Analisis Corto

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  • Lima, Elon Lages

    Analisis Real, Volumen 1.

    Instituto de Matematica y Ciencias Afines, UNI, 1997.240pp. (Coleccion Textos del IMCA)

  • Textos del IMCA

    Analisis Real

    Volumen 1

    Elon Lages Lima

    Traducido por Rodrigo Vargas

    IMCA Instituto de Matematica y Ciencias Afines

  • Copyright c, 1997 by Elon Lages LimaImpreso en Chile / Printed in ChileCaratula: Rodolfo Capeto y Noni Geiger

    Textos del IMCA

    Editor: Cesar Camacho

  • Con esta serie de textos el IMCA inicia sus trabajos contribu-yendo a la difucion de la cultura matematica por medio de unaliteratura de alta calidad cientfica.

    Esta coleccion busca poner a disposicion de alumnos y profe-sores universitarios, libros escritos con rigor y claridad, que sirvancomo textos de cursos de graduacion.

    La publicacion de este libro conto con el apoyo decidido de laSociedad Brasileira de Matematica y de la Universidad Nacional deIngeniera del Peru que compartieron su costo. A estas institucio-nes damos nuestro agradecimiento.

    El Editor

  • Prefacio

    Este libro pretende servir de texto para un primer curso de Anali-sis Matematico. Los temas tratados se exponen de manera simpley directa, evitando digresiones. As espero facilitar el trabajo delprofesor que, al adoptarlo, no necesitara perder mucho tiempo se-leccionando los temas que tratara y los que omitira. Grupos espe-ciales, estudiantes avanzados, lectores que deseen una presentacionmas completa y los alumnos, por as decirlo, normales que busquenlecturas complementarias pueden consultar el Curso de AnalisisMatematico, vol. 1que trata de la misma materia con un enfoquemas amplio, y que tiene aproximadamente el doble de tamano.

    Los lectores que tengo en mente son alumnos con conocimientosequivalentes a dos perodos lectivos de Calculo*, ya familiarizadoscon las ideas de derivada e integral en sus aspectos mas elemen-tales, principalmente los calculos con las funciones mas conocidasy la resolucion de ejercicios sencillos. Tambien espero que tenganuna idea suficientemente clara de lo que es una demostracion ma-tematica. La lista de prerrequisitos termina diciendo que el lectordebe estar habituado a las notaciones usuales de la teora de con-juntos, tales como x A, A B, A B, A B, etc.

    Una parte importante de este libro son sus ejercicios, que sirvenpara fijar ideas, desarrollar algunos temas esbozados en el texto ycomo oporunidad para que el lector compruebe si realmente ha en-tendido lo que acabo de leer. En el captulo final se presentan lassoluciones, de forma completa o resumida, de 190 ejercicios selec-cionados. Los restantes son, en mi opinion, bastante faciles. Natu-ralmente, me gustara que el lector solo consultase las solucionesdespues de haber hecho un serio esfuerzo para resolver cada pro-

    *N.T. dos cuatrimestres

  • blema. Precisamente es este esfuerzo, con o sin exito, el que nosconduce a buenos resultados en el proceso de aprendizaje.

    El procesamiento del manuscrito, por el sistema TEX, lo rea-lizaron Mara Celano Maia y Solange Villar Visgueiro, supervisa-das por Jonas de Miranda Gomes, al que debo bastantes consejos yopiniones sensatas durante la preparacion del libro. La revision deltexto original en portugues la hicieron Levi Lopes de Lima, Ricar-do Galdo Camelier y Rui Tojeiro. A todas estas personas debo misagradecimientos cordiales.

    La publicacion de la edicion original brasilena fue financiada porla CAPES; con su director, profesor Jose Ubirajara Alves, estoy endeuda por el apoyo y la compresion demostrados.

    Rio de Janeiro

    Elon Lages Lima

  • Prefacio a la edicion en espanol

    La iniciativa de editar este libro en espanol se debe al ProfesorCesar Camacho que, con su empeno caracterstico, tuvo la idea,superviso la traduccion, cuido de la impresion y aseguro la publi-cacion. Es a el, por lo tanto, que tengo la satisfacion de manifestarmis agradecimientos.

