4+3-2+2, ∆ x =-4-2-2+2+1+8, ∆ y = 1-12-4+3-2+8 e ∆ z = 2-3-16+12+4-2.∆ = -3, ∆ x = 3, ∆ y = -6 e ∆ z = -3.

Logo: x = 13

3−=

−=

∆

∆ x , y = 236

=−

−=

∆

∆ y e z = 133

=−

−=

∆

∆ z .

A solução do sistema é S´= {(-1,2,1)}.

3 Sistema Homogêneo de Equações Lineares: Discussão da solução

omo já vimos, os sistemas formados por equações lineares cujos termos independentes sãotodos iguais a zero (b i = 0) são denominados de sistemas homogêneos . Neste caso, todasas constantes b 1,b2,...,b m do sistema são nulas.Todo sistema homogêneo é consistente (ou possível) , pois sempre admite solução.

Neste caso, temos duas possibilidades de solução:• O sistema de m equações e n incógnitas é consistente e determinado e tem somente a

solução trivial (0,0,...,0) quando m = n ou seja, quando o número de m equações dosistema equivalente, na forma escada, é igual ao número de variáveis n do sistema.

• O sistema de m equações e n incógnitas é consistente e indeterminado isto é, tem tambémsoluções não nulas, quando m <<<< n ou seja, quando o sistema tem mais variáveis n do queequações m.

Seja o sistema homogêneo S =

=+++

=+++

=+++

0

00

2211

2222121

1212111

nmnmm

nn

nn

xa xa xa

xa xa xa

xa xa xa

L

L

L

L

.

O sistema S sempre terá pelo menos uma solução, a n–upla (0, 0, ..., 0) chamada solução zeroou trivial. Qualquer outra solução é chamada não-nula ou não–trivial. Assim, em todo sistemahomogêneo temos duas possibilidades de resposta:

1ª) quando o número de equações do sistema na forma escalonada for igual ao número deincógnitas, dizemos que o sistema tem somente solução zero ou trivial .2ª) quando o número de equações do sistema na forma escalonada for menor que o

número de incógnitas, dizemos que o sistema tem solução não nula.

Exemplo 1: Encontre a solução dos sistemas S 1==++

=−+

=−+

0223042

0

z y x

z y x

z y xe S2 =

=+−

=+−

=−+

024032

0

z y x

z y x

z y x

C



Álgebra Linear 60


Resolução: S1==++

=−+

=−+

0223042

0

z y x

z y x

z y x ⇒

=+−

=+

=−+

0502

0

z y

z y

z y x ⇒

=

=+

=−+

01102

0

z

z y

z y x ⇒ x = 0, y = 0 e z = 0

Note que o sistema na forma escalonada, apresenta número de equações igual ao número deincógnitas, logo o sistema possui solução única, isto é, trivial. Logo, S = (0,0,0).

Resolução: S 2==+−

=+−

=−+

024032

0

z y x

z y x

z y x ⇒

=+−

=+−

=−+

0350350

z y

z y

z y x ⇒

=

=+−

=−+

000350

z y

z y x. Observe que o sistema na forma

escalonada apresenta duas equações não nulas e três incógnitas, x, y e z. Logo o sistema possui

várias soluções. A variável livre é z. Solução Geral: -5y+3z=0 ⇒ y=53 z e x= z

z +−

53

⇒ x =52 z .

Logo SG = ( z z z ,53,

52 ), para z real; Solução Particular : Para z = 1 temos SP = ( 1

53

52

,, )

AAAgggooorrraaa ,,, ééé cccooommm vvvooocccêêê!!! Resolva a lista 6 de Atividades



Álgebra Linear 61


Lista 6 de atividades – Parte I

1) Ache as duas soluções da equação: -x 1 + 21 x2 = 0.

2) Determine m para que (-1,1,-2) seja solução da equação mx + y - 2z = 6

3) Dada a equação 122 −=+ y x , ache α para que ( α ,α +1) torne a sentença verdadeira.4) Determine duas soluções da equação x + 2y - z = 0.

5) Seja o sistema S:−−++−

=+−

=−+

252032

321

321

321

x x x

x x x

x x x

. (a)Verifique se (2,-1,1) é solução se S. (b) Verifique se

(0,0,0) é solução se S.

