MINISTERUL INVATAMINTULUIINSTITUTUL POllTEHNIC, BUCURESTI

Prof. jng. dr. MARCEL N. ROSCULET

ManualdeAnalizamatematicavol. I

ALGEBRA. CALCULUL DIFERENTIAL

EDITURA DIDACTIC)\ SI PEDAGOGIC)\BUCURESTI-1964

ALGEBRA

Capitolul I

MULTIMI. NUMERE. STRUCTURI

1. NO'!'IUNI DE TIc'ORIA MUL'!'IMILOR

1. lIultimi. Element 81 unei mu,ltimi. Apartenenta

Notiunea de multime poate fi lamurita mai potrivit prin exemple.Spectatorii dintr-o sala, paginile unei carti, muncitorii dintr-o uzina,

numerele intregi st pozitive. literele alfabetului latin stnt rnultimi. Oblectcledin care este fermata a multime se numesc elementele multimit. Elemcntele uneirnuljimi pot fi obiecte de orice natura.

Ezemple1) Data Neste mulfimea Iormata din toate numerele Intregi ~i pozitive numanu 3 estc

un clement al multimf N.2) Dara A estc muljimee fermata din literele altabetului elln, atunci Aeete un element

al multimii A.

o multime este definita dace avem un mijloc de a deosebi elemente:emultlmii de alte elemente care nu fac parte din multlme. 0 multime estedeflnita daca stnt date elementeJe sale sau daca ni se dii a proprietate pe careo au toate elementele sale, proprietate care Ie deosebeste de elementele alteimultimi.

Daca 0 muljlme este data prin elementele sale, multi mea se noteazaseriind tn acolade aceste elemente, iar dad multlmea este data printr.o pro-prietate care caracterizeaza elementele sale, multimea se noteaza specificlndin aeolade aceasta proprietate.

Ezemple1) Multimea A formata din elementeJe a, h, o, d ee noteaaa

A={a, h, c, d}.ll) Multimea M formata din numerele naturale mai marl dectt 5 se notClizii

M = {x[ XE N, z> 5}.Daca a este un element al multimii A se serie

aEA sau A3a

___~M,ullimi. 1\'umere. Strucluri

si se clteste "u apartine multimit A". Semnul E se numeste semnul de apar-ienentii. Dad. b nu este element al multimil A se scrie ,

b

Noliu";' tk Jeorw multimiJor

Din definitie rezulta caAUB={xlxeA sau .ee B}.

Exemple1) A={l, 2, 4}, R={l, 7, 9,11}

AU B = {I, 2, 4, 7, 9, 11 }2) Fie 1= {I, 3, 5, ... } multimea numerelor naturale impare ~i P = {2, 4, G, ... }

multimea numerelor naturale pare; reuntrea lor ,P U I eete multlmea numerelor naturaleN={l,2,3, ... }.

Fig. 1.

A

1=.4fl8}'ig. 2.

B

In mod asemanator se delineate reuniunea mal multor multimiAl , A2 , "', An

U Ai = Al U A2; U ... U A,. = { XIXE Al , sao XE A2;, sao ...i_I... sau xeA,,}.

Se numeste ituersectie a multimilor A ~i B multlmea I a elementelorcare apartln si multimii A, ~i multimii B (fig. 2). Se noteaza

I ~A n B

~i se clteste "A interseetat ell B". Semnul n se numeste semn de inter-sectte. Din definitie rezulta ca

A n B = {x IXE A ~i XE B}.Exemple1) Deez A = {t, 3, 5}, B = {2, 3, 7}, a.tunci AnB={3}.2) Deea N = {.1, 2, 3, ... }; P = {2, 4, 6, ...}, atunei Nn p = {2, 4, 6, ... }.3) Intersectia a douu multimi A ~i R avind ca clemente punetele iuterioare a dona

eercurt eeeante este Iormata de multimea I a punctelor comune.

Doua multlmi A si Beare nu au nicl un element comun se numescdisjunete. Spunem cii intersectla lor este multimea vida, multime care sencteaza O. Multimea vida (desarta) este acea multime care nu contine nlciun element.

Mul/imi. !fu,,","". Strucuui

Ezemplu1I11I(;imea numerelor pare P i multimea numerelor impare I slut disjuncts P n I = " Intersectla mai multor multimi AI' A:!,. "', A.. se dellneste tn mod

asemanator.

nAt = Al n All fl . .. n An = {x [x e Al ~i xeA! ~i ... .-;;i XE A,,}...,

E:z:empluA1 = p, 3,4,5, 7}, A2 = p, 4, 6, 9}, As = p, 3, 5}At U As U As = {i, 3, 4, 6, 7, 9}A1nA:snAs={1,5}.

o"A-B

Fig. 3.tA ,f-A

Fig. 4.

Fie E 0 muljime ~i A. B doua submultimi ale lui E.Multimea D a elementelor care apattin lui A ~i nu apartin lui B se

numeste diferenta dintre A ;;i B (fig. 3); se ncteazaD~A - B.

A-B se citeste "A minus B". Conform delinitieiA-B~{xlxEA, xe B},

Daca AnB = 0" atunci A - B = A, dad A c B, A - B = 0.Diferenta E - A se numeste complementara lui A in raport ell E ;;i

se noteaza CA (fig. 4), deciCA~{xlxEE, xoA}.

E:z:emple1) Complementara. multimii umerelor naturale impare fata de multimea numerelor

naturale este mult.imea numcrelor naturale pare.2) Fie E. multimeu punetelor din spatiu (spatiul en trei dimensiuni] ismultimea punc-

telor din interiorul ~i de pe suprefata unci sfero date..Complementara multfmii S este multimeapunctelor din spatiu cxtertoare suprufetei S.

Urmatoarele proprietatl se verifica ell usurintaI) c.e ~ E, C E ~ 02) CCA~A3) AUCA~E, AncA~O.

Din dellnitla complementarei rezulta4) xEA(~>x'CA si5) XECA(~)x.A.

Semnul (=) este semnul echivalentei logice ~i se citeste "este echivalent cu".

Nofiu"i tk tcoria mul/;mil"r 9

4:. Putcrea multimilol'

Fie doua multimi A, B. Spunem ca cele doua multimi au aceeasi puteresau ca srnt echivalente daca tntre elementele lor a E A, b e B se poate stabilio corespondenta biunicoca, adica putem forma perechi (a, b) astfel inctt :

1) in fiecare pereche sa segaseasca uo element aE A ~i un element b E B ;2) orice element a e A si orice element b e B sa apartina unei perechi ;3) nici un element a e A ~i b e B sa nu figureze in mai mult de 0

pereche.Mul(imile care au aceeasi putere cu multimea primelor n numere natu-

rale se numesc multimi finite. Multimile finite au, asadar, un numar Iinit deelemente. Doua multimi finite au aceeasi putere daca au acelasi numar deelemente. In adevar, numai in aceasta situatie putem realiza corespondcntabiunivoca Intre eele doua multimi.

Ezemple1) Multimilc {I, 3, 5), {a, b, c} au aceeasi putere.2) :Multimile {ai' u~, ulI } , {b l , bt , b3, b.J nu au aceeaai putero.Multimile care nu slnt finite se numesc mulfimi infinite.Cea mai simple multime infinlta este multimea numerelor naturale

{I, 2, 3, ... J.Se numeste muliime numarabtla oriee multime care are aceeasi putere

cu muljimea numerelor naturale. Din aceasta deflnitie rezulta ca elementeleunel multimi numarabile A pot fi asezate tntotdeauna tntr-un sir infinit deelemente distinete

ai' a2, ... , an, "',

Indlcele n fiind numarul natural in corespondents ell a".EzempluMultimilc infinite N = {L, 2, 3, ... } i P = {2, 4, 6... } au aceeasi pueere. Intr-adevar,

putem realize, 0 eorespondente biunivoca intre elementele celor doua multimi ou ajutorulperechilor (n, 211).

Acest exemplu arata ca, desl multimea Peste 0 submultime strictaa multimli N, totusi multlmlle P ~i N au aceeasl putere.

Se poate obtine un rezultat ~i mai general, anume ca. orice submuljlmea unei multimi numarabile este 0 multime numarabila san finite. _

'0 Multirni. Num"re. Strwluri

Aplicalie. Reuniunea unci multimi numjirabile de multimi numarabile este tot 0 multimenumi.rabila. Vom presupune mulfimile dlsjunote. Avem

Al = {an. !l lt , ala>" " GIn, . }17'-'" 7'

A. = {a\lt, llllll' all3 ,a2,.. }'" 7'A3 = {asp as., (133' .. ,allR , .. )

17'AI = {au, lin' (l.~, ... ,al " , }

Sagetile arata cum putem realiza corespondenta biuntvcca tntre mul-timea UAj ~i multi mea {I, 2, ... n, ... }.

In particular, reuniunea unul numar finlt de multimi numarabile este 0rnultirne numarabila ; reuniunea unei multimi numarabile de multlmi finiteeste numarabila si se demonstreaza la lei ca mai sus.

Multimile infinite care au aceeasi putere ell multi mea numerelor naturalese numesc muliimi nenumiirabile. Vom arata la capitolul urmator ca multimeapunctelor de pe un segment de dreapta nu este numarablla.

5. Relatia de ordine

o relatie a -

_______~ ~,'~"""m',.,.' r~al(' It

din

Din defini tie rezulta caA x B,," {(a, b)laEA, beE}

Prin perechi ordonate se tnteleg perechile (a, b) in care primul element apereche aparjine totdeauna lui A. Se vcde di dad. A ~i B stnt distincte

AxBc&BxA.Dad! A = B, atunci A X B = B X A ~i se scrie A2, deci

A2=A xA={(a,b)!aEA, bEA}.In mod analog se poate defini produsul cartezian Al X All X ... X A

a n multimi AI' All, "', A". ca multi mea tuturor grupelor ordonat~(a... all' ... , ao) ell alEA!, ~IlEA2"" ,a"EA". Multimile Ai se numescIactorii prcdusului cartezian. In" particular, daca

Al = All = ... '-'--' A" = A ,atunci se scrie

A X A x ... x A =--, An.. f""k>T;

*i conform defini tielA" = {(a.., all' ,a")iatEA, QllEA . ,a"EA}.

lntr-un produs cartezian, rezultatul difera daca ordinea faetorilor inprodus se schimba, multirnile A, fiind considerate distincte.

2. NUMERl

12 -"fultimi. Numere. Strudur,

(I)dad b : (I.

Spunem ca muljimea numerelor naturale este inchisli fata de operatia deadunare. Daca se considera tnsa ecuatia

a+ x=b,se observe di nu are solutii in multlmea numerelor naturale decftEcuatia (1) se mai scrie

x = b - a,de unde rezulta ca operaua inversli adunaril, sdiderea, nu conduce totdeaunala un numar natural. Ecuatia (1) are totdeauna solutte 10tr-0 multime Z cese obtine reunind la multimea N multimea N', avtnd ea elemente pe zero~i numerele tntregi negative

. N' ~ {O, -I, -2, ... , -n, -n-I, }.Mul(imea Z ~ NUN' ~ { .. " -n, -n + I, , -I, 0, I, 2, ...

. . . n, n + 1... } se numeste mulilmea numerelor intregi, ea este totalordonata lata de operajia ..

13

de unde rezulta imediat ea tntre doua numere rationale oarecare extsta tot-deanna 0 infinitate de numere rationale, deoarece

a < am + btl O, q>O, (sau p

Continuind operatia de un numar oarecare de ori, se obtin doua strurtde numere

11' la, ... , I", ...e1,e2, .. , ell' "',

unde I.. ~i e.. stnt numere eu n zecimale, Cll partea Intreaga 1 st eu primelen - 1 zecimale egale

I.. = I, ll:Jaa . a"_lan , e" = I, alaa ... an + I,numite aproximantele prin lipsa (sirul In) ~i exces (slrul e,.) ale numarului V~Sirurile I.. ~i ell au urmatoarele proprietati :

1) l..+t >- III' ell ~l -< en' oricare ar fi numarul natural n;2) I.. < em, oricare ar fi numerele naturale n ~i m;3) e, - l.. = ~ pentru orice n.

10Din modul cum au Iost construite numerele rationale i" ~i en' rezulta ca

I. < V2 < e.si, prin urmare,

V2 - 1

1+~=n.9

Numero reale

~i spunem ca slrurile (I..) st (ell) au 0 Iimita comuns care este numarul ira-tional V2-: Faptul ca cele doua strurt definesc acelasi numar apare aid Intuitiv.Mai tirziu, 1a siruri, vom reveni asupra notiunli de limite si vom demonstrain mod riguros exlstenta numarului V2; ca limita comuna a celor douasiruri (I,,) ~i (ell) care tl aproximeaza respectiv prin lipsa sau exces.

Tot din modul cum sint"_construiti termenii celor doua siruri (til) ~i (e..)rezulta cs numarul iratlonal V2 are 0 infinitate de zed male

ox = 00, u1 Uz a.. . . .Exprimarea printr-un numar ell 0 infinitate de zecimale nu este tnsa

specifica numerelor irationale. Ortce numar tntreg sau Iractionar are aceastaproprietate. Fie n un numar Intreg ; avem

-. (")n=--n-l, 9999 ... 9 ... =n-l+9 10+ 100 + ... =nUn numar rational, prin tmpartire directa, are 0 inlinitate de zecimale

sau un numar finit. Dad are un numar finit de zecimale, are forma

~=Clo' ~alla,,=Clo, ~all ... ap - 1 99 ... 9 ... ,deci ;;i in aceasta situatie se scrie Cll 0 infinitate de zecimale.

3. Reprezentarea nu,merelor pe 0 8xli.Tiieturi. Continuu,l liniar \

Fie 0 dreapte pe care s-a ales 0 origine 0, 0 unitate ~i un sens deparcurs (fig. 5).

