Analysis and Topology

7/17/2019 Analysis and Topology

1/735

- I l

i 4 n a t y s i s

a n d

-

e d i t O r s

C a b i r i a A n d r e i a n C a z a c u

O h L e h t o

T h e m i s t o c l e s M . R a s s i a s

/

o r l d S c i e n t i f i c


2/735


3/735

A n a l y s i s

a n d

T o p o l o g y


4/735


5/735

A n a l y s i s

T o p o l o g y

A v o l u m e d e d i c a t e d t o

t h e m e m o r y o f S . S t o i l o w

e d i t o r s

C a b i r i a A n d r e i a n C a z a c u

U n i v e r s i t y o f B u c h a r e s t , R o m a n i a

O f f i E . L e h t o

U n i v e r s i t y o f H e l s i n k i , F i n l a n d


N a t i o n a l T e c h n i c a l U n i v e r s i t y o f A t h e n s , G r e e c e

'

l b W o r l d S c i e n t i f i c

S i n g a p o r e

N e w J e r s e y L o n d o n H o n g K o n g


6/735

P u b l i s h e d b y

W o r l d S c i e n t i f i c P u b l i s h i n g C o . P t e . L t d .

P o

B o x

1 2 8 , F a r r e r R o a d , S i n g a p o r e 9 1 2 8 0 5

U S A o f f i c e : S u i t e l B . 1 0 6 0 M a i n S t r e e t , R i v e r E d g e , N J 0 7 6 6 1

U K o f f i c e : 5 7 S h e l t o n S t r e e t , C o v e n t G a r d e n , L o n d o n W C 2 H 9 H E

L i b r a r y o f C o n g r e s s C a t a t o g i n g 4 n - P u b l i c a t i o n D a t a

A n a l y s i s a n d t o p o l o g y : a v o l u m e d e d i c a t e d t o t h e m e m o r y o f S . S t o i l o w

I e d i t o r s , C a b i n a A n d r e i a n C a z a c u , O l l i E . L e h t o , T h e m i s t o c l e s M .

R a s s i a s .

p .

c m .

I S B N 9 8 1 0 2 2 7 6 1 2 ( a l k . p a p e r )

1 . M a t h e m a t i c a l a n a l y s i s .

2 . T o p o l o g y .

I . A n d r e i a n C a z a c u ,

C a b i r i a .

I I . L e h t o , O l l i .

I I I . R a s s i a s , T h e m i s t o c l e s M . , 1 9 5 1

Q A 3 0 0 A 5 4 9 2 1 9 9 8

5 1 5 - - d c 2 l

9 8 - 1 6 4 6 3

C I P

B r i t i s h L i b r a r y

D a t a

A c a t a l o g u e r e c o r d f o r t h i s b o o k i s a v a i l a b l e f r o m t h e

B r i t i s h L i b r a r y .

C o p y r i g h t

1 9 9 8 b y W o r l d S c i e n t i f i c P u b l i s h i n g C o . P t e . L t d .

A l l

r i g h t s r e s e r v e d . T h i s b o o k , o r p a r t s t h e r e o f , m a y n o t b e r e p r o d u c e d i n a n y f o r m o r b y a n y m e a n s ,

e l e c t r o n i c o r m e c h a n i c a l , i n c l u d i n g p h o t o c o p y i n g , r e c o r d i n g o r a n y i n f o r m a t i o n s t o r a g e a n d r e t r i e v a l

s y s t e m n o w k n o w n o r t o b e i n v e n t e d , w i t h o u t w r i t t e n p e r m i s s i o n f r o m t h e P u b l i s h e r .

F o r p h o t o c o p y i n g o f m a t e r i a l i n t h i s v o l u m e , p l e a s e p a y a c o p y i n g f e e t h r o u g h t h e C o p y r i g h t

C l e a r a n c e C e n t e r , I n c . , 2 2 2 R o s e w o o d D r i v e , D a n v e r s , M A 0 1 9 2 3 , U S A . I n t h i s c a s e p e r m i s s i o n t o

p h o t o c o p y i s n o t r e q u i r e d f r o m t h e p u b l i s h e r .

T h i s b o o k i s p r i n t e d o n a c i d - f r e e p a p e r .

P r i n t e d i n S i n g a p o r e b y U t o - P r i n t


7/735

S i m i o n S t o i l o w

( 1 8 8 7 1 9 6 1 )


8/735

F O R E W O R D

T h i s v o l u m e i s d e d i c a t e d t o t h e m e m o r y o f t h e g r e a t R o m a n i a n m a t h -

e m a t i c i a n S i m i o n S t o i l o w ( 1 8 8 7 1 9 6 1 ) , t h e f o u n d e r o f t h e t o p o l o g i c a l t h e o r y

o f a n a l y t i c f u n c t i o n s , w h i c h i s t h e r e a s o n w e g i v e

i t

t h e t i t l e A n a l y s i s

a n d T o p o l o g y .

I t b r i n g s t o g e t h e r s e l e c t e d a r t i c l e s w r i t t e n b y d i s t i n g u i s h e d

s c i e n t i s t s w h o s e r e s e a r c h f i e l d i s r e l a t e d t o S t o i l o w ' s w o r k .

S i m i o n S t o i l o w m a d e i m p o r t a n t c o n t r i b u t i o n s t o v a r i o u s f i e l d s o f m a t h e -

m a t i c a l a n a l y s i s a n d t o p o l o g y , b u t h i s m a i n a c h i e v e m e n t l i e s i n h i s i n - d e p t h

c o m p r e h e n s i o n o f t h e p h e n o m e n o n o f a n a l y t i c i t y b y m e a n s o f t o p o l o g y :

t h e s o l u t i o n t o B r o u w e r ' s p r o b l e m o f c h a r a c t e r i z i n g a n a l y t i c f u n c t i o n s t o p o -

l o g i c a l l y b y i n t r o d u c i n g t h e c o n c e p t o f i n t e r i o r t r a n s f o r m a t i o n , t h e m e t h o d s

c r e a t e d f o r t h e t o p o l o g i c a l s t u d y o f f u n c t i o n s ( e . g . t h e p a t h l i f t i n g , t h e n o r m a l

d o m a i n s ) , t h e d e f i n i t i o n o f t h e c o v e r i n g R i e m a n n s u r f a c e a n d g e n e r a l l y o f t h e

c o v e r i n g s p a c e , t h e i n t r o d u c t i o n o f t h e K e r k j r t S t o i l o w b o u n d a r y ( w h i c h

b e c a m e a f u n d a m e n t a l i n s t r u m e n t i n c l a s s i f y i n g a b s t r a c t R i e m a n n s u r f a c e s i n

t h e H . W e y l a n d T . R a d s e n s e ) , t h e p r o g r a m m e o f c l a s s i f y i n g R i e m a n n c o v e r -

i n g s ( w h e r e i n h e d e f i n e d a n d t h o r o u g h l y s t u d i e d t h e c l a s s e s o f I v e r s e n a n d o f

n o r m a l l y e x h a u s t i b l e c o v e r i n g s ) , a s w e l l a s t h e S t o i l o w p r i n c i p l e . S u c h h a s b e e n

S t o i l o w ' s c o n t r i b u t i o n w h i c h h a s i n s p i r e d a n d s t i l l i n s p i r e s n u m e r o u s r e s e a r c h

m a t h e m a t i c i a n s w o r l d w i d e .

I n t h i s v o l u m e , d e d i c a t e d t o t h e m e m o r y o f t h e f a m o u s m a t h e m a t i c i a n

o n t h e 1 1 0 y e a r a n n i v e r s a r y o f h i s b i r t h d a y , w e h a v e a t t e m p t e d t o r e f l e c t

a g o o d p a r t o f S t o i l o w ' s c o n t r i b u t i o n .

T h e s c o p e c o v e r e d i s q u i t e v a r i e d :

R i e m a n n s u r f a c e s , T e i c h m l l e r t h e o r y , K l e i n i a n g r o u p s , a u t o m o r p h i c f o r m s ,

t h e R i e m a n n c - f u n c t i o n , m o d u l u s a n d c a p a c i t y , n u l l - s e t s , p o t e n t i a l t h e o r y ,

v i i


9/735

v i i i

c o n f o r m a l g e o m e t r y , q u a s i c o n f o r m a l i t y , c o m p l e x d i f f e r e n t i a l a n d p a r t i a l d i f f e r -

e n t i a l e q u a t i o n s , v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s a n d o p t i m i z a t i o n , d y n a m i c a l s y s t e m s

a n d f u n c t i o n a l e q u a t i o n s . T h i s s h o w s o n c e a g a i n h o w s u c c e s s f u l t h e s y n t h e s i s

o f a n a l y s i s a n d t o p o l o g y i n i t i a t e d b y S t o i l o w c a n b e .

T h e v o l u m e s t a r t s w i t h a b r i e f s u r v e y o n h i s w o r k a n d i t s i n f l u e n c e o n

s e v e r a l m a t h e m a t i c a l f i e l d s , a c c o m p a n i e d b y a n i n v a l u a b l e d o c u m e n t " E x p o s

s o m m a i r e d e m o n t r a v a i l d e r e c h e r c h e " , w r i t t e n b y S . S t o i l o w h i m s e l f a t t h e

r e q u e s t o f t h e F r e n c h A c a d e m y d u r i n g t h e l a s t m o n t h s o f h i s l i f e . W e t h i n k

t h a t t h i s s e m i n a l w o r k c a p t u r e s t h e d e e p s i g n i f i c a n c e o f S t o i l o w ' s m a t h e m a t i c a l

c r e a t i o n . W e t r a n s l a t e a n d p u b l i s h i t h e r e i n E n g l i s h t o g e t h e r w i t h a l i s t o f

t i t l e s o f h i s m a t h e m a t i c a l w o r k s .

T h e v o l u m e a l s o i n c l u d e s s e v e r a l a r t i c l e s o n S t o i l o w ' s w o r k a s w e l l a s h i s

r o l e i n c r e a t i n g t h e p r e s e n t R o m a n i a n s c h o o l o f m a t h e m a t i c s ; s p e c i f i c a l l y ,

i n c r e a t i n g t h e s c h o o l o f c o m p l e x a n a l y s i s , i n o r g a n i z i n g a n d d i r e c t i n g t h e

I n s t i t u t e o f M a t h e m a t i c s o f t h e R o m a n i a n A c a d e m y , b o t h a s P r e s i d e n t o f

t h e M a t h e m a t i c a l a n d P h y s i c a l S c i e n c e s D i v i s i o n o f t h i s A c a d e m y a n d a s

D i r e c t o r o f i t s M a t h e m a t i c a l I n s t i t u t e .

I n a d d i t i o n t o t h e a b o v e , S i m i o n S t o i l o w h a d a n i m p r e s s i v e p h i l o s o p h i c ,

l i t e r a r y a n d a r t i s t i c c u l t u r e . W h o e v e r m e t h i m w a s s t r u c k b y h i s k i n d n e s s ,

h i s s e n s e o f j u s t i c e , h i s p r o m o t i o n o f r i g h t c a u s e s , h i s n o b l e b e h a v i o r u n d e r

a d v e r s i t y . I t w a s t h i s s i d e o f h i s c h a r a c t e r , c o u p l e d w i t h h i s m a t h e m a t i c a l

g e n i u s , t h a t h e l p e d e s t a b l i s h t h e f r i e n d s h i p w i t h t h e f a m o u s F i n n i s h m a t h e -

m a t i c i a n R o l f N e v a n l i n n a , t h e w e l l - k n o w n F i n n i s h R o m a n i a n c o l l a b o r a t i o n

w h i c h i n d e e d p r o v e d t o b e i n f l u e n t i a l i n i n t e r n a t i o n a l m a t h e m a t i c s .

I t i s a g r e a t p l e a s u r e f o r u s t o e x p r e s s o u r g r a t i t u d e t o a l l t h e s c i e n t i s t s f r o m

a p p r o x i m a t e l y 1 5 c o u n t r i e s , w h o c o n t r i b u t e d t o t h i s v o l u m e . W e t r u l y t h a n k

a l l t h e o t h e r c o l l a b o r a t o r s , e s p e c i a l l y D o i n a I r m a S i m i o n , f o r h e r t r a n s l a t i o n

o f S t o i l o w ' s " E x p o s s o m m a i r e d e m o n t r a v a i l d e r e c h e r c h e " a n d o t h e r p a p e r s .

