Advanced Search Techniques - beCool | Belgian...
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Advanced Search Techniques Christophe Lecoutre [email protected] CRIL CNRS UMR 8188 Universite d’Artois Lens, France ACP Summer School 2010 1
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Advanced Search Techniques
Christophe [email protected]
CRIL CNRS UMR 8188Universite d’Artois
Lens, France
ACP Summer School 2010
1
Outline
1 Backtrack Search
2 Guiding Search toward Conflicts
3 Restarts with Nogood Recording
4 State-based Reasoning
2
Outline
1 Backtrack Search
2 Guiding Search toward Conflicts
3 Restarts with Nogood Recording
4 State-based Reasoning
3
Search Tree
⊥
mistakenodes
dead-endsinternal
⊥ ⊥
⊥ ⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
δ1
δ2
δ6δ3 δ4
δ5
δ7
δ8
δ9δ10
δ11
δ12 δ15δ13
δ14
δ18
δ19δ16
δ17
δk
root
solution
de isions
leaves
node v, parent of v′dn(v) = {δ17, δ18}
node v′, hild of vcn(v′) = φ(P init|{δ17,δ18,δ19})
dead-ends
4
Binary-φ-search
Algorithm 1: Binary-φ-search(P: CN): Boolean
P ← φ(P)if P = ⊥ then
return false
if ∀x ∈ vars(P), |dom(x)| = 1 thenreturn true
select a value (x ,a) of P such that |dom(x)| > 1return Binary-φ-search(P|x=a) ∨ Binary-φ-search(P|x 6=a)
question
Is there a condition on φ ?
5
MAC = Binary-GAC-searchAlgorithm 2: MAC(P : CN)
consistent ← enforceGAC(P,vars(P)) ; // GAC initially enforced
if ¬consistent thenreturn
I ← ∅ ; // I represents the current instantiation
finished ← falsewhile ¬finished do
select a value (x ,a) of P such that x /∈ vars(I )I .push(x ,a)dom(x).reduceTo(a,|I |) ; // x is assigned the value aconsistent ← enforceGAC(P,{x})if consistent ∧ |I | = n then
print(I ) ; // A solution has been found and is printed
consistent ← false ; // Inserted to keep searching for solutions
while ¬consistent ∧ I 6= ∅ do(x ,a)← I .pop()foreach variable y ∈ vars(P) \ vars(I ) do
dom(y).restoreUpto(|I |+ 1)
dom(x).remove(a,|I |) ; // a is removed from dom(x)consistent ← dom(x) 6= ∅ ∧ enforceGAC(P,{x})
if ¬consistent thenfinished ← true
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Outline
1 Backtrack Search
2 Guiding Search toward Conflicts
3 Restarts with Nogood Recording
4 State-based Reasoning
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Adaptive Heuristics
A search-guiding heuristic is said to be adaptive when the selection itperforms at a given node of the search tree depends on the current stateof the problem instance as well as on the past states encountered so far.An adaptive heuristic implements a kind of learning:
Constraint weighting
Impacts
Last conflicts
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Illustration
������������������������
������������������������
��������������������
��������������������
P init P init
v1
v2
cn(v1) = cn(v2)
Figure: Two partial search trees built from the same instance P init .
Contrary to a static or dynamic variable ordering heuristic, an adaptiveheuristic is able to perform a different selection at nodes v1 and v2.
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Constraint Weighting
The principle is the following:
a weight is associated with each constraint,
everytime a conflict occurs while propagating a constraint c, theweight associated with c is incremented.
the weigth of a variable is the sum of the weigths of all its involvingconstraints.
Related work in [Mor93, SK93, MSG98, Tho00, BS00].
11
Implementation within a Generic GAC Algorithm
Algorithm 3: enforceGAC (var P: CN, Q: queue): Boolean
while Q 6= ∅ dopick and delete x from Qforeach c ∈ cons(P) | x ∈ scp(c) do
foreach y ∈ scp(c) | y /∈ past(P) doif revise(c ,y) > 0 then
if dom(y) = ∅ thenweight[c]← weight[c] + 1return false
add(Q,y)
return true
12
Heuristic dom/wdeg
The heuristic dom/wdeg [BHLS04] is a generic state-of-the-art variableordering heuristic.
It allows us to solve many more instances than classical heuristics within agiven time limit.
What about:
Impact ? [Gee92, Ref04, CJ06]
constraint weighting for global constraints ?
