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ANÁLISE MULTIESCALA DE SÉRIESTEMPORAIS DO EFEITO DA CINTILAÇÃOIONOSFÉRICA NOS SINAIS DE SATÉLITE

GPS A PARTIR DE WAVELETS NÃODECIMADAS

Gabriela de Oliveira Nascimento BrassaroteOrientador: Profa. Dra. Eniuce Menezes de Souza

Programa: Matemática Aplicada e Computacional

Presidente Prudente, Agosto de 2014

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTAFaculdade de Ciências e Tecnologia de Presidente Prudente

Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Computacional

ANÁLISE MULTIESCALA DE SÉRIESTEMPORAIS DO EFEITO DA CINTILAÇÃOIONOSFÉRICA NOS SINAIS DE SATÉLITE

GPS A PARTIR DE WAVELETS NÃODECIMADAS

Gabriela de Oliveira Nascimento BrassaroteOrientador: Profa. Dra. Eniuce Menezes de Souza

Dissertação apresentada ao Programa dePós-Graduação em Matemática Aplicada eComputacional da Faculdade de Ciências eTecnologia da UNESP para obtenção do tí-tulo de Mestre em Matemática Aplicada eComputacional.

Presidente Prudente, Agosto de 2014

FICHA CATALOGRÁFICA

Brassarote, Gabriela de Oliveira Nascimento.

B832a Análise multiescala de séries temporais do efeito da cintilação ionosférica nos sinais de satélite GPS a partir de wavelets não decimadas / Gabriela de Oliveira Nascimento Brassarote. - Presidente Prudente : [s.n.], 2014

84 f. Orientador: Eniuce Menezes de Souza Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Faculdade de

Ciências e Tecnologia Inclui bibliografia 1. Análise multiescala. 2. Wavelets não decimadas. 3. Cintilação

ionosférica. I. Souza, Eniuce Menezes de. II. Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Ciências e Tecnologia. III. Título.

Ao meu amado esposo, Samuel, por sempre estar ao meu lado me apoiando eincentivando.

Aos meus estimados pais, Luís Carlos e Ana Regina, que me ajudaram a chegar até aquigraças ao amor, carinho e confiança em mim depositados.

À minha querida irmã, Letícia, pela amizade e companheirismo.

Agradecimentos

A Deus, pelo provimento de tudo o que foi necessário para que eu chegasse até aqui,e por ter estado ao meu lado em cada momento da minha vida, principalmente nos dedesânimo e dificuldade.

À minha orientadora, Profa. Dra. Eniuce Menezes de Souza, pela oportunidade,apoio, confiança, e principalmente, pela paciência que sempre teve comigo; e ao Prof. Dr.João Francisco Galera Monico, pelo auxílio e tão preciosas sugestões.

Aos professores do PosMAC e do Departamento de Matemática Estatística e Com-putação, por contribuírem com minha formação acadêmica. Em especial, agradeço aosprofessores Dr. Aylton Pagamisse e Dr. Messias Meneguette Junior, pelo incentivo esugestões durante o exame de qualificação.

Aos funcionários da seção de Pós-Graduação, por serem sempre tão dedicados e pres-tativos.

À Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP), pelo apoiofinanceiro.

A todos os colegas da terceira turma do PosMAC, pela convivência e amizade.

Às minhas queridas amigas, Luciene e Mariane, por serem minhas verdadeiras com-panheiras desde a graduação, pela paciência, apoio e orações.

À minha amada família e amigos pessoais, pelo carinho e estímulo indispensável emminha trajetória acadêmica.

"Se não puder voar, corra.Se não puder correr, ande.

Se não puder andar, rasteje,mas continue sempre em frente de qualquer jeito!"

Martin Luther King

Resumo

O estudo da cintilação ionosférica, causada por flutuações na amplitude e na fase deum sinal eletromagnético quando este passa por irregularidades na densidade de elétronsda ionosfera, tem assumido um papel muito importante na pesquisa ionosférica e tambémno posicionamento por satélite. Isso se deve à crescente influência do GNSS na navega-ção e no sensoriamento remoto e também pelo fato da cintilação degradar severamenteo desempenho desses sistemas. Ainda existem muitas lacunas a serem preenchidas paraque possa ser proposto algum método efetivo para correção dos efeitos causados nos sinaisGNSS ou mesmo previsão da cintilação, principalmente para a região equatorial, em queestá situado o Brasil. Portanto, nessa dissertação objetiva-se investigar a cintilação sobuma perspectiva multiescala, abordando para tanto, a análise multirresolução a partir dewavelets não decimadas. Como consequência, os resultados desta investigação das sériestemporais obtidas dos índices S4 de cintilação mostram a presença de um padrão que serepete na série em dias consecutivos em que há presença de dados. Tal comportamentoperiódico, que apresenta formato de "U" mostra estar relacionado com o efeito do mul-ticaminho e pode influenciar na análise do índice S4 de cintilação ionosférica, fazendo-senecessário eliminá-lo. Através da decomposição em multiescala do período com baixosíndices de cintilação é possível estimar o efeito do multicaminho, cuja repetibilidade éevidenciada nas escalas mais suaves. Uma vez estimado, esse efeito pode ser removido dasérie dos índices S4 no período de forte cintilação. Assim, a partir dessa proposta, esteefeito deixa de ser expressivo no espectro wavelet e de influenciar posteriores análises dasérie temporal dos índices de cintilação. Análise de diferentes estações e satélites mos-tram que o efeito da cintilação ionosférica varia conforme a localização da estação e ângulode elevação e azimute do satélite, por isso, cada caso deve ser tratado individualmente.Portanto, essa dissertação apresenta uma metodologia inovadora para a investigação dosefeitos da cintilação ionosférica sobre os sinais GNSS, mais especificamente sobre os sinaisGPS, através da análise do espectro wavelet da série temporal dos índices S4 de cintila-ção, além de dar um primeiro passo em direção a separar o efeito da cintilação de outrosefeitos que podem influenciar a análise dos índices S4.

Palavras-Chave: Análise Multiescala, Wavelets Não Decimadas, Cintilação Ionosfé-rica, GPS.

Abstract

Multiscale analysis of time series of the effects of ionospheric scintillationfrom non-decimated wavelet.The study of the ionospheric scintillation, which is caused by fluctuations in the amplitudeand phase of an electromagnetic signal when it passes through irregularities in the densityof electrons in the ionosphere, has become very important in ionospheric research and alsoin satellite positioning. This is due to the increasing influence of GNSS navigation and re-mote sensing, and also because the scintillation severely degrade the performance of thesesystems. There are still many gaps to be fulfilled before the propositon of some effectivemethod for correcting of the effects of the scintillation on GNSS signals or even its pre-diction, especially for equatorial region, which includes Brazil. This dissertation aims toinvestigate the ionospheric scintillation under a multiscale aspects using a multiresolutionanalysis from non-decimated wavelets. The investigation of the time series obtained of theS4 scintillation index showed the presence of a pattern that is repeated in the series onconsecutive days in which there are data. This periodic behavior, which has "U" formatand can be related to the effect of the multipath, influences the analysis of S4 ionosphericscintillation index, and should be eliminated. Through multiscale decomposition of theperiod with low scintillation index it is possible to estimate the multipath effect, which isevident in the smoother scales. Once identified and estimated, this effect can be removedfrom the S4 index series in the strong scintillation period. Thus, from this proposition, itbecomes not significant in the spectrum wavelet, not influencing the analysis of ionosphe-ric scintillation time series. Analysis of the different stations and satellites show the effectof ionospheric scintillation varies with location station and elevation angle and azimuthof the satellite, therefore, each case must be treated individually. Therefore, this workpresents an innovative methodology for investigating the effects of ionospheric scintilla-tion on GNSS signals, or GPS signals specifically. by analyzing the spectrum wavelet ofthe time series of S4 scintillation index, and take a first step toward separating the effectof scintillation in relations the other effects that may influence its analysis.

Keywords: Multiescale analysis, Non-decimated wavelets, Ionospheric scintillation,GPS.

Lista de Figuras

1.1 Intensidade e frequência de ocorrência da cintilação ionosférica. Fonte:Adaptado de KINTNER JR., et.al. (2009). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1 Cintilação Ionosférica. Fonte: Adaptado de MAINI (2007) . . . . . . . . . 242.2 Comparação dos índices S4 e Phi60 para a estação GPS localizada em

Presidente Prudente-SP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3 Distribuição das Estações da Rede CIGALA/CALIBRA. Fonte: Adaptado

de CALIBRA (2014) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1 Sinal f e suas projeções sobre V0 e V1. Fonte: Adaptado de DAUBECHIES(1992). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2 Algoritmo Piramidal da TWD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3 Gráfico da função escala de Haar φ(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.4 Wavelet de Haar ψ(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.5 Wavelets de Daubechies ψ(t) com p = 2, 4, 6, 10. Fonte: SOUZA (2008) . 373.6 Symmlets ψ(t) com p = 2, 5, 6, 10. Fonte: SOUZA (2008) . . . . . . . . . 383.7 (À esquerda) Função escala φ; (À direita) Função wavelet ψ Starlet.

Fonte: STARK (2010) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.1 TWD de X e TX (vetor X transladado) - coeficientes escalonados em cadaescala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2 TWND de X e TX (vetor X transladado) - coeficientes escalonados em cadaescala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3 Sinal simulado. À direita, as três funções periódicas que compõem o o sinal. 434.4 TWD e TWND do sinal simulado - coeficientes escalonados em cada escala. 43

5.1 Decomposição em multiescala através da Symmlet wavelet com 10 momen-tos nulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.1 Fluxograma da implementação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.1 Índice S4 de cintilação do período de 01/01/2012 a 31/12/2012. . . . . . . 617.2 Índice S4 de cintilação do período de 12 a 14/03/2012. . . . . . . . . . . . 627.3 Índices S4 do período de 12 a 14/03/2012 (topo) e ângulo de elevação do

satélite 11 (abaixo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627.4 Comparação do índice S4 do satélite 11 com diferentes máscaras de elevação. 637.5 Comparação das bases wavelet na análise de índices S4 de cintilação do

período de 12 a 14/03/2012. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.6 Estimativa do comportamento periódico presente na ST dos índices S4 de

cintilação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.7 Índices S4 do período com cintilação forte, após remoção das escalas mais

suaves (estimadas no período sem cintilação). . . . . . . . . . . . . . . . . 66

11

LISTA DE FIGURAS 12

7.8 Estimativa do comportamento periódico presente na ST dos índices S4 decintilação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7.9 Comparação dos índices de cintilação e respectivos periodogramas antes eapós remoção do multicaminho. Satélite 11, estação PRU1. . . . . . . . . . 68

7.10 Análise wavelet do satélite 1, estação PRU1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.11 Análise wavelet do satélite 11, estação PRU1. . . . . . . . . . . . . . . . . 717.12 Análise wavelet do satélite 19, estação PRU1. . . . . . . . . . . . . . . . . 727.13 Análise wavelet do satélite 31, estação PRU1. . . . . . . . . . . . . . . . . 737.14 Análise wavelet do satélite 11, estação SJCU. . . . . . . . . . . . . . . . . 757.15 Análise wavelet do satélite 11, estação PALM. . . . . . . . . . . . . . . . . 767.16 Análise wavelet do satélite 11, estação POAL. . . . . . . . . . . . . . . . . 777.17 Análise wavelet do satélite 11, estação MAN2. . . . . . . . . . . . . . . . . 787.18 Gráfico box-plot dos índices S4 das estações MAN2, SJCU, PALM, POAL

e PRU1, antes (em preto) e após (em cinza) remoção do multicaminho. . . 79

Lista de Tabelas

6.1 Estações da rede CIGALA analisadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.2 Interpretação da frequência de decomposição em multirresolução. . . . . . 60

7.1 Porcentagem de observações que ultrapassaram o nível de cintilação fraca,antes e após remoção do multicaminho, por estação. . . . . . . . . . . . . . 80

13

Lista de Siglas

AIE: Anomalia da Ionização Equatorial

AMR: Análise Multirresolução

CIGALA: Concept for Ionospheric Scintillation Mitigation for Professional GNSS inLatin America

CALIBRA: Countering GNSS high Accuracy applications Limitations due to Ionosphe-ric disturbances in BRAzil

EWS: Espectro Wavelet Evolucionário

GNSS: Global Navigation Satellite System

GPS: Global Positioning System

LSW: Locally Stationary Wavelet

ST: Série Temporal

TF: Transformada de Fourier

TW: Transformada Wavelet

TWC: Transformada Wavelet Contínua

TWD: Transformada Wavelet Discreta

TWND: Transformada Wavelet Não Decimada

15

Sumário

Resumo 7

Abstract 9

Lista de Figuras 10

Lista de Tabelas 12

Lista de Siglas 15

Capítulos

1 Introdução 191.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2 Conteúdo da dissertação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 O Estudo da Cintilação Ionosférica 232.1 A Ionosfera Terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Cintilação ionosférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3 Avanços no estudo da Cintilação a partir de wavelets . . . . . . . . . . . . 26

3 Wavelets 293.1 O que são wavelets? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Transformada Wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.1 Transformada Wavelet Contínua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2.2 Transformada Wavelet Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3 Análise Multirresolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4 Algoritmo Piramidal da TWD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.5 Escolha de uma base wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.5.1 Características das Wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.5.2 Wavelet de Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5.3 Wavelet de Daubechies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.5.4 Symmlets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.5.5 Starlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.5.6 Considerações sobre a escolha da base wavelet . . . . . . . . . . . . 39

4 Transformada Wavelet Não Decimada 414.1 Os filtros wavelet e escala da TWND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2 Formulação da TWND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3 Definição do j-ésimo nível de coeficientes da TWND . . . . . . . . . . . . . 484.4 Algoritmo Piramidal da TWND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5 Análise Multiescala de Séries Temporais 535.1 Séries Temporais Estacionárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2 Espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.3 Espectro Wavelet Evolucionário (EWS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.4 Estimação do EWS a partir do Periodograma Wavelet . . . . . . . . . . . . 55

6 Metodologia 576.1 Implementação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7 Resultados e Análises 617.1 Comparação e escolha da Base Wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.2 Estimativa do multicaminho no período de fraca cintilação e remoção no

período de cintilação forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.3 Avaliação dos espectros dos índices S4 de cintilação antes e após remoção

do multicaminho, considerando a estimativa de um efeito médio . . . . . . 697.3.1 Comparação entre satélites da estação PRU1 . . . . . . . . . . . . . 697.3.2 Comparação entre diferentes estações . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

8 Conclusões e Trabalhos Futuros 81

Referências 82

Capítulo

1Introdução

A tecnologia GNSS (Global Navigation Satellite System) tem se tornado cada vez maisutilizada nas atividades humanas que necessitam de posicionamento, como por exemplona navegação e no sensoriamento remoto. No entanto, até que o sinal do satélite chegue aoreceptor GNSS, efeitos muitas vezes severos, exercem influência sobre o sinal, ocasionandoerros ou até mesmo a perda do sinal do satélite pelo receptor.

