Alfabeto Greco Fisica Generale A - COnnecting REpositoriesDomenico Galli – Fisica Generale A –...

1. Vettori

Fisica Generale A

http://campus.cib.unibo.it/2421/

September 19, 2012

Alfabeto Greco

2!Domenico Galli – Fisica Generale A – 1. Vettori!

! ," alfa#,$ beta% ,& gamma' ,( delta) ,!,* epsilon+ ,, zeta-,. eta/ ,0 ,1 theta

2,3 iota4 ,5 kappa6,7 lambdaµ,8 mu9 ,: nu;,< xi=,> omicron? ,@ pi

A,B roC ,D sigmaE ,F tauG,! upsilonH,I ,J fiK,L chiM ,N psiO ,P omega

Vettori

•! Un vettore è una entità matematica astratta: –! Utilizzata per rappresentare entità fisiche concettualmente

molto diverse tra loro, quali: •! Spostamento rettilineo di un punto; •! Velocità; •! Accelerazione; •! Quantità di moto; •! Momento della quantità di moto; •! Forza; •! Momento di una forza; •! Campo elettrico; •! Campo magnetico; •! Momento di dipolo elettrico; •! Momento di dipolo magnetico; •! Densità di corrente.


Vettori in Matematica

•! In matematica un vettore è un elemento di una particolare struttura algebrica, denominata Spazio Vettoriale.

•! Struttura algebrica: insieme S (chiamato insieme sostegno) munito di una o più leggi di composizione (operazioni), le quali: –! Possono essere, unarie, binarie, ecc. –! Sono caratterizzate dall'avere proprietà quali commutatività e

associatività, ecc. •! Le entità matematiche sono spesso astrazioni di entità

concrete utilizzate nelle scienze sperimentali (fisica, biologia, economia, ecc.): –! I vettori sono astrazioni di entità concrete utilizzate

soprattutto nella fisica (spostamento rettilineo di un punto, forza, ecc.).


Grandezze Fisiche

•! Grandezze scalari: completamente specificate assegnando un valore numerico e una unità di misura. –! Esempi: lunghezza, tempo, superficie, volume, massa, densità,

temperatura, carica elettrica, densità di carica, potenziale, lavoro, energia, flusso, intensità di corrente, resistenza, resistività, capacità, induttanza, impedenza, ecc.

•! Grandezze vettoriali: completamente specificate assegnando un valore numerico (detto norma o modulo), una direzione, un verso e una unità di misura. –! Esempi: spostamento rettilineo di un punto, velocità, accelerazione,

quantità di moto, momento della quantità di moto, forza, momento di una forza, campo elettrico, campo magnetico momento di dipolo elettrico, momento di dipolo magnetico, densità di corrente, ecc.

•! Grandezze tensoriali: la loro specificazione è ancora più complicata –! Esempi: rotazione, tensore di inerzia, tensore degli sforzi, tensore

energia-impulso del campo elettromagnetico, tensore di curvatura, ecc.

5!

Domenico Galli – Fisica Generale A – 1. Vettori!

Vettori in Fisica

•! In fisica si distinguono 2 diversi tipi di vettore: –! Vettori ordinari:

•! Non è definito un particolare punto si applicazione. •! Esempio: spostamento rettilineo di un punto.

–! Vettori applicati: •! Insieme di un vettore ordinario e di un punto di applicazione. •! Esempio: forza.



Vettori in Fisica (II)

•! In fisica si classificano i vettori in 2 categorie a seconda del loro comportamento per riflessione speculare: –! Vettori polari:

•! Cambiano verso i vettori perpendicolari allo specchio. •! Esempio: spostamento rettilineo di un punto, forza, campo elettrico.

–! Vettori assiali (o pseudo-vettori): •! Cambiano verso i vettori paralleli allo specchio. •! Esempio: campo magnetico, momento di una forza, momento della

quantità di moto.

7!

La Velocità Angolare È un Vettore Assiale


Definizione di Vettore (I)

•! Prototipo: spostamento rettilineo di un punto. –! Spostamento di un punto da A a B

segmento orientato che congiunge A con B. –! Esistono infiniti segmenti orientati che

rappresentano spostamenti rettilinei di egual lunghezza, paralleli ed equiversi. •! Chiamiamo vettore il “quid” comune a tali

segmenti orientati (Vailati-Enriquez). •! Oppure, definiti equipollenti due segmenti

orientati di egual lunghezza, paralleli ed equiversi, definiamo vettore la classe di equivalenza dei segmenti orientati rispetto alla relazione di equipollenza (Frege-Russel).

!v

!v

A

B

C

D

E

F

Notazioni equivalenti:

possono essere utilizzate nei testi scritti a mano

1!1su" #$$


Definizione di Vettore (II)

•! Norma (o modulo): distanza tra origine A e vertice B. Si indica con .

•! Direzione: orientamento nello spazio della retta su cui giace il segmento orientato AB.

•! Verso: senso di percorrenza.

Medesima direzione, medesimo verso, norme diverse.

Medesima norma direzione diversa.

Medesima norma, medesima direzione, verso opposto.

!v = !v = v


Uguaglianza di Vettori

•! Due vettori si dicono uguali se, e soltanto se, essi hanno: –! la medesima norma, –! la medesima direzione, –! il medesimo verso.

•! Se due vettori non sono uguali si dicono disuguali, ma non è possibile definire una relazione d’ordine in quanto non si può trovare un criterio per affermare che un vettore è maggiore o minore di un altro.


Vettore Opposto e Vettore Nullo

•! Dato un vettore , si definisce vettore opposto un vettore avente stessa direzione, stessa norma ma verso opposto.

•! Si chiama vettore nullo un vettore che ha norma nulla (in questo caso direzione e verso sono indeterminati).

!v !

!v

!v

!!v

!0


Versori

•! Si chiamano versori i vettori di norma unitaria. •! Per ogni vettore non nullo esiste un versore che ha

la stessa direzione orientata.

!v

13!

v

!vv

v

1

!a !b

!ca b c


v = vers !v

Componente di un Vettore Rispetto a una Direzione

•! Dato un vettore e una qualsiasi direzione orientata u, si definisce la componente di su u e si indica con il prodotto della norma di per il coseno dell’angolo ! che il vettore forma con la direzione orientata u.

!v

v!

uvv!

vu =

!v cos!!

u

!v

vu > 0

!

u

!v

vu < 0


Componente di un Vettore Rispetto a una Direzione (II)

•! Dato un vettore e una qualsiasi direzione orientata u, si definisce il componente di su u e si indica con il vettore che ha per norma il valore assoluto della corrispondente componente e per verso: lo stesso verso di u se ; il verso contrario se .

!v

!v

!vu

!vu = vu = !v cos!

vu

vu > 0 vu < 0

! u

v!

uv!

!

u

v!

uv!


Componente di un Vettore Rispetto a un Altro Vettore o a un Versore

•! Si definisce il componente o la componente di un vettore su un altro vettore (o su un versore ) come il componente o la componente di rispetto alla direzione orientata di o .

!u

!v u

!"

v!

!vu

u!

16!

!u !v

u


Nota Bene

•! Anche al fine di evitare errori negli esercizi è bene fare attenzione a non confondere: –! Il vettore:

•! Non è uno scalare, dunque non si può considerare né “positivo” né “negativo”;

–! La norma del vettore: •! È uno scalare sempre positivo;

–! Una componente di un vettore: •! È uno scalare che può essere positivo o negativo.


Somma di Vettori

•! Prototipo: spostamento rettilineo di un punto. •! Se considero due spostamenti successivi dello stesso

punto: prima da A a B, poi da B a C. •! Il risultato (somma dei due vettori) è lo spostamento

da A a C (regola del triangolo):

Ovvero, indicando:

Sarà:

!a = B ! A" !""""

,!b = C ! B" !""""

!a +!b = C ! A" !""""

A

B

C

a!

b!

a b+!!

C ! A! "!!!!

= C ! B! "!!!!

+ B ! A! "!!!!


Regola del Parallelogrammo

•! La somma è la diagonale del parallelogrammo ABCD, avente per lati i segmenti orientati e .

!a +!b = C ! A" !""""

a!

b!

b!

!a +!b

A

C B

D


B ! A! "!!!!

