Abad alberto astrodinamica

Astrodinamica

Alberto Abad

© Astrodinámica© Alberto Abad, 2012

Grupo de Mecánica EspacialUniversidad de ZaragozaZaragoza. Spain.e-mail: [email protected]: web: http://gme.unizar.es

ISBN papel: 978-84-686-2857-8Editor Bubok Publishing S.L.Impreso en España/Printed in Spain

iii

Para Pili,Pablo, Cristina,

Cari y Alejo.

Indice general

Prologo y agradecimientos XI

I Sistemas de referencia en Astrodinamica 1

1 Sistemas de referencia en IR3 31.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 El espacio afın IR3: sistemas de referencia . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Producto escalar: IR3 como espacio euclıdeo . . . . . . . . . . . . . 41.4 Angulos y funciones circulares inversas . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Producto vectorial y mixto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Sistemas de referencia ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7 Otras propiedades de los distintos productos de vectores . . . . . . 111.8 Angulo orientado entre dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.9 Coordenadas cartesianas y polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.10 Trigonometrıa esferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.10.1 Formulas de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.10.2 Regla del pentagono de Neper . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.10.3 Analogıas de Neper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.10.4 Algoritmo para la resolucion de triangulos esfericos . . . . . 22

2 Cambios del sistema de referencia: rotaciones 252.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 Rotaciones en IR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3 Composicion de rotaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4 Rotacion de un vector alrededor de un eje . . . . . . . . . . . . . . 292.5 Rotaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.6 Angulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.7 Rotaciones y cuaternios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 Fundamentos de los sistemas de referencia en el espacio 373.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Sistema de referencia horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3 Sistema de referencia horario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

v

vi Indice general

3.4 Sistema de referencia ecuatorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.5 Sistema de referencia eclıptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.6 Relacion entre los sistemas de referencia espaciales . . . . . . . . . 433.7 Sistema de referencia geografico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.8 Sistema de referencia planetografico . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4 Sistemas de referencia espaciales precisos 534.1 Movimientos del polo y del equinoccio . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2 Sistemas de referencia espaciales precisos . . . . . . . . . . . . . . . 574.3 Transformaciones entre sistemas de referencia precisos . . . . . . . 60

4.3.1 Movimiento del polo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.3.2 Cambios de origen en el ecuador intermedio . . . . . . . . . 644.3.3 Precesion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.3.4 Nutacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.3.5 Tratamiento actual de la precesion y nutacion . . . . . . . . 684.3.6 Desviacion entre los sistemas Eo

�oy S

G

. . . . . . . . . . . . 704.3.7 Transformacion general de coordenadas . . . . . . . . . . . 71

4.4 Relacion de los sistemas precisos con los sistemas idealizados . . . 71

5 Referencia temporal 735.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.2 Relojes basados en la rotacion terrestre . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.2.1 Tiempo sidereo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755.2.2 Angulo de rotacion terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.2.3 Tiempo solar y tiempo medio . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.2.4 Tiempo universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.3 Movimiento orbital de la Tierra: el ano . . . . . . . . . . . . . . . 815.4 Relacion entre el tiempo sidereo y el tiempo medio . . . . . . . . . 825.5 Escalas de tiempo uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.5.1 Tiempo de efemerides y tiempo atomico internacional . . . 845.5.2 Tiempo universal coordinado . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.5.3 Tiempo de zona y tiempo oficial . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.6 Escalas modernas de tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.7 Tiempos coordenada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.8 Calendario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.9 Determinacion de una epoca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

II Movimiento kepleriano 95

6 Revision de elementos de dinamica clasica 976.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.2 Movimiento de una masa puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.3 Sistemas inerciales y no inerciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.4 Movimiento de una partıcula en su plano . . . . . . . . . . . . . . 101

Indice general vii

6.5 Sistemas dinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.6 Ecuaciones de Lagrange y de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.7 Transformaciones canonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.8 Ecuacion de Hamilton–Jacobi y ecuacion de Delaunay . . . . . . . 107

7 Movimiento kepleriano 1097.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.2 Leyes de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.3 Propiedades de las conicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7.3.1 Elipses: 0 e < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.3.2 Parabolas: e = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.3.3 Hiperbolas: e > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.4 Ley de gravitacion de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.5 Problema de dos cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.6 Movimiento relativo o kepleriano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.7 Funciones f y g de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

8 Integracion del problema kepleriano 1238.1 Modelo orbital kepleriano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1238.2 Primeras integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1248.3 Deduccion de la primera y segunda leyes de Kepler . . . . . . . . . 1268.4 Tercera ley de Kepler: unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1298.5 Ley horaria del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

8.5.1 Formulacion regularizada del movimiento kepleriano . . . . 1318.5.2 Caso parabolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1338.5.3 Caso elıptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1348.5.4 Resolucion de la ecuacion de Kepler . . . . . . . . . . . . . 1368.5.5 Caso hiperbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

9 Orbitas keplerianas 1419.1 Caracterizacion de las orbitas keplerianas . . . . . . . . . . . . . . 1419.2 Elementos orbitales ordinarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1439.3 Variables no singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1459.4 Sistemas de referencia orbitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

9.4.1 Sistema espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1469.4.2 Sistema nodal–espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1479.4.3 Sistema nodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1479.4.4 Sistema apsidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1499.4.5 Sistema orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1499.4.6 Sistema de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

9.5 Relaciones entre el vector de estado y los elementos orbitales . . . 1519.5.1 Determinacion de la orbita a partir de las condiciones iniciales1529.5.2 Calculo de efemerides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

9.6 Interseccion de dos orbitas keplerianas . . . . . . . . . . . . . . . . 1549.6.1 Pertenencia de un punto a una orbita . . . . . . . . . . . . 154

viii Indice general

9.6.2 Interseccion de orbitas no coplanarias . . . . . . . . . . . . 1559.6.3 Interseccion de orbitas coplanarias . . . . . . . . . . . . . . 1559.6.4 Colisiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

9.7 Variaciones de los sistemas de referencia . . . . . . . . . . . . . . . 1579.8 Variables polares–nodales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1589.9 Variables de Delaunay en el movimiento elıptico . . . . . . . . . . . 160

10 Formulacion universal del problema kepleriano 16310.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16310.2 Funciones V de Stump↵ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16310.3 Funciones V

0

,V1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16810.4 Formulacion universal del problema kepleriano . . . . . . . . . . . 16910.5 Coeficientes de transicion en forma cerrada . . . . . . . . . . . . . 172

11 Orbitas keplerianas que pasan por dos puntos 17511.1 Problema de transferencias orbitales y problema de Lambert . . . 17511.2 Orbitas de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

11.2.1 Plano de la orbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17711.2.2 Angulo de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

11.3 Elementos del triangulo OP1

P2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17711.4 Hodografa en P

1

y P2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17911.5 Orbitas de energıa mınima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18211.6 Orbitas de energıa h > h

m

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18211.7 Conjunto de las orbitas que pasan por dos puntos . . . . . . . . . . 18511.8 Tiempo de transito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18611.9 Orbitas keplerianas que pasan por dos puntos en dos instantes . . 187

III Movimiento orbital 189

12 Movimiento orbital 19112.1 Ecuaciones del movimiento orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19112.2 Ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19212.3 Ecuaciones de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19512.4 Perturbaciones de corto y largo periodo y seculares . . . . . . . . . 19712.5 Metodo de aproximaciones sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . 19812.6 Perturbaciones de primer orden en el movimiento orbital . . . . . . 19912.7 Propagadores orbitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20012.8 Propagador SGP4/SDP4 y variables TLE . . . . . . . . . . . . . . 203

13 Problema de n cuerpos 20713.1 Formulacion del problema de n cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . 20713.2 Modelo planetario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20913.3 Perturbacion luni-solar del satelite artificial . . . . . . . . . . . . . 21013.4 Problema de tres cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

13.4.1 Problema restringido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Indice general ix

13.4.2 Problema restringido circular . . . . . . . . . . . . . . . . . 21213.4.3 Puntos de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21313.4.4 Curvas de velocidad cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

14 Atraccion de solidos 21914.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21914.2 Polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22014.3 Potencial gravitatorio de un planeta . . . . . . . . . . . . . . . . . 22314.4 Modelos de potencial gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22614.5 Evaluacion del potencial planetario y la fuerza derivada . . . . . . 22814.6 Potencial terrestre en variables polares nodales . . . . . . . . . . . 23014.7 Ecuaciones del movimiento en el sistema planetografico . . . . . . 231

15 Otras perturbaciones 23515.1 Rozamiento atmosferico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23515.2 Presion de radiacion solar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23915.3 Eclipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

15.3.1 Semidiametros y distancia angular . . . . . . . . . . . . . . 24115.3.2 Condiciones para un eclipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24215.3.3 Area de un segmento circular . . . . . . . . . . . . . . . . . 24315.3.4 Magnitud del eclipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24515.3.5 Eclipses en satelites artificiales terrestres . . . . . . . . . . . 246

15.4 Perturbaciones relativistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24715.5 Perturbaciones empıricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

IV Navegacion espacial 249

16 Navegacion espacial 25116.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25116.2 Satelites artificiales terrestres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

16.2.1 Satelites de comunicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25416.2.2 Satelites de navegacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25516.2.3 Satelites de observacion terrestre . . . . . . . . . . . . . . . 25716.2.4 Satelites cientıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25816.2.5 Estaciones espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25916.2.6 Vehıculos de transporte de carga . . . . . . . . . . . . . . . 26016.2.7 Basura espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

16.3 Navegacion interplanetaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26316.3.1 Viajes a la Luna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26416.3.2 Viajes a Marte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26616.3.3 Exploracion del sistema solar . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

x Indice general

17 Orbitas de satelites artificiales terrestres 27117.1 Movimiento del satelite sobre la superficie terrestre . . . . . . . . . 271

17.1.1 La orbita en la superficie terrestre: traza . . . . . . . . . . . 27217.1.2 Visibilidad de un satelite desde una estacion . . . . . . . . . 276

17.2 El problema principal del satelite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27817.3 Efectos sobre el satelite de otras perturbaciones . . . . . . . . . . . 27917.4 Clasificacion de los satelites artificiales segun su orbita . . . . . . . 281

17.4.1 Orbitas bajas (LEO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28117.4.2 Orbitas medias (MEO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28217.4.3 Orbitas geoestacionarias (GEO) . . . . . . . . . . . . . . . 28217.4.4 Satelites Molniya y Tundra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28317.4.5 Satelites heliosıncronos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28417.4.6 Orbitas de transferencia geoestacionarias (GTO) . . . . . . 285

18 Maniobras orbitales 28718.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28718.2 La velocidad y la navegacion espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . 28718.3 Propulsion de naves espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29018.4 Lanzamiento de satelites artificiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29518.5 Correccion de orbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

18.5.1 Correccion general de la orbita . . . . . . . . . . . . . . . . 30218.5.2 Cambio del plano orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30218.5.3 Correccion de la orbita en su plano . . . . . . . . . . . . . . 30518.5.4 Cambio de la forma de la orbita . . . . . . . . . . . . . . . 306

19 Transferencias y encuentros orbitales 30919.1 Transferencias orbitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

19.1.1 Transferencias de Hohmann y bielıptica . . . . . . . . . . . 31019.1.2 Transferencia optima en dos maniobras . . . . . . . . . . . 314

19.2 Encuentros orbitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31519.2.1 Maniobra de espera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31619.2.2 Encuentro directo en transferencias generales . . . . . . . . 31719.2.3 Encuentros en transferencias de Hohmann . . . . . . . . . . 318

19.3 Viaje a Marte en una orbita de transferencia de Hohmann . . . . . 321

20 Navegacion interplanetaria 32320.1 Sondas espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32320.2 Esfera gravitacional de influencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32520.3 Salida del campo gravitacional de un planeta . . . . . . . . . . . . 32720.4 Entrada en el campo gravitacional de un planeta . . . . . . . . . . 32920.5 Impulso gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

Bibliografıa 335

Indice alfabetico 337

Prologo y agradecimientos

La Tierra es la cuna de la inteligencia,pero no se puede vivir siempre en una cuna.

Konstantin E. Tsiokovsky, 1911.

La tecnologıa espacial es responsable de una buena parte de los avances tec-nologicos actuales. La investigacion y desarrollo en cuestiones cientıficas y tecnicasrelativas a los satelites artificiales y la navegacion espacial resultan fundamenta-les para un rapido avance cientıfico y tecnologico. Son muchas las actividadescotidianas que no podrıamos realizar de no existir satelites artificiales orbitandoalrededor de la Tierra. En efecto, en las noticias de television son frecuentes lasconexiones con paıses de otros continentes; recibimos canales de television a travesde las antenas parabolicas; hablamos con otros paıses por telefono con igual o me-jor cobertura que en la misma ciudad; vemos fotografıas de las borrascas, lo quepermite la prediccion del tiempo; sabemos los minutos que faltan hasta que llegueel proximo autobus; tenemos informacion de los minutos y segundos que lleva deventaja el ciclista escapado sobre el peloton que lo persigue, etc. Ademas, hayotros usos mas sofisticados, como el poder obtener imagenes de galaxias extre-madamente alejadas, hacer un seguimiento del avance de la desertificacion en losMonegros, una estimacion de la nieve acumulada en el Pirineo, localizacion de unacolonia de linces ibericos, detectar bancos de pesca, o hacer llegar la educacion alugares remotos, como la selva brasilena, por poner unos cuantos ejemplos. Perotodas estas posibilidades son relativamente recientes; el primer satelite artificial,el Sputnik I se lanzo en 1957. La era espacial, en el momento de escribir estaslıneas, no tiene mas que 55 anos.

Uno de los aspectos fundamentales para el exito de una mision artificial es el

xii

establecimiento de una orbita precisa que le permita desarrollar, durante el mayorperiodo de tiempo posible, la mision para la que ha sido concebido. Los funda-mentos del analisis del movimiento orbital de los satelites artificiales, ası como elde otras naves espaciales cuyo proposito sea la exploracion del espacio exterior,se basan en las consecuencias de la ley de gravitacion universal enunciada porNewton. Esta ley, que determina el movimiento de cualquier cuerpo en el espacio,natural o artificial, dio lugar a la Mecanica Celeste, que nacio como la disciplinacientıfica que estudia el movimiento de planetas, cometas, asteroides y cualquierotro cuerpo sometido a la ley de gravitacion de Newton.

Las caracterısticas especiales de alguno de los problemas dinamicos planteadosen el estudio de las orbitas de los satelites artificiales llevaron a definir una nuevadisciplina cientıfica, la Astrodinamica, heredera de la Mecanica Celeste, que estu-dia principalmente el movimiento en el espacio de los objetos artificiales. Aunquela causa fundamental del movimiento sigue siendo la ley de gravitacion de Newton,en Astrodinamica hay que considerar otro tipo de fuerzas no gravitacionales quemodifican las consecuencias de esta ley. Por otro lado, la Astrodinamica anade a laMecanica Celeste un nuevo problema, como es el diseno de complejas trayectoriaspara las naves espaciales que les permitan realizar, con las limitaciones energeticasactuales, cualquier recorrido por el sistema solar. El presente libro pretende daruna vision general de los principales puntos que aborda la Astrodinamica, paraello se ha dividido en cuatro partes: sistemas de referencia, movimiento kepleriano,movimiento orbital y navegacion espacial.

En la primera parte del libro se aborda un problema previo a la navegacionespacial, la determinacion precisa de la posicion y velocidad de un cuerpo en elespacio. En primer lugar se realiza un repaso de una serie de herramientas basicas,que van, desde el concepto de angulo y vector, hasta el de sistema de referencia yel estudio de las rotaciones de estos sistemas. Una vez establecidos los conceptosbasicos se pasa al estudio de los sistemas de referencia astronomicos considerandolas variaciones de estos sistemas debidas a los pequenos movimientos de los planosfundamentales del ecuador y la eclıptica. En este punto se han introducido todaslas recomendaciones y normas dictadas por la Union Astronomica Internacional(IAU) en el ano 2000, y en vigor desde el ano 2003, que vienen a modificar lasteorıas de la precesion y nutacion de los anos 1976 y 1980. Finalmente se estudiael parametro que actua de variable independiente en las teorıas dinamicas, esto es,el tiempo. Puesto que cualquier mision espacial establecera su referencia temporala traves de un reloj, se estudian los distintos tipos de relojes y tiempos que nosda la Astronomıa.

En la segunda parte del libro se estudia en profundidad el movimiento ke-pleriano. Las leyes de Kepler describen el comportamiento de la solucion de unmodelo teorico basado en el movimiento relativo de dos masas puntuales que inter-accionan gravitacionalmente de acuerdo con la ley de Newton. No solo se integrael problema, sino que se realiza un estudio cualitativo exhaustivo del mismo, quees necesario para comprender la complejidad del modelo orbital real. Se analizala geometrıa de este movimiento, ası como distintos conjuntos de variables que lo

xiii

describen y varios sistemas de referencia asociados a las orbita keplerianas. Final-mente se estudia el problema de contorno consistente en el analisis del conjuntode orbitas keplerianas que pasan por dos puntos.

La tercera parte trata del modelo orbital real. Se analizan los distintos efec-tos que pueden modificar una orbita kepleriana: forma no esferica de la Tierray de los planetas; atraccion gravitacional de otros cuerpos; frenado atmosferico;presion de radiacion solar; efectos relativistas; etc. Se estudia la formulacion delproblema de tres cuerpos, que es el siguiente en complejidad al modelo keple-riano de dos cuerpos, y se analiza un caso particular, el problema restringido, quedetermina muchas de las caracterısticas dinamicas de la navegacion interplaneta-ria. Finalmente, se obtienen las ecuaciones que permiten estudiar los modelos demovimiento orbital a partir de aproximaciones al modelo kepleriano.

La parte final aborda los aspectos que se refieren a la navegacion espacial,tanto de satelites artificiales como de sondas interplanetarias. El primer capıtulode esta parte analiza la historia del primer medio siglo de navegacion espacial,no tanto desde un punto de vista cronologico, sino describiendo la historia decada tipo de mision, procurando dar de esta forma una vision mas coherentede la industria espacial actual. Se estudian por separado los satelites artificialesy la navegacion interplanetaria. En los primeros se analiza la interaccion entreestos y la Tierra, que condiciona el tipo de mision en funcion de las zonas dela Tierra que el satelite sobrevuela. Tambien se estudian los distintos tipos demaniobras, incluido el lanzamiento, que permiten modificar una orbita; ası comolas trasferencias orbitales, o conjunto de maniobras que conectan orbitas sin unpunto en comun. El ultimo capıtulo estudia los conceptos basicos para el disenode las trayectorias interplanetarias a partir de la union de fragmentos de orbitaskeplerianas.

El presente libro ha sido escrito despues de muchos anos de estar encargadode la docencia de las asignaturas de Astronomıa y Mecanica Celeste de la licen-ciatura de Matematicas en la Universidad de Zaragoza. Parte de las notas escritascomo consecuencia de dicha docencia se plasmaron en un libro titulado Curso deAstronomıa y escrito en colaboracion con Jose Angel Docobo y Antonio Elipe.A ellos quiero agradecer el uso, en este libro, de ciertas partes del anterior, conobjeto de dejar cerrados algunos temas. De esta forma, el lector interesado uni-camente en Astrodinamica no tendra la necesidad de navegar en otro libro masorientado a la Astronomıa.

Con este libro he intentado llenar una laguna en la literatura en espanol detemas de Astrodinamica, pues son muy escasos los libros de estas caracterısticasque pueden encontrarse en las librerıas. Escribir el libro en espanol me ha hechoreflexionar sobre la adaptacion de los terminos cientıficos a nuestra lengua y meha conducido a unas consideraciones sobre terminologıa que, equivocadas o no,he intentado plasmar en el libro. En este punto quiero agradecer a mi colega LuisFlorıa sus fructıferas e ilustrativas conversaciones sobre el tema. El ingles se haconvertido en la lengua comun de la ciencia, es por ello corriente que determinados

xiv

terminos no se traduzcan o la traduccion sea poco meditada. Al escribir este librohe intentado utilizar una terminologıa que se adapte al maximo a las palabras yconceptos del espanol y a su significado cientıfico. Esto debe ayudar a realizar unacorrecta interpretacion de dichos terminos cuando se pretende hacer divulgacionde temas especializados a personas no expertas en la materia o no familiarizadascon la literatura tecnica escrita en ingles. Ası, en este libro he usado palabras noestandar como conicas enlazadas en lugar de patched conics, orbitas de aproxima-cion en lugar de flyby o swingby, etc. Al final de la obra, en el ındice alfabetico sehan incorporado algunos de estos terminos comunes en ingles con una indicacionde la traduccion usada en el libro.

Tambien resulta relacionado con el lenguaje otro aspecto que podrıa no men-cionar y dejar pasar desapercibido pero del que prefiero que quede constanciaescrita. Ası como he intentado ser riguroso en la eleccion de la terminologıa enespanol y por adelantado pido excusas por los posibles fallos cometidos en esteempeno, tambien he prescindido de una norma de nuestro lenguaje que creo debeser modificada. Es norma del espanol usar la coma como separador de la parte de-cimal de un numero. A este respecto, creo firmemente que el lenguaje matematico,que es un lenguaje universal, debe estar por encima de cualquier localismo queunicamente lo dificulta. Aunque es bien cierto que la coma o el punto unicamenteconstituyen dos formas diferentes de representacion de un mismo concepto, quees el numero real, es tambien util disponer de un representacion universal que seainterpretada en la misma forma por cualquier persona. Por ello he optado por eluso del punto en lugar de la coma como separador decimal.

La escritura de un libro de texto cientıfico requiere la realizacion de profundasrevisiones para garantizar la calidad del producto final. Sin embargo, la experien-cia me indica que en cada revision (no profesional) de un texto del tamano de este,siempre se encuentran nuevas erratas. No pienso que este libro quede totalmenteexento de las mismas, por lo que intentare, dentro de lo posible, informar al lectorde todas las que se vayan encontrando despues de la edicion definitiva. Para ellopuede consultarse la pagina web: gme.unizar.es/pages/libroastrodinamica, dondese informara, periodicamente, de las mismas, ası como de toda informacion utilrelacionada con el libro. A lo largo del proximo ano aparecera tambien, como semenciona en el capıtulo 12, el softwareOrbits, paquete deMathematica que com-plementa este libro. En la pagina web: gme.unizar.es/software/orbits, apareceraninstrucciones sobre su descarga y uso.

Quiero terminar este prologo entrando en el apartado de agradecimientos. Esdifıcil intentar agradecer en unas pocas lıneas a todos cuantos, de alguna forma,han colaborado, directa o indirectamente, en la escritura de este libro, al fin y alcabo, la escritura del libro esta ıntimamente relacionada con una trayectoria pro-fesional de mas de 30 anos. Por otro lado, quiero ser breve y no deseo olvidarmede nadie, ası que comenzare con un agradecimiento generico a todos los miembrosdel Grupo de Mecanica Espacial de la Universidad de Zaragoza y a todos los cole-gas y amigos de las Universidades de La Rioja, Santiago de Compostela, Murcia,Cartagena, Pamplona y del Real Observatorio de la Armada.

xv

Por otra parte, es de justicia escribir unas lineas aparte, y muy destacadas,para todos los miembros del grupo APSIDE (Asociacion para la Promocion Socialde la Investigacion y el Desarrollo Espacial), seccion aragonesa del proyecto SSETI(Student Space Exploration and Technology Initiative) a quienes dedico de maneraespecial este libro y que son quienes, de alguna forma, me han creado la obligacionmoral de escribirlo, terminarlo e intentar que sea una herramienta util para todosaquellos estudiantes interesados en la industria espacial.

El proyecto SSETI nacio hace unos anos como una iniciativa de la AgenciaEspacial Europea (ESA) para formar a jovenes estudiantes en el ambito espacial.El proyecto pretendıa agrupar universidades de toda Europa formando equiposque serıan capaces de disenar, construir y lanzar satelites. La novedad consistıa enque todo el proyecto estarıa dirigido y formado exclusivamente por estudiantes,contando con el apoyo de expertos de la Agencia y profesores de las universidades.

Como primer objetivo se planteo la construccion y envıo al espacio del sateliteESEO (European Student Earth Orbiter). Itziar Barat y Ruben Castro, estu-diantes de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Zaragoza, asumieron elliderazgo de un grupo de companeros de las licenciaturas de Matematicas y Fısi-cas y se encargaron del analisis de mision de ESEO, es decir, el diseno de la orbitay de todos los aspectos astrodinamicos derivados de la misma. Ademas conven-cieron a Antonio Elipe, que fue decano de la Facultad de Ciencias y Director delInstituto de Matematicas y Aplicaciones de Aragon, y a mi mismo, para actuarcomo profesores tutores del proyecto Los miembros del SSETI han ido cambian-do, en su mayor parte por terminar sus estudios de licenciatura. A lo largo deestos anos varias generaciones de estudiantes han ido desarrollando sin desanimoel proyecto. Ademas de los ya mencionados debo nombrar tambien a Isaac Today Eva Tresaco en la segunda generacion, a Julia Marın-Yaseli, David Vicente yAlejandro Vaquero en la tercera y el ultimo por ahora, Jonatan Peris, que haconseguido que la llama de la ilusion no se extinga. No son los unicos y ruego alresto de sus companeros que me perdonen y que hagan suyo mi homenaje a todoel grupo.

La falta de estabilidad de los grupos, que necesariamente debıan cambiar al-gunos miembros cada ano, hicieron ver a los organizadores de la ESA que losobjetivos iniciales de ESEO eran demasiado ambiciosos, por lo que se planteo lanecesidad de desarrollar un proyecto algo menos exigente que, por su duracion,no desmotivara a los participantes. Ası nacio SSETI-Express, un satelite artificialmas pequeno desarrollado en dos anos y lanzado al espacio el dıa 27 de Octubre de2005. Aunque la senal de dicho satelite se perdio por problemas en las baterıas,podemos calificar sus resultados como de profundo exito. Este exito animo aluso de la experiencia adquirida para alcanzar mayores objetivos, como el pro-yecto ESMO (European Student Moon Orbiter) que trataba de enviar una navea orbitar en torno a la Luna. Diversos acontecimientos posteriores, junto con lacrisis economica, minimizaron los objetivos propuestos, aunque afortunadamentetodavıa subsiste una pequena llama encendida, en espera de tiempos mejores.

xvi

Para un profesor nada hay tan importante como el exito de sus alumnos, eneste caso comprobado y reconocido. Por ello, quiero enviarles a todos ellos miagradecimiento mas profundo, por ser los culpables de la finalizacion del libroy por haber logrado que recuperara la ilusion por la docencia y demostrarme,y demostrar a muchos otros, que con voluntad y con esfuerzo cualquier jovenpreparado es capaz de conseguir lo que se proponga.

Zaragoza, Agosto de 2012

Alberto Abad

Parte I

Sistemas de referencia enAstrodinamica

1

Capıtulo 1

Sistemas de referencia en IR3

1.1 Introduccion

El objetivo del presente capıtulo es recordar el concepto de sistema de refe-rencia en IR3, necesario para situar la posicion de los astros y otros objetos en elespacio. Para ello, efectuaremos un breve repaso de las propiedades basicas delespacio vectorial real IR3 y de todos los conceptos asociados al mismo como losproductos escalar, vectorial y mixto, angulos, etc., que seran de gran importanciaen el desarrollo del libro.

Estas notas no constituyen un tratado de algebra, de hecho, sera necesaria unarevision de un libro especializado para una mejor comprension de algunos de losconceptos aquı utilizados. Sin embargo, hemos preferido profundizar en algunosaspectos, como el de sentido de un angulo y la orientacion de los sistemas dereferencia, pues estos conceptos, de gran importancia en la Astrodinamica, son amenudo tratados sin demasiado rigor.

La trigonometrıa esferica ha sido la herramienta tradicional para resolver pro-blemas de Astronomıa de Posicion, donde el concepto de distancia entre puntos,imposible de medir por observacion directa, es cambiado por el de distancia an-gular, sustituyendo los puntos de IR3 por su proyeccion en una esfera de radioarbitrario (tomado como unidad de longitud). En este libro, salvo en una oca-sion, hemos utilizado el calculo vectorial y matricial en lugar de las formulas dela trigonometrıa esferica, lo que conduce a relaciones mas faciles de entender yque no contienen ambiguedades. Sin embargo, con objeto de que el lector puedacomprender algunas de las demostraciones que aparecen en libros clasicos de As-trodinamica desarrollaremos brevemente en este capıtulo los fundamentos de la

4 Sistemas de referencia en IR3

trigonometrıa esferica.

1.2 El espacio afın IR3: sistemas de referencia

El espacio IR3 puede ser considerado como un conjunto de elementos, llamadospuntos, que se representan por letras mayusculas: O,P,Q, S, . . .; o bien, como elconjunto de vectores x de un espacio vectorial real de dimension tres.

Estas dos formas de ver IR3 pueden relacionarse si consideramos un puntocualquiera O 2 IR3, que llamaremos origen, y asociamos a cada punto P un vectorde IR3, que llamaremos x = OP , y que geometricamente representa el segmento(vector) que une el punto O con el punto P . Si consideramos otro punto Q, talque y = OQ, podremos poner QP = OP � OQ = x � y. De esta forma hemosdotado a IR3 de una estructura de espacio afın.

Si consideramos una base (i1

, i2

, i3

) de IR3 el elemento x 2 IR3 puede repre-sentarse por tres numeros reales (x

1

, x2

, x3

), que son llamados componentes delvector en dicha base, de manera que x = x

1

i

1

+ x2

i

2

+ x3

i

3

.

Al conjunto formado por el origen y la base {O, i1

, i2

, i3

} le llamaremos sistemade referencia de IR3. En este sistema de referencia el vector correspondiente alorigen O tiene sus tres componentes nulas.

1.3 Producto escalar: IR3 como espacio euclıdeo

Llamaremos producto escalar de dos vectores x,y, al numero real

x · y = x1

y1

+ x2

y2

+ x3

y3

, (1.1)

donde (x1

, x2

, x3

), (y1

, y2

, y3

) son las componentes de x,y en la base (i1

, i2

, i3

).Aunque el valor obtenido con esta definicion depende de la base donde estemostrabajando, puede demostrarse facilmente que el valor del producto escalar esindependiente de la base en la cual se calcule. El producto escalar nos permi-tira definir los conceptos de angulo y distancia.

Diremos que dos vectores son ortogonales cuando su producto escalar sea cero.

Llamaremos longitud o norma de un vector al escalar

kx k =px · x = (x2)1/2.

De esta forma, la distancia entre dos puntos P,Q vendra dada por la norma delvector QP = OP �OQ.

Todo vector x puede ser expresado en la forma

x = kx k x,

Angulos y funciones circulares inversas 5

donde x representa un vector de norma unidad en la misma direccion que x y porlo cual sera llamado direccion. Esta propiedad permite caracterizar un vector porsu norma y su direccion.

El producto escalar de vectores verifica ademas las siguientes propiedades:

x · y = y · x,x · (y + z) = x · y + x · z,

(�x) · y = �(x · y),x · x � 0,

x · x = 0 () x = 0.

(1.2)

La introduccion de los conceptos de producto escalar y distancia y sus propie-dades permiten considerar IR3 como espacio euclıdeo.

↵

2⇡ � ↵

x

y

Figura 1.1: Angulo entre dos vectores.

Llamaremos angulo entre dos vectoresx,y, al numero real ↵ que verifica

x · y = kx kky k cos↵. (1.3)

Las propiedades de la funcion coseno,ası como la propia geometrıa de la figura1.1, nos indican la existencia de dos po-sibles soluciones de la anterior ecuacionque se corresponden con los dos angulos↵, 2⇡ � ↵.

1.4 Angulos y funciones circulares inversas

Observando la figura 1.1 podemos pensar en un angulo como el arco o trayec-toria recorrido por el vector x hasta llegar a la direccion ocupada por el vector y.Para llegar a y puede pasarse varias veces por su posicion, lo que equivale a darvarias vueltas y se corresponde con las propiedades de periodicidad de la funcioncoseno. Ası pues, desde el punto de vista de la definicion anterior, el angulo entredos vectores o direcciones puede considerarse identico si le restamos o sumamosun numero entero de vueltas, esto es, un multiplo de 2⇡.

Con objeto de evitar esta multiple definicion y precisar mas este conceptodefiniremos en IR una relacion de equivalencia R

2⇡

de la siguiente forma: dadosx, y 2 IR diremos que x esta relacionado con y, esto es xR

2⇡

y, si y solo si existe unk 2 ZZ tal que x� y = 2k⇡. El conjunto A de las clases de equivalencia definidaspor R

2⇡

coincide con el conjunto cociente IR /2⇡ZZ y hereda la estructura de grupoconmutativo. Los elementos de A seran llamados angulos.

Un representante cualquiera de cada clase de A, que viene dado por un numeroreal, sera llamado determinacion del angulo ↵. Llamaremos determinacion prin-cipal de ↵ al numero real perteneciente al intervalo [0, 2⇡) que sea representante


de una clase de IR /2⇡ZZ. Obtener la determinacion principal de un angulo es lomismo que calcular el resto de la division del numero real que representa el angulopor 2⇡ o bien obtener el valor congruente (modulo 2⇡) de este numero.

Observese que podemos definir un isomorfismo entre el conjunto A de angulosy el intervalo [0, 2⇡) a traves de la determinacion principal de cada angulo. Porello, a partir de aquı, cuando hablemos de angulo nos referiremos siempre a su de-terminacion principal o a su valor ↵ 2 [0, 2⇡). De esta forma quedaran justificadasigualdades del tipo ↵+ ⇡ = ↵� ⇡ y otras que aparecen cuando obtenemos la de-terminacion principal de una combinacion lineal de angulos cuyo valor, obtenidopor reglas aritmeticas, excede de 2⇡ o es menor que 0.

En ocasiones la practica comun exige la eleccion de otra determinacion paralos angulos, basada en una definicion de los mismos en el intervalo (�⇡,⇡]. Estarepresentacion se establecera para los angulos definidos explıcitamente en dichointervalo o en un subintervalo de este.

Las funciones trigonometricas o circulares

sen, cos : IR �! [�1, 1],tan : IR �! IR[{�1,1},

son tres1 funciones suprayectivas y periodicas, de periodo 2⇡, cuyas propiedadessuponemos de sobra conocidas.

A pesar de no ser biyectivas, su periodicidad permite la definicion de unaserie de funciones inversas llamadas arco coseno (acos), arco seno (asin) y arcotangente (atan) que seran biyectivas si restringimos el intervalo de definicion

acos : [�1, 1] �! [0,⇡],

asen : [�1, 1] �! [�⇡2,⇡

2],

atan : IR[{�1,1} �! [�⇡2,⇡

2].

(1.4)

Esta determinacion de cuadrante es la usada habitualmente por todos los lengua-jes de programacion y calculadoras cuando se invocan las funciones inversas delas circulares. Notese ademas que la funcion acos ası definida, cuando se usa parala obtencion del angulo entre dos vectores, determina el menor de los dos posibleso angulo agudo.

Habitualmente el uso de las funciones arco coseno, arco seno y arco tangen-te viene asociado a la resolucion de ecuaciones del tipo cos↵ = x, sen↵ = x,o tan↵ = x. Si el significado geometrico de ↵ en dichas ecuaciones se restringe alintervalo de definicion de las funciones, la solucion de cada una de esas ecuacionessera unica y vendra dada por las funciones acos, asen, atan, respectivamente. En

1Las funciones sec, cosec, cotan, pueden considerarse funciones auxiliares de sen, cos y tan ysus propiedades facilmente deducibles a partir de ellas por lo que no son consideradas en estaexposicion.

Angulos y funciones circulares inversas 7

caso contrario, si la solucion puede ser un angulo cualquiera en su determina-cion principal, tendremos dos posibles soluciones por cada ecuacion, que vendranexpresadas por las funciones arccos, arcsin, arctan en lugar de acos, asen, atan,

cos↵ = x () ↵ = arccosx ()⇢

↵0

= acosx,↵1

= � acosx,

sen↵ = x () ↵ = arcsenx ()⇢

↵0

= asenx,↵1

= ⇡ � asenx,

tan↵ = x () ↵ = arctanx ()⇢

↵0

= atanx,↵1

= ⇡ + atanx.

(1.5)

Cuando conozcamos simultaneamente el coseno y el seno de un angulo, cos↵ =x, sen↵ = y, este podra ser encontrado sin ambiguedad tomando la solucioncomun de entre las dos obtenidas a partir de arccosx, arcsen y. Al igual que enalgunos lenguajes de programacion, que definen una funcion arco tangente condos argumentos para resolver dicho caso, en lo que sigue utilizaremos la funcionatan(x, y) que determina, sin ambiguedad, el angulo ↵ que forma el punto (x, y) 2IR2�{(0, 0)} con el eje Ox del plano, esto es, cuyo coseno es x/

p

x2 + y2 y cuyo

seno es y/p

x2 + y2.

↵ = atan(x, y) ()

8

>

<

>

:

cos↵ =x

p

x2 + y2,

sen↵ =y

p

x2 + y2.

(1.6)

Notese que hemos usado un orden de variables distinto a la funcion atan2 deFORTRAN, pues hemos considerado que esta forma concuerda mas con el lengua-je habitual de las Matematicas, donde la primera coordenada x suele representarel coseno, y la segunda, y, el seno.

Propiedad.- La ecuacion

tan↵

2= x, (1.7)

tiene una unica solucion dada por la expresion

↵ = 2atanx. (1.8)

En efecto, aplicando la funcion inversa

↵

2= arctanx =

⇢

atanx,⇡ + atanx,

(1.9)

y llamando ↵0

,↵1

a las dos soluciones, se tendra

↵1

= 2(⇡ + atanx) = 2⇡ + 2atanx = 2atanx = ↵0

.


Propiedad.- Las dos soluciones de la ecuacion

A = C cos↵+ S sen↵, A,B,C 2 IR, (1.10)

vienen dadas por la expresion

↵ = atan(C, S)� arccos

✓

ApC2 + S2

◆

. (1.11)

En efecto, si llamamos M,m, a las constantes definidas por

C = M cosm, S = M senm,

o lo que es igual

M =p

C2 + S2, m = atan (C, S) ,

podremos poner

A = M cosm cos↵+M senm sen↵ = M cos(m� ↵),

de donde invirtiendo se llega a

m� ↵ = arccos

✓

A

M

◆

,

y finalmente

↵ = m� arccos

✓

A

M

◆

.

1.5 Producto vectorial y mixto

Como sabemos, dos vectores linealmente independientes de IR3 determinan unplano. Ademas, podemos definir dos direcciones distintas, ortogonales al plano,equivalentes a los conceptos relativos de encima y debajo del plano. Por otro lado,las dos direcciones ortogonales al plano son opuestas entre si. Para caracterizarestas dos direcciones estableceremos el concepto de producto vectorial.

Supongamos dos vectores x,y que forman entre si un angulo2 ↵ = acos(x ·y).Llamaremos producto vectorial de dos vectores x,y, y lo representaremos porx⇥ y, a un vector que se caracteriza por:

Su norma, kx⇥ y k = kx kky k sen↵.

Su direccion, ortogonal al plano definido por x,y, que viene definida por ladireccion de avance de un sacacorchos o tornillo3 cuando gira para llevar elvector x hacia el vector y por el camino mas corto (angulo agudo ↵).

Sistemas de referencia ortonormales 9

x

y

x⇥ y

xy

x⇥ y

Figura 1.2: Producto vectorial de dos vectores.

La figura 1.2 representa los dos posibles vectores x⇥y segun la posicion relativade x e y. Puede observarse tambien que las dos unicas direcciones ortogonales alplano definido por dichos vectores se representan por los vectores x⇥ y e y ⇥ x,que ademas verifican la relacion

x⇥ y = �y ⇥ x.

Al producto escalar de un vector x por el vector resultante del producto vec-torial de otros dos y⇥z, que puede tambien denotarse como [x,y, z] = x ·(y⇥z),se le suele llamar producto mixto de tres vectores.

1.6 Sistemas de referencia ortonormales

La definicion de ortogonalidad nos permite definir un sistema de referenciadonde los vectores de la base son ortogonales4 entre si

i

1

· i2

= i

1

· i3

= i

2

· i3

= 0.

A dicho sistema de referencia le llamaremos sistema de referencia ortogonal. Siademas los vectores tienen norma unidad

i

2

1

= i

2

2

= i

2

3

= 1,

el sistema sera llamado sistema de referencia ortonormal.

De acuerdo con lo visto en el apartado anterior, dados dos vectores ortogonalesy unitarios i

1

, i2

, existen unicamente dos direcciones ortogonales al plano definido

2Como se ha dicho antes hemos elegido el menor de los dos posibles o angulo agudo.3Recuerdese que un sacacorchos avanza hacia arriba cuando gira en sentido contrario a las

agujas del reloj y hacia abajo en caso contrario.4Tres vectores de IR3 ortogonales entre si son linealmente independientes.


por i1

y i

2

. Estas dos direcciones son las representadas por los vectores i1

⇥ i

2

ei

2

⇥ i

1

, que en ambos casos tienen norma unidad de acuerdo con la definicion deproducto vectorial.

De esta forma se llega a las dos posibles elecciones de sistemas de referenciaortonormales: sistema directo (llamado tambien sistema dextrogiro o de orienta-cion positiva) cuando i

3

= i

1

⇥ i

2

y sistema retrogrado (sistema levogiro o deorientacion negativa) cuando i

3

= i

2

⇥ i

1

.

i

1

i

2

i

3

i

1

i

2

i

3

Figura 1.3: Sistema de referencia de orientacion positiva (izquierda) y de orientacionnegativa (derecha). Notese la posicion distinta de los vectores i1, i2 en ambos sistemas.

Propiedad.- Para todo sistema ortogonal directo se verifica

1.i

3

= i

1

⇥ i

2

, i

1

= i

2

⇥ i

3

, i

2

= i

3

⇥ i

1

. (1.12)

2. Dados dos vectores x = x1

i

1

+ x2

i

2

+ x3

i

3

, y = y1

i

1

+ y2

i

2

+ y3

i

3

, suproducto vectorial se puede expresar como

x⇥ y = (x2

y3

� x3

y2

)i1

+ (x3

y1

� x1

y3

)i2

+ (x1

y2

� x2

y1

)i3

=

�

�

�

�

�

�

i

1

i

2

i

3

x1

x2

x3

y1

y2

y3

�

�

�

�

�

�

.(1.13)

3. Dados tres vectores x = x1

i

1

+ x2

i

2

+ x3

i

3

, y = y1

i

1

+ y2

i

2

+ y3

i

3

yz = z

1

i

1

+ z2

i

2

+ z3

i

3

, su producto mixto se puede expresar como

[x,y, z] =

�

�

�

�

�

�

x1

x2

x3

y1

y2

y3

z1

z2

z3

�

�

�

�

�

�

. (1.14)

Otras propiedades de los distintos productos de vectores 11

Propiedad.- Para todo sistema ortogonal retrogrado se verifica

1.i

3

= i

2

⇥ i

1

, i

2

= i

1

⇥ i

3

, i

1

= i

3

⇥ i

2

, (1.15)

2. Dados dos vectores x = x1

i

1

+ x2

i

2

+ x3

i

3

, y = y1

i

1

+ y2

i

2

+ y3

i

3

, suproducto vectorial se puede expresar como

x⇥ y = (y2

x3

� y3

x2

)i1

+ (y3

x1

� y1

x3

)i2

+ (y1

x2

� y2

x1

)i3

=

�

�

�

�

�

�

i

1

i

2

i

3

y1

y2

y3

x1

x2

x3

�

�

�

�

�

�

.(1.16)

3. Dados tres vectores x = x1

i

1

+ x2

i

2

+ x3

i

3

, y = y1

i

1

+ y2

i

2

+ y3

i

3

yz = z

1

i

1

+ z2

i

2

+ z3

i

3

, su producto mixto se puede expresar como

[x,y, z] =

�

�

�

�

�

�

x1

x2

x3

z1

z2

z3

y1

y2

y3

�

�

�

�

�

�

. (1.17)

Las dos propiedades anteriores caracterizan los sistemas directos y retrogradoscuya representacion grafica puede verse en la figura 1.3.

La definicion de producto vectorial no es util para el calculo del mismo. Pararealizar este calculo es necesario acudir a una de las expresiones (1.13) o (1.16).Hay que hacer notar aquı que unicamente la primera es usada en la mayorıa delos libros y las librerıas de los lenguajes de programacion. Esto supone que demanera implıcita dichos libros y programas trabajan con un sistema de referenciaortogonal directo.

En Astronomıa, se utilizan dos sistemas de coordenadas, horizontales y hora-rias, que se definen habitualmente a traves de sistemas de referencia retrogrados.En este libro, con objeto de evitar el problema generado por las distintas propie-dades del producto vectorial, utilizaremos unicamente sistemas directos, para loque redefiniremos las coordenadas asociadas a los sistemas retrogrados.

1.7 Otras propiedades de los distintos productosde vectores

Daremos a continuacion otras propiedades de los productos de vectores queson independientes de la orientacion de la base elegida para su calculo. Estaspropiedades seran usadas a lo largo del libro.


Propiedad .- Las relaciones siguientes son validas independientemente del siste-ma de referencia en el que expresemos los vectores:

x⇥ (y + z) = x⇥ y + x⇥ z, (1.18)

(x⇥ y)2 = kx k2ky k2 � (x · y)2, (1.19)

(x⇥ y)⇥ z = (x · z)y � (y · z)x, (1.20)

x⇥ (y ⇥ z) = (x · z)y � (x · y)z. (1.21)

Propiedad.- El area de un triangulo de vertices O,P,Q viene dada por el valorde kx⇥ y k/2, siendo x = OP, y = OQ.

Propiedad.- Dados dos vectores ortogonales a, b, y un escalar c, el sistema

x⇥ a = b,x · a = c,

(1.22)

tiene como unica solucion

x =a⇥ b+ ca

a · a . (1.23)

En efecto,a⇥ b = a⇥ (x⇥ a) = (a · a)x� (a · x)a,

de donde despejando se llega a la solucion.

1.8 Angulo orientado entre dos vectores

La ecuacion (1.3) nos ha permitido introducir el concepto de angulo y sumedida a traves del producto escalar. La solucion de dicha ecuacion conduce,como se ve en la figura 1.1, a dos valores, ↵ y 2⇡�↵, que representan igualmenteal angulo salvo que las propiedades geometricas de un determinado problemarestrinjan el rango de valores a un subintervalo de [0, 2⇡).

Tambien podremos discriminar uno de los dos posibles valores cuando defina-mos un sentido de recorrido de los angulos y tomemos uno de los dos vectorescomo origen (de aquı en adelante x). Generalmente se considera sentido de giropositivo al recorrido en sentido contrario a las agujas del reloj y sentido de gi-ro negativo al recorrido en sentido de las agujas de un reloj. En dinamica suelehablarse tambien de sentido directo y sentido retrogrado respectivamente. Habi-tualmente se considera positivo el signo de los angulos medidos en sentido directoy negativo los medidos en sentido retrogrado.

La anterior definicion contiene tambien una ambiguedad, pues el sentido posi-tivo se transforma en negativo, y viceversa, cuando miramos la figura desde el otro

Angulo orientado entre dos vectores 13

lado del plano determinado por los vectores x,y. Dicha ambiguedad quedara eli-minada fijando, mediante el producto vectorial de los dos vectores, el subespaciodesde el cual observamos el giro.

Para fijar los conceptos de angulo directo o retrogrado entre dos vectores x,y,o angulo que va de x a y en sentido positivo o negativo, debemos fijar, en primerlugar, una orientacion o direccion n, definida a partir del vector (x⇥y)/kx⇥y k odel vector (y⇥x)/kx⇥y k. Fijado n, hablaremos de angulo directo, o recorrido ensentido positivo o directo, como aquel que lleva el vector x hacia y en el sentido degiro contrario a las agujas del reloj visto desde la direccion del espacio definida porel vector n. Un angulo retrogrado, o recorrido en sentido negativo o retrogrado,es el angulo recorrido en sentido contrario al anterior. Habitualmente todos loslibros usan, sin mencionarlo, la orientacion definida por n = (x⇥ y)/kx⇥ y k.

El concepto de sistema ortogonal directo nos va a permitir determinar, de unamanera precisa, el angulo directo entre dos vectores x,y, una vez hayamos definidola orientacion n. En efecto, por ser n ortogonal a x podemos definir un sistemade referencia ortonormal directo formado por los vectores {i

1

= x/kx k, i2

=n⇥x/kn⇥x k, i

3

= n}. Notemos que por ser n y x ortogonales se tiene kn⇥x k =kx k y por tanto i

2

= (n⇥x)/kx k. El vector y, que pertenece al plano formadopor i

1

y i

2

podra expresarse como

y = p i1

+ q i2

,

o lo que es igual

y = ky kp i1

+ ky kq i2

.

Si llamamos ↵ = atan(p, q) tendremos que

y = ky k cos↵ i

1

+ ky k sen↵ i

2

,

de donde podremos poner

ky k cos↵ = y · i1

=x · ykx k , ky k sen↵ = y · i

2

=y · (n⇥ x)

kx k =n · (x⇥ y)

kx k ,

y finalmente

kx kky k cos↵ = x · y, kx kky k sen↵ = n · (x⇥ y), (1.24)

o lo que es igual

↵ = ↵(x,y,n) = atan (x · y, n · (x⇥ y)) . (1.25)

La expresion (1.25) nos da de manera precisa y unica el valor del angulo que vade x a y en sentido positivo desde la orientacion definida por el vector n.


1.9 Coordenadas cartesianas y polares

Las componentes (x, y, z) de un vector x = x i1

+ y i2

+ z i3

, expresado en unsistema de referencia ortogonal directo {i

1

, i2

, i3

}, seran llamadas coordenadascartesianas o coordenadas rectangulares y representan:

Las proyecciones del vector x sobre los ejes Ox, Oy y Oz o direcciones i1

, i2

e i

3

respectivamente.

Los cosenos directores, o cosenos de los angulos que forma el vector x conlos ejes Ox,Oy y Oz:

x = kx k cos(x, i1

) = x · i1

,y = kx k cos(x, i

2

) = x · i2

,z = kx k cos(x, i

3

) = x · i3

.

En Astronomıa, donde en ocasiones la medida de la distancia a los astros noes conocida, resulta de particular importancia el uso de las coordenadas polaresesfericas que separan la distancia al origen de las otras coordenadas angulares.

Para definir las coordenadas polares esfericas (figura 1.4) consideraremos, enprimer lugar, un vector l de norma igual a kx k y cuya direccion representa lainterseccion del plano formado por x e i

3

con el plano Oxy formado por i

1

ei

2

. Llamaremos longitud � al angulo desde i

1

hasta l medido en sentido directotomando como orientacion la definida por el vector i

3

. La longitud puede tomarun valor cualquiera � 2 [0, 2⇡).

Llamaremos latitud � al angulo entre l y x. Este angulo se considera positivosi el vector x esta en el lado del espacio correspondiente a i

3

y negativo si esta enel correspondiente a �i

3

. De esta forma � 2 [�⇡/2,⇡/2].Por ultimo llamaremos distancia r a la norma kx k.Las coordenadas (r,�,�) seran llamadas coordenadas polares esfericas o sim-

plemente coordenadas esfericas y se caracterizan principalmente por separar ladistancia r de las cantidades angulares adimensionales �,�.

En ocasiones hablaremos de la colatitud o angulo � = ⇡/2 � � 2 [0,⇡] entrei

3

y x y de la colongitud o angulo � entre i

2

y l, medido en sentido retrogrado.Facilmente comprobamos que tambien se verifica � = ⇡/2� � 2 [0, 2⇡).

El uso de la colatitud y la colongitud permite usar los sistemas de coordenadas(r,�, �), (r, �,�), (r, �, �) como alternativa al sistema de coordenadas polaresesfericas.

Observando la figura 1.4 se deduce facilmente que un vector unitario l pertene-ciente al plano Oxy y que tiene una longitud �, forma tres angulos (�,⇡/2��,⇡/2)con los tres vectores de la base, por lo que sus componentes, dadas por los cosenosdirectores seran

l = cos� i1

+ cos(⇡

2� �) i

2

+ cos⇡

2i

3

= cos� i1

+ sen� i2

.

Coordenadas cartesianas y polares 15

�

�

�

�

i

1

i

2

i

3

x

l

Figura 1.4: Coordenadas polares esferi-cas.

De esta forma, se tendra, por un lado

l = r cos� i1

+ r sen� i2

,

y por otro,

x = r cos� l+ r cos � i3

= r cos� l+ r sen� i3

,

por lo que finalmente se llega a la expre-sion del vector en coordenadas polaresesfericas

x = r cos� cos� i1

+r sen� cos� i

2

+r sen� i

3

,(1.26)

lo que demuestra que las coordenadas cartesianas pueden expresarse en funcionde las polares esfericas en la forma:

x = r cos� cos�,y = r cos� sen�,z = r sen�.

(1.27)

Asimismo, invirtiendo las relaciones anteriores obtenemos las coordenadas esferi-cas en funcion de las rectangulares:

r =p

x2 + y2 + z2,

� = asenz

r,

� = atan(x, y).

(1.28)

Puesto que el paso de cartesianas a polares y el de polares a cartesianas seranmuy usados a lo largo del libro estableceremos, de aquı en adelante una nota-cion mas compacta que establece el nombre de una funcion que a traves de losalgoritmos (1.27) y (1.28) realiza la transformacion.

Llamaremos cart() a la funcion que obtiene el vector x = (x, y, z) a partir delvector de coordenadas polares (r,�,�),

x =

0

@

xyz

1

A =

0

@

r cos� cos�r cos� sen�r sen�

1

A = cart(r,�,�). (1.29)

Para referirnos a cada una de sus componentes podremos usar las funciones:

x = cart1

(r,�,�), y = cart2

(r,�,�), z = cart3

(r,�,�). (1.30)


Por otro lado, la funcion polar() representara la inversa de la anterior, es decir,nos dara el vector de coordenadas polares en funcion del vector en cartesianas

(r,�,�) = polar(x). (1.31)

Para referirnos a cada coordenada polar por separado usaremos las funcionessiguientes:

r = polarr

(x), � = polar�

(x), � = polar�

(x). (1.32)

Combinando el uso de la colatitud y colongitud con las coordenadas polarespodremos poner:

x = r sen � cos� i1

+ r cos � cos� i2

+ r sen� i3

, (1.33)

x = r cos� sen � i1

+ r sen� sen � i2

+ r cos � i3

, (1.34)

x = r sen � sen � i1

+ r cos � sen � i2

+ r cos � i3

, (1.35)

o bien usando la funcion cart() escribiremos

x = cart(r,⇡

2� �,�) = cart(r,�,

⇡

2� �) = cart(r,

⇡

2� �, ⇡

2� �).

1.10 Trigonometrıa esferica

Una de las caracterısticas de la observacion astronomica es la imposibilidad deuna medicion visual directa de la distancia al astro, pudiendose medir unicamentedistancias angulares. Las coordenadas polares resultan perfectamente adaptadasa la premisa anterior pues separan la distancia r al astro de las dos coordenadasangulares.

Desde un punto de vista practico prescindir de la distancia equivale a suponertodos los astros proyectados sobre una esfera de radio arbitrario que tomaremoscomo unidad. Esta esfera es llamada esfera celeste. En el caso de las orbitas delos cuerpos del sistema solar y de las naves espaciales la distancia es mucho me-nor que la distancia a las estrellas por lo que debe ser tomada en consideracion,sin embargo, los parametros angulares de su orbita pueden separarse y ser estu-diados sustituyendo la orbita por su proyeccion en la esfera celeste que sera unacircunferencia.

La necesidad de relacionar puntos en una esfera nos lleva a considerar unaherramienta muy usada en Astronomıa clasica: la trigonometrıa esferica. En estelibro se ha limitado al maximo el uso de triangulos esfericos, sin embargo, porclaridad en la lectura de otros libros de Astrodinamica y Mecanica Celeste seestudian en este apartado las formulas basicas de la trigonometrıa esferica: lasformulas de Bessel.

Comenzaremos recordando que la interseccion de la esfera con un plano quepase por su centro es una circunferencia que llamaremos cırculo maximo. Si elplano no pasa por el centro de la esfera el cırculo sera llamado cırculo menor.

Trigonometrıa esferica 17

Por otro lado, dados dos puntos en una esfera, existe uno y solo un cırculomaximo que pasa por ellos, pues estos dos puntos, junto con el centro determinanun plano que corta a la esfera en dicho cırculo maximo. Notese que el cırculomaximo es el equivalente a la recta en la geometrıa plana.

En geometrıa plana, queda perfectamente determinado el concepto de seg-mento de recta como la parte de la recta que une dos puntos. Sin embargo, dadosdos puntos en la esfera, al ser cerrado el cırculo maximo que los une, quedandeterminados dos segmentos y no uno. Para evitar confusiones consideraremosunicamente como segmento que une dos puntos al menor de ambos.

Uno de los parametros que representan un segmento de recta es su longitud.Esto ocurre tambien cuando consideramos un segmento de cırculo maximo, sinembargo, puesto que al trabajar en la esfera se pretende eliminar el conceptode distancia, o lo que es igual las dimensiones de longitud, deberemos sustituirel concepto de longitud del segmento por algun otro concepto equivalente. Paraello, basta recordar la expresion l = r✓, que relaciona la longitud del segmentode circunferencia con el producto del arco que este abarca por el radio de lacircunferencia. Si consideramos el radio como unidad de distancia, la longituddel segmento equivale al arco. Ası pues, a partir de ahora, cuando hablemos delongitud del segmento que une dos puntos de la esfera, entenderemos como tal elarco que dicho segmento abarca, expresado en radianes.

Tres puntos no alineados en un plano forman un triangulo plano, que quedacaracterizado por seis parametros: la longitud de los tres lados y los angulos queforman entre si los tres lados. Si tomamos tres puntos sobre una esfera podemosunirlos dos a dos por medio de segmentos de cırculo maximo (figura 1.5). La figuraformada en la esfera por estos tres segmentos sera llamada triangulo esferico.

a

b c

A

B

C

Figura 1.5: Triangulo esferico.

Un triangulo esferico viene caracterizado tambien por seis elementos: la lon-gitud de sus tres lados (a, b, c), que como hemos dicho antes viene expresada en


radianes, y por sus tres angulos (A,B,C) que quedan definidos por los tres angulosque forman entre si los planos que definen cada par de cırculos maximos. Debidoa la forma de elegir el segmento entre los dos posibles, los tres lados verifican larelacion a 2 [0,⇡], b 2 [0,⇡], c 2 [0,⇡]. De la misma forma esto obliga a que severifiquen tambien las relaciones A 2 [0,⇡], B 2 [0,⇡], C 2 [0,⇡].

La trigonometrıa esferica permite obtener los seis elementos de un trianguloesferico a partir de tres cualesquiera de ellos.

1.10.1 Formulas de Bessel

Con objeto de encontrar las formulas que nos permitiran resolver un trianguloesferico, definiremos un sistema de referencia en el que el origen coincida con elcentro de la esfera. De esta forma los vectores, de norma unidad, que unen el origencon cada vertice del triangulo esferico seran llamados a = OA, b = OB, c = OC.

⇡

2

� c ⇡

2

� b

A

A

a

b

c

Figura 1.6: Vectores que definen los verti-ces del triangulo.

Elegiremos un sistema de referen-cia ortogonal directo de forma quei

3

= a, y b este en el plano formadopor Oxz. Ası, atendiendo a la figura1.6, podemos deducir que:

a = i

3

,b = sen c i

1

+ cos c i3

,c = sen b cosA i

1

+sen b senA i

2

+ cos b i3

.(1.36)

Puesto que el angulo entre cada par devectores es igual al lado que formansus vertices podremos poner, por unlado

b · c = cos a,

y por otro, sustituyendo el valor de losvectores dado por las relaciones (1.36),obtendremos

b · c = cos b cos c+ sen b sen c cosA.

Igualando las dos ultimas ecuaciones se obtiene la expresion

cos a = cos b cos c+ sen b sen c cosA, (1.37)

que es la conocida como primera formula de Bessel o formula del coseno.

Tanto en la anterior como en todas las formulas de la trigonometrıa esfericapodemos permutar las tres letras que representan lados y angulos distintos. De estaforma las formulas obtenidas no seran unicas. En particular, la primera formula deBessel debe leerse de la siguiente forma: el coseno de un lado es igual al producto


de los cosenos de los otros dos lados mas el producto de los senos de los otros doslados por el coseno del angulo opuesto al primer lado. Ası tendremos tres y nouna formula del coseno.

Por otro lado, llamaremos A,B,C a los vectores unitarios ortogonales a losplanos que contienen cada lado del triangulo esferico y cuya expresion viene dadacomo

C =a⇥ b

ka⇥ b k , B =c⇥ a

k c⇥ a k , A =b⇥ c

k b⇥ c k , (1.38)

o lo que es igual

A =� cos c senA sen b

sen ai

1

+cosA cos c sen b� cos b sen c

sen ai

2

+senA sen b sen c

sen ai

3

,

B = senA i

1

� cosA i

2

,

C = i

2

.(1.39)

Los extremos de los vectores A,B,C forman otro triangulo esferico (figura1.7), que es llamado triangulo polar, cuyos lados son a0 = ⇡ �A, b0 = ⇡ �B, c0 =⇡ � C y cuyos angulos son A0 = ⇡ � a,B0 = ⇡ � b, C 0 = ⇡ � c.

⇡

2

�A

A

a

b

c

A

B

C

Figura 1.7: Triangulo polar.

Por ser ⇡ � B el angulo entre A yC tendremos, por un lado, que

kA⇥C k = kA kkC k sen(⇡ �B)

= senB,

y por otro lado

sen2 B = kA⇥C k2 = (A⇥C)·(A⇥C).

Si sustituimos las expresiones dadasen (1.39), desarrollamos y efectuamosciertas simplificaciones, llegaremos a laigualdad

sen a senB = sen b senA. (1.40)

Escribiendo esta expresion para to-das las permutaciones de letras se obtiene la segunda formula de Bessel o formulade los senos que puede tambien expresarse en la forma siguiente

sen a

senA=

sen b

senB=

sen c

senC. (1.41)

Por ultimo, si calculamos el producto escalar de A por C, tendremos por unlado

A ·C = cos(⇡ �B) = � cosB,


y por otro

A ·C =� cos b sen c+ sen b cos c cosA

sen a,

lo que lleva finalmente a obtener la tercera formula de Bessel

sen a cosB = cos b sen c� sen b cos c cosA. (1.42)

Las tres formulas de Bessel son validas para cualquier triangulo esferico, portanto lo seran tambien para el triangulo polar. Ası pues si las aplicamos para loselementos a0 = ⇡ � A, b0 = ⇡ �B, c0 = ⇡ � C,A0 = ⇡ � a,B0 = ⇡ � c, C 0 = ⇡ � c,obtendremos, por un lado

cosA = � cosB cosC + senB senC cos a, (1.43)

que sera llamada primera formula polar, y por otro

senA cos b = cosB senC + senB cosC cos a, (1.44)

que sera llamada tercera formula polar.

La segunda de Bessel aplicada al triangulo polar vuelve a dar la misma ex-presion, por lo que ha sido omitida y es la razon por la que no hemos definidoninguna segunda formula polar.

1.10.2 Regla del pentagono de Neper

Las formulas de Bessel se simplifican cuando alguno de los elementos, biensea un lado o un angulo, vale 90�. A un triangulo de este tipo le llamaremosrespectivamente triangulo rectilatero o triangulo rectangulo.

Neper reunio todas las formulas de Bessel particularizadas para ambos casos yconsiguio enunciar una regla muy simple, llamada regla del pentagono de Neper,que relaciona entre si todos los elementos de estos triangulos.

Estas reglas van asociadas a cada uno de los pentagonos dibujados en lasfiguras 1.8(a), 1.8(b). Estos pentagonos pueden modificarse con una permutacioncualquiera de las letras en el representadas.

Hay dos reglas para cada pentagono que se pueden enunciar de la siguienteforma:

El coseno de un elemento situado en un vertice es igual al producto de lascotangentes de los elementos situados en vertices contiguos.

El coseno de un elemento situado en un vertice es igual al producto de lossenos de los elementos situados en vertices opuestos.


A = 90�

a

B C

90� � c 90� � b

(a) Triangulo rectangulo.

a = 90�

180� �A

b c

90� � C 90� �B

(b) Triangulo rectilatero.

Figura 1.8: Pentagono de Neper.

1.10.3 Analogıas de Neper

Las cinco formulas de Bessel, y las que se derivan de la posible permutacionde letras, permiten la resolucion de cualquier tipo de triangulo esferico a partirde tres datos del mismo. Sin embargo, con objeto de discriminar de forma sencillaentre dos posibles soluciones es conveniente el uso de otro conjunto de formulas,obtenidas a partir de las anteriores, que seran llamadas analogıas de Neper.

Las analogıas de Neper5 pueden escribirse como:

tanA

2= cos

b� c

2sec

b+ c

2cot

B + C

2,

tana

2= sec

B � C

2cos

B + C

2tan

b+ c

2.

(1.45)

Veremos unicamente la obtencion de la primera, pues el resto se obtiene demanera identica. Para ello, reuniremos convenientemente las expresiones (1.41)llegando a

sen a (senB + senC) = senA (sen b+ sen c),

por otro lado, aplicando dos de las permutaciones de las terceras formulas deBessel (1.42), se llega a

sen a(cosB + cosC) = (1� cosA)(cos c sen b+ cos b sen c),

que divididas nos conducen a

senB + senC

cosB + cosC=

senA (sen b+ sen c)

(1� cosA)(cos c sen b+ cos b sen c).

5Existen otras expresiones similares, pero estas nos dan la informacion suficiente para com-pletar el algoritmo del proximo apartado.


Usando simples relaciones trigonometricas se llega finalmente a

tanB + C

2= cos

b� c

2sec

b+ c

2cot

A

2,

que coincide con la primera de las expresiones (1.45).

1.10.4 Algoritmo para la resolucion de triangulos esfericos

Podemos encontrar un algoritmo muy simple para resolver cualquier trianguloesferico si tenemos en cuenta las siguientes propiedades derivadas de las funcionestrigonometricas:

Cualquier lado o angulo de un triangulo esferico esta en el primer o segun-do cuadrante luego para determinarlo unıvocamente se precisa conocer sucoseno.

La tangente del angulo mitad determina, sin ambiguedad el cuadrante decualquier angulo.

La resolucion de un triangulo esferico del que conocemos tres elementos serealizara mediante seis conjuntos de formulas que representan casos identicos salvouna permutacion de letras.

1. Tres angulos (A,B,C) conocidos.

Solucion unica obtenida a partir de las tres formulas polares del coseno.

2. Tres lados (a, b, c) conocidos.

Solucion unica obtenida a partir de las tres formulas del coseno.

3. Conocidos dos lados y un angulo de manera que el angulo no sea opuesto aninguno de los dos lados. Esto corresponde a los tres casos: (a, b, C), (a, c, B),(b, c, A).

Cada uno de estos casos tiene solucion unica en la que el tercer lado seobtiene por aplicacion directa de la formula del coseno, y una vez obtenidoeste, los otros dos angulos se obtienen como en el segundo caso por aplicacionde las formulas del coseno.

4. Conocidos dos angulos y un lado de manera que el lado no sea opuestoa ninguno de los dos angulos. Esto corresponde a los tres casos: (A,B, c),(A,C, b), (B,C, a).

Cada uno de estos casos tiene solucion unica en la que el tercer angulo seobtiene por aplicacion directa de la formula polar del coseno, y una vezobtenido este, los otros dos lados se obtienen como en el primer caso poraplicacion de las formulas polares del coseno.


5. Conocidos dos lados y un angulo de manera que el angulo sea opuesto aalguno de los dos lados. Esto corresponde a los seis casos: (a, b, A), (a, b, B),(a, c, A), (a, c, C), (b, c, B), (b, c, C).

Cada uno de estos casos tiene solucion doble. Por ejemplo el caso (a, b, A)se resuelve aplicando en primer lugar la formula de los senos para obtenerB. Del seno se obtienen dos valores B

1

, B2

que seran llevados junto con losde (a, b, A) a las analogıas de Neper para obtener c y C. El resto de casos seresuelve tambien con una aplicacion de la formula de los senos y luego lasdos analogıas de Neper.

6. Conocidos dos angulos y un lado de manera que el lado sea opuesto a algunode los dos angulos. Esto corresponde a los seis casos: (A,B, a), (A,B, b),(A,C, a), (A,C, c), (B,C, b), (B,C, c).

Cada uno de estos casos tiene solucion doble. Por ejemplo el caso (A,B, a)se resuelve aplicando en primer lugar la formula de los senos para obtenerb. Del seno se obtienen dos valores b

1

, b2

que seran llevados junto con losde (a, b, A) a las analogıas de Neper para obtener c y C. El resto de caos seresuelve tambien con una aplicacion de la formula de los senos y luego lasdos analogıas de Neper.

La indicacion de solucion unica o doble de cada uno de los seis casos representaunicamente el numero maximo de soluciones. En todos los casos puede habermenos soluciones. La anulacion de la solucion obtenida se realizara cuando seobtenga un valor mayor que la unidad para un seno o un coseno o al aplicar lasanalogıas de Neper se obtenga un angulo mayor que 180�.

Capıtulo 2

Cambios del sistema dereferencia: rotaciones

2.1 Introduccion

Si tenemos un punto P , referido a un sistema de referencia {O, i1

, i2

, i3

}, yqueremos expresarlo en el sistema {O0,f

1

,f2

,f3

} debemos transformar la expre-sion del vector OP en la base inicial {i

1

, i2

, i3

} en la expresion del vector O0P enla base del sistema final {f

1

,f2

,f3

}. Para ello debemos realizar dos operaciones:

una traslacion del origen, dada por la relacion OP = OO0 +O0P ,

un cambio de base para expresar los tres vectores de la relacion anterior enla base del sistema final.

En adelante prescindiremos de la traslacion, suma del vector OO0, por la sim-plicidad de esta operacion y porque en la practica casi todos los cambios de sistemade referencia que trataremos en este libro mantienen fijo el origen.

Un cambio entre dos bases ortonormales de IR3 con la misma orientacionsera llamado rotacion del sistema de referencia.

26 Cambios del sistema de referencia: rotaciones

2.2 Rotaciones en IR3

Sea un vector x 2 IR3 que, expresado en la base1 I = {i1

, i2

, i3

}, tiene laforma

x = x1

i

1

+ x2

i

2

+ x3

i

3

, (2.1)

mientras que en la base F = {f1

,f2

,f3

} se escribe

x = X1

f

1

+X2

f

2

+X3

f

3

. (2.2)

Para relacionar las componentes de x en ambas bases tendremos en cuenta,por un lado, que por ser F base de IR3 cualquier vector de IR3 podra ser expresadoen dicha base, por tanto, podremos escribir:

i

1

= r11

f

1

+ r12

f

2

+ r13

f

3

,i

2

= r21

f

1

+ r22

f

2

+ r23

f

3

,i

3

= r31

f

1

+ r32

f

2

+ r33

f

3

,(2.3)

mientras que, por ser I base de IR3, cualquier vector de IR3 podra ser expresadoen dicha base en la forma:

f

1

= s11

i

1

+ s12

i

2

+ s13

i

3

,f

2

= s21

i

1

+ s22

i

2

+ s23

i

3

,f

3

= s31

i

1

+ s32

i

2

+ s33

i

3

.(2.4)

Por ser las bases ortonormales, las componentes de un vector pueden obtenersea traves de los cosenos directores, luego se tendra

rij

= cos(ii

,fj

) = i

i

· fj

= cos(fj

, ii

) = sji

,

lo que permite finalmente escribir:

f

1

= r11

i

1

+ r21

i

2

+ r31

i

3

,f

2

= r12

i

1

+ r22

i

2

+ r32

i

3

,f

3

= r13

i

1

+ r23

i

2

+ r33

i

3

.(2.5)

Si en la igualdad (2.2) sustituimos los vectores f

i

por las expresiones dadasen (2.5), y la igualamos, componente a componente, a (2.1), obtendremos tresrelaciones que en forma matricial se podran poner como

0

@

x1

x2

x3

1

A =

0

@

r11

r12

r13

r21

r22

r23

r31

r32

r33

1

A

0

@

X1

X2

X3

1

A . (2.6)

1Cuando no haya ambiguedad en el origen identificaremos con el mismo nombre al sistemade referencia y a la base que lo forma.

Rotaciones en IR3 27

De la misma forma, sustituyendo en la igualdad (2.1) los vectores i

i

por lasexpresiones dadas en (2.3) e igualando, componente a componente, a (2.2) obten-dremos la relacion inversa de (2.6) en la forma

0

@

X1

X2

X3

1

A =

0

@

r11

r21

r31

r12

r22

r32

r13

r23

r33

1

A

0

@

x1

x2

x3

1

A . (2.7)

De aquı en adelante, dado un vector cualquiera x de IR3, utilizaremos unsubındice que coincida con el nombre de un sistema de referencia para indicar elvector columna formado por las componentes de x en la base de dicho sistema dereferencia. De esta forma xI ,xF seran:

xI =

0

@

x1

x2

x3

1

A , xF =

0

@

X1

X2

X3

1

A .

Por otro lado, llamando

RIF =

0

@

r11

r12

r13

r21

r22

r23

r31

r32

r33

1

A , (2.8)

a la matriz cuyas columnas son las componentes de la base F en terminos de labase I, la relacion (2.6) se podra poner como

xI = RIFxF , (2.9)

mientras que la matriz

RFI =

0

@

r11

r21

r31

r12

r22

r32

r13

r23

r33

1

A , (2.10)

permite poner la ecuacion (2.7) en la forma

xF = RFIxI . (2.11)

A partir de las propiedades anteriores se demuestra que la inversa de unamatriz de rotacion coincide con su traspuesta

RFI = R�1

IF = RT

IF .

Las matrices que cumplen esta importante propiedad son llamadas matrices or-togonales.

