Analisis Sismico de Estructuras - Dinamica Estructural

Dinamica Estructural

GMC

Analisis Ssmico de Estructuras:


Jose M.a Goicolea

Depto. Mecanica de Medios Continuos

y Teora de Estructuras

17/03/03

J.M. Goicolea Analisis Ssmico de Estructuras


I. SISTEMAS LINEALES CON 1 G.D.L.

Oscilador Armonico Simple sin

Amortiguamiento

k m

x

mx = fk(x)

fk(x) = kx V (x) = 12kx2

Conservacion energa:

E = T + V =12mx2 +

12kx2 =

12kA2 (1)

donde A es la amplitud maxima (x = 0).



Integracion de la ecuacion

Despejando x en (1):

x =

k

m(A2 x2)

k

mdt =

dxA2 x2 ,

Integrando, denominando 0def=k/m, y tomando como

condicion inicial x = 0 para t = 0,

0t = arc sen( xA

) x(t) = A sen(0t).

En un caso general (condiciones iniciales genericas x0, x0):

x(t) = A sen(0t+ ).



Oscilador con Amortiguamiento

k

x

c

mfc = cx mx+ cx+ kx = 0

Si c < ccrit = 2km,

x(t) = Aec2m t sen(Dt+ )

siendo Ddef= 0

1 2; c = 20m. Alternativamente:

x+ 20x+ 20x = 0 (2)

x(t) = Ae0t sen(Dt+ ) (3)

Las constantes (A, ) se calculan mediante las condicionesiniciales (x0, x0).



Amortiguamiento

Medida del amortiguamiento: decremento logartmico (),logaritmo del cociente de amplitudes maximas en dos ciclos

sucesivos.

Amplitud ciclo i: ui = Ae0ti.

ti+1 = ti +2piD

= ln(

uiui+1

)=

2pi1 2 2pi

(suficientemente aproximado si 20%).



Oscilaciones Forzadas

Ecuacion:

mx+ cx+ kx = p(t) x+ 20x+ 20x =p(t)m

. (4)

Solucion:

x(t) = xh(t) + xp(t),

xh(t) = Ae0t sen(Dt+ );xp(t) : solucion particular. (5) Excitacion armonica

p(t) = p0 sent xp(t) = x0 sen(t p) (6)

x0 =p0

(k m2)2 + c22 =p0/k

(1 2)2 + 422 . (7)

siendo def= /0.



Factor de Amplificacion Dinamica

Deformacion estatica: xest = p0k.

Factor de Amplificacion Dinamica:

x0 = Adxest, Ad =1

(1 2)2 + 422 . (8)

1. =

0 1: Ad 0; x0 p0

m2. (controlado por m).

2. =

0 1: Ad 1; x0 xest = p0

k. (controlado por k).

3. =

0 1: Ad maximo (Resonancia);

x0,r =p0c0

; r = 01 22. (controlado por c).



Factor de Amplificacion Dinamica

0

1

2

3

4

5

6

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Factor

derespuestaen

desplaz.,Ad

/0

= 0.01 = 0.05 = 0.10

= 0.20

= 0.70



Resonancia. Espectro de Respuesta.

Despreciando la solucion de la homogenea xh(t) 0,

x(t) =p0kAd() sen(t p); (9)

x(t) =p0km

Av() cos(t p); (10)

x(t) = p0mAa() sen(t p). (11)

Donde Av = 0Ad; Aa =0Av =

(0

)2Ad.

En grafica (ln(/0), lnAv): Ad = cte.: lnAv = ln(/0) + lnAd, recta pendiente +45

Aa = cte.: lnAv = ln(/0) + lnAa, recta pendiente 45



0.1

1

10

0.1 1 10

Factor

derespuestaen

velocidades,Av

/0

= 0.01 = 0.05 = 0.10

= 0.20

= 0.70

escala medida Ad escala medida AaAa = constante; Ad = constante;



Excitacion en la base. Ecuaciones

u(t)m

ub(t)

uT (t) = ub(t) + u(t)

muT = f(t) = ku(t) cu(t)mu+ cu+ ku = mub(t)

Excitacion armonica:

ub(t) = ub0 sen(t)

ub = 2ub0 sen(t).

