UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍAFACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS

PROBLEMA ABP“En la Feria Escolar de Física”

CURSOFísica II – CB312V

DOCENTELic. Percy Cañote Fajardo

INTEGRANTESBaldoceda Puentes, Jushua 20101379JChapoñan Chamorro, Cristina 20100419HGuerrero Zurita, Francisco 20104560GPacheco Castillo, Ricardo 20100309H

PERIODO ACADEMICO2012-II

FECHAMartes 30 de Octubre del 2012

Índice

I. ABP: Aprendizaje Basado en Problemas 2

1. Objetivos del Aprendizaje Basado En Problemas 2

2. Método del Aprendizaje Basado En Problemas 3

3. Proceso del Aprendizaje Basado En Problemas 3

4. Caso de aplicación del ABP: Problema “En la feria Escolar de Física” 4

II. Marco Teórico 6

1. DCL: Diagrama de Cuerpo Libre 6

2. Segunda Ley de Newton 6

3. Campo Eléctrico 7

4. Fuerza Magnética 7

5. Ley de Biot-Savart 8

III. Solución del problema ABP 9

1. Posibles soluciones 9

2. Métodos de Solución 9

a. Usando Campo Eléctrico 9

b. Usando Campo Magnético 15

c. Preguntas propuestas 22

3. Conclusiones 26

4. Bibliografía……………………………………………………………………………………………………………. 26

2

I. ABP: APRENDIZAJE BASADO EN PROBLEMAS

El ABP es un método docente basado en el estudiante como protagonista de su propio aprendizaje. En este método, el aprendizaje de conocimientos tiene la misma importancia que la adquisición de habilidades y actitudes. Es importante comprender que es una metodología y no una estrategia de enseñanza.

Con el ABP, el profesor presenta un problema sin que se haya realizado una clase, tarea o ejercicios. Dado que el contenido no es impartido, el aprendizaje se activa en el sentido que se descubre y trabaja con el contenido que se determina necesario para resolver el problema. En otras palabras, el profesor actúa como facilitador y mentor, más que como una fuente de soluciones. El Aprendizaje Basado en Problemas le brinda al estudiante las oportunidades para

1. Evaluar e intentar lo que conoce2. Descubrir lo que necesita aprender 3. Desarrollar sus habilidades interpersonales para lograr un desempeño más alto en

equipos. 4. Mejorar sus habilidades de comunicación 5. Establecer y defender posiciones con evidencia y argumento sólido 6. Volverse más flexible en el procesamiento de información y enfrentar obligaciones 7. Practicar habilidades que necesitará para su educación

1. Objetivos del Aprendizaje Basado en Problemas

El ABP busca un desarrollo integral en los alumnos y conjuga la adquisición de conocimientos propios de la especialidad de estudio, además de habilidades, actitudes y valores. Se pueden señalar los siguientes objetivos del ABP:

8. Promover en el alumno la responsabilidad de su propio aprendizaje.9. Desarrollar una base de conocimiento relevante caracterizada por profundidad y

flexibilidad.10. Desarrollar habilidades para la evaluación crítica y la adquisición de nuevos

conocimientos con un compromiso de aprendizaje de por vida.11. Desarrollar habilidades para las relaciones interpersonales.12. Involucrar al alumno en un reto (problema, situación o tarea) con iniciativa y

entusiasmo.13. Desarrollar el razonamiento eficaz y creativo de acuerdo a una base de conocimiento

integrada y flexible.

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14. Monitorear la existencia de objetivos de aprendizaje adecuados al nivel de desarrollo de los alumnos.

15. Orientar la falta de conocimiento y habilidades de manera eficiente y eficaz hacia la búsqueda de la mejora.

16. Estimular el desarrollo del sentido de colaboración como un miembro de un equipo para alcanzar una meta común.

2. Método del Aprendizaje Basado en Problemas

Consiste en que un grupo de estudiantes de manera autónoma, aunque guiados por el profesor, deben encontrar la respuesta a una pregunta o solución a un problema de forma que, al conseguir resolverlo correctamente, suponga que los estudiantes tuvieron que buscar, entender e integrar y aplicar los conceptos básicos del contenido del problema así como los relacionados. Los estudiantes, de este modo, consiguen elaborar un diagnóstico de las necesidades de aprendizaje, construir el conocimiento de la materia y trabajar cooperativamente.

En sentido estricto, el ABP no requiere que se incluya la solución de la situación o problema presentado. Al inicio de una materia, el estudiante no tiene suficientes conocimientos y habilidades que le permitan, en forma efectiva, resolver el problema. A lo largo del proceso educativo, a medida que el estudiante progresa en el programa se espera que sea competente en planificar y llevar a cabo intervenciones que le permitirán, finalmente resolver el problema de forma adecuada (construcción del conocimiento). Y todo ello, trabajando de manera cooperativa.