La notacion anterior, que usa dos subındices que representan los nombresde los dos sistemas de referencia, no presenta ningun tipo de ambiguedad enla expresion de la rotacion. Sin embargo, esto no sucede ası cuando se define


el concepto de matriz de rotacion. Revisando la literatura nos encontramos dosdefiniciones distintas que responden a dos convenios diferentes. Los dos conveniosson correctos siempre que no se mezclen entre si.

Convenio A.- Llamaremos matriz de rotacion entre los sistemas de referencia Iy F , y la representaremos por el sımbolo R a la matriz RIF que permite expresarel vector xI como producto de la matriz R por el vector xF .

Convenio B.- Llamaremos matriz de rotacion entre los sistemas de referencia Iy F , y la representaremos por el sımbolo eR a la matriz RFI que permite expresarel vector xF como producto de la matriz eR por el vector xI .

Puede parecer absurdo introducir en este texto ambos convenios, sobre tododespues de haber establecido inicialmente una notacion que no contiene ningunaambiguedad, sin embargo, hemos preferido introducir las dos notaciones con ob-jeto de no modificar expresiones que son de uso comun en la comunidad cientıfica,en la que no siempre coincide el convenio utilizado para expresar las rotaciones.Siempre que sea posible utilizaremos los subındices para evitar confusiones, enotros casos utilizaremos la notacion con o sin tilde para especificar el convenioutilizado sin recordarlo en cada caso.

2.3 Composicion de rotaciones

Supongamos que partimos de un sistema de referencia S1

y vamos aplicandosucesivamente rotaciones que pasan de S

1

a S2

, de S2

a S3

, etc. Llamaremos,respectivamente,

Ri

= RSiSi+1, eR

i

= RSi+1Si,

a las matrices de cada rotacion en ambos convenios.

Sustituyendo sucesivamente el vector xSipor el producto RSiSi+1

xSi+1se

podra ponerxS1

= RS1S2RS2S3

. . .RSn�1SnxSn

, (2.12)

obteniendose la matriz de giro como producto de las sucesivas matrices de giro enel orden en que estos se producen.

La expresion (2.12) puede ponerse tambien en la forma

xS1= RxSn

, xSn= eRxS1

, (2.13)

donde hemos llamadoR = R

1

R2

. . .Rn�1

, (2.14)

a la matriz de giro compuesto en el primer convenio y

eR = eRn�1

. . . eR2

eR1

, (2.15)

a la matriz de giro compuesto en el segundo convenio. Podemos observar que elorden de las matrices en el producto cambia de un convenio al otro.

Rotacion de un vector alrededor de un eje 29

2.4 Rotacion de un vector alrededor de un eje

a

(x · a)a

R[↵, a][x]

a⇥ x(a⇥ x)⇥ a

R[↵, a][(a⇥ x)⇥ a]

x

Figura 2.1: Rotacion de un vector alrededor deun eje.

Estudiaremos ahora el pro-blema de la rotacion de un vec-tor x, un cierto angulo ↵, alrede-dor de un eje a. El valor positi-vo o negativo del angulo ↵ gira-do vendra definido por la orien-tacion dada por el vector a. Lla-maremos R[↵, a][x] al vector re-sultante de la rotacion que puedeverse en la figura 2.1.

Para obtener el valor de dichovector elegiremos un sistema dereferencia ortogonal directo en elque a representa el eje Oz, el ejeOy vendra definido por el vectora⇥x, ortogonal a a, y por ultimoel eje Ox por la direccion (a ⇥x)⇥ a, la unica posible para que

el sistema sea ortogonal y directo. De esta forma hemos elegido una base ortogonal{(a⇥ x)⇥ a, a⇥ x, a}.

La propiedad (1.20) permite escribir

x = (x · a)a+ (a⇥ x)⇥ a,

por lo que, de acuerdo con la figura 2.1, tendremos

R[↵, a][x] = (x · a)a+R[↵, a][(a⇥ x)⇥ a].

Teniendo en cuenta que R[↵, a][(a⇥ x)⇥ a] pertenece al plano Oxy y tiene unalongitud ↵, podremos poner

R[↵, a][(a⇥ x)⇥ a] = [(a⇥ x)⇥ a] cos↵+ (a⇥ x) sen↵,

y finalmente expresar el resultado del giro del vector x en la forma

R[↵, a][x] = (x · a)a+ [(a⇥ x)⇥ a] cos↵+ (a⇥ x) sen↵. (2.16)

Propiedad.- El resultado de aplicar consecutivamente a un vector x un giro deangulo �↵ y otro de angulo ↵ respecto a un cierto eje a es el mismo vector x,esto es, se verifica la relacion

R[↵, a][R[�↵, a][x]] = x.


Propiedad.- La rotacion de angulo (�↵) alrededor del eje (�a) es identica a lade angulo ↵ alrededor del eje a, o lo que es igual, se verifica la relacion

R[↵, a][x] = R[�↵,�a][x].

Si aplicamos una rotacion de angulo dado ↵ alrededor de un eje a = a1

i

1

+a2

i

2

+ a3

i

3

al sistema de referencia I = {i1

, i2

, i3

}, este se transformara en el sis-tema F = {f

1

,f2

,f3

} de manera que la expresion de los vectores fj

vendra dadapor

f

j

= R[↵, a][ij

].

Particularizando la relacion (2.16) con la expresion de a = a1

i

1

+a2

i

2

+a3

i

3

enla base I, obtendremos las expresiones de los elementos de la base F en terminosde la base I, con lo que podremos calcular la matriz de rotacion RIF

0

@a

21 + (a22 + a

23) cos↵ a1a2(1� cos↵)� a3 sen↵ a1a3(1� cos↵) + a2 sen↵

a1a2(1� cos↵) + a3 sen↵ a

22 + (a21 + a

23) cos↵ a2a3(1� cos↵)� a1 sen↵

a1a3(1� cos↵)� a2 sen↵ a2a3(1� cos↵) + a1 sen↵ a

23 + (a21 + a

22) cos↵

1

A.

(2.17)

Llamando, como en (2.8), rij

a las componentes de esta matriz podemos con-cluir que se verifican las relaciones:

2 cos↵ = r11

+ r22

+ r33

� 1,2 a

1

sen↵ = r32

� r23

,2 a

2

sen↵ = r13

� r31

,2 a

3

sen↵ = r21

� r12

,

(2.18)

que permiten obtener la rotacion alrededor de un eje que pasa de uno a otrosistema de referencia. Puede observarse que las ecuaciones (2.18) producen dossoluciones correspondientes a las dos rotaciones de signos opuestos vistas en laultima propiedad.

2.5 Rotaciones elementales

Llamaremos rotacion elemental de eje j a aquella que transforma una baseortonormal I = {i

1

, i2

, i3

} en otra tambien ortonormal F = {f1

,f2

,f3

} mante-niendo fijo el eje j, esto es i

j

= f

j

. Dichas rotaciones consisten (ver figura 2.2)en girar el sistema de referencia un cierto angulo ✓ alrededor del eje definido pori

j

. La matriz de una rotacion de este tipo sera llamada Rj

(✓).

Calcularemos unicamente el valor de la matriz R1

(✓), siendo igual el calculode las otras dos R

2

(✓), R3

(✓). Para ello tendremos en cuenta que, de acuerdo conel apartado anterior y la relacion (2.16), los vectores de la nueva base {f

1

,f2

,f3

}vendran dados por las expresiones

f

j

= R[✓, i1

][ij

] = (ij

· i1

)i1

+ [(i1

⇥ i

j

)⇥ i

1

] cos ✓ + (i1

⇥ i

j

) sen ✓.

Rotaciones elementales 31

i

1

⌘ f

1

i

2

i

3

f

2

f

3

✓

✓

i

1

i

2

⌘ f

2

i

3

f

3

f

1

✓

✓

i

1

i

2

i

3

⌘ f

3

f

1

f

2

✓

✓

Figura 2.2: Rotaciones elementales alrededor de los tres ejes.

De acuerdo con las condiciones de ortonormalidad de la base I y aplicando laanterior relacion a los tres ındices j = 1, 2, 3, se obtendra:

f

1

= i

1

,f

2

= cos ✓ i2

+ sen ✓ i3

,f

3

= � sen ✓ i2

+ cos ✓ i3

.(2.19)

Teniendo en cuenta como se forman las matrices de rotacion, a partir de lasexpresiones de los vectores de la base, la matriz de giro alrededor del eje Oxpodra expresarse, de acuerdo con los dos convenios establecidos, en la forma:

R1

(✓) =

0

@

1 0 00 cos ✓ � sen ✓0 sen ✓ cos ✓

1

A , eR1

(✓) =

0

@

1 0 00 cos ✓ sen ✓0 � sen ✓ cos ✓

1

A . (2.20)

De manera similar pueden obtenerse las matrices de giro elemental respectoal eje Oy:

R2

(✓) =

0

@

cos ✓ 0 sen ✓0 1 0

� sen ✓ 0 cos ✓

1

A , eR2

(✓) =

0

@

cos ✓ 0 � sen ✓0 1 0

sen ✓ 0 cos ✓

1

A , (2.21)

y respecto a Oz:

R3

(✓) =

0

@

cos ✓ � sen ✓ 0sen ✓ cos ✓ 0

0 0 1

1

A , eR3

(✓) =

0

@

cos ✓ sen ✓ 0� sen ✓ cos ✓ 0

0 0 1

1

A . (2.22)

Las matrices anteriores representan, respectivemente, las matrices de rotacionrespecto a los tres ejes expresadas en los dos convenios.

A partir de las propiedades de las funciones trigonometricas puede demostrarsefacilmente la relacion

eRi

(✓) = Ri

(�✓). (2.23)


2.6 Angulos de Euler

Cualquier rotacion de un sistema I = {i1

, i2

, i3

} a otro F = {f1

,f2

,f3

}puede ser expresada a traves de la composicion de una serie de giros elementales.Esta descomposicion, que puede ser efectuada de diversas maneras, sera presen-tada aquı a traves de los llamados angulos de Euler que es su forma mas comun.

Para ello supondremos que el plano de los vectores i1

, i2

es distinto al formadopor f

1

,f2

. Puesto que el origen O pertenece a ambos planos debe existir una rectacomun que estara caracterizada por el vector direccional

i

1

i

3

i

2

f

1

f

2

f

3

l

⌦

I

I✓

Figura 2.3: Angulos de Euler.

l =i

3

⇥ f

3

k i3

⇥ f

3

k .

Como se ve en la figura (2.3) alangulo entre el vector i

1

y l le lla-maremos ⌦. De esta forma si efec-tuamos una rotacion de eje Oz yangulo ⌦ pasaremos a un sistemade referencia I 0 dado por los vecto-res {l, i

3

⇥ l, i3

}.Desde la direccion l, eje Ox del

nuevo sistema de referencia, pode-mos efectuar un giro de angulo I,angulo entre los vectores i

3

y f

3

,que pasa al nuevo sistema de refe-rencia I 00 = {l,f

3

⇥ l,f3

}, dondeel eje Oz ya coincide con el del sistema F .

Finalmente, llamando ✓ al angulo que forman las direcciones l con f

1

, podemosefectuar un giro de eje Oz que pase al sistema de referencia final F = {f

1

,f2

,f3

}.Llamaremos angulos de Euler a los tres angulos (⌦, I, ✓) introducidos en los

parrafos anteriores. Por medio de estos angulos podemos representar cualquierrotacion como composicion de las tres rotaciones elementales anteriores en laforma

xI = R3

(⌦)R1

(I)R3

(✓)xF , (2.24)

o en el segundo convenio

xF = eR3

(✓) eR1

(I) eR3

(⌦)xI .

Esta relacion, junto con la propiedad (2.23), permite poner la expresion an-terior en la forma xF = R

3

(�✓)R1

(�I)R3

(�⌦)xI , lo que nos indica que si(⌦, I, ✓) son los tres angulos de Euler que pasan de I a F , entonces los angu-los (�✓,�I,�⌦) son los angulos de Euler que pasan de F a I.

Cuando los planos i1

, i2

y f

1

,f2

coincidan el problema es mucho mas simple,pues en este caso una unica rotacion alrededor del eje Oz es suficiente para pasar al

Rotaciones y cuaternios 33

sistema de referencia final. Manteniendo la forma de definir los angulos de Eulerpodemos considerar este caso como una rotacion de angulos de Euler (⌦, I =0�, ✓ = 0�).

Dados dos sistemas de referencia I y F , en los que conocemos las expresionesde los vectores de la base de F expresados en la base de I, podemos obtener losangulos de Euler que pasan de I a F a traves de un sencillo algoritmo.

El angulo ⌦ es la longitud del vector l, o de i3

⇥f

3

en el sistema de referenciaI, por lo que podemos poner

⌦ = polar�

((i3

⇥ f

3

)I ). (2.25)

El angulo I es el angulo entre los vectores i3

y f

3

, luego verifica

I = acos(i3

· f3

), (2.26)

expresion que nos da sin ambiguedad este angulo pues pertenece al intervalo [0,⇡].Finalmente, el angulo ✓ es la longitud del vector f

1

en el sistema de referenciaI 00 = {l,f

3

⇥ l,f3

}, por tanto tendremos

✓ = polar�

((f1

)I00 ) = polar�

( eR1

(I) eR3

(⌦)(f1

)I ). (2.27)

Si tenemos las expresiones de la base de I en terminos de la base de F , paraencontrar los angulos de Euler basta encontrar, por el procedimiento anterior, losangulos de Euler que pasan de F a I y cambiarles el signo y el orden.

2.7 Rotaciones y cuaternios

La expresion (2.17), de la matriz RIF que pasa de I a F , puede ponerse,despues de una serie de manipulaciones algebraicas, en la forma2

0

@

q20

+ q21

� q22

� q23

2(q1

q2

� q0

q3

) 2(q1

q3

+ q0

q2

)2(q

1

q2

+ q0

q3

) q20

� q21

+ q22

� q23

2(q2

q3

� q0

q1

)2(q

1

q3

� q0

q2

) 2(q2

q3

+ q0

q1

) q20

� q21

� q22

+ q23

1

A , (2.28)

donde:q0

= cos↵

2, q

i

= ai

sen↵

2, (2.29)

son llamados parametros de Euler de la rotacion.

El tratamiento de las rotaciones por medio de los parametros de Euler sesimplifica si se introduce un conjunto de numeros, desarrollados por Hamilton, yque son llamados cuaternios.

2En muchos libros aparece la traspuesta de esta matriz porque usan el convenio B.


Los cuaternios son una extension de los numeros complejos que se definen apartir del elemento

q = q0

+ i q1

+ j q2

+ k q3

, (2.30)

donde se han introducido tres numeros imaginarios i, j, k, en lugar de uno, cuyosproductos respectivos se definen como:

i2 = j2 = k2 = �1, ij = �ji = k, jk = �kj = i, ki = �ik = j. (2.31)

A q0

le llamaremos parte real del cuaternio, mientras que el resto sera la parteimaginaria.

Podemos definir la suma, producto por un escalar y el producto de cuaternioscomo las operaciones entre polinomios, y aplicar las relaciones (2.31). De estaforma, dados dos cuaternios cualesquiera qa = qa

0

+ i qa1

+ j qa2

+ k qa3

, qb = qb0

+i qb

1

+ j qb2

+ k qb3

y un numero real r, tendremos

qa + qb = (qa0

+ qb0

) + i (qa1

+ qb1

) + j (qa2

+ qb2

) + k (qa3

+ qb3

), (2.32)

para la suma,r qa = r qa

0

+ i r qa1

+ j r qa2

+ k r qa3

, (2.33)

para el producto por un escalar, y

qaqb = (qa0

qb0

� qa1

qb1

� qa2

qb2

� qa3

qb3

)+

i (qa0

qb1

+ qa1

qb0

+ qa2

qb3

� qa3

qb2

)+

j (qa0

qb2

+ qa2

qb0

+ qa3

qb1

� qa1

qb3

)+

k (qa0

qb3

+ qa3

qb0

+ qa1

qb2

� qa2

qb1

),

(2.34)

para el producto.

Estas operaciones dotan al conjunto de los cuaternios de una estructura dealgebra. Observemos que el producto de dos cuaternios tiene la propiedad asocia-tiva, pero no la conmutativa.

De forma similar que para los numeros complejos podemos definir el conjugadoeq de un cuaternio q = q

0

+ i q1

+ j q2

+ k q3

como el cuaternio que tiene lamisma parte real que q pero la parte imaginaria esta cambiada de signo, estoes eq = q

0

� i q1

� j q2

� k q3

.

Para relacionar las rotaciones con los cuaternios estableceremos una relacionentre estos y los vectores definiendo, a partir de un vector x cuyas componentes enuna cierta base I son (x, y, z), el cuaternio de parte real nula x

� = i x+ j y+ k z.Con esta definicion podemos demostrar, por simple comprobacion, que la relacionque nos da el cambio de base de un vector x, que en forma matricial se puedeponer como

xI = RIFxF ,

Rotaciones y cuaternios 35

tiene su equivalente, a partir de un producto de cuaternios3, en la expresion

x

�I = q x�

F eq, (2.35)

donde q = q0

+ q1

i + q2

j + q3

k, y (qo

, q1

, q2

, q3

) representan los parametros deEuler de la rotacion.

La composicion de dos rotaciones que pasan de Ia

a Ib

y de este a F serealizaran a partir de dos cuaternios: qa, qb. De esta forma

x

�Ia

= qa x�Ibeqa, x

�Ib

= qb x�Feqb,

por lo que finalmente podremos poner

x

�Ia

= qaqb x�Feqb eqa = q xF eq, q = qaqb. (2.36)

Ası pues, el cuaternio asociado a la composicion de las dos rotaciones vienedado por el producto de los cuaternios de cada una de las rotaciones en el ordende aplicacion de estas.

Las rotaciones elementales R1

(✓), R2

(✓), R3

(✓) vienen caracterizadas, respec-tivamente, por los siguientes cuaternios: (cos ✓/2+ i sen ✓/2), (cos ✓/2+ j sen ✓/2),(cos ✓/2 + k sen ✓/2).

Por otro lado, si tenemos una rotacion definida a partir de los tres angulosde Euler ⌦, I, ✓, el cuaternio asociado a esta rotacion sera el producto de los trescuaternios

q = (cos⌦

2+ k sen

⌦

2)(cos

I

2+ i sen

I

2)(cos

✓

2+ k sen

✓

2),

cuyas componentes son:

q0

= cosI

2cos

⌦+ ✓

2,

q1

= senI

2cos

⌦� ✓2

,

q2

= senI

2sen

⌦� ✓2

,

q3

= cosI

2sen

⌦+ ✓

2.

(2.37)

3En los libros que utilizan el convenio de matrices B, se define como eq x�q.

Capıtulo 3

Fundamentos de los sistemasde referencia en el espacio

3.1 Introduccion

En el capıtulo primero se ha establecido que un sistema de referencia esta for-mado por un punto origen O y una base ortonormal directa {i

1

, i2

, i3

}. Paradeterminar esta base es suficiente, desde el punto de vista practico, especificardos elementos:

El plano fundamental o plano formado por los vectores i1

e i

2

. Este planopuede sustituirse por el vector i

3

que es perpendicular al plano fundamentalo bien, si trabajamos en la esfera celeste, por un punto que representa elpolo del sistema o punto interseccion del eje i

3

con la esfera.

Una direccion origen de coordenadas representada por el vector i

1

, o bienel punto de la esfera celeste interseccion de esta con la direccion origen. Aeste punto le llamaremos por extension el origen del sistema.

A partir de estos dos elementos quedan unıvocamente determinados los vec-tores i

1

e i

3

, ası como i

2

, pues la condicion de sistema ortonormal directo obligaa tomar i

2

= i

3

⇥ i

1

.

Observando los fenomenos astronomicos mas simples y conocidos se puedenestablecer tres planos que seran la base de los cuatro sistemas de referenciacomunmente utilizados en Astronomıa. Estos sistemas, junto con los planetografi-cos presentados al final del capıtulo, constituyen el fundamento de los sistemas de

38 Fundamentos de los sistemas de referencia en el espacio

referencia en el espacio que seran utiles tanto para el establecimiento de las coor-denadas astronomicas y geograficas o planetograficas como para el establecimientode sistemas de referencia para la navegacion espacial.

En los dos proximos capıtulos distinguiremos entre los sistemas de referenciaidealizados, que parten de la premisa de que los planos y puntos usados comoreferencia estan fijos en el espacio, y los sistemas de referencia precisos, que tomanen consideracion, de forma rigurosa, las variaciones de estos planos y puntos.

Si atendemos al movimiento orbital de la Tierra en torno al Sol, las leyesenunciadas por Kepler nos indican que este tiene lugar en un plano que es llamadoplano de la eclıptica.

Por otro lado, la Tierra es un solido de revolucion que gira, con velocidadangular constante, alrededor de un eje. El plano perpendicular a dicho eje esllamado plano del ecuador y la interseccion del eje de rotacion con la superficiede la Tierra y con la esfera celeste nos define, respectivamente, el polo terrestrey el polo celeste.

�

✏

ecuador

eclıptica

Figura 3.1: Planos del ecuador y de laeclıptica.

Los planos del ecuador y la eclıpti-ca son, en una primera aproximacion,planos fijos en el espacio. Su intersec-cion (ver figura 3.1), representada porel sımbolo �, es un punto llamado equi-noccio1 o punto vernal. El angulo ✏ en-tre los dos planos es llamado oblicuidadde la eclıptica y tiene un valor aproxi-mado de 23�270.

La combinacion de la atraccion gra-vitacional junto con la rotacion de laTierra determinan, para cada observa-dor situado en su superficie, una di-reccion privilegiada, llamada direccionvertical, que se observa de manera muyprecisa con una simple plomada. Elplano perpendicular a la vertical de unlugar es el llamado plano horizontal uhorizonte. Puesto que la direccion de la vertical depende del lugar, el planohorizontal resulta ser un plano distinto para cada observador.

Mediante estos planos y sus intersecciones definiremos los elementos necesariospara establecer las bases de los sistemas de referencia fundamentales, pero ademas,deberemos establecer el origen del sistema. Utilizaremos distinto nombre segun elorigen elegido, ası llamaremos a los sistemas:

1En realidad existen dos equinoccios: el de primavera o punto en el que el Sol cruza el ecuadorcon declinaciones crecientes (acercandose al polo norte) y el equinoccio de otono, que es el puntoopuesto. De aquı en adelante cuando hablemos del equinoccio nos referiremos al equinoccio deprimavera.

Sistema de referencia horizontal 39

topocentrico, si el origen es un lugar en la superficie de la Tierra,

geocentrico, si el origen es el centro de masas de la Tierra,

heliocentrico, si el origen es el centro de masas del Sol,

baricentrico, si el origen es el baricentro del sistema solar,

planetocentrico, si el origen es el centro de masas de un planeta,

selenocentrico, si el origen es el centro de masas de la Luna.

El cambio entre sistemas con centros diferentes requerira aplicar una trasla-cion, para lo que sera necesario el vector de posicion relativa entre los dos centrosexpresado en la base correspondiente.

Finalmente introduciremos una breve nota relativa a la notacion utilizada, deaquı en adelante, para dar nombre a los sistemas de referencia. Utilizaremos unaletra mayuscula caligrafica que hara mencion, bien al plano fundamental, o bien asu polo. Un subındice indicara el origen. Ası, un sistema cuyo plano fundamentalsea el ecuador y origen el equinoccio se representara por E

�

, donde la letra E hacemencion al plano del ecuador, mientras para un sistema cuyo plano fundamentalsea el de la eclıptica, y que tenga el mismo origen, usaremos la notacion K

�

, quehace mencion al polo de la eclıptica en lugar del plano. Puesto que en lo que siguese hara hincapie en el cambio de base no se especificara, en general, el origen Odel sistema.

3.2 Sistema de referencia horizontal

Situando un punto de la superficie terrestre como origen del sistema de re-ferencia, elegiremos su plano horizontal como primer plano fundamental. El ejeortogonal al plano horizontal (direccion vertical) corta a la esfera celeste en dospuntos llamados zenit2, Z, y nadir, N . Llamaremos Z

3

al vector unitario queune el origen con el zenit. Para determinar un sistema de referencia ortonormaldirecto a partir Z

3

habra que fijar las direcciones fundamentales Z1

y Z

2

sobreel plano del horizonte.

La Tierra gira alrededor de un eje que une los polos. Para un observador delhemisferio norte, el polo norte, que puede ser observado cerca de la estrella polar,senala el Norte geografico. Debido a la rotacion de la Tierra, todos los astros salenpor el horizonte hacia el Este (aunque no exactamente por el), se van elevandosobre el horizonte, alcanzan su maxima elevacion precisamente en la direccion Sur,y se ponen de nuevo hacia el Oeste (aunque no exactamente por el). Tenemos,pues, los cuatro puntos cardinales, la direccion Norte–Sur que se puede determinarfacilmente por observacion, y la Este–Oeste perpendicular a la anterior.

2Palabra de origen arabe que significa punto situado sobre nuestra cabeza.


Ah

z

Z

3

Z

2

Z

1

HorizonteW (Oeste)

S(Sur)

Figura 3.2: Sistema de referencia horizon-tal Z

W

. Coordenadas horizontales.

Si llamamos Z

1

al vector unitarioen la direccion Oeste y Z

2

al vectorunitario en la direccion Sur, junto conla direccion vertical que determina Z

3

,queda establecida la base que determi-na el sistema de referencia horizontal.El origen natural de este sistema es ellugar de observacion, sin embargo, enocasiones trasladaremos el origen de di-cho sistema al centro de masas de laTierra. En general, si no hay confusioncon el origen, hablaremos del sistemaZ

W

= {Z1

,Z2

,Z3

}.

Podemos definir las coordenadashorizontales como las coordenadas po-lares esfericas en el sistema de referen-cia horizontal. Llamaremos Acimut3,A 2 [0, 2⇡), a la colongitud, medidasobre el horizonte a partir del vectorZ

2

, y distancia cenital, z 2 [0,⇡], a la colatitud, medida a partir del eje Z

3

. Conesto, si las coordenadas horizontales de un astro son (A, z), su vector de posicionx sera

x = sen z senAZ

1

+ sen z cosAZ

2

+ cos zZ3

, (3.1)

o bien, con la notacion introducida en los capıtulos anteriores,

xZW= cart(r,

⇡

2�A,

⇡

2� z), (3.2)

donde se ha considerado que el punto esta a una distancia r en lugar de tomarloen la esfera celeste.

En ocasiones se sustituye la distancia cenital por su complementario (latitud),y a esta coordenada se le llama altura, o elevacion, h = ⇡/2� z.

Dado que se ha tomado como plano fundamental el horizonte y como direccio-nes fundamentales los puntos cardinales y la vertical, resulta claro que se trata deun sistema de coordenadas locales, es decir, dependen del punto de la superficiede la Tierra tomado como origen.

3Esta es la definicion usada habitualmente en Astronomıa y la que mantendremos a lo largode este libro porque nos permite una facil relacion con el sistema de referencia horario. Engeodesia, cartografıa y navegacion suele medirse desde el Norte y no desde el Sur por lo quediferira en 180� de la utilizada aquı.

Sistema de referencia horario 41

3.3 Sistema de referencia horario

Tomemos de nuevo como origen el observador y definamos un sistema de re-ferencia en el que el plano del ecuador, o uno paralelo a este que pase por elobservador, sea el plano fundamental. De esta forma P

3

es el vector unitario enla direccion del polo norte. La interseccion entre el ecuador y el horizonte determi-na la lınea Este–Oeste. Tomamos como vector P

1

el vector unitario en la direccionOeste y como vector P

2

el producto P

2

= P

3

⇥P

1

. Con esta definicion, los vec-tores P

1

y Z

1

coinciden. Al sistema EW

= {P1

,P2

,P3

} le llamaremos sistemade referencia horario.

H�

P

3

P

2

P

1

Ecuador

Paralelo

Meridiano

P (Polo norte)

W

Figura 3.3: Sistema de referencia horarioEW

. Coordenadas horarias.

Los semicırculos maximos que unenlos polos se denominan meridianos. Enparticular, al meridiano que contieneal zenit, es decir, al que contiene losextremos de los vectores Z

3

y P

3

, se lellamameridiano del lugar. A los planosparalelos al ecuador se les conoce comoparalelos.

Las coordenadas polares que deter-minan la direccion de un astro E eneste sistema de referencia son: el angu-lo horario H 2 [0, 2⇡), que represen-ta la colongitud, y que, por la razonque expondremos mas adelante, se sue-le expresar en horas y la declinacion� 2 [�⇡/2,⇡/2], que representa la lati-tud. Con esto, el vector unitario x enla direccion del punto E es

x = cos � senH P

1

+ cos � cosH P

2

+ sen �P3

, (3.3)

o tambien, situando el punto a una distancia r, tendremos

xEW= cart(r,

⇡

2�H, �). (3.4)

Debido al movimiento diurno, todos los puntos de la esfera celeste giran alrededordel eje de los polos, permaneciendo a la misma distancia angular con respecto alecuador, esto es, recorriendo un paralelo. De esta forma, su declinacion, �, perma-necera constante, mientras que el angulo horario, H, dara una vuelta completaen un dıa; de ahı el nombre de “horario” y el que se represente en horas.

Al igual que sucedıa con las coordenadas horizontales se trata de un sistemade coordenadas locales puesto que los vectores fundamentales P

1

y P

2

dependendel lugar elegido.


3.4 Sistema de referencia ecuatorial

↵

�

e

3

e

2

e

1

Ecuador

Paralelo

Meridiano�

P

Figura 3.4: Sistema de referencia E�

. Coor-denadas ecuatoriales.

Para que el sistema de referencia nodependa de la posicion del observadorni del movimiento diurno usaremos denuevo el plano del ecuador como planofundamental, pero elegiremos como di-reccion origen, esto es como vector e

1

,la direccion del equinoccio �. El vec-tor e

3

coincidira con la direccion delpolo, es decir, e

3

= P

3

y el vector e

2

es el producto e

2

= e

3

⇥ e

1

. Ademas,supondremos el origen en el centro demasas de la Tierra. De esta forma defi-nimos el sistema de referencia ecuato-rial E

�

= {e1

, e2

, e3

}.Las coordenadas polares, longitud

y latitud en este caso, que determinanla direccion de un astro E en este siste-ma de referencia, reciben el nombre de:ascension recta ↵ 2 [0, 2⇡), que tam-bien se suele expresar en horas, y declinacion � 2 [�⇡/2,⇡/2]. Ası, el vectorunitario x en la direccion del punto E sera

x = cos � cos↵ e

1

+ cos � sen↵ e

2

+ sen � e3

, (3.5)

o tambien, situando el punto a una distancia r, tendremos

xE�= cart(r,↵, �). (3.6)

Se trata, como ya hemos advertido, de un sistema de coordenadas absoluto,es decir, las coordenadas (↵, �) de un astro son independientes del lugar de obser-vacion y del movimiento diurno, pues el punto � tambien es arrastrado por dichomovimiento.

3.5 Sistema de referencia eclıptico

La mayor parte de los objetos del sistema solar ocupan posiciones proximas ala eclıptica por lo que, en ocasiones, se suele utilizar otro sistema de coordenadascuyo plano fundamental sea la eclıptica. Para ello, definimos el sistema de referen-cia eclıptico, K

�

= {K1

,K2

,K3

}, de tal modo que el vector K1

coincide con ladireccion del equinoccio, K

1

= e

1

, el vector K3

es la direccion perpendicular a laeclıptica, cuya interseccion con la esfera celeste sera llamada polo de la eclıptica,y el vector restante el producto K

2

= K

3

⇥K

1

.

Relacion entre los sistemas de referencia espaciales 43

�

�

K

3

K

2

K

1

Eclıptica

Figura 3.5: Sistema de referencia eclıpticoK

�

. Coordenadas eclıpticas.

Las coordenadas polares que deter-minan la direccion de un astro E en es-te sistema de referencia son: la longitudeclıptica � 2 [0, 2⇡) y la latitud eclıpti-ca � 2 [�⇡/2,⇡/2]. El vector unitariox en la direccion del punto E es

x = cos� cos�K1

+cos� sen�K

2

+sen�K

3

,(3.7)

o tambien, situando el punto a una dis-tancia r, tendremos

xK�= cart(r,�,�). (3.8)

Al igual que el sistema ecuatorial, estees un sistema de coordenadas absoluto.

En el caso particular del Sol la defi-nicion del plano de la eclıptica determi-

na que su latitud eclıptica es siempre nula, por ello su posicion queda determinadaunicamente por su longitud eclıptica que se denota por el sımbolo �.

3.6 Relacion entre los sistemas de referencia es-paciales

P

1

⌘ Z

1

Z

3

Z

2

P

2

P

3

⇡

2

� �

�

Figura 3.6: Transformacion entre los siste-mas horizontal y horario.

Para relacionar los sistemas de re-ferencia horizontal Z y horario P bastatener en cuenta que de acuerdo con ladefinicion de las coordenadas geografi-cas, que veremos con detalle en unproximo apartado de este capıtulo, lla-maremos latitud � de un lugar al angu-lo entre la direccion vertical y el ecua-dor terrestre, que en la figura 3.6 se re-presenta como el angulo entre los vec-tores Z

3

y P

2

.

Observando la figura 3.6 podemosconcluir que para pasar del sistema ho-rizontal al horario basta girar un angu-lo igual a (⇡/2 � �) alrededor del ejeOx. Por tanto, la matriz de giro entreestos dos sistemas sera

RZW EW= R

1

(⇡/2� �), (3.9)


y la relacion entre las coordenadas en ambos sistemas vendra dada por la expresionxZW

= RZW EWxEW

que, desarrollada, se escribira en la forma:

sen z senA = cos � senH,sen z cosA = cos � cosH sen�� sen � cos�,

cos z = cos � cosH cos�+ sen � sen�,(3.10)

mientras que su inversa, xEW= REW ZW

xZW, sera:

cos � senH = sen z senA,cos � cosH = sen z cosA sen�+ cos z cos�,

sen � = � sen z cosA cos�+ cos z sen�.(3.11)

Para establecer la relacion entre los sistemas horario y ecuatorial tengamosen cuenta la figura 3.7. Habitualmente se llama tiempo sidereo, ST , al angulohorario del equinoccio �. Este angulo varıa, por la rotacion de la Tierra, entre 0h

y 24h a lo largo de un dıa por lo que representa el reloj natural de la Astronomıa.

P

3

⌘ e

3

e

1

(�)

�

P

2

(Sur)

Sur

H↵

ST

H

↵ST

L

L

Figura 3.7: Transformacion entre los sistemas horario y ecuatorial.

Para pasar del sistema horario al ecuatorial debemos girar alrededor de P

3

oeje Oz el angulo entre P

1

y e

1

, esto es ⇡/2� ST . La matriz de giro entre ambossistemas sera

REW E�= R

3

(⇡/2� ST ). (3.12)

La relacion entre las coordenadas puede obtenerse, bien por la expresion xE�=

RE�EWxEW

, o bien, teniendo en cuenta que la declinacion es comun en ambossistemas, basta observar la figura 3.7 para comprobar que

ST = ↵+H. (3.13)

Sistema de referencia geografico 45

e

1

⌘K

1

e

3

e

2

K

2

K

3

✏

Figura 3.8: Transformacion entre lossistemas ecuatorial y eclıptico.

Finalmente, para relacionar el sistemaecuatorial con el eclıptico basta recordarque la oblicuidad de la eclıptica ✏ es elangulo entre los planos del ecuador y laeclıptica y, por tanto, tambien entre losvectores e

3

y K

3

(figura 3.8). Si tenemosesto en cuenta, ası como el hecho de quelos vectores e

1

y K

1

coinciden, podemosconcluir que el paso del sistema ecuatorialal eclıptico se realiza por una rotacion ele-mental de angulo ✏ alrededor del eje Ox,o lo que es igual, por medio de una matrizde rotacion

RE�K�= R

1

(✏). (3.14)

La relacion entre las coordenadas enambos sistemas vendra dada por la expresion xE�

= RE�K�xK�

que, desarrollada,se escribira en la forma:

cos � cos↵ = cos� cos�,cos � sen↵ = cos� sen� cos "� sen� sen ",

sen � = cos� sen� sen "+ sen� cos ",(3.15)

mientras que la relacion inversa sera:

cos� cos� = cos � cos↵,cos� sen� = cos � sen↵ cos "+ sen � sen ",

sen� = � cos � sen↵ sen "+ sen � cos ".(3.16)

3.7 Sistema de referencia geografico

Estudiando la figura que adopta un fluido en rotacion en ausencia de fuerzasexternas se comprueba que una de las posibles soluciones es un elipsoide de re-volucion achatado por los polos. De hecho, se ha comprobado que esta figura seaproxima mucho a la forma real no solo de la Tierra son de otros cuerpos comola Luna, Marte u otros planetas. Ademas, en todos los casos, el eje de simetrıa deeste elipsoide de revolucion esta tan proximo al eje de rotacion del planeta que,en una primera aproximacion, pueden considerarse identicos.

La necesidad de situar geograficamente puntos sobre la superficie de la Tierraha llevado a definir un sistema de coordenadas geograficas sobre el elipsoide.La inclusion del concepto de altitud, para representar puntos de la Tierra queno se encuentren exactamente en el elipsoide, permite extender el uso de estascoordenadas geograficas para la determinacion de la posicion geografica de lossatelites artificiales.


Para introducir unas coordenadas geograficas estableceremos un sistema dereferencia G = {T, g

1

, g2

, g3

}, que llamaremos sistema de referencia geografico4,donde T representa el centro de masas de la Tierra y g

3

el eje de revolucion delelipsoide que tambien llamaremos eje polar pues por el momento supondremosque coincide con el eje de rotacion del planeta. Por extension el plano de g

2

y g

3

sera el ecuador. Finalmente debemos elegir un meridiano cero tambien llamadomeridiano de referencia o primer meridiano, tradicionalmente el meridiano deGreenwich. Este meridiano de referencia fija la posicion del vector g

1

y por tantola de g

2

= g

3

⇥ g

1

. Las dimensiones del elipsoide quedan caracterizadas por unparametro a que representa el radio ecuatorial del elipsoide y por el achatamientof = (a� b)/a, donde b es llamado radio polar.

La combinacion de la atraccion gravitacional junto con la rotacion de la Tierradeterminan, para cada observador en la superficie, la direccion vertical de la queya hemos hablado antes. Sin embargo, esta direccion no coincide exactamente conla normal al elipsoide de revolucion en un punto, presentando desviaciones quehan de ser determinadas para poder pasar de un sistema a otro. En el caso de laTierra las desviaciones son del orden de 500 a 1000, por lo que para la mayorıa deaplicaciones astronomicas y astrodinamicas podemos prescindir de estas pequenasdiferencias y supondremos que la normal al elipsoide y la direccion de la plomadacoinciden.

g

1

g

2

g

3

�

�

S

aT a

b

b

a

�

⇢

x

z

⇠

S

P

Figura 3.9: Sistema de referencia geografico.

Veamos como podemos situar un punto S sobre las superficie del elipsoide. Lascoordenadas polares esfericas de ese punto seran (⇢,�, ), donde ⇢ es la distanciaradial al centro de la Tierra, la longitud geografica � es el angulo diedro que formael meridiano de referencia con el meridiano del punto S. La longitud, que sueleexpresarse en horas, sera tomada, de aquı en adelante, como un angulo entre 0h y

4En este sistema hemos usado un sımbolo G independiente del polo, del ecuador y del origen,pues estos puntos en el caso del elipsoide de referencia terrestre deberan ser redefinidos con mascuidado.


24h medido en sentido contrario a las agujas del reloj, lo que en la Tierra suponemedirlo hacia el este. Habitualmente, cuando se da la posicion geografica de unlugar de la Tierra, suele utilizarse el convenio de dar el angulo entre 0h y 12h haciael este o el oeste, por lo que cuando se da longitud oeste sera preciso cambiarle elsigno y sumarle 24h para aplicar el convenio usado en este libro.

Para determinar la latitud observaremos la figura de la derecha de 3.9, querepresenta la elipse meridiana, esto es, la interseccion del plano del meridiano dellugar S con el elipsoide de referencia. Aquı distinguiremos dos puntos: el punto Sdel elipsoide del que estamos definiendo las coordenadas y un punto P que esta auna distancia ⇠ de S sobre la vertical de este. A ⇠ le llamaremos altitud de P .Definiremos en primer lugar las coordenadas de S y luego veremos como afectaen las coordenadas el hecho habitual de que el punto de la superficie de la Tierra,cuyas coordenadas se miden, no este exactamente sobre en el elipsoide sino a unaaltitud ⇠ respecto a este.

El angulo , denominado latitud geocentrica, es el angulo formado por el se-mieje mayor de la elipse meridiana con el radio que pasa por el punto S. Sin em-bargo, en coordenadas astronomicas suele emplearse la llamada latitud geografica,de sımbolo �, que es el angulo formado por la normal a la elipse meridiana en elpunto S (que como hemos mencionado anteriormente, haremos coincidir con ladireccion de la plomada) con el semieje mayor de dicha elipse. Las dos longitudes ,� 2 [�⇡/2,⇡/2], aunque se suelen expresar siempre como cantidades positivasindicando si es latitud norte (N) o sur (S).

Para establecer la relacion entre ambas latitudes consideraremos un sistemade referencia plano en la elipse meridiana cuyos ejes Ox y Oz coinciden con ladireccion de los semiejes mayor y menor de la elipse. En este sistema la ecuacionde la elipse meridiana se puede poner como

x2

a2+

z2

b2= 1.

La pendiente de la recta normal a la elipse es

tan� = �dx

dz=

a2z

b2x,

mientras que el angulo viene dado por tan = z/x, con lo que resulta

tan� =1

1� e2tan , (3.17)

siendo e la excentricidad del elipsoide que se obtiene a partir del radio ecuatoriala y el achatamiento f .

El radio vector ⇢ se obtiene tambien sin dificultad, aunque con un poco masde calculo. A partir de la ecuacion de la elipse,

b2x2 + a2z2 = a2b2,


y teniendo en cuenta que

x = ⇢ cos , z = ⇢ sen ,

se tiene

⇢2 =a2b2

b2 cos2 + a2 sen2 =

a2(1� e2)

1� e2 cos2 . (3.18)

Por otra parte, al ser b2x sen� = a2z cos�, resulta

x2 =a4z2 cos2 �

b4 sen2 �, y de ahı, z2 =

b4 sen2 �

a2 cos2 �+ b2 sen2 �,

y con esto

⇢2 = x2 + z2 =a2[cos2 �+ (1� e2)2 sen2 �]

1� e2 sen2 �. (3.19)

Ahora bien, normalmente los lugares de observacion no se encuentran sobre elelipsoide de referencia, sino a una cierta altitud, por eso se hace necesario el ob-tener las coordenadas de un lugar P situado a una altitud ⇠ sobre el horizonte.Recordemos que la latitud se mide sobre la normal al elipsoide. Por ello, se in-troducen unas cantidades C y S de modo que las coordenadas del punto resultanser:

x = ⇢ cos = aC cos�,z = ⇢ sen = aS sen�.

(3.20)

Dividiendo estas dos ecuaciones, se tiene

S

Ctan� = tan =

b2

a2tan� = (1� f)2 tan�,

lo que, llevado a la ecuacion de la elipse, nos da

1 =x2

a2+

z2

b2= C2[cos2 �+ (1� f)2 sen2 �)],

de donde se obtiene finalmente:

C = 1/p

1� f(2� f) sen2 �, S = C(1� f)2.

Con esto, si el punto P 0 se encuentra a una altitud ⇠ tendremos

x0 = x+�x = (aC + ⇠) cos�,z0 = z +�z = (aS + ⇠) sen�,

(3.21)

siendo x0, z0 sus coordenadas sobre el plano del meridiano del observador.

A partir de lo dicho hasta ahora podemos llamar coordenadas geograficas deun punto al conjunto de elementos (�,�, ⇠) que describe su posicion con respectoal elipsoide de referencia. Teniendo en cuenta todo lo anterior la expresion del


vector de posicion de este punto, xG , expresado en el sistema de referencia G,vendra dada por

xG =

0

@

(aC + ⇠) cos� cos�(aC + ⇠) cos� sen�(aS + ⇠) sen�

1

A . (3.22)

En el caso de la Tierra, el IERS (International Earth Rotation and ReferenceSystem Service) ha definido el ITRS (International Terrestrial Reference System)como el elipsoide de referencia terrestre oficial. Tras muchos anos de estudio de laforma de la Tierra, y una necesidad cada vez mas imperiosa de precision, se hanmodificado muchos de los estandares clasicos y se ha creado este marco teoricopreciso que se debe materializar en modelos calculados que se adapten a estesistema.

El ITRS es un modelo de elipsoide cuyo polo es el llamado IRP (Polo dereferencia del IERS) y cuyo meridiano cero es el llamado IRM (Meridiano dereferencia del IERS). Este sistema se ha creado de forma que sea consistentecon el modelo del BIH de 1984, con el polo ajustado al antiguo CIO (Origeninternacional convencional) que ha sido suprimido. De acuerdo con el convenio denotacion establecido antes el sistema de referencia asociado a este modelo deberıallamarse IRP

IRM

sin embargo, por claridad, hemos preferido continuar usandopara este sistema el sımbolo G.

Una materializacion de este sistema es el actual elipsoide WGS84 (WorldGeodetic System 1984) que es el modelo donde se representan las coordenadasemitidas por los satelites GPS. Debido a la importancia de esta informacion usa-remos de aquı en adelante este modelo como modelo de la Tierra. El modeloWGS84 es consistente con ITRS con una aproximacion de unos pocos centıme-tros, por lo que sera suficiente para todas nuestras aplicaciones.

Los parametros de dicho modelo se caracterizan por los siguientes elementos:el radio ecuatorial, que de aquı en adelante se denotara por r� en lugar de a, yque vale r� = 6378137 m, y f = 1/298.257223563. De esta forma el radio polarmide 6356752.3142 m. El meridiano de referencia IRM no coincide exactamentecon el meridiano de Greenwich sino que esta desplazado unos 100 m. hacia el este.

Cuando las coordenadas de un lugar no se obtienen con GPS sino a partir delos modelos geodesicos de cada paıs o region no se usa el modelo WGS84 sino quese usan modelos regionales mucho mas precisos para una zona determinada peroque no son consistentes para la globalidad del globo terrestre. El modelo Espanolesta integrado en el modelo Europeo ED50, y en el se dan todas las coordena-das geograficas oficiales. Existen metodos sencillos que permiten transformar lascoordenadas entre ambos sistemas que no vamos a ver aquı porque exceden delproposito de este libro. El modelo llamado ETRS89 es una adaptacion europeaal modelo ITRS, o bien al WGS84.


3.8 Sistema de referencia planetografico

Teniendo en cuenta la posibilidad futura de enviar misiones, tanto a la Lunacomo a Marte, y aprovechando que la forma de dichos cuerpos es, como en elcaso de la Tierra, un elipsoide de revolucion, estableceremos un sistema genericode coordenadas que llamaremos coordenadas planetograficas, que seran llamadasselenograficas en el caso de la Luna y areograficas en el caso de Marte5 y que enesencia son identicas a las establecidas para la Tierra.

p

1

p

2

p

3

�

�a

b

P

S

polo del planeta

ecuador del planeta

Figura 3.10: Sistema de referencia plane-tografico.

El sistema de referencia dondese definiran las coordenadas pla-netograficas sera llamado sistemade referencia planetografico P ={P,p

1

,p2

,p3

}, donde p3

representael eje de revolucion que tambien lla-maremos eje polar pues supondre-mos que coincide con el eje de rota-cion del planeta6. A la intersecciondel eje de revolucion y de rotacioncon la superficie del elipsoide le lla-maremos polo del planeta. El planode los vectores p

1

,p2

sera llamado,por extension, ecuador del planeta.Finalmente debemos elegir unmeri-diano cero o primer meridiano. Es-te meridiano de referencia fija la po-sicion del vector p

1

y por tanto lade p

2

= p

3

⇥ p

1

.

En el caso de la Luna los valores que determinan el elipsoide son a = 1738.1 km,f = 0.0012, por lo que el radio polar sera b = 1736.0 km. El primer meridianoesta situado casi en centro de la cara visible y su velocidad de rotacion, quedeterminara la posicion del meridiano cero desde una direccion fija, es de unavuelta cada 27.321661 dıas.

Para Marte se tiene un radio ecuatorial de a = 3397 km y un achatamientode f = 0.00736. El primer meridiano pasa por el crater Airy-0 y tiene un perıodode rotacion de 1.025957 dıas.

Una vez creado el sistema planetografico, donde podremos establecer la topo-grafıa del planeta, sera necesaria la relacion de este con un sistema fijo como elecuatorial a traves de un sistema intermedio que llamaremos planetocentrico.

La forma usual de definir los elementos del sistema planetografico P = {P,p1

,p

2

, p3

} con respecto al sistema ecuatorial E�

= {P, e1

, e2

, e3

} es definir las coorde-nadas ecuatoriales del polo del planeta, (↵

0

, �0

), y determinar lo que llamaremos

5Ares es el nombre griego de Marte.6El plano del ecuador de un planeta no coincide con el plano del ecuador terrestre.

Sistema de referencia planetografico 51

angulo de rotacion, W , que forma el vector p

1

con respecto a la intersecciondel ecuador del planeta con el ecuador celeste. Comprobaremos a continuacionque estos tres parametros permiten efectuar el cambio entre los dos sistemas dereferencia anteriores.

p

1

p

3

e

1

e

3

⇡

2

� �0

⇡

2

+ ↵0

WP

��

$

Figura 3.11: Movimiento del sistema plane-tografico respecto al sistema ecuatorial.

Suponiendo que el planeta ro-ta con velocidad angular constan-te alrededor de su eje de rotacion,el angulo de rotacion representa laposicion instantanea del meridianoprincipal con respecto a una posi-cion fija. Este angulo, que es encierto modo equivalente al tiemposidereo en la Tierra, podra poner-se como W = W

0

+ tWr

, donde W0

representa el valor del angulo en uncierto instante origen, t es el tiempotranscurrido desde ese instante ori-gen medido en dıas, y W

r

es iguala 2⇡/P

r

siendo Pr

el periodo de ro-tacion del planeta en dıas.

Llamaremos $ y � a los puntosdel ecuador del planeta que repre-sentan los extremos de los vectores

p

1

y P

1

= (e3

⇥ p

3

)/k e3

⇥ p

3

k. Este ultimo determina la interseccion del ecua-dor celeste y el del planeta y representa el primer meridiano o meridiano cerodel planeta. De esta forma podemos definir dos sistemas de referencia asociadosa la rotacion del planeta, por un lado el que habıamos llamado antes sistemaplanetografico {P,p

1

,p2

,p3

}, similar al geografico en la Tierra, que es un sis-tema que rota con el planeta y que de ahora en adelante denotaremos por elsımbolo P

$

y otro sistema que llamaremos sistema de referencia planetocentricoP�

= {P,P1

,P2

,P3

}, con P

3

= p

3

y P

2

= P

3

⇥P

1

, que es un sistema fijo perocuyo plano fundamental coincide con el ecuador del planeta.

Si (↵0

, �0

) representan las coordenadas del polo del planeta podremos poner

p

3

= cos↵0

cos �0

e

1

+ sen↵0

cos �0

e

3

+ sen �0

e

3

,

por lo que podemos deducir facilmente que

P

1

= (e3

⇥ p

3

)/k e3

⇥ p

3

k = � sen↵0

e

1

+ cos↵0

e

2

,

lo que equivale a decir que la ascension recta de del punto � vale (⇡/2+↵0

), comose muestra en la figura 3.11.

La inclinacion entre los dos ecuadores viene dada por el angulo entre los vec-tores e

3

y p

3

que es igual a (⇡/2� �0

).


Con todo esto podemos deducir que los angulos de Euler que pasan del sistemaE�

a P$

son (⇡/2+↵0

,⇡/2� �0

,W ) por lo que la matriz de rotacion entre ambossistemas sera

RE�P$= R

3

(⇡/2 + ↵0

)R1

(⇡/2� �0

)R3

(W ), (3.23)

y la matriz de paso de E�

a P�

sera simplemente

RE�P�= R

3

(⇡/2 + ↵0

)R1

(⇡/2� �0

). (3.24)

En el informe de G. Seidelmann et al.7 (2007) aparecen los valores de loselementos (↵

0

, �0

,W ) para todos los planetas, la Luna y otros cuerpos del sistemasolar obtenidos por el grupo de trabajo formado por la IAU para el estudio de larotacion de los planetas.

7Ver bibliografıa.

Capıtulo 4

Sistemas de referenciaespaciales precisos

4.1 Movimientos del polo y del equinoccio

Al introducir los sistemas de referencia espaciales en el capıtulo anterior seha supuesto que el ecuador y la eclıptica son planos fijos y, por tanto, que elequinoccio representa un punto fijo en la esfera celeste. Ademas, para definir lascoordenadas geograficas y planetograficas hemos considerado que el eje de rotaciondel planeta, que define su polo y su ecuador, y el eje de revolucion del elipsoidede referencia del planeta coinciden. La realidad es que ninguna de las premisasanteriores es cierta por lo que deben detallarse mucho mas las definiciones a lahora de definir sistemas de referencia que cumplan los requerimientos de precisionde la Astrometrıa y Astrodinamica actuales.

Para entender el problema debemos comprender mejor el movimiento de ro-tacion de los planetas. Supondremos, como primera aproximacion, que estos sonsolidos rıgidos, cuyo movimiento rotacional se describe por las ecuaciones de Eulerdel movimiento del solido:

I1

!1

+ (I3

� I2

)!2

!3

= µ1

,I2

!2

+ (I1

� I3

)!1

!3

= µ2

,I3

!3

+ (I2

� I1

)!1

!2

= µ3

,(4.1)

donde I1

, I2

, I3

son los momentos principales de inercia del solido, y ! = !1

p

1

+!2

p

2

+!3

p

3

es el vector velocidad angular de rotacion del solido expresada en elsistema de referencia planetografico P = {p

1

,p2

,p3

}, que supondremos coincide

54 Sistemas de referencia espaciales precisos

con el de ejes principales de inercia. Finalmente µ1

p

1

+ µ2

p

2

+ µ3

p

3

representael momento de las fuerzas externas que actuan sobre el solido.

La integracion de las ecuaciones anteriores determinara el valor del vector !.Una vez obtenido este podremos decir que el solido rota con una velocidad angular! = k! k alrededor de un eje cuya direccion coincide con la direccion ! del vector!.

Si suponemos que no actua ninguna fuerza exterior sobre el solido (µ1

= µ2

=µ3

= 0) y que este es de revolucion alrededor del eje Oz (I1

= I2

), las ecuacionesde Euler (4.1) se transforman en:

I1

!1

+ (I3

� I1

)!2

!3

= 0,I1

!2

+ (I1

� I3

)!1

!3

= 0,I3

!3

= 0.(4.2)

De la tercera de estas ecuaciones se obtiene inmediatamente que

!3

= ⌦ = constante. (4.3)

p

1

p

3

p

2

!

Figura 4.1: Movimiento del eje de rotacionde un solido libre.

Las dos primeras ecuaciones (4.2)se pueden escribir como:

!1

+ �E

!2

= 0,!2

� �E

!1

= 0,

donde hemos introducido la constante

�E

=I3

� I1

I1

⌦.

La solucion de estas ecuaciones sera

!1

= A cos(�E

t+B),!2

= A sen(�E

t+B),(4.4)

donde A, la fase, y B, la amplitud,son constantes de integracion.

Las expresiones (4.3) y (4.4) deter-minan la velocidad angular de un pla-neta, considerando este como un elip-soide rıgido y sobre el que no actuanfuerzas externas. El valor constante de A y ⌦ nos indica que la norma de lavelocidad angular ! =

pA2 + ⌦2 es una constante, mientras que su direccion

describe un cono alrededor del eje p

3

, tal como se observa en la figura 4.1. Porello, podemos decir que, en estas condiciones, un planeta gira con velocidad angu-lar constante alrededor de un eje que describe un cono en torno al eje de simetrıadel elipsoide. De esta forma vemos que el polo del planeta, esto es, el extremo deleje de rotacion, no coincide con el polo del sistema planetocentrico.

Movimientos del polo y del equinoccio 55

En el caso de la Tierra, los valores de I1

, I2

, I3

verifican, aproximadamente,la relacion (I

3

� I1

)/I1

⇡ 2 ⇥ 10�5. Con estos valores el periodo de rotacionalrededor del eje de simetrıa es de unos 304 dıas, mientras que el valor de A esmuy pequeno, de forma que la distancia angular entre la posicion del polo desistema planetografico, extremo de p

3

, y el polo de rotacion, extremo de !, no esmayor que 0.002, lo que equivale a decir que la separacion de estos dos puntos en lasuperficie terrestre nunca es mayor de 10 m. De acuerdo con la definicion de dıa,como el periodo de tiempo en que la Tierra da una vuelta alrededor de su eje derotacion, se tendra que el valor de ! es exactamente de 2⇡ radianes por dıa.

Chandler observo, en 1891, que el periodo de 304 dıas del eje de rotacion,llamado en su honor periodo de Chandler, es realmente de unos 433 dıas. Estadiscrepancia se debe al hecho de que la Tierra no es completamente rıgida, sinoque tiene deformaciones elasticas. Ademas, tambien se observan fluctuaciones deperiodo anual debidas a los cambios estacionales en la distribucion de masas deaire, de aguas, deshielos, etc., e incluso variaciones irregulares, debidas a terre-motos, volcanes, etc., es decir, a un cambio en la distribucion de masas de laTierra.

Por otro lado, hemos estudiado una aproximacion del problema real, pues nose han considerado los valores de las componentes, (µ

1

, µ2

, µ3

), del momento delas fuerzas producidas por el Sol, la Luna y los planetas.

Figura 4.2: Grafica del movimiento del polo. Datos del IERS.

La grafica 4.2 muestra los datos de movimiento del polo obtenidos por el IERS(International Earth Rotation and Reference Systems Service) para el perıodo


comprendido entre 1890 y 2000, donde se da el desplazamiento, en segundos dearco, en el plano horizontal con centro en el polo del sistema de coordenadasgeografico y cuyo eje OX representa la direccion del meridiano cero de este siste-ma.

Estos puntos representan el polo verdadero de rotacion de la Tierra en cadainstante y en consecuencia el ecuador verdadero de cada fecha. Incluyen todos losefectos que actuan sobre el eje de rotacion y no pueden ser previstos a priori, sinoque se calculan por observacion. El IERS es el organismo internacional encargadodel calculo y distribucion de estos datos.

Hasta aquı se ha considerado unicamente la variacion del eje de rotacion te-rrestre debida al movimiento del solido libre. Esta variacion se ha representado atraves del movimiento del polo y se ha referido al sistema sistema geografico, soli-dario con el planeta. La variacion del eje de rotacion debida al efecto gravitacionaldel Sol y la Luna, por un lado, y de los planetas por otro, se estudia a traves delmovimiento del plano del ecuador, mas concretamente a traves del movimientodel equinoccio, y se refiere a un sistema espacial en lugar del sistema geografico.

Hiparco observo que el equinoccio se desplazaba sobre la eclıptica con unmovimiento retrogrado de 2� cada 144 anos, o lo que es igual, de 50.002 por ano.Este desplazamiento fue llamado precesion de los equinoccios. Este fenomeno,debido en parte a la variacion del plano del ecuador, tiene como consecuencia eldesplazamiento del polo norte celeste, que completa una vuelta alrededor del polode la eclıptica en unos 26000 anos.

El problema de la rotacion de la Tierra, considerando todos los elementosque influyen en esta rotacion, es uno de los mas difıciles de la Mecanica Celeste.Esta complejidad es debida, sobre todo, a la falta de esfericidad de la Tierra y aque tanto el Sol, la Luna, como los planetas se mueven en orbitas cuyos elementosorbitales no se pueden expresar en forma cerrada, es decir, por medio de funcioneselementales. La solucion de las ecuaciones diferenciales que rigen este movimientosolamente se puede conocer mediante desarrollos en serie del tipo

qj

=1X

i=0

si

ti +1X

i=0

1X

k=0

mk

tk!

✓

sen

cos

◆

(ci

t+ d),

es decir, como suma de terminos seculares (series de potencias en t) y terminosmixtos (combinacion de terminos seculares y periodicos). Pues bien, los terminosseculares son los responsables de la precesion, mientras que los periodicos y mix-tos lo son de la nutacion, termino cuya raız latina nutare significa cabeceo1. Eneste libro no estudiaremos la obtencion de estas magnitudes, sino el efecto queproducen en los sistemas de referencia espaciales.

1Vease la seccion 12.4 de este libro para una descripcion de los distintos tipos de pertur-baciones. La precesion se corresponde con las perturbaciones de largo periodo, mientras que lanutacion es una perturbacion de corto periodo.

Sistemas de referencia espaciales precisos 57

Tanto el ecuador como la eclıptica se mueven. Al ecuador en un cierto instante,que representaremos por E , se le llama actualmente ecuador intermedio, aunqueha sido llamado tambien ecuador verdadero, ecuador aparente o ecuador de lafecha2. A la interseccion del ecuador intermedio con la eclıptica de la fecha se lellama equinoccio verdadero de la fecha o simplemente equinoccio de la fecha y serepresenta por �, mientras que el angulo entre estos dos planos es la oblicuidadverdadera de la fecha, ✏0.

E

Em

eclıptica�

�m

�0m

✏0

✏

Figura 4.3: Precesion y nutacion.

El ecuador intermedio o verdade-ro se obtiene corrigiendo por prece-sion y nutacion el ecuador de un ins-tante inicial. Si solamente corregimospor precesion, es decir, prescindimosde las variaciones periodicas que sonmucho mas pequenas que las debidasa la precesion, obtenemos otro plano,proximo al ecuador verdadero, que sellama ecuador medio y se representapor Em. La interseccion de la eclıpticacon el ecuador medio se llama equi-noccio medio, �

m

, y el angulo entrelos dos planos oblicuidad media, ✏.

La nutacion establece la posicionrelativa en el espacio de los puntos �y �

m

, ası como de la diferencia entrelas oblicuidades ✏ y ✏0. Por otro lado, el punto �

m

da, por el efecto de precesion,una vuelta completa al ecuador medio en un periodo de unos 26000 anos.

Los puntos � y �m

pertenecen a planos ecuatoriales distintos, sin embargo, enocasiones se habla de un punto llamado, por extension, equinoccio medio, �0

m

enla figura (4.3), que es un punto del ecuador verdadero que pertenece al mismomeridiano que el equinoccio medio �

m

.

4.2 Sistemas de referencia espaciales precisos

La aparicion del fenomeno de precesion-nutacion obliga a una definicion pre-cisa de los sistemas de referencia basados en el ecuador. Podemos definir variossistemas asociados a este:

Sistema ecuatorial verdadero de la fecha, E�

= {e�1

, e�2

, e�3

}. Este sistemaesta basado en el ecuador intermedio y el equinoccio, �, de la fecha.

2De aquı en adelante usaremos indistintamente las palabras ...de la fecha o ...de la epocapara designar un elemento que depende de un instante dado.


Sistema ecuatorial medio, Em

�m= {em

1

, em2

, em3

}. Es el sistema referido alecuador y equinoccio medios. Es el sistema verdadero sin corregir por nuta-cion.

Sistema ecuatorial de la epoca J2000.03, Eo

�o= {eo

1

, eo2

, eo3

}. Este sistema esun sistema fijo definido a partir de la posicion del ecuador y el equinocciomedios en un instante determinado, concretamente J2000.0. A partir de estesistema una correccion por precesion nos lleva al sistema Em

�m, mientras que

una correccion por precesion y nutacion nos lleva a E�

.

Sistema de ecuador verdadero–equinoccio medio, E�

0m, que tiene como plano

fundamental el plano del ecuador verdadero y como origen el punto �0m

.

A las coordenadas ecuatoriales, medidas en cada uno de los tres primerossistemas, se les da el nombre de coordenadas verdaderas, coordenadas medias ycoordenadas de la epoca J2000.0.

Para disponer de un sistema de referencia fijo, donde un objeto celeste sinmovimiento propio tenga unas coordenadas constantes, y que sirva como sistemainercial al plantear las ecuaciones del movimiento de los cuerpos celestes, se defi-nio con precision el sistema ecuatorial Eo

�o, que se materializo en la obtencion del

catalogo FK5, que no es sino el conjunto de las posiciones de una serie de objetoscelestes medidas con una gran precision y referidas a Eo

�o. La comparacion de las

posiciones de otros objetos celestes con los del catalogo FK5 permite calcular lascoordenadas precisas de dicho objeto.

La Union Astronomica Internacional, teniendo en cuenta la necesidad de unaprecision mucho mayor que la obtenida con el uso del sistema Eo

�o, estudio entre los

anos 1991 y 2000 una serie de cambios en la definicion de los sistemas de referenciapara hacerlos mas rigurosos y precisos. Estos cambios fueros establecidos y estanen vigor desde el ano 2003.

En primer lugar, de la misma forma que hace unos anos en el tema de la medidadel tiempo, se ha partido de una concepcion de los sistemas de referencia basadaen la teorıa de la relatividad, lo que conduce a dos tipos de sistemas distintos:el sistema de referencia baricentrico celeste, BCRS y el sistema de referenciageocentrico celeste, GCRS. Ambos sistemas, definidos dentro del contexto de lateorıa de la relatividad en la geometrıa del espacio tiempo 4-dimensional, son dossistemas centrados respectivamente en el baricentro del sistema solar y en el dela Tierra y con su tiempo propio, el tiempo coordenada baricentrico TCB y eltiempo coordenada geocentrico TCG . Ambos difieren fundamentalmente en elorigen, pues sus ejes, que constituiran un sistema ortogonal directo, son paralelosy llevan direcciones fijas en el espacio4.

3El instante o epoca J2000.0 corresponde al dıa 1 de enero de 2000 a las 12h TT y sera ex-plicado con detalle en el proximo capıtulo.

4Estan definidos como cinematicamente no rotantes, lo que significa que sus ejes no tienenrotacion sistematica con respecto a objetos muy distantes en el universo sin movimiento propio.

Sistemas de referencia espaciales precisos 59

Aunque la orientacion de los ejes en la definicion del sistema BCRS no esta de-finida formalmente, estos ejes coinciden con los del sistema llamado

Sistema de referencia celeste internacional, ICRS,

cuya materializacion practica, al igual que el FK5 lo era del sistema Eo

�o, viene

dada por el ICRF5, que no es sino el conjunto de posiciones de un gran numerode radiofuentes extragalacticas. Los ejes de este sistema ICRS, que en la practicacoincide con el BCRS, estan definidos de manera que sean consistentes con el sis-tema Eo

�o, con una diferencia de alineacion menor que 0.0002, lo que es despreciable

para la mayorıa de las aplicaciones.

En adelante llamaremos sistema espacial, S = {e1

, e2

, e3

}, a un sistema dereferencia, que independientemente del origen, tiene unos ejes paralelos al ICRS.En particular tendremos:

Sistema espacial geocentrico6, SG

, tambien llamado GCRS y que es elsistema espacial con centro en el centro de masas de la Tierra.

Sistema espacial planetocentrico, SP

, o sistema espacial con centro en elcentro de masas de un planeta P .

El sistema SG

(SP

) sera el sistema que usaremos a partir de ahora para cual-quier observacion realizada desde la Tierra (planeta) y sobre todo, por ser este unsistema inercial, para el planteamiento de las ecuaciones del movimiento de lossatelites artificiales.

El sistema SG

es el sustituto actual de Eo

�o, aunque como hemos dicho antes la

diferencia entre ellos es muy pequena. La transformacion de uno a otro sera estu-diada mas adelante. Por otro lado, aunque el plano fundamental del sistema S

G

esmuy proximo al ecuador del instante J2000.0 no coincide exactamente con el porlo que las coordenadas obtenidas en este sistema no son exactamente ecuatoriales.Sin embargo, se ha mantenido el nombre de ascension recta y declinacion para lascoordenadas en este sistema, especificando, cuando haya posibilidad de confusion,en cual de los dos sistemas han sido medidas.

Para obtener las coordenadas de un punto en el sistema SG

debemos partir delsistema geografico G, definido en el capıtulo anterior, pues es en este donde el IERSdetermina la posicion del polo y, por tanto, del ecuador verdadero que es el queva asociado a la observacion, por ello, para entender el proceso que relaciona losdiferentes sistemas de referencia, debemos encontrar todo el conjunto de relacionesy sistemas intermedios que ligan los sistemas G y S

G

.

En primer lugar llamaremos

5HCRF es el nombre de otra materializacion de este sistema de menor precision que ICRF yobtenida con medidas realizadas desde el satelite Hipparcos.

6Este nombre no es utilizado fuera de este libro pero nos ha parecido coherente su introduc-cion, dentro del contexto de esta obra, con objeto de simplificar y sistematizar la gran cantidadde nombres que aparecen.


Polo celeste intermedio, CIP, o simplemente P ,

al polo verdadero que el IERS situa en el sistema de referencia G. El nombre depolo celeste intermedio viene a sustituir al de polo celeste de efemerides, CEP,usado hasta 2003. Perpendicular al eje determinado por este punto se encuentrael plano del ecuador intermedio con el que antes habıamos definido el sistema E

�

usando como origen el equinoccio de la fecha.

Uno de los objetivos de la reforma de los sistemas de referencia de la IAUes obtener una mayor precision, lo que se consigue minimizando al maximo lasfuentes de error. El problema del movimiento del equinoccio proviene de dosmovimientos: el del ecuador y el de la eclıptica. Si prescindimos de la eclıptica, paralo cual basta elegir un origen distinto al equinoccio, conseguiremos transformarel problema en uno en el que solo intervenga la rotacion de la Tierra y no losproblemas orbitales que perturban la eclıptica.

Para definir otros orıgenes en el ecuador verdadero se ha introducido el con-cepto de origen no rotante que consiste en elegir un punto en el ecuador verdaderomovil de manera que la posicion instantanea de ese punto siempre se mantieneperpendicular al ecuador, esto es, siempre se mueve en la direccion del polo P .De otra forma el movimiento de este punto presentarıa una componente alrededordel eje polar que introducirıa cierto movimiento espurio en el angulo de rotacion.Ası, han sido definidos dos nuevos puntos:

Origen celeste intermedio, CIO, representado por �, que sustituye al equi-noccio como origen de coordenadas.

Origen terrestre intermedio, TIO, representado por $, que representa unpunto en el ecuador que rota con la Tierra. Este punto sustituye al antiguomeridiano de Greenwich aunque esta muy proximo al mismo.

Los sistemas de referencia asociados a estos orıgenes y que tienen el ecuadorintermedio como plano fundamental son llamados:

Sistema celeste intermedio, E�

= {e�1

, e�2

, e�3

}.

Sistema terrestre intermedio, E$

= {e$1

, e$2

, e$3

}.

4.3 Transformaciones entre sistemas de referen-cia precisos

En este apartado desarrollaremos las transformaciones necesarias para rela-cionar entre si todos los sistemas de referencia espaciales. Para esto seguiremos elesquema de la tabla 4.1, donde cada numero representa una transformacion entredos sistemas contiguos, de manera que componiendo transformaciones podamosfinalmente relacionar G con S

G

. Cada numero del esquema corresponde a una delas siguientes transformaciones:

Transformaciones entre sistemas de referencia precisos 61

G

T1

x

?

?

?

y

E$

T2b ��! E�

T2c ��! E�

0m

T2a

x

?

?

?

y

x

?

?

?

y

T3

E�

Em

�m

T6

x

?

?

?

y

x

?

?

?

y

T4

SG

T5 ��! Eo

�o

Tabla 4.1: Transformaciones entre sistemas de referencia precisos.

T1. La correccion por el movimiento del polo.

T2. Tres cambios de origen en el ecuador intermedio que relacionan los sistemascon origen en �, $, � y �0

m

.

T3. La correccion por nutacion.

T4. La correccion por precesion.

T5. La desviacion entre los sistemas Eo

�oy S

G

.

T6. El tratamiento conjunto de la precesion-nutacion sin usar el equinoccio.

Como puede verse en la tabla 4.1 existen dos caminos para relacionar G conSG

. El camino clasico, (T1,T2b,T3,T4,T5), usa la teorıa de la precesion y nutacionclasica basada en el equinoccio. Sin embargo, el moderno, (T1,T2a,T6), no usa elequinoccio. En lo que sigue describiremos ambos caminos, con los parametros delcamino clasico adaptados a los modelos desarrollados por la IAU en el ano 2000.

En los siguientes subapartados se describe cada transformacion por separado,dando tanto los parametros que la caracterizan como la matriz de transformacion.En algunos casos escribiremos la expresion precisa de los parametros en terminosde una variable temporal T

s

7 que se explicara con detalle en el capıtulo siguientey que representa el numero de siglos julianos transcurridos entre el instante delcalculo y un instante estandar J2000.0. En otros casos no se escribe la expresiondebido a su enorme volumen. Tanto en estos casos como en los primeros, quientenga necesidad de su uso, puede acudir al conjunto de rutinas SOFA8 y NOVAS9,ambas escritas en lenguaje C y FORTRAN y desarrolladas respectivamente por

7T

s

= (JDTT � 2451545.0)/36525.8http://www.iau-sofa.rl.ac.uk/9http://aa.usno.navy.mil/software/novas/novas info.html


la Union Astronomica Internacional y el USNO (U.S. Naval Observatory). Estasrutinas de software libre abarcan todas las transformaciones descritas en estecapıtulo.

4.3.1 Movimiento del polo (T1)

El movimiento del polo permite relacionar el sistema geografico G con el sis-tema E

$

cuyo polo, CIP, y ecuador, son los verdaderos de la fecha y su origen esel origen terrestre intermedio, TIO (figura 4.4).