D ! A! "!!!!!

Proprietà Commutativa della Somma

!a +!b =!b + !a


!a

!b

!a +!b

!b + !a

!a

!b

Proprietà Associativa della Somma

!a +!b( ) + !c = D ! A

" !"""""

!a +!b + !c( ) = D ! A

" !""""""#$

%$& !a +

!b( ) + !c = !a + !b + !c( )b!

c!!b + !ca! !a +

!b

!a +!b + !cA

B C

D


Rotazioni

•! Una traslazione è rappresentata da un vettore. •! Una rotazione è essa pure rappresentata da un vettore?

(vedremo che la risposta è NO). •! Tuttavia, a prima vista potremmo pensare di

rappresentare una rotazione mediante: –! Una direzione (asse di rotazione); –! Un numero (angolo di rotazione); –! Un verso (a seconda che la rotazione avvenga in senso orario o

antiorario).


Rotazioni (II)

•! Verifichiamo se le rotazioni godono della proprietà commutativa:

x y

z 90º asse z

90º asse x

90º asse z

90º asse x

•! Il risultato è diverso se si scambia l’ordine delle rotazioni.

•! Non vale la proprietà commutativa

•! Le rotazioni non sono rappresentate da vettori (sono rappresentate da tensori).


Differenza di Vettori

•! È l’operazione inversa della somma. •! Dati due vettori e si chiama differenza fra e

e si indica con quel vettore che sommato a dà come risultato .

!a

!b

!a !!b

O

A

B

!a

!b

!a !!b

!a = A!O" !""""

!b = B !O" !""""

!a !!b = A! B" !""""

24!

!a

!b

!b

!a


Disuguaglianza Triangolare

•! La norma della somma (o della differenza) di due vettori è in generale diverso dalla somma (o dalla differenza) delle norme.

•! Per la disuguaglianza triangolare si ha:

!a !!b " !a +

!b " !a +

!b

!a !!b " !a !

!b " !a +

!b

O

A

B

a!

b!

a b!!!

A

B

C

a!

b!

a b+!!

a > b + c( )

b c

a < b ! c( ) b c


Nota Bene

•! Somma di vettori paralleli o antiparalleli. •! Anche al fine di evitare errori negli esercizi è bene fare

attenzione a non confondere: –! Il vettore; –! La norma del

vettore; –! Una componente

del vettore.


Prodotti tra Vettori e Scalari

•! Prodotto di un vettore per uno scalare:

•! Prodotto scalare tra due vettori:

•! Prodotto vettoriale tra due vettori:

27!

! "!"a "V

#$%

"c = ! "a "V

! = insieme dei numeri realiV = spazio vettoriale!"#$

!a !V!b !V

"#$c = !a i

!b !"

!a !V!b !V

"#$

!c = !a %!b !V


Prodotto di un Vettore per uno Scalare

•! Si può definire il prodotto di un numero naturale n per un vettore come una somma ripetuta

•! Generalizzando, si definisce prodotto di un numero reale ! e un vettore e si indica con il simbolo il vettore che ha per norma il prodotto , per direzione la stessa direzione di , e, per verso, lo stesso verso di se ! > 0, il verso contrario se ! < 0.

!a + !a + !a + ...+ !an volte

" #$$ %$$ = n!a

!a !

!a

! !a

!a

!a

!a

2!a 3

!a

! "!"a "V

#$%! "a "V

!a

28!

! = insieme dei numeri realiV = spazio vettoriale!"#$


Prodotto di un Vettore per uno Scalare (II)

•! Il prodotto di un vettore per uno scalare è commutativo, associativo, distributivo, sia rispetto alla somma di scalari, sia rispetto alla somma di vettori.

! !a = !a!! " !a( ) = !"( ) !a! + "( ) !a = ! !a + " !a

! !a +!b( ) = ! !a +!

!b

#1( ) !a = # !a

!a 1!a

= a = vers !a

! ," #!"a,"b #V

$%&


!a i!b = ab b = aba

Prodotto Scalare fra Due Vettori

•! Associa a due vettori uno scalare (p. es., associa a forza e spostamento il lavoro).

•! Si definisce prodotto scalare di due vettori e , e si indica col simbolo il prodotto della norma di uno dei due vettori per la componente dell’altro nella sua direzione.

!a !V!b !V

"#$

!a i!b !"

a b!!

a b!!i

ab = acos!ba = bcos!

"#$

%$&

ab b = acos!( )baba = a bcos!( )

"#$

%$a!

b!

ba

!"

a!

b!

ab

!"

!a i!b = !a

!b cos! = abcos!

!a i!b = 0 !

!a = 0 oppure!b = 0 oppure!a "!b

#

$%

&%


Prodotto Scalare fra Due Vettori (II)

•! Il prodotto scalare gode delle proprietà commutativa e distributiva rispetto alla somma di vettori.

!a i!b =!b i!a

!a +!b( )i !c = !a i

!c +!b i!c

m!a( )i !b = !a i m!b( ) = m !a i

!b( )

!a,!b, !c !V

m !""#$


Componente di un Vettore nella Direzione di un Versore o di un Altro Vettore

•! La componente e il componente di un vettore nella direzione del versore si possono scrivere:

•! La componente e il componente di un vettore nella direzione del vettore generico si possono scrivere:

v!

!v

u

!u

vu =

!v i u !

vu =!v i u( )u

vu =!v i!u!u

!vu =

!v i!u!u

!u!u

=!v i!u( ) !u!u

2

!v

vu > 0 u!

!v

!vu

! u


Quadrato e Norma di un Vettore

•! Si chiama quadrato di un vettore il prodotto scalare di un vettore per se stesso:

•! La norma (o modulo) di un vettore si può perciò scrivere:

!a2 = !a i

!a = !a !a cos0 = !a2

!a = !a2 = !a i

!a


Versori

•! Il versore associato al vettore si può scrivere: !v

v = vers !v =1!v

scalare"!v

vettore"

34!

Prodotto di un vettore per uno scalare

!vv

v

1

v


Inverso dello scalare !v

Norma della Somma e della Differenza

!a

!b

!a +!b

!"

!a

!b

!a !!b

!"

!a !!b = a2 + b2 ! 2abcos"

!a +!b = !a +

!b( )2 = !a +

!b( )i !a + !b( ) =

= !a i !a + !a i!b +!b i !a +

!b i!b = !a2 +

!b 2 + 2 !a i

!b

!a +!b = a2 + b2 + 2abcos!

!a !!b = !a !

!b( )2 = !a !

!b( )i !a ! !b( ) =

= !a i !a ! !a i!b !!b i !a +

!b i!b = !a2 +

!b 2 ! 2 !a i

!b


Prodotto Vettoriale fra due Vettori

•! Si definisce prodotto vettoriale tra due vettori e , e si indica , il vettore che ha per norma l’area del parallelogrammo formato dai vettori e , di direzione perpendicolare a entrambi i vettori e verso determinato dalla “regola della mano destra” (pollice: primo vettore; indice: secondo vettore; medio: prodotto vettoriale).

!a

!b

!a !!b

!a !b

!a !!b

!a !b

b!

!"a!

!a sin!

!a !!b = !a

!b sin"

!a !V!b !V

"#$

!a %!b !V

!a !!b =!0 "

!a = 0 oppure!b = 0 oppure!a "!b

#

$%

&%

!a !!b =

!b !a sin"( )


Prodotto Vettoriale fra due Vettori (II)

•! Il prodotto vettoriale gode delle proprietà anticommutativa e distributiva rispetto alla somma e alla differenza di vettori.

!a,!b, !c !V

m !""#$

!a !!b = "

!b ! !a

m!a( )! !b = !a ! m!b( ) = m !a !

!b( )

!a ±!b( )! !c = !a ! !c ±

!b ! !c


Doppio Prodotto Misto

•! È dato da: •! È uguale, a meno del segno, al volume del

parallelepipedo avente per lati •! Tale parallelepipedo ha per base e altezza:

!a

!b

!c

!a !!b

!c ivers !a !

!b( )

!a,!b e !c.

!a !!b i!c

B = !a !!b

h = !c ivers !a !!b( )"#$

%$&V = !a !

!b vers !a !

!b( )

!a!!b

" #$$$ %$$$i!c

V = !a !

