Aplikasi Matriks Hankel Pada Perhitungan · APLIKASI MATRIKS HANKEL PADA PERHITUNGAN RESULTAN DUA...

15
71 Jurnal Pengajaran MIPA, Vol. 3 No. 1 Juni 2002 APLIKASI MATRIKS HANKEL PADA PERHITUNGAN RESULTAN DUA POLINOMIAL Oleh: R. Rosnawati Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta ABSTRACT Let F be a field, f and g in F[x], with degre f is n and degre g is m. Computing resultant two polynomials with Hankel matrics give a size of matrics less than Sylvester method, that is maximum n or m. Keyword : resultan, Hankel matrics, Sylvester method Pendahuluan Permasalahan dalam kehidupan sehari-hari seperti kisi kerja dapat disusun dalam bentuk model matematika yang pada akhirnya akan menghasilkan persamaan matriks C XB AX (1) dengan matriks A berukuran m m dan matriks B berukuran n n atas field F (Ma, E.C., 1966 : 490). Pentingnya penyelesaiaan persamaan (1) menimbulkan motivasi bagi para peneliti untuk mencari metode penyelesaiannya. Apabila kedua ruas pada persamaan (1) dikalikan dengan ) ( A I adj dan dengan ) ( B I adj , akan diperoleh : 1 n 0 j j j 1 m 0 i i i 1 m 0 j j j i n 0 i i 1 n o j j j m 0 i i i B C A X A b B a X (2) dengan i a adalah koefisien-koefisien dari polinomial A I , j b adalah koefisien-koefisien dari polinomial B I , i A adalah koefisien-koefisien dari matriks polinomial ) ( A I adj , j B adalah koefisien-koefisien dari matriks

Transcript of Aplikasi Matriks Hankel Pada Perhitungan · APLIKASI MATRIKS HANKEL PADA PERHITUNGAN RESULTAN DUA...

Page 1: Aplikasi Matriks Hankel Pada Perhitungan · APLIKASI MATRIKS HANKEL PADA PERHITUNGAN RESULTAN DUA POLINOMIAL Oleh: R. Rosnawati Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan

71 Jurnal Pengajaran MIPA, Vol. 3 No. 1 Juni 2002

APLIKASI MATRIKS HANKEL PADA PERHITUNGAN

RESULTAN DUA POLINOMIAL

Oleh:

R. Rosnawati

Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Negeri Yogyakarta

ABSTRACT

Let F be a field, f and g in F[x], with degre f is n and degre g is m.

Computing resultant two polynomials with Hankel matrics give a size of

matrics less than Sylvester method, that is maximum n or m.

Keyword : resultan, Hankel matrics, Sylvester method

Pendahuluan

Permasalahan dalam kehidupan sehari-hari seperti kisi kerja dapat disusun

dalam bentuk model matematika yang pada akhirnya akan menghasilkan

persamaan matriks

CXBAX (1)

dengan matriks A berukuran mm dan matriks B berukuran nn atas field F

(Ma, E.C., 1966 : 490). Pentingnya penyelesaiaan persamaan (1) menimbulkan

motivasi bagi para peneliti untuk mencari metode penyelesaiannya.

Apabila kedua ruas pada persamaan (1) dikalikan dengan )( AIadj dan

dengan )( BIadj , akan diperoleh :

1n

0j

j

j

1m

0i

i

i

1m

0j

j

j

in

0i

i

1n

oj

j

j

m

0i

i

i BCAXAbBaX (2)

dengan ia adalah koefisien-koefisien dari polinomial AI , jb adalah

koefisien-koefisien dari polinomial BI , iA adalah koefisien-koefisien dari

matriks polinomial )( AIadj , jB adalah koefisien-koefisien dari matriks

Page 2: Aplikasi Matriks Hankel Pada Perhitungan · APLIKASI MATRIKS HANKEL PADA PERHITUNGAN RESULTAN DUA POLINOMIAL Oleh: R. Rosnawati Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan

72 Jurnal Pengajaran MIPA, Vol. 3 No. 1 Juni 2002

polinomial )( BIadj . Selanjutnya dengan menyamakan koefisien-koefisien i

ruas kanan dan ruas kiri dari persamaan (2) diperoleh:

r

k

kkirkjr

r

j

j

r

i

iri CBACXAbBaX000

(3)

untuk 1,,1,0 nmr . Persamaan (3) dapat dinyatakan dalam bentuk matriks

partisi sebagai berikut :

0

,

2

1

0

1

0

1

1

0

nm

m

nm

C

C

C

XA

XA

XB

XB

XB

IBIAIM

(4)

dengan M matriks Sylvester (Hartwig, 1972:104-110).