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Illustration with scen11-f6
V0
V664V665
V666V667
V1
V2V3
V4
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V303
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V412V413
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V54V80
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V264
V265
V268
V291
V376 V377
V432V433
V604
V605
V55
V82V83
V290
V56V57
V554
V555
V58
V428V429
V431
V59
V60V61
V62
V567
V63
V64
V65
V66
V454V455V456
V457
V67
V68V388V389 V69
V70V71V72V73
V74
V216V217
V318
V75
V537
V76 V77
V78V79
V84
V232V233
V240V241
V269
V316V317
V85
V596
V86V87
V88V89V90
V238V239
V91
V92
V93
V94
V324
V325
V95
V96
V97V98V99
V100
V101
V102V103
V104V105
V106
V107
V108
V218V219
V222
V226
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V227V231
V549
V112
V590V591
V592
V593
V113
V114V490
V491
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V116V117V118
V119
V120V121
V122
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V254V255
V124
V525
V125
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V283V127
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V128V528V529
V129
V130V372
V373
V416
V458
V459 V131
V132
V133
V134V368V369
V396V397
V421
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V566V135
V136V137
V138
V420
V139
V140
V141
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V143
V144
V560
V145
V146V147V148
V149
V150
V334V335
V151
V152V419
V153V418
V154
V155
V156V157
V158 V159
V160V161
V162
V163
V164
V472V473
V165V166V167
V168V169
V170V171
V172V173
V174V175
V176V177V178V179
V180
V181V182
V183
V184
V407
V444
V185V186
V187
V188
V189
V228V190
V191
V192V214V215
V404
V405
V446V447
V193V379
V414
V448
V194
V243
V514V516
V195
V196
V197
V198
V678
V679
V199
V200 V267V201
V266
V202
V203
V204V205
V206V207
V208V209
V210
V211
V212V213
V220
V221
V224
V225
V234
V597
V235V236V237
V242
V244V245
V246
V247
V248V249
V250
V251
V252
V258V259
V253
V256V257
V260V320
V321V562
V563V261
V262
V263
V270 V271
V272V273
V274V275
V276V277
V278V279
V280V281
V284V285
V287
V288V289
V292V534
V535V293
V294V319
V515V517 V295
V296V297
V298V299
V300V301
V302
V310
V311
V312V313
V314V315
V322
V323
V326V327
V328V329
V330
V331
V332
V333
V336V337
V338V339
V340V341 V342
V343
V344V345
V346V347V348
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V350V351
V352V353
V354
V387
V355
V356V357
V358V359
V540
V360
V518
V519
V361
V362
V363
V364V365
V366V367
V374V375
V378
V380V381
V382V383
V384V385
V386
V390 V434V435
V580
V581
V391
V392
V438V439
V579
V393 V394
V436
V437
V452V453
V395
V398V530
V531V399V400
V401
V402
V408V409
V430
V403
V406V410V411
V415
V422
V424V425
V441
V583
V423
V440
V445
V449V450V451
V460
V461
V462
V463
V464
V465
V466
V467V468V469
V470
V471
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V477 V478
V479
V480
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V484
V485
V486
V487V488
V489
V492
V598V599
V493
V494
V495
V496 V497
V498V499
V500V501
V502
V503V504V505
V506
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V508
V509
V510V511
V512
V513
V520V521
V522V523
V526
V527
V536
V538
V539
V541
V542
V543
V544
V545
V546 V547
V550
V551
V552
V570V571
V572
V573V574
V578
V553
V568
V577
V556V557
V558
V559
V561
V564
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V582
V584V585
V586V587
V588V589
V594
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V600
V601
V602V603
V606
V607
V608
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V610
V611
V616V617
V618V619
V620
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V653
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V662 V663
V670V671
V672
V673
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V676V677
V0
V664V665
V666V667
V1
V2V3
V4
V5
V303
V6
V370V371
V412V413
V7
V8
V9
V10
V11
V12V13
V14
V15
V16
V614V615
V17
V286
V18
V636V637
V19V20
V648V649
V660
V661
V21
V22V23
V24
V612V613V646
V647
V25
V26V27
V28 V29
V30V31
V569
V32
V33
V34
V426V427
V532V533V35
V36V37
V38
V306V307
V308
V309
V474
V475
V634V635
V39
V40
V41
V42
V52V53
