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IISSSSNN 11994400--22116633

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Dr. Federico Zertuche Luis fzertuche@prodigy.net.mx (autor corresponsal) Ing. Adriana del Rocío Valencia Mireles val_adriana@hotmail.com Ing. Ruth Berenice Rodríguez Rubio berenisse21@hotmail.com

Instituto Tecnológico de Saltillo Blvd. Venustiano Carranza 2400

Departamento de Posgrado de Ingeniería Industrial Saltillo, Coahuila, México

Resumen—En la actualidad el grado de competitividad industrial es muy alto, por lo que la solución de las

problemáticas a las que se enfrenta la industria requiere del conocimiento y dominio de diversas técnicas y

métodos estadísticos para realizar análisis, tanto univariados como multivariados, buscando lograr la mejora

continua de un proceso. Actualmente son más conocidas las técnicas univariadas, las cuales son aplicadas en

problemáticas donde se contempla una sola respuesta como salida. Sin embargo, la falta de conocimiento de

herramientas estadísticas multivariadas ha llevado a utilizar métodos de análisis inapropiados en

problemáticas con múltiples respuestas, incrementando consigo el error de definir el efecto de la variable o

variables cuando se realiza un diseño de experimento con múltiples respuestas y ocasionando pérdidas tanto

para el cliente como para la empresa que proporciona el producto y/o servicio. El Análisis de Varianza

Multivariado (MANOVA) es una de estas técnicas y mediante el desarrollo de un Diseño de Experimentos

permite evaluar con un mínimo error estadístico los efectos que producen los factores operativos sobre las

múltiples respuestas en forma conjunta, siendo la finalidad de este trabajo aplicar un modelo que optimice

significativamente dicho análisis.

Palabras claves— Diseño de Experimentos, Análisis de Varianza Multivariado, Análisis de múltiples

respuestas.

Introducción El análisis multivariado se refiere a todos los métodos estadísticos que analizan simultáneamente dos o más variables

de respuesta de un proceso o sistema sometido a investigación (Johnson y Wichern 2007). Un análisis multivariado

requiere que todas las respuestas a evaluar estén correlacionadas entre sí para poder analizar el efecto de las variables

de entrada del proceso, conocidos como factores operativos, sobre las respuestas en forma conjunta, al igual que

también requiere que los datos sean aleatorios e independientes y que puedan ser modelados por una distribución

normal multivariada (Ho 2006). Hacer uso del análisis multivariado trae consigo importantes ventajas sobre los

análisis univariados, tales como minimizar el error estadístico de predicción, considerar las correlaciones entre las

respuestas e identificar diferencias importantes entre los grupos o niveles de tratamiento de cada uno de los factores

operativos (Stevens 2002).

En los últimos años las técnicas multivariadas empezaron a ser ampliamente aplicadas en diferentes campos,

tales como ingeniería, medicina, biología, administración, y centros de investigación, entre otros, gracias al impacto

de la revolución informática facilitando los recursos necesarios para resolver un problema de cualquier dimensión,

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(Rencher 2002). Una de las temáticas multivariadas, y sobre la cual hace referencia el presente trabajo es el Análisis

de Varianza Multivariado (MANOVA, por sus siglas en inglés), cuyos estudios se remontan a los años 30’s y 40’s,

pero su aplicación inició en los años 80’s en la ciencias sociales principalmente (Bray y Maxwell 1985).

El MANOVA es una extensión del Análisis de Varianza Univariado (ANOVA, por sus siglas en inglés) al

campo multivariado. Uno de sus objetivos es demostrar la existencia de diferencias entre grupos, que afecten

significativamente el rendimiento del proceso considerando dos o más variables de respuesta correlacionadas entre

sí y su análisis consiste en medir la varianza dentro y entre grupos con respecto a las salidas, con el fin de determinar

la varianza atribuible a los diferentes factores operativos mediante la obtención de un estadístico , con el cual se

aprueba o rechaza la hipótesis de diferencia o hipótesis alterna, demostrando así, si existen o no existen efectos

importantes de los factores sobre la eficiencia total de las diversas variables de respuesta (Anderson et al. 1999).

