Analisis Combinatorio.Arvelo

ANGEL FRANCISCO ARVELO LUJAN Angel Francisco Arvelo Luján es un Profesor Universitario Venezolano en el área de Probabilidad y Estadística, con más de 40 años de experiencia en las más reconocidas universidades del área metropolitana de Caracas. Universidad Católica “Andrés Bello”: Profesor Titular Jubilado 1970 a 2003 Universidad Central de Venezuela: Profesor por Concurso de Oposición desde 1993 al presente Universidad Simón Bolívar: Profesor desde 2005 al presente Universidad Metropolitana: Profesor desde 1973 a 1987 Universidad Nacional Abierta: Revisor de contenidos, desde 1979 hasta 2004 Sus datos personales son : Lugar y Fecha de Nacimiento: Caracas, 16-02-1947 Correo electrónico: [email protected] Teléfono: 58 416 6357636 Estudios realizados:

Ingeniero Industrial. UCAB Caracas 1968 Máster en Estadística Matemática CIENES, Universidad de Chile 1972 Cursos de Especialización en Estadística No Paramétrica Universidad de Michigan 1982 Doctorado en Gestión Tecnológica: Universidad Politécnica de Madrid 2006 al Presente El Profesor Arvelo fue Director de la Escuela de Ingeniería Industrial de la Universidad Católica “Andrés Bello” (1974-1979) , Coordinador de los Laboratorios de esa misma Universidad especializados en ensayos de Calidad, Auditor de Calidad, y autor del libro “Capacidad de Procesos Industriales” UCAB 1998. En numerosas oportunidades, el Profesor Arvelo ha dictado cursos empresariales en el área de “Estadística General” y “Control Estadístico de Procesos”. Otras publicaciones del Prof. Arvelo pueden ser bajadas de su página web: www.arvelo.com.ve , en la sección PDFS.

http://www.arvelo.com.ve/

1 Análisis Combinatorio Angel Francisco Arvelo L.

ANÁLISIS COMBINATORIO Entre los requisitos matemáticos más importantes para poder enfrentar con éxito el cálculo de probabilidades, figuran el análisis combinatorio y el álgebra de conjuntos, y por este motivo, el autor ha considerado conveniente desarrollar estos temas, ya que según su experiencia, muchas de las dificultades que posteriormente se presentan en el estudio del cálculo de probabilidades, son consecuencia de deficiencias en alguno de estos dos temas. El análisis combinatorio tiene por objetivo calcular mediante fórmulas y expresiones analíticas, el numero de arreglos diferentes que se pueden hacer con una colección de objetos. La nomenclatura que se utiliza es la siguiente: Se llama universo al conjunto de elementos de donde se pueden seleccionar algunos de ellos para formar el arreglo. m = números de elementos en ese universo. Así por ejemplo, si en una caja se tiene tres fichas blancas, 4cuatro negras y dos rojas, entonces m = 3 +4+2 = 9 fichas. n = número de elementos que se seleccionan del universo para formar el arreglo. Si de la caja anterior se seleccionan tres fichas, entonces n = 3. Es evidente que si un mismo elemento no puede intervenir más de una vez en el

arreglo, entonces n m, pero si permite la repetición entonces “n” puede ser mayor que “m”. El análisis combinatorio, distingue tres tipos fundamentales de arreglos, según se haga o no distinción en el orden de colocación de los elementos que lo integran. Estos tres tipos de arreglos serán estudiados de inmediato, y se denominan combinaciones, variaciones y permutaciones.

11.1 Combinaciones: Estos son arreglos en donde el orden de colocación de

los elementos que lo integran no se contabiliza como diferente de otro que tenga a los mismos elementos en otro orden; de manera que todos aquellos arreglos que tengan a los mismos elementos, se contabilizan como uno sólo, aunque estos elementos estén colocados en diferente orden. En una combinación, para que un arreglo sea diferente de otro, es necesario que por lo menos un elemento sea diferente, o que un mismo elemento aparezca un número diferente de veces. a) Combinaciones sin repetición: Este es el caso en que el universo tiene “m” elementos todos diferentes entre si, y se seleccionan “n” de ellos, sin que se permita que un mismo elemento intervenga más de una vez. Ejemplo 11.1 : Supongamos que el universo esta formado por cinco elementos {a,b,c,d,e} , y que de ellos se seleccionan tres sin repetición. Las diferentes combinaciones que se pueden formar con ellos son: abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, cde Nótese que la combinación cba , no ha sido incluida en la lista, por considerarla idéntica a las abc, al tener los mismos elementos.


Existen fórmulas combinatorias, que se deducen fundamentalmente por inducción, y cuya deducción puede encontrarse en textos de Álgebra, y que permiten calcular el número de combinaciones que se pueden formar, sin tener que hacer la lista. Para el caso de las combinaciones sin repetición, esta fórmula establece que:

Cm

n

m

n nm n,

!

! (m )!

FHGIKJ

La expresión Cm n, se lee como combinaciones de “m” en “n” ; mientras que “!” se

lee como “factorial” de ese número natural, y se calcula como el producto de todos los números naturales desde él en forma descendente hasta llegar a “1 “ , a excepción de 0! = 1 . En el ejemplo 1, si se quisiera calcular las combinaciones que se pueden hacer con estos cinco elementos seleccionando tres, y sin necesidad de hacer la lista,

tendríamos: C5 3

5

3

5

3 5 3

5 4 3 2 1

3 2 1 2 1,

!

! ( )!

FHGIKJ

= 10 combinaciones.

La expresión m

n

FHGIKJ se lee como numero combinatorio de “m” en “n”.

