Aplicații ale funcției liniare în viața cotidiană

Applications of linear function in everyday life

Jean Monnet High School - Bucharest

9C Grade

eTwinning Project

2017-2018

1. Scara

Pe o scară cu lungimea l=100 m, un om urcă

cu viteza v1 = 1 m/s iar un altul cu v2 = 0,7

m/s.

a) Descrieți funcția distanță – dependentă de

timp.

b) Să se afle timpul necesar pentru urcarea a 100

m de catre fiecare dintre cei doi oameni.

Soluție:

𝑑(𝑡) = 𝑣 ∙ 𝑡 ⟹ 𝑓(𝑡) = 𝑡, 𝑔(𝑡) = 0.7𝑡, unde

𝑓, 𝑔: [0; +∞) → [0; +∞)

Timpul de urcare al fiecarei persoane este t = l / v,

unde v este viteza si l este distanta (lungimea).

Obținem:

1. Ladder

On a ladder with length l=100 m, a man go

up with the speed of v1 = 1 m/s and

another one with v2 = 0,7 m/s .

a) Describe the distance function as a time

dependent.

b) To be found the time needed for going up

100 m by each of the two persons.

Solution:

𝑑(𝑡) = 𝑣 ∙ 𝑡 ⟹ 𝑓(𝑡) = 𝑡, 𝑔(𝑡) = 0.7𝑡, where

𝑓, 𝑔: [0; +∞) → [0; +∞)

The time needed by each person is t = l00 / v,

where v is the speed and l mm/s is the distance.

We obtain:

𝑡1 =𝑓(𝑡)

𝑣1 ⟹ 𝑡1 =

100

1 𝑠 = 𝟏𝟎𝟎 𝒔

𝑡2 =𝑔(𝑡)

𝑣2 ⟹ 𝑡2 =

100

0.7 𝑠 ≈ 𝟏𝟒𝟐. 𝟖𝟓 𝒔

Luca P.

2. Șoarecele și Pisica

O pisică aleargă cu viteza de v1=5m/s, încercând

să prindă un șoarece, mișcarea ei fiind

reprezentată de funcția 𝑓: 𝑅+ → 𝑅, și legea de

corespondență 𝑓(𝑡) = 𝑣𝑡, știind că șoarecele se

mișcă cu viteza de 𝑣2 = 3𝑚/𝑠 și se află la d=10 m

în fața pisicii și că mișcarea sa este exprimată prin

funcția 𝑔: 𝑅+ → 𝑅 și legea de corespondență

𝑔(𝑡) = 𝑣𝑡 + 𝑑0 . Calculați:

a) După cât timp prinde pisica prinde șoarecele?

b) Ce distanță va parcuge pisica până prinde

șoarecele?

c) În cât timp va parcuge șoarecele 19 de metri?

2. The Mouse and the Cat

A cat runs at a speed of v1 = 5m / s, trying to

catch a mouse, her movement being

represented by the function 𝑓: 𝑅+ → 𝑅, and the

law of correspondence f(t) = vt, knowing that

the mouse moves at speed 𝑣2 = 3𝑚/𝑠 and is at

d = 10 m in front of cat and that its movement

is expressed by the function 𝑔: 𝑅+ → 𝑅 and the

correspondence law 𝑔(𝑡) = 𝑣𝑡 + 𝑑0.

Calculate:

a) How long does the cat catch the mouse?

b) What distance will the cat go before

catching the mouse?

c) How long does the mouse go 19 meters? Soluție/Solution:

a) 𝑓: 𝑅+ → 𝑅, 𝑓(𝑡) = 5𝑡, 𝑔: 𝑅+ → 𝑅, 𝑔(𝑡) = 3𝑡 + 10 𝑓(𝑡) = 𝑔(𝑡) ⟹ 5𝑡 = 3𝑡 + 10 ⟹ 2𝑡 = 10 ⟹ 𝒕 = 𝟓𝒔

b) 𝑓(𝑡) = 5𝑡 𝑡 = 5𝑠 ⟹ 𝑓(5) = 25 𝑚 ⟹ 𝒅 = 𝟐𝟓𝒎 c) 𝑔(𝑡) = 30𝑚

𝑔(𝑡) = 3𝑡 + 10 ⟹ 19 = 3𝑡 + 10 ⟹ 9 = 3𝑡 ⟹ 𝒕 = 𝟑 𝒔

Sofia M .