    Tambien estoy agradecido a Lorenzo Diaz Casado, que hizo latraduccion y a Roger Metzger y Francisco Leon por el trabajo derevision.

    Rio de Janeiro, noviembre de 1997.

    Elon Lages Lima

  • Indice general

    Captulo 1. Conjuntos finitos e infinitos 11. Numeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43. Conjuntos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64. Conjuntos numerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    Captulo 2. Numeros reales 131. R es un cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132. R es un cuerpo ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . 153. R es un cuerpo completo . . . . . . . . . . . . . . . . 185. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    Captulo 3. Sucesiones de numeros reales 251. Limite de una sucesion . . . . . . . . . . . . . . . . . 252. Lmites y desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . 293. Operaciones con lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . 304. Lmites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    Captulo 4. Series de numeros 411. Series convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412. Series absolutamente convergentes . . . . . . . . . . . 443. Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . 454. Reordenaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    Captulo 5. Algunas nociones de topologa 531. Conjuntos abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532. Conjuntos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    9

  • 10 INDICE GENERAL

    3. Puntos de acumulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    4. Conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    5. El conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    Captulo 6. Lmites de funciones 69

    1. Definicion y primeras propiedades . . . . . . . . . . . 69

    2. Lmites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    3. Lmites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

    Captulo 7. Funciones continuas 83

    1. Definicion y propiedades basicas . . . . . . . . . . . . 83

    2. Funciones continuas en un intervalo . . . . . . . . . . 86

    3. Funciones continuas en conjuntos compactos . . . . . 90

    4. Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

    5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

    Captulo 8. Derivadas 101

    1. La nocion de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

    2. Reglas de derivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

    3. Derivada y crecimiento local . . . . . . . . . . . . . . 107

    4. Funciones derivables en un intervalo . . . . . . . . . . 109

    5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

    Captulo 9. Formula de Taylor y aplicaciones de la de-rivada 117

    1. Formula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

    2. Funciones concavas y convexas . . . . . . . . . . . . . 121

    3. Aproximaciones sucesivas y el metodo de Newton . . . 127

    5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

    Captulo 10. La integral de Riemann 135

    1. Revision de sup e nf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

    2. Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

    3. Propiedades de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . 141

    4. Condiciones suficientes para la integrabilidad . . . . . 145

    5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

  • Captulo 11. Calculo con integrales 1511. Teorema clasicos del Calculo Integral . . . . . . . . . . 1512. La integral como lmite de sumas de Riemann . . . . . 1553. Logaritmos y exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . 1574. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

    Captulo 12. Sucesiones y series de funciones 1711. Convergencia puntual y convergencia uniforme . . . . 1712. Propiedades de la convergencia uniforme . . . . . . . . 1753. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1804. Series trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1845. Series de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1865. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

    Captulo 13. Soluciones de los ejercicios 193

    Lecturas recomendadas 223

  • 1Conjuntos finitose infinitos

    En este captulo se establecera con precision la diferencia entre con-junto finito y conjunto infinito. Tambien se hara la distincion entreconjunto numerable y conjunto no numerable. El punto de partidaes el conjunto de los numeros naturales.

    1. Numeros naturales

    El conjunto N de los numeros naturales se caracteriza por lassiguientes propiedades:

    1. Existe una funcion inyectiva s : N N. La imagen s(n) decada numero natural n se llama sucesor de n.

    2. Existe un unico numero natural 1 N tal que 1 6= s(n) paratodo n N.

    3. Si un conjunto X N es tal que 1 X y s(X) X (esto es,n X s(n) X) entonces X = N.

    Estas afirmaciones pueden ser reformuladas as:

    1

  • 2 Conjuntos Finitos Cap. 1

    1. Todo numero natural tiene un sucesor, que tambien es un nume-ro natural; numeros diferentes tienen sucesores diferentes.

    2. Existe un unico numero natural que no es sucesor de ninguno.

    3. Si un conjunto de numeros naturales contine el numero 1 y tam-bien contiene el sucesor de cada uno de sus elementos, ent