3. Proceso de aprendizaje con APB

La diferencia entre el aprendizaje tradicional y el ABP está, básicamente, en que el carácter lineal del proceso de aprendizaje se genera en el primero y el carácter cíclico del segundo. En el aprendizaje tradicional, la identificación de necesidades de aprendizaje y la exposición de conocimientos está a cargo del profesor. En el ABP, el alumno adquiere el máximo protagonismo al identificar sus necesidades de aprendizaje y buscar el conocimiento para dar respuesta a un problema planteado, lo que a su vez genera nuevas necesidades de aprendizaje.

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Identificación de nuevas necesidades

4. Caso de aplicación del ABP: Problema “En la feria Escolar de Física”

Pedro y José ajustan los últimos detalles de su exposición científica. Pedro ha fijado correctamente su banda de hule a cuatro soportes aislantes R, S, T y U, asegurándose que la banda se ajuste adecuadamente con el rodillo metálico C(Cu). Con esto su banda ha quedado conectada a tierra. Pedro será el encargado de hacer la explicación del trabajo.

José ha terminado de ajustar las escobillas metálicas E contra la banda de hule, y ha comprobado que al hacer girar la manivela el rozamiento produce la electrización de aquella. Él será el encargado de mover la manivela.

Todo parece indicar que ellos han acusado esmero en su trabajo y que el generador de cargas electrostáticas de su invención ha quedado listo para su presentación.

Pedro y José tienen planeado hacerle una broma a Luis, que perteneciendo al grupo de trabajo es el que menos ha contribuido en su elaboración, sin embargo se le ha prometido que lo consideraran ante el jurado, siempre que se anime a hacer una pequeña demostración del nivel de electrización de la banda. La broma consistirá en hacerle tocar la banda cargada con un delgado cable de cobre pero sin que él se dé cuenta.

El trabajo de Luis consistirá en dejar libre a una pequeña esfera de espuma plástica desde un punto P cerca de la banda que deberá estar previamente electrizada negativamente por frotación. Entonces se apreciará que la esferilla sube verticalmente alejándose de la banda por efecto de repulsión, demostrándose así que la banda se electrizada por fricción con las escobillas.

Iniciado el evento, el jurado le pide al grupo hacer la explicación de su trabajo. Pedro empieza demostrando que la banda se encuentra inicialmente descargada. A continuación José empieza a mover impetuosamente la manivela y Luis sin que se lo indiquen sus compañeros suelta la esferilla cargada, observándose que ésta no sube verticalmente sino más bien sale siguiendo una trayectoria que no había sido prevista.

¿Qué causas justificarían tan inesperado resultado?

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PREGUNTAS ADICIONALES

1. Sabiendo que toda superficie uniformemente cargada provoca un campo eléctrico uniforme. En el experimento dado ¿qué efecto produce sobre este campo el desplazamiento de la banda?

2. Colocando la esferilla electrizada negativamente y en reposo muy cerca de la banda electrizada y en reposo, ésta logra ascender verticalmente. Explica las razones que justifican este comportamiento.

3. En base a la situación de la pregunta anterior, supongan ahora que la banda se encuentra en movimiento, se sabe que al liberar la esferilla no sigue la trayectoria vertical. Elabore una hipótesis de existencia de la causa que genera el cambio de una trayectoria vertical por otra distinta.

4. En una situación hipotética supongan que en lugar de una banda electrizada en movimiento, existan un conjunto de cables conduciendo corriente en la dirección del movimiento de aquella. Al repetir la experiencia anterior ¿la trayectoria de la esferilla sería como cuando la banda electrizada se desplazaba?

5. Si en lugar de la carga eléctrica se instala una brújula en un plano paralelo a la banda en movimiento, se observará que la aguja de ésta se perturba. ¿De qué naturaleza es la fuerza que afecta a la brújula? ¿Es esta fuerza de la misma naturaleza que la que afecta a la esferilla cargada cuando ésta se mueve?

6. En base a la situación de la pregunta anterior, la fuerza sobre la aguja de la brújula está asociada a un campo magnético. ¿Son suficientes los datos para determinar qué dirección tiene dicho campo magnético?. Si es así ¿cuál es esa dirección en las proximidades de la banda electrizada y en movimiento?

7. Existe alguna relación entre las direcciones del campo magnético, de la dirección de la velocidad de la esferilla y de la fuerza magnética aplicada sobre ella. Expliquen.

8. Elaboren un DCL de la esferilla electrizada para el caso dado en el experimento original. ¿Qué forma tiene la trayectoria que describe la esferilla mientras está cayendo en dicho experimento?