Llamaremos matriz de tambaleo a la matriz que pasa del sistema E$

al sistemageografico G

RE$G = W = W (xp

, yp

, s0), (4.5)

donde (xp

, yp

, s0) son los tres parametros que caracterizan el movimiento del polo.Por un lado (x

p

, yp

) representan la posicion del polo instantaneo de rotacion,CIP, respecto al sistema G, mientras que s0 es el localizador del TIO, es decir,representa el desplazamiento del origen de longitudes hasta el TIO, por lo quedetermina la posicion exacta del primer meridiano de E

$

. El valor de s0 vienedado por s0 = 0.00000047T

s

, por lo que es despreciable para la mayor parte de lasaplicaciones.

El polo instantaneo, CIP, esta muy proximo al polo internacional de referencia,IRP, su distancia es menor que 0.002, por lo que su posicion en la esfera se puedeaproximar por las coordenadas del punto en un sistema horizontal con centro enel polo de referencia y cuyo eje Ox representa la posicion del meridiano origen,IRM, y el eje Oy la direccion Oeste (figura 4.4 izquierda). El IERS determinay publica en sus boletines A y B, unas coordenadas (x, y) que constituyen unabuena aproximacion a la posicion del polo, expresadas en el sistema anterior, quedeben ser corregidas por unos elementos

(xp

, yp

) = (x, y) + (�x,�x)marea + (�x,�x)nutacion,

que corresponden a la correcciones por marea oceanica y por nutacion y que sonmenores que 0.0001.

Observando la derecha de la figura 4.4, y tras efectuar tres rotaciones ele-mentales, llegamos a la relacion RGE$

= R1

(yp

)R2

(xp

)R3

(�s0), cuya inversa esW = RE$G = RT

3

(�s0)RT

2

(xp

)RT

1

(yp

), o teniendo en cuenta las relaciones entrelas matrices de rotacion elemental en sus dos convenios, tendremos finalmente

W = eR3

(�s0) eR2

(xp

) eR1

(yp

), (4.6)

que es la expresion que habitualmente aparece en la literatura.

Si efectuamos el producto de matrices anteriores, tenemos en cuenta que paraun valor muy pequeno de un angulo a, expresado en radianes, se puede poner


IRP

IRM

CIP

Meridiano origen

Oeste yp

xp

yp

xp

e

$

3

s0e

$

1

IRPg

3

IRM

g

1

Figura 4.4: Movimiento del polo.

cos a ⇡ 1, sen a ⇡ a, y despreciamos los productos de dos pequenos arcos, seobtendra una expresion mas simple deW , suficientemente aproximada en la mayorparte de las aplicaciones:

W ⇡

0

@

1 �s0 �xp

s0 1 yp

xp

�yp

1

1

A .

La longitud y latitud de un punto de la superficie terrestre, en el sistemageografico G, son dos valores constantes (�

0

,�0

) que junto con la altitud determi-nan la posicion del punto. Sin embargo, la longitud y latitud de un punto de lasuperficie no son constantes cuando se considera el ecuador verdadero y el origen$. Las coordenadas de un punto en este sistema E

$

seran dos variables que re-presentaremos por (�,�). Este valor es muy importante pues son las coordenadasque deben usarse para la observacion astronomica y las que definen con precisionlas escalas de tiempo basadas en la rotacion terrestre.

El valor de (�,�), se obtendra a partir de las coordenadas del observador(�

0

,�0

) y del movimiento del polo W por medio de la expresion

cart(1,�,�) = W cart(1,�0

,�0

). (4.7)

Aunque la expresion anterior es exacta, el valor, extremadamente pequeno, dexp

, yp

y s0 permite obtener una aproximacion que da directamente la longitud ylatitud en la forma

� = �o

+ tan�o

(xp

sen�o

+ yp

cos�o

) ,

� = �o

+ (xp

cos�o

� yp

sen�o

) ,(4.8)


expresion valida tomando xp

, yp

en radianes.

4.3.2 Cambios de origen en el ecuador intermedio (T2)

En el ecuador intermedio existen cuatro puntos que son orıgenes de cuatrosistemas de referencia distintos: el origen intermedio terrestre, TIO o $, el origenintermedio celeste, CIO o � y finalmente el equinoccio verdadero, � y el equinocciomedio �0

m

. Para transformar entre si los sistemas de referencia que tienen comoplano fundamental el ecuador y estos puntos como orıgenes basta efectuar un girode eje Oz con el angulo adecuado.

✓

GMSTGAST

$

�

�

�0m

Figura 4.5: Cambios de origen en el ecuadorintermedio.

El angulo entre el punto $ y elequinoccio � no es sino el angulohorario del equinoccio medido des-de el meridiano principal. Es portanto el tiempo sidereo del meri-diano que pasa por $. Este meri-diano no es el mismo que el me-ridiano de Greenwich, sin embar-go, se ha mantenido a este angu-lo el nombre de tiempo sidereo enGreenwich. Por otra parte, pues-to que esta asociado al equinoccioverdadero10 se le da el nombre detiempo sidereo aparente en Green-wich y se representara por las letrasGAST . El angulo entre este pun-to y el equinoccio medio �0

m

repre-sentara el tiempo sidereo medio enGreenwich, GMST .

El angulo entre $ y � se define de manera que estos dos puntos sean orıgenesno rotantes, se le llama angulo de rotacion terrestre, y se denota por las siglasERA o por el sımbolo ✓.

Una vez definidos estos dos angulos podemos determinar las matrices de rota-cion que representan el cambio de origen en la forma:

RE$E�= R

3

(�✓) = eR3

(✓), RE$E�= R

3

(�GAST ) = eR3

(GAST ), (4.9)

mientras que la relacion ente los sistemas E�

y E�

0m

viene dada por

RE�E�0m

= R3

(�EE), �EE = GAST �GMST . (4.10)

Al angulo �EE se le llama ecuacion de los equinoccios y su valor viene dado porla expresion

�EE = � + 0.0000264096 sen⌦+ 0.0000006352 sen 2⌦+ . . . , (4.11)

10Esto se estudiara con detalle en el siguiente capıtulo.


que depende del valor � de la nutacion en longitud, dado en (4.18), y de algu-nos terminos lunisolares como ⌦ y otros. En la anterior expresion hemos escritounicamente los tres terminos mas importantes.

4.3.3 Precesion (T4)

�o

e

o

3

�m

e

m

3

✏o

A

!A

�A

�⇤ecuador medioen J2000.0

ecuador medio

eclıpticaenJ2000.0

eclıptica

Figura 4.6: Precesion: transformacion con cuatrorotaciones.

La precesion es la transfor-macion entre el ecuador y equi-noccio medios del ano J2000.0,que definen el sistema Eo

�o, y el

ecuador y equinoccio medios deuna fecha, que definen el sistemaEm

�m. Esta transformacion se pue-

de modelar por medio de dos con-juntos de parametros diferentes.

La primera aproximacion sedescribe con cuatro parametrosque relacionan la posicion delecuador medio de las dos epocascon el plano de la eclıptica enJ2000.0 y en la fecha. Los cuatroparametros (✏

o

, A,!

A,�

A), que

pueden verse en la figura 4.6, re-presentan lo siguiente:

✏o

es el valor de la oblicuidad media de la epoca J2000.0, es decir, el anguloentre el ecuador medio y la eclıptica en J2000.0, que tiene un valor constante.

Aes el angulo entre el equinoccio medio de J2000.0, �

o

, y un punto �⇤ querepresenta la interseccion del plano de la eclıptica en J2000.0 con el ecuadormedio de la fecha.

!Aes el angulo entre el plano de la eclıptica en J2000.0 y el ecuador medio

de la fecha.

�Aes el angulo entre el punto �⇤ y el equinoccio medio �

m

.

Se llama matriz de precesion y se representa por la letra P a la matriz de pasodel sistema medio E�m

m

a la del sistema ecuatorial en J2000.0, Eo

�o, esto es, a la

matriz REm�m

Eo�o.

Para obtener la expresion de P en terminos de los cuatro parametros an-teriores, observaremos la figura 4.6, donde podemos concluir que REo

�oEm�m

=

R1

(✏o

)R3

(� A)R

1

(�!A)R

3

(�A). Teniendo en cuenta que P es la transpuesta de

la anterior tendremos que P = RT

3

(�A)RT

1

(�!A)RT

3

(� A)RT

1

(✏o

) y aplicando larelacion entre las matrices de rotacion con ambos convenios se llaga a la expresion


P = eR3

(�A) eR

1

(�!A) eR

3

(� A) eR

1

(✏o

), (4.12)

que es una de las dos expresiones habituales de la matriz de precesion.

La expresion de los cuatro angulos en funcion del tiempo, dado por la variableTs

, es la siguiente:

✏o

= 23h26m21.s406 = 84381.00406,

A

= 5038.00481507Ts

� 1.000790069T 2

s

�0.0000114045T 3

s

+ 0.00000132851T 4

s

� 0.000000000951T 5

s

,

!A

= ✏0

� 0.00025754Ts

+ 0.000512623T 2

s

�0.0000772503T 3

s

� 0.00000000467T 4

s

+ 0.000000003337T 5

s

,

�A

= 10.00556403Ts

� 2.003814292T 2

s

�0.0000121197T 3

s

+ 0.00000170663T 4

s

� 0.000000000560T 5

s

.

(4.13)

Aunque la IAU recomienda usar estos cuatro parametros para calcular la ma-triz de precesion, existe otro conjunto de tres parametros, (z

A, ✓

A, ⇣

A), identicos

a los clasicos de la teorıa de la precesion previa al ano 2000, pero que han sidomodificados para adaptarlos a la mayor precision de las nueva teorıas.

�o

e

o

3

�m

e

m

3

⇣A

✓A

zA

ecuador medioen J2000.0

ecuador medio

Figura 4.7: Precesion: transformacion con tresrotaciones

En lugar de trabajar sobre elecuador los antiguos parametrosdescriben la posicion del polo delsistema Em

�mrespecto del sistema

Eo

�ocomo se ve en la figura 4.7. En

esta figura se observa como el angu-lo ✓

Arepresenta el angulo entre los

vectores eo3

y el vector em3

, mientrasque z

Aes el angulo entre el meri-

diano principal y el cırculo maximoque une los dos polos en el sistemade referencia medio y ⇣

Ael mismo

angulo en el sistema de referenciamedio de J2000.0.

En estas condiciones la ma-triz P de paso de Em

�ma Eo

�o

se obtendra como composicion detres rotaciones: P = REmE�o

=R

3

(zA)R

2

(�✓A)R

3

(⇣A) y finalmen-

te pondremos la expresion habitual

P = eR3

(�zA) eR

1

(✓A) eR

3

(�⇣A). (4.14)


Las expresiones de los tres angulos, en funcion del tiempo dado por la variableTs

, son las siguientes:

⇣A

= 2.00650545 + 2306.00083227Ts

+ 0.002988499T 2

s

+0.0001801828T 3

s

� 0.00000005971T 4

s

� 0.000000003173T 5

s

,

zA

= �2.00650545 + 2306.00077181Ts

+ 1.000927348T 2

s

+ 0.0001826837T 3

s

�0.00000028596T 4

s

� 0.000000002904T 5

s

,

✓A

= 2004.00191903Ts

� 0.004294934T 2

s

� 0.0004182264T 3

s

�0.00000007089T 4

s

� 0.000000001274T 5

s

,(4.15)

mientras que el valor del angulo ✏, que representa la oblicuidad media o anguloentre el ecuador medio y la eclıptica, es igual a

✏ = ✏o

� 46.00836769Ts

� 0.000001831T 2

s

+ 0.0000200340T 3

s

� 0.00000000576T 4

s

� 0.000000000434T 5

s

.(4.16)

4.3.4 Nutacion (T3)

✏

✏0 = ✏+�✏�

e

�

1

e

�

3

e

m

1

e

m

3

ecuadorde la fecha

ecuadormedio

eclıptica

Figura 4.8: Nutacion.

La nutacion produce un pe-queno desplazamiento del ecua-dor, a lo largo de la eclıptica, des-de el ecuador y equinoccio me-dios hasta el ecuador y equinoc-cio verdaderos. Se mide a partirde dos angulos: la nutacion enlongitud, � , que mide el angu-lo entre el equinoccio medio y elverdaderos en la eclıptica, y lanutacion en oblicuidad, �✏, quemide la diferencia entre la obli-cuidad media, ✏, o angulo entre laeclıptica y el ecuador medio y laoblicuidad verdadera, ✏0, o angu-lo entre la eclıptica y el ecuadorverdadero.

Se llama matriz de nutacion a la matriz de rotacion que pasa del sistema E�

alsistema Em

�mque, de acuerdo con la figura 4.8, se podra poner como N = RE�Em

�m=

R1

(✏0)R3

(� )R1

(�✏), de donde finalmente llegaremos a la expresion

N = eR1

(�✏��✏) eR3

(�� ) eR1

(✏). (4.17)


Los valores de �✏ y � se obtienen a partir de las dos series:

� =N

X

i=1

(Si

+ S0i

TS

) sen�j

+ C 00i

cos�j

,

�✏ =N

X

i=1

(Ci

+ C 0i

TS

) cos�j

+ S00i

sen�j

,

(4.18)

siendo

�i

=K

X

j=1

�j

(Ts

),

donde, para el modelo de nutacion MHB, que es aceptado en el modelo IAU2000, setieneN = 1365 terminos de la series, yK = 14 parametros angulares dependientesde las orbitas del Sol y la Luna. Este modelo ha sustituido al antiguo modelo deWahr en el que las series de la nutacion tenıan 136 terminos.

4.3.5 Tratamiento actual de la precesion y nutacion (T6)

e

1

e

2

e

3

e

�

1

e

�

2

e

�

3

E

d

E

s

Figura 4.9: Transformacion conjunta precesion–nutacion.

El tratamiento moderno de laprecesion y nutacion se basa enla posicion del sistema E

�

res-pecto del sistema S

Ga traves de

tres parametros (X,Y, s), que, deforma similar al movimiento delpolo, representan la posicion delCIP en S

Gy la correccion s del

origen del sistema o localizadordel CIO.

Los valores de (X,Y ) repre-sentan dos de los tres cosenos di-rectores del vector e

�

3

, respectode la base {e

1

, e2

, e3

} del siste-ma S

G, de forma que

e

�

3

= Xe

1

+ Y e

2

+ Ze

3

,

Si llamamos (E, d) a la longitudy la colatitud del vector e�

3

en elsistema S

Gse tendran las relaciones:

X = sen d cosE, Y = sen d senE, Z = cos d, (4.19)

donde el valor de Z es muy proximo a la unidad.


En la figura 4.9 se puede observar la posicion del sistema E�

, cuya base es{e�

1

, e�2

, e�3

}, respecto del sistema SG, cuya base es {e

1

, e2

, e3

}. Llamaremos ma-triz de precesion–nutacion a la matriz C = RE�S

Gque pasa de E

�

a SG.

Observando la figura 4.9 podemos concluir que la matriz de rotacion entrelos dos sistemas es RS

GE�

= R3

(E)R2

(d)R3

(�E)R3

(�s), de donde se deduce

finalmente que C = RE�SG

= R3

(�s)TR3

(�E)TR2

(d)TR3

(E)T y por tanto

C = eR3

(�s) eR3

(�E) eR2

(d) eR3

(E). (4.20)

Hemos calculado la matriz de rotacion en terminos de (E, d), sin embargo, seha dicho antes que esta transformacion se plantea en terminos de (X,Y ). Paraexpresar C en terminos de X,Y hay que efectuar el producto de las tres ma-trices eR

3

(�E) eR2

(d) eR3

(E), aplicar las relaciones (4.19), y realizar una serie demanipulaciones trigonometricas y simplificaciones para obtener

C = eR3

(�s)

0

@

1� bX2 �bXY �X�bXY 1� bY 2 �Y

X Y 1� b(X2 + Y 2)

1

A , (4.21)

donde, teniendo en cuenta que el valor de Z es pequeno, el valor de b = 1/(1+Z)se puede aproximar, hasta una precision del orden de 0.00000001 por la expresionb = 1/2 + (X2 + Y 2)/8, de forma que Z no aparece en la matriz.

La teorıa IAU2000 para la precesion y nutacion establece unos valores:

X = �0.0001661699 + 2004.0019174288Ts

� 0.0042721905T 2

s

�0.0019862054T 3

s

� 0.0000004605T 4

s

+ 0.0000000598T 5

s

+P

i

[(as,0

)i

sen(�j) + (ac,0

)i

cos(�j)]

+P

i

[(as,1

)i

t sen(�j) + (ac,1

)i

t cos(�j)]

+P

i

[(as,2

)i

t2 sen(�j) + (ac,2

)i

t2 cos(�j)]

+ · · · ,

Y = �0.0000695078� 0.0002538199Ts

� 22.0040725099T 2

s

+0.0000184228T 3

s

+ 0.0000111306T 4

s

+ 0.0000000099T 5

s

+P

i

[(bc,0

)i

cos(�j) + (bs,0

)i

sen(�j)]

+P

i

[(bc,1

)i

t cos(�j) + (bs,1

)i

t sen(�j)]

+P

i

[(bc,2

)i

t2 cos(�j) + (bs,2

)i

t2 sen(�j)]

+ · · · ,

con los terminos �j

dependientes de la nutacion. La expresion de s es similar a lade X e Y .


4.3.6 Desviacion (T5) entre los sistemas Eo

�

o

y SG

Finalmente veremos como pasar del nuevo sistema fundamental SG

al anti-guamente usado Eo

�oy viceversa. Para ello tendremos en cuenta que la posicion de

los dos polos y la direccion de los orıgenes respectivos esta muy proxima, ademasla posicion de los unos respecto a los otros es fija.

Los parametros que describen esta pequena desviacion son las coordenadas(⇠

o

, ⌘o

) del polo de E�o

en el sistema SG

. Como puede verse en la figura 4.10 estascoordenadas estan dadas en un sistema de dos dimensiones, tangente al polo deSG

, y cuyas direcciones O⇠, O⌘ representan el meridiano origen y el de un valor⇡/2. En este sistema el polo de Eo

�oocupa la posicion ⇠

o

= �0.00016617, ⌘o

=�0.000068192. El desplazamiento del origen se mide por el valor d↵

0

= �0.000146.

Polo SG

Polo E�o

(⇠o

, ⌘o

)

⇠

⌘

|⇠o

||⌘

o

|

e

1

e

2

e

3

e

o

1

e

o

2

e

o

3

|d↵o

|

|⌘o

||⇠

o

|

Figura 4.10: Desviacion del sistema E�o .

La llamada matriz del sesgo de la referencia y denotada por la letra B deter-mina la transformacion del sistema E

�oal sistema S

G, es decir B = RE�oS

G.

De acuerdo con la figura 4.10, la matriz RSG

E�ose obtendra componiendo tres

rotaciones R3

(�|d↵o

|)R2

(�|⇠o

|)R1

(|⌘o

|), que de acuerdo con los signos de d↵o

, |⇠o

|y |⌘

o

| se pondra RSG

E�o= R

3

(d↵o

)R2

(⇠o

)R1

(�⌘o

). Finalmente, podremos poner

RE�oSG

= R1

(�⌘o

)TR2

(⇠o

)TR3

(d↵o

)T , o lo que es igual

B = eR1

(�⌘o

) eR2

(⇠o

) eR3

(d↵o

). (4.22)

Si efectuamos el producto de matrices anterior y despues aproximamos lasfunciones trigonometricas por el arco o por la unidad, como ya se ha hecho enun calculo anterior, se obtendra una expresion mas simple de B, suficientemente

Relacion de los sistemas precisos con los sistemas idealizados 71

aproximada en la mayor parte de las aplicaciones:

B ⇡

0

@

1 d↵o

�⇠o

�d↵o

1 �⌘o

⇠o

⌘o

1

1

A .

4.3.7 Transformacion general de coordenadas

Finalmente, reuniendo todas las transformaciones dadas hasta aquı, podemosobtener la expresion de la transformacion general de coordenadas entre el sistemageografico y el sistema GCRS o el del equinoccio y ecuador medios del J2000.0.

Las transformaciones pueden resumirse en las siguientes expresiones:

xSG

= CT

eR3

(�✓)W xG ,

xSG

= BTPTNT

eR3

(�GAST )W xG ,

xEo�o

= BCT

eR3

(�✓)W xG ,

xEo�o

= PTNT

eR3

(�GAST )W xG ,

(4.23)

y sus transpuestas:

xG = WT

eR3

(✓)C xSG,

xG = WT

eR3

(GAST )N P B xSG,

xG = WT

eR3

(✓)C BT

xEo�o,

xG = WT

eR3

(GAST )N P xEo�o.

(4.24)

4.4 Relacion de los sistemas precisos con los sis-temas idealizados

En el capıtulo anterior se han definido una serie de sistemas idealizados ba-sados en la consideracion de planos fijos del ecuador y la eclıptica. Si tenemosen cuenta el movimiento de estos deberemos establecer una serie de premisas quecondicionaran las relaciones entre todos los sistemas.

En primer lugar deberemos considerar que el sistema horizontal se establece apartir de la direccion del zenit y del sur como origen del acimut. La direccion surse puede definir a partir del meridiano del lugar, por observacion de la culminacionsuperior de los astros, o bien a partir de la direccion sur prefijada geograficamente.El primer caso define unas coordenadas horizontales relacionadas con unas coor-denadas horarias definidas sobre el ecuador verdadero, mientras que en el segundocaso el ecuador es el ecuador fijo de la Tierra o lo que es igual el plano Oxy delsistema geografico. Los dos sistemas horizontales basados en estas dos diferenteselecciones son distintos y su relacion con el sistema ecuatorial viene dada, en el


primer caso, a traves de la latitud � del lugar, corregida del movimiento del po-lo, mientras que en el segundo se relacionan a partir de la latitud �

o

del lugarsin corregir por el movimiento del polo. De cualquier manera, el movimiento delpolo es muy pequeno y no conocido a priori por lo que en la mayor parte de lasaplicaciones se pueden hacer coincidir ambos sistemas.

El sistema horario y el ecuatorial se entenderan referidos al ecuador verdadero.

Entenderemos por eclıptica la de la fecha. El paso al sistema de referenciaeclıptico se puede hacer, bien desde el sistema ecuatorial verdadero de la fecha,cuya interseccion con la eclıptica es el equinoccio verdadero �, y su angulo conella es la oblicuidad verdadera ✏0, o bien desde el ecuador medio de la fecha, cuyainterseccion con la eclıptica es el equinoccio medio �

m

y su angulo con esta es laoblicuidad media ✏.

Finalmente, hay que decir que los elementos de la rotacion de un planeta,coordenadas del polo y posicion del meridiano origen, son medidos en el sistemaespacial con centro en el centro de masas del planeta S

P

por lo que la matrizRE�P$

, dada en (3.23), representa realmente la matriz RSP P$, esto es, el paso

del sistema celeste de referencia al planetografico.

Capıtulo 5

Referencia temporal

5.1 Introduccion

La naturaleza del tiempo es una complicada cuestion a la que ni la Filosofıani la Fısica han dado una respuesta definitiva. Nos limitaremos a tratar el tiem-po como una variable independiente que sirve como referencia para describir laevolucion de los fenomenos fısicos o dinamicos.

Mediante la medida del tiempo se persiguen dos finalidades distintas: por unlado, se trata de fijar el instante en que sucede un determinado acontecimiento,problema cronologico, y por otro, medir el intervalo de tiempo transcurrido entredos acontecimientos, problema cronometrico. Para la primera cuestion es necesa-rio fijar una epoca origen y, a partir de ella, contar el numero de ciclos (o fraccion)de un fenomeno periodico que han transcurrido desde entonces, por ejemplo, elnumero de veces que el Sol ha pasado por el meridiano del lugar. Con respecto alaspecto cronometrico, el tiempo puede estar o no asociado a una epoca determi-nada. Por ejemplo, a un ciclista que corre una etapa, solamente le interesa saberel numero de minutos, segundos y fracciones de segundo que han transcurridodesde que partio de la salida hasta que cruza la lınea de meta. La fecha le interesasolamente para saber donde debe estar cierto dıa a cierta hora. Con respecto alintervalo de tiempo, es esencial la sincronizacion. En efecto, siguiendo con el sımilanterior, el ciclista debe tener su reloj sincronizado con el reloj de la organizacion,pues de lo contrario, podrıa llegar tarde a la salida. El problema de la sincroniza-cion se hace mas acuciante en determinados problemas como la navegacion aerea,las telecomunicaciones, electronica, etc..

Determinadas actividades requieren relojes o instrumentos de medida sencillos,

74 Referencia temporal

mientras que otras los necesitan mucho mas precisos. Ası, los pueblos primitivosse regıan por el movimiento del Sol, puesto que les condicionaba sus actividadesdiarias, horas de descanso, de vigilia y comidas. Algunas ciencias, como la Geo-logıa y la Astronomıa, manejan intervalos de tiempo del orden de miles y millonesde anos, por lo que un par de anos le es indiferente; por el contrario, la Electronicanecesita saber medir fracciones muy pequenas de segundo, por ejemplo, si un or-denador va a 132 MHz, quiere decir que necesitan contar 132,000,000 oscilacionesen un segundo, para lo que necesitan un reloj con una precision mucho mayor.Como vemos, dependiendo del usuario, se necesitan distintos grados de precision,lo que hace que se manejen distintas escalas de tiempo.

Desde los albores de la humanidad, el movimiento de los astros ha marcadolas primeras escalas de tiempo, por lo que todavıa se siguen utilizando. El ano, elmes y el dıa han sido las unidades naturales obtenidas a partir de tres diferentesciclos astronomicos. Grosso modo, estos se pueden definir como:

Ano, el periodo de una revolucion completa de la Tierra alrededor del Sol.

Mes, el intervalo transcurrido entre dos Lunas llenas sucesivas.

Dıa, el tiempo entre dos pasos consecutivos del Sol por su punto mas altosobre el horizonte.

Las tres unidades anteriores determinan el marco habitual donde circunscribi-mos el concepto tiempo, sin embargo, su definicion conlleva una serie de dificul-tades que hacen necesario un estudio profundo de las mismas para alcanzar losrequerimientos actuales en la medida del tiempo.

Por un lado el ano no contiene un numero exacto de dıas, ni un numero exactode meses y el mes tampoco contiene un numero exacto de dıas. Por otra parte, alo largo del ano, la duracion del dıa, definido como el intervalo de tiempo entredos pasos consecutivos del Sol por el meridiano del lugar, no es la misma, puesla Tierra se mueve sobre una elipse, viajando en ocasiones mas rapida y en otrasmas lenta. Si en lugar de basar la duracion del dıa sobre el movimiento del Sol, sebasa sobre el movimiento de las estrellas, resultara que este dıa de las estrellas,dıa sidereo, es unos 4 minutos mas corto que el dıa solar. Sin embargo, como lasestrellas estan muy alejadas, este tiempo no varıa con la epoca del ano en la quenos encontremos.

Ademas, tal como se empezo a sospechar en el siglo XVII, la Tierra no girauniformemente alrededor de su eje, sino que tiene fluctuaciones y, ademas, se vafrenando gradualmente. Por otra parte, los polos terrestres, que determinan eleje de giro de la Tierra, sobre el que hemos definido el dıa, tambien se muevenunos pocos metros en un ano, lo que produce discrepancias del orden de unos 30milisegundos de un ano al siguiente. Se hace necesario, por tanto, un reloj que midaperiodos constantes uniformemente. Esto se ha conseguido mediante la frecuenciade radiacion emitida por un atomo de cesio. Pero como todas las unidades detiempo habituales (hora, dıa, mes, ano, etc.) tienen un origen astronomico, ha

Relojes basados en la rotacion terrestre 75

sido preciso definir distintas escalas de tiempo, que veremos mas adelante, conobjeto de unificar las medidas de relojes astronomicos y atomicos.

5.2 Relojes basados en la rotacion terrestre

Desde un punto de vista practico, podemos definir un dıa como el intervalo detiempo transcurrido entre dos pasos consecutivos de una cierta referencia espacial,situada en la esfera celeste, por un meridiano terrestre. De esta manera, podemosconstruir nuestro reloj tomando las 0h como la posicion del punto del ecuadorque se encuentra en el mismo meridiano que el punto de referencia y dividir elecuador en 24 sectores. El angulo entre la direccion del meridiano y la del puntode referencia, angulo horario, medido en horas, nos determina la hora de nuestroreloj (Figura 5.1).

Punto de referencia

Tierra

Meridiano

0h

6h

12h

18h

Figura 5.1: Reloj natural basado en la ro-tacion terrestre.

A pesar de la aparente sencillezde este reloj, aparecen ya los prime-ros problemas en la determinacion dela hora. En primer lugar la falta deuniformidad de la rotacion terrestre dela que prescindiremos por el momento.Por otro lado, cada meridiano senalauna direccion diferente, por lo que lahora del reloj depende del meridianoelegido, lo que significa que la hora da-da por este reloj es local, esto es, de-pende del lugar en que la midamos.

Por ultimo, debemos elegir el puntode referencia. La mejor referencia posi-ble serıa un punto fijo en el ecuador;sin embargo, esto no sera posible des-de un punto de vista practico. Por ello,el movimiento del punto de referenciadebera ser tenido en cuenta para corre-gir la hora dada por el reloj.

5.2.1 Tiempo sidereo

Las estrellas no sirven como punto de referencia, pues su movimiento propio,aunque pequeno, es en muchos casos muy mal conocido; es por lo que se utilizacomo referencia el equinoccio �, cuyo movimiento por precesion y nutacion eslento y esta muy bien estudiado. Llamaremos tiempo sidereo al tiempo asociadoa un reloj basado en la rotacion terrestre y que toma como referencia el punto �.Es decir, el tiempo sidereo, ST , sera el angulo horario del punto �.


Al estudiar la precesion y nutacion vimos que pueden definirse tres equinocciosdiferentes. El equinoccio �

0

de la epoca J2000.0, el equinoccio verdadero de la fecha�, que es el anterior corregido por precesion y nutacion y el equinoccio medio �

m

,que es el de la epoca J2000.0 corregido solo por precesion. Aunque el equinoccio�0

representa una posicion fija en el espacio— por lo que constituirıa la referenciaperfecta— no se utiliza, pues no va ligado a la observacion astronomica comosucede con los otros dos.

La complejidad del modelo de la nutacion y su pequeno valor hacen que engeneral sea suficiente tomar como referencia el equinoccio medio, lo que nos llevaa definir el tiempo sidereo medio. Este es el que se usa habitualmente, salvo paracasos de gran precision. Si se toma el equinoccio de la epoca hablaremos de tiemposidereo aparente.

Llamaremos tiempo sidereo local aparente, LAST , al angulo horario del equi-noccio de la fecha. El angulo horario del equinoccio medio sera llamado tiemposidereo local medio, LMST . Este angulo es el que coincide con el tiempo sidereoST , y esta asociado a la observacion astronomica.

La diferencia entre los dos tipos de tiempo sidereo local sera igual a la diferenciade la ascension recta del equinoccio medio y el de la epoca que, de acuerdo conla teorıa de la nutacion, podra ponerse como

LAST � LMST = �EE,

donde �EE es la ecuacion de los equinoccios, definida en (4.11).

�o

�m

�

G(TIO, $)

L(meridiano local)

L ST

G ST

�

Figura 5.2: Tiempos sidereos.

El hecho de ser local obliga ausar un reloj distinto en cada lu-gar. Para corregir esto, utilizaremosde manera global el reloj de tiem-po sidereo de un lugar determinado.Tradicionalmente para ello se utili-zaba el observatorio de Greenwichdefiniendo el tiempo sidereo medioen Greenwich, GMST , y el tiem-po sidereo aparente en Greenwich,GAST , cuya relacion vendra da-da tambien a traves de la ecuacionde los equinoccios. Las resolucionesde la IAU del ano 2000 han sus-tituido el meridiano de Greenwichpor el origen terrestre intermedio(TIO, $) como origen del sistemageografico por lo que no tenıa senti-do mantener el meridiano de Green-wich como lugar comun para la medida de un tiempo sidereo universal, sin embar-go, la generalizacion del uso de los nombres anteriores ha obligado a mantenerlosaunque modificando su definicion para usar el nuevo origen.


La figura 5.2 permite encontrar la relacion entre los tiempos sidereos localesy en Greenwich a traves de la longitud, �, del lugar como

GMST = LMST � �, GAST = LAST � �. (5.1)

A partir de ahora, salvo que se diga lo contrario, despreciaremos la nutacion yhablaremos unicamente del tiempo sidereo refiriendonos al tiempo sidereo medioy llamaremos dıa sidereo a un periodo de 24h de tiempo sidereo medio.

5.2.2 Angulo de rotacion terrestre

El modelo de movimiento del polo y rotacion de la Tierra establecido por laUnion Astronomica Internacional en el ano 2000, presentado en el capıtulo 4, es-tablece dos puntos de referencia no rotantes en el ecuador verdadero o intermedio:el origen intermedio terrestre (TIO, $) y el origen celeste intermedio (CIO, �),que representan respectivamente el origen de un sistema rotante con la Tierray el de un sistema fijo. Estos puntos estan proximos, aunque no son iguales, almeridiano de Greenwich y al equinoccio. Al angulo entre estos dos puntos se lellama angulo de rotacion terrestre (ERA, ✓) y puede verse en la figura 4.5. Lospuntos que lo forman estan definidos de manera que su variacion con respecto altiempo coincida exactamente con la velocidad angular de rotacion de la Tierra

d✓

dt= !.

En realidad este angulo no representa un tiempo, pero su variacion lo relacionadirectamente con este y su significado es equivalente al del GAST cuando se utilizael CIO en lugar del equinoccio.

5.2.3 Tiempo solar y tiempo medio

El equinoccio es, por su lento movimiento, la mejor referencia posible para ladefinicion del dıa. Sin embargo, el concepto de dıa ha venido siempre asociado ala sucesion dıa–noche debida a la permanencia del Sol por encima del horizonte.Esto nos lleva a considerar el Sol como referencia y por ello definir un nuevotiempo, el tiempo solar.

Se define el tiempo solar o tiempo solar verdadero como el angulo horario delSol, H�. Esta definicion presenta la ventaja de adaptarse mejor al concepto detiempo en la vida civil, pero tiene el inconveniente de que el punto de referenciatiene movimiento mucho mas rapido que el del equinoccio. En efecto, mientras elequinoccio medio se mueve unos 0.s0084 por dıa, el Sol se mueve aproximadamente1� por dıa.


Sol medioSol

L

(meridianolocal)

G(TIO, $)

�ETH

m

H�

24h � �

Figura 5.3: Tiempo solar y tiempo medio.

Por otro lado, se presenta un pro-blema mucho mas serio debido a queel desplazamiento aparente del Sol entorno a la Tierra no es uniforme, a cau-sa de la excentricidad de la orbita. Porello, puesto que el valor de H� no varıade modo uniforme, no puede ser usadocomo reloj, y se hace necesaria la cons-truccion de un reloj uniforme basadoen la hora solar.

En lugar del Sol, tomaremos comoreferencia un punto imaginario, que lla-maremos Sol medio (S

m

), que reco-rre el ecuador con velocidad constanteigual al movimiento medio de la orbi-ta aparente del Sol alrededor de la Tie-rra1. Aunque dicho punto no es visible,la posicion del Sol medio sobre el ecua-dor viene definida por su ascension recta ↵

m

que es calculada por la MecanicaCeleste.

Llamaremos tiempo medio o tiempo solar medio al angulo horario Hm

delSol medio. Este es el tipo de tiempo que nos permitira una mayor aproximacional tiempo usado habitualmente por todos nosotros. Al intervalo de 24h horas detiempo medio le llamaremos dıa medio.

La relacion del tiempo medio con el tiempo solar vendra dado a traves de laecuacion del tiempo

�ET = H� �Hm

, (5.2)

que debe ser aplicada siempre que observemos la hora dada por un reloj de Sol,tiempo solar y queramos transformarla en tiempo medio (figura 5.3).

La figura 5.4 nos muestra la evolucion de la ecuacion del tiempo, cuyo valores calculado por la Mecanica Celeste, a lo largo del ano. Como puede observarse,la ecuacion del tiempo posee dos maximos, dos mınimos y cuatro ceros a lo largodel ano. Aproximadamente, los ceros se producen el 16 de abril, 13 de junio, 1 de

1Logicamente, este punto no puede ser cualquiera, sino que debe definirse con precision apartir de razonamientos basados en las propiedades de la orbita kepleriana del Sol en torno ala Tierra que se veran en la segunda parte de este libro. Para ello, imaginemos otro punto, quellamaremos Sol ficticio S

f

, que se mueve sobre la eclıptica, orbita del Sol, con velocidad constanten, y que coincide con el Sol en el perigeo ⇧ de la orbita del Sol. Ası pues, sobre la eclıptica, elarco c⇧S = f (anomalıa verdadera), mientras que d⇧S

f

= ` (anomalıa media). Pues bien, el Solmedio definido anteriormente, es tal que se mueve sobre el ecuador, con la misma velocidad n

que S

f

y coincide con este en el equinoccio �; por ello, y prescindiendo del pequeno efecto de laprecesion que no afecta por igual a las coordenadas ecuatoriales y eclıpticas, podemos admitirque la ascension recta ↵

m

del Sol medio coincide con la longitud eclıptica L de S

f

. Con esto, ladiferencia �� ↵

m

= �� L = f � `. La expresion f � ` es llamada ecuacion del centro.


dıas35030025020015010050

15m

10m

5m

�5m

�10m

Figura 5.4: Ecuacion del tiempo �ET. El eje horizontal representa los dıas transcurri-dos desde el comienzo del ano. El eje vertical representa los minutos de desfase entre eltiempo solar y el tiempo medio.

septiembre y 25 de diciembre; el maximo absoluto el 3 de noviembre (unos 16m) yel maximo relativo el 14 de mayo (unos 4m); el mınimo absoluto el 11 de febrero(unos 4m) y el mınimo relativo el 26 de julio (unos 6m).

5.2.4 Tiempo universal

El tiempo utilizado en la vida civil esta basado en el tiempo medio. Sin em-bargo, dada su definicion como el angulo horario del Sol medio, se desprende unaspecto que no concuerda con el uso civil. En efecto, para usos comunes, el dıacomienza a media noche, cuando el Sol tiene un angulo horario de 12h y no almediodıa, cuando el angulo horario es 0h. Este desfase se corrige anadiendo 12h

al tiempo medio. Por ello, en 1925 se definio el tiempo civil local como

Tc

= Hm

+ 12h. (5.3)

De nuevo, este tiempo sigue teniendo un caracter local. Ası, la hora civil de San-tiago de Compostela diferirıa de la hora de Zaragoza en unos 30m debido a ladiferencia de longitud, por lo que el tiempo civil no es todavıa el candidato masadecuado para la creacion de un reloj que nos sea de utilidad y de uso sencillo ycomun. Hasta finales del siglo XIX, cada paıs tenıa establecido su propio meri-diano origen con objeto de proporcionar una hora comun al paıs, y que sirviera dereferencia a los marinos para determinar la longitud a que se encontraban los bar-cos en sus largas travesıas marıtimas. Con objeto de tener un tiempo comun paratodos los lugares, se toma de nuevo el origen terrestre intermedio (TIO, $) ensustitucion del meridiano del observatorio de Greenwich, y a la hora civil en estemeridiano se le llama Tiempo Universal Cero, UT0 . La relacion de este tiempo


con el tiempo civil vendra dada a partir de la longitud, �0

, del lugar en la forma

UT0 = Tc

� �o

. (5.4)

En la ecuacion anterior (5.4), se relaciona el tiempo civil obtenido a partir de laobservacion del angulo horario del Sol medio con la longitud �

o

del observatorio,sin corregir esta por el efecto del movimiento del polo. Si empleamos la longitudcorregida, tendremos el llamado Tiempo Universal Uno, UT1 , cuya relacion, deacuerdo con la primera de las ecuaciones (4.8), sera

UT1 = UT0 � tan�o

(xp

sen�o

+ yp

cos�o

), (5.5)

donde UT1 representa la medida de la rotacion real de la Tierra independiente-mente de la localizacion del observador.

El angulo de rotacion de la Tierra ha sido definido de manera que tengauna relacion lineal con UT1 y esta dado en terminos de rotaciones de la Tierra(unidades de 2⇡ radianes) desde el 2000 Enero 1 a las 12h de UT1 . Su valor esigual a

✓ = 0.7790572732640 + 1.00273781191135448Td

, (5.6)

donde Td

2 representa el numero de dıas, de tiempo UT1 , transcurridos desde elinstante origen. El valor de ✓, en radianes, se obtiene multiplicando la cantidadanterior por 2⇡.

En ambientes no astronomicos se utiliza a veces el termino Tiempo Medio deGreenwich (GMT). Antes de 1926 dicho termino se referıa realmente al tiem-po medio del meridiano de Greenwich, sin embargo, desde 1926 se utiliza parareferirse al tiempo civil de Greenwich, o lo que es igual al tiempo universal, sinespecificacion del tipo (en su forma de uso mas reciente se identifica con el TiempoUniversal Coordinado UTC que veremos despues). Esta ambiguedad de la defini-cion y su distinta interpretacion antes y despues de 1926 han llevado a la UnionAstronomica Internacional a desaconsejar su uso.

El tiempo UT1muestra irregularidades causadas por determinadas variacio-nes de la rotacion terrestre, que son de tipo secular (como el frenado que sufrepor rozamiento de las aguas con el fondo marino), periodicas (mareas lunares,desplazamientos estacionales de grandes masas de agua en estado solido, lıquidoo gaseoso), e irregulares (terremotos, volcanes, etc.). Las variaciones periodicaspermiten corregir el UT1 y definir el llamado Tiempo Universal Dos, UT2 , cuyarelacion con UT1viene dada por

UT2 �UT1 = 0.s022 sen(2⇡t)� 0.s012 cos(2⇡t)� 0.s006 sen(4⇡t) + 0.s007 sen(4⇡t),

donde t es la fraccion de ano tropico (que se vera en la siguiente seccion) transcu-rrido desde el momento en que la longitud del Sol medio es de 280�. Este tiempono sera usado en la practica, por lo que en adelante lo consideraremos igual aUT1 .

2T

d

= JDUT1 � 2451545.0.

Movimiento orbital de la Tierra: el ano 81

5.3 Movimiento orbital de la Tierra: el ano

El concepto de ano viene asociado al movimiento orbital de la Tierra en tornoal Sol o, de forma equivalente, al del Sol en torno a la Tierra. Suele llamarse anoal periodo de dicha orbita, que de acuerdo con las leyes de Kepler serıa constantesi el Sol y la Tierra estuviesen aislados formando un problema de dos cuerpos.

Las perturbaciones ocasionadas por el resto de los planetas producen unavariacion del periodo orbital, lo que nos lleva a la conclusion de que la duraciondel ano no es constante. Por otro lado, la definicion del ano como el tiempotranscurrido entre dos pasos del Sol por un punto determinado de la eclıpticarequiere la eleccion de una referencia donde medir el paso del Sol. Si la orbitafuese kepleriana, cualquier punto nos darıa el mismo valor del ano; sin embargo,como la orbita esta perturbada, la eleccion del punto de referencia mediante el cualmedimos el periodo adquiere una importancia fundamental, pues su movimientose combina con la variacion del periodo orbital, dando lugar a anos con diferenteduracion.

Podemos pensar en varias referencias para medir la duracion del ano. Porun lado, el perigeo3 de la orbita. Este es el punto de referencia mas adecuadosi pensamos en la integracion del problema dinamico teniendo en cuenta quelas ecuaciones del movimiento vendran expresadas en un angulo medido desdeel perigeo, la anomalıa verdadera, que varıa de 0 a 2⇡ entre un perigeo y otro.Llamaremos ano anomalıstico, A

a

, al intervalo de tiempo transcurrido entre dospasos consecutivos del Sol por el perigeo.

Llamaremos ano sidereo, As

, al intervalo de tiempo transcurrido entre dospasos consecutivos del Sol por el equinoccio �

o

de una epoca fija. Conocida porintegracion la duracion del ano anomalıstico, la misma integracion nos dara elmovimiento del perigeo lo que permitira obtener el ano sidereo.

Los anos sidereo y anomalıstico vienen definidos a traves de una referencialigada al movimiento orbital, sin embargo, no son estos los mas utiles desde elpunto de vista practico. De hecho, una de las ventajas del uso del ano comomedida del tiempo es su relacion con las estaciones que se definen a partir delpaso del Sol por los equinoccios y solsticios. Por ello, es conveniente usar comoreferencia el equinoccio medio de la epoca para que la medida del ano vengaasociada intrınsecamente al comienzo de la primavera astronomica en el hemisferionorte. Se llama ano tropico, A

t

, al intervalo de tiempo transcurrido entre dos pasosconsecutivos del Sol por el equinoccio medio.

Por observacion, se puede calcular la duracion, en dıas medios, del ano tropi-co, resultando ser aproximadamente de unos 365.2422. Que el ano no tenga unnumero exacto de dıas ha creado numerosos problemas a la hora de confeccionar

3Punto de mayor proximidad entre el Sol y la Tierra. El concepto de perigeo sera definidocon precision en el capıtulo 8.


calendarios y es el motivo de la introduccion de los anos bisiestos. Por ello se in-troduce un nuevo tipo de ano, llamado ano juliano, que tiene exactamente 365.25dıas medios.

La Mecanica Celeste establece la duracion, expresada en dıas medios, del anoanomalıstico y el ano sidereo, que resulta ser

Aa

= 365.25964134 + 0.0000000304Ts

,A

s

= 365.25636042 + 0.0000000011Ts

.(5.7)

Para obtener la duracion del ano tropico bastara combinar la duracion del anosidereo con el valor de la precesion en longitud para establecer el valor

At

= 365.24219897 + 0.0000000614Ts

. (5.8)

La duracion de estos anos se puede tomar, de manera bastante aproximada, como

Aa

= 365.2596, As

= 365.2564, At

= 365.2422,

dıas medios.

5.4 Relacion entre el tiempo sidereo y el tiempomedio

Para encontrar la relacion entre el tiempo sidereo y el tiempo medio en cual-quiera de sus versiones anteriores, hay que considerar el tiempo que tarda el Solmedio en pasar dos veces consecutivas por el equinoccio medio, es decir, el anotropico.

Sol

� �

Tierra(1)

(2)

⇣

⇣

Figura 5.5: Relacion entre la duracion deldıa medio y el dıa sidereo.

Supongamos que un cierto dıa, elequinoccio medio y el meridiano del lu-gar estan en la misma direccion, quecoincide con la del meridiano del lu-gar (posicion (1) de la figura 5.5). Alcabo de un dıa sidereo, el equinocciovolvera a pasar por el meridiano dellugar (posicion (2) de la figura 5.5),sin embargo el Sol medio todavıa nohabra culminado, faltandole un angu-lo ⇣. El dıa sidereo es, por tanto, mascorto que el el dıa medio.

Al cabo de un ano tropico, el Soly el equinoccio volveran a estar alinea-dos en el mismo meridiano pero mien-tras el Sol ha pasado un cierto numerode veces por el meridiano del lugar, el

Relacion entre el tiempo sidereo y el tiempo medio 83

equinoccio habra pasado exactamente un dıa mas (puesto que la Tierra ha dadoexactamente una vuelta en el ano tropico), lo que significa que si el ano tropicotiene una duracion de A

t

dıas medios, su valor en dıas sidereos sera exactamenteA

t

+ 1, luego se verifica que (At

+ 1) dıas sidereos = At

dıas medios. Esto nosdara la relacion entre el dıa medio y el dıa sidereo que, para el valor A

t

= 365.2422dado anteriormente, permite poner:

1 d.s. =365.2422

366.2422= 0.9972696 d.m. = 23h56m4.s09053 de tiempo medio,

1 d.m. =366.2422

365.2422= 1.0027379 d.s. = 24h3m56.s55537 de tiempo sidereo,

que nos dan la relacion entre el dıa sidereo y el medio. Como podemos apreciar,el dıa sidereo es unos cuatro minutos mas corto que el medio.

Tambien podemos definir la funcion Intsid

(), que transforma tiempo medioen sidereo, y la funcion Int

med

(), que transforma tiempo sidereo en medio. Estasfunciones vendran dadas por:

Intsid

(x) = 1.0027379x, Intmed

(x) = 0.9972696x,

Intsid

(x) =A

t

+ 1

At

x, Intmed

(x) =A

t

At

+ 1x.

(5.9)

Las expresiones de arriba en (5.9) son aproximadas, mientras que las de abajonos dan el valor exacto si sustituimos A

t

por su valor, expresado en dıas medios.Notese que la funcion Int

sid

() es la inversa de Intmed

().

Las funciones anteriores nos van a permitir transformar el tiempo universal, encualquiera de sus versiones, en tiempo sidereo y viceversa. Para ello, supongamosun lugar de longitud � y un instante caracterizado por una hora siderea LMST ,una hora de tiempo civil T

c

y una hora de tiempo universal UT . A partir de ahorausaremos UT sin especificar si es UT1 o UT0 , pues la eleccion dependera de si lalongitud esta o no corregida por el movimiento del polo.

Llamaremos GMST0

a la hora GMST cuando sean las 0h de tiempo univer-sal, esto es, cuando comience el dıa medio en el meridiano origen. Facilmente secomprueba que en ese instante, la hora siderea local sera LMST

0

= GMST0

+ �.Para calcular la hora siderea en el instante UT habra que anadir a LMST

0

elintervalo de tiempo sidereo correspondiente a las horas de UT transcurridas, estoes,

LMST = GMST0

+ �+ Intsid

(UT ), (5.10)

relacion fundamental que permite pasar de tiempo universal a tiempo sidereo.

De un modo sencillo podemos invertir la anterior relacion, obteniendo la formu-la de paso de tiempo sidereo a universal

UT = Intmed

(LMST �GMST0

� �). (5.11)


Notemos que para convertir tiempo sidereo a universal es necesario el valorde GMST

0

, esto es, el tiempo sidereo en Greenwich a las cero horas de UTde undeterminado dıa. El valor de GMST

0

, acorde con el modelo de precesion del ano2000 es igual a

GMST0

= 361658.002406561 + 129598159.007606402Tu

s

+ 4612.0015739966Ts

+

1.0039667721T 2

s

� 0.0000009344T 3

s

+ 0.0000001882T 4

s

,(5.12)

donde Ts

y Tu

s

representan el UT1 y TT 4 ambos expresados en siglos julianosdesde J2000.0.

5.5 Escalas de tiempo uniforme

La Mecanica de Newton admite la existencia de un tiempo uniforme y absolutoque es el usado en las ecuaciones del movimiento de los cuerpos. Durante siglos,la rotacion terrestre ha sido considerada uniforme y por ello el tiempo que deella se ha derivado, UT , se ha supuesto coincidente con el tiempo absoluto dela Mecanica. Sin embargo, a finales del siglo XVII, Flamstead ya sugirio que larotacion de la Tierra podrıa cambiar de estacion en estacion, debido a las masasde aire y agua que la envuelven y que se desplazan en las distintas estaciones delano.

El desarrollo de la Mecanica Celeste permitio lograr, a comienzos del presentesiglo, unas teorıas del movimiento de los planetas suficientemente precisas paracomprobar que la rotacion de la Tierra no es un fenomeno totalmente uniforme.En efecto, Newcomb observo un desfase entre la observacion de los planetas y susposiciones calculadas. Posteriores investigaciones han llevado a la conclusion deque la Tierra se retrasa en su rotacion unos 30s por siglo.

5.5.1 Tiempo de efemerides y tiempo atomico internacional

La Astronomıa, necesitada de mayor precision en los calculos, definio unanueva escala de tiempo, el tiempo de efemerides, ET , basada en la dinamicadel sistema solar y uniforme por definicion. La Mecanica Celeste fue la cienciaencargada de medir el desfase

�T = ET �UT , (5.13)

entre el tiempo de efemerides y el tiempo universal que continua siendo el tiempotomado como base para las aplicaciones en la vida civil.

La epoca origen desde la que se mide el tiempo de efemerides es el instante dela media noche media (H

m

= 12h) del dıa que comienza el ano 1900. Teniendo en

4Ver apartado 5.6

Escalas de tiempo uniforme 85

cuenta la duracion del ano tropico de 1900, igual a 365.242198781 dıas medios, laUnion Astronomica Internacional (IAU) eligio, en 1956, como unidad fundamentalde tiempo el segundo, definido como la fraccion 1/31556925.975 de la duraciondel ano tropico de 1900. Esta unidad, puesto que se refirio a un ano concreto, esindependiente de la rotacion terrestre y del ano que se considere.

En 1900, dos relojes, uno de UTy otro de ET deberıan marcar la misma hora,pero en el momento en que se definio el ET habıa un desfase entre ellos de unos32.s184 debido al deceleracion en rotacion de la Tierra.

Al contrario de los tiempos definidos hasta aquı, que conllevan una inexactitudasociada a la no periodicidad del fenomeno por medio del cual se definen, el ET esuniforme por definicion, aunque su medida, basada en la observacion y el calculode las posiciones de los planetas, no es exacta. Sin embargo, el avance es sustancial,pues cualquier mejora en la medida, cientıfica o tecnologica, supone un progreso enla exactitud del tiempo obtenido, mientras que antes siempre nos encontrabamoscon la inexactitud propia del fenomeno que define el reloj.

La medida del tiempo basado en el tiempo de efemerides estuvo vigente hasta1967, ano en que se introduce oficialmente el tiempo atomico internacional (TAI ),basado en fenomenos cuanticos propios del interior de la materia. La unidad basi-ca del TAI es el segundo atomico internacional que se define como la duracionde 9192631770 periodos de la radiacion correspondiente a la transicion entre losdos niveles hiperfinos del estado fundamental del atomo de Cesio 133. Este se-gundo, que es la unidad de tiempo en el sistema internacional (SI), se definio demodo que su duracion coincidiera con la del segundo de efemerides establecidaanteriormente.

La mayor precision conseguida en la medida de TAI por medio de los relojesatomicos aconsejo la utilizacion de este tiempo como estandar a partir de 1967.La siguiente tabla nos da una idea de la precision de estos relojes:

Reloj Perdida de un segundo enET , Cristal de cuarzo 30 anosRubidio 30000 anosCesio 300000 anosMaser hidrogeno 30000000 anos

El tiempo de efemerides y el tiempo atomico internacional son, en teorıa, elmismo tiempo uniforme, pero con objeto de ajustar el TAI a UT , hubo que teneren cuenta el desfase entre el UTy el ETy eso hizo que las escalas no tuviesen elmismo origen. Por ello, en la Asamblea General de la IAU de 1976 en Grenoble,se adopto la resolucion de que el instante 00h00m00.s00 del 1 de Enero de 1977TAI sea el 00h00m32.s184 del 1 de Enero de 1977 del correspondiente a la escalaET con lo que se tiene que

ET = TAI + 32.s184. (5.14)


5.5.2 Tiempo universal coordinado

A pesar de la variedad de tiempos que hemos definido, aun no hemos llegadoal tiempo que realmente estamos utilizando en nuestra vida cotidiana. Para ellovamos a dar antes un par de definiciones aplicables a cualquier reloj y analizaremossu significado.

Llamaremos estado de un reloj, E.R., a la diferencia entre la hora que marcael reloj y la hora exacta.

Un valor positivo del estado de un reloj corresponde a un reloj adelantado,mientras que un valor negativo indica que el reloj esta atrasado (Figura 5.6(a)).

Zona de atraso

Zona de adelanto�t

(a) Estado

Reloj 1

Reloj 2

Reloj 3

(b) Marcha

Figura 5.6: Estado y marcha de un reloj. En ambas figuras el eje horizontal representala hora exacta, mientras que el eje vertical representa la hora marcada por el reloj.

Llamaremos marcha de un reloj, m, a la variacion del estado del reloj en uncierto intervalo de tiempo

m =E.R.

2

� E.R.1

t2

� t1

,

es decir, lo que el reloj adelanta o atrasa en dicho intervalo (dıa, ano, etc.).

La grafica 5.6(b) nos muestra tres tipos diferentes de relojes. El reloj 1 es unreloj que tiene un estado constante, esto es, una marcha nula. Este reloj es unreloj uniforme pero que mantiene una diferencia constante con la hora exacta.El reloj 2, tiene una marcha constante, atrasa una cantidad de tiempo constantecada cierto periodo de tiempo, al cabo del cual, el reloj es puesto de nuevo enhora. Por ultimo, el tercer reloj muestra un reloj de marcha constante pero nocorregida, por lo que su estado es cada vez mayor.

Con estas ideas podemos ilustrar el comportamiento de nuestros relojes deTAI , ETy UTen la figura 5.7.

Despreciando la marcha del TAI (1s cada 30000000 anos), este sera tomadocomo tiempo uniforme. El tiempo efemerides, por definicion, es tambien uniforme;sin embargo, su estado es constantemente igual a 32.s184 que corresponde a un reloj

Escalas de tiempo uniforme 87

ET

TAI

UTC

Figura 5.7: Tiempo universal coordinado.

como el del tipo primero de la Figura 5.6(b). Por su parte, el tiempo universal vamanteniendo una marcha no nula, debido a la variacion de la velocidad de rotacionde la Tierra. Evidentemente, este reloj (es la Tierra) no puede ser corregido, porlo que es similar al del tipo 3 mostrado en la Figura 5.6(b).

Ası pues, tenemos por un lado un reloj atomico, casi perfecto, y que de mo-mento, es el tipo de tiempo que se puede medir con mayor precision, y un malreloj, formado por la Tierra y el Sol, pero que rige la vida diaria y las costumbreshumanas. Se hace necesario, por tanto, relacionar este tiempo TAI con el UT ,menos consistente y determinado a partir de la rotacion de la Tierra. Esta relacionse obtiene con un nuevo tiempo, el llamado tiempo universal coordinado5, UTC ,introducido en 1972, a caballo entre el TAI y el UT , puesto que practicamentees el TAI y apenas se desvıa del UT1 . Este nuevo tiempo, UTC , cumple lassiguientes condiciones:

1. Su diferencia, DUT1 , con el tiempo universal debe ser siempre inferior a0.s9, esto es, DUT1 = UT1 �UTC < 0.s9.

2. Su diferencia, DTA = TAI -UTC , con el tiempo atomico internacional debeser un numero entero de segundos.

Esto se consigue mediante un segundo intercalar, de modo analogo a como sucedecon los anos. Cuando la diferencia DUT1 va a exceder 0.s9, se anade un segundo.Este segundo intercalar, normalmente, se le anade al ultimo minuto del ano endiciembre, o al ultimo minuto de junio, lo que se anuncia con suficiente antelacionpor los organismos encargados del tiempo. En el momento de terminar este libro

5Tambien llamado a veces tiempo zulu y GMT , aunque este nombre ya hemos dicho antesque es confuso y por ello desaconsejado.


el valor de DTA es de 35s con el ultimo segundo intercalar introducido el 30 deJunio de 2012.

El UTCes el tiempo difundido por las senales horarias con una precision de±0.s00002 y es tomado como base para definir la hora oficial de cada paıs o zona.

5.5.3 Tiempo de zona y tiempo oficial

El tiempo universal coordinado nos da un tiempo medio comun, pero refe-rido al meridiano origen. Un sistema de estandares para todo el globo terrestreesta basado en las zonas o husos horarios, basados en incrementos de 15� (unahora) de longitud, aunque, en la practica, son los gobiernos de los distintos paısesquienes decretan el llamado tiempo de zona (ZT ), tomando generalmente comobase un numero entero de horas que represente la longitud media �

m

de una zonao paıs determinado, de modo que

ZT = UTC + �m

. (5.15)

Sin embargo, este tiempo de zona no suele ser el que un paıs adopta para su terri-torio, la llamada hora oficial, sino que esta se regula mediante criterios polıticoso economicos. Ası, hora oficial espanola (TE ), viene dada como:

TEinvierno

= UTC + 1h, TEverano

= UTC + 2h,

siendo TEinvierno

la hora oficial desde el ultimo domingo del mes de octubre alultimo domingo del mes de marzo, y TE

verano

la del resto del ano. La diferencia delongitud obliga a definir una hora menos para Canarias. Notemos que realmente,nuestro tiempo de zona no corresponde con nuestro huso horario (el meridianode Greenwich pasa por la penınsula), sino que llevamos el llamado CET (CentralEuropean Time), el tiempo de la zona de la Europa central.

5.6 Escalas modernas de tiempo

Tanto el TAI como el ET son esencialmente el mismo tiempo dentro delcontexto de la mecanica newtoniana, pues ambos senalan un tiempo absoluto. LaIAU en el ano 1976, considerando la precision alcanzada entonces en la medidadel tiempo, senalo la necesidad de introducir las variaciones de tiempo derivadasde la teorıa de la relatividad.

Ambos tiempos estan medidos desde un observatorio terrestre en movimientoy, por lo tanto, son distintos de los que se medirıan desde otro lugar, como elbaricentro del sistema solar. Esto resulta de particular importancia si pensamosen que todas la teorıas dinamicas del movimiento de los planetas, a partir de lasque se obtiene el tiempo de efemerides, estan formuladas tomando como origendel sistema de referencia el baricentro del sistema solar.

Escalas modernas de tiempo 89

Para resolver esta ambiguedad se definieron dos nuevas clases de tiempo, queestan vigentes a partir del ano 1984. Estos nuevos tiempos son llamados tiempoterrestre, TT , (anteriormente llamado tiempo dinamico terrestre, TDT ), y eltiempo dinamico baricentrico, TDB .

El tiempo terrestre coincide exactamente con el tiempo de efemerides y no essino una continuacion del ET a partir del 1 de Enero de 1977. De ahı que surelacion con el TAI sea

TT = TAI + 32.s184. (5.16)

El tiempo dinamico baricentrico (TDB ) es la variable independiente de laecuaciones del movimiento con respecto al baricentro del sistema solar. La in-troduccion de TT viene condicionada por la necesidad de un tiempo en el cualse formulen las ecuaciones geocentricas del movimiento, en contraposicion con eltiempo de las ecuaciones baricentricas TDB . En los anuarios astronomicos, to-das las efemerides referidas a posiciones geocentricas vienen expresadas en TT ,mientras que las referidas a posiciones baricentricas vienen en TDB .

La aplicacion de la teorıa de la relatividad a las ecuaciones del movimiento pla-netario permite obtener las relaciones entre TTy TDB que, simplificada, puedeponerse como

TDB = TT + 0.s001658 sen(g + 0.0167 sen g),

con g = 357.�53+35999.�050Ts

. En la expresion anterior faltan los terminos lunaresy planetarios que son del orden de 0.s00001 y los diarios, del orden de 0.s000001.

Teniendo en cuenta las relaciones entre los tiempos TT , ETy TAI podemosobtener la relacion

�T = TT �UTC = DTA + 32.s184, (5.17)

que, a partir del segundo intercalar introducido a mediados del ano 2012 es de67.s184.

Desde el ano 1980, atendiendo a la importancia creciente del uso de la conste-lacion de satelites GPS, se ha definido un nuevo tiempo, el llamado tiempo GPS(GPST ), que es el emitido por dichos satelites. Este tiempo esta tambien medidocon relojes atomicos y difiere del TAI en una cantidad constante de 19s

GPST = TAI � 19s. (5.18)

De esta forma la introduccion de segundos intercalares producira una diferenciavariable de un numero entero de segundos con el UTC . Esta diferencia, sera

GPST �UTC = DTA � 19s, (5.19)

o lo que es igual, 16s desde el 1 de Julio de 2012.


5.7 Tiempos coordenada

El tiempo coordenada representa la coordenada tiempo de los sistemas relati-vistas baricentrico y geocentrico. El tiempo coordenada baricentrico (TCB ) es eltiempo del sistema BCRS, mientras que el tiempo coordenada geocentrico (TCG )es el tiempo del sistema GCRS.

De acuerdo con las definiciones de la IAU la relacion entre el TCG y elTTviene dada por la expresion

dTT

dTCG= 1� L

G

,

donde LG

es una constante adimensional fundamental cuyo valor es 6.969290134⇥10�10.

Estableciendo un instante inicial e integrando se obtiene la relacion

TCG � TT = LG

(JDTT

� 2443144.5)⇥ 86400, (5.20)

donde la diferencia viene dada en segundos.

El primer orden de la relacion entre el TCB y el TCG es

TCB � TCG = LC

(JDTT

� 2443144.5)⇥ 86400, (5.21)

siendo LC

= 1.48082686741 ⇥ 10�8. Esta diferencia tiene ademas otros terminosno lineales que no se han escrito.

5.8 Calendario

Para referir cronologicamente los acontecimientos historicos se construyeroncalendarios que tratan de combinar los conceptos basicos de dıa y ano para esta-blecer referencias que permitan identificar instantes concretos del tiempo o epocas.La duracion del ano no es un numero entero de dıas, por lo que la creacion decalendarios ha sido una labor compleja. Estudiaremos aquı unicamente el calen-dario en vigor en el mundo occidental, aunque resulta muy interesante realizar unanalisis del resto de calendarios.

El calendario intenta reproducir el ano tropico, pues de esta forma el comienzode las estaciones tendra lugar siempre en las mismas fechas del ano. La duracionaproximada del ano tropico es de 365.2422 dıas medios, lo que llevo a Julio Cesar—a instancias de Sosıgenes— a la promulgacion del calendario juliano, constituidopor ciclos de tres anos de 365 dıas y otro, llamado ano bisiesto, de 366 dıas. Enpromedio, el ano del calendario Juliano tiene una duracion de 365.25 dıas. Estacantidad es muy proxima a la duracion del ano tropico, pero lleva un desfase de0.0078 dıas al ano o lo que es igual, de casi un dıa cada 128 anos.

Determinacion de una epoca 91

Este desfase, con el paso del tiempo, se fue haciendo cada vez mas evidente,de modo que los comienzos de las estaciones se adelantaban varios dıas. Esto,junto con el hecho de volver a tener la fecha de Pascua en las fechas esperadas6,motivo una profunda reforma del calendario, impulsada por el papa GregorioXIII, que se conoce con el nombre de Reforma Gregoriana. Al calendario quese adopto se le dio el nombre de calendario gregoriano. Este reforma corrigio eldesfase acumulado e intento paliar en lo posible el desfase para los anos venideros.

Como en el ano 1512 la primavera comenzaba el 11 de marzo, la reformagregoriana dispuso, en primer lugar, la desaparicion de 10 dıas, por lo que al 4de octubre de 1582 le siguio el 15 de octubre de 1582, con lo que se restaurabael equinoccio al 21 de marzo. Ademas, se siguio con el sistema de anos bisiestos,pero de modo que los ultimos anos de siglo (anos que acaben en 00) , no seranbisiestos, excepto aquellos multiplos de 400. De esta forma, no fueron o no seranbisiestos los anos 1700, 1800, 1900, 2100, 2200, 2300, etc., aunque sı los anos 1600,2000, 2400, etc. Con este metodo, la duracion del ano es de 365.2425 dıas, por loque se acumula un error de 1 dıa en 3314 anos, que podrıa ser recogido con unanueva reforma, pero dado que el numero de anos que han de transcurrir para quetenga lugar ese desfase, se opto por dejarlo ası.

Como el motivo principal de esta reforma fue religioso, inicialmente fue acep-tada solo por los paıses catolicos romanos. Los paıses protestantes la introdujeronbastantes anos mas tarde y los ortodoxos incluso la rechazaron hasta comienzosdel siglo XX.

5.9 Determinacion de una epoca

Una vez establecido el calendario, una fecha se localiza mediante el dıa, mesy ano y se se quiere precisar mas, la hora. Desde el punto de vista astronomico,expresaremos un instante o epoca, T , dando los datos correspondiente en el si-guiente orden: ano, mes, dıa y hora. Ası hablaremos del 2000 Enero 1 a las 12h

UTC como el mediodıa del uno de Enero del ano 2000. En ocasiones, tambienemplearemos el numero 0 para indicar el dıa, ası Enero 0 a las 12h corresponde al31 de Diciembre a las 12h. Sin embargo, desde un punto de vista matematico, esteuso del calendario, no es muy practico; basta simplemente con calcular el intervalode tiempo transcurrido entre dos fechas separadas varios meses para constatar lotedioso que resulta la operacion, puesto que hay que tener en cuenta el numerode dıas que tiene cada mes y si aparece involucrado algun ano bisiesto o no enel lapso de tiempo considerado. Una escala continua simplificarıa notablemente elcalculo. Esto se consiguio con el llamado periodo juliano, propuesto por Scaligeren 1582, y que recibe el nombre por su padre, Julio Scaliger.

6En el Concilio de Nicea se establecio que la Pascua de Resurreccion se celebrase el domingosiguiente al primer plenilunio despues del 21 de Marzo.


El periodo juliano es una escala continua de tiempo, con su origen en el 4713A.C. Enero 1d.5, esto es a las 12h TTdel dıa 1 de Enero del ano -4712 del calen-dario Juliano proleptico7, de modo que los anos tienen una duracion fija de 365.25dıas. Este punto inicial, aparentemente caprichoso, fue una cuidadosa eleccion porparte de Scaliger de tres ciclos: el ciclo solar de 28 anos (cuando los dıas de lasemana y las fechas del calendario se repiten en el calendario Juliano), el ciclode 19 anos de los numeros aureos (cuando las fases de la luna se repiten en lasmismas fechas del calendario) y el ciclo de 15 anos de indiccion (ciclo de impuestosromano).

El numero de dıa juliano (JDN) correspondiente a un dıa solar es el numeroentero de dıas transcurridos entre la epoca origen y el mediodıa de ese dıa. Elmodo de calcular el JDN es simple: supongamos que queremos calcular el JDNdel 1 de Enero de 1998, para ello basta con calcular el numero de anos transcurridodesde el origen, multiplicar por 365.25, tomar el entero por exceso de la operacion,restar el numero de dıas suprimidos mediante la reforma gregoriana y anadir elnumero de dıas dentro del ano. En nuestro ejemplo, es 4712 + 1998 = 2450827.5,cuyo entero por exceso es 2450828. A este numero hay que restarle 13 dıas (10de la reforma y tres por 1700, 1800 y 1900 que no fueron bisiestos), con lo queobtenemos 2450815.

La fecha juliana (JD) de un instante, es el numero de dıa juliano de ese dıa,mas la fraccion de dıa desde el mediodıa hasta ese instante. Puesto que en ladeterminacion de la fecha juliana se utiliza la hora, la IAU recomienda usar comotiempo el TT , aunque pueden usarse otros tipos de tiempo como el UT1 , UTC ,etc. En estos casos, ademas de las correcciones oportunas, habra que especificarel tipo de tiempo usado, por ello hablaremos del JD

TT

, JDUT1

, JDUTC

, etc. Sino se especifica nada se entiende que JD = JD

TT

.

Siguiendo con el mismo ejemplo de antes el 1 de Enero de 1998 es 2450815,luego para encontrar la fecha juliana de ese mismo dıa a las 0h TTse debera restar0.5 a dicho numero pues es la fraccion de dıa que falta hasta las 12h TT. Ası puestendremos que la fecha juliana sera 2450814.5 y se representara por las letras JDseguidas de ese numero JD 2450814.58.

La fecha juliana almacena en un solo numero real toda la informacion necesariapara determinar cualquier instante o epoca historica. La parte entera lleva lainformacion del dıa y la parte decimal de la hora. Este procedimiento limita,desde el punto de vista informatico, la precision en la determinacion de la epoca.Por ejemplo en la epoca actual, y aproximadamente hasta el ano 22666, se precisansiete dıgitos para el dıa, por lo que si almacenamos el dato en una variable dedoble precision de un ordenador nos quedan unos 7 u 8 dıgitos para la hora, loque supone una precision aproximada de unos 0.s01.

7El calendario juliano proleptico contiene ano cero, de forma que el ano 1 A.C. correspondecon el ano 0, el 2 A.C. con el -1, etc.

8En la pagina web http://aa.usno.navy.mil/faq/docs/JD Formula.php puede verse una sen-cilla formula, y su algoritmo escrito en FORTRAN, para realizar este calculo.

Determinacion de una epoca 93

Con objeto de reducir el numero de dıgitos necesarios para almacenar el dıay que la fecha juliana comience a medianoche, se suele usar, siempre que no hayalugar a confusion, la fecha juliana modificada (MJD), que no es sino la fechajuliana (JD) menos 2 400 000.5. En nuestro ejemplo, la MJD correspondiente al 1de Enero de 1998 a las 0h es 50814.0. Con esto aumentamos a 0.s0001 la precision enel almacenamiento de la hora. Si se quiere mas precision sera necesario almacenarpor separado el dıa y la hora.

Existen otras dos formas de caracterizacion de una epoca basadas en el con-cepto de ano en lugar del dıa. Fueron desarrolladas para establecer la variabletemporal de las teorıas dinamicas del sistema solar. Para ello, ademas de carac-terizar la epoca se establecieron epocas estandar de referencia desde donde semedıan perıodos de tiempo.

Con anterioridad a 1976, la epoca estandar estaba basada en el llamado anobeseliano. Bessel definio este como un ano de duracion identica al ano tropicoy que comienza en el instante en que la ascension recta del Sol medio, afectadapor aberracion y contada desde el equinoccio medio es de 280�. Esta eleccionaparentemente artificial esta hecha con la intencion de aproximar al maximo elcomienzo del ano tropico con el del calendario.

El ano beseliano se representa con una B seguida de un numero que indica elano beseliano y un decimal para la fraccion de ano tropico transcurrida desde elcomienzo del ano beseliano. Ası B1900.0 representa exactamente el comienzo delano beseliano 1900, mientras que B1900.5 representa medio ano tropico despues.Con esta notacion, para establecer un intervalo de tiempo entre dos epocas bastacon restar las cantidades y conocer la duracion del ano tropico. La primera epocaorigen estandar establecida fue B1900.0 y representa el instante B1900.0 = 1900Enero 0d.813 ET . Posteriormente, hacia la mitad del siglo XX, se uso B1950.0como epoca estandar.

La duracion variable del ano tropico hace difıcil la medicion de intervalosentre dos epocas. Esto aconsejo buscar un nuevo metodo de representacion deuna epoca, basado esta vez en el ano juliano, que se representa con una J seguidade un numero que representa el ano y un decimal que representa la fraccion deano juliano desde el comienzo de este. La epoca estandar establecida en 1976fue la epoca J2000.0, que es el ano 2000 Enero 1 a las 12h TDB , es decir, elJD 2451545.0, que ya nos ha aparecido en alguna formula de este capıtulo y elanterior.