Propiedades de los números combinatorios: A continuación se enumeran algunas de ellas, dejando al lector su demostración matemática:

1°) m

n m n

FHGIKJFHGIKJ

m ; esta propiedad se conoce como “propiedad de complemento”,

y resulta obvia, pues por cada combinación de los elementos que intervienen en el arreglo, existe otra entre los elementos que no intervienen.

2°) m

n

m

n

mFHGIKJFHGIKJFHGIKJ

1

1

1

n; esta propiedad se conoce como “Propiedad de

Steefel”, y establece que el total de combinaciones se descompone en dos;

combinaciones donde interviene un elemento particular m

n

FHGIKJ

1

1 , y combinaciones

donde no interviene ese elemento particular mFHGIKJ

1

n.

En el ejemplo 11.1 se tiene : 5

3

4

2

4

3

FHGIKJFHGIKJFHGIKJ

4

2

FHGIKJ representa las combinaciones donde interviene un elemento, digamos “a”

pues él ocupa un lugar y por tanto restan 4 para seleccionar 2 que lo acompañen ,

mientras que 4

3

FHGIKJ representa las combinaciones donde no interviene “a”, él queda

excluido y quedan 4 para seleccionar 3.


3°) m m m m m m m m n

n

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

0 1 1 2 2 0

FHG

IKJFHGIKJFHGIKJFHGIKJFHGIKJFHGIKJFHGIKJFHGIKJFHGIKJRST n n

m

n

m

n n ;

m

m

1

2

Esta propiedad se conoce como “Propiedad de Vandermonde” y se interpreta de la siguiente manera: Supongamos que un grupo hay 8 personas, 5 Hombres y 3 mujeres, y de ellos se van a seleccionar 3 para formar una comisión.

8

3

5

0

3

3

5

1

3

2

5

2

3

1

5

3

3

0

FHGIKJFHGIKJFHGIKJFHGIKJFHGIKJFHGIKJFHGIKJFHGIKJFHGIKJ

El total de comisiones que se pueden formar queda descompuesto en varios casos, aquellos en donde intervienen ningún hombre y tres mujeres, o un hombre y dos mujeres, o dos hombres y una mujer, o tres hombres y ninguna mujer.

4°) n n n n

n0 1 2

FHGIKJFHGIKJFHGIKJFHGIKJ = 2n ; según esta propiedad, la suma de todos los

números combinatorios con el mismo numerador da por resultado 2n

5°) n n n n n n

0 2 4 1 3 5

FHGIKJFHGIKJFHGIKJFHGIKJFHGIKJFHGIKJ = 2n-1

b) Combinaciones con repetición: Este es el caso en que se permite que un

mismo elemento del universo intervenga mas de una vez en el arreglo. Ejemplo 2 : Si a los elementos del Ejemplo 1 se les permite intervenir mas de una vez para formar la combinación de a 3, habría que añadir a la lista, las siguientes combinaciones: aab, aac, aad , aae , bba, bbc, bbd, bbe , cca, ccb, ccd, cce dda, ddb, ddc, dde, eea, eeb, eec, eed, aaa, bbb, ccc, ddd, eee. y a las 10 combinaciones anteriores, habría que sumarle estas nuevas 25 , para un total de 35 combinaciones diferentes. El análisis combinatorio también proporciona una fórmula matemática para calcular el número de combinaciones con repetición, sin necesidad de hacer la

lista, y según la cual: Cm n

m n,

' FHG

IKJ

1

n ; donde Cm n,

' representa el número de

combinaciones con repetición de “m” elementos seleccionando “n”.

En el caso anterior: C5 3

5 3 1

3

7

3,

' FHG

IKJFHGIKJ

= 35

Ejemplo 3 : Calcular el número de piedras que tiene el dominó ordinario. Solución: La formación de las piedras del dominó es un caso típico de una combinación con repetición, pues de un universo de 7 números {0,1,2,3,4,5,6} , se seleccionan dos para formar una piedra. Es una combinación, pues no hay distinción entre la piedra 1-4 por ejemplo con la 4-1, y es con repetición para formar los dobles. En consecuencia, el número de piedras diferentes es:

C7 2

7 2 1

2

8

2,

' FHG

IKJFHGIKJ

= 28


En el caso del dominó cubano, que va desde el 0 hasta el 9, el número de piedras

es: C10 2

10 2 1

2

11

2,

' FHG

IKJFHGIKJ

= 55

2 Variaciones: Se llaman variaciones a aquellos arreglos en donde el orden de

colocación es un criterio para diferenciar a un arreglo de otro, aunque los elementos que lo integren sean los mismos. En una variación un arreglo es distinto de otro cuando por lo menos un elemento es distinto, o cuando siendo los mismos elementos, están colocados en diferente orden. a) Variaciones sin repetición: No se permite que ningún elemento del universo,

se repita en el arreglo. Ejemplo 4 : Con los elementos del universo {a,b,c,d}, definir todas las variaciones de a dos, que puedan formarse, sin repetir elementos. Solución: Por ser una variación, el orden de colocación diferencia a un arreglo de otro, por lo tanto, las variaciones de a dos sin repetición, son las siguientes doce: ab, ac, ad, ba, bc, bd , ca cb , cd , da , db , dc La fórmula combinatoria que permite calcular el numero de variaciones sin repetición, que pueden formarse con universo de “m” elementos, seleccionando

“n” de ellos, es: Vm

nm nm n,

!

(m )!(m ) (m )1 1

Aplicando está fórmula en el Ejemplo 4 se tiene: V4,2 = 4

4 24 3

!