V628
V43
V44V45
V46
V305
V47
V304
V48
V49
V50V51
V54V80
V81
V110
V111
V264
V265
V268
V291
V376 V377
V432V433
V604
V605
V55
V82V83
V290
V56V57
V554
V555
V58
V428V429
V431
V59
V60V61
V62
V567
V63
V64
V65
V66
V454V455V456
V457
V67
V68V388V389 V69
V70V71V72V73
V74
V216V217
V318
V75
V537
V76 V77
V78V79
V84
V232V233
V240V241
V269
V316V317
V85
V596
V86V87
V88V89V90
V238V239
V91
V92
V93
V94
V324
V325
V95
V96
V97V98V99
V100
V101
V102V103
V104V105
V106
V107
V108
V218V219
V222
V226
V229
V230
V548
V109
V223
V227V231
V549
V112
V590V591
V592
V593
V113
V114V490
V491
V115
V116V117V118
V119
V120V121
V122
V123
V254V255
V124
V525
V125
V524
V126V282
V283V127
V417
V128V528V529
V129
V130V372
V373
V416
V458
V459 V131
V132
V133
V134V368V369
V396V397
V421
V442V443
V566V135
V136V137
V138
V420
V139
V140
V141
V142
V143
V144
V560
V145
V146V147V148
V149
V150
V334V335
V151
V152V419
V153V418
V154
V155
V156V157
V158 V159
V160V161
V162
V163
V164
V472V473
V165V166V167
V168V169
V170V171
V172V173
V174V175
V176V177V178V179
V180
V181V182
V183
V184
V407
V444
V185V186
V187
V188
V189
V228V190
V191
V192V214V215
V404
V405
V446V447
V193V379
V414
V448
V194
V243
V514V516
V195
V196
V197
V198
V678
V679
V199
V200 V267V201
V266
V202
V203
V204V205
V206V207
V208V209
V210
V211
V212V213
V220
V221
V224
V225
V234
V597
V235V236V237
V242
V244V245
V246
V247
V248V249
V250
V251
V252
V258V259
V253
V256V257
V260V320
V321V562
V563V261
V262
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V270 V271
V272V273
V274V275
V276V277
V278V279
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V284V285
V287
V288V289
V292V534
V535V293
V294V319
V515V517 V295
V296V297
V298V299
V300V301
V302
V310
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V416
V458
V459 V131
V132
V133
V134V368V369
V396V397
V421
V442V443
V566V135
V136V137
V138
V420
V139
V140
V141
V142
V143
V144
V560
V145
V146V147V148
V149
V150
V334V335
V151
V152V419
V153V418
V154
V155
V156V157
V158 V159
V160V161
V162
V163
V164
V472V473
V165V166V167
V168V169
V170V171
V172V173
V174V175
V176V177V178V179
V180
V181V182
V183
V184
V407
V444
V185V186
V187
V188
V189
V228V190
V191
V192V214V215
V404
V405
V446V447
V193V379
V414
V448
V194
V243
V514V516
V195
V196
V197
V198
V678
V679
V199
V200 V267V201
V266
V202
V203
V204V205
V206V207
V208V209
V210
V211
V212V213
V220
V221
V224
V225
V234
V597
V235V236V237
V242
V244V245
V246
V247
V248V249
V250
V251
V252
V258V259
V253
V256V257
V260V320
V321V562
V563V261
V262
V263
V270 V271
V272V273
V274V275
V276V277
V278V279
V280V281
V284V285
V287
V288V289
V292V534
V535V293
V294V319
V515V517 V295
V296V297
V298V299
V300V301
V302
V310
V311
V312V313
V314V315
V322
V323
V326V327
V328V329
V330
V331
V332
V333
V336V337
V338V339
V340V341 V342
V343
V344V345
V346V347V348
V349
V350V351
V352V353
V354
V387
V355
V356V357
V358V359
V540
V360
V518
V519
V361
V362
V363
V364V365
V366V367
V374V375
V378
V380V381
V382V383
V384V385
V386
V390 V434V435
V580
V581
V391
V392
V438V439
V579
V393 V394
V436
V437
V452V453
V395
V398V530
V531V399V400
V401
V402
V408V409
V430
V403
V406V410V411
V415
V422
V424V425
V441
V583
V423
V440
V445
V449V450V451
V460
V461
V462
V463
V464
V465
V466
V467V468V469
V470
V471
V476
V477 V478
V479
V480
V481
V482
V483
V484
V485
V486
V487V488
V489
V492
V598V599
V493
V494
V495
V496 V497
V498V499
V500V501
V502
V503V504V505
V506
V507
V508
V509
V510V511
V512
V513
V520V521
V522V523
V526
V527
V536
V538
V539
V541
V542
V543
V544
V545
V546 V547
V550
V551
V552
V570V571
V572
V573V574
V578
V553
V568
V577
V556V557
V558
V559
V561
V564
V565
V575
V576
V582
V584V585
V586V587
V588V589
V594
V595
V600
V601
V602V603
V606
V607
V608
V609
V610
V611
V616V617
V618V619
V620
V621
V622
V623
V624 V625
V626
V627
V629
V630
V668
V669 V631
V632
V650
V651
V633
V638V639
V640V641
V642
V643
V644V645 V652
V653
V654V655
V656V657
V658
V659
V662 V663
V670V671
V672
V673
V674
V675
V676V677
14
Experimental Results
1
10
100
1000
1 10 100 1000
dom
/wde
g
brelaz
Pairwise comparison (CPU time) of heuristics when used by MAC to solvethe instances from the 2006 constraint solver competition.