Este nuevo sistema se adapta muy bien al uso del dıa como unidad para expre-sar un cierto intervalo de tiempo, lo que resulta muy conveniente en determinadotipo de observaciones. Ademas, para sustituir el lapso de tiempo transcurrido enlas formulas mencionadas, basta con calcular la fecha juliana del dıa requerido ysustraerla de la del instante J2000.0.


Las epocas fundamentales pueden ponerse en la forma:

B1900.0 = JD2415020.31352,J2000.0 = JD2451545.0,

por lo que las relaciones entre las tres formas de caracterizar una epoca se expre-saran como:

B = 1900.0 +JD� 2415020.31352

365.24219878,

J = 2000.0 +JD� 2451545.0

365.25.

(5.22)

A partir del ano juliano puede definirse la variable Ts

, que se usa habitualmenteen las teorıas dinamicas y que hemos utilizado en el capıtulo anterior y en este,como la fraccion de siglo juliano desde la epoca J2000.0,es decir

Ts

=JD� 2451545

36525. (5.23)

Parte II

Movimiento kepleriano

95

Capıtulo 6

Revision de elementos dedinamica clasica

6.1 Introduccion

Este capıtulo contiene un rapido repaso a algunos de los conceptos funda-mentales de la Mecanica, necesarios para poder comprender parte de este libro yexpresados con una notacion adaptada a este. Su presentacion, en algunos casos,no es muy detallada, pues esto nos llevarıa a una complicacion innecesaria paranuestros objetivos. Remitimos al lector a libros especializados del tema para unamejor comprension del mismo.

6.2 Movimiento de una masa puntual

Supongamos un punto P que se mueve en el espacio y cuya posicion, conrespecto a un cierto origen O, viene dada por un vector x(t) = OP , llamadovector de posicion. Este varıa con respecto a una variable independiente t quellamaremos tiempo y que sera considerado absoluto1 de acuerdo con los axiomasde la Mecanica enunciados por Newton.

Si establecemos un sistema de referencia S = {O, e1

, e2

, e3

}, en el cual el vec-tor de posicion se expresa como x(t) = x

1

(t) e1

+ x2

(t) e2

+ x3

(t) e3

, llamaremostrayectoria relativa al sistema S a la curva (x

1

(t), x2

(t), x3

(t)), dada en coordena-

1Independiente de las condiciones cinematicas y dinamicas del observador.

98 Revision de elementos de dinamica clasica

das parametricas y definida en el intervalo I = [t0

, t1

] 2 IR. Si la curva se reducea un punto, diremos que la partıcula esta en reposo o equilibrio.

Llamaremos velocidad del punto al vector X(t) que determina la variacion dex(t) con respecto al tiempo

X(t) = x(t) =dx(t)

dt.

El lugar geometrico de los extremos del vector velocidadX(t) es llamado hodogra-fa. Si la velocidad de un punto es un vector constante diremos que el movimientoes uniforme. De aquı en adelante el punto, o puntos, encima de la variable repre-sentaran las derivadas respecto a t.

Llamaremos aceleracion del punto al vector a(t) que determina la variacionde X(t) con respecto al tiempo

a(t) = X(t) = x(t).

Un movimiento uniforme viene caracterizado por una aceleracion nula.

Los tres conceptos anteriores son puramente geometricos y definen la cinemati-ca del punto P . Si al punto P le anadimos el concepto de masa m, como unaconstante asociada al punto, podremos llamar a P partıcula material y esto nospermitira definir dos nuevos conceptos que caracterizaran la dinamica del punto:el momento lineal y el momento angular.

Se denomina momento lineal, o cantidad de movimiento, de una partıcula P ,de masa m, al vector p = mX. Por otro lado, llamaremos momento angular deP al vector G = x⇥ p = m(x⇥X).

Newton establece el concepto de fuerza como la variacion de la cantidad demovimiento de una partıcula, esto es,

F = p = mX = ma, (6.1)

que es la ecuacion fundamental de Newton de la Mecanica. Si conocemos la fuerzaque actua sobre una partıcula, el conjunto de tres ecuaciones diferenciales de ordendos (6.1), junto con unas condiciones iniciales x(t

0

),X(t0

), permite averiguar, porintegracion, la trayectoria de la partıcula.

Aunque el movimiento sea espacial, esto es, no este restringido a un plano,siempre puede considerarse como instantaneamente plano, puesto que en cadainstante la partıcula se encuentra en el plano instantaneo definido por los vectoresde posicion y velocidad. La direccion del vector momento angular G, que es pordefinicion perpendicular a x y X, define el plano instantaneo del movimiento, espor ello que si el momento angular de una partıcula tiene direccion constante, sumovimiento es plano.

Sistemas inerciales y no inerciales 99

x

�x

V

A

O

P

Q

Figura 6.1: Velocidad areolar.

La norma del momento angular pue-de ponerse como kG k = 2mkV

A

k,donde V

A

= (x ⇥ X)/2 es la llama-da velocidad areolar de P . Su significa-do geometrico es evidente si recordamosque dado el vector

�� =1

2(x⇥�x),

su norma k�� k mide el area deltriangulo OPQ de la figura 6.1. Pasandoal lımite tendremos

lım�t!0

��

�t= lım

�t!0

1

2(x⇥ �x

�t) =

1

2(x⇥X) = V

A

.

Ası pues, VA

mide el area elemental barrida por el vector de posicion. Cuandola velocidad areolar, o lo que es igual el modulo del momento angular, es constante,se dice que P cumple la ley de las areas.

6.3 Sistemas inerciales y no inerciales

Otro de los principios establecidos por Newton garantiza la existencia de cier-tos sistemas de referencia, que llamaremos sistemas inerciales, con respecto a loscuales una partıcula libre2 se mantiene en reposo o se mueve con una trayectoriarectilınea y uniforme.

Para comprender mejor el concepto de sistema inercial supondremos que existeun punto fijo F , en el espacio, y tres direcciones ortogonales fijas dadas por losvectores {f

1

,f2

,f3

} con las que definiremos un sistema de referencia fijo F ={F,f

1

,f2

,f3

}, en el que la posicion, velocidad y aceleracion de un punto Pvendran dadas por: r = FP ,v = r,a = r.

Sea otro sistema de referencia, S = {O, s1

, s2

, s3

}, en el que tanto el origenO como las direcciones de los vectores de la base pueden moverse. Puesto queconsideramos sistemas de referencia ortonormales, la unica forma que tienen demoverse los vectores de la base es que esta gire. Este movimiento implica que severifiqua la condicion s

i

6= 0. Si si

= 0 diremos que el sistema se traslada.

Llamaremos xo

= FO al vector de posicion del origen del sistema S respectodel sistema fijo F . Su velocidad y aceleracion vendran dadas por los vectoresv

o

= x

o

,ao

= x

o

.

Si el sistema S gira se tendra s

i

6= 0 y por tanto se podra poner s

i

=P

3

j=1

aij

s

j

, donde facilmente puede comprobarse que se verifica aij

= s

i

· sj

.

2Partıcula sobre la que no actua ninguna fuerza externa.


Por otro lado, puesto que consideramos unicamente sistemas ortonormales, severificaran las relaciones s

i

· si

= 1, si

· sj

= 0, que derivadas conducen a2s

i

· si

= 0, si

· sj

+ s

i

· sj

= 0, o lo que es igual a aii

= 0, aij

+ aji

= 0.Llamando ahora !

3

= a12

,!2

= �a13

,!1

= a23

, podremos poner finalmente0

@

s

1

s

2

s

3

1

A =

0

@

0 !3

�!2

�!3

0 !1

!2

�!1

0

1

A

0

@

s

1

s

2

s

3

1

A ,

o lo que es iguals

i

= ! ⇥ s

i

, (6.2)

donde el vector ! =P

3

i=1

!i

s

i

sera llamado velocidad angular del sistema. Lasecuaciones (6.2), llamadas formulas de Poisson, caracterizan la rotacion de unsistema de referencia.

Llamaremos x al vector OP , esto es, al vector de posicion de P cuyas compo-nentes en el sistema S son (x

1

, x2

, x3

). Para calcular la velocidad y aceleracion deP relativa al sistema S bastara derivar x respecto al tiempo con lo que tendremos

x =3

X

i=1

xi

s

i

+3

X

i=1

xi

s

i

= x

0 +3

X

i=1

xi

(! ⇥ s

i

) = x

0 + ! ⇥3

X

i=1

xi

s

i

,

donde, de aquı en adelante, llamaremos x

0 =P

3

i=0

xi

s

i

, esto es, al resultado dederivar las tres componentes del vector sin considerar la variacion de los vectoresde la base. Ası llegamos a la expresion

x = x

0 + ! ⇥ x. (6.3)

Esta expresion puede usarse para el calculo de la derivada segunda obteniendosefinalmente

x =dx0

dt+

d(! ⇥ x)

dt

= (x00 + ! ⇥ x

0) + !

0 ⇥ x+ ! ⇥ (x0 + ! ⇥ x)

= x

00 + 2! ⇥ x

0 + !

0 ⇥ x+ ! ⇥ (! ⇥ x),

(6.4)

donde hemos tenido en cuenta que de acuerdo con (6.3) ! = !

0.

Las ecuaciones anteriores permiten obtener la velocidad y aceleracion de unpunto P , relativa a un sistema S, como:

x = x

0 + ! ⇥ x,

x = x

00 + 2! ⇥ x

0 + !

0 ⇥ x+ ! ⇥ (! ⇥ x).(6.5)

Ahora ya estamos en condiciones de relacionar la posicion, velocidad y acele-racion de P en los sistemas fijo y movil. Para ello, a partir de la relacion entre lasposiciones

r = FP = FO +OP = x

o

+ x,

Movimiento de una partıcula en su plano 101

obtendremos la velocidad

v = r = x

o

+ x = v

o

+ x

0 + ! ⇥ x,

y finalmente la aceleracion

a = r = x

o

+ x = a

o

+ x

00 + 2! ⇥ x

0 + !

0 ⇥ x+ ! ⇥ (! ⇥ x).

La expresion anterior para la aceleracion puede expresarse en la forma

a = x

00 + a

a

+ a

c

+ a

o

, (6.6)

siendo x

00 la aceleracion relativa, ac

= 2! ⇥ x

0, la aceleracion de coriolis, aa

=!

0 ⇥ x+ ! ⇥ (! ⇥ x), la aceleracion de arrastre y a

o

la aceleracion del origen.

La ecuacion fundamental de Newton (6.1) se expresara finalmente como

F = ma = mx

00 +ma

a

+ma

c

+ma

o

, (6.7)

lo que muestra que la formulacion de las ecuaciones del movimiento en un sistemafijo y otro movil es distinta pues en el movil a la aceleracion relativa (o vector delas derivadas segundas de las componentes) debemos anadir las aceleraciones delorigen, de arrastre y de coriolis.

El concepto de sistema movil, utilizado en el parrafo anterior, queda muyimpreciso. Podemos precisarlo mas atendiendo a la propia ecuacion (6.7). Diremosque un sistema S es inercial si las ecuaciones del movimiento de un punto P endicho sistema se pueden expresar como F = mx = mx

00, esto es, cuando lasaceleraciones de arrastre, de coriolis y del origen son nulas. Esto ocurre unicamentecuando el origen tiene un movimiento rectilıneo y uniforme (a

o

= 0) y cuando losejes del sistema no rotan (! = 0), esto es, cuando el sistema esta fijo o se trasladacon un movimiento rectilıneo y uniforme.

De aquı en adelante supondremos la existencia de un sistema inercial S ={O, e

1

, e2

, e3

} que llamaremos sistema espacial. En este sistema se tendra x =P

3

i=0

xi

e

i

, x = x

0 =P

3

i=0

xi

e

i

y x = x

00 =P

3

i=0

xi

e

i

. Por tanto, las ecuacionesdel movimiento vendran dadas por

F = mx. (6.8)

6.4 Movimiento de una partıcula en su plano

Hemos dicho anteriormente que el movimiento de la partıcula tiene lugar enun plano, no necesariamente fijo, definido por el vector G. Con objeto de simpli-ficar algunas de las propiedades del movimiento sera conveniente definir nuevossistemas de referencia, que pueden no ser inerciales, donde algunos parametrosdinamicos se formularan de forma mucho mas sencilla.


Para ello pongamos en primer lugar G = Gn, x = ru donde n,u representanlas direcciones de los vectores G,x y G, r sus normas. Por ser n y u ortogonalespodemos definir un nuevo vector v = n ⇥ u de forma que U = {O,u,v,n}sea un sistema de referencia ortonormal directo que llamaremos sistema orbital.Las direcciones definidas por u,v,n seran llamadas respectivamente direccionradial, direccion transversal y direccion normal, y el plano Oxy representa elplano instantaneo del movimiento.

O

e

1

e

2

e

3

u

v

n

p

1

x

X

u

v

p

1

p

2

✓

Figura 6.2: Sistema de referencia orbital.

Con objeto de estudiar mejor el movimiento de una partıcula en su plano esconveniente elegir un sistema de coordenadas polares, para lo cual, puesto que yatenemos O como origen de coordenadas, basta definir una direccion constante enel plano, p

1

, desde donde medir el angulo ✓ de coordenadas polares (figura 6.2).Si llamamos p

2

= n ⇥ p

1

, podremos definir un sistema de referencia ortonormal{O,p

1

,p2

,n}, tal que las direcciones p1

,p2

son constantes, esto es, p1

= 0, p2

= 0.

Las expresiones de u,v en la base p

1

,p2

,n seran:

u = cos ✓ p1

+ sen ✓ p2

,

v = � sen ✓ p1

+ cos ✓ p2

,

que derivadas conducen a las igualdades:

u = ✓ v, v = �✓u. (6.9)

Teniendo en cuenta las relaciones anteriores y la expresion del vector de posi-cion en la base orbital x = ru, se llega facilmente, por derivacion, a las expresiones:

X = x = ru+ r✓ v,a = x = (r � r✓2)u+ (r✓ + 2r✓)v,

(6.10)

que expresan la velocidad y aceleracion de P en el sistema orbital y define los con-ceptos de velocidad radial r, velocidad transversal r✓, ası como los de aceleracionradial (r � r✓2) y aceleracion transversal (r✓ + 2r✓).

Sistemas dinamicos 103

El vector velocidad areolar se podra expresar, en el sistema orbital, como

V

A

=1

2r2✓n. (6.11)

6.5 Sistemas dinamicos

Supondremos un sistema dinamico formado por N puntos Pi

, i = 1, . . . , N, demasas m

i

y cuya posicion viene expresada en un sistema inercial por los vectoresx

i

. Como sabemos la dinamica de este sistema de puntos viene descrita por elconjunto de ecuaciones resultante de la aplicacion de la ecuacion fundamental deNewton a cada una de las partıculas

F

i

=dp

i

dt, i = 1, . . . , N, siendo p

i

= mi

x

i

. (6.12)

En general los puntos Pi

no se mueven libremente sino que estan sujetos a unaserie de condiciones, o ligaduras, que no son sino relaciones funcionales entre losvectores de posicion del tipo

f(x1

,x2

, . . . ,xN

; t) = 0.

Ejemplos de ligaduras de este tipo son las relaciones entre los puntos de un solido:(x

i

� x

j

)2 = c2ij

o el que una partıcula que se mueve en una curva o superficie,etc.

Normalmente nos referiremos a cada partıcula por un vector xi

, de tres coor-denadas cartesianas, por lo que un sistema de N puntos viene representado por3N coordenadas. Si el sistema tiene k ligaduras o ecuaciones de relacion, podranintroducirse n = 3N � k coordenadas independientes, q = (q

1

, . . . , qn

), de formaque podamos expresar las posiciones de las partıculas como

x

i

= x

i

(q; t), i = 1, . . . , N.

A este conjunto de coordenadas independientes les llamaremos coordenadasgeneralizadas, mientras que al espacio n-dimensional de las coordenadas libres lellamaremos espacio de configuracion. Las derivadas de las coordenadas generali-zadas q = (q

1

, . . . , qn

) son las velocidades generalizadas. Llamaremos numero degrados de libertad al numero n de coordenadas libres del sistema.

Se llama energıa cinetica de un sistema dinamico a la funcion

T =N

X

i=0

1

2m

i

x

2

i

.

Para expresar la energıa cinetica en funcion de las coordenadas generalizadastendremos en cuenta que x

i

= x

i

(q1

, . . . qn

), por tanto

x

i

=@x

i

@q

dq

dt+@x

@t= �

i

(q, q, t),


y finalmente se tendra T = T (q, q, t).

Se llama energıa potencial del sistema a una funcion escalar V cuyo gradientecoincide con la resultante F de las fuerzas que actuan sobre una partıcula.

F = �rV =

✓

@V

@q1

, . . . ,@V

@qn

◆

.

Cuando V existe solo depende de q, no depende ni de q ni de t. Por tanto V =V (q).

6.6 Ecuaciones de Lagrange y de Hamilton

Llamaremos funcion lagrangiana de un sistema dinamico a la expresion

L(q, q, t) = T (q, q, t) + V (q). (6.13)

Las ecuaciones del movimiento de un sistema mecanico (6.12) pueden expre-sarse en terminos de la funcion lagrangiana en la forma

d

dt

✓

@L@q

i

◆

� @L@q

i

= 0, i = 1, . . . , n, (6.14)

o lo que es iguald

dt

⇣

r˙

q

L⌘

�rq

L = 0. (6.15)

Estas ecuaciones seran llamadas ecuaciones de Lagrange y su solucion equivale ala solucion de las ecuaciones de Newton del sistema.

Definiremos los momentos (generalizados), p = (p1

, . . . , pn

), a partir de lasigualdades

pi

=@L@q

i

. (6.16)

Estas funciones nos permiten expresar las velocidades generalizadas qi

en la forma

qi

= qi

(q,p, t).

Al espacio 2n dimensional (q,p) le llamaremos espacio fasico (o espacio de lasfases).

Llamaremos funcion hamiltoniana, o tambien hamiltoniano H, a la transfor-mada de Legendre de la funcion lagrangiana considerada como funcion de q, estoes

H(q,p, t) = p · q(q,p, t)� L(q, q(q,p, t), t). (6.17)

El sistema de ecuaciones de Lagrange (6.14) es equivalente a las ecuaciones:

q =@H@p

= rp

H, p = �@H@q

= �rq

H, (6.18)

Transformaciones canonicas 105

que son llamadas ecuaciones de Hamilton del sistema.

En ocasiones utilizaremos una notacion mas compacta en la que llamaremosx = (q,p) 2 IRn⇥ IRn al vector de coordenadas y momentos (en este orden), deforma que el hamiltoniano se expresara como

H(x, t) = H(q,p, t). (6.19)

La evolucion dinamica del sistema viene dada por las ecuaciones de Hamilton

x = Jrx

H, (6.20)

donde J es la matriz antisimetrica

J =

✓

0n

In

�In

0n

◆

,

que verifica J�1 = J T = �J , y donde 0n

, In

, representan, respectivamente, lasmatrices nula y unidad de orden n.

6.7 Transformaciones canonicas

Sea la transformacion del espacio fasico : IR2n ! IR2n : x = (q,p) ! y =(Q,P ), definida por las expresiones y = y(x, t), que supondremos de clase C(1)

y tal que det� 6= 0 en el dominio (x, t) que se considere, siendo � la matrizjacobiana

� = y

x

= rx

y =

✓

@yi

@xj

◆

=

0

B

B

B

@

@y1

@x1

. . .@y

1

@x2n

. . . . . . . . .@y

2n

@x1

. . .@y

2n

@x2n

1

C

C

C

A

. (6.21)

Una transformacion que satisface las condiciones anteriores se dice transfor-macion canonica, si y solo si, existe una constante µ tal que se satisface la relacion3

�J�T = µJ . La constante µ es llamada multiplicador de la transformacion. Enparticular, si µ = 1 la transformacion se llama transformacion completamentecanonica (t.c.c).

Propiedad.- Una transformacion es canonica, si y solo si se tiene �TJ� = µJ .

Propiedad.- El conjunto de las transformaciones canonicas forma grupo con res-pecto a la composicion de transformaciones. Las transformaciones completamentecanonicas forman un subgrupo del grupo anterior.

Hay que recordar aquı que la composicion de dos transformaciones canonicas esotra transformacion canonica de multiplicador el producto de los multiplicadores.

3Una matriz A que satisfaga la condicion AJA

T = J sera llamada matriz simplectica.


Ademas, si �1

,�2

son las matrices jacobianas correspondientes a dos transforma-ciones canonicas, la matriz jacobiana de la composicion es el producto �

1

�2

.

Por otro lado, la transformacion identidad (cuya matriz jacobiana es I2n

)es una transformacion canonica de multiplicador 1, pues I

2n

J IT2n

= J . Estatransformacion representa el elemento neutro del grupo de transformaciones.

Por ultimo, la inversa de una transformacion canonica de matriz jacobiana �y multiplicador µ, es otra transformacion canonica de matriz jacobiana ��1 ymultiplicador 1/µ.

La propiedad anterior nos asegura que para cada t.c.c : y = y(x, t) existeuna transformacion inversa ' : x = x(y, t). Esta transformacion puede ser apli-cada a la funcion F (x, t), definida en el espacio fasico, con lo que obtendremos lafuncion transformada '⇤F (y, t) = F (x(y, t), t).

Propiedad.- Una transformacion y = y(x, t) es canonica si y solo si existe unafuncionW, y una funcion resto,R = R(t), tal que dW = 2Rdt�µx·J dx+y·J dy,siendo µ constante.

Propiedad.- Una transformacion y = y(x) es completamente canonica si y solo siexiste una funcion W tal que se verifica una cualquiera de las relaciones siguientes:

dW = q · dp+ P · dQ,dW = q · dp�Q · dP ,dW = p · d q +Q · dP ,dW = p · d q � P · dQ.

(6.22)

Propiedad.- Sean S(1)(P , q, t), S(2)(p,Q, t), S(3)(p,P , t), S(4)(p, q, t) funciones

de clase C(2) tales que det(S(1)

Pq

) 6= 0, det(S(2)

pQ

) 6= 0, det(S(3)

pP

) 6= 0, det(S(4)

qQ

) 6=0, entonces las ecuaciones:

p = rq

S(1), Q = rP

S(1), R(1) = S(1)

t

,

q = rp

S(2), P = rQ

S(2), R(2) = �S(2)

t

,

q = �rP

S(3), Q = rP

S(3), R(3) = S(3)

t

,

p = rq

S(4), P = �rQ

S(4), R(4) = S(4)

t

,

(6.23)

definen transformaciones completamente canonicas de funcion resto R(i). A lasfunciones S(i) se les llama funcion generatriz (o generador) de la transformacion,y a las transformaciones generadas se les llama transformaciones de contacto.

Ecuacion de Hamilton–Jacobi y ecuacion de Delaunay 107

6.8 Ecuacion de Hamilton–Jacobi y ecuacion deDelaunay

Propiedad.- Si existe una funcion S(P , q, t) generatriz, del tipo S(1), de unatransformacion completamente canonica que satisface la ecuacion de Hamilton–Jacobi

H(q,rq

S, t) + St

= 0, (6.24)

entonces las nuevas variables y momentos (Q,P ) son constantes (integrales) delsistema dinamico de hamiltoniano H.

Si el hamiltoniano H es conservativo se tendra H(q,rq

S) = �St

= P1

, dondeP1

es una constante que suele tomarse como nuevo primer momento. De estaforma

S = �P1

t+W(P , q),

y la ecuacion de Hamilton–Jacobi se transforma en

H(q,rq

W) = P1

. (6.25)

Encontrar una funcion W solucion de la ecuacion anterior equivale a encontraruna transformacion canonica que transforma el hamiltoniano en K(Q,P ) = P

1

.

Poincare generaliza este resultado y propone buscar un generador S(P , q) quesea solucion de la ecuacion en derivadas parciales

H(q,rq

S) = K(rP

S,P ), (6.26)

de manera que la transformacion completamente canonica generada por ella trans-forme el hamiltoniano en K(y,Y ). A dicha ecuacion le llamo ecuacion de Delaunaypor su similitud con la usada por este para la teorıa de la Luna.

Capıtulo 7

Movimiento kepleriano

7.1 Introduccion

El movimiento de los planetas es uno de los problemas que mas interes hasuscitado a lo largo de la historia de la ciencia. La explicacion de este movimientofavorecio el desarrollo de numerosos metodos matematicos y fısicos e incluso lacreacion de nuevas disciplinas cientıficas con las que abordar el aparentementesimple pero sutilmente complejo problema. Aunque a este tema han dedicado susesfuerzos muchos de los mejores cientıficos, tanto antes como despues de Keplery Newton, a ellos dos se deben las bases sobre las que se sustentan, tanto laMecanica Celeste, como la Astrodinamica y que seran descritas a lo largo de estecapıtulo.

7.2 Leyes de Kepler

El paso fundamental en la explicacion del movimiento de los planetas lo dioJohannes Kepler (1571-1630), quien a partir de las excelentes observaciones lleva-das a cabo por su maestro, el astronomo danes Tycho Brahe (1546-1601), dedujolas tres leyes llamadas leyes de Kepler1, que pueden enunciarse de la siguientemanera:

1. Los planetas se mueven en orbitas planas alrededor del Sol, siendo las areasdescritas proporcionales a los tiempos empleados en describirlas (figura 7.1).

1Las dos primeras leyes las publico en 1609 en su obra Astronomia Nova, mientras que latercera fue posterior (1619) y aparecio en Harmonicie Mundi. Libri V.

110 Movimiento kepleriano

2. Las orbitas descritas por los planetas son elipses, de las cuales, el Sol ocupaun foco.

3. Los cubos de los semiejes mayores de las orbitas planetarias son proporcio-nales a los cuadrados de los tiempos empleados en recorrerlas.

Figura 7.1: Ley de las areas.

Lo que sigue de capıtulo lo de-dicaremos a desarrollar las herra-mientas necesarias para compren-der las leyes de Kepler y, a partirde ellas, desvelar el camino seguidopor Newton para enunciar la ley degravitacion universal que es el fun-damento de la Mecanica Celeste yde la Astrodinamica.

7.3 Propiedades de las conicas

La segunda ley de Kepler establece la elipse como la figura del movimientoorbital de los planetas. Las consecuencias de la ley de Newton, que se verandespues, anaden la parabola y la hiperbola como posible movimiento orbital. Estastres figuras geometricas tienen en comun la propiedad que las define como el lugargeometrico de los puntos tales que la razon de sus distancias a un punto fijo, foco,y a una recta tambien fija, directriz, es una constante e > 0, que llamaremosexcentricidad. Estas figuras son llamadas conicas y sus propiedades determinanmuchas de las propiedades del movimiento orbital por lo que son analizadas eneste apartado.

P Q

D

r

✓

F (foco) eje directriz

Figura 7.2: Eje y directriz de una conica.

De acuerdo con la anterior defi-nicion, y la figura 7.2 se tendra

FP

PQ= e =

r

p/e� r cos ✓, (7.1)

donde hemos introducido el parame-tro p > 0, que es igual a h e, siendoh la distancia entre el foco y la di-rectriz. A la recta perpendicular ala directriz que pasa por el foco se le llamara eje de la conica.

De acuerdo con (7.1), la ecuacion de la conica en coordenadas polares, conorigen en F y cuyo eje es el de la conica, tendra la forma:

r =p

1 + e cos ✓. (7.2)

Propiedades de las conicas 111

La constante e determina la forma de la conica, mientras que p nos da laescala de longitud. Al parametro p se la suele llamar semilado recto2, pues para✓ = ⇡/2, r = p, luego representa la mitad de la cuerda perpendicular al eje quepasa por el foco.

Notese que el caso e = 0, que se obtiene como caso lımite cuando la directrizse encuentra a una distancia infinita, corresponde a la curva r = p, esto es, a unacircunferencia de radio p.

La ecuacion (7.2) puede ser escrita como

p

r= 1 + e cos ✓. (7.3)

Los valores ✓ = 0, ✓ = ⇡ corresponden, respectivamente, al maximo y mınimo dep/r, esto es, al mınimo y maximo de r. Sin embargo, cuando e � 1, el valor ✓ = ⇡carece de sentido pues por ser r una distancia, p/r debe ser estrictamente positivo.De acuerdo con esta propiedad distinguiremos tres casos segun los valores de e.

7.3.1 Elipses: 0 e < 1

Llamaremos elipse a un conica cuya excentricidad este entre cero y uno. En estecaso tendremos un valor mınimo y maximo de r en dos puntos, que llamaremosrespectivamente pericentro y apocentro. Las distancias al foco en estos puntosvienen dadas por:

rp

=p

1 + e, r

a

=p

1� e. (7.4)

Introduzcamos tres nuevas constantes por medio de las relaciones:

a =p

1� e2, c = a e =

p e

1� e2, b = a

p

1� e2, (7.5)

y definamos un sistema de referencia plano en el que el origen O es un punto deleje de la conica a una distancia c del foco en la direccion opuesta a la directriz,y el eje Ox es el eje de la conica, mientras que el eje Oy es perpendicular a Ox.En este sistema de referencia las coordenadas cartesianas de un punto de la elipsevendran dadas por

x = c + r cos ✓ = c+p cos ✓

1 + e cos ✓,

y = r sen ✓ =p sen ✓

1 + e cos ✓.

(7.6)

Puede comprobarse facilmente que un punto P de coordenadas (x, y) dadas porlas expresiones anteriores verifica la ecuacion

x2

a2+

y2

b2= 1. (7.7)

2Semilatus rectum.


a

b a

cF 0 Frp

Figura 7.3: Elipse.

Las distancias a y b son lla-madas, respectivamente, semiejemayor y semieje menor de la elip-se y su significado puede verse enla figura 7.3.

De acuerdo con la primera delas expresiones (7.5) podemos ex-presar las distancias (7.4) al pe-ricentro y apocentro como:

rp

= a (1� e),ra

= a (1 + e).(7.8)

7.3.2 Parabolas: e = 1

Cuando la excentricidad vale uno, la conica es llamada parabola. En este casounicamente hay pericentro, por lo que tenemos una curva abierta. La distanciamınima al foco es ahora r

p

= p/2.

Si elegimos un sistema da referencia plano, con origen en el periastro y eje Oxel de la conica con coordenadas positivas en la direccion opuesta a la directriz, lascoordenadas cartesianas de un punto de la parabola seran

x =p

2� p cos ✓

1 + cos ✓,

y =p sen ✓

1 + cos ✓,

(7.9)

de donde facilmente obtenemos como ecuacion de la parabola la expresion

y2 = 2px, (7.10)

cuya grafica puede verse en la figura 7.4(a).

7.3.3 Hiperbolas: e > 1

Las conicas con excentricidad mayor que uno, llamadas hiperbolas, unicamenteposeen pericentro por lo que, como las parabolas, son curvas abiertas.

Si introducimos las cantidades:

a =p

e2 � 1, c = ae, b = a

p

e2 � 1, (7.11)

y definimos un sistema de referencia plano con origen en un punto del eje de laconica a una distancia c del foco en la direccion de la directriz y eje Ox el de la

Ley de gravitacion de Newton 113

conica, las coordenadas cartesianas de un punto p de la hiperbola seran

x = ae � p cos ✓

1 + e cos ✓,

y =p sen ✓

1 + e cos ✓.

(7.12)

La ecuacion de la hiperbola sera por tanto

x2

a2� y2

b2= 1, (7.13)

que de acuerdo con la figura 7.4(b) tiene dos ramas simetricas.

El valor de la distancia al pericentro sera en este caso

rp

= a (e� 1). (7.14)

p

2

p

2

x

y

F

(a) Parabola

O a

b c

rp

c

(b) Hiperbola

Figura 7.4: Conicas abiertas

7.4 Ley de gravitacion de Newton

Las leyes de Kepler suponen el penultimo eslabon en la carrera por compren-der y explicar el movimiento de los planetas. Estas describen con exactitud elmovimiento de los mismos pero, sin embargo, no dan una explicacion fısica delas causas del movimiento. El ultimo paso lo da Isaac Newton (1642–1727) quien,a partir de estas leyes y tras poner las bases de la Mecanica y del Calculo Di-ferencial, enuncia la ley de gravitacion universal que ha seguido vigente hasta la


introduccion de la teorıa de la relatividad, pero que todavıa sigue dando respuestaa la mayor parte de las cuestiones que plantea el movimiento orbital.

En lugar de limitarnos a enunciar la ley de gravitacion deduciremos esta apartir de las leyes de Kepler. Para ello formularemos las leyes de Kepler desdeun punto de vista mas matematico. De acuerdo con la segunda ley, un planeta semueve en una orbita elıptica, que expresada en coordenadas polares es

r =a(1� e2)

1 + e cos ✓, (7.15)

donde a y e son dos constantes que representan el semieje y la excentricidad dela elipse, mientras que r depende de t a traves del angulo ✓.

La tercera ley de Kepler nos indica que la razon a3/P 2 es constante para todoslos planetas. Aquı hemos llamado P al periodo orbital del planeta.

Si el movimiento es plano, el vector posicion x lo podemos descomponer endos direcciones, la radial (u = x/r) y la transversal (v), perpendicular a la radial,de modo que los vectores posicion, velocidad y aceleracion son:

x = u r,x = u r + v r✓,x = u (r � r✓2) + v (2r✓ + r✓).

(7.16)

La velocidad areolar (area barrida por el radio vector por unidad de tiempo) esr2✓/2; pues bien, la primera ley nos dice que esta expresion es una constante, que sepodra obtener dividiendo el valor de un area barrida (que sepamos calcular) por eltiempo invertido en describirla. En un periodo P , el area barrida sera precisamenteel area de la elipse (⇡ab), ası pues,

1

2r2✓ =

⇡ a b

P=⇡ a2p1� e2

P, (7.17)

pero esta expresion es una cantidad constante, por lo que derivando, se tiene que

d(r2✓)

dt= r(2r✓ + r✓) = 0,

o lo que es lo mismo, la aceleracion transversal (7.16) es nula, y la aceleracionsolamente tiene componente radial, luego la fuerza que produce el movimientodebe ser radial (recordemos que la segunda ley de la Mecanica de Newton estableceque la fuerza = masa ⇥ aceleracion). En consecuencia, la fuerza que ejerce el Solsobre un planeta de masa m sera

F = m(r � r✓2)x

r.

Derivando la ecuacion de la elipse (7.15) y teniendo en cuenta la expresion (7.17)de la velocidad areolar obtenida a partir de la tercera ley de Kepler, llegamos a

F = �m 4⇡2a3

P 2r3x = �m��

r3x,

Problema de dos cuerpos 115

donde hemos llamado �� a la constante derivada de la tercera ley de Kepler.Finalmente, por el principio de accion y reaccion de Newton, la fuerza ejercidapor el Sol sobre el planeta debe ser igual en norma, pero de sentido contrario, ala que ejerce el planeta sobre el Sol, luego de modo analogo se tendra

m�� = m��,

siendo m� la masa del Sol y � la constante para la orbita del Sol respecto delplaneta. De acuerdo con esa igualdad, podremos poner

m��

=m

�= G,

donde hemos introducido una nueva constante G que llamaremos constante degravitacion universal. Esto conduce finalmente a la expresion final de la fuerza deatraccion que el Sol ejerce sobre el planeta

F = �Gmm�r2

x

r, (7.18)

que nos permite enunciar la Ley de Newton, que dice: la fuerza que ejerce el Solsobre un planeta es atractiva, lleva la direccion de ambos cuerpos y es proporcionalal producto de las masas de estos, e inversamente proporcional al cuadrado de sudistancia mutua.

7.5 Problema de dos cuerpos

La ley de Newton, que ha sido enunciada en el apartado anterior para dosplanetas, puede extenderse a dos masas puntuales cualesquiera siendo la base delproblema fundamental de la Astrodinamica o Mecanica Celeste, que sera llama-do problema de dos cuerpos, y que consiste en el estudio del movimiento de dosmasas puntuales P

1

, P2

, de masas respectivas m1

,m2

, que interaccionan gravita-cionalmente bajo la ley de atraccion universal enunciada por Newton.

O

x

r

1

r

2

P1

P2

Figura 7.5: Problema de dos cuerpos.

Para formular este problema llamare-mos r

1

, r2

respectivamente, a los vecto-res de posicion OP

1

, OP2

, y x al vectorde posicion relativa P

1

P2

y supondremosque estan referidos a un sistema de referen-cia ortogonal, directo e inercial. En virtudde la segunda ley de la mecanica de New-ton (fuerza = masa⇥ aceleracion), se tieneque:

m1

r

1

= Gm1

m2

r2x

r,

m2

r

2

= � Gm1

m2

r2x

r,

(7.19)


donde r = kx k es la distancia mutua entre P1

y P2

, y G la constante de gravitacionuniversal.

El sistema (7.19) constituye un sistema diferencial de orden doce, por lo quela integracion del problema quedara resuelta si encontramos doce integrales inde-pendientes del mismo.

El problema queda facilmente reducido a otro de orden seis si tenemos encuenta que sumando las ecuaciones (7.19) se tiene

m1

r

1

+m2

r

2

= 0,

de donde, de manera inmediata obtenemos

m1

r

1

+m2

r

2

= m r

c

= At+B, (7.20)

donde r

c

representa la posicion del centro de masas del sistema y m = m1

+m2

.Los vectores constantesA,B constituyen las seis primeras integrales del problema.La expresion (7.20), tambien llamada integral del centro de masas, nos indica queel centro de masas de un sistema formado por dos cuerpos que se atraen segun laley de gravitacion de Newton, se mueve con un movimiento rectilıneo y uniforme.

7.6 Movimiento relativo o kepleriano

Las integrales del centro de masas pueden aprovecharse para formular las ecua-ciones (7.19) de manera mas simple. Para ello, tengamos en cuenta las relaciones

m r

c

= m2

r

2

+ m1

r

1

,x = r

2

� r

1

,(7.21)

que pueden invertirse en la forma:

r

1

= r

c

� m2

mx,

r

2

= r

c

+m

1

mx.

(7.22)

Las anteriores relaciones indican que una vez conocida la evolucion temporaldel vector del centro de masas r

c

y la del vector de posicion relativa x conoceremostambien la de r

1

y r

2

, por lo que el problema queda resuelto. Las seis integrales(7.20) determinan el movimiento de r

c

, por lo que basta encontrar el movimientorelativo de P

2

respecto a P1

para que el problema quede completamente resuelto.En efecto, derivando dos veces la segunda de las ecuaciones (7.21) con respecto altiempo y sustituyendo el valor de las segundas derivadas dado en (7.19), llegamosa las ecuaciones del movimiento relativo que pueden ponerse como:

x = � µ

r3x, (7.23)

Movimiento relativo o kepleriano 117

donde r = kx k y µ = Gm = G(m1

+m2

), siendo m la suma de las masas de P1

y P2

.

La ecuacion (7.23) rige el movimiento relativo de P2

en torno a P1

y es, enrealidad, la ecuacion que gobierna toda la Astrodinamica, pues cuando nos refe-rimos al movimiento orbital, estamos siempre hablando del movimiento relativo,bien en torno al Sol, como en el caso de los planetas, bien en torno a la Tierra, en elcaso de los satelites artificiales. Al modelo planteado por el sistema de ecuacionesdiferenciales (7.23) le llamaremos problema kepleriano y al movimiento derivadode la solucion de dichas ecuaciones le llamaremosmovimiento kepleriano. Ademas,en este caso diremos que P

2

esta en orbita kepleriana alrededor de P1

.

x

P1

P2

Figura 7.6: Movimiento relativo de P2 entorno a P1.

Aunque el problema de dos cuer-pos ha sido formulado en un sistemade referencia inercial, el problema ke-pleriano se formula en un sistema concentro en P

1

y ejes paralelos a los delsistema inercial (figura 7.6). Este sis-tema no rota, pero su origen se mue-ve con el movimiento de P

1

que nosera en general rectilıneo y uniformesino que posee una aceleracion y portanto no sera inercial. Esto no es pro-blema pues las ecuaciones (7.23) noson una aplicacion directa de la leyfundamental de Newton, que debe serformulada obligatoriamente en un sis-

tema inercial, sino que se trata de un modelo matematico obtenido por reducciondel problema de dos cuerpos aplicando la integral del centro de masas.

La aplicacion practica de las ecuaciones (7.23) al movimiento de un sateliteartificial se formula en un sistema con centro en el centro de masas de la Tierray ejes fijos, un sistemas de este tipo es llamado sistema inercial con centro en laTierra, ECI, que aunque no es inercial cumple la misma funcion que uno inercialpara este problema. Los sistemas S

G(GCRS) y E

�oconstituyen los dos ejemplos

de sistemas de este tipo que usaremos para formular el movimiento de los satelitesartificiales.

Ademas de la ecuacion de orden dos (7.23), las ecuaciones del movimientokepleriano pueden ponerse como un sistema de ecuaciones de orden uno en laforma:

x = X,

X = � µ

r3x,

(7.24)

donde X es el vector velocidad cuya norma sera llamada v.

El problema kepleriano puede ser tambien expresado en forma hamiltoniana.Para ello supondremos un sistema dinamico cuyo hamiltoniano, que llamaremos


hamiltoniano kepleriano, tendra la forma

Hk

(x,X) =1

2X ·X � µ

r, (7.25)

donde x son las coordenadas y X los momentos y hemos llamado energıa cineticadel movimiento relativo al primer sumando y energıa potencial del movimientorelativo al segundo.

Las ecuaciones de Hamilton aplicadas al hamiltoniano Hk

son:

x = rX

Hk

= X,

X = �rx

Hk

= � µ

r3x,

(7.26)

y por tanto son identicas a las ecuaciones (7.24) del movimiento kepleriano, porello, podemos concluir que este esta representado por un sistema dinamico dehamiltoniano H

k

.

7.7 Solucion explıcita del problema kepleriano:funciones f y g de Lagrange

La teorıa de ecuaciones diferenciales ordinarias nos asegura que las ecuaciones(7.24) tienen una unica solucion para un conjunto de condiciones iniciales dadopor el vector de posicion y velocidad x

0

,X0

en un instante t0

. Si encontramosla expresion de la posicion y velocidad para un instante dado t en terminos delas condiciones iniciales x = x(t,x

0

,X0

), X = X(t,x0

,X0

) podemos dar elproblema por integrado.

Para encontrar la solucion anterior excluiremos el caso en que x

o

y X

0

seancolineales, que como veremos en el capıtulo siguiente corresponde a una solucionparticular del problema: las orbitas rectilıneas. Sabiendo de antemano que las so-luciones del problema estaran en un plano fijo y que x

o

y X

0

son dos vectoreslinealmente independientes en dicho plano y, por tanto, forman una base del mis-mo, entonces existiran dos escalares f, g, dependientes del instante t y del instantet0

, tales que se verifica

x = f(t; t0

)x0

+ g(t; t0

)X0

. (7.27)

Derivando esta expresion se tendra tambien que

X =@f(t; t

0

)

@tx

0

+@g(t; t

0

)

@tX

0

. (7.28)

Las funciones f y g de Lagrange, tambien llamadas coeficientes de transicion,no constituyen una forma eficiente de calcular las posiciones y velocidades de uncuerpo en orbita pues, como veremos ahora, sus expresiones explıcitas en funcion

Funciones f y g de Lagrange 119

del tiempo no pueden ser expresadas en forma cerrada, esto es, sin recurrir a desa-rrollos en series de potencias del tiempo. Dichos desarrollos deben ser truncadosy por tanto no producen una buena aproximacion a la solucion. Ademas dichosdesarrollos son validos unicamente en un entorno pequeno de t

0

.

A pesar de lo dicho estudiaremos aquı estas funciones pues su significado esmuy util para comprender algunas propiedades de este tipo de movimiento yademas son la base de algunos metodos de determinacion de orbitas a partir dedatos de observacion, aunque estos no seran tratados en este libro. Para ello,veremos a continuacion algunas propiedades de dichas funciones.

Propiedad.- Las funciones f(t; t0

), g(t; t0

) son soluciones de la ecuacion diferen-cial

�+µ

r(t)� = 0, (7.29)

de forma que f es la solucion particular de (7.29) determinada unıvocamente porlas condiciones iniciales:

f(t0

, t0

) = 1,@f(t

0

; t0

)

@t= 0, (7.30)

mientras que g es la solucion particular de (7.29) determinada unıvocamente porlas condiciones iniciales:

g(t0

, t0

) = 0,@g(t

0

; t0

)

@t= 1. (7.31)

Para demostrar esto basta tener en cuenta la ecuacion fundamental del movi-miento orbital

X = � µ

r3x,

donde sustituyendo las igualdades (7.27) y (7.28) obtenemos

@2f(t; t0

)

@t2+

µ

r3f(t; t

0

)

�

x

0

+

@2g(t; t0

)

@t2+

µ

r3g(t; t

0

)

�

X

0

= 0.

La independencia lineal de x

0

y X

0

nos asegura que se verificara:

@2f(t; t0

)

@t2+

µ

r3f(t; t

0

) = 0,

@2g(t; t0

)

@t2+

µ

r3g(t; t

0

) = 0,

por lo que f y g verifican (7.29).

Se completa la demostracion observando que las condiciones iniciales de f y gse corresponden con las obtenidas particularizando en t = t

0

las igualdades (7.27)y (7.28).


Para obtener una expresion explıcita de las funciones f y g en funcion de tdesarrollaremos estas funciones en serie de potencias de t. Para la obtencion dedichas series usaremos un procedimiento recursivo que se adapta muy bien a suimplementacion en un ordenador mediante programas de manipulacion algebraicay simbolica.

La ecuacion (7.29) puede ponerse como

� = �R�,

donde hemos llamadoR =

µ

r3. (7.32)

La funcion R es asimismo solucion de la ecuacion diferencial

R = �3RS,

que se obtiene sin mas que derivar (7.32) y llamar S a la funcion

S =r

r, (7.33)

que derivada conduce a la expresion

S =rr � r2

r2.

Por otro lado, considerando las constantes3 h = v2/2 � µ/r y G = r2✓, y larelacion v2 = r2 + r2✓2, llegamos a las expresiones

r2 = v2 � G2

r2, v2 = 2h+

2µ

r,

que derivadas permiten poner

r

r=

G2

r4� µ

r3,

y finalmente

S =G2

r4�R� S2 =

v2 � r2

r2�R� S =

v2

r2�R� 2S,

expresion que puede ponerse como

S = W �R� 2S,

donde hemos llamado

W =v2

r2=

X

2

r2. (7.34)

3El significado de estas expresiones y la demostracion de que son constantes aparecera en elapartado 8.2 del proximo capıtulo.

Funciones f y g de Lagrange 121

Por ultimo, derivando W se tiene

W =2(X · X)r2 � v2rr

r4= �2 µ

r3x ·Xr2

� 2v2r

r3

= �2 µ

r3r

r� 2

v2r

r3= �2S(R+W ).

El calculo de las funciones f y g esta basado en la resolucion del sistema deecuaciones diferenciales:

� = �R�,

R = �3RS,

S = W �R� 2S,

W = �2S(R+W ),

(7.35)

cuya solucion sera expresada por medio de series de potencias en la forma:

f =X

i�0

fi

(t� t0

)i,

g =X

i�0

gi

(t� t0

)i,

R =X

i�0

Ri

(t� t0

)i,

S =X

i�0

Si

(t� t0

)i,

W =X

i�0

Wi

(t� t0

)i,

(7.36)

con las condiciones iniciales siguientes:

f0

= 1 , f1

= 0,

g0

= 0 , g1

= 1,

R0

=µ

r30

,

S0

=x

0

·X0

r20

,

W0

=X

2

0

r20

,

(7.37)

Sustituyendo (7.36) en (7.35), e igualando termino a termino se llega a las


relaciones:

(n+ 1)(n+ 2)fn+2

= �n

X

i=0

Ri

fn�i

,

(n+ 1)(n+ 2)gn+2

= �n

X

i=0

Ri

gn�i

,

(n+ 1)Rn+1

= �3n

X

i=0

Ri

Sn�i

,

(n+ 1)Sn+1

= Wn

�Rn

� 2n

X

i=0

Si

Sn�i

,

(n+ 1)Wn+1

= �2n

X

i=0

Si

(Rn�i

+Wn�i

),

(7.38)

donde se ha tenido en cuenta la propiedad

(X

m�0

am

xm)(X

n�0

bn

xn) =X

j�0

(X

0ij

ai

bj�i

)xj .

Si en (7.38) hacemos n = 0 obtendremos

2f2

= �R0

f0

= �R0

, 2g2

= �R0

g0

= 0,

y por tanto

f2

= �R0

2, g

2

= 0.

Ademas se tendra:

R1

= �3R0

S0

,

S1

= W0

�R0

� 2S2

0

,

W1

= �2S0

(R0

+W0

),

lo que permitira pasar a n = 1 y obtener

6f3

= �R0

f1

�R1

f0

, 6g3

= �R0

g1

�R1

g0

,

de donde

f3

= �R0

S0

2, g

3

= �R0

6.

De esta forma, por iteracion podemos obtener cualquier fn

, gn

en funcion def0

, f1

, g0

, g1

, R0

, S0

,W0

. Hasta orden tres se tendra:

f(t; t0

) = 1� 1

2R

0

(t� t0

)2 +1

2R

0

S0

(t� t0

)3 + . . .

g(t; t0

) = (t� t0

)� 1

6R

0

(t� t0

)3 + . . .(7.39)

Capıtulo 8

Integracion del problemakepleriano

8.1 Modelo orbital kepleriano

O

P

x

X

Figura 8.1: Movimiento kepleriano.

Llamaremos problema keplerianoal estudio del movimiento de una ma-sa puntual P , que llamaremos orbita-dor1, relativo a un cuerpo central2 O(figura 8.1) regido por el sistema deecuaciones diferenciales

x = X, X = � µ

r3x, (8.1)

donde x y X son los vectores de po-sicion y velocidad de P expresados enun sistema de referencia inercial cen-trado en O, que llamaremos sistemaespacial, r = kx k es la distancia de

P a O y v = kX k es la norma del vector velocidad.

En el capıtulo anterior hemos introducido el parametro µ = Gm, siendo m lasuma de las masas de P y O. Mientras que G se considera una constante universal,no lo sera µ, pues depende de las masas de los dos cuerpos. Sin embargo, puesto

1Satelite, sonda, planeta, cometa, asteroide, etc.2Sol, planeta, etc.

124 Integracion del problema kepleriano

que, fijado el problema, los dos cuerpos siempre seran los mismos y la masasera constante, de aquı en adelante utilizaremos el parametro µ, en lugar de G, paracaracterizar el tipo de orbita. Este parametro adquiere particular importancia enel caso de orbitas de estrellas dobles donde, en general, las masas son desconocidas,y por lo tanto µ tambien lo es.

En este capıtulo describiremos el comportamiento del modelo orbital keple-riano, tanto desde el punto de vista geometrico como astronomico y astrodinami-co. Dicha descripcion debe reproducir y explicar las tres leyes de Kepler, pues estemodelo proviene de dichas leyes. Para ello, buscaremos integrales (constantes) delproblema con un significado cinematico y dinamico preciso.

8.2 Primeras integrales

Llamaremos momento angular3 de P al vector

G = x⇥X. (8.2)

Denotaremos con G a la norma del vector G y n a su direccion, de forma queG = Gn.

Propiedad.- El momento angular G, de una partıcula que se mueve en un campode atraccion newtoniano de acuerdo con la ecuacion (8.1), es constante.

En efecto, derivando G tendremos

G = x⇥X + x⇥ X = X ⇥X � µ

r3(x⇥ x) = 0,

lo que demuestra la propiedad.

El vectorA = X ⇥G� µ

rx, (8.3)

sera llamado vector de Laplace4.

Llamaremos A a la norma del vector de Laplace y a a su direccion, de formaque A = Aa.

Propiedad.- El vector de Laplace A, de una partıcula que se mueve en un campode atraccion newtoniano de acuerdo con la ecuacion (8.1), es constante.

Para demostrarlo tengamos en cuenta, en primer lugar, que

d(r�1

x)

dt= r�1

X � r�2rx = r�3(r2X � rrx),

3Esta definicion no coincide con el concepto mecanico del momento angular de una partıcula,pues no esta multiplicado por la masa, sino que es un parametro, sin significado fısico, definidoen el problema kepleriano para simplificar su integracion. Lo mismo ocurrira con la energıa h

que se definira mas tarde.4Llamado a veces Laplace-Runge-Lenz.

Primeras integrales 125

donde r2 = x · x, y por tanto r r = x · X. Esto, junto con la propiedad (1.20),permite poner:

d(r�1

x)

dt=

1

r3G⇥ x. (8.4)

Derivando A tendremos

A = X ⇥G� µd(r�1

x)

dt= � µ

r3x⇥G� µ

r3G⇥ x = 0,

lo que demuestra la propiedad.

Las tres componentes del vector G y las tres de A constituyen seis integralesdel sistema diferencial de orden seis5 (8.1). Si estas integrales fuesen indepen-dientes el problema estarıa totalmente integrado, sin embargo, no lo son, como sedemuestra en la siguiente propiedad.

Propiedad.- Los vectores G y A no constituyen seis integrales independientesdel sistema diferencial.

En efecto, si G = 0, entonces A = �µr�1

x, de donde A ·A = µ2r�2

x

2 = µ2,por lo tanto, las tres componentes de A poseen una relacion de dependencia porser su norma constante.

Si G 6= 0 basta tener en cuenta que G ·A = 0, lo que determina una depen-dencia entre las seis integrales.

Otra importante constante, que constituira una nueva integral aunque no in-dependiente de las anteriores como veremos mas adelante, es la constante definidapor medio de la expresion

h =1

2v2 � µ

r, (8.5)

que sera llamada energıa orbital. En la definicion (8.5) llamaremos energıa cineticaT al termino v2/2 y energıa potencial V a �µ/r. Realmente dichas expresionesno constituyen la energıa cinetica y potencial del problema de dos cuerpos, sinolas de un modelo teorico que se comporte igual que el problema del movimientorelativo. Esta es la razon por la que el valor constante de h no se deduce delteorema de conservacion de la energıa, sino que debe ser demostrado.

En efecto

h = X · X +µ

r3(x ·X) = X · (X +

µ

r3x) = 0.

La relacion entre A,G y h puede verse en la siguiente propiedad.

Propiedad.- Para una partıcula sometida a un campo de atraccion newtoniano,las constantes A,G y h verifican la relacion

A2 = 2hG2 + µ2. (8.6)

5Seis ecuaciones de orden uno.


En efecto, teniendo en cuenta la definicion de A y la relacion dada en (1.19),se deduce que

A2 = A ·A =

✓

v2 � 2µ

r

◆

G2 + µ2,

lo que demuestra (8.6).

8.3 Deduccion de la primera y segunda leyes deKepler

A falta de la ultima integral, que deduciremos en el apartado (8.5), el problemaha quedado cerrado desde el punto de vista mecanico. Sin embargo, esto no esası si atendemos a su aspecto astrodinamico o de interpretacion de los resultados.

La ley de atraccion de Newton se obtiene como consecuencia de las leyes deKepler del movimiento de los planetas. Por ello, para completar el problema de-bemos obtener aquellas a partir de las integrales obtenidas aquı. Este proceso nosllevara a la obtencion de las leyes de Kepler, ası como tambien a otras consecuen-cias interesantes del movimiento kepleriano.

Atenderemos, en primer lugar, al valor del momento angular G que puede sercero o distinto de cero.

Propiedad.- El momento angular G = 0 si y solo si el movimiento tiene lugaren una lınea recta que pasa por el centro de atraccion.

Si tenemos en cuenta la ecuacion (8.4) observamos quedu

dt=

d(r�1

x)

dt= 0 lo

que representa que el vector unitario en la direccion del orbitador P (radial) esuna constante, o lo que es igual, que P se mueve en lınea recta.

Por otro lado, si la trayectoria es rectilınea, u = (r�1

x) es un vector constante,luego su derivada es cero, por tantoG⇥x es cero en cualquier instante. Puesto quex no puede ser identico al vector nulo en todo instante, necesariamente G debe serparalelo a x, ademas G es perpendicular a x por definicion, luego necesariamenteG = 0.

Propiedad.- El momento angular G 6= 0 si y solo si el movimiento no es rectilıneoy tiene lugar en un plano fijo en el espacio, perpendicular a G y que pasa por elcentro de atraccion.

Efectivamente, siG 6= 0, entoncesG·x = 0 para cualquier x, luego la partıculasiempre esta en un plano perpendicular a G y que pasa por O. Por otro lado, si elmovimiento tiene lugar en un plano y no es rectilıneo x y X pertenecen a dichoplano y no son paralelos, luego G 6= 0.

Esta ultima proposicion demuestra que el movimiento es plano. Ademas, pode-mos observar que el vector G, de norma constante, representa el doble del vector

Deduccion de la primera y segunda leyes de Kepler 127

velocidad areolar, por lo que tambien verifica la ley de las areas. Ası pues, quedacomprobada la primera ley de Kepler y parte de la segunda (movimiento plano).

Veamos ahora las propiedades que se derivan del vector de Laplace.

Propiedad.- El vector de Laplace verifica las siguientes identidades:

A · x = G2 � µr, A ·X = �µr,

A⇥ x = rrG, A⇥X =⇣

v2 � µ

r

⌘

G,(8.7)

cuya demostracion es inmediata a partir de la definicion del vector A.

En el caso de movimiento rectilıneo G = 0 y por lo tanto A = �µu =�µ(r�1

x), luego el vector de Laplace lleva la direccion del movimiento y ademassu norma es igual a µ.

Por otro lado, siG 6= 0, la relacionA·G = 0 indica que el vectorA esta siempreen el plano del movimiento. Tendremos dos casos segun el valor de A.

Propiedad.- Para cualquier valor de G 6= 0 el movimiento de la partıcula tienelugar en una conica de excentricidad A/µ.

En efecto, si A = 0, de acuerdo con la segunda relacion en (8.7), r = 0, luegor es constante, esto es, la orbita es circular. Ademas, de acuerdo con la primerade las expresiones (8.7), G2 � µ r = 0, luego el radio sera igual a G2/µ.

O

P

f

A

x

Figura 8.2: Anomalıa verdadera f .

Si A 6= 0, llamaremos anomalıa verdade-ra f6 al angulo entre el vector A y el vectorde posicion x, que vendra dado por la expre-sion

A · x = Ar cos f.

Combinando esta igualdad con la primera delas expresiones (8.7) podemos poner

r =p

1 + e cos f, (8.8)

donde hemos llamado:

p =G2

µ, e =

A

µ. (8.9)

La ecuacion (8.8) representa una conica de semilado recto p y excentricidad e,donde la anomalıa verdadera corresponde al angulo polar medido desde el ejedefinido por el vector de Laplace.

A la direccion deA que, como vemos, juega un importante papel en la dinamicadel problema de los dos cuerpos le llamaremos lınea de los apsides y representa el

6No confundir con el coeficiente de transicion que se denotara siempre en la forma f(t, t0).


eje de la conica y por lo tanto la direccion donde se alcanza la mınima distancia, yla maxima si existe, entre el orbitador y el cuerpo central. A la posicion de mınimadistancia le llamaremos periastro, perigeo o perihelio si el foco es, respectivamente,un astro cualquiera, la Tierra o el Sol. Al punto de maxima distancia le llamaremosapoastro o bien apogeo o afelio.

La ultima proposicion demuestra la primera ley de Kepler del movimiento.Kepler habla de elipses puesto que sus leyes describen unicamente movimientosde planetas para los cuales no aparece ningun otro tipo de orbitas, sin embargo,la ley permite orbitas no cerradas (parabolas o hiperbolas).

Notese que si G = 0 la relacion (8.6) coincide con la obtenida previamente,A = µ2, mientras que para G 6= 0 se tendra

h =A2 � µ2

2G2

, (8.10)

que describe la energıa como una funcion cuadratica de A. De acuerdo con estarelacion podemos caracterizar el tipo de movimiento en funcion de la energıa. Enefecto, fijado G, h tiene un mınimo igual a �µ2/2G2 que se alcanza para orbitascirculares, esto es, para A = 0. Si la orbita es elıptica se tiene 0 < A < µ y portanto h < 0. Para una orbita parabolica A = µ, luego h = 0. Por ultimo, unaorbita hiperbolica tiene h > 0 por ser A > µ.

Por otro lado, teniendo en cuenta que para el movimiento elıptico se tiene

a =p

1� e2=

G2/µ

1�A2/µ2

=µG2

µ2 �A2

= � µ

2h,

y para el hiperbolico

a =p

e2 � 1=

G2/µ

A2/µ2 � 1=

µG2

A2 � µ2

=µ

2h,

encontramos la relacion entre la energıa y el semieje de la orbita.

La definicion de h, (8.5), combinada con su expresion en funcion del semiejede la orbita y de su excentricidad permite encontrar una expresion, muy util, dela velocidad

v2 = µ

✓

2

r� 1� e2

p

◆

, (8.11)

que particularizada para cada tipo de orbita puede verse, junto con otros parame-tros, en la tabla (8.1).

Tercera ley de Kepler: unidades 129

lineal circular elıptica parabolica hiperbolicaG = 0 G > 0 G > 0 G > 0 G > 0

A = 0 0 < A < µ A = µ A > µ

p = 0 p = a > 0 p = a(1� e2) > 0 p > 0 p = a(e2 � 1) > 0

e = 1 e = 0 0 < e < 1 e = 1 e > 1

h =�µ2

2G2

< 0 h =�µ2a

< 0 h = 0 h =µ

2a> 0

v2 =µ

av2 = µ

✓

2

r� 1

a

◆

v2 =2µ

rv2 = µ

✓

2

r+

1

a

◆

Tabla 8.1: Parametros del movimiento kepleriano.

8.4 Tercera ley de Kepler: unidades

Por ultimo comprobaremos la tercera ley de Kepler. Para ello, tendremos denuevo en cuenta la relacion p = G2/µ.

Por un lado recordemos que G es la norma del momento angular y, comose vio en el apartado 6.2, el doble de la velocidad areolar, lo que indica queG representa el doble del area barrida por unidad de tiempo. Si consideramosunicamente orbitas elıpticas, que son las unicas para las que se puede aplicar estaley, llamamos P al tiempo total invertido en recorrer toda la orbita o periodo dela orbita, y tenemos en cuenta que el area de una elipse es ⇡ab, tendremos

G =2⇡ab

P.

Por otro lado, puesto que para una elipse p = b2/a y ademas µ = Gm se tendra fi-nalmente la relacion

Gm = µ = 4⇡2

a3

P 2

, (8.12)

que constituye lo que, de aquı en adelante, denominaremos tercera ley de Keplery que es valida solamente para el movimiento elıptico.

La tercera ley, tal como la enuncio Kepler, decıa que la razon del cubo de lossemiejes y los cuadrados de los periodos de las orbitas de los planetas era unaconstante. Si tenemos un planeta de masa m

1

y periodo P1

y otro de masa m2

yperiodo P

2

, y el Sol tiene masa ms

se tendran las relaciones:

G(ms

+m1

) = 4⇡2

a31

P 2

1

, G(ms

+m2

) = 4⇡2

a32

P 2

2

,


que divididas nos daran

a31

P 2

1

:a32

P 2

2

=m

s

+m1

ms

+m2

=1 +m

1

/ms

1 +m2

/ms

= � ⇡ 1,

lo que nos lleva a la conclusion de que la tercera ley, tal como fue enunciadapor Kepler, es falsa. Sin embargo, si tenemos en cuenta el pequeno valor de lamasa de los planetas en relacion con la del Sol, podemos aproximar m

i

/ms

porcero, y por tanto � puede considerarse como la unidad, lo que indica que para elgrado de precision de las observaciones de la epoca de Kepler la tercera ley podıaconsiderarse como valida tal como el la enuncio.

La expresion (8.12) permite ademas analizar mas a fondo el valor de la cons-tante G. De hecho, G es una constante universal, pero no es adimensional, estoes, su valor numerico depende de las unidades de distancia, tiempo y masa conlas que estemos trabajando. La ecuacion dimensional se deduce de la expresion(8.12) y se puede poner como

[G] = L3T�2M�1,

lo que permite su calculo en cualquier sistema de unidades a partir de su valorfundamental establecido por la IAU que es igual a G = 6.672⇥ 10�11 m3s�2kg.

En la practica usaremos la constante µ = Gm en lugar de G pues, de este modo,se elimina la masa de la ecuacion dimensional y su valor depende unicamente delas unidades de longitud y tiempo elegidas. Sin embargo, hay que considerar queµ ya no sera una constante universal sino que depende del tipo de orbita y delas unidades de longitud y tiempo y, por tanto, no es igual para la orbita de unsatelite artificial en torno a la Tierra7

µ� = Gm� = 0.00553033 r3� min�2,

que para la orbita de un planeta8

µ� = Gm� = 0.000295939U.A.3 dias�2.

Es muy importante notar que una vez elegido µ, en un conjunto de unidades, elresto de variables dinamicas del problema deben ser representadas en esas mismasunidades.

8.5 Ley horaria del movimiento

Las cinco integrales independientes obtenidas hasta aquı nos dan unicamenteuna vision geometrica global de la orbita, pues determinan la curva, o trayecto-ria, que recorre el orbitador, pero no determinan la posicion del mismo en cada

7Las unidades mas adecuadas para orbitas terrestres son el radio ecuatorial r� y el minuto.8Las unidades mas adecuadas para orbitas alrededor del Sol son la unidad astronomica (U.A.)

que representa la distancia media de la Tierra al Sol y el dıa medio. A veces se puede usar elano.

Ley horaria del movimiento 131

instante de tiempo. Para obtener esta posicion sera preciso determinar el valor dela distancia r en funcion del tiempo t o bien, de forma alternativa, el valor de laanomalıa verdadera f en funcion de t. Para ello sera necesario encontrar e integrarla relacion diferencial de r o f con t obtenida a partir de la ley de las areas quees, dentro de las leyes de Kepler, la que establece la dinamica de la partıcula.

Las formulas (6.10) permiten expresar los vectores de posicion y velocidad enel plano orbital: x = ru, X = ru + rfv. Donde hemos tomado como eje Ox ladireccion del vector de Laplace y por tanto el angulo polar ✓ es ahora la anomalıaverdadera f .

De esta forma, si consideramos unicamente orbitas no colineales (G 6= 0),podremos poner

G = x⇥X = r2fn,

luegor2f = G =

pµ p . (8.13)

Teniendo en cuenta el valor de la constante G, esta relacion, llamada ley de lasareas, nos dara la clave para la descripcion de la evolucion temporal del movi-miento.

La posicion de la partıcula en cada instante viene dada por sus coordenadaspolares r y f , luego conocida la variacion de estas con el tiempo, conoceremos laultima integral y quedara resuelto el problema que nos ocupa.

A partir de la relacion r = p/(1+ e cos f), dada en (8.8), puede obtenerse porsimple derivacion

r =pe sen ff

(1 + e cos f)2=

e

pr2f sen f,

y teniendo en cuenta (8.13) podemos poner

r =Ge

psen f, (8.14)

que nos dara la variacion horaria de r con respecto al tiempo en funcion de laanomalıa verdadera f .

Ademas, si podemos integrar (8.13), obtendremos la variacion de f con eltiempo y por tanto la ley horaria del movimiento.

8.5.1 Formulacion regularizada del movimiento kepleriano

Para realizar esta integracion de una manera mas sencilla introduciremos uncambio de escala de tiempo, o cambio de variable, que regulariza la ecuacion dife-rencial en r, esto es, la convierte en un sistema lineal de orden dos con coeficientesconstantes. Para ello definiremos un nuevo tiempo s por medio de la ecuacion deSundman:

r d s = d t. (8.15)


Si tomamos como origen del nuevo tiempo el instante T de paso por el periastro,y elegimos s de forma que valga cero en el instante T , se tendra la relacion

s(t) =

Z

t

T

d ⌧

r(⌧), s(T ) = 0. (8.16)

El instante T corresponde al valor de f = 0, por lo que podremos poner

r(T ) = rp

=p

1 + e, r(T ) = 0. (8.17)

Si denotamos con un punto la derivada respecto a t y con tilde la derivadarespecto a s podremos poner:

ds

dt= s =

1

r(t),

dt

ds= t0 = r(s).

(8.18)

De acuerdo con la primera de las expresiones (8.18) podemos decir que s esestrictamente creciente con t. Por otro lado, integrando la segunda podremosponer

(t� T ) =

Z

s

0

r(s)d s. (8.19)

En otras palabras, (8.16) tiene una unica inversa dada por (8.19).

La regla de la cadena permite calcular facilmente la derivada respecto a s deun elemento cualquiera �, que podra ponerse como

�0 = � t0 = r �,

lo que permite expresar las ecuaciones del movimiento relativo (7.24) en la forma

x

0 = rX, X

0 = � µ

r2x. (8.20)

Por otro lado, si recordamos la relacion r r = x ·X, podremos poner

r0 = r r = x ·X,

lo que nos permite decir, por un lado, que r0(s = 0) = 0, y por otro, derivando denuevo

r00 = x

0 ·X + x ·X 0 = rX ·X � µ

r2x · x = rv2 � µ.

Por ultimo, sustituyendo el valor de v2 por el que se deduce de (8.5) se llegafacilmente a la ecuacion

r00 � 2h r = µ, (8.21)

que es una ecuacion lineal de segundo orden de coeficientes constantes que nosservira para encontrar la posicion de la partıcula en cualquier instante. Aunquepuede encontrarse una solucion de (8.21) valida para cualquier tipo de movi-miento, buscaremos en primer lugar soluciones particulares que seran validas, porseparado, para cada tipo distinto de orbita.


8.5.2 Caso parabolico

En este caso h = 0 y por tanto la ecuacion (8.21) se transforma en

r00 = µ.

De esta forma, una primera integracion nos dara

r0 = µs+ C1

,

donde C1

tomara el valor cero por ser r0(s = 0) = 0. Por ultimo

r =µ

2s2 + C

2

,

de donde C2

= p/2 puesto que r(s = 0) = r(T ) = p/2. Por tanto, la solucionpodra ponerse como

r =1

2(µs2 + p). (8.22)

De acuerdo con esto, la cuadratura (8.19) puede ser facilmente calculada obte-niendose

2(t� T ) =µ

3s3 + ps, (8.23)

relacion conocida en Mecanica Celeste como ecuacion de Barker.

En el caso parabolico se tiene e = 0 y por tanto

r =p

1 + cos f=

p

2(1 + tan2

f

2).

Comparando esta expresion con (8.22) obtendremos

tan2f

2=

µs2

p.

No existira ambiguedad de signo al extraer la raız cuadrada si pensamos que s espositivo cuando t > T o, lo que es igual, cuando f es positivo. Por tanto, podemosponer

tanf

2=

r

µ

ps, (8.24)

y por ultimo

2

r

µ

p3(t� T ) =

1

3tan3

f

2+ tan

f

2. (8.25)

Para invertir esta relacion basta definir dos angulos f1

, f2

, tales que

tanf

2= 2 cot 2f

1

= cot f1

� tan f1

,

tan3 f1

= tanf2

2,


y de esta forma

tan3f

2= cot

f2

2� tan

f2

2+ 3(tan f � cot f) = 2 cot f

2

� 3 tanf

2,

luego finalmente se tendra

2

r

µ

p3(t� T ) =

2

3cot f

2

,

relacion que permite obtener a partir de t, f2

y posteriormente f1

y f .

8.5.3 Caso elıptico

En el caso elıptico (�2h) > 0 y la solucion de la ecuacion (8.21) podra ponersecomo

r = a+ C1

cos(p�2hs+ C

2

), (8.26)

donde C1

, C2

son las constantes de integracion, y a = �µ/2h es el semieje mayorde la elipse. Derivando la expresion de r se tendra

r0 = �C1

p�2h sen(

p�2hs+ C

2

).

Sustituyendo los valores iniciales y teniendo en cuenta que, en este caso, la dis-tancia en el periastro es r

p

= a(1� e) se obtendran las relaciones:

C1

cosC2

= �a e, C1

senC2

= 0,

de donde se deduce que C1

= �a e, C2

= 0 y por tanto

r = a(1� e cos[p�2hs]). (8.27)

De acuerdo con esta relacion la cuadratura (8.19) podra ponerse como

1

a(t� T ) =

Z

s

0

(1� e cos[p�2hs]) d s = 1p

�2h

hp�2hs� e sen(

p�2hs)

i

.

En la expresion anterior puede observarse la necesidad de introducir una nuevavariable, E =

p�2hs, que sera llamada anomalıa excentrica. De esta forma, la

ecuacion anterior se podra poner comop�2ha

(t� T ) = E � e senE.

Por otro lado, introduciendo una constante n > 0, por medio de la expresion

µ = n2a3, (8.28)

y teniendo en cuenta la relacion µ = (�2h)a, podremos poner

n(t� T ) = ` = E � e senE, (8.29)


que sera llamada ecuacion de Kepler y donde hemos introducido la anomalıamedia ` = n(t� T ).

Si tenemos en cuenta la relacion (8.28) y la comparamos con la tercera ley deKepler del movimiento elıptico (8.12) podemos deducir que

n =2⇡

P,

es decir, n representarıa la velocidad angular si el movimiento fuese circular, convelocidad angular constante, por ello, llamaremos a n movimiento medio y enadelante podremos llamar tercera ley de Kepler tanto a (8.12) como a (8.28).

La definicion de anomalıa excentrica y la expresion (8.27) permiten expresarr en funcion de E en la forma

r = a(1� e cosE). (8.30)

Para establecer la relacion entre la anomalıa verdadera y la anomalıa excentrica,basta tener en mente las relaciones

r =a(1� e2)

1 + e cos f= a(1� e cosE),

de donde, despejando cos f , se tiene

cos f =cosE � e

1� e cosE, (8.31)

lo que permite poner

2 sen2f

2= 1� cos f =

(1 + e)(1� cosE)

1� e cosE=

1 + e

1� e cosE2 sen2

E

2,

2 cos2f

2= 1 + cos f =

(1� e)(1 + cosE)

1� e cosE=

1� e

1� e cosE2 cos2

E

2,

O

P 0

P

fE

Figura 8.3: Relacion entre las anomalıas verda-dera y excentrica

y dividiendo ambas igualdades seobtiene finalmente

tanf

2=

r

1 + e

1� etan

E

2, (8.32)

que es la formula mas frecuente-mente empleada para relacionarlas dos anomalıas, pues es facil-mente invertible y porque el usode la tangente del angulo mitadnos asegura el cuadrante correctoen la obtencion de la anomalıa.