Equivale a fuerza aplicada (fuerza inercial, ficticia):

p(t) = p0 sent; p0 = mub02 .



Excitacion en la base. Ecuaciones (2)

Desplazamientos relativos

u(t) =m2ub0

kAd sen(t p) = ub0 (/0)2Ad sen(t p)

Son los que generan los esfuerzos estructurales

Desplazamientos totales

uT = ub + u = ub0 sen(t) + ub0 (/0)2Ad sen(t p)



Excitacion en la base. Transmisibilidad.

Sea movimiento en la base ub(t) = ub0 sent. Aceleraciones:

uT (t) = ub + u = ub0[sen(t) + 2Ad sen(t p)

]; def=

0.

Se define la Transmisibilidad como TR def= uT0ub0

;

Qmax,base = m TR; TR =

1 + 422

(1 2)2 + 422

= 0

0: TR 1, uT0 ub0.

= 0

: TR 0, uT0 0.

Si = 0

>2, amortiguamiento aumenta respuesta!



Excitacion en la base. Transmisibilidad.

0.1

1

10

100

0.1 1 10

Transmisibilidad,TR=

uT0

ug0

/0

= 0.01

= 0.05

= 0.10

= 0.20

= 0.70



Impulso Instantaneo: de Dirac

En t = , se define mediante:(t) = 0 t 6= lmt (t) =; + (t ) dt = 1 (12)

1/

t t

0

f(t)

Prop. fundamental: + g(t)(t ) dt = g()J.M. Goicolea Analisis Ssmico de Estructuras


Respuesta a funcion impulso.

Impulso de una fuerza: I def= t1t0f(t)dt = m(v1 v0) = mv.

Fuerza impulsiva o impulso instantaneo: fI(t) = I(t ) Sistema inicialmente en reposo (v0 = 0): impulsoinstantaneo equivale a velocidad inicial v+0 = v0 = I/m,seguida de vibracion libre.

Para impulso unidad (I = 1) en t = , sustituyendo envibracion libre (3) las C.I. (x0 = 0, x0 = 1/m) resultaA = 1mD , = 0:

h(t ) = 1mD

e0(t) sen(D(t )) (t > ) (13)

(funcion elemental de respuesta a un impulso unidad)



Respuesta en el tiempo: Convolucion

f(t)

t

f()d

Efecto de f() cualquiera:superposicion lineal de impul-

sos elementales, dI = f() d ; Respuesta (en el instante t)a un impulso elemental (en el

instante ): h(t )f() d Respuesta a f() cualquiera: suma de impulsos elementales,

x(t) = t

h(t )f() d

= t

f()mD

e0(t) sen(D(t )) d(14)

Incluye respuesta en regimen transitorio



Ciclo de histeresis en amortiguamiento viscoso

Energa disipada por las fuerzas internas: (fint = ku cu)en un ciclo del regimen permanente, u(t) = u0 sen(t p):

ED = 2pi/0

fintudt

= cu20 2pi/0

[cos2(t p)

+12sen(2t 2p)] dt

= picu20 = 2pi

0ku20

ku0

f

ku0

uu0 u0

El resorte (fk = ku) no desarrolla trabajo. ED depende de la frecuencia !



Amortiguamiento Histeretico

Buscamos ED independiente de , mas acorde conresultados experimentales en vibraciones estructurales.

Tomamos c = k

fD = ku:

ED = piku20 = 2piES0 (siendo ES0 =12ku20) (15)

Mas realista para materiales estructurales, pero masincomodo para resolver analticamente.

