Aljabar Linear

Evangs Mailoa

& Matriks

Pert. 7 - 8

Yang dipelajari hari ini:

• Aritmatika Vektor

• Konsep Geometrik

• Titik, Garis dan Bidang

• Perkalian Titik

Euclidean Vector Spaces I

Euclidean n-Space, ℜn

Linear Transformations from ℜn to ℜm

There are two major topics in this module:

Some Important Properties of Vector Operations in ℜn

If u, v, and w are vectors in ℜn and k and s are scalars, then the

following hold: (See Theorem 4.1.1)

a) u + v = v + u

b) u + ( v + w ) = (u + v) + w

c) u + 0 = 0 + u = u

d) u + (-u) = 0

e) k(su) =(ks)u

f) k(u + v) = ku + kv

g) (k + s)u = ku + su

h) 1u = u

y

x

Pengenalan

• Koordinat - 2D

- Aturan tangan kiri 3D

- Aturan tangan kanan 3D

y

x

z y

x

z

Ini yang akan sering digunakan

dalam dunia komputer

Vektor Sebuah vektor mempunyai panjang dan arah.

Vektor dinyatakan dengan cara yang sama dengan koordinat titik:

• Point (5,10)

• Vector (5,10)

Tetapi bagaimana perbedaannya?

P = (5,10)

v = (5,10)

Sebuah titik mempunyai lokasi

Sebuah vektor tidak mempunyai lokasi

Sebuah vektor adalah sebuah lintasan antara satu titik dengan titik yang lain

Vektor

Q = (8,1)

Vektor dapat ditentukan dengan pengurangan koordinat titik

v = Q – P

v = (8-1,1-10)

v = (7, -9)

Dengan kata lain, v mengatakan pada kita bagaimana untuk mendapatkan dari P ke Q

P = (1,10)

v

Vektor

Q = (8,1)

P = (1,10)

v

Definisi

Perbedaan antara

dua titik adalah

sebuah vektor

v = Q - P

Jumlah titik dan

vektor adalah titik :

Q = P + v

Vektor

Quiz! Tentukan vektor dari P = (9,10) ke Q = (15,7) ?

• v = (6, -3)

Tentukan titik dari hasil penambahan vektor v = (9,-20) dengan titik P = (1,2) ?

• Q = (10, -18)

Tentukan titik dari hasil penambahan vektor v = (-9,35) dengan titik P = (-1,-2) ?

• Q = (-10, 33)

Vektor

Operasi Vektor

Ada dua operasi dasar vektor: skala

• 8v

• jika v = (1,2) maka 8v = (8,16)

tambah • v + a

• v = (3,4), a = (8,1) maka v+a = (11,5)

Operasi Vektor

• Penskalaan vektor

v

2v

0.5v

-0.5v

Operasi Vektor

• Penambahan vektor

v

a

v a

v+a

v

-a

v-a

Operasi Vektor

Operasi Vektor

Kombinasi Linier

Penambahan vektor skala bersama-sama

• 8v + 2a

Definisi

Kombinasi linier dari m vektor v1, v2,…,vm adalah vektor:

w = a1v1 + a2v2 + … + amvm

Operasi Vektor

Kombinasi Linier

Contoh

• v = (1,2,3) dan a = (1,1,1)

•2v + 3a = (2,4,6) + (3,3,3) = (5,7,9)

Operasi Vektor

• Kombinasi Linier –Kombinasi Affine

• Jumlah semua komponen adalah satu –a1 + a2 + … + am = 1

• Contoh: 3a + 2b – 4c (3+2-4=1)

• Penentuan kombinasi affine –(1-t)a + (t)b

Operasi Vektor

• Pertanyaan

Tentukan koefisien untuk transformasi affine:

• ia + jb + Xc

• Berapakah koefisien c?

i + j + X = 1

X = 1 – i – j maka

• ia + jb + (1-i-j)c

Operasi Vektor

• Kombinasi Linier –Kombinasi Konvek

• Jumlah semua komponen satu … tetapi

• Semua koefisien harus diantara 0 dan 1

–Contoh. • a1 + a2 + … + am = 1 dan

• 1 >= ai >= 0 untuk semua 1,…,m

–Contoh. • .9v + .1w

• .25v + .75w

Operasi Vektor

• Kombinasi Linier

–Kombinasi Konvek • Set semua kombinasi konvek dari dua

vektor v1 dan v2 adalah:

v = (1-a)v1 + av2

Operasi Vektor

• Kombinasi Linier

–Kombinasi Konvek

– v = (1-a)v1 + av2 dapat ditulis lagi: • v = v1 + a(v2-v1)