In geometria analltica se admite corespondenta biunlvoca tntre puncteleunei drepte ~i multimea numerelor reale. Am aratat ca rnultimea numerelor

-3 -2 -l o .( '2 .3

Fig. 5.

rationale este 0 multimc dense. Vom vedea ca.dest poseda aceasta proprietate,mulfimea numerelor rationale nu acopera toata dreapta ~i ca numerele ira-tionale au locul lor bine precizat pe dreapta.

Sa consideram numarul real V2. Numarul V2 nu este rational. EI tmparteiosa muljimea numerelor rationale in dona c1ase A "*i B in modul urmator :

, Clasa A este fermata din toate numerele rationale negative, precum sinumerele rationale pozitive a, estfel tnctt all < 2, iar cIasa Beste formatenumerele rationale positive b, astfel tnctt hi> 2.

Mul,imi. Numere. Strw:turi

Daca e e A !?i bE B, atuncl a < b. Se spune ca in modul acesta s-a Iacuto troetura in multi mea numerelor rationale Q.

Fieacum numarul rational ~. Numarul .!:.. tmparte, de asemenea, nume-2 2

rele rationale R in doua clase A' !?i B'. Din clasa A' fac parte toate numerelerationale a' 1. Vom arata ca putem construl un numarrational,' > r ~i ,'2 < 2.

Deoarece r- < 2, punem 2 - ,2 = s> 0; numarul s este rational, [iinddiferenta a dow! numere rationale.

Numarul r = r + ...!.. > r este rational deoarece r ~i s sint ratlonali.4

Sa aratam cii ,'1 < 2. Avem

,'2 =,2 +.!.!:.. + ~ < r'i. + 8r + ~ = r2 (1 + ~).. + ~ .2 16 2 16 2 16'

neegalitatea este [ustificata de faptul cii ,I> " deoarece r 1.In continuare"( ( 'J 82 81 81 7r < 2-,) 1+_ +-~2--+_~2-~" 2, mai mic dectt

once numar din B. Sa presupunem ca acest numar P exlsta. Numerul rational2

,+ -p'= ~~'-

2

are proprietatile

Iip'l> 2

p' < p.

(1)

(2)

In adevar4p~ + 4.+

p'2 = __-,---,p_:I > 2,4

deoarecep'+4+!.>8

p'

p'+!.-4>Op'

(p - ~r>o.deci p' < B. In ceea ce priveste proprietatea (2) se observe ca

p! + tp' 2.Am aratat in acest mod ell. un astfel de numar P nu exists.Sa presupunem aeum ca parcurgem axa reala ;;i ca tuturor punetelor de

pe axa le-ar corespunde numai numere rationale. Trectnd de la punetele mul-jimil A la punctele multimii B, deoarece nu exista element de separatie tntreaceste doua multimi, punetului corespunzator de pe axa care separa eele douamulfimi ti facem sa corespunda numarul iratlonal V2: care i~i gaseste asUelun loe blne determinat.

Reuniunea numerelor rationale Q ~i irationale P Iormeaza rnultimeanumerelor reale R. Daca se face 0 taietura in aceasta multime, exlsta totdeaunaun element de separatie aparjintnd lui R.

Din aceasta cauza spunem ca multimea numerelor reale R este si continua.Numerele reale se impart in numere algebrice: 2:.., -~-, -tis, V3 +V7.;;i

2 6numere transcendente: 1t", e, 2'{2 etc., _ Numerele reale algebrice stnt numere care pot fi solutll ale unel ecuatflgebrice, adica ale unei ecuajf de forma

aoX" + at ro- 1 + ... + a,._l x + a.. = O.unde n este un numar natural, iar cceflclentii f4 sint numere intregi. Multimeanurnerelor algebrice confine ca submultime multimea numerelor rationale. deoa-rece orice numar rational !- este solutia ecuatlei qx = p, q 4:- o.

qNumerele realetranscendenie nu stnt solutille unei ecuatll algebrtce.A. O. Ghelfond a aratat, in anul 1934, ca numerele de forma r); cu r);::/=: I

;;i ~ un numar algebric irajional stnt numere transcendente. ~.-~-~i-(iS-a demons~e '/1; ;;i e stnt transcenden~ ~'\ ~!Q .....

"A' ~\1IUflli'I'~;~:.>", ~,~/ J "~~:'IB\.: -

"Multimi. Numere. Strm:turi

Corespondenta biunivoca dintre numerele reale si punctele unei dreptene permite sa folosim nojiunea de punet pentru notiunea de numar ~i reciproc.Nnmarul x care corespunde unui punet P se numeste abscisa lui P. Corespon-denta stabilita pastreaza ordinea, anurne dad x ~i y stnt abscisele a donapuncte A ;;i B, iar x < y, atunci A este la stinga lui B.

4. Intervale

Datorlta acestei corespondente, multimilor de numere le corespund mul-tlml de puncte. Dam mai jos ctteva notiuni care vor fi folosite adesea de-alungul expuneril.

Fie a b doua numere reale, a

Numerp r"alll 19

6) Se numeste eemidreapta deschisii si nemiirginitii fa stinga (fig. 12) ~i senoteaze (-00, a) -muttlmea

(-=, a)~{xlxER, x

'0 MII#imi. Numere. Stfucturi

In general, fie n intervale pe 0 dreapta, II' II,"" II>II = {Xi.! Xl E R. ~ < Xl < bt }

I,.= {x.. I x"eR. a/l

Numere rMle

Dernonstratle. Proprietatea 1 rezulta irnediat din definitie. In ceea ('epriveste proprietatea 2, observam ca suma a b este eel mult egala ell Ia I ++ Ib I, egalitatea (2) avtnd loe dod a ~i b au acelasi semn.

In ceea ce priveste inegalitatea (3), putem scrlelal ~ laH=bl'< labl + (bl,

deciIa I - Ib Ic; Ia b I.

In mod analog aratam "iIb I - I a 1-: 1a b I

Inegalitatile (4) "i (5) se scriu condensat sub forma (3).Din (2) obtinem

Ia+b +el.< 1u] + Ib +e(.< [u ] + Ibl + lei~i in general

(4:

(5)

(6)

egalitatea avind loe dod toate numerele a; au acelasi semn.Inegalitatea (6) se enunta in modul urmator : modulul sumei mai multor

numere Teale este mai mlc sau eel mult egal cu suma modulelor numerelorrespective.

6. Operatii ell numere reale

In multimea numerelor Teale se pot efeetua dcua operatii : adunarea sitnmultirea. Operatia de adunare facesacorespunda Ia doua.numere e. b numarulteal a + b, care se numeste suma lui a eu b.

Operaiia de adunare are urmiitoarele proprieuiil :1) Este comutativa

a+b=b+a.2) Este asociativa

~+M+e-a+~+~-a+b+~3) Exlsta un element neutru, numiirul zero, astfel tnctt

0+ a = a.4) Fiecarui numar a i se asoclaza opusul sau ~a, ell prcprietatea

a+(-a)-O.

"Mulliml. Numere. SlFudnrl

Operatia de tnmuljlre face sa corespunda la doua numere reale a,b un numarreal a-b san ab, numit produsullui a-ell b.

Opera/ia de tnmuitire are urmi1toarele proprietiili:I) Este comutativa

ab = ba.2) Este asociativa

(ab)c ~ a (bc)o abc:3) Exista un element neutru, numarul I, astfel tnclt

I a a.

4) Pentru Iiecare numar a 4= 0 exista nurnarul asau, ell proprletatea

c- -!.., "00- 1 = l.

1 = 2... numit inversul

S)Operapa de tnmuljire este distrlbutiva fala de adunare(a + b) Co ac+bc.

7. St:ruetura de ordine

Pe multimea numerelor reale R se defineste 0 relafle de ordlne "a < fT'sao "b < a" Iii se clteste "a mai mic dectt b" sao .,6 mai mare dectt a", Relajla..a x;3)x

Numarul 0 este deci ~i negativ, ~i pozitiv; este singurul numar care areaceasta proprietate. Inegalitatea

Numere re.ale 23

Ix-alO,

este echivalenta eu a - e < X < a + e ~i defineste un interval deschis delungimea ze, eu eentrul in punctul a.

8. Pu,le:ri naturale. Puten Intregi

Daca a este un numar real st n un numar natural, se scrte

al=a; a2.--" a.a; ... ; (f' =, a-.a ... a-~

.. r&dod

Numarul (f' se numeste putere, a este basa puterU ~i n exponentul puierii,Din definijie rezulta

I" ~ I; 0" ~o.

Puterile eu exponent natural se numesc puteri naturalesi au urmatoareleproprietatl :

1) am (f' = a"'+II;2) (a")" ~ a-;3) (00)" = a"b";4) a" > I, dad a> I5) a" -ctr, dad O I,a> I,

tr 0;P

2.

9. Paten rationale

Mullimi. Numere. Strucuui

Vern arata mai tirziu ca ecuatia x!' = a, a> 0, real, n natural, are 0solutie pozitiva ~i numai una. Solutia pozitiva unlca a ecuatiei x!' = a se no-

,

'teaza ell Ira sau a". Avem de asemenealYii' ~ (fYa)"~ J'.

Puterile eu exponent rational a', a real, r rational (a> 0 daca r < 0),se numesc puteri rationale si au urmatoarele proprietati care rezulta din deli-nttla lor:

1) (JP.fiJ- = cf1H, ~ = dP- q " .

2) (a")' ~ a'" ;3) (ab)' .~ a" b' (-"-J' ~ "': ~ a". b-';

, "4) daca a> I, P> 0, aP > I,

aO = I, II' = 1. Ot> ell P' b' pentru r < O.Puterlle ar>; ell oc real le vom defini 1a g., cap. I. 6.

10. Doni teoreme privind puterea numerelor rcale

In Incheiere sa demonstram doua teoreme privind numerele reale.Teo rem a 1. Mulfimea numerelor algebrlce este numarabiUi.Demonstratie. Fie p ..(x) = aoX" + a1XO-1 + ... + an_Ix + a = 0

o ecuatie de grad n (natural) cu coeficientii ak tntregi, ao=F O. ..Numim iniUlimea polinomului P..(x) numarul natural h definit de

h ~ n + I ". I + I", 1+ ... + 1; ILa 0 tnaltime data corespunde un numar finit de polinoame. Astfel, pentruh = 2 avem polinomul x, pentru h = 3, polinoamele Xli, x I, pentru h = 4,polinoamele x2, 2x1, x2 I. Xli. Este evident ca 1a orice numar natural hcorespunde un numar Iinit de polinoame; in consecinta, la orice numar natural hcorespunde un numar flnlt de numere algebrice, ~i anume radacinile distincteale ecuatiilor corespunzatoare ce provin din anularea polinoamelor de tnaltlme h.Reuniunea unei multlml numarabile de multimi finite fiind numarabila, urmeazeca muljimea numerelor algebrice este numarabila.

Cor 0 1a r. Mull'imea numerelor rationale este numarablla,Numerele rationale f sint solutlile ecuatillor de forma qx - p = 0, ded

stnt 0 submultime a numerelor algebrice ; multimea numerelor rationale estedeci numarablla.

Teo r e ill a 2. Mo.ltimea numerelor reale nu este numarabila.Demenstratle. Este suflcient sa aratam ca multimea numerelor reale cu.

prinse fntre ~i 1 nu este numarabila.Sa presupunem ca multimea numerelor reale euprinse Intre 0 si 1 soar

'Serie ca un sir '1' '2"'" 'n"" ''1 = 0,~1 ~2'" U:!" ..'2=0,a2.1 a:>,2.a2n

Eicmente de.aIgebrii mod"nl;'i 25

I .

'1' = 0, ap1 1Zv2'" 1Zv1l .

unde 0 < a.,

26 Multimi. Numere. Slructuri

Eze17fple1) Operapa. + (adunarc) in mulfimea numerelor Teale asociaz1i.la perechea (a, b) numarut

real a + b. .2) Operatia x (inmu1tire) asodazii. Ill. perechea (a, b) numgrul real a x b.Operatia * este comutativii dad

a wb s-b wapentru Ofice a e A si bE A.

Operatia se este asociativa dad!(a*b)"* c= a"* (b* c)

Sa presupunem cao parte din A.

pentru orice aEA, hEA, eEA.Ezemple1) Adlluarea numerelor reale este asociativa ~i eomutattva.2) Inmultirea nnmerelor reale este ascetatwn ~i eomutariva

~3) Dad. 1.1 eete multimea veetorilor liberi din apatiu, operatia" x ", numitiprodus "edoriat,

nn este Did eomutativii, nici asociativii., deoerece

-; xb= -1 x-: i -: x (& x-:)'t'(~ x b) x~.Fie acurn 0 multime A in care este delinitli 0 opera tie "*

a*x= y. a, x,yEA.x parcurge toata multimea A; atune! y parcurge pe A

sau

Exemple1) Daea, in eeuaj;ia a + x = y, a ~i z sint numere naturale, atunei y ill. valonle

a + 1, ll' + 2, ... , deci 11 parcurge 0 parte a maltimii N.2) Daei, in ccuatm a + x = y, a ~i z slnt numere intregi, cind :I:: perourge multimea

numerelor lntregi Z, y de aeemenee pareurge toeta multimea Z.Operetta * se poate inversa fa dreapta in multi mea"A daca oricare ar H

ye A exlsta un element x e A astfel tncit sa avem

a*x=ypentru orice a fix din A.

Operatia * se poate irwersa fa stinga in multimea A dace oricare ar fiZ E A exista un element x e A astfel tnclt sa avem

pentru orice a fix din A.Despre 0 opera tie care sc poate inversa la dreapta st la sttnga spunem ca

se poate inversa.

Exemple1) Operatia + (aduuarc) in multimea numerelor intregi se poate inversa.2) Operapa x (inmnltire) in mulpimea numerelor rationale fira numarul zero ee poets

Inveraa.3) Operatia x (Inmultire) in muljimea numerelor reale lara numirul sere se pcate

invena.

