Tugas Analisis Variansi Terapan

Analysis of Covariance (ANACOVA)

Disusun oleh :

Rindang Ndaru P Yuna Argadewi (13696)

Lusiana Roulina Sinaga (13709) Jusriaty M Purba

Idola S S Gultom Tri Rokhmatun S

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS GADJAH MADA

YOGYAKARTA

2013

Analysis of Covariance(ANACOVA)

ANCOVA merupakan teknik analisis yang berguna untuk meningkatkan presisi sebuah percobaan karena didalamnya dilakukan pengaturan terhadap pengaruh peubah bebas lain yang tidak terkontrol. ANCOVA digunakan jika peubah bebasnya mencakup variabel kuantitatif dan kualitatif. Dalam ANCOVA digunakan konsep ANOVA dan analisis regresi.

Model ANCOVA dengan satu covariate

y ij=μ+τ i+ β x ij+εij , i=1,2 ,…,a j=1,2 ,…,ni

dimana:yij : nilai peubah respon pada perlakuan ke-i observasi ke-jxij : nilai covariate pada observasi yang bersesuaian dengan yijτi : pengaruh perlakuan ke-iβ : koefisien regresi linierƐij : random errora : banyaknya kategori pada perlakuanni : banyaknya observasi pada kategori ke-i

Asumsi dalam ANCOVA

1. X adalah fixed, diukur tanpa error dan independen terhadap perlakuan (tidak dipengaruhi oleh perlakuan).

2. Ɛij mengikuti sebaran NID (o,σ2).3. β ≠ 0 yang mengindikasikan bahwa antara x dan y terdapat hubungan linier.

Estimasi Parameter Anacova

Variabel Y

SSTOy=∑i=1

t

∑j=1

r

(Y ij−Y .. )2=¿∑i=1

r

∑j=1

t

Y ij2−Y….

2

tr¿SSTR y=∑

i=1

t

(Y i−Y ..)²=∑ Y i .2

r−Y .. ²rt

SSE y=∑i=1

t

∑j=1

r

(Y ij−Y i .) ²

SSTOy=SSTR y+SSE y

Variabel X

SST x=∑i=1

t

∑j=1

r

( X ij−X .. )2=¿∑

i=1

t

∑j=1

r

X ij2−X….

2

rt¿

SSTRx=∑i=1

t

(X i−X ..) ²=∑ X i .2

r− X ..²rt

SSE x=∑i=1

t

∑j=1

r

(X ij−X i .) ²

SSTOx=SSTR x+SSEx

Variabel XY

SSTOxy=∑i=1

t

∑j=1

r

(X ij−X ..) (Y ij−Y .. )=¿∑i=1

t

∑j=1

r

X ijY ij−X ..Y ..rt

¿

SSTRxy=∑ (X i .−X ..)(Y i.−Y ..)=∑i

X i .Y j .

r− X ..Y ..

rt

SSE xy=∑i∑j

( X ij−X i .) (Y ij−Y i. )

SSTOxy=SSTR xy+SSExy

SSTO (adj . )=SSTO y−(SSTOxy )

2

SSTOx

SSE (adj . )=SSE y−(SSExy )

2

SSE x

SSTR(adj.) = SSTO(adj.) – SSE(adj.)

MSTR (adj . )= SSTR(adj)t−1

MSE (adj . )=SSE (Adj)t (r−1 )−1

Tabel ANOVA

Tabel Analisis Kovariansi Single Factor dengan satu kovariat:

Sum of SquaresY X YX df

Treatments

ErrorTotal

Tabel Analisis kovariat sebagai koreksi dari ANAVA:

Sumber Variasi Adjusted SS Adjusted df Adjusted MS F ratioTreatments SSTR (adj) t-1 MSTR (adj)

MSTR(adj)/ MSE(adj)

Error SSE (adj) t (r-1) - 1 MSE (adj)Total SST (adj) tr-1

Uji Hipotesis

Pengujian hipotesis dilakukan untuk mengetahui apakah ada hubungan linier antara covariate dengan peubah respon dan untuk mengetahui pengaruh perbedaaan perlakuan terhadap peubah respon.