W e a l s o w i s h t o a c k n o w l e d g e t h e s u p e r b a s s i s t a n c e o f W o r l d S c i e n t i f i c i n t h i s

j o i n t e f f o r t .

C a b i r i a A n d r e z a n C a z a c u

J a n u a r y 1 9 9 8

O l l i E . L e h t o



10/735

C O N T E N T S

F o r e w o r d

V I I

B r i e f

S u m m a r y o f M y R e s e a r c h W o r k

1

S i m i o n S t o i l o w

O n S t o i l o w ' s W o r k a n d I t s I n f l u e n c e

9

C . A n d r e i a n C a z a c u a n d T h e m i s t o c l e s M . R a s s i a s

C o n t r i b u t i o n s t o S t o i l o w ' s T h e o r y o f R i e m a n n C o v e r i n g s

4 1

C . A n d r e i a n C a z a c u

O n t h e L i n k o f S i m u l t a n e o u s A p p r o x i m a t i o n s t o V e c t o r i a l l y

M i n i m a l P r o j e c t i o n s

5 3

A l e x i s B a c o p o u l o s

S c h w a r z P r o b l e m f o r C a u c h y R i e m a n n S y s t e m s i n S e v e r a l

C o m p l e x V a r i a b l e s

6 3

H e i n r i c h B e g e h r a n d A b d u h a m i d D z h u r a e v

G e n e r a l i z e d M u l t i v a l u e d V a r i a t i o n a l I n e q u a l i t i e s

1 1 5

H . B e n - E l - M e c h a i e k h a n d G e o r g e I s a c

O n t h e Z o r n S p a c e s i n B e u r l i n g ' s A p p r o a c h t o t h e

R i e m a n n H y p o t h e s i s

1 4 3

H . B e r c o v i c i a n d C i p r i a n I . F o i a s

Q u a s i B o u n d e d E x c e s s i v e F u n c t i o n s a n d R e v u z M e a s u r e s

1 5 1

L u c i a n B e z n e a a n d N i c u B o b o c

i x


11/735

P o t e n t i a l T h e o r y o n O r d e r e d S e t s

1 6 5

N . B o b o c a n d G h . B u c u r

C u t t i n g a n d G l u i n g B a c k A l o n g a C l o s e d S i m p l e C u r v e o n a

R i e m a n n S u r f a c e

1 9 1

D . B u r g h e l e a a n d C . C o n s t a n t i n e s c u

A b o u t C a s e s o f E q u a l i t y B e t w e e n t h e p - M o d u l e a n d t h e p - C a p a c i t y

2 1 5

P e t r u C a r a m a n

S o m e E x a m p l e s o f D y n a m i c a l S y s t e m s

2 4 1

K r z y s z t o f C i e s i e l s k i

A p p l i c a t i o n s o f C o n t r o l l e d C o n v e r g e n c e i n A n a l y s i s

2 5 7

A u r e l C o r n e a

A G e n e r a l i z a t i o n o f a T h e o r e m o f W e i e r s t r a s s

2 7 7

M i h a i C r i s t e a

C o n d i t i o n s D ' e x i s t e n c e e t P r o p r i t s D ' u n e M t r i q u e C o n f o r m m e n t

I n v a r i a n t e s u r l e s V a r i t s R i e m a n n i e n n e s N o n C o m p a c t e s

2 8 5

J a c q u e l i n e F e r r a n d

B a r y c e n t r i c S u b d i v i s i o n s o f P a r t i t i o n s w i t h A p p l i c a t i o n s t o H i g h e r

D i m e n s i o n a l S y m b o l i c D y n a m i c s a n d L i m i t E x p a n s i o n s o f

H o m e o m o r p h i s m s

2 9 3

B e r n d G u n t h e r

R i c c i C u r v a t u r e , H a r n a c k F u n c t i o n s , a n d P i c a r d T y p e T h e o r e m s f o r

Q u a s i r e g u l a r M a p p i n g s

3 1 5

I l k k a H o l o p a i n e n a n d S e p p o R i c k m a n

O n C o n f o r m a l W e l d i n g s w h i c h G e n e r a t e W e l d i n g C u r v e s o f

F i n i t e R o t a t i o n

3 2 7

A l f r e d H u b e r

T h e L i o u v i l l e T h e o r e m

3 3 9

T a d e u s z I w a n i e c a n d G a v e n M a r t i n

P s e u d o c o n t i n u o u s F u n c t i o n s

3 6 3

R o y A . J o h n s o n a n d W i a d y s l a w


12/735

C o n t e n t s

x i

L o c a l H a r m o n i c A n a l y s i s f o r D o m a i n s i n

o f F i n i t e M e a s u r e

3 7 7

P a l l e E . T . J o r g e n s e n a n d S t e e n P e d e r s e n

S i m i o n S t o i l o w a n d t h e R o m a n i a n M a t h e m a t i c a l S c h o o l

4 1 1

M a r t i n J u r c h e s c u

T h e C o n c e p t o f G l o b a l A n a l y t i c F u n c t i o n a n d R i e m a n n S u r f a c e

i n S t o i l o w ' s W o r k

4 1 7

M a r t i n J u r c h e s c u

P i n c h e d 2 - C o m p o n e n t K l e i n i a n G r o u p s

4 2 5

I r w i n K r a a n d B e r n a r d M a s k i t

Q u a s i r e f l e c t i o n s a n d H o l o m o r p h i c F u n c t i o n s

4 6 7

S a m u e l L . K r u s h k a l

D e r K o n f o r m e M o d u l v o n V i e r e c k e n 4 8 3

R e i n e r K h n a u

S t o i l o w ' s W o r k i n R e a l A n a l y s i s ; I t s S i g n i f i c a n c e a n d I t s I m p a c t 4 9 7

S o l o m o n M a r c u s

T h e I s o m o r p h i s m T h e o r e m o f K l e i n i a n G r o u p s

5 0 7

K a t s u h i k o M a t s u z a k i

T o p o l o g i c a l R e s u l t s i n A n a l y t i c C o n v e x i t y

5 1 5

N i c o l a e M i h a l a c h e

C o n d i t i o n s f o r D i f f e o m o r p h i s m i n t h e C o m p l e x P l a n e

5 2 5

P e t r u T . M o c a n u

P a r a m e t r i z a t i o n o f T e i c h m l l e r S p a c e b y L e n g t h P a r a m e t e r s

5 4 1

T o s h i h i r o N a k a n i s h i a n d M a r j a t t a N t n e n

A R e m a r k o n t h e I n t e g r a b i l i t y a n d B o u n d e d n e s s o f

A u t o m o r p h i c F o r m s

5 6 1

T a k e o O h s a w a

D u a l i t y f o r M u l t i o b j e c t i v e F r a c t i o n a l P r o g r a m m i n g P r o b l e m s

I n v o l v i n g n - S e t F u n c t i o n s

5 6 9

V a s i l e P r e d a


13/735

C o n t e n t s

S t a b i l i t y a n d S e t - V a l u e d F u n c t i o n s

5 8 5


S t e i n e r S y m m e t r i z a t i o n a n d t h e C o n f o r m a l M o d u l i o f P a r a l l e l o g r a m s

6 1 5

E d g a r R e i c h

H i l b e r t ' s S i x t e e n t h P r o b l e m

6 2 1

P i n g X i n g S h e n g

N o n - E x i s t e n c e o f Q u a s i m e r o m o r p h i c A u t o m o r p h i c M a p p i n g s

6 4 7

U n S n e b r o

C e r t a i n C o n j e c t u r e s a n d T h e o r e m s I n v o l v i n g t h e F r a c t i o n a l

D e r i v a t i v e s o f A n a l y t i c a n d U n i v a l e n t F u n c t i o n s

6 5 3

H a m M . S n i v a s t a v a

E x t r e m a l T e i c h m l l e r M a p p i n g s w i t h G i v e n A s y m p t o t i c B e h a v i o u r

6 7 7

K u r t S t r e b e l

F r e e Q u a s i c o n f o r m a l i t y i n B a n a c h S p a c e s I V

6 9 7

J u s s i V i s l

M a p p i n g t h e D i s k t o C o n v e x S u b r e g i o n s

7 1 9

J o h n A . V e i l i n g


14/735

A N A L Y S I S A N D T O P O L O G Y ( p p . 1 - 7 )

e d s . C . A n d r e i a n C a z a c u , 0 . L e h t o a n d T b . M . R a s s i a s

1 9 9 8 W o r l d S c i e n t i f i c P u b l i s h i n g C o m p a n y

B R I E F S U M M A R Y O F M Y R E S E A R C H W O R K *

S I M I 0 N S T o I L o w

I n t h i s p r e s e n t a t i o n , I a m n o t g o i n g t o p u r s u e t h e c h r o n o l o g i c a l o r d e r o f m y

w o r k , b u t I s h a l l a t t e m p t t o h i g h l i g h t t h e m a i n i d e a s w h i c h h a v e h a l l m a r k e d

m y r e s e a r c h .

1 . T h e R i e m a n n s u r f a c e c o n c e p t , n o w a d a y s a o n e h u n d r e d y e a r s o l d c o n c e p t ,

h a s b e e n f o r a l o n g t i m e , f o r R i e m a n n ' s w o r k f o l l o w e r s , r a t h e r a n i n s t r u m e n t

u s e f u l i n s u p p l y i n g t h e i n t u i t i v e s u b s t a n c e t o c e r t a i n f a c t s c o n c e r n i n g m u l -

t i f o r m a n a l y t i c f u n c t i o n s .

I t w a s o n l y a f t e r H e r m a n n W e y l ( 1 9 1 3 ) p r o d u c e d

h i s a b s t r a c t , g e n e r a l a n d r i g o r o u s d e f i n i t i o n [ W } t h a t t h i s c o n c e p t b e c a m e ,

p r o p e r l y s p e a k i n g , a r e s e a r c h i n s t r u m e n t l e a d i n g t o a n a t u r a l c l a s s i f i c a t i o n o f

a n a l y t i c f u n c t i o n s . B y i n t r o d u c i n g ( i n 1 9 2 7 ) t h e p u r e l y t o p o l o g i c a l c o n c e p t

o f i n t e r i o r t r a n s f o r m a t i o n , I w a s a b l e s o m e h o w t o c h a r a c t e r i z e t h e a n a l y t i c

f u n c t i o n s t o p o l o g i c a l l y v i a t h e f o l l o w i n g t h e o r e m [ S 1 8 ] : A n i n t e r i o r t r a n s f o r -

m a t i o n I ( i . e . c o n t i n u o u s , o p e n ' a n d z e r o - d i m e n s i o n a l 2 ) o f a n y t o p o l o g i c a l

t w o - d i m e n s i o n a l m a n i f o l d V i n t o t h e c o m p l e x s p h e r e S b e c o m e s a n a n a l y t i c

f u n c t i o n i f o n e i n t r o d u c e s a c o n v e n i e n t c o n f o r m a l m e t r i c o n V , a n d t h i s i s

a l w a y s p o s s i b l e , a s t h e e x i s t e n c e o f t h e i n t e r i o r t r a n s f o r m a t i o n f r o m V i n t o

S ( i n t o a n d n o t n e c e s s a r i l y o n t o ) c o n s e q u e n t l y y i e l d s t h e t r i a n g u l a b i l i t y a n d

* T h i s p a p e r i s t h e E n g l i s h v e r s i o n o f t h e o r i g i n a l E x p o s s o m m a z r e d e m o n t r a v a i l d e

r e c h e r c h e , p u b l i s h e d p o s t h u m o u s l y i n t h e v o l u m e M a t e m a t i c

[ S 7 3 ] a n d t r a n s -

l a t e d b y D o i n a I r m a S i m i o n .