( )!= 12

b) Variaciones con repetición: Se permite que los elementos del universo, que

son todos diferentes entre sí, se repitan en el arreglo. Ejemplo 5 : Con los elementos del ejemplo 4, definir todas las variaciones de a dos, que puedan formarse. Solución: A las doce anteriores hay que añadir las siguientes cuatro: aa, bb, cc, dd para un total de dieciséis variaciones diferentes. La fórmula combinatoria para calcular las variaciones con repetición establece:

V mm n

n

,

'

En el ejemplo 5: V4 2

24,

' =16

3 Permutaciones: Se llaman permutaciones a aquellos arreglos en donde se seleccionan con distinción de orden, a todos los elementos del universo. a) Permutaciones sin repetición: En este caso, todos los elementos del universo son distintos entre si. Ejemplo 6 : Con los elementos del universo {a,b,c,d}, definir todas las permutaciones posibles. Solución: Por ser una permutación se seleccionan todos, y el orden de colocación diferencia a un arreglo de otro, por lo tanto, sus permutaciones son: abcd , abdc ,acbd , acdb , adbc , adcb , badc, bacd , bcad, bcda, bdac, bdca

cabd, cadb, cbad , cbda , cdab ,cdba , dabc, dadc , dbac ,dbca, dcab, dcba


El cálculo de las permutaciones de “n” elementos sin repetición, es un caso particular de las variaciones sin repetición donde m = n , y por lo tanto:

P Vn

nn n n,

!

(n )! Pn = n!

En el ejemplo 6, se tiene : P4 = 4! = 24 . b) Permutaciones con repetición: En el universo existen elementos repetidos, y se seleccionan todos con distinción de orden. Ejemplo 7 : Con los elementos del universo {a,a,b,c}, definir todas las permutaciones posibles. Solución: Se seleccionan todos, y se ordenan. Las permutaciones posibles son:

aabc , aacb , abac , acab , abca , acba , baac , caab , baca , caba , bcaa , cbaa El número de permutaciones con repetición se calculan mediante la expresión:

Pn n n

n

n n nn n n n

k kk; ,

, ,

!

! ! !1 2

1 2 1 2

FHG

IKJ

n

donde:.n1 = número de elementos repetidos del tipo 1 n2 = número de elementos repetidos del tipo 2 nk = número de elementos repetidos del tipo k n= número de elementos en el universo = n1 + n2 +

....+ nk En el universo del ejemplo 7 , existen 3 tipos de elementos , a , b y c ; pero la “a” está dos veces y los otros una vez. Por tanto n1 = 2 , n2 = 1 , n3 = 1 , n = 2+1+1 = 4 , y el número de permutaciones

es: P4 2 11

4

211

4

2 1 1; , ,

, ,

!

! ! !

FHGIKJ

= 12

Con relación a las permutaciones con repetición se pueden hacer los siguientes comentarios: 1°) Obsérvese que cuando n1 =1 , n2 = 1 , ...., nk = 1, entonces no hay elementos repetidos , y el número de permutaciones es n!. Estos significa que la fórmula de las permutaciones sin repetición, es un caso particular de la fórmula con repetición , en donde n1 =1 , n2 = 1 , ...., nk = 1. 2°) Cuando k=2 , es decir cuando en el universo sólo hay dos tipos de elementos, entonces se tiene : n1 + n2 = n , y en consecuencia:

Pn n

n

n n

n

n n

n

n

n

nC Cn n n n n n n; , , ,

,

!

! !

!

!(n )!1 2 1 2

1 2 1 2 1 1 1 2

FHGIKJ

FHGIKJFHGIKJ

n

En este caso, la permutación queda definida al seleccionar los n1 puestos que le corresponden a los elementos del tipo 1, pues en los n-n1 restantes van los del tipo 2 . Ejemplo 8: Con los elementos del universo {a,a,a,b,b}, definir todas las permutaciones posibles. Solución : Este es un caso de una permutación con repetición, donde en el universo sólo hay dos tipos de elementos “a” y b” . Las permutaciones posibles son: aaabb, aabab , aabba , abaab, ababa , abbaa, baaab, baaba,babaa, bbaaa.


La permutación también quedaría definida señalando los tres puestos ocupados por las “a” es decir: 123, 124 , 125, 134 , 135, 145, 234, 235, 245 y 345 .

P5 3 2

5

3 2

5

3 2

5

3

5

210; ,

,

!

! !

FHGIKJ

FHGIKJFHGIKJ

4 Principios multiplicativo y aditivo: En muchas oportunidades, los

diferentes tipos de arreglos que hemos considerado no se presentan aisladamente. En estas situaciones, se hace necesario clasificar los arreglos en diversos casos, calcularlos por separado, y al final se presenta a pregunta ¿cuándo se suman?, y ¿cuándo se multiplican?. La respuesta a esta pregunta la dan los principios multiplicativo y aditivo. Principio multiplicativo: Si para armar un arreglo es necesario realizar una

secuencia de “k” operaciones, y la primera operación puede realizarse de n1 maneras, la segunda de n2 maneras, la k-ésima de nk maneras, entonces el arreglo puede armarse de n1

.n2....nk maneras .

