M eG r a wH i l l

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A l g e b r a l in e a lSEXTA EDICIN

S t a n l e y I. G r o s s m a n S.U n i v e r s i t y o f M o n t a n a

U n i v e r s i t y C o l l e g e L o n d o n

Revisin y adaptacin:

Jo s Jo b Fl o r e s G o d o yU n i v e r s i d a d I b e r o a m e r i c a n a

Revisin tcnica:

A b e l a r d o E r n e s t o D a m y S o l sIn s t it u t o Te c n o l g ic o y d e E s t u d io s S u p e r io r e s

d e M o n t e r r e y , c a m p u s G u a d a l a ia r a

M a r a E u g e n i a N o r i e g a T r e v i oUn iv e r s id a d A u t n o m a d e S a n Lu is P o t o s

M a r a A s u n c i n M o n t e s Pa c h e c oUn iv e r s id a d P o p u l a r A u t n o m a

d e l E s t a d o d e P u e b l a

I r m a Pa t r i c i a F l o r e s A l l i e rIn s t it u t o P o l it c n ic o Na c io n a l

D a x A n d r P i n s e a u C a s t i l l oUn iv e r s id a d Ca t l ic a d e H o n d u r a s

Un iv e r s id a d P e d a g g ic a Na c io n a l d e H o n d u r a s

K r i s t i a n o R a c a n e l l oFu n d a c i n Un iv e r s id a d d e l a s A m r ic a s , P u e b l a

E r i k L e a l E n r q u e zUn iv e r s id a d Ib e r o a m e r ic a n a , Ciu d a d d e M x ic o

Un iv e r s id a d A u t n o m a M e t r o p o l it a n a A z c a p o t z a lc o

E d u a r d o S o b e r a n e s L u g oIn s t it u t o Te c n o l g ic o y d e E s t u d io s S u p e r io r e s

d e M o n t e r r e y , c a m p u s S in a lo a

M a r t h a Pa t r i c i a M e l n d e z A g u i l a rIn s t it u t o Te c n o l g ic o d e Ce l a y a

Is r a e l P o r t i l l o A r r o y oIn s t it u t o Te c n o l g ic o d e l Pa r r a l , Ch ih u a h u a

Iv n C a s t a e d a L e y v aUn iv e r s id a d d e Oc c id e n t e , u n id a d Cu l ia c n

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Director Highcr Education: Miguel ngel Toledo Castellanos Director editorial: Ricardo A. del Bosque Alayn Editor sponsor: Pablo E. Roig Vzquez Editora de desarrollo: Lorena Campa Rojas Supervisor de produccin: Zeferino Garca Garca

LGEBRA LINEAL Sexta edicin

Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor.

McGraw-Hill \:'m interamericana

DERECHOS RESERVADOS ' 2008. respecto a la sexta edicin en espaol por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES. S.A. DE C.V.A Subsidian o fT he McGraw-Hil! Comptmies, Inc.

Prolongacin Paseo de la Reforma 1015. Torre A Piso 17. Colonia Desarrollo Santa Fe Delegacin Alvaro Obregn C.P. 01376, Mxico. D.F.Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Nm. 736

ISBN-10: 970-10-6517-4 ISBN-13: 978-970-10-6517-4ISBN-10: 970-10-6773-8 (Quinta edicin cambio de portada)ISBN-13: 978-970-10-6773-4

Traducido y adaptado de la quinta edicin en ingls de ELEMENTARY LINEAR ALGEBRA WITH APPLICATIONS. Copyright < 2007. by Stanley I. Grossman S.

ISBN 0-03-097354-6

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Pa r a K e r s t i n , A a r o n y E r i c k

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CONTENIDO

1 S is te m a s de e c u a c io n e s l in e a le s y m a tr ic e s 1

l.l Introduccin ll .2 Dos ecuaciones lineales con dos incgnitas 2l .3 m ecuaciones con 11 incgnitas: eliminacin de Gauss-Jordn y gaussiana

Semblanza d e .. . C a ri F ried ricli Gauss 2 1 Introduccin a MATLAB 28

l .4 Sistemas homogneos de ecuaciones 361.5 Vectores y matrices 42

Semblanza de. . . S ir IVilliam Rowan Ham ilton 521.6 Productos vectorial y matricial 57

Semblanza de. . . A rllu ir Cay ley y el lgebra de matrices 711.7 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 87l .8 Inversa de una m atriz cuadrada 94l .9 Transpuesta de una m atriz 118 l . 10 Matrices elementales y matrices inversas 124 1. 11 Factorizaciones LU de una matriz 1361. 12 Teora de grficas: una aplicacin de matrices 152

Resumen 159 Ejercicios de repaso 164

2 D e t e r m in a n t e s 1 6 8

2. 1 Definiciones 168Propiedades de los determ inantes 182

2.3 Demostracin de tres teoremas im portantes y algo de historiaSemblanza de. . . Breve historia de los determinantes 203

2.4 Determinantes e inversas 2042.5 Regla de Cram er (opcional) 212

Resumen 217Ejercicios de repaso 218

3 V e c t o r e s e n C 2 y E 3 2 2 0

3 .1 Vectores en el plano 2203.2 El producto escalar y las proyecciones en R : 2343.3 Vectores en el espacio 2443.4 El producto cruz de dos vectores 254

Semblanza d e . . . Josiali Willard Gibbs y los orgenes del anlisis vectorial 259

3.5 Rectas y planos en el espacio 263 Resumen 275Ejercicios de repaso 277

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VIII

4 E s p a c io s v e c t o r ia l e s 2 8 1

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Contenido

4.1 Introduccin 2814.2 Definicin y propiedades bsicas 2814.3 Subespacios 2934.4 Com binacin lineal y espacio generado 2994.5 Independencia lineal 3144.6 Bases y dimensin 3324.7 Rango, nulidad, espacio de los renglones y espacio de las columnas

de una matriz 3434.8 Cam bio de base 3664.9 Bases ortonorm ales y proyecciones en I> 3874.10 Aproximacin por mnimos cuadrados 4114 .ll Espacios con producto interno y proyecciones 4324.12 Fundam entos de la teora de espacios vectoriales:

existencia de una base (opcional) 444Resumen 449Ejercicios de repaso 455

5 T r a n s f o r m a c io n e s l in e a l e s 4 5 8

5.1 Definicin y ejemplos 4585.2 Propiedades de las transform aciones lineales: imagen y ncleo 4725.3 Representacin matricial de una transform acin lineal 4795.4 Isomorfismos 5035.5 Isometras 5 10

Resumen 518 Ejercicios de repaso 521

6 V a l o r e s c a r a c t e r s t ic o s , v e c t o r e s c a r a c t e r s t ic o sY FORMAS CANNICAS 5 2 4

6. 1 Valores caractersticos y vectores caractersticos 5246.2 Un modelo de crecimiento de poblacin (opcional) 5466.3 Matrices semejantes y diagonalizacin 5556.4 Matrices simtricas y diagonalizacin ortogonal 5676.5 Formas cuadrticas y secciones cnicas 5756.6 Form a cannica de Jordn 5866.7 Una aplicacin importante: forma matricial de ecuaciones diferenciales 5956.8 Una perspectiva diferente: los teoremas de Cayley-Hamilton

y Gershgorin 607Resumen 615 Ejercicios de repaso 620

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Contenido

Apndice 1 Induccin matemtica 622

Apndice 2 Nmeros complejos 630

Apndice 3 El error numrico en los clculosy la complejidad computacional 640

Apndice 4 Eliminacin gaussiana con pivoteo 649

Apndice 5 Uso de MATLAB 656

Respuestas a los problemas impares 658

C aptulo 1 658

C aptulo 2 683

C aptulo 3 688

Captulo 4 701

C aptulo 5 725

C aptulo 6 734

Apndices 752

ndice 757

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CONTENIDO DE LOS PROBLEMAS CON MATLABSe enumeran los conjuntos de problemas de MATLAB y los temas de inters especial.

1 S i s t e m a s d e e c u a c io n e s l in e a l e s y m a t r ic e s

Introduccin a MATLAB 28 Tutora de MATLAB 30

l .3 m ecuaciones con n incgnitas: eliminacin de Gauss-Jordan y gaussiana 3 1 Distribucin de calor 33 Modelo de insumo-producto de Leontie f 34 Flujo de trfico 34 Ajuste de polinomios a puntos 35

1.4 Sistemas homogneos de ecuaciones 41Balanceo de reacciones qumicas 4 1

1.5 Vectores y matrices 55Caractersticas de MATLAB. Introduccin eficiente de matrices dispersas 56

l .6 Productos vectorial y matricial 81 M atriz triangular superior 83 Matrices nilpotentes 83Matrices por bloques 84Producto exterior 84 Matrices de contacto 84 Cadena de Markov 84PROBLEM A PROYECTO: matriz de poblacin 86

l .7 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 92l .8 Inversa de una matriz cuadrada 113

Tipos especiales de matrices 11 5Perturbaciones: matrices cercanas a una matriz no invertible 116Criptografa 117

1.9 Transpuesta de una m atriz 122PROBLEM A PROYECTO: matrices ortogonales 123

1.10 Matrices elementales y matrices inversas 1341.11 Factorizaciones LU de una m atriz 150

2 D e t e r m in a n t e s

2.1 Definiciones 179archivo tipo M, ornt.m ilustracin de la orientacin de vectores antes v despus de la manipulacin de matrices 181

2.2 Propiedades de los determ inantes 1982.4 D eterm inantes e inversas 210

PROBLEM A PROYECTO: encriptado y desencriptado de mensajes 2 112.5 Regla de Cram er 216

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Contenido de los problemas de MATLAB

V e c t o r e s e n C 2 y C 3

3.1 Vectores en el plano 231archivo tipo M , lincomb.m ilustracin de un vector como una combinacin linea! de dos vectores no paralelos 233

3.2 El producto escalar y las proyecciones en !> 243archivo tipo M , prjtn.m ilustracin de la proyeccin de un vector sobre otro 243

3.4 El producto cruz de dos vectores 263

E s p a c io s v e c t o r ia l e s

4.2 Definicin y propiedades bsicas 288archivo tipo M , vctrsp.m ilustracin de algunos axiomas en espacios vectoriales 288

4.3 Subespacios 2994.4 Combinacin lineal y espacio generado 305

Visualiztcin de las combinaciones lineales 305 archivo tipo VI, combo.m ilustracin de las combinaciones lineales de dos vectores 305archivo tipo VI, lincomb.m ilustracin de un vector como combinacin lineal por partes de tres vectores 307 Aplicacin 312

4.5 Independencia lineal 328Ciclos en digrficas e independencia lineal 331

4.6 Bases y dimensin 3414.7 Rango, nulidad, espacio de los renglones y espacio de las

columnas de una matriz 358Aplicacin geomtrica del espacio nido 359Aplicacin del espacio nulo a sistemas de ecuaciones 360Exploracin del rango de matrices especiales 363Rango v productos de matrices 363PROBLEMA PROYECTO: ciclos en dignificas 364PROBLEMA PROYECTO: subespacio suma y subespacio interseccin

4.8 Cam bio de base 378Cambio de base por rotacin en lV rotaciones inclinar, desviar y rodar 385. 387

4.9 Bases ortonorm ales y proyecciones en 13" 403Proyeccin sobre un plano en 13'' 405Matrices ortogonales: longitud y ngulo 408Matrices de rotacin 409Reflectores elementales 410PROBLEMA PROYECTO: matrices de rotacin; cambio de base en I ?