Matriks Sylvester, M, adalah matriks bujursangkar yang mempunyai ordo

jumlah dari derajat polinomial AI dan polinomial BI dengan elemen-

elemennya berasal dari koefisien-koefisien polinomial AI dan polinomial

BI . Agar persamaan (1) dapat diselesaikan dengan bantuan matriks Sylvester,

determinan matriks Sylvester haruslah tidak nol. Determinan dari matriks Sylvester

ini dikenal dengan resultan dari polinomial AI dan polinomial BI .

Berikut ini akan dibahas mengenai pengertian resultan dua polinomial serta ide dasar pengertian resultan dua polinomial. Definisi resultan pertamakali diberikan

oleh Sylvester yang dikenal dengan metode Sylvester sebagai berikut :

Definisi 1 (Van der Waerden, 1953 : 84)

Misalkan F adalah suatu field, f dan g adalah dua polinomial dalam ][xF

yang berturut-turut berderajat n dan m; dengan 1mn .

0b ,bxaxaxb)x(g

0a,axaxaxa)x(f

m0

2m

2m

1m

1m

m

m

n0

2n

2n

1n

1n

n

n

(5)

Resultan f dan g didefinisikan sebagai berikut :

Page 3: Aplikasi Matriks Hankel Pada Perhitungan · APLIKASI MATRIKS HANKEL PADA PERHITUNGAN RESULTAN DUA POLINOMIAL Oleh: R. Rosnawati Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan

73 Jurnal Pengajaran MIPA, Vol. 3 No. 1 Juni 2002

m1m210

32

m10

m1m210

n210

321

0

nn10

n210

bbbbb000

0bb

bbb0

00bbbbb

aaaa000

aaa

a00

0aaaa0

000aaaa

det)g,f(sRe

matriks yang berukuran (n+m) x (n+m) di atas disebut dengan matriks Sylvester.

Ide dasar pengertian resultan dua polinomial adalah sebagai berikut :

Misalkan F adalah field, f dan g seperti dalam (5), akan diselidiki syarat

perlu dan cukup agar dua polinomial tersebut mempunyai pembagi yang tidak konstan.

Misalkan f dan g seperti dalam (5), terdapat pembagi dari f dan g jika dan

hanya jika terdapat )(xh dan )(xk di dalam ][xF sehingga :

)()()()( xgxkxfxh (6)

dengan derajat 1)( nxk ; derajat 1)( mxh

Misalkan:

01

2m

2m

1m

1m ccxcxc)x(h

01

2n

2n

1n

1n ddxdxd)x(k

Persamaan (6) dapat dinyatakan dalam bentuk sistem persamaan linear berikut :

0000

3122131221

211211

11

dbac

bdbdbdacacac

bdbdacac

bdac

mnmnmnnmnmnm

mnmnnmnm

mnnm

(7)

Page 4: Aplikasi Matriks Hankel Pada Perhitungan · APLIKASI MATRIKS HANKEL PADA PERHITUNGAN RESULTAN DUA POLINOMIAL Oleh: R. Rosnawati Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan

74 Jurnal Pengajaran MIPA, Vol. 3 No. 1 Juni 2002

yang terdiri atas n+m persamaan linear dengan variabel-variabel ci dan dj,

1,,2,1,0 mi , 1,,2,1,0 nj . Polinomial f dan g memiliki pembagi jika

dan hanya jika sistem (7) memiliki penyelesaian yang tidak nol.

Apabila sistem (7) disusun dalam bentuk matriks maka diperoleh :

0

0

0

0

0

0

0000

00

00

00

0000

0

2

1

0

2

1

00

2020

110110

1212

11

d

d

d

c

c

c

ba

bbaa

bbbaaa

bbaa

bbaa

ba

n

n

m

m

mn

mn

mmnn

mmnn

mn

(8)

Menunjukkan bahwa sistem persamaan (8) mempunyai penyelesaian non-trivial

ekuivalen dengan menyatakan determinan matriks bujur sangkar dalam persamaan

(8) adalah nol.

