Algebra Lineal y Geometria Analitica 2014

UNIVERSIDAD NACIONAL DE ENTRE

ROS

FACULTAD DE INGENIERA

LGEBRA LINEAL

Y

GEOMETRA ANALTICA

MATERIAL DE ESTUDIO

Elaborado por:

Mara M. Colombo

Ricardo Claucich

Liliana Gimnez

Nstor Jacob

Anbal Sattler

Marino Schneeberger

AO 2014

UNER Facultad de Ingeniera

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lgebra Lineal y Geometra Analtica Pg. 2

NMEROS COMPLEJOS

En el conjunto de los nmeros reales, las ecuaciones como x2 + 1 = 0 no tienen solucin.

Para hallar sus races hacemos 2 1x y no existe ningn nmero real cuyo cuadrado sea

igual a 1. Para dar significado a operaciones como la mencionada se crearon los nmeros comple-

jos como una extensin o ampliacin del conjunto de los nmeros reales. Esos nmeros

se definen de manera que el conjunto de los reales est incluido en el nuevo conjunto.

Definicin: Un nmero complejo es un par ordenado de nmeros reales.

Notacin: z = (a , b)

Los nmeros reales a y b son las componentes del complejo z.

a es la primera componente o componente real.

b es la segunda componente o componente imaginaria.

Puede expresarse: a = Re z; b = Im z.

Ejemplos: 1z = (1, 3) ; 2z = (5 , 0) ; 3z = (0 , 2) ; 4z = (2 , 6)

Si la segunda componente es cero, el complejo es un nmero real; si la primera compo-

nente es cero, el complejo es un nmero imaginario puro o, simplemente, imaginario. (3, 0) = 3, es un nmero real.

(0, 1/3) es un nmero imaginario.

En el conjunto , el complejo nulo es el par (0, 0)

el complejo (1, 0) es la unidad real: (1 , 0) = 1

el complejo (0, 1) = i es la unidad imaginaria.

La unidad imaginaria i es el complejo cuyo cuadrado es 2 1i

Por esta razn, i puede considerarse como raz cuadrada de 1 y puede expresarse

1i

La resolucin de la ecuacin 2 1 0,x en el conjunto , puede justificarse:

2 1,x 1x , 1x i , 2x i

Para resolver la ecuacin 2 9 0,x hacemos 2 9,x 9x , 1 3x i , 2 3x i

Verificacin: 2 2 23 3 9 1 9i i

2 2 23 3 9 1 9i i

OPERACIONES

Adicin:

Definicin: La suma de dos nmeros complejos es el complejo cuya componente real es

la suma de las componentes reales y cuya componente imaginaria es la suma de las com-

ponentes imaginarias. (a , b) + (c , d) = (a + c , b + d)

Ejemplo: (-6 , 3) + (8 , -2) = (2 , 1)


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Multiplicacin:

Definicin: El producto de dos nmeros complejos es el complejo cuya componente real

es la diferencia entre el producto de las componentes reales y el producto de las compo-

nentes imaginarias y la componente imaginaria es la suma entre los productos de la com-

ponente real de uno de los pares por la componente imaginaria del otro.

(a , b) . (c , d) = (a.c b.d , ad + b.c)

Ejemplo:

(3 , 2) . (4 , 1) = (3 . 4 (2)(1) , 3 (1) + (2) . 4) = (12 2 , 3 8) = (10, 11)

FORMA BINMICA DE UN COMPLEJO

Dado z = (a , b), podemos escribir: (a , b) = (a , 0 ) + (0 , b) (1)

El nmero imaginario (0 , b) puede expresarse como el producto (b , 0) (0 , 1):

(b , 0) (0 , 1) = (b.0 0.1 , b.1 + 0.0) = ( 0 , b) ( 2)

reemplazando (2) en (1): (a , b) = (a , 0) + (b , 0) (0 , 1)

(a , b) = a + b i

Ejemplo: (3 , 4 ) = 3 + 4 i

Suma y producto de dos complejos dados en forma binmica

(a + bi) +(c + di) = (a+ c) + (b + d) i

(a + bi). (c + di)= a c + a d i +b i c + b d 2i = a c + a d i + b c i + b d (1) =

= a c + a d i + b c i b d = (a c b d) + (a d + b c) i

Diferencia:

La diferencia entre dos complejos es el complejo que se obtiene sumando

al primero el opuesto del segundo.

(a + bi) (c + di) = (a c) + (b d) i

Ejercicios resueltos:

1) (2 3 i) + (4 3 i) = (2 4)+ (3 3)i = 2 6i

2) (5 + i) (6 + 5 i) = 5. 6 5.5i + 6i + 5 2i = 30 25 i + 6i 5 = 35 19 i

3) (3 5i) (2 + 4 i) = (3 5i) + (2 4i) = 1 9i

4) 2 2 2 21 4 1 2.1.4 4 1 8 16( 1) 1 8 16 15 8i i i i i i

Observacin:

El conjunto de los nmeros complejos, con las operaciones adicin y multiplicacin po-

see estructura de cuerpo conmutativo o abeliano. (Tambin se dice que es un cuerpo

conmutativo o abeliano). Ello se debe a que para la adicin y para la multiplicacin se

cumplen las siguientes propiedades que se demuestran fcilmente, aplicando las propie-


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dades de la adicin y de la multiplicacin en el conjunto de los reales, conjunto que

tambin posee estructura de cuerpo.

- ley de cierre. - asociativa. - conmutativa. - existencia de elemento neutro. - existencia de elemento simtrico.

- distributiva de la multiplicacin con respecto a la adicin.

El elemento neutro para la adicin es el complejo nulo (0, 0), para el producto es el

(1, 0).

Para la adicin, el elemento simtrico u opuesto de un complejo (a , b) es (-a, -b) por-

que la suma de ambos es igual al neutro (0 , 0).

Para la multiplicacin, el simtrico o inverso multiplicativo, del (a, b) (0 , 0) debe ser

el complejo que multiplicado por (a , b) d por resultado el elemento neutro (1 , 0).

El inverso de z se denota z-1

.

Es importante tener en cuenta que el conjunto es un cuerpo pero no es ordenado

porque en l no cumplen los axiomas de orden, los cuales s se cumplen en el conjunto

de los nmeros reales.

Complejos conjugados.

Definicin: Dos nmeros complejos son conjugados si tienen iguales sus componentes

reales y opuestas sus componentes imaginarias.

Notacin: en forma de pares ordenados: z = (a , b) y z = (a , b)

en forma binmica: z = a + bi y z = a bi

Ejemplo: z = (1 , 3) y z = (1 , 3)

en forma binmica: z = 1 + 3i y z = 1 3i

Suma de dos complejos conjugados: z + z = (a + b i) + (a b i) = 2 a (es un nmero

real)

Producto de dos complejos conjugados:.

z z = (a + b i) (a b i)= a 2 a b i + b i a- 2 2b i 2 2a b (el resultado es un nmero

real)

Ejemplos: (4 + 3 i) + (4 3 i) = 8

(-4 + 3 i) . (-4 3 i) = 2 2( 4) 3 16 9 25

Cociente de dos complejos.

a) Dado el complejo z = 3 2 i, encuentre el recproco (o inverso) en la forma binmica.


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Solucin:

El recproco de z es 11

zz

1

3 2 i

Multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado de z para obtener en el

denominador un nmero real. 13 2 3 2 3 21 3 2

3 2 (3 2 )(3 2 ) 9 4 13 13 13

i i iz i

i i i

b) Para dividir dos nmeros complejos, se multiplican el dividendo y el divisor por el

conjugado del divisor.

Ejemplo: 25 (5 )(2 5 ) 10 25 2 5 10 25 2 5 5 27 5 27

2 5 (2 5 ) (2 5 ) 4 25 29 29 29 29

i i i i i i i i ii

i i i

Potencias de la unidad imaginaria

Potencias de exponentes enteros no negativos.

i0 = 1 i

4 = i

3 . i = i . i = (i2 ) = (1) = 1

i1 = i i

5 = i

4 . i = 1 . i = i

i2 = 1 i6 = i5 . i = i . i = i2 = 1

i3 = i

2 . i = 1 . i = i i7 = i6 . i = 1. i = i

..