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II. MARCO TEÓRICO

1. DCL: Diagrama de Cuerpo Libre

Un diagrama de cuerpo libre es una representación gráfica utilizada a menudo por físicos e ingenieros para analizar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo libre. El diagrama de cuerpo libre es un caso particular de un diagrama de fuerzas. En español, se utiliza muy a menudo la expresión diagrama de fuerzas como equivalente a diagrama de cuerpo libre, aunque lo correcto sería hablar de diagrama de fuerzas sobre un cuerpo libre o diagrama de fuerzas de sistema aislado. Estos diagramas son una herramienta para descubrir las fuerzas desconocidas que aparecen en las ecuaciones del movimiento del cuerpo. El diagrama facilita la identificación de las fuerzas y momentos que deben tenerse en cuenta para la resolución del problema. También se emplean para el análisis de las fuerzas internas que actúan en estructuras.

2. Segunda Ley de Newton

La segunda ley del movimiento de Newton dice que el cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime. Esta ley explica qué ocurre si sobre un cuerpo en movimiento (cuya masa no tiene por qué ser constante) actúa una fuerza neta: la fuerza modificará el estado de movimiento, cambiando la velocidad en módulo o dirección. En concreto, los cambios experimentados en la cantidad de movimiento de un cuerpo son proporcionales a la fuerza motriz y se desarrollan en la dirección de esta; esto es, las fuerzas son causas que producen aceleraciones en los cuerpos. Consecuentemente, hay relación entre la causa y el efecto, esto es, la fuerza y la aceleración están relacionadas. Dicho sintéticamente, la fuerza se define simplemente en función del momento en que se aplica a un objeto, con lo que dos fuerzas serán iguales si causan la misma tasa de cambio en el momento del objeto.

En términos matemáticos esta ley se expresa mediante la relación:

Fneta=d pdt

donde p es la cantidad de movimiento y F la fuerza total. Bajo la hipótesis de constancia de la masa y pequeñas velocidades, puede reescribirse más sencillamente como:

a= 1m

F

que es la ecuación fundamental de la dinámica, donde la constante de proporcionalidad distinta para cada cuerpo es su masa de inercia, pues las fuerzas ejercidas sobre un cuerpo sirven para vencer su inercia, con lo que masa e inercia se identifican. Es por esta razón por la que la masa se define como una medida de la inercia del cuerpo.

Por tanto, si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula no es cero, esta partícula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud de la resultante y en dirección de ésta. La

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expresión anterior así establecida es válida tanto para la mecánica clásica como para la mecánica relativista, a pesar de que la definición de momento lineal es diferente en las dos teorías: mientras que la dinámica clásica afirma que la masa de un cuerpo es siempre la misma, con independencia de la velocidad con la que se mueve, la mecánica relativista establece que la masa de un cuerpo aumenta al crecer la velocidad con la que se mueve dicho cuerpo.

3. Campo Eléctrico

El campo eléctrico asociado a una carga aislada o a un conjunto de cargas es aquella región del espacio en donde se dejan sentir sus efectos. Así, si en un punto cualquiera del espacio en donde está definido un campo eléctrico se coloca una carga de prueba o carga testigo, se observará la aparición de fuerzas eléctricas, es decir, de atracciones o de repulsiones sobre ella. Todo campo físico queda caracterizado por sus propiedades. En el caso del campo eléctrico, una forma de describir las propiedades del campo sería indicar la fuerza que se ejercería sobre una misma carga si fuera trasladada de un punto a otro del espacio. El referirse a la misma carga de prueba permite comparar los distintos puntos del campo en términos de intensidad. La carga de referencia más simple a efectos de operaciones es la carga unidad positiva. La fuerza eléctrica que en un punto cualquiera del campo se ejerce sobre la carga unidad positiva, tomada como elemento de comparación, recibe el nombre de intensidad del campo eléctrico y se representa por la letra E. Por tratarse de una fuerza la intensidad del campo eléctrico es una magnitud vectorial que viene definida por su módulo E y por su dirección y sentido. En lo que sigue se considerarán por separado ambos aspectos del campo E.

4. Fuerza Magnética

La fuerza magnética es la parte de la fuerza electromagnética total, o fuerza de Lorentz, que mide un observador sobre una distribución de cargas en movimiento. Las fuerzas magnéticas son producidas por el movimiento de partículas cargadas, como por ejemplo electrones, lo que indica la estrecha relación entre la electricidad y el magnetismo.