Selanjutnya determinan dari matriks bujursangkar pada persamaan (8) disebut

dengan Resultan dari f dan g, ditulis dengan ),(Re gfs . Menurut Van der

Waerden (1953:83-85), Sylvester mendefinisikan ),(Re gfs dengan mengubah

matriks bujursangkar pada persamaan (8) melalui operasi baris elementer dan

operasi transpose. Dari definisi ),(Re gfs , yang diberikan Sylvester, ukuran

matriks yang berkaitan dengan ),(Re gfs adalah mnmn , sehingga

dalam perhitungan ),(Re gfs sangatlah tidak menyenangkan. Begitu pula apabila

dihitung dengan bantuan komputer, tidak efisien.

Dengan bantuan matriks Hankel ukuran matriks yang digunakan untuk

menghitung resultan dua polinomial menjadi lebih kecil, yaitu mak(n,m) x

mak(n,m).

Dari Definisi 1 dan mengingat koefisien dari polinomial dapat dihubungkan

dengan elemen-elemen dari matriks )(FM nxn , dapat ditunjukkan adanya relasi

)()( FMFP nxnn . Beberapa metode untuk menghitung resultan tersebut

menimbulkan relasi yang memenuhi definisi f-map (Orzech, 1983), yang akan

dijelaskan berikut ini.

Page 5: Aplikasi Matriks Hankel Pada Perhitungan · APLIKASI MATRIKS HANKEL PADA PERHITUNGAN RESULTAN DUA POLINOMIAL Oleh: R. Rosnawati Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan

75 Jurnal Pengajaran MIPA, Vol. 3 No. 1 Juni 2002

f-MAP

Misalkan F adalah suatu field, Pn himpunan polinomial di dalam ][xF dengan

derajat kurang atau sama dengan n-1 dan Mn(F) adalah himpunan matriks berukuran nxn atas F.

Definisi 2 (Griffiths,1981)

Diberikan polinomial f berderajat n di dalam F[x]. Fungsi nn MP : disebut

f-map apabila memenuhi :

1. )1( matriks invertible

2. )1()()( cgcg FcPg n ,,

3. jika f dan g memiliki faktor non-trivial, maka )(g matriks tidak invertible

Berikut ini adalah beberapa sifat dari f-map yang akan digunakan pada

pembuktian selanjutnya.

Misalkan f(x) dan g(x) seperti dalam (5) dengan 1 nm dan f(x) memiliki

akar-akar yang berbeda 1, 2, …, n, serta g(x) memiliki akar-akar yang

berbeda 1, 2 , …,m, yakni :

)x()x)(x(b)x(g

)x()x)(x(a)x(f

m21m

n21n

(9)

Didefinisikan : )()()( 21 mfffF , )()()( 21 ngggG

Hubungan antara F dan G tertuang dalam lemma berikut:

Lemma 3

)( ji

n

m

ij

bG

GaFb m

n

n

m

nm )1(

Bukti :

Dari persamaan (9) diperoleh :

)())(()( 121111 mmbg

)())(()( 222122 mmbg

Page 6: Aplikasi Matriks Hankel Pada Perhitungan · APLIKASI MATRIKS HANKEL PADA PERHITUNGAN RESULTAN DUA POLINOMIAL Oleh: R. Rosnawati Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan

76 Jurnal Pengajaran MIPA, Vol. 3 No. 1 Juni 2002

)())(()( 21 mnnnmn bg , sehingga diperoleh

)( ji

n

m

ij

bG

Secara analog untuk F, diperoleh :

GaFb m

n

n

m

nm )1(

Proposisi 4

Jika f memiliki n akar yang berbeda, maka untuk setiap f-map nn MP : ,

berlaku: Gg 1det)(det = Fa

bm

n

n

mmn11det

Bukti:

Karena merupakan f-map, berarti 1)1( ada. Jika

1 akar f, maka sebarang

polinomial g(x) – g( i) memiliki akar i. Apabila f(x) dan g(x) seperti dalam (5),

maka diperoleh :

i

m

im

m

im

m

m

m

mi bbbxbxbxbgxg 1

1

11

1

1)()(

.