Observamos que los cuatro resultados diferentes son 1 , i , 1 , i , y que se van repitien-

do en ese orden a partir del correspondiente al exponente cero. Esto justifica el procedi-

miento que simplifica el clculo.

Para calcular in dividimos n por cuatro. Llamemos n al dividendo, d al divisor, c al co-

ciente y r al resto. ste, el resto, puede ser 0 , 1 , 2 3 (el resto debe ser menor que el

divisor) El dividendo es igual al producto del divisor por el cociente ms el resto:

n = 4 . c + r Luego in = i

4c+r = (i

4)c . i

r = 1

c . i

r = 1 . i

r = i

r

Regla: La potencia ensima de la unidad imaginaria i, con n entero mayor o igual que 4,

es igual a i r siendo r el resto de la divisin de n por el nmero 4.

Ejemplos: i29

= i1 = i i

128 = i

0 = 1 i

31 = i

3 = i

Ejercicios:

Demuestre que, para todo nmero positivo n,

a) 4 2 1ni b) 4 1ni i c ) 4 3ni i

Potencias de exponentes enteros no positivos

i0

= 1 i-3

= 3 4

1

1

i ii

i i


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i-1

= 2

1

1

i ii

i i

i

-4 =

4

1 11

1i

i-2

= 2

1 11

1i

................................................

Analice los resultados y extraiga conclusiones.

Ejercicios:

Efecte las siguientes operaciones.

1)

ii4

3

4

32

3

1 2) (1 + 3 i) (4 5 i) =

3) (3 + i) (4 2 i) (7 + 3 i) = 4) (1 + 3 i) : (6 5 i) =

5)

ii3

4

5

6:2

2

3 = 6) (2 + 3 i)2 =

7) (2 3i)3 = 8)

3

2

3

3

2

i =

9) Demuestre que 31 3

1,2 2

z si z i 10) Encuentre las races cbicas de 1z

Cmo encontramos las races de ecuaciones de segundo grado con coeficientes reales

que no tienen solucin en el conjunto de los nmeros reales.

Sea x2 + 1 = 0 ; x

2 = 1 , las races son 1 2,x i x i

La ecuacin de segundo grado a x2 + b x + c = 0, se resuelve mediante la frmula

x = a

acbb

2

42 El radicando b

2 4ac es el discriminante de la ecuacin.

Si el discriminante es mayor que cero, las dos races son reales y distintas; si es igual a

cero, son reales e iguales y si es menor que cero, las races son nmeros complejos con-

jugados.

Ejercicios: Resuelva las ecuaciones:

1) 3 x2 5 x + 6 = 0 2) 3 x2 + 9 = 0

3) 3 x2 4 x + 9 = 0 4) x4 + 3 x2 4 = 0


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REPRESENTACIN GRFICA DE LOS NMEROS COMPLEJOS

Consideremos un sistema de ejes cartesianos ortogonales. Llamaremos eje real al eje de

abscisas y eje imaginario al de ordenadas. En ellos representaremos respectivamente las

componentes reales y las imaginarias. El punto del plano de coordenadas a y b representa

al complejo z = (a , b). Ese punto z es el afijo del complejo. A cada nmero complejo

le corresponde un punto del plano y recprocamente, a cada punto del plano, le corres-

ponde un nmero complejo.

Represente los complejos:

iz 241 ; iz 62 ;

iz 22

13 ;

3

44 z

El punto z del plano que representa al complejo (a, b)

queda tambin determinado por el vector oz . (figura 1).

Las componentes de ese vector son respectivamente iguales a las del complejo que repre-

senta. A cada nmero complejo le corresponde un vector del plano y recprocamente, a

cada vector le corresponde un nmero complejo.

Resumiendo, la representacin grfica de un nmero complejo puede efectuarse por me-

dio de un punto del plano o por medio de un vector con origen en el origen de coordena-

das y extremo en el afijo del complejo.

Figura 2

Figura 1

Forma polar del complejo

El vector oz que representa al complejo z = (a, b) (0 , 0) queda perfectamente deter-

minado si conocemos su longitud o mdulo y el ngulo dirigido que forma con el semieje

positivo ox .

El mdulo de z puede calcularse aplicando un corolario del teorema de Pitgoras:

z = 22 ba


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El argumento del complejo, es el ngulo , o ste aumentado o disminuido en un n-

mero entero de giros.

Argumento de z = + 2k , con k . Usualmente se toma comprendido entre 0 y

2 . Conocidos z y queda determinado el vector oz y tambin el nmero complejo

(a , b).

La expresin z = z

se llama forma polar del complejo z.

Forma trigonomtrica (Figura 2)

Sea z = (a , b) (0,0) . Se tiene: cos = a

z , luego a = z cos .

sen = b

z , luego b = z sen

Entonces:

z = a + b i = z cos + i z sen

z = z (cos + i sen )

Ejemplo:

Si iz 22 se tiene: 2 22 2 8 2 2z ;

12

2tg

a

b ;

4

313545180

34

2 2z

, en forma polar.

3 32 2 cos sen

4 4z i

, tambin 2 2 cos 135 sen 135z i , en forma tri-

gonomtrica.

Ejercicios

1) Exprese en las formas polar y trigonomtrica:

a) 2 b) 2 c) 3i

d) i22 e) i2

3

2

1 f) i232

2) Escriba en forma binmica:

a) 0sen 0cos 3 i b) 90sen 90cos 2 i c) sen cos i

d)

4

5sen

4

5cos 2 i e) 300sen 300cos 4 i f) 150sen 150cos 6 i


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Producto de complejos en forma trigonomtrica

Dado 1111 sencos izz y 2222 sencos izz el producto ser:

22112121 sencos sencos iizzzz

sen sencossensen coscoscos 2121212121 iiiizz

2121212121 cossensen cossen sencoscos izz

sencos 21212121 izzzz

El producto de dos complejos es el complejo cuyo mdulo es el producto de los mdulos

y cuyo argumento es la suma de los argumentos.

Cociente de dos complejos en forma trigonomtrica

a) El recproco de sencos izz es sencos11 iz

z

Demostracin:

El recproco es z

z11 Como el coseno de 0 es igual a 1 y el seno de cero es igual

a cero, podemos sustituir el numerador por cos 0 + i sen 0 y multiplicamos numera-

dor y denominador por el conjugado del denominador:

1z cos0 0 (cos0 0)(cos )1

(cos ) (cos ) (cos ) (cos )

i sen i sen i sen

z i sen z i sen z i sen i sen

=

2

2 2

cos0cos cos0sen sen 0cos sen 0sen

(cos sen )

i i i

z

, por ser cos 0 = 1 y sen 0 = 0

Se obtiene sencos11 iz

z

b) Demuestre que el cociente de dos complejos 1111 sencos izz y

2222 sencos izz es sencos 21212

1

2

1 iz

z

z

z

Ayuda: Multiplique 1 2z por el recprocode z

Potencia de un complejo frmula de De Moivre

Para todo entero positivo n es: ninziz nn sen cossencos .

Demostracin: por el mtodo de induccin matemtica.

1) Demostramos que es verdadera para 2n

2

cos sen cos sen cos senz i z i z i


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2

cos sen cos 2 sen 2z z i z i

2) Aceptamos que la frmula es verdadera para kn :

cos sen cos sen k k

z i z k i k .

Debemos demostrar que es verdadera para 1 kn . Multiplicamos por

sencos iz ambos miembros:

cos sen cos sen cos sen cos sen k k

z i z i z k i k z i

Efectuamos los clculos en cada miembro y se tiene:

1er.miembro: 1

cos sen cos sen cos sen k k

z i z i z i

(1)

2do. miembro:

cos sen k

z z k i k 1

cos 1 sen 1 k

z k i k

(2)

De (1) y (2): ninziz nn sen cossencos que es lo que se quera demostrar.

Radicacin en el campo complejo

Sea sencos izz .

El nmero sencos ixx ser una raz ensima de z si zxn .

ninxx nn sen cos . Entonces deber ser:

sencos sen cos izninx n .