Elemwfe de algebra moderll

28 Multimi. Namere. Structuri

Grupul se numeste abelian dad operatia * este .'?i comutativa.Daca operajia * tndepltneste numai condltia 1, multi mea G se numeste

semigrup.

Exemple1) Mtiltimea. numerelor naturale tormeeaa semigrup fata de operatic de adunure.2) Mu!timea numerelnr intregi formeaz3 grup abelian lata de cperatia de adunare.3) Mul\Jmea numerelcr intregi formeazil. semigrup abelian fata de operatia de inmuitire,4) Mnltimea numerclor rationale fiira. numarul zero Iormeass grup fata de operatia de

inmulpre.5) Mulpmea transformarilor

z' a + be' c + d

ell .d - be =r 0 formea.zii. grup fata de cperetts de compunete a lOT.Iner-edevar, pentru z' =fml" + Ii, avem

pe" + q

iii = a (mz" + Il) + b(pz" + q)c(mz" + n) + d(pz" + q)

Tra.nsformarea invcIlIa este data de

en (am + bpj + an + bqz" (me + dp) + etl + dq

-2d + b2C-(I

,i (lompu~i en !!J da e = a, adieil. transformarea identica j transformarea e = z estc elumen-tul oeutm al grnpului. Trebuie indeplinit1i. eonditia ad - be "* () pentru ell. transtormareesa. nn ae fcdnea Ill. Z = k.

Un grup (sau semigrup) pcntru care fiecare din relatiilea*x=a*x' sau x*a=x'*a

atrage x = x' se numeste grup sau (semigrup) integral.E%emplu

lIul~imea numereJor rationale tormeesn semigrup integral fata de opcratia inmulfire.

Se numeste subgrup a1 unui grup 0 orice submultime 0' a lui 0 care arestructure de grup fata de operatia * din G.

E%emple

1) Mulpmea numerelor intregi formelLziL grup fati de opefll.tia adunara-fnumarulzero eete eonsiderat par) Qieste un eubgrup al grupului numerelor intregi Z.

2) :M:ulpmeanumerelor imparc nu Iormeasa un subgrup al multimii numeretor intregi.8) Multimea.

A={a:Ia:=3m, mEZ}formeazi grup fata de opera~ia de ednnere Vi este un subgrnp J1llui Z.

3. Inel. Corp

Elemente d" tJ/1.ebra modernri 29

Se numeste inel0 multlme nevida J de elemente in care stnt definite douaoperatii + (adunarea) ;;i X (Inmultirea) care satisfac urmatoarele axlome :

~. Daca a ~i b sint doua elemente oarecare ale multimii J,a + be~l.

52' Operatia + este comutativaa+b~b+a.

S:s. Operatia + este asociativa(a + b) + e ~ a + (b + e).

5",. Exista un element neutru, elementul 0 (zero)E J, astfel Incit pentruorice rze tf

O+a=a.

55' Orice element a are un invers -aeJ, astfel Inctta+(~a)~O.

T1" Dad a ~i b stnt doua elemente ale multimii, atunciaxbeJ.

T2 Operajla X este comutativaaxb=bxa.

T3' Operatla X este asociativa(a X b) X e ~ a X (b X e).

T". Fata de operatia X exista un element neutru, elementul 1 (unu) E Jtnctt pentru orice a e ,J

1 X a= a.Ts. Operatia X este distrlbutlva fata de operatia +

a X (b + c) = a X b + a X c(b+c) xa=b X c }.c X a.

Aceste axiome pot fi sintetizate, tinlnd seama de deflnitille grupului stsemlgrupulul, in modul urmator :

o multlrne nevlda.de elemente /1 are structura deinel dad in:J sint defi-nite doua operatii + ~i X astfel tnctt :

1) Multimea ..1 are structure de grup abelian. in raport cu operatia +.

30 Jlu1fimi. Numu". Stru.cturi

2) Multimea.1 are structure de semigrup in raport Cll opera tia x.3) Operatia X este distributlva in raport Cll operatla +.Daca tn :J operatia X nu este comutativa, adtca conditia T2; nu are loc,

inelul se numeste necomutauo.proprietatlle adunarli ,,+" ~i Inmultirii "X" ne permit sa electuam ell

elementele unui inel toate ca1culele pe care stntem obisrrulti sa Je Iacem cumulti-mea numerelor tntregl : adunare, scadere, tnmultire. Putem suprima paran-tezele, dod avem de-a face Cll un produs, putem schimba ordinea termenilortntr-o suma sau produs in baza operatiilor comutative, asociative ~i dlstribuitiveenuntate. .

Este de observat ca Intr-un inel nu se poate face operatia inversetnmultirii.

Exemple

1) Mulpmea. numerelor intregi formeaza tnel latii de operatiilc adtmnrc i jnmultire.2) Mulpniea rmmerelor a + Vifb, a, b intregi lormea:l.iiinel lata de opecatille de adunare~i inmultice.

3) MuItime& polinca.melor de 0 variabilii, ell ecefieientii lntregi, fonneaza inc! lata de'nperataile de adunere ~i Inmultire.

o multime K eu structure de inel eomutativ fata de operatlile +.;;i X incare orice element a E 1(. a =F 0 are un invers c-r e K fat:i de opera tia X senumeste corp (comutativ).

Deci pentru un corp K comutativ avem slrul de axiome ~" .. S5lTI , ... , Ti , completat cu :

T" Oricare ar fi a E K. a =F 0, exista a --1 E KincHa X a-I = a-I X a = I.

Exemple

P(x) . .R (x) = ~-, p (x) ~l Q(x) pohnoame, Q (a) ,*-0,Q(x)

~) Multimea numereior rationale Q formeazii. nn corp lata de opecatiHe de adunace ~iIllmultu-e.

2) MuItimea numerelcr reale R tcrmeesa corp lata de operatiile de aduuere ~i tnmnltire.3) Mulpmea numerelor a + V2b, ell a, b rationali, Icrmcasa un corp lata de operariile

de edunare Viinmultire.4) Mu1timea fnnetiilor rationale

Iormeaaa un corp.

o submultlme I' a unui inel I, care are structura de inel (fata de opera-title -t-, x), se numeste subinel.

o submultime K' a unui corp K, care are structura de corp (fata de ope-ratiile -l-, x), se numeste subcorp.

Exemple

1) Mu1timea numerelor rationale este un aubcorp al cocpului numerelor reale.2) Hulpmea a + V:r b, a, b cat!onali. este un sub.corp al nu~e~~loc ceale., .3) Mnltimea numerelcr intcegi ~l pare este an eubmel 11,1 multlInIl numerelor IlltcegI Z.

31

4. NUMERE COMl'LEXE

1. Definilie. Corpul numerelor eo~p:I~~

Operatia inverse ridicarii la putere a unui numar real nu este tnchisa inmultimea numerelor reale. In adevar, nu exista nici un numar real IX pozltivsau negativ astfel tncft sa avem

o:~ Vc=t,deoarece patratul unui numarreal nu poate fi negativ. De asernenea, rezolvareaecuatiilor de gradul dol

xl! - 2ax+a2+b2,=O

conduce la solutii de forma x = a b V=1Vom numi numere complexe perechile ordonate de numere reale a, b, pe

care Ie 'lorn nota provizoriu ell (a, b), perechi supuse la urmatoarele reguli decalcul: .'_

I) (a, b) = (a', b') dad. :;;i numai daca a --,a', b = b'; n2) (1,0) ~ 1, (0,1) ~ i) c=-=~3) k(a, b) ~ (a, b) k ~, (ka, kb), k E R;4) (a, b) + (a', b') .~ (a +a', b + b'), (adunarea);5) (a, b) (a', b') ~ (an' - 'bb', 00' +a'b), (tnmultirca).Din 2 ~i 3 rezulta

k(I,O) ~ (k,O) c. k,deci

(0,0) ~ 0,~i tintnd seama de 1 urmeaza ca (a, b) =" 0 numai daca

a=O, b=O.Din 3 ~i 4 rezulta ca orice numar complex (a, b) se scrle

(a, b) .~ a (1,0) + b (0,1)st daca tlnem seama si de-regula 5

(0,1)(0,1) ~ (-1,0)deducem ca un numer complex (a, b) se sene

(a,b) = a + ib,

32 Mul/imi. Nltm~re. Stmcturi

1

Daca erectuam acum produsul (a + ib) (d + lb') dupa regulile obisnuite alealgebrei si tintnd seama ca 12 + I = 0, obtinem

(a + ib) (a' + b'i) ~ 00' - bb' + i(OO' + a'b),adica tocmai regula 5.

Multimea numerelor complexe a + ib [ormeasii un corp C fatd de operaita+ (adunare) Iji openutu . (mmullire).

5,. (a + ib) + (c + id) ~ a + c + i (b+ d) E C,suma a doua numere complexe este tot un numar complex.

Sa. Operatia + este comutativa(a + ib) + (c + id) ~ (c + id) + (a + ib) ~ (a + c) + (b + d) i.

Sa. Operatia + este asociativaa + ib) + (e + id + (e + if) ~ a + ib + e + id) + (e + if!)~

~ a+ e+e+ i(b +d+f).54' Elementul neutru fata de .operatia + este numarul 0 + iO, deoarece

a + ib + (0 + i 0) ~ a + ib.55' Exista un numar complex x + iy ~i unul -singur, astfel tnclt

(a + ib) + (x + iy) ~ 0 + i- 0,a + ib filnd un numar complex oarecare. Trebuie sa avem

decia+ x= 0,

x= -a,

b + y~ 0,

s > -b,~i numarul cautat, numit opusullui a + to, este -a -lb.

o conseclnta a acestui fapt este ca ecuatta urmatoare(a + ib) + (x + iy) ~ e + id

are 0 solutie unica data dex=c-a, y=d~b.

Numerele complexe Iormeaza deci grup abelian fata de adunare.Sa aratam acum ca numerele complexe fara elementul zero a+ iO ror-

rneaza gtup abelian fata de operatia de tnmultlre.T,. (a + ib) (e + id) ~ ac - bd + i (ad + be)EC,

produsul a doua numere complexe este un numar complex.Til. Inmultirea este comutativa

(a + ib) (e + id) ~ (e + id) (a + ib) ~ ac - bd + i (ad +be).

NwnlnJ complexe 3:1

Ta. Inmuljlrea este asociatlva(a + ib) I(e+ iii) (e+ if)] c~ [(a+ ib) (e + iii)] (e + il) "c~ ace - adl - bel - bde + i (acl+ ade+ bee - bdf).T4 . Elementul neutru este numarul 1 + iO, deoarece(a+ ib) (1 + iO) ~ a+ ib.Tr;. .Inmultirea este distributive fata de adunare

~+~~+~+~+m]-~+~~+~+~+~~+m~ (ac+ ae - bd - bf)+i (ad+ be+ al +be) ~[(e+ iii) + (e+ if)](a + ib).

Ta Orice numar complex z = a + ib =F 0 + i 0 are un invers.Ecuatia

(x + iy) (a + ib) - 1 + iOconduce la sistemul

eu solujia, daca at +b2 =fr 0,a -b'

X= a"+bl ' 1 g= al+b"

deci

st exista daca at + b2 =F 0, anume dace z =F 0 + i O.Din Ta avem ~i

a -1- ~b = (a + ib) . (a + ib) (e - id) ae + bd + i (be ad),e+1I1 e+ld &+dI &+d2

Qadi c2 + cJ2::f= O. Imparjirea a doua numere complexe se reduce asUel Iatnmulfire. Impartirea cu zero nu este definita. Spunem ea nu are sens.

Din cele de mai sus rezulta ca tnmultlrea numerelor complexe Iormeazaun corp nurnit corpul numerelor complexe C. Corpul numeretor reale R este unsubcorp al nurnerelor complexe C. deoarece numerele reale se pot scrie:a+iO, a E R.

2. Numere conjugate. Modu,l. Argument

Sa cautam numarul complex x + iy care tnrnultit cu a + ib sa ,dea unnumar real .

(x + iy) (a + ib) = xa - yb 2- i (xb + ya),~ - ~. 16tl

Multimi. Numere. Sirucluri

x+iy~k(a-ib).

decixb+ya~O,~i solufta cantata este

x=ka, y ~ -kb,

k (a - ib) (a + ib) ~ k (a' + b').Exista declo: infinitate de numere complexe care tndeplinesc conditia

ceruta

Pentru. k = 1 obtlnem numarul .a - tb. numit conjugaiul lui a + lb.Produsul Is +ib) (a - ib) nu este numai real, ci si pozitiv. Dad notam

z = a t ib,conjugatul sao se noteazaAvern deci

j = a - lb.

z.j = a2 + b2Numarul real ~i pozitiv Vall + b2 se numeste modulullui z, ~i se noteaza

Izl ~ Va'+b'.Din expresia inversului unui numar complex rezulta

!;[=]at:bl +ia,~bbzl=Ya'~b2' z*O,deci nwdulul inoereuluiunui numar complexz =t 0 esteegal cu inversuImodululuinumdrului z. Din

Ia- z' I ~ V(00' bb')' + (ab' + bu')' ~ Va' + b' Va" + b"urmeaza

adica modulul produsului a doud numereesle egal cu produsulmodulelor.

3. Beprezentarea geometries a numerelor .complexe.Forma trigonometriea a "ani lll.l,mal' complex

Sa consideram planul complex, adica un plan in care s-a luat un slstemde axe rectangulare Ox,Oy; numim axa Ox axa reala, iar axa Oyaxa imaginara.Pe axa Ox punctele de diviziune corespunzatoare unei unltati stnt ... -2,-1, 0, I, 2, ... , iar pe axa imaginate punctele de diviziune corespunzatoareacelelasi urritatl stnt -2i, - i, 0, i, 2i,. ~. (fig. 17).