6) Seja o sistema:+=−

−=+

3293 2

k y x

K y x , calcule k para que o sistema seja homogêneo

7) Verifique se os sistemas S 1 =+

=−

752 y x y x e S 2

=−

=+−

93 115 y x y x são equivalentes.

8) Calcular m e n de modo que os sistemas=+

=−

521

y x

y x e

=+

−=−

21

mynx

nymxsejam equivalentes.

9) Expresse matricialmente os sistemas: a)=−

=+

0352

y x

y x e b)

=−+−

=+

−=++

2530

12

cba

ca

cba

.

10) A expressão matricial de um sistema S é: −

1352

.ba

=−

74

. Determine as equações de S.

Lista 6 de atividades - Parte II

1 Encontre o conjunto solução. Classifique os sistemas a partir da solução, justificando sua resposta.

a) S 1==++

=++

−=−−

223124

z y x

z y x

z y x

b) S 2==+−−

−=+−

−=+−

1322432742

z y x

z y x

z y x

c) S 3=−=++

=+−

=++

1222202

z y x

z y x

z y x

d) S 4=−=−+

−=++

=+−

43232232

4

z y x

z y x z y x

(e) S 5==−+−

=−+

=−+

32432

3

z y x

z y x z y x

(f) S 6=

=+++−

=+−+

=−++

=+++

722212

6

t z y x

t z y x

t z y xt z y x



Álgebra Linear 62


(g) S 7=

=+

=++−

−=−+

=++−

122

1

t z

t y x

t z y

t z y x

(h) S 8=

=+

=+

=+

333232

1

y x

y x

y x

(i) S 9==++

−=−−

=++

21

6

z y x

z y x

z y x

(j) S 10==+−

=−−=++

1342302

z y x

z y x z y x

(k) S 11==−+−−

−=+−−=−++

623243

42

w z y x

w z y xw z y x

(l) S 12==+−

−=−−−=++

26

6

z y x

z y x z y x

2 Resolva os sistemas pela Regra de Cramer:

a)=−+

=+−

=−+

3233932

22

z y x

z y x

z y x

(b)=++

=+−

=+−

63232

cba

cba

cba

3 Determine se cada sistema tem solução não-nula. Classificar e resolver os sistemas homogêneos, justificando a resposta. Se for indeterminado, encontre a solução geral e uma solução particular.

a)=+++

=+−−

=−+−

0w2z5y3x40w4z2y7x3

0w2z3y2x

b)

=++

=++

=++

=−+

0z3y3x0z7y4x0z2y5x2

0zy2x

c)

=−−

=++

=−+

0z4yx30z2y5x2

0z3y2x

d)=++

=+−

02023

z y x

z y x

e)=−+−

=+−

042202 z y x

z y x

f)

=++−

=−+−

=+−−

=−+−

003 023

032

z y x

w z y xw z y x

w z y x

g)

=+−−

=+−+−

=+−+−

=+−

02022 02

0

t z y x

t w y xt w z y x

t y x

4 Encontre a solução dos sistemas determinados.

a)=++

=+−

=+−

322

1

z y x

z y x

z y x

b)=++

=+−

=+−

322

1

z y x

z y x

z y x

c)=++

=−−

=+−

122

3

z y x

z y x

z y x

5 Escalone, classifique e resolva os sistemas

a)=+−

=−+

=+−

220423

52

z y z

z y x

z y x

b)=+−

=++

=+−

2231232

z y x

z y x

z y x

c)−=++−

−=+−+

=−++

322122

6

t z y x

t z y x

t z y x

6 Classifique, justificando sua resposta e resolva os sistemas homogêneos e não-homogêneos deequações lineares. Se o sistema for consistente e indeterminado, encontre a solução geral e umaparticular.



Álgebra Linear 63


a)=+−

=−+

02302

z y x

z y x b)

=++

=+−

=+−

213

032

z y x

z y x

z y x c)

=+−

=+−

=−+

0203025

z y x

z y x

z y x

d)=++

=−−−

=++

63634242

22

z y x

z y x

z y x

7 Mostre, algébrica e geometricamente, que o sistema S 1 é consistente e indeterminado e o sistema

S2 é inconsistente para: S 1=

=−

=−

=−

21

2

22412

y x

y x

y x

e S2=

=+

=−

=+

2202

y x

y x

y x.