El MANOVA tiene dos objetivos principales,. El primero es reducir el error estadístico de predicción al hacer

un solo análisis en lugar de múltiples pruebas individuales que incrementen el error tipo I o error alfa, que en un caso

industrial es conocido también como error del productor al rechazar producción buena. El segundo es evaluar el

efecto de los factores operativos sobre las respuestas con el fin de proponer un modelo que mejore los resultados del

proceso y que estos resultados sean sostenibles a través del tiempo (Carey 1998).

El MANOVA se realiza mediante el desarrollo de un Diseño de Experimentos (DOE, por sus siglas en inglés),

el cual es una metodología sistemática para investigar un sistema o proceso mediante un conjunto de pruebas

estructuradas que son diseñadas para planear cambios en los factores operativos y posteriormente evaluar los efectos

de estos cambios sobre las respuestas de salida (Jiju 2003). El DOE puede llevarse a cabo bajo el concepto de diseño

factorial completo que consiste en analizar todos los efectos principales e interacciones entre factores al evaluar los

resultados de todas las posibles pruebas experimentales, es utilizado cuando se tienen pocos factores y se cuenta con

suficientes recursos para realizar el experimento (Saderra 1993). De lo contrario, el DOE se debe llevar a cabo bajo

el concepto de diseño factorial fraccionado que consiste en analizar los principales efectos e interacciones en un

reducido número de pruebas experimentales (González y Ruiz 1994).

Una vez que se lleva a cabo el diseño experimental, se realiza el Análisis de Varianza Multivariado y si las

pruebas estadísticas indican que existen diferencias entre los grupos o niveles de tratamiento, se deben analizar las

gráficas de efectos principales e interacciones entre los factores del diseño experimental para determinar los niveles

óptimos de estos factores operativos que optimicen los resultados del proceso. En el presente artículo mostramos la

resolución de una problemática presente en la industria de la fundición automotriz correspondiente al proceso de

fabricación de blocks y cabezas para motores diesel en donde se involucran tres importantes tipos de rechazo en el

sistema de arenas del área de moldeo y mediante el desarrollo de un Diseño de Experimentos utilizando Análisis de

Varianza Multivariado se pretendió determinar los efectos de los factores operativos sobre las respuestas en conjunto

para proponer un modelo de mejora que reduzca significativamente el rechazo cumpliendo con los requerimientos

del cliente y con los objetivos de la organización.

Metodología El desarrollo de un Diseño de Experimentos utilizando Análisis de Varianza Multivariado debe llevarse a cabo a

través de una metodología adecuada que permita dar un apropiado seguimiento al problema desde su definición hasta

llegar a una solución óptima en el menor tiempo posible y con los menores costos. En la figura 1 mostramos una

metodología propuesta, la cual está basada en la estrategia DMAIC1 de Lean Seis Sigma, gracias al impacto positivo

que dicha estrategia genera en el desarrollo de cualquier proyecto donde sea aplicada correctamente y posteriormente

se describen los pasos que conforman esta metodología.

1 Siglas en inglés de la metodología con los pasos Definir, Medir, Analizar, Mejorar y Controlar. (Define, Measure,

Analyze, Improve, Control)

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Paso 1. Definición del problema En esta primera etapa se define la problemática que se va a estudiar, determinando las variables de respuesta que se

desean mejorar y los factores operativos más representativos que intervienen en el proceso y que afecten a dichas

respuestas, esto se logra siguiendo algunas de las herramientas estadísticas y de manufactura esbelta, tales como

Diagrama Proveedor-Entradas-Proceso-Salidas-Cliente (PEPSC), Diagrama de Flujo del Proceso, Diagrama Causa-

Efecto, Análisis de Modo y Efecto de Fallas (AMEF) y Análisis de Capacidad, entre otros (Pries 2009). En esta

etapa es importante asegurar que exista correlación entre las variables a estudiar y que los datos puedan ser

modelados por una distribución normal multivariada. Para validar la correlación entre las variables se deben seguir

pruebas de igualdad de matrices de varianza y covarianza (homocedasticidad), tales como la prueba de Levene, la

cual es la razón del ANOVA comparando los grupos o niveles de tratamiento y se calcula sobre las desviaciones

absolutas a la media del grupo (Pacheco 2009); y para validar la normalidad multivariada se puede

seguir la prueba de Mardia, la cual se basa en las medidas de asimetría y curtosis de las poblaciones multivariadas

(Doornik y Hansen 1994) y (Acuña 2000). Posteriormente se determina el tipo de diseño factorial dependiendo de la

problemática y de la disponibilidad de recursos (diseño factorial completo o diseño factorial fraccionado ,

donde es el número de factores y la base representa el número de niveles), se define el número de réplicas a

realizar y el error alfa con el que se desea hacer el estudio.