Nurnarului complex z = a + ill ii corespunde un punct M de coordonate(a, b) ~i lnvers, unui punct din plan Ii corespunde un numar complex ~i namai

35

-.unul singur. Mai putem spune ca punctului z ti corespuode vectorul OM. Ori-ginii axelor ti corespunde numarul z = 0 + to. Aplicind formulele cunoscutedin trigonometrie, avem(fig. 17)

a = OM cas 6, Ji(1)

,,= OM'sin 6,deci

OM~ Va'+b'~~ Ia+ ib I~ r.Lungimea segmentu-

lui OM este, asadar, modululnumarului complex a + ib.

Unghiul 6 pe care tlface OM ell directia pozitivaa axeiOx se numeste argu-mentul numdruiui complexa + ib, e = erg (a + ib).

Din formulele (I) obtinemcos ee. _a_.

Va2 + b"

HI.i~21 )1,

e-t fO,oJ I 2 .I

-,

n

Fig. 17

relajii care determine pe 5, tn afara unui multiplu de z-e. Tot relatille (lrne~dau ~ia+ ib = Va2 1- b2-cos e+ i Va2- + b2 -sin {I = r(cos (} + i sin 6). (2)

Expresia (2) este numita ~i forma trigonometricii a numarului complexa + ib, foarte utile tn calcule.

4. Inegalita!ile modu.lului

Sa reprezentam pe un sistem de axe suma a doua numere complexe

z = a + ib, z' = a' + ib' z + z' = a + a' + i (b + b').r Procedam in modulur-

mator : construim mai Intli vee---->

torul care reprczinta pe z, OM.apoi din M, considerat ca ori-

--->gine, construim veetorul MM',care are proiectil pe axe pe a' ~i

b'. Veetorul rezultant oM, areca prolectii pe axa reala c-l-c', i'iar pe axa imaginara b + b'.

Punctului M'ii corespun-de numarul z + i' (fig. 18), Fig. 15

objinem

si din neegalitatile cunoscute dintre laturile ttiunghiuiui OMM'OM'

:Yumere CQmplexe 37

deci :1') Modulul produsului an nurnere complexe este egalcu produsul modu-

lelor eelor n nurnere.2') Argumentul produsulut an numere complexe este ega! ell suma argu-

mentelor celor n numere.Sa considerarn aeum raportul a doua numare complexe Z1' Z2

':1, = ~.coB61 ~:- ~ B~Jl 61 Z2* O.::2 "a cos 62 + I sm 62

Dace tnmultim in partea a doua a egalitatil ambii terrneni ai Iractiei cucos OJ - i sin all' obtinem

~ = ---.!:!- [cos (01 - 0.2) + i sin (61 - 02) l-22 1'2

deci:3) Modulul cttului a doua numere complexe este egal cu cttul modu!elor

celor doua numere. ~.i4) Argumentul citului a doua numere complexe este ega! eu dlferenta

argumentelor eelor doua numere (argumentul numaratorului mai putin argu-mentul numitorului).

Sarevenim la produsul a n numere complexe (1), ~i anurne sa luarnZl =[22,= .. =2,. =2.

Vom avea

61 = O2 ,----' = 6n = 6.Relatia (I) se translorma in

rIO (cos 6 + i sin 6)" = t" (cos n6 + i sin n6),care ne ua, deoarece r =1= O.

(cos 6 + i.Jin 6)" = cos nO+ i sin nO. (2)Aceasta formula se numeste formula lui Moivre.

In relatia (2) n este un numar natural. Vom dovedi ca formula lui Moivreeste adevarata pentru n numar rational. Sa aratam mai tntit ca esteadevarata pentru n negativ.

Din1 1 = .!.. (cos 6 _ i sin 6)'fcos6+isin6 r

obtinern[C05(- 6)+i5in(- 6)), ',*,0,

38

deci

sau

M,utimi. Nw""'''. Stradur;

['..]"~ [COS (- 6) + i sin (- 8)l"

cos6+lsmO

(cos 6 + i sin 6)-" = cos (-nO) + i sin (- n6).Pentru n = ~ procedarn in modul urmator :

p

[cos (;) + i sin (;)r = cos 6 + zstn e.~i extragtnd redactna de ordinul p

" ,cos ! + i sin ~ = 1"cos 6 -t- i sin 8 = (cos {} + i sin 6)",

p p

Ridictnd acum la puterea q (tntreg), obflnem

cas (-; 8) -l- lsin (-;- 8} = (cos e+ lsin 6fi--.

6. Extragerea radacinii de ordinuJ n dintr-u.D numar complex

Fie a + ib un numar c-omplex. Ne punem problema sa determinam unnumar z = x + iy astlel inert sa avem

(x + iy)" ~ a + ibsau

"x+iy~Ya+i1;:Numarul x + iy 11 numim riidiicina de ordinul n din numarul complex a + ib,

Scriind cele doua numere sub forma trigonometriciia + ib = r(cos 6 + i sin 8)x+ iy =? (00511+ rsin c),

avem, aplictnd formula lui Moivre pentru termenul din partea InW,p"jcos ncp + i sin ncp) = r (cos e+ i sin e),

deci

nlP = {) + 2kTt,

~p = r",

0+ 2k1l'.~---,

39\

\_---------"'="-"==----------'"~ numarul cautat este

+ ' ~( 6+21t7t" + .. 6+2kTt)x Iy=r cos--- tSln---.o 0unde k este un tntreg arbitrar. Ar urrna de aid ci'i exista 0 infinitate de radadni.In realitate stnt numai n radacini, deoarece cos a + 2kn: *i sin ~2kn: iau

o o'respectiv, valori egale pentru doua valori ale lui k ce difera printr-un multiplua1 lui n. Intr-adevar, din

e+ 2k'n _ e + 2k"r. = 21mo 0

rezultak' - k" =nh.

In consecinta avem numai n rtidiidni distincte Zo, .;.,.. , Z"_I' ce se obtindtnd lui k valorile O, 1,2... , n - I

.!. ( e .., )zo='" cos-;+Ism-;;-

.!.l' 6+27\' 6+2lt)ZI = r" cos -- + isin--0) 0 (I)

Z.. _1 = r~ (cos ~,_+,--,2~(~:_--,1~":=- + i sin 6 + 2I:~ 1) 'It" ).,

Cele n redaclni se gasesc pe un cere en- centrul in origine ~i raza R = ,ft sl. anume stnt vtrfurile unui poligon regulat cu n laturi inscris tn cere, deoarecerazele vectoare OZk 021:+1 fae unghluri egale tntre ele *i egale ell~'

o

In particular, un numar real are n radacini de ordinul n. Daca a> 0,ecuajia

x" = aare redacirtile

,

Xo = a"

, ( )Xl= a" cos 2: + i sin 2nl't

H ., ")xj!,=a \cOS-~~+lsm--;-.!.( 0-1 .. 0-1 )

x.._1=a" COS--27t'+lsm--2n'.. 0

.0 Mulfi,mi. Numere. Structuri

tar dad a 0, are deci totdeauna 0 radacina reala Xo = a"~i mai admite 0 ractikina reala dace 27m = rr, k tntreg, ceea ce nu este po-

" sibil dectt dad n este par, dod pentru k = ~ ecuatia are st radacina - an-.

2Ecuatia z" = a, a < 0, nu are declt eel mult 0 didacina reala, deoarece

nu putem avea ~+ 2kn = 0 pentru k tntreg, iar ecuatia~ + 2k~_ = 1t nujJ n II II

admite radacini tntregl dectt pentru n impar, dod k= n--; 1. In conc1uzie,orlce numar real ~i pozitiv fare doua radacini Teale de ordin par, egale ~i desemn contrar, si 0 slngura radacina reala de ordin impart iar un numarnegativ are 0 slngura riidiicinii reala de ordin impar si nu are nici 0 riidacinareala de ordin par. ' ..

7. Rezolvarea eeualiilo:r binome

Rezultatele precedente permit rezolvarea ecuatiilor de formax" + Ax'" ~ O.

Pentru m < n st numere naturale avemx'" (x"~' + A) ~ O.

Ecuafia data se deseompune inx" =0,

eu radiicina multipHi de ordlnul m, x = 0. si in ecuatlax":" + A = 0,

Numae oomplexe .I,

Ridicinile ecu.a~iei sint:

care are n - m radacini ce se obtin in modul expus la aliniatul precedent-E xemp lusa. gasim cele ljase rlidiicini ale ecuatiei

~=i.

Fig. 19

Numarul complex i are modulul 1 lji argumentul ..::.2

i=cos:rr +i sin~.2 2

:rr 11: V2+ Va .V2- VBll:o = cos 12 + i sin "Ii = _.~ +t--2- -

5:rr 5:rr V2 - V3 .V2 -i:--Y3~=coS"i2+isin12 2 +l--,---

~=cos 9n + isin 91! =12 12

13r. .' 13n-:z:s=cos 12 + I Sill 12 =

17n + i sin 1711: =x. = cos 12 12

2111: + i sin 211!x. = cos 12 12

_ V2 +iV22 2

V2 + V3 .V2-- V3------,----

2 2

V2- V3 .V2+ V3-----,---

2 2

V2 .V2+--j-2 2

mo, ~, ... , X. !lint virlurile unui hexagon jnscna in cereul de ra:r.i unu (fig. 19).

i nnmirul lor estc 12.

Capitolul II

ANALIZA COMBINATORIE

1. ARANJARI. l'ERMUTARI. COMBINARI. INVERSIUNI

1. Aranj3:ri

Fie n obieete ~. ~, .. "' a... Numim aranjari ale acestor n obiecte luatecite m, n>m, gruparlle care se pot lace ell cite m obiecte distincte din celen obiecte date, astlel tnctt fiecare grupare sa difere de celelalte fie prin ordineaobieetelor, fie prin natura lor. Yom nota numarul lor cu A::-.

E~empluAnmjarile a patru obieeto at /I, c, d, luate cite dona, sint

ab, ae, adba, be, bdca, eh, cdda, db, de

Ne propunem sa gasim numarul A:'. In acest scop vom stabili 0 formulade recurenta. Sa presupunem ca am format tabloul gruparllor tuturor aranja-rllor a n obiecte luate cite m~ 1, 11:,-1, Sa vedem cum putem deduce dinacesta tabloul gruparilor .4:0.

o grupare din :4::-- 1 - confine m - I elemente; ramtn deci in afaragruparli n - m + I elemente. Pentru a forma toate gruparile din .4:-, dedusedin aceasta grupare, este suficlent sa luam fiecare element din cele n - m + Iramase l,ii sji-l asezam la urma gruparll considerate din A:,-l. Toate gruparileastfel formate stnt distincte tntre ele, deoarece difera prin ultimul element.

Daca procedam in acelasi mod eu toate gruparile lui A::- 1 (car~ sintdiferite tntre ele fie prin pozitia elementelor, fie prin natura elementelor),obtinem grupart care difera sau prin ultimul element. sau, daca acest element

este acelasi, prin Iaptul ca, suprimtnd ultimul element, srnt grupari din A:~-l,ded dtstincte. Avem, asadar, formula de recurenta

A= ~ (n - m + I) A=-',tn care, daca facem m = 2, 3, ... m, obtinem

A; = (n - 1) A~A: ~ (n - 2) A;

A= ~ (n - m+ I) A=-'.Inmultind pe coloane obtinem

A= ~ (n - 1) (n - 2) ... (n - m + 1) A;,numarul A~ = n fiind numarul aranjarilor a n obiecte luate cite unul; deci

,A: ~ 11 (n-l) ... (n-m+l),adica produsul primelor m numere consecutive descrescatoare

.. Analiza cQmbinaturie

Num.ilrul aeestor poaitii r-ate 15! = 1.2.3.4.... Hi. Timpul necesar este 151; [60 XX r,o X 24 X 360] = 42042 ani.

Din acest e:umplu se vece tiL numsrut n I creste Ioarte repede ell tt,

3. Combiniri~-~-

Nurnirn combinari a n obiecte luate cite m, m -< n, gruparile ce se potforma ell n obiecte luate cite m. Iiecare grupare diferind de celelalte numalprin natura obieetelor, ordinea lor neavtnd lmportanta, tn fiecare grupareobiectele fiind distincte. Vom nota numarul lor ~.

E-*mpluComlJinarile elementelur a, b, e, d, luete cite dona, sint

ab, ac, adbe, bd

01,deci ~ = 6.

Sa consideram tabloul combinarilor a n obiecte luate cite in si tn flecaregrupare sa facem toate permutarile posibile.

Tabloul astfel obtinut este A::', deoarece Iiecare grupare dilera de cele-lalte fie prin natura obiectelor, fie prin pozitia lor. Sa mal observant ca dintr-ogrupare din tabloul C;:' objinem Pm = m! grupari in tabloul final, deck

A:' = c:" r;sau

0::= m(n-1)... (n-m+ 1)1.2.3 ... m

Dad. tnlcculm pe m cu n - m objinemc:: = C:-.,

.!ml(n-m)J' ..

fapt ce se poate demonstra ;;i direct, deoarece, daca consideram tabloul C::,~unei grupari de m obiecte ii corespunde gruparea complimentara de n - mobiecte, deci

C:'= C:-"'.Nurnarul 0:: este tntreg ~i din formula

C!!'= n (n -1) ... (Il - m + 1).. 1.2.3 ... m

deducem ca produsul a p numere naturale consecutive este divizibil cu prtJdusufprimelor p numere naturale consecutive.

Amnjar'. Permutari. Combhu";. I,."ersiuni

EiHTcifii

1) Sa aratam eiL avemG:' = 0:=1 + 0::'_1

Intr-adevarC:'_l+c;,=i= (1J-1)1 + (n-l)! _=

(n-i)1 (n-m)1 m!{n-m-l)1

\ (n-l)l(m+n-m)m!(t~-m)l.1

m!(tl--m)!

2) Sa dam, in aceests. egalitete, lui fl valorile fl. 11-1, ... , m; obtlnem

c: = C"'~l + 0;':1In_I = 0:"_2 + c:.:i

0::: = c:;::~~i daea edunam pc coloane obtinem egalitatea

c~ = 0;::1 + G::':~ + .. + c:;::l

4. Aranjiri en repetilie

Daca tn definitia data aranjarilor simple suprimam restrictla ca obiec-tete ce intervin tntr-c grupare sa fie distinete, obttnem araniari cu repeuiie.