!b i!c


Doppio Prodotto Misto (II)

•! Il doppio prodotto misto ha le seguenti proprietà:

39!

!a !!b i!c =!b ! !c i

!a = !c ! !a i!b

!a !!b i!c = !a i

!b ! !c

•! La prima segue dal fatto che nei 3 casi il volume è il medesimo.

•! La seconda si ottiene utilizzando la prima e la proprietà commutativa del prodotto scalare:

!a !!b( )i !c =

!b ! !c( )i !a = !a i

!b ! !c( )


Dal Calcolo Vettoriale ai Teoremi sui Triangoli

•! Teorema di Carnot o dei coseni:

•! Teorema dei seni:

•! Teorema delle proiezioni:

40!

a! b!

c!#"

$"%"

!b = !c ! !a "

!b 2 = !c ! !a( )2 = !c ! !a( )i !c ! !a( ) = !c 2 + !a2 ! 2 !a i !c

b2 = c2 + a2 ! 2accos#

!a +!b = !c ! !a +

!b( )" !b = !c " !b ! !a "

!b +!b "!b

=0" = !c "

!b

!a "!b = !c "

!b ! absin# = cbsin$ ! a

sin$= csin#

!a +!b = !c ! !a +

!b( ) i !c = !c i !c ! !a i !c +

!b i !c = !c i !c

accos" + bccos# = c2 ! acos" + bcos# = c


Definizione di Spazio Vettoriale

•! Matematicamente si definisce Spazio Vettoriale una Struttura Algebrica, basata su un Insieme Sostegno V (i cui elementi sono detti vettori) dotata di 2 Operatori Binari (somma tra vettori e moltiplicazione di un vettore per uno scalare) che soddisfano i seguenti 8 assiomi:

41!

!a +!b + !c( ) = !a + !b( ) + !c !!a,

!b, !c "V

!a +!b =!b + !a !!a,

!b "V

#!0"V ; !a +

!0 = !a !!a "V

!!a "V # $ !a( )"V ; !a + $ !a( ) = !0% !a +

!b( ) = % !a +% !b !% "", !!a,

!b "V

% + &( ) !a = % !a + & !a !% ,& "", !!a "V

% & !a( ) = %&( ) !a !% ,& "", !!a "V

#1""; 1!a = !aDomenico Galli – Fisica Generale A – 1. Vettori!

Definizione di Spazio Euclideo

•! Matematicamente si definisce Spazio Euclideo uno Spazio Vettoriale in cui è definita una legge di composizione detta prodotto interno o prodotto scalare: che soddisfa i seguenti 4 assiomi:

42!

!ai!b =!bi !a

! !a( )i !b = ! !ai!b( )

!a +!b( )i!c = !ai!c + !bi!c

!ai !a " 0, !ai !a = 0# !a =!0


!a,!b( ) !V "V#$ %&'(' !ai

!b !"

Rappresentazione Cartesiana di Vettori

•! Terna cartesiana ortogonale: 3 rette orientate (o assi) x, y e z, a due a due perpendicolari, aventi un punto in comune O detto origine.

•! Versori cartesiani: versori corrispondenti agli assi x, y e z, indicati con

•! (Le) componenti cartesiane e (i) componenti cartesiani: le componenti e i componenti di un vettore sugli assi cartesiani.

ı , ! e k.

z

x

y ı!k

terna destrorsa (preferita)

ı ! ! = ky

z

x

k ı!

terna sinistrorsa (sconsigliata)

ı ! ! = " k


Rappresentazione Cartesiana di Vettori (II)

•! Una volta scelta (ad arbitrio) una terna cartesiana ortogonale, qualunque vettore si può scrivere come la somma dei suoi 3 componenti cartesiani:

!v

!v = !vx +

!v y +!v z = vxı + v y ! + v z k

A B

C

O

!vx

!v y

!v z

!v

x

y

z

!vx = vx ı!v y = v y !!v z = v z k

!

"#

$#


Rappresentazione Cartesiana di Vettori (III)

•! Dato un vettore ben definito, esso ha una differente espressione cartesiana per ogni differente terna cartesiana che si considera.

•! Nell’esempio in figura consideriamo la forza peso di un oggetto di peso pari a 2 Newton.

•! Usando la terna cartesiana ortogonale , con i primi due assi sul piano orizzontale e il terzo asse verticale, si ha:

•! Usando invece la terna cartesiana , con i primi due assi sul piano perpendicolare all’asse terrestre e il terzo asse lungo l’asse terrestre, si ha:

45!

!p

O! = 45°

N

S

ı

k

!ı

ˆ!k

p = 2Nı , !, k

!p = !2N k

!ı , ˆ!! , ˆ!k

!p = ! 2 N "ı ! 2 N ˆ"k


Rappresentazione Cartesiana di Vettori (IV)

•! Tuttavia, fissata una terna cartesiana ortogonale, vi è una corrispondenza biunivoca tra vettori e terne ordinate di numeri reali (le componenti cartesiane):

•! Nell’esempio in figura, fissata la terna cartesiana

ortogonale , si ha:

•! Fissata invece la terna cartesiana , si ha:

46!

!v !V"# $%

1&1su' () vx ,v y ,v z( ) !"3"# $%

!p ! "# 0,0,$2N( )

!p ! "# $ 2 N,0,$ 2 N( )

ı , !, k

!ı , ˆ!! , ˆ!k

!p

O! = 45°

N

S

ı

k

!ı

ˆ!k

p = 2N


Rappresentazione Cartesiana di Vettori (V)

•! Per non sbagliare, quando rappresentiamo un vettore in coordinate cartesiane, invece delle notazioni: utilizziamo sempre la notazione: che ci ricorda sempre quale base stiamo utilizzando.

47!

0,0,!2N( ) base ı , !, k( )! 2 N,0,! 2 N( ) base "ı , ˆ"! , ˆ"k( )

!p = ! 2k N = ! 2 "ı ! 2 ˆ"k( )N

!p

O! = 45°

N

S

ı

k

!ı

ˆ!k

p = 2N


Rappresentazione Cartesiana di Vettori (VI)

•! Fissata una terna cartesiana ortogonale: –! Due vettori sono uguali se e soltanto se sono uguali le 3

corrispondenti componenti cartesiane. –! Un vettore è nullo se e soltanto se sono nulle tutte e 3 le

componenti cartesiane. •! Le operazioni tra vettori possono essere eseguite, oltre

che nella forma intrinseca che abbiamo visto finora, anche nella forma cartesiana, utilizzando cioè le espressioni cartesiane dei vettori.


Relazioni tra i Versori Ortogonali

•! Prodotti scalari:

•! Prodotti vettoriali:

ı i ı = 1, ! i ! = 1, k i k = 1ı i ! = 0, ! i k = 0, k i ı = 0

ı ! ı =!0, ! ! ! =

!0, k ! k =

!0

ı ! ! = k, ! ! k = ı , k ! ı = !

z

x

y ı !

k

ı ! ! = k


Operazioni tra Vettori in Forma Cartesiana

!a +!b = axı + ay ! + azk( ) + bxı + by ! + bzk( ) = ax + bx( ) ı + ay + by( ) ! + az + bz( ) k

!a !!b = axı + ay ! + azk( )! bxı + by ! + bzk( ) = ax ! bx( ) ı + ay ! by( ) ! + az ! bz( ) k

" !a =" axı + ay ! + azk( ) = "ax( ) ı + "ay( ) ! + "az( ) k!a i!b = axı + ay ! + azk( )i bxı + by ! + bzk( ) == axbx ı i ı

1" + axby ı i!

0" + axbz ı i k

0" + aybx ! i ı

0" + ayby ! i!

1" + aybz ! i k

0" +

+ azbx k i ı0" + azby k i!

0" + azbz k i k

1" =

= axbx + ayby + azbz

a = !a = !a i !a = ax2 + ay

2 + az2


Operazioni tra Vettori in Forma Cartesiana (II)

!a !!b = axı + ay ! + azk( )! bxı + by ! + bzk( ) == axbx ı ! ı

0" + axby ı ! !

k" + axbz ı ! k

" !" + aybx ! ! ı

" k" + ayby ! ! !

0" + aybz ! ! k

ı" +

+ azbx k ! ı!" + azby k ! !

