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8/20/2019 Advanced Fixed Income Analytics

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A d v a n c e d F i x e d I n c o m e A n a l y t i c s L e c t u r e 6

B a c k u s & Z i n A p r i l 2 8 , 1 9 9 9

F i x e d I n c o m e M o d e l s : A s s e s s m e n t a n d N e w D i r e c t i o n s

1 . U s e s o f m o d e l s

2 . A s s e s s m e n t c r i t e r i a

3 . A s s e s s m e n t

4 . O p e n q u e s t i o n s a n d n e w d i r e c t i o n s

s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y C o x - I n g e r s o l l - R o s s

v o l a t i l i t y i n p u t s H e a t h - J a r r o w - M o r t o n

m u l t i p l e f a c t o r s

p r i c i n g k e r n e l s a n d r i s k - n e u t r a l p r o b a b i l i t i e s


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A d v a n c e d F i x e d I n c o m e A n a l y t i c s 6 - 2

1 . U s e o f M o d e l s

V a l u a t i o n o f n e w s t r u c t u r e s

a p p r o a c h 1 : l o o k a t c o m p a r a b l e a s s e t s i n t h e m a r k e t

a p p r o a c h 2 : m o d e l s g u a r a n t e e c o n s i s t e n c y w i t h o t h e r

a s s e t s , b u t n o t n e c e s s a r i l y g o o d a n s w e r s

e v e n a b a d m o d e l c a n b e t u n e d t o g e t s o m e p r i c e s r i g h t "

H e d g i n g a n d s e n s i t i v i t y

w h a t ' s t h e D V 0 1 o f a s w a p t i o n ?

w h a t ' s t h e s e n s i t i v i t y t o a 2 0 b p r i s e i n 5 - 7 y e a r s p o t r a t e s ?

m o d e l s c a n b e u s e d t o d o p a r t i a l d e r i v a t i v e " c a l c u l c a t i o n s ,

b u t t h e a n s w e r d e p e n d s o n t h e m o d e l

W h y d i e r e n t m o d e l s f o r d i e r e n t p u r p o s e s ?

m o d e l i n g = n d i n g u s e f u l s h o r t c u t s

y o u t a k e d i e r e n t s h o r t c u t s d e p e n d i n g o n t h e p u r p o s e

t h e k e y i s t o u n d e r s t a n d w h e r e s h o r t c u t s h u r t y o u


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2 . A s s e s s m e n t

Q u e s t i o n s f o r m o d e l s :

d o e s i t r e p r o d u c e c u r r e n t s p o t r a t e s ?

d o e s i t r e p r o d u c e c u r r e n t t e r m s t r u c t u r e o f v o l a t i l i t y ?

a r e s e n s i t i v i t i e s a n d h e d g e r a t i o s r e a s o n a b l e ?

d o e s i t r e p r o d u c e s w a p t i o n v o l a t i l i t y m a t r i x ?

c a n v o l a t i l i t y c h a n g e r a n d o m l y ?

c a n i t r e p r o d u c e v o l a t i l i t y s m i l e s a n d s k e w s ?

d o e s i t a l l o w t w i s t s " i n s p o t r a t e c u r v e ?

S u m m a r y a s s e s s m e n t :

H o - L e e B l a c k - D e r m a n - T o y H u l l - W h i t e

s p o t r a t e s ? y e s y e s y e s

v o l t e r m s t r ? n o y e s n o

s e n s i t i v i t i e s ? n o n o ? m a y b e

v o l m a t r i x ? n o n o n o

r a n d o m v o l ? n o n o n o

s m i l e s ? n o n o n o

t w i s t s ? n o n o n o

A l l m o d e l s h a v e s t r e n g t h s a n d w e a k n e s s e s


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2 . A s s e s s m e n t c o n t i n u e d

H o a n d L e e

t h e i n n o v a t i o n w a s t o m a t c h c u r r e n t s p o t r a t e s

d i d n ' t d o t h e n e x t s t e p : v o l a t i l i t i e s

B l a c k , D e r m a n , a n d T o y

m a t c h e s v o l a t i l i t y t e r m s t r u c t u r e

s h o r t r a t e o r l o g o f s h o r t r a t e ? n o t c l e a r

H u l l a n d W h i t e

p r e m i s e : l a c k o f m e a n r e v e r s i o n a b o v e i s a m i s t a k e

b u t w h e r e d o e s i t h u r t u s ?