Esos complejos sern iguales si los mdulos son iguales y los argumentos congruentes.

n

kkn

zxzx nn

22

Luego 2 2

cos sennk k

x z in n

Se demuestra que existen n races ensimas diferentes entre s, que se obtienen dando a k

valores desde 0 hasta 1n . Es decir: 0, 1, 2, ..., 1k n .

Ejercicio: Calcule las races cuartas de 8 8 3z i . Exprselas en forma binmica.

Respuesta:

3 160 60cos21 isenix

isenix 3 150 150cos22

3 1240 240cos23 isenix

isenix 3 330 330cos24


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Representacin geomtrica de las races de un complejo

Dado que todas las races de un complejo sencos izz tienen el mismo mdulo

n z , todos sus afijos estn en una circunferencia de radio n z y centro en el origen de

coordenadas. Dividiendo el argumento en n ngulos iguales, hallaremos el argumento

de la primera raz n

y determinamos el afijo de esa primera raz. Si al punto correspon-

diente en la circunferencia le llamamos 0P , para hallar los siguientes argumentos, pode-

mos sumar sucesivamente 2

n

.

Se tendr: n

,

2 2 42 2, ,.......

n n n n n n

Los puntos representados 0 1 2 1, , ,......, nP P P P son los vrtices de un polgono regular de n

lados, inscripto en una circunferencia de radio n z .

Actividad: Represente geomtricamente las races obtenidas en el ejercicio anterior.

Teorema: Las races n-simas de un nmero complejo cualquiera son los productos de

una de ellas por las races n-simas de la unidad.

Ejercicio:

a) Encuentre las races cuartas de z = 1.

b) Verifique que las cuatro races cuartas de 8 8 3z i , pueden encontrarse multi-

plicando una de ellas (por ejemplo 1 1 3x i ) por las races cuartas de la unidad.

Rta.: a) z =1 = cos 0 + i sen 0 ; 0 2 0 2

cos sen3 3

k kx i

, con k = 0 , 1 , 2

las races son: 1 , i , -1 , -i

b) una de las races cuartas de 8 8 3i es 1 1 3x i , las otras son:

2

3

(1 3 ) 3 ;

(1 3 ) ( 1) 1 3

x i i i

x i i

4 (1 3)( ) 3x i i i


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Ejercicios Resueltos

1) Encuentre los valores de x e y que verifican la siguiente igualdad: yxyxx ,23,1

Solucin: para que dos nmeros complejos sean iguales se debe cumplir que sean iguales las

partes reales y las imaginarias respectivamente, luego:

3y 21 yyxxx

De la primera ecuacin despejamos x: xx 21 de donde x = 1

Reemplazamos en la 2da. ecuacin y despejamos y: yy 13 ; y23 ; 3

2y

2) Sume los siguientes complejos: a) (2, -3) + (-1, -4) b) (3 4i) + (-2 + i)

Solucin: la suma de dos nmeros complejos es otro complejo cuya parte real es la suma de las

partes reales de los sumandos y cuya parte imaginaria es la suma de las partes imaginarias de

los sumandos.

a) (2, 3) + (1, 4) = (2 + (1), -3 + (4)) = (1, 7)

b) (3 4i) + (2 + i) = (3 + (2)) + (4 + 1)i = 1 3i

3) Multiplique los siguientes complejos: (1 2i).(3 + 4i)

Solucin:

para multiplicar empleamos la siguiente frmula ibcadbdacdicbia

iii 324142314321 = i105

Tambin podemos llegar al mismo resultado si entre los binomios aplicamos la propiedad dis-

tributiva y tenemos en cuenta que 12 i

4) Efecte la siguiente divisin i

i

2

31

Solucin: multiplicamos numerador y denominador por el complejo conjugado del denomina-

dor, que es 2 + i :

iii

i

i

i

i

i

i

1

5

55

12

55

2

2

2

31

2

3122

5) Sabiendo que: 10 i ; ii 1 ; 12 i ; ii 3 ; 14 i , calcule 325i

Solucin: calculemos el cociente y el resto de la divisin de 325 por 4: 325 4

1 81

de forma que 325 = 81.4 + 1, luego podemos escribir: iiiiiii 11. 81181414.81325

6) Calcule: a) 2471 i b) 321 i

Solucin: a) en primer lugar calculamos iiiii 11311447 1 , luego empleamos la

frmula del cuadrado de un binomio:

iiiiii 212112111 222247


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b) aplicamos la frmula del cubo de un binomio:

iiiiiiiiii 21181261812612213213121 3232233

7) Exprese en forma polar el complejo iz 3

Solucin: sabiendo que el mdulo del complejo biaz es 22 ba , hacemos:

241313 22

Para hallar el argumento utilizamos tgb

a , es decir

1 3tg

33 . Como el complejo

se encuentra en el 4to. cuadrante es o330

La forma polar es z = 03302

8) Escriba el complejo iz 33 en forma trigonomtrica.

Solucin: la forma trigonomtrica del complejo biaz es cos sen z i , por lo

que deberemos en primer lugar calcular el mdulo y el argumento .

231833 22

3tg 1

3

. Como el complejo est en el segundo cuadrante es o135

La forma trigonomtrica del complejo es o o3 2 cos135 sen135z i

9) Exprese en forma binmica el resultado de las siguientes operaciones:

a) 21 zz siendo o o1 3 cos120 sen120z i y o o2 2 cos105 sen105z i

b) 2

1

z

z siendo o o1 4 cos225 sen 225z i y o o2 3 cos135 sen135z i

Solucin:

a) El producto de dos complejos 1 1 1 1cos sen z i y 2 2 2 2cos sen z i est

dado por 1 2 1 2 1 2 1 2cos( ) sen ( )z z i , luego para nuestro ejemplo es:

o o o o o o1 2 3 2 cos(120 105 ) sen (120 105 ) 3 2 cos(225 ) sen (225 )z z i i

o o1 22 2

3 2 cos (45 ) sen (45 ) 3 2 3 32 2

z z i i i

3 -1

x

y


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b) el cociente de dos complejos 1 1 1 1cos senz i y 2 2 2 2cos senz i

est dado por 1 1 1 2 1 22 2

cos( ) sen ( )z

iz

siendo 02 z , luego:

o o o o1 1 1 2 1 22 2

4cos( ) sen ( ) cos(225 135 ) sen (225 135 )

3

zi i

z

4

3i

10) Encuentre 101 i empleando la frmula de De Moivre.

Solucin: segn esta frmula: cos sen cos sennn nz i n i n

Hallamos en primer lugar el mdulo y el argumento de 1 + i :

211 22 y otg 1 45 por estar el complejo en el primer cuadrante.

1010 o o 5 o o o o1 1 2 cos(10.45 ) sen (10.45 ) 2 cos450 sen 450 32 cos90 sen90i i i

ii 32)0(32101 10

11) Calcule en forma trigonomtrica la raz cbica de iz 8

Solucin: las races n- simas de un complejo cos senz i estn dadas por

2 2cos sennk

k kw i

n n

donde k = 0, 1, 2, ..., n -1

Buscamos el mdulo y el argumento de iz 8 : 882 y el argumento es 2

(el

afijo del complejo est en el semieje positivo de las y)

Luego 32 2 2 22 28 cos sen 2 cos sen

3 3 6 3 6 3k

k kw i k i k

Si k = 0 entonces 13 1

2 cos sen 2 36 6 2 2

w i i i

es una raz

Si k = 1 entonces 25 5 3 1

2 cos sen 2 36 6 2 2

w i i i

es otra raz

Si k = 2 entonces 33 3

2 cos sen 2 0 22 2

w i i i

es la otra raz.

x

y

w1w2

w3

Las soluciones se encuentran sobre una circun-

ferencia de radio 2, son vrtices de un polgono

(tringulo, en este caso) con centro en el origen,

y el primer vrtice est desplazado del eje real

en 30 o 6


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Ejercicios Propuestos

1) Encuentre los valores de x e y que verifican las siguientes igualdades:

a) 1,3,1 xyx b) 8,61,54

1

yx c) iiyxi 132

2) Efecte las siguientes operaciones con nmeros complejos:

a) 2,35,1 b) 4,11,32,5 c) 2,13,2

d) ii 243 e) ii 231

3) Dado el complejo biaz , se define su conjugado como biaz . Pruebe que:

a) azz 2 b) bizz 2 c) 22 bazz

4) Dados iz 31 , iz 422 , iz 413 y iz 214 halle:

a) 321 zzz b) 2

342 zzz c)31

2

2

zz

z

d)