Una corriente eléctrica es un conjunto de cargas eléctricas en movimiento. Ya que un campo magnético ejerce una fuerza lateral sobre una carga en movimiento, es de esperar que la resultante de las fuerza sobre cada carga resulte en una fuerza lateral sobre un alambre por el que circula una corriente eléctrica. La fuerza magnética se define matemáticamente como:

FM=q ∙ v× B

Donde FM es el vector fuerza, v el vector velocidad y B el vector campo magnético. Nótese que tanto FM como v y B son magnitudes vectoriales y el producto vectorial es un producto de vectores que tiene como resultante un vector perpendicular tanto a v como a B. El módulo de la fuerza resultante será

8

FM=q|v||B|∙ senθ

donde es el ángulo que forman los vectores v y B.

5. Ley de Biot-Savart

El físico Jean Biot dedujo en 1820 una ecuación que permite calcular el campo magnético B creado por un circuito de forma cualquiera recorrido por una corriente de intensidad i.

B=μ0 i

4 π∮ d l×|r− r '|

|r−r '|2

B es el vector campo magnético existente en un punto P del espacio, d l es una fracción infinitesimal del circuito recorrido por la corriente y en su mismo sentido, r es el vector posición de d l y r ' es el vector posición del punto P.

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III. SOLUCIÓN DEL PROBLEMA ABP

1. Posibles soluciones

Si la fuerza de gravedad sobre la esferilla es mayor que la fuerza eléctrica, ésta baja describiendo una trayectoria curva.

Si la fuerza de gravedad sobre la esferilla es de igual valor que la fuerza de repulsión eléctrica, al liberarse quedará en reposo.

Si la fuerza de gravedad es menor que la fuerza de repulsión eléctrica, la esferilla ascenderá en una trayectoria curva.

Para solucionar el problema, partiremos del supuesto de que la fuerza de gravedad sea mayor, con lo que podemos asegurar que la esfera bajará hasta impactar con el piso.

2. Métodos de solución

Notamos que, para resolver el problema, tenemos la posibilidad de utilizar un observador móvil o uno inercial. Es por ello que plantearemos dos métodos de solución distintos. El primero consistirá en utilizar un observador móvil, el cual se encontrará sobre la faja de hule y se desplazará a su misma velocidad. Al moverse junto con las cargas, notará que éstas son estáticas y, por tanto, percibirá un campo eléctrico. El segundo método consistirá en ubicar un observador inercial, quien percibirá cargas en movimiento, las cuales generarán un campo magnético.

a. Usando Campo Eléctrico

Para eliminar los efectos del campo magnético consideraremos un observador móvil situado sobre la banda de hule, pues al moverse junto con las cargas su velocidad relativa respecto de este es 0, solo percibirá el campo eléctrico generado por la densidad superficial de carga de la banda.

Cálculo del campo eléctrico E

Debido a que tanto la faja como la esferita son de signo negativo y se repelen. Por ello, como el campo eléctrico tiene la dirección del vector de fuerza eléctrica entre dos objetos con carga, se dibuja saliendo del plano, como se ve en el gráfico siguiente.

10

2

1

0 L

21

P

Z r

y L-y

3 α

dE

Y

E y=∫ dE cos∝=∫ kdq

r2cos∝

z=r sen∝; y= zctg∝; λ=dq /dy

dy=−zcosec 2∝d∝

E y=kλ∫−zcosec 2∝d∝z2cosec 2∝

cos∝

E y=−kλz ∫cos∝d∝

E y=−kλz ∫

γ 1

γ 2

cos∝d∝

E y=−kλz

( sen γ2−sen γ1 )

E y=−kλz ( z

√( ( L− y )2+z2 )− z

√( y2+z2 ) )Análogamente la componente en z:

cos γ3=−cos γ1

E z=kλz

(cos γ2+cos γ 3)

E z=kλz ( L− y

√ (( L− y )2+z2 )+ y

√( y2+z2 ) )11

Con este resultado calcularemos el campo eléctrico para cualquier punto en el espacio:

dE y=−kλdx

z ( z

√(( L− y )2+z2 )− z

√ ( y2+z2 ) )xz=tanθ

dx=z sec 2θdθ

r=zsecθ

dE y=−kλ z sec2θdθ

r ( r

√( ( L− y )2+r2 )− r

√( y2+r2 ) )dE y=

−kλ z sec2θdθzsecθ

¿

E y=−∫−β2

β1kλ z sec2θdθ

zsecθ¿¿

Este resultado nos da la componente del campo eléctrico en la dirección –Y. Calculamos el campo en las direcciones X y Z:

E= kλz ( L− y

√( ( L− y )2+z2)+ y

√ ( y2+ z2 ) )E= kλdx

r ( L− y

√ (( L− y )2+r2 )+ y

√( y2+r2 ) )μ=senθ (i)+cosθ ( k)dq=λdx

xz=tanθ

dx=z sec 2θdθ

r=zsecθ

E x , z=∫− β2

β1kλ z sec2θdθ

zsecθ¿¿

Integrando

E y=−kλ [ ln( (c−x+√( c−x )2+z2+(L− y )2 ) (−x+√x2+z2+ y2)(c−x+√(c−x )2+z2+ y2 ) (−x+√ x2+z2+(L− y )2) )]

12

E x=kλ [ ln(( 1

√ (c−x )2+z2+√ 1

(c−x )2+z2+ 1

(L− y )2 )( 1

√ (c−x )2+z2+√ 1

(c−x )2+z2+ 1

y2 )( 1

√ x2+z2+√ 1

x2+z2+ 1

(L− y )2 )( 1

√x2+z2+√ 1

x2+z2+ 1

y2 ) )]E z=kλ¿

E=(Ex ,E y , E z)

Aplicando la 2da Ley de Newton:Fg+Fe=ma

FE=q ∙ E

FR=mg (−k )+q ∙ E=ma

a=ax i+a y j+az k=d2 xd t 2

+ d2 yd t 2

+ d2 zd t 2

=v x

dvx

dx+v y

dv y

dy+vz

dvz

dz

1m

(qEx ,qE y ,q Ez−mg )=(vx

dv x

dx, v y

dv y

dy, v z

dv z

dz)

Tomamos el caso sencillo de:

x= c2

y= y0

z=z0

Reemplazando en las ecuaciones:

E x=kλ [ ln(( 1

√(c− c2 )

2

+ z2+√ 1

(c− c2 )

2

+z2

+ 1(L− y)2 )( 1

√(c− c2 )

2

+ z2+√ 1

(c− c2 )

2

+z2

+ 1y2 )

( 1

√ c4

2

+z2+√ 1

c4

2

+z2+ 1(L− y)2 )( 1

√ c4

2

+z2+√ 1

c4

2

+z2+ 1

y2 ) )]13

E x=kλ [ ln (1 ) ]

E x=0

E y=−kλ [ ln(( c2+√( c2 )2

+z2+(L− y )2)(−c2

+√( c2 )2

+z2+ y2)( c2+√( c2 )

2

+z2+ y2)(−c2

+√( c2 )2

+z2+(L− y )2))]E z=2kλ ¿

Igualando componentes

Para x:

ax=vx

d v x

dx=q Ex

vx=0

Para y:

a y=v y

dv y

dy= 1

mq Ey

∫ v y dv y=∫(qE¿¿ y /m)dy ¿

v y2

2=∫(qE¿¿ y /m)dy ¿

dydt

=v y=√2∫(qE¿¿ y /m)dy ¿

dy

√2∫(qE¿¿ y /m)dy=dt ¿

t=∫ dy

√2∫(qE¿¿ y /m)dy=f ( y , z)¿

Para z:

14

az=v z

dv z

dz=

q E z−mg

m

∫ vzdv z=∫((q E z−mg¿)/m)dz ¿

v z2

2=∫((q E z−mg¿)/m)dz ¿

dzdt

=v z=√2∫((q E z−mg¿)/m)dz ¿

dz

√2∫ q E z−mgm

dz

=dt

t=∫ dz

√2∫ q E z−mgm

dz

=g ( y , z )

Resolviendo:t=f ( y , z )=g( y , z)

Entonces, se podría expresar:y= y ( t ) z=z (t ) x=c /2

Quedando así la trayectoria parametrizada en función del tiempo. Sin embargo es muy poco probable y laborioso que las posiciones se puedan expresar en función del tiempo; es por ello que mejor sería expresar la trayectoria como una grafica y vs z.

t=f ( y , z ) t=g ( y , z )

f ( y , z )=g ( y , z )

f ( y , z )−g ( y , z )=¿0

F ( y , z )=0

b. Usando Campo Magnético

Este método se usara cuando el observador esta sobre tierra, el cual observará que la carga sobre la banda está en movimiento, motivo por el cual puede ser considerado este flujo

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de cargas como corriente eléctrica. El procedimiento que usaremos para conocer la trayectoria que describirá la esfera, será el siguiente:

1) Hallar la corriente que se genera a partir del movimiento de las cargas sobre la banda

2) Hallar el campo magnético que es producido por la corriente que fluye sobre la banda

3) Hallar la fuerza magnética sobre la esfera electrizada, producida por el campo magnético

4) Hallar la fuerza resultante sobre la esfera, y por la 2da ley de Newton encontrar una relación para la aceleración, para después poder expresar la posición respecto del tiempo

Sea:r: Radio del rodilloL: longitud de la faja de hulec: ancho de la faja de hulew: velocidad angular con la que gira el rodilloh: grosor de la faja de hule

Cálculo de la corriente sobre la banda

I=JA=Jch

J=nqvd

I=JA=nq vd ch

Además velocidad del rodillo

vd=rw

J=nqrw

Antes de comenzar, partiremos del supuesto de que la fuerza de repulsión eléctrica es menor que la fuerza de gravedad, con lo cual podemos asegurar que la esfera se dirigirá hacia el piso.