15
Experimental Results
1
10
100
1000
1 10 100 1000
dom
/wde
g
dom/ddeg
Pairwise comparison (CPU time) of heuristics when used by MAC to solvethe instances from the 2006 constraint solver competition.
16
Last-conflict based Reasoning
The principle is the following: everytime a conflict occurs, the lastassigned variable is selected in priority as long as no consistent value isfound for it [LSTV09].
It looks like performing a lazy form of intelligent backtracking
Related work in [Lho05]
17
Implementation
Algorithm 4: Binary-φ-searchLC (P: φ-consistent CN): Boolean
if P = ⊥ thenreturn false
if ∀x ∈ vars(P), |dom(x)| = 1 thenreturn true
if priority 6= null thenx ← priority
elsex ← variableOrderingHeuristic .selectVariable()
a← valueOrderingHeuristic.selectValueFor(x)P ′ ← φ(P|x=a)if P ′ = ⊥ then
priority ← xelse
priority ← null
return Binary-φ-searchLC (P ′) ∨ Binary-φ-searchLC (φ(P|x 6=a))
18
Illustration
xi
⊥
xi
⊥
x i−1=
a i−1
⊥
xi−
1 6=ai−
1
x i=
a i
x j=
a jxj 6=
aj
xi
LC1
priority = xi
xi 6=
ai
19
Example
2
0
1
0
1
22
0
1
0
1
2
x4
x5x6
x1
2
1
2
1
x2
x3
Figure: The compatibility graph of a constraint network involving a clique ofconstraints of difference and a clique of entailed constraints.
20
Example
x1
=0
x2
=0
x3
=0
x4
=1
x4 6=
1
x3
=1
x2 6=0
x3 6=
1
x2 6=
1
x4 6=
1
x4
=1
x3
=0
x4 6=
1
x3 6=
0
x2
=1
x3
=1
x3 6=
1
x4
=1
x1 6= 0
x1
=1
x2
=0
x3
=0
x4
=0
x4 6=
0
x3 6=
0
x4
=1
x3
=1
x4
=0
x3 6=
1
x2 6=0
x2
=1
x2 6=
1
x3
=0
x4
=0
x4 6=
1
x4 6=
0
x3 6=
0x3 6=
1
x3
=1
x4
=0
x4 6=
0
x1 6= 1
x1
=2
x2
=0
x4
=0
x4 6=
0
x3 6=
0
x3
=1
x4
=0
x4 6=
0
x3 6=
1
x2 6=0
x2
=1
x3
=0
x4
=0
x4 6=
0
x3 6=
0
x3
=1
x4
=0
x4 6=
0
x3 6=
1
x2 6=
1
x1 6=
2
x3 6=
0
x4 6=
0
x3
=0
Figure: Search tree built by MAC (68 explored nodes).
21
Example
���
���
x1
=0
x2
=0
x3
=0
x4
=1
x3 6=
0
x4 6=
1
x4
=1
x4
=1
x1
=1
x1
=1
x1 6= 0
x2 6=0
x4 6=
1
x1 6=
1
x1 6=
1
x4
=0
x4 6=
1
x4 6=
0
priority = x1
priority = x4
Figure: Search tree built by MAC-LC (21 explored nodes).
22
Experiments
1
10
100
1000
1 10 100 1000
MA
C-L
C
MAC
Figure: Pairwise comparison (CPU time) of MAC and MAC-LC to solve theinstances from the 2006 constraint solver Competition. The variable orderingheuristic is dom/ddeg and the time-out to solve an instance is set to 20 minutes.
23
Experiments
1
10
100
1000
1 10 100 1000
MA
C-L
C
MAC
Figure: Pairwise comparison (CPU time) of MAC and MAC-LC to solve theinstances from the 2006 constraint solver Competition. The variable orderingheuristic is dom/wdeg and the time-out to solve an instance is set to 20 minutes.
