Amca2010 Submission 87

7/31/2019 Amca2010 Submission 87

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Diferenciador Robusto Exacto y Uniforme

Emmanuel Cruz-Zavala Jaime A. MorenoCoordinacion Electrica y Computacion,

Instituto de Ingeniera,

Universidad Nacional Autonoma de Mexico,

04510 Mexico D.F., Mexico

Email: [email protected], [email protected]

Leonid M. FridmanDivision de Ingeniera Electrica,

Facultad de Ingeniera,

Universidad Nacional Autonoma de Mexico,

04510 Mexico D.F., Mexico

Email: [email protected]

Resumen En este artculo se presenta un DiferenciadorRobusto Exacto y Uniforme (DREU). Los diferenciadoresbasados en el Algoritmo del Super-Twisting (AST) brindanconvergencia exacta y en tiempo finito a la derivada de la se nalde entrada, cuando la derivada es Lipschitz. Sin embargo, eltiempo de convergencia de estos diferenciadores crece sin cotacon crecimiento de las condiciones iniciales de la derivada.El DREU es una modificacion del AST, que incluye terminos

de alto orden, los cuales proveen convergencia uniforme conrespecto a las condiciones iniciales. Por lo tanto, el DREUconverge exactamente a la derivada de la senal de entrada yel tiempo de convergencia esta uniformemente acotado poruna constante. El analisis y diseno del diferenciador estabasado en funciones fuertes de Lyapunov.

Palabras clave: Diferenciadores, convergencia exacta,convergencia uniforme, funciones fuertes de Lyapunov.

I. INTRODUCCION

En control, los diferenciadores tienen diversas aplica-

ciones: son parte importante de los controladores PID

clasicos; generalmente, son parte esencial en el control por

retroalimentacion de salida de sistema no lineales (Atassi,

2000; Levant, 2003); o son utilizados tambien como obser-

vadores. El principal reto en el diseno del diferenciador es

mantener tanto la exactitud como la robustez ante el ruido

y el muestreo de la senal (Levant, 1993; Levant, 2003).

En sistemas lineales, la aproximacion de la funcion de

transferencia de un diferenciador en una banda de frecuen-

cia ha sido extensamente utilizada (Rabiner, 1970; Ku-

mar, 1988). Los observadores de alta ganancia tambien

han sido muy utilizados como diferenciadores, y aplicados

al control por retroalimentacion de salida, dando algunos

resultados de separacion en esquemas de control no lineal

(Atassi, 2000; Khalil, 2002). No obstante, la sensibilidad

al ruido es fuertemente amplificada al utilizar gananciasgrandes y la presencia del efecto pico deteriora aun mas

su desempeno (Atassi, 2000; Khalil, 2002).

En contraste, algoritmos discontinuos se han empleado

como diferenciadores (Levant, 1998; Bartolini, 2000; Beja-

rano, 2007; Pisano, 2007). En particular, se ha mostrado que

el algoritmo del super-twisting se adapta muy bien como

diferenciador (Levant, 2003) ya que ofrece la mejor conver-

gencia posible en presencia de ruido deterministico acotado

medible en el sentido de Lebesgue y de la discretizacion

de la senal, cuando la segunda derivada de la senal base

es acotada (Levant, 2003). Esta clase de diferenciadores ha

sido utilizada para construir observadores exactos y robustos

con convergencia en tiempo finito (Filippov, 1988; Be-

jarano, 2007). La convergencia en tiempo finito es una

propiedad crucial para la estimacion de estados en sistema

hbridos, o para propiedades de separacion de sistemas

no lineales. La desventaja los observadores/diferenciadores

conocidos es que su tiempo de convergencia tiende a infinito

cuando la norma de la condiciones iniciales crece sin cota.Esto significa, que para sistemas hbridos no certeza de que

el estimador brinde el valor exacto de los estados antes

de que ocurra la siguiente conmutacion, si no se conoce

una cota de las condiciones iniciales a priori. Para control

por retroalimentacion de salida basado en un observador

de estados, significa que no se puede asegurar que el

observador converja antes de que las trayectorias de la

planta se escapen a infinito, si una cota de las condiciones

iniciales no es dada priori. Esto motiva la importancia de

tener observadores/diferenciadores que converjan exacta y

robustamente en tiempo finito, con tiempo de convergencia

acotado por una constante.

