Análise e algoritmos · Métodos de Análise de Sistemas Produtivos 4 O sistema Fabricante de...

Análise e algoritmos

“…I have found that students do not really master the material in it until they have used it to formulate and solve life problems of interest to them”

Carlos Daganzo

Exemplo de motivação

4Métodos de Análise de Sistemas Produtivos

O sistema

Fabricante de computadores, radios e televisões

3 fábricas• Green bay• Indianopolis• Denver

100 centros de distribuição

1 armazém localizado próximo da fábrica de Indianapolis

Componentes são montados antes de serem vendidos• nos centros de distribuição ou• no armazém


Dados produto e produção

Fábrica Produtos Custo ($) Peso (lbs)Green Bay Computer modules 300 5Indianapolis Televisions Monitors/keyboards 400 10Denver Consoles 100 30

Denver Green Bay IndianapolisProdutos comercializados\Componentes Console Computer module Monitor\keyboard TelevisionTelevision 1Console 1Computer 1 1


Dados da procura

Denver Green Bay IndianapolisProcura dia ano (250 dias) Console Computer module Monitor\keyboard TelevisionTelevision 10 2500 2500Console 10 2500 2500Computer 10 2500 2500 2500

Totais\fábrica 2500 2500 5000


Dados de custos distribuição e inventário

Custos distribuição• Distâncias tabeladas

- Sumário- Distância média = 1000 Km

• Camiões: - Capacidade: 30.000 lbs- Custo/Km: $1

Custo inventário• Taxa 0.06% do custo

produto/dia de trabalho

• = 15% em 250 dias de trabalho

Dados mais precisos na página seguinte


Problema

Problema: Determinar a estratégia de distribuição queminimiza a soma dos custos de transporte e de manutenção de inventários


Estratégias

1. O armazém não é utilizadoe tudo é enviadodirectamente das fábricaspara os centros de distribuição em camiõessem paragens intermédias

2. Todos os componentes sãomontados no armazém e oscamiões viajam semparagens das fábricas para o armazém e deste para oscentros de distribuição Qual parece melhor?

Depende de quê?


Problema complexo...mas

Um problema real pode ser ainda mais complicado.

Questões pertinentes1. Os dados são suficientes?

2. Que modelos quantitativos são necessários?

3. Pode-se tirar partido da estrutura do problema para encontrar uma solução?

4. Que técnicas podemos utilizar na sua resolução?

Organização


O quêDado um sistema produtivo, a projectar ou existente, integrado numaeconomia como optimizar o seu funcionamento?

Problema geral• Ferramentas de análise• Ferramentas computacionais• Heurísticas• Como endereçar a complexidade• Como integrar técnicas e análises

Requer• Familiariedade com:

- Técnicas e modelos (abstracções)- Viabilidade computacional (complexidade)

• Engenharia de sistemas (IEEE standard, System’s Engineering Handbooks)• Bom senso educado (Engenharia)• Experiência

Recomendação• Aprendam sempre!!!!


Tipos de abordagens

Problem-based• Case study como exemplo

• Modelos analíticos simples

• Agregação de dados e aproximações

• Enfase na análise

Method-based• Encaixam em problemas conhecidos

• Formulações semelhantes

• Análises e algoritmos semelhantes

• Requer muitos dados

• Análise difícil


Problem-based Exemplo: Case study

Abordagem case study1. Mesmo que haja dados detalhados as principais

aproximações são efectuadas à partida2. Os métodos numéricos são substituídos por modelos

analíticos3. Os modelos analíticos são resolvidos com detalhe4. É possível identificar propriedades de soluções próximas do

óptimo5. Estas são utilizadas para formular guias para a

implementação6. O passo final de optimização pode ser efectuado com

recurso a um algoritmo de optimização computacional7. Mesmo que os dados mudem os princípios de projecto são os

mesmos


Problem-based Exemplo: Case study

Abordagem tradicional da logística1. Formulação de um problema de programação matemática

2. Grande volume de dados

3. Decisões: 1. não são baseadas em análises sistemáticas2. Baseadas em heurísticas que não são particularmente insightfull

4. Problemas NP-hard


Exemplo de comparação de resultados


Matéria

Introdução• O quê?

• Porquê?

• Como?

Parte 1 - Análise com base modelos sucintos e sumários de dados• Formulação

• Método de resolução

Parte 2 - Problemas de fluxos em redes• Modelos e algoritmos

• Aplicações

• Design e análise de algoritmos


Bibliografia

Carlos Daganzo, Logistic Systems Analysis, Springer Verlag, 1998

Carlos Daganzo, A Theory of Supply-chains, Springer Verlag, 2003

R. Ahuja, T. Magnanti and J. Orlin, Network Flows: Theory, Algorithms, and Applications, Prentice Hall, 1993


Competências

Recolha e tratamento de dados

Definição de objectivos

Selecção de modelos apropriados• Simplificações• Agregação/hierarquização

Desenvolvimento de modelos

Análise de sistemas

Selecção de métodos de solução

Analise soluções

Relatórios• sucintos• objectivos• formato apropriado

Saber o que é um autómato

Métodos não se limitam a sistemas de produção• problemas de tráfego aéreo• problemas militares• etc.