Paso 2. Planteamiento de Hipótesis El planteamiento de hipótesis representa el punto de partida para cualquier prueba, y en la mayor parte de las pruebas

estadísticas inferenciales existen dos hipótesis que deben definirse antes de hacer el análisis correspondiente:

Es la hipótesis de igualdad o de no diferencia significativa entre los grupos o variables que estén siendo

comparadas en función del efecto que tienen sobre una o varias respuestas.

Es la hipótesis de diferencia y representa aquello que se pretende probar mediante la evidencia estadística.

Figura 1. Metodología para el desarrollo de un Diseño de Experimentos.

¿Existen efectos

significativos?

Selección de mejora

SI

NO

Definición del problema

Planteamiento de Hipótesis

Experimentación

Análisis de datos

(MANOVA)

Interpretación de datos

(Pruebas estadísticas)

Implementación y control

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En general las pruebas de hipótesis son útiles para identificar una región de rechazo para controlar el error alfa que

consiste en rechazar la hipótesis nula cuando esta es verdadera (Hardle y Simar 2007).

Paso 3. Experimentación Consiste en hacer una planeación y ejecución cuidadosa de la serie de pruebas experimentales de acuerdo a los

principios básicos del diseño de experimentos, al tipo de diseño factorial seleccionado (diseño factorial completo o

diseño factorial fraccionado) y al número de réplicas acordadas, durante esta etapa se lleva a cabo la recolección de

datos con los cuales se analizará posteriormente el caso de estudio.

Paso 4. Análisis de Varianza Multivariado El MANOVA consiste en determinar la varianza entre y dentro de grupos. Al tratarse de un caso multivariado se

tendrá como resultado una matriz para la varianza dentro de grupos, donde es el número de respuestas; y

se obtendrá una matriz para la varianza entre grupos por cada uno de los factores operativos, Rencher

(2002).

Matriz de varianza o suma de cuadrados y productos cruzados entre grupos:

Matriz de varianza del error o suma de cuadrados y productos cruzados dentro de grupos:

Donde es el número de grupos o niveles de tratamiento es el número de observaciones , es el vector de medias del grupo -ésimo del factor operativo (3), es el vector de medias totales (4) y

son cada unas de las observaciones.

Paso 5. Análisis de datos mediante las pruebas estadísticas

Existen cuatro pruebas para llevar a cabo el análisis estadístico del Análisis de Varianza Multivariado: Wilks’

Lambda (5), Pillai’s Trace (6), Hotelling-Lawley Trace (7) y Roy’s Largest Root (8). El objetivo de las cuatro

pruebas es evaluar la existencia de diferencias importantes entre los grupos o niveles de tratamiento mediante la

determinación de un estadístico en función de los valores propios de la matriz , donde ,

Huberty y Olejnik (2006).

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Una de las pruebas que más comúnmente se utiliza es la de Wilks’ Lambda. Enseguida se muestra cómo se obtiene

su estadístico .

donde:

Paso 6. Interpretación de resultados La interpretación de resultados puede hacerse en función solamente del estadístico o en función del valor que

también se determina en base al estadístico y a los grados de libertad y : si o si

el , no se rechaza la hipótesis nula ya que no hay suficiente evidencia estadística para

asegurar que existe efecto sobre las respuestas. De lo contrario, se acepta la hipótesis de diferencia o hipótesis alterna

ya que si habría evidencia estadística para afirmar que existe efecto significativo sobre las respuestas y en este último

caso, el siguiente paso es la selección de la mejora a implementar.

Paso 7. Selección de mejora En caso de que resulte ser aprobada la hipótesis de diferencia se procede a evaluar los resultados del Diseño de

Experimentos mediante el análisis de las gráficas de los efectos principales y de interacciones y considerando la

naturaleza de la respuesta: mayor-mejor, menor- mejor, nominal-mejor, se determina la combinación de niveles para

cada factor que mejore el rendimiento del proceso.

