Analisis Vectorial Fisica

8/18/2019 Analisis Vectorial Fisica

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CURSO FISICA I

ANALISIS VECTORIAL

AUTOR Ing. Renato LunaLA PAZ BOLIVIA


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I. INTRODUCCIÓN•

Es una parte esencial de la matemática útil parafísicos, matemáticos, ingenieros y técnicos.

• Constituye una noción concisa y clara para

presentar las ecuaciones de modelo matemáticode las situaciones físicas

•

Proporciona además una ayuda inestimable en laformación de imágenes mentales de losconceptos físicos.


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II. VECTORES Y ESCALARES1. ESCALARES: Aquellas que para expresarse

necesitan de un número real y sucorrespondiente unidad. Ejm: La masa el tiempo;la temperatura.

2. VECTORES: Aquellas que para expresarsenecesitan de una magnitud, una dirección y unsentido Ejm: La velocidad, el desplazamiento, la

fuerza, etc.

3. TENSORIALES: Aquellas que tiene unamagnitud, múltiples direcciones y sentidos. Ejem:El esfuerzo normal y cortante, la presión


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III. VECTOR• Ente matemático cuya determinación exige el

conocimiento de un módulo una dirección y unsentido.

• Gráficamente a un vector se representa por un

segmento de recta orientado• Analíticamente se representa por una letra con

una flecha encima.

OP


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Elementos de un vector

1. Dirección:

Gráficamente viene representada por la rectasoporte. En el plano por un ángulo y en elespacio mediante tres ángulos


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III. Elementos de un vector 2. sentido: Es el elemento que indica la orientación

del vector . Gráficamente viene representadapor la cabeza de flecha.

3. Magnitud : Representa el valor de la magnitudfísica a la cual se asocia. Gráficamente vienerepresentado por la longitud del segmento de

recta


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IV. Clase de vectores1. Vectores libres : Aquellos que no tienen un

aposición fija en el espacio. Tal cantidad serepresenta por un número infinito de vectoresque tienen la misma magnitud, dirección ysentido.

2. Vectores deslizantes: Aquellos que tienen una ysolo una recta a lo largo de la cual actúan.Pueden representarse por cualquier vector quetenga sus tres elementos iguales ubicado en lamisma recta.

3. Vectores fijos. Aquellos que tienen uno y solo unpunto de aplicación


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V. Algebra vectorial Antes de describir las operaciones de suma, resta,

multiplicación de vectores es necesario definir:

1. Vectores iguales. Aquellos que tienen sus treselementos idénticos

2. Vector opuesto: Aquel vector que tiene la

misma magnitud y dirección pero sentidoopuesto


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Algebra vectorial: Suma vectorial• Considere dos vectores A y B como se muestra.

• El vector suma se puede determinar mediante la regladel paralelogramo o del triángulo .

•

La magnitud de la resultante R se detemina mediante laley de cosenos-

• La dirección mediante la ley de cosenos

2 2

2 cos R A B A B

( )

A R B

sen sen sen


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Algebra vectorial: Resta vectorial• Considere dos vectores A y B como se muestra.

• El vector suma se puede determinar mediante la regladel paralelogramo o del triángulo .

•

La magnitud del vector diferencia D es

• La dirección mediante la ley de cosenos

2 22 2

2 cos( ) 2 cos( ) D A B A B A B A B

( )

A D B

sen sen sen


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Leyes del algebra vectorial1. Conmutatividad.

2. Asociatividad


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Suma de varios vectores

Para sumar varios vectores se utiliza la ley del

poligono. Esto la aplicación sucesiva de la leydel paralelogramo o del triángulo. Es decir


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VI. VECTOR UNITARIO

•

Es un vector colineal con el vector original• Tiene un módulo igual a la unidad

• Se define como el vector dado entre su modulocorrespondiente es decir

̂A

Ae

A

̂A A A e


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VECTOR UNITARIOS RECTANGULARES• A cada uno de los ejes coordenado se le asigna

vectores unitarios

• Cada uno de estos vectores unitario a tienemódulos iguales a la unidad y direccionesperpendiculares entre sí.

ˆˆ ˆ, ,i j k

ˆˆ ˆi j k


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VII. DESCOMPOSICIÓN VECTORIALCualquier vector puede descomponerse en infinitas

componentes. El único requisito es que La suma de estacomponentes nos de el vector original. Ladescomposición puede ser en un plano u en el espacio.

1. EN DOS DIRECIONES PERPENDICULARES EN ELPLANO


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DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL1. EN DOS DIRECIONES PERPENDICULARES EN EL

PLANO

ˆ ˆ

ˆ ˆcos

ˆ ˆ(cos )

ˆ

ˆ ˆˆ

(cos )

x y

x y

A

A

A A A

A A i A j A A i Asen j

A A i sen j

A Ae

e i sen j

2 2

x y A A A

y

x

A

Atg


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DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL2. EN DOS DIRECIONES NO PERPENDICULARES EN

EL PLANO.

Para ello trace rectas paralelas y a las originales quepasen por el extremo del vector original formándose unparalelogramo cuyos lados son las componentes

a a b b A A A


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DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL3.En el espacio. Cualquier vector puede

descomponerse en tres componentes


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DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL3.En el espacio.

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆ

cos cos cosˆˆ ˆ(cos cos cos )

ˆ

ˆˆ ˆˆ (cos cos cos )

x y z

x y z

A

A

A A A A

A A i A j A k

A A i A j A k A A i j k

A Ae

e i j k

22 2 2

x y z A A A A

cos x A

A

cos

y A

A

cos Az A


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VECTOR POSICIÓN

ˆˆ ˆr OP xi yj zk


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VECTOR POSICIÓN RELATIVO

1 2 1 2 1 2ˆ

ˆ ˆ( ) ( ) ( )r x x i y y j z z k


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VIII. PRODUCTO ESCALAREl producto escalar o producto punto de dos

vectores A y B denotado por y expresado Amultiplicado escalarmente B, se define como elproducto de las magnitudes de los vectores A yB por el coseno del ángulo que forman ellos.


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Propiedades del producto escalar 1. El producto escalar es conmutativo

2. El producto escalar es distributivo

3. Producto de un escalar por el producto escalar

4. Producto escalar entre la suma de dos vectorespor un tercer vector


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INTERPRETACIÓN DEL PRODUCTO ESCALAR

Geométricamente esta situación se muestra en la

figura


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IX. PRODUCTO VECTORIALEl producto escalar o producto cruz de dos vectores A y B,es un tercer vector C el cual es perpendicular al plano

formado por los dos vectores y cuya magnitud es igual alproducto de sus magnitudes multiplicado por el seno delángulo entre ellos y cuyo sentido se determina mediante laregla de la mano derecha. La notación del producto cruz es


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REGLA DE LA MANO DERECHAPrimera forma: Tome la mano derecha y oriente el dedo índice

con el primer vector y el dedo corazón el segundo vector, el

dedo pulgar extendido nos da el vector producto de ambos.Segunda forma: curve los dedos de la mano derecha

tendiendo a hacer girar al primer vector hacia el segundo; eldedo pulgar extendido nos da el vector producto.


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PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL1. El producto vectorial no es conmutativo

2. El producto vectorial es distributivo

3. Multiplicación de un escalar por el producto vectorial.

4. Multiplicación vectorial de vectores unitarios

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