Ejemplo 9: Una persona posee dos pares de zapatos, tres pantalones y cinco camisas. ¿De cuantas maneras diferentes se puede vestir ?. Solución: La persona debe seleccionar una prenda de cada tipo para vestirse, y si se cambia por lo menos una de las ella, esta vestido de diferente manera. El total de formas como puede vestirse es en consecuencia: 2 x 3 x 5 = 30 Principio aditivo: Si existen “k” procedimientos excluyentes para armar un

arreglo, y el primer procedimiento puede realizarse de n1 maneras, el segundo de n2 maneras, el k-ésimo de nk maneras, entonces el arreglo puede armarse de n1+n2+

....+nk maneras . El término excluyente significa que si se realiza por un procedimiento no se puede realizar por el otro. Ejemplo 10: Para ir de una ciudad a otra, una persona puede hacerlo en autobús, en tren o en avión, y existen tres rutas de autobús, dos vuelos y cinco itinerarios de tren. ¿De cuantas formas diferentes puede viajar ?. Solución: Las alternativas son excluyentes, pues si elige una quedan descartadas las otras. El total de maneras es entonces: 3 + 2 + 5 = 10. EJERCICIOS RESUELTOS

Ejemplo 11: En un salón de clase hay 12 estudiantes, y se va a formar una comisión de 4 .Calcule el número de comisiones distintas que pueden formarse, en cada uno de los siguientes casos: a) No hay jerarquía entre los cuatro miembros de la comisión. b) Existe jerarquía entre los cuatro miembros de la comisión. c) Entre los cuatro miembros de la comisión, uno debe ser el presidente, otro el tesorero, y los otros dos vocales sin jerarquía entre ellos dos.


Solución: a) Este caso es una combinación pues no existe jerarquía entre los

miembros. C12 4

12

4

12

4 8495,

!

! !

FHGIKJ

b) Al existir jerarquía se trata de una variación, pues aunque los miembros sean los mismos, la comisión es diferente si están en diferentes cargos.

V12 4

12

811880,

!

!

c) En esta tercera situación, es necesario aplicar un razonamiento muy frecuente en combinatoria, que es seleccionar primero y ordenar después. Existen 495 formas de seleccionar a los cuatro miembros de la comisión (caso a) sin distinguir cargos, y una vez seleccionados los miembros, ellos pueden permutarse en los cargos. Como el cargo de vocal está repetido dos veces, se trata de una permutación con repetición, y de allí que el total de maneras como cuatro miembros pueden

asignarse los cargos es: P4 11 2

4

1 1 212; , ,

!

! ! !.

Aplicando el principio multiplicativo, el total de comisiones diferentes es en consecuencia : 495 x 12 = 5940. Nótese que este mismo razonamiento se hubiese podido aplicar en b) , pero multiplicando por 4! = 24 , pues allí los cuatro cargos son diferentes, y se trata de una permutación sin repetición. En general: Vm,n = Cm,n x n! Ejemplo 12: Un grupo de nueve personas esta formado por tres matrimonios y un hijo de cada uno de ellos. ¿De cuantas maneras distintas pueden fotografiarse formando una sola fila, con la condición de que cada hijo aparezca entre sus dos padres? Solución: Cada matrimonio pude acomodarse de dos maneras, con el padre a la izquierda del hijo y la madre a su derecha, o viceversa, y también los tres matrimonios pueden permutarse entre si de 3! = 6 formas distintas. Aplicando el principio multiplicativo, el total de formas como pueden fotografiarse es: 23 x 6 = 48 formas Ejemplo 13: ¿De cuantas maneras distintas pueden repartirse diez regalos distintos entre tres personas, con la condición de que cada persona reciba por lo menos dos regalos ? . Solución: Existen cuatro procedimientos excluyentes para repartir los diez regalos, que son : 6+2+2 ó 5+3+2 ó 4+4+2 ó 4+3+3. Supongamos que las tres personas son A , B y C.

Con el procedimiento 6+2+2 las formas son : 3 x 10

6 2 2

!

! ! != 3780

Se trata de una permutación con repetición , pues 6 A , 2 B y 2C pueden estar colocadas en cualquiera de las 10 posiciones, y multiplicada por 3, porque quien recibe los seis regalos pude ser cualquiera de los tres .

Con el procedimiento 5+3+2 las formas son : 3! x 10

5 3 2

!

! ! != 15120



4 4 2

!

! ! != 9450


4 3 3

!

! ! != 12600

Aplicando el principio aditivo, el total de repartos diferentes es :

3780 + 15120 + 9450 + 12600 = 40950 Ejemplo 14 En una elección participan tres candidatos, y hay doce electores. Cada uno de los electores vota por uno y por sólo un candidato. ¿De cuantas maneras diferentes puede ser el escrutinio?. Solución : Se trata de una combinación con repetición, pues al hacer el escrutinio lo que interesa es el número de votos a favor de cada candidato, y no en que orden se emitieron. Si los candidatos son A, B y C, el escrutinio por ejemplo AAAAAABBBBCC es idéntico al AABBACAABACB, pues en ambos “A” obtiene 6 votos, B cuatro y C dos. Se seleccionan 3 elementos del universo {A, B ,C} para colocarlos en doce posiciones, sin distinción de orden ; en consecuencia el total de escrutinios

diferentes es: C3 12

3 12 1

12

14

1291,

' FHG

IKJFHGIKJ

Ejemplo 15 Con los dígitos {0,1,2,3,4,5,6} , ¿cuántos números pares de cuatro cifras sin dígitos repetidos, se pueden formar ?. Solución : Para que el número sea par, debe terminar en 0, 2, 4 ó 6 , y para que se considere de cuatro cifras no puede comenzar por 0. Hay que considerar dos casos excluyentes: Caso 1: Pares que terminan en 0. En este caso quedan disponibles todos los otros seis dígitos para ocupar las tres primeras posiciones, y se trata de una variación pues el orden de colocación de los dígitos diferencia a un número de otro. El total de números es este caso es: V6,3= 6 x 5 x 4 = 120 Caso 2: Pares que terminan en 2,4 ó 6 . En este caso hay que restar de las V6,3 = 120 , los que empiezan por cero, que son: V5,2= 5 x 4 = 20 , debido a que quedan disponibles cinco dígitos para ocupar la segunda y tercera posición. El total de números es este caso es: 3 x (120-20) = 300 Aplicando principio aditivo, encontramos que el total de números pares de cuatro cifras que pueden formarse es: 120 + 300 = 420 Ejemplo 16 : Una flauta tiene cuatro agujeros, cada una de las cuales puede ser o no tapado con los dedos de la mano, emitiendo un sonido diferente. ¿Cuántos sonidos diferentes puede emitir la flauta?. Solución : a) Existen la alternativa de no tapar ninguno de los agujeros, o tapar uno, o tapar dos ,etc., hasta tapar los cuatro.