Metodolog a. Recientemente, funciones fuertes de Lya-

punov han sido desarrolladas para el Algoritmo del Super-

Twisting (AST) (Polyakov, 2009; Moreno, 2008; Moreno,

2009), permitiendo analizar la robustez del algoritmo pa-

ra una clase amplia de perturbaciones e incertidumbres.

Ademas, nuevos algoritmos han sido propuestos basados en

el AST (ver (Moreno, 2008; Moreno, 2009)), asegurando la

convergencia en tiempo finito y las caractersticas de robus-

tez mediante funciones de Lyapunov fuertes, y obtenendose

una formula para estimar el tiempo de convergencia.

Contribucion. El artculo introduce por primera vez la

nocion de convergencia exacta y uniforme y el diferencia-

dor robusto exacto y uniforme (DREU) es propuesto. ElDREU es una modificacion del diferenciador presentado

en (Levant, 1998), que incluye terminos de correccion de

alto grado, responsables de la propiedad de convergencia

uniforme y del tiempo de convergencia acotado por una

constante e independiente de las condiciones iniciales del

diferenciador. Ademas, se proponen dos funciones de Lya-

punov que garantizan la convergencia exacta y uniforme

del diferenciador. Una de ellas, demuestra las convergencia

uniforme (en la condicion inicial) de cada trayectoria a un

conjunto compacto que contiene al origen. La otra muestra

la convergencia exacta al origen de cada trayectoria inicida

Congreso Anual 2010 de la Asociacin de Mxico de Control Automtico. Puerto Vallarta, Jalisco, Mxico.


2/6

dentro de un conjunto compacto.

El artculo esta estructurado como sigue. En la seccion

II el DREU es presentado, y en la seccion III se presentan

los resultados principales. Seccion IV presenta las propo-

siciones empleadas para probar los resultados principales.

En la seccion V se muestra el algoritmo para estimar el

tiempo de convergencia y en la seccion VI un ejemplode simulacion es considerado. Finalmente, se presentan

algunas conclusiones.

II. ESTABLECIMIENTO DEL PROBLEMA Y RESULTADO

PRINCIPAL

Sea la senal de entrada f(t) al diferenciador una funciondefinida de [0, ). La funcion f(t) se asume que es unafuncion Lebesgue-medible y f(t) = f0(t) + v(t). El primertermino es la senal base f0(t) (desconocida) que tiene unaderivada con constante de Lipschitz conocida L > 0. Elsegundo termino corresponde al ruido v(t) que aparece en lasenal f0(t), el cual es desconocido, pero se asume acotado.La medicion discreta de la senal f(t) puede ser interpretadacomo un ruido que afecta a la senal de entrada. En ausencia

de ruido y considerando 0 = f0(t) y 1 = f0(t), larepresentacion de la senal en el modelo de estados es

0 = 1, 1 = f0. (1)

El objetivo es estimar robustamente f0(t) usando solamentela medicion de f0(t), en tiempo preescrito. Para diferenciarla senal de entrada desconocida, considere la siguiente ecua-

cion auxiliar x = z0, donde z0 es la salida del diferenciadorpropuesto. Sea 0 = z0 0 el error de estimacion entrela senal base y la integral de la salida del diferenciador,

aplicando el Algoritmo del Super-Twisting Generalizado(ASTG) modificado, se obtiene el siguiente esquema del

DREU

z0 = k11 (0) + z1, z1 = k22 (0) , (2)

k1 y k2 son ganancias positivas que se disenan apropiada-mente,

1 (0) = 1 |0|1

2 sign(0) + 2 |0|3

2 sign(0) ,

2 (0) =212

sign(0) + 2120 +3

222 |0|

2sign(0) ,

1, 2 0 son escalares. Cuando 1 = 1 y 2 = 0,el diferenciador robusto propuesto en (Levant, 1993) es

recuperado. El diseno de las ganancias del diferenciador

requiere solamente del conocimiento del parametro L, elcual tiene que satisfacer solomente |f0| L. Los termi-

nos de alto orden, |0|3

2 sign(0) y |0|2

sign(0) sonintroducidos mejorar las propiedades de convergencia del

diferenciador. De hecho, la convergencia es uniforme con

respecto a las condiciones iniciales en el dieferenciador

[citarme]. Respectivamente, z0 y z1 son las estimaciones def0(t) y f0(t). Las estimaciones son exactas en ausencia deruido si z0 = f0(t) y z0 = f0(t) (Levant, 2003). Definiendo1 = z1 1 como el error de estimacion entre la salida

del diferenciador y la primera derivada de la senal base, la

dinamica del error de diferenciacion esta dada por

0 = k11(0) + 1 , 1 = k22(0) f0(t) , (3)

donde |f0(t)| satisface |f0(t)| L, y 0 = 0 y 1 = 0 seestablecen en tiempo finito. Las soluciones del sistema (2)

son soluciones en el sentido de Filippov (Filippov, 1988).