s e n s i t i v i e s ? v o l a t i l i t i e s o n l o n g b o n d s s w a p s ?

t e c h n i c a l t r i c k : b u i l d m e a n r e v e r s i o n i n t o t r i n o m i a l t r e e

F o r a l l t h e a b o v e :

f u t u r e v o l a t i l i t y k n o w n n o w

v o l a t i l i t y m a t r i x i m p l i e d b y m o d e l s , n o t a e x i b l e i n p u t

n o v o l a t i l i t y s m i l e s

o n e - f a c t o r s t r u c t u r e s


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3 . V a s i c e k R e v i s i t e d

T h e m o d e l

, l o g m

t + 1

=

2

= 2 + z

t

+ "

t + 1

z

t + 1

= 1 , ' + ' z

t

+ "

t + 1

P r i c i n g r e l a t i o n :

b

n + 1

t

= E

t

m

t + 1

b

n

t + 1

S o l u t i o n i s l o g - l i n e a r :

, l o g b

n

t

= A

n

+ B

n

z

t

w i t h

A

n + 1

= A

n

+

2

= 2 + B

n

1 , ' , + B

n

2

= 2

B

n + 1

= 1 + B

n

'

s t a r t w i t h A

0

= B

0

= 0

F o r w a r d r a t e s

d e n i t i o n i s

f

n

t

= l o g b

n

t

= b

n + 1

t

V a s i c e k s o l u t i o n i s

f

n

t

= '

n

z

t

+ c o n s t a n t

n o t e : s e n s i t i v i t y t o z d e c l i n e s w i t h n i f 0 ' 1

t h i n k : H o - L e e a n d B D T s e t ' = 1


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4 . S t o c h a s t i c V o l a t i l i t y

C o x - I n g e r s o l l - R o s s m o d e l

, l o g m

t + 1

= 1 +

2

= 2 z

t

+ z

1 = 2

t

"

t + 1

z

t + 1

= 1 , ' + ' z

t

+ z

1 = 2

t

"

t + 1

C o m m e n t s :

c o n d i t i o n a l v a r i a n c e v a r i e s w i t h z : V a r

t

z

t + 1

=

2

z

t

s q u a r e r o o t k e e p s z p o s i t i v e

m e a n r e v e r s i o n

S o l u t i o n i s l o g - l i n e a r l i k e V a s i c e k :

, l o g b

n

t

= A

n

+ B

n

z

t

w i t h

A

n + 1

= A

n

+ B

n

1 , ' , + B

n

2

= 2

B

n + 1

= 1 +

2

= 2 + B

n

' , + B

n

2

= 2

s t a r t w i t h A

0

= B

0

= 0

I l l u s t r a t e s a s t a n d a r d t r i c k f o r a l l o w i n g v o l a t i l i t y t o v a r y

s t o c h a s t i c a l l y "


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5 . H e a t h , J a r r o w , a n d M o r t o n

O v e r v i e w :

a p p r o a c h b a s e d o n f o r w a r d r a t e s

a l l o w s i n p u t o f v o l a t i l i t y m a t r i x

m a n y v a r i a n t s | w e f o c u s o n a l i n e a r o n e

P r i c i n g r e l a t i o n f o r f o r w a r d r a t e s :

1 = E

t

m

t + 1

R

t + 1

l o g R

t + 1

= r

t

,

n

X

j = 1

f

j , 1

t + 1

, f

j

t

n o t h i n g h e r e b u t b a s i c a l g e b r a

B e h a v i o r o f f o r w a r d r a t e s w e s t a r t t o g e t s p e c i c h e r e :

f

n , 1

t + 1

= f

n

t

+

n t

+

n t

"

t + 1

C o m m e n t s :

n o t e t h e v o l a t i l i t y i n p u t

n t

: v a r i e s w i t h d a t e t a n d

m a t u r i t y n a m a t r i x !