El total de sonidos diferentes es entonces: 4

0

4

1

4

2

4

3

4

42 164F

HGIKJFHGIKJFHGIKJFHGIKJFHGIKJ

Ejemplo 17 : La dirección de un liceo otorga a los mejores estudiantes, premios en Ciencias, Literatura e Idiomas. Cada premio tiene dos niveles: “excelencia” y “mención de honor” , que son concedidos al primero y segundo estudiante en cada asignatura. En un salón de clases hay 20 estudiantes. ¿De cuantas formas diferentes pueden ser concedidos los tres premios?. Solución : a) En cada asignatura, las formas de conceder los premios representan una variación sin repetición, pues importa el orden y no puede repetirse el mismo estudiante en el primero y segundo lugar. V20,2 = 20 x 19 = 380. Al considerar las tres asignaturas, se trata de una variación con repetición, pues los premiados en una, pueden repetir en otra, y hay distinción entre las asignaturas. Total de formas = (380)3 = 54.872.000 formas Ejemplo 18 : Entre seis oficiales y quince soldados hay que formar una patrulla de ocho, que debe estar compuesta por dos oficiales, uno de los cuales la dirigirá, y por seis soldados. ¿Cuántas patrullas diferentes se pueden formar?. Solución : Las formas de elegir a los oficiales representa una variación, mientras que las de elegir a los soldados una combinación.

Total de formas = V6 2

15

66 5 5005,

FHGIKJ

=150150

Ejemplo 19: En una carrera de caballos intervienen diez ejemplares, entre los que figuran A, B y C. ¿De cuantas formas posibles pueden llegar los diez ejemplares a la meta, con la condición de que “A” le gane a “B”, y éste a su vez a “C”?. Solución : El orden de llegada de los diez ejemplares puede ser de 10! formas , y el de los ejemplares A, B y C de 3! = 6 formas . De estas 6 formas, sólo en una ellas “A” le gana a “B” y éste a “C” , que es ABC.

Total de formas = 10

6

! = 604800.

Ejemplo 20 : El director de una empresa debe formar un equipo de trabajo. El equipo puede estar formado por tres o por cuatro personas, y debe elegir entre seis de sus empleados, pero teniendo en cuenta que dos de ellos no pueden trabajar juntos. ¿ De cuantas maneras distintas puede formar el equipo?. Solución : Hay dos casos excluyentes, que son:

1°) Decide formar el equipo con tres personas: 6

3

4

1

FHGIKJFHGIKJ = 16 formas

2°) Decide formar el equipo con cuatro personas: 6

4

4

2

FHGIKJFHGIKJ = 9 formas

Total de formas = 16 + 9 = 25


Ejemplo 21: La junta directiva de una empresa tiene cinco cargos, presidente, secretario, tesorero y dos vocales. Existen doce aspirantes para ocupar esos cargos, ocho hombres y cuatro mujeres. Calcule el número de maneras distintas como se puede formar la directiva, en cada uno de los siguientes casos: a) Sin restricciones de ningún tipo. b) El presidente debe ser hombre y deben estar dos mujeres en la directiva. c) Deben existir por lo menos dos representantes de ambos sexos en la directiva. d) Los dos vocales deben ser de diferente sexo. Solución :a) Si restricciones, es una permutación con repetición, pues podemos imaginar a los doce aspirantes en fila, el primero es el presidente, y así sucesivamente, hasta los siete últimos que son los que quedan fuera.

Total de maneras = 12

1 1 1 2 7

!

! ! ! ! != 47520

b) En este caso, se aplica el razonamiento de seleccionar primero y ordenar después. Se deben seleccionar tres hombres y dos mujeres . El total de maneras de hacer

esta selección es: 8

3

4

256 6 336

FHGIKJFHGIKJ .

Una vez seleccionadas las personas se asignan los cargos, el presidente puede ser de tres maneras, y los otros cargos se permutan, teniendo en cuenta que el de

vocal está repetido: 34

1 1 236

!

! ! !

Total de maneras = 336 x 36 =12096 c) Hay dos casos : Tres hombres y dos mujeres, o dos hombres y tres mujeres, y seleccionadas las cinco personas, estas pueden permutarse en los cargos.

Total de maneras = 8

3

4

2

8

2

4

3

5

1 1 1 226880

FHGIKJFHGIKJFHGIKJFHGIKJ

LNM

OQP

!

! ! ! !

d) La selección de los dos vocales puede hacerse de 8 x 4 = 32 , y los otros tres cargos que son diferentes, pueden ocuparse con las diez personas restantes.

Total de maneras = 32 x V10,3 = 32 x 10 x 9 x 8 = 23040 Ejemplo 22: Se tienen cinco colores distintos para pintar una bandera de tres franjas. Si no se pueden pintar las tres franjas del mismo color, ¿cuántas banderas diferentes es posible construir ?.: Solución : Como hay distinción de orden, se trata de una variación, y hay dos casos excluyentes: las tres de diferente color, y un mismo color se repite dos veces. Con tres colores distintos: V5,3 = 5 x 4 x 3 = 60

Con un mismo color dos veces: V5 2

3

2 1,

!