3. Vaporul și insulele

Un vapor trebuie ajungă de pe o insulă pe alta

în t=3,5 ore. Acesta se deplasează cu viteza

v=36km/h și datorită unei furtunii ocolește

d0=5km. Știind că miscarea vaporului

reprezinta o funcție 𝑓: 𝑅+ → 𝑅, cu legea de

corespondență 𝑓(𝑣) = 𝑣𝑡 + 𝑑0. Calculați:

a) Ce distanță este între insule?

b) Ce distanță ar fi între insule dacă vaporul ar fi

nevoit să meargă cu 47km/h?

c) Ce viteză minimă ar putea avea vaporul dacă

între insule ar fi o distanță de 100km?

3. The ship & the islands

A ship must arrive from one island to

another in t = 3.5 hours. It travels at speeds

of v = 36km / h and owing to a storm

outages d0 = 5km. Knowing that the

movement of the ship represents a function

𝑓: 𝑅+ → 𝑅, with the correspondence law

𝑓(𝑣) = 𝑣𝑡 + 𝑑0. Calculate:

a) What is the distance between islands?

b) What distance would be between the islands

if the boat would have to travel at 47km / h?

c) What minimum speed could the ship have if

the islands were 100km away?

Soluție/Solution:

a) 𝑓: 𝑅+ → 𝑅, 𝑓(𝑣) = 3,5𝑣 + 5

𝑣 = 36𝑘𝑚

ℎ⟹ 𝑓(36) = 36 ∙ 3,5 + 5 = 126 + 5 = 131 ⟹ 𝒇(𝟑𝟔) = 𝟏𝟑𝟏

b) 𝑣 = 47𝑘𝑚/ℎ 𝑓(47) = 47 ∙ 3,5 + 5 = 164,5 + 5 ⟹ 𝒇(𝟒𝟕) = 𝟏𝟔𝟗, 𝟓

c) 𝑓(𝑣) = 100 ⟹ 𝑓(𝑣) = 3,5𝑣 + 5 ⟹ 100 = 3,5𝑣 + 5 ⟹ 95 = 3,5v ⟹

𝑣 =950

35=

190

7= 27,142 ⟹ 𝒗 = 𝟐𝟕, 𝟏𝟒𝟐𝒌𝒎/𝒉

Sofia M.

4. Volumul unui rezervor

Un rezervor are capacitatea de 1000 de l.

Robinetul are debitul de 320 l/h

a) Descrieți funcția care exprimă dependența

volumului de timp

b) Reprezentați grafic funcția.

c) Daca robinetul curge timp de 2 ore, câți litri de

apă se vor afla in rezervor?

d) In cat timp se umple rezervorul?

Soluție:

a) 𝑉(𝑡) = 𝐷 ∙ 𝑡, V-volum, D-debit (constant

420l/h), t-timp

Definim funcția: 𝑽: 𝑹+ → 𝑹+, 𝑽(𝒕) = 𝟑𝟐𝟎𝒕

4. The volume of the tank

A tank has 1.000L. The water tap has a

debit of 320 L/h

a) Describe the function that expresses the

dependence between time and volume

b) Represent the function graphically.

c) If the tap is flowing for 2h, how many liters

of water will be in the tank?

d) How long is the tank filling?

Solution:

a) 𝑉(𝑡) = 𝐷 ∙ 𝑡, V-volume, D-flow (constant

420l/h), t-time

Let define the function:

𝑽: 𝑹+ → 𝑹+, 𝑽(𝒕) = 𝟑𝟐𝟎𝒕

b)

c) V(2)=640 (liters)

d) V(t) = 1000 ⟹ 320𝑡 = 1000 ⟹ 𝒕 = 𝟑. 𝟏𝟐𝟓

Mario N.

5. Cu Taxi-ul

Un taximetrist are tariful de 2 lei pe km plus 4

lei îmbarcarea. Taxiul se deplasează cu viteza

de 60 de km/h.

a) In cât timp parcurge taxiul 12 km și care este

prețul ?

b) Daca prețul este de 20 €, care este distanța și

in cât timp o parcurge ?

Soluție:

Definim funcțiile distanță, respectiv preț:

𝑑: 𝑅+ → 𝑅+, d(t)=60t

𝑝: 𝑅+ → 𝑅+, 𝑝(𝑥) = 2𝑥 + 4

5. By Taxi

A taxi driver is charging 2 lei per km and 4

lei for the boarding. He is traveling with 60

km/h

a) How long does he take to drive 12 km and

what is the price?

b) If the price is 20 €, how much did he drive

and how much did it take?