24
Outline
1 Backtrack Search
2 Guiding Search toward Conflicts
3 Restarts with Nogood Recording
4 State-based Reasoning
25
nld-nogoods
Each branch of the search tree can be seen as a sequence of positive andnegative decisions.For any branch of the search tree starting from the root, a generalizednogood can be extracted from each negative decision. These nogoods arecalled nld-nogoods (negative last decision nogoods).
26
Example
x = a
z=
a
⊥ ⊥
⊥
⊥
⊥ ⊥
v = a
w = b
x 6= a
w 6= b
z=
b
y 6=c
y = b y 6= b
z 6=b
z 6=ay
=c
x=
c
⊥ ⊥ ⊥
w 6= a
y=
cy 6=
cz=
bz 6=
b
w = a
Figure: A partial search tree built by a backtracking search algorithm.
27
Example
x = a
z=
a
⊥ ⊥
⊥
⊥
⊥ ⊥
w = b
x 6= a
w 6= b
z=
b
y 6=c
y = b y 6= b
z 6=b
z 6=ay
=c
x=
c
⊥ ⊥ ⊥
w 6= a
y=
cy 6=
cz=
bz 6=
b
w = a
v = a
Figure: The current (last) branch.
28
Example
Last branch:
v = a
w 6= by 6= b
x=
c
w 6= a
z 6=b
nld-subsequences
〈v = a,w 6= b〉〈v = a,w 6= b, y 6= b〉〈v = a,w 6= b, y 6= b, x = c ,w 6= a〉〈v = a,w 6= b, y 6= b, x = c ,w 6= a, z 6= b〉
nld-nogoods
{v = a,w = b}{v = a,w 6= b, y = b}{v = a,w 6= b, y 6= b, x = c ,w = a}{v = a,w 6= b, y 6= b, x = c ,w 6= a, z = b}
reduced nld-nogoods
{v = a,w = b}{v = a, y = b}{v = a, x = c ,w = a}{v = a, x = c , z = b}
29
Managing and Propagating Nogoods
Nogoods can be stored and managed as constraints.
For example, the nogood {x = a, y = b, z = c} means we have toguarantee:
¬(x = a ∧ y = b ∧ z = c)or x 6= a ∨ y 6= b ∨ z 6= c
Efficiency and control reached by:
using the structure of watched literals [MMZ+01, ZM02, ES03].
recording nogoods at restarts [BLMS01, Fuk03, LSTV07b]
30
Watched Decisions
w 6= c x 6= b y 6= b z 6= a
dom(w)
{a, b, c}dom(x) dom(y) dom(z)
{a, b, c} {a, b, c} {a, b, c}= = = =
Initially (level 0), the first and last decision of the nogood (constraint) arewatched.
falsi�edw 6= c x 6= b y 6= b z 6= a
dom(w)
{a, b, c}dom(x) dom(y) dom(z)
{a, b, c} {a, b, c}= = =={a, b, c}
After setting y = b (level 1). As y 6= b was not watched, the nogood hasnot been handled.
31
Watched Decisions
falsi�edw 6= c x 6= b y 6= b z 6= a
dom(w)
{a, b, c}dom(x) dom(y) dom(z)
{a, b, c} {a, b, c}= = =={a, b, c}
After setting z = a (level 2). As z 6= a was watched, a search for anotherwatch occured. Here, x 6= b has been found.
falsi�edw 6= c x 6= b y 6= b z 6= a
dom(w)
{a, b, c}dom(x) dom(y) dom(z)
{a, b, c} {a, b, c}= = =={a, b, c}inferred de ision
After setting w = c (level 3). As w 6= c was watched, a search for anotherwatch occured. Here, no possibility remained. Consequently, x 6= b hasbeen inferred. The watched decisions are not modified.
32
Watched Decisions
w 6= c x 6= b y 6= b z 6= a
dom(w)
{a, b, c}dom(x) dom(y) dom(z)
{a, b, c} {a, b, c} {a, b, c}= = = =
After backtracking to level 0. There is no need to modify watcheddecisions as found before backtracking.
