Analisis Pseudo tridimencional

Ingeniería Sismorresistente Raúl Zaradnik Matrices de rigidez e inercia pseudos-tridimensionales 1 de 11

Matrices de rigidez e inercia pseudo-tridimensionales.

1 Matriz de rigidez pseudo-tridimensional Para ensamblar la matriz de rigidez de un modelo estructural pseudo-tridimensional es posible partir de las matrices de rigidez de sus elementos constitutivos aislados o bien a partir de subestructuras. Si se adopta el criterio de separar los elementos, basta con definir sus matrices de rigidez en coordenadas locales tridimensionales y tras el ensamblado, obtener la matriz de rigidez tridimensional de todo el modelo estructural. Este tratamiento, ampliamente tratado en la bibliografía, no será abordado en este trabajo. Sin embargo, es útil establecer un procedimiento que permita obtener una matriz de rigidez aproximada a la tridimensional a partir de conocer las matrices de rigidez de las subestructuras. Se considera en este trabajo, que cada plano resistente del modelo estructural espacial es una subestructura, para la cual es relativamente simple determinar su matriz de rigidez en coordenadas locales, propias de la subestructura.

1.1 Hipótesis para la formación de la matriz de rigidez

El modelo estructural posee elementos horizontales de rigidez infinita en coincidencia con los niveles y

Tales planos de rigidez infinita vinculan a todos las subestructuras de ese nivel.

Así, en lo subsiguiente, se ha de considerar que jK es la matriz de rigidez lateral de la subestructura o

plano resistente j, que es de orden “nxn”, donde “n” es el número de niveles del plano resistente j. Está claro que el modelo estructural completo puede tener un número “N” de niveles, con la condición: (Ec. 1) Nn Ahora, se ha de ensamblar el vector de movimientos del centro de masas del nivel i, mediante:

(Ec. 2)

i

yi

xi

i V

V

V

En este vector, xiV representa la componente del desplazamiento del centro de masas del nivel i en la

dirección x, respecto al sistema global; yiV representa la componente del desplazamiento del centro de

masas del nivel i en la dirección y, respecto al sistema global; y i representa el giro del centro de masas

del nivel i, respecto al mismo sistema global. Debe aclararse que si bien se tratan de analizar los desplazamientos del centro de masas del nivel i, no se considera que la masa se haya concentrada, sino que se toma ese punto como representante del movimiento del nivel i.


Como consecuencia del movimiento del centro de masas del nivel i, se produce un desplazamiento lateral del plano j en el mismo nivel i, una distancia jid , que puede calcularse mediante:

(Ec. 3) iT

jiji Vbd

siendo:

(Ec. 4)

ij

j

j

ji

r

senb )(

)cos(

El ángulo j es el ángulo que forma la proyección del plano resistente j respecto al eje X del sistema

global, en el nivel i.

Al mismo tiempo, la componente ijr (que posee signo) indica la distancia, en el nivel i, entre el plano

resistente j y el origen de coordenadas en el nivel i. Para calcular de la distancia ijr se emplea la

ecuación:

(Ec. 5)

2

21

2

21

121212

iiii

iiicmiiij

uuvv

uvuuvvur

en la cual:

(Ec. 6) iii vuP 111 ;

representa las coordenadas de un punto del plano resistente j en el nivel i, mientras que

(Ec. 7) iii vuP 222 ;

representa las coordenadas de otro punto del plano resistente j en el nivel i Se considera que el signo positivo en las deformaciones del plano resistente j tiene la misma dirección

del vector que une los puntos iii vuP 111 ; y iii vuP 222 ; .

Así mismo, el ángulo ji que forma el plano resistente j en el nivel i respecto al eje global X, se puede

calcular a partir de:

(Ec. 8)

12

12

uu

vvarctgji

En algunos textos, la distancia ijr se determina respecto al centro de masas del nivel i, pero esto trae

algunas consecuencias al momento de ensamblar la matriz de inercia del modelo estructural.


Figura 1 Esquema del plano resistente j y los ejes globales.

Si ahora, se considera la subestructura completa, por ejemplo el plano resistente j, los desplazamientos de todos sus niveles (pero en el mismo plano j) en relación a la deformación del modelo estructural, se calcula por medio de:

(Ec. 9) Gjj uBD

El vector jD que representa los desplazamientos el plano resistente j, posee "n" filas, porque agrupa

un desplazamiento por nivel, mientras que el vector Gu que representa los desplazamientos del

modelo estructural completo, posee "3N" filas, debido a que agrupa por cada nivel del modelo

estructural, el desplazamiento xiV del centro de masas según el eje X global, el desplazamiento yiV del

centro de masas según el eje Y global y la rotación i del centro de masas.