Definicion 1: Un sistema es uniformemente convergente

con respecto a las condiciones iniciales si el tiempo de

convergencia de cualquier trayectoria del sistema a un

conjunto compacto arbitrario, que contiene el punto de

equilibrio en su interior, es acotado por una constante e

independiente de las condiciones iniciales.

Definicion 2: Un sistema es uniformemente convergente

en tiempo finito si converge al punto de equilibrio en tiempo

finito y el tiempo de convergencia de cualquier trayectoria

del sistema al punto de equilibrio esta acotado por una

constante que es independiente de las condiciones iniciales.

Definicion 3: Un sistema exactamente convergente si to-das sus trayectorias convergen al origen en tiempo finito

en presencia de perturbaciones que no se desvanecen en el

origen.

Definicion 4: Un sistema es exacta y uniformemente

convergente con respecto a las condiciones iniciales si es

exactamente convergente y el tiempo de convergencia de

cualquier trayectoria del sistema al origen esta acotado

por una constante que independiente de las condiciones

iniciales.

Teorema 1: Suponga que |f0(t)| L. Entonces, el errorde diferenciacion (3) es exacta y uniformemente convergente

asegurando la estimacion de f0 y f0 si las ganancias k1 y

k2 son seleccionadas de tal forma que ambas desigualdadesk21(k2

14

k21) > 2 y k2 > se satisfagan simultaneamente.

II-A. Precision del Diferenciador

Cuando la estimacion de la derivada es cercana a la

derivada de la senal de entrada, el DREU se aproxima

al diferenciador de Levant. Entonces, el DREU tiene la

misma precision que el diferenciador de Levant con respecto

a ruidos y mediciones discretas de f0(t). Si la senal deentrada tiene la forma f(t) = f0(t) + v(t) y v(t) es unafuncion Lebesgue-medible con magnitud |v(t)| , lasdesigualdades |z0 f0(t)| < 0, |z1 f0(t)| < 1

1/2

son establecidas con constantes positivas 0, 1. Si f0(t) es

muestreada con intervalos de muestreo constante > 0, lasdesigualdades |z0 f0(t)| < 0

2, |z1 f0(t)| < 1 sonestablecidas con constantes positivas 0,1, (Levant, 2003).

III. PRUEBA DEL TEOREMA 1

Considere f0(t) = 0, t 0, la ec.(3) se reduce a

0 = k11(0) + 1 , 1 = k22(0) (4)

Teorema 2: Para cualquier k1 > 0 y k2 > 0 el sistema(4) es uniformemente convergente en tiempo finito.



3/6

Para probar el teorema anterior, dos funciones de Lyapunov

son propuestas. La primera prueba la convergencia global

y en tiempo finito de cualquier trayectoria de (4) al origen,

pero no la uniformidad con respecto a condiciones iniciales

(Moreno, 2008), (Moreno, 2009). La segunda funcion de

Lyapunov se propone para mostrar que (4) es uniformemen-

te convergente. Ambas funciones prueban que el sistema (4)es exacta y uniformemente convergente.

III-A. Convergencia en Tiempo Finito

Se propone la siguiente funcion de Lyapunov global

fuerte para (4)

V1() = TP , (5)

donde el vector T =

1 (0) , 1

, y P = PT es unamatriz simetrica positiva definida, solucion de la Ecuacion

Algebraica de Lyapunov (EAL)

ATP + P A = Q , A =

k1 1k2 0

, (6)

con k1 > 0 y k2 > 0, la matriz A es Hurwitz y Q = QT > 0es una matriz simetrica positiva definida arbitraria.