33
Making Inferences
Algorithm 5: makeInferences(x = a: decision): set of decisions
Γ← ∅foreach nogood (constraint) ∆ ∈ Bx 6=a do
// x 6= a is a decision watched in ∆Let (y 6= b) be the second decision watched in ∆if b ∈ dom(y) then
δ ← findWatch(∆)if δ = nil then
Γ← Γ ∪ {y 6= b}else
watch δ instead of x 6= a in ∆
return Γ
34
Find Watched Decisions
Algorithm 6: findWatch(∆: nogood (constraint)): decision
foreach decision (z 6= c) ∈ ∆ doif z 6= c is not watched in ∆ then
if c /∈ dom(z) or |dom(z)| > 1 thenreturn z 6= c
return nil
35
Results
1
10
100
1000
1 10 100 1000
MA
C+RS
T
MAC
Figure: Pairwise comparison (cpu time) between MAC and MAC-RST on the3,621 instances used as benchmarks of the 2006 CSP Solver Competition (firstround). The variable ordering heuristic is dom/ddeg and the timeout to solve aninstance is set to 20 minutes.
36
Results
1
10
100
1000
1 10 100 1000
MA
C+
RST
+N
Gm
MAC+RST
Figure: Pairwise comparison (cpu time) between MAC-RST and MAC-RST-NGmon the 3,621 instances used as benchmarks of the 2006 CSP Solver Competition(first round). The variable ordering heuristic is dom/ddeg and the timeout tosolve an instance is set to 20 minutes.
37
Results
1
10
100
1000
1 10 100 1000
MA
C+
RST
+N
Gm
MAC
Figure: Pairwise comparison (cpu time) between MAC and MAC-RST-NGm onthe 3,621 instances used as benchmarks of the 2006 CSP Solver Competition(first round). The variable ordering heuristic is dom/ddeg and the timeout tosolve an instance is set to 20 minutes.
38
Outline
1 Backtrack Search
2 Guiding Search toward Conflicts
3 Restarts with Nogood Recording
4 State-based Reasoning
39
Nogoods
Definition
A standard nogood on P is a set ∆ of positive decisions on P such thatP|∆ is unsatisfiable.
Definition
A generalized nogood on P is a set of positive and/or negative decisions ∆on P such that P|∆ is unsatisfiable.
A generalized nogood can represent an exponential number of standardnogoods.
40
Decisions and Nogoods
Positive Decisionsx = ay = bz = c...
Negative Decisions
x 6= ay 6= bz 6= c...
Standard Nogoods
{x = a, y = b, z = b}{x = a, y = b, z = c}...
Generalized Nogoods
{x = a, y = b, z 6= a}...
41
Decisions and Nogoods
Positive Decisionsx = ay = bz = c...
Negative Decisions
x 6= ay 6= bz 6= c...
Standard Nogoods
{x = a, y = b, z = b}{x = a, y = b, z = c}...
Generalized Nogoods
{x = a, y = b, z 6= a}...
41
Membership Decisions
Definition
A membership decision δ is a restriction on a variable x of the formx ∈ Dx , where Dx ⊆ dominit(x); δ is strict iff Dx ⊂ dominit(x).A membership decision x ∈ Dx on a CN P is such that x ∈ vars(P); it isvalid on P iff Dx ⊆ domP(x) and it is strict on P iff Dx ⊂ domP(x).
A set of membership decisions ∆ is well-formed iff every variable occurs atmost once in ∆.
Remark
For every generalized nogood ∆ on P, there exists a unique well-formedset ∆m of strict membership decisions on P such that P|∆ = P|∆m .
42
Example
If
dominit(x) = {a,b,c}dominit(y) = {a,b,c}dominit(z) = {a,b,c}
Then
∆ = {x = a, y 6= b, y 6= c , z 6= b}is equivalent to
∆m = {x ∈ {a}, y ∈ {a}, z ∈ {a,c}}.
43
Partial State
Definition
A partial state ∆ is a well-formed set of membership decisions ; ∆ is strictiff each membership decision of ∆ is strict. A partial state ∆ on a CN P isa well-formed set of valid membership decisions on P; ∆ is strict on P iffeach membership decision of ∆ is strict on P.
P ∆1
w ∈ {b, c}z ∈ {a, b, d}
∆2
v ∈ {b, d}x ∈ {c}z ∈ {a, b}
∆3
z ∈ {a, b, d}w ∈ {b, c}v ∈ {a, b, c, d}v ∈ {a, b, c, d}
w ∈ {a, b, c, d}x ∈ {a, b, c, d}y ∈ {a, b, c, d}z ∈ {a, b, c, d}Figure: The current state of a constraint network P and three partial states on P.Unlike ∆3, ∆1 and ∆2 are strict on P.