A ionosfera é uma das maiores fontes de interferência na propagação dos sinais GNSS.O efeito das irregularidades da densidade dos elétrons presentes na ionosfera, que carac-teriza a cintilação ionosférica, é ainda pior. A cintilação pode enfraquecer ou até mesmocausar a perda total do sinal pelo receptor, causando efeitos significativos no posiciona-mento por satélite (CONKER, 2003).

Os efeitos da cintilação são mais severos na região equatorial do planeta, seguida pelasregiões de altas latitudes (principalmente nos pólos) e por fim as de médias latitudes(DAVIES, 1990), como ilustra a Figura (1.1). As ocorrências de cintilação nas regiões dealtas latitudes estão relacionadas com períodos de alta atividade solar e outras atividadesextremas tais como a ocorrência de tempestades geomagnéticas. Já as ocorrências decintilação nas regiões equatoriais e de médias latitudes ocorrem devido à anomalia daionização equatorial (AIE), principalmente no intervalo após o por do sol e antes da meianoite (KELLEY, 1989). Além disso, a magnitude e a ocorrência das cintilações tende aaumentar nos meses de equinócio, período em que o sol está sobre o círculo do equadorceleste, e com o aumento da atividade solar (RODRIGUES, 2003). O Brasil, por possuirgrande parte de seu território situado no equador geomagnético, sofre intensos efeitos dacintilação ionosférica.

O ideal é que a cintilação seja estudada local e globalmente, devido sua naturezadispersiva e sua variabilidade espacial. Pode ser tratada como séries temporais em que setem o interesse em entender o processo estocástico gerador da mesma.

Por possuir natureza aleatória e aparentemente não correlacionada, a modelagem dacintilação tem se mostrado complicada e ineficiente. No entanto, através de informaçõesquantitativas do índice de cintilação, como o índice S4 que quantifica a cintilação empotência (amplitude), é possível caracterizar e entender as irregularidades ionosféricasque causam a cintilação, bem como estabelecer estratégias de previsão dos efeitos dacintilação que, às vezes, podem tornar o GNSS não efetivo (STRANGEWAYS, 2009).

Pretende-se nessa dissertação investigar os efeitos da cintilação ionosférica nos sinaisde satélites GPS (Global Positioning System), que é um dos sistemas GNSS mais co-nhecidos e utilizados atualmente, através da análise da série temporal (ST) provenientedos índices S4 de cintilação. Devido às irregularidades e espalhamento da camada F daionosfera, os efeitos da cintilacão nos sinais GPS podem ser não estacionários, exigindo

19

1. Introdução 20

Figura 1.1: Intensidade e frequência de ocorrência da cintilação ionosférica. Fonte:Adaptado de KINTNER JR., et.al. (2009).

um método adequado para tal análise. Uma análise tradicional de wavelets, por si só jápermite uma análise não paramétrica para séries temporais não estacionárias. Em suaversão decimada, a Transformada Wavelet Discreta (TWD) já tem contribuído bastantepara o avanço do posicionamento por satélite (SOUZA, 2004, 2008; KELLER, 2004).Entretanto, devido à usual decimação por 2, em cada escala tem-se metade dos coeficien-tes da escala anterior. Para uma análise completa em multiescala seria necessário que omesmo número de coeficientes correspondendo a todos os instantes de tempo em que osdados foram coletados fosse mantido para cada escala. Isso é possível com a TransformadaWavelet Discreta Não Decimada (TWND), a qual é invariante por translação (NASON eSILVERMAN, 1995). Dessa forma, informações e padrões escondidos, que não podem serdetectados no domínio do tempo, podem ser explicitados no domínio espaço-frequência.Essa metodologia aplicada na ST dos índices S4 de cintilação possibilitará identificar eremover possíveis efeitos cíclicos presentes na série, e que podem influenciar na análise dacintilação ionosférica.

1.1 ObjetivosO objetivo geral desse trabalho é investigar e caracterizar o efeito da cintilação io-

nosférica nos sinais GPS para a região equatorial, em especial a brasileira, a partir daanálise multiescala, ou multirresolução, de séries temporais pela TWND. Como objetivosespecíficos comparecem:

• investigar a existência de variações cíclicas no efeito da cintilação ionosférica;

• separar o efeito de cintilação ionosférica de outros efeitos que podem influenciar naanálise do índice S4 de cintilação;

• comparar diferentes bases de wavelets e momentos nulos para identificar uma waveletmãe ideal para a análise multiescala de séries temporais de cintilação ionosférica.

1. Introdução 21

1.2 Conteúdo da dissertaçãoA organização deste trabalho se dá conforme segue. No capítulo 2 é apresentado

brevemente o conceito de cintilação ionosférica, objeto de estudo dessa dissertação. Oscapítulos 3 e 4 são dedicados à revisão bibliográfica sobre wavelets, sendo que no capítulo4 é dado uma atenção especial às wavelets não decimadas, destacando o que motivou oseu uso no desenvolvimento deste trabalho. Já o capítulo 5 destina-se à análise de sériestemporais por wavelets.

No capítulo 6 é apresentada a metodologia utilizada na investigação dos efeitos dacintilação ionosférica sobre os sinais GPS, deixando para o Capítulo 7 a apresentação eanálise dos resultados obtidos através da aplicação da metodologia proposta.

O oitavo e último capítulo, descreve as conclusões e trabalhos futuros decorrentes dodesenvolvimento dessa dissertação.

Capítulo

2O Estudo da Cintilação Ionosférica

A ionosfera é uma das maiores fontes de interferência na propagação dos sinais GPS. Oefeito das irregularidades da densidade dos elétrons presentes na ionosfera, que caracterizaa cintilação ionosférica, é ainda pior. A cintilação pode enfraquecer ou até mesmo causara perca total do sinal pelo receptor, causando efeitos significativos no posicionamento porsatélite. O Brasil, por estar localizado na região equatorial do planeta, sofre intensosefeitos da cintilação ionosférica. Por isso, faz-se necessário estudar os efeitos da cintilaçãosobre os sinais GPS, para melhor entendê-los e minimizá-los.

2.1 A Ionosfera TerrestreA ionosfera é uma camada da atmosfera localizada entre 50 a 1000 km de altitude,

formada pela interação de radiação solar com diferentes gases que constituem a atmosfera.Dividida em três regiões (ou camadas) D, E e F, por ordem de altitude e densidadecrescente de elétrons livres, a ionosfera tem um importante papel na propagação de ondasde rádio, mas também é capaz de afetar severamente um sinal de rádio que passe por ela,inclusive os sinais GPS (CONKER et. al., 2003; MAINI, 2007).

A região D é a camada mais baixa da ionosfera. Abrange uma faixa que se estendedo princípio da ionosfera (cerca de 50 km), até aproximadamente 85 km, e encontra-seapenas na região da Terra que está sendo iluminada diretamente pelo sol. Essa camadaé de extrema importância nas telecomunicações, pois reflete ondas de rádio de banda defrequência entre 3 e 30 KHz (LF e VLF), permitindo que ocorra transmissão de rádioentre locais muito distantes da superfície terrestre (DAVIES, 1990).

Situada entre o fim da região D e cerca de 140 Km, está a camada E, que tambémé útil na propagação de ondas de rádio e tem sua intensidade variando com o grau deatividade solar e ângulo zenital do sol. Próximo de 90 a 130 km de altitude (dentro daregião E), devido a variações na densidade de elétrons, pode-se formar uma nova camadadenominada Sporadic-E (DAVIES, 1990) capaz de refletir frequências de até 100 MHz.

A região F, por sua vez, está compreendida basicamente entre 140 e 1000 km dealtitude. É nessa região que ocorre a grande maioria das irregularidades que afetam ossinais de rádio, inclusive a cintilação ionosférica. Em períodos de alta atividade a camadaF costuma ser dividida em duas regiões: F1 e F2. A região F1 (140 a 200 km), tem suaconcentração de elétrons diretamente proporcional à atividade solar e somente é percebidadurante o dia. Já a região F2 (200 a 1000 km) é a região mais importante do ponto devista de comunicação, sendo insensível às variações da radiação solar no decorrer do diae mantendo sua eficiência para propagação de ondas de rádio durante à noite.

23

2. O Estudo da Cintilação Ionosférica 24

2.2 Cintilação ionosféricaA cintilação ionosférica é causada por mudanças rápidas na fase e amplitude do sinal de

rádio recebido, as quais são causadas por irregularidades na densidade de elétrons ao longodo caminho percorrido pelo sinal na ionosfera (CONKER et al., 2003). Isso, porque devidoà grande quantidade de elétrons presentes na região F, formam-se bolsas de concentraçãolocal de íons, produzindo descontinuidades na ionosfera. Um sinal de rádio que por aliatravesse, sofre refração que caracteriza a cintilação ionosférica. Como resultado, o sinalchega até seu receptor via dois caminhos, o caminho direto e o refratado, como mostraa Figura (2.1). O sinal resultante é o vetor adição dos sinais direto e refratado (MAINI,2007).

Figura 2.1: Cintilação Ionosférica. Fonte: Adaptado de MAINI (2007)

Tais mudanças na estrutura do sinal, que caracterizam a cintilação, podem ocorrertanto em amplitude como em fase (MUSHINI et al., 2012). Embora sejam de pequenaescala devido às flutuações rápidas, pode ser intensa o suficiente para causar erros sig-nificativos nas medidas de posicionamento com o sistema GPS e, em muitos casos, adegradação ou até mesmo perda do sinal satélite por um receptor GPS (KINTNER et al.2007; REZENDE et al, 2010; STRANGEWAYS, 2009).

Uma maneira de caracterizar e entender as irregularidades ionosféricas que causama cintilação é através dos índices S4 e σφ, que quantificam a cintilação em potência edesvio-padrão, respectivamente.

O índice S4, mapeia a intensidade (I) da cintilação ionosférica e é calculado segundoa equação (http://www.inpe.br/scintec/pt/scintil.php):

S4 =〈I2〉 − 〈I〉2

〈I〉2,

em que I = 10logP é a intensidade do sinal, e o operador 〈〉 representa o cálculo daesperança.

Já o índice σφ, também chamado Phi60, mostra a variação da medida de fase da ondaportadora φ no receptor nos últimos 60 segundos, isto é, quantifica o desvio-padrão dafase do sinal GPS, sendo calculado por

σφ =

√〈φ2〉 − 〈φ〉2.


Nas regiões equatoriais, os índices S4 e σφ são fortemente correlacionados, sendo queem eventos de cintilação ionosférica os valores de ambos os parâmetros chegam a sernumericamente similares, como pode ser observado na Figura (2.2). Por esse motivo,neste trabalho será utilizado apenas o índice S4 para análise do efeito da cintilação sobreo sinal GPS. A convenção mais adotada para classificação desse indicador relaciona osíndices S4 menores que 0,3 como eventos de muito fraca ou nenhuma intensidade, entre0,3 e 0,5 de intensidade fraca, entre 0,5 e 0,7 de intensidade moderada e maiores que0,7 de forte intensidade. Ocasionalmente, esse índice pode ultrapassar o valor unitário,chegando a valores próximos a duas unidades (TIWARI, 2011).

Figura 2.2: Comparação dos índices S4 e Phi60 para a estação GPS localizada em Pre-sidente Prudente-SP.

A maior frequência de ocorrências da cintilação ionosferérica está ligada à região equa-torial do planeta, onde a grande maioria dos eventos de cintilação ocorre durante a noite,mais especificamente na camada F2, entre 200 e 600 km de altura. É raro ocorrer eventosde cintilação durante o dia, porém, quando ocorrem, são decorrentes de efeitos na camadaSporadic E (DAVIES, 1990).

A importância do estudo da cintilação ionosférica na região equatorial, é tão expressivaque em março de 2010, foi iniciado o projeto CIGALA (Concept for Ionospheric Scintil-lation Mitigation for Professional GNSS in Latin America), com posterior continuaçãoatravés do projeto CALIBRA (Countering GNSS high Accuracy applications Limitationsdue to Ionospheric disturbances in BRAzil), cujo objetivo é estudar as causas da cintila-ção ionosférica em baixas latitudes, bem como seus efeitos nas tecnologias em desenvol-vimento. A escolha pela América Latina, em especial o Brasil, se deve a dois motivos:encontra-se em uma das regiões mais críticas do efeito das irregularidades ionosféricas epossui instituições acadêmicas e comerciais de grande relevância para a implementação edesenvolvimento do projeto, tais como UNESP e Petrobras (CALIBRA, 2014).

Com esse projeto, 11 estações de coleta de dados com receptores específicos (Septen-trio PolaRxS) e alta frequência (até 100 Hz), foram instaladas em locais estratégicos doponto de vista de estruturas e amostragem, como ilustrado na Figura (2.3), de maneiraque as coletas, manutenções e re-ocupações sejam possíveis, para validação das possíveismetodologias ou algoritmos desenvolvidos. Dessa forma, estão disponíveis desde 14 defevereiro de 2011 dados de extrema importância para o estudo da cintilação ionosféricano Brasil.