E:r;(mplll.\ranjiirile in rapatitie a 3 clemente a, b, C, Iuate cite dona, sint

aa, all, ~eba, bb, baea, eb, cc

,i numii.rul lor este 9:=:3~.Sa presupunem ca am format tabloul aranjarilor ell repetitie a n cbiecte

luatecitem - 1, ii:7- I Tabloul corespunzator al aranjarilor eu repetitie a nobiecte luate cite m se obtlne aseztnd tn fieeare grupare, la sffrsit, fiecare dineele n elemente, deci, daca notam numarul aranjarilor eu repefltie a n obiecteluate cite m cu IX:', obtinem formula de recurenta

st cum IX~ =-' n, rezulta ca

Pentru aranjari cu repetitie nu se mal cere condi tia m c; n, deoarecearanjarilecu repetitie a n obiecte luate cite m cu m>- n au sens,

Exemplu1l.~ = 3'.

i. Penallliiri ell :repetitie

Dad! m = n, din formula aranjartlor cu repetitie obtinem formula careda numarul permutarilor cu repetltie a n obiecte

, II; = n",

6. ombind:ri en repetltie

Intr-o grupare a comblnarilor obisnuite de n obiecte luate cite m, obiec-tele care constituiau gruparea erau distinete. Sa presupunem ca obieetele sepot repeta; in acest caz avem combinari cu repetitie. Vom nota numarullor cu r:'.

ExempluDomhinarile ell repetitie Ii patru obiecte a, b, c, d, Iuate cite t:rei, stne

abc, abd, acd, bedaaa, aab, aac, aadbba, bb~, u, bbdceo, ecb, ecc, ccdIid'l, ddb, dde, ddd

deei ~ ~ = 20.Ne propunem sa gasim numarul combinarilor ell repeti tie y;:' a il obiecte

luate cite m. Se tntelege ca ~i aid restrictia m e;n cade. Pentru a stabili aformula de recurenta vom numara in doua moduri diferite de cite ori inter-vine un oblect in tabloul r;:,.

Din motive de slmetrle.. flecare obiect intervlne de acclasi numiir de or!si, cum avem '

m .y;:'elernente tn tablou, urmeaza ca un element tlt, de exemplu, intervine de

~ . 1':' ori."

Sa suprimam acum a slngura data obiectul a.L' in Iiecar e gruuare in care apareacest obiect. Comblnarlle modiftcate VOT fi

y:-l

Aranjiiri. Permuturi. Cmnbimiri. Tnt-w.,i""i

~i ele contin pe flt de

47

conform Iormulei stabilite. In acelast timp, am suprimat pe at din fiecaregrupare a lui y:,"-t, deci obieetul at este continut de

y;:,_1 + m-l 'y:,-1

n+m-l.y;:,-lori.

I!I

Egaltnd cele doua rezultate, obtinem formula de recurentay;:'= n+m-l 'y::-l

m

~i daca facem m = 2, 3, "', m obtinem(1'1 +m-l) (1'1 +m-2) ... (n + 1) I

ml 'y~.Insa y~.= n, deci

y;:' = .!!..J':'. ..:T_!L . (n + m-l) = (11 +m-1)1 = C:::+n

_

1ml ml(li-l)1~ se vede ca. putem exprima cornbinarile ell repetitie cu ajutorul combinarilorobisnuite.

ExempluFie nn polinom omogen de grad n in p variabilo x" a:" , xp ; numiirul rennennor

sii este T: = 0:+ p _ 1 . Daca polinomul nu este omogen, il putem omogenisa eu.o nonavariabiJi, dcci numarul termenilor unui polinom neomogen de grad n in p variahile este

7. Inversluni

Fie n elemente flt, ~, ... ,all' Numtm ordine naturale de succesiune aelementelor permutarea !It.CIt ' . a.. care eorespunde ordlnii naturale 1, 2, "', na indicilor. Orice alta permutare a acestor n elemente spunem ca prezinta inver-siuni, a inversiune fiind orice pereehe de elemente a,aj din permutare, cu i > j.

Permutarea a..a,._l ... ~flt prezinta numarul maxim de inversiuni,numar dat de

n - I + n _ Z'+ ... + 2 + I = tJ (tJ -1) .2

Daca notam eu I numarul inversiunilor pe care 11 poate avea 0 permu-tare, rezulta

48

Vom tmparti permutarile a n elemente ln doua clase, dupa numarul deInversluni pe cafe tl prezinta. Din clasa tntti fae parte permutarlle ell numarulde inversiuni I par; din clasa a doua, cele ell numarul de inversiuni I impar.

In teoria determinantilor este utile urmatoareaTeo rem a. 0 permutare i*i schimbi clasa daca schimbatn doua ele-

mente tntre ele.Demonaraiie. Vern considera doua cazuri. In primul caz cele doua

elemente sint alaturate, deci permutarea va fi de formaA", a,. B

~i are Linversiuni. Permutarea obtinuta prin schimbarea lui a; ell a.A Cl; a, B

are I + I inversiuni dad i > j ~i I - 1 inversiuni dad i < j, deoarece inver-siunile lui u. ~i Cl; fata de A .*i inversiunile lui B fata de Ui ~i aj nu seschimba prin aceasta opera tie. Daca J este par (sau imparl, J + I sao I - 1sjnt imparl (sau pari), deci permutarea i;;i schimba clasa.

In al doilea caz, Ui ~i a; nu stnt consecutive, deci permutarea va fi deforma

A ",Ca,. 1J,l?i schimbind pe aj cu a. avem permutarea

A", C a, B.Presup unem ca Care p elemente ; schimbind pe a, ell C obtinem

A a, '" C B~i realizam astfel p schimbari de clasa. Dad aducem acurn pe ~ in locullui a.,se reallzeaza p + 1 scbimbarl de clasa, deci numarul final a1 schimbarilor declasa va f p + p + I, ceea ce arata ea pennutarea i;;i schimba c1asa; cu aceastateorema este demonstrate. Din tctalul de n! permutarl, -W apartin unei clase,~i ~ celeilalte, deoarece, dad schimbam doua elemente anumite in toatepermutarile a n obiecte, permutarlle dintr-o clasa tree in permutarlle din cealaltaclasa, fara ca in ansamblul lor permutarile sa se schimbe.

8. Puterea unui binom

sa ara-tam ca avern dezvoltarea(x+a)"=C~X"+C~X"-la+ ... +q;x-kd

Araujdri. Permutdri. Combimiri. Inveniuni"

rII,

Vom demonstra formula prin recurenta (inductie completa). lata in ceconsta aceasta metoda de demonstratie pe care 0 vom folosi deseori. Fie P 0proprietate care se refera la numerele naturale. Daca

1) proprietatea este adevarata pentru numiirul natural 1.2) presupunind proprietatea P adevarata pentru un numar natural

n - I, se arata cii proprietatea este adevarata ~i pentru n,atunci rezultii cii proprietatea este adevarata pentru toate numerele

naturale.Formula (l) este adevarata pentru n = I. deoarece

(x + a)l = x + a = qx + CI a.Presupunem formula (l) adevarata pentru n - 1(x + a)"-l = ~-l X"-1 + C~_1x"-2a + ... + C~_l x"-l-k a~+... + G;::i 0"-1sau

.-,(x + a)"-1 = ~ q-l'X"-l-t ak.

t~O

Sii aratam acum ca este adevarata ~i pentru n. Inmultim cu x + a(x + a)l> = (x+ a) [t~ C~_I.X"-l-kakl

Coeflcientul lui X"-k ested< 'I[C~_1 + C::U = ak C~,

deoarece, conform cap. II, I, a1. 3, ex. I, CLI + C~:~ = C:; prin urmare,formula este adevarata si pentru n. Rezultatul dezvoltarii lui (x + a)" estedeci un polinom cmogen de gradul n, in x sl a. Remarcam in (l) ca coefl-clenjii egal departati de extremitaf sint egali, deoarece C~ = C~-k. Avem

c;-t 1 pentru k

50 Analiza comml1(1torit'

(2)

Gin care deducem imediat urmatoarea regula de Iormare a coeficientului unuitermen af blnomului ell ajutoruI coeficientului termenului sltuat tnaintea lui.

Reg u 1a. Pentru a ana termenul ttH' deci dezvoltarea binomului(a + x)"', se tnmulteste termenul precedent tt cu

n-k ak+1 .-;'

unde n - k este exponentul din termenul tk al lui x. k + 1 exponentul lui amarlt ell unu din tt, iar to = X".

Formula binomului este adevarata ~i In complex, deoarece operatiilece au intervenit tn stabilirea formulei stnt valabile si In corpul numerelorcomplexe

(a + ib)" = ~ - C~~-2 bS + C~ ~-f1J4 - C? a"'-6 bB + .... +i(~a'!-lb - C:a"-Sb3+C~a"'-5fJ5 _ ~a"-7b7+ ).

Eurcilii1) Daca in formula binomului Iaeem a = 1, x = 1, obtinem

211 = C~ + C~ + c;. + ... + C: .2) Daci in formula (2) inlocuim pe a + ib en 1 ~ i = f2 (cos~ + i sin ~), ohtinem

l (cos n; + ssm n: )= (1 + i)",Cl'ci

Aplieafii1) Sa Be ealculese sumele

S1' = 11' + 2~ + ... + t1", P = 1, 2, .Avern, conform formulei binomului,

(x+l)v=x~+C~X~-1+C;X~-2+ ... +C~xOIn aceasta egalitate si facem auceeaiv x = 1, 2,. _, 11

2~=1~+C~lP-l+C~11'-2+ ... +C~l03P=2~ + C~2V-l + 0;2V- 2 + __ . + C~20

(n + 1)1'= np+C~up-l+ 0~llp-2+ . . . +O;n-.Adunindn-le, obtinem, dupa simpfiliearile cuvenirc,

(fI+l)J>-1=c1.So+(.'~Sl+' +0~-1 S~_l'

/1ran]"r;. P"rmul,jr;. Cmnbiniiri. llll'f'fsiuui

Deoarece Sa = n, formula obtinuta nc permite sa calculam pe S!. S2' S3' .

51

n (n + 1) (2" + 1) , s~ = n2(1J + 1)2 = .'IiIi '4 '

('l

deei suma cuburil-or primel(ff tl numere nalUTIJ!e esie un plUral pelred.2) Plceind de Ill. formula lui Mcivre

(cos 0 + i sin 0)" = cos n6 + i sin fl6 (n, natural),ebtinem

cos n6 = cosnO - c; COs"-2 a sins f +~ cos" -I EI sin4 e-.sin nO = C~ cos"-1(I sin 6- C~ cos"-36 sin a 0 + C~ C08"- 6 sin 0 -.

Deci cos ti6 ee peste exprima rational eu ajutorul Iui cos {l pentm ortce n natural, in t.impell sin ne se uxprirne rational co ajutorul lui sin 0 numai pentru n impar.

Din formuleJe (2) obtinem !;Iitg '10= C~tgO-C: t~8e+C~t~~O

1-C; tg2O+C~ tg4e- C~tg6 0+

9. Poterea nnw polinom

Ne propunem sa stabilim formula care da dezvoltarea lui

(X:1 + Xli+ ... + x.Y'Rezultatul va fi un polinom omogen de grad n in variabilele Xl' X2, ,Xm ,

deci(Xl + Xli+ ... + Xm)" = ~ Ap,p .. Vmx;" t," ... x;:... ,

unde PI + P2 + ... + Pm = n, Pi numere tntregi pozitive sau nule, iarAp,v, ., I'm un coeflcient numeric. Pentru determinarea lui A p,;1, .. Pm proce-dam in modul urmator. Sa nctam

X 2 + X 3 + ... -i- x", = x.Coelicientul lui Xi' din dezvoltarea binomului (xj + x)" este

C:' (Xli+ x3 -]- + Xm)" - ;11.Daca notam acum X 3 + x4. -l- ... + X", = y, coeficientul lui xVz din

dezvoltarea (Xli + y)n- fI, esteC=~l'l (x3+ x4+ ... + X,,,)"-fl,-F,,

deci termenii care contin pe xf' x~' in factor sint dati deG:' C::'-- .., (x 3 + X4 + ... + xm)n-,.,~ ...,

Annli::a ('QmbulIItnril"

regula cere ne da imediat eoeficientul lui xf' x~' ... x':'"

deci

.,.. - P... -I =

... (II-PI-P2--PmI)!p".!(n-PI-Pa-.-Pm1!

.,AJI, I', .. 1Im = Pl!P2 1Pm!

In concluzie avem formula

(Xl + Xl!.+ ... + xm)" = ~ - tJ! xf'~' '" ~m ;I' p,JPtlPm!

unde Pi stnt numere tntregi pozitive sau zero ell PI + P2 + ... + Pm = n,iarO!=1.

Observatie

Coeficientul 111_- =-' Ap , P2PI! 1'21 ... Pm!

repreztnta uumarul permutarilor a n elemente nu toate distincte, si anumepermutarlle unde elernentul llt Iigureaza de PIon, elementul ~ de P2 ori, infine el~mentlll a", figureaza de Pm ori. Intr-adevar, daca in flecare gruparea lui Ap,tl.... v... facem toate permutarlle posibile ale celor P. elemente a.presupuse de asta data distincte (t = 1, 2, "', m), obtinem

PI' P2! . Pm! AI',JI....v... 'grupari care slot toemai permutarile a PI + Pl!.+ ... + Pm :r n elemente,unde, de asta data, elementele sfnt soeotite toate distincte, deci

-Pl.! P2! Pm! All,,, . 1'", = (PI + P2+ .. + Pm)! = nl,relatie din care cbtlnem pe A v,Jl.. P".

Ezemple.

1) (z,+za+ ... + X".)2 = ~ __ 1

.