44
Restriction of a CN over a partial state
P
∆
P |∆v ∈ {a, b, c, d}w ∈ {b, c}x ∈ {a, b, c, d}y ∈ {a, b, c, d}z ∈ {a, b, d}
v ∈ {a, b, c, d}w ∈ {a, b, c, d}x ∈ {a, b, c, d}y ∈ {a, b, c, d}z ∈ {a, b, c, d}w ∈ {b, c}
z ∈ {a, b, d}
Figure: The restriction P|∆ of a constraint network P over a (strict) partial state∆ on P. Current states are given for P and P|∆.
45
Dominance
Definition
Let P be a CN and ∆ be a partial state such that vars(∆) ⊆ vars(P). ∆dominates P iff ∀x ∈ vars(∆), domP(x) ⊆ dom∆(x).
∆
w ∈ {b, c}z ∈ {a, b, d}
P ′ P ′′
P
v ∈ {a, b, c, d}w ∈ {b, c}x ∈ {a, b, c, d}y ∈ {a, d}z ∈ {b}
w ∈ {b, c}x ∈ {a, b, c, d}y ∈ {a, d}z ∈ {a, b, c, d}
≺d
v ∈ {a, b, c, d}
≺d
v ∈ {a, b, c, d}w ∈ {a, b, c, d}x ∈ {a, b, c, d}y ∈ {a, b, c, d}z ∈ {a, b, c, d}
Figure: Two constraint networks P ′ and P ′′ (strictly) smaller than P and a partialstate ∆ on P. P ′ is dominated by ∆.
46
State Based Reasoning
Definition
Let P be a constraint network and ∆ be a partial state on P. ∆ is aninconsistent partial state on P, IPS for short, iff P|∆ is unsatisfiable.
Proposition
Let P and P ′ be two constraint networks such that P ′ ≺d P, and ∆ be aninconsistent partial state on P. If ∆ dominates P ′ then P ′ is unsatisfiable.
47
Identifying IPSs
State based reasoning can be perceived as a unifying framework thatencompasses:
Generalized nogoods [KB03, KB05]
Reasoning from failed values [FH93, RM07, LR09]
Dominance detection (for symmetry-breaking)[FSS01, FM01, Pug05, SvH05]
Reduction operators [LSTV07c, LSTV07a]I ρent
I ρprf
I ρjst
48
Removing e-eliminable variables: ρent
Definition
A variable x of a constraint network P is e-eliminable from P iff∀c ∈ cons(P) | x ∈ scp(c), c is entailed.
Definition
For any constraint network P, ρent(P) denotes the partial state{(x ∈ domP(x)) | x ∈ vars(P) ∧ x not e-eliminable from P} on P.
Proposition
If P is an unsatisfiable constraint network then ρent(P) is an inconsistentpartial state (IPS) on every constraint network P ′ �d P.
49
Proof
Proof.
(Sketch) Let ∆ = ρent(P) and let P ′ be a CN such that P ′ �d P. InP ′′ = P ′|∆,
for each x ∈ vars(∆), we have domP′′(x) = dom∆(x) = domP(x)
for each x /∈ vars(∆), we have domP′′(x) = domP′(x).
What distinguishes P from P ′′ is that some values are present in P ′′ butnot in P. But those values necessarily belong to the domain ofe-eliminable variables from P. Consequently, the satisfiability of P ′′ = P ′|∆is equivalent to the satisfiability of P, and so ∆ is an IPS on P ′.
50
Example
v1
v2
v3 v5
v4
v6
x0 = 0
x1 = 1
x2 = 2
x0 = 1
x1 = 0
x2 = 2
x0 6= 0
Figure: Search tree developped by FC (Forward Checking) for the Pigeon holes
51
Example
{{
x4 ∈ {0, 2, 3}x3 ∈ {0, 2, 3}x2 ∈ {0, 2, 3}x1 ∈ {0, 2, 3}x0 ∈ {1}x4 ∈ {1, 2, 3}x3 ∈ {1, 2, 3}x1 ∈ {1, 2, 3}x2 ∈ {1, 2, 3}x0 ∈ {0}
v2 :
v5 :
{{ x0 ∈ {0, 1, 2, 3}
x1 ∈ {0, 1, 2, 3}x2 ∈ {0, 1, 2, 3}x3 ∈ {0, 1, 2, 3}x4 ∈ {0, 1, 2, 3}x0 ∈ {1, 2, 3}x1 ∈ {0, 1, 2, 3}x3 ∈ {0, 1, 2, 3}x2 ∈ {0, 1, 2, 3}x4 ∈ {0, 1, 2, 3}
v1 :
v4 :
x1 ∈ {1}x2 ∈ {2, 3}x3 ∈ {2, 3}
x0 ∈ {1}x1 ∈ {0}x2 ∈ {2, 3}x3 ∈ {2, 3}x4 ∈ {2, 3}
{x4 ∈ {2, 3}
x0 ∈ {0}v3 :
{v6 :
Figure: Pigeon holes: partial states identified at different nodes of the search tree
52
Example
2 3
x3
0
x0
1
x1
2
3
2
3
x4 x2
Figure: cn(v3)
53
Example
2 3
x3
2
3
2
3
x4 x2
x1x0
1 0
Figure: cn(v6)
54
Example
v6 does not need to be explored because
cn(v3) is (proved to be) unsatisfiable,
so, ∆ = ρent(cn(v3)) = {x2 ∈ {2,3}, x3 ∈ {2,3},x4 ∈ {2,3}} is an IPSon P init .
