Análise Espectral Análise de Fourier (análise harmônica) - decompor série temporal de um...

Análise Espectral

Análise de Fourier (análise harmônica)

- decompor série temporal de um fenômeno na soma de várias ondas (co)senoidais. prover modelo determinístico de previsão de um fenômeno

-Referências1) Jenkins and Watts (1968). Spectral analysis and its

applications.2) Wilks, D. (2006) Statistical Methods in Atmospheric

Sciences (item 8.4)

Jean Baptiste J. Fourier (1768-1830)

Onda quadrada como soma de 5 funções periódicas

1

Climatologia II - ACA226 (Iag/USP)

2

-2

-1

0

1

2

Definições

Função periódica: f(x) = f(x+L), período L

Lxxf 2cos

Série de Fourier:

eventos n N tq, tempode totalintervalo

tX eventos dos tempode discreto intervalo média iaestacionár série uma de t tempono medida

Seja

o

tX

Seja N = 2n (par) por simplicidade, Xr = X(t=r) , função discreta e contínua

t = r, r [-n,...,0,...,n-1]

L

t

x(t)

T

X(t)=Xr

-n (n-1)

▲

x=0

3

Por definição : Série de Fourier de Xr ou X(t) é

tnAtmsenBtmAAtX n

n

mmm 2cos.2.2cos.2

1

10

NrnA

NrmsenB

NrmAAX n

n

mmmr 2cos.2.2cos.2

1

10

N

rNrt Como

equações N e incógnitas N2n21-n2 portanto constantes escoeficient 2A ,A

constantes escoeficient 1-nBconstantes escoeficient 1-nA

Onden0

m

m

m=0 m=n


4

NmrA

mNrA mm .2cos2cos

mm frA 2cos

períodociclosm

Nmfm ,

tr

Am

-Am

harmônico o é 2cos2cos2cos

mNrA

mtAtmAtf mmm

Freqüência = 1/período

t fm


5

xr

xr

r

r

eventos N/1 lFundamentaFrequência de chamada

baixa mais frequência harmônico) (1 1

1

o

1

mN

f

Série temporal Xr

N eventos


6

eventos

f

m

N/2 N2

harmônico) (2 2

2

o

eventos 2 N/n alta mais Frequência

harmônico) (enésimo 21

2

nmnnfm

A função X(t) é composta da soma de senossenos e cossenoscossenos cujas frequências são harmônicosharmônicos ou múltiplosmúltiplos da frequência fundamental(n harmônicos)

xr

r

xr

r


7


8

possível frequência única a é

11

21

2

de espaçados

dados com medidaser depossível frequênciamaior

nnnfn

Múltiplos harmônicos embutidos

Tx(t)

t

x(t)

t


9

00,10,20,30,40,50,6

0 1 2 3 4 5

21

11

nm

mmfm

n harmônicos de frequêncian harmônicos de frequência

N/2 = total de harmônicos

fixa está mf e N dados m N

fm = m/N

m

110N

exemplo

11f constante oespaçamentN


10

O que significa m=0 ?

12cos

02

NrmNrmsen

fm(m =0) = 0

Média

t

A0

x(t)

t


11

Cálculo dos coeficientes ACálculo dos coeficientes Amm e B e Bmm

Solução:Solução: sabendo as integrais notáveis

P3 ortogonais são

fase de cos

n0,mK , mK , 0

n0,mK ,22cos2cos

P2 ortogonais são

fase desen

n0,mKou mK , n0,mK ,2

22

P1 ortogonais são

cos esen I mK, 02cos2

1

rmrK

rmsenrKsen

rmrKsen

SPORP

n

nr


12

Cálculo dos coeficientes Am e Bm

rmsenXN

B

rmsen

rmXN

A

rm

n

nrrm

n

nrrm

21

n0,K t.q.2por (1) em X ndomultiplica

2cos1:r emsomar e

n0,K t.q.2cospor (1) em X ndomultiplica

1

r

1

r

(Obs) Se N é ímpar tq N = 2n-1 solução idêntica com An = 0


13

Representação dos coeficientes de Fourier na forma complexa, em Amplitude e Fase

(fase) )(amplitude

cos

222

mmm

mmm

mmm

mmm

ABarctgBAR

senRBRA

imaginário eixo real eixo

m

m

iBA

Define-se Xm = coeficiente complexo de Fourier

Euler de relação cos

coscos

mmii

mm

mmmmmmmmmm

iseneeRX

isenRsenRiRiBAXmm

1 21 2 1 onde então

n

nr

Nrmi

rm

n

nm

Nrmi

mr eXN

XeXX

O cálculo de (Am,Bm) (ou Xm) é chamado de Transformada Discreta de FourierTransformada Discreta de Fourier

-Im(i)