8 Classifique e resolva os sistemas de equações lineares. Se o sistema for consistente eindeterminado, encontre a solução geral e uma particular.

(a) S1=

=++

=++

=+−

=+−

436

02341132

z y x

z y x

z y x

z y x

(b) S2=−=+−+

−=+−++

=−+++

12325262

147323

t z y x

t w z y x

t w z y x

9 Verifique se os sistemas homogêneos têm solução não nula, justificando sua resposta.

a) S 1==+−

=+−

=−+

0223032023

z y x

z y x

z y x b) S 2=

=+−

=+−

=−+

0423088023

z y x

z y x

z y x c) S 3=

=+−

=+−

=−+

02023

02

z y x

z y x

z y x

d) S 3==+−

=+−

=−+

0203025

z y x

z y x

z y x

10 Mostre, algébrica e geometricamente, que o sistema formado pelas equações 2x - y = 1, x - y/2= ½ e 4x - 2y = 2, é consistente e indeterminado.

11 O sistema homogêneo formado pelas equações x + 3y - 2z = 0, 2x + 3y + z = 0 e 3x - 2y + 2z= 0 tem solução não nula? Justifique.

12 Classifique e resolva os sistemas de equações lineares. Se o sistema for consistente eindeterminado, encontre a solução geral e uma particular.

(a) S 1=

=++

=++

=+−

=+−

533

8234832

z y x

z y x z y x

z y x

(b) S 2==+−+

=+−++

=−+++

523125262 27323

t z y x

t w z y xt w z y x

13 Encontre a solução algébrica e geométrica dos sistemas:

A=−=−

=+

1322

y x

y x B==+

=+

4222

y x

y x C==+

=+

32

y x

y x D==−

=+

0320

y x

y x E==+

=+

0220

y x

y x F==+

=+

00

y x

y x

Respostas da Lista de Atividade Parte I

(1) S = {( 2 y , y)}, y ∈ IR (2) m = -1 (3) α = 2

3− (4) S = {(-2y+z, y, z)}, y,z ∈ IR (5ª) Sim (5b) Não

(6) k = -3 (7) Sim. S = {(4, 3)}(8) Os sistemas são equivalentes para m = 0 e n = 1. S= {(2, 1)}

(9a)− 3112

. y

x =

05

(9b)

−− 153101112

. z

y

x

=

−

201

(10)=+

−=−

73452

ba

ba

Respostas da Lista de Atividade 6-Parte II



Álgebra Linear 65


4 Discussão de um Sistema de Equações Lineares homogênio e não-homogênio

iscutir o sistema é saber se ele é possível (ou consistente) ou impossível (ou inconsistente).Se ele for possível de solução, pode determinado ou indeterminado. Com o mesmoprocedimento de equivalência de sistemas, podemos resolver outro tipo de problema, como aclassificação de um dado sistema, que dependa de parâmetros.

Exemplo 1: Discutir os valores de k no sistema abaixo:

=++

=+−

=−+

k z y x

z y x

z y x

23332

42 ⇒

+−=+−

−=+−

=−+

k z y

z y

z y x

125555542

⇒ +−=

−=+−

=−+

k

z y

z y x

125055542

Discussão: 0 = 5 - 12 + k ⇒ K = 7i) Se K = 7 o sistema possui várias soluções, é indeterminado. A variável livre é z.ii) Se K ≠ 7 o sistema é impossível (ou inconsistente ou incompatível), sem solução.

Exemplo 2: Determine os valores de a, de modo que o seguinte sistema nas incógnitas x, y e z

tenha: (i) uma única solução; (ii) mais de uma solução; (iii) nenhuma solução.

+−=→=++

+−=→=++

=−+

313

212

232332

1

L L L zay x

L L Laz y x

z y x~

+−=→=+−

=++

=−+

323 )1(14)1(1)2(......

1

L La L z ya

za y

z y x~

−=−+

=++

=−+

a zaa

za y

z y x

2)2)(3(1)2(

1

Discussão: O sistema na forma escalonada tem a equação (3+a)(2-a)z=2–a, portanto:(i) Para o sistema ter uma solução única, é necessário que o coeficiente de z seja diferente dezero, ou seja, (3 + a) (2 - a) ≠ 0, logo, a ≠ -3 e a ≠ 2.(ii) Para a = 2, a terceira equação é 0 = 0 e o sistema tem várias soluções.(iii) No caso de a = -3, a terceira equação é 0 = 5 e o sistema não tem solução.