S f o l l o w e d b y a n u m b e r i n [ ] r e f e r s t o L i s t A . R e f e r e n c e s a b o u t S i m i o n S t o i l o w ( p p . 2 0 2 6 ) ,

o t h e r w i s e [ ] r e f e r s t o L i s t B . A d d i t i o n a l R e f e r e n c e s ( p p . 2 6 3 8 ) .

t r a n s f o r m a t i o n i s o p e n , i f i t m a p s a n y o p e n s e t o f V o n t o a n o p e n s e t o f S .

2 A t r a n s f o r m a t i o n i s z e r o - d i m e n s i o n a l i f t h e p r e - i m a g e o f a n y p o i n t o f S i s a z e r o - d i m e n s i o n a l

s e t i n V , i . e . a s e t w h i c h d o e s n o t c o n t a i n a n y c o n t i n u u m .

1


15/735

2

-

S . S

t h e

o r i e n t a b i l i t y o f V , w h i c h i s e n o u g h f o r t h e l a t t e r t o b e e n d o w e d w i t h a

c o n f o r m a l m e t r i c ( n a m e l y , t o b e o r g a n i z e d a s a R i e m a n n s u r f a c e a s d e f i n e d b y

W e y l ) .

I n o t h e r w o r d s :

t h e r e i s a l w a y s a t o p o l o g i c a l ( i . e . b i j e c t i v e a n d b i c o n -

t i n u o u s ) t r a n s f o r m a t i o n 7 ' o f V o n t o a R i e m a n n s u r f a c e R ( i n W e y l ' s s e n s e ) ,

s o t h a t t h e c o m p o s i t i o n o f T ' a n d I s h o u l d b e a n a n a l y t i c f u n c t i o n o n

R .

T h e r e c i p r o c a l i s i m m e d i a t e : e a c h a n a l y t i c f u n c t i o n d e f i n e s a n i n t e r i o r

t r a n s f o r m a t i o n o f i t s R i e m a n n s u r f a c e i n t o S .

T o p o l o g i c a l c h a r a c t e r i z a t i o n s o f a n a l y t i c f u n c t i o n s ( B r o u w e r ' s p r o b l e m ) h a d

e m e r g e d a t a b o u t t h e s a m e t i m e ( 1 9 2 7 ) b y S z i l l a r d ( G o t t i n g e n ) a n d l a t e r , b u t

t o t a l l y u n r e l a t e d t o t h e f o r m e r , b y M a x Z o r n ( L o s A n g e l e s ) h o w e v e r , e x c e p t

f o r t h e f a c t t h a t t h e s e t e n d t o c h a r a c t e r i z e t h e c l a s s o f a n a l y t i c f u n c t i o n s a s

a t o t a l i t y , t h e y r e s o r t , b o t h o f t h e m , t o a f a i r l y h i g h n u m b e r o f a x i o m s . T h e

d e f i n i t i o n o f i n t e r i o r t r a n s f o r m a t i o n s i s , o n t h e c o n t r a r y , v e r y s i m p l e a n d i t

l o o k s m o r e o v e r a s i f i t w e r e n a t u r a l ; a c t u a l l y , i t i s t h e i m m e d i a t e e x t e n s i o n

o f t h e w e l l - k n o w n p r o p e r t y o f t h e t o p o l o g i c a l t r a n s f o r m a t i o n s o f a E u c l i d e a n

s p a c e i n t o a n o t h e r o f t h e s a m e d i m e n s i o n , e s t a b l i s h e d b y B r o u w e r , w h i c h s t a t e s

t h a t t h e s e t r a n s f o r m a t i o n s a r e o p e n .

2 . T h e p r o p e r t y o f t o p o l o g i c a l e q u i v a l e n c e b e t w e e n a n a l y t i c f u n c t i o n s a n d

i n t e r i o r t r a n s f o r m a t i o n s e x p r e s s e d b y t h e p r o p o s i t i o n f r o m t h e p r e c e d i n g

p a r a g r a p h f o l l o w s f r o m t h e f a c t ( w h i c h f i r s t s e e m s r a t h e r s u r p r i s i n g a n d

w h i c h i s r a t h e r d e l i c a t e t o p r o v e ) t h a t t h e c o v e r i n g o f S b y V v i a I h a s a l l t h e

c h a r a c t e r i s t i c s o f a c o v e r i n g R i e m a n n s u r f a c e ( c o v e r i n g =

r e c o u v r e m e n t

=

r e v t e m e n t

= U b e r l a g e r u n g ) . B u t t h i s i s t h e v e r y o r i g i n a l c o n c e p t R i e m a n n

h a d d e v e l o p e d . T h i s c o n c e p t h a s h a d a r a t h e r l o w p r o f i l e i n t h e w a k e o f t h e

m o r e a b s t r a c t o n e d e v e l o p e d b y H . W e y l , w h i c h s u c c e s s f u l l y r e p l a c e s i t i n a l l

i s s u e s w h e r e t h e c o n f o r m a l t y p e o f a R i e m a n n s u r f a c e i s a t s t a k e a n d w h e r e

t h e r e a r e i d e n t i f i e d c o n f o r m a l l y e q u i v a l e n t s u r f a c e s ( c o n f o r m a l r e p r e s e n t a t i o n

a n d u n i f o r m i z a t i o n ) . B u t i n m o s t t h e o r i e s c o n c e r n i n g a n a l y t i c f u n c t i o n s t h e

c o v e r i n g m o d e o c c u r s , w i t h i t s r a m i f i c a t i o n p o i n t s a n d s h e e t s , w h i c h p l a y a n

i m p o r t a n t p a r t t h r o u g h t h e i r n u m b e r a n d d i s t r i b u t i o n . O n e n e e d e d t h e r e f o r e a

p u r e t o p o l o g i c a l c h a r a c t e r i z a t i o n o f R i e m a n n ' s c o v e r i n g c o n c e p t : i t i s s u p p l i e d

i n a g e n e r a l w a y ( t h e s p h e r e S m a y b e r e p l a c e d b y a n o t h e r t o p o l o g i c a l m a n i f o l d

W ) b y t h e c o v e r i n g v i a i n t e r i o r t r a n s f o r m a t i o n s [ A 3 ,

p . 7 ] .

T h i s t o p o l o g i c a l

d e f i n i t i o n o f t h e R i e m a n n c o v e r i n g u n d e r l i e s p r e s e n t - d a y c o n s i d e r a t i o n s o f t h i s

k i n d a n d t h e i r c o r r e s p o n d i n g c l a s s i f i c a t i o n s [ N e ] .


16/735

B r i e f S u m m a r y o f M y R e s e a r c h W o r k

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3

3 .

I n

m y m o n o g r a p h ( B o r e ! C o ! ! e c t i o n ) [ S 6 6 ] , w h e r e I p r e s e n t e d t h e m a i n

r e s u ! t s I h a d a c q u i r e d i n t h i s a r e a , I c a m e t o u n d e r t a k e a n i n - d e p t h t o p o ! o g i c a !

s t u d y o f t h e m a n i f o ! d s V w h i c h m i g h t b e e n d o w e d w i t h a c o n f o r m a ! m e t r i c a n d

w h i c h c o n s e q u e n t ! y m i g h t b e o r g a n i z e d a s a b s t r a c t R i e m a n n s u r f a c e s i n W e y ! ' s

s e n s e . B y u s i n g t h e i n t e r i o r t r a n s f o r m a t i o n c o n c e p t I w a s a b ! e t o s h o w t h a t

t h e t r i a n g u ! a b i ! i t y a n d o r i e n t a b i ! i t y o f V w e r e n o t o n ! y n e c e s s a r y [ W ] , b u t a ! s o

s u f f i c i e n t ( p . 7 9 i n m y m o n o g r a p h ) , a f a c t s t a t e d b y t h e t h e o r e m e n u n c i a t e d i n

p a r a g r a p h 1 a b o v e . A s i m p ! i f i e d p r o o f , b u t b a s e d o n t h e s a m e i d e a , h a d b e e n

! a t e r p r o v i d e d b y M a u r i c e H e m s [ H ] .

F o r t h e g e n e r a ! p r o b ! e m o f t h e h o m e o m o r p h y o f o p e n s u r f a c e s I h a d t o g o

d e e p e r i n t o t h e c o n c e p t o f i d e a ! b o u n d a r y d e f i n e d b y K e r k j r t i n h i s T o p o l o g y

[ K ] . I n a d a p t i n g t h i s n o t i o n t o R i e m a n n s u r f a c e s I i n t r o d u c e d a t o p o ! o g y o n t h e

c o m p a c t i f i e d s p a c e a n d d e f i n e d t h e c o n c e p t o f " d e t e r m i n i n g s e q u e n c e " o f a n

" e ! e m e n t " o f t h e i d e a ! b o u n d a r y . T h e ! a t t e r , w h i c h p ! a y s a f u n d a m e n t a ! p a r t i n

m o d e r n r e s e a r c h o n t h e c ! a s s i f i c a t i o n o f R i e m a n n s u r f a c e s , i s o f t e n c a ! ! e d t o d a y

t h e " K e r k j r t S t o i ! o w " b o u n d a r y ( e s p e c i a l ! y b y J a p a n e s e m a t h e m a t i c i a n s

s u c h a s N o s h i r o , O h t s u k a , K u r o d a , K u r a m o c h i , e t c . ) .

I t i s b y r e f i n i n g t h e d e c o m p o s i t i o n o f t h i s b o u n d a r y i n t o e ! e m e n t s t h a t

o n e o b t a i n s t h e " M a r t i n b o u n d a r y " ( M a r c e ! P a r r e a u , f o r e x a m p ! e ) , a s w e ! ! a s

o t h e r b o u n d a r i e s u s e f u ! f o r v a r i o u s c o n s i d e r a t i o n s ( m y p u p i ! s A . C o r n e a a n d

C . C o n s t a n t i n e s c u , f o r e x a m p ! e ) , w h i c h ! e d t o i m p o r t a n t r e s u ! t s c o n c e r n i n g

t h e m o d e r n c ! a s s i f i c a t i o n o f R i e m a n n s u r f a c e s .

I w i ! ! r e t u r n t o t h i s p o i n t ! a t e r , b u t I w o u ! d f i r s t ! i k e t o s a y a f e w w o r d s

a b o u t t h e v a r i o u s e x t e n s i o n s a n d a p p ! i c a t i o n s o f t h e i n t e r i o r t r a n s f o r m a t i o n

c o n c e p t .

4 . I n g e n e r a ! t o p o ! o g y , t h i s c o n c e p t h a s f o u n d v a r i o u s a p p ! i c a t i o n s s u c h a s ,

f o r e x a m p ! e : a b s o ! u t e , s e p a r a b ! e , c o n n e c t e d a n d ! o c a ! ! y c o n n e c t e d

( s p a c e s

a l s o c a ! ! e d " q u a s i - P e a n o " ) c o m p ! e t e ! y f e a t u r e i m a g e s v i a i n t e r i o r t r a n s f o r m a -

t i o n s o f a d e n d r i t e ; t h e s a m e a s t h e P e a n o s p a c e s a r e t h e c o n t i n u o u s i m a g e s o f

s t r a i g h t ! i n e s e g m e n t [ A r ] . A t t h e s a m e t i m e , t h e i n t e r i o r t r a n s f o r m a t i o n s b e -

t w e e n s u b s e t s o f c o m p ! e t e s e p a r a b ! e s p a c e s e x t e n d a s i n t e r i o r t r a n s f o r m a t i o n s

t o a b s o ! u t e

c o n t a i n e d i n t h e s e s p a c e s , w h i c h i s a g e n e r a ! i z a t i o n o f a n o ! d e r

t h e o r e m b y L a v r e n t i e f f o n t h e e x t e n s i o n o f a h o m e o m o r p h i s m [ M a z ] .

A n i m p o r t a n t p a r t o f t h e w o r k o f t h e A m e r i c a n t o p o ! o g i s t G . T . W h y b u r n

i s d e v o t e d t o t h e i n t e r i o r t r a n s f o r m a t i o n s b e t w e e n s p a c e s [ W h i ] o r t o v a r i o u s

a p p ! i c a t i o n s o f t h i s c o n c e p t t o a n a l y t i c f u n c t i o n s [ W h 3 } . A m o n g t h e U . S .