Amortiguamiento viscoso equivalente: centrado en = 0,

=c

2m0=

2; = 1 eq = 2 (16)



Funcion de Respuesta Compleja (I)

Carga definida como funcion compleja:p(t) = p0eit = p0(cos(t) + i sen(t)) (17)

(solo tiene validez fsica la parte real, p0 cos(t))

Respuesta: u(t) = u0eit = u0(cos(t) + i sen(t)), con u0 C. Derivando: u = iu; u = 2u, luego:mu+cu+ku = p(t) u0eit (m2 + ic + k)

= Z(), impedancia

= p0eit (18)

Otra forma de expresar Z():

Z() =[(1 2) + 2i] k, ( =

0

). (19)



Funcion de Respuesta Compleja (II)

Funcion de Respuesta Compleja o Admitancia: H() C,

u0Z() = p0 u0 = 1Z()

p0 = H()p0

H() =1/k

(1 2) + 2i (20)

El modulo define la amplitud de la respuesta:

|H()| = 1/k(1 2)2 + 422 = Ad

1k

(21)



Rigidez Compleja

Sistema con amortiguamiento histeretico, c = k/.En notacion compleja,

mu+(k

) uiu +ku = p0eit

mu+ k(1 + i) k

u = p0eit (22)

Rigidez compleja: k = k(1 + i) En este caso, la funcion de respuesta compleja es:

H() =1

k(1 + i) +m2=

1/k(1 )2 + i (23)



Sistemas con N G.D.L.: Ecuaciones

[M]{u}+ [C]{u}+ [K]{u} = {p(t)}mipup + cipup + kipup = fi, i, p = 1, . . . N

Ejemplo:

k2, c2m2

k1, c1m1

k3, c3m3

u1 u2 u3

[M] =(m1 0 0

0 m2 00 0 m3

); [C] =

( c1+c2 c2 0c2 c2+c3 c30 c3 c3

); [K] =

(k1+k2 k2 0k2 k2+k3 k30 k3 k3

)



Sistemas con N G.D.L.: Propiedades

[M]: matriz de masa; simetrica y > 0.

[C]: matriz de amortiguamiento viscoso; 0.[K]: matriz de rigidez; simetrica y > 0.

Linealidad: si {u1} solucion de {f1}, {u2} solucion de {f2},entonces:

{u1}+ {u2} solucion de {f1}+ {f2}



Vibraciones libres sin amortiguamiento

Ecuaciones del movimiento (acopladas):

[M]{u}+ [K]{u} = {0}mipup + kipup = 0, i, p = 1, . . . N

Buscamos solucion del tipo {u(t)} = < ({a}Ceit).{a} RN ;C C, C = D + Ei, (D,E R);eit = cos(t) + i sen(t).

< (Ceit) = D cos(t) E sen(t)) = B cos(t )



Analisis modal

Sustituyendo en la ecuacion:

{u} = i{a}Ceit; {u} = 2{a}Ceit;(2[M] + [K]) {a}Ceit = {0}Para que exista esta solucion, {a} y deben cumplir:(2[M] + [K]) {a} = {0}Se plantea un problema de autovalores generalizado, en

funcion de = 2:

[K]{a} = [M]{a}(Podra convertirse en un problema de autovalores estandar,

del tipo [A]{a} = {a}, mediante [A] = [M]1[K], pero estollevara a perder la propiedad de simetra.)



Analisis modal (2)

Condicion para la existencia de solucion no trivial ({a} 6= {0})(ecuacion caracterstica):

det(2[M] + [K]) = 0

Polinomio de grado N en . Al ser [M] y [K] simetricas y> 0, se obtienen N autovalores reales y positivos.

Para cada autovalor k, resolviendo el problema deautovalores, se obtiene un autovector asociado {ak}. Estequeda definido a falta de una constante (si {ak} esautovector, {ak} tambien lo es). Se denomina:

k =k: frecuencia propia;

{ak}: modo normal de vibracion.