Exemplo 3: Dado o sistema 16 de equações S vamos discutir a sua natureza, em função dos

parâmetros reais k para S ==++

=−++

=++

0421)1(

1

kz y x

zk y x zky x

Resolução: Resolvendo pelo método de condensação ou de eliminação de Gauss, temos:

211

41k

k

k 11

−

011

≅

001

k

k

k

241

−

− k

k +−

+−

22

1

− 201

≅

001

01 k

k −

652

1

2 −+−

+−

k k

k

− )1(201

k

.

A representação matricial do sistema na forma escalonada, mostra a necessidade de análisepara os parâmetros de k e t em:

Para 1 – k = 0 ⇒ k=1. Para k 2-5k+6 = 0 ⇒ k = 2 ou k = 3.Assim, nossa análise será feita sobre essas igualdades, e k ≠ 1, k ≠ 2 e k ≠ 3.Aplicando o resultado da matriz equivalente encontrada na forma de sistema, obtemos:

−=−+−

=+−+−

=++

).1(2)65(0)2()1(

1

2 k zk k

zk yk

zky x

Analisando a partir da última equação do sistema, temos:

16 PINTO (1997:13)

D



Álgebra Linear 66


(a) Para 2)2(2)65( 2 −+−=−+− k t zk k ⇒ z =652)2(2

2 −+−

−+−

k k k t .

As possíveis respostas para z, dependem dos valores de k . Vejamos: Se k = 2 ou k = 3 não existe solução para z, então o sistema é impossível. Se k ≠ 2 ou k ≠ 3 existe solução determinada para z, então o sistema é possível e

determinado.

(b) Para 0)2()1( =+−+− zk yk temos y =k

zk −

+−

1)2( .

As possíveis respostas para y, dependem dos valores de k . Vejamos: Se k = 1 não existe solução para y então o sistema é impossível. Se k ≠ 1, k tem solução se k ≠ 2 ou k ≠ 3. Neste caso o sistema possível e determinado.

Resumindo: O sistema é impossível para k = 1, k = 2 ou k = 3. O sistema é possível edeterminado para k ≠ 2 ou k ≠ 3 .

AAAgggooorrraaa ,,, ééé cccooommm vvvooocccêêê!!! Resolva a lista 7 de Atividades

Lista 7 de atividades

1 Encontre o valor real de “a”, para que o sistema S admita solução, sendo S ==−

=−

=+

a y x

y x

y x

2045234

2 Encontre o valor real de k, para que o sistema S de equações admita solução:

=−

=−

=+−

k y x

y x

y x

2

045234

3 Determine o valor de k, para que (5,k-1,3k+2) seja solução da equação linear x -2y + z = 7.

4 Considere o sistema S de equações=+++−

=+++

=++

t z yk x

z yk x

z ykx

2)2(21)1(

0

Discuta-o, em função dos parâmetros reais k e tResolva-o, pela regra de Cramer, tomando k=1 e t = 0.Respostas:2) k=-6; 3) k=-2



Álgebra Linear 67


APÊNDICE AMatriz de Co-Fatores e Adjunta Clássica.

Aplicação de Determinante: Adjunta Clássica e Matriz Inversa

1 Encontrando a Matriz de Co-fatoresO Cofator de um elemento a ij de uma matriz A indicado por Cof (A) ou C, se define como

ij ji

ij M c +−= )1( sendo |M ij| o MENOR complementar do elemento a ij da matriz A.Note que: Se a i-ésima linha e a j-ésima coluna de uma matriz A forem suprimidas, o determinanteda submatriz resultante se chama o MENOR do elemento a ij e é indicado por |M ij|. Encontrando todosos cofatores dos elementos a ij da matriz, obtemos a matriz de cofatores de A (Cof A).

Exemplo:

Se =

333231232221

131211

aaa

aaa

aaa

A então o MENOR de a11 é11

M =3332

2322aa

aa=

32233322 aaaa −

Ou:Menores e co-fatores (d efinição) : Seja A = [a ij] uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2 sobre umcorpo K. Seja Aij a sub matriz de A obtida suprimindo-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A. Omenor do elemento aij de A é o determinante da sub matriz A ij, indicado por Mij. O co-fator doelemento aij de A é o produto de (-1) i+j pelo menor de aij, indicado por C ij = (-1) i+j . Mij.