Karena f(x) dan g(x) – g( i) memiliki akar non-trivial maka :

0)()(det igxg ,

0)1()())((det igxg ,

0)1()())(()1()1(det 1 igxg ,

0)())(()1()1(det 1

ni Igxg ,

0)())(()1(det)1(det 1

ni Igxg ,

Karena ,0)1(det diperoleh :

0)())(()1(det 1

ni Igxg , dan

0)(det ni IgW , dengan ))(()1( 1 xgW .

Dari persamaan di atas g( i) merupakan nilai eigen W.

Page 7: Aplikasi Matriks Hankel Pada Perhitungan · APLIKASI MATRIKS HANKEL PADA PERHITUNGAN RESULTAN DUA POLINOMIAL Oleh: R. Rosnawati Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan

77 Jurnal Pengajaran MIPA, Vol. 3 No. 1 Juni 2002

Karena diasumsikan terdapat n akar f yang berbeda berarti terdapat g(

i), i= 1, 2, …, n, yang merupakan nilai eigen W, sehingga nilai determinan W adalah :

)()()()det( 21 ngggW .

Di sisi lain, ))(()1( 1 xgW , sehingga nilai determinan W adalah :

)()1(detdet 1 gW

= )(det)1(det 1 g , sehingga

1)1(det

det)(det

Wg

= )()()()1(detdet)1(det 21 ngggW

= G)1(det .

Dengan Lemma 3 diperoleh :

gdet = Fa

bm

n

n

mmn11det

Kaitan antara akar-akar polinomial dengan resultan tertuang dalam teorema

berikut, dimana pembuktian secara lengkap terdapat dalam Prasolov (1994:188-

189).

Teorema 5

Diberikan polinomial f dan g seperti pada (9), yang memiliki akar-akar

berturut-turut i dan j, maka Res(f,g) = j

n

mi

m

n fbga

Matriks Hankel

Pada bagian ini akan dibahas mengenai pengertian matriks Hankel dan teorema

yang berkenaan dengan matriks Hankel, yang akan digunakan pada pembuktian

selanjutnya, serta kaitan antara matriks Hankel dengan f-map

Page 8: Aplikasi Matriks Hankel Pada Perhitungan · APLIKASI MATRIKS HANKEL PADA PERHITUNGAN RESULTAN DUA POLINOMIAL Oleh: R. Rosnawati Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan

78 Jurnal Pengajaran MIPA, Vol. 3 No. 1 Juni 2002

Definisi 6

Misalkan ,,,, 3210 ssss , barisan bilangan. Matriks

432

321

210

sss

sss

sss

yang berkoresponden dengan Hankel form disebut matriks Hankel

Teorema 7

Untuk setiap sq, q=r, r+1, r+2, … terdapat 1, 2 , …, r, sehingga

r

g

gqgq ss1

jika dan hanya jika matriks tak berhingga [H] 0kis

memiliki rank berhingga r.

Berikut akan dibahas hubungan antara matriks Hankel dengan fungsi rasional.

Misalkan F adalah suatu field, f dan g adalah dua polinomial dalam ][xF

yang berturut-turut berderajat n dan m; dengan m<n, dan 1mn .

0

2

2

1

1

0

2

2

1

1

)(

0,)(

bxaxaxbxg

aaxaxaxaxfm

m

m

m

m

m

n

n

n

n

n

n

n

(10)

Diberikan )(

)()(

xf

xgxR . Apabila R(x) dinyatakan sebagai polinomial pangkat

negatif dalam x maka diperoleh :

3

2

2

10)(x

s

x

s

x

sxR .

Dengan mengalikan kedua sisi dengan f(x) diperoleh hubungan sebagai berikut

0

2

2

1

13

2

2

100

1

1 bxbxbx

s

x

s

x

saxaxa n

n

n

n

n

n

n

n

Dalam sistem persamaan dapat dinyatakan sebagai berikut :

Page 9: Aplikasi Matriks Hankel Pada Perhitungan · APLIKASI MATRIKS HANKEL PADA PERHITUNGAN RESULTAN DUA POLINOMIAL Oleh: R. Rosnawati Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan

79 Jurnal Pengajaran MIPA, Vol. 3 No. 1 Juni 2002

09112211

302112

2011

10

bsasasasa

bsasasa

bsasa

bsa

nnnn

nnnn

nnn

nn

untuk setiap nq

001111 nqnqqnqn sasasasa

Lebih jauh untuk setiap nq

nqnqqq ssss 2211 , dengan n

ii

a

a

atau

r

g

gqgq ss1

Apabila barisan ,,,, 3210 ssss dibentuk matriks Hankel, maka berdasarkan

Teorema 1 matriks Hankel tak berhingga 0kisH memiliki rank berhingga

n yaitu :