Figura 2.3: Distribuição das Estações da Rede CIGALA/CALIBRA. Fonte: Adaptadode CALIBRA (2014)

2.3 Avanços no estudo da Cintilação a partir de wave-lets

Trabalhos utilizando a análise wavelet no estudo da cintilação ionosférica têm con-tribuído para um melhor entendimento e caracterização da cintilação nas regiões de altalatitude. Em Materassi et al., (2009) foram analisados escalogramas de wavelets e verifi-cadas estruturas em três escalas nos sinais GPS, uma de grande escala com frequênciasbaixas devido, principalmente, ao movimento do satélite e variâncias suaves da ionosfera;uma escala intermediária, em que estariam os efeitos da cintilação; e uma escala pequenacom frequências altas devido aos ruídos. Essa estrutura foi utilizada para melhorar oscálculos dos índices de cintilação para altas latitudes, de maneira que apenas a escalaintermediária dos dados foi empregada. Outros trabalhos tem utilizado wavelets para re-mover apenas as baixas frequências e estimar os índices de cintilação para altas latitudes(MUSHINI et al., 2012, TIWARI et al, 2011). Na literatura inglesa, esse procedimento éconhecido como detrending. Resultados muito positivos foram obtidos para dados de altalatitude, de forma que foi sugerido que wavelets fossem utilizadas nos receptores ao invésde filtros Butterworth convencionais.

Nota-se, portanto, que as aplicações que envolveram wavelets para altas latitudesapresentaram grande benefício, mas para a região equatorial e baixas latitudes ainda nãose tem muitos avanços nesse sentido. Além disso, esses trabalhos contribuem no sentidode construção de índices a partir da modificação da frequência de corte na aplicação dosfiltros de detrending (0.1 Hz no Butterworth, por exemplo). Entretanto, as wavelets tempotencial para contribuir de diversas outras formas na inter-relação das irregularidadesionosféricas e posicionamento por satélite. O convencional índice S4, apresentado na seçãoanterior, tem sido o índice mais utilizado por toda comunidade usuária, principalmente


para a região equatorial e de baixas latitudes. Nesse sentido, nesse trabalho tais índicessão investigados pela análise multiescala wavelet, inclusive no sentido de avaliar se a partirdesse método convencional de detrending, existe a presença de outros efeitos no índice S4de cintilação.

Capítulo

3Wavelets

A análise wavelet é uma ferramenta matemática que teve seu uso intensificado nasúltimas décadas em uma grande quantidade de aplicações, principalmente nas áreas deanálise de sinais e equações diferenciais. Isso se deve à capacidade das wavelets de loca-lização tempo-frequência, apresentando uma visão diferenciada e inovadora na análise dedados não estacionários, como o efeito de cintilação ionosférica.

3.1 O que são wavelets?Considere o espaço L2(R) de todas as funções mensuráveis de quadrado integrável sobre

R, também denominado espaço das funções de energia finita. Ou seja, se ψ(t) ∈ L2(R)então

∫ +∞−∞ |ψ(t)|2 dt <∞.

Definição 1 Uma função ψ(t) ∈ L2(R) é denominada wavelet, se satisfaz as seguintescondições:

1. A condição de admissibilidade

Cψ =

∫ +∞

−∞

∣∣∣ψ (λ)∣∣∣2

|λ|dt <∞ (3.1)

em que ψ(λ) é a Transformada de Fourier (TF) da função ψ dada por

ψ(λ) =1

2π

∫ +∞

−∞ψ(t)e−iλtdt.

Esta condição (3.1) garante a invertibilidade da Transformada Wavelet (TW). Namaioria dos casos, ela é equivalente a∫ +∞

−∞ψ(t)dt = 0,

e estabelece que ψ(t) deve oscilar em torno do eixo x. Por isso, geometricamente,uma wavelet tem o formato de uma onda.

2. A função wavelet deve ter energia unitária, isto é,∫ ∞−∞|ψ(t)|2 dt = 1,

29

3. Wavelets 30

garantindo que a função wavelet possua suporte compacto, ou um rápido decaimentode amplitude. Isso indica que ψ(t) será uma onda de curta duração.

Por essas duas condições, a função ψ(t) recebe o nome wavelet (do inglês: onda pe-quena) ou ondaleta (do francês: ondelette), como também é conhecida.

3.2 Transformada WaveletO uso de transformadas serve para observar características de um sinal que estão

presentes nele mas não podem ser observadas em um dado domínio. A Transformadade Fourier (TF), por exemplo, muda um sinal do domínio do tempo para o domínio dafrequência, representando-o como uma série de senos e cossenos. Porém, a informaçãotempo é totalmente desorientada no sinal transformado, não sendo sensível a mudançasde freqüência no sinal e mostrando-se apropriada apenas para os chamados sinais esta-cionários: sinais cuja freqüência não muda com o tempo. Mas, como os sinais reais sãoem geral não estacionários, o ideal é aplicar a TF em parte do sinal, ao invés dele todo.Deste modo, o sinal passa a ser visto em janelas de tamanho fixo e a transformada passaa ser calculada em cada janela, pois dentro dela o sinal tem comportamento estacionário.Este conceito é chamado TF Janelada.

No entanto, é comum a necessidade de aplicação de uma transformada em uma janelade tamanho variável. Essa é a ideia básica da TW, que é uma transformada linear eexpande uma função utilizando um conjunto de funções wavelets, funções estas que têmlocalização espaço-frequência. Deste modo, é possível extrair informações das variaçõesem frequência e tempo de sinais não estacionários.

3.2.1 Transformada Wavelet Contínua

A wavelet mãe ψ ∈ L2(R) dilatada (ou comprimida) por uma fator a e submetida aum deslocamento b dá origem à uma família de funções da forma

ψa,b(t) =1√|a|ψ

(t− ba

), a, b ∈ R, a 6= 0 (3.2)

em que o fator 1√|a|

é incluído na fórmula para que se conserve a norma unitária de ψ.

Definição 2 A Transformada Wavelet Contínua (TWC) de uma função f ∈ L2(R) éexpressa por

W (a, b) = 〈f, ψa,b〉 =

∫ +∞

−∞f(t)ψa,b(t)dt =

∫ +∞

−∞f(t)

1√|a|ψ

(t− ba

)dt (3.3)

em que 〈f, ψa,b〉 representa o produto interno de L2 sobre L2([a, b]) definido por

〈f, g〉 =

∫ b

a

f(t)g(t)dt, em que f, g ∈ L2([a, b]). (3.4)

Os parâmetros a e b se referem à escala e localização da wavelet mãe, e assumem valorescontínuos na TWC.

A TWC é inversível, e sua inversa é dada pela seguinte relação

f(t) =1

Cψ

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞W (a, b)ψa,b(t)

dadb

a2(3.5)

em que Cψ é a condição (3.1) satisfeita por uma wavelet.

3. Wavelets 31

Deste modo, um sinal f(t) após transformado pode ser recuperado através da TWCinversa descrita por (3.5).

3.2.2 Transformada Wavelet Discreta

A fim de se obter a Transformada Wavelet Discreta (TWD) utiliza-se parâmetros dedilatação e translação que variam discretamente. Ou seja, para que a transformada sejadiscretizada, os parâmetros a, b da equação (3.3) são restritos a um grid discreto, de modoque

a = a−j0

b = kb0a−j0

em que j, k ∈ Z e a0 > 1, b0 > 0. A escolha mais popular é a0 = 2 e b0 = 1, porsimplicidade (DAUBECHIES, 1992).

Desta forma, a família de wavelets gerada na equação (3.2) pode ser substituida por

ψj,k(t) = aj/20 ψ

(t− kb0a−j0

a−j0

)= a

j/20 ψ

(aj0t− kb0

).

Restringindo a0 = 2 e b0 = 1, então existe ψ, tal que

ψj,k(t) = 2j/2ψ(2j/2t− k

)(3.6)

constitui uma base ortonormal para L2(R).Considere, a partir de agora, dados discretos X = (X0, ..., Xn−1) contidos no conjunto

dos números reais.

Definição 3 A TWD de X, com relação à wavelet mãe ψ, pode ser definida como

dj,k =n−1∑t=0

Xtψj,k(t), (3.7)

em que n = 2j0 é o número de observações. A equação (3.7) é calculada para j =0, ..., j0− 1 e k = 0, ..., 2j − 1, com j0 ∈ Z, representando a escala mais grossa (ou suave)e percorrendo n coeficientes d (MORETTIN, 2014).

Pode-se também escrever a TWD (3.7) na forma matricial

d = WX,

e tomando condições de fronteira apropriadas, como a TWD é ortogonal, pode-se obtersua inversa dada por

X = W′d,

em que a matriz W ′ é a transposta de W . Na prática, a TWD e sua fómula inversa,são obtidas por um um algoritmo desenvolvido por Mallat (1989), denominado AlgoritmoPiramidal, que será apresentado na Seção 3.4, já que primeiramente é necessário introduziros conceito de Análise Multirresolução.

3. Wavelets 32

3.3 Análise MultirresoluçãoAtravés da Análise Multirresolução (AMR) é possível analisar um sinal em várias

escalas de resolução. Seu objetivo é decompor um espaço de funções em subespaços, oque implica decompor um sinal f , em que cada "pedaço" (ou projeção) de f está em cadasubespaço.

Definição 4 Uma sequência {Vj}j∈Z de subespaços fechados de L2(R) é chamada umaAnálise de Multirresolução com função escala φ, se as seguintes propriedades são satis-feitas (BOGGES, 2001; DAUBECHIES, 1992):

1. ... ⊂ V−1 ⊂ V0 ⊂ V1 ⊂ ...

2.⋃j Vj = L2(R)

3.⋂j Vj = {0}

4. Invariância em escala: f(t) ∈ Vj ⇔ f(2−jt) ∈ V0

5. Invariância em translações: f(t) ∈ V0 ⇔ f(t− k) ∈ V0, n ∈ Z

6. Existência de uma função escala φ ∈ Vj tal que {φj,k; k ∈ Z} é uma base ortonormalem Vj, em que φj,k(t) = 2−j/2φ(2−jt− k).

Considere uma função f ∈ L2(R). O objetivo é obter funções, em vários níveis deresolução, que aproximam f . Assim, cada subespaço Vj será constituido por funçõesaproximantes, de modo que a projeção ortogonal de f sobre cada Vj, denotada por Pjf ,é a melhor aproximação para f .

A relação Vj ⊂ Vj+1 vista em (P1), indica que ao passar do nível de resolução jpara j + 1 nenhuma informação é perdida, ao contrário, cada projeção, à medida que jcresce, contém mais informações (ou detalhes) sobre f . Isto indica que quando a resoluçãoaumenta (j → ∞), Pjf converge para a função original, como mostra (P2) e a Figura(3.1). Ao contrário, quando f é aproximada a níveis de resolução cada vez menores(j → −∞) todas as informações sobre f são perdidas e tem-se Pjf convergindo para afunção nula, o que demonstra a propriedade (P3).

Em (P4) é ressaltado que Vj+1 pode ser obtido de Vj, isto é, a resolução fica mais fina,porém, detalhes que aparecem na escala 2j, de um nível de resolução j, também devemestar presentes na escala 2j+1. Na propriedade (P5) é possível notar que uma funçãof(t − k), transladada k unidades de f(t), não apresenta mudança de nível de resolução.Tal propriedade, junto à (P6), implica que {φj,k; j, k ∈ Z} é uma base ortonormal em Vj,para todo j ∈ Z, em que φj,k é a função escala (wavelet pai) (MORETTIN, 2014).

Em suma, o princípio básico da AMR é que, desde que uma coleção de subspaçosfechados {Vj; j ∈ Z} satisfaz as propriedades (P1) a (P6), existe uma base ortonormalde wavelets {ψj,k; j, k ∈ Z} de L2(R), com ψj,k(t) = 2−j/2ψ(2−jt − k), tal que para todof ∈ L2(R) (DAUBECHIES, 1992),

Pj+1f = Pjf︸︷︷︸aproximação

+∑k∈Z

〈f, ψj,k〉ψj,k︸︷︷︸detalhes

.

Deste modo, uma AMR representa funções por aproximações e detalhes projetadosem subespaços Vj, com Vj ⊂ Vj+1 (BOGGESS, 2001).

3. Wavelets 33

Figura 3.1: Sinal f e suas projeções sobre V0 e V1. Fonte: Adaptado de DAUBECHIES(1992).

Entretanto ainda falta representar a diferença de informação entre o nível de resoluçãoj e o mais refinado j+1, isto é, os detalhes entre um nível e o seguinte. Pode-se, portanto,considerar Wj o espaço das funções da forma∑

k∈Z

akψ(2jt− k), ak ∈ R,

em que somente um número finito de ak são não-nulos, de modo que Wj seja o comple-mento ortogonal de Vj em Vj+1 e

Vj+1 = Vj ⊕Wj.

Por decomposições sucessivas, segue que

Vj = Wj−1 ⊕ Vj−1= Wj−1 ⊕Wj−2 ⊕ Vj−2

...= Wj−1 ⊕Wj−2 ⊕ ...⊕W0 ⊕ V0,

isto é, cada fj pode ser decomposto unicamente como

f = wj−1 + wj−2 + ...+ w0 + f0,

em que cada wl ∈ Wl, 0 ≤ l ≤ j − 1 e f0 ∈ V0. Quando j tende ao infinito, temos que oespaço L2(R) pode ser decomposto na seguinte soma direta infinita ortogonal (BOGGESS,2001)

L2(R) = V0 ⊕W0 ⊕W1 ⊕ ...

Deste modo, cada f ∈ L2(R) pode ser escrito de modo único como

f = f0 +∞∑j=0

wj,

em que f0 ∈ V0, wj ∈ Wj e, considerando o sistema ortonormal φj,k(t), ψj,k(t), j, k ∈ Z,

3. Wavelets 34

f(t) =∑k

cj0,kφj0,k(t) +∑j≥j0

∑k

dj,kψj,k(t), (3.8)

em quecj0,k = 〈f(t), φj0,k(t)〉 =

∫∞−∞ f(t)φj0,k(t)dt

dj,k = 〈f(t), ψj,k(t)〉 =∫∞−∞ f(t)ψj,k(t)dt,

(3.9)

e j0 representa o nível de resolução mais baixo (MORETTIN, 2014). Os coeficientesdescritos em (3.9), são denominados coeficientes suave e detalhe.