Las relaciones entre estas anomalıas permiten comprobar el significado geome-trico de E que puede verse en la figura 8.3. En efecto, un punto P 0 en una circun-ferencia de radio a, cuya coordenada x coincida con la del astro P en su orbita,forma un angulo E con el eje de la elipse, medido este desde el centro de la elipse.

Las distintas anomalıas en un problema kepleriano elıptico representan varia-bles angulares que recorren un arco igual a 2⇡ mientras t recorre todo un periodoP .

Puede verse facilmente que en el movimiento circular las tres anomalıas coin-ciden.

8.5.4 Resolucion de la ecuacion de Kepler

El calculo de la anomalıa media ` a partir de la excentrica E es inmediato poraplicacion directa de la ecuacion de Kepler. Sin embargo, no lo es el caso inverso.No existe ninguna expresion algebraica cerrada que nos resuelva este problema,por lo que obtendremos de manera separada las dos aproximaciones posibles almismo. Por un lado, la resolucion numerica de la ecuacion de Kepler, por otro, suresolucion por medio de un desarrollo en serie.

Por la simplicidad de la ecuacion de Kepler, bastara en general, salvo para ex-centricidades muy grandes, utilizar el metodo de Newton–Raphson para el calculoaproximado de raıces de una ecuacion no lineal.

Si queremos encontrar la solucion de la ecuacion �(x) = 0 y x0

es un valoraproximado de dicha solucion, el metodo de Newton–Raphson nos asegura que lasucesion de numeros

xn

= xn�1

� �(xn�1

)

�0(xn�1

), (8.33)

converge a la raiz de la ecuacion �(x) = 0.

En nuestro caso, la ecuacion es

�(E) = `� E + e senE = 0.

Para excentricidades pequenas el valor de E debe ser proximo a `, por lo queen general sera suficiente tomar E

0

= `, o bien E0

= ` + e sen `, y construir lasucesion:

En

= En�1

+`� (E

n�1

� e senEn�1

)

1� e cosEn�1

, (8.34)

que converge al valor deseado.

De acuerdo con la ecuacion de Kepler, y en las condiciones del teorema de lafuncion implıcita, E puede ser vista como funcion de e y `, desarrollable en seriede potencias de e en la forma

E(e, `) =X

j�0

@jE

@ej

�

�

�

�

e=0

ej

j!.


Basta encontrar las derivadas de E respecto a la excentricidad y particularizar suvalor para e = 0 para obtener los coeficientes de dicho desarrollo.

De acuerdo con la ecuacion de Kepler se tendra

E � e senE = ` =) (E)e=0

= `,

y derivando sucesivamente la misma ecuacion obtendremos

@E

@e� senE � e cosE

@E

@e= 0 =) @E

@e

�

�

�

�

e=0

= sen `,

para la derivada primera,

@2E

@e2� cosE

@E

@e� cosE

@E

@e+ e senE(

@E

@e)2 � e cosE

@2E

@e2= 0 =)

@2E

@e2

�

�

�

�

e=0

= 2 sen ` cos ` = sen 2`,

para la derivada segunda, etc.

Finalmente obtenemos

E = `+ e sen `+e2

2sen 2`+

e3

8(sen 3`� sen `) + . . .

y reordenando terminos, tomando hasta orden 5 en e, se obtiene

E � ` = (e� e3

8+

e5

192+ . . .) sen `+

(e2

2+

e4

6+

e6

32+ . . .) sen 2`+

(3e3

8� 27e5

128+ . . .) sen 3`+

(e4

3+ . . .) sen 4`+

(125e5

384+ . . .) sen 5`+ . . .

Hay que hacer notar que la serie anterior no es absolutamente convergente, porlo que la reordenacion de terminos efectuada modifica el radio de convergencia,siendolo unicamente para e < 0.6627. Ademas, la convergencia es muy lenta, porlo que tendra muy poca aplicacion practica si los valores de la excentricidad noson muy pequenos.

Aunque hemos obtenido unicamente la expresion de E como desarrollo en seriede potencias de e, de manera similar podemos obtener desarrollos de senE y cosEy a partir de estos podemos expresar cualquier funcion de la forma

⇣ r

a

⌘

n

,⇣ r

a

⌘

n

cosmf,⇣ r

a

⌘

n

senmf,


para n,m enteros cualesquiera, dando lugar a los desarrollos de Hansen que per-miten expresar explıcitamente cualquier variable del movimiento orbital elıpticocomo funcion de `, y por tanto de t.

8.5.5 Caso hiperbolico

En este caso h > 0 y la solucion de (8.21) se expresara como

r = �a+ C1

cosh(p2h s+ C

2

),

donde C1

, C2

son las constantes de integracion y a = µ/2h el semieje mayor de lahiperbola. Derivando tenemos:

r0 =p2hC

1

senh(p2h s+ C

2

),

r00 = 2hC1

cosh(p2h s+ C

2

),

de donde, sustituyendo los valores iniciales y teniendo en cuenta que la distanciaen el periastro es ahora r

p

= a(e� 1), se tendran las relaciones:

C1

cosh(C2

) = a e, C1

senh(C2

) = 0,

de las cuales deducimos que C1

= a e, C2

= 0, y por ultimo

r = a(e cosh[p2h s]� 1). (8.35)

De acuerdo con esta relacion, la cuadratura (8.19) podra ponerse como

1

a(t� T ) =

Z

s

0

(e cosh[p2h s]� 1)d s =

1p2h

[e senh(p2h s)�

p2h s].

Si introducimos la nueva variable F =p2h s podremos poner

p2h

a(t� T ) = e senhF � F.

Por otro lado si introducimos, al igual que en el movimiento elıptico, una constanten tal que µ = n2a3, y teniendo en cuenta la relacion µ = 2ha, podremos ponerfinalmente

n(t� T ) = ` = e senhF � F. (8.36)

La ecuacion anterior sera llamada, por extension, ecuacion de Kepler del mo-vimiento hiperbolico. Notese que aquı el movimiento medio n no tiene el mismosignificado que en el caso elıptico por no ser la orbita periodica, sin embargo, larelacion µ = n2a3 extiende al movimiento hiperbolico la tercera ley de Kepler.

La relacion de r con F quedara establecida a partir de (8.35) como

r = a(e coshF � 1). (8.37)


Para establecer la relacion con f bastara recordar que

r =a(e2 � 1)

1 + e cos f= a(e coshF � 1),

de donde, despejando cos f tendremos

cos f =e� coshF

e coshF � 1.

Por ultimo, pasando al angulo mitad como en el caso elıptico, se llega a

tanf

2=

r

e+ 1

e� 1tanh

F

2,

despues de tomar la raız positiva al no existir ambiguedad si consideramos quecuando t > T , tanto f como F son positivas.

Para invertir la ecuacion de Kepler en el caso hiperbolico usaremos tambienel metodo de Newton con la iteracion dada por (8.33). En este caso, tendremos

�(F ) = `+ F � e senhF = 0,

y por tanto, considerando solo el caso de F y ` positivo, pues el negativo essimetrico, la sucesion para invertir la ecuacion sera

Fn

= Fn�1

+`+ (F

n�1

� e senhFn�1

)

e coshFn�1

� 1. (8.38)

Para encontrar el valor inicial de la sucesion F0

expresaremos la ecuacion deKepler del movimiento hiperbolico (8.36) en terminos de la funcion exponencialen lugar del seno hiperbolico

e

2exp(F ) +

e

2exp(�F )� F � ` = 0. (8.39)

Si suponemos que F no es demasiado pequeno podemos admitir que el suman-do e exp(F )/2 es mucho mayor que e exp(�F )/2� F y que, por tanto, podremos

ponere

2exp(F )� ` ⇡ 0, luego podemos tomar como valor inicial

F0

= Log

✓

2`

e

◆

.

Se ha comprobado que el numero de iteraciones se reduce si en lugar de este valorinicial se toma

F0

= Log

✓

2`

e+ k

◆

, k > 0,

lo que proviene de no despreciar totalmente el termino F de (8.39). Un valoroptimo de k es el valor k = 1.8.

Capıtulo 9

Orbitas keplerianas

9.1 Caracterizacion de las orbitas keplerianas

Llamaremos orbita kepleriana, y la denotaremos con el sımbolo O, a la solucionde las ecuaciones del problema kepleriano (8.1) para unas condiciones inicialesdadas. Entenderemos por orbita, no solo la trayectoria del orbitador, sino todossus parametros, tanto estaticos o constantes, como dinamicos o variables.

Las ecuaciones del problema kepleriano (8.1) constituyen un sistema de seisecuaciones diferenciales de orden uno. De acuerdo con la teorıa de ecuaciones dife-renciales ordinarias una solucion de dicho sistema vendra dada como x = x(t,C),donde C = (C

1

, C2

, C3

, C4

, C5

, C6

) representa un vector de seis constantes in-dependientes que llamaremos variables de estado porque permiten determinarcualquier parametro de la orbita en cualquier instante, es decir, caracterizan laorbita.

Los seis elementos que componen las variables de estado son constantes dela orbita o variables dinamicas particularizadas para un instante dado. En esteultimo caso hay que dar el valor de estas ası como el instante t

0

en que han sidocalculadas.

Una vez determinado el conjunto de variables de estado, la orbita quedara ca-racterizada por este y pondremos O(C) si los elementos del vector de estado sonconstantes de la orbita y O(t

0

,C) si son variables particularizadas en t0

.

Las variables de estado pueden ser elegidas de diversas maneras. La mas na-tural, desde el punto de vista de las ecuaciones diferenciales, es a traves de losvalores del vector de posicion, x

0

, y velocidad, X0

, para un instante dado. Al

142 Orbitas keplerianas

vector de dimension seis, compuesto por las componentes de los vectores x

0

yX

0

, se le llama vector de estado. De esta forma una orbita kepleriana podra serrepresentada como O(t

0

,x0

,X0

).

Cada aspecto y propiedad de una orbita kepleriana O puede ser representa-do por un parametro orbital o variable dinamica. Estos parametros pueden serconstantes, como la excentricidad e o la norma del momento angular G, o varia-bles, como el vector de posicion x o la anomalıa verdadera f . Una vez conocidoslos seis o siete elementos que caracterizan la orbita, esta queda completamentedeterminada junto con todos sus parametros.

En el caso de que un parametro, que de forma generica llamaremos �, seaconstante, utilizaremos la notacion �(O), pues este parametro solo depende dela orbita, sin embargo, cuando el parametro sea variable dependera a su vez delinstante o epoca orbital ⌧ en que sea calculado, por lo que pondremos �(⌧,O).

Ası como la orbita se podıa caracterizar por distintos conjuntos de elemen-tos, el instante en que calculamos un parametro orbital variable tambien puederepresentarse en distintas formas:

tiempo absoluto t,

tiempo relativo al periastro t� T ,

anomalıa media `,

anomalıa excentrica E,

anomalıa verdadera f ,

alguna posicion particular: periastro, apoastro, nodo, etc.

Conociendo uno cualquiera de los elementos anteriores y la propia orbita, losalgoritmos vistos en el capıtulo anterior permiten obtener los demas, por lo quecualquiera de ellos caracteriza el instante o epoca orbital ⌧ .

Las variables de estado constituyen un conjunto de seis elementos indepen-dientes entre si, sin embargo, cuando comparamos dos conjuntos de variables deestado deberan existir relaciones de dependencia entre ambos, pudiendose obtenerlos primeros en funcion de los segundos y viceversa. Hay que tener en cuenta quecualquiera de las variables de estado es un parametro orbital y por lo tanto debeser posible su obtencion en funcion de cualquier otro conjunto de variables deestado.

En lo que sigue veremos varios conjuntos distintos de variables de estado.Ademas del vector de estado estudiaremos tambien los elementos orbitales y variosconjuntos de variables derivados de ellos, ası como las variables de Delaunay y lasvariables polares-nodales. La demostracion de que dichos conjuntos representanvariables de estado de la orbita vendra de obtener cada conjunto de elementos enfuncion de otro que ya lo sea y viceversa.

Elementos orbitales ordinarios 143

9.2 Elementos orbitales ordinarios

La integracion de este problema, vista en el capıtulo anterior, conduce a laobtencion de seis constantes,G,A, que caracterizan muchas de las propiedades delmovimiento kepleriano. Ya hemos visto que entre estos vectores existe una relacionfuncional, luego no definen un conjunto de variables de estado sino que representanunicamente cinco de los seis elementos necesarios. Sin embargo, ninguno de estoscinco elementos representa directamente las propiedades de la orbita por lo que suuso no sera de utilidad practica. En su lugar usaremos algunos de los parametrosque definen la geometrıa de la trayectoria. El sexto elemento debera anadirsedespues de considerar algun parametro relacionado con la dinamica del orbitador.

En primer lugar tomaremos los dos elementos que caracterizan la forma de laconica, esto es, el semieje mayor a (o el semilado recto1 p) y la excentricidad e.En el caso de orbitas de cometas suele sustituirse el semieje a por una cantidad,q, que representa la distancia del cometa al Sol en el perihelio. La distancia enel perihelio vale q = r

p

= a(1 � e), por lo que conocido q puede hallarse a ypor tanto a puede sustituirse por q. Para satelites artificiales se sustituye el parde elementos a, e, por la mınima y maxima altitud r

m

, rM

, del satelite sobre lasuperficie terrestre. La relacion de estas cantidades con la distancia en el perigeo yel apogeo viene dada por r

p

= rm

+r�, ra = rM

+r�, y a partir de ellos podemosobtener a = (r

a

+ rp

)/2, e = (ra

� rp

)/(ra

+ rp

).

Las variables a y e, o cualquiera de sus variantes, caracterizan la forma ydimensiones de la conica. Para completar la informacion sobre la trayectoria ne-cesitaremos situarla en el espacio, para lo cual basta observar la figura 9.1 yrecordar que la orbita esta contenida en un plano perpendicular al vector G o, loque es igual, a su direccion n. Supondremos, por ahora, que la orbita no coincidecon el plano Oxy del sistema espacial, esto es, que n⇥ e

3

6= 0.

Puesto que el plano de la orbita y el plano fundamental del sistema espacialOxy no son paralelos, necesariamente se cortaran en una recta que pasa por O ypertenece a ambos planos y que llamaremos lınea de los nodos. Tomaremos comodireccion positiva de dicha recta la que contiene el nodo ascendente, o punto dela orbita en el que el orbitador pasa de coordenadas z negativas a positivas. Elvector unitario l define la lınea de los nodos y forma un angulo ⌦, angulo delnodo, con e

1

. El angulo ⌦ puede tomar cualquier valor entre 0 y 2⇡.

El angulo que forman el vector n con e

3

sera llamado inclinacion, y denotadopor i, y representa tambien el angulo entre el plano Oxy y el de la orbita. Elangulo i puede tomar un valor cualquiera entre 0 y ⇡.

El vector n representa tambien el sentido de la rotacion de la partıcula al-rededor del eje definido por n pues, debido a su definicion, esta tiene siemprelugar en sentido contrario a las agujas del reloj si se observa desde el extremode n. Ası pues, el angulo que forma n con e

3

indica tambien el sentido de giro

1Recordemos que el semieje mayor no esta definido para la parabola.


O

P

x A

l

u

a

n

e

1

e

2

e

3

⌦

!

fi

i

Figura 9.1: Orbita kepleriana en el espacio.

observado desde un punto cualquiera de la parte positiva del eje Oz. Un angulo ientre 0 y ⇡/2 indicara una orbita directa (sentido de giro contrario a las agujas delreloj), mientras que una inclinacion entre ⇡/2 y ⇡ indicara una orbita retrograda(sentido de giro igual al de las agujas del reloj). De esta forma, podemos separarel sentido de giro observado de la dinamica del sistema, en la que consideraremossiempre f > 0, esto es, una anomalıa verdadera estrictamente creciente.

Los dos angulos ⌦, i representan la posicion del plano de la orbita en el espacio,pero para poder situar con exactitud la conica en el espacio hay que situar ladireccion del eje de la conica dentro de su plano. El eje de la conica lleva ladireccion de la lınea de los apsides, a, que forma un angulo ! con la lınea de losnodos. Dicho angulo sera llamado argumento del periastro, representa la posicionrelativa de la conica en su plano y es la tercera variable angular de la orbita. Elargumento del periastro toma un valor cualquiera entre 0 y 2⇡.

Cuando la inclinacion de la orbita vale cero, la lınea de los nodos no esta defi-nida, por lo que tampoco lo estaran ⌦ ni !. En esta ocasion tiene sentido definirel angulo entre la direccion de e

1

y la de a, angulo que llamaremos longitud delperiastro !. Notese que dicho parametro tiene tambien sentido para orbitas deinclinacion no nula sin mas que definirlo como ! = ⌦+ !.

Por otro lado, cuando e = 0, queda indefinido a y por tanto quedan indefinidos! y !. Para eliminar esta indefinicion se introduce la longitud media a traves dela relacion � = !+ ` = ⌦+ !+ `, que contiene la anomalıa media `, y que quedadefinida, tanto para orbitas circulares, como para cualquier otro tipo de orbita.

Variables no singulares 145

Se han completado ası los cinco elementos que caracterizan la forma, dimen-siones y situacion en el espacio de la orbita. Para caracterizar su dinamica bastaconsiderar la constante T que indica la epoca en la que el orbitador pasa por elperiastro. Aunque el elemento T es constante hay que tener en cuenta que, paraorbitas elıpticas, este varıa de una vuelta a otra aumentando en una cantidadigual al periodo orbital P . Ademas, de la misma forma que se sustituyen a y e,puede sustituirse T por � = �nT . Otra alternativa, muy frecuentemente usadapara definir la sexta constante, es el valor de la anomalıa media, `

0

, en un ciertoinstante t = t

0

.

Llamaremos elementos orbitales al conjunto de seis constantes (a, e, i,⌦,!, T ),sin embargo, en ocasiones, atendiendo a las caracterısticas de la orbita puedenmodificarse estos y sustituirse por algunos de los valores alternativos anteriores.Por ejemplo, para el estudio de orbitas planetarias, que tienen inclinaciones yexcentricidades muy pequenas, suele utilizarse, en lugar de los elementos orbitalesel conjunto de constantes (a, e, i,⌦, !,�

0

), donde �0

es la longitud media en uninstante inicial t

0

dado.

La equivalencia entre los elementos orbitales y los elementos (t0

,x0

,X0

), que-dara probada si demostramos que unos se pueden obtener a partir de los otros y vi-ceversa, lo que comprobaremos posteriormente en este mismo capıtulo. Por tanto,la orbita se puede caracterizar como O(a, e, i,⌦,!, T ) o bien como O(t

0

,x0

,X0

).A partir de esta equivalencia, para probar que cualquier otro conjunto de seisconstantes o de seis constantes y variables, junto con el instante en que se hanmedido o calculado, caracterizan la orbita O basta comprobar su equivalencia conlos elementos orbitales.

9.3 Variables no singulares

El problema que aparece cuando la excentricidad, e, o la inclinacion, i, tomanvalores muy pequenos o cero, no es tanto la indefinicion de las variables, sino laaparicion de singularidades debidas a la existencia de terminos en e y sen i en losdenominadores de las ecuaciones que expresan el movimiento orbital perturbado.Para evitar este tipo de singularidades se introduce un nuevo conjunto de variablesque son llamadas variables equinocciales o variables no singulares y que se definenpor medio de las expresiones:

a, h = e sen !, k = e cos !,

� = ! + `0

, p = tani

2sen⌦, q = tan

i

2cos⌦.

(9.1)

Estas variables2 han sido definidas, en ocasiones, a traves de terminos en tan io sen i en lugar de tan i/2, sin embargo, esto introduce otro tipo de singularidadespara orbitas de inclinacion i = 90�. Las variables, tal como las hemos definido

2No confundir la h de las variables equinocciales con la energıa de la orbita.


nosotros, son validas para 0 i < 180�. Otro conjunto de variables similar, que seusa para orbitas retrogradas, son las llamadas variables equinocciales retrogradas,definidas por las relaciones

a, hr

= e sen !, kr

= e cos !,

� = ! + `0

, pr

= coti

2sen⌦, q

r

= coti

2cos⌦,

(9.2)

validas para 0 < i 180�.

9.4 Sistemas de referencia orbitales

Hemos dedicado la primera parte de este libro al estudio de los sistemas de re-ferencia espaciales cuyo conocimiento es imprescindible para ubicar con precisionla posicion de cualquier cuerpo en el espacio. Las caracterısticas del movimientoorbital hacen necesaria la introduccion de nuevos sistemas de referencia, adap-tados a este problema, donde se formulen, de manera sencilla, algunos de losparametros del mismo. En las figuras (9.2), (9.3), (9.4), (9.5), (9.6), se represen-taran con lınea discontinuas tanto los vectores de la base del sistema de referenciacomo el octante que estos forman. Asimismo, en lugar de la orbita y el ecuador(o la eclıptica en su caso) se representara su proyeccion en una esfera unidad, porlo que todos los vectores mostrados seran unitarios, incluida la posicion x que sesustituira por su direccion u.

9.4.1 Sistema espacial

↵(�)

�(�)

e

1

e

2

e

3

u

n

Figura 9.2: Sistema espacial {e1, e2, e3}.Coordenadas astronomicas del orbitador.

Para la integracion del problemade los dos cuerpos hemos supuestoque estamos refiriendo todos los vec-tores a un sistema de referencia iner-cial, con centro en el cuerpo centralde la orbita, al que llamaremos siste-ma espacial3 y que denotaremos S ={e

1

, e2

, e3

}. En este sistema los vec-tores de posicion y velocidad se expre-saran como:

x = x e1

+ y e2

+ z e3

,X = X e

1

+ Y e

2

+ Z e

3

,(9.3)

o lo que es igual, con la notacion introducida en el capıtulo 2, pondremos:

xS =

0

@

xyz

1

A , XS =

0

@

XYZ

1

A . (9.4)

3En el caso de orbitas de satelites este sera el sistema SG

(SP

) descrito en la pagina 59.

Sistemas de referencia orbitales 147

Si la orbita representada es la de un satelite artificial, o un satelite natural (lu-na) en torno a un planeta, el sistema espacial adecuado sera un sistema ecuatorialy por tanto podremos poner

xS = cart(r,↵, �), (9.5)

donde ↵, � representan la ascension recta y declinacion. El sistema espacial masadecuado, en el caso de orbitas en torno al Sol, sera eclıptico y por tanto pondre-mos

xS = cart(r,�,�), (9.6)

donde �,� representan la longitud y latitud eclıptica respectivamente.

De aquı en adelante supondremos, salvo que se indique lo contrario, orbitasde satelites expresadas en un sistema ecuatorial en la forma (9.5).

9.4.2 Sistema nodal–espacial

e

1

e

3

u

n

l

e

3

⇥ l

↵� ⌦

�

Figura 9.3: Sistema nodal–espacial {l, e3 ⇥l, e3}.

Sustituiremos la direccion de e

1

como origen de coordenadas por la delvector l que representa la direccion dela lınea de los nodos. De esta forma,tendremos un nuevo sistema de refe-rencia, P = {l, e

3

⇥ l, e3

}, que lla-maremos sistema nodal–espacial. Esfacil observar que el paso del sistemaespacial al sistema nodal–espacial seefectua por medio de una matriz degiro que realiza una rotacion elemen-tal de eje Oz y angulo ⌦.

GSP = R3

(⌦). (9.7)

Como puede observarse en la figu-ra 9.3 las coordenadas polares del vector x, en el sistema espacial–nodal, son(r,↵� ⌦, �), por lo que podremos escribir

xP = cart(r,↵� ⌦, �) =

0

@

r cos � cos(↵� ⌦)r cos � sen(↵� ⌦)r sen �

1

A . (9.8)

9.4.3 Sistema nodal

A partir de la direccion n del momento angular G, esto es G = Gn, y dela lınea de los nodos l, que es perpendicular a n, podemos definir un sistemade referencia ortogonal directo N = {l,m,n}, que llamaremos sistema nodal,introduciendo el vector m = n⇥ l.


e

1

e

2

e

3

u

n

l

m

! + f

Figura 9.4: Sistema nodal {l,m,n}.

Facilmente se observa en la figura9.4 que para pasar del sistema nodal-espacial al nodal basta girar alrededorde l un angulo igual a la inclinacioni, por tanto tendremos

GPN = R1

(i). (9.9)

Finalmente, para obtener la ma-triz de giro del sistema espacial al no-dal basta combinar las dos anteriores,obteniendose

GSN = GSPGPN = R3

(⌦)R1

(i).(9.10)

Las columnas de la matriz de rotacion GSN representan las componentes delos vectores de la base final (nodal) en terminos de la inicial (espacial), por ello,podremos poner:

l = cos⌦ e

1

+ sen⌦ e

2

,m = � cos i sen⌦ e

1

+ cos i cos⌦ e

2

+ sen i e

3

,n = sen i sen⌦ e

1

� sen i cos⌦ e

2

+ cos i e

3

.(9.11)

Usando este sistema de referencia puede encontrarse una expresion sencillade las coordenadas ecuatoriales de un satelite artificial. En efecto, basta tener encuenta que el angulo entre l y x es igual a ! + f y por tanto podremos poner

xN = cart(r,! + f, 0) =

0

@

r cos(! + f)r sen(! + f)

0

1

A . (9.12)

Si ademas tenemos en cuenta la relacion xP = GPNxN = R1

(i)xN , ası como laexpresion (9.8), obtendremos finalmente

0

@

cos � cos(↵� ⌦)cos � sen(↵� ⌦)sen �

1

A =

0

@

cos(! + f)cos i sen(! + f)sen i sen(! + f)

1

A , (9.13)

o bien, de forma mas precisa:

↵� ⌦ = polar�

(R1

(i)xN ),

� = polar�

(R1

(i)xN ),(9.14)

que nos da las coordenadas astronomicas del orbitador en terminos de los elemen-tos orbitales y las funciones polar

�

,polar�

definidas en (1.32).

Dividiendo entre si las dos primeras componentes de (9.13) llegamos a lasrelaciones:

sen � = sen i sen(! + f),

tan(↵� ⌦) = cos i tan(! + f).(9.15)

Sistemas de referencia orbitales 149

9.4.4 Sistema apsidal

e

1

e

2

e

3

u

n

l

a

b

!

Figura 9.5: Sistema apsidal {a, b,n}.

Si usamos la lınea de los apsidescomo eje Ox, en lugar de la lınea delos nodos, definiremos un nuevo siste-ma de referencia que llamaremos sis-tema apsidal. Para ello, tendremos encuenta que los vectores a y n son or-togonales y, por tanto, podemos defi-nir el vector b = n⇥a y con el el sis-tema de referencia ortogonal directoA = {a, b,n} que sera llamado siste-ma apsidal.

El sistema apsidal tiene el mismoeje Oz que el nodal y los vectores a, bestan girados un angulo ! respecto del,m. Por ello, la matriz de giro del

sistema nodal al apsidal vendra dada por

GNA = R3

(!),

por lo que la relacion entre los vectores de ambas bases vendra dada por lasexpresiones:

a = cos! l + sen! m,b = � sen! l + cos! m.

(9.16)

Finalmente la matriz de giro del sistema espacial al apsidal vendra dada por

GSA = R3

(⌦)R1

(i)R3

(!).

Si tenemos en cuenta las propiedades de las conicas y que la lınea de los apsidesrepresenta el eje de coordenadas polares podremos poner

xA = cart(r, f, 0) =

0

@

r cos fr sen f

0

1

A . (9.17)

9.4.5 Sistema orbital

Tanto el sistema nodal como el apsidal representan sistemas fijos y, por tanto,inerciales. Sin embargo, en ocasiones es conveniente usar otro, que sera movil,pero cuyo eje Ox coincida con la direccion radial. Para ello, llamaremos u alvector unitario en la direccion radial, de forma que x = ru, y v al definido porv = n⇥ u. Al sistema U = {u,v,n} le llamaremos sistema orbital.


e

1

l

e

2

e

3

u

n

v

Figura 9.6: Sistema orbital {u,v,n}.

Los vectores (u,v) se obtienen apartir de (a, b) por medio de un giroalrededor de n y angulo f , y a partirde (l,m) por medio de un giro alre-dedor de n y angulo ! + f . Por estopodemos definir las siguientes matri-ces de giro:

GAU = R3

(f),

GNU = R3

(! + f),

GSU = R3

(⌦)R1

(i)R3

(! + f).

La expresion de los vectores delsistema orbital en funcion de los del sistema espacial vendra dada por:

u = (cos⌦ cos(f + !)� cos i sen⌦ sen(f + !)) e

1

+(sen⌦ cos(f + !) + cos i cos⌦ sen(f + !)) e

2

+sen i sen(f + !) e

3

,

v = �(cos⌦ sen(f + !) + cos i sen⌦ cos(f + !)) e

1

�(sen⌦ sen(f + !)� cos i cos⌦ cos(f + !)) e

2

+sen i cos(f + !) e

3

.

(9.18)

Teniendo en cuenta la definicion de u y la expresion del vector velocidad enel sistema orbital dada en (6.10) podremos poner:

x = ru ,X = ru + rfv ,

(9.19)

o lo que es igual

xU =

0

@

r00

1

A , XU =

0

@

rrf0

1

A . (9.20)

9.4.6 Sistema de Frenet

En Astrodinamica es muy usado otro sistema de referencia en el que el planoOxy tambien coincide con el plano del movimiento, pero en el que la direccionprincipal coincide con la del vector velocidad, tambien llamada direccion tangente.En efecto, el vector velocidad podra ponerse como X = v t, donde v es la normay t la direccion del vector velocidad o tangente a la trayectoria. Tomando ladireccion t como eje Ox y n como eje Oz, definiremos el sistema de referenciaortonormal directo F = {t,w,n} que sera llamado, de aquı en adelante, sistemade Frenet. Este sistema es tambien llamado triedro de Frenet.

Relaciones entre el vector de estado y los elementos orbitales 151

u

t

t

a

b

�

Figura 9.7: Angulo entre la direccion ra-dial y tangente o angulo de trayectoria devuelo.

La notacion empleada aquı no coin-cide con la usada habitualmente enMatematicas, pues la direccion defini-da por w, que nosotros llamaremos di-reccion normal a la tangente suele lla-marse normal y por ello se emplea lanotacion, n, mientras que la definidapor n, suele llamarse binormal y se de-nota b.

Si llamamos � (figura 9.7) al anguloentre u y t, medido en sentido directo,

con la orientacion definida por n, y tenemos en cuenta la expresion (1.25) tendre-mos

� = atan(t · u, t · v), (9.21)

que de acuerdo con la segunda de las expresiones (9.19) podra ponerse como

� = atan(r

v,rf

v). (9.22)

Al angulo � se le denomina angulo de trayectoria de vuelo.

9.5 Relaciones entre el vector de estado y los ele-mentos orbitales

Hasta aquı hemos visto la definicion de dos tipos de variables de estado: elvector de estado, formado por la posicion x

0

y la velocidad X

0

en un instantet0

y los elementos orbitales. En este apartado veremos las relaciones entre estosdos conjuntos de variables de estado que permitiran obtener cada uno de ellos enfuncion del otro.

La obtencion de los elementos orbitales a partir de una posicion y velocidadforma parte de un problema mas general llamado determinacion de orbitas queintenta obtener los elementos de una orbita kepleriana a partir de datos de obser-vacion de la misma. Al problema inverso que nos da la posicion y velocidad en uninstante a partir de los elementos orbitales le llamaremos calculo de efemerides.


9.5.1 Determinacion de la orbita a partir de las condicionesiniciales

Supongamos conocidas la posicion y la velocidad x

0

,X0

en un instante dadot0

, ası como la constante µ. Facilmente podemos obtener:

r0

= kx0

k,

G = x

0

⇥X

0

, G = kG k,

A = X

0

⇥G� µ

r0

x

0

, A = kA k,

h =1

2X

0

·X0

� µ

r0

.

Por tanto, aparte de las constantes de integracion G,A, h, hemos obtenido tam-bien los elementos:

e =A

µ, p =

G2

µ,

y segun que el valor de e sea menor o mayor que uno tendremos

a =

8

>

<

>

:

p

1� e2, si e < 1,

p

e2 � 1, si e > 1.

Una vez obtenida la forma de la orbita, buscaremos su posicion relativa en elespacio para lo cual encontraremos, en primer lugar, el valor de los vectores delsistema orbital (u

0

,v0

,n) para t = t0

, expresados en el sistema espacial, a partirde la expresiones:

u

0

=x

0

r0

, n =G

G, v

0

= n⇥ u

0

.

Si tenemos en cuenta la expresion del vector n dada en (9.11), podremos poner

sen⌦ sen i = n · e1

,� cos⌦ sen i = n · e

2

,cos i = n · e

3

,(9.23)

de donde:i = acos(n · e

3

),⌦ = atan(�n · e

2

,n · e1

),(9.24)

lo que nos da la inclinacion y el angulo del nodo de la orbita sin ningun tipo deambiguedad excepto en el caso en que la inclinacion es cero (o 180�), pues enton-ces la definicion de ⌦ = atan(0, 0) no tiene sentido. En este caso adoptaremos,por convenio, un valor ⌦ = 0. Ademas, puesto que conocemos A y A podemosobtener a = A/A y tener en cuenta la expresion de a en el sistema espacial que,

Relaciones entre el vector de estado y los elementos orbitales 153

particularizada para i = 0, nos da a = cos(! + ⌦) e1

+ sen(! + ⌦) e2

, por lo queen este caso tendremos

! = atan(a · e1

,a · e2

), (9.25)

que sustituira al argumento del periastro. Notese que esta expresion no es validapara inclinaciones distintas de 0� o 180�.

El calculo de ! para inclinaciones distintas de 0� o 180� se realizara a partirde las expresiones obtenidas de multiplicar por e

3

las expresiones de la base delsistema orbital en funcion de las del sistema espacial, esto es:

u

0

· e3

= sen i sen(! + f0

),v

0

· e3

= sen i cos(! + f0

),(9.26)

de donde obtenemos

(! + f0

) = atan (v0

· e3

,u0

· e3

) . (9.27)

Basta recordar que, de acuerdo con la definicion de la anomalıa verdadera, setiene:

a · u0

= cos f0

,a · v

0

= � sen f0

,(9.28)

luegof0

= atan(a · u0

,�a · v0

), (9.29)

lo que permite obtener !.

Una vez calculado f0

y conocido el tipo de orbita, las relaciones entre t y f ,obtenidas en el capıtulo 8, permiten obtener T sin mas que hacer t = t

0

.

Si la excentricidad es igual a cero , esto es A = a = 0, no pueden aplicarse lasrelaciones (9.25) ni (9.29). En este caso adoptaremos, por convenio, el valor a = l

si i 6= 0� o i 6= 180� y el valor a = e

1

= l si i = 0� o i = 180�.

9.5.2 Calculo de efemerides

El calculo de la posicion x y la velocidad X en un instante t a partir de loselementos orbitales puede obtenerse de manera inmediata formulando la rotacionque pasa del sistema espacial al orbital, esto es:

xS = GSUxU , XS = GSUXU ,

que, teniendo en cuenta las expresiones (9.20) y la expresion de la matriz de giroGSU , permiten escribir:

0

@

xyz

1

A = R3

(⌦)R1

(i)R3

(! + f)

0

@

r00

1

A ,

0

@

XYZ

1

A = R3

(⌦)R1

(i)R3

(! + f)

0

@

rrf0

1

A .

(9.30)


Finalmente basta recordar las expresiones de r, r y f en funcion de f , dadasen (8.8), (8.13), (8.14), y la relacion de f con t, dada en el capıtulo 8 para cadatipo de movimiento.

9.6 Interseccion de dos orbitas keplerianas

La busqueda de los posibles puntos de interseccion de dos orbitas kepleria-nas resulta de gran utilidad, tanto para detectar posibles colisiones (cometas oasteroides con la Tierra, satelites artificiales entre si, etc.), como para conocer elpunto donde encender los motores de una nave y modificar ası su orbita.

9.6.1 Pertenencia de un punto a una orbita

Antes de abordar este problema mas general resolveremos un pequeno proble-ma consistente en averiguar si una orbita kepleriana dada, O, pasa por un puntoP y si esto es ası, determinar el instante de paso.

Supongamos conocido el vector de posicion de P , xS , en el sistema espacialS y llamemos xA al mismo vector en el sistema apsidal. Las relaciones entre losdistintos sistemas orbitales vistas anteriormente permiten poner

xA = GASxS ,

donde GAS es la matriz de paso del sistema apsidal al espacial para dicha orbita.Las coordenadas polares esfericas de P en este sistema apsidal vendran dadas por:

rA = polarr

(GASxS ), �A = polar�

(GASxS ), �A = polar�

(GASxS ).

Si el punto P pertenece a la orbita O sus coordenadas polares esfericas enel sistema apsidal seran (r, f, 0), por lo que finalmente podremos establecer lascondiciones de pertenencia y el instante de paso con las siguientes condiciones:

Un punto P , de vector de posicion xS , pertenece a la orbita O si se cumplen,simultaneamente, las condiciones:

rA =p

1 + e cos(�A), �A = 0, (9.31)

siendo p y e el semilado recto y la excentricidad de la orbita O.

Si xS representa una direccion y no la posicion exacta de un punto, basta lasegunda de las condiciones anteriores para asegurar que la orbita pasa poralgun punto que tiene la direccion xS .

Interseccion de dos orbitas keplerianas 155

Si el punto P , de vector de posicion xS , pertenece a la orbita O el instantede paso del orbitador por ese punto puede calcularse a partir de su anomalıaverdadera f dada por la relacion

f = �A. (9.32)

Una vez establecidas las anteriores relaciones podemos abordar el calculo delpunto o puntos, si los hay, que pertenecen simultaneamente a dos orbitas O

1

,O2

.Distinguiremos dos casos segun que las orbitas sean coplanarias (mismo valor dei,⌦ y n, o no lo sean.

9.6.2 Interseccion de orbitas no coplanarias

En el caso de que las orbitas no sean coplanarias los vectores n

1

,n2

, quedefinen el plano de la orbita, no seran colineales, por lo que podremos definir lasdirecciones:

u

a

=n

1

⇥ n

2

kn1

⇥ n

2

k , u

b

=n

2

⇥ n

1

kn2

⇥ n

1

k ,

que representan las dos unicas direcciones en las que las orbitas pueden tenerun punto comun. Llamaremos u a cada una de las dos direcciones anteriores yrealizaremos el proceso siguiente para cada una de las dos.

En primer lugar calcularemos los valores:

f1

= polar�

(GA1Su), f2

= polar�

(GA2Su), (9.33)

que representan los valores de la anomalıa media de el posible punto de intersec-cion en cada una de las orbitas.

De esta forma pueden calcularse los vectores

x

i

= x(fi

,Oi

), i = 1, 2, (9.34)

que representan el vector de posicion del posible punto de interseccion en lasdos orbitas. Para comprobar que hay punto de interseccion basta comprobar quex

1

= x

2

.

9.6.3 Interseccion de orbitas coplanarias

Excluiremos el caso en que a1

= a2

, e1

= e2

, i1

= i2

, ⌦1

= ⌦2

, !1

= !2

parael que existen infinitos puntos comunes por ser orbitas coincidentes.

Supondremos por tanto que i1

,= i2

, ⌦1

= ⌦2

y que alguno o los tres elementosa, e, i son distintos en las dos orbitas. En este caso n

1

y n

2

son colineales por lo queno podemos determinar la direccion de la interseccion por medio de el productovectorial de estos.


a

1

a

2

!1

!2

f1 f

2

O

Nodo

r = r1

= r2

O1

O2

Figura 9.8: Punto de interseccion de dos orbitascoplanarias.

De acuerdo con la figura 9.8impondremos que en el punto deinterseccion la distancia r en am-bas orbitas debe ser la misma,por lo que podremos poner

r =p1

1� e1

cos f1

=p2

1� e2

cos f2

,

donde f1

y f2

corresponden a lasanomalıas verdaderas del punto olos puntos de interseccion en ca-da una de las orbitas.

Puesto que el plano de am-bas orbitas es el mismo, tambiencoincidira la direccion del nodo,por lo que se tendra la relacion

f1

+ !1

= f2

+ !2

,

lo que permite escribir

p1

1 + e1

cos f1

=p2

1 + e2

cos(f1

+ !1

� !2

),

expresion que, desarrollada, puede ponerse como

C cos f1

+ S sen f1

= P, (9.35)

siendo:

C = p2

e1

� p1

e2

cos(!1

� !2

),

S = p1

e2

sen(!1

� !2

),

P = p1

� p2

.

La ecuacion (9.35) coincide con la expresion (1.10) por lo que usando su solu-cion (1.11), que puede ser doble, unica o incompatible, podremos poner

f1

= atan(C, S) + senPp

C2 + S2

, f2

= f1

+ !1

� !2

. (9.36)

que representan los valores de la anomalıa media de el posible punto de intersec-cion en cada una de las orbitas.

Al igual que en caso no coplanario, los vectores x

i

= x(fi

,Oi

), i = 1, 2,representan el vector de posicion del posible punto de interseccion en las dosorbitas. Para comprobar que hay punto de interseccion basta comprobar que x

1

=x

2

.

Variaciones de los sistemas de referencia 157

9.6.4 Colisiones

Una vez comprobada la existencia de uno o varios puntos de interseccion delas dos orbitas la comprobacion de la colision exige que los dos orbitadores pa-sen simultaneamente por el punto interseccion. Para comprobar esta condiciondeberemos calcular en cada punto de interseccion el valor del tiempo absolutoti

= t(fi

,Oi

) y comprobar que t1

= t2

.

9.7 Variaciones de los sistemas de referencia

La importancia del sistema S = {e1

, e2

, e3

} radica en que, salvo el movi-miento del origen, es un sistema inercial, esto es, se verifica que de

i

= 0. En elproblema keperiano los sistemas nodal y apsidal son tambien inerciales, sin em-bargo, el sistema orbital y el sistema de Frenet no lo son. Cuando se consideranlas perturbaciones orbitales unicamente el sistema espacial sigue siendo inercial.

z

e

1

e

2

e

3

x

r

u

⇢

⇢�

�

Figura 9.9: Coordenadas cilındricas y esfericas.

En este apartado obtendre-mos la variacion de dichos sis-temas lo que ademas nos permi-tira definir, posteriormente, otrosdos conjuntos de variables de es-tado: las variables de Delaunayy las polares-nodales. Para ellointroduciremos un nuevo siste-ma de referencia auxiliar, no de-finido antes, y que esta asocia-do a las coordenadas cilındricasy a las esfericas. A dicho sistemale llamaremos sistema cilındrico,y esta formado por los vectores(u

⇢

, e3

⇥ u

⇢

, e3

), donde u

⇢

defi-ne la direccion de la proyeccion del orbitador en el plano fundamental definido pore

1

y e

2

(figura 9.9). Si llamamos (�,�) a la longitud y latitud de P , tendremosque:

u

⇢

= cos� e1

+ sen� e2

,e

3

⇥ u

⇢

= � sen� e1

+ cos� e2

.(9.37)

La variacion de este sistema de referencia puede obtenerse diferenciando (9.37),de forma que:

du⇢

= � sen� d� e1

+ cos� d� e2

= (e3

⇥ u

⇢

) d�,d(e

3

⇥ u

⇢

) = � cos� d� e1

� sen� d� e2

= �u⇢

d�.(9.38)

Si en lugar de u

⇢

tomamos como eje Ox la direccion l de la interseccion delplano orbital con el plano fundamental podemos definir, por un lado, el sistemanodal-espacial (l, e

3

⇥l, e3

) (figura 9.3) y, por otro lado, el sistema nodal (l,m,n).


En el primer caso tendremos:

l = cos⌦ e

1

+ sen⌦e

2

,e

3

⇥ l = � sen⌦ e

1

+ cos⌦ e

2

,(9.39)

de donde diferenciando obtenemos:

dl = (e3

⇥ l) d⌦,d(e

3

⇥ l) = �l d⌦. (9.40)

En el segundo:m = cos i (e

3

⇥ l) + sen i e3

,n = � sen i (e

3

⇥ l) + cos i e3

,(9.41)

que diferenciadas dan:

dm = n di+ cos i d(e3

⇥ l),dn = �m di� sen i d(e

3

⇥ l).(9.42)

Finalmente, reuniendo (9.40) y (9.42) se llega a

dl = (e3

⇥ l) d⌦,dm = n di� cos i l d⌦,dn = �m di+ sen i l d⌦.

(9.43)

En este estudio prescindiremos del sistema apsidal, cuyas variaciones sonidenticas a las del orbital cambiando ✓ por !. Para estudiar las variaciones delsistema orbital (u,v,n) recordemos que se verifica:

u = cos ✓ l+ sen ✓m,v = � sen ✓ l+ cos ✓m,

(9.44)

y por tanto

du = v d✓ + cos⌦ dl+ sen ✓ dm

= v d✓ + cos ✓ (e3

⇥ l) d⌦+ sen ✓n di� sen ✓ cos i l d⌦.

Si tenemos en cuenta que, de acuerdo con (9.41), se tiene e

3

⇥m = cos i (e3

⇥(e

3

⇥ l)) = � cos i l, podremos poner finalmente:

du = v d✓ + sen ✓n di+ (e3

⇥ u) d⌦,dv = �u d✓ + cos ✓n di+ (e

3

⇥ v) d⌦.(9.45)

9.8 Variables polares–nodales

Teniendo en cuenta las expresiones dadas en (9.19) podremos poner

X · dx = (ru+G

rv)(u dr + r du).

Variables polares–nodales 159

Despues de sustituir du por su valor (9.45), poniendo (! + f) en lugar de ✓, ytras aplicar las propiedades de ortogonalidad entre u,v y n, ası como su relacioncon e

3

, y desarrollar, se obtendra finalmente

X · dx = rdr +Gd(! + f) +G(e3

· n)d⌦. (9.46)

Si definimos ahora un conjunto de seis variables por medio de las siguientesigualdades:

r , ✓ = ! + f , ⌫ = ⌦,

R = r , ⇥ = G , N = G (e3

· n) = G cos i,(9.47)

la igualdad (9.46), expresada en estas variables, podra ponerse como

X · dx = Rdr +Gd✓ +Nd⌫, (9.48)

lo que demuestra que la transformacion de (x,X) a (r, ✓, ⌫, R,⇥, N) es comple-tamente canonica.

G

⇥ = G

N = G cos i = H

n

e

3

e

1

e

2

⌫ = ⌦ = h

✓

l

x

r

i

Figura 9.10: Coordenadas polares-nodales.

Al conjunto de variables canoni-cas (r, ✓, ⌫, R,⇥, N) se le llama varia-bles polares–nodales y tambien varia-bles de Hill o variables de Whittaker.Notese que N representa la proyec-cion del momento angular sobre el ejeOz. El significado del resto de las va-riables es evidente de acuerdo con ladefinicion.

Al ser las variables polares–nodales un conjunto de variablescanonicas, el hamiltoniano del proble-ma kepleriano se obtendra aplicandodirectamente la transformacion. Paraello recordemos que la velocidad pue-de expresarse como

v2 = r2 + r2f2 = R2 +⇥2

r2,

por lo que la funcion de Hamilton del problema kepleriano se expresara en laforma

Hk

=1

2(R2 +

⇥2

r2)� µ

r. (9.49)


9.9 Variables de Delaunay en el movimiento elıpti-co

A partir de las variables polares–nodales obtendremos otro conjunto de va-riables muy utiles en el estudio de las perturbaciones orbitales: las variables deDelaunay. En esta seccion introduciremos estas variables en su forma clasica, estoes, definidas unicamente para el movimiento elıptico, sin embargo, su extension alos otros tipos de movimientos puede ser efectuada sin grandes dificultades. Deno-taremos las nuevas variables como (`, g, h, L,G,H), siendoH = N, h = ⌫, es decir,con el ultimo momento y variable iguales a los de las variables polares–nodales.

Para obtener la transformacion haremos uso de la ecuacion de Hamilton–Jacobi que nos permite obtener una transformacion canonica a partir de la ecua-cion en derivadas parciales obtenida de sustituir, en el hamiltoniano, los momentospor las derivadas de la funcion generatriz respecto de las variables.

Teniendo en cuenta la expresion (9.49), igualando esta a la energıa, que en elcaso elıptico4 se puede poner como �µ/2a, y despues de sustituir los momentospor las derivadas de la funcion generatriz S respecto de las variables, llegaremosa la ecuacion de Hamilton–Jacobi

1

2

"

✓

@S

@r

◆

2

+

✓

@S

@✓

◆

2 1

r2

#

� µ

r= � µ

2a. (9.50)

La solucion de esta ecuacion podra ser obtenida ensayando una expresion deS separada en las variables r y ✓, esto es con S = S

1

(r) + S2

(✓), en cuyo casotendremos

1

2

@S1

@r

◆

2

+

✓

@S2

@✓

◆

2 1

r2

#

� µ

r= � µ

2a,

que puede tambien ponerse como

✓

@S2

@✓

◆

2

= 2µr � µr2

a� r2

✓

@S1

@r

◆

2

= P 2

2

,

donde P2

debe ser constante pues iguala una funcion que depende exclusivamentede ✓ con otra que solo depende de r. Ası pues, podremos poner por un lado

S2

(✓) = P2

✓,

y por otro

@S1

@r=

1

r

r

2µr � µr2

a� P 2

2

,

4Esta restriccion hace que las variables que se definen aquı sean validas unicamente para elcaso elıptico.

Variables de Delaunay en el movimiento elıptico 161

lo que permite expresar S como

S = P2

✓ �Z

r

r0

r

2µ

r� µ

a� P 2

2

r2, (9.51)

donde el lımite inferior de integracion r0

sera elegido posteriormente.

De acuerdo con la teorıa de Hamilton–Jacobi una funcion generatriz S(q,P )define una transformacion canonica (q,p)! (Q,P ) a traves de las ecuaciones:

p =@S

@q, Q =

@S

@P.

En nuestro caso tomaremos como variables y momentos viejos las variables polares–nodales, q

1

= r, q2

= ✓, p1

= R, p2

= ⇥, de donde llegaremos a las relaciones:

r = R = p1

=@S

@q1

=@S

@r=

r

2µ

r� µ

a� P 2

2

r2,

⇥ = G = p2

==@S

@q1

=@S

@✓= P

2

.

(9.52)

Elegiremos como nuevos momentos (P1

=pµa, P

2

). El segundo coincide con⇥ o, lo que es igual, con la norma del momento angular G, por ello se utiliza estaultima notacion en el contexto de las variables de Delaunay, P

2

= G. Respecto aP1

, suele usarse la letra L, esto es P1

= L. De esta forma, las nuevas coordenadasseran:

Q1

=@S

@P1

=

Z

r

r0

2µ2P�3

1

2

s

2µ

r� µ2

P 2

1

� P 2

2

r2

dr,

Q2

=@S

@P2

= ✓ +

Z

r

r0

2P2

2r2

s

2µ

r� µ2

P 2

1

� P 2

2

r2

dr,

donde, teniendo en cuenta las relaciones (9.52) ademas de los valores de P1

, P2

, ypor otro lado las relaciones dr = rdt, df = Gdt/r2 y la definicion del movimientomedio en el caso elıptico n =

p

µ/a3, se llega a:

Q1

=

Z

r

r0

r

µ

a31

rdr =

Z

t

t0

ndt,

Q2

= ✓ +

Z

r

r0

G

r2rdr = ✓ +

Z

f

f0

df.

Estas expresiones nos permiten elegir el lımite inferior de integracion como elperiastro de la orbita, por lo que r

0

= rp

, t0

= T, f0

= 0, lo que, junto con la


relacion ✓ = ! + f , nos lleva a las expresiones

Q1

= n(t� T ) = `,

Q2

= ! = g,(9.53)

donde hemos sustituido la notacion de ! por g para emplear la notacion clasicade las variables de Delaunay.

Todo lo anterior nos permite definir el conjunto de variables de Delaunay(`, g, h, L,G,H) como el conjunto de variables obtenidas a partir de las relaciones:

` = n(t� T ) , g = ! , h = ⌦,

L =pµa , G , H = G cos i.

(9.54)

Finalmente, puesto que el hamiltoniano del movimiento kepleriano coincidecon la energıa, y esta en el caso elıptico vale �µ/2a, podremos expresar la funcionde Hamilton en variables de Delaunay como

Hk

= � µ2

2L2

. (9.55)

Capıtulo 10

Formulacion universal delproblema kepleriano

10.1 Introduccion

La distinta formulacion de los tres tipos de movimiento resulta poco practicapara el estudio de movimientos orbitales perturbados en las proximidades de unmovimiento parabolico, donde cualquier perturbacion puede producir una transi-cion entre movimientos periodicos y no periodicos o viceversa. En este apartadodescribiremos una nueva formulacion universal, esto es, valida para los tres ti-pos de movimientos simultaneamente, que esta basada en el uso de la variable s,definida en (8.15), como variable independiente y de las funciones de Stump↵.

10.2 Funciones V de Stump↵

Llamaremos funciones de Stump↵ al conjunto de funciones de variable com-pleja definidas como

cn

(z) =X

k�0

(�1)k zk

(2k + n)!, n = 0, 1, 2, . . . (10.1)

Dado que estas series de potencias son absolutamente convergentes en todo elplano complejo, las funciones c

n

(z) estan definidas para cada valor de z. Cuandoz toma valores reales, las funciones c

n

(z) seran reales.

164 Formulacion universal del problema kepleriano

Llamaremos funciones V de Stump↵ al conjunto de funciones definidas a partirde las de Stump↵ como

Vn

(x;↵) = xncn

(↵x2) =X

k�0

(�1)k(2k + n)!

↵kx2k+n, n = 0, 1, 2, . . . , (10.2)

donde x 2 IR es la variable y ↵ 2 IR un parametro.

De acuerdo con la definicion (10.1) las funciones c0

, c1

pueden identificarse conlas funciones elementales siguientes:

c0

(x) =

8

<

:

cospx si x > 0,

1 si x = 0,cosh

p�x si x < 0,

c1

(x) =

8

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

:

senpxp

xsi x > 0,

1 si x = 0,

senhp�xp

�x si x < 0.

(10.3)

De aquı pueden deducirse facilmente las relaciones:

V0

(x;↵) =

8

<

:

cos(p↵x) si ↵ > 0,

1 si ↵ = 0,cosh(

p�↵x) si ↵ < 0,

V1

(x;↵) =

8

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

:

sen(p↵x)p↵

si ↵ > 0,

x si ↵ = 0,

senh(p�↵x)p�↵ si ↵ < 0.

(10.4)

Asimismo puede verse, a partir de la definicion, que se verifican las siguientesigualdades:

Vn

(�x;↵) = Vn

(x;↵),

V0

(0,↵) = 1,

Vn

(0,↵) = 0, n � 1.

(10.5)

Propiedad.- La relacion entre dos funciones Vn

y Vn+2p

viene dada por la formula

Vn

(x;↵)� xn

p�1

X

k=0

(�↵)kx2k

(2k + n)!= (�↵)p V

n+2p

(x;↵). (10.6)

Funciones V de Stump↵ 165

La propiedad puede demostrarse sin mas que tener en cuenta que Vn

puedeponerse tambien como

Vn

(x;↵) = xn

X

k�0

(�↵)kx2k

(2k + n)!,

de donde el termino de la izquierda de (10.6) se obtiene restando los p primerosterminos de V

n

, con lo que llegamos a

xn

X

k�p

(�↵)kx2k

(2k + n)!.

Una simple reestructuracion de ındices, definiendo m = k � p, permite expresardicho termino como

xn

X

m�0

(�↵)m+px2m+2p

(2m+ 2p+ n)!= (�↵)pxn+2p

X

m�0

(�↵)mx2m

(2m+ n)!= (�↵)p V

n+2p

(x;↵),

con lo que queda demostrada la propiedad.

Particularizando (10.6) para p = 1 se obtiene una relacion que sera muy usada

Vn

(x;↵) + ↵Vn+2

(x;↵) =xn

n!. (10.7)

Esta expresion nos da un procedimiento recursivo que permite evaluar Vn

paracualquier valor de x y ↵ 6= 0, siempre que podamos evaluar V

0

y V1

, lo que resultasencillo a partir de las expresiones (10.4). Cuando ↵ = 0, basta particularizar ladefinicion (10.2) con lo que se obtiene

Vn

(x; 0) =xn

n!. (10.8)

Este no sera el mejor metodo de evaluacion de las funciones V de Stump↵, sinembargo, es un procedimiento sencillo que puede implementarse facilmente en unordenador y que puede hacer manejables y practicas estas funciones.

Propiedad.- La familia de funciones V de Stump↵ es cerrada respecto a la dife-renciacion e integracion, es decir:

@ Vn

(x;↵)

@x= V

n�1

(x;↵), n � 1,

@ V0

(x;↵)

@x= �↵V

1

(x;↵),Z

x

0

Vn

(s;↵)d s = Vn+1

(x;↵).

(10.9)

Para demostrar esta propiedad basta aplicar la derivacion e integracion, terminoa termino, en la serie que define estas funciones.


Propiedad.- La familia de funciones V de Stump↵ verifica las relaciones:

@m Vn

(x;↵)

@xm

=

8

>

<

>

:

Vn�m

si n � m,

@m�n V0

(x;↵)

@xm�n

si n < m.

@m V0

(x;↵)

@xm

=

(

(�↵)m2 V

0

(x;↵) si m es par,

(�↵)m+12 V

1

(x;↵) si m es impar.

(10.10)

La relacion anterior se demuestra, por simple comprobacion, a partir de laproposicion anterior.

Propiedad.- Las derivadas de las funciones V respecto al parametro vienen dadaspor las expresiones

@ Vn

(x;↵)

@↵=

1

2[nV

n+2

(x;↵)� xVn+1

(x;↵)] . (10.11)

En efecto, derivando en la definicion (10.2) se tiene

@ Vn

(x;↵)

@↵=X

k�1

(�1)pp↵p�1x2p+n

(2p+ n)!=�12

X

m�0

(�1)m2(m+ 1)↵mx2m+2+n

(2m+ 2 + n)!.

Por ultimo basta tener en cuenta que

2m+ 2

(2m+ 2 + n)!=

2m+ 2 + n� n

(2m+ 2 + n)!=

1

(2m+ 1 + n)!� n

(2m+ 2 + n)!,

para demostrar la proposicion enunciada.

Propiedad.- Las n + 1 primeras funciones Vn

(x;↵) constituyen un sistema defunciones linealmente independientes para cualquier valor de n.

Para comprobar que n + 1 funciones x0

, x1

, . . . , xn

son linealmente indepen-dientes, es preciso comprobar que el wronskiano es distinto de cero, esto es

w(x0

, x1

, . . . , xn

) =

�

�

�

�

�

�

�

�

x0

x1

x2

. . . xn

x00

x01

x02

. . . x0n

. . .

x(n)

0

x(n)

1

x(n)

2

. . . x(n)

n

�

�

�

�

�

�

�

�

6= 0.

En nuestro caso, el wronskiano se obtiene a partir de la expresion de las deri-vadas n-simas de las funciones. Comprobaremos unicamente el caso n = 3, paracualquier otro n el procedimiento sera identico.

w(V0

,V1

,V2

,V3

, ) =

�

�

�

�

�

�

�

�

V0

V1

V2

V3

�↵V1

V0

V1

V2

�↵V0

�↵V1

V0

V1

↵2 V1

�↵V0

�↵V1

V0

�

�

�

�

�

�

�

�

.

Funciones V de Stump↵ 167

Multiplicando la primera y segunda filas por ↵ y sumandosela a la tercera ycuarta respectivamente se obtiene, despues de aplicar la relacion (10.7),

w(V0

,V1

,V2

,V3

) =

�

�

�

�

�

�

�

�

V0

V1

V2

V3

�↵V1

V0

V1

V2

0 0 1 x0 0 0 1

�

�

�

�

�

�

�

�

= V2

0

+↵V2 .

Observando las derivadas de V0

y V1

respecto a x obtenemos que

V0

V 00

+↵V1

V 01

= 0,

por lo que podemos poner

V2

0

+↵V2

1

= constante,

basta tener en cuenta los valores de V0

y V1

en x = 0 para deducir que

V2

0

(x;↵) + ↵V2

1

(x;↵) = 1,

y por tantow(V

0

,V1

,V2

,V3

) = 1,

con lo que queda demostrada la proposicion.

Propiedad.- Vn

(x;↵) es solucion de la ecuacion diferencial lineal homogenea

dm+2y

dxm+2

+ ↵dmy

dxm

= 0,

para todo n m+ 1.

Para demostrar esto basta tener en cuenta la expresion de las derivadas n-simas y (10.7).

Propiedad.- Dado un numero real arbitrario ↵, la funcion

y(x;↵) =m+1

X

k=0

�k

Vk

(x;↵), (10.12)

es la solucion general de la ecuacion diferencial

dm+2y

dxm+2

+ ↵dmy

dxm

= 0, m � 0. (10.13)

La demostracion es trivial pues cada una de las las m + 2 funciones Vk

es,segun la proposicion anterior, solucion de la ecuacion y estas son linealmenteindependientes.


10.3 Funciones V0,V1

Las funciones V0

,V1

constituyen la extension natural de las funciones cos, coshpor un lado y sen, senh por otro. Ademas, cualquier otra funcion V

n

puede ex-presarse en terminos de las dos primeras, por lo que estas juegan un importantepapel en Astrodinamica.

Ya hemos visto como la propiedad fundamental de las funciones circularespuede extenderse a las de Stump↵ por medio de la igualdad (10.7), particularizadapara n = 0 en la forma:

V2

0

(x;↵) + ↵V2

1

(x;↵) = 1. (10.14)

Por otro lado, puede demostrarse facilmente la extension de las propiedadesde adicion y angulo doble de las funciones circulares, obteniendose:

V0

(x± y;↵) = V0

(x;↵)V0

(y;↵)⌥ ↵V1

(x;↵)V1

(y;↵), (10.15)

V1

(x± y;↵) = V1

(x;↵)V0

(y;↵)± V0

(x;↵)V1

(y;↵), (10.16)

V0

(2x;↵) = V2

0

(x;↵)� ↵V2

1

(x;↵) = (10.17)

= 2V2

0

(x;↵)� 1 = 1� 2↵V2

1

(x;↵),

V1

(2x;↵) = 2V0

(x;↵)V1

(x;↵). (10.18)

De la misma forma que el cociente de funciones circulares e hiperbolicas dalugar a la funcion tangente y tangente hiperbolica, podemos introducir la funcion

Vt

(x;↵) =V1

(x;↵)

V0

(x;↵). (10.19)

Finalmente, considerando la definicion de las funciones inversas de las circula-res e hiperbolicas podemos definir las inversas de las de Stump↵, una vez fijado ↵y estudiado el rango de definicion de estas que coincide con el de sus homologascirculares e hiperbolicas.

V�1

0

(x;↵) =

8

>

<

>

:

acosxp↵

si ↵ > 0,

acoshxp�↵ si ↵ < 0,

(10.20)

V�1

1

(x;↵) =

8

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

:

asen(p↵x)p↵

si ↵ > 0,

x si ↵ = 0,

asenh(p�↵x)p�↵ si ↵ < 0,

(10.21)

Formulacion universal del problema kepleriano 169

V�1

t

(x;↵) =

8

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

:

atan(p↵x)p↵

si ↵ > 0,

x si ↵ = 0,

atanh(p�↵x)p�↵ si ↵ < 0.

(10.22)

10.4 Formulacion universal del problema keple-riano

Para obtener expresiones del problema kepleriano validas para cualquier tipode movimiento volveremos a la ecuacion (8.21) que, despues de derivar respectoa s, se transforma en

r000 � 2hr0 = 0. (10.23)

De acuerdo con las propiedades de las funciones de Stump↵, vistas en 10.2, unasolucion general de la ecuacion homogenea (10.23) podra expresarse como

r(s) = �0

V0

(s,�2h) + �1

V1

(s,�2h) + �2

V2

(s,�2h), (10.24)

donde �0

,�1

,�2

son tres constantes de integracion.

Todas las ecuaciones diferenciales que apareceran en esta seccion tendran elmismo parametro ↵ = �2h por lo que en todas las ocasiones llegaremos a fun-ciones de la forma V

n

(s,�2h). Teniendo en cuenta que h es un constante delmovimiento, no existira ambiguedad si en la notacion suprimimos el argumento�2h y escribimos V

n

(s). Cuando no exista tampoco ambiguedad en la variabletemporal s podremos tambien poner, por brevedad V

n

.

Derivando dos veces la expresion (10.24) y teniendo en cuenta los valoresparticulares de V

n

(0), se tendra:

r(s = 0) = r0

= �0

,

r0(s = 0) = r00

= �1

,

r00(s = 0) = r000

= 2h�0

+ �2

,

donde, para generalizar, se ha considerado el cero de s en un instante t0

que, porahora, no tiene que coincidir con T . Aplicando la relacion (8.21) para obtener r00

0

en funcion de r0

, r00

, se podra poner finalmente

r(s) = r0

V0

(s) + r00

V1

(s) + µV2

(s). (10.25)

Por otro lado, integrando la ecuacion (8.19) con el valor de r dado por (10.25), seobtiene finalmente

t� t0

= r0

V1

(s) + r00

V2

(s) + µV3

(s), (10.26)


que sera llamada ecuacion de Kepler universal, pues, al igual que (10.25), es validapara cualquier tipo de movimiento.

Finalmente, si derivamos respecto a s la expresion

x

0 = r x,

obtendremosx

00 = r0 x+ r2 x = r0 x� µ

rx,

o lo que es igualrx00 = r0x0 � µx. (10.27)

Derivando nuevamente y aplicando la relacion (8.21) se llega facilmente a

x

000 � 2hx0 = 0,

cuya solucion se podra poner como

x = �

0

V0

+�

1

V1

+�

2

V2

,

donde ahora �0

,�1

,�2

representan tres vectores constantes cuyos valores, despuesde derivar, igualar a cero y expresar x

000

en funcion de x

0

,x00

de acuerdo con(10.27), pueden expresarse como

�

0

= x

0

, �

1

= x

00

, �

2

=r00

r0

x

00

�✓

µ

r0

+ 2h

◆

x

0

.

Por tanto, x(s) sera igual a

x(s) =

V0

�✓

µ

r0

+ 2h

◆

V2

�

x

0

+

V1

+r00

r0

V2

�

x

00

,

relacion que, tras aplicar la propiedad V0

�2hV2

= 1, adopta la forma

x(s) =

1� µ

r0

V2

�

x

0

+

V1

+r00

r0

V2

�

x

00

. (10.28)

En este apartado hemos supuesto el instante inicial t0

distinto, en principio, deT , por tanto, las formulas son validas para cualquier instante inicial. Sin embargo,cuando t

0

= T tendremos

r00

= r0p

= 0, r0

= rp

=p

1 + e,

con lo que las expresiones anteriores se simplificaran, obteniendose las relaciones:

r = rp

V0

(s) + µV2

(s),

t� T = rp

V1

(s) + µV3

(s),

x =

1� µ

rp

V2

(s)

�

x

p

+ V1

(s)x0p

.

(10.29)

Formulacion universal del problema kepleriano 171

Las dos primeras expresiones pueden simplificarse mas teniendo en cuenta lasrelaciones

V0

�2hV2

= 1,

V1

�2hV3

= s,

µ+ 2hrp

= µe,

(10.30)

esta ultima puede obtenerse sin mas que tener en cuenta

h =A2 � µ2

2G2

=µ2e2 � µ2

2µp=

µ(e2 � 1)

2p, r

p

=p

1 + e.

Sustituyendo (10.30) en (10.29) se obtiene por un lado:

r = rp

+ µeV2

(s),

t� T = rp

s+ µeV3

(s),(10.31)

y por otro:

r = � µ

2h[1� eV

0

(s)],

t� T = � µ

2h[s� eV

1

(s)],(10.32)

ecuaciones similares a las dadas para cada uno de los movimientos elıptico ehiperbolico pero que no son validas para el calculo en el caso parabolico, por loque dejan de ser universales.

Si atendemos a la definicion de los vectores a, b, del sistema apsidal, podemosponer

x

p

= rp

a, X

p

= vp

b,

donde vp

representa la velocidad en el periastro, por lo que

x

0p

= rp

X

p

= rp

vp

b.

La relacion anterior puede modificarse si tenemos en cuenta que, por un ladoG =

pµp y ademas

G = x⇥X = x

p

⇥X

p

,

luego se tendra finalmente

rp

vp

= rp

vp

sen 90� = xp

Xp

sen(xp

,Xp

) = G =pµp.

Reuniendo las anteriores relaciones y llevandolas a la tercera ecuacion (10.29)se llega finalmente a

x = [rp

� µV2

(s)]a+pµpV

1

(s) b, (10.33)

que comparada con (9.17) permite poner

r cos f = rp

� µV2

(s), r sen f =pµpV

1

(s). (10.34)


Teniendo en cuenta las expresiones de r, r cos f y las relaciones (10.30) obtendre-mos facilmente las expresiones

2 r cos2f

2= r + r cos f = r

p

[1 + V0

(s)],

2 r sen2f

2= r � r cos f, = µ(1 + e)V

2

(s) = �µ(1 + e)

2h[1� V

0

(s)].

Por ultimo, las expresiones (10.17) conducen a

pr cos

f

2=prp

V0

(s

2),pr sen

f

2=p

µ(1 + e)V1

(s

2), (10.35)

que divididas nos dan

tanf

2=

r

µ

p(1 + e)V

t

(s

2). (10.36)

10.5 Coeficientes de transicion en forma cerrada

Las propiedades del movimiento kepleriano permiten expresar las funciones f ,g en forma cerrada, esto es, sin los desarrollos en serie de las expresiones (7.39),aunque en dichas expresiones no aparecera t explıcitamente.

El valor de f y g se obtiene facilmente si tenemos en cuenta la relacion (10.28)

x(s) =

1� µ

r0

V2

(s)

�

x

0

+ [r0

V1

(s) + r00

V2

(s)]X0

,

donde hemos tenido en cuenta que x

00

= r0

X

0

. Por tanto, podremos poner porun lado

f(t; t0

) = 1� µ

r0

V2

(s), (10.37)

y por otrog(t; t

0

) = r0

V1

(s) + r00

V2

(s).

Finalmente, si tenemos tambien en cuenta (10.26) llegamos a la igualdad

g(t; t0

) = (t� t0

)� µV3

(s). (10.38)

Las expresiones (10.37) y (10.38) nos dan el valor de f y g en forma cerradaen funcion de s.

Las derivadas de f y g respecto a t seran

@f

@t=

µ

rr0

V1

(s),@g

@t= 1� µ

rV2

(s).

Coeficientes de transicion en forma cerrada 173

Recordando que �µV2

= r0

(1� f) se llega a

@g

@t= 1� r

0

r[1� f(t; t

0

)] . (10.39)

Por otro lado, la relacion (10.26) puede ponerse como

V1

=1

r0

[(t� t0

)� r00

V2

�µV3

] =1

r0

[g(t; t0

)� r00

V2

]

=1

r0

g(t; t0

) +r0

r00

µ(1� f)

�

,


@f

@t=

r0

S0

r[1� f(t; t

0

)]� r0

R0

rg(t; t

0

), (10.40)

con lo que se completa la relacion de formulas necesarias para el calculo de efemeri-des.

Por su importancia veremos en que se transforman las expresiones (10.37) y(10.38) en el movimiento elıptico, para el cual 2h < 0 y por tanto:

�2hV2

(s,�2h) = 1� V0

(s,�2h) = 1� cosp�2hs,

�2hV3

(s,�2h) = s� V1

(s,�2h) = s� senp�2hsp�2h

,

para llegar finalmente a:

f(t; t0

) = 1 +µ

2hr0

⇣

1� cosp�2hs

⌘

,

g(t; t0

) = (t� t0

) +µ

2h

p�2hs� sen

p�2hsp

�2h.

Al integrar en forma separada el movimiento elıptico habıamos definido la ano-malıa media como E =

p�2hs, despues de suponer que el instante t

0

coincidıacon la epoca de paso por el periastro, esto es t

0

= T,E = 0. Sin embargo, paraencontrar la expresion de f(t; t

0

), g(t; t0

), valida para cualquier t0

es preciso supo-ner que t

0

puede ser cualquier instante, para lo cual tomaremos E�E0

=p�2hs,

y de ahı:

f(t; t0

) = 1� µ

�2hr0

[1� cos(E � E0

)] ,

g(t; t0

) = (t� t0

) +µ

(�2h)(3/2) [(E � E0

)� sen(E � E0

)] .

Finalmente, si tenemos en cuenta que el movimiento es elıptico tendremos que�2h = µ/a = n2a3/a = n2a2, que llevado a las igualdades anteriores nos da:

f(t; t0

) = 1� a

r0

[1� cos(E � E0

)] ,

g(t; t0

) = (t� t0

) +1

n[(E � E

0

)� sen(E � E0

)] .(10.41)

Capıtulo 11

Orbitas keplerianas quepasan por dos puntos

11.1 Problema de transferencias orbitales y pro-blema de Lambert

Plantearemos ahora una una importante pregunta de la dinamica orbital:¿que orbita u orbitas permiten llegar a un cuerpo en el espacio desde una po-sicion inicial P

1

a otra final P2

? Esta pregunta conduce a dos problemas distintossegun que impongamos o no el tiempo de transito entre las dos posiciones.

El problema de las transferencias orbitales busca el conjunto O(P1

, P2

) detodas las orbitas keplerianas que pasan por los dos puntos. A cada una de lasinfinitas soluciones de este problema se le denomina orbita de transferencia y suconocimiento es de gran aplicacion en tecnologıa espacial para estudiar el proble-ma de la conexion de dos puntos en el espacio a traves de un satelite artificial osonda espacial.