! != 5 x 4 x 3 = 60

Total de banderas = 60 + 60 = 120 Otra manera de resolverlo, es restar del total de variaciones de cinco en tres con repetición, los casos en que se repiten los tres colores.


Total de banderas = 53 – 5 = 120 Ejemplo 22: Se tiene un billete de cada denominación $1, $5, $10, $20, $50 y $100. ¿ De cuantas maneras diferentes es posible pagar cuentas exactas con ellos? . Solución: Es posible pagar todas aquellas cuentas en donde sea necesario seleccionar uno de ellos, o dos, etc., o hasta los seis.

6

1

6

2

6

3

6

4

6

5

6

62 1 636F

HGIKJFHGIKJFHGIKJFHGIKJFHGIKJFHGIKJ

Ejemplo 23: Un profesor le pide a sus diez alumnos que se dividan en cinco grupos de dos alumnos cada uno, para que cada grupo realice un trabajo sobre un tema igual para todos los grupos. ¿De cuantas maneras diferentes pueden dividirse? Solución : Si cada grupo fuese a desarrollar un tema diferente, el total de maneras de hacer la división sería una permutación con repetición, pues pudiésemos imaginar a los diez alumnos en fila, y a los dos primeros les toca el primer tema, al tercero y cuarto de la fila el segundo tema y así sucesivamente.

Con temas diferentes, las maneras de hacer la división sería:10

2 2 2 2 2113400

!

! ! ! ! !

Sin embargo, como el tema es el mismo, aquí hay divisiones idénticas. Por ejemplo, imaginemos que la fila de alumnos es A B C D E F G H I J. En esta fila los cinco grupos son A con B , C con D , E con F , G con H e I con J. Estos cinco grupos serían los mismos que en la fila D C I J B A E F G H . En consecuencia, existen 5! = 120 formas de hacer la división con temas diferentes que equivalen a una sola con el mismo tema, y por lo tanto:

Formas de hacer la división = 113400

120945

Ejemplo 24: Diez libros diferentes , tres de Matemática , dos de Física y cinco de Gramática van a ser ordenados en fila, en una biblioteca. ¿De cuantas maneras pueden ordenarse, de forma que los de una misma materia queden juntos?. Solución : Cada materia puede ser vista como un bloque de libros, y por lo tanto pueden ordenarse de 3! Formas, y adicionalmente los libros de cada materia pueden permutarse dentro del bloque.

Maneras de ordenarlos = 3! x 3! x 2! x 5! = 8640 Ejemplo 25: Al seleccionar dos piedras de las 28 que tiene el dominó, ¿de cuantas maneras diferentes se puede formar una cadena, es decir , que tengan un número en común?. Solución : Existen siete piedras con el mismo número, siete blancos, siete unos, etc., y se forma una cadena cuando se selecciona un par de ellas.

Las formas de seleccionar dos piedras de un mismo número es 7

2

FHGIKJ = 21 ; y como

la cadena puede ser con cualquiera de los siete números, se tiene que el total de maneras para formar la cadena es: 7 x 21 = 147


Ejemplo 26 : ¿Cuántos números naturales entre 1 y 100.000, tienen la propiedad de que la suma de sus dígitos es 7?. Solución: Cualquier número natural entre 1 y 100.000, a excepción de éste ultimo que no tiene la propiedad exigida, puede ser escrito con cinco dígitos, y la suma de sus dígitos será 7 en casos como 00007, 4210 como 04210, etc. El problema puede ser visto entonces, como repartir siete monedas iguales entre cinco cajas, donde la primera caja representa la unidad de diez mil, la segunda la unidad de mil, la tercera la centena, la cuarta la decena y la quinta la unidad. Así por ejemplo, el número 04210 que tiene la propiedad, puede ser visto como el caso donde se colocan 4 monedas en la segunda caja, dos en la tercera, una en la cuarta y ninguna en la primera y en la última. Esta forma de repartir es una combinación con repetición, pues al ser las monedas iguales, lo que interesa es cuantas monedas se colocan en cada caja, y no su orden de colocación; así por ejemplo el reparto 2222334 es idéntico al reparto 3423222, pues en cada uno, la caja 2 recibe cuatro monedas, la 3 dos y la 4 una. Bajo este punto de vista, el problema se reduce a combinar cinco elementos en siete posiciones con repetición, y el total de números con la propiedad es:

C5 7

5 7 1

7

11

7330,

' FHG

IKJFHGIKJ

Ejemplo 27: Se tienen “m” puntos en un plano, de los cuales no hay tres que estén

alineados, con excepción de “n” (3 n < m) que están en una misma línea recta. Calcule: a) El numero de líneas rectas que se pueden trazar al unir dos de esos puntos. b) El número de triángulos que se pueden formar al unir tres de ellos. Solución: a) Si no existieran puntos alineados, el número total de rectas que se

pudieran trazar sería m

2

FHGIKJ .

Sin embargo, como hay “n” alineados, todas las combinaciones entre ellos definen a la misma recta, que debe ser contabilizada una sola vez.

El número de combinaciones que definen a la misma recta es: n

2

FHGIKJ

Total de rectas que se pueden trazar = m n

2 21

FHGIKJFHGIKJ

La razón de sumar 1 , es porque al restar todas las combinaciones que se definen a la misma recta, ésta no estaría siendo considerada dentro del conjunto de rectas que pueden ser trazadas. b) Con un razonamiento similar al anterior, si no existieran puntos alineados, el total

de triángulos que pudiesen ser formados sería : m

3

FHGIKJ .