4

3

2

1 :z

z

z

z

5) i) Represente grficamente los siguientes complejos:

a) iz 311 b) iz2

122 c) 23 z d) iz 214

ii) Represente en la misma grfica los opuestos de los complejos del item i)

iii) Represente en la misma grfica los conjugados de los complejos dados en i)

iv) Con respecto a que recta son simtricos un complejo y su conjugado?

v) Existen complejos tales que zz ? Ejemplifique

vi) Existen complejos tales que ___

zz ? Ejemplifique

6) a) Verifique que si )3,2( z su inverso

13

3,

13

211

zz , siendo 22 3213

b) Demuestra que si baz , para todo 0,0z , entonces

2222

1 ,ba

b

ba

az

7) Escriba en forma binmica los siguientes complejos:

a) 62149 ii b) 714 ii c) 232

1 15355 ii

d) 2552 i e) 33316 ii

8) Encuentre la forma polar de los siguientes nmeros complejos:

a) i1 b) i1 c) i3 d) i3 e) i33

9) Efecte el pasaje a la forma trigonomtrica de los siguientes complejos:

a) i3 b) i31 c) i232 d) 8i e) i33 f) i1

10) Exprese en forma binmica cada uno de los siguientes complejos:


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a)

33cos

seni b)

22cos4

seni c)

66cos

seni

d)

44cos3

seni e)

4

3

4

3cos6 seni

11) Siendo 1 4(cos180 .sen180 )o oz i y 2 3(cos120 .sen120 )

o oz i encuentre

a) 21 zz b) 2

1

z

z . Exprese el resultado en forma binmica.

12) Efecte las siguientes operaciones, indicando el resultado en forma binmica:

a) 5 cos170 sen 170 cos 55 sen 55i i

b) 2 cos 50 sen 50 3 cos40 sen 40i i

c)

0 010 cos 305 sen 305

2 cos 65 sen 65

i

i

d)

4 cos 220 sen 220

2 cos 40 sen 40

i

i

13) Halle la potencia indicada empleando la frmula de De Moivre:

a) 201 i b) 531 i c) 5232 i d)20

1

31

i

14) Halle las races solicitadas y grafquelas en el plano complejo:

a) races cbicas de 8 b) races quintas de 32

c) races cbicas de i d) races cbicas de 1 + i

15) Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 014 z b) 083 z c) 03884 iz d) 112 zizz


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Respuestas

1) a) x = 2 ; y = 1 b) x = 4 ; y = -7 c) x = -2 ; y = -1

2) a) (4, 3) b) (7, -3) c) (8, -1) d) 1 + 3i e) 5 + 5 i

3) a) -6 -7i b) 21 + 16i c) -2 + 2i d) i50

17

50

7

7) a) -1 + i b) 4 c) i2

72 d) 3 4i e) -2 -2i

8) a) o3152 b) o1352 c) o2703 d) o302 e) o1356

9) a) o o2 cos30 sen30i b) o o2 cos60 sen 60i c) o o4 cos330 sen330i

d) o o8 cos90 sen90i e) o o3 2 cos225 sen 225i d) o o2 cos135 sen135i

10) a) i2

3

2

1 b) i4 c) i

2

1

2

3 d) i

2

6

2

6 e) i33

11) a) i366 b) i3

32

3

2

12) a) i2

25

2

25 b) 6i c) i

2

35

2

5 d) -2

13) a) -1024 b) i31616 c) i5123512 d) i3512512

14) a) iwiww 31 ; 31 ; 2 321 ; b) 21 w ; oo2 7272cos2 seniw ;

o o3 2 cos144 sen144w i ;

o o4 2 cos216 sen 216w i ; o o5 2 cos288 sen 288w i

c) iw2

1

2

31 ; iw

2

1

2

32 ; iw 3 , d) o o61 2 cos15 sen15w i ;

o o62 2 cos135 sen135w i ; o o63 2 cos255 sen 255w i

15) a) 11 w ; iw 2 ; 13 w ; iw 4 b) iw 311 ; 22 w ; iw 313

c) iw 311 ; iw 32 ; iw 313 ; iw 34 ,

d) o o61 2 cos105 sen105w i ; o o62 2 cos225 sen 225w i ;

o o63 2 cos345 sen345w i


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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

ECUACIONES LINEALES.

La ecuacin x + 2 y = 4 es una ecuacin lineal en las variables x e y. Los coeficientes

son 1 y 2, el trmino independiente es 4. Su grfica es una recta en el plano xy.

Esa ecuacin tiene infinitas soluciones que se encuentran dando un valor real a una de las

variables y hallando el que corresponda a la otra.

A la recta pertenecen infinitos puntos.

Si x = 2, es y = 1; el par ordenado (2, 1) es

una solucin de la ecuacin y el punto de

coordenadas (2 , 1) pertenece a la recta.

Si 3x es 1

2y , luego

1(3, )

2 es otra solucin

de la ecuacin y el punto 1

(3, )2

pertenece a la recta.

El conjunto solucin puede expresarse: 4

( , ) / ,con2

xS x y y x

Definicin:

Una ecuacin lineal en n variables es de la forma a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + ........ + an xn = b,

donde las variables x1 , x2 , x3 , .............. , xn son de primer grado, las constantes a1 , a2 ,

a3 , ... , an no todas nulas (llamadas coeficientes) y b (llamado trmino independiente) son

nmeros reales.

Un ejemplo de ecuacin lineal en tres variables es 3 x + 2 y z = 1

Para hallar soluciones particulares de la ecuacin damos valores arbitrarios a dos de las

variables y hallamos el tercero, por ejemplo, si hacemos x = 1, y = 3 se encuentra z =

4; la terna (1, 3, 4) es una de las infinitas soluciones de la ecuacin.

La ecuacin 3 x + 2 y z = 1 representa un plano y cada una de las infinitas ternas de

nmeros reales que satisfacen la ecuacin expresa las coordenadas de un punto del espa-

cio que pertenece al plano.

El conjunto solucin es ( , , ) / 1 3 2 , ,S x y z z x y con x y

Si hacemos x = 3 e y = 2, se obtiene z = 6; el punto (3, 2 , 6) pertenece al plano.

Para hallar el conjunto solucin de la ecuacin 3 x1 5 x2 + 4 x3 x4 = 12, expresamos

una de las variables en funcin de las otras tres, por ejemplo: x4 = 3 x1 - 5 x2 + 4 x3 12

1 2 3 4 4 1 2 3 1 2 3( , ) / 3 5 4 12, , ,S x x x x x x x x con x x x

Una solucin particular es (0, 1, 2, 12), obtenida haciendo 1 2 30, 1, 2x x x .


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Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas.

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas tiene la forma 1 1 1

2 2 2

a x b y c

a x b y c

Los coeficientes son 1 2 1 2, , ,a a b b ; los trminos independientes: 1 2,c c

Resolver el sistema consiste en encontrar los valores de x e y que satisfacen simultnea-

mente ambas ecuaciones. Dichos valores son las soluciones del sistema de ecuaciones.

Cuando los trminos independientes son ceros, el sistema se dice homogneo. Si al me-

nos uno de los trminos independientes es distinto de cero, el sistema es no-homogneo.

Los sistemas homogneos siempre son consistentes o compatibles porque al menos la

solucin trivial: x = y = 0 verifica las ecuaciones. Si sta es nica, se dice que el sistema

es determinado. Si admite otras soluciones, se dice indeterminado.

Sistemas equivalentes

Dado un sistema de ecuaciones lineales, pueden encontrarse sistemas equivalentes me-

diante las siguientes operaciones:

- Intercambiar las ecuaciones.

- Multiplicar o dividir las ecuaciones por escalares distintos de cero.

- Sumar a una ecuacin otra ecuacin previamente multiplicada por un escalar distinto

de cero.

Los sistemas equivalentes tienen la misma solucin.

Ejemplos:

Multiplicamos la primera ecuacin por (- 4) y se la sumamos a la

segunda:

despejamos x: 4 x + 12 y = 0 , x =12

; 34

y x y ; el

conjunto solucin es: S = 3 , ,x y y con y El sistema es indeterminado.