" ı" + azbz k ! k

0" =

= aybz " azby( ) ı + azbx " axbz( ) ! + axby " aybx( ) k = detı ! kax ay azbx by bz

!a !!b i !c = aybz " azby( ) ı + azbx " axbz( ) ! + axby " aybx( ) k#

$%& i cxı + cy ! + cz k( ) =

= aybz " azby( )cx + azbx " axbz( )cy + axby " aybx( )cz == aybzcx " azbycx + azbxcy " axbzcy + axbycz " aybxcz = det

ax ay azbx by bzcx cy cz


Operazioni tra Vettori in Forma Cartesiana (III)

•! Nella rappresentazione cartesiana si possono anche facilmente dimostrare le identità vettoriali:

•! Infatti, prendendo, per esempio, la componente x della prima identità, si ha:

!a !!b( )! !c = !a i !c( ) !b " !b i !c( ) !a #!a,

!b, !c $V

!a !!b ! !c( ) = !a i !c( ) !b " !a i !b( ) !c #!a,

!b, !c $V

%&'

('

!a !!b( )! !c"# $%x =

!a !!b( )

ycz &

!a !!b( )

zcy =

= azbx & axbz'()

*+, cz & axby & aybx( )cy

!a i !c( ) !b & !b i !c( ) !a"# $%x = axcx + aycy + azcz'(

*+ bx & bxcx + bycy + bzcz

'()

*+, ax

-

.

///

0

///

1 !a !!b( )! !c"# $%x =

!a i!c( ) !b & !b i !c( ) !a"# $%x


Vettori Variabili con il Tempo

•! Uno scalare fisico (p. es. la temperatura) può variare nel tempo. In tal caso la variazione è descritta da una funzione scalare del tempo:

•! Analogamente un vettore fisico (p. es. la velocità) può variare nel tempo. In questo caso la variazione è descritta da una funzione vettoriale del tempo:


f : t !!"# $%&'& f t( )!!

!v : t !""# $%&'& !

v t( )!V

Vettori Variabili con la Posizione e Campi Vettoriali

•! Uno scalare fisico (p. es. la temperatura) può variare con la posizione nello spazio. In tal caso la variazione è descritta da un Campo Scalare (ovvero da una funzione scalare delle 3 coordinate spaziali):

•! Analogamente un vettore fisico (p. es. la velocità) può variare con la posizione nello spazio. In questo caso la variazione è descritta da un Campo Vettoriale (ovvero da una funzione vettoriale delle 3 coordinate spaziali):


f : P x, y, z( ) !!3"# $%&'& f P( ) = f x, y, z( )!!

!v : P x, y, z( ) !"3"# $%&'& !

v P( ) = !v x, y, z( )!VCampo vettoriale della velocità del vento

Derivata di un Punto

•! Dato un punto mobile P = P(t), dove t è un parametro variabile (p. es. il tempo) si definisce derivata del punto P rispetto alla variabile t il limite, se esiste:

•! è un vettore, per cui anche è un vettore.

•! La derivata di un punto è un vettore.

dP! "!

dt= lim

!t"0

1!t

P t + !t( )# P t( )! "!!!!!!!!!!!!!!!$%

&'

()*

+,-

P t( )

P t + !t( )

P t + !t( )" P t( )! "!!!!!!!!!!!!!!!

dP! "!dt


P t + !t( )" P t( )! "!!!!!!!!!!!!!!!

dP! "!dt

Derivata di un Vettore

•! Dato un vettore , dove t è un parametro variabile (p. es. il tempo) si definisce derivata del vettore rispetto alla variabile t il limite, se esiste:

•! Poiché è ancora un vettore, è pure un vettore.

•! La derivata di un vettore è un vettore.

d !vdt

= lim!t"0

1!t!v t + !t( )# !v t( )$% &'

()*

+,-

!v = !v t( )

!v

!v t + !t( ) " !v t( )

d!v dt

!v t( ) !v t + !t( )

!v t + !t( )" !v t( )


Derivata di un Segmento Orientato

•! La derivata di un segmento orientato è uguale alla differenza delle derivate dei suoi punti estremi:

ddtB ! A! "!!!!( ) = lim

"t#0

1"t

B t + "t( )! A t + "t( )! "!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

segmento orientatoal tempo t+"t# $%%% &%%%

! B t( )! A t( )! "!!!!!!!!!!

segmento orientatoal tempo t# $% &%

$

%

&&&&

'

(

))))

=

= lim"t#0

1"t

B t + "t( )! B t( )! "!!!!!!!!!!!!!!!

! A t + "t( )! A t( )! "!!!!!!!!!!!!!!!

$%

'( =

= lim"t#0

1"t

B t + "t( )! B t( )! "!!!!!!!!!!!!!!!$%

'( ! lim

"t#0

1"t

A t + "t( )! A t( )! "!!!!!!!!!!!!!!!$%

'( =

= dB! "!

dt! dA! "!

dt


B ! A! "!!!!

= B t( )! A t( )! "!!!!!!!!!!

ddtB ! A! "!!!!( ) = dB

! "!

dt! dA! "!

dt

B t( )! A t( )! "!!!!!!!!!!

B t( )

A t( )

B t + !t( )

A t + !t( )B t + !t( )" A t + !t( )! "!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

A t + !t( )" A t( )! "!!!!!!!!!!!!!!!

B t + !t( )" B t( )! "!!!!!!!!!!!!!!!

B t + !t( )" A t + !t( )! "!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

" B t( )" A t( )! "!!!!!!!!!!

Vettore Posizionale

•! Un caso interessante si ha quando si considera un segmento orientato con un estremo fisso O (detto vettore posizionale o raggio vettore):

•! La derivata di un punto è uguale alla derivata del suo vettore posizionale.

!r t( ) = P t( )!O" !"""""""

d!rdt

= ddtP t( )!O" !""""""""#

$% =dP" !"

dt

P t( )

O

!r t( )


P t( )!O! "!!!!!!!

Regole di Derivazione dei Vettori

ddt!a ±!b( ) = d!a

dt± d!b

dtddt

! !a( ) = d!dt!a +! d!a

dtddt!a i!b( ) = d!a

dti!b + !a i

d!b

dtddt!a "!b( ) = d!a

dt"!b + !a " d

!b

dt

! "!"a,"b "V

#$%


•! Le derivate dei vettori possono essere effettuate mediante le espressioni cartesiane:

d !vdt

=dvxdtı +dv ydt! +dv zdtk

Funzione Primitiva o Integrale Indefinito

•! Data una funzione scalare: si definisce integrale indefinito o (meglio) funzione primitiva della funzione f la funzione F tale che f sia la derivata di F:

•! Analogamente, data una funzione vettoriale: si definisce integrale indefinito o (meglio) funzione primitiva della funzione la funzione tale che sia la derivata di :


t !!"# $%"v&'& "v t( )!V

t !!"# $%f& '& f t( )!!

F = f t( )dt! " f = dFdt

!w = !

v t( )dt! " !v =

d !wdt

!w

!v

!v

!w

Funzione Primitiva o Integrale Indefinito (II)

•! La funzione primitiva (o integrale indefinito) si può calcolare mediante le espressioni cartesiane:


!v t( ) = vx t( ) ı + v y t( ) ! + v z t( ) k!v t( ) dt! = ı vx t( ) dt! + ! v y t( ) dt! + k v z t( ) dt!