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Contenido de los problemas de MATLAB

4.10 Aproximacin por mnimos cuadrados 424Eficiencia de combustible 426Manufactura: temperatura y fuerza 427archivo tipo VI, mile.in datos en form a vectorial sobre el ao y los tiempos rcord de carreras de una milla 427 Crecimiento de poblacin 427Geologa minera 429PROBLEM A PROYECTO: geologa petrolera 429

4.11 Espacios con producto interno y proyecciones 443

T r a n s f o r m a c io n e s l in e a l e s

5.1 Definicin y ejemplos 467Grficas en computadora: creacin de una figura 467archivo tipo M, grafios.m grficas por computadora usando matrices 468

5.3 Representacin matricial de una transform acin lineal 500 Proyecciones 500Reflexiones 501PROBLEM A PROYECTO: creacin de grficas y aplicacin de transformaciones 502

5.4 Isomorfismos 5095.5 Isometras 517

V a l o r e s c a r a c t e r s t ic o s , v e c t o r e s c a r a c t e r s t ic o sY FORMAS CANNICAS

6.1 Valores caractersticos y vectores caractersticos 540Teora de grficas 543Geologa 545

6.2 Un modelo de crecimiento de poblacin 551Poblaciones de pjaros 551Teora de grficas 554PROBLEM A PROYECTO: grficas de mapas 555

6.3 Matrices semejantes y diagonalizacin 565Geometra 566

6.4 Matrices simtricas y diagonalizacin 574Geometra 574

6.5 Form as cuadrticas y secciones cnicas 5856.6 Form a cannica de Jordn 5946.8 Una perspectiva diferente: los teoremas de Cayley-Hamilton

y Gershgorin 607

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PREFACIO

Anteriorm ente el estudio del lgebra lineal era parte de los planes de estudios de los alumnos de matemticas y fsica principalmente, y tambin recurran a ella aquellos que necesitaban conocimientos de la teora de matrices para trabajar en reas tcnicas como la estadstica mul- tivariable. Hoy en da. el lgebra lineal se estudia en diversas disciplinas gracias al uso de las com putadoras y al aum ento general en las aplicaciones de las matemticas en reas que. por tradicin, no son tcnicas.

PRERREQUISITOS

Al escribir este libro tuve en mente dos metas. Intent volver accesibles un gran nmero de temas de lgebra lineal para una gran variedad de estudiantes que necesitan nicamente conocimientos firmes del lgebra correspondientes a la enseanza media superior. Com o muchos estudiantes habrn llevado un curso de clculo de al menos un ao. inclu tambin varios ejemplos y ejercicios que involucran algunos temas de esta materia. Estos se indican con el smbolo ICAlculoI. La seccin 6.7 es opcional y s requiere el uso de herramientas de clculo, pero salvo este caso, el clculo no es un prerrequisito para este texto.

A p l ic a c io n e s

Mi segunda meta fue convencer a los estudiantes de la im portancia del lgebra lineal en sus campos de estudio. De este modo el contexto de los ejemplos y ejercicios hace referencia a diferentes disciplinas. Algunos de los ejemplos son cortos, com o las aplicaciones de la multiplicacin de matrices al proceso de contagio de una enfermedad (pgina 62). Otros son un poco ms grandes; entre stos se pueden contar el m odelo de insumo-producto de Leontief (pginas 18 a 19 y 103 a 106), la teora de grficas (seccin 1.12). ia aproximacin por mnimos cuadrados (seccin 4.10) y un modelo de crecimiento poblacional (seccin 6.2).

Adems, se puede encontrar un nmero significativo de aplicaciones sugestivas en las secciones de MATLAB.

T e o r a

Para muchos estudiantes el curso de lgebra lineal constituye el primer curso real de matemticas. Aqu se solicita a los estudiantes no slo que lleven a cabo clculos matemticos sino tambin que desarrollen demostraciones. Intent, en este libro, alcanzar un equilibr o entre la tcnica y la teora. Todas las tcnicas importantes se describen con minucioso detalle y se ofrecen ejemplos que ilustran su utilizacin. Al mismo tiempo, se demuestran todos los teoremas que se pueden probar utilizando resultados dados aqu. Las demostraciones ms difciles se dan al final de las secciones o en apartados especiales, pero siempre se dan. El resultado es un libro que proporcionar a los estudiantes tanto las habilidades algebraicas para resolver problemas que surjan en sus reas de estudio como una mayor apreciacin de la belleza de las matemticas.

CARACTERSTICASLa sexta edicin ofrece nuevas caractersticas, y conserva la estructura ya probada y clsica que tena la quinta edicin. Las nuevas caractersticas se enumeran en la pgina xv.

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Prefacio

E j e m p l o s

Los estudiantes aprenden matemticas mediante ejemplos completos y claros. La sexta edicin contiene cerca de 350 ejemplos, cada uno de los cuales incluye lodos los pasos algebraicos necesarios para com pletar la solucin. En muchos casos se proporcionaron secciones de ayuda didctica para facilitar el seguimiento de esos pasos. Adicionalmente, se otorg un nombre a los ejemplos con el objeto de que resulte ms sencillo entender el concepto esencial que ilustra cada uno.

E j e r c ic io s

El texto contiene cerca de 2750 ejercicios. Al igual que en todos los libros de matemticas, stos constituyen la herram ienta ms im portante del aprendizaje. Los problemas conservan un orden de acuerdo con su grado de dificultad y existe un equilibrio entre la tcnica y las demostraciones. Los problemas ms complicados se encuentran m arcados con un asterisco (*) y unos cuantos excepcionalmente difciles con dos (**). stos se complementan con ejercicios de problemas impares, incluyendo aquellos que requieren demostraciones. De los 2 750 ejercicios, alrededor de 300 son nuevos. Muchos de ellos han sido aportados por profesores destacados en su imparticin de la materia. Tambin hay varios problemas en las secciones de "M anejo de calculadora" y M ATLAB". En dicha seccin se hablar ms sobre estas caractersticas.

T e o r e m a d e r e s u m e n

Una caracterstica im portante es la aparicin frecuente del teorema de resumen, que une temas que en apariencia no tienen nada en comn dentro del estudio de matrices y transformaciones lineales. En la seccin 1.2 (pgina 4) se presenta el teorema por vez primera. En las secciones1.8 (p. 106). 1.10 (p. 128). 2.4 (p. 208). 4.5 (p. 320). 4.7 (p. 353), 5.4

Prefacio xv

Sin embargo, debe hacerse hincapi en que no se requiere que los alumnos cuenten con una calculadora graficadora para que el uso de este libro sea efectivo. Las secciones de manejo de calculadora son una caracterstica opcional que debe usarse a discrecin del profesor.

R e s m e n e s d e c a p t u l o

Al final de cada captulo aparece un repaso detallado de los resultados im portantes hallados en el mismo. Incluye referencias a las pginas del capitulo en las que se encuentra la informacin completa.

G e o m e t r a

Algunas ideas im portantes en lgebra lineal se entienden mejor observando su interpretacin geomtrica. Por esa razn se han resaltado las interpretaciones geomtricas de conceptos importantes en varios lugares de esta edicin. Estas incluyen:

La geometra de un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas (p. 19)

La interpretacin geomtrica de un determ inante de 2 x 2 (pp. 175. 257)

La interpretacin geomtrica del triple producto escalar (p. 258)

Cm o dibujar un plano (p. 267)

La interpretacin geomtrica de la dependencia lineal en C 3 (p. 317)

La geometra de una transform acin lineal de I? e n (pp. 488-495)

L a s iso m e tra sd e l? (p. 512)

S e m b l a n z a s h is t r ic a s

Las matemticas son ms interesantes si se conoce algo sobre el desarrollo histrico del tema. Para estimular este inters se incluyen varias notas histricas breves, dispersas en el libro. Adems, hay siete semblanzas no tan breves y con ms detalles, entre las que se cuentan las de:

Cari Friedrich Gauss (p. 21)

Sir William Rowan Ham ilton (p. 52)

A rthur Cayley y el lgebra de matrices (p. 71)

Breve historia de los determ inantes (p. 203)

Josiah Willard Gibbs y los orgenes del anlisis vectorial (p. 259)

Historia de la induccin matemtica (p. 627)

C a r a c t e r s t ic a s n u e v a s d e l a s e x t a e d ic i n

Gracias a la participacin de profesores y revisores, la nueva edicin se ha enriquecido con diversos cambios, como son:

Secciones de manejo de la calculadora actualizadas.

Las tutoras y problemas de MATLAB tambin se han actualizado, incluyendo ahora mayores referencias e incluso muchos de los cdigos necesarios.

Gran cantidad de problemas nuevos, adems de otros actualizados, que perm itirn ejercitar y aplicar las habilidades adquiridas. Por ende, la seccin de respuestas al final del libro ha cambiado por completo.

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XVI Prefacio

MATLABEl texto cuenta con ms de 230 problemas opcionales para MATLAB", muchos de los cuales tienen varios incisos, que aparecen despus de la mayora de las secciones de problemas (MATLAB' es una marca registrada de The M ath Works, Inc.). MATLAB" es un paquete poderoso pero amigable, diseado para manejar problemas de una amplia variedad que requieren clculos con matrices y conceptos de lgebra lineal. Se puede ver mayor informacin sobre este programa en la seccin de apndices. Los problemas relacionados directamente con los ejemplos y los problemas normales, exhortan al estudiante a explotar el poder de clculo de MATLAB" y explorar los principios del lgebra lineal mediante el anlisis y la obtencin de conclusiones. Adems, se cuenta con varios incisos de papel y lpiz" que permiten que el alumno ejercite su juicio y demuestre su aprendizaje de los conceptos.

La seccin 1.3 es la primera que contiene problemas de MATLAB*; antes de estos problemas se presenta una introduccin y una tutora breve. Los problemas de MATLAB" en cada seccin estn diseados para que el usuario conozca los com andos de MATLAB" a medida que se van requiriendo para la resolucin de problemas. Se cuenta con numerosas aplicaciones y problemas proyecto que demuestran la relevancia del lgebra lineal en el mundo real; stos pueden servir como trabajos de grupo o proyectos cortos.

M uchos de los problemas de MATLAB" estn diseados para anim ar a los estudiantes a describir teoremas de lgebra lineal. Por ejemplo, un estudiante que genere varias matrices triangulares superiores y calcule sus inversas obtendr la conclusin natural de que la inversa de una matriz triangular superior es otra triangular superior. La demostracin de este resultado no es trivial, pero tendr sentido si el estudiante ve que el resultado es aceptable. Prcticamente todos los conjuntos de problemas de MATLAB" contienen algunos que llevan a resultados matemticos.

Lo mismo que en el caso del manejo de calculadora, se resalta aqu el hecho de que el material de MATLAB" es opcional. Se puede asignar o no segn el profesor lo considere conveniente.

En lugar de colocar la seccin de MATLAB a manera de suplemento, se decidi conservarlo dentro de los captulos para que la integracin fuera mayor y ms efectiva. Adems, se ha cuidado que primero se ensee a los estudiantes la m anera de resolver los problemas a m ano , com prendiendo los conceptos, para despus poder incorporar el uso de otras herramientas.

Algebra lineal conserva el diseo de un libro para cubrirse en un semestre. Es de esperarse que. al utilizarlo, el material de MATLAB se cubra en un laboratorio separado que complemente el trabajo del saln de clase.

N u m e r a c i n

La numeracin de este libro es estndar. Dentro de cada seccin, los ejemplos, problemas, teoremas y ecuaciones se encuentran numerados consecutivamente a partir del nmero 1. Las referencias a los mismos fuera de la seccin se llevan a cabo por captulo, seccin y nmero. De esta forma, el ejemplo 4 en la seccin 2.5 se denomina ejemplo 4 en esa seccin, pero fuera de ella se habla del ejemplo 2.5.4. Adems, con frecuencia se proporciona el nmero de la pgina para que resulte sencillo encontrar referencias.