17/735

4

m a t h e m a t i c i a n s

w h o h a v e d e v e l o p e d t h e s e q u e s t i o n s o n e m a y a l s o q u o t e

M . M o r s e , M . H e m s , J . A . J e n k i n s , D . A . S t o r v i c k , w h o h a v e a p p l i e d t h e c o n -

c e p t o f i n t e r i o r t r a n s f o r m a t i o n t o o t h e r d i f f e r e n t p r o b l e m s a n d p a r t i c u l a r l y t o

t h e s t u d y o f t h e s o - c a l l e d " p s e u d o h a r m o n i c f u n c t i o n s " .

5 . T h e m o d e r n c l a s s i f i c a t i o n o f o p e n R i e m a n n s u r f a c e s ( L . S a r i o , t h e F i n n i s h

a n d t h e J a p a n e s e s c h o o l s ) g e n e r a l l y t a k e f o r t h e i r s t a r t i n g p o i n t t h e n o n -

e x i s t e n c e o n a c a t e g o r y o f s u c h s u r f a c e s o f b o u n d e d h a r m o n i c f u n c t i o n s ( O H B

c l a s s ) , o f b o u n d e d a n a l y t i c f u n c t i o n s ( O A B c l a s s ) , o f h a r m o n i c o r a n a l y t i c

f u n c t i o n s w i t h f i n i t e D i r i c h l e t i n t e g r a l s ( c l a s s e s H D a n d

e t c . T h e s e

s t u d i e s , w h i c h h a v e m a d e g r e a t p r o g r e s s , d o h i g h l i g h t t h e i m p o r t a n c e o f t h e

i d e a l b o u n d a r y , o f i t s " r i c h n e s s " i n e l e m e n t s , o f i t s " t h i c k n e s s " . B u t i n c a s e

o n e d o e s n o t c o n f i n e o n e s e l f t

t h e c o n f o r m a l t y p e o f a R i e m a n n s u r f a c e

a n d o n e e n v i s a g e s i t w i t h i t s c o v e r i n g p r o p e r t i e s , a n o t h e r v i e w p o i n t s e e m s t o

e m e r g e a s a r e s u l t o f t h e i n n e r s t r u c t u r e o f t h e c o v e r i n g . T h e v a r i o u s c l a s s e s I

h a v e t h u s d i s c r i m i n a t e d a n d w h i c h e x c l u s i v e l y f e a t u r e c o v e r i n g ( o f t h e s p h e r e ,

o r o f a g i v e n R i e m a n n s u r f a c e ) p r o p e r t i e s s e e m t o e m e r g e q u i t e n a t u r a l l y : t h e

" n o r m a l l y e x h a u s t i b l e s u r f a c e s " [ S 4 2 ] h a v e b e e n g e n e r a l i z e d b y s e v e r a l m a t h e -

m a t i c i a n s , p a r t i c u l a r l y J a p a n e s e a n d b y s o m e o f m y R o m a n i a n s t u d e n t s ; t h e

c l a s s o f s u r f a c e s w i t h t h e " I v e r s e n p r o p e r t y " [ S 3 4 , 4 4 ] g a v e b i r t h t o i n t e r e s t i n g

d e v e l o p m e n t s ( s e e , f o r e x a m p l e , t h e r e c e n t m o n o g r a p h o f K . N o s h i r o [ N o ] ) .

O w i n g t o t h e t h e o r e m s o n t h e b e h a v i o r o f t h e f u n c t i o n s c o r r e s p o n d i n g t o

t h e s e s u r f a c e s I h a v e p r o v i d e d i n t h e t w o a b o v e - m e n t i o n e d m e m o i r s o f M a t h e -

m a t i c a ( C l u j ) , a n d w h i c h I h a v e a l s o e x p a n d e d [ 5 5 3 ] , t h i s c l a s s i f i c a t i o n w h i c h

t a k e s i n t o c o n s i d e r a t i o n t h e n a t u r e o f c o v e r i n g m a y b e c o n s i d e r e d a s h a v i n g f o r

i t s s t a r t i n g p o i n t t h e W e i e r s t r a B c l a s s i c a l t h e o r e m o n c o m p l e t e i n d e t e r m i n a t i o n

a r o u n d a n i s o l a t e d e s s e n t i a l s i n g u l a r p o i n t i n t h e s a m e w a y a s t h e c l a s s i f i c a t i o n

w h i c h d i s c r i m i n a t e s c l a s s e s O H B , Q A B , e t c . h a s i t s s t a r t i n g p o i n t i n L i o u v i l l e ' s

t h e o r e m a n d r e l a t e d t h e o r e m s .

A g r e a t n u m b e r o f i m p o r t a n t c a t e g o r i e s o f m u l t i f o r m a n a l y t i c f u n c t i o n s

g e n e r a t e s u r f a c e s w i t h I v e r s e n ' s p r o p e r t y , t h e s i m p l e s t a m o n g t h e m b e i n g t h e

i n v e r s e s o f m e r o m o r p h i c f u n c t i o n s i n

z < 0 0 [ I v ) .

I h a v e d i s c o v e r e d m y s e l f

t w o o f t h e s e c a t e g o r i e s o f a f a i r l y d i f f e r e n t n a t u r e : ( 1 ) t h e f u n c t i o n s d e f i n e d

b y a n e n t i r e r e l a t i o n G ( x , y ) =

0

( t h e r e f o r e , i n p a r t i c u l a r , t h e s o - c a l l e d " a u t o -

m o r p h y " f u n c t i o n s o f m e r o m o r p h i c f u n c t i o n s i n t h e f i n i t e p l a n e ) a n d ( 2 ) t h e

f u n c t i o n s c o r r e s p o n d i n g t o t h e R i e m a n n s u r f a c e s o f p a r a b o l i c t y p e , n a m e l y

w i t h o u t a G r e e n f u n c t i o n ( s u r f a c e s o f c l a s s O G ) .

T h e

l a t t e r o n e h a s b e e n

e x t e n d e d b y A . M o r i , t h e n b y T . K u r o d a , M . H e m s a n d o t h e r s . T h e i n v e r s e s


18/735

B r i e f S u m m a r y

o f M y R e s e a r c h W o r k

5

o f

t h e m e r o m o r p h i c f u n c t i o n s i n I z i

c i g i

1 1 2 d ' } s u c h t h a t l b

c d l

1 t h e T I D k - o p e r a t o r s p r o p e r l y i t e r a t e d l e a d t o a

p a r t i c u l a r s o l u t i o n . I n c a s e o f t h e u n i t b a l l t h e s e p r o b l e m s c a n b e t r e a t e d t o o .


78/735

S c h w a r z P r o b l e m f o r C a u c h y - R i e m a n n S y s t e m s

6 5

E v e n t h e R i e m a n n H i l b e r t b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m c a n b e i n v e s t i g a t e d . A s

a p p l i c a t i o n s t h e D i r i c h l e t p r o b l e m i s c o n s i d e r e d f o r p l u r i h a r m o n i c f u n c t i o n s

a n d t h e i n h o m o g e n e o u s p l u r i h a r m o n i c s y s t e m .

2 . S c h w a r z P r o b l e m f o r A n a l y t i c F u n c t i o n s

G e n e r a l i z a t i o n s o f t h e S c h w a r z k e r n e l

( + Z

=

2

1

t o s e v e r a l c o m -

( z ( z

p l e x

v a r i a b l e s w e r e g i v e n e . g . i n [ 1 1 , 6 ] . T h e S c h w a r z p r o b l e m , h o w e v e r , w a s

n o t y e t c o n s i d e r e d . A t f i r s t a r e p r e s e n t a t i o n f o r m u l a f o r a n a l y t i c f u n c t i o n s i s

d e v e l o p e d . O c c a s i o n a l l y t o b e s h o r t i n t h e f o l l o w i n g t h e a b b r e v i a t i o n s

( z k l ( k z k k l

f o r

( =

( ( i ' . . .

,

z = ( z i ,

. . . ,

( V

a r e u s e d .

L e m m a 1 . L e t w b e a n a l y t i c i n a n d c o n t i n u o u s o n t h e c l o s u r e

T h e n

w ( z )

=

R e w ( z )

[ 2 ( (

i ]

+ i l m w ( O ) , z e ( 6 )

R e w ( z ) =

1

z

1

1

1

d (

=

w ( ( )

1 -

=

=

R e w ( ( )

( 2 ( (

i )

+ i l m w ( O ) , z E


79/735

6 6

H . B e g e h r a n d A . D z h u r a e v

f o l l o w s . P a s s i n g t o t h e r e a l p a r t g i v e s

R e w ( z ) =

1

[ R e w ( ( )

+

\

d (

j

z

z

1 )

z

e

( 8 )

I n o r d e r t o s h o w t h i s t o b e i d e n t i c a l w i t h ( 7 ) w e p r o c e e d i n d u c t i v e l y .

1 .

n = 2 .

O b s e r v i n g R e ( ( k +

Z k ) / ( ( k

Z k )

=

( k / ( ( k

Z k )

+

Z k )

1 ,

( ( i

( 2

+

( 2 z 2

( 2 z 2

( i z i

( 2 z 2

( i z i ( 2 z 2 '

a n d

t h a t b y t h e C a u c h y f o r m u l a

1

( 2 i r i ) 2

( 1

Z i

Z 2 ( i

( 2

a I D 2

z i

=

f

1

I w ( ( )

2 i r i ) 2

( 1

Z i

( 2

Z 2 ( 1

( 2

a I D 2

Z i

Z 2

d ( 2

= 0

=

( 2

a I D 2

e t c . ( 7 ) i s s e e n t o c o i n c i d e w i t h ( 6 ) f o r n =

2 .

2 . 2 < n . A s s u m i n g

n i

1

f

(

( k

+

k Z k

( k Z k

I

( k

= 1

n i

n i

1

f R e w ( z )

( k

d ( k

Z k

1 1 ( k Z k

k = i


80/735

1

( 2 i r i ) n

a l l Y '

R e w ( ( )

( k

( k

Z k

( k

( k

Z k

k = 1

( k

Z k

i 4 5 '

( k _ _ _ _

( k

Z k

Z n

Z n

Z n

( n _ Z n

( n Z n

n Z n

n i

f

[ H

-

k

Z k

v a n i s h e s . W e o n l y n e e d t o c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g t w o i n t e g r a l s . T h e C a u c h y

t h e o r e m s h o w s

a s w e l l a s

1

( 2 i r i

) n

1

( 2 i r i ) n

x

d ( n 0

1

Z n

( n


h o l d s w e h a v e

1

( 2 i r i ) n

R e w ( ( ) [ J

6 7

(

( k

( k

Z k

I

1

1

= ( 2 i r i ) n J

R e w ( Z )

a l l Y '

( n

+

( n

Z n

1 ]

( n Z n 1 ] j j i ( k

k = 1

( k

Z k

I t r e m a i n s t o s h o w t h a t

] k ' : ' l

d ( k

( k

1

( 2 i r i ) n

Z n

( n

Z n

n

d ( k

k = i

r n _ i

w ( ( )

f l

k = i ( k

Z k

Z n

( n

Z n

n

d ( k

k = i

I n i

n i

d ( k l

w ( ( )

1 1 1 1

d ( k

H

k i

( k

Z k

k = i

( k j


81/735

6 8

r n _ i

n i

w ( ( )

( k

d ( k u d ( k l

L k = i ( k

Z k

( k

H

k = i

H . B e q e h r a n d A . D z h u r a e v

1

( 2 i r i ) n

w ( ( )

1

d ( k

l Z k ( k ( k

n i

d ( k

k = i

Z n

d ( n 0

( n Z n ( n

T h e o r e m 1 . L e t - y b e r e a l - v a l u e d c o n t i n u o u s o n

s a t i s f y i n g i n

r i k

_ i )

L

\ v = i

i s a n a l y t i c i n j p n

s a t i s f y i n g

P r o o f . F r o m

R e p = y c m

+

+

( 2 i r i ) n

f

w ( ( )

a i m

I

"

( k

n i - '

a ( k

k = i

d ( n

( n Z n ( n

1

( 2 i r i ) n

Z n

( n

Z n

1 1 ( n

( n

1

( 2 i r i ) n

Z k + i

( k + i

Z k + 1

( k + i

Z k + i ]

1 )

Z k + i

t h e n f o r a n y r e a l c

(

f l

v = k + 2

I

v = i

1

J

2

1 ]

d (

( 9 )

( 1 0 )

(

+

( L /


82/735

S c h w a r z P r o b l e m f o r C a u c h y R i e m a n n S y s t e m s

I n i

\ v = 1

6 9

\ i ( L / Z L /

)

( n z n

w e i n d u c t i v e l y g e t f o r 1 k

n

1

Z k + l

]

T a k i n g t h i s i d e n t i t y f o r k =

1 i n t o a c c o u n t o n e c a n s e e t h a t f o r z E

I

1

1

_ i )

J

( - z

(

f o l l o w s i f a n d o n l y i f ( 9 ) i s s a t i s f i e d .