Assim, pelo Teorema de Laplace, podemos encontrar o determinante de uma matriz fazendo:det A = a 11 |M11 | - a 12 |M12 |+ a 13 |M13 | ou det A = a11 . C11 + a12 .C12 + a13 . C13 sendo

onde Mij a sub matriz encontrada da matriz inicial A, de onde foram retiradas a i-ésima linha e a j-ésima coluna e C ij é o cofator dos elementos de A.

Assim, det A = a11 11 M - a12 12 M + a13 13 M

det A = a11 32

22

a

a

33

23

a

a - a12

31

21

a

a

33

23

a

a + a13

31

21

a

a

32

22

a

a

det A = a11 (a 22 a33 - a 23 a32) - a12 (a21 a33 - a 23 a31) + a13 (a 21 a32 - a 22 a31)

Exemplo 1: Seja A =

−

−

317132

101

. A matriz dos cofatores dos elementos de A é definda em:

C11 = (-1) 1+1 .3113 −

=1.(9+1) = 1.10 = 10. C 12=(-1) 1+2 .3712 −

=(-1).(6+7)=(-1).(13)=-13

C13 =(-1) 1+3 .1732

=1.(2-21) = 1.(-19)= -19. C 21 = (-1) 2+1 .3110

=(-1).(0-1)=(-1).(-1)= 1.

C22 = (-1) 2+2 .3711−

=1.(-3-7)=1.(-10)= -10. C 23 = (-1) 2+3 .1701−

=(-1).(-1-0)=(-1).(-1)= 1



Álgebra Linear 68


Idem para C 31 = -3; C 32 = -1; C 31 = -3.

Temos então a matriz de cofatores de A, definida em Cof (A) 3x3 =

−−−

−

−−

3131101191310

Aplicando os Teoremas de Laplace temos:

det A = a11 . C11 + a12 .C12 + a13 . C13 ⇔ Det A = (-1). 10 + 0.(-13) + 1.(-19) = -29

Proposições:• O determinante I M ij I é denominado menor complementar de a ij

• Denomina-se Cofator de a ij ao número C ij = (-1) i + j . Mij .Pode-se desenvolver um determinante de ordem n > 3 pelo procedimento de Laplace.

2 Encontrando a Matriz Adjunta Clássica

onsideremos uma matriz quadrada de ordem n, A = (a ij ) sobre um corpo K. Denominamos dematriz Adjunta Clássica de A a transposta da matriz dos cofatores (Cof A) dos elementosaij de A, representada por Adj A.

A=

mn2m1m

n22221

n11211

aaa

aaaaaa

L

MMM

L

L

→ Cof A=

mn2m1m

n22221

n11211

CCC

CCCCCC

L

MMM

L

L

→ Adj A= (CofA)t=

mnnn

m

m

C C C

C C C

C C C

L

MMM

L

L

21

22212

12111

Lembre-se que: O cofator do elemento a ij de uma matriz A, indicado por C, se define como

ij

ji

ij M c +−=

)1( . Para |M ij| o menor complementar de um elemento da matriz. Encontrando todos os cofatores dos elementos a ij da matriz, obtemos a matriz de cofatores de A (Cof A).

A Matriz Adjunta de uma matriz A, indicada por (Adj A) é a transposta da matriz de cofatores, istoé Adj A = (Cof A)t .

Exemplo 1: Encontrar a matriz adjunta de uma matriz A.Resolução: Para obter a adjunta de uma matriz quadrada A, inicialmente, formamos a matriz

dos cofatores dos elementos a ij de A. Vimos que, por definição, o cofator de a ij é oproduto de (-1) i+j pelo determinante da submatriz de A que obtemos removendo a

linha e a coluna que passam por a ij. Formada a matriz dos cofatores, a suatransposta será a matriz adjunta.