ORGANIZACINEl enfoque que se ha utilizado en este libro es gradual. Los captulos 1 y 2 contienen el material com putacional bsico comn para la mayor parle de los libros de lgebra lineal. El captulo 1 presenta los sistemas de ecuaciones lineales, vectores y matrices. Cubre lodo el material de sis

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Prefacio XVII

temas de ecuaciones antes de introducir los conceptos relacionados con matrices. Esta presentacin proporciona una mayor motivacin para el estudiante y sigue el orden de la mayora de los tem arios del curso. Tambin se incluy una seccin (1.12) en la que se aplican matrices a la teora de grficas. El captulo 2 proporciona una introduccin a los determ inantes e incluye un ensayo histrico sobre las contribuciones de Leibniz y Cauchy al lgebra lineal (seccin 2.3)

Dentro de este material bsico, incluso hay secciones opcionales que representan un reto un poco mayor para el estudiante. Por ejemplo, la seccin 2.3 proporciona una demostracin completa de que det AB = det/de t5 . La dem ostracin de este resultado, mediante el uso de matrices elementales, casi nunca se incluye en libros introductorios.

El captulo 3 analiza los vectores en el plano y el espacio. Muchos de los lemas de este captulo se cubren segn el orden con el que se presentan en los libros de clculo, de manera que es posible que el estudiante ya se encuentre familiarizado con ellos. Sin embargo, como una gran parte del lgebra lineal est relacionada con el estudio de espacios vectoriales abstractos, los alum nos necesitan un acervo de ejemplos concretos que el estudio de los vectores en el plano y el espacio proporciona de m anera natural. El material ms difcil de los captulos 4 y 5 se ilustra con ejemplos que surgen del captulo 3. La seccin 3.4 incluye un ensayo histrico sobre Gibbs y el origen del anlisis vectorial.

El captulo 4 contiene una introduccin a los espacios vectoriales generales y es necesariamente ms abstracto que los captulos anteriores. No obstante, intent presentar el material como una extensin natural de las propiedades de los vectores en el plano, que es en realidad la forma en que surgi el tema. La sexta edicin estudia las combinaciones lineales y el conjunto generado por ellas (seccin 4.4) antes de la independencia lineal (seccin 4.5) para explicar estos temas de manera ms clara. El captulo 4 tambin incluye una seccin (4.10) de aplicaciones interesantes sobre la aproximacin por mnimos cuadrados.

Al final del captulo 4 agregu una seccin (4.12) opcional en la que demuestro que todo espacio vectorial tiene una base. Al hacerlo se analizan los conjuntos ordenados y el lema de Zorn. Dicho m aterial es ms complicado que cualquier otro tema en el libro y se puede omitir. Sin embargo, como el lgebra lineal a menudo se considera el prim er curso en el que las demostraciones son tan im portantes como los clculos, en mi opinin el estudiante interesado debe disponer de una demostracin de este resultado fundam ental.

El captulo 5 contina el anlisis que se inici en el captulo 4 con una introduccin a las transformaciones lineales de un espacio vectorial a otro. Comienza con dos ejemplos que muestran la manera natural en la que pueden surgir las transformaciones. En la seccin 5.3 inclu una descripcin detallada de la geometra de las transformaciones de E 2 en R :, inclu expansiones, compresiones, reflexiones y corles. Ahora, la seccin 5.5 contiene un estudio ms detallado de las isometras de I? .

El captulo 6 describe la teora de los valores y vectores caractersticos o valores y vectores propios. Se introducen en la seccin 6.1 y en la seccin 6.2 se da una aplicacin biolgica detallada al crecimiento poblacional. Las secciones 6.3, 6.4 y 6.5 presentan la diagonalizacin de una matriz, m ientras que la seccin 6.6 ilustra, para unos cuantos casos, cmo se puede reducir una matriz a su forma cannica de Jordn. La seccin 6.7 estudia las ecuaciones diferenciales matriciales y es la nica seccin del libro que requiere conocimiento del primer curso de clculo. Esta seccin proporciona un ejemplo de la utilidad de reducir una matriz a su forma cannica de Jordn (que suele ser una matriz diagonal). En la seccin 6.8, introduje dos de mis resultados favoritos acerca de la teora de matrices: el teorema de Cayley-Hamilton y el teorema de los crculos de Gershgorin. El teorema de los crculos de Gershgorin es un resultado muy rara vez estudiado en los libros de lgebra lineal elemental, que proporciona una manera sencilla de estimar los valores propios de una matriz.

En el captulo 6 tuve que tom ar una decisin difcil: si analizar o no valores y vectores propios complejos. Decid incluirlos porque me pareci lo ms adecuado. Algunas de las matrices

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XV III Prefacio

ms agradables" tienen valores propios complejos. Si se define un valor propio como un nmero real, slo en un principio se pueden simplificar las cosas, aunque esto sea un error. Todava ms, en muchas aplicaciones que involucran valores propios (incluyendo algunas de la seccin 6.7). los modelos ms interesantes se relacionan con fenmenos peridicos y stos requieren valores propios complejos. Los nmeros complejos no se evitan en este libro. Los estudiantes que no los han estudiado antes pueden encontrar las pocas propiedades que necesitan en el apndice 2 .

El libro tiene cinco apndices, el primero sobre induccin matemtica y el segundo sobre nmeros complejos. Algunas de las demostraciones en este libro hacen use de la induccin matemtica, por lo que el apndice I proporciona una breve introduccin a esta im portante tcnica para los estudiantes que no la han utilizado.

El apndice 3 analiza el concepto bsico de la complejidad de los clculos que, entre otras cosas, ayudar a los estudiantes a entender las razones por las cuales quienes desarrollan software eligen algoritm os especficos. El apndice 4 presenta un m todo razonablemente eficiente para obtener la solucin numrica de los sistemas de ecuaciones. Por ltimo, el apndice 5 incluye algunos detalles tcnicos sobre el uso de MATLAB* en este libro.

U na nota sobre la interdependencia de los captulos: este libro est escrito en forma se- cuencial. Cada captulo depende de los anteriores, con una excepcin: el captulo 6 se puede cubrir sin necesidad de gran parte del material del captulo 5. Las secciones m arcadas como opcional" se pueden om itir sin prdida de la continuidad.

MATERIALES DE APOYOEsta obra cuenta con interesantes complementos que fortalecen los procesos de enseanza- aprendizaje, as como la evaluacin de los mismos, los cuales se otorgan a profesores que adoptan este texto para sus cursos. Para obtener ms informacin y conocer la poltica de entrega de estos materiales, contacte a su representante McGraw-Hill.

AGRADECIMIENTOSEstoy agradecido con muchas personas que me ayudaron cuando escriba este libro. Parte del material apareci primero en M athematicsfor the Biological Sciences (Nueva York, Macmillan, 1974) escrito por James E. Turner y por m. Quiero agradecer al profesor Turner por el permiso que me otorg para hacer uso de este material.

G ran parte de este libro fue escrita mientras trabajaba como investigador asociado en la University College London. Deseo agradecer al departam ento de matemticas de UCL por proporcionarm e servicios de oficina, sugerencias matemticas y, en especial, su amistad durante mis visitas anuales.

El material de MATLAB- fue escrito por Cecelia Laurie, de la University o f Alabama. Gracias a la profesora Laurie por la manera sobresaliente en que utiliz la com putadora para m ejorar el proceso de enseanza. Este es un mejor libro debido a sus esfuerzos.

Tambin me gustara extender mi agradecimiento a Cristina Palumbo. de The MatliWorks, Inc., por proporcionarnos la informacin ms reciente sobre MATLAB".

La efectividad de un libro de texto de matemticas depende en cierto grado de la exactitud de las respuestas. Ya en la edicin anterior del libro se hicieron esfuerzos considerables para tra tar de evitar los errores al mximo. Las respuestas fueron verificadas por varios profesores, entre los que cabe destacar la im portantsim a labor de Sudhir Goel, de Valdosta State College, y David Ragozin, de la University o f W ashington, quien elabor el M anual de Soluciones del libro. Cecelia Laurie prepar las soluciones a los problemas de M ATLAB. En el caso de esta

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Prefacio x ix

nueva edicin, las soluciones a los problemas nuevos estn elaboradas por los profesores que los aportaron. Dado que hay gran cantidad de problemas nuevos, la seccin de respuestas al final del libro se modific casi por completo.

Agradezco a aquellas personas que hicieron com entarios a la quinta edicin. Todos ellos son muy valiosos. En esta edicin fue posible incorporar muchos de ellos.

Mi agradecimiento a los siguientes usuarios experimentados de MATLAB" por la revisin de los problemas de MATLAB":

Thom as Cairns. University o f Tulsa

Karen Donelly, Saint Joseph's College

Roger H orn, University o f Utah

Irving Katz, George Washington University

G ary Platt. University o f Wisconsin-Whitewater

Stanley I. GrossmanMissoula, M ontana

Diciembre de 2007

La divisin de Ingenieras, M atemticas y Ciencias de McGraw-Hili agradece de manera muy especial a todos los profesores que han contribuido con este im portante proyecto:

Adn M edina, Instituto Tecnolgico de Culiacn

Alfonso Berna! Amador. Instituto Tecnolgico de Culiacn

Alfredo Gmez Rodrguez. Universidad Nacional Autnoma de Mxico,Facultad de Ingeniera

Andrs Basilio Ramrez y Villa. Universidad Nacional Autnoma de Mxico,Facultad de Ingeniera

A rturo Astorga Ramos, Instituto Tecnolgico de Mazatln

Arturo Fernando Quiroz, Tecnolgico Regional de Quertaro

A rturo M uoz Lozano, Universidad La Salle del Bajo

Arturo Valenzuela Valenzuela. Instituto Tecnolgico de Culiacn

Aureliano Castro. Universidad Autnoma de Sinctloa, Escueta de Ingeniera

Beatriz Velazco. Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Culiacn

Benigno Valez. Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Culiacn

Bertha Alicia M adrid, Universidad Iberoamericana, campus Cuidad de Mxico

Carlos Camacho Snchez, Instituto Tecnolgico de Culiacn

Carlos Rodrguez Provenza. Universidad Politcnica de Quertaro

Csar Meza Mendoza. Instituto Tecnolgico de Culiacn

Dinaky Glaros. Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Culiacn

Edgar Hernndez Lpez, Universidad Iberoamericana, campus Len

Edith Salazar Vzquez. Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Toluca

Edm undo Barajas Ramrez. Universidad Iberoamericana, campus Len

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XX Prefacio

Eduardo M iranda M ontoya. Ileso

Erndira Gabriela Avils Rabanales, Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Toluca

Ei ik N orm an Guevara Corona, Universidad Nacional Autnoma de Mxico

Esperanza Mndez Ort:z. Universidad Nacional Autnoma de Mxico,Facultad de Ingeniera

Fernando Lpez. Universidad Autnoma de Sinaloa, Escuela de Ingenieras Qumico Biolgicas

Gabriel Martnez. Instituto Tecnolgico de Hermosillo

G erardo Campos Carrillo. Instituto Tecnolgico de Mazatln

G onzalo Veyro Santam ara, Universidad Iberoamericana, campus Len

Guillerm o Luisillo Ramrez, Instituto Politcnico Nacional, E S IM E Cidhuaccm

Hctor Escobosa. Instituto Tecnolgico de Culiacn

Hortensia Beltrn Ochoa, Instituto Tecnolgico de Los Machis

Irma Yolanda Paredes, Universidad de Guadalajara. Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenieras

Javier Nez Verdugo. Universidad de Occidente, unidad Giiamcltil

Jess G am boa Hinojosa. Instituto Tecnolgico de Los Machis

Jess Manuel Canizalez. Universidad de Occidente, unidad Mazatln

Jess Vicente Gonzlez Sosa, Universidad Nacional Autnoma de Mxico

Jorge Alberto Castelln. Universidad Autnoma de Baja California

Jorge Luis Herrera Arellano. Instituto Tecnolgico de Tijuana

Jos Alberto Gutirrez Palacios, Universidad Autnoma del Estado de Mxico, campus Toluca. Facultad de Ingeniera

Jos Antonio Castro Inzunza, Universidad de Occidente, unidad Culiacn

Jos Carlos Ahum ada. Instituto Tecnolgico de Hermosillo

Jos Carlos Aragn Hernndez, Instituto Tecnolgico de Culiacn

Jos Espndola Hernndez. Tecnolgico Regional de Quertaro

Jos Gonzlez Vzquez. Universidad Autnoma de Baja California

Jos G uadalupe Octavio Cabrera Lazarini, Universidad Politcnica de Quertaro

Jos G uadalupe Torres Morales, Instituto Politcnico Nacional. E SIM E Culhuacn

Jos Guillerm o Crdenas Lpez, Instituto Tecnolgico de Tijuana

Jos Luis Gmez Snchez, Universidad de Occidente, unidad Mazatln

Jos Luis Herrera, Tecnolgico Regional de San Lias Potos

Jos No de la Rocha, Instituto Tecnolgico de Culiacn

Juan Carlos Pedraza. Tecnolgico Regional de Quertaro

Juan Castaeda, Universidad Autnoma de Sinaloa. Escuela de Ingenieras Qumico Biolgicas

Juan Leoncio Nez Am ienta, Instituto Tecnolgico de Culiacn

Juana M urillo Castro, UAS, Escuela de Ingeniera

Linda M edina, Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Cuidad de Mxico

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Prefacio XXI

Lorenza de Jess, Instituto Tecnolgico de Culiacn

Luca Ramos Montiel, Universidad Iberoamericana, campus Len

Lucio Lpez Cavazos. Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Quertaro

Luis Felipe Flores, Instituto Tecnolgico de Los Machis

Luis Lpez Barrientos. EPCA

M arco A ntonio Blanco Olivares. Tecnolgico Regional de San Luis Potos

M arco A ntonio Rodrguez Rodrguez. Instituto Tecnolgico de Los Machis

M ara Sara Valentina Snchez Salinas, Universidad Nacional Autnoma de Mxico

M aritza Pea Becerril. Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Toluca

M artha Gutirrez M unguia. Universidad Iberoamericana, campus Len

M artn M uoz Chvez, UN IVA

Miguel Angel Aguirre Pitol. Universidad Autnoma del Estado de Mxico

Nasario M endoza Patio. Tecnolgico Regional de Quertaro

Norm a Olivia Bravo, Universidad Autnoma de Baja California

Oscar Guerrero, Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Culiacn

Oscar Ren Valdez Casillas, Universidad Nacional Autnoma de Mxico

Oswaldo Verdugo Verdugo, Instituto Tecnolgico de Culiacn

Porfirio Lpez. Universidad de Occidente, unidad Guamchil

Ramn Duarte. Universidad Autnoma de Sinaloa. Escuela de Ingeniera

Ral Soto Lpez, Universidad de Occidente. Unidad Culiacn

Ricardo Betancourt Riera. Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus HermosiUo

Ricardo M artnez Gmez. Universidad Nacional Autnoma de Mxico

Roberto Guzm n Gonzlez. Universidad Nacional Autnoma de Mxico

Roberto Robledo Prez. Instituto Tecnolgico de Len

Rosa M ara Rodrguez Gonzlez. Universidad Iberoamericana, campus Len

Rosalba Rodrguez Chvez, Universidad Nacional Autnoma de Mxico.Facultad de Ingeniera

Salvador Rojo Lugo, Instituto Tecnolgico de Culiacn

Sithanatham K anthim athinathan, Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores- de Monterrey, campus Quertaro

Susana Pineda Cabello. Instituto Politcnico Nacional. E S IM E Culhuacn

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By manchester91

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Cap tu lo

1SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES

I n t r o d u c c i n

Este libro trata del lgebra lineal. AI buscar la palabra lineal en el diccionario se encuentra, entre otras definiciones, la siguiente: lineal: (del lat. Unealis). 1. adj. Perteneciente o relativo a la linea.1 Sin embargo, en matemticas la palabra "lineal" tiene un significado mucho ms am plio. Una gran parte de la teora de lgebra lineal elemental es, de hecho, una generalizacin de las propiedades de la lnea recta. A manera de repaso se darn algunos hechos fundamentales sobre las lneas rectas:

i. La pendiente m de una recta que pasa por los puntos (.y,, V,) y (.y,, y ,) est dada por

y 2 - A v . ^111 = ------L = ---- SI X. ^ .V,.Y, +.V, A.v

ii. Si .y, - A', = 0 y i, * v,, entonces la recta es vertical y se dice que la pendiente es indefinidas

iii. Cualquier recta (a excepcin de aquella que tiene una pendiente indefinida) se puede describir al escribir su ecuacin en la forma pendiente-ordenada y = m x + b. donde 111 es la pendiente de la recta y b es la ordenada (el valor de v en el punto en el que la recta cruza el eje y).

iv. Dos rectas distintas son paralelas si y slo si tienen la misma pendiente.

v. Si la ecuacin de la recta se escribe en la forma a x + by = c, \b * 0). entonces se puede calcular fcilmente, ni = -a lb .

vi. Si nit es la pendiente de la recta L r ni, es la pendiente de la recta /, * 0 y L t y son perpendiculares, entonces m2 = 1 lm r

vii. Las rectas paralelas al eje x tienen una pendiente cero.

viii. Las rectas paralelas al eje y tienen una pendiente indefinida.

En la seccin que sigue se ilustrar la relacin que existe entre resolver sistemas de ecuaciones y encontrar los puntos de interseccin entre pares de rectas.

------------1 Diccionario de la Lengua Espaola, vigsima segunda edicin, Real Academia Espaola. Madrid: Espasa Calpe, 20012 Indefinida o infinita, como tambin se le denomina en otros libros.

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C a p t u l o I Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

(1)

DO S ECUACIONES LINEALES CON DOS INCGNITAS

Considere el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas .v y _r:

oux + any = bt

a2lx + a22y = b2

donde n, ,,, a2r y h , son nmeros dados. Cada una de estas ecuaciones corresponde a una lnea recta. Una solucin al sistema (1) es un par de nmeros, denotados por (,v, r). que satisface ( I ). Las preguntas que surgen en forma natural son: tiene este sistema varias soluciones y. de ser as. cuntas? Se respondern estas preguntas despus de ver algunos ejemplos, en los cuales se usarn dos hechos im portantes del lgebra elemental:

Hecho A Si a = b y c = d. entonces a + c = b + d.

Hecho B Si a = h y c es cualquier nmero real, entonces cu = cb.

El hecho A establece que si se suman dos ecuaciones se obtiene una tercera ecuacin correcta. El hecho B establece que si se multiplican ambos lados de una ecuacin por una constante se obtiene una segunda ecuacin vlida. Se debe suponer que ci=- 0 ya que aunque la ecuacin0 = 0 es correcta, no es muy til.

EJEM PLO 1 Sistema con una solucin nica

EJEM PLO 2

Considere el sistema.v - y = 7 .v + v = 5

(2)

Si se suman las dos ecuaciones se tiene, por el hecho A, la siguiente ecuacin: 2.v = 12 (es decir, .v = 6 ). Entonces, si se despeja de la segunda ecuacin, y = 5 .v = 5 6 = entonces y = - l . As. el par (6. - 1) satisface el sistema (2) y la forma en que se encontr la solucin muestra que es el nico par de nmeros que lo hace. Es decir, el sistema (2) tiene una solucin nica.

Sistema con un nmero infinito de soluciones

Considere el sistema.v - y = 7

2x - 2v = 14(3)

Se puede ver que estas dos ecuaciones son equivalentes. Esto es, cualesquiera dos nmeros, .v yv. que satisfacen la primera ecuacin tambin satisfacen la segunda, y viceversa. Para com probar esto se multiplica la primera ecuacin por 2. Esto est perm itido por el hecho B. Entonces .v - v = 7 o y = .v 7. As, el par (.v. .v - 7) es una solucin al sistema (3) para cualquier nmero real .v. Es decir, el sistema (3) tiene un nmero infinito de soluciones. Para este ejemplo, los siguientes pares son soluciones: (7. 0), (0, - 7 ) , (8, I ), (1. - 6), (3. - 4 ) y ( - 2 , - 9 ) .

EJEM PLO 3 Sistema sin solucin

Considere el sistema. v - v = 7

2x - 2v = 13(4)

Si se multiplica la primera ecuacin por 2 (que de nuevo est permitido por el hecho B) se obtiene2.v 2y = 14. Esto contradice la segunda ecuacin. Por lo tanto, el sistema (4) no tiene solucin.

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1.2 Dos ecuaciones lineales con dos incgnitas 3

a) Rectas no paralelas; un punto de interseccin

b ) Rectas paralelas; sin puntos de interseccin

c ) Rectas que coinciden; nmero infinito de puntos de interseccin

Figura 1.1Dos rectas se intersecan en un punto, en ninguno o (si coinciden) en un nmero infinito de puntos.

Un sistema que no tiene solucin se dice que es inconsistente.Geom tricam ente es fcil explicar lo que sucede en los ejemplos anteriores. Primero, se

repite que am bas ecuaciones del sistema (1) son de lneas rectas. Una solucin a (1) es un punto (x, _)) que se encuentra sobre las dos rectas. Si las dos rectas no son paralelas, entonces se intersecan en un solo punto. Si son paralelas, entonces nunca se intersecan (es decir, no tienen puntos en comn) o son la misma recta (esto es, tienen un nmero infinito de puntos en comn). En el ejemplo 1 las rectas tienen pendientes de 1 y - 1 , respectivamente, por lo que no son paralelas y tienen un solo punto en comn (6. -1 ) . En el ejemplo 2, las rectas son paralelas (tienen pendiente I) y coincidentes. En el ejemplo 3. las rectas son paralelas y distintas. Estas relaciones se ilustran en la figura 1.1.

A hora se proceder a resolver el sistema (1) formalmente. Se tiene

ciux + any = bt

a2 ,. + a22y = b2(1)

Si a = 0, entonces x = y se puede usar la segunda ecuacin para despejar y. an

Si a ,, = 0. entonces x = y se puede usar la primera ecuacin para despejar r.

Si a |2 = a21 = 0, entonces el sistema (1) contiene slo una incgnita, x.

As, se puede suponer que ni a n ni a ,, son cero.Si se multiplica la primera ecuacin por a ,, y la segunda por a se tiene

f na22x + a na22y = a22b ]

a\2a2\X + a \2a2iy = a \lb2(5)

S is t e m a s Antes de continuar se puede ver que los sistemas (1) y (5) son equivalentes. Esto quiere decir quee q u iv a l e n t e s cualquier solucin del sistema (1) es una solucin del sistema (5) y viceversa. Ello se concluye

directam ente del hecho B, suponiendo que c no es cero. Despus, si en (5) se resta la segunda ecuacin de la primera, se obtiene

(a ..a - a.,a ,.)x = cib. - a.,b (6)

Es necesario hacer una pausa en este punto. Si a na,, - * 0, entonces se puede dividir entreeste trm ino para obtener

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4 C a p t u l o 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

Despus se puede sustituir este valor de x en el sistema (1) para despejar y , y as se habr encontrado la solucin nica del sistema.