Aplicación de la metodología Siguiendo la metodología antes mencionada, en esta sección se muestra el desarrollo de un Diseño de Experimentos

utilizando el Análisis de Varianza Multivariado en un caso industrial.

Paso 1. Definición del problema Para realizar el estudio se seleccionó una reconocida industria de clase mundial, la cual tiene como giro la fundición

automotriz, teniendo como productos principales blocks y cabezas de hierro gris para motores diesel. A continuación

se muestra un ejemplo de cada tipo de producto: Cabezas (Figura 2) y Blocks (Figura 3).

Figura 2. Cabeza.

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El análisis se desarrolló en el área de moldeo en el sistema de arenas, en donde se originan tres importantes tipos de

rechazo debido al posible efecto de tres principales factores (Tabla 1). Para determinar estas variables se hicieron las

pruebas respectivas que muestran que las variables están correlacionadas y que los datos pueden ser modelados por

una distribución normal multivariada.

El personal del área de procesos de la planta, en conjunto definió 2 niveles de tratamiento para cada factor operativo

definidos anteriormente (Tabla 2).

Al inicio del análisis el rechazo global era de 2.30%, por lo que se planteó como objetivo reducirlo por lo menos en

un 50%, para lo que como primer paso se requirió determinar si los factores operativos afectaban significativamente

a las respuestas en forma conjunta. En caso de detectar efectos importantes, el siguiente paso sería analizar los

efectos principales e interacciones entre factores, lo anterior para definir la combinación óptima con la que se logrará

una reducción considerable en el rechazo global. Para este análisis se determinó un error y se llevó a cabo

mediante el desarrollo de un diseño factorial completo con tres réplicas para evaluar en su totalidad los efectos

principales e interacciones entre factores.

Tabla 1. Factores operativos y respuestas a evaluar del sistema de arenas.

Compactabilidad Resistencia a la Tensión

(RT)

Arcilla

Rechazo por soplado (SOP) Rechazo por costra de molde (CM) Rechazo por poro de molde (PM)

FACTORES OPERATIVOS

VARIABLES RESPUESTAS

Tabla 2. Niveles de tratamiento de los factores operativos.

FACTOR NIVEL 1 NIVEL 2

Compactabilidad 36 - 38.8 38.9 - 40

RT 0.3 - 0.42 0.43 - 0.7

Arcilla 10.8 - 10.9 11.0 - 11.2

Figura 3. Block.

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Paso 2. Planteamiento de Hipótesis De acuerdo al objetivo planteado en la definición del problema, se establecieron la hipótesis nula e hipótesis alterna

para probar la existencia o no existencia de efectos significativos de los factores operativos sobre las variables de

respuestas:

No existe efecto de los factores sobre las tres respuestas en conjunto (13).

Si existe efecto significativo de los factores sobre las tres respuestas en conjunto (14).

Paso 3. Experimentación Al haber seleccionado un diseño factorial completo con tres réplicas como se determinó en la definición del

problema, el experimento constó de 24 pruebas experimentales totales, las cuales se planearon y llevaron a cabo

teniendo como resultados los que hemos incluido en la Tabla 3.

Tabla 3. Resultados del Diseño de experimentos con réplicas.

Compact RT Arcilla SOP CM PM

1 1 1 1 0.36 0 0.53

2 1 1 1 0.91 0.19 0.97

3 1 1 1 0.65 0 0.3

4 1 1 2 0.46 0 0.36

5 1 1 2 0.66 0.25 0.73

6 1 1 2 0.41 0.16 0.45

7 1 2 1 0.4 0.7 0.7

8 1 2 1 0.93 0.2 0.34

9 1 2 1 1.74 0 0.71

10 1 2 2 1.13 0 0.52

11 1 2 2 1.27 0 1.39

12 1 2 2 0.72 0.33 1

13 2 1 1 2.4 0.2 0.7

14 2 1 1 1.67 0 1.04

15 2 1 1 0.64 0.4 0

16 2 1 2 2.3 1.7 0.2

17 2 1 2 2.4 4 0.2

18 2 1 2 1.62 0.82 0.23

19 2 2 1 2.9 0 1.6

20 2 2 1 1.5 0.3 0.9

21 2 2 1 1.6 0 1.9

22 2 2 2 1.1 0.3 2.2

23 2 2 2 1.1 0 0.9

24 2 2 2 1 0.25 1.5

PRUEBAFACTORES OPERATIVOS RESPUESTAS

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Paso 4. Análisis de Varianza Multivariado 1. En este paso se definieron los vectores de medias (3) y el vector de medias totales (4):