2) (Xt, + :;;2 + ... -I- x",)" = ~.1

x~ + 2 ij:toi~lkj. .

x~+3 ~ XrXj+G ~ Xi:l:j:tJI;'i:toj~l i*j:tok-Ii

Aranjari. Permntiiri, C..mbiniiri. lnver,i""j

Coeficientul lui xi se giisete rezelvind in numere tneregi sistemula+b+c+d+e=5b+2c+3d+4e=5,

care ee numeste sisfem diofanfic'" Solutiile problemei slnt cnprinse in tabelul

I~.~ 3 2 1 _2_1_0_, 1 0 2 3 1 .,----, 0 1 0 1 2 0

----- ----

d 0 1 1 0 o 0----

_._--

, 1 0 0 0 o 0

dod eoefleiental lui :If este numsrul

~+~+_'_+ 51 +_'_'_+~ = 20 + 20 + 30 + 2Q + 30 + 1 = 121.31 31 212[ 31 2121 51

53

'" Unsistem in care eoejicientii slnt numere intregi icare trebuie rezolvat tot in nuniereIntregi, se numeete slstem diofantic.

Ge' - a'eg= - ab'-ba"

Copltclul III

DETERMINANT!. MATRICE

1. DETERMINAJ'PI'I DE ORDINUL AL DOILEA

1. Sistem de doni eeuatii liniareen dona neeunoscntt>, neomogen

Sa consideram sistemul de doua ecuatii ell doua necunoscute,

ax+by+c=Oa'x+b'y+c' = 0

neomogen (deoarece presupunem di c *i c' nu stnt slmultan nule).Inmultim prima ecuaiie Cll b', a doua ecuatie ell - b *i adunam

(ab' .: ba') x + eb' - be' ~ o.Inmultim prima ecuatle ell -a', ecuatia a dona ell a si adunam

(ab' - ba')g +e' a - a' c ~ 0,deci, dad ob' - ba'* 0, objinem soluita unioi:

cb' -c'bX= - ali'-ba';

Spunem in acest caz ca sistemul (1) este compaiibil ~i determinat.

De Hn l t l e. Numarul00' - ba'

se num~te detenninant de ordinul al doilea ~i se noteezaI:, :,l~ab' -ba'

(I)

(I')

(I")

(2)

DelermimJuli de ordi ..ul al .dDilea 66

In baza acestei definitii, solutia sistemului (I) se scrie'~,1 /Ie b \ Ia e I Vc b' a' e'x ~ - --- y~ --- (2')I:, :. I I:, :,1

e I~ e' '0', +Ia y a'

Determinantul de la numitor se numeste determinantul sistemului ~i esteformat eu coeficientii necunoscutelor x, y. Avem ded urmatoarea

Teo rem a. Daca determinantul slstemulul (1) este diferit de zero, atundsisternnl este compatibil ~i detenninat.

Sa presupunem ca determinantu! sistemului (1) este nul. in acest caz,ecuatiile (I') si (1") se scriu

,x+le b I~O'e' b' "

deci daca

Ie b 1+0,Ie' b'l la :e 1+0a' e'sistemulesteimposibil, deoarece nu exista valorl pentru x ~i y care sa-l satisfaca.

Le o r e m a, Dacii

la b 1-0a' b' - ,slstemul (1) nu are solutll (este imposibil).

Sa presupunem acum ca determinantul sistemului este nul ~i in plus unuldin determinantii de la numerator tn (2') este de asemenea nul.

, "Ia b[ a b, "Ie bI 'Daca = 0 urmeaza ca - = ~, lar daca = 0, avem ~1a' b" a' /I' C b'

b 'd d ,"". b "d"dl' II!ael t_ = _. e un e rezu ta ca- = - = -, .. eel ~I e ermman u , es e/I't! a'b'e' a'enul. Sa punem

~=~=_= k.a' /I' c'

Avema w ka, b=kb', c=kc'~i sistemul se transforma in

k(a'x+b'y+e')~Oa'x + b'y+e' = 0,

(3)

56

adica se reduce la 0 singura ecuatie. Solutiile sintb' ~'

X-,=, --;;;y--;;;, (4)

(4')

(I)

unde y este arbitrar. Avem deci 0 infinitate de solutii. Spunem di sisternul (I}este compaiibil (deoarece admite solutil), insii nedeterminat. Daca teste unparametru arhitf!!: putem scrie (4) ~i sub forma

.c.: 1'::0- Y = a'tcx~-b't--.'~i avem asUel sclutiile sistemului (1) sub [ormd parameiricii.

Teorema.Oaca

I:, :,1 ~ o, I~, :,1 ~ ~.a",.J~,1 ~ o,sistema) (I) are 0 infinitate de solu1i~ (ester c0J"patibii ~i nedeterminat).

I,;

Dplprminanti de ardinul al dai/eQ

Dad punem

sistemul (1) se reduce laax+by= 0k (ax + by) ~ 0,

adica Ia 0 singura ecuatie ax -l- by = 0, care are solutiilex= - bt (sub forma parametrlca)y ~ a1

SlIU

57

.2... = JL'"= t.-b

3. Sistem de douii eCllatii lillia:reCll trei neClUloseute omogen,

Fie sistemul

(a,b*O)J

ax+by+cz=Oa'x+b'y+c'z=O,

care admite totdeauna solutia x = 0, y = 0, z = 0 (banala).Dad tmparfim ell z =1= 0 fiecare din ecuatiile sistemului,

sistem de doua ecuatii ell doua necunoscute, neomogen

a":"+bJL+c=Oa a

a'~ + b'lL + c' = 0,- 'te z

(1)

obtlnem un

care are solutia

sau

Ib 'I/I' c'1::1'

" I:, :. 1-;~-I"b I'

a' /I'

y z ~-I'-,I' ~-I'-'I~-I"-,I~

58 Deoormirwn#. Matriu

Daca scriem solutiile sub forma

x ~I:, ;,1/, F!;, :,\./, Z~I:, :,[.{, (2')se vede ea ele exista, chiar dad unul din determinantii ce intervin este nul.

Este de remarcat faptul ca determinantii ell ajutorul carora se scriu5OIu~i1e lui (1) se/obttn din tabelul

M~I[:, b~I:, ilnumit matrice, tabel format ell coeficientii necunoscutelor sistemului (I).

Daca doi din determlnantll ce intervin In (2') slnt ngli, atuncia b' c I-=-=-1, b ,

deci ~i al treilea determinant este nul. Sistemul se reduce Ia ecuatiaax+by+cz=O~i are solujiile

x ~ - .!c(bu + co),

y=U, z=v,U, v fiind parametril arbitrari.

4. Determinanfi de ordinul at doilea

d I; ultimul s-a objinut dinb .I" bf' Iek:-'Ji ~'A, ~ aeu lin-ra a doua;primul, sehimbind linia tnttl

Am vazut ca dlscutia unul slstem de dona ecuatii liniare-se poate facecomplet ell ajutorul determinantilor de ordinul al doilea. Este necesar sa studiem

~n~ Pro p r i eta tea 1. Un determinant i~l sehimbii semnul daca per-mutam elementele a dona linli tntre ele san elementele a douacoloane Intre ele,}~=--C-~

Fie determinantii D,;!-=

Ihterrmntm# de ordirwI al doilea

avemDt, = ad - be, A..J= be ~ ad.

deciD2=-A2

In mod asemanator, dad A; = \b all este determinantul ce se obtine. d e

din D 2 permutind elementele coloanei tntii ell elementele coloanei a doua, avemA~ = be - ad = - D20

Pro p r i eta tea 2. Un determinant este nul daca ate doua linll saudoua coloane egale.

Determinantul A2 = t: ~Iare cele doua linii egale ~i 602 = ab - ab = O.Determinantul A; = \: : Iare cele doua coloane egalesi a; = ab-ab =0.Pro p tie tat e a 3. Un determinant nu-s! schimba valoarea dad schim-

bam toate linille cu coloanele de acelasi rang.

Daca D2 = Ia.._/pI, determinantul A", carese obtine din o; schirnbindcr'd

liniile cu coloanele, este

.60 2 = I: ~I =ad-bc=D2Pro p r i eta tea 4. Dad 1a un determinant tnmultim elementele

unei linii sau coloane cu un numar m, detenninantul se tnmulteste ell numarul m.

Fie determinantul A" = Ia;n b~ I ce se obtine din determinantul D 2 ==I: ~Itnmuljind elementele primei linii cu numarul m. Objlnem

.602 = amd - bmc ~ m (ad - be) = mDt.>

primeib +b'!- " '.' tn care elementele. d .

Pro p r i eta t 2 a 5. Dad tntr-un determinant elementele unei linii(sau coloane) sint sume de k numere, atund detenninantul se descompuntntr-o suma de k determlnenti.

Fie.determinantul A2 = I; + a'inii stnt suma de doua elemente.

d, ~ (a+ a')d - (b +b')e ~ (ad - be) + (a'd - b'e),L{Cr- (: G(

60 Delermintlllti. Mutricc

deci~2 = iaIe

Aceeasl demcnstratie pentru k 2.

(1)

P TOp Tie tat e a 6. Intr-undetermlnant, daca la elementele unei linil(sao coloane) adunim elementele celeilalte linii (sau ccloane) tnmultite cu unuumar, determinantul nu-si schlmba valoarea.

FieD =)a bl si 1:1 = la+mc b+mdl

2. Ie dl " 2. c d IFolosind prcprietatile 5, 4 ~i :2, avem

a, ~ \: :H;C ~I=I: :I+ml~ ~\=I: :1 2. DETERMINAK'j'I DE ORDIN1TI, AI, TREII,EA

1. Sistem de 1rei clmntii Hniarecu.. trei ~ecu.noseu(e, neomogen

aUxl -I- ~2X2 + aJ.3xS+ hI = 0~Xl + a22xZ + ~SX3 + bz = 0as] X. + a32x2 + assxs + bs = O.

Putem elimina simultan pe xl!. ~i Xs din ecuatlile sistemului daca'tnmulttmprima ecuatie ell Ap a doua ecuatie cu A2.. a treia ecuatie ell As $i le adunam,numerele AI' Az, As Iiind 0 solutie nebanala a urmatorului sietem

~2AI + Ilz.lAg + a3~3 = 0!lt~1 + a23A 2 + C2:l3A3 = o. (2)

Intr-adevar, dad adunarn ecuatiile sistemului (1) astfel tnmultit, obtinern(aUAI + a21A2 + a.31A3) Xl-i- Alb} + A:JJ2 + A3b 3 = 0~i daca

rezulta imediat

DetermiIuln(i de ordinul al doilea 61

Conform A. cap. Ill, 1, al. 3, AI' As. As stnt date de

At = IUzs ll:ls\. t, As = Iass alsl t, As = \ at'! ass I. tUzs ass ass al 3 ~3 Uzs

-;;i, dad le introducem in expresia lui x, Iactorul t se slmplifica asUe! tncttobtinem

.Numarul de Ia numi tor

a, 'Ia" a" I1 las ass

(3)

= al1~33 - Qu Ua:PS2 - Il:lICl:t2US3 + a U a1:PS2. + a31al~ - a31a1:PS2se noteaza

I::: ~: ~:\ (4)aSt ass asa~i se numeste determinantul elementelor a,; ,i, i = I, 2, 3; este un determi-nant de ordinul al treilea, deoarece are trei linii ~i trei coloane.

Expresia (3) reprezlnta dezvoltarea determinantului (4) dupa coloana'tntfi.

Tintnd searna de aceasta delinitie, urmeaza ca ~i numaratorul lui Xl esteun determinant, ;;i anume

[b' "" ""Ibs Cl:ls 0z3ba Gs1! ass~i se obtine din determinantul (4), care si in acest caz se numeste determinantul.sistemului, tnloculnd coloana coeficientilor lui ~ cu termenii Iiberi. Procedtnd10 mod asemanator, obtinem pe X:a st Xa

I0" " 'n Iflu b2 ~Un b3 Uss

['U'u 0" Ian a22 a. s!l:Jl as:! Usax3 = -

Determinantul de la numitor este tot determinantul slstemului, careate prin ipoteza diferit de zero. Numaratorul lui X:a este un determinant ce

62 Ddermi/Wir/i, Mlltrice

se obtine din determinantul sistemulul, inlocuind coloana coelicientilor lui ~ell termenii liberl. Aceeasi regula .;;i pentru za-

Avem, asadar, urmatoareaTeo rem a. Un sistem de trei ecuatii linlare ell trei necunoscute, ell

detenninantul slstemului nenul, este com pat i b i Ide t e r min a t.

2. Sistem de .:rei ceuatii liniareell dona neeunoseute, neomogen

(2)

Un astfel de sistem este~lXl + ll:La xa+ a13 = 0a" x/+ a" x, + a" ~ 0 (I)a31Xt+aS2x2+u3S=O

si in general nu este compatibil. Intr-adevar, primele doua ecuatii, dadI:: ::I=F 0, deterrnina pe .:11. si A1t

tosa acest sistem de solutii nu veriflca st ecuatia a treia daca aSI ' aasl l1:lssintoarecare. Pentru ca Xt .;;i Xs date de (2) sa verifice sl ecuatia ultima din sistem,trebuie ca

- a" la" a"I_"" la" a"l + a" la" a"l "",a23 ~2 UtI ~3 ~l ass

= - a.na..A2 + Cl:lICl:LAa - tl:u.lZ.LIUta + l2sA:Pn+ llaaanl1a2 -- a"a,,,a,,~ O. (3)

Se observe, daca se tine seama de dezvoltarea obtlnuta la aliniatul prece-dent, cii este tocmai valoarea determinantului

I ~: z:::I:!: 1.-, (4)a:n aa'i!. laaAvem deci urmatoarea

Teo rem a. Un sistem de trel ecuatll cu doua necunoscute este com-pattbil daca determlnantul format cu coeflclentll necunoscutelor ~i tennenil. liberieste nul

D~tf'rminanri de ordinul at In'i/,'"

3. Sistem de trei eell,a ~ii liniareell, trei necII,noscute, omogen

Sistemul

63

. auXl + 012xa+ llasxs = 0~.\1. + 0aaxa+ 0llSXS = 011s1.\1. + 0S2X2 + 0ssX:1 = 0

este compatibil, deoarece admite totdeauna solutia Xl = 0, Xa = 0, Xs = 0(solutia banala). Sa vedem in ce-conditii admite ~i alte solutii in alara de ceabanala. Imparjind fiecare ecuatie a sistemului cu xs ,* 0, ajungem 1a un sistemde trei ecuatii cu doua necunoscute, ~ ~i ~ , discutat la aliniatul precedent,

X3 X3

deci

I'.. '" I~il2~I'" ... I(121 tlu

I'" '" I~I"U "" I{Ia1 tl

care verifica ~i ecuatia a treia dad determinantul sistemului

Ian a" a" I

~l ":all ":as0Sl 0 32 0ss

este nul. Daca scriem solutiile in modul urmator

X, ~ 1U:i2 U:1s!.t, X2 = lU:is zl- Xs.=Oaa Oas I0 23 ~l lau 1'''1,/,

"" 11"t fiiod parametru, conditia ca Ian alai 4= 0 nu mai este necesara.