Analisis modal (3)

Solucion general combinacion lineal de los N modos:

{u(t)} =Nk=1

{ak}Bk cos(kt k),

donde (Bk, k) son 2N constantes que se obtienen con las 2Ncondiciones iniciales ({u0}, {u0}). Ortogonalidad de los modos normales de vibracion:((Modos correspondientes a frecuencias propias distintas son

ortogonales respecto de la matriz de masa))

{ak}T[M]{al} = 0 si k 6= l. Masa modal:

Mkdef= {ak}T[M]{ak} 6= 0 (= 1 : ((normalizados)))



Analisis modal (4)

Definimos la matriz modal como aquella que tiene por filaslos modos normales de vibracion:

[A] =

{a1}T{a2}T

{aN}T

= [aij ]

La matriz modal diagonaliza simultaneamente a lasmatrices de masa y rigidez:

[A][M][A]T = diag(M1,M2, . . .MN )

[A][K][A]T = diag(21M1, 22M2, . . .

2NMN )



Analisis modal (5)

La matriz modal permite un cambio de variables, de lascoordenadas geometricas ({u}) a las coordenadas normales({x}). Estas no son mas que las amplitudes, variables con eltiempo, de los modos de vibracion:

{u(t)} = {a1}x1(t) + {a2}x2(t) + . . .+ {aN}xN (t) = [A]T{x}.

Cambiando a las coordenadas normales y premultiplicandopor [A], las ecuaciones quedan desacopladas:

Mkxk + 2kMkxk = 0, k = 1, . . . N



Analisis modal (6)

Descomposicion modal espectral de M, K

M =Nk=1

1Mk

(Mak)(aTkM); K =Nk=1

2kMk

(Mak)(aTkM)

Descomposicion modal espectral de M1, K1

M1 =Nk=1

1Mk

akaTk ; K1 =

Nk=1

12kMk

akaTk



Oscilaciones libres con amortiguamiento

Sistema de ecuaciones (acopladas):[M]{u}+ [C]{u}+ [K]{u} = {0}

mipup + cipup + kipup = 0, i, p = 1, . . . N

Si Amortiguamiento de Rayleigh ([C] = [M] + [K]):[A][C][A]T = diag(211M1, 222M2, . . . 2NNMN )

Haciendo el cambio a coordenadas normales, ecuacionesdesacopladas:

Mkxk + 2kkMkxk + 2kMkxk = 0, k = 1, . . . N

Solucion general:

{u(t)} =Nk=1

{ak}Bkekkt cos(D,kt k).



Vibraciones forzadas

Sistema de ecuaciones (acopladas):

[M]{u}+ [C]{u}+ [K]{u} = {p(t)}mipup + cipup + kipup = pi(t), i, p = 1, . . . N

Solucion general: sol. general homogenea + sol. particularcompleta:

{u(t)} = {uh(t)}+ {up(t)} Sistema con amortiguamiento: lmt{uh(t)} = 0. Regimen permanente (para excitacion periodica):lmt{up(t)}



Vibraciones forzadas (2)

Suponemos excitacion definida como

{p(t)} = {s}p(t)

({s} vector de excitacion; p(t) variacion temporal de laexcitacion)

Realizando la descomposicion modal:

{u} = [A]T{x} =Nk=1

{ak}xk(t);

[A][M][A]T{x}+ [A][C][A]T{x}+ [A][K][A]T{x} = [A]{s}p(t)



Vibraciones forzadas (3)

resultan N ecuaciones desacopladas,Mkxk + 2kkMkxk + 2kMkxk = akpspp(t)

Pk(t)

k = 1, . . . N

Dividiendo por las masas modales Mk,xk + 2kkxk + 2kxk =

1Mk

akpsp k

p(t) k = 1, . . . N (24)

Pk(t) se denominan fuerzas modales, y los terminosk = 1Mk {ak}T{s} se denominan coeficientes de participacionmodal (Coeficientes de las fuerzas modales por ud. de masa

modal). Determinan las amplitudes modales xk(t). No ofrecenuna definicion intrnseca, dependen del tipo de normalizacion

elegida para los modos de vibracion.



Descomposicion modal de la excitacion

El vector de excitacion {s} se puede descomponer comosuma

{s} =Nn=1

{sn} =Nn=1

n[M]{an},

Es inmediato comprobar que la componente {sn} soloproduce respuesta para el modo n (por la ortogonalidad

modal, {am}T{sn} = 0 si m 6= n). La descomposicion en las componentes modales {sn} nodepende de la normalizacion elegida, es intrnseca.