3.4 Algoritmo Piramidal da TWDO Algoritmo Piramidal é a forma mais comum para se calcular a TWD e está associado

à ideia de AMR, em que os detalhes de alta frequência de um sinal são obtidos peladiferença de informação entre um nível j do algoritmo e um mais refinado j + 1. Ele estáesquematizado pela estrutura de bancos de filtros e utiliza os filtros passa-baixa {hk} epassa-alta {gk}, cujos coeficientes são dados por

hk =√

2∫ +∞−∞ φ(t)φ(2t− k)dt

gk =√

2∫ +∞−∞ ψ(t)φ(2t− k)dt,

(3.10)

em que φ é a função escala, conhecida como wavelet pai e ψ é a função wavelet, tambémchamada de wavelet mãe.

A partir dessa notação, a wavelet pai pode ser expressa como

φ(t) =√

2∑k

hkφ(2t− k), (3.11)

de modo que hk também é denominado filtro escala.Por outro lado, da relação entre os filtros hk e gk,

gk = (−1)kh1−k

dita Relação de Quadratura do Filtro, tem-se que a wavelet mãe ψ pode ser escrita como

ψ(t) =√

2∑k

gkφ(2t− k), (3.12)

em que gk, por sua vez, é também denominado filtro wavelet.Os coeficientes descritos em (3.9) são resultados da filtragem da função f(t) ∈ L2(R),

com os respectivos filtros escala e wavelet. Portanto, denotados do seguinte modo

cj,k = 〈f, φj,k〉 =∑hn−2kcj+1,n

dj,k = 〈f, ψj,k〉 =∑gn−2kcj+1,n,

(3.13)

com hk e gk dados pela equação (3.10), são também denominados coeficientes escala ewavelet e constituiem a base do algoritmo piramidal. Nota-se que no j-ésimo passo oalgoritmo calcula cj,k e dj,k a partir dos coeficientes suaves do nível j + 1 (MORETTIN,2014).

Denotando,(Hjx) =

∑n∈Z hn−2kxn

(Gjx) =∑

n∈Z gn−2kxn(3.14)

3. Wavelets 35

é possível escrever (3.13) da forma

cj,k = Hjcj+1,k

dj,k = Gjcj+1,k,

em que Hj pode ser interpretado como um filtro passa-baixa e Gj um filtro passa-alta.Desta forma, as equações em (3.13) podem ser vistas como um processo de convolução

seguido de uma decimação (downsampling) por dois (notação: ↓ 2 ), isto é, a cada duassaídas do filtro, uma é desprezada. Assim, no nível j, tem-se metade dos coeficientes donível j + 1, por isso, o algoritmo é denominado piramidal ou cascata. A Figura (3.2)ilustra o procedimento descrito.

Figura 3.2: Algoritmo Piramidal da TWD.

Para a reconstrução do sinal, que é o mesmo que obter a TWD inversa, o mesmoprocesso é efetuado inversamente. Os coeficientes obtidos pelo algoritmo piramidal, sãoaplicados em ordem reversa, de modo que, ao invés de aplicar a decimação, os componen-tes do sinal são interporlados: são inseridos zeros entre os coeficientes da transformada(upsampling) (notação:↑ 2) de forma a alongar tais coeficientes.

No algoritmo piramidal de reconstrução, os coeficientes cj+1,k são obtidos de cj,k e dj,kda seguinte forma:

cj+1,k =∑k

hn−2kcj,k +∑

gn−2kdj,k.

3.5 Escolha de uma base waveletÉ possível escolher uma base wavelet apropriada para cada aplicação. Essa escolha está

relacionada com o objetivo específico da análise wavelet, tais como estimativa de um sinal,isolamento de eventos transitórios em uma ST, estimativa de parâmetros em um processode memória longa, estimativa da variância wavelet, e determinação das característicasnecessárias ao filtro wavelet para que esse objetivo seja alcançado (PERCIVAL, 2000).

3.5.1 Características das Wavelets

Os fatores que geralmente mais influenciam na escolha das wavelets são suavidade,simetria, ortogonalidade e suporte compacto.

A suavidade (ou regularidade) de uma wavelet pode ser determinada pelo seu númerode momentos nulos.

3. Wavelets 36

Definição 5 Uma wavelet ψ ∈ L2(R) tem p momentos nulos se∫ ∞−∞

tkψ(t)dt = 0, 0 ≤ k ≤ p.

Em geral, quanto maior p, mais suave será ψ. Além disso, se um sinal é bastantesuave, possuindo poucas descontinuidades, então os coeficientes wavelet referentes à partesuave do sinal serão muito pequenos ou nulos (NASON, 2008).

Uma wavelet tem suporte compacto se sua energia fica restrita a um intervalo finito,ou em outras palavras, tem-se:

Definição 6 Uma função f tem suporte compacto se existe um intervalo fechado e limi-tado fora do qual f(t) = 0.

Nesse caso diz-se que a wavelet tem localização espacial.Dentre as famílias de wavelets de suporte compacto destacam-se as wavelets de Haar,

Daubechies e Symmlets. Todas estas são ortogonais, mas apenas a wavelet de Haar ésimétrica.

A simetria e ortogonalidade de uma wavelet são fatores interligados. Em waveletsortogonais (exceto o caso de Haar) é impossível obter simetria e reconstrução perfeita seos filtros utilizados para decomposição e reconstrução forem os mesmos.

A seguir serão apresentadas algumas das wavelets já citadas.

3.5.2 Wavelet de Haar

Definição 7 A função φ(t) definida por

φ(t) =

{1, se 0 ≤ t < 10, caso contrário

cujo gráfico aparece na Figura (3.3), é chamada Função escala de Haar.

Figura 3.3: Gráfico da função escala de Haar φ(t).

Uma wavelet de Haar é gerada por translações e dilatações dessa função escala, sendorepresenta por

ψ(t) = φ(2t)− φ(2t− 1)

ou ainda,

ψ(t) =

1, se 0 ≤ t < 1/2−1, se 1/2 ≤ t ≤ 10, caso contrário.

O "casamento" dessas duas funções φ(t) e ψ(t) (cujo gráfico é apresentado na Figura(3.4)) gera uma família de funções que podem ser usadas para decompor ou reconstruirum sinal, como mostra de modo geral a equação (3.8).

3. Wavelets 37

Figura 3.4: Wavelet de Haar ψ(t).

3.5.3 Wavelet de Daubechies

Ingrid Daubechies (1988), foi a responsável por construir uma família de waveletsortogonais em que cada membro da família é representado por um filtro passa-baixa hkde tamanho N = 2p, possuindo assim, p momentos nulos e suporte em [−p+ 1, p].

Quando p = 1, obtem-se a wavelet de Haar. Para p = 2, segue que a DAUB2 temapenas 4 coeficientes, já que temos N = 4.

As wavelets de Daubechies, diferentemente da wavelet de Haar, não possuem umaforma explícita fechada, sendo calculadas de forma iterativa.

Na Figura (3.5) são apresentadas algumas wavelets de Daubechies calculadas parap = 2, 4, 6, 10 (SOUZA, 2008).

Figura 3.5: Wavelets de Daubechies ψ(t) com p = 2, 4, 6, 10. Fonte: SOUZA (2008)

É possivel notar pela Figura (3.5) que quanto maior o número de coeficientes, maioré o numero de momentos nulos, e portanto, mais suave é a wavelet.

3.5.4 Symmlets

Visto que as wavelets de Daubechies eram bastante assimétricas, Daubechies (1992)propôs as Symmlets.

As Symmlets, assim como as wavelets de Daubechies, possuem p momentos nulos esuporte em [−p + 1, p]. No entanto, como pode-se verificar na Figura (3.6), são maissimétricas que as wavelets de Daubechies, e também são ortogonais.

3. Wavelets 38

Figura 3.6: Symmlets ψ(t) com p = 2, 5, 6, 10. Fonte: SOUZA (2008)

3.5.5 Starlet

A Starlet wavelet, chamada no passado como B3-spline, é muito utilizada na análisede dados astronômicos onde os objetos de estudo são na maioria das vezes isotrópicos(NASON, 1995). Além da fácil implementação, outra razão que motiva o uso da Starlet éque ela não necessita de filtros ortogonais ou biortogonais e ainda oferece uma computaçãorápida, caso o filtro wavelet satisfaça a condição de separalidade estabelecida por h(k, l) =h(k)h(l), em que k, l são escalas diferentes. Mostra-se, portanto, ideal para lidar comdados de grande escala (tamanho) como é o caso dos dados S4 de cintilação. Uma escolhapara os filtros escala e wavelet da Starlet é

hk = [1, 4, 6, 4, 1] /16,

gk = δ − hj,k = [−1,−4, 10,−4,−1] /16.(3.15)

Os filtros h, g descritos em (3.15) estão associados às funções escala φ e wavelet ψ,respectivamente. Tais funções são definidas por

φ(t) = 112

(|t− 2|2 − 4 |t− 1|3 + 6 |t|3 − 4 |t+ 1|3 + |t+ 2|3

),

φ(t1, t2) = φ(t1)φ(t2),14ψ( t1

2, t22

) = φ(t1, t2)− 14φ( t1

2, t22

)

(3.16)

em que φ é a wavelet pai e ψ é a wavelet mãe definida como a diferença entre duasresoluções, ilustradas na Figura (3.7).

3. Wavelets 39

Figura 3.7: (À esquerda) Função escala φ; (À direita) Função wavelet ψ Starlet. Fonte:STARK (2010)

3.5.6 Considerações sobre a escolha da base wavelet

Diante de tantas possibilidades, há duas considerações importantes para a escolha deuma base wavelet. A primeira, é que filtros wavelet de largura muito pequena (K = 2, 4 ou6) podem muitas vezes introduzir artefatos indesejáveis no resultado da análise wavelet,como blocos de coeficientes wavelet indicando variações bruscas irreais no sinal. Poroutro lado, o uso de filtros com uma largura K grande pode resultar em grande númerode coeficientes wavelet sendo influenciados pelas condições de borda, diminuição no graude localização dos coeficientes da TWD e aumento do esforço computacional. Sendo assim,uma estratégia razoável é utilizar a menor largura K para o filtro tal que seja possíveluma análise wavelet livre de quaisquer artefatos.

Capítulo

4Transformada Wavelet Não Decimada

Como apresentado na seção 3.4, a TWD pode ser vista como um processo de filtragemseguido por uma decimação (diádica) por 2, em que são aproveitados apenas os elementospares ou ímpares da amostra. A TWD depende da escolha da origem (escolha da deci-mação), que implica dizer que uma translação na entrada dos dados pode resultar em umconjunto de coeficientes wavelet completamente diferente se comparado ao conjunto dedados obtidos com a entrada original, como exemplifica a Figura (4.1).

Figura 4.1: TWD de X e TX (vetor X transladado) - coeficientes escalonados em cadaescala.

41

4. Transformada Wavelet Não Decimada 42

Em algumas aplicações, no entanto, é necessário que o método não seja sensível àorigem, ou seja, é preferível que seja invariante à translação, o que é conseguido com awavelet não decimada, pois esta leva em consideração todos os elementos: pares e ímpares.Sendo assim, uma translação no sinal de entrada não gera mudanças nos coeficienteswavelet em relação aos coeficientes wavelet do sinal original, a menos de uma translação,como pode ser visualizado na Figura (4.2).

Figura 4.2: TWND de X e TX (vetor X transladado) - coeficientes escalonados em cadaescala.

A wavelet ψj,k para a TWND correspondente à equação (3.6) é dada por

ψj,k(t) = 2j/2ψ{

2j (t− k)}. (4.1)

A TWND é obtida eliminando-se a decimação na TWD. A cada escala do algoritmopiramidal, os filtros wavelet e escala são modificados pela inserção de zeros entre os ele-mentos do filtro, posteriormente mostrado em (4.12), de modo que ao realizar a convoluçãoentre o sinal e filtro, se obtenha n coeficientes em cada escala do algoritmo. Deste modo, aTWND permite uma análise completa em multiescala, mostrando-se ideal para identificarinformações e padrões escondidos, porém presentes nos sinais.

Na Figura (4.3) tem-se um sinal s simulado, composto pela soma de três funçõesperiódicas f, g e h de diferentes frequências, ilustradas no lado direito da figura, e umruído m adicionado ao sinal. Uma comparação entre a TWD e TWND aplicadas ao sinalé feita na Figura (4.4), que evidencia um melhor desempenho da TWND para a análise desinais, já que a mesma, ao contrário da TWD, explicita as funções periódicas nas escalasde níveis de resolução 3 a 5, além de identificar o ruído como o comportamento de maiorfrequência, por isso localizado na escala mais refinada, e sua localização no sinal entre osinstantes 40 e 50.


Figura 4.3: Sinal simulado. À direita, as três funções periódicas que compõem o o sinal.

Figura 4.4: TWD e TWND do sinal simulado - coeficientes escalonados em cada escala.

As funcionalidades da TWND aqui descritas, motivam o seu uso na análise de sinaisnão estacionários, sobretudo, de sinais provenientes dos índices S4 de cintilação ionosfé-rica, em que se pretende uma análise mais detalhada.

4.1 Os filtros wavelet e escala da TWNDA TWND do nível j0 para uma série temporal X = [X0, X1, ..., Xn−1] gera veto-

res coluna W1, W2, ..., Wj0 e Vj0 , todos de dimensão n, tais que o vetor Wj contêm oscoeficientes wavelets dj,k da TWND associados com mudanças em X sobre uma escalaλj = 2j−1, j = 1, ..., j0, e Vj0 contém os coeficientes escala cj0,k associados com variaçõesda escala λj0 = 2j0 (PERCIVAL, 2000). Tais coeficientes wavelet e escala, nada maissão que o resultado da filtragem da série temporal X com os filtros wavelet e escala daTWND.