• Ini menunjukkan bahwa vektor v akan menjadi v1 ditambah beberapa versi skala dari penggabungan v1 dengan v2

v1

v2 v2 – v1

a(v2 – v1) v

Operasi Vektor

• Kombinasi Linier –Kombinasi Konvek

– Diberikan 3 vektor v1, v2 dan v3 maka kombinasi akan menjadi:

– v = a1v1 + a2v2 + (1-a1-a2)v3

Contoh:

– v = 0.2v1 + 0.3v2 + 0.5v3

v1

v3

v2

Semua nilai v akan terletak di

kawasan ini

0.2v1

0.3v2

0.5v3

Operasi Vektor

• Kombinasi Linier –Kombinasi Konvek

• Diberikan 3 vektor v1, v2 dan v3 maka kombinasi akan menjadi: – v = a1v1 + a2v2 + (1-a1-a2)v3

Contoh :

– v = 0.5v1 + 0.5v2 + 0v3

v1

v3

v2

Semua nilai v akan terletak di

kawasan ini

0.5v1

0.5v2

Operasi Vektor

• Besar

–Adalah panjang vektor

–Ditentukan menggunakan teorema Pitagoras

–Masih ingatkan akan teorema ini?

bah22

a

b

h

Operasi Vektor

• Besar

– Teorema Pitagoras:

yxv22

||

v Koordinat y

Koordinat x

Operasi Vektor

• Besar

Teorema Pitagoras:

Contoh:

Berapakah besar v = (5,10)?

|v| = sqrt(52+102) = sqrt(25+100) = sqrt(125)

= 11.18

Operasi Vektor

• Besar

Q = (8,1)

P = (1,10)

v

Operasi Vektor

• Vektor Normal

Kadang kala sangat berguna untuk menskala vektor menjadi vektor satuan sehingga panjangnya adalah satu.

Vektor normal disimbulkan dengan a topi: â.

Yaitu pembagian koordinat vektor dengan panjang vektor.

â = a/|a|

Operasi Vektor

Contoh:

Berapakah vektor normal a = (1,5,3) ?

• |a| = sqrt(12 + 52 + 32) = 5.916

• â = (1/5.916, 5/5.916, 3/5.916)

= (0.169, 0.845, 0.5)

Operasi Vektor

• Perkalian titik

–Digunakan untuk menyelesaikan masalah geometri dalam grafika komputer.

–Berguna untuk menentukan perpotongan garis dengan vektor.

Operasi Vektor

• Perkalian titik

– Dihitung dengan perkalian dan penambahan nilai baris dengan nilai kolom.

– Definisi

• Perkalian titik dua vektor v٠w adalah:

n

iii wv

1

Perkalian titik

Jika diketahui v = (v1,v2) dan w = (w1,w2)

Perkalian titik, v ٠ w akan menghasilkan:

• (v1w1+v2w2)

Contoh, v = (2,1) dan w = (3,5) maka v ٠ w akan menghasilkan :

• 2*3 + 1*5 = 11

Contoh, v = (2,2,2,2) dan w = (4,1,2,1.1), v ٠ w akan menghasilkan :

• 2*4 + 2*1 + 2*2 + 2 * 1.1 = 16.2

Operasi Vektor

Linear Operators for Rotation

Linear Operators for Rotation

Linear Operators for Rotation

Linear Operators for Rotation

Perkalian titik Contoh: Cari sudut antara (5,6) dan (8,2)

• cos(Ө ) = ĉ ٠ ê

• ĉ = c/|c| = (5,6) / sqrt(52+62)

= (5,6) / 7.8

= (0.64,0.77)

• ê = e/|e| = (8,2) / sqrt(82+22)

= (8,2) / 8.25

= (0.8,0.24)

• ĉ ٠ ê = 0.8248

• Ө = cos-1(0.8248) = 34.43

c

e

Ө

Operasi Vektor

Perkalian titik

Tegaklurus atau orthogonal atau normal?

• Dua vektor tegaklurus jika sudut yang dibentuk anatar vektor ini adalah 90 derajad.

• jika e ٠ c > 0 sudut antara dua vektor kurang dari 90o

• jika e ٠ c = 0 ; dua vektor tegaklurus

• jika e ٠ c < 0 sudut antara dua vektor lebih dari 90o

e c

e

c

e

c

Operasi Vektor

Perkalian titik

Vektor-vektor yang berada pada sumbu koordinat adalah tegak lurus:

(0,1,0)

(1,0,0)

(0,0,1) Cara penulisan: vektor satuan

Operasi Vektor

Perkalian titik

Sembarang vektor 3D dapat ditulis sebagai kombinasi skalar dari 3 vektor satuan:

(a,b,c) = ai + bj + ck

(3,2,-1) = 3(1,0,0) + 2(0,1,0) – 1(0,0,1)

j=(0,1,0)

i=(1,0,0)

k=(0,0,1)

Operasi Vektor

Mau bertanya..?