3 . I n h o m o g e n e o u s C a u c h y R i e m a n n S y s t e m

F o r i n h o m o g e n e o u s C a u c h y R i e m a n n e q u a t i o n s

= f i n p r o p e r p l a n e

d o m a i n s D

C

i T t h e C a u c h y P o m p e i u r e p r e s e n t a t i o n f o r m u l a

w ( z )

=

w ( ( )

( - z

+ T f ( z )

( n

\ . ( n

Z n

+

( n

Z n

Z n

( n

Z n

+

(

(

- 1

1 k

k

- ( H

+ 1 1

\ v = 1

v = 1

i )

/

+

v = k + 1

( ' ,

c i '

\ v = 1

( k + i

Z k + 1

( V

c i ,

x f t

(

+

1

\ ( i , z i ,

( 1 1 )


83/735

7 0

H . B e g e h r a n d A . D z h u r a e v

s e r v e s t o f i n d s o l u t i o n s t o b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s , s e e e . g . [ 7 , 8 , 1 4 , 5 , 4 , 1 5 , 1 3 ] .

T h e P o m p e i u o p e r a t o r

T f ( z ) = T D f ( z )

,

( V , f E

( 1 2 )

z

D

h a s t h e b a s i c p r o p e r t y

= f

i n D . I n t h e c a s e o f p o l y d o m a i n s

C i T

w i t h s m o o t h p l a n e d o m a i n s D k C i T , 1 < k n , i t e r a t i o n s

o f t h e r e s p e c t i v e T - o p e r a t o r s T k f : = T D k f s e r v e f o r c o n s t r u c t i n g p a r t i c u l a r

s o l u t i o n s t o i n h o m o g e n e o u s C a u c h y R i e m a n n s y s t e m s

( 1 3 )

I n o r d e r t o e x t e n d t h e C a u c h y P o m p e i u r e p r e s e n t a t i o n t o h i g h e r d i m e n s i o n s

a t f i r s t a b i d o m a i n i s c o n s i d e r e d .

L e m m a 2 . L e t D 1 , D 2 b e t w o s m o o t h p l a n e d o m a i n s , D 2 : = D 1 x D 2 , D 2 : =

D 1 x D 2 , a n d w b e d i f f e r e n t i a b l e s u c h t h a t W - j j - ,

E L 1 ( D 2 ) . T h e n

W ( Z 1 , Z 2 )

= ( 2 i r i ) 2

f

f

d ( 1

d ( 2

( i Z 1 ( 2 z 2

a D 1 a D 2

f W i ,

( ( i , Z 2 )

1

1

- -

1 z 1 i r j

D 1 D 2

f f

( ( 1 ,

) e

D 2 .

( 1 4 )

z i , z 2

( 1 z 1 ( 2 z 2

D 1 D 2

P r o o f . F r o m t h e C a u c h y P o m p e i u f o r m u l a

w ( z i , z 2 ) =

I w ( ( i ,

z 2 )

d ( 1

1

1

d i 1 1

- - 1 w -

( ( 1 , z 2 )

2 i r i j

( i

z 1 i r

j

( i

z 1

D 1

w

( z 1 , z 2 ) =

I w (

z 1 , ( 2 )

d ( 2

1

1

d i 7 2

- -

i r i j

( 2 z 2

i r j

D 2


84/735


7 1

f o r

( z i , z 2 )

e D 2

1

f f

d ( 1

d ( 2

w ( z i , z 2 ) =

2

i

( 2 i r z ) j

j

( 1

z 1

Z 2

1

1 [

d ( 1

T

i r z j

j

( i z i

( 2 z 2

D 2 a D 1

1

f f

d ( 2

r

/ /

2 i r z j

j ( 2 z 2 ( 1 z 1

D 1 a D 2

1

[ 1

j j

' 1 ' , 2

( i z 1 ( 2 z 2

D 1 D 2

f o l l o w s . A p p l y i n g t h e s e f o r m u l a s a g a i n n o w f o r a n d

r a t h e r t h a n j u s t

f o r w l e a d s t o ( 1 4 ) .

P r o c e e d i n g i n t h i s w a y a c o u n t e r p a r t r e p r e s e n t a t i o n f o r m u l a c a n b e

o b t a i n e d i n i T

T h e o r e m

2 .

L e t

: =

w h e r e

D k i s a s m o o t h

b o u n d e d p l a n e d o m a i n i n ( V

, 1

k n . L e t w h a v e m i x e d d e r i v a t i v e s w i t h

r e s p e c t t o e a c h v a r i a b l e o f f i r s t o r d e r i n L 1 T h e n

w = p + w 0 w h e r e p i s

a n a l y t i c i n

a n d

: =

( 1 5 )

P r o o f .

( b y i n d u c t i o n )

F o r n = 1 t h e r e p r e s e n t a t i o n i s j u s t t h e C a u c h y

P o m p e i u f o r m u l a . L e t u s a s s u m e t h e r e p r e s e n t a t i o n f o r m u l a i s p r o v e d f o r

n

1 v a r i a b l e s . W e f i x a n d w r i t e w i t h z ' = ( z i , . .

.

,

z n _ i )

w ( z ' ,

Z n )

=

Z n ) +

x

. .

.

w h e r e p i s a n a l y t i c i n Z ' e

D i f f e r e n t i a t i n g

g i v e s

=

T k 1


85/735

7 2

H .

B e g e h r a n d A . D z h u r a e v

A p p l y i n g t h e C a u c h y P o m p e i u f o r m u l a t o

a s a f u n c t i o n o f

w i t h f i x e d

p a r a m e t e r s Z '

s h o w s

n i

p ( Z ) = ' l b ( Z ' , Z n ) +

X T n T k T k 1

. .

w i t h

a n a l y t i c

i n Z n , = 0 .

T h u s ,

n i

w ( Z )

=

+

+

. .

( k 1

( k 2

n i

+

. . .

_ _ _ _

( k 1

( k 2

i < k i < k 2 < . < k v < k v + i = n

n

n i

= +

. .

( k 1

( k 2

n

1

( k 1 ( k 2

' = 2

n n

=

+

. .

.

( k 1

( k 2

n

=

+

T k

W

( k 1 ( k 2

I t

r e m a i n s t o p r o v e t h a t

i s a n a l y t i c i n Z '

E

t o o . F o r t h i s r e a s o n w e

d i f f e r e n t i a t e w 0 g e t t i n g


86/735


n i

n i

=

' = 2

1

( k 1 ( k 2 " ( k 1 , Z k

T k V T k V _ 1 . T k W

1

k 1 = k

+

1 < k 1 < k 2 r Z . . < k 1 < n

n i

=

+

>

+

1 i < k 2 < .

1

Z k

( k 1 ( k 2

( & . v _ l

}

W

1 < k 1 < k 2 J

J J

' l

1 < k i < ' ( k 1 , < n

1

1

x

d 7 1 k 1

d i l k 1 , .

( 3 9 )

( k 1

Z k 1

( k 1 ,

Z k 1 ,

B e c a u s e o f ( 3 1 ) f o r m u l a ( 2 9 ) b e c o m e s

2 i r i

d (

1

j

a l p

1

f

p ( z )

i c

=

I

I I

I

l D k 1 , + l

{ k i , . . . , k n } = { 1 , . . . , n }


104/735


9 1

Z k 1

x

f k ,

i

W i t h ( 2 0 ) t h e n

( _ 1 ) v

f

r L /

' = 1

1 < k 1 0 ,


140/735

G e n e r a l i z e d M u l t i v a l u e d V a r i a t i o n a l l n e q u a l i t i e s

1 2 7

t h e r e e x i s t s a s i n g l e - v a l u e d c o n t i n u o u s m a p p i n g

:

D ( u o , b ) C ( [ O ,

T ] ,

s u c h t h a t t h e g r a p h o f

i s

c o n t a i n e d i n t h e f - b a l l a r o u n d t h e g r a p h o f

t h a t i s ,

i s a p p r o a c h a b l e . T h e c o n c l u s i o n r e a d i l y f o l l o w s f r o m T h e o r e m 3 . 1 .

D

R e m a r k . B a s e d o n a r e c e n t r e s u l t o f G r n i e w i c z , R i c c e r i a n d

[ 2 1 ] o n

t h e s o l u t i o n s e t o f d i f f e r e n t i a l i n c l u s i o n s o f o r d e r k i n a B a n a c h s p a c e E , w e

o b t a i n a v e r s i o n o f T h e o r e m 4 . 1 w i t h t h e C a u c h y p r o b l e m ( 5 ) r e p l a c e d b y t h e

d i f f e r e n t i a l i n c l u s i o n

5 '

y ( k ) ( t )

E F ( t ,

y ( t ) ,

y ' ( t ) ,

, y ( k _ 1 ) ( t ) )

y ( O ) =

x o , y ' ( O )

=

x i , .

, y ( k _ l ) ( o )

=

w h e r e

F :

[ 0 , T ] x

+

P ( E ) h a s n o n - e m p t y c o m p a c t c o n v e x v a l u e s , i s

m e a s u r a b l e i n t , c o m p l e t e l y c o n t i n u o u s i n x , i n t e g r a b l y b o u n d e d , a n d s e n d s

c o m p a c t s e t s o n c o m p a c t s e t s .

5 . G e n e r a l i z e d Q u a s i - V a r i a t i o n a l I n e q u a l i t i e s a n d

A p p l i c a t i o n s

T h e g e n e r a l r e s u l t s o f S e c t i o n 3 f i n d i m m e d i a t e a p p l i c a t i o n s i n t h e t h e o r y

o f v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s a n d c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m s . W e r e f e r t o [ 2 6 1

f o r a c o m p r e h e n s i v e d i s c u s s i o n o n t h e v a r i o u s a s p e c t s a s w e l l a s t h e m a n y

a p p l i c a t i o n s o f t h e s e p r o b l e m s .

5 . 1 . Q u a s i - v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i t e s

L e t X b e a s u b s e t o f a t o p o l o g i c a l v e c t o r s p a c e E , l e t Y b e a n a r b i t r a r y

s e t a n d l e t F b e a l o c a l l y c o n v e x s p a c e w i t h t o p o l o g i c a l d u a l F * a n d d u a l i t y

p r o d u c t ( . , . )

:

F * x F +

R .

L e t W : X P ( X ) ,

X + P ( Y )

b e t w o

m u l t i f u n c t i o n s , 0 X x Y +

F * , 1 l

:

X x X +

F

b e t w o m a p p i n g s , a n d

4 : X +

R

b e a r e a l f u n c t i o n .

T h e g e n e r a l i z e d q u a s i - v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t y p r o b l e m ( G Q V I P f o r s h o r t )

a s s o c i a t e d t o ( X , Y , W ,

0 ,

i s d e f i n e d a s :

I

f i n d x 0 e W ( x o ) , y o

E

s u c h t h a t

( 8 )

( O ( x o , y o ) , i i ( x , x o ) )

b ( x )

f o r a l l

x E ' F ( x o ) .


141/735

1 2 8

I - f .