l i n e a r s t r u c t u r e c o m m o n , n o t n e c e s s a r y

V a s i c e k i s s i m i l a r :

f

n , 1

t + 1

= f

n

t

+ c o n s t a n t + '

n , 1

"

t + 1

n o t e t h e s p e c i c r e l a t i o n o f v o l a t i l i t y t o m a t u r i t y

r e t u r n i s

l o g R

t + 1

= r

t

,

n

X

j = 1

j t

,

n

X

j = 1

j t

"

t + 1

= r

t

, A

n t

, S

n t

"

t + 1

A a n d S a r e p a r t i a l s u m s

o t h e r v e r s i o n s h a v e m u l t i p l e " ' s


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5 . H e a t h , J a r r o w , a n d M o r t o n c o n t i n u e d

A r b i t r a g e - f r e e p r i c i n g

a p r i c i n g k e r n e l :

, l o g m

t + 1

=

t

+

t

"

t + 1

p r i c i n g r e l a t i o n i m p o s e s r e s t r i c t i o n s :

A

n t

,

t

S

n t

, S

2

n t

= 2 = 0

C a l i b r a t i o n

i n p u t s :

c u r r e n t f o r w a r d r a t e s : f f

n

t

g

n

v o l a t i l i t y m a t r i x : f

n t

g

n t

d r i f t p a r a m e t e r s f

n t

g c h o s e n t o s a t i s f y a r b i t r a g e r e l a t i o n

o p e n q u e s t i o n : s e t

t

= 0 ? m o r e s h o r t l y

I m p l e m e n t a t i o n o n t r e e s

a W a l l S t r e e t s t a n d a r d

a t e a c h n o d e w e h a v e c o m p l e t e f o r w a r d r a t e c u r v e

b r a n c h e s d o n ' t t y p i c a l l y r e c o m b i n e "


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6 . V o l a t i l i t y S m i l e s a n d S k e w s

A p p r o a c h e s :

t s m o o t h c u r v e t o o b s e r v e d i m p l i e d v o l a t i l i t i e s

b u t : n o t a l l s m o o t h c u r v e s a r e a r b i t r a g e - f r e e

i m p l i e d b i n o m i a l t r e e s " t h a t a l l o w v o l a t i l i t y t o v a r y a c r o s s

s t a t e s a s w e l l a s d a t e s s e e C h r i s s ' s b o o k

c o n t i n u o u s m o d e l s t h a t e x t e n d B l a c k - S c h o l e s l o g i c t o

n o n - n o r m a l d i s t r i b u t i o n s

G r a m - C h a r l i e r s m i l e s

i n V a s i c e k , n o r m a l " l e a d s t o B l a c k - S c h o l e s p r i c e s f o r z e r o s

G r a m - C h a r l i e r e x p a n s i o n a d d s t e r m s f o r s k e w n e s s

1

a n d

k u r t o s i s

2

t o t h e n o r m a l w h e r e

1

=

2

= 0

W u ' s a p p r o x i m a t i o n o f a v o l a t i l i t y s m i l e :

v =

"

1 ,

1

3 !

d ,

2

4 !

1 , d

2

w h e r e

d =

l o g F = K + v

2

= 2

v

i n t u i t i o n :

p o s i t i v e s k e w n e s s r a i s e s v a l u e o f o u t - o f - t h e - m o n e y c a l l s

p o s i t i v e k u r t o s i s r a i s e s p r o b a b i l i t y o f e x t r e m e e v e n t s

a n d v a l u e o f o u t - o f - t h e - m o n e y p u t s a n d c a l l s


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A d v a n c e d F i x e d I n c o m e A n a l y t i c s 6 - 1 0

7 . M u l t i - F a c t o r M o d e l s

P r o b l e m s w i t h o n e - f a c t o r m o d e l s

c h a n g e s i n r a t e s o f a l l m a t u r i t i e s t i e d t o a s i n g l e r a n d o m

v a r i a b l e "

s h i f t s i n s p o t r a t e c u r v e c o m e i n o n l y o n e t y p e p a r a l l e l ?

c o r r e l a t i o n o f s p o t r a t e s a c r o s s m a t u r i t i e s r e s t r i c t e d

s p r e a d s t y p i c a l l y n o t v a r i a b l e e n o u g h

E x a m p l e : T w o - f a c t o r V a s i c e k

t h e m o d e l :

, l o g m

t + 1

= +

X

i

2

i

= 2 + z

i t

+

i

"

j t + 1

z

i t + 1

= ' z

i t

+

i

"

i t + 1

s o l u t i o n i n c l u d e s

f

n

t

= +

1

2

X

i

2

4

2

i

,

i

+

1 , '

n

i

1 , '

i

i

!