Derivate Parziali

•! Data una funzione scalare di più variabili f (x, y, z), si definiscono Derivate Parziali i limiti (se esistono):


!f!xx, y, z( ) = lim

"x#0

f x + "x, y, z( ) $ f x, y, z( )"x

!f!yx, y, z( ) = lim

"y#0

f x, y + "y, z( ) $ f x, y, z( )"y

!f!zx, y, z( ) = lim

"z#0

f x, y, z + "z( ) $ f x, y, z( )"z

%

&

''''

(

''''

Esempio :f x, y, z( ) = xy2 sin z!f!xx, y, z( ) = y2 sin z

!f!yx, y, z( ) = 2xy sin z

!f!zx, y, z( ) = xy2 cos z

"

#

$$$

%

$$$

Derivata Parziale e Derivata Totale

•! Esempio:

–! Supponiamo di avere una funzione di 2 variabili e che una delle due variabili sia, a sua volta, funzione dell’altra:

–! Le derivate parziali rispetto a una variabile sono effettuate considerando le altre variabili come se fossero costanti:

–! La derivata totale rispetto a x si effettua considerando la dipendenza funzionale di y da x:


f x, y( ) = x2 y2y = 2x

!"#

$#

!f!x

= 2xy2 ,!f!y

= 2x2 y

f = x2 y2 = 4x4

dfdx

= 16x3 !"f"x

Derivata Parziale e Derivata Totale (II)

–! Si osservi che in questo esempio: vale la relazione: Infatti:


dfdx

=!f!x

+!f!y

!y!x

f x, y( ) = x2 y2y = 2x

!"#

$#

!f!x

+!f!y

!y!x

= 2xy2 + 2x2 y( )2 = 2xy2 + 4x2 y = 2x 2x( )2 + 4x2 2x( ) = 8x3 + 8x3 = 16x3

Il Simbolo Nabla

•! Il simbolo “nabla”, che si indica con il simbolo , è un operatore differenziale vettoriale formale che in una terna cartesiana ortogonale si rappresenta simbolicamente come:

•! L’applicazione del simbolo “nabla” a campi scalari e vettoriali produce gli operatori “gradiente”, “divergenza” e “rotore”.

!! = ı

""x

+ !""y

+ k""z


ı , !, k

!!f gradiente!! i !v divergenza!! " !v rotore

#

$%

&%

L’Operatore Gradiente

•! Consideriamo una funzione scalare della posizione P:

•! Si definisce l’operatore “gradiente” come:

•! L’operatore gradiente si applica a una funzione scalare; il risultato è un vettore:

!! = ı

""x

+ !""y

+ k""z


!!f = grad f = ı

"f"x

+ !"f"y

+ k"f"z

!!f = ı

""x

+ !""y

+ k""z

#$%

&'(f = ı

"f"x

+ !"f"y

+ k"f"z

P !!3( ) f" #" f P( )!!P !!3( ) "

$f" #""$f P( )!V

%&'

('

f = f P( ) = f x, y, z( )

Esempio :f x, y, z( ) = x2 + y2 + z2 + 2xy !!""f( ) x, y, z( ) = 2 x + y( ) ı + 2 x + y( ) ! + 2zk !V

L’Operatore Divergenza

•! Consideriamo una funzione vettoriale della posizione P:

•! Si definisce l’operatore “divergenza” come:

•! L’operatore divergenza si applica a una funzione vettoriale; il risultato è uno scalare:

!! = ı

""x

+ !""y

+ k""z


!v = !v P( ) = !v x, y, z( ) = vx x, y, z( ) ı + v y x, y, z( ) ! + v z x, y, z( ) k

Esempio :!v x, y, z( ) = x2 + y2( ) ı + x2 + z2( ) ! + zk !V!" i !v( ) x, y, z( ) = 2x +1!"

!! i !v = div !v =

"vx"x

+"v y"y

+"v z"z

!! i !v = ı

""x

+ !""y

+ k""z

#$%

&'(i vxı + v y ! + v z k( )

P !!3( ) "v" #" "v P( )!V

P !!3( ) "$ i "v" #""

"$ i "v( ) P( )!!

%&'

('

L’Operatore Rotore

•! Consideriamo una funzione vettoriale della posizione P

•! Si definisce l’operatore “rotore” come:

!! = ı

""x

+ !""y

+ k""z


!v = !v P( ) = !v x, y, z( ) = vx x, y, z( ) ı + v y x, y, z( ) ! + v z x, y, z( ) k

!! " !v = rot !v == det

ı ! k##x

##y

##z

vx v y v z

=

=#v z#y

$#v y#z

%

&'

(

)* ı +

#vx#z

$#v z#x

%

&'(

)*! +

#v y#x

$#vx#y

%

&'

(

)* k

!! " !v = ı

##x

+ !##y

+ k##z

$%&

'()" vxı + v y ! + v z k( )

L’Operatore Rotore (II)

•! L’operatore rotore si applica a una funzione vettoriale; il risultato è un vettore:

!! = ı

""x

+ !""y

+ k""z


Esempio :!v x, y, z( ) = !2yı + 2x! + 2zk "V

!# $ !v( ) x, y, z( ) = det

ı ! k%%x

%%y

%%z

vx v y v z

= det

ı ! k%%x

%%y

%%z

!2y 2x 2z

=

=% 2z( )%y

!% 2x( )%z

&

'((

)

*++ı +

% !2y( )%z

!% 2z( )%x

&

'((

)

*++! +

% 2x( )%x

!% !2y( )%y

&

'((

)

*++k = 4k "V

P !!3( ) "v"#" "v P( )!V

P !!3( ) "$% "v" #""

"$ % "v( ) P( )!V

&'(

)(

Operatori Differenziali

•! Riassumendo, definite le funzioni: si ha:

!! = ı

""x

+ !""y

+ k""z


!3 f! "! !

!3"v!"! V

#$%

&%

!3"!f" #" V

!3"! i "v" #"" !

!3"!$ "v" #"" V

%

&'

(''

Integrali

•! Un integrale è sempre la somma di un numero infinito di termini infinitesimi: –! Il simbolo ! è una deformazione di una lettera S (somma).

•! Diversi tipi (dal punto di vista applicativo) di integrale: –! Integrale semplice (di una funzione scalare o vettoriale); –! Integrale doppio (di una funzione scalare o vettoriale); –! Integrale triplo o integrale di volume (di una funzione scalare o

vettoriale); –! Integrale di linea di una funzione scalare; –! Integrale di linea di una funzione vettoriale; –! Integrale di superficie di una funzione scalare; –! Integrale di superficie di una funzione vettoriale.


Integrale Semplice di una Funzione Scalare

•! Sia data una funzione scalare f definita nell’intervallo [a, b]!R; •! Suddividiamo l’intervallo [a, b] in un certo numero n di intervallini di

larghezza !t = (b " a)/n, prendiamo entro di essi i punti: e consideriamo la somma:

•! Nel limite in cui gli intervallini diventano infinitesimi, la somma diventa l’integrale semplice:


f ti( )!ti=1

n

"

t1 ! a,a + "t#$ %& , t2 = a + "t,a + 2"t#$ %& , …, tn ! b ' "t, b#$ %&

f ti( )!ti=1

n

" n#$!t#0% #%% I = f t( ) dt

a

b

&

!ta b

!t !t !t !t !t !t !t !tt2t1 t3 t4 t5 t7t6 t8 t9

Integrale Semplice di una Funzione Scalare (II)

•! L’integrale semplice di una funzione scalare si può interpretare come l’area sottesa dalla curva che rappresenta la funzione (vedi figura).

•! L’integrale semplice si calcola a partire dalla funzione primitiva:

–! Detta F la funzione primitiva della funzione f : l’integrale semplice si calcola mediante la differenza della funzione primitiva agli estremi di integrazione:


I = f t( )dt = F t2( ) ! F t1( )t1

t2

"

F = f t( )dt!

!

!"'

!"&

!"%

!"#

$

! !"' !"& !"% !"# $

f t1( )!tf t2( )!t

Integrale Semplice di una Funzione Vettoriale

•! Analogamente, sia data una funzione vettoriale definita nell’intervallo [a, b]!R;

•! Suddividiamo l’intervallo [a, b] in un certo numero n di intervallini di larghezza !t = (b " a)/n, prendiamo entro di essi i punti: e consideriamo la somma vettoriale:

•! Nel limite in cui gli intervallini diventano infinitesimi, la somma diventa l’integrale semplice:


!v ti( )!t

i=1

n

"

!v ti( )!t

i=1

n

" n#$!t#0% #%%

!I = !

v t( ) dta

b

&

!v

!ta b

!t !t !t !t !t !t !t !tt2t1 t3 t4 t5 t7t6 t8 t9

t1 ! a,a + "t#$ %& , t2 = a + "t,a + 2"t#$ %& , …, tn ! b ' "t, b#$ %&

Integrale Semplice di una Funzione Vettoriale (II)

•! Anche l’integrale semplice di una funzione vettoriale si calcola a partire dalla funzione primitiva: –! Detta la funzione primitiva della funzione :

l’integrale semplice si calcola mediante la differenza della funzione primitiva agli estremi di integrazione:


!w

!v

!w = !

v t( )dt!