Os filtros wavelet {gk} e escala{hk

}da TWND são a versão redimensionada dos

filtros wavelet {gk} e escala {hk} definidos via gk = gk/√

2 e hk = hk/√

2. Também estãorelacionados pela Relação de Quadratura do Filtro, de modo que

gk = (−1)k+1hK−1−k e hk = (−1)kgK−1−k. (4.2)


As funções de transferência para os filtros {gk} e{hk

}da TWND, são dadas pela

relação (Gjx

)=

(Gjx)√2(

Hjx)

=(Hjx)√

2,

(4.3)

em que (Gjx) e (Hjx) são expressos por

G(x) = e−i2πx(K−1)H(12− x)

H(x) ≡∑∞−∞ hke

−i2πxk =∑K−1

k=0 hke−i2πxk

(4.4)

e referem-se às funções de transferência para os filtros wavelet e escala da TWD.Assim, o resultado da filtragem de uma série temporal {Xt : t = 0, ..., n− 1}, com os

filtros wavelet e escala da TWND é dado, respectivamente por

W1,t =∑K−1

k=0 gkXt−kmod n

V1,t =∑K−1

k=0 hkXt−kmod n, t = 0, 1, ..., n− 1.(4.5)

Estas duas sequências constituem a TWND do nível j0 = 1. O termo mod da equação(4.5) permite uma filtragem circular, fazendo com que X seja representado com o mesmonúmero de coeficientes em cada escala.

É possível ainda, encontrar uma relação entre os coeficientes escala e wavelet das TWDe TWND, a saber

W1,t ≡ 21/2W1,2t+1 =∑K−1

k=0 gkX2t+1−kmod n

V1,t ≡ 21/2V1,2t+1 =∑K−1

k=0 hkX2t+1−kmod n, t = 0, ..., n2− 1.

(4.6)

4.2 Formulação da TWNDNesta seção será apresentada a formulação da TWND através de uma abordagem

matricial, com base em (PERCIVAL, 2000). No entanto, vale destacar que para finspráticos, a TWND é implementada como um processo de convolução, como descrito naequação (4.5).

A grande motivação para formular a TWND é definir uma transformada que atuasemelhantemente à TWD, mas que não sofre sensibilidade na escolha da origem para umasérie temporal, ou seja, é invariante à translação. Essa sensibilidade da TWD é devidainteiramente à decimação das saídas dos filtros wavelet e escala de cada estágio (ou nível)do algoritmo piramidal, que a cada duas saídas uma é descartada. As saídas dos filtrosque são descartadas no primeiro nível do algoritmo piramidal da TWD, podem ser obtidasaplicando o algoritmo piramidal da TWD no vetor transladado TX ao invés de X. Valeressaltar que, se o vetor X = [X0, X1, ..., Xn−1]

t, então TX = [Xn−1, X0, ..., Xn−2]t será o

vetor X transladado uma unidade, em que Tn é dita uma matriz de translação, dada por

T =

0 0 0 0 ... 0 0 11 0 0 0 ... 0 0 00 1 0 0 ... 0 0 0...

......

... ......

......

0 0 0 0 ... 1 0 00 0 0 0 ... 0 1 0

. (4.7)

Esse procedimento sugere como definir o primeiro estágio do algoritmo piramidal daTWND para uma amostra de tamanho n. A ideia é aplicar o algoritmo piramidal usual


(da TWD) duas vezes, uma vez para X e outra para TX, e depois interceptar os doisconjuntos de coeficientes da TWD (PERCIVAL, 2000).

A primeira aplicação resulta em[W1

V1

]=

[A1

B1

]X = P1X, (4.8)

em que,

A1 =

g1 g0 0 0 0 ... 0 0 0 0 0 g3 g2g3 g2 g1 g0 0 ... 0 0 0 0 0 0 0...

......

......

......

......

......

...0 0 0 0 0 ... 0 g3 g2 g1 g0 0 00 0 0 0 0 ... 0 0 0 g3 g2 g1 g0

,

B1 =

h1 h0 0 0 0 ... 0 0 0 0 0 h3 h2h3 h2 h1 h0 0 ... 0 0 0 0 0 0 0...

......

......

......

......

......

...0 0 0 0 0 ... 0 h3 h2 h1 h0 0 00 0 0 0 0 ... 0 0 0 h3 h2 h1 h0

e

P1 =

[A1

B1

].

Neste caso, assim como outros, foi exibida uma matriz para o caso K = 4 e n > K,porém o desenvolvimento matemático é geral.

Da equação (4.6), pode-se então denotar os elementos de W1 e V1 por

W1 =[21/2W1,1, 2

1/2W1,3, ..., 21/2W1,n−1

]tV1 =

[21/2V1,1, 2

1/2V1,3, ..., 21/2V1,n−1

]t.

Observe que W1 e V1 contém todos os elementos de índice ímpar das sequências detamanho n,

{21/2W1,t

}e{

21/2V1,t

}, respectivamente, formadas pela convolução circular

da série temporal X com os respectivos filtros wavelet {gk} e escala {hk}.A segunda aplicação consiste em substituir X por TX e aplicar a TWD ao vetor

transladado. Deste modo, obtem-se[WT,1

VT,1

]= P1TX.

DefinindoPT,1 = P1T =

[A1

B1

]T =

[A1TB1T

]=

[AT,1BT,1

],

pode-se escrever [WT,1

VT,1

]= PT,1X =

[AT,1BT,1

]X, (4.9)

em que

AT,1 =

g0 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 g3 g2 g1g2 g1 g0 0 0 ... 0 0 0 0 0 0 g3...

......

......

......

......

......

...0 0 0 0 0 ... g3 g2 g1 g0 0 0 00 0 0 0 0 ... 0 0 g3 g2 g1 g0 0


e BT,1 tem a mesma estrutura, substituindo cada gk por hk. Como A1X é formado pelosvalores de índice ímpar da sequência

{21/2W1,t

}, então, AT,1X, que é A1X transladado

uma unidade, será formado pelos valores de índice par da sequência{

21/2W1,t

}, ou seja,

WT,1 =[21/2W1,0, 2

1/2W1,2, ..., 21/2W1,n−2

]t,

e pelo mesmo argumento, os elementos de VT,1 são dados por

VT,1 =[21/2V1,0, 2

1/2V1,2, ..., 21/2V1,n−2

]t.

Com isso, é possível formar os coeficientes wavelet da TWND a partir do reescalo-namento dos elementos de W1 e W1,T intercalados, e de forma semelhante, construir oscoeficientes escala da TWND a partir de V1 e VT,1, isto é,

W1 =[W1,0, W1,1, W1,2, ..., W1,n−1

]tV1 =

[V1,0, V1,1, V1,2, ..., V1,n−1

]t.

(4.10)

É notório em (4.10), que os elementos de W1 e V1 são exatamente as saídas de W1,t eV1,t utilizando os respectivos filtros gk e hk da TWND, como pode ser observado em (4.5).

Definindo A1 como uma matriz n× n formada pelos linhas de AT,1 e A1 intercaladas,e substituindo cada gk por gk, isto é,

A1 ≡

g0 0 0 ... 0 0 0 0 g3 g2 g1g1 g0 0 ... 0 0 0 0 0 g3 g2g2 g1 g0 ... 0 0 0 0 0 0 g3...

......

......

......

......

...0 0 0 ... 0 g3 g2 g1 g0 0 00 0 0 ... 0 0 g3 g2 g1 g0 00 0 0 ... 0 0 0 g3 g2 g1 g0

,

obtem-se W1 = A1X. Com uma definição análoga para B1, tem-se V1 = B1X. Destemodo, é possível representar a primeira etapa do algoritmo piramidal da TWND como[

W1

V1

]=

[A1

B1

]X = P1X,

em que

P1 =

[A1

B1

].

Como P t1P1 = In e T tT = In, em que T é a matriz de translação dada em (4.7), segue

queP tT,1PT,1 = T tP t

1P1T = In

e então, PT,1 é uma matriz ortonormal. Portanto, obtem-se as seguintes decomposiçõespara X

‖X‖2 = ‖W1‖2 + ‖V1‖2

‖X‖2 = ‖WT,1‖2 + ‖VT,1‖2 .


Além disso, desde que

‖W1‖2 + ‖WT,1‖2 = 2∥∥∥W1

∥∥∥2‖V1‖2 + ‖VT,1‖2 = 2

∥∥∥V1∥∥∥2 .também é possível obter

‖X‖2 =∥∥∥W1

∥∥∥2 +∥∥∥V1∥∥∥2 .

De (4.8) e (4.9) tem-se

X =[At1, B

t1

] [ W1

V1

]e

X =[AtT,1, B

tT,1

] [ WT,1

VT,1

].

Deste modo, X pode ser escrito como

X =1

2

[At1, B

t1

] [ W1

V1

]+

1

2

[AtT,1, B

tT,1

] [ WT,1

VT,1

]=

1

2

(At1W1 +Bt

1V1 + AtT,1WT,1 +Btt,1VT,1

)=

1

2

(At1W1 + AtT,1WT,1

)+

1

2

(Bt

1V1 +BtT,1VT,1

)= At1W1 + Bt

1V1

= D1 + S1

em que D1 ≡ At1W1 é o coeficiente de detalhe do primeiro nível da TWND e S1 ≡ Bt1V1 é

o correspondente suave.Ao contrário da TWD, em que é possível obter a relação ‖W1‖2 = ‖D1‖2, isto é, a

energia do coeficiente wavelet é a mesma do coeficiente de detalhe, na TWND tem-se que∥∥∥D1

∥∥∥2 =1

2

(∥∥∥W1

∥∥∥2 +W t1A1A

tT,1WT,1

),

ou seja,∥∥∥D1

∥∥∥2 ≤ ∥∥∥W1

∥∥∥2.O coeficiente de detalhe D1 da TWND pode ser interpretado como uma operação de

filtragem envolvendoX e um filtro wavelet. Para mais clareza, seja D1,t o t-ésimo elementode D1. Expandindo D1 = At1W1 obtem-se

D1 =

g0 g1 g2 g3 ... 0 0 0 00 g0 g1 g2 ... 0 0 0 0...

......

......

......

...0 0 0 0 ... g0 g1 g2 g3g3 0 0 0 ... 0 g0 g1 g2g2 g3 0 0 ... 0 0 g0 g1g1 g2 g3 0 ... 0 0 0 g0

W1,0

W1,1

W1,2...

W1,n−2W1,n−1

,

donde segue que

D1,t =K−1∑k=0

gkW1,t+kmod n =n−1∑k=0

gokW1,t+kmod n, t = 0, 1, ..., n− 1,


em que, {gok : k = 0, ..., n− 1} é o filtro {gk : k = 0, ..., K − 1} periodizado para tamanhon.

Foram apresentados, até agora, os coeficientes do primeiro nível da TWND. Na pró-xima seção, tais conceitos serão generalizados de modo a definir o nível j da TWND.

4.3 Definição do j-ésimo nível de coeficientes da TWNDPara uma amostra de tamanho n, os coeficientes wavelet e escala da TWND são

definidos, respectivamente, por

Wj,t =∑Kj−1

k=0 gj,kXt−kmod n

Vj,t =∑Kj−1

k=0 hj,kXt−kmod n, t = 0, 1, ..., n− 1,(4.11)

em que {gj,k : k = 0, ..., Kj − 1} e{hj,k : k = 0, ..., Kj − 1

}são, respectivamente, os filtros

wavelet e escala do nível j da TWND, definidos via gj,k ≡ gj,k/2j/2 e hj,k ≡ hj,k/2

j/2 apartir dos filtros {gj,k} e {hj,k} de largura Kj ≡ (2j − 1)(K − 1) + 1.

Os filtros da TWND são modificados a cada escala pela inserção de zeros. Ou seja, acada escala são inseridos 2j−1 zeros entre cada um dos K valores dos filtros {gj} e

{hj

}da TWND,

g0, 0, ..., 0︸︷︷︸2j−1

, g1, 0, ..., 0︸︷︷︸2j−1

, ..., gK−2, 0, ..., 0︸︷︷︸2j−1

, gK−1

h0, 0, ..., 0︸︷︷︸2j−1

, h1, 0, ..., 0︸︷︷︸2j−1

, ..., hK−2, 0, ..., 0︸︷︷︸2j−1

, hK−1,(4.12)

que consiste em aplicar um upsample de largura 2j−1(K − 1) + 1.Deste modo, é possível representar a primeira etapa do algoritmo piramidal da TWND

como [W1

V1

]=

[A1

B1

]X,

em que

A1 ≡

g0 0 0 ... 0 0 0 0 g3 g2 g1g1 g0 0 ... 0 0 0 0 0 g3 g2g2 g1 g0 ... 0 0 0 0 0 0 g3...

......

......

......

......

...0 0 0 ... 0 g3 g2 g1 g0 0 00 0 0 ... 0 0 g3 g2 g1 g0 00 0 0 ... 0 0 0 g3 g2 g1 g0

e uma definição análoga para B1.

Na segunda etapa do algoritmo piramidal,[W2

V2

]=

[A2

B2

]X,


os filtros são modificados, de modo que a matriz A2 é descrita por

A2 ≡

g0 0 0 ... 0 g3 0 g2 0 g1 00 g0 0 ... 0 0 g3 0 g2 0 g1g1 0 g0 ... 0 0 0 g3 0 g2 0...

......

......

......

......

...0 0 0 ... g2 0 g1 0 g0 0 00 0 0 ... 0 g2 0 g1 0 g0 00 0 0 ... g3 0 g2 0 g1 0 g0

e uma definição análoga para B2, substituindo cada gk por hk.

É possível também, escrever (4.11) em forma matricial como

Wj = ωjX

Vj = ϑjX,

em que

ωj =

goj,0 goj,n−1 ... goj,2 goj,1goj,1 goj,0 ... goj,3 goj,2...

......

...goj,n−2 goj,n−3 ... goj,0 goj,n−1goj,n−1 goj,n−2 ... goj,1 goj,0

e ϑj tem a mesma estrutura, substituindo cada goj,k por hoj,k.

Filtrar {Xt} com gj,k equivale a filtrá-lo com goj,k. Logo, é possivel reescrever (4.11)como

Wj,t =∑n−1

k=0 goj,kXt−kmod n

Vj,t =∑n−1

k=0 hoj,kXt−kmod n, t = 0, 1, ..., n− 1.