Re-Bm

Am

m


14

de oVerificaçã

1

1

2.2cos.2n

mmmr

rmsenBrmAX

1 2

n

nm

Nrmi

mr eXX


15

Cálculo de XCálculo de Xmm

senos Multiplica imaginária Partecossenos Multiplica real Parte

1 2

212cos1

cos11

rr

rrm

rmmr

n

nr

Nrmi

rm

NrmsenX

Ni

NrmX

NX

isenXN

eXN

X


16

Cálculo de XCálculo de XmmExemplo:

Calcular os harmônicosm (-n,n-1) = (-4,3)

31

4

42Nn pontos, 8 N

n

nr


17

r Xr -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3-4 8 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0-3 9 -1 0.71 0 -0.71 1 0.71 0 0.71 0 0.71 -1 0.71 0 -0.71 1 -0.71-2 9 1 0 -1 0 1 0 -1 0 0 1 0 -1 0 1 0 -1-1 6 -1 -0.71 0 0.71 1 0.71 0 -0.71 0 0.71 1 0.71 0 -0.71 -1 -0.710 10 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 01 3 -1 -0.71 0 0.71 1 0.71 0 -0.71 0 -0.71 -1 -0.71 0 0.71 1 0.712 5 1 0 -1 0 1 0 -1 0 0 1 0 -1 0 1 0 -13 6 -1 0.71 0 -0.71 1 -0.71 0 0.71 0 -0.71 1 -0.71 0 0.71 -1 0.71

1.00 0.78 0.50 -0.28 7.00 -0.28 0.50 0.78 0.00 0.03 0.00 1.03 0.00 -1.03 0.00 -0.30

real Parte

..2cos1 NrmXN r

r

imaginária Parte

..21 NrmsenXN r

Xm* (Conjugado Complexo)-------- Média A0

rmfm

rmfm

Nrm..2cos Nrmsen ..2

m Xm=Am-i.Bm -4 1.00

x4 (4º harmônico) --------f Nyquist

-3 0.78 -i 0.03 x3 (3º harmônico) -2 0.50

x2 (2º harmônico)

-1 -0.28 -i 0.03 x1 (1º harmônico) 0 7.00

1 -0.28 +i 0.03 2 0.50

3 0.78 +i 0.03

m m

-i 1.03

+i 1.03


18

Exemplo

Reconstituir X (r = - 4)


19

Espectro de Energia

12

02

1

10

1 será série da variânciaa então

cos..cos.2

n

nrrx

mn

n

mmmmmr

AXN

s

AsenBAAX

Parseval de Teorema como conhecido é que o

XR

2...

2m

2m

21

1

222

n

n

mmmx ABAsou


200

1

2

3

0 1 2 3 4 5

Exemplo anterior:

Xm=Am-i.Bm

x4 (4º harmônico) 1.00 x3 (3º harmônico) 0.78 -i 0.03

x2 (2º harmônico) 0.50 x1 (1º harmônico) -0.28 -i 0.03

Média 7.00

-0.28 +i 0.03

0.50

0.78 +i 0.03

(fração da variância que cada harmônico responde)

22 2 mm XXs %10022 xm sX 1*1.0 20.0 %

2*0.609 24.4 % 2*0.25 10.0 %

2*1.139 45.6 % 0.52 xs 100 %

chamado Espectro Discreto de Energia

ou Periodograma(às vezes chamado espectro de linha de Fourier, pelas linhas (bandas) de frequência discretas

S2(Xm)

m

-i 1.03

+i 1.03


21

Espectro de Energia (contínuo)

dfefStXT

TeTXeXX

eXN

XeXX

fti

Ttmi

mNrmi

mr

Nrmi

rmNrmi

mr

2

r

m

m

-m

2

-m

2

rm

1-n

-nr

21-n

-nm

2

X(t) XS(f)f de função )(TX

df sfrequência oespaçament 1Tmf

(I) mas

1 i)

),(- T Contínua SérieX deFourier de TransfX

1 onde discreta érieS


22

energia de Espectro de chamadocontínuo caso no X(t) deFourier de Transf é S(f)

)()()()()(

NTX(t)dt X e

(I) ),( m ),( T com mas

1 ii)

22

r

1

-r

2

dtetXfSdtetXTTXT

eXN

X

ftiftim

n

n

Nrmi

rm


23

Espectro de PotênciaA variância da série Xr segundo Teorema de Parseval

mm

TT

mmx T

XTXs 1222

dffdfXTsfm

mx

ou

22

(f) é chamado de espectro de potência de Fourier (contínuo)

Tdf

T1 mas

(f)

f

área sob curva Sx2

(a variância da série é igual à integral do espectro de potência)