A continuación, hallaremos el campo magnético producido por un conductor lineal de longitud L en un punto ubicado a una distancia R del conductor lineal y a una longitud y de ella.

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y

α1α2

P

IR

θ

l

L-y

B=∮u0 Id l ×r

4 π r3=¿ B=∫

−α 1

α2 u0 Idl sen( π2 +θ)4 π r2

(uB)

Expresando las demás variables en función de θ y R:

l=R tanθ

dl=R sec2θdθ

r0=R sec θ

Reemplazamos los valores obtenidos en la ecuación del campo.

B=u0 I4 πR ∫

−α 1

α2

cosθdθ (uB )

B=u0 I

4 πR(senα 1+sen α2)(uB)

Del gráfico, se observa que:

senα 1=y

√ y2+R2

senα 2=(L− y )

√(L− y )2+R2

∴ B=u0 I

4πR( y

√ y2+R2+

(L− y)

√(L− y)2+R2)(uB)

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Cuyo vector unitario uB posee componentes en los ejes X y Z.

La expresión anterior nos servirá para calcular el campo magnético de toda la banda, ya que esta se puede dividir infinitesimalmente en conductores lineales de longitud L y sección transversal dA, es por eso que tomaremos dicho dm a través del ancho de la faja (eje X) por la cual circula una corriente dI y el cual genera un campo dB.

Una corriente lineal genera un campo de la forma

B=u0 I

4 πR( y

√ y2+R2+

(L− y )

√(L− y )2+R2)(uB)

Generalizando para una corriente diferencial

d B=u0dI

4 πr( y

√ y2+r2+

(L− y)

√(L− y )2+r2)(uB)

Donde uB es el campo generado por la corriente diferencial de intensidad dI. Partiendo de los supuestos planteados, y en base a la teoría estudiada, sabemos que:

uB=cosθ ( i )+senθ (−k )

dI=Jhdx

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r=z secθ

x= c2−z tan θ

dx=−z sec2θdθ

Reemplazamos para calcular el campo magnético:

B=∮ u0(Jhdx )4 π (z sec θ)

( y

√ y2+r2+

(L− y)

√(L− y)2+r2)(cosθ ( i )+senθ(− k ))

Nótese que, si se toma otra corriente diferencial que equidiste de la proyección de P sobre el plano XY, ésta generará un campo del mismo módulo que el de la primera corriente, pero de dirección Z opuesta, con esto, al sumar ambos campos la componente Z se anulará. Para simplificar los cálculos, supondremos que dicho punto P se proyecta sobre una línea que equidiste de los extremos paralelos al eje Y de la faja, lo cual originará que el campo resultante posea solamente componente X.

Este supuesto nos permitirá eliminar el sumando senθ(− k ) en la integral. Además, se observa que los ángulos determinados por la altura z, β1 y β2 , son iguales. Con esto, vemos que los cálculos se simplifican.

B=∮−u0(Jhz sec2θdθ)

4 π (z sec θ)( y

√ y2+(z secθ)2+

(L− y )

√(L− y)2+(z secθ)2)(cosθ ( i ))

B=2∫0

β u0(Jhdθ)4π

¿¿

B=u0 Jh

2 π∫0

βydθ

√ y2+¿¿¿¿¿

B=u0 Jh

2 π∫0

β

¿¿

B=u0 Jh

2 π∫0

β

( ycosθ dθ

√ y2co s2θ+z2+

( L− y ) cosθdθ

√ ( L− y )2 c os2θ+z2 ) (−i)

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B=u0 Jh

2 π [arcse n( ysenθ

√ y2+z2 )+arcsen ( (L− y)senθ

√(L− y )2+z2 )] β0 (−i )

B=u0 Jh

2 π [arcsen ( ysenβ

√ y2+z2 )+arcsen( (L− y )senβ

√(L− y)2+z2 )] (−i )

Del grafico se observa que:

sen β= x

√x2+z2

Además, como la esfera se dejó caer sobre el eje de simetría respectivo al eje X de la faja, tenemos que

x= c2

Reemplazamos y obtenemos:

B=u0 Jh2 π [arcsen( yc

2√( y2+z2)( c42

+ z2))+arcsen ( (L− y)c

2√((L− y )2+z2)( c42

+z2) )] (−i )