Si entre todas las orbitas de transferencia que conectan dos puntos buscamosaquellas que tardan un tiempo dado en pasar de un punto a otro, nos encontramoscon un problema clasico de la Mecanica Celeste llamado problema de Lambert.Ası como el problema de las transferencias tiene infinitas soluciones, el problemade Lambert tiene una unica solucion. El problema de Lambert va asociado alproblema de determinacion de una orbita cuando tenemos informacion parcial dela misma en varios instantes diferentes, lo que ocurre, por ejemplo, en el caso decometas, asteroides, etc.

176 Orbitas keplerianas que pasan por dos puntos

En este capıtulo abordamos ambos problemas. En primer lugar buscaremos,y caracterizaremos en funcion de su energıa, todas las orbitas que pasan por dospuntos diferentes. Posteriormente encontraremos la relacion de la energıa de laorbita con el tiempo de transito entre los puntos P

1

y P2

y de esta forma en-contraremos un metodo de resolucion del problema de Lambert. Los metodoshabitualmente desarrollados en la literatura cientıfica para la resolucion del pro-blema de Lambert son distintos al presentado en este libro. No pretendemos conesto dar ningun metodo alternativo, de hecho, este metodo no es comparable conotros ni en precision ni en velocidad, sin embargo, nos ha parecido util su inclusionen el libro pues conecta, de manera mas natural, la resolucion de ambos problemasy es mas claro desde el punto de vista didactico.

11.2 Orbitas de transferencia

e

1

e

2

e

3

n

d

l

d

Od

P1

P2

⌦d

id

n

r

l

r

Or

Figura 11.1: Orbitas de transferencia direc-ta, O

d

, y retrograda, Or

.

Sean dos puntos P1

, P2

, que en elsistema espacial S, con origen O enel cuerpo central, pueden represen-tarse a traves de los vectores x

1

=OP

1

, x2

= OP2

, que supondremosno colineales. Supongamos que existeuna conica que pasa por P

1

y P2

y tie-ne el punto O como foco. Esta conicapuede dar lugar a dos orbitas kepleria-nas, una directa O

d

y otra retrogradaO

r

, segun que, visto desde la direc-cion de e

3

, el orbitador vaya de P1

aP2

en el sentido directo o retrogradorespectivamente (figura 11.1). Ambasorbitas tienen en comun el plano or-bital y su sistema nodal se caracteriza por unos vectores l,n cuya relacion entresi es l

d

= �lr

,nd

= �nr

.

Para buscar todas las orbitas keplerianas que pasan por P1

y P2

buscaremospor separado las orbitas directas y las retrogradas, duplicandose, de esta forma,el conjunto de soluciones encontradas. Llamemos n

p

= (x1

⇥ x

2

)/kx1

⇥ x

2

k,y supongamos que n

p

· e3

� 0. Si queremos orbitas directas partiremos de unvalor n = n

d

= n

p

, mientras que si queremos orbitas retrogradas tomaremosn = n

r

= �np

. Cuando n

p

· e3

< 0, tomaremos n = n

d

= �np

para orbitasdirectas y n = n

r

= n

p

para orbitas retrogradas.

Elementos del triangulo OP1

P2

177

11.2.1 Plano de la orbita

Fijado n podemos obtener el sistema orbital en el punto P1

y el P2

a travesde las expresiones:

u

1

=x

1

r1

, n, v

1

= n⇥ u

1

,

u

2

=x

2

r2

, n, v

2

= n⇥ u

2

.(11.1)

El valor del vector n determinara, sin ambiguedad, el plano del movimiento atraves de los elementos ⌦, i dados por medio de las expresiones (9.24). Ademas,una vez obtenidos estos, podemos calcular los vectores l,m del sistema de refe-rencia nodal. En particular tendremos

l = cos⌦ e

1

+ sen⌦e

2

. (11.2)

11.2.2 Angulo de transferencia

Hemos dicho anteriormente que una orbita kepleriana, vista desde el vectorn, siempre es directa, puesto que las anomalıas son siempre crecientes. Dichoesto, y una vez fijado n tras decidir si queremos una orbita directa o retrograda,llamaremos angulo de transferencia al angulo directo, con la orientacion dada porn, que lleva el vector x

1

al x2

. Este angulo, que puede tomar cualquier valor entre0 y 2⇡, viene determinado unıvocamente por la expresion (1.25), esto es

w = atan (x1

· x2

, n · (x1

⇥ x

2

)) , w 2 [0, 2⇡).

El angulo de transferencia puede ponerse tambien como:

r1

r2

cosw = x

1

· x2

,r1

r2

senw = n · (x1

⇥ x

2

).(11.3)

11.3 Elementos del triangulo OP1P2

O P1

P2

wt

�1

�2

r1

r2

c

Figura 11.2: Triangulo OP1P2.

El triangulo OP1

P2

de la figura11.2, juega un importante papel en elestudio de las transferencias orbitales.El angulo w

t

, con vertice en O, coincidecon el angulo de transferencia w cuan-do este es menor que ⇡ y con 2⇡ � wcuando es mayor que ⇡. En cualquiercaso se tendra cosw

t

= cosw. Ademas,la cuerda c subtendida por los dos pun-tos P

1

y P2

se obtendra con la relacionc2 = x

2

12

= (x2

� x

1

)2 = r21

+ r22

�2r

1

r2

coswt

= r21

+ r22

� 2r1

r2

cosw,mientras que el semiperımetro valdra � = (r

1

+ r2

+ c)/2.


Teniendo en cuenta el valor de c2 podremos poner

(r1

+ r2

+ c)(r1

+ r2

� c) = 2r1

r2

(1 + cosw) = 4r1

r2

cos2w

2,

(r1

+ c� r2

)(r2

+ c� r1

) = 2r1

r2

(1� cosw) = 4r1

r2

sen2w

2.

Por otro lado

(r1

+ r2

� c) = 2(�� c),

(r1

+ c� r2

) = 2(�� r2

),

(r2

+ c� r1

) = 2(�� r1

),

lo que conduce a las expresiones:

r1

r2

cos2w

2= �(�� c),

r1

r2

sen2w

2= (�� r

1

)(�� r2

).

Si extraemos la raız cuadrada y tenemos en cuenta los signos del seno y cosenode w/2, segun el cuadrante de w, podremos poner

cosw

2= �

w

s

�(�� c)

r1

r2

, senw

2=

s

(�� r1

)(�� r2

)

r1

r2

, (11.4)

donde hemos llamado

�w

=

⇢

1 si w < ⇡,�1 si w > ⇡.

(11.5)

Definiremos los angulos exteriores �1

,�2

como los angulos que llevan respec-tivamente de x

1

a x

12

y de x

12

a �x2

en sentido positivo desde la orientaciondada por n.

Si tenemos en cuenta la expresion (1.24) del seno y coseno del angulo orientadoentre dos vectores y la definicion de �

1

, podremos poner

c r1

cos�1

= x

1

· x12

= x

1

· (x2

� x

1

) = x

1

· x2

� r21

,

c r1

sen�1

= n · (x1

⇥ x

12

) = n · [x1

⇥ (x2

� x

1

)] = n · (x1

⇥ x

2

),

lo que, teniendo en cuenta (11.3), conduce a las relaciones

c cos�1

= r2

cosw � r1

,

c sen�1

= r2

senw.(11.6)

Hodografa en P1

y P2

179

Combinando convenientemente las relaciones anteriores y tras una serie de calcu-los, podremos poner

cos2�1

2=

1

2(1 + cos�

1

) =(�� c)(�� r

1

)

cr1

,

sen2�1

2=

1

2(1� cos�

1

) =�(�� r

2

)

cr1

.

El signo de �1

se obtiene a partir del de w por medio de las relaciones

w < ⇡ , �1

< ⇡, w > ⇡ , �1

> ⇡,

que permiten analizar el signo de �1

/2 segun el cuadrante de w y poner finalmente

cos�1

2= �

w

s

(�� c)(�� r1

)

cr1

, sen�1

2=

s

�(�� r2

)

cr1

. (11.7)

Con un proceso similar podemos obtener tambien las igualdades

cos�2

2= �

w

s

(�� c)(�� r2

)

cr2

, sen�2

2=

s

�(�� r1

)

cr2

. (11.8)

11.4 Hodografa en P1 y P2

La velocidad de un punto en una orbita kepleriana puede expresarse, en elsistema de referencia orbital, como

X = Ru+ T v, (11.9)

donde u,v representan la direccion radial y transversal y R = r, T = r f , siendof la anomalıa verdadera.

De las propiedades de las orbitas keplerianas podemos deducir facilmente lasrelaciones:

r =p

1 + e cos f, R = e

r

µ

psen f, T =

ppµ

r, (11.10)

o lo que es igual:

e cos f =p

r� 1, e sen f = R

r

p

µ, p =

r2T 2

µ. (11.11)

De acuerdo con las relaciones (11.10), los valores de R, T estan restringidos alos rangos

T > 0, �er

µ

p R e

r

µ

p. (11.12)


La segunda relacion no constituye realmente una restriccion al valor de lacomponente radial de la velocidad, sino una relacion entre la velocidad y la orbitakepleriana que esta genera. De hecho, cualquier valor de R determina un vectorvelocidad cuyos elementos orbitales verifican dicha relacion.

Si f1

, f2

representan la anomalıa verdadera en cada uno de los dos puntos,P1

, P2

, se tendra que el angulo de transferencia w es igual a

w = f2

� f1

. (11.13)

Si particularizamos la primera de las expresiones (11.10) para el punto P2

(subındice 2) y sustituimos f2

por w + f1

, nos queda una expresion en e sen f1

,e cos f

1

. En dicha expresion sustituiremos estos elementos por su valor en funcionde R

1

y T1

, obtenido particularizando (11.11) para P1

. Todo este proceso nosconduce a la relacion

�1

(R1

, T1

) = a1

T 2

1

+ b1

R1

T1

+ c1

= 0, (11.14)

donde

a1

=r1

� r2

cosw

r2

, b1

= senw, c1

= �µ(1� cosw)

r1

. (11.15)

Particularizando de nuevo la primera de las ecuaciones (11.10), en este casoen el punto P

1

, sustituyendo f1

por w � f2

, y por ultimo sustituyendo sen f2

ycos f

2

por su valor en funcion de R2

y T2

, se obtendra la relacion

�2

(R2

, T2

) = a2

T 2

2

+ b2

R2

T2

+ c2

= 0, (11.16)

donde

a2

=r2

� r1

cosw

r1

, b2

= � senw, c2

= �µ(1� cosw)

r2

. (11.17)

La expresion �1

(R1

, T1

) = 0 define la relacion entre las componentes del vectorvelocidad X

1

para que el punto P2

pertenezca a la orbita O(x1

,X1

). Analoga-mente �

2

(R2

, T2

) = 0 implica que la orbita O(x2

,X2

) pase por P1

.

Finalmente, a partir de las relaciones (11.11), podemos obtener el valor depµp y e2 por las expresiones

pµp = rT, e2 =

r2R2T 2

µ2

+

✓

rT

µ� 1

◆

2

.

Una orbita kepleriana que pase por P1

y P2

debe tener unos valores p, e constantespor lo que deben verificarse las relaciones

r1

T1

� r2

T2

= 0, (11.18)

r21

R2

1

T 2

1

µ2

+

✓

r1

T1

µ� 1

◆

2

� r22

R2

2

T 2

2

µ2

�✓

r2

T2

µ� 1

◆

2

= 0. (11.19)

Hodografa en P1

y P2

181

Cualquiera de estas dos condiciones, (11.18 y 11.19), junto con (11.14 y 11.16),constituyen un conjunto de tres relaciones independientes entre las componentesR

1

, T1

, R2

, T2

de la velocidad para que la orbita kepleriana pase por los dos puntosy nos asegura que las orbitas O(x

1

,X1

) y O(x2

,X2

) coinciden. Por simplicidad,parece logico elegir como tercera condicion la expresion

�3

(R1

, T1

, R2

, T2

) = r1

T1

� r2

T2

= 0. (11.20)

Sin embargo, cuando el angulo de trasferencia sea w = ⇡, el valor de bi

en las dosprimeras condiciones se hace cero, por lo que estas condiciones se transforman en

a1

T 2

1

+ c1

= 0, a2

T 2

2

+ c2

= 0,

que no forman un sistema independiente con la condicion (11.20). En este la ex-presion de �

3

en la tercera condicion, �3

(R1

, T1

, R2

, T2

) = 0, es la parte izquierdade (11.19).

La relacion (11.14) indica como debe ser el vector velocidad en el punto P1

paraque la orbita kepleriana generada pase por el punto P

2

. Esta relacion representala ecuacion de una hiperbola con dos ramas separadas por las asıntotas T

1

= 0 ya1

T1

+ b1

R1

= 0. La primera de las condiciones (11.12), indica que la hodografaqueda representada unicamente por la rama superior de la hiperbola. La figura11.3 presenta dos de estas curvas para valores distintos de c

i

, positivo y negativo.

T1

R1

Figura 11.3: Hodografa en P1

La velocidad v1

=p

R2

1

+ T 2

1

,en el punto P

1

, puede ser repre-sentada en la grafica 11.3 comouna semicircunferencia de radiov1

. Si esta semicircunferencia tie-ne algun punto en comun con lahodografa los puntos de intersec-cion senalan las velocidades enP1

que permiten que la orbita pa-se por P

2

.

De acuerdo con la graficaexistira un valor mınimo de lavelocidad por debajo del cualno hay interseccion entre lahodografa y la semicircunferen-

cia, lo que representa que no es posible, con esa velocidad, conectar P1

con P2

con una orbita kepleriana.

Por encima de esa velocidad mınima existiran, para cada valor de v1

, dospuntos de la hodografa, lo que representa dos orbitas keplerianas de transferencia.Para la velocidad mınima existira una unica orbita kepleriana de transferencia.


11.5 Orbitas de energıa mınima

Para conocer el valor de la velocidad mınima que permite conectar los dospuntos sera preciso minimizar la funcion v2

1

= R2

1

+ T 2

1

sujeta a la condicion�

1

(R1

, T1

) = a1

T 2

1

+ b1

R1

T1

+ c1

= 0. El metodo de los multiplicadores de La-grange, permite obtener1 el valor

v2m

=2c

1

(a1

+p

a21

+ b21

)

b21

= 2µ

✓

1

r1

� 1

�

◆

,

donde se ha expresado vm

en terminos de r1

, r2

y w, y posteriormente se hanaplicado las relaciones entre los lados y los angulos del triangulo OP

1

P2

, siendo� el semiperımetro del triangulo.

Teniendo en cuenta la relacion entre la velocidad en un punto y la energıa dela orbita h = v2/2 � µ/r, y aplicandola al punto P

1

con la velocidad mınima,obtendremos la energıa de la orbita de velocidad mınima

h = � µ

�, (11.21)

que representa, por tanto, la orbita de mınima energıa entre P1

y P2

. Esta energıaes negativa, por lo que la orbita correspondiente sera elıptica, y de semieje iguala a = �/2.

Cualquier otra orbita de O(P1

, P2

) tendra una energıa h > hm

y por tanto unsemieje a > �/2.

11.6 Orbitas de energıa h > hm

Igual que hemos razonado antes sobre la velocidad en la grafica 11.3 puederazonarse sobre la energıa. A partir del valor de la energıa mınima h

m

, cualquiervalor de la energıa h, mayor que h

m

, conduce a dos orbitas keplerianas que co-nectan los dos puntos. Estas dos orbitas se deducen a partir de los dos vectoresvelocidad (R

1

, T1

) interseccion de la hodografa con la semicircunferencia cuyoradio es igual a la velocidad correspondiente a la energıa h.

Para obtener estos valores bastara resolver el sistema de ecuaciones

1

2(R2

1

+ T 2

1

)� µ

r1

� h = 0, a1

T 2

1

+ b1

R1

T1

+ c1

= 0, (11.22)

que tendra dos soluciones para cada valor de h > hm

.

Una vez obtenidos los valores deR1

y T1

, ası como el sistema orbital, (u1

,v1

,n),en P

1

, la relacion (11.9) permite obtener el vector X

1

en el sistema espacial y

1Se obtienen cuatro extremos de los que se desechan tres por dar un valor de T1 negativo oimaginario.

Orbitas de energıa h > hm

183

con este y x

1

, los elementos de la orbita O(x1

,X1

) que coincide con la orbitade transferencia O

t

(x1

,x2

) de energıa h. Una vez obtenida la orbita podemosobtener facilmente el tiempo �t que se emplea en llegar desde P

1

hasta P2

. Estetiempo depende de la energıa h, por lo que se convierte en una funcion �t(h).

Para encontrar los valores R1

, T1

de la velocidad podemos utilizar un metodonumerico que resuelva el sistema de ecuaciones no lineal (11.22). Sin embargo, laaplicacion de las funciones de Stump↵ permite encontrar analıticamente estas dosorbitas. Para ver esto efectuaremos el siguiente cambio de variable:

R1

= x cos�1

2� y sen

�1

2,

T1

= x sen�1

2+ y cos

�1

2,

mediante el cual la ecuacion de la hodografa en P1

se transforma en

x2 tan�1

2� y2 cot

�1

2=

2µ

r1

tanw

2, (11.23)

y la norma de la velocidad en P1

se expresara ahora como

v21

= R2

1

+ T 2

1

= x2 + y2. (11.24)

El sistema de ecuaciones (11.22) se ha transformado en un sistema lineal, enlas variables x2, y2, de ecuaciones (11.23) y (11.24). Modificaremos ligeramenteeste sistema sustituyendo en la ultima ecuacion el valor de la velocidad por suexpresion en funcion de una energıa h cualquiera, mayor que la energıa mınima,esto es

x2 + y2 = v21

=2µ

r1

+ 2h.

Resolviendo este sistema, despues de sustituir el valor de tanw/2 por su ex-presion en funcion de los elementos del triangulo OP

1

P2

, se llega a

x2 = 2µ�� r

1

cr1

+ 2h(�� c)(�� r

1

)

cr1

,

y2 = 2µ�� r

2

cr1

+ 2h�(�� r

2

)

cr1

.

Si introducimos las cantidades auxiliares �, � por medio de las igualdades

V1

(�

2;�2h) =

s

�

2µ, � = 2V�1

1

(

r

�

2µ;�2h),

V1

(�

2;�2h) =

s

�� c

2µ, � = 2V�1

1

(

r

�� c

2µ;�2h),

(11.25)


ası como las constante xp

, yp

en la forma

x2

p

= 2µ�� r

1

cr1

, y2p

= 2µ�� r

2

cr1

,

podremos poner

x2 = x2

p

V2

0

(�

2), y2 = y2

p

V2

0

(�

2),

donde, una vez fijado el nivel h de energıa, hacemos desaparecer de las funcionesde Stump↵ el segundo parametro.

Al estudiar la figura 11.3, en relacion con la hodografa del movimiento en P1

,hemos visto como la unica rama posible es aquella para la cual T

1

es positiva, loque equivale a considerar la rama superior. Al efectuar el giro, la rama anterior dela hiperbola se transforma en aquella para la cual x > 0. Teniendo esto en cuenta,podemos extraer la raız cuadrada en las expresiones anteriores, llegandose a

x = xp

V0

(�

2), y = ±y

p

V0

(�

2),

que nos da los dos posibles valores de la velocidad asociados a un nivel de energıah > h

m

. Las dos velocidades nos indicaran que para cada nivel de energıa existendos posibles orbitas keplerianas, que pasan por P

1

, P2

.

Volviendo de nuevo a la expresion de la hodografa antes de efectuar el girotendremos

T1

= x sen�1

2+ y cos

�1

2= x

p

V0

(�

2) sen

�1

2± y

p

V0

(�

2) cos

�1

2,

donde sustituyendo el seno y coseno de (�1

/2) por su valor, dado en (11.7), lle-gamos a

T1

=2µ

cr1

p

(�� r1

)(�� r2

)

s

�

2µV0

(�

2)

±2µ�w

cr1

p

(�� r1

)(�� r2

)

s

�� c

2µV0

(�

2)

=2µ

cr1

p

(�� r1

)(�� r2

)

V0

(�

2)V

1

(�

2)± �

w

V0

(�

2)V

1

(�

2)

�

,

y finalmente a

T1

=2µ

cr1

p

(�� r1

)(�� r2

)V1

✓

� ± �w

�

2

◆

, (11.26)

que nos da los dos valores de la velocidad transversal asociados a la energıa h.

Conjunto de las orbitas que pasan por dos puntos 185

Recordando la expresion p = r2T 2/µ, del semilado recto en funcion de lavelocidad transversal, podemos obtener el semilado recto de cada una de las dosorbitas correspondientes a la energıa h en la forma

p± = pi

= 4µ(�� r

2

)(�� r1

)

c2V2

1

✓

� ± �w

�

2

◆

, (11.27)

donde hemos asociado el ındice de p al signo correspondiente. Observemos que elvalor de p± para w coincide con el de p⌥ para 2⇡ � w, y viceversa.

11.7 Conjunto de las orbitas que pasan por dospuntos

Hemos visto que para cada tipo de transferencia, directa o retrograda, obtene-mos un angulo de transferencia w, y a partir de este los dos elementos que definenel plano de la orbita ⌦, i que son comunes para todas las orbitas que pasan porlos dos puntos.

Una vez fijado w, podemos obtener el valor hm

de la orbita de mınima energıaque pasa por los dos puntos. Obtenido este, cada valor h > h

m

nos dara dosorbitas O

1

(h),O2

(h), cuyos elementos orbitales seran obtenidos en este apartado.

Fijado h, su signo, combinado con la expresion del semieje en funcion de laenergıa, nos permite calcular el semieje de la orbita. Ademas, los semilados rectosde las dos orbitas vienen dados por los valores p± de la ecuacion (11.27). Sifijamos, en lo que sigue, el semilado p de una de estas dos orbitas, esto es p

+

op�, podemos obtener el resto de elementos orbitales para esa orbita.

Si llamamos W = f2

+ f1

y recordamos que w = f2

� f1

, ası como las expre-siones (11.11), que nos dan el valor de e cos f y e sen f , podremos poner

cosw

2cos

W

2=

1

2(cos f

1

+ cos f2

) =1

2e

✓

p

r1

+p

r2

� 2

◆

,

senw

2sen

W

2=

1

2(cos f

1

� cos f2

) =1

2e

✓

p

r1

� p

r2

◆

,

que finalmente conduce a

e cosW

2=

1

2

✓

p

r1

+p

r2

� 2

◆

secw

2,

e senW

2=

1

2

✓

p

r1

� p

r2

◆

cscw

2,

(11.28)

que nos permite calcular e y W para cada uno de los dos casos.

A partir de w y W podemos calcular, sin ambiguedad, f1

y f2

f1

=W + w

2, f

2

=W � w

2.


Puesto que conocemos el vector l del sistema nodal y el vector u1

del sistemaorbital en P

1

podemos calcular el angulo ✓1

que va de l a u

1

. Por otro lado, comosabemos que ✓

1

= ! + f1

, esto nos permite calcular el valor del argumento delperiastro !.

El ultimo elemento orbital, la epoca de paso por el periastro, puede ser calcu-lado si tenemos en cuenta la relacion (10.36) que invertida nos da unos valores des1

, s2

, correspondientes a f1

, f2

, en la forma

si

= 2V�1

t

(

r

p

µ

1

1 + etan

fi

2; �2h).

A partir de s1

la segunda ecuacion (10.29)

t� T = rp

s+ µeV3

(s), (11.29)

nos da el valor de t1

�T , lo que permite calcular la epoca de paso por el periastroT si conocemos t

1

.

11.8 Tiempo de transito

La misma ecuacion (11.29) nos permite obtener una expresion que nos da eltiempo de transito entre P

1

y P2

, para cada una de las orbitas con energıa h,como

�t(h) =p

1 + e(s

2

� s1

) + µe [V3

(s2

)� V3

(s1

)] . (11.30)

La figura 11.4(a) nos muestra la grafica correspondiente a los tiempos de trans-ferencia, en funcion de la energıa h, despues de fijar los puntos P

1

, P2

y el tipode transferencia (directa o retrograda). La figura 11.4(b) muestra el conjunto detodas las orbitas de transferencia para el mismo caso.

En la figura 11.4(a) podemos comprobar que no hay ningun valor a la izquierdade la energıa mınima h

m

. El valor tm

corresponde al tiempo de transferencia dela orbita elıptica correspondiente a esta energıa. Esta orbita es la orbita E

m

de lafigura 11.4(b).

Si aumentamos la energıa a un valor hm

< h < 0 nos encontramos dos valoresde t, ambos correspondientes a las dos orbitas elıpticas correspondientes a laenergıa h. Uno de los tiempos es menor que t

m

, el correspondiente a la orbita E1

de la figura 11.4(b), mientras que el otro es mayor que tm

y corresponde a E2

.Como se ve en la figura 11.4(b) el tiempo de transito en cada caso se correspondecon un mayor arco recorrido. Si continuamos aumentando h, con valores negativostendiendo su valor hacia cero, una de las dos ramas de la curva tiende a1mientrasque el otro tiende al valor de t

p

correspondiente a la orbita parabolica de energıah = 0 (orbita P en la figura 11.4(b)).

Orbitas keplerianas que pasan por dos puntos en dos instantes 187

h

t

hm

0

(a) Tiempo de transito

Em

E1

E2

P H

(b) Tipo de orbitas

Figura 11.4: Transferencias en funcion de la energıa h

Finalmente, para valores de energıa positivos, orbitas hiperbolicas, encontra-mos dos valores de t uno positivo y otro negativo. El valor negativo puede ol-vidarse, pues corresponde a una orbita imposible que proviene, en el lımite, delas orbitas elıpticas de excentricidad muy grande y tiempo de transito tendiendoa infinito, que en el lımite se transforman en una parabola y posteriormente enhiperbolas. La unica orbita posible para una energıa positiva h es la que tiene untiempo de transito positivo y menor que t

p

(orbita H en la figura 11.4(b)).

11.9 Orbitas keplerianas que pasan por dos pun-tos en dos instantes dados t1, t2

Si atendemos a la figura 11.4(a) podemos comprobar que, dado un tiempo �tde transito entre P

1

y P2

, existe una y solo una orbita de trasferencia ente los dospuntos, lo que demuestra que la solucion del problema de Lambert es unica.

Habitualmente, cuando se requiere la resolucion de problema de Lambert parael calculo de las orbitas keplerianas que pasan por dos puntos en dos instantesdados t

1

, t2

, suele recurrirse, entre otros, al metodo iterativo de Gauss. En esteapartado vamos a proponer un nuevo metodo, basado en las propiedades del tiem-po de transferencia del apartado anterior y que sera muy simple de implementary comprender y ademas es valido para cualquier tipo de movimiento. El lectorinteresado puede acudir a la literatura clasica, donde se describen otros metodoque resuelven el mismo problema de forma mas eficiente aunque, generalmente,menos didactica.


Una vez fijado el sentido de la transferencia, y por tanto su angulo w, inten-taremos invertir la ecuacion (11.30), esto es, intentaremos obtener el valor de laenergıa h que nos da el tiempo de transferencia �t = t

2

� t1

especificado2.

No conocemos de manera explıcita la funcion �t = �t(h) que nos da el tiempode la transferencia en funcion de la energıa, ni su derivada, por lo que no podemosutilizar el clasico metodo de Newton para el calculo de las raıces de la ecuacion.Sin embargo, la suavidad de la grafica de dicha funcion, ası como el conocimientosencillo, de los puntos t

m

, tp

, que separan los distintos comportamientos de lafuncion, permiten aplicar el metodo de la secante o regula–falsi, que aunque deconvergencia no demasiado rapida nos da unos resultados suficientemente buenosen cualquier circunstancia.

Dada una funcion f(x) = 0 y un intervalo [a, b] donde existe una sola raız, ypor tanto signo(f(a)) 6= signo(f(b)), el metodo de la secante calcula un punto c,mas proximo a la raız, por medio de la expresion

c = a� (b� a)f(a)

f(b)� f(a).

Si dicho punto no esta suficientemente cerca de la raız, sustituimos el interva-lo [a, b] por otro [a, c] o bien [c, b] segun que signo(f(a)) 6= signo(f(c)) o biensigno(f(c)) 6= signo(f(b)). Una vez tomado este nuevo intervalo se repite el pro-ceso de forma iterativa.

Con objeto de elegir el intervalo, de manera que el metodo sea convergente,basta comparar t

2

� t1

con tm

y tp

.

0 < t2

� t1

< tp

, ) h 2 [0,1),t2

� t1

= tp

, ) h = 0,tp

< t2

� t1

< tm

, ) h 2 [hm

, 0],t2

� t1

= tm

, ) h = hm

,tm

< t2

� t1

, ) h 2 [hm

, 0].

La funcion f(h) se elige de entre las dos �i

t teniendo en cuenta las tres reglassiguientes:

Si t2

� t1

< tp

se toma un valor cualquiera h0

positivo y se elige el valorf(h) = �t(h), tal que �t(h

0

) > 0.

Si tp

< t2

� t1

< tm


negativo y mayor quehm

y se elige el valor f(h) = �t(h), tal que �t(h0

) < tm

.

Si tm

< t2

� t1


negativo y mayor que hm

yse elige el valor f(h) = �t(h), tal que �t(h

0

) > tm

.

2Para aplicar este metodo podemos conocer el intervalo de tiempo �t o bien los instantes t1

de paso por P1 y t2 de paso por P2.

Parte III

Movimiento orbital

189

Capıtulo 12

Movimiento orbital

12.1 Ecuaciones del movimiento orbital

En el capıtulo 7 se han presentado las ecuaciones del movimiento kepleriano,bien en su forma de ecuaciones de orden dos (7.23), o bien como ecuaciones deorden uno (7.24). Ambos conjuntos de ecuaciones responden al modelo, que hemosllamado movimiento kepleriano, del movimiento relativo de un punto materialrespecto de otro, cuando ambos estan atraıdos por la ley de atraccion gravitacionalde Newton. Este modelo es una aproximacion a la realidad, pues parte de dospremisas que son falsas: no existen dos cuerpos aislados y estos en ningun casorepresentan puntos infinitesimales sino que son sistemas finitos de masas (solidos).Ademas, existen muchos otros efectos, gravitacionales y no gravitacionales, quemodifican el comportamiento del movimiento kepleriano y que dan lugar a loque llamaremos movimiento orbital, que constituye una mejor aproximacion almovimiento de los cuerpos observado en el sistema solar.

La mayor parte de los problemas orbitales pueden ser formulados a traves deun sistema de ecuaciones diferenciales similar a las del modelo kepleriano:

x+ µx

r3= P , (12.1)

donde se anade el vector P , que representa la perturbacion o aceleracion queproduce la perturbacion. El sistema dado por (12.1) puede representarse tambiencomo:

x = X,

X = � µ

r3x + P .

(12.2)

192 Movimiento orbital

Cuando se verifique la condicion kP k ⌧ µ/r2, esto es, cuando la aceleracionque produce la perturbacion sea mucho menor que la kepleriana, la solucion delsistema (12.1) o (12.2), sera llamada movimiento kepleriano perturbado o simple-mente movimiento orbital.

Si existe una funcion Vp

tal que se cumpla

P = �rx

Vp

, (12.3)

podemos definir un hamiltoniano H

H(x,X) = Hk

+ Vp

=1

2X ·X � µ

kx k + Vp

, (12.4)

como suma del hamiltoniano kepleriano Hk

, dado en (7.25), y la funcion Vp

quellamaremos potencial perturbador.

Las ecuaciones de Hamilton aplicadas a este hamiltoniano coinciden con lasecuaciones (12.2) del movimiento orbital, por lo que ambos sistemas son equiva-lentes y llamaremos a H(x,X) hamiltoniano del movimiento orbital.

12.2 Ecuaciones de Lagrange

El movimiento orbital, en ausencia de perturbaciones, coincide con el keple-riano y puede ser descrito a traves de un conjunto de constantes como son loselementos orbitales. Cuando aparecen pequenas perturbaciones el modelo puedeconsiderarse como instantaneamente kepleriano, esto es, en un cierto instante t

0

el movimiento puede ser descrito a traves de seis constantes (a0

, e0

, i0

, ⌦0

,!0

, T0

),llamadas elementos orbitales osculadores, que varıan para un instante posterior.De esta forma, los elementos orbitales pasan de ser constantes a ser variables ent y las funciones (a(t), e(t), i(t),⌦(t),!(t), T (t)) permiten establecer la orbita os-culatriz para cada instante y, con ella, cualquier elemento, incluidas la posicion yla velocidad.

Para encontrar las ecuaciones que rigen la variacion de los elementos orbitalescon respecto al tiempo, que integradas nos determinaran el movimiento orbital,deduciremos la relacion diferencial entre estas y las variables de Delaunay, vistasen el apartado 9.9.

Diferenciando la expresion que define el movimiento medio n2a3 = µ, podemosponer 2na3 dn+ 3n2a2 da = 0, de donde obtenemos

dn = �3n

2ada. (12.5)

Diferenciando la expresion ` = n(t � T ) y sustituyendo el valor de dn por eldado en (12.5) obtenemos

d` = ndt� ndT � 3n

2a(t� T ) da. (12.6)

Ecuaciones de Lagrange 193

Las identidades g = !, h = ⌦, permiten poner

dg = d!, dh = d⌦. (12.7)

Las expresiones de los momentos de Delaunay (9.54) pueden ponerse tambiencomo

L2 = µa, G2 = L2 (1� e2), H = Gci

,

donde hemos introducido la notacion

ci

= cos i, si

= sen i, (12.8)

que sera usada de aquı en adelante.

Diferenciando la primera de las relaciones anteriores se tiene

dL =µ

2Lda. (12.9)

Diferenciando la expresion de G y sustituyendo dL por su valor (12.9) se llega a

dG =µG

2L2

da� L2e

Gde. (12.10)

Finalmente, tras haber sustituido dG por su valor, dado en (12.10), se obtendra pa-ra H

dH =µG

2L2

ci

da� L2e

Gci

de+Gsi

di. (12.11)

Reuniendo las expresiones (12.6),(12.7),(12.9),(12.10),(12.11), resolviendo elsistema de ecuaciones en da, de, di, d⌦, d!, dT y sustituyendo las diferenciales porlas derivadas respecto al tiempo obtendremos finalmente:

da

dt=

2L

µ

dL

dt,

de

dt=

G2

eL3

dL

dt� G

eL2

dG

dt,

di

dt=

ci

Gsi

dG

dt� 1

Gsi

dH

dt,

d⌦

dt=

dh

dt,

d!

dt=

dg

dt,

dT

dt= 1� 1

n

d`

dt� 3L

aµ(t� T )

dL

dt.

(12.12)


Si expresamos el hamiltoniano del movimiento orbital H en variables de De-launay

H = � µ2

2L2

+ Vp

,

las ecuaciones de Hamilton en estas variables seran:

d`

dt=

µ2

L3

+@V

p

@L,

dL

dt= �@Vp

@`,

dg

dt=

@Vp

@G,

dG

dt= �@Vp

@g,

dh

dt=

@Vp

@H,

dH

dt= �@Vp

@h.

(12.13)

Aplicando la regla de la cadena para expresar las derivadas de Vp

respecto delas variables de Delaunay en funcion de las derivadas de V

p

respecto de elementosorbitales se tendra

@Vp

@�=@V

p

@a

@a

@�+@V

p

@e

@e

@�+@V

p

@i

@i

@�+@V

p

@⌦

@⌦

@�+@V

p

@!

@!

@�+@V

p

@T

@T

@�, (12.14)

donde � representa una cualquiera de las variables de Delaunay.

Llevando (12.14) a (12.13), estas a (12.12) y sustituyendo las variables deDelaunay por los elementos orbitales se llegara finalmente a las expresiones:

da

dt= � 2

na

@Vp

@`,

de

dt=

p1� e2

na2e

@Vp

@!� 1� e2

na2e

@Vp

@`,

di

dt=

1

na2p1� e2s

i

@Vp

@⌦� c

i

na2p1� e2s

i

@Vp

@!,

d⌦

dt=

�1na2p1� e2s

i

@Vp

@i,

d!

dt=�p1� e2

na2e

@Vp

@e+

ci

na2p1� e2s

i

@Vp

@i,

d`

dt= n+

2

na

@Vp

@a+

1� e2

na2e

@Vp

@e,

(12.15)

que son llamadas ecuaciones de Lagrange del movimiento planetario o simplemen-te ecuaciones de Lagrange y nos dan la variacion de los elementos orbitales de laorbita perturbada por un potencial V

p

.1

La ultima ecuacion de Lagrange nos da la variacion de la anomalıa media conrespecto al tiempo en lugar de la variacion de la epoca de paso por el periastro.

1En alguna publicacion encontraremos las mismas expresiones con signo de V

p

cambiado,debido a que toman V

p

como la funcion de fuerzas en lugar del potencial.

Ecuaciones de Gauss 195

Esto es ası porque teniendo en cuenta la relacion ` =p

µ/a3(t� T ) podemos ob-tener la variacion de T a partir de la de `. Esta relacion es mas util pues permiteexpresar un cambio de variable de t a ` o, a traves de esta, a las anomalıas verda-dera o excentrica, que sera la variable independiente en la que vendra expresadahabitualmente la perturbacion.

12.3 Ecuaciones de Gauss

Para determinado tipo de perturbaciones y de analisis es mejor la formulacionde las ecuaciones usando la fuerza perturbadora en lugar del potencial. Comosabemos, la relacion entre ambas vendra dada por

rx

Vp

= �P , (12.16)

donde P = PS representa la fuerza expresada en el sistema de referencia espacial.

Habitualmente la fuerza perturbadora viene expresada en el sistema de refe-rencia orbital, PU , por medio de las componentes (P

u

,Pv

,Pn

), o en el de FrenetPF con las componentes (P

t

,Ps

,Pn

). La relacion entre el P y PU viene dada por

P = PS = R3

(⌦)R1

(i)R3

(! + f)PU , (12.17)

esto es, se obtiene mediante el giro que pasa del sistema espacial al orbital. Com-binando (12.16) con (12.17) se obtiene la expresion de r

x

Vp

en funcion de lascomponentes de la fuerza en el sistema orbital.

Finalmente, las expresiones de las derivadas @Vp

/@�, donde sigma representacualquier elemento orbital, se obtienen aplicando la regla de la cadena a travesde la expresion

@Vp

@�= r

x

Vp

· x�

, (12.18)

donde x

�

= (@x

@�,@y

@�,@z

@�) se obtiene derivando, respecto a cada variable orbital

�, las componentes del vector x

x = R3

(⌦)R1

(i)R3

(! + f)r, (12.19)

donde hemos llamado r = (r, 0, 0).


Realizando todo este conjunto de operaciones se llega a las expresiones:

@Vp

@a= � r

aPu

,

@Vp

@e= a cos fP

u

� r(2 + e cos f) sen f

1� e2Pv

,

@Vp

@i= �r sen(! + f)P

n

,

@Vp

@⌦= �rc

i

Pv

+ rsi

cos(! + f)Pn

,

@Vp

@!= �rP

v

,

@Vp

@`=�ae sen fp

1� e2Pu

� a2(1� e2)

rp1� e2

Pv

.

(12.20)

Finalmente, sustituyendo los valores de las expresiones (12.20) en las ecuacio-nes (12.15), y llamando ⌘ =

p1� e2, obtenemos las ecuaciones:

da

dt=

2e sen f

n ⌘Pu

+2 a ⌘

n rPv

,

de

dt=

⌘ sen f

a nPu

+

✓

⌘3

e r n� r ⌘

a2 e n

◆

Pv

,

di

dt=

r cos(! + f)

a2 n ⌘Pn

,

d⌦

dt=

r sen(! + f)

a2 n si

⌘Pn

,

d!

dt=

⌘ cos f

a e nPu

+r(2 + e cos f) sen f

a2 n e ⌘Pv

+r sen(! + f) c

i

a2 n si

⌘Pn

,

d`

dt= n+

✓

�2 ra2 n

+⌘2 cos f

a e n

◆

Pu

� r(2 + e cos f) sen f

a2 e nPn

.

(12.21)

que son llamadas ecuaciones de Gauss.

Observando las ecuaciones de Gauss podemos sacar una serie de conclusionesinteresantes del movimiento orbital:

El semieje y la excentricidad solo estan perturbados por la componenteradial y transversal de la fuerza perturbadora. Si esta fuerza es perpendicularal plano orbital el semieje y la excentricidad no varıan.

La inclinacion y el angulo del nodo solo dependen de la componente normalde la fuerza perturbadora. Si esta fuerza esta contenida en el plano delmovimiento la inclinacion y el angulo del nodo, o lo que es igual el planoorbital, no varıan.

Perturbaciones de corto y largo periodo y seculares 197

Si tenemos en cuenta las relaciones entre (Pu

,Pv

,Pn

) y (Pt

,Ps

,Pn

) dadas porPU = R

3

(�) · PF y las llevamos a (12.21) podemos obtener otra version de lasecuaciones de Gauss en funcion de las componentes de la fuerza en el sistema deFrenet.

12.4 Perturbaciones de corto y largo periodo yseculares

Cuando se analiza el comportamiento del movimiento orbital frente al ke-pleriano, sea cual sea el tipo de fuerza externa que actua sobre el orbitador, seobservan tres tipos distintos de perturbaciones en el movimiento orbital.

Supongamos que queremos analizar la evolucion de un elemento orbital, �,que en el movimiento kepleriano representa una constante y por tanto viene re-presentado, en la grafica 12.1, por una lınea recta. En el movimiento orbital esteparametro dejara de ser constante y su variacion vendra representada por la fun-cion �(t) que puede contener terminos de tres tipos:

Terminos de tipo polinomicos en t. Estos terminos producen un desplaza-miento secular de la grafica de � respecto de su valor kepleriano constante.

Terminos en seno y coseno de las variables angulares !,⌦, i. Puesto queel valor de estas variables angulares varıa muy lentamente estos terminosproducen una oscilacion periodica, de periodo muy grande. Estos terminosson llamados de largo periodo.

Finalmente aparecen senos y cosenos de la variable ` que tiene el periodode la orbita. Estos terminos producen pequenas oscilaciones en torno a lacombinacion de la perturbacion secular y de largo periodo, y son llamadosde corto periodo.

Figura 12.1: Perturbaciones de corto y largo pe-riodo y seculares.

Si se precisa la posicion y ve-locidad de un cuerpo en su orbi-ta en una instante dado es preci-so obtener las tres perturbacio-nes. Sin embargo, si unicamen-te se desea conocer como evolu-cionara una orbita a largo plazo,sin preocuparnos de la posicioninstantanea del cuerpo, podemosprescindir de las perturbacionesde corto periodo y analizar uni-camente las de largo periodo y se-culares.


Esto enlaza con el concepto, muy usado en Astrodinamica, de elementos os-culadores y elementos medios. Los elementos orbitales, que son constantes en elmovimiento kepleriano, se convierten en funciones de t en el movimiento orbital.A los elementos orbitales particularizados en un instante dado se les llama ele-mentos osculadores, porque en dicho instante estos elementos definen una orbitakepleriana instantanea, llamada orbita osculatriz, que tiene un punto de contac-to con la orbita real, justo en el punto del espacio que ocupa el orbitador en elinstante en que se han calculado los elementos orbitales. La orbita osculatriz encada instante representa perfectamente todas las caracterısticas de la orbita realpero unicamente en ese instante.

Los elementos medios son los elementos que se obtienen promediando los ele-mentos osculadores en un periodo orbital. Esto supone, en la practica, eliminar lasperturbaciones de corto periodo, lo que nos permite conocer la evolucion de largoperiodo y secular. La aplicacion de las expresiones del movimiento kepleriano a laorbita promediada, formada a partir de los elementos medios, nos da unicamenteuna aproximacion al comportamiento de la orbita real.

12.5 Metodo de aproximaciones sucesivas

Las perturbaciones de los problemas orbitales vienen expresadas habitualmen-te como un desarrollo en serie de potencias de un pequeno parametro ✏. Las basesmatematicas del tratamiento asintotico de las teorıas de perturbaciones estan amenudo camufladas por el gran numero de variables y de terminos de sus expre-siones. Un ejemplo muy simple nos servira para ilustrar, tanto el metodo clasicode aproximaciones sucesivas, como el concepto de orden de aproximacion de unateorıa.

Sea la ecuacion diferencial de primer orden dada por

x = 2 ✏ t x, x0

= x(t = 0), ✏⌧ 1, (12.22)

cuya solucion general puede expresarse en la forma

x = x0

e✏t2

, (12.23)

cuyo desarrollo en serie de potencias en torno a ✏ viene dado por la expresion

x = x0

X

i�0

✏i

i!t2i = x

0

1 + ✏t2 +✏2

2t4 + . . .

�

. (12.24)

Podemos suponer la solucion x(t) de la ecuacion (12.22) como el resultado deperturbar la ecuacion diferencial x = 0, cuya solucion es x = x

0

, con una pequenaperturbacion 2 ✏ t x

0

. De esta forma, la solucion del problema perturbado sera

x = x0

+ ✏x1

(t) + ✏2x2

(t) + . . . . (12.25)

Perturbaciones de primer orden en el movimiento orbital 199

El metodo de aproximaciones sucesivas consistira en calcular sucesivamente, ordena orden, las expresiones de x

1

(t), x2

(t), etc.

Como primera aproximacion a la ecuacion diferencial (12.22) usaremos la so-lucion de esta haciendo ✏ = 0, esto es de x = 0, que integrada nos da x = x

0

.Esta sera llamada solucion de orden cero o del problema no perturbado, porqueen ella no aparece ✏ ni, por lo tanto, el efecto de la perturbacion. En el problemaorbital la solucion de orden cero coincidira con la del modelo kepleriano.

Una solucion mas aproximada se obtiene tomando como ecuacion diferencialel resultado de sustituir la solucion de orden cero en la ecuacion (12.22), con loque la ecuacion diferencial se transforma en x = 2 ✏ t x

0

, o bien, dx = 2 ✏ t x0

dt,cuya integracion nos da

x� x0

=

Z

t

0

2 ✏x0

t dt = ✏x0

t2,

o lo que es igual x = x0

⇥

1 + ✏ t2⇤

, que es llamada solucion de primer orden, puesen ella aparecen terminos lineales en ✏.

Para aumentar la aproximacion, introduzcamos la solucion de primer ordenen la ecuacion original (12.22) lo que nos lleva a la ecuacion diferencial

dx

dt= 2✏x

0

⇥

1 + ✏ t2⇤

t, (12.26)

que integrada resulta

x0

1 + ✏ t2 +✏2

2t4�

, (12.27)

y es llamada solucion de orden dos. El proceso puede repetirse hasta obtener laprecision deseada, obteniendose terminos cada vez mas pequenos que se aproximancada vez mas a la solucion correcta. Como puede verse, la solucion de orden ncorresponde a truncar el desarrollo en serie (12.24) en el orden n.

12.6 Perturbaciones de primer orden en el movi-miento orbital

En el problema orbital no perturbado el valor de Vp

= 0, llevado a las ecuacio-nes de Lagrange (12.15), nos permite obtener la solucion de orden cero, que puedeexpresarse en elementos orbitales como � = �

0

, donde usaremos el sımbolo � pararepresentar uno cualquiera de los seis elementos orbitales y � para el vector deelementos orbitales ordinarios � = (a, e, i,⌦,!, T ).

El valor de la perturbacion Vp

no suele venir expresado en funcion de t sino dela anomalıa verdadera f o la excentrica E, por lo que las ecuaciones de Lagrangeestaran expresadas en una de las dos formas que siguen:

� = �(�, f) = (�, E). (12.28)


La solucion de primer orden se obtendra sustituyendo � por �

0

en la partederecha de las ecuaciones de Lagrange e integrando estas. De esta forma, el sistemade ecuaciones diferenciales puede tratarse como seis ecuaciones diferenciales quepueden integrarse de manera independiente, obteniendo, por separado, la variacionde primer orden de cada uno de los elementos orbitales por medio de las ecuaciones

� = �(�0

, f) = (�0

, E). (12.29)

Si Vp

viene expresada en funcion de f sera necesario sustituir � por d�/d f .Para ello, teniendo en cuenta la ley de las areas r2f = G, podremos poner

d�

df=

d�

dt

dt

df=

r2

G�(�

0

, f) =p2

G

�(�0

, f)

(1 + e cos f)2,

que integrada nos dara la solucion de primer orden

� � �0

=p2

G

Z

f

0

�(�0

, f)

(1 + e cos f)2d f. (12.30)

Si Vp

viene expresada en funcion de E sera necesario sustituir � por d�/dE.Para ello, teniendo en cuenta la ecuacion de Kepler, n t = E � e senE, podremosponer E = n/(1� e cosE) = na/r, y por tanto

d�

dE=

d�

dt

dt

dE=

r

na (�

0

, E) =1

na (�

0

, E)(1� e cosE),

que integrada nos dara la solucion de primer orden

� � �0

=1

na

Z

E

0

(�0

, E)(1� e cosE)dE. (12.31)

La eleccion de (12.30) o (12.31) para la integracion dependera de cual de lasdos es mas facil de integrar. En general el criterio buscado sera que las expresionestrigonometricas aparezcan siempre en el numerador del integrando.

Si en las ecuaciones (12.30) y (12.31) tomamos el valor 2⇡ como lımite superiorde integracion lo que obtenemos es la variacion de primer orden de cada elementoorbital en un periodo o vuelta de la orbita. Esto es equivalente a promediar sobre lavariable ` y por tanto eliminar la dependencia de esta variable. Lo que obtenemosentonces es la variacion de largo periodo y secular que nos indicara la evoluciona largo plazo de la orbita.

12.7 Propagadores orbitales

La variacion de primer orden de los elementos orbitales nos da un grado deaproximacion mejor que la aproximacion kepleriana y puede ser suficiente para

Propagadores orbitales 201

determinadas aplicaciones, sin embargo, no lo es cuando se requiere una granprecision.

El objetivo de este libro se aparta de la Mecanica Celeste clasica por lo que noabordaremos el problema del movimiento de planetas y otros astros del sistemasolar, de hecho, supondremos que se dispone de un modelo preciso del movimientodel mismo, sin el cual no podremos formular perturbaciones como la del tercercuerpo o la presion de radiacion que veremos en capıtulos posteriores. Este modelode sistema solar puede encontrarse2 en las rutinas JPL Planetary and LunarEphemerides DE405.

Como se vera en capıtulos posteriores la formulacion de las perturbaciones queactuan sobre la orbita de una nave espacial es muy compleja, ademas, en la mayorparte de los casos, contiene elementos mal modelados o de muy difıcil calculo, porello, una integracion de precision de un problema orbital resulta una ardua tarea.Tradicionalmente existen tres formas de abordar esta integracion: los metodosanalıticos, que en Astrodinamica se llaman a veces metodos generales de pertur-baciones; los numericos, tambien llamados metodos especiales de perturbaciones;y finalmente los seminumericos.

La existencia de una expresion analıtica que determine la evolucion de unparametro orbital con respecto al tiempo es la situacion optima para el estudiode un sistema dinamico, sin embargo, esto exige una integracion analıtica de lasecuaciones diferenciales de dicho sistema lo que en la mayor parte de los casosresulta una tarea casi imposible. En el caso de que no se disponga de dicho modeloanalıtico sera necesario acudir a un modelo numerico, que partiendo del valor delos parametros orbitales en el instante inicial, construye la solucion, paso a pasoen el tiempo, hasta llegar al instante deseado.

En el caso de la navegacion espacial no es posible encontrar una integracionanalıtica para un modelo que considere todas las perturbaciones, sin embargo,si son posibles estas integraciones efectuando ciertas restricciones en los modelosperturbadores con lo que se pierde precision en el modelo. Estas soluciones son,en ocasiones, un buen compromiso entre eficiencia computacional y precision yjuegan un importante papel en estudios de comportamiento orbital a largo plazo,tiempo de vida de una mision, analisis de determinados tipos de orbitas particu-lares, etc. Dentro de los metodos analıticos mas usados tenemos el modelo SGP4,que es el origen de las variables TLE. Esta variables, junto con el metodo analıticoal que estan asociadas, seran descritas en el siguiente apartado. Los modelos semi-numericos combinan ambas tecnicas para aprovechar la precision de los numericosy la eficiencia de los analıticos.

Sea cual sea el metodo de integracion usado, el objetivo final es generar unasecuencia de efemerides del orbitador a partir de las condiciones iniciales de unproblema orbital. La herramienta que se encargara de construir tal secuencia deefemerides se llama propagador y debe estar formada por una serie de elementos

2ftp://[email protected]/pub/eph/planets


que analizaremos en este apartado. Estableceremos cuatro modulos basicos quedebe tener un propagador

Tratamiento de los sistemas de referencia.

Formulacion del modelo de fuerzas.

Integrador.

Analisis de los resultados.

La integracion del problema se debe realizar en un sistema de referencia iner-cial, habitualmente elegiremos el sistema S

G, sin embargo, muchos de los elemen-

tos de las perturbaciones son formulados en otros sistemas, y el analisis de losresultados exige tambien dichos cambios; por ello es muy importante disponeren el propagador de una herramienta para realizar todos los posibles cambios dereferencia vistos en los capıtulos 3, 4 y 7.

En cuanto a la formulacion del modelo el propagador debe permitir la eleccionde distintos modelos de perturbaciones, pero es importante que pueda formular almenos las cuatro perturbaciones mas importantes del satelite: potencial terrestre,rozamiento atmosferico, presion de radiacion solar y perturbacion de un tercercuerpo. Para la formulacion de estos modelos se debe disponer de varios modelosde potencial terrestre o planetario, con la posibilidad de elegir el grado maximoque se tomara en el potencial elegido. El potencial planetario debe ser elegido entrealguno de los posibles modelos que se mencionan en el capıtulo 15. Finalmente,la formulacion del modelo de presion de radiacion y la del tercer cuerpo exigen elcalculo de efemerides de cuerpos del sistema solar, bien sea el modelo DE405 delJPL u otro menos preciso.

En cuanto al integrador podemos elegir entre una serie de metodos numericos,aunque hay que conocer las caracterısticas de cada metodo para aplicar el masindicado al problema.

Finalmente se debe disponer de una serie de herramientas para el analisis de losresultados, entre ellas, todas las relaciones del movimiento kepleriano, el calculode eclipses, las trayectorias del satelite sobre la superficie terrestre o traza, etc.

La construccion de un propagador orbital es una compleja tarea que excedelas posibilidades de la mayor parte de los usuarios que necesiten utilizarlos. Afor-tunadamente existe un buen numero de propagadores, tanto profesionales comosoftware libre.

Entre los profesionales senalaremos unicamente uno de los mas usados y cono-cidos: el propagador comercial STK3 de Analytical Graphics Inc’s. Este software,del que existe una version de prueba gratuita, consta ademas de un potente en-torno grafico donde analizar y formular cualquier aspecto de una mision espacialcon una serie de herramientas matematicas muy sofisticadas.

3STK: http://www.agi.com

Propagador SGP4/SDP4 y variables TLE 203

Entre los propagadores de libre distribucion nos encontramos dos tipos dife-rentes: los que tienen un entorno grafico tipo STK y las librerıas de software.Entre los que poseen un entorno grafico destacaremos el software GMAT4, queesta siendo desarrollado por la NASA. A fecha de agosto de 2012 dispone de unaversion beta, pero casi completamente operativa, para Windows y de las fuentesen C++ para el resto de los sistemas operativos.

Como librerıas de software mencionaremos tres: una escrita en lenguaje C++,llamada GAL5 (General Astrodynamics Library), y otras dos escritas en lenguajeJAVA, por un lado JAT6 (Java Astrodynamics Toolkit) y por otro OREKIT 7

(ORbits Extrapolation KIT). En todos los casos se trata de librerıas de bajo nivel,que incorporan metodos muy precisos y modernos, pero cuyo uso entrana ciertadificultad.

Para estudios mas simples, que no requieran de los complicados desarrollosrealizados por un propagador, resulta util disponer de herramientas menos com-plicadas integradas en entornos de desarrollo de tipo matematico como Matlabo Mathematica. Estas herramientas suelen ser mas sencillas de usar y proporcio-nan mejores y mas rapidos resultados en el analisis de aspectos concretos de unamision espacial. Integrado en Matlab podemos mencionar ODTBX8 (Orbit De-termination Toolbox) desarrollado por la NASA. El paquete Orbits9, integradoen Mathematica, esta siendo actualmente desarrollado por varios miembros delGrupo de Mecanica Espacial de la Universidad de Zaragoza y aparecera proxima-mente en la pagina web del grupo senalada al pie de pagina.

12.8 Propagador SGP4/SDP4 y variables TLE

No todo usuario que deba realizar un seguimiento de un satelite artificial dis-pone de un buen propagador ni de los datos del vector de estado inicial necesariospara propagar la orbita. La solucion en este caso consiste en usar el propagadoranalıtico SGP4/SDP4, cuyas rutinas, de libre distribucion, estan escritas en FOR-TRAN aunque hay versiones en C y C++, y obtener los datos de dicho sateliteen el formato TLE, elementos de dos lıneas, catalogados, actualizados y distribui-dos10 junto con el software, por el NORAD (North American Aerospace DefenseCommand).

En el ano 1966 se desarrollo el modelo SGP, Simplified General Perturbations,basado en una simplificacion de la teorıa de Kozai, que considera el efecto delrozamiento atmosferico. Este modelo parte de un conjunto de constantes que

4GMAT: http://gmat.gsfc.nasa.gov5GAL: http://www.amsat-bda.org/GAL Home.html6JAT: http://jat.sourceforge.net7OREKIT:https://www.orekit.org8ODTBX: http://opensource.gsfc.nasa.gov/projects/ODTBX9Orbits: http://gme.unizar.es/software/orbits

10http://celestrak.com/


representan, entre otros parametros, unos valores medios de los elementos orbitalesa partir de los cuales se realiza la propagacion. Estos elementos reciben el nombrede elementos de dos lıneas, TLE, y seran descritos mas adelante.

Posteriormente, hacia 1970, se crea un segundo modelo que efectua una sim-plificacion de la teorıa de Brouwer. Este modelo, llamado SGP4 es distinto y maspreciso que el anterior, aunque sus constantes se adaptan a la definicion de losTLE para hacerlos compatibles. Esto sera cierto para todos los modelos posterio-res. El siguiente modelo SDP4 es una adaptacion del modelo SGP4 a satelites deperiodo mayor o igual que 225 minutos, lo que corresponde a una altitud de unos6000 km. El modelo SDP4 anade la perturbacion Luni-Solar y algunos armonicosdel potencial terrestre que afectan a orbitas de periodo igual a medio dıa o undıa. Finalmente, en 1980, se crearon los modelos SGP8/SDP8 que incluye otrosmodelos de atmosfera y efectua la integracion de una manera distinta.

Los modelos SGP4/SDP4 son los mas usados y aseguran una probabilidad del90% de que el satelite se encuentre a una distancia menor de 5 km de la posicioncalculada si los elementos TLE del satelite estan suficientemente actualizados. Sinembargo, cuando los TLE son antiguos la orbita se degrada mucho y no es fiable.La actualizacion de los TLE de los satelites debe ser muy frecuente cuando elsatelite es de orbita baja y obligatoria cuando se realiza alguna maniobra que locambie de orbita.

Los elementos obtenidos al propagar una orbita a partir de los elementosTLE por medio de el modelo SGP4/SDP4 se suponen referidos a un sistemade referencia centrado en la Tierra y que tiene el ecuador verdadero de la fechacomo plano fundamental y el equinoccio medio como eje Ox. Este sistema coincidecon el sistema E

�

0m

definido en el capıtulo 4.

Los elementos TLE sirven de elementos iniciales para el calculo de los elemen-tos osculadores de la orbita de un satelite artificial en un instante dado. Estoselementos vienen dados con el siguiente formato:

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA1 NNNNNA NNNNNAAA NNNNN.NNNNNNNN +.NNNNNNNN +NNNNN-N +NNNNN-N N NNNNN2 NNNNN NNN.NNNN NNN.NNNN NNNNNNN NNN.NNNN NNN.NNNN NN.NNNNNNNNNNNNNN

donde A representa cualquier caracter y N un dıgito.

Este formato proviene de las lıneas de 80 caracteres de los sistemas de entrada-salida, basados en fichas perforadas, de los antiguos ordenadores y es un formatode tres lıneas en lugar de las dos que anuncia su nombre. La primera lınea, llamadalınea 0 es un nombre de 24 caracteres consistente con la longitud de los nombresdel catalogo de satelites del NORAD.

Los elementos de la lınea uno se describen a continuacion, dando en primerlugar el numero de columna y despues la descripcion:

01 Numero de la lınea.

Propagador SGP4/SDP4 y variables TLE 205

03-07 Numero del satelite.

08 Clasificacion: S significa secreto o clasificado, U significa no clasificado.

10-11 Dos ultimos dıgitos del ano de lanzamiento.

12-14 Numero de orden del lanzamiento en el ano.

15-17 Pieza del lanzamiento.

19-20 Dos ultimos dıgitos del ano.

21-32 Dıa del ano y fraccion.

34-43 Primera derivada del movimiento medio n. Tanto este campo como elsiguiente utilizan una notacion decimal especial. Los primeros campos sonla mantisa sin el punto decimal, los dos ultimos el exponente, ası -12345-6representa �0.12345⇥ 10�6.

45-52 Segunda derivada del movimiento medio n. Suele ponerse igual a cero.

54-61 Termino balıstico modificado.

63 Numero de veces que han sido actualizados estos elementos.

65-69 Numeros de control.

Los elementos de la lınea 2 son

01 Numero de la lınea.

03-07 Numero del satelite.

09-16 Inclinacion, i, en grados.

18-25 Angulo del Nodo, ⌦, en grados.

27-33 Excentricidad, e. No se pone el punto decimal al principio.

35-42 Argumento del perigeo, !, en grados.

44-51 Anomalıa media, `, en grados.

53-63 Movimiento medio, n en revoluciones por dıa.

64-68 Numero de vueltas en la epoca.

69 Numeros de control.

Hay que recordar que estos elementos son elementos medios, no osculadores,esto es, no podemos obtener directamente, a partir de ellos, el vector de estado enun instante. Para hacer esto es necesario obtener antes los elementos osculadoresaplicando el modelo SGP4/SDP4.

El calculo de los elementos TLE a partir de los elementos osculadores requiereun proceso numerico que no va a ser desarrollado en este libro.

Capıtulo 13

Problema de n cuerpos

13.1 Formulacion del problema de n cuerpos

La ley de atraccion gravitacional de Newton puede formularse de la siguientemanera: “La atraccion mutua ejercida entre si por dos puntos materiales P

1

, P2

, demasas respectivas m

1

,m2

, es directamente proporcional al producto de las masase inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r entre los dos cuerpos”.La constante de proporcionalidad G es llamada constante de gravitacion universal.

La ley anterior es la base de todo el estudio de los movimientos orbitales, tantoen el sistema solar como fuera de el, pues determina tambien la dinamica de lossistemas estelares multiples. Si pensamos en el sistema solar y prescindimos, por elmomento, del hecho de que todos los cuerpos del mismo son solidos (rıgidos o no),la forma mas general de modelar el movimiento de estos cuerpos es a traves delllamado problema de n cuerpos, que consiste en el estudio de n puntos materialesatraıdos entre si por la ley de atraccion gravitacional enunciada por Newton.

Si llamamos Pi

, i = 1, . . . n, a los n puntos, mi

a sus masas y r

i

= OPi

a susvectores de posicion referidos a un sistema de referencia ortogonal directo e iner-cial, las ecuaciones del movimiento de cada uno de esos puntos podra formularsecomo

mi

r

i

= Gn

X

k=1(k 6=i)

mi

mk

r3ik

r

ik

, i = 1, . . . n, (13.1)

donde hemos llamado r

ik

= r

k

� r

i

y rik

= k rik

k.

208 Problema de n cuerpos

O

Pi

Pj

r

i

r

j

r

ij

Figura 13.1: Posiciones relativas de dospuntos en el problema de n cuerpos.

La integracion algebraica de esteproblema de orden 6n resulta impo-sible, en la practica, cuando n > 2.Como veremos a continuacion podre-mos encontrar 10 integrales del mismode manera sencilla, pero ya en el cason = 3 las dos integrales que resuelvancompletamente el problema solo pue-den obtenerse en algunos casos parti-culares.

Afortunadamente, en la mayorparte de los problemas reales, la mag-nitud de las masas y las distanciasmutuas entre los distintos puntos estal que permite tomar el modelo massimple de dos cuerpos, el astro del queestudiamos la orbita y el principal que sera el Sol o la Tierra, y considerar la acciondel resto de los astros como una pequena perturbacion a este modelo.

No es nuestro proposito efectuar un estudio riguroso del problema de n cuer-pos que puede verse en muchos tratados de Mecanica Celeste, sin embargo, ob-tendremos ahora las 10 integrales anunciadas anteriormente por su importantesignificado astronomico.

En primer lugar, si sumamos las n ecuaciones (13.1), obtendremos

n

X

i=0

mi

r

i

= 0,

que tras una doble integracion nos lleva a la condicion

n

X

i=0

mi

r

i

= At+B, (13.2)

donde A,B representan 6 constantes de integracion, llamadas integrales del cen-tro de masas, que indican que el movimiento del centro de masas del sistemaformado por los n puntos es rectilıneo y uniforme. Desde el punto de vista practi-co, suponiendo que el sistema solar esta aislado, esto nos indica un movimientoen lınea recta y con velocidad constante para todo el sistema solar en su con-junto, mientras que, a su vez, todos los cuerpos del mismo se mueven alrededordel centro de masas. Pensemos que, debido a la gran masa del Sol, el centro demasas del sistema solar esta en el interior del mismo, por lo que tendra bastantesentido considerar el Sol como origen y estudiar el movimiento de todos los astrosen torno al Sol.

Por otro lado, multiplicando vectorialmente cada una de las ecuaciones (13.1)por r

i

y teniendo en cuenta las propiedades del sumatorio extendido a dos ındices

Modelo planetario 209

tendremos

n

X

i=0

mi

r

i

⇥ r

i

= GX

i

X

k

mi

mk

r3ik

r

i

⇥ r

ik

= GX

i

X

k

mi

mk

r3ik

r

i

⇥ r

k

= 0,

lo que permite ponern

X

i=0

mi

r

i

⇥ r

i

= G, (13.3)

donde G representa el momento angular del sistema que resulta ser constante.De esta forma tenemos 3 nuevas integrales del problema de n cuerpos. La ultimaintegral del problema es la integral de la energıa.

13.2 Modelo planetario

Teniendo en cuenta la gran masa del Sol, comparada con la de cualquier pla-neta, las ecuaciones del movimiento de cada planeta podran formularse de formasimilar a las ecuaciones del movimiento kepleriano, con unos terminos adiciona-les que constituyen una perturbacion a este modelo debida al resto de planetas.Para ello, volvamos a las ecuaciones (13.1) y formulemos, a partir de ellas, las delmovimiento relativo, esto es, las ecuaciones que rigen la variacion de los vectoresr

ij

. Para ello basta considerar

r

ij

= r

j

� r

i

, (13.4)

que da lugar a la expresion

r

ij

= �G(mi

+mj

)r

ij

r3ij

+ GX

k 6=i,j

mk

r

jk

r3jk

� r

ik

r3ik

!

. (13.5)

Supondremos ahora el modelo extendido a n+1 puntos i = 0, 1, . . . n de formaque la masa de P

0

sea muy grande en relacion con las demas m0

� mi

, i =1, . . . , n, lo cual resulta cierto en el caso del Sol y el sistema solar. Si llamamosahora

x

i

= P0

Pi

= r

0n

, ri

= kxi

k,lo que en la practica equivale a tomar P

0

como origen, podremos poner las ecua-ciones del movimiento anteriores como

x

i

+ µi

x

i

r3i

= GX

k 6=i,n

mk

✓

x

k

� x

i

kxk

� x

i

k3 �x

k

kxk

k3◆

, (13.6)

donde µi

= G(m0

+mi

).

Notese que el termino de la izquierda de estas ecuaciones es identico al de lasecuaciones (7.23), mientras que el de la derecha no es cero, sino que es proporcional


a la masa de cada uno de los otros cuerpos, por lo que tendra un valor pequenoen modulo. Al considerar esta aproximacion en el sistema solar podremos suponertodos los valores µ

i

= Gm0

, lo que supone en la practica despreciar la masa delos planetas frente a la del Sol.

La perturbacion que cada punto Pk

ejerce sobre la orbita de Pi

respecto a P0

viene dada por dos sumandos. El primero depende de la posicion de Pi

y por ellose llama atraccion o perturbacion directa, mientras que el segundo no depende dela posicion de P

i

y es llamado atraccion o perturbacion indirecta.

13.3 Perturbacion luni-solar del satelite artificial

Cuando se considera el problema del movimiento de un satelite artificial entorno a la Tierra, la aproximacion kepleriana consistente en tomar la Tierra y elsatelite como puntos aislados puede resultar insuficiente si se tiene en cuenta quetanto el Sol como la Luna estan perturbando este modelo.

Para estudiar esta perturbacion se tiene en cuenta que la combinacion de masay distancia, tanto de la Luna como del Sol, permiten una formulacion basada enel modelo planetario, tomando La Tierra como cuerpo central y el satelite comoorbitador y considerando que la Luna y el Sol perturban este movimiento actuandocomo un tercer cuerpo en el modelo planetario.

Llamando x a la posicion de un satelite respecto de la Tierra y escribiendoel subındice k para expresar un tercer cuerpo que perturba este movimiento,podremos poner

x+ µx

r3= Gm

k

✓

x

k

� x

kxk

� x k3 �x

k

kxk

k3◆

= Pk

. (13.7)

Este modelo permitira estudiar, tanto el efecto producido por el Sol en la orbita dela Luna en torno a la Tierra, como la perturbacion que el Sol y la Luna producenen la orbita de un satelite artificial.

Dada la funcion escalar

Vk

= �Gmk

✓

1

kxk

� x k �x · x

k

kxk

k3◆

,

podemos comprobar, por simple derivacion, que su gradiente respecto a x podra po-nerse en la forma

Pk

= �rx

Vk

,

lo que permitira decir que la funcion hamiltoniana del problema del movimientoorbital, perturbado por un tercer cuerpo, puede expresarse como

H = H0

+ Vk

=1

2X ·X � µ

kx k � Gmk

✓

1

kxk

� x k �x · x

k

kxk

k3◆

, (13.8)

donde H0

es el hamiltoniano del problema no perturbado o kepleriano y Vk

elpotencial perturbador.

Problema de tres cuerpos 211

13.4 Problema de tres cuerpos

Si en lugar de n se consideran unicamente tres masas puntuales se tiene elllamado problema general de tres cuerpos. Ası como el problema de dos cuerposes un problema integrable, el tercer cuerpo anade a la dinamica del sistema unaenorme complejidad que lo hace no integrable salvo en unos pocos casos particu-lares. Sin embargo, este es el sistema que debe considerarse cuando se piensa enel movimiento de una nave espacial en el interior del sistema Tierra-Luna, o porejemplo el movimiento de un asteroide o cometa proximo a Jupiter, lo que obligaa considerar el sistema Sol-Jupiter-Asteroide.

Si particularizamos para tres cuerpos las ecuaciones del movimiento relativode n cuerpos dadas por (13.5) tendremos:

r

12

= �G(m1

+m2

)r

12

r312

+ Gm3

✓

r

23

r323

� r

13

r313

◆

, (13.9)

r

13

= �G(m1

+m3

)r

13

r313

+ Gm2

✓

r

32

r332

� r

12

r312

◆

, (13.10)

r

23

= �G(m2

+m3

)r

23

r323

+ Gm1

✓

r

31

r331

� r

21

r321

◆

. (13.11)

El movimiento de P3

en torno a P1

y P2

viene representado por las ecuaciones(13.10) y (13.11) respectivamente, pero en ocasiones suele expresarse este conrespecto al centro de masas C del sistema formado por los primarios P

1

y P2

. Sillamamos r = CP

3

al vector de posicion de P3

respecto a C y tenemos en cuentaque CP

3

= CP1

+ P1

P3

, que CP1

= OP1

� OC y que P1

P3

= r

13

, OP1

= r

1

yOC = (m

1

r

1

+m2

r

2

)/(m1

+m2

), podremos poner finalmente

r = r

13

� m2

m1

+m2

r

12

,

que derivada dos veces y junto con (13.10) y(13.9) permite poner

r = �G(m1

+m3

)r

13

r313

� Gm2

r

23

r323

� G m2

m3

m1

+m2

✓

r

23

r323

� r

13

r313

◆

. (13.12)

13.4.1 Problema restringido

La complejidad del problema general de tres cuerpos se reduce notablementesi aplicamos una caracterıstica que se presenta en muchos problemas: la masadel tercer cuerpo es despreciable frente a la de los otros dos que son llamadosprimarios. Esto es cierto, por ejemplo, en el caso de los Asteroides cuando secomparan con el Sol y Jupiter y lo es tambien para cualquier nave espacial en elsistema Tierra-Luna.


Supondremos, por tanto, que el punto P3

tiene masa despreciable frente a lade P

1

y P2

, es decir supondremos que m3

= 0 con lo que la ecuacion (13.9) setransforma en

r

12

= �G(m1

+m2

)r

12

r312

, (13.13)

que nos indica que P3

no modifica el movimiento de los primarios, P1

, P2

, que serigen por las ecuaciones del problema de los dos cuerpos, esto es, presentan unmovimiento kepleriano.

La propiedad anterior reduce el problema restringido al estudio del movimientode P

3

. Para ello usaremos las ecuaciones (13.10) o (13.11) que particularizadaspara m

3

= 0 se transforman en

r

13

= �Gm1

r

13

r313

� Gm2

✓

r

23

r323

+r

12

r312

◆

, (13.14)

r

23

= �Gm2

r

23

r323

� Gm1

✓

r

13

r313

� r

12

r312

◆

, (13.15)

o bien, la ecuacion de P3

respecto al centro de masas C de P1

y P2

, que vendra dadapor la ecuacion (13.12) que, particularizada para m

3

= 0, sera

r = �Gm1

r

13

r313

� Gm2

r

23

r323

. (13.16)

13.4.2 Problema restringido circular

Para realizar un analisis cualitativo de este problema resulta conveniente res-tringir un poco mas las condiciones del mismo, teniendo en cuenta que las conclu-siones del analisis que realicemos se podran extender a problemas mas generales.En este caso, supondremos que la orbita de los primarios es una orbita circularque se encuentra el el plano fundamental (Oxy) del sistema inercial.