Proposici on 1: Para cada Q > 0, la funcion (5) es unafuncion de Lyapunov global fuerte para el sistema (4),

donde P = PT > 0 es la unica matriz simetrica positivadefinida solucion de la EAL (6). Ademas, la derivada V1 dela funcion de Lyapunov tomada a lo largo de las trayectorias

del sistema satisface la desigualdad diferencial

V1 1 (Q, 1) V1

2

1 () 2 (Q, 2) |0|1

2 V1 () , (7)

donde

1 (Q, 1) 21

mn {Q}

21

2max{P}

, 2 (Q, 2) 23mn {Q}

2max {P}son escalares que dependen de la seleccion de 1, 2 y dela matriz Q. Las trayectorias de (4) comenzadas en 0 R2

convergen a cero en tiempo finito t1 menor a

t1 = 21(Q,1)V1

2

1

0

if 1 > 0Demostracion: Apendice A.

III-B. Funcion de Lyapunov homogenea

Para establecer la convergencia uniforme de (4) se pro-

pone una segunda funcion de Lyapunov.

Proposici on 2: Para > 0 suficientemente grande, lafuncion continua

V2 () = 3

k2 |0|3 0 |1|43 sign(1) +

2|1|2 , (8)

es una funcion de Lyapunov fuerte para el sistema (4).

Ademas

V2 () C1

V2()

2C4

76

Mas aun, el sistema (4) es uniformemente convergente y

el tiempo de convergencia uniforme a una bola de radio centrada en el origen esta dado por

t() =12

C1(

27C74

)1

6 for any > 0 ,

donde C1, C4 son constantes positivas independientes de lascondiciones iniciales (c.i).

Demostracion: Apendice B.

La derivada de V2() muestra que las trayectorias de (4)convergen asintoticamente a cero y que el sistema (4) es

uniformemente convergente. El Teorema 2 es una simple

consecuencia de la Proposiciones 1 y 2. El analisis de(4) con ambas funciones de Lyapunov muestra que la

convergencia en tiempo finito de debe a los terminos de bajo

orden, que son mas fuertes comparados con los terminos

de alto orden en una vecindad del origen. Por otro lado,

los terminos de alto grado son mas fuertes lejos del origen

que los de bajo orden, y son responsables de una velocidad

de convergencia rapida y de la propiedad de convergencia

uniforme. El analisis para la ecuacion dinamica (3) se hace

en manera similar. Utilizando la funcion (5) para (3), donde

P = PT > 0 ahora es solucion de la siguiente DesigualdadMatricial Lineal (DML)

ATP + P A + I+

2L/21

2 CTC P B

BTP 1

0 ,

(9)

donde C =

1 0

, BT =

0 1

.

Proposici on 3: Seleccionando las ganancias k1 y k2 sede tal forma que k2 > y k

21(k2

14

k21) > 2 se satisfagan

simultaneamente, la DML (9) siempre se satisface. Por lo

tanto, la funcion (5) es una funcion de Lyapunov fuerte

global para el sistema (4) que garantiza la convergencia

exacta de al origen. Ademas, la derivada V1 de la funcionde Lyapunov tomada a lo largo de las trayectorias del

sistema (3) satisface la desigualdad

V1 1 (P, ) V1

21 () 2 () |0|

1

2 V1 () , (10)

donde

1 (P, ) 21

21/2max {P}

, 2 () 23

2max {P}

son escalares positivos y las trayectorias de (4) comenzadas

en 0 R2 convergen a cero en tiempo finito T1 menor a

T1 4

1/2max{P}

21V1/21 (

0) (11)

aun en presencia de perturbaciones acotadas por L. De-

mostracion: Apendice C.Proposici on 4: La funcion continua (8) es una funcion

de Lyapunov robusta para (3). Mas aun, el sistema (3) es

uniformemente convergente bajo perturbaciones acotadas y

el tiempo de convergencia uniforme a una bola de radio centrada en el origen esta dado por

T2() =12

C1(

27C74

)1

6 for any > 0 , (12)

Demostracion: Apendice D.

La Proposiciones 3 y 4 garantizan que (3) es exacta y

uniformemente convergente cuando f0 es acotada.