Se ha dem ostrado lo siguiente:

Si a t.a ~ a v a , , =^0, en tonces el

sistem a (1) tien e una solucin nica

Cmo se relaciona esta afirmacin con lo que se analiz anteriormente? En el sistema (1) se puede ver que la pendiente de la primera recta es a u/al2 y que la pendiente de la segunda es En los problemas 40,41 y 42 se pide al lector que demuestre que a \2av 0 si y slo si las rectas son paralelas (es decir, tienen la misma pendiente). De esta manera se sabe que si /n,, - Opa,! 0, las recias no son paralelas y el sistema tiene una solucin nica.

Lo que se acaba de analizar puede formularse en un teorema. En secciones posteriores de este captulo y los siguientes se harn generalizaciones de este teorema, y se har referencia a l como el teorema de resumen" conforme se avance en el tema. Una vez que se hayan dem ostrado todas sus partes, se podr estudiar una relacin asom brosa entre varios conceptos im portantes de lgebra lineal.

T e o r e m a Q Teorema de resumen. Punto de vista 1El sistema

y 2 ~ >'im = -------x2 + * ,

de dos ecuaciones con dos incgnitas x y y no tiene solucin, tiene una solucin nicao tiene un nmero infinito de soluciones. Esto es:

i. Tiene una solucin nica si y slo si a ,,a ,2 - a vav ^ 0 .

i. N o tiene solucin o tiene un nmero infinito de soluciones, si y slo si

a ua22 - ci[2a2] = 0.

Los sistemas de m ecuaciones con n incgnitas se estudian en la seccin 1.3 y se ver que siempre ocurre que no tienen solucin, o que tienen una o un nmero infinito de soluciones.

P ro b le m a s 1.2_______________________________________________________________________________________________________________A u t o e v a l u a c i n

I. De las siguientes afirmaciones con respecto a la solucin de un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas, cul de ellas no es verdadera?

a) Es un par ordenado que satisface am bas ecuaciones.

b) Su grfica consiste en el(los) punto(s) de interseccin de las grficas de las ecuaciones.

c) Su grfica es la abscisa de las grficas de las ecuaciones.

d) Si el sistema es inconsistente, no existe una solucin.

II. Cul de las siguientes afirmaciones es cierta para un sistema inconsistente de dosecuaciones lineales?

a) N o existe una solucin.

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1.2 Dos ecuaciones lineales con dos incgnitas

/>) La grfica del sistema est sobre el eje y.c) La grfica de la solucin es una recta.d) La grfica de la solucin es el punto de interseccin de dos lneas.

III. Cul de las aseveraciones que siguen es cierta para el siguiente sistema de ecuaciones?

3a - 2 y = 8 4 a + y = 7

a) El sistema es inconsistente. h) La solucin es ( - 1. 2).c) La solucin se encuentra sobre la recta x = 2.

d) Las ecuaciones son equivalentes.

IV. De las siguientes ecuaciones que se presentan, cul de ellas es una segunda ecuacin para el sistema cuya primera ecuacin es x 2y = 5 si debe tener un nmero infinito de soluciones?

a) 6y = 3 a + 15 h) 6x - 3j- = - 1 5

X 1 , 5 A 3 15c ) y = - - x + - d ) - x = 3y + . 2 2 2

V. Cul de las grficas de los siguientes sistemas es un par de rectas paralelas?

a) 3* 2y = 7 b) x 2y = 74y = 6x 14 3a = 4 + 6y

c) 2x + 3y = 7 d) 5,r + y 1

3a- - 2y = 6 l y = 3x

En los problemas 1 a 16 encuentre las soluciones (si las hay) de los sistemas dados. En cada caso calcule el valor de ,,>,

1. .v - 3y = 4 2. 5.v - 7y = 4 3. 2x - y = - 3 4. 2x - 8y = 5-4.v + 2y = 6 -.y + 2y = - 3 5.v + 7y = 4 3a + 12y = 8

5. IO.y - 40y = 30 6. 2.v - 8y = 6 7. 6a + y = 3 8. 5a + y = 0- 3 a + 12y = -9 0 - 3 a + 12y = - 9 - 4 a - y = 8 7a + 3y = 0

9 . 3a + y = 0 10. 4a - 6y = 0 I I . 5a + 2 y = 3 12. 4a + ly = 32a - 3y = 0 - 2 a + 3 y = 0 2a + 5y = 3 7a - 4 y = 3

13. 2a + 3y = 4 14. ax + by = c 15. ax + by = c 16. ax by c3a + 4 y = 5 ax by = c bx + ay = c bx + ay = d

17. Para el siguiente sistema de ecuaciones lineales determine para qu valores de K el sistema tiene solucin nica; justifique su solucin.

K x + y + - = 1

a + Ky + 2 = 1

a + y + K z = I

18. En el siguiente sistema de ecuaciones lineales determine para qu valores de K el sistema:

a) No tiene solucinb) Tiene soluciones infinitasc) Tiene solucin nica

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6 C a p t u l o 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

2.v - y - Kz = 0

a- - y - 2: = 1

-a - + 2y = A:

19. Encuentre las condiciones sobre y /> tales que el sistema en el problema 14 tenga una solucin nica.

20. Encuentre las condiciones sobre a, b y c tales que el sistema del problema 15 tenga un nmero infinito de soluciones.

21. Encuentre las condiciones sobre a , b, c y el tales que el problema 16 no tenga solucin.

En los problemas 22 al 29 encuentre el punto de interseccin (si hay uno) de las dos rectas.

22. x - y = 7; 2x + 3y = 1 23. 2a- - 2y =3: 3.v + l y = - 1

24. v - 2 x = 4; 4 x - 2y = 6 25. 4 .v - 6 v = 7 : 6.y - 9 v = 1 2

26. 4.v - 6v = 10: 6,v - 9 r = 15 27. 3a- + y = 4; y - 5x = 2

28. 2y - 3.v =0; l y - 5.v = 9 29. 3.v + Ay = 5; 6.v - ly = 8

Sea L una recta y L la recta perpendicular a L que pasa a travs de un punto dado P. La distancia de L a P se define como la distancia3 entre P y el punto de interseccin de L y L t . En los problemas 30 a 36 encuentre la distancia entre la recta dada y el punto.

30. x y = (0,0) 31. 2 r + 3 v = - l ; (0 ,0)

32. 3.v + v = 7; (1,2) 33. 5a- - 6y = 3; (2, f )

34. 2v - 5a- = - 2 ; ( 5 , - 3 ) 35. 3v - 7 a- = 0; ( - 1 , - 5 )

36. 6y + 3a- = 3; (8, - 1)

37. Encuentre la distancia entre la recta 2: 3.v 2y = 1 y 6.v -1- 3j? = 12.

c y = 6 y el punto de interseccin de las rectas

38. Pruebe que la distancia entre el punto (.y,, y ) y la recta ax + by = c est dada por

d _ K + ~ cl

39. En un zoolgico hay aves (de dos patas) y bestias (de cuatro patas). Si el zoolgico contiene60 cabezas y 200 patas, cuntas aves y bestias viven en l?

40. Suponga que tfna,, - fl|2a2| = 0. Demuestre que las rectas dadas en el sistema de ecuaciones (1) son paralelas. Suponga que au = 0 o p # Oy ^ 0 o a ,2 ^ 0.

41. Si existe una solucin nica al sistema (1), muestre que a n,, - # 0 .

42. Si pf/,, =^0 demuestre que el sistema (1) tiene una solucin nica.

43. La com paa Sunrise Porcelain fabrica tazas y platos de cermica. Para cada taza o plato un trabajador mide una cantidad fija de material y la pone en la m quina que los forma, de donde pasa al vidriado y secado automtico. En promedio, un trabajador necesita tres minutos para iniciar el proceso de una taza y dos minutos para el de un plato. El material

3 Recuerde que si (x., y,) y (x y.) son dos puntos en el plano xy, entonces la distancia d entre ellos est dada por

1.3 m ecuaciones con n incgnitas 7

para una taza cuesta 25 y el material para un plato cuesta 20. Si se asignan $44 diarios para la produccin de tazas y platos, cuntos deben fabricarse de cada uno en un da de trabajo de 8 horas, si un trabajador se encuentra trabajando cada m inuto y se gastan exactam ente $44 en materiales?

44. Conteste la pregunta del problema 34 si los materiales para una taza y un plato cuestan el 5 y 10, respectivamente, y se gastan $24 en 8 horas de trabajo.

45. Conteste la pregunta del problema 35 si se gastan S25 en 8 horas de trabajo.

46. Una tienda de helados vende slo helados con soda y malteadas. Se pone 1 onza de jarabe y 4 onzas de helado en un helado con soda, y 1 onza de jarabe y 3 onzas de helado en una m alteada. Si la tienda usa 4 galones de helado y 5 cuartos de jarabe en un da, cuntos helados con soda y cuntas m alteadas vende? [Sugerencia: 1 cuarto = 32 onzas, 1 galn = 4 cuartos.]

R e s p u e s t a s a l a a u t o e v a l u a c i n

I.

8 C aptu lo 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

4.y , - 8x, - 12a , = -3 6

4 a , + 5a-, + 6 a , = 24

3 a , 6a , = 12

La ecuacin 3 a , - 6a , = - 1 2 es la nueva segunda ecuacin y el sistema ahora es

a , + 2a , + 3 A", = 9

- 3 a , - 6 a , = - 1 2

3a , + a , - 2 a , = 4

Nota. Com o se puede ver por el desarrollo anterior, se ha sustituido la ecuacin 4 a , + 5a , +6 a , = 2 4 por la ecuacin - 3 a , - 6 a , = - 12. En este ejemplo y otros posteriores se sustituirnecuaciones con otras ms sencillas hasta obtener un sistema cuya solucin se pueda identificar de inmediato.

Entonces, la primera ecuacin se multiplica por - 3 y se suma a la tercera, lo que da por resultado:

a , + 2 a , + 3 a , = 9

- 3 a , - 6 a , = - 1 2 (3)

- 5 a , - 1 1a 3 = - 2 3

Observe que en el sistema (3) se ha eliminado la variable a , de la segunda y tercera ecuaciones. Despus se divide la segunda ecuacin por -3 :

a , + 2 a , + 3a , = 9

A-, + 2.v, = 4

5 a , - 1 1a , = - 2 3

Se multiplica la segunda ecuacin por - 2 y se suma a la prim era; despus se multiplica la segunda ecuacin por 5 y se suma a la tercera:

a , - a , = 1

a , + 2 a , = 4

-'-3 = - 3

A hora se multiplica la tercera ecuacin por -1 :

a , - a 3 = 1

A -,+ 2 a , = 4

a , = 3

Por ltimo, se suma la tercera ecuacin a la primera y despus se multiplica la tercera ecuacin por - 2 y se suma a la segunda para obtener el siguiente sistema, el cual es equivalente al sistema ( 1):

= 4

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1.3 m ecuaciones con n incgnitas 9

E l im in a c i n d e G a u s s - J o r d a n

M a t r iz

M a t r iz d e

COEFICIENTES

sta es la solucin nica para el sistema. Se escribe en la forma (4. - 2 . 3). El m todo que se us se conoce como eliminacin de G auss-Jordan.4

Antes de seguir con otro ejemplo es conveniente resumir lo que se hizo en ste:

i. Se dividi la primera ecuacin, entre una constante, para hacer el coeficiente de .v, igual a 1.

ii. Se eliminaron los trminos en x, de la segunda y tercera ecuaciones. Esto es, los coeficientes de estos trminos se hicieron cero al multiplicar la primera ecuacin por las constantes adecuadas y sum ndola a la segunda y tercera ecuaciones, respectivamente, de manera que al sum ar las ecuaciones una de las incgnitas se eliminaba.

iii. Se dividi la segunda ecuacin entre una constante, para hacer el coeficiente de x, igual a 1 y despus se us la segunda ecuacin para eliminar los trm inos en x, de la primera y tercera ecuaciones, de manera parecida a como se hizo en el paso anterior.

iv. Se dividi la tercera ecuacin entre una constante, para hacer el coeficiente de .y, igual a 1 y despus se us esta tercera ecuacin para eliminar" los trm inos de x, de la primera y segunda ecuaciones.

