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Bibliografia:

University of New South Wales; Department of Music Acoustics: http://www.phys.unsw.edu.au/music/Dr. Dan Russell, Grad. Prog. Acoustics, Penn State, http://www.acs.psu.edu/drussell/La scienza del suono - ZanichelliCampbell and Grated - The musician’s guide to acoustics - Oxford PressFletcher and Rossing - The physics of musical instruments - Springer-Verlag, New York, 1991Cingolani S., Spagnolo R. - Acustica Musicale e Architettonica - Ed. Utet UniversitàA. Frova - Fisica nella musica - ed. Zanichelli“Fisica Onde Musica” http://fisicaondemusica.unimore.it/Five lectures on the Acoustics of the piano © 1990 Royal Swedish Academy of MusicH. Helmholtz, On the sensation of tone as a physiological basis for the theory of music; Dover Publications,New York, 1954J. W. S. Rayleigh, The theory of sound; Dover Publications, New York, 1945Morse - Vibrations and sound - Mc Graw Hill, 1948

Immagini, animazioni e video:

Joe Wolf - licensed under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-No Derivative Works 2.5Australia LicenseDr. Dan Russell, Grad. Prog. Acoustics, Penn State, http://www.acs.psu.edu/drussell/Joe Wolf - licensed under a Creative Commons Attribution-Noncommercial-No Derivative Works 2.5Australia Licensehttp://fisicaondemusica.unimore.it: Licenza Creative Commons: Attribuzione - Non commerciale -Condividi allo stesso modo 2.5 o successive.

Acustica degli Strumenti musicali - strumenti a corda

Modello di corda reale

Per ottenere una descrizione più realistica del comportamento di una corda è necessario includere nelmodello dei termini che tengono conto di fenomeni che avvengono nelle corde reali e che sono importantidal punto di vista percettivo.I principali che si considerano sono:

- attrito interno

- attrito viscoso con il fluido circostante

- trasferimento di energia ad un altro sistema vibrante

- rigidità

I primi tre termini sono smorzamenti, descritti dalle rispettive costanti di tempo (tempo necessario affinchèl’ampiezza diminuisca di un fattore di 1/e) (v. oscillatore smorzato).E’ possibile definire una costante di tempo complessiva:

!

1"

=1" i

+1" v

+1" t

Attrito interno

Rappresenta l’attrito che si genera tra parti adiacenti della corda, a livello microscopico. A seconda deimateriali può quindi avere origini differenti ma sempre riconducibili al moto relativo delle parti. Il suo effetto èuno smorzamento dipendente dalla frequenza. Nelle corde reali infatti gli ipertoni alti si smorzano piùrapidamente di quelli bassi e della fondamentale, in funzione del materiale: nelle corde di budello o di nylon ilfenomeno è più accentuato che nelle corde di metallo, a parità di condizioni. In quest’ultime in molti casiquesto termine può essere considerato trascurabile.

La costante di tempo relativa allo smorzamento interno può quindi essere espressa nel seguente modo:

τi decresce proporzionalmete con la frequenza ed è indipendente dal raggio, dalla lunghezza e dallatensione della corda

!

" i #1f

Attrito viscoso

Lo studio dell’attrito viscoso di una corda vibrante fu portato a termine da Stokes (1851), il quale mostrò chegli effetti sono di due tipi:

1) lieve abbassamento delle frequenze dei modi (inarmonicità negativa)2) decadimento esponenziale dell’ampiezza

La costante di tempo relativa allo smorzamento dovuto all’attrito viscoso con l’aria assume due andamentidistinti:

a basse frequenze

ad alte frequenze

Quindi per allungare il tempo di decadimento (dovuto all’attrito viscoso) si possono usare corde spesse e dimateriale denso

!

" v1#$r2

!

" v1#$rf

Trasferimento di energia

Le corde cedono energia sia al capotasto e alla cordiera, ma soprattutto ai ponticelli. La costante di temporelativa allo smorzamento dovuto al trasferimento di energia ai supporti può essere scritta nel seguentemodo:

m la massa totale della cordaR la resistenza meccanica

τt decresce quindi con il quadrato della frequenza!

" t =R

8mf 2

Rigidità

una corda rigida è soggetta, quando flessa, ad una forza di richiamo elastica. E’ un effetto che può esseretrascurato per le corde molto sottili, quali quelle di archi, chitarre, cetre e mandolini, ma è molto rilevante perle corde di pianoforte, specialmente per quelle dei registi gravi.

L’effetto di questo termine è la dispersione, ovvero la variazione della velocità di propagazione nellafrequenza. La conseguenza è la comparsa di inarmonicità, questa volta positiva, ovvero che producefrequenze maggiori delle parziali armoniche.La frequenza dell’ipertono n nel caso di una corda rigida appoggiata agli estremi è data dalla seguenteformula:

f10 = frequenza della fondamentale nel caso privo di rigidità

Y = modulo di YoungS = sezioneT = tensioneK = raggio di girazione

!

fn = nf10 1+ Bn2

!