B e n - E l - M e c h a i e k h a n d G . I s a c

P a r t i c u l a r i n s t a n c e s o f p r o b l e m ( 8 ) w e r e s t u d i e d i n [ 1 2 ] , [ 1 6 ] , [ 2 2 ] , [ 2 9 ] , [ 3 3 ] ,

[ 3 5 ] , [ 4 0 ] , a n d m a n y o t h e r p a p e r s .

T h e f o l l o w i n g t h e o r e m i s a n i m m e d i a t e c o n s e q u e n c e o f T h e o r e m 3 . 2 .

I t

g e n e r a l i z e s T h e o r e m 3 . 2 o f [ 4 0 ] t o a b r o a d e r c l a s s o f m u l t i f u n c t i o n s .

T h e o r e m 5 . 1 .

A s s u m e t h a t X i s a n a c y c l i c c o m p a c t A N R i n E , Y i s a n

A N R ,

: X +

P ( Y )

a d m i t s a V - d e c o m p o s i t i o n , a n d t h a t W : X p

P ( X )

i s

c o n t i n u o u s w i t h n o n - e m p t y c o m p a c t v a l u e s . A s s u m e a l s o t h a t 0 a n d

a r e

c o n t i n u o u s a n d s a t i s f y :

( i ) ( 0 ( x , y ) , i i ( x , x ) ) 0 , V ( x , y ) E

( i i ) V ( x , y ) E X x Y , t h e m a r g i n a l s e t

: = { u E W ( x ) ; ( 0 ( x , y ) , r i ( u , x ) ) =

i n f

( 0 ( x , y ) , i i ( z , x ) ) }

z E W ( x )

i s

o o - p r o x i m a l l y c o n n e c t e d i n X .

T h e n p r o b l e m ( 8 ) h a s a s o l u t i o n .

P r o o f .

I t s u f f i c e s t o a p p l y T h e o r e m 3 . 2 t o t h e f u n c t i o n

y , u ) = ( 0 ( x ,

y ) ,

i i ( u , x ) ) .

0

A s s u m e n o w t h a t E i s a n o r m e d s p a c e . G i v e n a r e a l p > 0 , l e t

b e t h e

c l o s e d d i s k o f r a d i u s p c e n t e r e d a t t h e o r i g i n i n E , a n d l e t

b e t h e s e t

D e n o t e b y W , , t h e c o m p r e s s i o n o f W t o

g i v e n b y

: =

x E X i , .

T h e n w e h a v e :

C o r o l l a r y 5 . 2 . A s s u m e t h a t X i s a n A R i n E , Y i s a n A N R a n d

: X

P ( Y ) a d m i t s a V - d e c o m p o s i t i o n . A s s u m e a l s o t h a t 0 a n d

a r e c o n t i n u o u s a n d

v e r i f y :

( i ) ( 0 ( x , y ) , i i ( x , x ) ) 0 , V ( x , y ) E

A s s u m e t h a t a p o > 0 s u c h t h a t V p p 0 :

( i i )

t h e m a r g i n a l s e t

=

{ u

E

( 0 ( x , y ) , ' q ( u , x ) ) =

i n f

( 0 ( x , y ) , i i ( z , x ) ) }

i s

o o - p r o x i m a l l y c o n n e c t e d i n

V ( x , y ) E

x Y .

( i i i )

i s c o m p a c t a n d W , , i s c o n t i n u o u s w i t h n o n - e m p t y c o m p a c t v a l u e s .


142/735


1 2 9

T h e n :

( 1 ) Y , W , , ,

0 ,

h a s a s o l u t i o n

V p

P o

( 2 ) i f t h e s e t h a s a c l u s t e r p o i n t , t h e n p r o b l e m ( 8 ) h a s a

s o l u t i o n .

P r o o f . F o r e a c h p P o , b e i n g a r e t r a c t o f X , t h e s e t

i s a c o m p a c t A R .

C o n c l u s i o n ( 1 ) r e a d i l y f o l l o w s f r o m T h e o r e m 5 . 1 . A s s u m e n o w t h a t t h e s e t

o f s o l u t i o n s t o t h e p r o b l e m s

Y , ' I ' , , , 0 , h a s

a s u b s e q u e n c e

{

c o n v e r g i n g t o x 0 E X . F o r e a c h n ,

E

a n d f o r s o m e

E

i j ( x ,

0 , V x E

S i n c e f o r a n y l a r g e p ,

i s

u . s . c . w i t h c l o s e d v a l u e s , i t f o l l o w s t h a t x 0 E W ( x o ) . F u r t h e r m o r e , t h e s e q u e n c e

{ y n }

b e i n g

c o n t a i n e d i n t h e c o m p a c t s e t

}

U

{ x o } ) h a s a c l u s t e r p o i n t

Y o E

T h e c o n t i n u i t y o f 0 a n d

i m p l i e s t h a t ( 0 ( x o , y o ) , i i ( x ,

x 0 ) )

0 , V x E W ( x o ) . 1 2

R e m a r k . C o r o l l a r y 5 . 2 g e n e r a l i z e s T h e o r e m 3 . 8 o f [ 4 0 ] i n s e v e r a l d i r e c t i o n s .

A n i m m e d i a t e a p p l i c a t i o n o f T h e o r e m 3 . 4 i s t h e f o l l o w i n g :

T h e o r e m 5 . 3 . A s s u m e t h a t Y i s a c o m p l e t e c o n v e x s u b s e t o f a l o c a l l y c o n v e x

s p a c e a n d l e t C b e a n o n - e m p t y c o m p a c t c o n v e x s u b s e t o f X . A s s u m e t h a t

i s u . s . c . w i t h n o n - e m p t y c o m p a c t v a l u e s s u c h t h a t t h e r e s t r i c t i o n

a d m i t s

a V - d e c o m p o s i t i o n , t h e m u l t i f u n c t i o n

: =

f l C , x E C , i s c o n t i n u o u s

o n C a n d h a s n o n - e m p t y c o m p a c t c o n v e x v a l u e s .

S u p p o s e t h a t 0 a n d

a r e

c o n t i n u o u s a n d s a t i s f y :

( i ) ( 0 ( x , y ) , i i ( x , x ) ) 0 , V ( x , y ) E g r a p h ( 4 ) ;

( i i ) V ( x , X x F * , t h e f u n c t i o n

x ) )

i s c o n v e x o n

( i i i )

b i s c o n v e x a n d i t s r e s t r i c t i o n t o C i s c o n t i n u o u s ;

( i v ) V x E C s u c h t h a t x E

E

w i t h

c b ( x )

q 5 ( u ) , V y

E


P r o o f .

I t s u f f i c e s t o a p p l y T h e o r e m 3 . 4 t o o ( x , y , u ) =

R e m a r k s .

( 1 ) I f E =

F

a n d i j ( x , u ) =

x

u ,

t h e n h y p o t h e s e s ( i ) - ( i i ) a r e

o b v i o u s l y s a t i s f i e d . I f i n a d d i t i o n

X , t h e n p r o b l e m ( 4 ) h a s a s o l u t i o n .

I n t h e c a s e w h e r e i n a d d i t i o n 0 ( x , y ) =

y ,

w e o b t a i n a g e n e r a l i z a t i o n o f t h e

m a i n t h e o r e m i n [ 2 9 ] t o n o n - c o n v e x m u l t i f u n c t i o n s .


143/735

1 3 0

H .


( 2 ) I f i i ( x , x ) = 0 , V x E X , t h e n ( i ) i s o b v i o u s l y s a t i s f i e d . H o w e v e r , i t

m a y

h a p p e n t h a t

i s n o t i d e n t i c a l l y z e r o o n t h e d i a g o n a l o f X x X a n d y e t p r o b l e m

( 8 ) h a s a s o l u t i o n ( s e e e . g . [ 1 6 ] ) .

I n n o r m e d s p a c e s , a s i m p l e c o e r c i v i t y c o n d i t i o n e a s y t o v e r i f y i s s u f f i c i e n t

f o r h y p o t h e s i s ( i v ) i n T h e o r e m 5 . 3 t o h o l d t r u e . M o r e p r e c i s e l y , w e h a v e :

C o r o l l a r y 5 . 4 .

A s s u m e t h a t E i s a n o r r n e d s p a c e , t h a t X i s a n o n - e m p t y

c o n v e x s u b s e t o f E , t h a t Y i s a n o n - e m p t y c o m p l e t e c o n v e x s u b s e t o f a l o c a l l y

c o n v e x s p a c e , a n d t h a t b o t h 0 a n d

a r e c o n t i n u o u s . A s s u m e a l s o t h a t c o n d i -

t i o n s ( i ) - ( i i i ) o f t h e p r e c e d i n g t h e o r e m a r e s a t i s f i e d a n d t h a t

> 0 s u c h t h a t

V P

p 0 :

( i v )

V x

E

l x i i = p ,

E W ( x ) ,

< p w i t h

m a x

c b ( x )

( v )

i s c o m p a c t a n d t h e m u l t i f u n c t i o n i s

c o n t i n u o u s a n d h a s

n o n - e m p t y c o m p a c t c o n v e x v a l u e s o n

( v i ) t h e r e s t r i c t i o n o f t h e m u l t i f u n c t i o n 4 t o a d m i t s a V - d e c o m p o s i t i o n .

T h e n

p r o b l e m ( 8 ) h a s a s o l u t i o n .

P r o o f . T a k e

C

=

X f l i n

T h e o r e m 5 . 3 .

0

R e m a r k s .

( 1 )

L e t c b

0 . I f t h e r e e x i s t s x 0 E f l X E X

' P ( x )

s u c h t h a t

l i m

m a x ( 0 ( x , y ) , i i ( x o , x ) ) < 0 ,

t h e n h y p o t h e s i s ( i v ) i s s a t i s f i e d . W e t h u s o b t a i n a g e n e r a l i z a t i o n o f a r e s u l t

i n [ 4 0 ] .

( 2 ) I t i s r o u t i n e t o v e r i f y t h a t a n a l t e r n a t i v e c o e r c i v i t y c o n d i t i o n t o ( i v ) i s :

( i v ) ' t h e r e e x i s t s a n o n - e m p t y c o m p a c t c o n v e x s u b s e t C

o f

X s u c h t h a t

V x E

X w i t h m a x

( 0 ( x , y ) , i i ( u , x ) )

< b ( x ) b ( u ) .

W i t h t h e a p p r o p r i a t e c h a n g e s t o h y p o t h e s e s ( v ) - ( v i ) w e o b t a i n a g e n e r a -

l i z a t i o n o f a r e s u l t o f [ 1 6 ] .


144/735


1 3 1

E x i s t e n c e

r e s u l t s f o r s o - c a l l e d m o n o t o n e m u l t i f u n c t i o n s a r e o t h e r i m m e d i -

a t e c o n s e q u e n c e s o f T h e o r e m 5 . 3 . L e t u s r e c a l l t h a t g i v e n t h r e e s e t s X , Y , Z ,

a r p u l t i f u n c t i o n 4 ) : X p

P ( Y ) ,

a n d a m a p p i n g 0

:

g r a p h ( 4 ) ) p

Z ,

t h e p a r a m e t r i z e d m u l t i f u n c t i o n

: X P ( Z ) i s

d e f i n e d b y 4 ) o ( x ) =

{ O ( x , y ) ; y

E 4 ) ( x ) } , x E X .

D e f i n i t i o n 5 . 1 . L e t E , F b e t w o n o r r n e d s p a c e s . L e t X b e a n o n - e m p t y s u b s e t

o f E , a n d l e t Y b e a n a r b i t r a r y n o n - e m p t y s e t . L e t

: X P ( Y ) ,

' I '

: X p

P ( X )

b e t w o m u l t i f u n c t i o n s a n d l e t 0 : X x Y +

F * ,

1 1 : X x X

F

b e t w o

m a p p i n g s .