Pero las combinaciones entre los puntos alineados, definen una recta y no un triángulo , y deben ser restadas de las anteriores.

Total de triángulos que se pueden formar = m n

3 3

FHGIKJFHGIKJ


Preguntas de Revisión 1°) Explique y cite ejemplos del caso, donde una combinación sin repetición coincide con una permutación con repetición. 2°) Demuestre e interprete, la siguiente expresión:

n

n n n n

n

n

n n n n n n

nk

k

k

!

! ! ! !1 2 3 1

1

2

1 2

3

FHGIKJFHGIKJFHG

IKJFHGIKJ n n

; donde: n = n1+n2+n3+....+nk

3°) ¿Por qué es necesario que los procedimientos sean excluyentes para poder aplicar el principio aditivo?. Cite ejemplos de situaciones en donde no sean excluyentes. 4°) ¿En qué se convierte una variación sin repetición cuando m = n ?. 5°) Interprete la expresión: Vm,n = Cm,n x Pn . 6°) Demuestre e interprete desde el punto de vista combinatorio, la siguiente expresión: Vm,n = Vm-1,n + n Vm-1,n-1 . 7°) En un universo donde existen “m” elementos , algunos de ellos son indistinguibles entre si. Se seleccionan del universo “n < m” sin repetición. Si existe distinción de orden en el arreglo , ¿se puede aplicar la fórmula de las variaciones sin repetición, para calcular el número total de arreglos diferentes?. Si no existe distinción de orden en el arreglo , ¿ se puede aplicar la fórmula de las combinaciones sin repetición en este caso? . Explique y cite ejemplos.

Temas complementarios para investigar

1°) Investigue la deducción matemática de las diferentes fórmulas combinatorias que aparecen en este capítulo. 2°) Investigue acerca de las permutaciones cíclicas o circulares, su diferencia con las permutaciones lineales, y su fórmula de cálculo.

3°) Investigue acerca de la “Teoría de Particiones”. ¿ A qué se llaman particiones distinguibles y no distinguibles? . ¿ Como se calculan ?. 4°) Investigue acerca de la generalización de los números combinatorios. ¿Puede ser negativo alguno de sus términos? Problemas Propuestos I. Nivel Elemental


28º) Para formar las placas de un automóvil, hay que seleccionar dos letras cualquiera de las 24 del alfabeto, y tres dígitos del 0 al 9 . ¿Cuántas placas diferentes existen, si se permite la repetición tanto de letras como de dígitos ? Solución : 576.000 29 º) ¿ De cuantas maneras pueden repartirse sin repetición, tres premios entre cinco aspirantes, si los premios son: a) iguales. b) diferentes. ? Solución: a) 10 formas. b) 60 formas. 30 º) Con tres vocales y tres consonantes diferentes entre si. ¿Cuantas palabras distintas de seis letras pueden formarse, con la condición de que no haya dos vocales, ni dos consonantes juntas.? Solución: 72 palabras. 31 º) ¿ Cuantos juegos diferentes le pueden corresponder a un jugador de dominó, al seleccionar sus siete piedras ?. Solución: 1.184.040 32 º) ¿De cuantas maneras diferentes se pueden repartir las 28 piedras del dominó, entre los cuatro jugadores ?. Solución: 4,725183 x 1014 33 º) Con tres vocales y tres consonantes diferentes entre si. ¿Cuantas palabras distintas de seis letras pueden formarse, con la condición de que no haya dos vocales, ni dos consonantes juntas.? Solución: 72 palabras. 34 º) ¿De cuantas formas se pueden colocar tres objetos indistinguibles en ocho cajas distintas, si cada objeto ocupa una caja ? Solución: 56 35 º) Cuatro personas entre las cuales hay un matrimonio, van a hospedarse en un hotel, donde existen dos habitaciones matrimoniales y cinco habitaciones sencillas disponibles. ¿De cuantas maneras distintas pueden alojarse?. Solución: 40 36 º) Cinco personas viajarán en el curso de la semana próxima ( 7 días hábiles). ¿De cuantas formas pueden realizarse esos viajes?. Solución: 16.807 37 º) Un equipo de fútbol tiene programado nueve partidos contra equipos diferentes durante la temporada. ¿De cuantas formas puede terminar con cuatro ganados, dos empatados y tres perdidos? Solución: 1260 38 º) El menú de un restaurante permite con un precio único, elegir una sopa, una carne con dos acompañantes, una bebida, un postre y café o té. Existen tres tipos de sopa, tres variedades de carne, cinco acompañantes, cuatro bebidas y cinco postres. ¿ De cuantas formas puede un cliente que haga la selección completa, ordenar su comida ? . Solución : 3.600