24

Exemplos:

fb2

fb22fS

bt0 a,b t,0

tX )1(

senab

22412fS

tX )2(

f

e t

TF de uma constante é uma função delta

X(t)

tb

a

0

S(f)

f0 b2

1b1

b23

X(t)

t

S(f)

f

Dominado pela baixa frequência

Dominado pelas baixas frequências


25

----- pulso rápido TF tende a ficar constanteanálogo a ruído branco

___ pulso longo TF dominada na baixa frequenciaanálogo a ruído vermelho

X(t)

t

41 2 3

1

S(f)

f

81

83

21

41 1


26

Exemplo:

a) Manchas solares

b) Remoção da tendencia linear

c) Periodograma em frequencia (ciclos / ano)

ou inversamente em (anos/ciclo)


27

Periodograma, em (cpa = ciclos / ano) , Inglaterra

(a) Temperatura média mensal (1 cpa = 1 ano)

(c) Temperatura média anual, Inglaterra (0,05 cpa = 20 anos ; 0,18 = 6 anos ...)


28

Espectro de uma série da pressão atmosférica média horária (Denver, EUA)

Pico em 10-4 h-1 = ciclo anual

Pico em 0.008 h-1 = 5 dias

Picos em 24/n horas, para n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, e 12 (ciclo diurno, que não tem uma representação senóide exata, mas sim composta por vários harmonicos do fundamental de 24h)


29

Espectro série de temperatura do ar média horária (Denver, EUA)

Pico em 10-4 h-1 = ciclo anual

Ciclo diurno (similar ao da pressão atmosférica)


30

Espectro da energia cinética obtido na camada superficial e na atmosfera livre, com radiossondas nos EUA e ex-URSS. (análogo à Fig. 2.4 de Peixoto e Oort)


31

Dados meteorológicos de alta frequencia (por ex. taxa de amostragem 5 Hz)

Várias representações do espectro de energia, de dados de velocidade do vento. Fonte: Stull 1994 (Introduction to Boundary Layer Meteorology)


32Espectros com ruídos (vermelho, branco, azul) Fonte: Stull 1994 (Introduction to Boundary Layer Meteorology)


33

Aliasing (“imagem” ou “sombra”) provoca o rebatimento da energia das frequências acima da frequência de Nyquist, para a região de frequencias mais baixas, distorcendo o espectro (hachurado em azul).

Teorema de amostragem (ou de Nyquist-Shannon)

Um sinal contínuo no tempo, cuja mais elevada frequencia natural de oscilação é fmax (uma de suas propriedades), deve ter uma taxa de amostragem (sampling rate) fs tal que fs ≥ 2·fmax (chamada taxa de amostragem de Nyquist)

para que o sinal possa ser reconstruído sem aliasing (ou distorção do espectro).

Isto determina na reconstrução do espectro (sistema discreto no tempo), a frequencia de folding, ou frequencia de cut-off, igual a fmax, chamada de frequencia de Nyquist.

34

Função de autocorrelação e espectroDef: Def: Função de autocorrelação r(t)

tN

t txttxtxtr

1 var

,cov

1varcov0 trt

Sem memória (processo puramente aleatório) dos processos estocásticos

(correlograma)t


35

Padrões de correlogramas

Efeitos de

- Memória

-Tendência linear (baixa frequencia)

-periodicidade


36

Relação entre espectro e autocovariânciaSeja o espectro de potência de uma série contínua igual a (m), ou para uma série discreta, igual a C(m), definido como:

ânciaautocovari de função daFourier de ada transforma é potência de espectro o seja,ou

contínua) (forma ,

Tmf seou t u lag ,

'11

2

1

0

2

1

0'

'21

0

2

*2

dueucf

eucmC

etXT

etXT

T

XTXXmTmC

fuiT

T

n

u

uTmi

n

t

Tmtin

t

Tmti

mm

37

Notas adicionaisA análise de Fourier trabalha

com séries estacionárias, cujas frequências (harmônicos) são constantes no tempo, e dependem do número de eventos (máximo = N/2) portanto fixas (espaçadas de 1/T).

A técnica de Wavelet, chamada de “ondeletas” ou “ondaletas” de Morlet, representa em muitos casos uma alternativa dessa simplificação, ao abordar quais frequências dominam ao longo do tempo, e com melhor resolução.

38

Notas adicionais

2. A transformada discreta de Fourier computacionalmente é um algoritmo que demanda um elevado número de operações matemáticas, sendo pouco eficiente para amostras com muito eventos (N alto).

Na prática, nos softwares estatísticos que calculam o espectro de energia e/ou espectro de potência, utiliza-se o algoritmo da Fast Fourier Transform (FFT) ou Transformada Rápida de Fourier, desenvolvido por 2 pesquisadores da IBM em 1965 (Cooley & Tukey), que foi baseado em principios descritos por Gauss (1805).

39

Janelas de suavização do espectro

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