: 0 21 U:all ,Avem deci urmatoareaTeo rem a. Un slstem de tret ecuatii llnlare cu trei necunoscute, omoge

admite ~i alte solutli in afara de cea banala daca detenninantul sistemuluieste nul.

4. Determinanti de ordinul at treilea

. Rezultatele precedente arata ca si pentru sisteme de trei ecuatil liniareIntroducerea notiunii de determinant este blnevenite.

Detennimm/i. Matrice

NumarulD a = autIz20sa - ll:llazs Qat + al:A.l~2 - ~!a!laa3 + Cl:LAAl - alA'PM

il vom numi determinant de ordinul al treilea st 11 vom nota

I"'"', ""/au ~2 U:!aau llall a3 3Acelasi numar Da este dat ~i de

"". [a" a,,[_ "', .1"" ""I +""1"" ""Ias! llaa llal l:Ja llal Qatsau de

(I)

(2)

(3)

1

1 2D = 7 I)

2 -1

a,,-I"" ""\,,"',.1"" ""I +a,,I"" ""Ia3 :l. llaa lla2 U 33 1l:22 ~3dace ttnem seama de valorile determinantilor de ordinul doi ce intervin;f2) este dezvoltarea determinantului (1) dupa Hnla rnttt, iar (3) este dezvoltareadeterminantului (1) dupa coloana tntfl.

Un determinant de ordinul al treilea are 32 = 9 elemente asezate pe treiIinii si trei coloane. Elementul a.1 se gase~te pe lima i si coloana j; astfel, ause gaseste pe Iinia a dona ;;i coloana a treia. Elementele alO respectiv ~1' U:!.lb.las se gasesc pe diagonala principaUL

Determinantul de ordinul a1 doilea

ce se obtine suprimtnd linia rntrt *i coloana tntli, adica Hnia ~i coloana pecare se gaseste llu, se numeste minorullui l:tJ' In mod asemanator se definesteminorul unui element oarecare a.i.

Cele .sase proprietati stabillte pentru determlnanjii de ordinul a1 doilease mentin ~i pentru determinanjli de ordinul a1 treilea.

E ~emple1) Sa. celeulam valcarea determinantului

~IA"mD~ 1_: :1. 21; :1 +'[;_:1

= 15 + 1-~ 42 + 4 - 21- 30 = -- 73.Determinantul:3o lost dezvultat dupa linla intii.

65

~ I= 0, fara sli. se desvolte.a+b

.2) Sil. calculim vaJoarea. determinantului (Vandermonde)

1

1111V, = abca l /II ea

Scacem eoloene intii din coloana a doua Qia treia ; conform proprietatii 6, valoarea deter-minantului nil ell schimbi

V.~ I; b~ '~[=II>-a ,-, Ial bl--al r;I-(J1 bl_al r?--a l

Conform proprieta~ii 4, putem da factor eomnn pe (b - a) (c - a), deei

VI = (b---a)(c--o) I 1 1 I= (b-a) (c-a) (c-b).b+a c+a3) Sa SIl erete eil.

\

1 1W3 = a b

b+c c+aDaea adunam lima a dona Ill. a treia, detcrminantnl nu-si s~himbi valoarea :

I 1 1I,. b

a+b+c a+b+c1 I 11111c =(a+b+c) abc = O.

a+b+c 1 1 1

! 3. DETERMINAN'j'I DE ORDINUL "

1. Definitie. Proprietati

Fie a.i' i = 1,2, .. _, n, j = 1, 2, .. '. n, nil numere: ell ajutorui lor saformam un tabel patratic, nurnit matrice,

j llu. ~ll'" ali>A ~ I a" a"... a,.

a..l a..ll . a....

ell n Iinii ;;i n coloane; elementul ajJ se gaseste pe linia i ~j coloana j. Uneiastfel de matrice i se ascciaza un numar numit determinant de ordinul n, carse noteaza II

ICZ:Jl CZ:J.s ~"Clal llas": a"..

a,.l a"s'" a""

~'I .1' i ~ 1,2, "', nau , .J = 1,2, ... , n

.. Determinflllti. Matric

~i care ee,delineste prinI A I = ~ (~1)1+1' a~it ai,i, .,. Q;"I .. ' (I)

surna fiind extinsa la footepermutiuile distinae de ordinul

gtndu-se prin aceasta foate monoamele distinde(l;,i1 Qi,i flo,.;", (2)

ell i, j = 1,2. ", n, I ~i I' fiind numarul de inversiuni al permutarilor(it. fa fA)' Vt. il. ,0' i..). respectiv.

Deoarece, dad permutam tntr-un monom (2) pe G.tall% ell a'f>ia, monomulfamine acelasi, iar suma 1+ I' t~i pastreaaa paritatea, urmeaza ca putemsa De aranjam In asa fe1 ca permutarea Un iI, "', j,,) sau permuta-rea (II' i2, , in) sa fie ordinea natural~, decl

I A I = ~ (_1)f' ali, lI:l;, ' a,.i..sau

11.1 = ~ (~l)l U

Determirum# d

singur, prill IlI'IIUlCeD,.se poatescrie ca 0 expresie liniara in elemente1eprimei liniiD"~ !luAu + a,,A,, + ...+ a,.A,. ~ f; !luAu. (1)

- 1:_1

unde Au. coeficientu1lui au,este 0 suma de produse ina,i de grad n-l, produsecare nu conjin nici un element al primei linii, deci i =F 1.

Rezultatul este adevarat pentru elementele oricarei linii sau coloane,deci putem scrie

D.. = aklAu + anA ll k + ...+ llwtA.." = ~ a.l:IA i k (2)i_I

sau

D.= "auAu + auAi,. + ... + a..tA..k = i Cl;kAik' (3);-1

Spunemea tn(l) avem dezvoltarea determinantului D.. dupa linia tntii, in(2) dupa llnia k. jar In (3) dupa coloana k.

Sigisim pe All' Conform celorspuse mai sus, All este definit deanAn = ~ (-I)I' "t1ll2J ani..= ~1 ~ (-1) I' all', ... a..;.,

deci

Au ~ ~ (-1)" a" . . s; ' (4)unde I' este numarul de inversiuni ale permutarii (1, ill. "', i..). care este egalell numarul de lnversiuni ale permutarii

VII' j~ . . ". i..).deoarece suprlmarea lui 1 na schimba pe I', Expresia (4) a lui An arata diAn este un determinant de ordinul n - I, ill' is, """'i.. lutnd toate valorilelui 2, 3, .. ",n; prin urmare, Au este determinantulde ordinul.a ~ I

IIz2 ll:ls""" ~aSll 'ass' ""as..

a..2 a..S " " " a....

ce se obtine suprimtnd din D.. linia ~i coloana tutti, adica linia ~i coloana pecare se gaseste tl.:tl"

Determinantul Au se numeste complem.entul algebric al lui aU"Sa gasim acum complementuI algebric at lui a, adica pe A.;"Vom proceda la fel ca pentru aU" Vom aduce mai tnttl pe a,i in locul lui all>

ceea ce neceslta i-I st j ~ 1 schimberi de semn, deoarece aceasta opera tiese realizeaza efectutnd i ~ 1 schimbari de linii ~i i-I schimbari de ccloane,deci

69

unde, de data aceasta, djf este determinantul ce se obtine din D.. suprimtndlinia i si coloana j. Determinantul Ali obtinut tn acest mod se nurneste deter-minantul minor al elementului au' '

Revenind acum la dezvoltarea determinantului D.. dupa 0 Iinie saucoloana, avem:

1) D.. = ~la'11 - ~2dlll + ... + (_1)..+1 ~,.l1ln'numita dezvoltarea determinantului D" dupa Iinia tnttl.

2) D. ~ "ulla",ll

70 Determinan#. Matrice

Dezvoltarea unui determinant dupa elernentele unei Hnii sau coloanene permite sa stabilim noi proprietati ale determinantllor.j

Pro p r let ate a 4. Un determinant se tnmulteste ell un numar dacatcate elementele unel linii sau coloane se tnmuljesc ell acel numar.

Acest fapt rezulta imediat din dezvoltarea unui determinant dupe elemen-tete unei linii sau coloane. Daca, de exemplu, consideram dezvoltarea unuideterminant dupa linia tnttl, avem

W. ~ (""'J Au + (""',j Au + ... + (Aa..) A,.o consecinta a acestei proprietati este faptul ca, daca un determinant

are dona linii (coloane) proporjionale, determinantul este nul.p r e p r t e t a't e a 5. Daca lntr-un determinant elernentele unei lInii

sau coloane sint sume de k numere, atund determlnantul se serle ca somade k detenninanji.

s~ pres~pllnem di ele"!entele primei linii ~i stnt sume de dona numere"t. = ali + al ;

D.. = au a,. . .. a".a..1 a,.ll." . a....

determinant care dezvoltat dupa linia tnttl are valoarea

~=~+~)~+~+~~2+"'+~+~~~sau

~2 d...au

D.. = a;lAu + a;2A12 + ... + a~f1Ah' + a;;A ll + a;~A12 + '" + a~~AH"deci

In', --:L a12 a l ..D"~I'a,~ ...",:, ..:.. :: + a"

a..1 all2 . a,... a,.lPentru k 2 se demonstreaza in mod asemanator.

Pro p r- i eta tea 6. Intr-un determinant, daca adunam la elementeleunei linii (sau coloane) elementele celorlalte Iinii (sau coloane) Inmultite cunumere oarecere, deterrninantul nu-sl schlmba valoarea.

Deca in D II = Ia i i 1adunam, de exemplu, la linia tntii elementele linieia doua tnmuljlte cu nurnarul A, obtinem determinantul D;

Ia,,+ Aa"D

-ta".-a",

~2+~1l ... ~n+"Ml2tla2Z ~"

care,

Determinant' fk ordirml n

conform pr oprietajii 5, se descompune tntr-o sumatltl fl:Ia ~" ll:al aa2D~ = an aaa ... a2" +)... an a22

71

dedoi determinantiu,.

~ ~ ... ~" ~ ~ ... ~"deci D~ = D", deoarece ultimul determinant e nul, avlnd linia tntti ~i adoua egale.

Pro p r i eta tea 7. Un determinant este nul daca 0 linie (sau coloana)a sa este 0 comblnafte Uniara de celelalte linii (sau coloane).

Spunem ca in determinantul D. = I ~i I linia intii este 0 combinatieliniara a celorlalte Iinii daca

.

~. = ~ ak,Ak,k~2

i=I,2, ... ,n,

:)...1; fiind numere nu toate nule (adica Ai+ Ai+ ... + A~ ~ 0).Conform proprietajii 5, un astfel de determinant se descompune tntr-o

sumli de n - I determinanti ~i flecare din acesti n - 1 determinanti are doualinii proporfionale, deci toti stnt null.

Apiicalll1) Sa ee ealculese determinantul

o oo

". 0o

a,,1 OM OM 0 ...

numit diagonal; desvcltat dupj, linia intii, obtinemD,,=811D.. - 1

unde D"_l este tot un determinant diagonal, deci D" = tlt1 ~22 . a.....2) Sii. se eulculoze veloeree determinllntului IUl Vandermonde

1 1 1

V,,= " '. ""

a,,-1 0 10- 1 a:- 1, a

punlnd rezultatul sub forma de produa de factori.Inmultim fiecare linie eu tit ~i 0 scadem din cell. urmatoare :

1 1 1 1

0 a-a1 1-1 a.-OlV,,= 0 a.(02- a1) 0.(a,-a1) a,.(a" - al)

..

0 a~-2(tl:I-llt) a;-2(03 -al ) a:-2(a,,-al)

------ ------

Dct_inall#. Matrice

determiJl&nt"'CalC der;volta.t dupi prima coloani di.V.. (l5t, /ls, .. " a,.) = (a2 -lJ:l)(u3 -~) (a.-~)V.._ 1 (a.,~, "', a..), (8)

unde V.._ 1 (al , a,.) este tot un determinen t vandermcnde. Rela-tia (8) eate de fapt 0Iormuls. de reenren~. In mod analog

VII_da., .. OJ a,.) = (~- al) (a. - a,;) ... (a,. - as) V"_I (~, a4 , _, a..),aatfel tneft obpnem

.

V..(lJ:l. tJ,;, , Us) = IT (ai-ai),i>'~l

bJ.!wglndu-se prin II (lij - Oi) produsul tuturor binoamelor (ai - ail,) > 'i, djstincte,f>i~l

en i,j = 1, 2, ... ,n, in numiir de n(n_1) ; Vii eetc diferit de zero data (I.*a,.2

3) Determinantul ell elerrientelc lli; numere ccmplexe,i

eete re&l. Deoareee tJif = aj;, urmeaza clio elementele eimetrloe fatA de diagonalll. principals~t conjugate. Elementele de pe diagonaJa principali lint realo, deoarece ali = ali. Conjugatullui D.. este

Insi D: eete ega! eu Dn, deelD..=D;=D...