Tomaremos el radio de la orbita de los primarios como unidad de longitud yelegiremos una unidad de tiempo en la que el periodo de los primarios sea 2⇡ o,lo que es igual, su movimiento medio o velocidad angular n = 1. De esta forma,el angulo que forma el eje de los primarios con el eje Ox del sistema inercialsera igual al angulo n t, es decir al tiempo t.

Por ultimo, la suma de las masas de los primarios sera tomada como unidadde masa m

1

+ m2

= 1, lo que nos permite definir un nuevo parametro ⌘ = m2

,que transforma el valor de la masa de P

1

en m1

= 1� ⌘.

En estas condiciones podemos cambiar el sistema de referencia para pasar alsistema sinodico que es un sistema basado en la orbita de los primarios, en el queel plano Oxy coincide con el plano de la orbita, el eje Ox es la direccion de larecta que une P

1

con P2

y el origen coincide con su centro de masas. El paso a


este sistema se pondra representar a partir de la matriz de rotacion R3

(t) en laforma

r = R3

(t)⇣, r

13

= R3

(t)⇣1

, r

23

= R3

(t)⇣2

, (13.17)

donde ⇣ = (x, y, z) representa el vector de posicion de P3

respecto al centro demasas de los primarios en el sistema de referencia sinodico. El vector ⇣

i

representael vector que une P

i

con P3

expresado tambien en el sistema sinodico. En estesistema, y con las unidades establecidas, se tendra CP

1

= (�⌘, 0, 0), CP2

=(1� ⌘, 0, 0) y CP

3

= ⇣ = (x, y, z), por lo que

⇣

1

= (x+ ⌘, y, z), ⇣

2

= (x+ ⌘ � 1, y, z). (13.18)

Por otro lado, derivando r = R3

(t)⇣ y agrupando la expresion se puede de-mostrar que

r = R3

(t)

0

@

x� 2y � xy + 2x� y

z

1

A . (13.19)

Finalmente, si llevamos (13.17), (13.18) y (13.19) a (13.16) e igualamos com-ponente a componente podremos poner:

x� 2y � x = (1� ⌘)x+ ⌘

r21

� ⌘x+ ⌘ � 1

r22

,

y + 2x� y = (1� ⌘) yr21

� ⌘ y

r22

,

z = (1� ⌘) zr21

� ⌘ z

r22

,

(13.20)

donde r21

= (x+ ⌘)2 + y2 + z2, r22

= (x+ ⌘ � 1)2 + y2 + z2.

13.4.3 Puntos de Lagrange

En todo sistema dinamico el conocimiento de las soluciones de equilibrio resul-ta de gran interes para el estudio cualitativo global del sistema. En el problemarestringido de tres cuerpos existen cinco soluciones de equilibrio, los puntos deLagrange, que se pueden extender al problema general de tres cuerpos, y quetienen una gran importancia desde el punto de vista de la Astrodinamica.

Un punto de equilibrio es un punto en el que un cuerpo situado con unavelocidad inicial nula se mantiene indefinidamente en esa posicion. Para encontrarlos puntos de equilibrio basta tener en cuenta que estos verificaran: x = x

0

, y =y0

, z = z0

por lo que se tendra x = y = z = 0, x = y = z = 0, condiciones quellevadas a (13.20) nos dan

x� (1� ⌘)x+ ⌘

r31

� ⌘x+ ⌘ � 1

r32

= 0,

y � (1� ⌘) yr31

� ⌘ y

r32

= 0,

(1� ⌘) zr31

� ⌘ z

r32

= 0.

(13.21)


De la ultima de las ecuaciones anteriores se deduce que z = 0, luego lassoluciones de equilibrio deben estar en el plano del movimiento de los primarios.

La segunda ecuacion se cumplira si se verifica

1� (1� ⌘) 1r31

� ⌘ 1

r32

= 0.

para lo cual basta que r1

= r2

= 1, en cuyo caso se cumple tambien la primera.Existen dos puntos que cumplen esta condicion, junto con z = 0 y son los dospuntos del plano de los primarios que forman con ellos un triangulo equilatero.Estos son los llamados puntos L

4

y L5

de Lagrange.

Si los puntos no forman un triangulo equilatero la unica forma de verificarse lasegunda condicion sera con y = 0 que, junto con z = 0, indica que las solucionesde equilibrio restantes deben estar en el eje de los primarios.

Si hacemos y = z = 0 se tendra r1

= |x + ⌘|, r2

= |x + ⌘ � 1| por lo que laprimera ecuacion (13.21) se escribira como

x� (1� ⌘) x+ ⌘

|x+ ⌘|3 � ⌘x+ ⌘ � 1

|x+ ⌘ � 1|3 = 0, (13.22)

ecuacion que representa un polinomio de grado tres cuyas tres soluciones, para unvalor concreto de ⌘, representan los tres puntos de equilibrio colineales que sonllamados puntos L

1

, L2

y L3

de Lagrange.

L1

L2

L3

P1

P2

Figura 13.2: Posiciones relativas de L1, L2, L3 para distintos valores de ⌘.

La figura 13.2 representa, para los distintos valores de ⌘ entre 0 y 1 (ejevertical), las posiciones relativas de los tres puntos de equilibrio. Siempre hay unpunto entre P

1

y P2

que es llamado L1

y que esta mas proximo al menos masivode los primarios. Los otros dos puntos se encuentran detras de cada primario, ymas proximo a este cuanto menor sea su masa.


P1

P2

L1

L2

L3

L4

L5

Figura 13.3: Puntos de Lagrange en el proble-ma de tres cuerpos.

La masa de la Luna es apro-ximadamente 81 veces menor quela de la Tierra, lo que nos da unvalor, para el sistema Tierra-Luna,de ⌘ = 0.0123. El punto L

1

se en-cuentra entre la Tierra y la Lunaa un distancia de la Tierra igual0.836182 si se toma como unidad ladistancia Tierra-Luna. Si tomamosuna distancia media de 384400 km,el punto L

1

esta a 321094 km de laTierra y 62906 km de la Luna. Elpunto L

2

se encuentra detras de laLuna a una distancia de unos 60002km de esta.

En la figura 13.3 se representan los cinco puntos de Lagrange para un sistemaen el que la masa de P

2

es menor que la de P1

.

Figura 13.4: Orbitas en herradura.

Los puntos triangulares del sis-tema Sol-Jupiter son llamados tam-bien puntos troyanos porque ensus proximidades se han encontradouna serie de pequenos asteroides,llamados tambien troyanos, con unpeculiar movimiento asociado a di-chos puntos y a la dinamica del pro-blema de tres cuerpos. En efecto,las orbitas pasan por las proximi-dades de L

4

y comienzan un viajeque les lleva por detras de L

3

has-ta llegar a las proximidades de L

5

.Este punto se rodea y comienza unnuevo viaje que pasa entre L

3

y P1

pero mas proximo al primero hastaque llega de nuevo a L

4

rodeando-lo y comienza de nuevo este ciclo.Este tipo de orbitas, de las que po-demos observar un ejemplo en la fi-

gura 13.4, son llamadas orbitas en herradura y dan idea de la complejidad quepuede llegar a tener la dinamica de tres cuerpos.

Ademas de los ejemplos de orbitas naturales proximas, o relativas, a puntosde equilibrio, como las de los asteroides troyanos, podemos beneficiarnos de ellospara construir cierto tipo de orbitas muy utiles desde el punto de vista de lanavegacion espacial. Por ejemplo, las propiedades de un punto de Lagrange deequilibrio estable, permitirıa situar en sus proximidades una estacion espacial cuyo


mantenimiento en orbita serıa muy barato. Otro ejemplo lo contituyen un tipode orbitas periodicas, llamadas orbitas halo, alrededor del punto L

2

del sistemaTierra–Luna, por detras de esta, de gran importancia para las comunicacionescon futuras bases espaciales fijas situadas en la cara oculta de la Luna.

13.4.4 Curvas de velocidad cero

Si definimos la funcion

⌦ =1

2(x2 + y2) +

1� ⌘r1

+⌘

r2

, (13.23)

las ecuaciones (13.20) podran ponerse como

x� 2y � x =@⌦

@x,

y + 2x� y =@⌦

@y,

z + z =@⌦

@z.

(13.24)

Por otro lado, derivando el cuadrado de la velocidad se tendra

dv2

dt=

d

dt(x2 + y2 + z2) = 2xx+ 2yy + 2zz.

Figura 13.5: Curvas de nivel de ⌦(x, y).

Si en esta expresion sustituimosx, y, z por sus valores obtenidos de(13.24) y aplicamos la regla de la ca-dena, llegaremos a la relacion diferen-cial

dv2

dt= 2

d⌦

dt,

que integrada da

v2 = 2⌦+ J, (13.25)

siendo J una constante que llamare-mos constante de Jacobi.

El valor de la constante de Jaco-bi, que se determina a partir de lascondiciones iniciales, condicionara elmovimiento del punto. En efecto, dado un valor de la constante de Jacobi J

o

, laecuacion

2⌦(x, y) + Jo

= 0, (13.26)


1 2 3

4 5 6

7 8 9

Figura 13.6: Evolucion de las regiones del movimiento en el problema restringido cir-cular de tres cuerpos para distintos valores de la integral de Jacobi.

determina una curva en el plano Oxy que delimita dos regiones del plano. Dichasregiones corresponden a las zonas donde se verifica respectivamente 2⌦(x, y) < J

o

y 2⌦(x, y) > Jo

. La condicion (13.25) que debe cumplir el cuerpo en su movimientoobliga a que 2⌦(x, y) > J

o

, pues el cuadrado de la velocidad no puede ser negativo.Por este motivo a esta curva se le llama curva de velocidad cero.

La figura (13.5) muestra el conjunto de curvas de nivel de la funcion ⌦(x, y).La figura (13.6) representa nueve valores distintos de la constante de Jacobi ylas curvas de velocidad en cada uno de los casos. En todos ello el area oscurarepresenta la region donde el movimiento es posible, mientras que en el areablanca el movimiento es imposible.

Podemos establecer las siguientes condiciones relativas a cada uno de los nueve


casos:

1. En el primer caso el movimiento es posible en una zona externa y dos zonasinteriores, casi circulares, alrededor de los dos cuerpos primarios. Las zonasinternas son mayores cuanto mas masivo sea el correspondiente primario.Con este valor de la constante de Jacobi un cuerpo no puede viajar de unprimario a otro. Un cuerpo en el exterior no puede acercarse a los primarios.Los cinco puntos de Lagrange se encuentran en la zona prohibida.

2. Para un determinado valor de J0

las dos zonas alrededor de los primarios,que cada vez son menos circulares, se unen en un punto de contacto quecorresponde al punto L

1

. La zona externa va acercandose a los primarios.

3. Se abre un camino que permite el viaje entre los dos primarios, pero siemprepasando muy proximos a L

1

. Observese que en la zona proxima al punto L2

se va haciendo cada vez mas estrecha la zona prohibida.

4. La zona exterior y las interiores se unen en el punto L2

.

5. Se abre un camino que conecta el exterior con el interior a traves de L2

. Uncuerpo puede salir al exterior del sistema desde P

1

pero pasando primerocerca de L

1

y luego cerca de L2

.

6. La zona prohibida es una banda cada vez mas estrecha que contiene los pun-tos L

3

, L4

y L5

. La curva se va estrechando cerca de L3

. En estas condicionesson posibles las orbitas en herradura pero sin llegar a entrar la partıcula enla zona prohibida.

7. Las paredes de la zona prohibida se unen en L3

.

8. La zona prohibida, que hasta este momento era unica se convierte en dosregiones, cada una de las cuales contiene a uno de los puntos triangulares.Son posibles orbitas que rodeen al punto triangular por el exterior de lazona prohibida.

9. La zona prohibida se hace cada vez mas pequena. Los puntos triangularessiempre estan en el interior de estas zonas.

Capıtulo 14

Atraccion de solidos

14.1 Introduccion

Otra aproximacion en el modelo orbital consiste en considerar solidos rıgidosen lugar de puntos materiales, donde la atraccion gravitacional ejercida por elsolido se extiende a cada fraccion infinitesimal del mismo, considerada esta comoun punto material.

El problema mas general es el problema de n solidos, que extiende el de ncuerpos. Sin embargo, si el ultimo ya era imposible de estudiar de forma generalmucho mas lo sera el primero. Podemos disminuir la complejidad del problematomando n = 2, esto es, considerando el problema de dos solidos. Esta simplifi-cacion sigue siendo igualmente difıcil de abordar con caracter general, por lo quefinalmente reduciremos el problema a su forma mas simple, esto es, estudiaremosla atraccion gravitacional entre un solido y un punto material. Esto dara lugar ados problemas diferentes segun que estudiemos el movimiento del solido o el delpunto.

El movimiento de un solido atraıdo gravitacionalmente por un punto material,que no va a ser considerado en el presente libro, permite estudiar, mediante com-plejos metodos de perturbaciones, el movimiento orbital y rotacional del solidode forma simultanea. Con el podremos analizar, entre otros, el problema de larotacion de los satelites artificiales, de particular importancia cuando estos debenestar siempre dirigidos en una cierta direccion del espacio, como es el caso de lossatelites con paneles para la recepcion de energıa solar. Otro importante problemaque se estudia con este modelo es el de la rotacion terrestre, que da lugar a losmodelos de precesion y nutacion descritos en la primera parte del libro.

220 Atraccion de solidos

El problema que estudiaremos con algo mas de detalle, por sus implicacionesen el movimiento orbital de satelites artificiales, es el del movimiento orbital deun punto atraıdo por un solido. Este sera el caso de cualquier satelite orbitandoen torno a un planeta o cuerpo celeste.

14.2 Polinomios de Legendre

La principal herramienta para el desarrollo del potencial del solido son lospolinomios de Legendre, que representan un conjunto de polinomios ortogona-les1. Llamaremos polinomio de Legendre de grado n al polinomio definido por lasiguiente expresion

Pn

(t) =1

2n n!

dn

dtn(t2 � 1)n. (14.1)

De esta forma, los tres primeros polinomios de Legendre seran

P0

(t) = 1, P1

(t) = t, P2

(t) =1

2(3t2 � 1). (14.2)

El resto pueden obtenerse por medio de la definicion (14.1) o bien por la relacionsiguiente

(n+ 1)Pn+1

(t)� (2n+ 1) t Pn

(t) + nPn�1

(t) = 0,

que permite, de forma iterativa, obtener el polinomio de cualquier grado en fun-cion, exclusivamente, de los dos primeros: P

0

(t) y P1

(t).

Resultan tambien de gran interes los polinomios asociados de Legendre2 Pnm

(t),de grado n y orden m, que se definen a partir de las derivadas, Q

nm

(t), de lospolinomios de Legendre en la forma:

Pnm

(t) = (1� t2)(m/2) Qnm

(t), Qnm

(t) =dm

dtmPn

(t). (14.3)

La definicion anterior permite encontrar otra relacion entre los polinomios deLegendre y los polinomios asociados

Pn

(t) = Pn0

(t) = Qn0

(t). (14.4)

Para evaluar los polinomios asociados podremos usar las tres relaciones si-guientes

Pmm

(t) = (2m� 1)p1� t2 P

m�1,m�1

,

Pm+1,m

(t) = (2m+ 1) t Pmm

(t),

Pnm

=1

n�m((2n� 1) t P

n�1,m

(t)� (n+m� 1)Pn�2,m

(t)) .

(14.5)

1Un estudio detallado de estos polinomios y de sus propiedades fundamentales puede encon-trarse en cualquier libro de polinomios ortogonales.

2En muchas ocasiones, por ejemplo en el software Mathematica, se definen como polinomiosasociados de Legendre los polinomios P

m

n

(t) cuya relacion con los usados en este libro vienedada por P

nm

(t) = (�1)mP

m

n

(t).

Polinomios de Legendre 221

que permiten, de forma iterativa, obtener el polinomio de cualquier grado y ordenen funcion, exclusivamente, del polinomio P

00

(t) = 1.

Teniendo en cuenta la relacion entre Pnm

y Qnm

obtendremos las relacionesentre los polinomios Q

nm

que resultan, salvo la primera, identicas a las anteriores

Qmm

(t) = (2m� 1)Qm�1,m�1

,

Qm+1,m

(t) = (2m+ 1) tQmm

(t),

Qnm

=1

n�m((2n� 1) tQ

n�1,m

(t)� (n+m� 1)Qn�2,m

(t)) .

(14.6)Estas relaciones permiten tambien la iteracion a partir del valor Q

00

(t) = 1.

n3525155

50

30

10

Figura 14.1: Grafica de los valores log10(2n�1)!!

en funcion del grado n.

En la expresion del poten-cial de un planeta, que se desa-rrollara mas adelante, aparecenlos polinomios P

nm

evaluados enpuntos del intervalo [�1, 1]. Pa-ra valores grandes del grado nlos valores de los coeficientes sonmuy pequenos, mientras que losvalores de los polinomios asocia-dos de Legendre son muy gran-des. De hecho, cuando i = j sealcanza un valor maximo3 igual,en valor absoluto, a (2n�1)!!. Elnumero de dıgitos de este valor esaproximadamente log

10

(2n� 1)!!y ha sido representado graficamente en la figura 14.1 para valores de n menoresde 36.

Estos valores tan grandes deben ser multiplicados por los valores de los armoni-cos del potencial terrestre que son muy pequenos. Resulta muy poco conveniente,desde el punto de vista numerico, multiplicar cantidades muy pequenas por can-tidades muy grandes. Para paliar en lo posible el error computacional derivadode este hecho, se utiliza la siguiente propiedad

Z

1

�1

Pnm

(x)Pkm

(x) dx =2 (n+m)!

(2n+ 1)(n�m)!�nk

.

donde

�ij

=

⇢

0 si i 6= j,1 si i = j.

(14.7)

3Por ejemplo, P25,25(0) = �58435841445947272053455474390625.


Esta propiedad demuestra la ortogonalidad de los mismos y permite su nor-malizacion por medio de la relacion

Pnm

(t) = Nnm

Pnm

(t), Nnm

=

s

�⇤m

(2n+ 1)(n�m)!

(n+m)!, (14.8)

donde �⇤m

= 2��0m

vale 1 si m = 0 y 2 si m > 0. A los valores Nnm

les llamaremoscoeficientes de normalizacion.

n

pnm

3525155

10

8

6

4

2

Figura 14.2: Valores de pnm

con 0 m n.

La figura 14.2 presenta unagrafica con los valores numericosde

pnm

= maxx2[�1,1]

|Pnm

(x)|,(14.9)

que representa el maximo alcan-zado por el polinomio normali-zado4 dentro del intervalo [�1, 1]para n 36, m n. Las carac-terısticas de los resultados obte-nidos pueden destacarse en los si-guientes puntos:

Cada lınea vertical de puntos representa los valores pnm

para un valor n fijoque coincide con la abscisa x y los valores de m entre 0 y n.

pnm

pn0

=p2n+ 1, siendo 0 m n.

Para n = 36 el valor de p36,0

es una cota de todos los demas y valep73 =

8.544.

Los coeficientes de normalizacion Nnm

, dados en (14.8), permiten tambiennormalizar las derivadas de los polinomios de Legendre Q

nm

definiendo los valoresnormalizados como

Qnm

(t) = Nnm

Qnm

(t). (14.10)

Aplicando estas relaciones en (14.6) podremos obtener las relaciones entre lasderivadas normalizadas en la forma:

Qmm

(t) =

s

�⇤m

�⇤m�1

2m+ 1

2mQ

m�1,m�1

,

Qm+1,m

(t) =p2m+ 3 t Q

mm

(t),

Qnm

(t) =

s

(2n+ 1)(2n� 1)

(n�m)(n+m)t Q

n�1,m

(t)

�s

(2n+ 1)(n+m� 1)(n�m� 1)

(2n� 3)(n�m)(n+m)Q

n�2,m

(t).

(14.11)

4Para el ejemplo anterior el polinomio normalizado vale P25,25(0) = �3.38409.

Potencial gravitatorio de un planeta 223

Observemos que el cociente �⇤m

/�⇤m�1

, que aparece en la primera iteracion, vale2 cuando m = 1 y 1 para cualquier otro valor de m. El valor para iniciar estaiteracion sera, en este caso, Q

00

(t) = 1.

14.3 Potencial gravitatorio de un planeta

O

P

S�

x

x

p

Figura 14.3: Potencial creado por cada punto Pde un solido.

Cada punto P de un solido,(figura 14.3), ejerce sobre un or-bitador S una fuerza de atrac-cion cuyo potencial viene dado, aligual que en el caso de dos cuer-pos, por la expresion

�G dm

�,

donde hemos llamado � a la dis-tancia de P a S, hemos tomadocomo unidad de masa la de S yhemos llamado dm al elementodiferencial de masa del punto P .

El potencial creado por elsolido en S vendra dado por laintegral extendida a toda la ma-sa del solido

V = �GZ

M

dm

�. (14.12)

Si x,xp

representan los vectores de posicion respectivos de S y P , referidos aun sistema con centro en el centro de masas del solido, y el angulo entre dichosvectores, tendremos

�2 = (x� x

p

)2 = x

2 + x

2

p

� 2kx kkxp

k cos = kx k2(1� 2x↵+ x2),

donde hemos llamado x = kxp

k/kx k, ↵ = cos . Finalmente, puesto que r =kx k, podremos poner

1

�=

1

r

1p1� 2x↵+ x2

. (14.13)

El termino 1/p1� 2x↵+ x2 suele sustituirse por su desarrollo en serie de

potencias1p

1� 2x↵+ x2

=X

n�0

Pn

(↵)xn, (14.14)

cuyos coeficientes son los polinomios de Legendre.


Para calcular la integral (14.12) a lo largo de toda la masa del solido formu-laremos el problema en un sistema de coordenadas planetograficas (ver apartado3.8), esto es, basado en el plano ecuatorial del planeta, rotando con el, y con unorigen de longitudes establecido a priori.

Si llamamos (�,�), respectivamente a la longitud y latitud planetografica delsatelite y (⇤,�) a las de un punto P del planeta, las direcciones de los vectoresde posicion del planeta y el satelite seran

x

S= cart(1,�,�), x

P= cart(1,⇤,�).

El coseno del angulo entre estos dos vectores vendra dado por el productoescalar de ambos, lo que lleva a la expresion

cos = x

S· x

P= sen� sen�+ cos� cos� cos(⇤� �). (14.15)

La relacion anterior, llevada a los polinomios de Legendre, permite obtener lasiguiente una propiedad, que no demostraremos

Pn

(cos ) = Pn

(sen�)Pn

(sen�)+2n

X

j=1

(n� j)!

(n+ j)!Pnj

(sen�)Pnj

(sen�) cos j(⇤��).

(14.16)Por otro lado, la expresion (14.12) del potencial del solido se podra poner como

V = �GZ

M

dm

�= �G

r

X

n�0

Z

M

⇣⇢

r

⌘

n

Pn

(cos ),

de donde, usando la relacion (14.16), llegamos a

V = �GMr

+GMr

X

n�1

⇣rp

r

⌘

n

Jn

Pn

(sen�)�

n

X

j=1

Pnj

(sen�) (Cnj

cos j�+ Snj

sen j�)

3

5 ,

(14.17)siendo r

p

el radio ecuatorial del planeta, M la masa del mismo y

Jn

= � 1

M

Z

M

✓

⇢

rp

◆

n

Pn

(cos�) dm,

Cnj

=2� �

0m

M

(n� j)!

(n+ j)!

Z

M

✓

⇢

rp

◆

n

Pnj

(sen�) cos j⇤ dm,

Snj

=2� �

0m

M

(n� j)!

(n+ j)!

Z

M

✓

⇢

rp

◆

n

Pnj

(sen�) sen j⇤ dm,

(14.18)

donde hemos tomado Jn

= �Cn0

y hemos considerado que se verifica Sn0

= 0.

Potencial gravitatorio de un planeta 225

Consideremos ahora la definicion de la matriz de inercia de un solido, cuyoselementos se expresan como

Iij

=

Z

M

(r2�ij

� xi

xj

)dm,

y la de su centro de masas

r

c

= xc

1

e

1

+ xc

2

e

2

+ xc

3

e

3

=e

1

M

Z

M

x1

dm+e

2

M

Z

M

x2

dm+e

3

M

Z

M

x3

dm,

donde r2 = x2

1

+ x2

2

+ x2

3

y �ij

vale 0 o 1 segun i y j sean iguales o distintos.Expresando estas integrales en coordenadas polares esfericas y comparandolas conlas expresiones (14.18) podemos llegar, tras una serie de calculos, a las siguientesigualdades

J1

=xc

3

rp

, C11

=2xc

1

rp

, S11

=2xc

2

rp

,

que nos indican que, eligiendo el centro de masas del planeta como origen decoordenadas, se llega a

J1

= 0, C11

= 0, S11

= 0,


V = �GMr

+GMr

X

n�2

⇣rp

r

⌘

n

Jn

Pn

(sen�) �

n

X

j=1

Pnj

(sen�) (Cnj

cos j�+ Snj

sen j�)

3

5 .

(14.19)Por otro lado, encontramos que

J2

=1

2Mrp

(I11

+ I22

� 2I33

), (14.20)

que nos da el valor del coeficiente J2

en terminos de los momentos de inercia.Todos los demas coeficientes pueden ser encontrados en terminos de los elementosde la matriz de inercia.

Los coeficientes Jn

de la expresion (14.19) del potencial del solido son llamadosarmonicos zonales, mientras que los C

ij

, Sij

, j 6= 0, son los armonicos teserales.Una idea mas precisa acerca del significado de estos coeficientes puede encontrarseen cualquier libro de Geodesia.

Notemos que cuando el solido es de revolucion la simetrıa del mismo hace quelas integrales que definen los armonicos teserales sean todas cero, por lo que eneste caso C

ij

= 0, Sij

= 0, y el potencial contiene solo terminos zonales.


Si ademas de ser de revolucion posee simetrıa respecto al plano Oxy, entonceslos terminos zonales impares son tambien cero, J

2n+1

= 0.

Fijandonos en la expresion de J2

observamos que este termino nos da unamedida de la diferencia entre el momento de inercia del eje Oz respecto a losotros dos ejes, es decir, J

2

nos indicara el achatamiento del planeta.

Ya se ha dicho antes que ordenes n del potencial muy altos nos dan valoresde P

nm

muy grandes y valores de los armonicos Cnm

, Snm

muy pequenos. Elproducto del coeficiente de normalizacion N

nm

, dado en (14.8), por el polinomioPnm

conduce a la obtencion de un nuevo polinomio Pnm

de valor moderado.Si se usa esta normalizacion en la expresion del potencial debemos sustituir losarmonicos C

nm

, Snm

por los armonicos normalizados Cnm

, Snm

, introducidos porKaula y que se definen por medio de las expresiones:

⇢

Cnm

Snm

�

=1

Nnm

⇢

Cnm

Snm

�

. (14.21)

Aunque fue Kaula quien introdujo los coeficientes normalizados, en su teorıadel satelite utiliza coeficientes sin normalizar. Fueron Heiskanen y Moritz en 1967quienes los utilizaron por primera vez en la teorıa del potencial.

El tratamiento numerico de modelos de potencial de grado alto hace impres-cindible su normalizacion, por lo que todos los modelos se presentan con el valor delos armonicos normalizados. Sin embargo, el tratamiento analıtico, que no pue-de ser llevado todavıa a ordenes muy altos, suele realizarse con los coeficientessin normalizar, pues de este modo, el manejo de los polinomios de Legendre esmas sencillo al no ser necesario el uso de los coeficientes de normalizacion queintroducen numeros irracionales.

La introduccion de los coeficientes (14.21) permite expresar el potencial en laforma

V = �GMr� GM

r

X

n�2

⇣rp

r

⌘

n

"

n

X

m=0

�

Cnm

cosm�+ Snm

senm��

Pnm

(sen�)

#

.

(14.22)El primer sumando de la expresion anterior, que llamaremos potencial kepleriano,corresponde al potencial creado por una masa puntual y coincide con el potencialque producirıa el planeta si fuese un punto o una esfera homogenea. El resto determinos constituyen el potencial perturbador V

p

que es producido por la formano esferica del planeta.

14.4 Modelos de potencial gravitatorio

La obtencion de los terminos del potencial terrestre se realiza principalmentea partir de las perturbaciones observadas en las orbitas de los satelites artificiales.

Modelos de potencial gravitatorio 227

El lanzamiento, en 1957, del Sputnik I y sus primeras observaciones permitierona King-Hele obtener en 1958 una precision de 4 dıgitos en el calculo de J

2

, lo quemejoraba en dos dıgitos la que se poseıa hasta entonces. Otros satelites lanza-dos poco despues, como el Vanguard I en 1959, permitieron tambien detectar elcoeficiente J

3

que indica la asimetrıa norte-sur del geoide.

Desde ese momento el conocimiento de los coeficientes del potencial terrestreha avanzado mucho, como modelos militares clasificados en un primer momento ycomo modelos de dominio publico de gran precision en la actualidad. Entre los mo-delos actuales podemos destacar el modelo JGM-3 desarrollado en la Universidadde Texas y que alcanza un grado 70⇥ 70.

Aunque JGM-3 es un modelo de gravedad global muy elaborado para determi-nacion de orbitas con precision, nuevos modelos son continuamente desarrollados.Una muestra de ello es la colaboracion del NASA/GSFC, la National Imagery andMapping Agency (NIMA) y la Universidad del Estado de Ohio (OSU), que pu-blico el EGM96S (Earth Gravity Model), de grado y orden 70, y el modelo EGM96,de grado y orden 360. Posteriormente, el National Geospatial-Intelligence Agency(NGA), organismo que e 2003 sustituyo al NIMA, genero el modelo mas precisohasta el momento, el EGM2008, que tiene un grado y orden igual a 2159.

El estudio del potencial lunar comienza con el lanzamiento, en 1966, del satelitelunar ruso Luna-10 que demostro el achatamiento de la Luna. Los datos de lamision Clementine permitieron construir el modelo GLGM-2 de grado y orden70. Este modelo fue mejorado con las observaciones del Lunar Prospector con elnuevo modelo LP75D de grado y orden 75 y finalmente con el LP165P, de gradoy orden 165.

En el caso del planeta Marte el primer analisis preciso del campo gravitato-rio llego a partir de los datos de seguimiento del Mariner 9. Dicha nave estuvoorbitando alrededor de Marte durante 11 meses, desde noviembre de 1971, conuna orbita de unas 12 horas de periodo, altitudes entre 1390 y 1650 km y 64� deinclinacion. Tambien se descubrio que el campo gravitatorio de Marte era muchomas irregular que el de la Tierra, con variaciones totales sobre el geoide por enci-ma de los 2000 m frente a los menos de 200 m para el caso terrestre. Una alturadel geoide superior a 1200 m fue detectada en Tharsis y revelo el alto valor delcociente C

2 2

/S2 2

del campo gravitatorio de Marte.

Con datos de la mision Mars Observer y otras anteriores se desarrollo el modelode potencial Goddard Mars Model-1, o GMM-1 de grado y orden 50. Posterior-mente la mision Mars Global Surveyor (MGS), junto con los datos obtenidos porel Mars Orbiter Laser Altimeter (MOLA) permitio obtener un modelo gravita-torio de Marte de grado y orden 80, el Goddard Mars Model 2B (GMM-2B) yposteriormente una mejora del mismo, tambien de grado y orden 80, llamadaMGM1025.

Las observaciones por radiometrıa Doppler, realizadas por la sonda Magalla-nes en la superficie del planeta Venus, han permitido obtener varios modelos de


potencial para este planeta. Comenzando por el modelo MGNP120P de grado yorden 120, posteriormente mejorado con el modelo MGNP180U, de grado y orden180.

Tierra Luna Marte VenusJ2

1.0826 · 10�3 2.032 · 10�4 1.955 · 10�3 4.404 · 10�6

J3

�2.5324 · 10�6 8.476 · 10�6 3.145 · 10�5 �2.109 · 10�6

J4

�1.6193 · 10�6 �9.592 · 10�6 �1.538 · 10�5 �2.147 · 10�6

J5

�2.2772 · 10�7 7.154 · 10�7 5.719 · 10�6 4.669 · 10�7

J6

5.3965 · 10�7 �1.358 · 10�5 �4.849 · 10�6 �1.165 · 10�7

Tabla 14.1: Valor de los primeros armonicos zonales para la Tierra, la Luna, Marte yVenus.

En la tabla 14.1 se muestran los valores de los seis primeros armonicos, sinnormalizar, del potencial de la Tierra, la Luna, Marte y Venus extraidos de losmodelos JGM-3, LP165P, GMM-2B y MGNP180U respectivamente.

14.5 Evaluacion del potencial planetario y la fuer-za derivada

La expresion del potencial perturbador de un planeta puede tambien ponersecomo

VP

= �GMrp

X

n�2

n

X

m=0

Vnm

, (14.23)

donde hemos llamado

Vnm

= ⇢n+1

�

Cnm

um

+ Snm

vm

�

Qnm

(w1

), (14.24)

siendo

⇢n

=⇣r

p

r

⌘

n

,

um

= cosm� cosm �,vm

= senm� cosm �,w

m

= senm �.

(14.25)

Si expresamos el vector x en el sistema planetografico, llamamos (x, y, z) a suscomponentes x = xp

1

+y p2

+z p3

= r cos� cos�p1

+r sen� cos�p2

+r sen�p3

,y por otro lado llamamos u a la direccion radial u = x/r = up

1

+ v p2

+ w p

3

,podemos expresar en funcion de ellos los elementos:

u0

= 1, v0

= 0, w0

= 1,u1

= u = x/r, v1

= v = y/r, w1

= w = z/r.(14.26)

Evaluacion del potencial planetario y la fuerza derivada 229

La evaluacion del termino Vnm

del potencial se realiza por un procedimientoiterativo usando, por un lado, las expresiones (14.11) y por otro las relaciones

um

= um�1

u1

� vm�1

v1

, vm

= vm�1

u1

+ um�1

v1

, (14.27)

que terminan con los valores (14.26).

Para calcular la perturbacion que el planeta ejerce sobre la orbita del sateliteusaremos la relacion

PP

= �rx

Vp

=GMrp

X

n�2

n

X

m=0

Pnm

, Pnm

= rx

Vnm

.

Por otro lado, si observamos la expresion (14.24) y las relaciones iterativasque construyen el termino V

nm

, podemos concluir que este termino depende uni-camente de las variables (r, u, v, w), por lo que podremos poner

rx

Vnm

=@V

nm

@urx

u+@V

nm

@vrx

v +@V

nm

@wrx

w +@V

nm

@rrx

r.

Teniendo en cuenta que r = kx k, u = x/kx k, v = y/kx k, w = z/kx k, sededucen facilmente las expresiones:

rx

u =1

rp

1

� u

ru,

rx

v =1

rp

2

� v

ru,

rx

w =1

rp

3

� w

ru,

rx

r = u.

(14.28)

Por otro lado es facil deducir que:

@Vnm

@u= ⇢

n+1

✓

Cnm

@um

@u+ S

nm

@vm

@u

◆

Qnm

(w1

),

@Vnm

@v= ⇢

n+1

✓

Cnm

@um

@v+ S

nm

@vm

@v

◆

Qnm

(w1

),

@Vnm

@w= ⇢

n+1

�

Cnm

um

+ Snm

vm

�

�n,m

Qn,m+1

(w1

),

@Vnm

@r= �n+ 1

rp

⇢n+2

�

Cnm

um

+ Snm

vm

�

Qnm

(w1

),

(14.29)

siendo �n,m

= Nn,m

/Nn,m+1

el valor obtenido en la derivacion de la expresion(14.10) y la definicion de Q

n,m

. Simplificando esta expresion se obtiene

�n,0

=

r

1

2n (n+ 1), �

n,m

=p

(n�m) (n+m+ 1).


El proceso de calculo quedara completado si obtenemos las derivadas par-ciales de u

m

, vm

con respecto a las variables u y v. Para calcular estas deriva-das tendremos en cuenta que u

m

y vm

coinciden con la parte real e imaginariadel numero complejo cosm � cosm�+ i cosm � senm�. De acuerdo con las propie-dades de los numeros complejos este ultimo es la potencia m-sima del numerocos� cos�+ i cos� sen� = u+ iv. Por tanto podremos poner finalmente que

um

= <[(u+ iv)m], vm

= =[(u+ iv)m],

De donde, por simple derivacion, se llega a las relaciones:

@um

@u= mu

m�1

,@v

m

@u= mv

m�1

,

@um

@v= �mv

m�1

,@v

m

@v= mu

m�1

,

(14.30)

que completan el proceso de calculo de la fuerza perturbadora del planeta.

Aunque las expresiones (14.29) no son validas cuando m = 0 pueden usarse siextendemos el conjunto de subındices de u

m

, vm

, anadiendo los elementos

u�1

= 0, v�1

= 0.

14.6 Potencial terrestre en variables polares no-dales

⌫

i

✓

�� ⌫

�

p

1

p

2

p

3

x

n

l

Figura 14.4: Relacion entre las coordenadaspolares-nodales y las planetograficas.

La relacion entre las coordena-das planetograficas y las polares–nodales puede deducirse a partirde la figura 14.4, donde podemosobservar que el vector x tiene, enel sistema nodal-espacial P, unascoordenadas polares (r,�� ⌫,�), yde este pasamos al sistema orbi-tal por medio de la matriz de giroR

1

(i)R3

(✓), luego podremos ponerel vector

cart(r,�� ⌫,�),

como el resultado del producto

R1

(i)R3

(✓) cart(r, 0, 0).

Igualando ambos vectores y tras una serie de calculos, llegamos a

cos ✓ = cos� cos(�� ⌫),cos i sen ✓ = cos� sen(�� ⌫),sen i sen ✓ = sen�,

(14.31)

Ecuaciones del movimiento en el sistema planetografico 231

expresiones que, desarrolladas y combinadas con (14.25), nos conducen a

cos ✓ = u1

cos ⌫ + v1

sen ⌫,cos i sen ✓ = v

1

cos ⌫ � u1

sen ⌫,sen i sen ✓ = w

1

.(14.32)

Finalmente, invirtiendo estas relaciones se llega a

u1

=1

2(1� c

i

) cos(✓ � ⌫) + 1

2(1 + c

i

) cos(✓ + ⌫),

v1

= � 1

2(1� c

i

) sen(✓ � ⌫) + 1

2(1 + c

i

) sen(✓ + ⌫),

w1

= si

sen ✓,

(14.33)

donde hemos llamado

ci

= cos i =N

⇥, s

i

= sen i =

r

1� N2

⇥2

. (14.34)

Estas relaciones permiten expresar las ui

, vi

, wi

, y a traves de ellas la expresiondel potencial en terminos de las variables r, ✓, ⌫, y de los momentos R,⇥, N .

Las relaciones (14.33) permiten deducir que los terminos zonales Jn

Pn

(w1

) delpotencial no contienen la variable ⌫, mientras que esta variable aparece cuandose consideran los terminos teserales.

14.7 Ecuaciones del movimiento en el sistema pla-netografico

Al plantear las ecuaciones del movimiento de un satelite en torno a un planetadebemos considerar el hecho de que el sistema de referencia donde se ha formuladoel potencial y, consecuentemente, la fuerza perturbadora es el sistema geograficoo planetografico, que es un sistema rotante y por ello no inercial.

Las ecuaciones del movimiento podran ser formuladas siguiendo uno cualquierade los dos caminos siguientes:

Multiplicar la fuerza perturbadora por la matriz de giro, RSP , que pasa deun sistema de referencia espacial, que es inercial, al sistema planetograficoP.

Formular las ecuaciones del movimiento en un sistema no inercial.

En el primer caso las ecuaciones del movimiento seran

x+ µx

r3= RSPPP

, (14.35)


donde PP

ha sido calculado en el apartado 14.5.

Para formular el movimiento orbital en el sistema rotante sera preciso usar laecuacion (6.5). De esta forma, las ecuaciones (12.1), se pondran como

x

00 + 2! ⇥ x

0 + !

0 ⇥ x+ ! ⇥ (! ⇥ x) + µx

r3= P

P

, (14.36)

donde PP

= �rx

Vp

es la perturbacion y el vector ! representa el vector derotacion de la Tierra o de un planeta, que es constante, por lo que !

0 = 0 y portanto el sumando !

0 ⇥ x desaparece de esta ecuacion.

Podemos facilmente comprobar que la solucion a este problema es equivalentea la de un sistema dinamico de hamiltoniano

H(x,X) =1

2X ·X � µ

kx k � ! · (x⇥X) + Vp

, (14.37)

donde las coordenadas de x son las variables y las de X son los momentos. Enefecto, las ecuaciones de Hamilton correspondientes a dicho sistema se expresarancomo

x

0 = rX

H = X � ! ⇥ x,

X

0 = �rx

H = �! ⇥X � µ

r3x�r

x

Vp

,(14.38)

donde hemos puesto x

0,X 0 pues en dichas ecuaciones entran unicamente las deri-vadas respecto al tiempo de las variables y los momentos, esto es, de las coordena-das de x,X, por ello no es necesario derivar los vectores respecto a los elementosde la base del sistema de referencia. Es importante hacer notar que el vector X,de momentos, representa la velocidad absoluta expresada en el sistema rotante yno la velocidad relativa.

Derivando respecto al tiempo las componentes de los vectores de la primerade las ecuaciones anteriores, despues de despejar X, se llega a la expresion

X

0 = x

00 + ! ⇥ x

0 + !

0 ⇥ x = x

00 + ! ⇥ x

0,

que igualada a la segunda nos lleva a

x

00 + ! ⇥ x

0 + ! ⇥ (x0 + ! ⇥ x) +µ

r3x = �r

x

Vp

= PP

,

que coincide con (14.36) haciendo !

0 = 0.

Ası pues, al formular el movimiento orbital de un satelite artificial en el sistemade referencia rotante de un planeta el hamiltoniano del problema se pondra como

H(x,X) = Hk

+Hr

+ Vp

, (14.39)

dondeH

r

(x,X) = �! · (x⇥X). (14.40)

Ecuaciones del movimiento en el sistema planetografico 233

es el termino debido a la rotacion del planeta, tambien llamado termino de Co-riolis.

El termino Hr

, expresado en variables polares-nodales de acuerdo con la defi-nicion de aquellas, se pondra como

Hr

= �! · (x⇥X) = �!N, (14.41)

mientras que en en variables de Delaunay sera

Hr

= �! · (x⇥X) = �!H. (14.42)

La ausencia de ⌫ y N (h y H) en el hamiltoniano del problema, cuando seformula en un sistema inercial, hace que ⌫ y N sean constantes por lo que elnumero de grados de libertad se reduce en una unidad. Cuando el problemase formula en un sistema rotante hemos de anadir al Hamiltoniano el termino�!N , siendo la variable ⌫ ignorable. Esto conduce a las integrales: N constantey ⌫ = �! t, esto es, el nodo varıa linealmente en el sistema rotante. Aquı elnumero de grados de libertad puede reducirse igualmente. Este resultado puedeextenderse cuando en la perturbacion no aparece explıcitamente la variable ⌫.

Capıtulo 15

Otras perturbaciones

15.1 Rozamiento atmosferico

Las distintas capas de la atmosfera terrestre: troposfera, estratosfera, mesos-fera, termosfera y exosfera, llegan a alcanzar una altitud de 1000 km por encimade la superficie, disminuyendo exponencialmente en densidad desde la superficiehasta las regiones exteriores.

El rozamiento producido por la atmosfera en esta region contribuye a disminuirla velocidad de cualquier vehıculo que se mueva dentro de ella. La fuerza que laatmosfera ejerce sobre un satelite artificial es muy grande a altitudes bajas, dehecho, no suelen situarse satelites artificiales por debajo de los 350 km, puessu orbita serıa demasiado inestable y la accion de la atmosfera los harıa caerrapidamente a la Tierra. Esta fuerza se aprovecha en la practica para frenar unanave espacial cuando se le hace regresar a la superficie terrestre. Sin embargo,esta maniobra se hace muy peligrosa para una altitud de unos 120 km1, donde seconsidera que el satelite efectua su reentrada en la atmosfera, pues es donde secomienzan a observar los efectos de la atmosfera sobre la nave.

La fuerza de rozamiento atmosferico lleva la direccion opuesta a la velocidaddel satelite relativa a la atmosfera, depende, fundamentalmente, de su densidad yde la superficie en contacto entre el satelite y la atmosfera. La expresion de la ace-leracion (perturbacion) producida por esta fuerza en el satelite puede expresarse

1No confundir con los 100 km de la llamada lınea de Karman que la Federacion Internacionalde Astronautica fija como lımite de la atmosfera y que representa la altitud por encima de lacual un avion no puede volar por fuerzas de tipo aerodinamico.

236 Otras perturbaciones

como

PAT

= �1

2C

d

A

m⇢ kv kv. (15.1)

El coeficiente Cd

es un coeficiente de rozamiento adimensional que describela interaccion de la atmosfera con la superficie material del satelite y depende delas propiedades quımicas y fısicas de la atmosfera, la geometrıa del satelite y depropiedades de los materiales del mismo. Tiene un valor entre 1 y 3 pero no esconocido con precision hasta que no se efectua una determinacion precisa de laorbita del satelite. Suele tomarse igual a 2 como primera aproximacion en el casode satelites esfericos mientras que se establece un valor entre 2 y 2.3 para satelitesde forma convexa.

El area A es la superficie efectiva del satelite o el area normal al satelite en ladireccion del movimiento. Es funcion de su geometrıa y de su actitud u orientacionen el espacio, por ello depende de t. Al factor B = C

d

A/m, resultante de dividirpor la masa del satelite el producto del coeficiente de rozamiento y el area efectiva,se le llama coeficiente balıstico.

El vector v representa la velocidad del satelite con respecto al aire circundante.La dinamica de la atmosfera es muy compleja, sin embargo, podemos aproximarel valor de v por medio de la expresion

v = X � !� ⇥ x� v

v

, (15.2)

donde x,X representan la posicion y velocidad del satelite respecto del sistemainercial, !� la velocidad angular de rotacion de la Tierra y v

v

la velocidad delviento. El error al no considerar la velocidad del viento puede ser de un maximodel 5% de la fuerza del rozamiento. La velocidad v se calcula en un sistema dereferencia rotante con la Tierra, el sistema E

$

, donde el vector !� = (0, 0,!�),siendo !� = 0.7292 ⇥ 10�4 rad/s, por eso el vector P

ATdebe transformarse

finalmente al sistema espacial multiplicandolo por la matriz de rotacion RSE$.

Finalmente, para completar el modelo debe obtenerse un valor de la densidad⇢ de la atmosfera. Esta densidad es una funcion poco conocida que depende deun gran numero de parametros como la altitud, longitud, latitud, actividad solar,ındice geomagnetico, tiempo, etc., y que es tratada a partir de modelos mas omenos complejos que dan una estimacion de la densidad de la atmosfera en cadapunto.

Existen dos tipos de modelos: estaticos y modelos que varıan con el tiempo. Losprimeros son mucho mas simples y faciles de usar pero no dan precision suficienteen determinados problemas. Los segundos pueden ser extremadamente complejosen su aplicacion y difıciles de calcular por lo que en muchas ocasiones deben sersustituidos por los primeros.

Comenzaremos con uno de los modelos mas simples que supone que la densidaddecrece exponencialmente desde la superficie de la Tierra. Este modelo, llamado

Rozamiento atmosferico 237

modelo exponencial, esta basado en una formula del tipo

⇢ = ⇢o

exp

✓

h0

� h

H0

◆

, (15.3)

donde ⇢0

es la densidad de referencia en una altitud h0

mientras que H0

es unfactor de escala. Los valores de ⇢

o

, h0

, H0

, para distintas altitudes h, se toman dela tabla 15.1

h0

⇢0

H0

h0

⇢0

H0

0 1.225 7.249 150 2.070⇥ 10�9 22.52325 3.899 ⇥10�2 6.349 180 5.464 ⇥10�10 29.74030 1.774 ⇥10�2 6.682 200 2.789 ⇥10�10 37.10540 3.972 ⇥10�3 7.554 250 7.248 ⇥10�11 45.54650 1.057 ⇥10�3 8.382 300 2.418⇥10�11 53.62860 3.206⇥10�4 7.714 350 9.158⇥10�12 53.29870 8.770⇥10�5 6.549 400 3.725⇥10�12 58.51580 1.905⇥10�5 5.799 450 1.585⇥10�12 60.82890 3.396⇥10�6 5.382 500 6.967⇥10�13 63.822100 5.297⇥10�7 5.877 600 1.454⇥10�13 71.835110 9.661⇥10�8 7.263 700 3.614⇥10�14 88.667120 2.438⇥10�8 9.473 800 1.170⇥10�14 124.64130 8.484⇥10�9 12.636 900 5.254⇥10�15 181.05140 3.845⇥10�9 16.149 1000 3.019⇥10�15 268.00

Tabla 15.1: Tabla de valores de referencia en el modelo exponencial de densidad at-mosferica. Las unidades de h0 y H0 estan en km, mientras que ⇢0 esta expresado enkg/m3.

El modelo de Harris–Priester es otro modelo estatico pero que que producemuy buenos resultados por lo que es ampliamente usado y recomendado y da unaaproximacion suficiente para muchas aplicaciones. Este modelo esta basado en lasolucion de la ecuacion de conduccion del calor bajo condiciones casi hidrostati-cas. Su formulacion se efectua por medio de dos valores mınimo y maximo de ladensidad para una altitud h que se obtienen a partir de las expresiones

⇢m

(h) = ⇢m

(hi

) exp

✓

hi

� h

Hm

◆

,

⇢M

(h) = ⇢M

(hi

) exp

✓

hi

� h

HM

◆

, hi

h hi+1

,

donde h es la altitud del satelite sobre el elipsoide de referencia. Los valores de losparametros h

i

, ⇢m

(hi

), ⇢M

(hi

) son tomados de la tabla 15.2, mientras queHm

, HM

se obtienen a partir de las expresiones

Hm

(h) =hi

� hi+1

ln (⇢m

(hi+1

)/⇢m

(hi

)),


hi

⇢m

(hi

) ⇢M

(hi

) hi

⇢m

(hi

) ⇢M

(hi

)100 4.974⇥10�7 4.974⇥10�7 420 1.558⇥10�12 5.684⇥10�12

120 2.490⇥10�8 2.490⇥10�8 440 1.091⇥10�12 4.355⇥10�12

130 8.377⇥10�9 8.710⇥10�9 460 7.701⇥10�13 3.362⇥10�12

140 3.899⇥10�9 4.059⇥10�9 480 5.474⇥10�13 2.612⇥10�12

150 2.122⇥10�9 2.215⇥10�9 500 3.916⇥10�13 2.042⇥10�12

160 1.263⇥10�9 1.344⇥10�9 520 2.819⇥10�13 1.605⇥10�12

170 8.008⇥10�10 8.758⇥10�10 540 2.042⇥10�13 1.267⇥10�12

180 5.283⇥10�10 6.010⇥10�10 560 1.488⇥10�13 1.005⇥10�12

190 3.617⇥10�10 4.297⇥10�10 580 1.092⇥10�13 7.997⇥10�13

200 2.557⇥10�10 3.162⇥10�10 600 8.070⇥10�14 6.390⇥10�13

210 1.839⇥10�10 2.396⇥10�10 620 6.012⇥10�14 5.123⇥10�13

220 1.341⇥10�10 1.853⇥10�10 640 4.519⇥10�14 4.121⇥10�13

230 9.949⇥10�11 1.455⇥10�10 660 3.430⇥10�14 3.325⇥10�13

240 7.488⇥10�11 1.157⇥10�10 680 2.620⇥10�14 2.691⇥10�13

250 5.709⇥10�11 9.308⇥10�11 700 2.043⇥10�14 3.325⇥10�13

260 4.403⇥10�11 7.555⇥10�11 720 1.607⇥10�14 1.779⇥10�13

270 3.430⇥10�11 6.182⇥10�11 740 1.281⇥10�14 1.452⇥10�13

280 2.697⇥10�11 5.095⇥10�11 760 1.036⇥10�14 1.190⇥10�13

290 2.139⇥10�11 4.226⇥10�11 780 8.496⇥10�15 9.776⇥10�14

300 1.708⇥10�11 3.526⇥10�11 800 7.069⇥10�15 8.059⇥10�14

320 1.099⇥10�11 2.511⇥10�11 840 4.680⇥10�15 5.741⇥10�14

340 7.214⇥10�12 1.819⇥10�11 880 3.200⇥10�15 4.210⇥10�14

360 4.824⇥10�12 1.337⇥10�11 920 2.210⇥10�15 3.130⇥10�14

380 3.274⇥10�12 9.955⇥10�12 960 1.560⇥10�15 2.360⇥10�14

400 2.249⇥10�12 7.492⇥10�12 1000 1.150⇥10�15 1.810⇥10�14

Tabla 15.2: Tabla de valores de referencia en el modelo de Harris–Priester de densidadatmosferica. Las unidades de h

i

estan en km, mientras que ⇢m

, ⇢M

estan expresados enkg/m3.

HM

(h) =hi

� hi+1

ln (⇢M

(hi+1

)/⇢M

(hi

)).

La densidad ⇢ a una altitud h se obtendra finalmente por medio de la expresion

⇢(h) = ⇢m

(h) + (⇢M

(h)� ⇢m

(h))

✓

1

2+

u · a�2

◆

(n/2)

, (15.4)

donde u es la direccion del satelite y a� = cart(1,↵� + 30�, ��), siendo ↵�, ��la ascension recta y declinacion del Sol. El exponente n toma un valor igual a 2para orbitas bajas y 6 para orbitas polares.

Entre los modelos no estaticos mas usados se encuentran los modelos de Jaccia,en particular los modelos J71 y J77 que son unos modelos muy precisos pero muydifıciles de usar y que no abordaremos en este libro.

Presion de radiacion solar 239

15.2 Presion de radiacion solar

Cualquier cuerpo en el espacio recibe una radiacion del Sol que produce unafuerza que depende de la superficie del cuerpo expuesta a la radiacion solar, desus propiedades de absorcion y de la presion ejercida por esta radiacion.

Para formular la fuerza producida por la radiacion solar comenzaremos conun parametro llamado intensidad o flujo solar

� =�E

A�t,

donde �E es la energıa recibida en un tiempo �t y en una superficie A. La inten-sidad solar ha sido calculada a partir de la estimacion del numero de fotones porcentımetro cuadrado que llegan a una distancia igual a una unidad astronomicay la energıa de un foton. Aunque el valor de � no es exactamente constante, parala mayorıa de las aplicaciones es suficiente tomarlo igual a � = 1367W/m2.

Por otro lado, si tenemos en cuenta la ecuacion de Einstein E = mc2, sededuce facilmente que p

f

= mc = Ef

/c, lo que nos da la norma de la cantidad demovimiento de un foton siendo E

f

su energıa. A partir de este valor y teniendo encuenta la cantidad de fotones que impactan sobre un cuerpo, lo que se relacionacon la intensidad solar, podemos deducir que el impulso o variacion de la cantidadde movimiento, en un tiempo �t, de un cuerpo que absorbe toda la energıa, o loque es igual, que recibe toda la cantidad de movimiento de los fotones, es igual a

�p = ��Ef

ce� = ��

cA�t e�,

siendo A el area la seccion del cuerpo que recibe la radiacion o area efectiva, ye� la direccion del cuerpo al Sol. De esta forma, la fuerza que actua sobre dichocuerpo puede ponerse como

F

abs

= ��cA e� = �P� A e�,

donde P� representa la presion de radiacion solar

P� =�

c= 4.56⇥ 106 m�1 kg s�2,

que se ha calculado a partir de los valores constantes de � y c.

En la expresion anterior de la fuerza, y en lo que sigue, se ha supuesto queel foton incide perpendicular a la superficie del satelite, esto es, el angulo deincidencia vale cero. Esto es una aproximacion al modelo real en el que debemosconsiderar este angulo y la actitud del satelite, sin embargo, para la mayorıa delas aplicaciones esta aproximacion sera suficiente. Pensemos, por ejemplo, en laaplicacion de este modelo a un satelite en el que la mayor superficie la forman lospaneles solares que deben estar siempre orientados perpendicularmente al Sol.


En el caso de que el cuerpo refleje toda la energıa, de forma especular, elmomento angular p

f

del foton pasa a ser �pf

, en lugar de anularse como en elcaso de la completa absorcion. Debido a esto el impulso y por tanto la fuerzaseran el doble de la anterior

F

ref

= �2P� A e�.

En la practica parte de la radiacion se refleja y parte se absorbe por lo que elmodelo de fuerza producido por la radiacion solar sera

F

r

= ✏Fref

+ (1� ✏)Fabs

= �P�(1 + ✏)A e�,

donde ✏ es un parametro de reflectividad del cuerpo que toma un valor entre 0(completa absorcion) y 1 (completa reflexion). Habitualmente se sustituye esteparametro por C

r

= (1 + ✏), cuyo valor es igual a 1.21 para los paneles solares y1.81 para el aluminio. Finalmente se tendra

F

r

= �P� Cr

A e�.

El valor de la presion de radiacion solar P� ha sido calculado para una unidadastronomica de distancia r

AU2, sin embargo, la distancia del cuerpo al Sol r� varıa

con el tiempo, produciendo, para un satelite artificial terrestre, una variacion de±3.3% en la presion de radiacion. Puesto que el flujo solar decrece con el cuadradode la distancia al Sol podemos establecer finalmente que el valor de la aceleracionproducida en el satelite por la presion de la radiacion solar es

PRAD

= �P� Cr

A

mr2AU

x� x�kx� x� k3

, (15.5)

donde hemos tenido en cuenta que la distancia del satelite al Sol es kx� x� k ysu direccion e� = (x� x�)/kx� x� k.

La presion de radiacion solar disminuye cuando no es visible toda la superficiedel Sol y desaparece cuando este no es visible, de ahı la importancia del estudiodel fenomeno de los eclipses desde el punto de vista de la navegacion espacial. Dehecho, la expresion (15.5) debe ser sustituida por la siguiente

PRAD

= ��(x,x�)P� Cr

A

mr2AU

x� x�kx� x� k3

, (15.6)

donde �(x,x�) es una funcion que depende de la posicion del satelite y del Sol yque representa la fraccion del disco solar visible. Si el disco del Sol es totalmentevisible, es decir no hay eclipse, entonces � = 1. Si el disco solar esta totalmenteoculto por algun planeta o cuerpo, entonces � = 0. El valor de � tomara un valorentre 0 y 1 cuando el Sol esta parcialmente eclipsado.

2El factor rAU se introduce en la expresion para unificar las unidades en que ha sido calculadala presion de radiacion con las unidades que se usan para formular las ecuaciones del movimiento.

Eclipses 241

15.3 Eclipses

El fenomeno de la presion de radiacion solar afecta a cualquier nave espacial,tanto sea una sonda espacial interplanetaria como satelite artificial orbitando entorno a la Tierra, la Luna o un planeta. Ademas, la visibilidad del Sol afectatambien al funcionamiento de muchos sistemas de la nave que dependen de larecepcion de energıa en los paneles solares, por ello es tan importante el conoci-miento de los posibles eclipses en cualquier mision espacial. No debemos quedarnosunicamente en los producidos por la Tierra al interponerse por delante del Sol enun satelite artificial, sino que debemos estudiar la produccion de eclipses cuan-do el cuerpo que lo produce no sea la Tierra. De hecho la Luna tambien puedeproducir eclipses en un satelite artificial terrestre.

15.3.1 Semidiametros y distancia angular

La produccion de un eclipse esta relacionada con el tamano del semidiametroobservado del Sol y el del planeta, o cuerpo P que pueda eclipsarlo, y la distanciaangular entre ambos.

S

P�

s

s�sP

R�

RP

Figura 15.1: Separacion angular y semidiametros del Sol y el planeta desde el sateliteartificial.

Como puede verse en la figura 15.1, la relacion entre la distancia angular s ylos semidiametros s� y s

Pnos indicara la existencia o no de eclipses. Para calcular

estas bastara obtener unas sencillas relaciones angulares y trigonometricas.


Supongamos que los vectores de posicion del planeta y del Sol, vistos desde elsatelite, vienen dados por SP , S� respectivamente. El semidiametro s

P(s�) del

planeta P (Sol) se obtendra teniendo en cuenta el triangulo rectangulo formadopor el satelite S, el centro del planeta P (centro del Sol �) y el punto de tangenciade la recta tangente al planeta (Sol) desde S. Si R

P, R� representan el radio del

planeta y Sol y kSP k, kS�k la distancia entre el satelite y el planeta y el Sol,entonces podremos poner

sP= asen

✓

RP

kSP k

◆

, s� = asen

✓

R�

kS�k

◆

. (15.7)

Por otro lado, la separacion angular entre el Sol y el planeta, vistos desde elsatelite, vendran dados por el producto escalar de SP y S�, por lo que podremosponer

s = acos

✓

SP · S�kSP kkS�k

◆

. (15.8)

Los valores de s, s�, sPpueden calcularse en cualquier instante del tiempo si

se conocen con precision las posiciones del satelite, el planeta y el Sol.

15.3.2 Condiciones para un eclipse

Atendiendo al valor relativo de las cantidades s, s�, sPpodemos decir en cual-

quier momento si se esta produciendo un eclipse y de que tipo.

Obviamente, cuando la distancia angular s sea mayor que la suma s� + sP,

los centros aparentes del Sol y el planeta estaran suficientemente alejados por loque no habra ningun eclipse y la superficie del Sol se vera en su totalidad.

(a) Comienzo del eclipse parcial. (b) Final del eclipse par-cial.

Figura 15.2: Posiciones de comienzo y final de un eclipse parcial.

En el momento en que s = s�+ sPse produce la situacion de la figura 15.2(a)

donde los discos de el Sol y el planeta entran en contacto y por tanto el disco delSol, que siempre estara mas alejado, se oculta por detras del disco del planetacomenzando el eclipse parcial.

Eclipses 243

El eclipse parcial termina cuando uno de los discos esta totalmente dentrodel otro, lo que sucede, como vemos en la figura 15.2(b), en el momento en ques = |s� � s

P|. En esta relacion hemos tenido que poner el valor absoluto porque

pueden darse dos casos segun que el disco aparente del planeta sea mayor o menorque el del Sol. Esta situacion no podra darse cuando el satelite sea terrestre y elplaneta que produce el eclipse la Tierra, pues en este caso el diametro aparentede la Tierra es mucho mayor que el del Sol, pero si el que produce el eclipse esla Luna la situacion relativa puede conducir al caso de que el disco del Sol seamayor que el de la Luna.

(a) Eclipse total (b) Eclipse anular

Figura 15.3: Eclipses total y anular.

Cuando s < |s� � sP| pueden producirse dos casos. Si el planeta tiene mayor

semidiametro, esto es s� < sPy s < s

P� s�, entonces el disco del planeta oculta

totalmente el del Sol (figura 15.3(a)) produciendose un eclipse total de Sol. Sipor el contrario es el Sol el que tiene mayor semidiametro, esto es s

P< s� y

s < s��sP, entonces el disco del planeta tapara unicamente parte del disco solar

(figura 15.3(b)) produciendose un eclipse anular.

Podemos resumir las cuatro condiciones en los siguientes puntos:

No hay eclipse: s� + sP< s .

Eclipse parcial: |s� � sP| < s < s� + s

P.

Eclipse total : s� < sPy s < s

P� s�.

Eclipse anular : sP< s� y s < s� � s

P.

15.3.3 Area de un segmento circular

Para calcular la magnitud de un eclipse parcial hemos de tener en cuenta que,cuando este se produce, la parte de disco oculta esta formada por dos segmentoscirculares como puede observarse en la figura 15.4.

Cuando cortamos un cırculo de radio r por una recta secante QQ0 (figura15.5) este queda dividido en dos zonas o segmentos circulares, uno pequeno, que


Figura 15.4: Segmentos circulares ocultos durante un eclipse parcial.

no contiene el centro y que tiene un area A y otro grande, que contiene al centro,que tiene un area (⇡r2 �A).

r

rz A

✓

x y

Q0

Q

P

Figura 15.5: Area de un segmento circular.

Para caracterizar estos dos seg-mentos observaremos que la rectaQQ0 divide al diametro perpendicularen dos segmentos de longitud l = y yl = x+ r = 2r � y. Este parametro l,que llamaremos longitud del segmen-to circular, determina a cual de losdos segmentos nos referimos.

Calcularemos, en primer lugar, elarea A del menor de los segmentos.Para esto basta tener en cuenta queesta area es igual al area ✓ r2 del sec-tor circular PQQ0 menos el area z xdel triangulo PQQ0. Simples relacio-nes geometricas permiten poner

A = r2 acos

✓

r � y

r

◆

� (r � y)p

2ry � y2.

A partir de esta relacion es facil obtener el area del segmento en funcion de lalongitud l, que puede ser mayor o menor que r. Ası tendremos la expresion:

A(l, r) =

8

>

>

<

>

>

:

r2 acos

✓

r � l

r

◆

� (r � l)p2rl � l2, l < r,

⇡r2� r2 acos

✓

l � r

r

◆

+ (l � r)p2rl � l2, l > r,

(15.9)

donde A(l, r) es una funcion que permite calcular el area de segmento de longitudl en un cırculo de radio r.

Eclipses 245

15.3.4 Magnitud del eclipse

Queda por calcular, finalmente, el valor de la funcion � que determina lamagnitud del eclipse, definiendo este como la fraccion de la superficie del discosolar oscurecida por el planeta. Aunque en (15.6) se ha definido este parametrocomo funcion de x y x�, expresaremos � como funcion de los tres parametross, s�, sP

, que como sabemos se podran calcular en terminos de x y x�.

Comenzaremos por el caso del eclipse parcial, donde debemos buscar, en primerlugar, la longitud de los dos segmentos de cırculo que determinan la zona del discosolar oculta. Las dos situaciones, que corresponden a la figura 15.4, se representantambien en los dos triangulos de la figura 15.6, de los cuales debemos obtener laslongitudes de los segmentos de cırculo l

m

y lM.

sM

sM

sm

sm

✓M

✓M

✓m

✓m

xM

xM

xm

xm

lM

lM

lm

lm

z

z

S

PM

CM

Pm

Cm

S0

S

PM

CM

Pm

Cm

S0

Figura 15.6: Triangulo SPm

PM .

Los subındices m y M usados en esta figura se definen de manera que secorresponden con el valor mınimo y maximo de los semidiametros del Sol y elplaneta, esto es

sm

= mın(s�, sP), s

M= max(s�, sP

). (15.10)

Calcularemos unicamente las longitudes lm

y lM

para el caso del triangulo dearriba de la figura. Las expresiones finales de l

m

y lM

son identicas en los doscasos.

Si llamamos xm

y xM

a las distancias respectivas de Pm

y PM

a S0 se tendra larelacion x

m

+ xM

= s.


Por otro lado el teorema de Pitagoras aplicado a los triangulos Pi

SS0 nos dalas relaciones z2 + x2

i

= s2i

para i = m,M . Restando ambas relaciones se obtienes2M� s2

m

= x2

M� x2

m

= (xM

+ xm

)(xM� x

m

) = s(xM� x

m

), que junto con laexpresion del parrafo anterior nos da un sistema lineal mediante el cual obtenemos

xm

=s2 � s2

M+ s2

m

2s, x

M=

s2 + s2M� s2

m

2s.

Observando la figura se deducen las relaciones li

= si

� xi

, i = m,M , quepermiten escribir, para todos los casos, las expresiones

lm

= sm

�s2 � s2

M+ s2

m

2s, l

M= s

M�

s2 + s2M� s2

m

2s. (15.11)

Si tenemos en cuenta finalmente que el area del disco solar es ⇡s2� y que elarea ocultada corresponde a dos segmentos circulares de longitudes respectivas l

i

y radios ri

, con i = m,M , podremos dar la siguiente expresion para la magnitudde un eclipse parcial

� =⇡s2� �A(l

m

, sm

)�A(lM, s

M)

⇡s2�.

Para un eclipse anular, en el que el semidiametro del Sol es mayor que el delplaneta, se tendra

� =⇡s2� � ⇡s2P

⇡s2�= 1�

s2P

s2�.

Finalmente podemos reunir todas las expresiones y dar una expresion generalpara la magnitud de un eclipse:

�(s, s�, sP) =

8

>

>

>

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

>

>

>

:

1, si s� + sP< s,

0, si s� < sPy s < s

P� s�,

1�s2P

s2�si s

P< s� y s < s� � s

P,

⇡s2� �A(lm

, sm

)�A(lM, s

M)

⇡s2�si |s� � s

P| < s < s� + s

P,

(15.12)donde s

m

, sM, l

m

, lM

vienen dados por (15.10) y (15.11).

15.3.5 Eclipses en satelites artificiales terrestres

En el caso de los satelites artificiales terrestres pueden darse dos tipos distintosde eclipses: los producidos por la Tierra y los producidos por la Luna. Los primerossolo pueden ser parciales o totales, mientras que los segundos pueden ser parciales,totales o anulares.

Perturbaciones relativistas 247

En ambos casos podemos usar las expresiones vistas en la seccion 15.3 dondese tendran las relaciones

S� = x� � x,

SL = x

L� x,

ST = �x,

siendo x el vector de posicion del satelite, y x

L,x� los vectores de posicion de la

Luna y del Sol desde la Tierra.

15.4 Perturbaciones relativistas

La formulacion del movimiento orbital deberıa, en rigor, ser efectuada deacuerdo con la teorıa de la relatividad general en lugar de usar la ecuacion fun-damental de Newton de la Mecanica. La complejidad de esta formulacion y elpequeno efecto que produce sobre la orbita obtenida por medio del planteamientoclasico hacen que la correccion relativista sea tambien tratada como una pequenaperturbacion al modelo kepleriano. Este modelo, basado en la teorıa newtonianamas las correcciones post-newtonianas, es llamado aproximacion post-newtoniana.

La aproximacion post-newtoniana al problema de n cuerpos conduce a lasecuaciones EIH (Einstein, Infeld y Ho↵man). Estas ecuaciones han permitidodescubrir el mayor efecto de la relatividad sobre el movimiento orbital, en con-creto para las orbitas de los planetas: el desplazamiento del perihelio o variaciondel angulo !. Este efecto fue detectado a mediados del siglo XIX en el planetaMercurio y fue cuantificado por medio de la aproximacion post-newtoniana enuna variacion por vuelta de

�! =24⇡3a2

P 2 c2(1� e2).

En el caso de Mercurio la anterior relacion conduce a un valor de�! = 4.82⇥10�7

radianes, lo que equivale a unos 4300 por siglo. Para el planeta Venus el avance delperihelio es de 8.0064 por siglo.

La contribucion post-newtoniana a la aceleracion de un satelite artificial te-rrestre puede expresarse como

PPN

=µ

r31

c2

✓

4µ

r� v2

◆

x+ 4(x ·X)X

�

. (15.13)

Para una orbita circular se tendra x ·X = 0 y v2 = µ/r, por lo tanto, la expresion(15.13) se transformara en

PPN

=µx

r3

✓

3v2

c2

◆

, (15.14)


es decir coincide con la aceleracion en el problema kepleriano multiplicada por elfactor 3v2/c2 que vale aproximadamente 10�10, lo que constituye una perturba-cion muy pequena.

15.5 Perturbaciones empıricas

Todos los modelos de fuerzas tratados en este capıtulo aplican simplificacio-nes basadas en el desconocimiento y la imposibilidad de modelar algunos de losmultiples parametros que en ellas aparecen. Incluso considerando el gran esfuer-zo desarrollado en la obtencion de modelos precisos de las fuerzas que actuansobre el satelite siempre tendremos un grado de incertidumbre derivado del malconocimiento de los parametros y su variacion.

Para tener en cuenta el efecto de todas estas fuerzas mal modeladas, o inclusono modeladas, se ha introducido el concepto de fuerza o perturbacion empırica.Estas aceleraciones tienen una expresion muy simple, basada en unos parametrossin significado fısico, que pueden ser obtenidos por metodos de determinacion deorbitas una vez que el satelite esta en el espacio. Obviamente estas tecnicas nosirven para un conocimiento previo de la orbita, sino para un conocimiento dealta precision de la misma a posteriori.

Pueden modelarse dos tipos de fuerzas empıricas: fuerzas tangentes a la orbi-ta y fuerzas con una frecuencia de una revolucion (one-cycle-orbital revolution1CPR).

Las aceleracion de las fuerzas empıricas en la direccion tangente se expresa enla forma

PTAN

= Ct

t, (15.15)

donde Ct

es el parametro tangencial empırico y t es la direccion del vector velo-cidad.

La aceleracion producida por las fuerzas 1CPR suelen expresarse de la siguien-te manera

P1CPR= C cos ✓ + S sen ✓, (15.16)

donde ✓ es el argumento de latitud,C = Cu

u+Cv

v+Cn

n y S = Su

u+Sv

v+Sn

n,siendo C

u

, Cv

, Cn

, Su

, Sv

, Sn

los parametros empıricos de la perturbacion y u,v,nlos vectores del sistema orbital donde se ha formulado la expresion de P1CPR

.

Tanto esta fuerzaP1CPRcomoP

TANdeben expresarse finalmente en el sistema

orbital.

Parte IV

Navegacion espacial

249

Capıtulo 16

Navegacion espacial

16.1 Introduccion

El afan viajero del ser humano, junto con su necesidad de supervivencia y suespıritu explorador y aventurero impulsaron, en la antiguedad, su expansion portoda la Tierra, viajando, tanto por tierra como por mar, pese a los peligros queeste tipo de viajes comportaban. A pesar de que su sueno se extendıa fuera dela Tierra, no fue hasta el comienzo del siglo XX cuando el hombre consigue porprimera vez alejarse de la superficie, en primer lugar a sus proximidades con laaviacion y posteriormente, a partir del ano 1957, hacia el espacio, iniciando unaactividad que solo tiene medio siglo pero que ya ha cambiado el modo de vivirdel hombre.