4/6

IV. ESTIMACION DEL TIEMPO DE CONVERGENCIA

El tiempo de convergencia puede se estimado usando las

dos funciones de Lyapunov. Primero, hay que calcular el

tiempo de convergencia T2 a la vecindad de radio conla funcion V2(), con la funcion V1() se encuentra elconjunto invariante que contenga a la vecindad de radio .T1 es el tiempo de convergencia de la frontera del conjuntoinvariante al origen. La suma de T1 y T2 es un estimadodel tiempo de convergencia del DREU. El algoritmo para

estimar el tiempo de convergencia T del DREU es elsiguiente

Seleccionar las ganancias como en el Teorema 4 y

calcular Ci > 0,i = 1,.., 4 con > 0.Calcular como en la Proposicion (4). El tiempo deconvergencia al vecidad de radio esta dado por (12).Elegir 2 > y calcular el conjunto 2 = {(0, 1) :|V2(0, 1) 2}.Encontrar el conjunto 1 tal que 2 1 y 2 =

{(0, 1) : V1(0, 1) 1}. Entonces, el tiempo deconvergencia de la forntera del conjunto al origen

se calcula como T1 =4

1/2max

{P}

21

1/21 .

T = T1 + T2, es un estimado del tiempo de conver-gencia del DREU.

V. EJEMPLO DE SIMULACION

Se compara el diferenciador propuesto con el diferen-

ciador de Levant (Levant, 1993). Para simulacion, 1 =2 = 1 , L = 2,5 , k

21 = 2k2 y k2 = 6 y dos condiciones

iniciales para los diferenciadores z(0) = 0 y z(0) = 10fueron utilizadas. La senales de entrada son: f(t) = 5t +sin t + 0,01cos10t y f(t) = 5t + sin t + 0,001cos30t(tomadas de (Levant, 1993)). Los resultados que se obtienen

se muestran en la Fig. 1. Ambos diferenciadores convergen

0 2 4 6 8 100

1.6

2.4

3.2

4

4.8

5.6

6.4

7.2

f(t)=5t+sint+0.01cos10tdf/dt=5+cost0.1sint

df/dt

0 2 4 6 8 100.8

1.6

2.4

3.2

4

4.8

5.6

6.4

7.2

f(t)=5t+sint+0.001cos30tdf/dt=5+cost0.3sin30t

df/dt

0 2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

12

14

f(t)=5t+sint+0.01cos10tdf/dt=5+cost0.1sint

df/dt

0 2 4 6 8 100

2

4

6

8

10

12

14

f(t)=5t+sint+0.001cos30tdf/dt=5+cost0.3sin30t

df/dt

Figura 1. Graficas comparativas entre el DREU (azul) y el diferenciadorde Levant (verde)

exactamente. Sin embargo,como se muestra en la Fig. 2,

100

101

102

103

104

0

2

4

6

8

10

12

Condicin inicial z (0) (Escala logartmica)

TiempodeConvergencia

[s]

AsntotaDiferenciador de Levant

URED

Figura 2. Tiempo de convergencia cuando las condiciones iniciales crecenen ambos diferenciadores, con f(t) = 5t + sin t + 0 ,01cos10t comosenal de entrada.

el tiempo de convergencia diferenciador de Levant crece

en forma no acotada, cuando tambien la norma de la

condicion inicial crece. Mientras, el tiempo de convergenciadel DREU esta acotado por una constante, aun en presencia

de ruido.

VI. CONCLUSIONES

Un diferenciador robusto exacto y uniforme con res-

pecto ala condiciones iniciales es propuesto por primera

vez. Esencialmente se basa en una modificacion del di-

ferenciador (Levant, 1993). Terminos de alto orden son

agregados para mejorar las propiedades de convergencia del

diferenciador. Los terminos de alto orden son responsables

de la convergencia uniforme y los terminos de bajo orden

garantizan la convergencia exacta al origen. En analisis de

estabilidad fue dividido en dos partes. Primero, una funcion

de Lyapunov fue propuesta para probar la convergencia

exacta. Despues, otra funcion de Lyapunov fue propuesta

para probar la convergencia uniforme a una vencindad

arbitraria del origen.

VII. AGRADECIMIENTOS

Los autores agradecen el apoyo financiero del CONACyT

(Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologia), grant 56819,

Project 51244 Programa de Apoyo a Proyectos de Inves-

tigacion e Innovacion Tecnologica (PAPIIT) UNAM, grant

IN117610, y FONCICyT project 93302.