Solution:

Let define the functions distance and price:

𝑑: 𝑅+ → 𝑅+, d(t)=60t

𝑝: 𝑅+ → 𝑅+, 𝑝(𝑥) = 2𝑥 + 4

a) d(t)=12⟹ 60𝑡 = 12 ⟹ 𝑡 =12

60=

1

5= 0.2 (ℎ) ⟹ 𝒕 = 𝟏𝟐 𝒎𝒊𝒏

𝑝(12) = 2 ∙ 12 + 4 = 28 ⟹ 𝒑(𝟏𝟐) = 𝟐𝟖 €

𝒑(𝟏𝟐) = 𝟐𝟎 ⟹ 2𝑥 + 4 = 20 ⟹ 2𝑥 = 16 ⟹ 𝒙 = 𝟖 𝒌𝒎

d(t)=8 ⟹ 60𝑡 = 8 ⟹ 𝑡 =8

60=

2

15 (ℎ) ⟹ 𝑡 =

2

15∙ 60 𝑚𝑖𝑛 = 8 ⟹ 𝒕 = 𝟖 𝒎𝒊𝒏.

Mario N.

6. Închirierea unui apartament

Închirierea unui apartament are ca chirie de

început 250 € iar după aceea plata lunară este de

200€.

a) Determină funcția care exprimă variația

prețului în funcție de lună.

b) Câți bani vor fi plătiți în total după un an?

c) Dacă chiria se ieftinește cu 10%, care este

funcția?

Soluție:

a) Funcția care descrie costurile este:

𝒇: 𝑹+ → 𝑹+, 𝒇(𝒙) = 𝟐𝟎𝟎𝒙 + 𝟐𝟓𝟎 10

100∙ 200 = 20 (€) ⟹ plata lunara este:

200€ − 10€ = 180€

b) 𝑓(1) + 𝑓(2) + ⋯ + 𝑓(12) =

(200 + 250) + (2 ∙ 200 + 250) + ⋯+ (12 ∙ 200 + 250) == 200(1 + 2 + ⋯ + 12) + 12

∙ 250 =200 ∙ 12 ∙ 13

2+ 3000

= 15600 + 3000 = 𝟏𝟖𝟔𝟎𝟎 c) Funcția care descrie costurile, după ieftinire:

𝑓: 𝑅+ → 𝑅+, 𝑓(𝑥) = 190𝑥 + 250

6. Renting an apartment

Renting an apartment has a start up lease of

250€ and after that, the monthly payment is

200€.

a) Determine the function that express the

price variation per month.

b) How much money will be totally paid in

one year?

c) If the lease runs down 10%, what value

does the function take?

Solution:

a) The function that describes the monthly

cost is 𝒇: 𝑹+ → 𝑹+, 𝒇(𝒙) = 𝟐𝟎𝟎𝒙 + 𝟐𝟓𝟎

The price increases with the amount of 10

100∙ 200 = 20 (€) ⟹ monthly payment is ∶

200€ − 10€ = 180€

b) 𝑆 = 𝑓(1) + 𝑓(2) + ⋯ + 𝑓(12) = (200 + 250) + (2 ∙ 200 + 250) + ⋯ +(12 ∙ 200 + 250)

= 200(1 + 2 + ⋯ + 12) + 12 ∙ 250

=200 ∙ 12 ∙ 13

2+ 3000 = 15600 + 3000

⟹ 𝑺 = 𝟏𝟖𝟔𝟎𝟎 c) The function that describes the monthly

cost, after cheapening

𝑓: 𝑅+ → 𝑅+, 𝑓(𝑥) = 190𝑥 + 250

Kais A.

7. Companii de telefonie mobilă

La două companii diferite de telefonie mobilă

s-a anunțat plata finala pentru abonament. La

prima este vorba de 10€/luna și cuprinde 1000

de minute; orice minut în plus se taxează cu 30

cenți . La cea de-a doua se plătesc 5 €/ luna cu

200 minute pe această rețea incluse iar

convorbirile se taxează cu 10 cenți.

a) Care dintre aceste companii dau cea mai

rentabilă ofertă, pentru nevoile unui om ce

lucrează în domeniul afacerilor?

b) Definiți funcțiile ce descriu dependența

costului de numărul de minute

7. Mobile phone companies

Two different mobile phone companies,

announced the final payment for the

subscription. The first one’s is about 10€

per month and it has 1000 minutes and

every overtaken minute means 30 cents

more to pay. The second one’s should be

paid 5€ per month for 200 included

minutes and talking is billed with 0,10

Euro.

a) Which of these companies have the most

efficient offer, for a needs of a person that

works in in business area?

b) Define the functions that express the cost

variation per number of minutes.