Cabe resaltar el hecho de que, en cada paso, se obtuvieron sistemas equivalentes. Es decir, cada sistema tenia el mismo conjunto de soluciones que el precedente. Esto es una consecuencia de los hechos A y B de la pgina 2.

Antes de resolver otros sistemas de ecuaciones es conveniente introducir una notacin que simplifica la escritura de cada paso del procedimiento m ediante el concepto de matriz. U na matriz es un arreglo rectangular de nmeros y stas se estudiarn con gran detalle al inicio de la seccin 1.5. Por ejemplo, los coeficientes de las variables x p x,, x 3 en el sistema (1) se pueden escribir como los elementos de una matriz A, llam ada matriz de coeficientes del sistema:

2 4 64 5 63 1 - 2

(4)

M a t r iz

m x n

M a t r iz

AUMENTADA

U na matriz con m renglones y n columnas se llama una matriz de /// x n. El smbolo m X n se lee m por /; . El estudio de matrices constituye gran parte de los captulos restantes de este libro. Por la conveniencia de su notacin para la resolucin de sistemas de ecuaciones, las presentamos aqu.

Al usar la notacin matricial. el sistema (1) se puede escribir como la matriz aumentada

(2 4 6 | 184 5 6 | 24

3 1 2 1 4(5)

Ahora es posible introducir cierta terminologa. Se ha visto que multiplicar (o dividir) los dos lados de una ecuacin por un nmero diferente de cero da por resultado una nueva

4 Recibe este nombre en honor del gran matemtico alemn Karl Friedrich Gauss (1777-1855) y del ingeniero alemn Wilhelm Jordn (1844-1899). Vea la semblanza bibliogrfica de Gauss en la pgina 21. Jordn fue un experto en investigacin geodsica tomando en cuenta la curvatura de la Tierra. Su trabajo sobre la solucin de sistemas de ecuaciones apareci en 1888 en su libro Handbuch der Vermessungskunde (Manual de geodesia).

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C a p t u l o 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

ecuacin equivalente. Ms an. si se suma un mltiplo de una ecuacin a otra del sistema se obtiene otra ecuacin equivalente. Por ltimo, si se intercambian dos ecuaciones en un sistema de ecuaciones se obtiene un sistema equivalente. Estas tres operaciones, cuando se aplican a los renglones de la matriz aum entada que representa un sistema de ecuaciones, se denominan operaciones elementales con renglones.

Para resumir, las tres operaciones elementales con renglones aplicadas a la m atriz aum entada que representa un sistema de ecuaciones son:

O p eracio nes e lem en ta le s con reng lones

i. M u ltip lica r (o d iv id ir) un reng ln por un nm ero d ife re n te de cero .

ii . Sum ar un m ltip lo de un reng ln a o tro reng l n .

ii i . In te rcam b ia r dos reng lones.

R e d u c c i n El proceso de aplicar las operaciones elementales con renglones para simplificar una matrizp o r r e n g l o n e s aum entada se llama reduccin por renglones.

N o t a c i n

1. R > cR quiere decir reemplaza el i-csimo rengln por ese mismo rengln multiplicado por c". [Para multiplicar el /-simo rengln por c se multiplica cada nmero en el /-simo rengln por c.)

2. R > R. + cR. significa sustituye el /-simo rengln por la suma del rengln / ms el renglni multiplicado por c.

3. R 5=s R quiere decir intercambiar los renglones i y / ' .

4. A B indica que las matrices aum entadas A y B son equivalentes; es decir, que los sistemas que representan tienen la misma solucin.

En el ejemplo 1 se vio que al usar las operaciones elementales con renglones i) y ii) varias veces, se puede obtener un sistema cuyas soluciones estn dadas en forma explcita. A hora se repiten los pasos del ejemplo I usando la notacin que se acaba de introducir:

' 2 4 6 1 8 ' ' \ 2 3 9 4/?, 1 2 3 9 'A 5 6 24 4 5 A 24

Ri >fi3 3R1 , 0 - 3 - 1 2} 0

,3 1 - 2 4 J 3 1\ - 2 4 , - 5 - 1 1 ~ 2 3 ,' l 2 3 1 9 ' /?,>/?, - 2R? 0 - 1 1 r

0 i ? 1 AR3~>R3 i 5R2

0 1 2 1 Ai | ) t

0V - 5 - 1 1 | - 2 3 y 0\ 0 - 1 | - 3 ,

1 0 0 I0 0

/?] ->/?j + Rj R?->R? 2/?,

I o o 0 1 o

0 0 I

De nuevo se puede ver de inmediato que la solucin es ,v, = 4, a\ = - 2 , a, = 3.

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EJEM PLO 2

Solucin

EJEM PLO 3

Solucin

Solucin de un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas:

nmero infinito de soluciones

Resuelva el sistema2.\'| + 4.v, + 6.v, = 18

4. y, + 5.v, + 6,v, = 24

2. y , + 7.v, + 12.v, = 30

Para resolver este sistema se procede como en el ejemplo 1, esto es. primero se escribe el sistema como una m atriz aum entada:

'2 4 6 | 18'

4 5 6 | 24

2 7 12 | 30

Despus se obtiene, sucesivamente.

1.3 m ecuaciones con n incgnitas 11

' l L 3 9' >/?2 4/?j '1 2 3 9 'ftj>/?3 2 /?,

4 5 6 24 0 - 3 - 6 -122 7 12 30 0\ 3 6

r l 2 3 9 ' /?|>/?j 2R? 0 -1 i '0 i o 4

- 3R20 1 2 Ai T *

0 3 6 12 ; ,0 0 o o,

Esto es equivalente al sistema de ecuaciones

-y , + -v, = I

.v: + 2x3 = 4

H asta aqui se puede llegar. Se tienen slo dos ecuaciones para las tres incgnitas a , , a , , .y, y existe un nmero infinito de soluciones. Para com probar esto se elige un valor de x y Entonces .v2 = 4 - 2.y, y x , = 1 + x y sta ser una solucin para cualquier nmero x y Se escribe esta solucin en la forma (1 + x y 4 - 2xy x }). Por ejemplo, si x } = 0, se obtiene la solucin (1 .4 , 0). Para x } = 10 se obtiene la solucin (1 1, 16, 10), y por ello para cada valor de a- habr una solucin distinta.

Sistema inconsistente

Resuelva el sistema2-y; + 3.y3 = 4

2.y , 6 x , + 7 .y , = 15 (6)

.y , - 2.X-, + 5.y, = 10

La matriz aum entada para este sistema es

' 0 2 3 | 4 1

2 - 6 7 | 15

J - 2 5 | 10,

El elemento 1,1 de la matriz no se puede hacer 1 como antes porque al multiplicar 0 por cualquier nmero real el resultado es 0. En su lugar se puede usar la operacin elemental con

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By manchester91

renglones ii) para obtener un nmero distinto a cero en la posicin 1,1. Se puede intercam biar el rengln 1 con cualquiera de los otros dos; sin embargo, al intercam biar los renglones I y 3 queda un 1 en esa posicin. Al hacerlo se obtiene lo siguiente:

12 C a p t u l o 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

'0 2 3 4 ' '1 - 2 5 10' ' \ - 2 5 1 10'

2 - 6 7 15 2 - 6 7 15R,->R, - 2 R,

0 - 2 - 3 I S/

1 - 2V 5 10 / , 0 2 3 4 / k0 2 3 1 4 /

Es necesario detenerse aqu porque, como se ve. las ltimas dos ecuaciones son

- 2 a-, - 3a-, = - 5

2 a-, + 3a-, = 4

lo cual es imposible (si 2.v. - 3.v{ = - 5 , entonces 2a\ + 3a-, = 5, no 4). As no hay una solucin. Se puede proceder como en los ltimos dos ejemplos para obtener una forma ms estndar:

' \ - 2 5 10 ' ,->/?, + 2Ri ' i 0 8 1 15'

0 i 1 5_RX->RX 2 R:

) 0 1 l i 51 2 2 1 2 1 22 3 4 / 0 0 l - i /

Ahora la ltima ecuacin es 0a-; + Oa-, + Oa-, = - 1 , lo cual tambin es imposible ya que 0 ^ 1. As. el sistema (6) no tiene solucin. En este caso se dice que el sistema es inconsistente.

D e f i n i c i n Sistemas inconsistentes y consistentes

Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es inconsistente si no tiene solucin. Se dice que un sistema que tiene al menos una solucin es consistente.

Se analizarn de nuevo estos tres ejemplos. En el ejemplo 1 se comenz con la matriz de coeficientes

En el proceso de reduccin por renglones, A t se redujo a la matriz

r \ 0 0 ^R , = 0 1 0

0 0 1

En el ejemplo 2 se comenz con

A , =

2 4 6 ^4 5 62 7 12

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1.3 m ecuaciones con n incgnitas 13

y se termin con

R . =

I 00 10 0

En el ejemplo 3 se comenz con

0 2 3)2 - 6 71 - 2 5

y se term in con

Las matrices R r /? R , se llaman formas escalonadas reducidas por renglones de las matrices A r A, y A } respectivamente. En general, se tiene la siguiente definicin:

D e f i n i c i n

EJEM PLO 4

Forma escalonada reducida por renglones y pivoteUna matriz se encuentra en la forma escalonada reducida por renglones si se cumplen lassiguientes condiciones:

i. Todos los renglones (si los hay) cuyos elementos son todos cero aparecen en la parte inferior de la matriz.

ii. El primer nmero diferente de cero (comenzando por la izquierda) en cualquier rengln cuyos elementos no todos son cero es I .

iii. Si dos renglones sucesivos tienen elementos distintos de cero, entonces el primer 1 en el rengln de abajo est ms hacia la derecha que el primer 1 en el rengln de arriba.

iv. Cualquier columna que contiene el primer 1 en un rengln tiene ceros en el resto de sus elementos. El primer nmero diferente de cero en un rengln (si lo hay) se llama pivote para ese rengln.

Nota. La condicin iii) se puede reescribir como el pivote en cualquier rengln est a la derecha del pivote del rengln anterior .

Cinco matrices en la forma escalonada reducida por renglones

Las siguientes matrices estn en la forma escalonada reducida por renglones:

Oo ooo

'1 0^1 0 2 5 '

1 0 0 50 1 0 ii. 0 1 0 0 iii. iv. V. 0 1 3 6

.0 0 1 2 , 0 1OO

,0 0 0 1, \ / 0 0 0 0\ /

Las matrices i y ii tienen tres pivotes: las otras tres matrices tienen dos pivotes.

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14 C a p t u l o I Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

D e f i n i c i n Forma escalonada por renglones

Una m atriz est en la forma escalonada por renglones si se cumplen las condiciones /),i i) y iii) de la definicin 2.

EJEM PLO 5 Cinco matrices en la forma escalonada por renglones

Las siguientes matrices se encuentran en la forma escalonada por renglones:

' 1 2 3 ' ' 1 - 1 6 4 '

i. 0 1 5 ii. 0 1 2 - 8

0 0 1 0 0 0 1\ y V

' l 3 2 5 '' i 0 2 5 ' ' l 2 '

iii. iv. V. 0 1 3 6,0 0 1 2 , ,0 1 ,

,0 0 0 0 ,

Nota. Por lo general, la forma escalonada por renglones de una matriz no es nica. Es decir, una m atriz puede ser equivalente, en sus renglones, a ms de una m atriz en forma escalonada por renglones. Por ejemplo

= B' 1 3 2 5 ' ' 1 2 - 1 - f

A = 0 1 3 6 ---- --- !--- > 0 1 3 6

0 0 0 1V / O O O O

muestra que las dos matrices anteriores, am bas en forma escalonada por renglones, son equivalentes por renglones. As, cualquier matriz para la que A es una forma escalonada por renglones, tambin tiene a B como forma escalonada por renglones.