(4.13)

As funções de transferência para os filtros wavelet e escala do j-ésimo nível da TWNDsão dadas, respectivamente, por

Gj(f) ≡ G(2j−1f)∏j−2

k=0 H(2kf)

Hj(f) ≡∏j−1

k=0 H(2kf),(4.14)

em que G(·) e H(·) são as funções transferência para {gk} e{hk

}apresentadas na equação

(4.3).Os coeficientes de detalhe e suave do nível j da TWND são definidos, respectivamente,

porDj ≡ ωtjWj

Sj ≡ ϑtjVj,

em que os elementos de Dj e Sj são expressos por

Dj,t =∑n−1

k=0 goj,kWj,t+kmod n

Sj,t =∑n−1

k=0 hoj,kVj,t+kmod n, t = 0, 1, ..., n− 1.

Nesses termos, dada uma amostra X de tamanho n, pode-se expressar a decomposiçãoaditiva da TWND por

X =

j0∑j=1

Dj + Sj0


e obter a decomposição de energia da TWND através de

‖X‖2 =

j0∑j=1

∥∥∥Wj

∥∥∥2 +∥∥∥Vj0∥∥∥2

para qualquer inteiro j0 ≥ 1.

4.4 Algoritmo Piramidal da TWNDNesta seção será descrito um algoritmo eficiente para calcular os coeficientes wavelet

Wj e escala Vj do nível j da TWND, baseados nos coeficientes escala Vj−1 do nível j − 1.A equação (4.13) estipula que os elementos Wj, Vj e Vj−1 são obtidos filtrando circu-

larmente Xt com os respectivos filtros periodizados{goj,k},{hoj,k

}e{hoj−1,k

}. As Trans-

formadas de Fourier Discreta desses filtros são, respectivamente{Gj

(kn

)},{Hj

(kn

)}e{

Hj−1(kn

)}. Aplicando aqui a equação (4.14), tem-se que

{Gj

(kn

)}e{Hj

(kn

)}podem

ser expressas em termos de{Hj−1

(kn

)}, e que as funções de transferência G(·) e H(·)

para os filtros wavelet e escala da TWND são, como segue

Gj

(kn

)= Hj−1

(kn

)G(2j−1 k

n

)Hj

(kn

)= Hj−1

(kn

)H(2j−1 k

n

).

Isto sugere que é possível obter Wj e Vj pela filtragem de Vj−1 com os filtros circularesdescritos por G

(2j−1 k

n

)e H

(2j−1 k

n

).

Daí, pode-se mostrar (ver seção 5.5 de (PERCIVAL, 2000)) que os coeficientes Wj eVj provêm da filtragem de Vj−1 através das fórmulas

Wj,t =∑K−1

k=0 gkVj−1,t−2j−1kmod n

Vj,t =∑K−1

k=0 hkVj−1,t−2j−1kmod n, t = 0, 1, ..., n− 1.(4.15)

As equações em (4.15) constituem o algoritmo piramidal da TWND, e podem serescritas na forma matricial como

Wj = AjVj−1,t

Vj = BjVj−1,t,

em que as linhas de Aj contém a versão de {gj} transladada circularmente depois de tersofrido um upsample de largura 2j−1(K − 1) + 1 e então periodizada para comprimenton, e com uma construção similar para Bj baseada em

{hj

}.

Note, que ao definir V0,t = X, as equações (4.15) geram os coeficientes wavelet W1 eescala V1 do primeiro nível da TWND.

A TWND também possibilita reconstruir Vj−1 de Wj e Vj. A TWND inversa pode sercalculada via algoritmo piramidal inverso, descrito pela seguinte equação

Vj−1,t =K−1∑k=0

gkWj,t+2j−1kmod n +K−1∑k=0

hkVj,t+2j−1kmod n, t = 0, 1, ..., n− 1.

Ou ainda, na forma matricial,

Vj−1 = AtjWj + BtjVj. (4.16)


Identificando V0 ≡ X e aplicando (4.16) recursivamente até o estágio j0, tem-se

X = At1W1 + Bt1A

t2W2 + Bt

1Bt2A

t3W3 + ...+ Bt

1...Btj0−1A

tj0Wj0 + Bt

1...Btj0−1B

tj0Vj0 ,

donde pode-se expressar o j-ésimo coeficiente de detalhe Dj e o j0-ésimo coeficiente suaveSj0 da TWND, a saber

Dj = Bt1...B

tj−1A

tjWj e Sj0 = Bt

1...Btj0−1B

tj0Vj0 (4.17)

e, comparando (4.17) com Dj = ωtjWj e Sj0 = ϑtj0Vj0 obtem-se as expressões para ωj e ϑjem termos das matrizes Aj e Bj, em que

ωj = Aj...Bj−1...B1

ϑj = Bj...Bj−1...B1

donde segue que tais matrizes ωj e ϑj geram

Wj = ωjX

Vj = ϑjX.

Capítulo

5Análise Multiescala de Séries

Temporais

A análise estatística de séries temporais consiste no desenvolvimento de modelos paraa série, com o objetivo de obter alguma descrição dos mecanismos subjacentes à geraçãodos dados da série, prever dados futuros, ou ainda estudar a relação entre séries de modoa predizer uma delas em função dos dados da outra ST (NASON, 2008).

Neste capítulo dar-se-á principal destaque a métodos baseados em wavelet para aanálise de ST, de modo que informações e padrões escondidos dentro de uma série, quenão podem ser detectados no domínio do tempo, possam ser explicitados no domínioespaço-frequência.

5.1 Séries Temporais EstacionáriasUma ST é uma coleção de observações feitas sequencialmente ao longo do tempo

(CHATFILED, 1995). A principal diferença entre dados de séries temporais e dados"comuns" é que as observações da ST não são independentes, mas tipicamente possuemuma relação estocástica entre elas (NASON, 2008).

O modelo utilizado para descrever uma ST é o processo estocástico, que é uma cole-ção de variáveis aleatórias ordenadas no tempo {X(t), t ∈ T} em que T é um conjuntoordenado de índices (MORETTIN, et. al., 2006). Desse modo, uma ST nada mais éque a realização ou trajetória desse processo, em que as observações (ou variáveis) estãoordenadas em intervalos regulares de tempo (cada dia, cada mês, cada ano, etc).

Um processo estocástico pode ser caracterizado através da distribuição de probabili-dade conjunta de X(t1), ..., X(tp) para qualquer conjunto de tempos t1, ..., tp. Porém, naprática, costuma-se utilizar uma definição de estacionariedade menos restrita.

Definição 1 Uma ST {X(t) : t ∈ T} é dita ser estacionária de segunda ordem ou fraca-mente estacionária se a sua função média é constante e sua função de autocovariânciadepende da defasagem τ , isto é,

E [Xt] = µ e γ(τ) = cov [Xt, Xt+τ ] ,

que significa dizer que a média do processo é constante, e que o coeficiente de autoco-variância na defasagem τ é uma função apenas de τ sendo que, quando τ = 0 tem-seV ar[X(t)] = γ(0), isto é, a variância do processo também é constante.

53

5. Análise Multiescala de Séries Temporais 54

De modo intuitivo, uma ST é dita estacionária se suas propriedades estatísticas (média,variância e autocovariância) não mudam com o tempo, isto é, a ST se comporta sempreda mesma maneira, aparentando um equilíbrio estável.

5.2 EspectroO espectro f(ω), ou função densidade espectral, é a medida da "quantidade" de oscila-

ções nas diferentes frequências ω ∈ (−π, π). Mais especificamente, f(ω)dω é a contribuiçãodas frequências em (ω, ω + dω) para a variância total de Xt (NASON, 2008).

A relação entre o espectro e a autocovariância é dada pela relação de Fourier

f(ω) = (2π)−1∞∑

τ=−∞

γ(τ)exp(−ωτ).

Se {Xt}t∈Z é um processo estacionário, então é possível representá-lo da seguinte forma

Xt =

∫ π

−πexp(iωt)dZ(ω) =

∫ π

−πA(ω)exp(iωt)dξ(ω), (5.1)

em que A(ω) é a amplitude do processo e dξ(ω) é um processo de incremento ortonor-mal. No processo estacionário descrito em (5.1) a amplitude A(ω), cuja tarefa é ampliara frequência ω ∈ (−π, π), não depende do tempo. Deste modo o comportamento dafrequência ω é o mesmo para toda a ST, não se modificando ao longo do tempo.

De modo a fazer com que a representação do modelo descrito em (5.1) seja em tempo-frequência, isto é, o processo estacionário dependa do tempo, basta trocar A(ω) pela formatempo-dependente At(ω) ou então utilizar versões dos processos variância, autocorrelação,correlação cruzada e espectro, adaptados e indexados por escala (NASON, 2008). Taismétodos de análise multiescala utilizam a TWD ou sua versão não-decimada (TWND),que por sua vez, possibilita uma melhor análise do processo.

Em um modelo geral de ST como em (5.1), a amplitude A(ω) controla o volume daoscilação senoidal na frequência ω. O espectro desse processo é dado por

f(ω) = |A(ω)|2 . (5.2)

5.3 Espectro Wavelet Evolucionário (EWS)A maioria das séries temporais reais são não estacionárias. No entanto, alguns pro-

cessos, embora não sejam estacionários no todo, são estacionários em intervalos menores,sendo chamados processos localmente estacionários.

É possível construir um modelo de ST Xt,n baseado em wavelets não decimadas, apartir de uma combinação linear de funções oscilatórias ψj,k. Um processo wavelet lo-calmente estacionário (LSW - Locally Stationary Wavelet) {Xt,n}t=0,...,n−1, n = 2J ≥ 1,é um processo estocástico duplamente indexado com a seguinte representação no sentidode média quadrática

Xt,n =J−1∑j=0

∑k

wj,k;nψj,k(t)ξj,k, (5.3)

em que ξj,k é uma sequência de incrementos ortonormal aleatória, {ψj,k(t)}j,k é um con-junto de wavelets discretas não decimadas, e {wj,k;n} é um conjunto de amplitudes. Talrepresentação multiescala, é equivalente à construção multiescala descrita em (5.1) paraprocessos estacionários.


Existem três propriedades sobre as quantidades na representação (5.3). A primeiradelas, E (ξj,k) = 0 garante que o processo Xt,n tenha sempre média zero. A segunda,cov (ξj,k, ξl,m) = δj,lδk,m, em que δj,l é o delta de Kronecker, indica que a sequência deincremento ortonormal é não-correlacionada. E a terceira propriedade, assumindo

supk |wj,k;n −Wj(k/n)| ≤ Cj/n, (5.4)

em que {Cj} é um conjunto de constantes com∑J−1

j=0 Cj < ∞ e z = k/n, controla avelocidade da evolução de wj,k;n para que ele não se desvie de uma função Wj(z) paraz ∈ (0, 1). Restrições de suavidade impostas sobre Wj(k/n) impedem-na de oscilar des-controladamente, controlando assim a velocidade de evolução de wj,k;n (NASON, 2008).Quanto menor a velocidade da evolução do processo, maior o conjunto de observações aserem agrupadas para obter boas estimativas do processo Wj(k/n) = Wj(z).

Para o processo wavelet localmente estacionário, é possível definir uma função similar àfunção densidade espectral descrita em (5.2), denominada espectro wavelet evolucionário(EWS -Evolutionary Wavelet Spectrum), e definida por

Sj(z) = |Wj(z)|2 (5.5)

em que j = 0, ..., J(n) − 1, z ∈ (0, 1). O EWS determina a energia local (variância) doprocesso na escala j e localização z ∈ (0, 1). A quantidade z, usualmente denotada comoz = k/n, é tida como uma mudança na escala do tempo (NASON, 2008).

O EWS é uma ferramenta bastante útil na Análise Wavelet. A partir dele, é possíveldescobrir informações importantes em um sinal ou ST, como por exemplo, as frequênciaspredominantes e onde elas ocorrem.

5.4 Estimação do EWS a partir do Periodograma Wa-velet

O periodograma wavelet é um estimador do espectro wavelet. Como, por (5.5), oespectro é o quadrado de Wj, e para obter os coeficientes ωj,k;n ( ou Wj(z)) é neces-sário aplicar a TWND em {xt}, então é possível estimar o espectro pelo quadrado doscoeficientes wavelet não decimados de {xt} dados por

dj,k =n∑t=1

xtψj,k(t). (5.6)

Deste modo, o periodograma wavelet pode ser escrito da seguinte forma

Iψj,k = |dj,k|2 . (5.7)

A partir do periodograma wavelet, tem-se uma decomposição de variâncias em mul-tiescala da ST, ou seja, em diversos níveis de resolução j. Com base nestes resultados,é possível ainda realizar o cálculo da variância (energia) em cada escala, com objetivode saber quais delas possuem maior energia. Esta tarefa pode ser executada através doespectro wavelet global, que consiste em somar os coeficientes a cada escala, de acordocom a equação que segue

Sj,k =1

N

N−1∑n=0

|dj,k|2 . (5.8)

Na Figura (5.1), tem-se em (a) uma função simulada e em (b) sua decomposicaçãoem multirresolução através do periodograma wavelet. A energia da função é decomposta


em escalas de modo que, pela análise do espectro global (à direita da Figura (5.1) (b))é possível descobrir qual escala possui maior energia, ou seja, melhor descreve o sinal.Nesse caso, a escala que de nível de resolução 2 é a que mais contribui na composição dosinal. O ruído presente no sinal se destaca nos níveis de resolução mais refinados 0 e 1,mostrando ser a componente de maior frequência do sinal.

(a) Função simulada

(b) Periodograma wavelet (à esquerda); espectro global (àdireita).

Figura 5.1: Decomposição em multiescala através da Symmlet wavelet com 10 momentosnulos.