En este instante debe aclararse que los ejes globales (X, Y, Z) pueden materializarse en la realidad como ejes coordenados tridimensionales, para todo el modelo estructural. Entonces, la rotación del centro de

masas se evalúa en el origen de coordenadas. Algunos autores determinan el vector Gu referido a los

diversos centros de masas, así el desplazamiento Xi es el desplazamiento del centro de masas según un

eje paralelo1 al eje X global, el desplazamiento Yi es el desplazamiento del centro de masas según un

eje paralelo al eje Y global y la rotación i del centro de masas se evalúa en el mismo punto. Esto trae

como ventaja la simplicidad al constituir el vector de acciones externas, tal como se analiza posteriormente.

1 Por esta razón no se utiliza la notación de la ecuación 2.


Volviendo al problema, la matriz jB debe estar constituida por "n" filas y "3N" columnas:

(Ec. 10)

T

jn

T

j

T

j

j

b

b

b

B

...000000

.........

...000

000...000

2

1

Al mismo tiempo, se puede considerar que debido a fuerzas ficticias jF actuando sobre el plano

resistente j aparecen los desplazamientos jD , tal que se cumple:

(Ec. 11) jjj DKF

Ese vector jF representaría un peine de acciones sobre el plano resistente j, que provocan las

deformaciones jD .

De la misma forma, en relación al sistema global, es posible establecer que un vector de acciones

externas GF provoca en el modelo una deformación Gu , relacionadas mediante:

(Ec. 12) GGG uKF

Desde ya, la mayoría de los códigos en vigencia acepta que las fuerzas horizontales se aplican en el centro de masas de cada nivel, y si el eje global Z no coincide con el mismo, deberán introducirse correcciones en las componentes “momentos torsores” de cada nivel. Del Teorema de la Contragradiencia en relación a la ecuación 9:

(Ec. 13) Gjj uBD

podrá deducirse:

(Ec. 14) j

T

jGj FBF

El vector GjF representa al vector jF expresado en el sistema global. Si existen "m" planos

resistentes o subestructuras:

(Ec. 15)

m

j

j

T

jG FBF1

Este vector GF viene definido por los Códigos en vigencia bajo el nombre de “Peine de Acciones

Laterales” o “Peine de Acciones Sísmicas”, y es especialmente importante realizar las correcciones en los componentes de los momentos torsores, debido al corrimiento del punto de aplicación desde el centro de masas al origen de coordenadas.


A partir de la ecuación 15:

(Ec. 16) G

m

j

jj

T

j

m

j

jj

T

j

m

j

j

T

jG uBKBDKBFBF

111

Y considerando la ecuación 12, se deduce:

(Ec. 17)

m

j

jj

T

jG BKBK1

Esta es la matriz de rigidez de un modelo estructural pseudo-tridimensional determinado a partir de las matrices de rigidez de sus subestructuras o planos resistentes, de amplia aplicación en los métodos estáticos de distribución de fuerzas horizontales.

1.2 Uso práctico de la matriz de rigidez pseudo-tridimensional para la distribución de fuerzas sísmicas.

Una vez evaluada la matriz GK y definido el vector de acciones externas por medio del código en

vigencia, se determinan las deformaciones del modelo estructural por medio de:

(Ec. 18) GGG FKu1

y a partir de la ecuación 13:

(Ec. 19) GGjj FKBD1

aunque en realidad para el proceso de distribución de fuerzas horizontales basta con determinar las fuerzas equivalentes de cada plano resistente por medio de:

(Ec. 20) GGjjj FKBKF1

Para calcular una matriz de deformaciones globales que considere todas las combinaciones de acciones externas exigidas por el código de aplicación se hace:

(Ec. 21) gMggGG FFFK ...21

1

en la cual el subíndice “M” indica el número máximo de combinaciones exigidas por el código adoptado. De la misma forma para cada plano resistente j, podrá establecerse una matriz de transformación de la forma: (Ec. 22) jjj BKT

Con la cual es posible determinar todas las posibles combinaciones de fuerzas laterales equivalentes a las acciones establecidas por el código y que actúan sobre el plano resistente j:

(Ec. 23) iMiiGii FFFTf ...21


2 Matriz de inercia pseudo-tridimensional Para ensamblar la matriz de inercia de un modelo estructural pseudo-tridimensional es posible seguir un camino similar al planteado para la matriz de rigidez. Sin embargo, debe considerarse que en todo modelo estructural existen dos (2) fuentes que aportan masa o inercia. La primera fuente de aporte de masa (inercia) está en las subestructuras o planos resistentes, mientras que la segunda fuente es una agrupación conformada por todas los componentes no resistentes y los planos horizontales. Cabe aclarar que los planos horizontales, aunque considerados de una muy alta rigidez en su plano2, por un lado poseen una inercia que no suele contemplarse en la formación de las matrices de inercia consistentes de los planos resistentes, y por otro lado acumulan la inercia de las sobrecargas de diseño.

2.1 Aporte de inercia de las subestructuras resistentes Si se considera que jM es la matriz de inercia lateral3 de la subestructura o plano resistente j, que es

de orden “nxn”, donde de nuevo “n” es el número de niveles del plano resistente j, igual a la consideración de la matriz de rigidez jK . Ahora, se ha de ensamblar el vector de aceleraciones del

centro de masas del nivel i, mediante:

(Ec. 24)

i

yi

xi

i U

U

U

En este vector, xiU representa la componente del aceleración del centro de masas del nivel i en la

dirección X; yiU representa la componente del aceleración del centro de masas del nivel i en la dirección

Y; y i representa la aceleración angular del centro de masas en el nivel i, todos respecto al mismo

sistema global. Como consecuencia del movimiento del centro de masas del nivel i, se producen dos (2) aceleraciones: una tangente al plano resistente y otra normal.

a) La aceleración lateral o tangente del plano j en el nivel i, cuyo valor es jiTa , puede calcularse

mediante:

(Ec. 25) iT

jijiT Uba *

siendo:

(Ec. 26)

ijT

j

j

ji

r

senb )(

)cos(

Tanto el ángulo j como la componente ijTr son los mismos que se han definido para la matriz de

rigidez.

2 Considerados por la hipótesis básica como prácticamente indeformables. 3 Puede resultar de la condensación de grados de libertad de la matriz de inercia.


b) Una aceleración normal del plano j en el nivel i, jiNa , que puede calcularse mediante:

(Ec. 27) iT

jijiN Uca *

siendo:

(Ec. 28)

ijN

j

j

ji

r

sen

c )cos(

)(

Mientras el ángulo j es el mismo que se ha definido para la matriz de rigidez, la componente ijNr es la

distancia entre la normal positiva del plano j y el centro de giro definido, tal como se aprecia en la figura 2. El sentido positivo de la normal al plano j se define como 90º en el sentido positivo (antihorario) respecto del sentido establecido como positivo para la dirección tangente al mismo plano j (como la regla de ma mano derecha). Para demostrar que las ecuaciones 25 y 27 son válidas, puede analizarse la figura 2 y observar que:

(Ec. 29) )(*

)cos(*

jijN

jijT

sendr

dr

(Ec. 30) )(**)cos(*)(*

)cos(**)(*)cos(*

jijYijXijiN

jijYijXijiT

sendUsenUa

dsenUUa


Figura 2 Esquema componentes de la aceleración del plano j al nivel y sus distancias al origen de coordenadas.

Si ahora, se considera la subestructura completa, por ejemplo el plano resistente j, la agrupación de las aceleraciones tangenciales de todos sus niveles en relación a la aceleración del modelo estructural, se calcula por medio de:

(Ec. 31) Gjj uBA

El vector jA que representa las aceleraciones el plano resistente j, posee "n" filas, porque agrupa una

aceleración por nivel, mientras que el vector Gu que representa las aceleraciones del modelo

estructural completo, posee "3N" filas, debido a que agrupa por cada nivel del modelo estructural, la

aceleración XiU del centro de masas según el eje X global; la aceleración YiU del centro de masas según

el eje Y global y la aceleración angular i del centro de masas.


De nuevo se aclara que los ejes globales (X, Y, Z) pueden materializarse en la realidad como ejes coordenados tridimensionales, únicos para todo el modelo estructural. Entonces, las aceleraciones lineales y la angular del centro de masas se evaluarán respecto al origen de coordenadas.