2- 5 0

5 4 0

x y

x y

Multiplicamos la primera ecuacin por (- 5) y se la sumamos a la segunda:

5 0

0 29 0

x y

x y

despejamos y: 29 y = 0 ; y = 0 reemplazamos en la primera: x =

0. El sistema es determinado y la nica solucin es

x = y = 0

Es un sistema no-homogneo. Multiplicamos la primera ecuacin

por 3 y la sumamos a la segunda. Se obtiene un nico valor para

cada incgnita: el sistema es determinado.

3 4 18 26;

0 7 18 7 7

x yy x

x y

3 43

3 2 6

x y

x y

3 01

4 12 0

x y

x y

4 12 0

0 0 0

x y

x y


_____________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________


La grfica consiste en dos rectas que se cortan en el punto 26 18

;7 7

Actividad:

Resuelva el sistema. Caracterice y represente el conjunto solucin.

3 7)

2 6 1

x ya

x y

2 3 5

) 3 10

2 4

x y

bx y

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES.

Un tema central del lgebra Lineal es la resolucin de sistemas de cualquier nmero de

ecuaciones y de incgnitas utilizando entes matemticos llamados matrices.

Una matriz de mxn es un arreglo de nmeros dispuestos en m filas (o renglones) y n co-

lumnas.

Ejemplos:

A =

1 3 0 5

4 0 4 7

3 2 0 6

B =

5 3 1 1

2 6 8 2

1 4 0 2

0 3 5 0

C =

3

1

8

5

A es una matriz de 3x4; B, de 4x4; C es una matriz columna o vector columna de 4 ele-

mentos o componentes.

Dada una matriz, las siguientes "operaciones elementales de rengln" permiten obtener

matrices equivalentes por renglones:

- Intercambiar los renglones.

- Multiplicar los renglones por escalares distintos de cero.

-Sumar a un rengln otro rengln previamente multiplicado por un escalar distinto de

cero.

Matrices escalonadas:

Una matriz se encuentra en forma escalonada por renglones si se cumplen las siguientes

condiciones:

a) los renglones que tuvieran todos los elementos nulos, se ubican como renglones fina-

les de la matriz.

b) si un rengln tiene elementos distintos de cero, el primer elemento distinto de cero es

un 1 (uno). Se lo llama pivote o elemento gua.

c) cada rengln tiene, al comienzo, un nmero mayor de ceros que el rengln anterior.

Son matrices escalonadas:


_____________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________


1 2 4

0 1 5

0 0 0

A

; B =

1 3 0 2 4

0 1 3 1 0

0 0 0 1 4

0 0 0 0 1

; C =

1 2 3

0 0 1

0 0 0

Matrices escalonadas reducidas por renglones:

A las tres condiciones exigidas para las escalonadas se agrega la siguiente:

d) en todas las columnas que contienen un elemento gua, todos los otros elementos son

ceros.

Ejemplos: Son matrices escalonadas reducidas:

D =

1 0 3

0 1 2

0 0 0

; E =

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 5

Definicin:

Se llama rango de una matriz al nmero de renglones con algn elemento distinto de

cero de una matriz escalonada equivalente a la dada.

Rango (A) = 2 ; Rango (B) = 4 ; Rango (C) = 2 ; Rango (D) = 2 ; Rango (E) = 4

Resolucin de sistemas de ecuaciones lineales por el Mtodo de Gauss.

Explicaremos el mtodo resolviendo los sistemas:

Identificamos la matriz de los coeficientes: 1 3

2 1

y la matriz

aumentada o ampliada, agregando la columna de los trminos independientes:

1 3 4

2 1 3

Convenimos en expresar el sistema en la forma 1 3 4

2 1 3

Efectuamos las operaciones elementales de renglones para hallar una matriz escalonada

equivalente a la matriz ampliada. A este procedimiento se lo denomina tambin "elimi-

nacin Gaussiana"

1 3 4

2 1 3

multiplicamos el primer rengln por (-2) y lo sumamos al segundo:

1 3 4

0 5 11

dividimos por 5 el segundo rengln:

1 3 4

110 1

5

la matriz aumentada est en la forma escalonada. Tambin lo est la matriz de los coefi-

cientes y ambas tienen el mismo rango 2.

3 41)

2 3

x y

x y


_____________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________


De la segunda ecuacin se obtiene: 11

5y

reemplazamos en la primera ecuacin: x - 311

5

= 4; luego x = 13

5

o El sistema es compatible y determinado.

o El rango de la matriz de los coeficientes es 2; el rango de la matriz aumentada

es tambin 2, lo mismo que el nmero de incgnitas.

o Se verifica la solucin reemplazando los valores hallados en cada una de las ecuaciones que componen el sistema.

2)

3 6 6 9

2 5 4 6

16 14 3

x y z

x y z

x y z

1 2 2 3

2 5 4 6

1 16 14 3

Expresamos las matrices de coeficientes y ampliada segn lo convenido y efectuamos las

operaciones elementales de rengln para obtener matrices escalonadas equivalentes.

1 2 2 31 2 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3

82 5 4 6 0 9 8 0 0 9 8 0 0 1 0

91 16 14 3 0 18 16 0 0 9 8 0

0 0 0 0

La matriz de coeficientes y la matriz aumentada tienen el mismo rango: 2 y el sistema

tiene tres incgnitas. El sistema tiene infinitas soluciones. Para expresarlas, hacemos:

8 80 :

9 9y z luego y z ; reemplazando en la primera:

82. 2 3

9x z z

23

9x z

El conjunto solucin es: 2 8

3 , ,9 9

x z y z z con z

3)

1 2 3

1 2 3

1 2 3

7

5 4 4

3 6 20

x x x

x x x

x x x

Hacemos:

1 1 1 7 1 1 1 7

5 1 4 4 0 4 9 39

3 1 6 20 0 4 9 41

1 1 1 7

9 390 1

4 4

0 0 0 2

El rango de la matriz de coeficientes es 2, y el de la aumentada es 3.

Las matrices no tienen el mismo rango. El sistema es inconsistente (o incompatible).

El ltimo rengln equivale a la ecuacin 1 2 30 0 0 2x x x , lo que es absurdo.


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El Teorema de Rouch- Frbenius demuestra una condicin necesaria y suficiente para

que un sistema de ecuaciones lineales tenga solucin. El enunciado es el siguiente.

Un sistema de ecuaciones lineales tiene solucin si y slo si el rango de la matriz de los

coeficientes de las incgnitas es igual al rango de la matriz ampliada.

Si el rango comn es igual al nmero de incgnitas, el sistema tiene una nica solucin

(sistema compatible, determinado). Si el rango comn es menor que el nmero de incg-

nitas, el sistema tiene infinitas soluciones (sistema compatible, indeterminado)

Si los rangos son distintos, el sistema no tiene solucin, es incompatible.

Los sistemas de ecuaciones lineales homogneos, siempre tienen solucin: el rango de la

matriz de los coeficientes siempre es igual al rango de la matriz ampliada. Pueden ser

determinados o indeterminados, segn el rango sea igual o menor que el nmero de in-

cgnitas.

5 0

4) 4 5 22 0

2 3 0

x y z

x y z

x y

1 1 5 0

4 5 22 0

2 3 0 0

1 1 5 0

0 1 2 0

0 5 10 0

1 1 5 0

0 1 1 0 ,

0 0 0 0

0 ; ( ) 5 0 4y z y z x z z x z .

El conjunto solucin es 4 ; ;S x z y z z con z Observacin: Tambin es comn expresar: z = t, y en este caso el conjunto solucin es:

4 ; ; ,S x t y t z t con t

Mtodo de Gauss - Jordan

Se expresa la matriz aumentada, como en el mtodo de Gauss, y se halla la matriz esca-

lonada reducida por renglones equivalente a la dada.