Compactabilidad Nivel 1 Compactabilidad Nivel 2

RT Nivel 1 RT Nivel 2

Arcilla Nivel 1 Arcilla Nivel 2

Vector de medias totales

2. Después se determinó la matriz de varianza entre grupos para cada uno de los factores operativos (1). Debido

a que se tienen 3 variables de respuesta se obtuvieron matrices de

Para explicar cómo se determinó la matriz al utilizar el factor de compactabilidad, mostramos enseguida el

desarrollo para definir el elemento 1,2:

Continuando con este mismo procedimiento se obtuvieron el resto de los elementos de la matriz para el factor de

compactabilidad, quedando de la siguiente forma:

Para obtener la matriz para el resto de los factores se siguió el procedimiento anterior:

3. Siguiendo la metodología, posteriormente se determinó la matriz de varianza dentro de grupos (2). Debido a que

se tienen tres variables de respuesta se obtuvo una matriz de

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Para explicar cómo se determinó la matriz se muestra el desarrollo del elemento 1,2:

Continuando con el mismo procedimiento se obtuvieron el resto de los elementos de la matriz

Paso 5. Análisis de datos mediante la prueba estadística Wilks’ Lambda A continuación se muestra el desarrollo del análisis estadístico de los datos solamente mediante la prueba Wilks’

Lambda para el factor de Compactabilidad.

1. Se definió el valor Lambda (5):

2. Considerando que respuestas y niveles de tratamiento, y , se determinaron las

variables necesarias para obtener el estadístico (10), (11) y (12).

3. Una vez que se determinaron las variables , se obtuvo el estadístico (9).

Paso 6. Interpretación de datos El estadístico se convirtió a un y se comparó con el error para aceptar o

rechazar la hipótesis de diferencia o hipótesis alterna:

Para el MANOVA de Compactabilidad se obtuvo un valor , por lo que se acepta ,

concluyendo que sí existe efecto significativo del factor operativo de Compactabilidad sobre las tres respuestas

en forma conjunta.

Para los factores de Resistencia a la Tensión y Arcilla se siguieron los pasos 5 y 6 correspondientes al análisis

estadístico y a la interpretación de datos mostrando los siguientes resultados:

Para el MANOVA de Resistencia a la Tensión se obtuvo un valor , por lo que se acepta

concluyendo que sí existe efecto significativo del factor operativo de Resistencia a la Tensión sobre las tres

respuestas en forma conjunta.

Para el MANOVA de Arcilla se obtuvo un valor , por lo que no se rechaza , concluyendo

que no existe evidencia estadística suficiente para asegurar que existe efecto significativo del factor operativo de

la Arcilla sobre las tres respuestas en forma conjunta.

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Paso 7. Selección de mejora Debido a que el MANOVA indicó que dos factores operativos afectan a las variables de respuesta en conjunto se

procedió a seleccionar la combinación de factores y niveles que mejoren el rendimiento del proceso. Haciendo uso

del software estadístico MINITAB se analizan los efectos principales e interacciones entre factores y mediante el

Optimizador de respuesta de DOE se selecciona la combinación óptima (Figura 4).

Con los resultados obtenidos en el Optimizador de respuesta de DOE, se concluye que el modelo propuesto para

mejorar los resultados del proceso, es el siguiente (Tabla 4):

FACTOR OPERATIVO NIVEL PARAMETRO

COMPACTABILIDAD 1 36 - 38.8

RTH 1 0.3 - 0.42

ARCILLA 2 11.0 - 11.2

La combinación optima resultante del DOE, se implemento en línea, obteniendo una muestra representativa del

proceso de producción, con la finalidad de observar los efectos de los cambios de los factores operativos, en las

múltiples respuestas, las conclusiones de los cambios son presentados en la siguiente sección.