REFERENCIAS

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APENDICE A

El teermino 2 (0) = 1 (0) 1 (0), donde 1 (0) =

1

2|0|1

2

+ 322 |0|1

2. Desde que =

1 (0) {k11 (0) + 1}k22 (0)

= 1 (0) A ,

con T =

1 (0) , 1

y A como en (6). La derivadade V1() es

V1() = TP + TP = 1 (0)

T

ATP + P A

= 1 (0) TQ mn {Q}

1 (0)

22

21mn {Q}

21

2

max {P}V

1

2

1 () 23mn {Q}

2max {P}|0|

1

2 V1 () .

donde Q satisface la EAL(6), muestra que V () es unafuncion fuerte de Lyapunov y que las trayectorias con-

vergen en tiempo finito. Las desigualdades anteriores han

sido derivadas aplicando la desigualdad mn {P} 22

TP max {P} 22, donde

22 =

21 (0) +

21 =

21 |0|+212 |0|2

+22 |0|3

+21 es la norma Euclideana

de , y de la desigualdad 1 |0|1

2 2. De (7) y delprincipio de comparacion (Khalil, 2002), V ((t)) v (t)cuando V (0) v0. Entonces, la solucion de la ecuacion

diferencial v = 1v1

2 2 |0|1

2 v , v(0) = v0 0 estadada por

v(t) =

v1

2

0 12

t2

if 1 > 0 , 2 = 0 (13)

Por lo tanto, (t) converge a cero en tiempo finito (cuando1 > 0) en un tiempo (12).

APENDICE B

La norma homogenea se define como

r,p = n

i=1

|i|pri 1p

, Rn

donde p 1 y ri son los pesos de i. Con una seleccionespecial de los pesos, es posible escribir V2() en terminosde la norma homoegenea. De la desigualdad de Jensen [10,

Thm. 19, Section 2.10]

(|x1|s + |x2|

s)1

s (|x1|r + |x2|

r)1

r , x R2 , 0 < r < s ,

se tiene (|0|3 + |1|2)7

6 = ((|0|7

2 )6

7 + (|1|7

3 )6

7 )7

6

((|0|7

2 ) + (|1|7

3 ) = 7

2

r,p. Por lo tanto, si r1 = 1,

r2 =32 y p =

72 , |0|

7

2 + |1|7

3 = 7

2

r,p , 5

2

r,p

|0|5

2 + |1|5

3 25

2r,p ,

3

2r,p |0|

3

2 + |1| 23

2r,p

y 3r,p |0|3 + |1|2 23r,p. Finalmente de ladesigualdad clasica de Young

Lema 1: (Moreno, 2009) Para cada numero real a > 0,b > 0, c > 0, p > 1, q > 1, con 1p +

1q = 1 la siguiente

desigualdad se satisface

ab cpap

p+ cq

bq

q.

Primero se demuestra que V2 () es positiva definida. DelLema 1

|0| |1|4

3 p3p

|0|3

+3q3

q|1|

2 , p = 3, q =3

2, 3 > 0 ,

y de V2 () =3 k2 |0|

3

0 |1|

4

3

sign(1) +2 |1|

2

,

V2 ()

3k2

333

|0|

3+

2

2

3 3

2

3

|1|

2 ,

y V2 () > 0 si > max

33/k2 ,43

3

2

3

. Ahora

se demostrara que V2() es negativa fuera de un conjuntocompacto que contiene el origen. Tomando la derivada de

V2 () a lo largo de las trayectorias de (4) se obtiene

V2 () = k1k21 |0|5

2 + k11 |0|1

2 sign(0) |1|4

3 sign(1)