Assim, se A =

− 011012101

então a sua matriz de cofatores é:

C



Álgebra Linear 69


Cof A =

−=−=−=

−−=

−−=−=

−−=

−−=−=

+++

+++

+++

1201.)1(

0211.)1(

0110.)1(

1101

.)1(0111

.)1(0110

.)1(

1112

.)1(0102

.)1(0101

.)1(

3333

2332

1331

322322

2212

21

311321

1211

11

ccc

ccc

ccc

=

−

−

121111

300

Transpondo a matriz dos cofatores, obtemos a adjunta de A ou Adj A =

−

−

113210110

= C t

Saiba Mais:

A primeira impressão quando nos deparamos com a definição de adjunta é, em geral, estranha.Qual o sentido de formar uma matriz por meio de tantos artifícios? A idéia de formar umaadjunta surge naturalmente quando se toma conhecimento de dois resultados clássicos sobredeterminantes: Os teoremas de Laplace e Cauchy.

1º: Teorema (elementar) de Laplace . A soma dos produtos dos elementos de uma fila (linhaou coluna) por seus respectivos cofatores é o determinante da matriz.2º: Teorema de Cauchy . A soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna)pelos cofatores dos elementos de uma fila paralela é igual a zero.

Observe:

No Ex.1 a matriz A =

− 011012101

tem com matriz de cofatores C=

−

−

121111

300. Se

formarmos a soma dos produtos dos elementos da primeira linha pelos seus respectivoscofatores, o resultado será o determinante ou seja, pelo Teorema de Laplace , odeterminante de A , indicado Det A = a 11.c11 + a 12.c12+ a 13.c13 = 1.0+0.1+1.3 = 3Isto vale para qualquer linha ou coluna, isto é, para qualquer fila. É o famoso desenvolvimentopor cofatores de um determinante.Igualmente, verificamos o Teorema de Cauchy: Somando os produtos dos elementos daprimeira linha pelos cofatores dos elementos de outra linha é zero. Assim, multiplicando oselementos da 1ª linha de A pelos cofatores dos elementos da 2ª linha e somando os produtos,obtemos:Verificando: 1ª linha de A x 2ª linha de C = 1.1+0.1+1.(-1) = 1 + 0 – 1 = 0.1ª linha de A x 3ª linha de C = = 1.-1+0.-1+1.(1) = -1 + 0 +1 1 = 0. Você pode verificar comas outras linhas e colunas.Os teoremas de Laplace e Cauchy podem ser integrados numa única definição: “Se A é umamatriz quadrada de ordem n então A. Adj A = Det A . I n sendo I n a matriz identidade de ordemn”.Note que, para toda matriz quadrada, A. Adj A = Adj A . A ou seja, uma matriz e sua adjuntacomutam.



Álgebra Linear 70


Exemplo 2:

Seja A =

−

−

317132

101. A matriz dos cofatores de A é definda em Cof (A) 3x3 =

−−−

−

−−

3131101191310

.

Aplicando os Teoremas de Laplace ou Cauchy, podemos fazer a verificação se os resultadosencontrados estão corretos.A partir da matriz de cofatores de A, encontramos a matriz Adjunta Clássica de A :

Adj (A)3x3 =

−−

−−−

−

3119110133110

Proposição: Para toda e qualquer matriz quadrada A temos que, A x (Adj A) = (Adj A) x A = (det A) x I.

3 Encontrando a Matriz Inversa por Determinante

imos que, uma matriz quadrada A, de ordem n tem inversa A-1 se (A.A-1)=(A-1.A)=I, sendo Imatriz identidade de ordem n. Decorre da definição algumas proposições. As proposiçõesrelacionadas ao determinante são:

Se A tem inversa, então det A ≠ 0 e det A -1 = 1/det A

Se A é uma matriz inversível, n × n, com n ≥ 2, então: A –1 =Adet

1 . Adj A

Exemplo: Encontre a matriz inversa da Matriz A =

−

−

−

511240432

, pelo conceito aplicado a

determinante e adjunta clássica (Adj A). Resolução:

a) Ache o determinante de A;b) Substitua cada elemento a ij de A por seu cofator para obter a (Cof A);c) Obtenha a transposta da Matriz (Cof A) = (Adj A);d) Divida cada elemento da matriz adjunta por |A|.

Determinante de A → det A = [2.(-4).5]+[3.2.1]+[(-4).0.(-1)]-[(-4).(-4).1]-[2.(-1).2]-[5.0.3] = -40 + 6 + 0 – 16 + 4 – 0 = -46. Como det A ≠ 0 então A tem inversa.