[H] =

2211

1432

321

1210

nnnn

n

n

n

ssss

ssss

ssss

ssss

Diketahui f dan g seperti dalam (9)

3

2

2

10

)(

)(

x

s

x

s

x

s

xf

xg

Didefinisikan pemetaan nnf MP :(.) dengan definisi :

Page 10: Aplikasi Matriks Hankel Pada Perhitungan · APLIKASI MATRIKS HANKEL PADA PERHITUNGAN RESULTAN DUA POLINOMIAL Oleh: R. Rosnawati Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan

80 Jurnal Pengajaran MIPA, Vol. 3 No. 1 Juni 2002

2211

1432

321

1210

)(

nnnn

n

n

n

f

ssss

ssss

ssss

ssss

g

Akan ditunjukkan f memenuhi definisi f-map sebagai berikut

Bukti :

1.

3

2

2

10

01

1

1

1

)(

1

x

r

x

r

x

r

axaxaxaxf n

n

n

n

*

0

0

00

1

2

1

2

1

1

1

1

n

n

n

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

f

01

1))1(det( 2

)1(

n

n

fa

nn

2.

)()(

)(

)(

)(

xf

c

xf

xg

xf

cxg

=

)(

1

)(

)(

xfc

xf

xg

=

3

2

2

10

3

2

2

10

x

r

x

r

x

rc

x

s

x

s

x

s

Jadi 1fff cgcg

3. 3

2

2

10

)(

)(

x

s

x

s

x

s

xf

xg

Page 11: Aplikasi Matriks Hankel Pada Perhitungan · APLIKASI MATRIKS HANKEL PADA PERHITUNGAN RESULTAN DUA POLINOMIAL Oleh: R. Rosnawati Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan

81 Jurnal Pengajaran MIPA, Vol. 3 No. 1 Juni 2002

2211

1432

321

1210

)(

nnnn

n

n

n

f

ssss

ssss

ssss

ssss

g

Berdasarkan Teorema 1 rank gf adalah n

Diketahui f dan g memiliki akar my , akan ditunjukkan rank gf adalah

1 n

))(())(()( 121 mmm yxyxyxyxbxg

))(())(()( 121 mnn yxxxxxxxaxf

))(())((

))(())((

)(

)(

121

121

mnn

mmm

yxxxxxxxa

yxyxyxyxb

xf

xg

diperoleh :

)())((

)())((

)(

)(

121

121

nn

mm

xxxxxxa

yxyxyxb

xf

xg

Berdasar Teorema 1 rank gf adalah 1 n , yang berarti banyaknya baris

(kolom) yang bebas linier tidak lebih dari n-1, sehingga nilai gfdet

adalah 0. Dengan kata lain gf adalah matriks tidak invertible.

Resultan Dua Polinomial Dan Matriks Hankel

Matriks Hankel [H] adalah matriks representasi dari pemetaan gf yang

memenuhi definisi f-map. Dengan melihat definisi dan sifat dari f-map kita dapat memanfaatkan matriks Hankel ini untuk menghitung resultan dua polinomial.

Hubungan antara resultan dua polinomial dengan matriks Hankel tertuang dalam

proposisi berikut

Teorema 8 )(det1,Re 2

)1(

gagfs f

mn

n

nn

Bukti :

Page 12: Aplikasi Matriks Hankel Pada Perhitungan · APLIKASI MATRIKS HANKEL PADA PERHITUNGAN RESULTAN DUA POLINOMIAL Oleh: R. Rosnawati Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan

82 Jurnal Pengajaran MIPA, Vol. 3 No. 1 Juni 2002

Karena gf merupakan f-map, berarti proposisi 4 berlaku, serta dengan

memanfaatkan Teorema 5 maka diperoleh :

Gg ff )1(det)(det

Ga

g

n

n

f

nn

11)(det 2

)1(

= m

n

n

n a

gfs

a

nn ),(Re11 2

)1(

= gfsa

mn

n

nn

,Re1

1 2

)1(

= ),(Re1 )(2

)1(

gfsa mn

n

nn

)(det1,Re 2

)1(

gagfs f

mn

n

nn

Contoh 1 : (Brown, 1996)

Diketahui F=R, 252)( 23 xxxxf dan 23)( 2 xxxg . Akan dicari

resultan polinomial f(x) dan g(x) sebagai berikut.