Cálculo de la fuerza magnética

Hemos observado en el procedimiento anterior que el campo magnético tendrá sólo una componente para el eje X. Es decir:

B=B x i

Bx=−u0 Jh2π [arcsen( yc

2√( y2+z2)( c42

+z2))+arcsen( (L− y )c

2√((L− y)2+z2)( c42

+ z2))]B y=0

Bz=0

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Sabemos que:Fm=q v× B

v× B=| i j kvx v y v z

Bx B y B z|=| i j k

vx v y vz

Bx 0 0|=(vz Bx ) j−(v y Bx) k

Entonces, la fuerza magnética será:

Fm=q (v zB x) j−q (v y Bx )k

2da ley de Newton

FR=Fg+ Fm

FR=m a=(0 i+0 j−mg k )+¿

a=0 i+( qm

vz

Bx) j−( qm

vy

Bx+g) k ¿

ax i+ay j+az k=0 i+( qm vz

Bx) j−( qm vy

Bx+g)k ¿

Igualando componentes

Para x:

ax=d v x

dt=0

vx=k ; (cte)

21

La velocidad sobre el eje X es constante. Como la esfera se dejó caer, asumimos que

vx=dxdt

=0

lo cual significa que la velocidad sobre el eje X posee un valor constante. Como la esfera se dejó caer, asumimos que dicho valor es cero.

vx=dxdt

=0

Lo cual se verifica necesariamente para nuestra condición en la que

x= c2

Para y:

a y=dv y

dt= q

mv

z

Bx

v y=∫( qm

)vz

Bxdt=∫( qm )Bx(v¿¿ z dt)=∫( qm)Bx

dz ¿

dydt

=∫( qm )Bx dz

dy

∫ ¿¿¿

t=∫ dy

∫(q /m)Bx dz=f ( y , z)

Para z:

az=dv z

dt=−(( q

m )vy

Bx+g)vz=∫−(( qm )v

y

Bx+g)dtvz=∫−( q

m )vy

B x dt−∫ gdt

vz=∫−( qm )Bx dy−∫ g

dy

∫( qm )Bx dz

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dzdt

=∫−( qm )Bx dy−∫ g

dy

∫( qm )Bxdz

dz

−∫( qm )Bx dy−∫ g

dy

∫(q /m)Bxdz

=dt

t=∫ dz

−∫( qm )Bx dy−∫ g

dy

∫(q /m)B xdz

=g( y , z)

Resolviendo t=f ( y , z )t=g( y , z)

Entonces, se podría expresar: y= y ( t )

z=z ( t )

x=c /2

Quedando así la trayectoria parametrizada en función al tiempo. Sin embargo, es muy laborioso expresar las posiciones en función del tiempo; es por ello que utilizaremos una gráfica y vs z para describir la trayectoria descrita por la esfera.

t=f ( y , z ) t=g ( y , z )

f ( y , z )=g ( y , z )

f ( y , z )−g ( y , z )=¿0

F ( y , z )=0

c. Preguntas propuestas

Pregunta principal: ¿Qué causas justificarían tan inesperado resultado?

Por lo observado anteriormente podemos concluir que los estudiantes no tomaron en cuenta la posición del observador sea dentro o fuera del sistema; asimismo

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se deduce por el relativismo que presenta este problema al cambiar de observador que la trayectoria es la misma en los dos casos.

Preguntas adicionales

1. Sabiendo que toda superficie uniformemente cargada provoca un campo eléctrico uniforme. En el experimento dado ¿qué efecto produce sobre este campo el desplazamiento de la banda?

Esto dependerá de cómo vemos el sistema ya que la banda que está en pleno movimiento hace que actúe el campo eléctrico o magnético, generando así corriente eléctrica para un observador que este fuera de la banda. Mientras que para un observador que está dentro de la banda si el campo eléctrico, ya que se mueve con la banda por lo tanto su velocidad relativa es cero. Y también comprobamos el relativismo del sistema.

2. Colocando la esferilla electrizada negativamente y en reposo muy cerca de la banda electrizada y en reposo, ésta logra ascender verticalmente. Explica las razones que justifican este comportamiento.

Como estamos tomando cuerpos en reposo; por un diagrama de fuerzas la esfera se eleva debida a que la fuerza eléctrica de repulsión que cualitativamente es del mismo signo, es mayor que el peso de la esfera. Es decir, la fuerza resultante es hacia arriba, asimismo su aceleración y por consecuencia se eleva.

3. En base a la situación de la pregunta anterior, supongan ahora que la banda se encuentra en movimiento, se sabe que al liberar la esferilla no sigue la trayectoria vertical. Elabore una hipótesis de existencia de la causa que genera el cambio de una trayectoria vertical por otra distinta.