La componente del modo n de la excitacion produce lacomponente modal n del desplazamiento respuesta:

{sn}p(t) = n[M]{an}p(t) = {un(t)} = {an}xn(t)



Descomposicion modal de la excitacion (2)

Fuerzas estaticas equivalentes: aplicadas de forma estaticaa la estructura, producen los mismos esfuerzos que la

excitacion dinamica

{fn(t)} = [K]{un} = [K]{an}xn(t)= 2n[M]{an}xn(t)

=2nn{sn}xn(t)

(25)

Los valores de las amplitudes modales xn(t) se calculan delas ecuaciones modales de 1 G.D.L. (24):

xn + 2nnxn + 2nxn = np(t) n = 1, . . . N




El maximo desplazamiento obtenido de estas ecuacionesmodales, como se vio en (8), puede determinarse como:

xn,0 = xestn Ad(n) (26)

Si p0 = max[p(t)], el desplazamiento estatico es: xestn =np02n

El factor de amplificacion dinamico Ad(n) depende de lavariacion temporal de la excitacion p(t) y de la frecuenciapropia del modo considerado, n. Para el caso particular de

una excitacion armonica pura de frecuencia , vimos que su

valor es (en funcion de = /n):

Ad =1

(1 2)2 + 422 .




Suponemos ahora una determinada componente de larespuesta que interesa determinar, r(t) (p. ej. un esfuerzocortante, un flector, el desplazamiento de un punto

determinado, etc.).

El valor de r(t) podra ser determinado a partir de lasfuerzas estaticas equivalentes (25) (con dependencia lineal de

las mismas). La componente de r(t) debida a la componenten de la excitacion es decir, {sn}p(t) es rn(t), siendor(t) =

Nn=1 rn(t). Sea r

estn la respuesta estatica (debida a

{sn}). Considerando (25)3 y la linealidad de la respuesta, severifica:

rn(t) = restn2nn

xn(t) (27)




Sea rn,0 el maximo valor de la respuesta debida al modo n,que provendra de la maxima amplitud modal xn,0 (26).

Sustituyendo en la ecuacion (27),

rn,0 = restn2nn

(np02n

Ad(n))

xn,0 = xestn Ad(n)

= restn p0Ad(n). (28)

La respuesta maxima queda definida como producto de:El factor constante p0 (maximo de p(t));

restn , respuesta estatica a la componente {sn};Ad(n), amplificacion dinamica del modo n;esta amplificacion sera 1 para n altos, 1 para nresonantes, y 0 para n bajos.




Teniendo en cuenta la respuesta estatica totalrest =

Nn=1 r

estn , cabe definir unos factores de contribucion

modal (Chopra, 1995):

rn =restnrest

. (29)

Estos factores de contribucion modal rn definen lacontribucion estatica de cada modo en la respuesta

estructural para la componente que se pretende calcular, r(t).A diferencia de los denominados factores de participacion

modal n, no dependen de la normalizacion que se hayallevado a cabo en los modos. Su suma es la unidad,N

n=1 rn = 1.



Vibraciones por movimiento de la base

Descomposicion mov. base + mov. rela-tivo:

{uT } = {ub}+ {u}{ub} = {}ub(t)

{}: (vector de influencia).En este caso (2D),

{} = {x} = (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0)T

Las ecuaciones resultan:

um4

ub(t)

m3

m2

m1

[M]{u}+ [C]{u}+ [K]{u} = [M]{}ub(t)mipup + cipup + kipup = mippub(t), i, p = 1, . . . n



Vibraciones por movimiento de la base (2)

Vectores de influencia:Desplazamientos estaticos en cada

GDL para un movimiento unitario de la

base. Si el apoyo isostatico, son

simplemente los desplazamientos

cinematicos.

ub(t)

u2

u3 u4u1

{x}T = (1, 1, 0, 0)

b(t)

m1

m2

m3

m4

{}T = (y1, y2, y3, y4)




Vectores de influencia en caso general (3D, con 6 GDL pornodo): para cada nodo I,

{xI}T =(1 0 0 0 0 0

){yI}T =

(0 1 0 0 0 0

){zI}T =

(0 0 1 0 0 0

){xI }T =

(0 zI yI 1 0 0

){yI }T =

(zI 0 xI 0 1 0

){zI }T =

(yI xI 0 0 0 1

)(siendo (xI , yI , zI) las coordenadas relativas del nodo Irespecto a la base).