Matriz de cofator de A ou (Cof A) =

−−

−

−

8410514114218

. Verifique por Laplace que a matriz

encontrada está correta.

Transposta da Matriz (Cof A) = (Adj A) =

−

−−−

8544142

101118

V



Álgebra Linear 71


Divisão de cada elemento da matriz adjunta por |A| ou seja A –1 =Adet

1 . Adj A

A–1 =46

1−

−

−−−

8544142

101118 . Portanto A –1 =

−−−

−−

23 / 446 / 523 / 223 / 223 / 723 / 123 / 546 / 1123 / 9

.

Verifique que A. A-1 = I

Resolva a Lista De atividades

Lista de atividades – Determinantes, Matriz Inversa e Adjunta Clássica

1 Dadas as matrizes A =

120111 011 e B =

111013 221 , encontre (a) Adj A; (b) Adj B

2 Determinar a inversa das matrizes: A =

352224312

, B =

345231712

, C =

35712

3 Encontre a inversa A -1 da matriz A =

−

101

210011

e prove que A.A -1 =I

4 Considere a matriz A =312475321

: (a) Encontre o determinante de A; (b) Determine a matriz de cofatores de

A; (c) Encontre a matriz Adjunta de A; (d) Calcule a matriz inversa de A.5. Encontre a matriz inversa pelo processo de inversão (ou triangulação), para:

(a)

−

−

112211111

;(b)

− 111111012

;(c)

−

101111122

;(d)

− 211111121

;(e)

−

−

111111111

;(f)

−−

−

111110111

Respostas: 1) Adj A=

−

−−

−−

022111

111=(Cij)t ; Adj B =

−

−−

−

512613201

; 2) A -1 =

−

−

−−

04 / 12 / 14 / 104 / 18 / 18 / 38 / 1

, B-1

=

−

−−

−−

66 / 566 / 111 / 222 / 122 / 911 / 166 / 1966 / 1711 / 1

, C-1 =

−

−

12573 ; (3) A.A-1=

101210011

− .111212

211

−

−

−−

=100010001

= I; (4) a)

Determinante de A = Det(A) = |A| = -24; 4b) Matriz Cofatores Cof (A) =C=−−

−−

−−

311133339717

; 4c) Transposta de



Álgebra Linear 72

C = Ct =Adj A=−−

−−

−−

339113713317

; 4d) A –1 = A

1.Adj A =

241

− .−−

−−

−−

339113713317

=

−

−

−

8 / 18 / 18 / 324 / 118 / 124 / 7

24 / 138 / 124 / 17 5(a)

−

−−

−

7 / 27 / 37 / 17 / 37 / 17 / 5

7 / 17 / 27 / 3; 5(b)

−−

−

−

2 / 12 / 31111

2 / 12 / 10; 5(c)

−−

−

−

641330541

;5(d)

−

−

−−

132011153

;5(e)

−

−

2 / 102 / 102 / 12 / 1

2 / 12 / 10; 5(f)

−

−

2 / 102 / 12 / 112 / 1

110.Verificação: =−

100010001

1 AA

Bibliografia

ANTON, H.; BUSBY, R.C. Álgebra Linear Contemporânea. Trad. C.I.Doering. Porto Alegre: Bookman.2006.IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel; MURAKAMI, Carlos.Fundamentos de matemática elementar4: seqüencias, matrizes, determinantes, sistemas. 6.ed SP: Ed. Atual, 1993. v.4.KUHLJAMP, Nilo.Matrizes e Sistemas de Equações Lineares . Florianópolis: Ed. UFSC, 2007. LAY, David C.Álgebra linear e suas aplicações. 2.ed Rio de Janeiro: LTC, 1999. 504 p.LEON, Steven J. Álgebra linear com aplicações. 4.ed Rio de janeiro: LTC, 1999. 390 p.LINS, Romulo Campos e GIMENEZ, Joaquim. Perspectivas em Aritmética e Álgebra para oséculo XXI . São Paulo , Papirus, 1997.STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo.Álgebra Linear . RJ: Makron Books, 1987. 581 p.STEINBRUCH, Alfredo.Álgebra linear e geometria analítica . SP: Ed. McGraw-Hill, 1975.518 p.

Apostila AlLinear 2010 U1

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