Observacin I. La diferencia entre estas dos formas debe ser evidente a partir de los ejemplos. En la forma escalonada por renglones, todos los nmeros abajo del primer 1 en un rengln son cero. En la forma escalonada reducida por renglones, todos los nmeros abajo y arriba del primer 1 de un rengln son cero. As, la forma escalonada reducida por renglones es ms exclusiva. Esto es, en toda matriz en forma escalonada reducida por renglones se encuentra tambin la forma escalonada por renglones, pero el inverso no es cierto.

Observacin 2. Siempre se puede reducir una matriz a la forma escalonada reducida por renglones o a la forma escalonada por renglones realizando operaciones elementales con renglones. Esta reduccin se vio al obtener la forma escalonada reducida por renglones en los ejemplos1,2 y 3.

Com o se vio en los ejemplos 1, 2 y 3, existe una fuerte relacin entre la forma escalonada reducida por renglones y la existencia de la solucin nica para el sistema. En el ejemplo 1 dicha forma para la matriz de coeficientes (es decir, en la primeras tres columnas de la matriz aum entada) tenan un 1 en cada rengln y exista una solucin nica. En los ejemplos 2 y 3 la form a escalonada reducida por renglones de la m atriz de coeficientes tena un rengln de ceros y el sistema no tena solucin o tena un nmero infinito de soluciones. Esto siempre es cierto en cualquier sistema de ecuaciones con el mismo nmero de ecuaciones e incgnitas. Pero antes de estudiar el caso general se analizar la utilidad de la forma escalonada per renglones de una matriz. Es posible resolver el sistema en el ejemplo 1 reduciendo la m atriz de coeficientes a esta forma.

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EJEM PLO 6 Solucin de un sistema mediante eliminacin gaussiana

1.3 m ecuaciones con n incgnitas 15

Resuelva el sistema del ejemplo I reduciendo la matriz de coeficientes a la forma escalonada por renglones.

Solucin Se comienza como antes:

'2 4 6 | 18 ' 1 2 3 | 9 '4 5 6 | 24 ------- - > 4 5 6 | 24

, 3 I - 2 | 4, , 3 I - 2 | 4,

' 1 2 3 | 9' ' 1 2 3 | 9'

0 - 3 - 6 - 1 2 - 1 ~ > 0 1 2 | 40 - 5 - I I\ - 2 3 , ,0 5 -11 | - 2 3 ,

Hasta aqu, este proceso es idntico al anterior; pero ahora slo se hace cero el nmero ( 5) que est abajo del primer 1 en el segundo rengln:

'1 2 3 1 9' '1 2 3 9'+ 5 Ry

0 | 2 1 AR: ~*~Ry

0 I 2 41 ) 1

0 0 -1 - 3 , 0\ 0 1 3 J

LS u s t it u c i n

HACIA ATRS

E l im in a c i n

GAUSSIANA

La matriz aum entada del sistema (y los coeficientes de la matriz) se encuentran ahora en la forma escalonada por renglones y se puede ver de inmediato que .y , = 3. Despus se usa la sustitucin hacia atrs para despejar primero x 2 y despus .vr La segunda ecuacin queda x 2 + 2.v, = 4. Entonces .y , + 2(3) = 4 y .y , = - 2 . De igual manera, de la primera ecuacin se obtiene.y, + 2(2) + 3(3) 9 o .y, = 4. As, de nuevo se obtiene la solucin (4, - 2 . 3). El mtodo desolucin que se acaba de emplear se llama eliminacin aussiana.

Se cuenta con dos m todos para resolver los ejemplos de sistemas de ecuaciones:

i. Eliminacin de Gauss-JordanSe reduce por reng ln la m a triz de co e fic ien tes a la fo rm a esca lonada reducida por reng lones usando el p ro ced im iento descrito en la pg ina 9.

ii. Eliminacin gaussianaSe reduce por reng ln la m atriz de co e fic ien tes a la fo rm a esca lonada por reng lones,

se despeja el va lo r de la ltim a incg n ita y despus se usa la sustituc in hacia atrs para las dem s incg n itas .

Cul m todo es ms til? Depende. Al resolver sistemas de ecuaciones en una com putadora se prefiere el mtodo de eliminacin gaussiana porque significa menos operaciones elementales con renglones. De hecho, como se ver en el apndice 3, para resolver un sistema de n ecuaciones con n incgnitas usando la eliminacin de G auss-Jordan se requieren aproxim adam ente -72 sumas y multiplicaciones, mientras que la eliminacin gaussiana requiere slo -73 sumas y multiplicaciones. La solucin numrica de los sistemas de ecuaciones se estudiar en el apndice 4. Por otro lado, a veces es esencial obtener la forma escalonada reducida por renglones de una matriz (una de stas se estudia en la seccin 1.8). En estos casos la eliminacin de Gauss- Jordan es el m todo preferido.

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16 C a p t u l o 1 Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

EJEM PLO 7

Solucin

EJEM PLO 8

A hora se observa la solucin de un sistema general de ni ecuaciones con n incgnitas. La mayor parle de las soluciones de los sistemas se har m ediante la eliminacin de Gauss-Jordn debido a que en la seccin 1.8 esto se necesitar. Debe tenerse en mente, sin embargo, que la eliminacin gaussiana suele ser un enfoque ms conveniente.

El sistema general m X n de ni ecuaciones con n incgnitas est dado por

c.,x, + w,,a\ + + a. x = b.II 1 12 2 13 3 l/i Iaux | + ax2 + a.y, + + a2ixn = b2

+ C I,2 X 2 + / 33-Y3 + + a i X = b ) (7)

a ,.y. + a ,.y, + a ,x. +mi 1 mi 1 mi i + a = b

En el sistema (7) todos los coeficientes u y b son nmeros reales dados. El problema es encontrartodos los conjuntos de n nmeros, denotados por (.y,, .y,, .y,........ y(|). que satisfacen cada una delas ni ecuaciones en (7). El nmero a. es el coeficiente de la variable .y en la f-sima ecuacin.

V 7 II JEs posible resolver un sistema de ni ecuaciones con n incgnitas haciendo uso de la elimi

nacin de G auss-Jordan o gaussiana. Enseguida se proporciona un ejemplo en el que el nmero de ecuaciones e incgnitas es diferente.

Solucin de un sistema de dos ecuaciones con cuatro incgnitas

Resuelva el sistema

y , + 3.v, - 5.v, + x A = 4

2a-, + 5.y2 - 2 x , + 4 .y4 = 6

Este sistema se escribe como una m atriz aum entada y se reduce por renglones:

"l 3 - 5 1 4 ' R,-> Ry IR . . ' 1 3 - 5 1 4 ',2 5 - 2 4 6 >

7, 2 - 1 8 2 2 V

* * s.' 1 3 - 5 1 4 ' /?.->/?. -3R> '1 0 19 7 - 2 '

)

O 1 OO 1 K>

2 , , 0 1

1 OO - 2 2 >

H asta aqu se puede llegar. La matriz de coeficiente se encuentra en forma escalonada y reducida por renglones. Es evidente que existe un nmero infinito de soluciones. Los valores de las variables .y, y ,v4 se pueden escoger de manera arbitraria. Entonces .y, = 2 + 8a-, + 2.y4 y .y, = - 2 - 19.v, - 7 a'4. Por lo tanto, todas las soluciones se representan por ( - 2 - 19.y, - 7.y4, 2 + 8.v, + 2 .y4. a ,, ,y4). Por ejemplo, si .y, = 1 y ,y4 = 2 se obtiene la solucin ( -3 5 . 14. 1, 2).

Al resolver muchos sistemas, es evidente que los clculos se vuelven fastidiosos. Un buen mtodo prctico es usar una calculadora o com putadora siempre que las fracciones se compliquen. Debe hacerse notar, sin embargo, que si los clculos se llevan a cabo en una com putadora o calculadora pueden introducirse errores de "redondeo". Este problema se analiza en el apndice 3.

Un problema de administracin de recursos

Un departam ento de pesca y caza del estado proporciona tres tipos de comida a un lago que alberga a tres especies de peces. C ada pez de la especie 1 consume cada semana un promedio de 1 unidad del alimento 1. 1 unidad del alimento 2 y 2 unidades del alimento 3. Cada pez de la especie 2 consume cada semana un promedio de 3 unidades del alimento 1. 4 del 2 y 5 del 3.

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1.3 m ecuaciones con n incgnitas 17

Solucin

Para un pez de la especie 3, el promedio semanal de consumo es de 2 unidades del alimento 1, I unidad del alim ento 2 y 5 unidades del 3. Cada semana se proporcionan al lago 25 0 0 0 unidades del alimento 1, 2 0 0 00 unidades del alimento 2 y 55 0 0 0 del 3. Si suponemos que los peces se comen todo el alimento cuntos peces de cada especie pueden coexistir en el lago?

Sean a*,, .v, y x ,el nmero de peces de cada especie que hay en el ambiente del lago. Si utilizamos la informacin del problema, se observa que a-, peces de la especie 1 consumen a*, unidades del alimento 1, .v, peces de la especie 2 consumen 3 x , unidades del alimento 1 y .v, peces de la especie 3 consumen 2 a-, unidades del alimento 1. Entonces, a , + 3 x , + 2.v3 = 25 0 0 0 = suministro total por semana de alimento 1. Si se obtiene una ecuacin similar para los otros dos alimentos se llega al siguiente sistema de ecuaciones:

.y , + 3.y, + 2.v, = 25 0 0 0

A-, + 4 a , + a'j = 20 0 0 0

2.\-, + 5a-, + 5.V, = 55 0 0 0

Despus de resolver se obtiene

r l 3 2 | 2 5 .0 0 0 '

1 4 1 | 2 0 0 0 0

2 5 5 | 55 0 0 0

r l 3 2 25 0 0 0 ' - 3 R: 0 5 1 4 0 0 0 0 '/?,->/?, - 2 Rx

0 1 - 1 - 5 000/?,->/?, + /?,

0 1 1 1 - 5 000- ) 1 10 - 1 1 5 0 0 0 1 0 0 1 0 /

Por consiguiente, si a , se elige arbitrariam ente, se tiene un nmero infinito de soluciones dada por (4 0 0 0 0 - 5a ,, .y, - 5 0 0 0 . a ,). Por supuesto, se debe tener .v, s 0. ,v, > 0 y .y , > 0. Com o .y, = .y, 5 0 0 0 > 0 . se tiene .y, s 5 0 0 0 . Esto significa que 0 s a , s 4 0 0 0 0 5(5 0 0 0 ) = 15 0 00 . Por ltimo, como 4 0 000 5 y . > 0, se tiene que v, < 8 0 0 0 . Esto significa que las poblaciones que pueden convivir en el lago con todo el alimento consumido son

.y, = 4 0 0 0 0 - 5a-,

a-, = a-, - 5 000

5 0 0 0 < a-, < 8 0 0 0

Por ejemplo, si .y, = 6 000 . entonces .y, = 10 0 0 0 y .y, = 1 0 0 0 .

Nota. El sistema de ecuaciones tiene un nmero infinito de soluciones. Sin embargo, el problema de administracin de recursos tiene slo un nmero finito de soluciones porque a , a , y a deben ser enteros positivos y existen nada ms 3 001 enteros en el intervalo [5 0 0 0 . 8 000]. (Por ejemplo, no puede haber 5 2 3 7 .5 7 8 peces.)