39 º) Un automóvil puede llevar dos personas en el asiento delantero y una en el asiento trasero. Si entre seis personas, solo dos conducen, ¿de cuantas maneras se puede llenar el automóvil ? . Solución: 40 40 º) En un campeonato de béisbol hay 8 equipos. ¿ Cuantos juegos serán necesarios, si cada equipo debe jugar dos veces en su campo, contra cada uno de los contrarios ? . Solución: 112 juegos 41 º) Una junta directiva de cinco cargos diferentes, debe estar formada por 3 hombres y 2 mujeres. ¿ De cuantas maneras diferentes se puede formar dicha junta, si se dispone de 7 hombres y de 5 mujeres ? Solución: 42.000 42 º) Se tienen los números 5874 y 12369. ¿Cuantos números enteros diferentes pueden formarse, con dos cifras no repetidas del primero y tres no repetidas del segundo.? Solución: 7200 43 º) Una persona va a ofrecer una cena para seis invitados. a) ¿ De cuantas maneras puede seleccionar entre diez de sus amigos? b) ¿ De cuantas maneras, si entre sus diez amigos hay dos que no pueden estar juntos?. Soluciones: a ) 210 b)140 44 º) Un examen de selección múltiple tiene diez preguntas. Al llenar la hoja de respuestas, el estudiante debe elegir una de tres alternativas, no responder la pregunta, responder verdadero o responder falso. ¿De cuantas maneras puede llenar la hoja de respuestas?. Solución : 59.049 II. Nivel Intermedio 45 º) ¿Cuántas diagonales tiene un polígono convexo de 12 lados? . Solución: 54 46 º) Siete personas, entre las cuales sólo dos conducen, alquilan dos vehículos distintos, que tienen una capacidad de cinco puestos cada uno. ¿De cuantas formas pueden distribuirse entre los dos vehículos? . Solución: 60 47 º) Una ciudad está perfectamente cuadriculada como un tablero de ajedrez, es decir con ocho filas horizontales y ocho columnas verticales. Una persona se encuentra en la esquina inferior izquierda, y debe caminar hasta la esquina superior derecha, siguiendo la trayectoria más corta posible. ¿ De cuantas formas puede hacerlo ?. Solución: 12.870 48 º) Una señora posee tres anillos diferentes, que puede ponérselos en ocho dedos de la mano. ¿De cuantas formas puede lucirlos si: a) no puede llevar más de un anillo por dedo?. b) puede llevar uno o más anillos por dedo?. c) puede llevar uno o más anillos por dedo, y además importa el orden de los anillos en el dedo? Soluciones: a) 336 b) 512 c) 720


49 º) Se trazan diez rectas en un mismo plano, cuatro paralelas entre si, y otras seis no paralelas a la anteriores, ni entre si. ¿ Cual es el máximo número de puntos de corte, que es posible encontrar ?. Solución: 39 50 º) ¿ Cuantas derivadas parciales diferentes de orden cinco, tiene una función de tres variables independientes ?. Solución: 21 51º) De un conjunto de “m” personas entre quienes se encuentra el Sr. X, se eligen n < m, para desempeñar “n” cargos diferentes. a) ¿Cuántas formas de elección son posibles?. b) ¿Cuántas formas son posibles, sin seleccionar al Sr. X ?. c) ¿Cuántas formas son posibles, si al Sr. X se le asigna algún cargo?. d) ¿Qué relación existe entre los tres resultados anteriores ?. Solución: Véase pregunta de revisión N° 6. 52 º) ¿De cuantas maneras pueden distribuirse seis juguetes diferentes entre cuatro niños, de modo que a cada niño le corresponda un juguete por lo menos? Solución: 1560 maneras. 53 º) En una fiesta hay 8 muchachos y 6 muchachas. ¿De cuantas maneras distintas pueden estar bailando, si siempre deben estar exactamente cuatro parejas sobre la pista ? . Solución: 25.200 maneras 54 º) En una caja hay ocho pelotas ,de las cuales tres son blancas y no distinguibles, y cinco son de otros colores todos diferentes. ¿De cuantas maneras se pueden sacar tres pelotas ? Solución : 26 55 º) Una familia de cuatro personas debe viajar un determinado día en avión. Ese día existen seis vuelos con diferentes horarios . ¿ De cuantas maneras pueden organizar el viaje, con dos de ellos en un avión y los otros dos en otro ?. Solución : 90 56º) ¿Cuántos ceros tiene el factorial del número 150?. Solución: 37 ceros

Nivel Avanzado 57 º) Demostrar las siguientes identidades combinatorias:

a) 11

1

2

2

3

1n n n n r

r

n r

r

b) n n n n

nn

nn

n

02

13

24

31 2 2

1 ( ) ( )


c) m

n

m

n

m

n

m n m n m

n1

1 2

1 1

1

0

1

1

d) n

n

n

n

nn

n

n

n

n

n n

12

2

1

33

2 1

1

2

( )

58 º) La primera fila de un teatro tiene “n” butacas. ¿De cuantas maneras pueden sentarse tres personas, con la condición de que por lo menos dos de ellas queden juntas ?. Solución : 6 (n - 2)2 . 59 º) Se tienen “n” puntos en el plano tales que tres cualesquiera de ellos no son colineales, y se trazan todas las rectas posibles al unir cada par de puntos. Hallar el número máximo de puntos de intersección entre las rectas trazadas.

Solución : n n n(n )3 26 11 2

8

60 º) Doce monedas del mismo valor van a ser repartidas entre cuatro personas. ¿De cuantas maneras diferentes se puede hacer el reparto, si cada persona debe recibir por lo menos una moneda?. Solución: 165 61 º) Halle la suma de todos los números de cinco cifras (repetidas o no), que se pueden formar con los dígitos 1 , 2 , 3 y 4. Solución : 28.444.160 62 º) Se tienen “n” puntos en el espacio tales que cuatro cualesquiera de ellos no están sobre un mismo plano, y se construyen todos los planos determinados por cada terna de puntos. Calcule el número máximo de rectas de intersección que es

posible hallar. Solución: n n n n(n )(n )1 5 10 80 60

72

4 3 2

63º) Los números binarios utilizan como dígitos sólo al cero y al uno. Suponga que

se quiere formar un número binario que contenga “n” ceros y “k” unos (n > k) , con

la condición de que los unos no estén nunca en forma consecutiva. ¿Cuántos

números binarios diferentes es posible formar? Solución:

n 1 n 1 n 1 n 12

n k n k 1 n k 1 n k 1

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