Ejemplo:

3

5) 4 2 3 5

5 7

x y z

x y z

x y z

;

1 1 1 3

4 2 3 5

1 1 5 7

1 1 1 3

0 6 7 7

0 2 4 4

1 1 1 3

0 1 2 2

0 6 7 7

1 1 1 3

0 1 2 2

0 0 19 19

1 1 1 3

0 1 2 2

0 0 1 1

al pri-

mer rengln le sumamos el segundo:

1 0 3 5

0 1 2 2

0 0 1 1

Al ltimo rengln lo multipli-

camos por (-3) y al resultado lo sumamos al primero, y lo multiplicamos por (-2) y al


_____________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________


resultado lo sumamos al segundo:

1 0 3 5

0 1 2 2

0 0 1 1

1 0 0 2

0 1 0 0

0 0 1 1

la solu-

cin es: x = 2; y = 0; z = 1

Ejercicio

Encuentre la funcin cuadrtica 2y a x b x c si los puntos (3 , 10) ,(1, 0) y (2 , 3)

pertenecen a la parbola.

Solucin

Si un punto pertenece a la grfica sus coordenadas satisfacen la ecuacin. Reemplazamos

las coordenadas de los puntos dados en la ecuacin y se obtiene el siguiente sistema de

tres ecuaciones lineales con tres incgnitas:

9 3 10

0

4 2 3

a b c

a b c

a b c

se resuelve por eliminacin Gaussiana, obteniendo:

22 3 1y x x


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Ejercicios resueltos

1) Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales, escriba la matriz de los coeficien-

tes, el vector de las incgnitas y el vector de los trminos independientes.

2

2 3

5 3 2 2

x y

x y z

x y z

Solucin: escribimos la matriz de los coeficientes:

1 1 0

2 1 1

5 3 2

, el vector de las incgni-

tas:

x

y

z

; y el vector de los trminos independientes:

2

3

2

2) Del sistema del ejercicio anterior, escriba la matriz ampliada o aumentada.

Solucin: escribimos la matriz ampliada del sistema que estamos trabajando, que por

convencin se escribe as:

1 1 0 2

2 1 1 3

5 3 2 2

3) Tomando el sistema del ejercicio 1, se pide que:

a) Encuentre el sistema equivalente al dado por el mtodo de Gauss.

b) Clasifique el sistema segn su solucin

c) Exprese su solucin en forma vectorial

d) Repita el clculo aplicando el mtodo de Gauss-Jordan.

Solucin: hallaremos el sistema equivalente al dado usando mtodo de Gauss o elimina-

cin gaussiana (conseguir ceros por debajo de los pivotes de la diagonal principal de la

matriz de los coeficientes aplicando transformaciones elementales sobre las filas):

1 2

3 2

1 3

2 2 3

1

2

( 2)

( 5)

( 3)

1 1 0 2 1 1 0 2 1 1 0 2

2 1 1 3 0 3 1 1 0 2 2 12

5 3 2 2 0 2 2 12 0 3 1 1

1 1 0 2 1 1 0 2

0 1 1 6 0 1 1 6

0 3 1 1 0 0 2 17

F FF F

F F

F F F

El nmero de filas con algn elemento distinto de 0 para la matriz de los coeficientes es

3, coincidiendo con el nmero de filas con algn elemento no nulo para la matriz am-

pliada, como as tambin con el nmero de incgnitas. Por esto, podemos asegurar que el

sistema es un sistema compatible determinado (o sea con nica solucin).


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______________________________________________________________________________________


Para hallar la solucin, reconstruimos las ecuaciones del sistema equivalente al dado:

2 (1)17

6 (2) ; de la ec (3) ; = ;sustituyendo este valor en la ec(2) :2

2 17 (3)

17 51 6; despejando : . Con ambas incgnitas halladas, las sustitumos en ec 1 :

2 2

5 171 0 2; despejan

2 2

x y

y z z

z

y y

x

9do : . Luego la solucin escrita en forma vectorial es :

2

92

52

172

x

x

y

z

Para resolver el sistema usando el mtodo de Gauss-Jordan se sigue un procedimiento

similar al mtodo de Gauss, solo que el mismo finaliza cuando logramos escribir la ma-

triz correspondiente al sistema equivalente, en su forma escalonada y reducida:

1 2 3 21 3

2 1

2 3

2

( 2) 1

( 5) 2

( 1)

( 3)

1 1 0 2 1 1 0 2 1 1 0 2 1 1 0 2

2 1 1 3 0 3 1 1 0 2 2 12 0 1 1 6

5 3 2 2 0 2 2 12 0 3 1 1 0 3 1 1

1 0 1 4

0 1 1 6

0 0 2 17

F FF F F

F F

F F

F F

3 13

3 2

( 1)1

(1)2

1 0 1 4 1 0 0 9 2

0 1 1 6 0 1 0 5 2

0 0 1 17 2 0 0 1 17 2

F FF

F F

Aqu la matriz de los coeficientes est en su forma escalonada y reducida, y de esta forma

se obtiene por simple observacin que la solucin del sistema dado es:

92

52

172

x

y

z



2 2 3 5

2 5 2 4 0

x y z w

x y z w

Solucin: La matriz de los coeficientes ser: A = 1 2 2 3

2 5 2 4

, el vector de las in

cgnitas: X =

x

y

z

w

; y el vector de los trminos independientes: b = 5

0


_____________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________



Solucin: escribimos la matriz ampliada del sistema que estamos trabajando, que por

convencin se escribe as: 1 2 2 3 5

2 5 2 4 0

;


a) Encuentre el sistema equivalente al dado por alguno de los mtodos vistos

b) Clasifique el sistema segn su solucin (tener en cuenta el rango de A y el rango de

A)


Luego repita el clculo aplicando el mtodo de Gauss-Jordan.

Solucin: hallaremos ahora el sistema equivalente al dado usando mtodo de Gauss-

Jordan:

1 2 2 3 5 1 2 2 3 5 1 2 2 3 5 1 0 14 7 25

2 5 2 4 0 0 1 6 2 10 0 1 6 2 10 0 1 6 2 10

Aqu, la matriz est en forma escalonada y reducida. Podemos observar que el nmero de

filas distintas de 0 para la matriz de los coeficientes es 2, coincidiendo con el nmero de

filas no nulas para la matriz ampliada. Pero como esta cantidad de filas no nulas es me-

nor que el nmero de incgnitas que son 4 (el rango es menor que el nmero de incgni-

tas), podemos asegurar que el sistema es un sistema compatible indeterminado (o sea con

infinitas soluciones). Ahora hallamos las soluciones. Para esto, reconstruimos las ecua-

ciones del sistema equivalente al dado: 14 7 25

6 2 10

x z w

y z w

Si despejamos:

25 14 7

10 6 2

x z w

y z w

z z

w w con z y w

; quedando aqu expresadas las infinitas soluciones de este

sistema siendo el conjunto solucin del sistema. Estas soluciones se obtendrn si los pa-

rmetros z y w toman los infinitos valores reales.

Podemos escribir el conjunto solucin anterior as:

25 14 7

10 6 2

x t r

y t r

z t

w r con t y r

Luego este conjunto solucin puede expresarse en forma vectorial, entonces el vector

solucin ser:


_____________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________


25

10

0

0

x

y

z

w

14 7

6 2

1 0

0 1

t r

; ,t r ..



2 3 4

2 6 7 15

2 5 10

y z

x y z

x y z

Solucin: La matriz de los coeficientes es A =

0 2 3

2 6 7

1 2 5

, el vector de las incgnitas: X

=

x

y

z

; y el vector de los trminos independientes: b =

4

15

10


Solucin: por convencin se escribe as:

0 2 3 4

2 6 7 15

1 2 5 10


a) Encuentre el sistema equivalente al dado por alguno de los mtodos vistos

b) Clasifique el sistema segn su solucin (tener en cuenta el rango de A y de A)


Luego repita el clculo aplicando el mtodo de Gauss-Jordan.

Solucin: hallaremos ahora el sistema equivalente al dado usando mtodo de Gauss-

Jordan:

1 2 5 100 2 3 4 1 2 5 10 1 2 5 10

3 52 6 7 15 2 6 7 15 0 2 3 5 0 1

2 21 2 5 10 0 2 3 4 0 2 3 4

0 0 0 1

La matriz est en forma escalonada y reducida. Podemos observar que el nmero de filas

no nulas para la matriz de los coeficientes es 2, no coincidiendo con el nmero de filas

no nulas para la matriz ampliada que es 3. Entonces, como rango de (A) rango de

(A`), el sistema dado no tiene solucin. Llegamos a la misma conclusin si reconstrui-

mos la ltima ecuacin del sistema equivalente obtenido: 0 0 0 1x y z , lo que

es imposible ya que 0 1. Este sistema es un sistema incompatible o inconsistente.