Resultados y conclusiones Antes de iniciar el análisis, el sistema de arenas del área de moldeo registraba un rechazo global de 2.30%

considerando las 3 respuestas: rechazo por soplado (SOP), rechazo por costra de molde (CM) y rechazo por poro de

molde (PM). Al llevar a cabo el Diseño de Experimentos utilizando Análisis de Varianza Multivariado se determinó

la mejor combinación de factores y sus respectivos niveles. Después de la implementación en línea de los cambios,

se obtuvo un 1.16% como rechazo global, logrando una reducción aproximadamente de un 50% y cumpliendo el

objetivo planteado en el inicio del proyecto. Para que esto se lograra se requirió de un estricto seguimiento en la

etapa de implementación para confirmar que los factores operativos estuvieran trabajando de acuerdo a los nuevos

parámetros definidos y de esta forma poder verificar que los resultados del proceso fueran los esperados, después de

implementar la mejora, la última etapa es el control, el cual debe darse durante al menos tres meses para asegurar que

los buenos resultados sean sostenibles a través del tiempo, actualmente se está trabajando en esta etapa.

Figura 4. Optimizador de respuestas del Diseño de Experimentos en MINITAB.

Tabla 4. Modelo de mejora propuesto.

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En base a los resultados anteriores, se concluye que el conocimiento de temáticas estadísticas multivariadas,

como lo es el caso del Análisis de Varianza Multivariado, es fundamental para tener la capacidad de seleccionar la

metodología adecuada en problemáticas con múltiples respuestas como salida, lo cual nos permite conocer

oportunamente con un mínimo error las causas que originan los problemas dentro de un proceso con características

multivariadas, incrementando la posibilidad de tomar decisiones de manera correcta, viéndose beneficiados tanto la

empresa como el cliente al tener la capacidad de producir productos y/o servicios de alta calidad que cumplan y

sobrepasen los requerimientos del cliente, ahorrando tiempos y costos.

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El Dr. Federico Zertuche Luis realizó la licenciatura en Ingeniería Industrial en el Instituto Tecnológico de Saltillo en 1992. El I.T.E.S.M

(Campus Monterrey) en 1994 le otorgo el grado de Maestro en Ciencias en Ingeniería Industrial. En el 2008 obtuvo el Doctorado en Ciencia y

Tecnología con especialidad en Ingeniería Industrial y Manufactura, en el Programa Interinstitucional en Ciencia y Tecnología (PNPC). Desde

1996 se desempeña como profesor investigador en el Instituto Tecnológico de Saltillo, en el departamento de posgrado en Ingeniería Industrial. Desde el 2003 es miembro del sistema de investigación del estado de Coahuila. La I.S.S.S.P. en el 2005 le otorgo la certificación Master Black

Belt en la metodología Seis sigma. En el año 2009 obtuvo el reconocimiento, por parte del Sistema Nacional de Investigadores (CONACYT),

como Candidato a Investigador Nacional. Dentro de sus actividades profesionales, el Dr. Federico Zertuche Luis ha participado en la implementación de la metodología Seis Sigma en las plantas: Mabe (Saltillo y Monterrey), Lear (Saltillo, Ramos Arizpe ySilao), Deacero (Saltillo

y Celaya), FEMSA, IBM (Planta Sanmina Apodaca), ZF-Sachs, Xerox, Benteler y Siemens.

La Ing. Adriana del Rocío Valencia Mireles estudió la licenciatura en Ingeniería Industrial con especialidad en Manufactura en el Instituto

Tecnológico de Saltillo en 2007 y actualmente en 2011 se encuentra estudiando en la misma institución la Maestría en Ingeniería Industrial dentro

del Programa Nacional de Posgrados de Calidad (PNPC) desde 2009. Ha laborado para la industria de la fundición de hierro gris del ramo automotriz en el Grupo Industrial Saltillo en donde participó en el desarrollo de diversos proyectos de mejora continua bajo la metodología

DMAIC, Lean Seis Sigma.

La Ing. Ruth Berenice Rodríguez Rubio estudió la licenciatura en Ingeniería en Sistemas Computacionales en el Instituto Tecnológico de

Saltillo en 2006 y en donde se encuentra estudiando actualmente la Maestría en Ingeniería Industrial dentro del Programa Nacional de Posgrados

de Calidad desde 2009. Estudió la Maestría en Ciencias en Robótica y Manufactura Avanzada, realizados en Cinvestav- Saltillo, donde participo en áreas de visión por computadora para el reconocimiento de objetos en línea en tareas robotizadas y ha laborado dentro de la industria en áreas

de IT-Telecomunicaciones.