cn(v6) is dominated by ∆
55
Equivalence Detection
Identifying nodes that are not dominated but equivalent to IPSs.
+ simplicity (using a transposition table)
− weaker filtering approach
A transposition table = a hash map (dictionary)
56
Using Transposition Tables
v2
v3
v1
∆1
∆2
Transposition Table
⊥
⊥
∆1 = ρ(cn(v1))
∆2 = ρ(cn(v2))
∆3 = ρ(cn(v3))
Figure: Two inconsistent partial states ∆1 and ∆2 extracted using the operator ρand stored in a transposition table. If the partial state ∆3 belongs to the table, v3
can be discarded.
57
Algorithm 7: binary-φ-searchtt(in P: CN): Boolean
Data: an operator ρ to extract partial statesOutput: true iff P is satisfiable
P = φ(P)if P = ⊥ then
return false
if ∀x ∈ vars(P), |dom(x)| = 1 then// Display the solutionreturn true
∆← ρ(P)s(P init ) // a strict partial state is extractedif ∆ ∈ transpositionTable then
return falseselect a v-value (x ,a) of P such that |dom(x)| > 1if binary-φ-searchtt(P|x=a) ∨ binary-φ-searchtt(P|x 6=a) then
return true
// P is unsatisfiable and ∆ is an IPS on P init
add ∆ to transpositionTablereturn false
58
Strict IPSs
Definition
Let P be a constraint network and ∆ be a partial state on P. ∆s(P)
denotes the set of membership decisions of ∆ that are strict on P.
Proposition
Let P be a constraint network and ∆ be an inconsistent partial state on P.∆s(P) is an inconsistent partial state on P.
This is particularly interesting for equivalence detection.
59
Example
1 3
1 32
1 32
1 32
P1 = AC(P init|y=1)
2
x
z
w
y
y + 1 6= z
w + 1 6= x
y + 1 6= x
w + 1 6= z
(a) Constraint network
∆1 = ρent(P1) =
w ∈ {1, 2, 3}x ∈ {1, 3}z ∈ {1, 3}
∆s(P init)1 =
[x ∈ {1, 3}z ∈ {1, 3}
](b) Partial states
Figure: Extracting a strict partial state from P1 = AC (P init |y=1).
60
Example
1 3
1 32
1 32
1 32 2
x
z
w
y
y + 1 6= z
w + 1 6= x
y + 1 6= x
w + 1 6= z
P2 = AC(P init|w=1)
(a) Constraint network
∆2 = ρent(P2) =
x ∈ {1, 3}y ∈ {1, 2, 3}z ∈ {1, 3}
∆s(P init)2 =
[x ∈ {1, 3}z ∈ {1, 3}
](b) Partial states
Figure: Extracting a strict partial state from P2 = AC (P init |w=1).
61
Experimental Results
MAC
dom/ddeg dom/wdeg
Series # ¬ρ ρent ρjst�prf ¬ρ ρent ρjst�prf
aim 48 32 25 (29) 38 48 43 (47) 48
dubois 13 4 1 (2) 13 5 13 (3) 11
ii 41 10 9 (10) 16 20 18 (19) 31
os-taillard-10 30 4 4 (4) 4 10 10 (10) 13
pigeons 25 13 17 (19) 13 13 16 (18) 10
pret 8 4 4 (4) 8 4 8 (4) 8
ramsey 16 5 3 (5) 5 6 5 (6) 6
scens-11 12 0 0 (0) 4 9 7 (8) 9
193 73 63 (73) 105 115 120 (115) 136
Table: Number of solved instances per series (1,800 seconds allowed perinstance); # is the number of instances per series. Between brackets, results arefor equivalence detection.
62
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