_____________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________


Ejercicios Propuestos

Clasifique, resuelva y verifique los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a)

2 3 3

2 3

2 3 3 7

3 3 4

x y z w

x z w

x y z w

x y z w

b)

c)

1

3 2 2 0

2 2

4 3 3 1

5 2 3

x y z

x y

x y z

x y z

x y z

d)

e) f)

g) h)

i) j)

k)

Respuestas

a) (x; y; z; w) = (1; -1; 0; 2), b) (x; y; z) = (1 -1/7 t ; 2 + 11/ 7 t; t) , t ,

c) (x; y; z) = (-2; 10; -7), d) (x; y; z) = (10 + 3 t ; -4-t ; t), t

e) incompatible, f) (x; y; z) = (1 + t ; 2 2 t ; t), t , g) (x; y; z) = ( 2; 2; 0),

h) (x; y ) = ( 2; 1 ), i) (x; y; z) = ( 4/3 + 1/3 t ; 2 - 3 t; t), t ,

j) (x; y; z) = ( -1; 3; 1), k) incompatible.

2 3 5

3 2 1

5 3 4 11

x y z

x y z

x y z

2 2

2 5 0

3 7 2 2

x y z

x y z

x y z

2 2

2 5 0

3 7 2 3

x y z

x y z

x y z

3

1

x y z

x z

3 4

5 2 6

3 0

x y z

x y z

x y z

2 0

3 5

1

x y

x y

x y

3 4

3 2

x z

y x

4 2 3

3 4 2

5

x y z

x y z

x y z

1

2 3 5

2 5 2

x y z

x z

y z


_____________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________


Aplicaciones de los Sistemas de Ecuaciones Lineales

Existen numerosas aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales en las diferentes

reas del conocimiento. Entre ellas podemos mencionar aplicaciones a la biologa, la

fsica elctrica, la economa, la administracin, la qumica, etc.

Para resolver un problema que involucra sistemas de ecuaciones lineales es conveniente

tener en cuenta las siguientes consideraciones:

1. Leer detenidamente el enunciado para entender el problema planteado.

2. Determinar los datos con los que contamos.

3. Identificar y nombrar las incgnitas de acuerdo a lo que se solicite.

4. Analizar y establecer las relaciones entre los datos encontrados y las incgni-

tas.

5. Hallar el sistema de ecuaciones lineales que resulta de las relaciones del punto

4.

6. Resolver el sistema de ecuaciones lineales.

7. Verificar la solucin obtenida.

8. Interpretar el resultado si es posible de acuerdo al problema.

Ejemplos de aplicacin resueltos

Ejemplo 1

Encontrar un polinomio P(x) de grado 3 tal que: P(0) = P(1) = 1, P(1) = 5 y P(1) = 1.

Solucin

El polinomio ser de la forma 3 2( )P x ax bx cx d . Sustituyendo los puntos dados en la

expresin del polinomio tenemos:

(0) .0 .0 .0 1P a b c d 1d

3 2(1) .1 .1 .1 1P a b c d

3 2(1) .( 1) .( 1) .( 1) 5P a b c d

Encontrando la derivada primera de ( )P x tenemos: 2( ) 3 2P x ax bx c

Reemplazando x por 1 e igualando a 1: 2(1) 3 .1 2 .1 1P a b c

Obtenemos entonces el siguiente sistema de ecuaciones:

2

8 4 2 6

3 2 5

a b c d

a b c d

a b c

Resolviendo el mismo tenemos que: 2; 3; 1a b c .

De donde: 3 2( ) 2 3 1P x x x x


_____________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________


La grfica del polinomio encontrado ser:

Ejemplo 2: Separacin en fracciones simples

Una tcnica utilizada frecuentemente para simplificar el clculo de integrales o de transforma-

das de Laplace es la separacin en fracciones simples o fracciones parciales. Como el nombre

de la tcnica lo indica, consiste en expresar un cociente de polinomios como suma de fraccio-

nes sencillas.

Supongamos que queremos determinar los valores de las constantes a y b que satisfagan:

2

( 1)( 5) ( 1) ( 5)

a b

x x x x

Solucin

Operando en el segundo miembro tenemos:

2 ( 5) ( 1)

( 1)( 5) ( 1)( 5)

a x b x

x x x x

2 ( 5) ( 1)a x b x 2 5ax a bx b 2 ( ) (5 )a b x a b

Esto se cumple si: 0

5 2

a b

a b

El cual tiene como solucin: 1

3a y

1

3b , por lo que:

1 11 3 3

( 1)( 5) ( 1) ( 5)x x x x

Ejemplo 3: Balanceo de Reacciones Qumicas

Otra aplicacin de los sistemas de ecuaciones es balancear reacciones qumicas donde debe-

mos determinar el nmero de molculas que intervienen en una reaccin qumica.

Supongamos que se necesita balancear la reaccin qumica: NH3 + O2 NO + H2O


_____________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________


Solucin

Teniendo en cuenta que el nmero de tomos de cada sustancia no vara, podemos hacer:

a NH3 + bO2 cNO +d H2O

y comparando este nmero de tomos de cada sustancia, en ambos miembros se llega a:

a = c (tomos de N)

3a = 2d (tomos de H)

2b = c + d (tomos de O)

Las ecuaciones anteriores forman un sistema compatible indeterminado (verifique esto).

La solucin general del mismo es: 2 5 2

, , ,3 6 3

a t b t c t d t . El menor valor de t para el

cual a, b, c, d son enteros no negativos es t = 6. Con este valor se obtiene: a = 4, b = 5, c = 4,

d = 6, resultando la reaccin: 4 NH3 + 5 O2 4 NO +6 H2O

Problemas

Balancee las siguientes reacciones qumicas:

a) Na2O + H2O + Na + OH NaOH

b) MnSO4 + KMnO4 + H2O MnO2 + K2SO4 + H2SO4

Respuestas:

a) Na2O + H2O + Na + OH 3NaOH

b) 3MnSO4 + 2KMnO4 +2H2O 5MnO2 + K2SO4 +2 H2SO4


_____________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________


MATRICES

Definicin:

Una matriz de tamao m x n es un arreglo de m.n nmeros dispuestos en m renglones o

filas y n columnas.

Se conviene en designar a las matrices con letras maysculas: A, B, C, . . ., y a sus ele-

mentos o componentes con minsculas: a, b, c, . . .

mnmjmm

inijii

nj

nj

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

......

..................

......

..................

......

......

21

21

222221

111211

El primer subndice de cada elemento indica el rengln y el segundo subndice, la co-

lumna.

El segundo rengln o fila de A es : ( nj aaaa 222221 ...... )

El i simo rengln es: ( inijii aaaa ......21 )

La j sima columna es :

1

2

:

:

j

j

ij

mj

a

a

a

a

, la n sima columna es:

1

2

:

:

n

n

in

mn

a

a

a

a

Otra forma de expresar una matriz de tamao m x n es:

x

con 1,2,3,...,

con 1,2,3,...,

ij m nA a i m

j n

Para denotar una matriz, adems de usar parntesis, se pueden emplear corchetes.

x ij m nA a con i = 1, 2, 3, ...., m ; j = 1, 2, 3, ..., n

Los elementos de las matrices pueden ser nmeros reales o nmeros complejos.

Ejemplos: a) 13

2 5

4

5 3

A

es una matriz de tamao 3 x 2 de elementos reales.

El primer rengln es: ( 2 5 ), la segunda columna es:

5

4

3

, el elemento a11 es: 2, el

elemento a32 es: 3


_____________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________


b)

715

20

613

23B es una matriz cuadrada de 3 x 3 o de orden 3.

El tercer rengln es: (5 -1 7)

El elemento a22 es: 23

c) C =

2 4

0 3

1 3 4

i

i

i

es una matriz de 3x2 de elementos complejos.