Prin urmare, D.. este real.

E2lttnplt1) Sa se ealculeae determinantul

1 2 3 3 5 2 1

D,= ~1 1 3 22 1 3 -1

Adunim eoloana intii inmultitii. en -2, -3, -4 la coloanu a dona, a treia ~i a patra ;mID

1 0 0 0

D. _ 3 -1 -7 -11-1 3 6 6

2-3 -3 -9 1

-: -; -1: [ I:-3-3-9 3

763

Adnnii.m eoloane intii inmultitii. eu -7, -111a colcana a doua ti 110 trela

o 0 I-15 -27 = Hi. 24-1827"", -126.-18 -24

R,,/(.ua lui Laplace 78

2) Si se celculezesinS x,

sin3~sins X:!sins Xi

sinl:l: l cos Xlsine :r."cos ~sin l Z:I cos :l:ssinl Xi cos :l\i

sin :1:1eosl :1:1sin XI cosl Ztsin Xa cosl Xasin :lil. cost :l\i

coae '.I[cos3 :lilCOSS Xaeoae :lil.

Impartind linia intii ell sinS Xl linia a doua eu sinS :lil etc., obtinern

D4 = sine x, sin Bx2 sins:!:s sins x4 , V4 (otg Xt, ctg Xt' etg :!:S, ctg x4 ) ,unde Vi este determinantul lui Vandermonde,

D" = II sin (Xi - ;l:j).

i>i~l

deci

, .

V. = II (etg XJ - ctg Xi) = IIJ>i~1 i>i~l

sin (x,;- XI)sin Xo sin Xi

3) ss so ealculeze valoarea determinantului (circulant)

'""

x,

x""

x"

D" =

"", '.

" '.x,

HSe giise~te D" = II (Xl + eh Xz + eOh Xs + ... + e(n-l) h :rn ) , unde e tate 0 mdiicina

h~Oeomplexii a ecuatiei en = 1.

4. REGULA LUI LAPLACE

1, Determinanti minori de diverse ordine

Am vazut la aliniatul precedent cum se gaseste in dezvoltarea unui deter-minant D.. = I Cl;f I coeficientul lui a.

In continuare, vom cauta sa aflarn coeflcientul lui at,i, ,aloj,' , . ai"j,,'Sa calculam mai intii coefidentul lui anaZ\l' pe care il notam cu A 12; 22'

Avem, din dezvoltarea determinantului D..,

ana211Alll;12 = ~ (-1/ an~lIl;ci.a43. OA' ani.. '

"Deterrninanti. Matricll

unde Us, 1~, ... j.J este 0 permutare a numerelor a 4, "', n, iar 1 estenumarul de inversiuni ale permutarii (1,2, is, h, .'f ill)' care este acelaslell numarul de inversiuni ale permutarli (j:f. i4' "', i,,), deoarece suprimareaelementelor (1, 2)-ou schimba pe I. Prin urmare, A12 ;12 este un determinantde ordinul n - 2, ~i anume

""a" ... as..

A12 :12 a" a..... a..

a" u..4 a..,.

ce se objine din determinantul D" suprimtnd Ilnia tntf ~i a doua, coloanatntii *i a doua, adica tocmai Iinlile *i coloanele pe care se gasesc elemen-tete ~1 *i Gz2.

lovers, dace cautam coeficientul lui AI2 ;12 . din dezvoltarea lui D..,gasim, tn afara de ~laU' *i pe -a12 llz.t . deci A ll: ;12 are coeficient pe

",,[-Utll - a12 ;12 .Determinantu! al2.12 se obtlne din D.., suprimind toate liniite *i coloaneleapartinfnd lui A12.12 Determinantii A12 12, a12.12 se numesc minori com-plementari de ordinul n ~ 2 si 2, respectiv (A12;12 esteminorul complementara1 determinantulul a12;12 ~i reciproc), iar produsul lor a\2:12. A12;12 intervinetn dezvoltarea determinantului D". Dad cautam acum coeficientullui Cl;iaJiV'procedam tn mod asemanator. Aducem mai tntfi pe Cl;i tn locul lui ~1' ceeace necesita i-I + i-I schimbarl de sernn ; aducem apoi pe a tn locullui Usa, ceea ce necesita p - 2 + q - 2 schtmbarl de semn; tn tot:f, i + i ++ p + q schimbari de semn. Coeficientul cautat A1Ji;jv va fi deci

(_l)'+HJiH dill;iQ'

unde di,,:/q este determlnantul de ordinul n- 2 ce se obtine din D.. suprimindtiniile i, p ~i co1oane1e i, q. Invers, dace cautam coeficientu1 lui A1Ji;jq, dindezvoltarea determinantului D" gasim determinantul de ordinul doi

la"a"jcare se objlne din determinantul D", suprtmtnd Iinlile ~i coloanele care aparjlnlui dif':iq. Determinantul dill;jq de ordinul n - 2 se numeste deferminanfulminor a1 determinantului alll;!q, iar

se nurneste complementul algebric at determinantului alll;;q ~i produsu1lor llit>:jq-A i1>:;q intervine tn dezvoltarea determlnantulul D".

Regula lui Lap/nee

In general, dace cautamcoeficientul AIL .p ; 12 ...r> al lui all a22. ' uPI' dind~zvoltarea ~uip.. , ~~~im ca este deter':linantul de ordtnul n - p ce se obtinedin D" suprtmtnd liniile 1, 2, "', P ;;1 coioanele 1, 2, "', p, deci

aptl. f'tl a+1, +2 .. apt!. ..

A I2...";l2,. = apt2..",+1 ap l 2. p t 2 . apt2, ..

a...V+2 .,. an, ..

Invers, daca cautam in dezvoltarea lui D" coeficientul lui AI 2 ... e : I" .. ,J>,gasim determinantul a12 .. ,I': 12.. ,fl

lI:il a 12 , a1fl

au o.c . .. U.Zr>aI2 ...:12 . .1' =

;;i produsul aI2...J>;12 ...p Au ..1';12. J> intervine in dezvoltarea determinan-tului D... Determinantul Al 2 .. P; 12 .. J> se numeste minorul de ordinul n - paldeterminantului a12 ... J>: iIL ..f'

Daca cautam acum coeficientul lui ai,i, aj.i, .. , al p i , din "dezvoltarealui D.., aducem pe ai,i, in locul lui an, pe ai.i 2 in locul lui a:l,2 s.a.m.d., pea;f"V in locul lui ap' ceea ce necesitai 1 + i 2 + ...+ ip + it + i2 + ... + if) - 1 - 2 - ... - p- I - 2 - . .-pschimbarl de semn, deci coeficientul cautat A"i,., .i

v; i, i, . .fp este

,!: (tk-J ik :(_I)t~1 !!J.;,;...;p;i,i, .. iq = AI';2 ... lp;i,i.. Iv '

unde !!J.f,;, ... fp;i,i . ";,, este determinantul de ordinul n - pee se obtine dinD.. suprimind liniile iI' i2, , ip ;;i coloanele iI' i:l, " " ip .

Invers. daca cautam in dczvoltarea lui D.. coeficientullui Ai-,i, ," i1'; i,i, .. .i",gasim determinantul a,,;, ...,p;;, i, ... ;" ce se obtine din D..ell liniile iI' i2, . , ipst coloanele it, i2.' .. , if) ,

Determlnantul ~i,;... ;p; I,;, ' .. iv,se numeste mirwrul de ordinul n - p atdeterminantului U-;,i, . f p ; i,i.... i", iar Ai,i . . ip;i,i... ' se numeste compte-mentul algebric al determinantului 0-;"2" i p :!I;, .. ip;;i produsul

ntervine in dezvoltarea determinantulul. D...

DetermilWllji. MaJrice

2. Regula lui Laplace

Am vazut mai sus ca produsul dintre un determinant minor din D" sieomplementul sau algebric contine numai .termeni ce aparjin lui D". Acestfaptsta la baza demonstraril urmatoarei teoreme, datorita lui Laplace:

Teo rem a lui Lap I ae e. Un determinant este egal eu surna tuturorpreduselor dintre determlnanfii minori Iormatl cu elementele a p Iinii (saucoloane) date en complementele lor algebrice.

Demonstratle. Fie limite 4. ia, i,; minorii ce se pot forma ell acestep linii slnt

~, .. kp Hind p coloane oarecareFie de asemenea

dinD". Numarul lor este c:= __n_'_.pl(n-p)!

A",. .. It/:1:.k . . k"complementele lor algebrlce. Deoarece lZ,;,i i,,:t:..t. .. 1:" difera [lntre ei celpujin printr-o coloana, termenii produselor

eli,.. ',;1:.k, ... I::II AI, ..p;1:11:.. li:J>

stnt dilerlti tntre ei. Fiecare produs contine pI (n- p) ! termeni din D ~ ~i suma(1)

contine 'nl pI (n - p) I = n 1 termeni distincti din D.., deci este egalapl(n.-p)!

cuD,..Regula (I), care dol dezvoltarea unui determinant dupa mlnorli Iormati

cu p Iinii (sau coloane), se numeste regula lui Laplace. Se vede imediat ca dadp = I, objinem dezvoltarea unui determinant dupa 0 linie sau coloana,

E~emple1) Pentrn un determinant de ordinal patm evem urmiitoarea desvoltare dnpg primele

doui Iinii

"""u "u "',

"u "u ... "u=\"" ""I I'" ""1-1"" ::1"u

"" """u "u a2~ alS a"", ~1

, a41 "u "u""

.["."1 + I"" ""1,["" ""I + I"" ""1'["" ""I ~."u aM. an au au

"u "" /lOll au ".

-I;': ""I I"u ::]+/:: ""II"" ::1a. au a. all

Regula lui LapI(lJ;;~ 77

Semnnl prodnsnlni Iall alii \Ull3 U"I ee obpne adunind judicii elcmentclor dean Iln . au aM

pe diagonala prlnelpalj, Ill. unul din minorii ce incervin In produs(_t)1+tH-i-2

"'.(_t?+3HH.

2) Si se ealculese \\

r , d-, , --D

78 Detf1l'minanti. Matricl!

Atunci produsulUtI ~2" IlaJ au ..

oo

oo

-I 0o -I

oo

o

b11 bn binb21 b22 b2,.

o 0 - 1 b"l b..2 b....se poate scrie ca un determinant de ordinul n. Intr-adevar, daca inmultimlinia n + I ell ~l' linia n + 2 cu ~2 s.a.m.d., Iinia 2n ell tl:t,. ~i le adunam toate1a linia intti,tlaca tnmultim- apoi linia n + I ell ~inia n + 2 ellau s.a.m.d. 1ini~~,! ell Uz,. *i Ie adunam toate 1a Iinia a doua 0" in general dadtnmultim lini~n -+ Leu OklO linia n + 2 ell au s.a.m.d., inia 2n ell Ok" ~iadunam totul Ia Iinla k, k = 1, 2, . ", n, obtinem determinantul

o 0 0 ell en'" Chio 0.. . 0 C21 C:!2 .,. Gll lI

0 0 ... 0 Co' C..2 en..A.. B,,=-1 0 0 1>" b" ... b,o

0 -I 0 b" b" ... b,.

0 0 -I bo' bo' .. , booounde Cij = ~'a.i; b~i'_ Daca-l dezvoltam dupa regula lui Laplac~, obtlnem

.-,-1 0 0 0

'a" l'lb" 1~ (-1)"', C"I. 0 -I 0 0 ~ 1c, I.0 0 0 -I

deoarece (-1)"'+" = I.Ob s e r v a t H1) Deoarece un determinant nu-sl schimba valoarea prin transpunere,

obtinem inca trei forme pentru produsul a doi determinanti, dupa cum tnlo-cuim pe I a.l I sau 1bt ; 1 cu transpusii lor 1 . I sau Ihi; I.

2) Produsul a doi determinanti A.., Bm , m n se poate scrie totdeaunaca un determinant de ordinul n, observtnd ca un determinant de ordinul m sescrle ca un determinant de ordinul n. in modul urmator

B~ lB. 0 I 0 c

o_ ",

Rl!gllla lui Laplace 79

uncle

C.._".=

1o

o1

oo

o 0Aplicalii *i exemple1) Daca Xl' ~, . __ , X .. sint radadnile ecuatiei

x .. + a l X,,-l +. + a"_l;1: + all = 0,patratul determinantului Vandermonde V( XI' x" , . , .1"..)

I~, 1 1 S. S,I~:~, x, ". eete S, S.;I:~-1 . x:- 1 8"_1 s;

8"_1

I')

~i ee numeste diseriminantul ecuatiei (1); in V;, 8/< = x~ + x~ +. + x~_ Discriminantuleste diferit de zero numai dacJi. toate radaeinile sint dist.incte. Pentru n = 2, V; cstc discri-minantnl ecuatiei de gradul al doilea X~ + alx + al = 0. lntr-adevar

V~ = 8081- si = 2 (xi + X~)-(Xl + XI)I= (Xl + XI)I _ 4x1 x_ = a~-4al'Pentrn n = 3, V~ = 27/1i + 4a~ este discriminantul ecuatiei x" + a_x -j a, = 0.

2) Se numeste determinant adjunct al determinantului D.. = I 14;I determinantul 6 ..6 .. = IAi;l,

unde Ai; eetc complementul ulgnbric al lui llij. Pactnd pmdusul D.. 6 .. ~i [inind seama derelasiile (A. cap. Ill. 2, at 3)

.

b a"A,tc; = 8;t D..j~1

~aiiAiI.=8ikn.. ,i~1

obtinemD. 0 0 00 D. 0 0

= D:, deci = n:- 1 ,D.. a..= '.0 0 0 D., I Ail I3) Determinantul 6 ..