Capítulo

6Metodologia

Para investigar o efeito da cintilação ionosférica nos sinais GPS em diferentes regiões doBrasil, foi utilizado o banco de dados do CIGALA (http://iscigalacalibra.fct.unesp.br/is/ismrtool/mining/Mining.php), com consulta dos dados através da ferramenta ISMR QueryTool (VANI, 2013), desenvolvida na FCT/UNESP (http://is-cigala-calibra.fct.unesp.br).Os receptores são PolaRxS da Septentrio, os quais representam o estado da arte emreceptores para rastreamento de multiconstelações e tripla frequência no monitoramentoda ionosfera. Possuem tecnologia OXCO para um ruído baixíssimo e permitem intervalosde coleta de até 100 hz produzindo parâmetros específicos da ionosfera a cada minuto.Incluem o cálculo de índices de cintilação S4 e σφ para monitoramento e também índicespara cada satélite e banda de frequência. As estações selecionadas para a realizaçãodas análises estão apresentadas na Tabela (6.1), escolhidas de acordo à sua localizaçãogeográfica (Figura (2.3)), e de modo a proporcionar uma avaliação do efeito da cintilaçãoionosférica quanto à variação espacial. Dentre os 32 satélites GPS disponíveis para cadaestação, selecionou-se o satélite 11 por apresentar os maiores índices S4 de cintilação sobreos demais satélites. Posteriormente, outros satélites em diferentes ângulos de elevação eazimute foram analisados.

Tabela 6.1: Estações da rede CIGALA analisadas.

Estação LocalidadeMAN2 Manaus - AMPALM Palmas - TOPOAL Porto Alegre - RSPRU1 Presidente Prudente - SPSJCU São José dos Campos - SP

Para avaliar o efeito da cintilação ionosférica nos sinais GPS em diferentes épocas doano, foram selecionados os meses de março considerado um período de forte cintilaçãoe junho considerado um período de cintilação fraca. Para uma melhor visualização dosdados e resultados, foram considerados no máximo 6 dias de dados em cada períodoselecionado (meses de março e junho). As séries temporais do índice de amplitude S4,indicador de cintilação ionosférica, foram consideradas com intervalo de amostragem de1 minuto.

57

6. Metodologia 58

6.1 ImplementaçãoNo procedimento de investigação do efeito da cintilação ionosférica, as séries temporais

obtidas dos índices S4 foram analisadas em multiescala, ou multirresolução, pela TWNDdescrita no Capítulo 4.

Pela decomposição dos índices de cintilação em multiescala, pode-se verificar a exis-tência de efeitos períodicos e em que escalas esses efeitos aparecem. Assim, a partir daanálise de mais que dois dias de dados é possível verificar se algum efeito se repete di-ariamente. No caso de existência dessa repetibilidade, atribui-se tal comportamento aoefeito do multicaminho devido à reflexões dos sinais por ser o único efeito que se repetediariamente de acordo com o movimento do satélite, se o ambiente do receptor perma-nece inalterado. Uma vez detectados os efeitos periódicos na análise multiescala a partirdo periodograma, tais escalas devem ser reconstruídas para que o efeito seja obtido nodomínio do tempo. Esse procedimento deve ser feito no período de cintilação fraca paraque não haja dúvida que todos os efeitos ocorridos sejam de multicaminho apenas. Comoo efeito do multicaminho se repete em dias consecutivos, é interessante estimar um únicoefeito que possa ser utilizado posteriormente. Propõe-se utilizar a ideia de um modelode médias móveis aplicado diariamente no multicaminho estimado pela reconstrução dasescalas mais suaves do periodograma. Assim, é possível obter uma "função" média quedescreva o efeito de multicaminho sobre os dados de cintilação. Considerando ainda arepetibilidade desse efeito, propõe-se removê-lo no período de cintilação forte, através dasubtração das séries no domínio do tempo.

Através desse procedimento, é possível obter uma série de índices S4 com valoresreduzidos de interferências cíclicas. A Figura (6.1) descreve a metodologia realizada. Aimplementação foi realizada em linguagem R (http://cran.r-project.org/), em que rotinasde código aberto, tais como os pacotes wavethresh, tseries, dentre outros, foram utilizadas.

6. Metodologia 59

Figura 6.1: Fluxograma da implementação.

Para aplicar a TWND é necessário identificar uma wavelet mãe ideal para a análise dasséries temporais de cintilação ionosférica. Nesse processo podem ser utilizadas wavelets deDaubechies e Symmlets com momentos nulos variando de 2 a 10, dentre outras (DAUBE-CHIES, 1992; SOUZA, 2004). As principais bases wavelet ortogonais e momentos nulosmais usuais foram aplicadas e comparadas.

Outro fator importante para a análise wavelet é que a estimação do espectro waveletpelo periodograma obtido a partir dos coeficientes wavelet deve ser calculado pela TWND,como apresentado na seção 5.4. Através dele, padrões e/ou informações escondidas nasérie dos índices S4 de cintilação, que não puderam ser identificadas no domínio do tempo,podem ser explicitadas no domínio espaço-frequência, tornando possível a investigação

6. Metodologia 60

dos efeitos da cintilação ionosférica nos sinais de satélite GPS. O espectro global, plotadojunto ao periodograma wavelet, completa a análise da ST dos índices S4 de cintilação.Através dele, tem-se a representação da variância total da série em níveis de resolução,sendo possível caracterizar a série em termos da escala que concentra maior energia. ATabela (6.2) fornece uma interpretação da frequência de decomposição em multiescala porwavelets.

Tabela 6.2: Interpretação da frequência de decomposição em multirresolução.

Escala Resolução de Frequência Dados com intervalo de 1 minutod1 2 - 4 2 a 4 minutosd2 4 - 8 4 a 8 minutosd3 8 - 16 8 a 16 minutosd4 16 - 32 16 a 32 minutosd5 32 - 64 32min a 1h4mind6 64 - 128 1h4min a 2h8mind7 128 - 256 2h8min a 4h16mind8 256 - 512 4h16min a 8h32mind9 512 - 1024 8h32min a 17h4mind10 1024 - 2048 17h4min a 1dia14h8mind11 2048 - 4096 1dia14h8min a 2dias20h16min

O nível de resolução 2j, referido em geral como j, é relativo a uma escala 2−j, quetambém pode ser encontrado na literatura como escala j, como um abuso de linguagem.

Além da comparação dos espectros dos índices S4 antes e após a remoção do mul-ticaminho (Figura (6.1)), fez-se a avaliação no domínio do tempo também, através derepresentações gráficas, tais como box-plots, e testes de hipóteses para uma medida detendência central apropriada, que no caso, devido a assimetria inerente aos índices decintilação, o teste de Wilcoxon, por exemplo, o qual testa a diferença estatisticamentesignificativa entre as medianas nos dois momentos.

Capítulo

7Resultados e Análises

No capítulo 2 foi apresentada a importância do estudo da cintilação ionosférica, e nocapítulo 6, a metodologia proposta para a análise de seus efeitos sobre os sinais de satéliteGPS.

A ionosfera é uma camada muito instável que sofre variações em diversas escalas dotempo - durante o dia, ao longo das estações do ano e dos ciclos solares, que ocorrem emperíodos de 11 anos. No ano de 2012, os índices S4 mais elevados ocorreram no mês demarço, como ilustra a Figura (7.1), onde o índice S4 ultrapassa 2.1 para o satélite 11 daestação PRU1.

Figura 7.1: Índice S4 de cintilação do período de 01/01/2012 a 31/12/2012.

Analisando mais detalhadamente, com um "zoom" no período de 12 a 14 de marçode 2012, pode-se ver mais claramente na Figura (7.2) que a ST dos índices de cintilaçãoapresenta gaps, ou seja, "lacunas" ocasionadas pela falta de dados em certos períodos detempo em que os satélites não estão sendo rastreados, e um comportamento periódico emcada dia em que há presença de dados (cerca de 7 horas, período em que o satélite ficouvisível).

61

7. Resultados e Análises 62

Figura 7.2: Índice S4 de cintilação do período de 12 a 14/03/2012.

Esse comportamento periódico pode estar relacionado com o efeito do multicaminho,que é caracterizado pela chegada de um ou mais sinais ao receptor além do sinal diretodo satélite. Este fenômeno ocorre devido à reflexão dos sinais do satélite em superfíciesnas proximidades do receptor durante o percurso do sinal ao receptor. Nota-se que essecomportamento periódico tem um formato de "U". Considerando que o ângulo de elevaçãodo satélite segue o comportamento de uma parábola com concavidade voltada para baixo,é esperado que as reflexões (multicaminho) e ruídos sejam mais expressivos para ângulosmais baixos, como mostra a Figura (7.3), isso porque os sinais de satélites a baixos ângulosde elevação estão mais sujeitos a se refletirem em saliências e construções próximas aohorizonte.

(7.3).

Figura 7.3: Índices S4 do período de 12 a 14/03/2012 (topo) e ângulo de elevação dosatélite 11 (abaixo).

É importante eliminar tal comportamento, o qual pode influenciar na análise do índiceS4 de cintilação ionosférica. Sabe-se que o ângulo de elevação do satélite pode influenciarno efeito de multicaminho, sendo que o aumento da máscara de elevação minimiza esseefeito de reflexão do sinal do satélite. Isso pode ser notado na Figura (7.4), em que tem-se


o comportamento periódico em formato de "U" dos dados diminuído conforme se aumentao ângulo de elevação do satélite. No entanto, observa-se também que parte dos índicesS4, inclusive os que caracterizam forte cintilação, são excluídos da amostra. Isso mostraque o aumento da máscara de elevação diminui o efeito de multicaminho, porém, torna aanálise dos índices S4 não efetiva.

(a) Máscara de elevação 15◦

(b) Máscara de elevação 30◦

(c) Máscara de elevação 40◦

Figura 7.4: Comparação do índice S4 do satélite 11 com diferentes máscaras de elevação.

Portanto, o intuito é decompor essa ST em multiescalas na tentativa de separação dosefeitos de multicaminho e cintilação em um período com baixo índice de cintilação (12 a14/06/2012). Para realizar a análise multiescala, é necessário identificar uma base waveletideal.


7.1 Comparação e escolha da Base WaveletComo apresentado na seção 3.5, existem algumas alternativas para a escolha da wavelet

mãe. A Figura (7.5) compara as bases Daubechies com 6, 8 e 10 momentos nulos (DAUB6,DAUB8 e DAUB10), Symmlets com 4, 6, 8 e 10 momentos nulos (SYM4, SYM6, SYM8e SYM10) e a Starlet na análise dos índices S4 de cintilação do satélite GPS 11, estaçãoPRU1. Note que, nos sinais de cintilação parece não haver problemas em selecionar umabase diferente já que os resultados são todos muito parecidos, inclusive a escala maisevidente mantém-se a mesma. Para essa aplicação, portanto, optou-se pela escolha dawavelet Symmlet com 10 momentos nulos pela maior suavidade e quase-simetria dessawavelet.

Figura 7.5: Comparação das bases wavelet na análise de índices S4 de cintilação do períodode 12 a 14/03/2012.


7.2 Estimativa do multicaminho no período de fracacintilação e remoção no período de cintilação forte

Após identificar uma base wavelet ideal, estimou-se o multicaminho através da decom-posição em multiescala da ST dos índices S4 que caracterizam cintilação ionosférica fraca(ilustrada em (a) da Figura (7.6)). Extraindo informações em multiescala (b), tem-se ocomportamento diário evidenciado pela repetibilidade nas duas escalas mais suaves. As-sim, tais escalas são reconstruídas em (c) obtendo uma estimação de tal comportamento(ou efeito) no domínio do tempo. O periodograma do efeito periódico, ilustrado em (d)da Figura (7.6), tem a escala de nível de resolução 9 como mais relevante. Isso demons-tra, como pode ser observado na Tabela (6.2), que essa escala está relacionada com arepetibilidade diária e reforça a existência do efeito de multicaminho nos índices S4 decintilação.

(a) Índices S4 do período de 12 a 14/06/2012. (b) Decomposição em multiescala.

(c) Reconstrução das escalas mais suaves (mul-ticaminho).

(d) Periodograma das escalas mais suaves

Figura 7.6: Estimativa do comportamento periódico presente na ST dos índices S4 decintilação.


Tendo extraído esse efeito da série dos índices S4 do período de forte cintilação (12a 14/03/2012), através da subtração no domínio do tempo, obtem-se uma série (Figura(7.7)) com valores reduzidos de interferências de efeito cíclico.

Figura 7.7: Índices S4 do período com cintilação forte, após remoção das escalas maissuaves (estimadas no período sem cintilação).

Depois de obtidos os resultados, pode surgir a dúvida se não é possível detectar, ouestimar, o efeito de multicaminho diretamentamente na ST dos índices S4 do período deforte cintilação e então subtraí-lo da série. Nesse sentido, esse procedimento foi aplicadocom o objetivo de avaliar tal possibilidade. Portanto, na Figura (7.8), tem-se em (a) aST dos índices S4 que caracterizam forte cintilação e em (b) as informações da série emmultirresolução. Reconstruindo as duas escalas mais suaves em (c) de modo a estimar omulticaminho, nota-se junto ao efeito em formato de "U" oscilações bruscas dos índicesde alta cintilação. Sendo assim, ao subtrair essa estimativa da série remove-se além doefeito de multicaminho, dados de cintilação. Isso pode ser confirmado em (c) da Figura(7.8), onde se observa que o multicaminho estimado chega a atingir 1.0.


(a) Índices S4 do período de 12 a 14/03/2012de forte cintilação.

(b) Decomposição em multiescala.

(c) Reconstrução das escalas mais suaves (mul-ticaminho).

(d) Índices S4 do período de alta cintilaçãoapós remoção das escalas suaves.

Figura 7.8: Estimativa do comportamento periódico presente na ST dos índices S4 decintilação.

Realizado o procedimento de estimativa e remoção do multicaminho dos dados decintilação, convém avaliar a eficiência do método proposto, no sentido de analisar se omulticaminho foi eliminado dos dados, passando a não influenciar na análise dos índicesS4 de cintilação. Para alcançar tal objetivo, aplicou-se a TWND para a obtenção doscoeficientes wavelet e escala dados em (4.11) considerando a família de wavelets Symmletscom 10 momentos nulos (SYM10) (DAUBECHIES, 1992), para os dados de cintilação dosatélite 11 da estação PRU1 antes e após remoção do multicaminho. Para uma análisemais detalhada em multiescala, foi plotado o espectro wavelet estimado pelo periodogramawavelet, descrito pela equação (5.7), e o espectro global (equação (5.8)), que representa aenergia ou variância total em cada nível de resolução ou escala referente a este nível. Osresultados obtidos podem ser visualizados na Figura (7.9).


(a) Índices S4 do período de 12 a 14/03/2012de forte cintilação.

(b) Periodograma do período de forte cintila-ção.