Como la banda está en movimiento esto hace que exista un flujo de electrones que a su vez generan una corriente y dicha corriente provoca un campo magnético en la región de la carga la cual también se ve afectada por una fuerza magnética la cual hace de que la trayectoria se altere, ya que esta fuerza magnética tiene diferente sentido que la fuerza eléctrica.

4. En una situación hipotética supongan que en lugar de una banda electrizada en movimiento, existan un conjunto de cables conduciendo corriente en la dirección del movimiento de aquella. Al repetir la experiencia anterior ¿la trayectoria de la esferilla sería como cuando la banda electrizada se desplazaba?

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Sí, ya que el objeto por así decirlo en estudio son los electrones y su movimiento de estos son los que producen la corriente eléctrica y en ambos casos ocurre un traslado de electrones, es decir, que en ambos casos los electrones se encuentran en movimiento de un lado para el otro. En el caso de cables conduciendo corriente en la misma dirección que el de la banda, es conocido ya que hay un flujo de electrones dentro de los cables que conducen la corriente eléctrica, pero hay que tener en cuenta de que estos cables deberán de estar muy juntas como para que no se genere un campo magnético entre estas, en ambos casos el efecto que genera sobre la esfera cargada negativamente es el mismo.

5. Si en lugar de la carga eléctrica se instala una brújula en un plano paralelo a la banda en movimiento, se observará que la aguja de ésta se perturba. ¿De qué naturaleza es la fuerza que afecta a la brújula? ¿Es esta fuerza de la misma naturaleza que la que afecta a la esferilla cargada cuando ésta se mueve?

La brújula es un instrumento que se encarga de medir la acción del campo magnético en un determinado lugar .En nuestro caso la brújula percibirá el campo magnético generado por el movimiento de las cargas de la banda.la brújula se orienta según el sentido donde se oriente el campo.

Por lo tanto esta fuerza es de la misma naturaleza que la que se da sobre la esferilla cargada.

6. En base a la situación de la pregunta anterior, la fuerza sobre la aguja de la brújula está asociada a un campo magnético. ¿Son suficientes los datos para determinar qué dirección tiene dicho campo magnético? Si es así ¿cuál es esa dirección en las proximidades de la banda electrizada y en movimiento?

LOS DATOS PRESENTADOS SI SERIAN SUFICIENTESConsideramos suficientes los datos ya que, considerando que la banda está

cargada negativamente, se generará un flujo de electrones (cargas negativas) a través de la banda en el sentido en el que se mueve la banda (en nuestro caso de izquierda a derecha). Esto generará una corriente en sentido apuesto a este movimiento lo que nos ayuda a obtener el sentido del campo magnético producido con la ayuda de la regla de la mano derecha. Utilizando este método obtenemos que le campo magnético es entrante al plano de observación.

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7. Existe alguna relación entre las direcciones del campo magnético, de la dirección de la velocidad de la esferilla y de la fuerza magnética aplicada sobre ella. Expliquen.

La fuerza magnética es perpendicular a la velocidad y el campo magnético, ya que lo obtenemos si utilizamos la regla de la mano izquierda .La ecuación que matematiza estas direcciones es:

FM=q ∙ v× B

Esto nos indica que la fuerza magnética debe ser perpendicular a la velocidad y el campo magnético. Esta dirección se obtiene del producto vectorial. Si usamos la regla de la mano izquierda es sencillo hallar la dirección de la fuerza.

8. Elaboren un DCL de la esferilla electrizada para el caso dado en el experimento original. ¿Qué forma tiene la trayectoria que describe la esferilla mientras está cayendo en dicho experimento?

La trayectoria descrita por la esfera es una recta.

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3. Conclusiones

En el método del campo eléctrico definimos un observador en la banda con movimiento paralelo al movimiento de la banda. En el método de campo magnético el observador está posicionado en tierra. Por tanto para la solución del problema es condición necesaria definir la posición relativa del observador.

Viendo el movimiento de la partícula, podemos afirmar la presencia de un campo magnético que origina dicho movimiento particular al objeto.

El campo magnético producido por la banda presenta solamente una componente direccional, paralela al plano.

De acuerdo a las condiciones del problema, y de los cálculos presentadas, hay campo eléctrico en los planos y y z.

Debido a las condiciones del problema, hay dificultades para obtener la ecuación del movimiento de la esfera. Pero si podemos determinar su dirección, la cual es el eje y positivo y z negativo. Ambos ejes definidos en el planteamiento del problema.

4. Bibliografía

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Física 3

G. Ya Miákishev, B. B. BújovtsevEditorial MIR Moscú 1986.

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