+2

321k2 |0| |1|

1

3 +8

3k212

20 |1|

1

3 |1|7

3

212 k2 sign(0) 1 2k21201 k1k2 |0|

7

2

+ k1 |0|3

2 sign(0) |1|4

3 sign(1) +4

3k2 |0|

3 |1|1

3

Usando las siguientes desigualdades derivadas del Lema 1

|0|3

2 |1|4

3 p1p

|0|7

2 +q1

q|1|

7

3 , p =7

3, q =

7

4, 1 > 0 ,

|0|3 |1|

1

3 p2p

|0|7

2 +q2

q|1|

7

3 , p =7

6, q = 7, 2 > 0 ,

|0|1

2 |1|4

3 p4p

|0|5

2 +q4

q|1|

5

3 , p = 5, q =5

4, 4 > 0,



6/6

|0| |1|1

3 p5p

|0|3

2 +q5

q|1| , p =

3

2, q = 3, 5 > 0,

|0|2 |1|

1

3 p6p

|0|5

2 +q6

q|1|

5

3 , p =5

4, q = 5, 6 > 0,

|0| |1| p7p

|0|5

2 +q7

q|1|

5

3 , p =5

2, q =

5

3, 7 > 0,

la funcion V2(x) cumple

V2 () 1 |0|7

2 2 |1|7

3 1 |0|5

2 + 2 |1|5

3

+ 3 |0|3

2 + 4 |1|

donde 1 = k1k2 3

7

3

1

7k1

87

6

2

7k2

2 = 1 4

74

1

7k1

47221

k2

1 = k1k21 k11545

8

3k212

45

2

6

5 2k212

25

2

7

5

2 = k114

54

4

5+

8

3k212

565

+ 2k2123

53

7

5

3 =49

21k23

2

5 y 4 =29

21k235 +

21

2k2. Desde que

C33r,p V2() 2C4

3r,p , donde

C3 = mn

3k2

333

,

2

2

33

2

3

,

C4 = max

3k2 +

333

,

2+

2

3 3

2

3

,

la derivada V2 () satisface

V2 () C1

2

72

r,p

C12

3

2

r,p

2r,p 2

2C1

r,p 2C2C1

donde C1 = mn {1, 2} , C2 = max {3, 4} . Ademas

V2 () C12

7

2

r,p C12

V2()

2C4

72

, (14)

donde = { R2|C1r,p 2 +

22 + 2C2C1}.Entonces V2 () < 0 (fuera de ) si

> 3

7

3

17k2

+ 8

7

6

27k1

, 1 > 4

74

17 k

1 + 4

7

221 k

2 .

Para toda k1 > 0, k2 > 0 ambas desigualdades puedenser siempre satisfechas seleccionando (, 1, 2) apropiada-mente. La solucion de la ecuacion diferencial esta dada por

v(t) =

C1

(2C4)7

6

t

12+

1

v1

6

0

6(15)

La cual se deduce de (14) y del principio de comparacion

(Khalil, 2002) que V2 ((t)) v (t) cuando V ((0)) v0.

El tiempo T(, v0) en ir de V2 ((t)) = v0 a V2 ((t)) = ,v0 > > 0, satisface

T(, v0) =12(2C4)

7

6

C1

1

1

6

1

v1

6

0

(16)

Note que T() = lmv0 T(, v0) =

6(2C4)7

6

C1 116

esconstante. Esto muestra que las soluciones del sistema (4)

llegan al conjunto (|V2() ) en un tiempo menor queT(), independientemente de las condiciones iniciales.

APENDICE C

Como el sistema (3) puede escribrirse como

=

1 (0) {k11 (0) + 1}

k22 (0) f0(t)

= 1 (0) (A B(t, 1)

donde BT =

0 1

, 1 = 1(0) y

(t, 1) =f0(t)

prime1=

2f0(t)sign(0)

(1 + 32|0|)(1 + 2|0|)1.

|f0(t)| L implica |(t, 1)| 2L|1|/21, o equivalente-mente

2(, ) = 2(t, ) +

2L

21

221

=

T 2L21

2CTC 0

0 1

0

donde C =

0 1

. La derivada de V1() es

V1() = 1

2

T ATP + P A P B

BTP 0

2

1

2T ATP + P A P B

BTP 0

2

+ 2(2, )

= 1

2

T ATP + P A + R P B

BTP 1

2

1

21

21/2max {P}

V1() 32

2max {P}|0|

1/2V1()

asumiendo que (9) se satisface, lo cual solo es posible si

k2 > y k21(k2

14

k21) > 2 se satisface simultaneamente

(Moreno, 2009). La solucion de la ecuacion diferencial

v = 1v1

2 2 |0|1

2 v , v(0) = v0 0 satisface

(13), con 1 = 1/21/2max {P}. Por lo tanto, (t) converge

robustamente a cero en tiempo finito (cuando 1 > 0) en

un tiempo (11).

APENDICE D

Tomando la derivada de V2 () a lo largo de las trayec-torias de (3) y considerando f0 L

V2 () 1 |1|7

2 2 |1|7

3 1 |1|5

2 + 2 |1|5

3

+ 3 |0|3

2 + 4 |1|

donde 3 =49

21k2

3

2

5 +89L

3

2

5 y 4 =29

21k2

35 +

21

2 k2+49L

35 + L. La derivada V2 satisface (14) y (16) aun en

presencia de perturbaciones.


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