Cortante Qx en la base, como respuesta a un movimientoimpuesto (ssmico) en direccion x de la misma: se obtiene

tambien mediante el vector de influencia {x}:

Qx = {s}T{x} (30)

Componente modal n de cortante Qx:

Qx,n = {sn}T{x} = xn{an}T[M]{x}; (31)

teniendo en cuenta la definicion de xn, para la excitacion quenos concierne: xn =

1Mn{an}T{s} = 1Mn {an}T[M]{x}, resulta

Qx,n = xn(xnMn)

2 = (xn)2Mn

def= Mxeff,n. (32)




La Masa efectiva del modo n en direccion x, Mxeff,n, definela contribucion de dicho modo al cortante en la base en dicha

direccion, para una aceleracion unitaria de la base.

La definicion realizada de masa efectiva es intrnseca,independiente de como se hayan normalizado los modos.

La suma de las masas efectivas para todos los modos es lamasa total de la estructura (salvo la masa asignada a los

nodos de la base):Nn=1

Mxeff,n =Mx.

Por tanto, si el cortante en la base es una variablerelevante, el numero de modos debera ser tal que su masa

efectiva sea suficientemente proxima a la total (p.ej. 90%).




Momento en la base M (caso 2D), debido a movimiento xde la base ({s} = [M]{x}):

M = {s}T{} La componente debida al modo n es

M,n = {sn}T{} = xn{an}T[M]{}

=1Mn

({an}T{s}) {an}T[M]{}=

1Mn

({an}T[M]{x}) ({an}T[M]{})=Mnxn

n

Altura efectiva modo n: heff,n def= M,nQx,n

=nxn

.



Excitacion en apoyos multiples

Suponemos excitacion ssmica distinta en Nb apoyos:{ub} = (ub,1, ub,2, . . . ub,Nb)T

ub,1

ub,2 ub,3

ub,4

Particionamos vector de desplazamientos:uTub

,siendo uT los desplazamientos (totales) en los N g.d.l.estructurales, y ub los Nb desplazamientos ssmicos impuestos.



Excitacion en apoyos multiples (2)

Ecuacion matricial (particionada):M MbMTb Mbb

uTub+

C CbCTb Cbb

uTub

+

K KbKTb Kbb

uTub =

0pb(t) (33)

Descomposicion de desplazamientos estaticos + dinamicos:uTub =

usub+

u0




us: desplaz. estaticos en estructura debidos a mov.impuesto ub(t). Deben verificar: K Kb

KTb Kbb

usub =

0psb (34)

(psb = 0 si los apoyos son isostaticos).

Desarrollando primera fila de expresion matricial anterior:Kus +Kbub = 0 us = K1Kbub = ub. (35)

Matriz de influencia (N Nb): una columna por cadagrado de libertad impuesto, [] = [1|2| . . . |Nb ]:

us(t) =Nbl=1

lub,l(t) = ub(t). (36)




Desarrollando primera fila de expresion matricial (33):

Mu+Cu+Ku

= (Mus +Mbub) (Cus +Cbub) = peff(t)

(Kus +Kbub = 0

) (37)

Teniendo en cuenta que las fuerzas de amortiguamientoson (generalmente) pequenas, y que la masa asociada a los

nodos de las bases moviles es pequena, la fuerza ssmica

efectiva puede simplificarse:

peff(t) = Mus = Mub(t) = Nbl=1

Mlub,l(t). (38)


Analisis Sismico de Estructuras - Dinamica Estructural

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