Pengujian untuk mengetahui hubungan linier antara covariate dengan peubah respon, dengan menghilangkan pengaruh perlakuan

Hipotesis Ho : β = 0 (Tidak ada hubungan linier antara covariate dengan peubah respon)

H1 : β ≠ 0 (Ada hubungan linier antara covariate dengan peubah respon)

Tingkat Signifikansi

Daerah KritikJika angka Sig.>0.05 maka H0 tidak ditolak, yang berarti tidak hubungan linier antara covariate dengan peubah respon.Jika angka Sig.<0.05 maka H0 ditolak, yang berarti hubungan linier antara covariate dengan peubah responHo ditolak jika Fhitung > F table

Statistik Uji

Kesimpulan

Pengujian untuk mengetahui pengaruh perbedaaan perlakuan terhadap peubah respon, dengan menghilangkan pengaruh covariate

Hipotesis H0 : τ1 = τ2 = ...= τa = 0

(Tidak ada pengaruh perbedaaan perlakuan terhadap peubah respon)H1 : sekurang-kurangnya ada satu τi ≠ 0, i = 1, 2, ...a (Ada pengaruh perbedaaan perlakuan terhadap peubah respon)

Tingkat Signifikansi

Daerah Kritik Jika angka Sig.>0.05 maka H0 tidak ditolak, yang berarti tidak ada pengaruh perbedaan perlakuan terhadap peubah respon.Jika angka Sig.<0.05 maka H0 ditolak, yang berarti ada pengaruh perbedaan perlakuan terhadap peubah respon. Ho ditolak jika Fhitung > F table

Statistik Uji

Kesimpulan

Contoh Soal

Dalam sebuah penelitian pendidikan akan diselidiki mengenai perbedaan metode yang diajarkan, yaitu Metode A yang mengaplikasikan komputer dengan Metode B yang menggunakan pembelajaran tradisional.

Diambil 10 siswa untuk masing-masing metode dan kemudian diukur kemampuan menulis dan IQ dari siswa tersebut. Apakah ada pengaruh metode yang diajarkan terhadap kemampuan menulis siswa?

t=2 (metode A dan metode B)

r=10(jumlah siswa tiap metode)

Y =writing performance / kemampuan menulis

X = IQ

Metode A = mengaplikasikan computer

Metode B = tradisional

Analisis Variansi untuk variable X

SSTOx=¿Sum Square Total Varibabel X

SSTOx=∑i∑j

X ij2− X ..2

tr = (88)2+¿1574,95

SSTRx = Sum Square Regression Varibabel X

SSTRx=∑i

X i.2

r− X ..2

tr= 9782+10312

10−20092

10x 2=140.45

SSE x = Sum Square Error Varibabel X

SSEX=SSTO x−SSTR xSSE x=1574.97−¿140.45 = 1434.5

Analisis Variansi untuk variable Y

SSTOy=¿Sum Square Total Varibabel Y

SSTOy=∑i∑j

Y ij2−Y ..2

tr = (66)2+¿3573.75

SSTR y = Sum Square Regression Varibabel Y

SSTR y=∑i

Y i .2

r−Y ..2

tr= 8132+8422

10−16552

10 x2=42.05

SSE y = Sum Square Error Varibabel Y

SSEy=SSTO y−SSTR ySSE y=3573.75−42.05=3531.7

Analisis Variansi untuk variable XY

SSTOxy=¿Sum Square Total Varibabel XY

SSTOxy=∑i∑j

XY ij2− XY ..2

tr = (88 x 66)2+¿2231.25

SSTRxy = Sum Square Regression Varibabel XY

SSTRxy=∑i

XY i .2

r− XY ..2

tr=

(978 x 813)+(1031 x824 )❑

10−2009 x1655

10 x2=76.85

SSE xy = Sum Square Error Varibabel XY

SSE xy=SS ¿¿xy−SSTR xySSE xy=2231.25−76.85=2154.4

SSTO (adj . )=SSTOY−(SSTO¿¿ xy)2

SSTOx

=3573.75−(2231.25)2

1574,95¿ = 412.7121

SSE (adj . )=SSTEY−(SSE ¿¿ xy)2

SSEx=3531.7−

(2154.4)2

1434.5=296.120¿

SSTR (adj . )=SSTO (adj . )−SSE (adj . )=412.7121−296.120=116.592045

MSTR ( Adj )=SSTR(Adj)t−1

=116.5920452−1

=116.592045

MSE ( Adj )= SSE(Adj)t (r−1 )−1

= 296.1202 (10−1 )−1

=17.41883

SSdf AdjSS Adj df Aadj ms FX Y XY

Treatmenr 140.45 42.05 76.85 1 116.592 1 116.592

6.693449

Error 1434.5 3531.7 2154.4 18296.120

1 1717.4188

3

Total1574.9

53573.7

52231.2

5 19412.712

1 19

Hipotesis :

H0 : τ1 = τ2= 0

H1 : ada τi ≠ 0

Tingkat signifikasi : α = 0,05

Statistik uji : F hitung = 6.693449

Daerah kritis : H0 ditolak jika

F hitung > F(α;t-1;t(r-1)-1

F hitung > F(5%;2-1;2(10-1)-1

F hitung > F(5%,1,17)

F hitung > 4.45

Kesimpulan : Karena F-hitung =6.693449 sedangkan F(5%,1,17) =4.45

maka H0 ditolak, artinya ada pengaruh metode pembelajaran terhadap

kemampuan menulis siswa