( i ) 4 )

i s s a i d t o b e ( 0 , q ) - m o n o t o n e w i t h r e s p e c t t o

' I ' o n X i f V x 1 E

' I ' ( x 1 ) , V x 2

E W ( x 2 ) , V z i

E 4 ) o ( x i ) , V z 2 E 4 ) o ( x 2 ) ,

( z 2 , q ( x 2 , x i ) ) + ( z l , q ( x i , x 2 ) ) 0

( i i )

4 ) i s s a i d t o b e i

( 0 ,

i j ) - m o n o t o n e w i t h r e s p e c t t o ' I ' o n X i f t h e r e

e x i s t s a n i n c r e a s i n g f u n c t i o n p . : [ 0 , [ 0 ,

w i t h p . ( O ) =

0

a n d

+ c x

a s r

+ c x

s u c h t h a t V x 1 E W ( x 1 ) , V x 2 E ' I ' ( x 2 ) , V z i E

4 ) o ( x i ) , V z 2 E 4 ) o ( x 2 ) ,

( z 2 , r l ( x 2 , x l ) ) +

( z 1 , i j ( x 1 , x 2 ) )

p .

( 0 , 1 1 ) - m o n o t o n e

w i t h r e s p e c t t o ' I ' o n X ,

t h e n i t i s ( 0 , 1 1 ) - m o n o t o n e w i t h r e s p e c t t o W o n X .

( 2 ) I f t h e r e e x i s t s x 0 E

s u c h t h a t 4 ) ( x o ) i s n o n - e m p t y , t h e n t h e

( 0 ,

o n

4 )

w i t h r e s p e c t t o

' P a t x 0 i n t h e s e n s e t h a t :

E 4 ) O ( X O ) , V X E ' I ' ( x )

V z E

( z o , q ( x o , x ) )

+ ( z , i i ( x , x o ) ) 0 .

( S i m i l a r l y , t h e p . ( 0 ,

i m p l i e s a c o r r e s p o n d i n g n o t i o n

o f p . ( 0 ,

( 3 ) I f 1 1 ( x , u )

0 w h e n e v e r x

u , a n d i f p . ( r ) =

w h e r e

> 0 i s a f i x e d

c o n s t a n t i n ( i i ) , w e o b t a i n c o n c e p t s o f s t r o n g ( 0 ,

a n d

s t r o n g ( 0 ,

w h i c h , i n a f i n i t e d i m e n s i o n a l s e t t i n g w i t h

0 ( x , y ) = y

a n d 1 1 ( x , u ) = x

u ,

r e d u c e t o t h e c o n c e p t s o f s t r o n g

m o n o t o n i c i t y a n d s t r o n g c o p o s i t i v i t y i n t r o d u c e d i n [ 1 2 ] .


145/735

1 3 2

H .


( 4 ) W h e n O ( x , y )

=

y ,

o u r ( 0 ,

r e d u c e s t o t h e c o n c e p t o f

m o n o t o n i c i t y u s e d i n [ 3 3 ] . I f i i ( x , u ) =

x

u ,

a l l o f t h e c o n c e p t s a b o v e

w e r e i n t r o d u c e d i n [ 4 0 ] . I f i n a d d i t i o n

X =

a n d x 0 = 0 ,

t h e

c o n c e p t s o f c o p o s i t i v i t y r e d u c e t o t h e c l a s s i c a l o n e s ( s e e S a i g a l [ 3 7 ] ) .

P r o p o s i t i o n 5 . 5 .

L e t E b e a n o r m e d s p a c e , X a n o n - e m p t y c o n v e x s u b s e t

o f E , a n d Y a n o n - e m p t y c o m p l e t e c o n v e x s u b s e t o f a l o c a l l y c o n v e x s p a c e .

A s s u m e t h a t 0 a n d

a r e c o n t i n u o u s a n d v e r i f y t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n s :

( i ) i i ( x , u )

= i i ( u , x ) ,

V x , u

E

X ;

( i i ) V ( x , X x F * , t h e f u n c t i o n

x ) )

i s c o n v e x o n

( i i i ) f o r e a c h u E X , I I 1 1 ( x , u ) I I F

+

w h e n e v e r

I I x I I E

( i v )

4 ) i s i j ) - m o n o t o n e w i t h r e s p e c t t o ' I ' o n X .

A s s u m e t h a t

> 0 s u c h t h a t V p p 0 :

( v ) i s c o m p a c t a n d t h e m u l t i f u n c t i o n

i s c o n t i n u o u s a n d h a s n o n -

e m p t y c o m p a c t c o n v e x v a l u e s o n

( v i ) V x E W ( x ) w i t h l x i i

= p ,

E W ( v ) w i t h l i v i l

0

l a r g e e n o u g h , W ( x ) f l

i s n o n - e m p t y c o m p a c t a n d c o n v e x V x E X . I t i s

r o u t i n e t o v e r i f y t h a t W , , i s c o n t i n u o u s ( l o w e r s e m i c o n t i n u i t y f o l l o w s f r o m a

d i r e c t e l e m e n t a r y a r g u m e n t ; u p p e r s e m i c o n t i n u i t y f o l l o w s f r o m t h e f a c t t h e

h a s c l o s e d g r a p h ) . F u r t h e r m o r e , V x 1 , x 2 E R 2 ,

( O ( x 1 , R t 0 ( x i ) ) , r ' ( x i , x 2 ) )

+

=

x 2 )

+

x 1 ) =

x 2 ) , x 1

x 2 )

=

I 1 x 2 x 1 1 1 2 c o s t 0

=

, u ( I I x i x 2 1 1 ) 1 1 x 2

I I

w i t h

= r

c o s t 0 , r

0 . T h a t i s ,

4 )

i s

( 0 , 1 1 ) - m o n o t o n e

w i t h

r e s p e c t t o W o n X . H o w e v e r , p r o b l e m ( 8 ) h a s n o s o l u t i o n .

I n d e e d , g i v e n

a n y x E X , a n y x ' E ' I ' ( x ) \ { x } i s o f t h e f o r m x ' =

x + ( 1

w i t h

0 < A < 1 , a n d

( 0 ( x , y ) , 1 1 ( x ' , x ) ) =

=

( 1

A ) c o s ( t o

+

1 1 x 1 1 2 < 0 .

A s i m p l e g e o m e t r i c a r g u m e n t s h o w s t h a t c o n d i t i o n ( v i ) o f P r o p o s i t i o n 5 . 5

f a i l s .

( 2 ) T h e c o n c l u s i o n o f P r o p o s i t i o n 5 . 5 h o l d s t r u e i f h y p o t h e s e s ( i v ) a n d ( v i )

a r e r e p l a c e d b y

E

W ( x )

s u c h t h a t 4 ) i s

( 0 ,

i i ) - c o p o s i t i v e w i t h

r e s p e c t t o W a t x 0 o n X .

I n t h i s c a s e , w e g e n e r a l i z e ( a n d c o r r e c t ) T h e o r e m 3 . 6 o f [ 4 0 ] t o n o n - c o n -

t r a t i b l e m u l t i f u n c t i o n s .

( 3 ) S i m p l e c o u n t e r - e x a m p l e s s h o w t h a t t h e h y p o t h e s i s o f

1 1 ) - m o n o -

t o n i c i t y c a n n o t b e r e p l a c e d b y m e r e ( 0 , i j ) - m o n o t o n i c i t y .

5 . 2 . C o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m s

C o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m s a r e p a r t i c u l a r c a s e s o f p r o b l e m ( 8 ) . R e c a l l t h a t

g i v e n a c l o s e d c o n v e x c o n e X i n a l o c a l l y c o n v e x s p a c e E

w i t h

d u a l c o n e

=

{ y

E E * ;

( y , x )

0 f o r a l l x E X } , l e t 4 ) X p

P ( E * )

b e

a m u l t i f u n c t i o n , l e t


147/735

1 3 4

H .

B e n - E l - M e c h a i e k h a n d C . I s a c

f : X x E *

b e a m a p p i n g , a n d l e t 0 : X p

R

b e a f u n c t i o n a l . T h e

g e n e r a l i z e d m u l t i v a l u e d c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m ( a s s o c i a t e d t o ( X , 4 ) , f , 0 ) )

J

f i n d

x 0 E X , y o E 4 ) ( x o ) f l

X * , f ( x o , y o ) E

s u c h t h a t

1

( f ( x o , y o ) , x o )

= c b ( x o ) .

I f

f ( x , y )

=

y ,

( 9 ) r e d u c e s t o t h e c l a s s i c a l g e n e r a l i z e d m u l t i v a l u e d

c o m p l e m e n t a r i t y p r o b l e m .

W e f o r m u l a t e n o w s o m e t y p i c a l e x i s t e n c e p r o p e r t i e s f o r p r o b l e m ( 9 ) t h a t

g e n e r a l i z e t o n o n - c o n v e x m u l t i f u n c t i o n s r e s u l t s i n [ 2 9 ] . T h e i r p r o o f s a r e s i m i l a r

t o t h o s e p r e s e n t e d t h e r e f o r c o n v e x - v a l u e d 4 ) a n d a r e l e f t t o t h e r e a d e r .

T h e o r e m 5 . 6 . A s s u m e t h a t 4 )

i s u . s . c . w i t h n o n - e m p t y c o m p a c t c c - p r o -

x i m a l l y c o n n e c t e d v a l u e s a n d t h a t 0 : X

( c c , 0 ]

i s a n l . s . c . c o n v e x

f u n c t i o n a l . A s s u m e a l s o t h a t t h e r e e x i s t s a c o m p a c t c o n v e x s u b s e t C o f X w i t h

n o n - e m p t y i n t e r i o r r e l a t i v e t o X s u c h t h a t f o r e a c h x E B d x ( C ) t h e r e e x i s t s

u E

w i t h u )

0 ( u )

T h e n :

( 1 ) P r o b l e m ( 9 ) h a s a s o l u t i o n p r o v i d e d 0 ( 0 ) = 0

a n d ( A x ) =

V ( A , x ) e

x X .

( 2 )

E C ,

E

w i t h 0 ( Y o , x 0 ) < 0 ( x 0 ) p r o v i d e d 0 ( 0 ) =

0

a n d b ( x + y ) < 0 ( x ) ,

X x X .

B y w a y o f i l l u s t r a t i o n , w e h a v e t h e f o l l o w i n g g e n e r a l i z a t i o n o f w e l l - k n o w n

r e s u l t s t h a t c o u l d b e a p p l i e d t o f i n d i n g K u h n T u c k e r t y p e s t a t i o n a r y p o i n t s

f o r n o n s m o o t h p r o g r a m m i n g p r o b l e m s w i t h v e r y g e n e r a l o b j e c t i v e f u n c t i o n s ;

( s p e c i f i c s i t u a t i o n s w i l l b e d i s c u s s e d e l s e w h e r e ) . L e t E =

X =

a n d

0 : X p

0 ] b e a n l . s . c . c o n v e x f u n c t i o n a l w i t h 0 ( 0 ) =

0

a n d ( A x ) =

A ( x ) ,

V ( A , x ) E [ 1 , + o o ) x X . L e t g b e a l o c a l l y L i p s c h i t z r e a l f u n c t i o n o n X ,

a n d l e t u s a s s u m e t h a t

: = h ( f ( x ) ) i s a h o m e o m o r p h i c i m a g e , l y i n g i n

X , o f t h e C l a r k e g e n e r a l i z e d g r a d i e n t [ 1 2 ] o f g a t x ( s u c h a m a p p i n g 4 ) i s o f

c o u r s e u . s . c . a n d h a s n o n - e m p t y c o m p a c t c o n t r a c t i b l e v a l u e s ) . I f t h e r e e x i s t a

c o n s t a n t > 0 a n d a v e c t o r d e X

s u c h t h a t

V x { x X ; ( d , x )

= i 3 } ,

E { x E X ; ( d , x ) < / 3 } , w i t h

u ) 0 ( u )

t h e n , b y p u t t i n g C : = { x E X ; ( d , x ) 1 3 } ( w h i c h i s c o m p a c t ) , o n e i m m e d i a -

t e l y o b t a i n s t h e s o l v a b i l i t y o f p r o b l e m ( 9 ) . O b s e r v e h e r e t h a t o u r c o e r c i v i t y


148/735


1 3 5

c o n d i t i o n a b o v e i s i n d e p e n d e n t o f t h e m a p p i n g f ( w h i c h c o u l d b e o f t h e f o r m

f ( x ,

y )

: = M x

+ y + r , M E

r

E

a s i n [ 3 5 ] , o r o f a n y o t h e r f o r m f o r

t h a t m a t t e r ) .