B =" 2YSKTL2

Nel caso di estremi fissati rigidamente, un’espressione approssimata è la seguente:

Quando le estremità sono rigide quindi le frequenze si alzano leggermente.

f10 = frequenza della fondamentale nel caso privo di rigidità

Y = modulo di YoungS = sezioneT = tensioneK = raggio di girazione

!

fn = nf10 1+ Bn2 1+

2"

B +2"

#

$ %

&

' (

2

B)

* + +

,

- . .

Corda pizzicata

Deformazione iniziale corrispondente allo spostamento di un punto della corda e dal suo rilasciamento.Analizziamo il caso in cui la deformazione è applicata al centro:

La forma d’onda è triangolare e la corrispondente serie di Fourier è data dai soli modi dispari, aventi fasialternate e la cui ampiezza rispetto alla fondamentale è scalata del fattore 1/n2.

Meccanismi di eccitazione

Nel caso in cui la corda sia pizzicataad una distanza L/2, quindi gliarmonici il cui ordine è multiplo di 2sono nulli. Nello stesso modo se ilpunto in cui è pizzicata è L/5, sononulli gli armonici il cui ordine è multiplodi 5 e così via:

acviguit_04.wav

!

An =h2

mn"#

$ %

&

' (

2

sin n"m

#

$ %

&

' (

Più in generale se la corda è pizzicata ad una distanza pari a L/m, per calcolare l’ampiezza dei modi sipuò utilizzare la seguente formula:

Dove h è lo spostamento della corda nel punto in cui è pizzicata

n è l’indice di modo

L’evoluzione temporale dell’onda è la seguente (Fletcher-Rossing):

I due impulsi sono descritti dalle soluzioni dell’equazione d’onda:

Stima forze sul ponte

Le componenti della forza (tensione) in direzionelongitudinale e trasversale alla corda sono:

FT=(T0+ΔT)sinθ

FL=(T0+ΔT)cosθ

L’aumento di tensione ΔT può essere espresso con leleggi dell’elasticità in questo modo:

dove

Y è il modulo di Young

S è la sezione della corda!

"T =YSL"L

Componente trasversale:

La corda si muove descrivono un parallelogramma, percui ai ponticelli gli angoli sono costanti. Per spostamentiabbastanza piccoli possiamo scrivere:

Quindi le due forze che agiscono sugli estremi sono:

!

sin"1 #d$Lo

;

sin" 2 #d

L0 % $Lo=

d1% $( )Lo

!

FT 1 " Td#Lo

;

FT 2 " Td

1$ #( )Lo

Componente longitudinale:

La variazione della forza è dovuta alla variazione della lunghezza e può essere espressa come:

Corda pizzicata

Video dan russel plucked string

La rigidità della curva fa si che lo spigolo assuma la forma arrotondata:

Questo provoca sia inarmonicità positiva che attenuazione delle alte frequenze

Forze di attrito

Quando cerchiamo di far scorrere due superfici una sull’altra (es. un mobile sul pavimento), dobbiamoapplicare una forza più grande della forza resistente, che è rappresentata dall’attrito. L’attrito è dovuto allemicro-asperità presenti a livello microscopico sulle due superfici.

Esistono due tipi di attrito nel moto traslatorio:

- statico

- dinamico

Il primo interviene quando le due superfici sono in quiete tra loro, il secondo quando sono in movimento.Entrambe le forze sono espresse da una relazione simile:

ma i due coefficienti sono diversi: in generale µs> µd

!

Fas = µs "FpFad = µd "Fp

Superfici µs µdLegno - legno 0,50 0,30Acciaio - acciaio 0,78 0,42Acciaio - acciaio lubrificato 0,11 0,05Acciaio - alluminio 0,61 0,47Acciaio - ottone 0,51 0,44Acciaio - teflon 0,04 0,04Acciaio - ghiaccio 0,027 0,014Acciaio - aria 0,001 0,001Acciaio - piombo 0,90 n.d.Acciaio - ghisa 0,40 n.d.Acciaio - grafite 0,10 n.d.Acciaio - plexiglas 0,80 n.d.Acciaio - polistirene 0,50 n.d.Rame - acciaio 1,05 0,29Rame - vetro 0,68 0,53Gomma - asfalto (asciutto) 1,0 0,8Gomma - asfalto (bagnato) 0,7 0,6Vetro - vetro 0,9 - 1,0 0,4Legno sciolinato - neve 0,10 0,05

Arco - corda

L’interazione dell’arco con la corda è il susseguirsi ciclico dei duefenomeni di attrito statico e dinamico. La resina applicata all’arcoserve ad aumentare il coefficiente di attrito statico, in modo dadifferenziare le due fasi: µs>> µd .

In questo modo l’arco trascina con sé la corda, finchè la forzaapplicata non supera l’attrito statico (figg. 1-5). In questo tempo,l’angolo che si è formato nella corda si sposta seguendo unatraiettoria parabolica fino all’estremità e viene riflesso.