Algunos tipos de matrices:

o Una matriz puede tener una sola fila o rengln, y en este caso decimos que se tra-ta de una matriz rengln o vector rengln de n componentes.

nijn

aAaaaA x 111211

...

Ejemplo: 134 5 1 2A es un vector rengln de cinco componentes. Pa-ra que no haya confusiones pueden separarse los elementos con comas.

o Si la matriz tiene una sola columna es una matriz columna o vector columna de m componentes.

1 x

1

21

11

: m

ij

m

aA

a

a

a

A

Ejemplo:

8

1

3

2

A es un vector columna de cuatro componentes.

o Cuando el nmero de renglones es igual al nmero de columnas se tiene una ma-triz cuadrada de tamao n x n. Tambin se dice de orden n.

11 12 1

21 22 2

x

1 2

...

... ;

... ... ... ...

...

n

n

ij n n

n n nn

a a a

a a aA A a

a a a

; Ejemplo:

111

304

531

A es una matriz

cuadrada de orden 3.

o Si m n la matriz se dice rectangular.


_____________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________


o Una matriz que tiene todos sus elementos iguales a cero, es una matriz nula o matriz cero.

000

0000 es la matriz nula, rectangular, de tamao 2 x 3.

00

000 es la matriz nula, cuadrada, de orden 2.

Diferentes tipos de matrices cuadradas

En una matriz cuadrada de nxn, los elementos 11 22 33, , ,... nna a a a forman la diagonal prin-

cipal. Los dos subndices de esos elementos son iguales.

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

Matriz triangular superior: es aquella en la cual todos los elementos que estn debajo de

la diagonal principal son ceros. Ejemplos:

400

200

013

500

130

521

BA

Matriz triangular inferior: es aquella en la cual todos los elementos que estn sobre la

diagonal principal son ceros. Ejemplos:

140

032

000

112

014

006

BA

Matriz diagonal: todos los elementos que no estn en la diagonal principal son ceros.

Ejemplos:

200

000

005

300

010

004

BA

Matriz escalar: es una matriz diagonal que tiene todos los elementos de la diagonal prin-

cipal iguales entre s. Ejemplo:

300

030

003

A


_____________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________


Matriz unidad o matriz identidad: es una matriz escalar que tiene todos los elementos de

la diagonal principal iguales a uno. Ejemplos:

1...00

............

0...10

0...01

10

01

100

010

001

23 nIII

Igualdad de matrices

Dos matrices nmijnmij

bBaA x x

y son iguales si y slo si son de igual tamao y

sus elementos correspondientes son iguales. Simblicamente:

ijijnmijnmij baba x x

Ejercicio encuentre los valores de x, y, z para que A = B

7

214

26

24

2

7

2

7 yxB

zy

xA

Solucin:

3 710 72

5 61 6

1

zzzy

yyyx

x

Verifique la respuesta.

Operaciones con matrices

Adicin.

Definicin: dadas ijij bBaA y , matrices de m x n, se llama suma de A y B a la

matriz A + B de m x n que se obtiene sumando los elementos correspondientes de A y B

Simblicamente:

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

1 2 1 2

11 11 12 12 1 1

21 21 22 22 2 2

... ...

... ... ; B

... ... ... ... ... ... ... ...

... ...

...

...

... ..

n n

n n

m m mn m m mn

n n

n n

a a a b b b

a a a b b bDadas A

a a a b b b

a b a b a b

a b a b a bA B

1 1 2 2

o bien . ... ...

...

ij ij

m m m m mn mn

A B a b

a b a b a b


_____________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________


Observacin: la suma est definida solamente cuando las matrices son del mismo tama-

o.

Ejemplo: Halle la suma A + B

2 3 1 4 3 7

1 0 ; 3 5 La suma es 2 5

5 2 2 1 3 3

2 34 1

Si y 1 1 No es posible sumar las matrices porqu0 5

3 6

A B A B

A B

e no son de igual tamao.

Propiedades de la suma:

Si A, B y C son matrices de m x n, se cumplen las propiedades:

1) Ley de cierre: la suma de dos matrices de m x n es otra matriz de m x n.

2) Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C)

3) Conmutativa: A + B = B + A

4) Existencia del elemento neutro: Existe la matriz nula O, tal que A + O = O + A = A.

A la matriz nula se la llama tambin matriz cero.

5) Existencia del elemento opuesto o inverso aditivo: Para toda matriz A, distinta de la

matriz nula, existe la opuesta (-A) tal que A + (-A) = (-A) + A = O

Diferencia

La diferencia de dos matrices de orden m x n es la matriz del mismo orden m x n que se

obtiene sumando a la primera matriz la opuesta de la segunda.

Si A y B son matrices de mxn, entonces A B = A + (- B) Ejemplo:

327

511

206

435

011

213

112

520

413

435

011

213

112

520

413

435

011

213

112

520

413

BA

BA

Multiplicacin de un nmero por una matriz

Si ijaA es una matriz de tamao m x n y es un nmero real (escalar), el producto A es la matriz de m x n que se obtiene multiplicando por cada uno de los elementos de la matriz A.

Simblicamente:


_____________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________


mnmm

n

n

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

...

...

............

...

...

21

22221

11211

21

22221

11211

Tambin podemos expresar: mxnijmxnij

aaA

Propiedades:

Si y son escalares y A y B son matrices de tamao m x n, entonces:

1) ( A) = () A (asociativa)

2) (A + B) = A + B (distributiva respecto de la suma de matrices)

3) ( + ) A = A + A (distributiva respecto de la suma de escalares) 4) 1 A = A (el uno (1), elemento neutro del producto de nmeros reales opera idnti-

camente)

Otras propiedades:

a) 0 A = O

b) O = O

c) (-1) A = - A

Ejercicio:

Si

1 2 3 3 0 1

3 0 , 4 2 , 3 5

4 1 0 1 1 3

A B C

encuentre: a) 2 A + 3B 2C b) 5( 4A - B)+ (C 2A)

Vectores:

Definicin: se llama vector rengln o vector fila de n componentes a un conjunto orde-

nado de n nmeros escritos en la forma nxxxx ;...;;; 321

Definicin: se llama vector columna de n componentes a un conjunto ordenado de n n-

meros escritos en la forma:

nx

x

x

x

:

3

2

1


_____________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________


Los subndices indican el orden correspondiente a la componente del vector. Por ejem-

plo: 2 ,3 ,5 , 13u es un vector rengln de 4 componentes; 5 es la tercera componen-te; 13 es la cuarta componente.

Las componentes de los vectores son nmeros. Indicaremos con n al conjunto de todos

los vectores que tengan n componentes reales y con n al conjunto de todos los vectores

que tengan n componentes complejas.

As:

1

0

3

2

u es un vector columna perteneciente a 4 (tiene 4 componentes reales)

10 , 0 , , 3 , 6 , 1

2v

es un vector fila que pertenece a n (tiene 6 componentes

reales)

Dos vectores de componentes complejas son: 3

4; 3 21 2

ia b i

i

Observacin: los vectores son conjuntos ordenados de nmeros, en consecuencia, dos

vectores de n son iguales, si y slo si las componentes correspondientes son iguales:

2

3

1

1

3

2

Definicin: vector nulo o vector cero es el vector que tiene todos sus elementos iguales a

cero.

En 2 el vector cero es 0 ,0O o bien

0

0O

Producto escalar de vectores.

Suponga la siguiente situacin: un fabricante elabora cinco clases de artculos. El nmero

de unidades producidas semanalmente, de cada artculo, es: 10; 30; 20; 15 y 25. Los pre-

cios unitarios de esos artculos son, respectivamente, $ 16; $ 10; $ 20; $18 y $ 40. Cul

ser el ingreso semanal del fabricante suponiendo que vende todas las unidades que pro-

duce?

Solucin:

Si fabrica 10 unidades del primer artculo y vende cada una a $ 16, obtendr un ingreso

de (10)($ 16)= $ 160. De la misma manera podemos obtener el ingreso por la venta de

los dems artculos. La suma de todos ellos nos dar el ingreso total por semana:

10.16 + 30 . 10 + 20 . 20 + 15 . 18 + 25 . 40 = 160 + 300 + 400 + 270 + 1000 = $2130


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Algebra Lineal y Geometria Analitica 2014

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