T h e o r e m 5 . 7 .

A s s u m e t h a t X i s a c l o s e d c o n v e x c o n e i n

a n d l e t

4 )

X p

b e

s u c h t h a t f o r a n y c o m p a c t c o n v e x s u b s e t C o f X ,

t h e r e s t r i c t i o n

i s c o m p a c t - v a l u e d u . s . c . a n d a p p r o a c h a b l e . A s s u m e t h a t

f ( x , y )

=

y ,

t h a t 0

= 0 , a n d t h a t

>

0 s u c h

t h a t ( y

v , x )

>

V ( x , y )

g r a p h ( 4 ) ) , V v

E


5 . 3 .

M i n i m i z a t i o n a n d s a d d l e p o i n t s f o r

p s e u d o c o n v e x f u n c t i o n s

T h e p r e c e d i n g r e s u l t a p p l i e s t o m i n i m i z a t i o n p r o b l e m s o f f u n c t i o n s o f

p s e u d o c o n v e x t y p e . T h e y e x t e n d t o n o n s m o o t h f u n c t i o n s a n d t o m o r e

g e n e r a l c l a s s e s o f m u l t i f u n c t i o n s r e s u l t s o f [ 4 0 ] . B e f o r e s t a r t i n g , l e t u s r e c a l l

s o m e i m p o r t a n t c o n c e p t s o f g e n e r a l i z e d d i f f e r e n t i a b i l i t y ; t h e r e a d e r i s r e f e r r e d

t o [ 2 ] a n d [ 1 2 ] f o r d e t a i l s .

L e t i / b e a l o c a l l y L i p s c h i t z r e a l f u n c t i o n o n a n o p e n s u b s e t U

o f

a n o r m e d

s p a c e E .

T h e

C l a r k e d i r e c t i o n a l d e r i v a t i v e a t

x i n t h e d i r e c t i o n u i s

( x ; u ) : =

l i m s u p

x ' + x , t j O

t

T h e C l a r k e g e n e r a l i z e d g r a d i e n t o f

a t x

: =

E

E * ;

E

E } ,

i s

a n o n - e m p t y , w e a k - * c o m p a c t c o n v e x s e t ; m o r e o v e r , t h e m u l t i f u n c t i o n

i s u p p e r s e m i c o n t i n u o u s .

T h e l o w e r

a n d

u p p e r D i n i d e r i v a t i v e s a t

x i n t h e d i r e c t i o n u a r e r e s p e c t i v e l y

g i v e n b y

- .

' i h ' ( x +

t u ) +

.

+ t u )

( x ; u ) : = l i m i n f

,

( x ; u ) : = l i m s u p

t

t 4 0 +

t

O b v i o u s l y ,

p o i n t w i s e .

I t i s s a i d t h a t

i s

p s e u d o - r e g u l a r a t

x i f =

. ) .

N o t e t h a t a c o n t i n u o u s c o n v e x

f u n c t i o n i s p s e u d o - r e g u l a r o n i t s d o m a i n .


149/735

1 3 6

H .

B e n - E 1 - M e c h a i e k h a n d C . I s a c

L e t X b e a n o n - e m p t y s u b s e t o f a B a n a c h s p a c e E a n d l e t f b e a r e a l

f u n c t i o n o n X .

D e f i n i t i o n 5 . 2 . W e s a y t h a t t h e f u n c t i o n f i s o f p s e u d o c o n v e x t y p e o n X i f

t h e r e e x i s t a c o n t i n u o u s m a p p i n g T f r o m X i n t o a f i n i t e d i m e n s i o n a l B a n a c h

s p a c e F , a l o c a l l y L i p s c h i t z f u n c t i o n g F p R ,

a n d a c o n t i n u o u s m a p p i n g

t h a t :

( i ) f = g o T ;

( i i ) V x 0 , x

X , g ( T ( x o ) ; i j o ( T ( x ) , T ( x o ) ) ) 0

f ( x )

f ( x o ) .

R e m a r k s .

L e t u s o b s e r v e t h a t t h i s n o t i o n o f p s e u d o c o n v e x i t y e n c o m p a s s e s

n o t i o n s s t u d i e d e l s e w h e r e . ( 1 ) I f g i s p s e u d o - r e g u l a r , T i s a d i f f e o m o r p h i s m o f

X = F =

a n d i j o ( z ,

z o ) = z z 0 ,

o u r d e f i n i t i o n r e c o v e r s t h e n o t i o n o f a n

e s s e n t i a l l y p s e u d o c o n v e x f u n c t i o n o f T a n a k a e t a l .

[ 3 8 ] .

I t w a s

s h o w n

i n [ 3 8 ]

t h a t a n e s s e n t i a l l y p s e u d o c o n v e x f u n c t i o n f i s p s e u d o c o n v e x a l o n g s m o o t h a r c s

i n i t s d o m a i n a n d t h a t a r c w i s e p s e u d o c o n v e x i t y i m p l i e s i n v e x i t y . A s s u m i n g f o r

s i m p l i c i t y t h a t X = F

=

a n d T b e t h e i d e n t i t y m a p p i n g , i f f i s i n v e x w i t h

r e s p e c t t o a m a p p i n g i j :

x

p

i n t h e s e n s e t h a t ,

f ( x )

f ( x o )

f ( x o ; i j ( x , x o ) ) , V x , x 0 E X ,

( s e e H a n s o n [ 2 3 ] f o r t h e c o n t i n u o u s l y d i f f e r e n t i a b l e c a s e ) t h e n f i s o f p s e u d o -

c o n v e x t y p e .

( 2 ) C o n s i d e r n o w t h e m i n i m i z a t i o n p r o b l e m

m i n f ( x ) . ( 1 0 )

s E X

I f

f i s o f p s e u d o c o n v e x t y p e a n d x 0 E X i s a s o l u t i o n o f t h e i n e q u a l i t y

g ( T ( x o ) ; i j o ( T ( x ) , T ( x o ) ) ) O , V x

X ,

( 1 1 )

t h e n x 0 s o l v e s p r o b l e m ( 1 0 ) . A s s u m e t h a t f : X =

E

- L F

R w h e r e F i s

a f i n i t e d i m e n s i o n a l H i l b e r t s p a c e w i t h i n n e r p r o d u c t ( . , . ) , T i s s t r i c t l y d i f f e r -

e n t i a b l e ( s e e [ 1 2 ] ) , a n d g i s l o c a l l y L i p s c h i t z . T h e n f i s a l s o l o c a l l y L i p s c h i t z

a n d t h e c h a i n r u l e h o l d s : f ( x ) C g ( T ( x ) ) o

D 3 T ( x )

( w h e r e D 3 i s t h e s t r i c t

d e r i v a t i v e o p e r a t o r ) . A s s u m e t h a t g i s p s e u d o - r e g u l a r o r t h a t T m a p s e v e r y

n e i g h b o r h o o d o f a g i v e n p o i n t x i n t o a d e n s e s u b s e t o f a n e i g h b o r h o o d o f T ( x )

( e . g . T i s o n t o ) ; t h e n e q u a l i t y h o l d s i n t h e c h a i n r u l e a b o v e ( s e e [ 1 2 ] ) . I n t h i s


150/735


1 3 7

c a s e , a s l i g h t m o d i f i c a t i o n o f a n a r g u m e n t o f B e n I s r a e l a n d M o n d [ 8 ] s h o w s

t h a t i f e v e r y p o i n t x 0 w i t h 0 e

f ( x o )

i s a g l o b a l m i n i m u m f o r f , t h e n f i s

o f p s e u d o c o n v e x t y p e . I n d e e d , i f f ( x o ) a c t u a l l y c o n t a i n s 0 i t s u f f i c e s t o t a k e

i j o ( T ( x ) , T ( x o ) ) = 0 . I f 0 f ( x o ) d e f i n e

T i o ( z , z o )

: =

e

F ,

w h e r e

a r g

e E a g ( z o )

i f

g ( z ) g ( z o ) > O ,

: = a n y n o n z e r o v e c t o r

i f

g ( z ) g ( z o )

=

0 ,

i f

g ( z ) g ( z o ) < O .

C l e a r l y ,

= g ( T ( x ) )

g ( T ( x o ) )

a n d

g ( T ( x o ) ;

i j o ( T ( x ) , T ( x o ) ) ) = m a x i j o ( T ( x ) , T ( x o ) ) ) 0 ,

V x E R 7 1 .

A s a n i m m e d i a t e c o n s e q u e n c e o f C o r o l l a r y 5 . 4 w e o b t a i n

T h e o r e m 5 . 8 . A s s u m e t h a t X i s c l o s e d a n d c o n v e x i n E a n d l e t f : X R

b e a f u n c t i o n o f p s e u d o c o n v e x t y p e . A s s u m e t h a t :

( i )

E F

x F * ,

0 ;

( i i )

V ( x ,

X x F * , t h e f u n c t i o n

T ( x ) ) ) i s c o n v e x o n X .

A s s u m e t h a t

> 0 s u c h t h a t V p P 0 :

( i i i )

V x e

X w i t h

l x i i

= p ,

E

X w i t h h u l l < p s u c h t h a t

g ( T ( x ) ; i 1 0 ( T ( u )

,

T ( x ) ) ) 0 ;

T h e n p r o b l e m ( 1 0 ) h a s a s o l u t i o n .

P r o o f . W e a p p l y C o r o l l a r y 5 . 4 t o Y =

F *

e q u i p p e d

w i t h t h e w e a k - * t o p o l o g y ,

= t h e

g e n e r a l i z e d g r a d i e n t g ( T ( x ) ) , W ( x ) = X ,

=

=

i j o ( T ( u ) , T ( x ) ) a n d

b

0 . K e e p i n g

i n m i n d t h a t

i s u . s . c .

w i t h

n o n - e m p t y c o n -

v e x

c o m p a c t v a l u e s i n F * a n d t h a t g ( T ( x ) ; i j o ( T ( u ) , T ( x ) ) ) =

T ( x ) ) ) , o n e r e a d i l y v e r i f i e s a l l h y p o t h e s e s o f t h a t C o r o l l a r y . H e n c e

t h e

v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t y ( 1 1 ) i s s a t i s f i e d .

0

W e

e n d t h i s p a p e r b y a r e s u l t o n t h e e x i s t e n c e o f a s a d d l e p o i n t f o r a

n o n s m o o t h f u n c t i o n s o f p s e u d o c o n v e x t y p e . I n w h a t f o l l o w s , X i s a s u b s e t o f


151/735

1 3 8

H .

B e n - E 1 - M e c h a i e k h a n d C . I s a c

a B a n a c h s p a c e E a n d Y i s a s u b s e t o f a B a n a c h s p a c e F . L e t W : X +

P ( X )

a n d R : X +

P ( Y )

b e t w o m u l t i f u n c t i o n s w i t h n o n - e m p t y v a l u e s a n d l e t

L : X x Y

+

R b e a f u n c t i o n . C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g s a d d l e p o i n t p r o b l e m

f

f i n d

( x 0 , y 0 ) E X x Y

w i t h

x o

W ( x o ) , y o E R ( x o )

a n d

1

L ( x o , y ) < L ( x , y o ) ,

V x E W ( x o ) , V y E R ( x o ) .

I t i s w e l l - k n o w n t h a t ( x 0 , Y o ) s o l v e s ( 1 2 ) i f a n d o n l y i f i t s o l v e s s i m u l t a -

n e o u s l y t h e f o l l o w i n g p r o b l e m s

i n f

L ( x , y ) a n d s u p

L ( x , y ) ,

( 1 3 )

( x , y ) E f

( x , y ) E M

w h e r e

f

: =

{ ( x , y ) ; x W ( x ) , y

R ( x ) , L ( x , y ) =

s u p V E R ( X ) L ( x , v ) } , a n d

M

: =

{ ( x , y ) ; x

E W ( x ) , y E

= i n f U E w ( X ) L ( x , v ) } ,

a s s u m i n g

o f c o u r s e t h a t t h e y a r e s o l v a b l e .

A s s u m e n o w t h a t L i s l o c a l l y L i p s c h i t

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