2

3

5

+

X

i

'

n

i

z

i t

s t a n d a r d s o l u t i o n : '

1

c l o s e t o o n e , '

2

s m a l l e r

z

1

g e n e r a t e s a l m o s t p a r a l l e l s h i f t s , z

2

t w i s t s "

l o n g r a t e s d o m i n a t e d b y z

1

, s p r e a d s b y z

2

g e n e r a t e s b e t t e r b e h a v i o r o f s p r e a d s


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8 . P r i c i n g K e r n e l s a n d R i s k - N e u t r a l P r o b a b i l i t i e s

W e ' v e t a k e n t w o a p p r o a c h e s t o v a l u a t i o n

a p r i c i n g k e r n e l V a s i c e k , f o r e x a m p l e

r i s k - n e u t r a l p r o b a b i l i t i e s b i n o m i a l m o d e l s

H o w a r e t h e y r e l a t e d ?

T w o - p e r i o d s t a t e p r i c e s

q

u

i s v a l u e n o w o f 1 d o l l a r i n u p s t a t e n e x t p e r i o d

q

d

i s v a l u e n o w o f 1 d o l l a r i n d o w n s t a t e n e x t p e r i o d

v a l u a t i o n o f c a s h o w s c

u

; c

d

f o l l o w s

p = q

u

c

u

+ q

d

c

d

o n e - p e r i o d d i s c o u n t f a c t o r i s b = q

u

+ q

d

= e x p , r h

R i s k - n e u t r a l p r o b a b i l i t i e s

d e n e

u

= q

u

= q

u

+ q

d

,

d

= q

d

= q

u

+ q

d

n o t e :

u

;

d

a r e p o s i t i v e a n d s u m t o o n e

t h e y ' r e p r o b a b i l i t i e s !

v a l u a t i o n f o l l o w s

p = e x p , r h

u

c

u

+

d

c

d

P r i c i n g k e r n e l

d e n e q

u

=

u

m

u

, q

d

=

d

m

d

t r u e p r o b a b i l i t i e s "

v a l u a t i o n f o l l o w s

p =

u

m

u

c

u

+

d

m

d

c

d


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8 . P r i c i n g K e r n e l s a n d R i s k - N e u t r a l P r o b a b i l i t i e s c o n t ' d

W h e r e ' s t h e p r i c i n g k e r n e l i n a b i n o m i a l m o d e l ?

g u r e i t o u t :

, l o g m

t + 1

=

+ r

t

+ "

t + 1

;

w i t h

= l o g

u

=

u

+

d

l o g

d

=

d

2 = l o g

u

=

d

, l o g

d

=

d

s u m m a r y : i s b u i l t i n t o t h e d i e r e n c e b e t w e e n t r u e a n d

r i s k - n e u t r a l p r o b a b i l i t i e s a n d i s z e r o w h e n t h e t w o a r e

e q u a l

I s = 0 a m i s t a k e ?

i n p r i n c i p l e y e s : i f k e r n e l i s w r o n g , v a l u a t i o n i s w r o n g

c a v e a t : B l a c k - S c h o l e s p r i c i n g d o e s n ' t d e p e n d d i r e c t l y o n

s o m a y b e i t ' s n o t a b a d m i s t a k e i n g e n e r a l

b o t t o m l i n e : w h o k n o w s ?


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S u m m a r y

1 . M o d e l s a r e

s i m p l i c a t i o n s o f r e a l i t y

w a y s t o e n s u r e c o n s i s t e n c y o f p r i c i n g a c r o s s a s s e t s

o n l y a s g o o d s a n d o o r s a n d s w a p t i o n s

2 . B i n o m i a l m o d e l s c a p t u r e s o m e o f t h e e l e m e n t s o f o b s e r v e d a s s e t

p r i c e s , b u t m o s t v e r s i o n s l e a v e s o m e i s s u e s o p e n :

s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y

v o l a t i l i t y s m i l e s a g a i n , m o r e w o r k

m u l t i p l e f a c t o r s p o s s i b l e , j u s t m o r e w o r k

c a n w e i g n o r e ?

3 . M o d e l i n g r e m a i n s a s m u c h a r t a s s c i e n c e

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