A quel punto l’arco scivola sulla corda, permettendole di ritornarenella posizione di riposo e di deformarsi in verso opposto. Nelfrattempo l’angolo ha raggiunto nuovamente la posizione dell’arco,e i due si muovono all’incirca con la stessa velocità (ovvero lavelocità relativa è 0: attrito statico).

Il ciclo ha la stessa durata del percorso dell’onda sulla corda (dameno di un millisecondo per il violino a diversi centesimi sulcontrabbasso), perciò è “sincronizzato” con le onde stazionarie chesi formano. Pertanto l’azione dell’arco massimizza l’armonicità delcontenuto spettrale. In questo ciclo vi sono bruschi cambiamenti didirezione del moto della corda, che implicano maggiore energianelle armoniche superiori. Questo contribuisce alla ricchezza,brillantezza e al volume del suono.

Questo è chiamato moto di Helmholtz.

Courtesy of Joe Wolf - University of New South Wales; Department of Music Acoustics

Courtesy of © Heidi Hereth - University of New South Wales; Department of Music Acoustics

Bowed string in slow motion

Bowed violin in slow motion

Bowed violin string in slow motion

Stima dello spostamento della corda al punto di sfregamento

Poniamo:

Vk = velocità di propagazione dell’angoloL = lunghezza della cordaf = frequenzava = velocità dell’arco

La velocità è uguale a:

Supponiamo che il punto di contatto arco/corda sia alla distanza L/n dal ponticello. Durante la fase di“trascinamento” l’angolo percorre la distanza dal punto all’estremo e ritorno:

nel tempo

Nello stesso tempo l’arco (insieme alla corda) percorre la distanza

Quindi l’ampiezza del moto è proporzionale alla velocità dell’arco e inversamente proporzionale allafrequenza.

!

Vk =2L1f

= 2 fL

!

D = 2 L " Ln

#

$ %

&

' ( = 2

n "1( )n

!

t =DV

=2L n "1

n#

$ %

&

' (

2 fL=n "1nf

!

A = va " t = van #1nf

Da questo possiamo dedurre che spostando la posizione di contatto (mantenendo la velocità costante),l’ampiezza dell’oscillazione in quel punto è minima quando n=2 (al centro), mentre cresce al crescere di n. Pern molto grande (verso le estremità) l’ampiezza al punto di contatto è massima.

!

A = v " t = v n #1nf

forza al ponticello

Per mantenere il moto di Helmholtz è necessario applicare una forza definita, come possiamo dedurre dalseguente grafico:

Per una data velocità la forza necessaria è maggiore quando ci si avvicina al ponticello, e l’intervallo di forzapermessa è più ristretto.

For bowing harmonics, the story is morecomplicated. For the second harmonic,there are two cycles of stick slip in thetime that a kink takes to make onecomplete return trip along the string.However, there are two kinks travellingat any time, L/2 apart. Each time one ofthem arrives at the bow after a reflectionfrom the distant end, it initiates a slip.When it arrives from a reflection at thecloser end, it initiates a stick phase. Thedifferences between bowing thefundamental and bowing the secondharmonic are shown in a graphic at thebottom of the page.

Corda percossa

Fisicamente il moto della corda può essere descritto nelseguente modo. Quando il martello colpisce la cordaquest’ultima si deforma al punto di collisione. Il risultato è ilformarsi di due onde viaggianti in direzioni opposte. La forma èinizialmente simile all’impulso, per poi allargarsi con il tempo.

Quando l’impulso raggiunge la terminazione rigida vieneriflesso con inversione di fase e la stessa situazione si ripetequando raggiunge l’altra terminazione e così via.

Moto dell’impulso sulla corda, somma dei modi divibrazione della corda e spettro risultante.

Animazione corda pizzicata sfregata percossa:

http://www.oberlin.edu/faculty/brichard/Apples/StringsPage.htmlhttp://www.oberlin.edu/faculty/brichard/Apples/StringModesPage.htmlhttp://www.oberlin.edu/faculty/brichard/Apples/HarmonicsPage.htmlBruce Richards Oberlin College Department of Physics & Astronomy

http://fisicaondemusica.unimore.it/Cordofoni.html

Notice that both sounds have the clear pitch associated with a highly periodic signal and that, in both cases, thepitch is that of the transverse fundamental. This pitch corresponds to the period (26 ms) that is clearly visible inthe time domain graphs. The pitch frequency (40 Hz) is the strongest harmonic in the transverse wave, and isalso of course the spacing between adjacent harmonics. In the torsional wave, it is also the spacing of harmonics,but the fundamental at this frequency is very weak. The transverse velocity wave sounds rather like a bowed bassstring. The similarity is not surprising: both are bowed strings. (The spectra are very different, of course.Although the force exerted on the bridge increases with frequency when compared with velocity, this is in partoffset by the lack of filtering by the radiativity of the instrument.) The angular velocity wave also soundssomewhat like a bowed bass that has been filtered in an odd way: the rich harmonic content and the initialtransients suggest a bowed string. The formants around 225 and 450 Hz are near the frequencies of the naturalresonances of the torsional wave, in the absence of a bow. These are so strong, however, that one or both of theharmonics may be heard individually in the torsional sound file.

AUDIO