A n l i s is d e in s u m o y p r o d u c t o ( o p c i o n a l )

Los siguientes dos ejemplos muestran la forma en la cual pueden surgir los sistemas de ecuaciones en el m odelado econmico.

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18 C aptulo 1

EJEM PLO 9

EJEM PLO 10

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

El modelo de insumo-producto de Leontief

Un modelo que se usa con frecuencia en economa es el modelo de insumo-producto de Leontief.5 Suponga un sistema econmico que liene /; industrias. Existen dos tipos de dem andas en cada industria: la primera, una demanda externa desde afuera del sistema. Por ejemplo, si el sistema es un pas, la dem anda externa puede provenir de otro pas. Segunda, la demanda que hace una industria a otra industria en el mismo sistema. Por ejemplo, en Estados Unidos la industria autom otriz dem anda parte de la produccin de la industria del acero.

Suponga que e. representa la dem anda externa ejercida sobre la /-sima industria. Suponga que a representa la dem anda interna que la /-sima industria ejerce sobre la /-sima industria. De forma ms concreta, cr. representa el nmero de unidades de produccin de la industria i que se necesitan para producir una unidad de la industria /. Sea jr la produccin de la industria i. A hora suponga que la produccin de cada industria es igual a su demanda (es decir, no hay sobreproduccin). La demanda total es igual a la suma de dem andas internas y externas. Por ejemplo, para calcular la dem anda interna de la industria 2 se observa que la industria I necesita a2[ unidades de produccin de la industria 2 para producir una unidad de su propia produccin. Si la produccin de la industria I es .v,, entonces /,rv, se trata de la cantidad totalque necesita la industria l de la industria 2. De esta forma, la dem anda interna total sobre laindustria 2 es a,,x. + + + ,v .2l I 22 2 2n n

Al igualar la dem anda total a la produccin de cada industria se llega al siguiente sistema de ecuaciones:

aux \ + " ,rY: + - + amx + e l = - \l ,.y. + ,,x, + + a, x + e , = x.

. ' 22 2 2: " 2 ,2 (8 )

a .x + a ,jc, + + a x + e = x/i l l ni 2 nn ii n n

O bien, reescribiendo el sistema (8) en la forma del sistema (7) se obtiene

0 - ) * , fll2*2 ~~ -a .^x + (l - a 22) x 2 - -

: : 7 (9)

.I*! C,2X2 ~ - + U ~ aJ Xn = en

El sistema (9) de n ecuaciones con n incgnitas es de fundamental importancia en el anlisis econmico.

El modelo de Leontief aplicado a un sistema econmico con tres industrias

Suponga que las dem andas externas en un sistema econmico con tres industrias son 10, 2 5 y20 , respectivamente. Suponga que a u = 0 .2 . av = 0 .5 , |3 = 0 .1 5 , = 0 .4 , = 0 . 1 , = 0 .3 ,

= 0 .2 5 , 3, = 0 .5 y = 0 . 15. Encuentre la produccin de cada industria de manera que la oferta sea exactam ente igual a la dem anda.

5 As llamado en honor al economista norteamericano Wassily W. Leontief, quien utiliz este modelo en su trabajo pionero "Quantitative Input and Output Relations in the Economic System of the United States" en Review o f Economic Statistics 18(1936). Leontief gan el Premio Nobel en Economa en 1973 por su desarrollo del anlisis de insumo- producto.

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l .3 m ecuaciones con n incgnitas 19

Solucin En este caso n =3. 1 - an - 0 .8 . 1 - / , , = 0 .9 y I - = 0 .8 5 y el sistema (9 ) es0.8.v, - 0 .5 .v , - 0 .1 5 a-, = 10

-0 .4 .V , + 0 .9 a-, - 0.3.V, = 25

-0 .2 5 .V , - 0 .5 .v , + 0 .8 5 a-, = 20

Si se resuelve el sistema por mtodo de eliminacin de Gauss-Jordn en una calculadora o com putadora, trabajando con cinco decimales en todos los pasos se obtiene

Se concluye que la produccin necesaria para que la oferta sea (aproximadamente) igual a la dem anda es .y , = 110. .y , = 119 y .y , = 126.

L a g e o m e t r a d e u n s i s t e m a d e t r e s e c u a c i o n e sCON TRES INCGNITAS (OPCIONAL)

En la figura 1.1. en la pgina 3. se observ que se puede repesentar un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas m ediante dos lneas rectas. Si las rectas tienen un solo punto de interseccin el sistema tiene una solucin nica; si coinciden, existe un nmero infinito de soluciones; si son paralelas, no existe una solucin y el sistema es inconsistente.

Algo similar ocurre cuando se tienen tres ecuaciones con tres incgnitas.Com o se ver en la seccin 3.5. la grfica de la ecuacin ax + by + cz = cien el espacio de

tres dimensiones es un plano.Considere el sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas:

en donde a. b , c, d. e, f , g, //,./. k. I y ni son constantes y al menos una de ellas en cada ecuacin es diferente de cero.

Cada ecuacin en (10) es la ecuacin de un plano. Cada solucin (.y , y , z) al sistema de ecuaciones debe ser un punto en cada uno de los tres planos. Existen seis posibilidades:

1. Los tres planos se intersecan en un solo punto. Por lo que existe una solucin nica para el sistema (vea la figura 1.2 ).

2. Los tres planos se intersecan en la misma recta, por lo que cada punto sobre la recta es una solucin y el sistema tiene un nmero infinito de soluciones (vea la figura 1.3).

' l 0 0 | 1 1 0 .3 0 4 4 2 '

0 I 0 | 118 .74070

0 0 I i 1 2 5 .81787\ 1 /

ax by cz = d

ex - f v - gz = /;

/a ky Iz in

(10)

Figura 1.2Los tres planos se intersecan en un solo punto.

Punto de interseccin

.v

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20 C a p t u l o I Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

3. Los tres planos coinciden. Entonces cada punto sobre el plano es una solucin y se tiene un nmero infinito de soluciones.

4. Dos de los planos coinciden e intersecan a un tercer plano en la recta. Entonces cada punto sobre la recta es una solucin y existe un nmero infinito de soluciones (vea la figura 1.4).

5. Al menos dos de los planos son paralelos y distintos. Por lo que ningn punto puede estar en am bos y no hay solucin. El sistema es inconsistente (vea la figura 1.5).

Figura 1.3Los tres planos se intersecan en la misma recta.

Figura 1.4Dos planos se intersecan en una recta.

Figura 1.5Los planos paralelos no tienen puntos en comn.

6. Dos de los planos coinciden en una recta L. El tercer plano es paralelo a L (y no contiene a L). de m anera que ningn punto del tercer plano se encuentra en los dos primeros. No existe una solucin y el sistema es inconsistente (vea la figura 1.6).

En todos los casos el sistema tiene una solucin nica, un nmero infinito de soluciones o es inconsistente. Debido a la dificultad que representa dibujar planos con exactitud, no ahondaremos ms en el tema. N o obstante, es til analizar cmo las ideas en el plano xy se pueden extender a espacios ms complejos.

Figura 1.6El plano 3 es paralelo a L, la recta de interseccin de los planos 1 y 2.

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S e m b l a n z a d e . . .

Cari Friedrich Gauss, 1777-1855

Cari Friedrich Gauss es considerado el matemtico ms grande del siglo xix, adems de uno de los tres matemticos ms importantes de todos los tiempos (Arqumedes y Newton son los otros dos).

Gauss naci en Brunswick, Alemania, en 1777. Su padre, un obrero amante del trabajo, era excepcionalmente obstinado y no crea en la educacin formal, e hizo todo lo que pudo para evitar que Gauss fuera a una buena escuela. Por fortuna para Cari (y para las matemticas), su madre, a pesar de que tampoco cantaba ron educacin, apoy a su hijo en sus estudios y se mostr orgullosa de sus logros hasta el da de su muerte a la edad de 97 aos.

Gauss era un nio prodigio. A los tres aos encon:r un error en la libreta de cuentas de su padre. Hay una ancdota famosa de Cari, cuando tena apenas 10 aos de edad y asista a la escuela local de Brunswick. El profesor sola asignar tareas para mantener ocupados a los alumnos y un da les pidi que sumaran los nmeros del 1 al 100. Casi al instante, Cari coloc su pizarra boca abajo con la palabra "listo". Despus, el profesor descubri que Gauss era el nico con la respuesta correcta, 5050. Gauss haba observado que los nmeros se podan arreglar en 50 pares que sumaban cada uno 101 (1 + 100,2 + 99, etc.), y 50 x 101 = 5050. Aos ms tarde, Gauss bromeaba diciendo que poda sumar ms rpido de lo que poda hablar.

A la edad de 15 aos, el Duque de Brunswick se fij en l y lo convirti en su protegido. El Duque lo ayud a ingresar en el Brunswick College en 1795 y, tres aos despus, a entrar a la Universidad de Gttingen. Indeciso entre las carreras de matemticas y filosofa, Gauss eligi las matemticas despus de dos descubrimientos asombrosos. Primero invent el mtodo de mnimos cuadrados una dcada antes de que Legendre publicara sus resultados. Segundo, un mes antes de cumplir 19 aos, resolvi un problema cuya solucin se haba buscado durante ms de dos mil aos: Gauss demostr cmo construir, con tan slo una regla y un comps, un polgono regular cuyo nmero de lados no es mltiplo de 2, 3 o 5 *

El 30 de marzo de 1796, fecha de este descubrimiento, comenz un diario que contena como primera nota las reglas de construccin de un polgono regular de 17 lados. El diario, que contiene los enunciados de 146 resultados en slo 19 pginas,

I* De manera ms general, Gauss prob que un polgono regular de n

lados se puede construir con regla y comps si y slo si n es de la forma n = 2*p2 p3. . . pm donde k a 0 y las p. son nmeros primos de Fermat distintos. Los nmeros primos de Fermat son aquellos que toman la forma 2r +1. Los primeros cinco nmeros primos de Fermat son 3, 5, 17, 257 y 65 537.

es u n o s d e los d o c u m e n to s m s im p o rta n te s en la h is to r ia d e las m a te m tica s .

Tras un corto periodo en Gttingen, Gauss fue a la Universidad de Helmstdt y, en 1798, a los 20 aos, escribi su famosa disertacin doctoral. En ella dio la p'imera demostracin matemtica rigurosa del teorema fundamental del lgebra que indica que todo polinomio de grado n tiene, contando multiplicidades, exactamente n races. Muchos matemticos, incluyendo a Euler, Newton y Lagrange, haban intentado probar este resultado.

Gauss hizo un gran nmero de descubrimientos en fsica al igual que en matemticas. Por ejemplo, en 1801 utiliz un nuevo procedimiento para calcular, a partir de unos cuantos datos, la rbita del asteroide Ceres. En 1833 invent el telgrafo electromagntico junto con su colega Wilhelm Weber (1804-1891). Aunque realiz trabajos brillantes en astronoma y electricidad, la que result asombrosa fue la produccin matemtica de Gauss. Hizo contribuciones fundamentales al lgebra y la geometra y en 1811 descubri un resultado que lev a Cauchy a desarrollar la teora de la variable compleja. En este libro se le encuentra en el mtodo de eliminacin de Gauss-Jordan. Los estudiantes de anlisis numrico aprenden la cuadratura gaussiana: una tcnica de integracin numrica.

Gauss fue nombrado catedrtico de matemticas de Gttingen en 1807 e imparti clase hasta su muerte en 1855. An despus de su muerte, su espritu matemtico sigui acosando a los matemticos del siglo xix. Con frecuencia, un importante resultado nuevo ya haba sido descubierto por Gauss y se poda encontrar en sus notas inditas.

En sus escritos matemticos Gauss era un perfeccionista y tal vez