!I = !

v dt = !w t2( ) ! !w t1( )t1

t2

"

Integrale Doppio di una Funzione Scalare

•! Sia data una funzione scalare f definita nell’insieme S !R2; •! Suddividiamo l’insieme S in un certo numero n di rettangolini di area

infinitesima !x !y, prendiamo entro di essi i punti: e consideriamo la somma:

•! Nel limite in cui gli intervallini diventano infinitesimi, la somma diventa l’integrale doppio:


f xi , yi( )!xi=1

n

" !y

f xi , yi( )!xi=1

n

" !y n#$!x#0!y#0

% #%% I = f x, y( ) dx d yS&&

P1 x1, y1( ), P2 x2 , y2( ),…, Pn xn , yn( )

!x

x

!yS

y P1 P2P3P4 P6

P8

P5P9

P11

P10P7

Integrale Doppio di una Funzione Scalare (II)

•! Il calcolo di un integrale doppio si riduce al calcolo di due integrali semplici;

•! Se l’insieme S !R2 è un rettangolo [a,b]#[c,d], il calcolo è semplice:

•! Se l’insieme S !R2 è un cerchio di centro O e raggio r il calcolo è un po’ più complicato:


I = f x, y( ) dx d ya,b!" #$% c,d!" #$

&& = dx f x, y( )d yc

d

&a

b

&x

S

y

a b

c

d

xS

y + r 2 ! x2

rOx

! r 2 ! x2

I = f x, y( ) dx d yS O ,r( )!! = dx f x, y( )d y

" r2 " x2

+ r2 " x2

!"r

r

!

Integrale Doppio di una Funzione Vettoriale

•! Sia data una funzione vettoriale definita nell’insieme S !R2; •! Suddividiamo l’insieme S in un certo numero n di rettangolini di area

infinitesima !x !y, prendiamo entro di essi i punti: e consideriamo la somma vettoriale:

•! Nel limite in cui gli intervallini diventano infinitesimi, la somma diventa l’integrale doppio:


!v xi , yi( )!x

i=1

n

" !y

!v xi , yi( )!x

i=1

n

" !y n#$!x#0!y#0

% #%%!I = !

v x, y( ) dx d yS&&

P1 x1, y1( ), P2 x2 , y2( ),…, Pn xn , yn( )

!x

x

!yS

y P1 P2P3P4 P6

P8

P5P9

P11

P10P7

!v

Integrale Triplo o Integrale di Volume di una Funzione Scalare

•! Sia data una funzione scalare f definita nell’insieme V !R3; •! Suddividiamo l’insieme V in un certo numero n di cubetti (più

precisamente di parallelepipedi) di volume infinitesimo !V = !x !y !z, prendiamo entro di essi i punti: e consideriamo la somma:

•! Nel limite in cui i cubetti diventano infinitesimi, la somma diventa l’integrale triplo (o integrale di volume):


f xi , yi , zi( )!xi=1

n

" !y!z

f xi , yi , zi( )!xi=1

n

" !y!z n#$!x#0!y#0!z#0

% #%% I = f x, y, z( ) dVV&&& = f x, y, z( ) dx d y dz

V&&&

P1 x1, y1, z1( ), P2 x2 , y2 , z2( ),…, Pn xn , yn , zn( )

!x!yV

!z

Integrale Triplo o Integrale di Volume di una Funzione Scalare (II)

•! Esempio 1: consideriamo il volume: la funzione: e l’integrale:

•! Si ha:


I = f x, y, z( ) dVV!!! = dV

V!!! = dx d y dz

V!!!

V = x, y, z( )!!3;x ! 0,a"# $% , y ! 0,b"# $% , z ! 0,c"# $%{ }

f x, y, z( ) ! 1

I = dVV!!! = dz

0

c

!"

#$$

%

&''d y

0

b

(

)**

"

#

$$$

%

&

'''dx

0

a

(

)

***

= dx d y dz0

c

!"

#$$

%

&''

0

b

(

)**

"

#

$$$

%

&

'''

0

a

(

)

***

= dx d y dz0

c

!0

b

(

)*

0

a

(

)

***

= dx d y dz0

c

!0

b

!0

a

!

ax

y

z

b

bc

c aV c

Integrale Triplo o Integrale di Volume di una Funzione Scalare (III)

•! Sviluppando i calcoli, si ha:


I = dVV!!! = dx d y dz

0

c

!0

b

!0

a

! = dx d y z"# $%0c

0

b

!0

a

! =

= dx c d y0

b

!0

a

! = dx cy"# $%0b

0

a

! = cb( )dx0

a

! =

= cbx"# $%0a= cba = abc

ax

y

z

b

bc

c aV c

Integrale Triplo o Integrale di Volume di una Funzione Scalare (IV)

•! Esempio 2: consideriamo sempre il volume: ma, questa volta, la funzione: e l’integrale:

•! Si ha:


I = f x, y, z( ) dVV!!! = xy2 dV

V!!! = xy2 dx d y dz

V!!!

V = x, y, z( )!!3;x ! 0,a"# $% , y ! 0,b"# $% , z ! 0,c"# $%{ }

f x, y, z( ) = xy2

I = xy2 dVV!!! = xy2 dz

0

c

!"

#$$

%

&''d y

0

b

(

)**

"

#

$$$

%

&

'''dx

0

a

(

)

***

= dx d y xy2 dz0

c

!"

#$$

%

&''

0

b

(

)**

"

#

$$$

%

&

'''

0

a

(

)

***

= dx d y xy2 dz0

c

!0

b

!0

a

!

ax

y

z

b

bc

c aV c

Integrale Triplo o Integrale di Volume di una Funzione Scalare (V)



I = xy2 dVV!!! = dx d y xy2 dz

0

c

!0

b

!0

a

! = dx d y xy2z"# $%0c

0

b

!0

a

! =

= dx xy2c( )d y0

b

!0

a

! = dx x y3

3c

"

#&

$

%'0

b

0

a

! = xb3

3c

(

)*+

,-dx

0

a

! =

= x2

2b3

3c

"

#&

$

%'0

a

= a2

2b3

3c = a

2b3c6

ax

y

z

b

bc

c aV c

Integrale Triplo o Integrale di Volume di una Funzione Scalare (VI)


•! Si ha:


I = f x, y, z( ) dVV!!! = dV

V!!! = dx d y dz

V!!!

V = x, y, z( )!!3;x ! 0,a"# $% , y ! 0,b"# $% , z ! 0,c 1& yb

'()

*+,

"

#-

$

%.

/01

21

341

51a

x

yz

b

bcc aV

f x, y, z( ) ! 1

I = dVV!!! = dz

0

c 1" yb

#$%

&'(

!)

*

++++

,

-

.

.

.

.

d y

0

b

/

0

111

)

*

+++++

,

-

.

.

.

.

.

dx

0

a

/

0

11111

= dx d y dz0

c 1" yb

#$%

&'(

!0

b

/

0

11

0

a

/

0

111

= dx d y dz0

c 1" yb

#$%

&'(

!0

b

!0

a

!

Integrale Triplo o Integrale di Volume di una Funzione Scalare (VII)




0

c 1" yb

#$%

&'(

!0

b

!0

a

! = dx d y z)* +,0c 1" y

b#$%

&'(

0

b

!0

a

! =

= dx c 1" yb

#$%

&'(d y

0

b

!0

a

! = dx c y " y2

2b#

$%&

'()

*--

+

,..0

b

0

a

! = c b" b2

2b#

$%&

'(#

$%

&

'( dx

0

a

! =

= cb2

#$%

&'(dx

0

a

! = cb2x

)

*-

+

,.0

a

= c b2a = 1

2abc

a

x

yz

b

bcc aV

Integrale Triplo o Integrale di Volume di una Funzione Scalare (VIII)


•! Si ha:


I = f x, y, z( ) dVV!!! = dV

V!!! = dx d y dz

V!!!