Si se determina el vector Gu referido a los diversos centros de masas, las aceleraciones del centro de

masas se determinarán según ejes paralelos a los globales y la aceleración angular del centro de masas se evaluará respecto al mismo punto. Volviendo al problema, la matriz jB es la misma que la definida por la ecuación 10. A partir del

conocimiento de la aceleración tangencial del plano resistente j, se puede determinar el vector de fuerzas tangenciales inerciales ficticias

jinF _ que actúan sobre el plano resistente j, tal que se cumple:

(Ec. 32) jjjin AMF _

Ese vector jinF _ representaría un peine de acciones de D´Alembert sobre el plano resistente j, que

provocan las aceleraciones jA . En relación al sistema global, es posible establecer que un vector de

acciones de D´Alembert externas GinF _ provoca en el modelo una aceleración Gu , relacionadas

mediante:

(Ec. 33) GGGin uMF _

Del Teorema de la Contragradiencia en relación a la ecuación:

(Ec. 34) Gjj uBA

podrá deducirse:

(Ec. 35) jin

T

jGjin FBF __

El vector

GjinF _ representa al vector jinF _ expresado en el sistema global. Si existen "m" planos

resistentes o subestructuras:

(Ec. 36)

m

j

jin

T

jGin FBF1

__

O bien:

(Ec. 37) G

m

j

jj

T

j

m

j

jj

T

j

m

j

jin

T

jGin uBMBAMBFBF

111

__

Y considerando la ecuación 33, se deduce:

(Ec. 38)

m

j

jj

T

jTG BMBM1

Esta es la matriz de inercia tangencial de un modelo estructural pseudo-tridimensional determinado a partir de las matrices de inercia de sus subestructuras o planos resistentes. Se le ha agregado el subíndice “T” para identificar el origen tangencial de la inercia.


Realizando el mismo orden deductivo, es posible demostrar que el aporte de inercia normal de un modelo estructural tridimensional determinado a partir de las matrices de inercia de sus subestructuras o planos resistentes es:

(Ec. 39)

m

j

jj

T

jNG cMcM1

en la cual la matriz jc debe estar constituida por "n" filas y "3N" columnas a partir de la ecuación 28:

(Ec. 40)

T

jn

T

j

T

j

j

c

c

c

c

...000000

.........

...000

000...000

2

1

En la ecuación 39 se ha agregado el subíndice “N” para identificar el origen de la inercia.

2.2 Aporte de inercia de la agrupación conformada por todos los componentes no resistentes y los planos horizontales.

Los componentes no estructurales y los planos horizontales (o cerramientos) aportan inercia en parte por su propia existencia y en parte por las condiciones de sobrecargas mínimas establecidas en los códigos en vigencia. Sin embargo, estos aportes no han sido considerados en las matrices de inercia consistentes de los planos resistentes y su inclusión debería hacerse construyendo una matriz de inercia coherente con la que resultaría de incluir las reacciones de losas como masas distribuidas en las vigas de los planos resistentes.

No obstante, otro camino más simple es considerar la matriz *

GM , global cuasi - diagonal de inercia

para los componentes no estructurales y los planos horizontales (ejemplo: losas) incluyendo las sobrecargas, bajo la siguiente configuración:

(Ec. 41)

*

*

2

*

1

*

...00

............

0...0

0...0

Gn

G

G

G

M

M

M

M

Con la inercia (masa) de cada nivel evaluada como:

(Ec. 42)

iii

i

i

dmrdmxdmy

dmxm

dmym

JSS

Sm

Sm

M i

i

piYiXi

Yii

Xii

Gi

***

*0

*0

0

0

2

*


Cada una de estas submatrices, de los cuales existen tantos como niveles tenga el modelo estructural, disponen los valores de inercia traslacional según los ejes globales X e Y, y la inercia rotacional respecto al eje global Z y los momentos estáticos de la masa respecto a los ejes X y Y.

Se dice que la matriz de inercia *

GM es cuasi - diagonal puesto que sólo cuando se proceda a

determinar la matriz de inercia global respecto a los centros de masas de cada planta, será verdaderamente diagonal, ya que los momentos estáticos respecto a ejes globales que pasen por el centro de masas son nulos.

2.3 Matriz de inercia global total La matriz de inercia global total debería considerar los tres posibles aportes:

(Ec. 43) *

GNGTGG MMMM

En algunos casos (muy especialmente en zonas sísmicas 0 a 2, según IC-103) podrán despreciarse las

incidencias de las matrices TGM o

NGM , o ambas, frente a los valores de la matriz *

GM .

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