(c) Índices S4 do período de forte cintilação,após remoção do multicaminho.

(d) Periodograma do período de forte cintila-ção, após remoção do multicaminho.

Figura 7.9: Comparação dos índices de cintilação e respectivos periodogramas antes eapós remoção do multicaminho. Satélite 11, estação PRU1.

Observa-se em (b) da Figura (7.9), que a escala relativa ao nível de resolução 6 doperiodograma wavelet é a mais evidente, isto é, concentra maior energia. Essa escalaestá mais próxima dos efeitos de 1 hora (Ver Tabela (6.2)). Tendo removido o efeito demulticaminho da série, ele passa a não ser expressivo no espectro, como pode ser observadopela comparação dos periodogramas plotados nas subfiguras (b) e (d), não influenciandoassim a análise da ST dos índices de cintilação. Vale destacar também que o pico dacintilação ficou bastante evidente na análise wavelet, mostrando qual a variação maisbrusca da série dos índices S4 e onde ela ocorre.


7.3 Avaliação dos espectros dos índices S4 de cintilaçãoantes e após remoção do multicaminho, conside-rando a estimativa de um efeito médio

Em todo o procedimento de análise realizado até aqui, estimou-se o multicaminhonos dados S4 do período de fraca cintilação posteriormente removendo-o do período decintilação forte. Isso foi feito em dados de pequeno tamanho para que fosse possíveluma melhor visualização dos resultados e a verificação de que o efeito em formato "U"realmento havia sido removido. No entanto, o mesmo procedimento pode ser realizadopara até seis meses de dados, em que estima-se o multicaminho nos seis meses de fracacintilação, abril a setembro, e subtrai esse efeito do período de outubro a março. Contudo,como se trata de um efeito que se repete em dias consecutivos, é interessante estimar umúnico efeito médio que descreva o efeito de multicaminho nos dados de cintilação, demodo que seja possível sua eliminação em dados de tamanho qualquer. Um primeiropasso nessa direção pode ser dado com a aplicação de um modelo de médias móveis.Como nesta pesquisa o período de dados não é extenso, esse modelo foi considerado comoem uma única janela, o que equivale a uma da função média do multicaminho estimadocom a reconstrução das escalas mais suaves da decomposição em multiescala por wavelet.Os resultados obtidos são apresentados na seção seguinte.

7.3.1 Comparação entre satélites da estação PRU1

O procedimento de estimativa e remoção do multicaminho, descrito na seção 7.2, serárealizado para os satélites 1, 11, 19 e 31 da estação PRU1, com estimativa do multicaminhomédio no período de 7 a 12/06/2013 e remoção no período de 7 a 12/03/2013. As Figuras(7.10), (7.11), (7.12) e (7.13) ilustram os resultados obtidos. Observe em (d) de cada umadas figuras, que os dados S4 tem um comportamento distinto para cada satélite, mesmoreferindo-se ao mesmo período de dados. Portanto, faz-se necessário estimar uma funçãomédia que descreva o multicaminho específica para cada satélite. Isso é obtido em (c)de cada figura, através da média (em preto) dos seis dias de dados que caracterizam omulticaminho. As subfiguras (f) e (h), ilustram os periodogramas wavelet do período deforte cintilação e após remoção do multicaminho, respectivamente.


(a) Índices S4 do período de 7 a12/06/2013 de fraca cintilação.

(b) Decomposição em multiescala pelaSymmlet wavelet.

(c) Estimativa do multicaminho (cinza);Multicaminho médio (preto).

(d) Periodograma do multicaminho mé-dio estimado.

(e) Índices S4 do período de 7 a12/03/2013 de forte cintilação.

(f) Periodograma do período de fortecintilação.

(g) Índices S4 do período com cintilaçãoforte, após remoção do multicaminho.

(h) Periodograma do período de fortecintilação, após remoção do multicami-nho.

Figura 7.10: Análise wavelet do satélite 1, estação PRU1.





(d) Periodograma do multicaminho mé-dio estimado







Nas Figuras (7.10) a (7.13) item (d), observa-se que a menos do satélite 31 (Figura(7.13)), os demais apresentaram a escala de nível de resolução 9 mais evidente. Inclusive,observando o periodograma wavelet, fica clara a repetibilidade do efeito periódico nãoapenas na escala 9, mas também nas demais. Como para o satélite 31 ocorreram 2formatos de "U" ao longo de cada dia (devido ao fato desse satélite ficar visível 2 vezesem cada dia) e com repetibilidade de no máximo pouco mais de 4h, a escala 7 se tornoua mais evidente (Tabela (6.2)). Através da análise do espectro global após a remoçãodo multicaminho, ilustrado em (h) de cada uma das figuras mencionadas, nota-se umamudança da escala mais evidente do periodograma. Isto indica que o multicaminho, casonão fosse removido, influenciaria na análise dos índices S4 de cintilação. Nota-se ainda,que a escala mais evidente dos periodogramas muda conforme o satélite analisado. Issoconfirma que para satélites em diferentes ângulos de elevação e azimute os efeitos dacintilação não são os mesmos e devem ser tratados individualmente. Por exemplo, essesefeitos variam desde escalas de 16 a 32 min (escala 4 - sat 1- Figura 7.10) a escalas de 1a 4 h (escalas 6 e 7 - Sat 19 - Figura 7.11).

7.3.2 Comparação entre diferentes estações

O mesmo procedimento de estimativa e remoção do multicaminho da ST dos índicesS4 de cintilação também foi realizado em outras estações. Para comparação com a estaçãoPRU1, fez-se a análise do satélite 11 das estações SJCU, PALM, POAL e MAN2 . Paraas estações PALM e MAN2 não haviam dados disponíveis para o mesmo período de 7 a12 de março/junho, sendo necessário escolher um período diferente. No entanto, como aproposta é estimar o efeito de multicaminho médio, não há problemas em obtê-lo em umperíodo de fraca cintilação diferente. A seguir, nas Figuras (7.14), (7.15), (7.16) e (7.17)são ilustrados os resultados obtidos.










Figura 7.14: Análise wavelet do satélite 11, estação SJCU.










Figura 7.15: Análise wavelet do satélite 11, estação PALM.










Figura 7.16: Análise wavelet do satélite 11, estação POAL.










Figura 7.17: Análise wavelet do satélite 11, estação MAN2.


No gráfico de decomposição em multiescala do período de fraca cintilação, ilustradoem (b) de cada uma das figuras, é possível analisar quais escalas possuem repetibilidadenos períodos em que há dados, ou seja, quais delas evidenciam o comportamento periódicopresente na ST dos índices de cintilação. Tais escalas são as que devem ser reconstruídasde modo a tornar uma estimativa para o multicaminho. Nas análises realizadas, em queos dados de fraca cintilação são decompostos em 7 níveis, as escalas mais suaves de níveisde resolução 6 e 7 demostram periodicidade nos dados e portanto, são reconstruídas. Ou-tro ponto a destacar, que fica evidente pela análise do periodograma das escalas suavesreconstruídas, ilustrado em (d) das Figuras (7.14), (7.15), (7.16) e (7.17), é que o com-portamento médio estimado mostra ser o mesmo para todos as estações, já que a escalamais evidente do periodograma é a de nível de resolução 9, em todos os casos. Essa escalatambém é a mais evidente no periodograma da série dos índices S4 de forte cintilação,ilustrado em (f) de cada uma das figuras mencionadas, mostrando como o efeito periódicopresente influencia na análise do S4. Pela comparação dos periodogramas plotados nassubfiguras (f) e (h), observa-se que após remoção do multicaminho houve mudança daescala com maior concentração de energia. Isto significa que tendo removido o efeito demulticaminho da série, ele passa a não ser expressivo no espectro, e a não influenciara análise da série dos índices S4 de cintilação. Fica evidente nessa análise, através daobservação dos periodogramas plotados em (h) das Figuras (7.14), (7.15), (7.16) e (7.17),que as escalas que mais explicam as séries de cintilação para o satélite 11 das estaçõesSJCU, PALM, POAL e MAN2 são as de nível de resolução 8 (e 4), 7, 3 (para as duasúltimas), respectivamente. Tais escalas estão relacionadas a efeitos de 4 a 8 horas, 2 a 4horas e 8 a 16 minutos, respectivamente, comprovando que os efeitos da cintilação variamconforme a localização da estação.

Em relação à comparação dos índices de cintilação no domínio do tempo, na Figura(7.18) é apresentado os box-plots para cada estação antes e após a remoção do multica-minho.

Figura 7.18: Gráfico box-plot dos índices S4 das estações MAN2, SJCU, PALM, POAL ePRU1, antes (em preto) e após (em cinza) remoção do multicaminho.

Observa-se na Figura (7.18) que após a remoção do multicaminho nos índices S4, amediana é reduzida para todas as estações (pvalor < 0,001 - Teste Wilcoxon) e a distribui-ção ficou mais assimétrica à direita, o que é esperado considerando que os valores do S4no período de fraca cintilação (que representa em sua maioria multicaminho) raramenteatingem 0,5. Nota-se que a estação mais influenciada pela cintilação é a PRU1 e a menos


influenciada é MAN2, seguida de SJCU e PALM. Isso está de acordo com a literatura,devido ao efeito fonte ou Anomalia da Ionização Equatorial (AIE), a qual ocorre devidoà formação de uma região de alta densidade eletrônica ionosférica entre 15◦ a 20◦ nortee sul de latitude magnética. Esse fenômeno é chamado de anomalia porque a densidadedo plasma deveria ser maior na região equatorial, e não em latitudes magnéticas baixas(REZENDE, 2009). Assim, a intensidade da cintilação realmente é mais fraca na locali-zação da estação MAN2 (Figuras (1.1) e (2.3)). A estação PRU1 realmente está em umalocalização de maior intesidade de cintilação, o que justifica os índices na Figura (7.18).Entretanto, não era esperado que ocorressem efeitos tão fortes para a estação POAL, vistoque sua localização não é em uma região de forte intensidade de cintilação.

Tabela 7.1: Porcentagem de observações que ultrapassaram o nível de cintilação fraca,antes e após remoção do multicaminho, por estação.

Porcentagem MAN2 SJCU PALM POAL PRU1antes depois antes depois antes depois antes depois antes depois

S4 ≥ 0, 5 0,0 0,0 5,9 4,7 4,2 2,4 1,2 1,0 12,8 9,9S4 ≥ 0, 7 0,0 0,0 3,0 2,2 1,1 0,7 0,8 0,7 4,9 3,4

0,5≥ S4 ≥ 0, 7 0,0 0,0 2,9 2,5 3,0 1,7 0,4 0,3 7,9 6,5

Por outro lado, avaliando a porcentagem de observações que ultrapassaram o nível decintilação fraca na estação POAL, verifica-se que foi aproximadamente 1% mesmo antesde remover o multicaminho (Tabela (7.1)). Além disso, embora o máximo em POALtenha sido maior (1,35) que PALM (1,24), a porcentagem de valores de S4 em PALMque ultrapassaram 0,5 foi maior, 4%, valor que decaiu para 2,5% após a remoção domulticaminho. Ou seja, a estação POAL possui índices elevados de cintilação, mas aquantidade desses índices é pequena, apenas 2,5%.

Capítulo

8Conclusões e Trabalhos Futuros

Nesta pesquisa foi apresentada uma nova metodologia para a investigação do efeito dacintilação ionosférica sobre os sinais GPS, através do espectro wavelet das séries temporaisdos índices S4 de cintilação.

Uma revisão bibliográfica sobre wavelets foi realizada, identificando a TWND comomais adequada para esta aplicação, dada a necessidade de uma análise completa emmultiescala, de modo que o mesmo número de coeficientes fosse mantido em cada escala.

A análise foi realizada através do periodograma wavelet, em que diferentes bases foramcomparadas. Os resultados obtidos nesta comparação foram similares, no entanto, optou-se pelo uso da Symmlet com 10 momentos nulos, devido à sua maior suavidade e simetria.

Foi possível dar um primeiro passo em relação a separar o efeito de cintilação de outrosefeitos (principalmente o multicaminho) que podem influenciar na análise do índice S4 decintilação. Após a estimação e remoção do efeito periódico (multicaminho), foi possívelobter uma série "livre" desse efeito, o que torna possível a investigação da cintilaçãoionosférica mais adequada.

Conclui-se, portanto, que o objetivo de investigar e caracterizar o efeito da cintilaçãoionosférica nos sinais GPS, de modo a separá-lo de outros efeitos períodicos que podeminfluenciar na análise dos dados da cintilação foi atingido.

Vale ressaltar que para uma análise efetiva da cintilação é necessário analisar cadasatélite e estação, pois o efeito da cintilação é específico e depende da localização tantoda estação quanto do satélite. Entretanto, mesmo com tais particularidades, nota-se queo comportamento é sempre pior nas bordas dos formatos de "U", ou seja, para ângulosde elevação mais baixos. Nesse sentido, encoraja-se as pesquisas em que os modelosestocásticos (matrizes de variância e covariância) são modificados de acordo com o ângulode elevação, ou seja, para que as observações dos satélites que estão em ângulos baixosde elevação influenciem menos no ajustamento e, consequentemente, que os efeitos decintilação deteriorem menos a qualidade do posicionamento.

Um outro ponto a destacar, é a estimação de uma função média que descreva o efeito domulticaminho junto aos índices de cintilação, inclusive para dados de tamanho bastantegrande. O principal interesse dessa aplicação é a possibilidade de utilizar dados GPSsem máscara de elevação, de modo a remover o multicaminho através da análise wavelet,propondo assim uma melhor "filtragem" dos dados sem eliminar dados importantes juntoao efeito de multicaminho. Essa técnica propõe o uso dos dados GPS de maior qualidadee, portanto, merece futuras investigações.

Trabalhos futuros relacionados com a avaliação da distribuição dos índices de S4 tam-bém são importantes, pois na literatura algumas distribuições tem sido assumidas comoadequadas, mas foram avaliadas para índices que possuem a presença de outros efeitos, o

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8. Conclusões e Trabalhos Futuros 82

que pode dificultar avanços na proposição de modelos ou estratégias de correção e previsãodo efeito de cintilação ionosférica.

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