V = x, y, z( )!!3;x ! "r,+r#$ %& , y ! " r 2 " x2 ,+ r 2 " x2#$'

%&( , z ! 0,+ r 2 " x2 " y2#

$'%&({ }

f x, y, z( ) ! 1

I = dVV!!! = dz

0

+ r2 " x2 " y2

!#

$

%%

&

'

((d y

" r2 " x2

+ r2 " x2

)

*

++

#

$

%%%%

&

'

((((

dx

"r

r

)

*

++++

= dx d y dz0

+ r2 " x2 " y2

!" r2 " x2

+ r2 " x2

!"r

r

!

x

y + r 2 ! x2

rOx

! r 2 ! x2

Vr

Integrale Triplo o Integrale di Volume di una Funzione Scalare (IX)




0

+ r2 " x2 " y2

!" r2 " x2

+ r2 " x2

!"r

r

! = dx d y z#$ %&0+ r2 " x2 " y2

" r2 " x2

+ r2 " x2

!"r

r

! =

= dx r 2 " x2 " y2 d y" r2 " x2

+ r2 " x2

!"r

r

! =

= dx12y r 2 " x2 " y2 + r 2 " x2( )arctan y

r 2 " x2 " y2'

())

*

+,,

#

$--

%

&.." r2 " x2

+ r2 " x2

"r

r

! =

= dx12r 2 " x2( )arctan + r 2 " x2

r 2 " x2 " r 2 + x2" r 2 " x2( )arctan " r 2 " x2

r 2 " x2 " r 2 + x2#

$--

%

&.."r

r

! =

= dx12r 2 " x2( )/2 " r 2 " x2( ) "

/2

'()

*+,

#

$-

%

&.

"r

r

! = dx12r 2 " x2( )/#

$%&

"r

r

! =

Vr

Integrale Triplo o Integrale di Volume di una Funzione Scalare (X)



I = dVV!!! = dx

12r 2 " x2( )#$

%&'

"r

r

! =12

r 2x "x3

3(

)*+

,-#

$

%..

&

'//"r

r

=

=12r 2r "

r3

3(

)*+

,-# "

12r 2 "r( ) " "r( )3

3

(

)**

+

,--# =

23r3

()*

+,-# =

23#r3

Vr

Integrale Triplo o Integrale di Volume di una Funzione Scalare (XI)

•! Esempio 5: consideriamo nuovamente lo stesso volume, che possiamo descrivere anche come: la funzione: e l’integrale:

•! Per eseguire l’integrale in coordinate sferiche occorre scrivere l’elemento di volume dV in coordinate sferiche:


I = f x, y, z( ) dVV!!! = dV

V!!! = dx d y dz

V!!!

V = x, y, z( )!!3;x = " sin# cos$ , y = " sin# sin$ , z = "cos# ," ! 0,r%& '( ,# ! 0,)2

%

&*

'

(+ ,$ ! 0,2)%& %&

,-.

/.

01.

2.

f x, y, z( ) ! 1

dV = dx dy dz =! x, y, z( )! ",# ,$( ) d" d# d$

!

!!rV

Integrale Triplo o Integrale di Volume di una Funzione Scalare (XII)

•! Date le trasformazioni tra coordinate cartesiane e coordinate sferiche: lo jacobiano si scrive:


x = ! sin" cos#y = ! sin" sin#z = !cos"

$

%&

'&

!," ,#( )()( x, y, z( )

! x, y, z( )! ",# ,$( ) = det

!x!"

!x!#

!x!$

!y!"

!y!#

!y!$

!z!"

!z!#

!z!$

= detsin# cos$ "cos# cos$ %" sin# sin$sin# sin$ "cos# sin$ " sin# cos$cos# %" sin# 0

!

!!rV

Integrale Triplo o Integrale di Volume di una Funzione Scalare (XIII)

•! Eseguendo i calcoli per lo jacobiano:


! x, y, z( )! ",# ,$( ) = det

sin# cos$ "cos# cos$ %" sin# sin$sin# sin$ "cos# sin$ " sin# cos$cos# %" sin# 0

=

= cos# det"cos# cos$ %" sin# sin$"cos# sin$ " sin# cos$

+

% %" sin#( )det sin# cos$ %" sin# sin$sin# sin$ " sin# cos$

=

= cos# "2 sin# cos#( ) + " sin# " sin2#( ) == "2 sin# cos2# + "2 sin3# = "2 sin#

dV = dx dy dz =! x, y, z( )! ",# ,$( ) d" d# d$ = "2 sin# d" d# d$

!

!!rV

Integrale Triplo o Integrale di Volume di una Funzione Scalare (XIV)

•! Avremo pertanto, per l’integrale:


dV = dx dy dz =! x, y, z( )! ",# ,$( ) d" d# d$ = "2 sin# d" d# d$


V!!! = "2 sin# d" d# d$

V!!! =

= "2 sin# d"0

r

!%

&''

(

)**d#

0

+2

,

-..

%

&

'''''

(

)

*****

d$

0

2+

,

-

.

.

.

.

= d$ d# "2 sin# d"0

r

!0

+2

!0

2+

! = d$ d# "3

3sin#

%

&'

(

)*0

r

0

+2

!0

2+

! =

= d$ r3

3sin# d#

0

+2

!0

2+

! = d$ /r3

3cos#

%

&'

(

)*0

+2

0

2+

! =r3

3d$

0

2+

! =r3

3$

%

&'

(

)*0

2+

=r3

32+ =

23+r3

!

!!rV

Integrale Triplo o Integrale di Volume di una Funzione Vettoriale

•! Sia data una funzione vettoriale definita nell’insieme V !R3; •! Suddividiamo l’insieme V in un certo numero n di cubetti (più

precisamente di parallelepipedi) di volume infinitesimo !V = !x !y !z, prendiamo entro di essi i punti: e consideriamo la somma vettoriale:

•! Nel limite in cui i cubetti diventano infinitesimi, la somma diventa l’integrale triplo (o integrale di volume):


!v xi , yi , zi( )!x

i=1

n

" !y!z

!v xi , yi , zi( )!x

i=1

n

" !y!z n#$!x#0!y#0!z#0

% #%%!I = !

v x, y, z( ) dVV&&& = !

v x, y, z( ) dx d y dzV&&&


!x!yV

!z

!v

Integrale di Linea di una Funzione Scalare

•! Sia data una funzione scalare f definita in R3 e sia data una curva "(P0, P) !R3, avente, per estremi, i punti P0 e P;

•! Prendiamo, sulla curva "(P0, P), un certo numero n " 1 di punti: e consideriamo la spezzata: i cui segmenti hanno lunghezza:

•! La somma dei prodotti della funzione per tali lunghezze, nel limite in cui essi diventano infinitesimi, diviene l’integrale di linea:


!s1 = P1 " P0! "!!!!!

, !s2 = P2 " P1! "!!!!!

, …, !sn"1 = Pn"1 " Pn"2! "!!!!!!!!!

, !sn = P " Pn"1! "!!!!!!!

f xi , yi , zi( )!sii=1

n

" n#$!si#0

% #%% I = f P( ) ds& P0 ,P( )' = f x, y,x( ) ds

& P0 ,P( )'

P1, P2 , …, Pn!1 "# P0 ,P( ), Pi = xi , yi , zi( )

1s! 2s!!s3

4s! 5s!6s!7s!! P0 ,P( )

P0

P

P1P2

P3P4 P5

P6

P0 , P1, P2 , …, Pn!1,P

Integrale di Linea di una Funzione Scalare (II)

•! La curva "(P0, P) !R3, può essere definita utilizzando un paramtero # :

•! L’integrale di linea si calcola quindi come:


I = f P( ) ds! P0 ,P( )" = f P #( )( ) dP

! "!

d##1

#2

" d# 1s! 2s!!s3

4s! 5s!6s!7s!! P0 ,P( )

P0

P

P1P2

P3P4 P5

P6

! = P "!3; P = P #( ), # " #1,#2$% &'{ }

Integrale di Linea di una Funzione Scalare (III)

•! Esempio: Consideriamo una semicirconferenza: e la funzione:

•! Si ha:


! = x, y, z( )"!3; x = r cos# , y = r sin# , z = 0, # " 0,$%& '({ }f P( ) ! 1

!!r

x

yz

dP! "!

d!="x"!ı +

"y"!! +

"z"!k = #r sin! ı + r cos! ! + 0k

dP! "!

d!= r 2 sin2! + r 2 cos2! = r 2 = r

I = f P( ) ds$% = f P !( )( ) dP

! "!

d!d!