Parte 1Modelos sucintos e sumários de dadosCaso de uma origem e de um destino

Custos

Métodos de optimização


Custos

Caminho de um item da produção para o destino• Transportado da produção para o armazenamento

• Espera em armazém por transporte

• Transportado do armazém para o veículo

• Transportado para o destino

• Transportado do veiculo, manipulado e armazenado no destino

• Espera em armazém por consumo

Tipos• Motion – para ultrapassar distância

• Holding – para ultrapassar tempo


Tipos de custo

Motion• Handling fora do veículos de transporte (inclui packaging) • Transportation (inclui loading)

Holding (não é uma terminologia universal)• Rent• Waiting ou inventory

Análise• Identificar os quais os parâmetros que influenciam que custos• Identificar forma matemática das relações

Representação• Definir como representar os custos


Holding costsInterpretação geométrica

Gráficoi) produção

ii) despachos

iii) chegadas

iv) consumo

Contém informaçãorelevante

Procura = produção D’i) ii) iii) iv)


Holding costsInterpretação geométrica∀t, separações verticais

• entre i e ii) - numero de items à espera de transporte

• entre iii e iv) - numero de items à espera de serem consumidos

• entre ii e iii) - numero de items em transporte

Consider que os items passam numa order fifo

Separação horizontal• Tempo passado entre duas estações consecutivas

• tm – tempo de transporte

Method-basedNetwork flow problems


Method-based Ex: Network flow methods

Problemas formulados numa rede

Problemas típicos• Caminho mais curto

• Máximo fluxo

• Mínimo custo de fluxo

Formulação bastante geral

Questões• Complexidade

• Não utilização de programação linear



Mínimo custo de fluxo• Mais fundamental de todos os network flow problems

• Descrever algumas especializações deste problema

Problema• Dada uma rede determinar o custo mínimo de transporte de

uma mercadoria através da rede a partir de nós de distribuição e com o objectivo de satisfazer a procura emdeterminados nós

Formulação num grafo G=(N,A)• N conjunto de n nós

• A conjunto de arcos (i,j) com custo associado ci,j (linear)



Mínimo custo de fluxo ∀i ∈ N • b(i) inteiro que representa a procura em i

- b(i)> 0 – nó fornecedor- b(i)< 0 – nó consumidor- b(i)= 0 – nó de transferência

• Variáveis de decisão- Fluxo xi,j nos arcos



Mínimo custo de fluxo

Mass balance constraints

Flow bound constraints


Questões em projecto de redes

Problemas reais de logística• Múltiplos caminhos alternativos

• Questões de como e quando despachar

• Pode ser necessário projectar nova rede de distribuição

As economias de escala são traduzidas pelo facto de o custo óptimo por item diminuir com a D’

Vamos discutir alguns aspectos de problemas com • Múltiplos destinos

• Trajecto de um item não está pré-determinado

• Custo decresce com o fluxo


Questões de projecto de redesExemplo ilustrativo

Procura = produção

Suponha que fracção x dos items para P2 são enviadosvia P1

• x1 = 4(1+x)• x2 = 4(1-x)• x3 = 4x

Custo de transporte• Soma dos custos dos arcos

- Válido desde que não se pretendacoordenar os horários nos 3 arcos

• ∑ixiz(xi)• z(xi) aumenta a uma taxa

decrescente (concava)• xi linear em x• Custo concavo em x

Formulação conhecida?E o que se passa para multiplasCommodities?


Questões de projecto de redesExemplo ilustrativo

Exemplo• z1 = 1/sqrt(x1)

• z2 = 3/sqrt(x2)

• z3 = 1

• x1 z1 = sqrt(x1)

• x2 z2 = 3sqrt(x2)

• x3 z3 = x3

• Custo total = 2sqrt(1+x)+6sqrt(1-x)+4x

Valor óptimo x*=1- Custo concavo- Extremo do intervalo


Questões de Projecto de redesDiscussão

O mesmo princípio tudo ou nada aplica-se a problemas com múltiplas origens/destinos se função custo concava

No caso de uma origem e múltiplos destinos isto implica apenasuma rota

Intuição• Existe uma partição do fluxo por várias rotas• Os flows nas várias rotas são lineares nessa partição• O custo total é concavo nessa partição

Mas se a função custo for convexa• Existe um incentivo para deseconomias e para dividir o fluxo por

várias rotas• No caso de uma origem e um destino com várias rotas e funções

custo iguais para cada rota então prova-se que a solução óptima é dividir o fluxo igualmente por todas as rotas


Questões de Projecto de redesMétodos de solução

Redes com economias versus deseconomias• Natureza da solução é diferente

• Método de solução tem que ser diferente- deseconomias – problema de optimização bem comportado- Economias – problema de optimização com mínimos locais que

podem não ser globais

Métodos de pesquisa local- Utilizados para encontrar soluções quase-óptimas para grandes

redes com custos convexos.- No caso das redes de custo concavo estes mesmos métodos

podem falhar e como tal só funcionam para redes de dimensõesmais baixas

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