(a) Dengan menggunakan definisi resultan atau metode Sylvester :

23100

02310

00231

21520

02152

det,Re gfs

0,Re gfs

(b) Dengan menggunakan metode matriks Hankel :

5

4

4

3

3

2

2

10

23

2

252

23

x

s

x

s

x

s

x

s

x

s

xxx

xx

xf

xg

Page 13: Aplikasi Matriks Hankel Pada Perhitungan · APLIKASI MATRIKS HANKEL PADA PERHITUNGAN RESULTAN DUA POLINOMIAL Oleh: R. Rosnawati Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan

83 Jurnal Pengajaran MIPA, Vol. 3 No. 1 Juni 2002

0252

0252

252

352

12

1234

0123

012

01

0

ssss

ssss

sss

ss

s

Diperoleh :

32

1

16

1

8

1

4

1

2

143210

sssss

321

161

81

161

81

41

81

41

21

Hgf

0det H

HHgfs mnnn

det2det21),(Re 52

)1(

= 0025

Contoh 2 :

Diketahui F=R, 4323)( 234 xxxxxf dan 122)( 23 xxxxg .

Akan dicari resultan polinomial f(x) dan g(x) sebagai berikut :

(a) Dengan menggunakan definisi resultan atau metode Sylvester :

1221000

0122100

0012210

0001221

4323100

0432310

0043231

det,Re gfs = -13

(b) Dengan menggunakan metode matriks Hankel

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

10

234

23

86765

3452

x

s

x

s

x

s

x

s

x

s

x

s

x

s

xxxx

xxx

xf

xg

Diperoleh :

Page 14: Aplikasi Matriks Hankel Pada Perhitungan · APLIKASI MATRIKS HANKEL PADA PERHITUNGAN RESULTAN DUA POLINOMIAL Oleh: R. Rosnawati Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan

84 Jurnal Pengajaran MIPA, Vol. 3 No. 1 Juni 2002

04323

04323

04323

1323

223

23

1

23456

12345

01234

0123

012

01

0

sssss

sssss

sssss

ssss

sss

ss

s

s0=1 s1=1 s2=3 s3=3 s4=4 s5=1 s6=-2

Diperoleh matriks :

2143

1433

4331

3311

H

13det H

HHgfs mnnn

detdet11),(Re 2

)1(

= -13

Kesimpulan

Ukuran matrik yang digunakan dalam perhitungan resultan dua polinomial dengan menggunakan matriks Hankel lebih kecil dibanding dengan metode

Sylvester yaitu maksimum dari derajat polinomial f dan g, sehingga akan

mempermudah dalam proses perhitungannya. Apabila [H] adalah matriks Hankel

yang berkenaan dengan fungsi rasional f

g maka

Hdeta1)g,f(sRe mn

n2

)1n(n

.

Page 15: Aplikasi Matriks Hankel Pada Perhitungan · APLIKASI MATRIKS HANKEL PADA PERHITUNGAN RESULTAN DUA POLINOMIAL Oleh: R. Rosnawati Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan

85 Jurnal Pengajaran MIPA, Vol. 3 No. 1 Juni 2002

Daftar Pustaka

Brown, W.C. (1993) Matrices Over Commutative Rings, Marcel Dekker Inc, New

York

Griffiths, H.B. (1981) Cayley’s Version of Resultan of Two Polynomials, Amer.

Math. Monthy, Vol 88, pp 328-338.

Hartwig, R.E. (1972) The Resultans and The Solutions AX-XB = C, SIAM. J. Appl.

Math, 22:538-544

Ma, E.C. (1966) A finite Series Solutions of Matrix Equation AX_XB = C. SIAM.

J. Appl. Math, 28 : 490-495.

Orzech, G. (1994) Several Version of Resultant of Two Polynomial, Linear and Multilinear Algebra, Vol 16, pp 275-282.

Prasolov, V.V. (1994) Problem and Theorems in Linear Algebra. American

Mathematical Society, Provindence, R.I.

Van der Waerden, B.L. (1953) Modern Algebra, Vol 1, Prederikck Ungar, New York.