0

&

% = 1 r d!0

&

% = r d!0

&

% = &r

Integrale di Linea di una Funzione Vettoriale

•! Sia data una funzione vettoriale definita in R3 e sia data una curva "(P0, P) !R3, avente, per estremi, i punti P0 e P;

•! Prendiamo, sulla curva "(P0, P), un certo numero n " 1 di punti: e consideriamo la spezzata: formata dai segmenti orientati:

•! La somma dei prodotti scalari della funzione per tali segmenti, nel limite in cui essi diventano infinitesimi, diviene l’integrale di linea:


!P1! "!!

= P1 " P0! "!!!!!

, !P! "!!

2 = P2 " P1! "!!!!!

, …, !P! "!!

n"1 = Pn"1 " Pn"2! "!!!!!!!!!

, !P! "!!

n = P " Pn"1! "!!!!!!!

!v xi , yi , zi( )i!P

" !""i

i=1

n

" n#$!P" !""

i#!0

% #%% I = !v P( ) i dP

" !""

& P0 ,P( )' = !

v x, y,x( ) i dP" !""

& P0 ,P( )'

P1, P2 , …, Pn!1 "# P0 ,P( ), Pi = xi , yi , zi( )P5P4!P5! "!!

!P4! "!!!P2

! "!!!P1! "!! !P3

! "!! !P6! "!!!P7! "!!! P0 ,P( )

P0

P

P1P2

P3

P6

P0 , P1, P2 , …, Pn!1,P

!v

Integrale di Linea di una Funzione Vettoriale (II)

•! La curva "(P0, P) !R3, può essere definita utilizzando un parametro # :

•! L’integrale di linea si calcola quindi come:


I = !v P( ) i dP

" !""

! P0 ,P( )" = !

v P #( )( ) i dP" !"

d##1

#2

" d#

! = P "!3; P = P #( ), # " #1,#2$% &'{ }

P5P4!P5! "!!

!P4! "!!!P2

! "!!!P1! "!! !P3

! "!! !P6! "!!!P7! "!!! P0 ,P( )

P0

P

P1P2

P3

P6

Integrale di Superficie di una Funzione Scalare

•! Sia data una funzione scalare f definita in R3 e sia data una superficie $ !R3;

•! Suddividiamo la superficie $ in un certo numero n di superfici infini-tesime !$, prendiamo su di esse i punti: e consideriamo la somma:

•! Nel limite in cui le superfici !$ diventano infinitesime, la somma diventa l’integrale di superficie:


f xi , yi , zi( )!"i=1

n

#

f xi , yi , zi( )!"i=1

n

# n$%!"$0& $&& I = f P( ) d"

"''


Integrale di Superficie di una Funzione Scalare (II)

•! La superficie $ !R3, può essere definita utilizzando i parametri ! e ":

•! L’integrale di superficie si calcola quindi come:


! = P "!3; P = P #,$( ), # " #1,#2%& '( , $ " $1,$2%& '({ }

f P( ) d!!"" = d# f P #,$( )( ) %P

! "!

%#&%P! "!

%$d$

$1

$2

"#1

#2

"

Integrale di Superficie di una Funzione Scalare (III)

•! Consideriamo, per esempio, la superficie di una semisfera: e la funzione:

•! Si ha:


! = P x, y, z( )"!3; x = r sin# cos$ , y = r sin# sin$ , z = r cos# , $ " 0,2%&' () , # " 0,%2

&

'*

(

)+

,-.

/.

01.

2.

f P( ) ! 1

!P! "!

!"#!P! "!

!$= det

ı ! k!x!"

!y!"

!z!"

!x!$

!y!$

!z!$

= detı ! k

r cos" cos$ r cos" sin$ %r sin"%r sin" sin$ r sin" cos$ 0

=

= r 2 sin2" cos$ ı + r 2 sin2" sin$ ! + r 2 sin" cos" cos2$ + r 2 sin" cos" sin2$( ) k == r 2 sin2" cos$ ı + sin2" sin$ ! + sin" cos" k( )

! !

!r

101!

Integrale di Superficie di una Funzione Scalare (IV)

•! Dunque:


!P! "!

!"#!P! "!

!$= r 2 sin2" cos$ ı + sin2" sin$ ! + sin" cos" k =

= r 2 sin4" cos2$ + sin4" sin2$ + sin2" cos2" =

= r 2 sin4" + sin2" cos2" = r 2 sin2" sin2" + cos2"( ) == r 2 sin2" = r 2 sin"

! !

!r

d!!"" = d# $P

! "!

$%&$P! "!

$#d%

0

'2

"0

2'

" = d# r 2 sin% d%0

'2

"0

2'

" = r 2 d# sin% d%0

'2

"0

2'

" =

= r 2 d# sin% d%0

'2

"0

2'

" = r 2 d# (cos%)* +,0'2

0

2'

" = r 2 0 +1( )d#0

2'

" = r 2 d#0

2'

" =

= r 2 #)* +,02'

== 2'r 2

102!

Integrale di Superficie di una Funzione Vettoriale

•! Sia data una funzione vettoriale definita in R3 e sia data una superficie $ !R3;

•! Suddividiamo la superficie $ in un certo numero n di superfici infini-tesime !$, prendiamo su di esse i punti: e consideriamo la somma:

•! Nel limite in cui le superfici !$ diventano infinitesime, la somma diventa l’integrale di superficie:


!v


!v Pi( ) i n Pi( ) !"

i=1

n

#

!v Pi( ) i n Pi( ) !"

i=1

n

# n$%!"$0& $&& I = !

v P( ) i n d""''

Integrale di Superficie di una Funzione Vettoriale (II)

•! La superficie $ !R3, può essere definita utilizzando i parametri ! e ":

•! L’integrale di superficie si calcola quindi come:


! = P "!3; P = P #,$( ), # " #1,#2%& '( , $ " $1,$2%& '({ }

!v P( )i n d!

!"" = d# !v P #,$( )( ) i %P

" !"

%#&%P" !"

%$

'

()

*

+, d$

$1

$2

"#1

#2

"

Integrale di Superficie di una Funzione Vettoriale (III)

•! Consideriamo, per esempio, la superficie di una semisfera: e la funzione vettoriale:

•! Si ha:


S = P x, y, z( )!!3; x = r sin" cos# , y = r sin" sin# , z = r cos" , # ! 0,2$%& '( , " ! 0,$2

%

&)

'

(*

+,-

.-

/0-

1-

!v P( ) ! k

!P! "!

!"#!P! "!

!$= det

ı ! k!x!"

!y!"

!z!"

!x!$

!y!$

!z!$

= detı ! k

r cos" cos$ r cos" sin$ %r sin"%r sin" sin$ r sin" cos$ 0

=

= r 2 sin2" cos$ ı + r 2 sin2" sin$ ! + r 2 sin" cos" cos2$ + r 2 sin" cos" sin2$( ) k == r 2 sin2" cos$ ı + sin2" sin$ ! + sin" cos" k( )

S !

!r

105!

Integrale di Superficie di una Funzione Vettoriale (IV)

•! Dunque:


k • !P! "!

!"#!P! "!

!$

%

&'

(

)* = k • r

2 sin2" cos$ ı + sin2" sin$ ! + sin" cos" k( ) =

= r 2 sin" cos" =r 2

2sin 2"( ) S !

!r

!v P( )i n d!

S"" = k i n d!

S"" = d# k i $P

" !"

$%&$P" !"

$#

'

()

*

+, d%

0

-2

"0

2-

" =

= d# r 2

2sin 2%( ) d%

0

-2

"0

2-

" =r 2

2d# sin 2%( ) d%

0

-2

"0

2-

" =r 2

2d# .

cos 2%( )2

/

011

2

3440

-2

0

2-

" =

= .r 2

4d# cos 2%( )/0 230

-2

0

2-

" = .r 2

4d# cos- . cos0( )

0

2-

" =r 2

2d#

0

2-

" = 2- r2

2

106!

http://campus.cib.unibo.it/2421/

Domenico Galli Dipartimento di Fisica

[email protected] http://www.unibo.it/docenti/domenico.galli https://lhcbweb.bo.infn.it/GalliDidattica

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