Soluție:

a) Funcția care descrie costul abonamentului

lunar este:

𝒇: 𝑹+ → 𝑹+, 𝒇(𝒙) = {𝟏𝟎, 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏𝟎𝟎𝟎

𝟎. 𝟑𝒙 + 𝟏𝟎, 𝒙 > 𝟏𝟎𝟎𝟎

𝒈: 𝑹+ → 𝑹+, 𝒇(𝒙) = {𝟓, 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐𝟎𝟎

𝟎. 𝟏𝒙 + 𝟓, 𝒙 > 𝟐𝟎𝟎

I. Plata lunară pentru un număr de

convorbiri cuprins între 1000 și 10000

este:

𝟏𝟎𝟎𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 ⟹ 300 ≤ 0.3𝑥 ≤ 3000⟹ 310 ≤ 0.3𝑥 + 10 ≤ 3010⟹ 𝑓(𝑥) ∈ [310; 3010]

II. Plata lunară pentru un număr de

convorbiri cuprins între 1000 și 10000

este:

𝟏𝟎𝟎𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 ⟹ 100 ≤ 0.1𝑥 ≤ 1000⟹ 105 ≤ 0.1𝑥 + 5 ≤ 1005⟹ 𝑔(𝑥) ∈ [105; 1005]

The second companies have the most efficient

offer anyway.

Solution:

Alexandra H.

8. Două mobile

Mișcările rectilinii a doua mobile sunt descrise

de legile de mișcare 𝑥1 = 3𝑡 și 𝑥2 = 10 − 2𝑡,

unde 𝑥 este exprimat în metri și 𝑡 in secunde.

Mobilele pornesc simultan la momentul

𝑡0 = 0𝑠. Să se determine:

a. Reprezentarea grafică a coordonatelor (𝑥, 𝑡)

legilor de mișcare ale mobilelor;

b. Timpul după care se întâlnesc mobilele și locul

unde se întâlnesc;

Soluție:

a. Pentru a reprezenta grafic legile de mișcare

alegem 2 valori distincte pentru timpul t:

- pentru mobilul 1: 𝑡0 = 0 ⇒ 𝑥01 = 0 și când 𝑡1 = 1𝑠 ⇒ 𝑥1 = 3𝑠;

𝒇: 𝑹+ → 𝑹+, 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙

- pentru mobilul 2: 𝑡0 = 0 ⇒ 𝑥02 =10𝑚 și cand 𝑡2 = 5𝑠 ⇒ 𝑥2 = 0𝑚;

𝒈: 𝑹+ → 𝑹+, 𝒇(𝒙) = 𝟏𝟎 − 𝟐𝒙

b. Pentru ca mobilele să se întalneasca trebuie ca

cele două coordonate să fie egale, astfel că

𝑥1(𝑡) = 𝑥2(𝑡)⇒3𝑡 = 10 − 2𝑡 ⇒ 𝒕 = 𝟐𝒔.

Mobilele se întâlnesc dupa 2 secunde, când

coordonata timpului este 𝑥1 = 6𝑚

8. Two mobiles

The rectile movement of two mobiles are

described by the motions laws 𝑥1 = 3𝑡 and

𝑥2 = 10 − 2𝑡 where 𝑥 is expressed in

meters and 𝑡 in seconds. The mobiles start

at the same time 𝑡0 = 0𝑠. Find out:

a. The graphical representation of the

coordinates (𝑥, 𝑡) of the movable laws of

the mobile;

b. The time and the place where the two

mobiles meet;

Solution:

To represent the motion laws we

choose 2 distinct values for time t:

- for mobile 1: 𝑡0 = 0 ⇒ 𝑥01 = 0 and when 𝑡1 = 1𝑠 ⇒ 𝑥1 =3𝑠;

- for mobile 2: : 𝑡0 = 0 ⇒ 𝑥02 =10𝑚 and when 𝑡2 = 5𝑠 ⇒ 𝑥2 = 0𝑚;

For the mobiles to meet, the two

coordinates must be equal, 𝑥1(𝑡) =𝑥2(𝑡) ⇒

3𝑡 = 10 − 2𝑡 ⇒ 𝒕 = 𝟐𝒔;

Mobiles meet after 2 s, when the time

coordinate 𝑥1 = 6𝑚

Sofia S.

Math, Art and Real Life with GeoGebra

eTwinning Project

2017-2018