Aunque el concepto del cohete, dispositivo propulsado a reaccion por la expul-sion de los gases generados por una combustion, es conocido desde la invencion dela polvora por los chinos, no es hasta los trabajos de tres pioneros: el ruso Kons-tantin Tsiolkovski(1857-1935), el norteamericano Robert H. Goddard (1882-1945)y el aleman Hermann Oberth(1894-1989), cuando se ponen las bases de la tecno-logıa moderna de cohetes que permitio poco despues el desarrollo de la industriaespacial. Estos cientıficos proponen y desarrollan el uso de combustible lıquido enlugar de solido, los estabilizadores de los cohetes por medio de giroscopos, etc.

El primer precedente moderno de los actuales cohetes, que son la base para elenvıo de naves al espacio, son los misiles V2 desarrollados por Alemania durante lasegunda guerra mundial bajo la direccion de Wernher von Braun. Tras la derrotade esta sus cientıficos son repartidos entre Estados Unidos y la Union Sovietica.Ambos estados inician, en paralelo, una desaforada carrera espacial establecida

252 Navegacion espacial

como un campo de batalla mas de la guerra frıa. En este primer periodo EstadosUnidos no logra un proyecto comun por discrepancias entre los distintos ejercitosy por ello la URSS, con un equipo dirigido por Sergei Korolev, consigue tomarventaja enviando al espacio el Sputnik I el dıa 4 de octubre de 1957.

El Sputnik I, de 83 kg de peso, fue situado en una orbita de 250 km de altitud,donde permanecio hasta su incineracion, en su reentrada en la atmosfera, el 3 deenero de 1958. Casi a continuacion la URSS lanza un segundo satelite, el SputnikII, que transportaba en su interior al primer ser vivo que viajo al espacio: la perritaLaika, que fallecio unos 10 dıas despues de entrar en orbita. Estos dos exitosconsecutivos de la industria espacial sovietica forzaron a los norteamericanos ados lanzamientos casi seguidos: el Vanguard-1, lanzado por la armada el 5 dediciembre de 1957 y que fracaso y el Explorer I, lanzado con exito por el ejercitoel 31 de diciembre de 1957. Sin embargo, la consecuencia mas importante paraNorteamerica, derivada de sus primeros fracasos, fue la creacion de una agenciaespacial para coordinar todos los esfuerzos en esta carrera, ası, el 1 de octubre de1958 comienza a operar la NASA con cuatro laboratorios y unos 8000 empleados.

Planteada la carrera espacial como consecucion de hitos y no con una estrategiacientıfica, es la URSS la que sigue, durante mucho tiempo, llevando la iniciativa:obtiene las primeras imagenes de la cara oculta de la Luna el 4 de octubre de1959; es la primera que pone un ser humano, Yury Gagarin, en orbita el 12 deabril de 1961; etc. Todo esto lleva a la administracion Kennedy, a plantear, enun famoso discurso pronunciado el 25 de mayo de 1961, la consecucion de unambicioso proyecto que tenıa como objetivo que el hombre pisara la Luna antes deuna decada. Como todos sabemos este proyecto concluyo con uno de los mayoreslogros del ser humano en toda su historia: el dıa 20 de julio de 1969 el astronautaNeil Armstrong consiguio uno de los mas esperados suenos de todo ser humano:pisar la Luna.

Una vez conseguidos todos los hitos posibles y demostrada la posibilidad deque el hombre llegue al espacio, la carrera espacial entra en una fase mas cientıficay las misiones se plantean con criterios mas racionales, aunque durante la guerrafrıa algunos de los resultados cientıficos y tecnologicos derivados de la carreraespacial, como por ejemplo los modelos precisos de potencial terrestre, son decla-rados informacion clasificada.

El final de la guerra frıa pone en peligro la industria espacial sovietica, que enese momento tiene como mision estrella la estacion espacial Mir, haciendo inclusopeligrar la vida de alguno de sus astronautas. Afortunadamente esto da pie a uninicio de colaboracion entre agencias, incluida la Agencia Europea del Espacio(ESA), creada en el ano 1975, que aunque dista todavıa mucho de ser optimo, hadado lugar a uno de los proyectos de cooperacion internacionales mas ambiciososy utiles, la Estacion Espacial Internacional (ISS).

Este medio siglo de navegacion espacial ha venido caracterizado por dos gran-des retos, que a veces se confunden, pero que corresponden a dos aspectos muydistintos de la navegacion espacial:

Satelites artificiales terrestres 253

Los satelites artificiales, que son objetos en orbita alrededor de la Tierraque ayudan al hombre en su desarrollo tecnologico y cientıfico.

La navegacion interplanetaria, que partir de naves que se alejan de la Tierrapermite explorar el sistema solar y que algun dıa pueden llevar al hombre aotros planetas.

16.2 Satelites artificiales terrestres

Los satelites artificiales terrestres son objetos construidos por el hombre ysituados en el espacio, en orbita alrededor de la Tierra, a una altitud, sobre lasuperficie terrestre, que siempre es menor de unos 40000 km.

Podemos establecer varias clasificaciones de los satelites artificiales atendien-do a diversos aspectos. Nos fijaremos aquı unicamente en tres aspectos: masa delsatelite, tipo de la mision y orbita del satelite. Revisaremos en este apartado lasdos primeras clasificaciones dejando la ultima para el siguiente capıtulo, despuesde haber analizado con mas detalle las orbitas de los satelites. En esta caracteri-zacion se hara mencion de algunos conceptos que se iran profundizando a lo largode esta ultima parte del libro.

La clasificacion del satelite en cuanto a su masa no es una clasificacion funda-mental, pero en este momento de desarrollo de la tecnologıa se hace cada vez masimportante porque incide en el coste del lanzamiento y en la capacidad tecnica ocientıfica de la mision a realizar.

En la clasificacion mas moderna podemos considerar como pequeno un satelitepor debajo de 500 kg. Entre estos podemos hablar de: minisatelites, entre 100 y 500kg, microsatelites, entre 10 y 100 kg, nanosatelites, entre 1 y 10 kg, y finalmente lospicosatelites con un peso menor o alrededor de 1 kg. Por encima de los pequenossatelites nos podemos encontrar satelites de tamano medio, entre 500 y 1000 kgy los grandes satelites con mas de 1000 kg.

Aunque al comienzo de la era espacial los satelites eran pequenos por lasnecesidades y condicionamientos del lanzamiento, poco a poco fueron aumentandoen tamano y masa. El gran handicap de la industria espacial es el enorme coste delas naves capaces de poner en orbita un satelite artificial. Unicamente las grandesagencias espaciales, soportadas por grandes presupuestos, son capaces de construirdichas naves, por lo que inicialmente fueron las unicas en participar en la carreraespacial.

La posibilidad de alquilar dichas naves ha abierto la tecnologıa espacial a otrasentidades como gobiernos, empresas privadas, universidades, que son capaces deconstruir un satelite y alquilar la nave que realiza el lanzamiento de dicho satelite.El coste de dicho lanzamiento y el de la construccion del satelite artificial sereducen en funcion del tamano y masa del mismo, lo que ha propiciado un aumentodel numero de misiones de satelites de pequena masa.


En el otro extremo nos encontramos los grandes satelites artificiales, entre losque podemos destacar, en primer lugar, la estacion espacial internacional, ISS, de450 toneladas de peso, 1200 m3 de espacio util y unas dimensiones de 108 ⇥ 80m. y por otro lado algun satelite de observacion astronomica, como el Hubble,que pesa 11 toneladas y tiene forma de tubo de telescopio de 13 metros de largocon unos paneles solares a los lados.

Para comprender el enorme y rapido desarrollo de la industria espacial es mejorobservar la clasificacion de los satelites artificiales en funcion del tipo de misionque realizan. Esto nos hara comprender la utilidad real de los satelites artificiales.

Aparte del uso militar de los satelites artificiales, del que no hablaremos eneste libro, podemos dividir el tipo de misiones espaciales en cinco grupos:

Satelites de comunicaciones.

Satelites de navegacion.

Satelites de observacion terrestre.

Satelites cientıficos.

Estaciones espaciales.

16.2.1 Satelites de comunicaciones

El problema de las comunicaciones fue visto desde el principio como uno de loscampos donde la tecnologıa de los satelites podıa ser de utilidad. Un primer intentode comunicar dos estaciones desde un satelite fue realizado a traves del sateliteScore, lanzado en 1958, y que portaba una grabadora que grababa mensajes alpasar por una estacion y los reproducıa al pasar por otra.

El primer satelite de comunicaciones fue el Echo, lanzado por los EstadosUnidos el 12 de agosto de 1960. Este satelite no es realmente un satelite de comu-nicaciones como los que actualmente se lanzan, sino que se trataba de un satelitepasivo, de orbita baja, que se limitaba a reenviar a una estacion la senal recibidadesde otra durante el paso del satelite por encima de la estacion. Telstar fue elprimer satelite activo1 de comunicaciones. El primer Telstar fue construido por laempresa AT&T y lanzado por la NASA en 1963, tenıa una orbita muy excentricae inclinada. Este fue el primero de una larga serie de satelites lanzados por dichaempresa de comunicaciones y que todavıa siguen lanzandose. En la actualidad seencuentran operacionales los satelites Telstar 11N, Telstar 12 y Telstar 18, y elultimo Telstar 14R, lanzado en mayo de 2011. Obviamente la tecnologıa y el tipode orbita han cambiado mucho durante este periodo.

Los actuales satelites de comunicaciones utilizan preferentemente orbitas geo-sıncronas o geoestacionarias, que permiten el mantenimiento de una antena per-manentemente dirigida al satelite, sin necesidad de efectuar un seguimiento del

1Con receptor y emisor de senales.


mismo para emitir o recibir la senal. El primer satelite geosıncrono fue el Syncom2 lanzado el ano 1963 y que permitio realizar una conexion telefonica interconti-nental, mientras que Syncom 3, lanzado al ano siguiente en una orbita geoestacio-naria, permitio la transmision de las imagenes de los juegos olımpicos de Japondel ano 1964.

Como ejemplo de satelite geoestacionario de comunicaciones podemos men-cionar el espanol Hispasat, que en realidad no esta formado por uno, sino tresHispasat (1C, 1D y 1D) situados en una longitud de 30� W. Al mismo sistema decomunicaciones Hispasat pertenecen tambien los dos satelites Amazonas (I y II)situados en una longitud de 61� W.

El problema de las comunicaciones por satelite se complica en lugares comoRusia donde las elevadas latitudes no permiten la recepcion de buenas senales consatelites geoestacionarios. Para resolver este problema se pusieron en orbita lossatelitesMolniya que dieron nombre a un tipo de orbita que se estudiara posterior-mente. Estos satelites tambien han jugado un importante papel en el desarrollode la industria espacial.

El siguiente paso en el desarrollo de la tecnologıa por satelite lo dieron lasllamadas constelaciones de satelites, que consisten en una mision formada, no poruno, sino por muchos satelites puestos en varias orbitas distintas, situando ademasvarios satelites espaciados en cada una de dichas orbitas. El sistema Iridium, parausos de telefonıa, esta formado por 66 satelites, en 11 orbitas polares bajas, a unos785 km de altitud, con lo que se consigue una excelente cobertura desde cualquierlugar y en cualquier instante. El primer satelite de la constelacion Iridium fuelanzado el 1 de noviembre de 1998 y aunque la empresa que lo comercializabaentro en bancarrota al ano siguiente, el servicio fue reestablecido el ano 2001 ysigue activo en este momento.

16.2.2 Satelites de navegacion

Otro importante problema resuelto por los satelites es el de la navegacion.Desde siempre el problema de la determinacion de la posicion de un viajero hamovido a desarrollar sofisticados metodos de Astronomıa de posicion. Actual-mente, el uso de los satelites artificiales ha elevado la precision del calculo de laposicion a lımites insospechados.

El primer satelite de navegacion fue el Transit, lanzado en el ano 1960. Elsatelite emitıa en una frecuencia determinada desde una posicion conocida desu orbita, la frecuencia recibida por el receptor varia ligeramente por el efectoDoppler, lo que permite obtener la posicion del receptor. La aproximacion logradamediante el uso de los sucesivos satelites Transit permitıa a los barcos obtener,en intervalos de entre 35 y 100 minutos, una posicion con un error del orden delos 100 metros.


Los satelites Transit siguen actualmente en funcionamiento, aunque desde elano 1996 han sido totalmente sustituidos por el sistema de navegacion GPS (Glo-bal Positioning System). Este sistema esta basado en una constelacion de 24satelites en 6 planos orbitales diferentes, con unas orbitas relativas que aseguranque sobre cada punto de la Tierra existen, en cada instante, varios de estos sateli-tes de los que se puede recibir una senal. Cada satelite dispone ademas de dosrelojes atomicos que le marcan su hora con una considerable precision. Un recep-tor en Tierra, recibiendo la senal de varios de estos satelites, puede calcular, portriangulacion espacial, su posicion y velocidad en tiempo real, con una precisionde unos pocos metros en la posicion y 0.1 m/s en la velocidad. Asimismo, se recibela hora del sistema tambien llamada tiempo GPS.

La precision del sistema GPS puede ser mejorada notablemente, hasta centıme-tros en algunos casos, por tecnicas de correccion diferencial en el calculo de laposicion, combinadas con el apoyo de otros medios entre los que se encuentra, porejemplo, el sistema EGNOS, que es la primera aportacion importante europeaa los sistemas de navegacion. La disponibilidad, cada vez mayor, de los recep-tores de GPS, ası como su tamano y precio, cada vez menor, ha popularizadoenormemente su uso en los ultimos anos.

Un sistema similar, con 24 satelites en tres orbitas, llamado GLONASS, hasido desarrollado por Rusia y esta operativo desde octubre de 2011. Desde en-tonces, muchos de sistemas de navegacion, incluidos los incorporados a algunossmartphones, integran los servicios de GLONASS junto con los de GPS.

Ante la importancia creciente de dichos sistemas, la Union Europea esta desa-rrollando un sistema de navegacion propio, el sistema Galileo. Este sistema, apartede evitar la dependencia tecnologica de Europa en un campo tan importante co-mo es las aplicaciones de la navegacion, pretende tambien mejorar la precision ylas prestaciones de los anteriores sistemas. El sistema Galileo, que deberıa haberestado funcionando en 2010, ha sufrido numerosos retrasos que han llevado a quelos cuatro primeros satelites, para la fase de validacion en orbita, terminen delanzarse en octubre de 2012. Esta previsto que los 30 satelites de la constelacion,situados en tres planos distintos, esten lanzados y el sistema este completamenteoperativo en el ano 2019.

Galileo es un sistema civil, lo que asegura para la industria una continuidadde uso, no expuesta a criterios militares y polıticos que pueden llevar, en determi-nadas circunstancias, a una degradacion e incluso paralizacion de la informacionemitida por el satelite. Por otro lado, Galileo no pretende competir, sino colaborarcon los sistemas GPS y GLONASS; se preve que los receptores Galileo sean com-patibles con la senal de los anteriores. Ademas Galileo garantizara la fiabilidadde sus sistemas informando al usuario de cualquier posible fallo con un segundode tiempo como maximo. Esta caracterıstica es crucial para su uso en aviacion,pues ası se podra realizar de forma automatica el aterrizaje de aviones. Otra ca-racterıstica importante de Galileo es la funcion SAR (global Search and Rescue),que mediante un transpondedor situado en el satelite podra transferir avisos de


emergencia para operaciones de rescate.

En los ultimos anos se ha hecho notar la entrada de China en el desarrollode la industria del espacio. Aunque en un principio realizo una inversion en elprograma europeo Galileo, posteriormente decidio la construccion de su propiosistema de navegacion, BeiDou Navigation System. Este sistema, cuyos primerossatelites fueron lanzados en el ano 2000, tiene un diseno completamente diferentea las tres constelaciones GPS, GLONASS y Galileo, pues esta basado en satelitesgeoestacionarios que no dan una cobertura global sino que esta esta limitada a laregion asiatica.

16.2.3 Satelites de observacion terrestre

El espacio es el mejor lugar para observar la superficie de la Tierra, por loque los satelites se han constituido en el mejor instrumento para esta observacion.Atendiendo a su aplicacion, podemos distinguir cuatro tipos diferentes de satelitesde observacion terrestre:

satelites geodesicos,

satelites cartograficos,

satelites meteorologicos,

satelites medioambientales.

Una de las primeras necesidades de la industria aeroespacial fue la determina-cion precisa del geoide (forma de la Tierra) que nos diera un modelo preciso depotencial terrestre para poder calcular las orbitas con suficiente precision. Aunqueel estudio de la orbita de cualquier satelite artificial permite mejorar los elementosdel potencial terrestre, ha habido una serie de misiones disenadas especıficamentepara este fin. Una de las primeras y mas importantes ha sido el programa Lageos,Laser Geodynamics Satellites, que ha puesto en orbita dos naves: Lageos-1, lan-zado en 1976 y Lageos-2, lanzado en 1992, con el objetivo de una determinacionde precision del geoide y de los movimientos de las placas tectonicas asociados ala deriva continental.

Otro uso de los satelites de observacion terrestre es el de la cartografıa deprecision de la Tierra y la toma de imagenes de alta resolucion de la misma. Unejemplo de ello es la aparicion de la aplicacion Google Maps, y otras que le vana seguir, que permiten una vision, en el futuro tridimensional, de gran precision,de cualquier lugar de la Tierra, con una simple conexion a internet.

Los satelites meteorologicos se dedican exclusivamente a la observacion de laatmosfera en su conjunto. La comprension de la dinamica atmosferica, el compor-tamiento de las masas nubosas o el movimiento del aire frıo o caliente resultanindispensables para realizar predicciones del clima, pues sus efectos impactan demanera irremediable en las actividades de los seres humanos aquı en la Tierra.


El primer satelite meteorologico fue el Tiros-1, lanzado en abril de 1960 despuesdel fracaso del Vanguard 2. Despues de este ha habido muchos otros satelitesmeteorologicos situados en dos tipos de orbitas: polares o geoestacionarias. Losgeoestacionarios, situados en un punto del ecuador, permiten obtener imagenescontinuadas de todo un hemisferio que pueden presentarse como fijas o, si se unenvarias, como una pelıcula de la evolucion de la atmosfera. En Europa disponemosde variosMeteosat situados sobre el oceano Atlantico. Los satelites meteorologicosen orbita polar, como los de la serie NOAA mantienen una orbita que pasa variasveces al dıa por un lugar concreto de la Tierra a la misma hora local2 lo que lesda las mismas condiciones de iluminacion.

Finalmente, el cada vez mayor interes que el ser humano muestra por la eco-logıa esta llevando a desarrollar una serie de misiones espaciales de estudio delmedio ambiente. Como ejemplo mencionaremos unicamente el satelite europeoEnvisat, Environmental Satellite, uno de los mayores satelites de observacion te-rrestre jamas construido. Fue lanzado en marzo de 2002 y estuvo operativo hastaabril de 2012. Mediante sofisticados instrumentos opticos y de radar ha realiza-do una continua observacion de la atmosfera, los oceanos, las zonas terrestres ylas regiones polares de la Tierra. Su mision ha sido la de controlar el calenta-miento global, el grado de la contaminacion atmosferica y controlar los riesgos dedesastres naturales para poder mitigar sus efectos.

16.2.4 Satelites cientıficos

La ausencia de gravedad y de atmosfera hacen del espacio exterior un lugarprivilegiado para realizar determinados experimentos cientıficos que en la superfi-cie terrestre podrıan quedar “contaminados”. La posibilidad de enviar al espaciosatelites muy pequenos, de bajo coste en su construccion y en su lanzamiento, hamultiplicado la realizacion, desde satelites artificiales expresamente disenados pa-ra ello, de muchos experimentos cientıficos individuales, tanto de empresas comode organismos de investigacion y universidades. Sin embargo, la mejor posibili-dad para la ciencia la proporciona la existencia de laboratorios estables en orbita,donde poder realizar una mayor variedad de experimentos. Este es uno de losprincipales usos de las estaciones espaciales, que seran discutidas en el siguienteapartado.

Afortunadamente para el ser humano la atmosfera terrestre nos proporcionaun elemento fundamental, el oxıgeno, y nos protege de las peligrosas radiacionesprocedentes del espacio. Sin embargo, la atmosfera es un elemento muy perjudi-cial para la Astronomıa pues distorsiona las imagenes recibidas y no permite laobservacion de determinadas longitudes de onda. Los satelites nos proporcionanla oportunidad de superar la atmosfera terrestre y realizar observaciones muchomas precisas y por ello la Astronomıa ha sido una de las ciencias mas beneficiadaspor el desarrollo de la industria espacial.

2Satelites heliosıncronos (estudiados en el siguiente capıtulo).


Aunque ha habido muchas misiones cientıficas para la observacion del espaciodestacare unicamente dos: El satelite europeo Hipparcos y el telescopio espacialHubble, HST.

El satelite astrometrico Hipparcos, lanzado en agosto de 1989 y activo hasta1993 ha permitido, entre otras muchas cosas, la medicion precisa de posiciones ymovimientos propios de cientos de miles de estrellas, dando lugar a dos catalogos:Hipparcos y Ticho que constituyen, por su precision, el sistema de referenciaestelar basico para los proximos anos y ha llevado a modificar la escala cosmicade distancias o la edad del Universo.

El telescopio Hubble, de 2.5 metros de diametro, fue lanzado en 1990, aun-que un error en su diseno impidio, durante unos anos, obtener la gran nitidezde imagenes que de el se esperaba. La reparacion de su miopıa fue efectuada enorbita por el transbordador espacial en el ano 1997. Este telescopio ha permiti-do realizar grandes descubrimientos astronomicos, tanto antes como despues dela reparacion. Se estima que cientıficos de mas de 45 paıses han realizados unas5000 publicaciones en revistas especializadas de resultados obtenidos por las ob-servaciones del Hubble. Su sustitucion esta prevista por el James Webb Spacetelescope, un telescopio con un espejo de 6.5 m de diametro cuyo lanzamientoesta previsto para el ano 2018.

16.2.5 Estaciones espaciales

Al contrario que los satelites artificiales estandar, que son naves mas o menospequenas pero disenadas unicamente para llevar instrumentos con los que reali-zar la mision para la que estan disenados, las estaciones espaciales son grandesestructuras en orbita donde el hombre puede vivir durante periodos de tiempomas o menos largos.

Las estaciones espaciales constituyen un laboratorio donde estudiar la interac-cion del hombre y el espacio con vistas a una futura exploracion del mismo. Asi-mismo permite estudiar la accion de la falta de gravedad sobre cualquier fenomenocientıfico por lo que constituye un inmejorable escenario para el desarrollo de laciencia.

Hasta el momento ha habido cuatro estaciones espaciales: dos rusas Salyuty Mir, otra norteamericana Skylab y una internacional, la unica actualmente enorbita, la Estacion Espacial Internacional, ISS.

La mision Salyut constituye el primer esfuerzo serio del ser humano en poneruna estacion en orbita. En realidad no fue una sino siete naves distintas. Las cincoprimeras, al igual que la norteamericana Skylab, fueron lanzadas en una sola piezaincluyendo en ellas toda la instrumentacion y medios necesarios para su vida util,lo que redujo esta considerablemente. La Salyut 1 fue lanzada el 19 de abril de1971 y se desintegro en la atmosfera el 11 de octubre del mismo ano. La Salyut 5estuvo en orbita desde el 22 de junio de 1976 hasta el 8 de agosto de 1977. Todas


ellas tuvieron un maximo de dos o tres visitas de varios astronautas. La naveSkylab fue puesta en orbita el 14 de mayo de 1973, recibiendo tres visitas, cadauna con tres astronautas, la ultima de una duracion de 84 dıas y que termino el 8de febrero de 1974. A partir de ese dıa no fue mas usada hasta que se estrello enla atmosfera el 11 de julio de 1979.

Con las Salyut 6 y 7 se ensaya un nuevo concepto de estacion espacial, pues seprueba su forma modular y un esquema de funcionamiento que permite reponersu soporte vital para alargar el tiempo de vida de la mision. De esta forma, laSalyut 7 estuvo en orbita 3216 dıas entre 1982 y 1991 recibiendo 26 visitas, 12tripuladas y 15 no tripuladas y estando ocupada durante 816 dıas.

El primer modulo de la estacion espacial Mir fue lanzado el 19 de febrero de1986, mientras que el resto de modulos, hasta seis, fueron lanzados entre 1988 y1996. El 23 de marzo de 2001 termino la mision Mir con su reentrada controladaen la atmosfera y posterior destruccion, siendo, junto con el proyecto Apolo, unade las misiones concluidas mas importante de la carrera espacial.

La estacion Mir fue habitada continuamente hasta 1999, en un principio porcosmonautas rusos, aunque posteriormente con la caıda de la Union Sovietica yla perdida de presupuestos de la Agencia Espacial Rusa se llego a un punto decolaboracion con la NASA que permitio, por un lado, la llegada de astronautasnorteamericanos a la Mir y por otro un comienzo de colaboracion que dio lugaral proyecto de la Estacion Espacial Internacional ISS, al que se adhirieron poste-riormente Europa, Japon y Canada. La ISS, cuya construccion comenzo el 20 denoviembre de 1998, es un proyecto muy importante por su caracter de colabora-cion entre agencias espaciales, contrario al espıritu de lucha entre estas heredadode los comienzos de la carrera espacial coincidentes en el tiempo con la guerrafrıa.

16.2.6 Vehıculos de transporte de carga

Para el buen funcionamiento de un estacion espacial es necesario disponerde vehıculos de carga que puedan llevar y traer de la estacion instrumentos ypersonas. Esto exige que dichos vehıculos no queden en orbita o se destruyan enla reentrada sino que deben poder ser recuperados con su carga intacta. La ida yvuelta a la estacion Mir era realizada por dos tipos de naves: Soyuz y Progress.

La nave Soyuz esta formada por varias partes: el modulo de servicio, el moduloorbital y la capsula de la tripulacion. El modulo de servicio es el cohete o vehıculode lanzamiento, propiamente dicho, que impulsa la nave a la orbita adecuada.El modulo orbital contiene el equipo necesario para la supervivencia de la tri-pulacion, tiene forma esferica y esta situado en la parte delantera del vehıculo.Finalmente, la capsula de la tripulacion es la unica parte del vehıculo que llegaa la Tierra, por lo que va equipada de un escudo termico y dos paracaıdas. Tie-ne forma de campana y en su interior pueden ir hasta tres tripulantes. Duranteel aterrizaje se abre el paracaıdas y el escudo termico se desprende para poder


utilizar una serie de retrocohetes de combustible solido, situados en la base de lacapsula, que frenan el impacto con el suelo. La primera nave Soyuz fue enviadaal espacio en 1967 y aunque ha tenido una enorme evolucion se sigue usando enla actualidad con el mismo diseno basico. El modelo usado para los viajes a laMir fue la Soyuz-TM, y desde 2002 se usa la Soyuz-TMA para viajes a la ISS.Una version mas simplificada de la nave Soyuz, que no puede volver a la Tierra,es la nave Progress, con su version actual la Progress-M. Esta nave puede cargarinstrumentos y material hacia la estacion espacial y es cargada de desechos de laestacion para su destruccion en la reentrada en la atmosfera.

El uso de vehıculos recuperables pero no reutilizables parecıa demasiado cos-toso, sobre todo para misiones con grandes necesidades de uso de dichos vehıculoscomo una estacion espacial. Por ello, la NASA decidio comenzar el programa delSpace Shuttle o transbordador espacial. Tras el lanzamiento del Columbia el 12 deabril del 1981 se dispuso de las unicas naves reutilizables3 capaces de transportarmaterial y tripulacion y que pueden poner satelites en orbitas bajas, ası comorepararlos y traerlos de vuelta a la Tierra.

Un transbordador espacial esta formada por el cohete lanzador, no reutilizable,formado por un gran tanque de combustible central y dos cohetes laterales. Estaparte se desprende unos 8.5 minutos despues del lanzamiento, destruyendose antesde llegar a la Tierra. La parte reutilizable tiene forma de un pesado avion, de unos37 metros de longitud y 24 de envergadura, que toma Tierra en una gran pistade aterrizaje. Un transbordador puede llevar una carga de unas 28 toneladas ydevolver a la Tierra unas 14. Puede llegar a una altitud de 1000 km, aunque nuncalo ha hecho mas alla de 600 km, altitud conseguida en su mision para reparar eltelescopio Hubble.

El 8 de julio de 2011 se lanzo al espacio el Atlantis, siendo esta la ultimamision de un transbordador espacial. Hasta entonces ha habido una flota de 5transbordadores que han realizado un total de 135 misiones que han dado unas21158 vueltas a la Tierra en mas 1330 dıas de vuelo. Se han realizado con ellos 9misiones a la estacion Mir y 37 a la ISS.

Las tragedias del Challeger, que se destruyo, en 1986, 73 segundos despues desu lanzamiento, y del Columbia, perdido el 1 de febrero de 2003 en su reentradaa la atmosfera, han paralizado en parte la construccion de la ISS y han llevado ala NASA a replantear sus prioridades. Estas tragedias nos recuerdan que la con-quista espacial tiene poco mas de medio siglo y, aunque la tecnologıa ha mejoradomucho en los ultimos anos, los vuelos espaciales todavıa tienen una importantecomponente de riesgo como en su dıa lo tuvieron la navegacion marıtima y laaerea. Afortunadamente, la gran seguridad y fiabilidad de las naves Soyuz hanpermitido que el proyecto de la ISS no se paralizara completamente aunque si seha ralentizado notablemente.

3Los proyectos Hermes (ESA) y Buran (Rusia), similares al transbordador espacial, fueroncancelados.


Actualmente la NASA no contempla una revision del transbordador espacial,sino la construccion de una nueva generacion de vehıculos, llamadosOrion(MPCV)(Multi-Purpose Crew Vehicle), junto con una nueva gama de cohetes lanzadores.Con el nuevo proyecto, la NASA apuesta por naves tripuladas no reutilizables quesirvan, tanto para lanzamientos a la ISS, como hacia la Luna y Marte. En 2006la Agencia Espacial Rusa, junto con la ESA y posteriormente la Agencia Japo-nesa (JAXA) deciden construir el sistema ACTS (Advanced Crew TansportationSystem), aunque posteriormente dicha colaboracion quedo suspendida.

16.2.7 Basura espacial

Desde 1957 se han lanzado al espacio miles de objetos. Todos ellos han sidolanzados desde un cohete con una serie de etapas que se iban separando y dejandocaer a la Tierra, sin embargo, la altitud a la que se separan las distintas etapas y lasexplosiones ocurridas en las ultimas fases han provocado que multiples fragmentosde distintos tamanos de estos cohetes hayan permanecido en orbitas bajas y nohayan caıdo directamente a la Tierra.

Por otro lado, un satelite puesto en orbita tiene una vida limitada por lacantidad de combustible que carga para realizar las maniobras que lo mantienenen su orbita y por la operatividad de sus instrumentos. Cuando un satelite terminasu vida util puede, si posee el combustible necesario, ser impulsado a una orbitasuficientemente baja para que la atmosfera terrestre lo destruya o puede ser dejadoen orbita indefinidamente.

Otros objetos han sido destruidos deliberadamente como el satelite meteo-rologico Chino FY-1C, de la serie Fengyun, que fue destruido en enero de 2007para probar un misil Chino antisatelites. Esto creo mas de 2300 fragmentos ma-yores que una pelota de golf y al menos 150000 fragmentos de basura espacial.

Se estima que de los mas de 9000 grandes objetos todavıa en orbita, solamenteel 7% estan activos, mientras que encontramos mas del 22% de naves obsoletas,el 17% de restos de cohetes y el 13% de objetos relacionados con las misiones.

Todos los objetos que de una u otra forma han quedado en orbita y que noson satelites activos, junto con otros objetos mas pequenos procedentes de restosde asteroides y cometas, forman una enorme capa alrededor de la Tierra llamadabasura espacial. En estos momentos se estima que la basura espacial esta formadapor mas de 20000 objetos mayores de 10 cm, unos 600000 de entre 1 y 10 cm ymas de 300 millones de menos de 1 cm. Las probabilidades de colision de unode estos fragmentos con alguno de los satelites activos no es despreciable, por loque la comunidad cientıfica esta realizando un gran esfuerzo en solucionar esteproblema que aumenta dıa a dıa con cada lanzamiento de naves al espacio.

La mayor parte de la basura espacial se encuentra en orbitas bajas, entre 600y 2000 km por encima de la superficie terrestre. La mayor concentracion se daentre los 800 km y 1500 km de altitud. El rozamiento atmosferico, que es mayor

Navegacion interplanetaria 263

cuanto mas proximos estemos a la Tierra, produce una disminucion progresivade la altitud de estos cuerpos que llegan a caer a la Tierra despues de unos dıassi su altitud es menor que 200 km, en unos pocos anos para altitudes hasta 600km, en decadas si estan entre 600 y 800 km y en mas de un siglo en altitudesmayores que los 1000 km. En estas altitudes la velocidad media de estos objetoses de unos 7 km/s, aunque el valor medio de la velocidad de un impacto es deunos 10 km/s. Con esta velocidad la energıa de un objeto esferico de aluminio de1 cm es comparable a la de un automovil a 90 km/h.

En la altitud de las orbitas geoestacionarias la densidad de la basura espaciales mucho menor, sin embargo, un objeto en esta orbita nunca volvera por sisolo hacia la Tierra. Para evitar esto, normalmente al final de la vida util de estossatelites se guarda un poco de combustible4 para situarlo en una orbita cementeriosituada a unos 300 km mas de altitud.

Los objetos en orbita de mas de 3 mm pueden ser detectados por medio deobservaciones de radar y opticas realizadas desde la Tierra, sin embargo, unica-mente se puede realizar un seguimiento orbital de estos objetos cuando su tamanoes mayor de 10 cm. La ISS y otros grandes satelites, tienen prevista la realizacionde maniobras especiales para esquivar los objetos de mas de 10 cm cuando laprobabilidad de colision es muy alta. La media de realizaciones de dichas manio-bras es de una cada uno o dos anos. Los objetos de menos de 1 cm no suelenprovocar grandes danos pues estas naves llevan proteccion suficiente para impac-tos con dichos objetos. El mayor peligro son los objetos de entre 1 y 10 cm, quepueden producir danos considerables pero no se tiene un conocimiento preciso desu orbita.

A pesar de todo, en medio siglo de navegacion solo se ha producido un acciden-te grave, el 10 de febrero del 2009, cuando colisionaron, destruyendose mutuamen-te, los satelites Iridium 33 y Cosmos 2251. Sin embargo, resulta imprescindiblela toma en consideracion de este problema y la colaboracion para su solucion. ElComite de coordinacion entre-agencias para la basura espacial (IADC) ha elabo-rado una serie de propuestas que han servido como base a la normativa adoptadapor el comite de las Naciones Unidas para usos pacıficos del espacio exterior.

16.3 Navegacion interplanetaria

El segundo gran reto planteado por la navegacion espacial es el viaje por elsistema solar alejandonos del entorno de la Tierra. Prescindiremos, por ahora, delas diferencias en la dinamica del problema y nos centraremos en las diferenciasderivadas de la utilidad o rentabilidad de dicho viaje.

Ası como de la industria de los satelites artificiales podemos sacar consecuen-cias tecnologicas directas, relacionadas con las comunicaciones, la navegacion, el

4Es suficiente con el combustible necesario para mantener el satelite en su orbita geoestacio-naria durante tres meses.


conocimiento del clima, etc; la exploracion del espacio exterior no nos proporciona,por el momento, consecuencias tan directas, sino unicamente las indirectas, obte-nidas como consecuencia de descubrimientos realizados en el curso del desarrollode una mision.

Ası distinguiremos dos tipos de misiones:

Las encaminadas a la llegada del hombre a la Luna o Marte y su posteriorcolonizacion.

Las puramente cientıficas encaminadas a un mayor conocimiento del sistemasolar.

Incluimos en las primeras solo la Luna o Marte porque el viaje a otros cuerposdel sistema solar queda todavıa demasiado alejado en el futuro. Las misiones notripuladas a la Luna o Marte pueden encuadrarse en ambos tipos, pues un mayorconocimiento de estos cuerpos contribuira a una mas segura colonizacion de losmismos.

Con la llegada del hombre a la Luna, en 1969, se constato una realidad: elhombre es capaz de conquistar el espacio pero la tecnologıa de aquel momento nopermitıa hacerlo con seguridad. Probablemente la tecnologıa actual no sea todavıacapaz de este reto, pero el potencial humano, cientıfico y tecnologico, es tal quele pueden permitir abordarlo si no esta sujeto por condicionamientos polıticos omilitares. Obviamente, las condiciones deberıan ser las de una profunda colabora-cion entre todas las agencias del espacio soportadas, tanto por los gobiernos comopor la industria. En estas condiciones, aunque el costo de dicha mision serıa muyelevado, la cantidad de resultados cientıficos que pueden revertir en la sociedades muy grande, como ya lo demostro el proyecto Apolo. Piensese que el reto dellevar el hombre a Marte no puede considerarse unicamente como un largo viaje,y pensar unicamente en los problemas dinamicos y tecnologicos de la nave, sinoque debe abordarse el principal problema que debe ser resuelto antes del iniciodel viaje: ¿Como llevar a varios seres humanos en un viaje tal, que entre la ida,la vuelta y la estancia debe durar mas de dos anos, alimentarlos, darles de beber,protegerlos de un medio hostil, mantenerlos en buen estado de salud y devolverlosa la Tierra sanos y salvos? Si este problema se resuelve implicarıa un avance sinprecedentes en la medicina, en el problema de la escasez de agua dulce, en el desa-rrollo de fuentes de alimentacion, lo que puede, si no resolver, si paliar algunos delos problemas de la humanidad.

16.3.1 Viajes a la Luna

Los viajes del hombre a la Luna han tenido dos partes separadas por el finalde la mision Apolo. Una primera, inmersa en el comienzo de la carrera espacial,en la que han participado unicamente USA y la URSS y cuyo objetivo principalfue que el hombre pisara la Luna. La segunda, mas abierta a otros paıses, ha sidorealizada con naves no tripuladas.


En la caso de la Union Sovietica se han enviado misiones a la Luna, entre 1959y 1976, con dos tipos de naves diferentes, las Luna y las Zond, veinticuatro delas primeras y cinco de las segundas. De ellas veinte misiones han terminado conexito y en la carrera por ser los primeros en lograr alguna meta han conseguido lossiguientes hitos: la primera orbita de aproximacion a la Luna, el primer alunizajesuave, la primera nave en impactar con la Luna, el primer orbitador lunar y laprimera nave que despues de alunizar regreso a la Tierra.

Durante esta primera epoca Norteamerica ha realizado cuatro proyectos dis-tintos pero todos de apoyo al objetivo final de poner un hombre en la Luna. Elproyecto Ranger, entre 1961 y 1965, envio nueve naves para obtener imagenesde la Luna antes de impactar en ella. El proyecto Surveyor, entre 1966 y 1968,envio siete naves con las que los USA ensayaron un alunizaje suave. La misionLunar Orbiter realizada entre 1966 y 1967 tenıa por objeto orbitar la Luna pararealizar una completa cartografıa con objeto de elegir los lugares de alunizaje.Finalmente el proyecto Apolo, realizado entre 1963 y 1972 consiguio el objetivofinal de pisar la Luna.

El proyecto Apolo comenzo con la muerte en Tierra de los tripulantes del Apolo1. A pesar del desastroso comienzo y de otro amago de catastrofe del Apolo 13,la mision acabo siendo un completo exito y en seis ocasiones, con los Apolo 11,12, 14, 15, 16 y 17, se pudo pisar la Luna y devolver a los astronautas a la Tierracon sus muestras de suelo lunar.

A partir de ese momento concluyen las misiones a la Luna, hasta el instanteen que la nave Galileo, en su viaje a Jupiter, realiza una aproximacion a la Lunapara aprovechar su impulso gravitacional. Despues de esto es Japon en 1990, quienvuelve a enviar una nave a la Luna, la Hiten (Muses-A), que llega a realizar unaaproximacion, orbitar y finalmente impactar en la Luna.

Estados Unidos vuelve a enviar dos misiones: la Clementine, en 1994 y LunarProspector en 1996. Ambas realizan misiones totalmente cientıficas, entre otras, elanalisis de la existencia de hielo en los polos de la Luna. Mediante estas misiones seconsigue un gran conocimiento, no solo de la cartografıa de la Luna, sino tambiende su campo gravitacional, lo que sera fundamental para el futuro mantenimientode satelites artificiales lunares.

Una de las ultimas misiones importantes, por el momento, se trata de la eu-ropea SMART-1, que comenzo su viaje en septiembre de 2003, llego a la Luna ennoviembre de 2004 y concluyo su mision impactando en su superficie en septiem-bre 2006. La razon de una mision tan larga, y la importancia de esta mision, esel ensayo de los nuevos propulsores ionicos de la nave que la han impulsado enuna lenta aproximacion a la Luna, pero a un coste muy bajo. Naturalmente, estetipo de propulsores no es adecuado para un viaje tripulado a la Luna, pero abrenuevas perspectivas a la navegacion por el sistema solar.

En la actualidad existen muchas misiones no tripuladas planeadas y en diversosgrados de desarrollo. Ademas de las misiones Norteamericanas, Rusas, Europeas


y Japonesas, tanto China como la India se han anadido al grupo de paıses conalguna mision lunar activa. Hay que destacar tambien la aparicion de propuestasque involucran a la industria privada, como por ejemplo el Google Lunar X Prize5

que, organizado por el X Prize Foundation y patrocinado por Google, ofrece unpremio de 30 millones de dolares al equipo que consiga enviar una nave a laLuna, poniendo en su superficie un robot que debera moverse por ella al menos500 metros y enviar a la Tierra imagenes y video de alta definicion. En estemomento hay veinticinco equipos de todo el mundo registrados oficialmente en lacompeticion.

Mucha gente se pregunta si el hombre volvera a ir a la Luna y cuando sera es-to. Tras mas de cincuenta anos de experiencia en el espacio, la tecnologıa espacialha alcanzado unos niveles que hacen relativamente facil, aunque muy costoso, elsituar de nuevo un hombre en la Luna con cierta seguridad. Aunque hay variasmisiones, de casi todas las agencias espaciales, que planean llevar tripulaciones hu-manas a la Luna entre el 2020 y el 2030, es muy difıcil, con la situacion economicaactual, saber si alguna de ellas llegara a buen puerto. Lo mas probable es quetodas las misiones actuales se retrasen. Lo que parece claro es que el hombrevolvera a la Luna, y cuando lo haga sera para quedarse, situando bases establesen su superficie y usandola como trampolın para futuras misiones mucho masambiciosas a Marte y al resto del sistema solar.

16.3.2 Viajes a Marte

Las misiones Apolo han sido las unicas misiones tripuladas realizadas en elespacio exterior. El resto de misiones unicamente han tenido objetivos cientıficosconducentes a una profundizacion del conocimiento del sistema solar. Sin embargo,separamos del resto los viajes a Marte debido a que estos son el laboratorio deaprendizaje para una futura colonizacion de este planeta.

La primera era de la carrera espacial no paro en la Luna sino que se extendio aotros planetas como Marte. Tras una serie de intentos, comenzados por los sovieti-cos en 1960, la primera nave que sobrevolo el planeta Marte fue la estadounidenseMariner 4, en julio de 1965. A esta le siguieron las Mariner 6 y 7, en el ano 69,y la Mariner 9, en el 71. Los sovieticos consiguieron orbitar por primera vez entorno a Marte en el ano 1971 con la Mars 2 y un aterrizaje suave el 2 de diciembrede 1971 con la Mars 3, sin embargo, los instrumentos de esta ultima dejaron defuncionar 20 segundos despues del aterrizaje.

El mayor exito de aquella fase lo obtuvieron las dos naves Viking , que alcan-zaron Marte en 1976, posandose en la superficie y realizando un gran numero deexperimentos y descubrimientos cientıficos.

Salvo los intentos de los sovieticos con las naves Phobos, en 1988, no fue hasta1996, veinte anos despues de los Viking, cuando se vuelve al planeta Marte con

5http://www.googlelunarxprize.org


dos importantes misiones: Mars Global Surveyor y Mars Pathfinder. La principalcaracterıstica de la primera fue su fase final de aproximacion a Marte utilizandoel rozamiento de la atmosfera marciana. La segunda consiguio posar en Marte unvehıculo movil, Rover, para una investigacion mas profunda del planeta. Ademas,con el desarrollo de la segunda mision se consiguio probar la posibilidad de realizarmisiones muy complejas con una tecnologıa mucho mas barata que la utilizadahasta ese momento.

La conquista de Marte ha estado tambien plagada de sonoros fracasos. El masconocido es el de las naves Mars Climate Orbiter y Mars Polar Lander. El errorde la primera fue debido a no convertir unidades inglesas en unidades metricas ala hora de mandarles los comandos para su insercion en la orbita marciana. Elloprovoco que la nave tuviese una altitud menor entre 80 y 90 km a la planeada, loque causo que el esfuerzo y la friccion destruyera la nave. Ha habido otros fracasoscomo el de la nave japonesa Nozomi lanzada en julio de 1998.

Europa tambien ha realizado su proyecto de viaje a Marte con la nave MarsExpress lanzada el 2 de junio de 2003. Esta mision estaba formada por un orbita-dor, que debıa realizar, entre otras cosas, una cartografıa de precision del planeta,aparte de otros estudios cientıficos como la busqueda de agua, y un modulo deaterrizaje llamado Beagle. El Beagle se perdio al posarse en la superficie, sinembargo el orbitador continua con exito su mision.

Casi simultaneamente a la Mars Express, aprovechando la oposicion del pla-neta de dicho ano fueron lanzadas tambien la Mars Reconnaissance Orbiter ylas Mars Exploration Rover, con dos Rovers que se incorporaron al estudio dela superficie de Marte. La Mars Reconnaissance Orbiter se convirtio con la MarsExpress, el Mars Odyssey, lanzado en 2001 y el Mars Global Surveyor en el cuartosatelite artificial de Marte. Recientemente, el 6 de agosto de 2012, se poso conexito en la superficie un nuevo vehıculo, el Curiosity .

16.3.3 Exploracion del sistema solar

En el medio siglo de tecnologıa espacial, tanto el Sol, como todos los planetasy algun cometa y asteroide, han sido visitados por alguna nave de fabricacionhumana. El caso de Pluton es la unica excepcion hasta julio del 2015, cuandoprevisiblemente la nave New Horizons, lanzada en enero de 2006, lo sobrevolara,fotografiando tanto Pluton como su luna Caronte, para iniciar despues un viajehacia el cinturon de Kuiper, fuente de los cometas de corto periodo, donde seespera observar de cerca alguno de sus objetos.

Antes de este intento de llegar y observar los confines del sistema solar se hanlanzado al espacio profundo muchas sondas espaciales, para realizar muy variadasobservaciones cientıficas que han cambiado profundamente nuestro conocimientodel entorno.

Durante los anos sesenta y principios de los setenta unicamente Venus, apartede Marte, fue visitado por sondas espaciales. Los americanos usaron las Mariner


y los sovieticos las Venera. Las Mariner 2 y 5 sobrevolaron Venus en 1962 y 1967respectivamente, mientras que la Mariner 10, en 1974, sobrevolo Venus y despuesse acerco a Mercurio, llegando a 327 km de su superficie. Esta ha sido la unica naveque se ha acercado a Mercurio hasta marzo de 2011 en que la nave Messenger,lanzada en agosto del 2004, fue insertada en su orbita. Los Venera son una largaserie de 16 naves lanzadas a Venus entre 1961 y 1983. Estas naves han realizadoaproximaciones, han orbitado el planeta y se han posado en su superficie.

Viajes mas recientes a Venus han sido realizados con los proyectos Vega, pro-yecto sovietico continuacion de los Venera en 1984 y 1985, y los norteamericanosPioneer Venus, en 1978, y Magellan que entre 1990 y 1994 cartografio el planetay estudio su campo gravitatorio. Actualmente aparte del Messenger la AgenciaEuropea del Espacio ha enviado la nave Venus Express, lanzada el 9 de noviembrede 2005 y que llego a Venus en abril del 2006.

La primera nave que viajo al exterior del sistema solar fue la Pioneer 10, lan-zada por la NASA el 3 abril de 1972 y que el 3 de diciembre de 1973 llego a sumaxima aproximacion al Jupiter pasando a unos 200000 km de este y siguiendo enun viaje de escape del sistema solar. La Pioneer 11, lanzada en 1973 aprovecho elimpulso gravitacional de Jupiter para acercarse por primera vez a Saturno, pa-sando el 1 de septiembre de 1979 a 21000 km de Saturno y finalmente alejarse delsistema solar.

Ademas de la Pioneer 10 la unica mision exclusiva a Jupiter fue la misionGalileo, lanzada en 1989, consistente en un orbitador y una sonda que se introdujoen la atmosfera de Jupiter. El resto de misiones han consistido en aproximacionesa Jupiter que han aprovechado su impulso para viajar a otros cuerpos. Ademasde la Pioneer 11, la Voyager 1, lanzada en 1977 y Cassini, lanzada en 1997, hanpasado por Jupiter y continuado su viaje hasta Saturno. Esta ultima ha sidouna mision entre la NASA y la ESA que han portado una sonda atmosferica, laHuygens, separada de la Cassini en diciembre de 2004 y que se introdujo en laatmosfera y aterrizo en Titan, el satelite de Saturno el 14 de enero de 2005.

Mencion especial merece la sonda Voyager 2 que fue lanzada en 1977 e ini-cio un viaja que recorre casi todo el sistema solar pasando por las proximidades deJupiter, Saturno, Urano y Neptuno aprovechando en cada uno su impulso gravi-tacional para aumentar su velocidad sin gasto de combustible y saltar al siguienteplaneta. Actualmente se encuentra a unos 15000 millones de kilometros del Sol.

Tambien se han realizado misiones de observacion al Sol. De estas menciona-remos dos por sus especiales caracterısticas astrodinamicas. Por un lado la naveUlysses es una sonda solar construida en colaboracion por la NASA y la ESA ylanzada en 1990. Esta sonda esta disenada para estudiar y observar el Sol desdeuna posicion nunca conseguida hasta ahora. La sonda tiene una orbita heliocentri-ca polar que la separa del plano de la eclıptica. Ademas, en su paso por la eclıpticala nave realiza una aproximacion al planeta Jupiter.

Otra nave de observacion solar, tambien proyecto conjunto NASA-ESA, es laSOHO, Solar and Heliospheric Observator, que fue lanzada en 1995 y cuya prin-


cipal caracterıstica es realizar la observacion del Sol desde el punto de LagrangeL1

del sistema Tierra-Sol.

Los objetos menores, asteroides y cometas, tambien han tenido sus misionesespaciales en esta ultima epoca. Por un lado, para estudiar de cerca estos cuerposcon vistas a un mayor conocimiento del origen del sistema solar, y por otro, porlos nuevos retos astrodinamicos que suponen. Mencionare unicamente tres de lasultimas misiones realizadas a estos cuerpos: Near y Deep Impact de la NASA, yRosseta de la ESA.

La mision Near, rebautizada como Near-Shoemaker fue disenada para estudiarde cerca el asteroide Eros. Independientemente de los experimentos fısicos hay quedestacar que la dinamica orbital en torno a un cuerpo de estas caracterısticas esmuy compleja porque dicho cuerpo, al contrario que los planetas, tiene una formafuertemente no esferica, muy irregular, que produce unas perturbaciones muy malmodeladas. El 17 de febrero de 1996 fue lanzado al espacio, el 14 de febrero de2000 fue puesto en orbita alrededor de Eros y finalmente fue acercandose a susuperficie con una serie de complejas maniobras hasta que el 12 de febrero de2001 se poso en ella y continuo operando hasta que se perdio su senal el 28 defebrero.

La Deep Impact fue lanzada el 12 de enero de 2005 para realizar un encuen-tro con el cometa 9P/Tempel 1 y lanzarle desde allı un proyectil el 1 de juliode 2005 para observar los efectos del mismo sobre el cometa. La Rosseta, lanza-da el 2 de abril de 2004 tiene prevista una compleja orbita, que incluye variasaproximaciones a la Tierra y Marte para tomar impulso gravitacional y en la quedurante varios anos realizara aproximaciones a varios asteroides y cometas. Laultima aproximacion se ha realizado en 2010 al asteroide 21 Lutetia, para entraren modo pasivo hasta 2014 cuando despues de aproximarse y orbitar alrededordel cometa 67P/Churyumov–Gerasimenko se posara en su superficie.

Capıtulo 17

Orbitas de satelitesartificiales terrestres

17.1 Movimiento del satelite sobre la superficieterrestre

En capıtulos anteriores se ha analizado la orbita de cualquier cuerpo celesteincluidos los satelites artificiales. El hecho de considerar la Tierra, o algun planetade caracterısticas similares, como cuerpo central de la orbita, anade a esta propie-dades que deben ser estudiadas separadamente de las del movimiento kepleriano.

Por un lado, hay que considerar que la observacion no se realiza desde el origendel sistema de referencia, o foco de la orbita relativa, sino desde algun lugar de lasuperficie de la Tierra que rota respecto al sistema espacial. En este capıtulo seestudian, en primer lugar, las consecuencias de este tipo de observacion. Por unlado, se analiza la trayectoria del satelite sobre la superficie de la Tierra en funcionde los elementos orbitales del mismo. La curva ası generada, llamada traza, nosdara mucha informacion sobre distintos aspectos de la mision que dicho satelitedebe cumplir. Por otro lado, determinaremos la condicion para que un satelite seavisible desde una cierta estacion en un momento dado.

Puesto que el movimiento no es exactamente kepleriano, se analizan los tiposde perturbaciones mas importantes en la orbita de un satelite artificial y los efectosque estas producen sobre la orbita y ademas sobre la traza y observabilidad delsatelite. Finalmente, se hace un repaso de los principales tipos de satelite enfuncion de su mision, que viene condicionada por su traza y por lo tanto por sus

272 Orbitas de satelites artificiales terrestres

elementos orbitales.

17.1.1 La orbita en la superficie terrestre: traza

La mision para la que esta construido un satelite artificial depende, en granmedida, de la zona de la Tierra que el satelite sobrevuela en cada instante y dela visibilidad de un satelite desde un observatorio o estacion de seguimiento.

Para comprender mejor los distintos tipos de misiones espaciales analizaremosla traza de un satelite, esto es, el lugar geometrico de los puntos de la superficie dela Tierra para los cuales el satelite esta en el cenit en un instante dado. Conociendoen cada momento el punto de la traza que ocupa un satelite podremos decir quezonas de la Tierra son visibles para el satelite y si el satelite es visible o no parauna determinada estacion de seguimiento.

Supondremos un satelite cuyos elementos orbitales, referidos al sistema ecua-torial, son (a, e, i,⌦,!, T ). La traza de este satelite se obtendra calculando encada instante t las coordenadas geograficas del satelite �

s

(t),�s

(t) y dibujandoestas sobre un mapa de la Tierra. Para calcular �

s

,�s

observemos la figura 17.1que representa la orbita del satelite S en un sistema de coordenadas ecuatoriales.

x

⌦

! + f

i

N

S

S0�

�s

GMST + �s

� ⌦�

N

S0

G

⌦

�s

GMST

Figura 17.1: Posicion de un satelite artificial sobre la superficie terrestre.

En dicha figura el arco dSS0 representa la latitud del satelite �s

, que coincidecon la declinacion �

s

, mientras que d�S0 es la ascension recta del mismo que puedeponerse en funcion del tiempo sidereo medio en Greenwich GMST y la longituddel satelite como ↵

s

= GMST + �s

, De esta forma dNS0 = GMST + �s

� ⌦.

Las coordenadas polares esfericas del satelite en el sistema de coordenadasnodal-espacial seran (r,GMST +�

s

�⌦,�s

). De este pasamos al orbital por medio

Movimiento del satelite sobre la superficie terrestre 273

de la matriz de giro R1

(i)R3

(! + f). Aplicando esta rotacion obtendremos

0

@

r cos�s

cos(GMST + �s

� ⌦)r cos�

s

sen(GMST + �s

� ⌦)r sen�

s

1

A =

0

@

r cos(! + f)r cos i sen(! + f)r sen i sen(! + f)

1

A , (17.1)

o lo que es igual

�s

= asen [sen i sen(! + f)] ,

�s

= ⌦�GMST + atan [cos(! + f), cos i sen(! + f)] .(17.2)

Dados los elementos orbitales y un instante de tiempo absoluto t, expresadoen cualquier clase de tiempo de los estudiados en el capıtulo 5, podemos obtenertanto GMST como el valor de f . Las ecuaciones (17.2) nos daran el valor de �

s

,�s

en ese instante. En lo que sigue analizaremos las propiedades de la traza de unsatelite en funcion de sus elementos orbitales.

Observemos la primera de las ecuaciones (17.2). La variable f recorre, en unavuelta o perıodo del satelite, todos los valores entre 0 y 2⇡, por tanto, al ser! constante podemos asegurar que �i �

s

i, esto es, la latitud del sateliteesta acotada entre los valores1 [�i, i] correspondientes a la inclinacion. Ademas,�s

varıa periodicamente, con el mismo perıodo que la orbita del satelite.

(a) Cuatro satelites de inclinaciones: 10�, 30�,60� y 90�

123456

(b) Seis vueltas de un satelite de semieje a =r�. Perigeos numerados sucesivamente.

Figura 17.2: Traza de varios satelites en funcion de la excentricidad y el semieje.

La figura 17.2(a) nos muestra las trazas correspondientes a una vuelta decuatro satelites que tienen los elementos orbitales comunes a = r�, e = 0, ⌦ =190�, ! = 0�, T = 0, mientras que sus inclinaciones respectivas son i = 10�, 30�, 60�

y 90�. Esta ultima orbita es llamada orbita polar, pues pasa por los polos en surecorrido por un meridiano.

El argumento del periastro ! aparece como una constante aditiva dentro deuna funcion periodica, por lo que no modifica la forma de la traza, sino que indica

1(i� 90�) �

s

(90� � i) si la orbita es retrograda.


unicamente la posicion del perigeo de la orbita, siendo su latitud geografica �l

constante, mientras que la longitud varıa de un vuelta a otra en una cantidad igualal periodo de la orbita. Puede verse en la figura 17.2(b) cinco orbitas sucesivas deun satelite de elementos orbitales a = r�, e = 0, i = 60�, ⌦ = 0�, ! = 0�, T = 0.Los cinco perigeos sucesivos aparecen numerados.

(a) Quince vueltas de un satelite de periodoaproximado 1h24m29s.

(b) Quince vueltas de un satelite de periodoigual a 12h.

Figura 17.3: Ejemplo de orbita de traza densa y orbita de traza periodica.

El semieje, o lo que es igual, el periodo, es el elemento orbital de mayor in-fluencia sobre la forma de la traza del satelite, pues marca la periodicidad de lamisma. Como se ha indicado antes, �

s

varıa periodicamente por depender de fy de constantes. Sin embargo �

s

depende tambien de GMST que tambien es pe-riodica, pero con un periodo de 2⇡ rad/dıa distinto del periodo de f . De hecho, laforma de la traza es la misma figura para cada vuelta, pero de una vuelta a otrala figura se desplaza en longitud una cantidad que depende del periodo orbital,esto es, del semieje. En efecto, supongamos el instante de paso por el nodo, parael cual ! + f = 0 y por tanto GMST = ⌦ � �

s

. Si llamamos GMST1

al tiemposidereo del primer paso por el periastro y GMST

2

al del segundo, tendremos

�1

� �2

= GMST2

�GMST1

,

esto es, la variacion de la longitud geografica de la posicion del nodo, y con elde toda la traza, es igual a la diferencia de tiempos sidereos, o lo que es igual, alperiodo de la orbita expresado en unidades de tiempo sidereo. Cuanto mayor seael semieje (periodo), mayor sera el desplazamiento de la traza entre una vuelta yla siguiente.

Las figuras 17.3(a), 17.3(b), 17.4(a) representan satelites de elementos or-bitales comunes e = 0, i = 60�, ⌦ = 0�, ! = 0�, T = 0. En el caso 17.3(a)(a = r�, P = 1h24m29s) puede verse la traza producida por quince vueltas, quetiende a llenar completamente el mapa entre las dos latitudes lımite. La figura17.3(b) muestra las quince vueltas de un satelite de periodo igual a 12h de tiemposidereo, que equivale a la de dos vueltas pues el periodo de rotacion de la Tierra esexactamente 2 veces el de la orbita. Por ultimo en la figura 17.4(a) se representan


(a) Traza de seis satelites de semiejes: 1, 2, 3, 5,6, 6.61. Este ultimo corresponde a un periodode 24h.

(b) Cuatro satelites geosıncronos con inclina-ciones 60�, 40�, 20� y 5�.

Figura 17.4: Traza en funcion del semieje y orbita geosıncrona.

siete orbitas con semiejes respectivos a = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6.61, este ultimo corres-pondiente a una orbita de periodo igual a 24h de tiempo sidereo, que llamaremosorbita geosıncrona, y tiene forma de ocho. Cuando en una orbita geosıncrona lainclinacion disminuye el ocho se va estrechando y acortando (figura 17.4(b)) hastael momento en que i = 0�, valor para el cual la traza se reduce a un punto enel ecuador. Este tipo de orbita, de gran importancia para las comunicaciones, esllamada orbita geoestacionaria. Es importante destacar que este razonamiento seha establecido a partir de un reloj de tiempo sidereo, luego cuando se habla deorbitas geosıncronas o geoestacionarias como orbitas de periodo igual que un dıadebe entenderse este como un dıa sidereo que, como vimos en el capıtulo 5, duraunos cuatro minutos menos que el dıa medio.

(a) Traza de tres satelites cuyo angulo del nodovale: 0�, 30�, 60�.

(b) Tres satelites geosıncronos con inclinacion60� y angulos del nodo: 0�, 30� y 60�.

Figura 17.5: Influencia del angulo del nodo en la traza.

El angulo del nodo aparece unicamente en la segunda ecuacion, por lo queafecta unicamente a la longitud geografica �

s

. Sin embargo, por ser ⌦ constante,su efecto sobre la traza es mantener la forma geometrica de la misma pero despla-zando toda ella una distancia ⌦. En la figura 17.5(a), se observa el desplazamientode toda la traza al variar el angulo del nodo. Esto es particularmente importan-


te para satelites geosıncronos (figura 17.5(b)), pues define la zona de visibilidaddel mismo, y mucho mas para los geoestacionarios, pues caracteriza la longitudnominal del satelite.

(a) Traza de tres satelites de excentricidades0, 0.5, 0.7. Los puntos senalan posiciones equi-distantes en t.

(b) Traza de dos satelites geosıncronos con ex-centricidades 0 y 0.3.

Figura 17.6: Influencia de la excentricidad en la traza.

Por lo que respecta a la excentricidad, esta aparece implicitamente en f , pueses necesaria para obtener f en funcion de e. Como sabemos, la anomalıa media `es una variable angular con el mismo periodo que f , pero que, por ser lineal con eltiempo, representa un recorrido de la orbita con velocidad angular constante n. Ladiferencia entre ` y f es pequena, por lo que considerar ` en lugar de f en (17.2),lo que equivale a suponer e = 0, hace inapreciable la variacion de la forma de laorbita. El mayor efecto que produce la excentricidad es sobre la velocidad con queel satelite recorre la traza, permaneciendo mucho mas tiempo sobre determinadasregiones de la Tierra, las que esten mas proximas al apoastro, que sobre otras. Lafigura 17.6(a) muestra perfectamente este hecho pues representa tres orbitas deexcentricidades respectivas e = 0, 0.5, 0.7. Los puntos negros representan puntosequidistantes en el tiempo, en orbitas de excentricidad cero estos puntos estantambien equidistantes en distancia, para orbitas excentricas los puntos se acercanen la zona del apoastro, donde el satelite permanece por mas tiempo, y se alejanen la zona del periastro. Con objeto de observar mejor las trazas se han tomadodistintos valores de ⌦. La figura 17.6(b) muestra el curioso efecto del aumento dela excentricidad sobre la orbita goesıncrona que tiende a tumbar el ocho.

17.1.2 Visibilidad de un satelite desde una estacion

Supongamos una estacion de seguimiento de satelites situada en un punto O,de la superficie terrestre, caracterizado por sus coordenadas geograficas �

o

,�o

. Elobjetivo de esta estacion es la observacion visual o radioelectrica del satelite o delas senales que este envıa, por lo que sera necesario conocer bajo que condicionesy en que instantes el satelite sera observable desde la estacion.

Cualquier senal enviada por un satelite sufre distorsiones al atravesar las ca-pas bajas de la atmosfera. Segun el tipo de observacion que queramos realizar,


existira un cierto angulo lımite ✏ tal que, cuando el satelite este a una distanciaangular del horizonte menor que el angulo ✏, dicha observacion es imposible y portanto consideraremos que el satelite no es visible. La estacion puede realizar unaobservacion cuando este cruza el llamado cono de visibilidad, que es un cono deeje vertical y angulo 90� � ✏.

O

T

S

✏

'r�

r

T

S

S0

O ✏

✏

Figura 17.7: Cono de visibilidad de un satelite desde una estacion terrestre.

Si consideramos como aproximacion una Tierra esferica de radio r�, igual alradio ecuatorial, la figura 17.7 nos marca el lımite de observacion del sateliteS desde O. Dicho lımite estara representado por el angulo ' de la figura. Paraobtener este, basta aplicar las propiedades de los triangulos planos TOS y TSS0,que nos dan

r� cos ✏ = r cos('+ ✏),

por lo que se tendra

' = acos⇣r�

rcos ✏

⌘

� ✏. (17.3)

El angulo ' representa el lımite de la distancia angular entre la estacion y laproyeccion del satelite sobre la superficie terrestre, o punto que ocupa en la trazaen dicho instante. Si dicha distancia es menor o igual que ', el satelite es visible.

Para obtener la distancia angular � entre un punto de la traza (�s

,�s

) y la es-tacion (�

o

,�o

) basta considerar � como el angulo entre los vectores cart(1,�s

,�s

)y cart(1,�

o

,�o

), por lo que efectuando el producto escalar, se obtiene la relacion

cos� = sen�o

sen�s

+ cos�o

cos�s

cos(�o

� �s

). (17.4)

Si llevamos las expresiones (17.2) de (�s

,�s

) a la ecuacion (17.4) obtendremoslos valores de �(t). Por ultimo la condicion

�(t) < acos⇣r�

rcos ✏

⌘

� ✏, (17.5)


indica los instantes de visibilidad del satelite desde la estacion. Esta condicionpuede ponerse tambien como

cos(� + ✏) >r�r

cos ✏. (17.6)

17.2 El problema principal del satelite

Analizando los valores de los distintos armonicos del potencial terrestre2 secomprueba que el termino J

2

, debido al achatamiento, es dominante frente alresto de armonicos. J

2

es del orden de 10�3 frente al valor inferior a 10�6 delresto. Por ello, la perturbacion sobre la orbita de un satelite artificial terrestreproducida por el termino del potencial que contiene al armonico J

2

es dominantefrente a la de los demas armonicos, ası como tambien lo es frente al resto deperturbaciones que actuan sobre este satelite.

De forma generica, con la formulacion de la perturbacion en forma asintoticarespecto a un pequeno parametro vista en el capıtulo 12, podemos tomar J

2

comopequeno parametro y modelar el problema orbital a partir de un orden cero, querepresenta el problema kepleriano, una perturbacion de primer orden producidapor este termino y una perturbacion de segundo orden que engloba el resto deperturbaciones. Prescindiendo del efecto de todas las perturbaciones excepto delachatamiento formularemos el llamado problema principal del satelite artificial,que nos da una primera aproximacion al modelo orbital que mejora notablementeel kepleriano.

Para comprobar el efecto de esta perturbacion sobre el movimiento keplerianousaremos las ecuaciones (12.15), donde el termino V

p

debido al achatamiento,(14.19), se expresara como

Vp

= �µ

r

⇣r�r

⌘

2

J2

P2

(sen �),

con r� el radio ecuatorial terrestre y donde hemos usado � en lugar de �, pues estacoordenada representa la declinacion del satelite, al coincidir el plano fundamentaldel sistema terrestre rotante con el ecuatorial. Por otro lado, si aplicamos la tercerade las igualdades (9.13), sen � = sen i sen(! + f), y desarrollamos la expresion sellega a la igualdad

Vp

= ✏Rp

1

r3⇥

3 sen2 i sen2(! + f)� 1⇤

,

siendo ✏ = �J2

y Rp

= µ r2�/2, una constante.

Basta tener en cuenta las derivadas de r y f respecto de los elementos orbitales,que se han encontrado en el capıtulo 12, para calcular las derivadas de V

p

respectode cada uno de los elementos orbitales. Estas derivadas pueden ser llevadas a

2Esto es tambien cierto, aunque en menor grado, para los potenciales de Marte y la Luna.

Efectos sobre el satelite de otras perturbaciones 279

(12.15) para obtener las expresiones �(�, f) que permiten formular las ecuaciones(12.30) y, mediante estas, las variaciones de primer orden de los elementos orbitalesen el problema principal del satelite.

Si calculamos las integrales (12.30) entre 0 y 2⇡ obtendremos la variacion deprimer orden, ��, de cada parametro de la orbita de un satelite artificial, en cadavuelta del satelite. Tras una serie de calculos se obtienen las siguientes variaciones

�a = 0,�e = 0,�i = 0,

�⌦ = �3J

2

r2p

⇡

a2(1� e2)2cos i,

�! = �3J

2

r2p

⇡

2a2(1� e2)2(1� 5 cos2 i).

(17.7)

De las igualdades anteriores podemos deducir que ningun elemento orbital,salvo ⌦ y !, presenta variacion en el primer orden.

En el caso de ⌦ esta variacion representa la precesion del nodo de la orbita. Laprecesion del nodo es mayor cuanto mas pequena sea la inclinacion de la orbita,y se hace cero para orbitas polares. En orbitas retrogradas el nodo se adelanta enlugar de retrasarse. El efecto de esta perturbacion sobre la traza desplaza el puntode corte de la orbita en el ecuador hacia el oeste si es directa y hacia el este si esretrograda. En una orbita geosıncrona, aunque el efecto es menor al aparecer elsemieje en el denominador, la figura de ocho cerrada se abre, si es geoestacionariael punto sobre el ecuador que ocupa la orbita se desplaza al oeste.

En el caso de ! la variacion es proporcional al valor de (1 � 5 cos2 i), y nulacuando este termino vale cero, lo cual coincide con una inclinacion i = 63�2605.0082,que sera llamada inclinacion crıtica, y que ha tenido una gran importancia en eldesarrollo de los satelites artificiales. Esta inclinacion tiene la importante propie-dad de mantener constante el valor del argumento del perigeo, sin embargo, desdeel punto de vista dinamico representa una singularidad esencial del problemaprincipal.

17.3 Efectos sobre el satelite de otras perturba-ciones

Como se ha dicho en el apartado anterior, el resto de perturbaciones produ-cira en el satelite un efecto mucho menor que el efecto producido por el achata-miento. Sin embargo, resulta muy util conocer, a rasgos generales, como influyecada una de las perturbaciones, con objeto de saber cuales debemos incluir en elmodelo de integracion cuando se disena la mision espacial.


Sin entrar en un estudio detallado de cada una de las perturbaciones podemosresumir algunas de las consecuencias y sus comparaciones en los siguientes puntos:

Las cuatro perturbaciones mas importantes en la orbita de un satelite son:el potencial terrestre, excluido J

2

, el rozamiento atmosferico, la presion deradiacion solar y la perturbacion luni-solar.

Para satelites de orbita baja son muy importantes el potencial terrestre yel rozamiento atmosferico, mientras que los otros dos tienen un efecto muypequeno.

Para satelites muy altos, por ejemplo los geoestacionarios, el efecto masimportante es la perturbacion luni-solar y luego la presion de radiacion. Elpotencial terrestre perturba muy poco y el rozamiento atmosferico es nulo.

La presion de radiacion solar, que varıa muy poco con la altitud del sateli-te, produce variaciones periodicas en los elementos orbitales y se iguala enmagnitud con el rozamiento atmosferico a unos 800 km de altitud.

El rozamiento atmosferico es muy importante, cuando al altitud es muybaja, por eso las orbitas bajas deben tener una mınima altitud para que elefecto del rozamiento sea menor que el del achatamiento.

El efecto del rozamiento atmosferico, cuando actua sobre orbitas muy ex-centricas, no reduce la distancia mınima en el perigeo r

p

, sino que reduceprogresivamente la excentricidad. Puede pensarse en este efecto como unareduccion pequena de la velocidad en la direccion tangente que ocurre unica-mente a cada paso del satelite por el perigeo, pues debido a la excentricidadel resto de la orbita casi no esta afectada por el rozamiento de la atmosfera.

Cuando el rozamiento atmosferico actua de forma continua, lo que ocurreen orbitas de baja excentricidad, se produce una disminucion progresiva dela distancia r

p

en el perigeo con lo que la orbita termina chocando con laTierra.

La combinacion del rozamiento atmosferico con el efecto del tercer cuerpopuede producir efectos indeseados sobre el valor de r

p

, que afectan conside-rablemente al tiempo de vida del satelite, por lo que es preciso un estudiode las posiciones de la Luna y el Sol antes del lanzamiento para minimizareste efecto.

La perturbacion producida por la Luna tiene aproximadamente una magni-tud doble que la producida por el Sol.

Para orbitas bajas el efecto de la perturbacion luni-solar es pequeno encomparacion con el resto. Para orbitas geoestacionarias es tan importantecomo el achatamiento terrestre.

Clasificacion de los satelites artificiales segun su orbita 281

La perturbacion producida por los planetas es muy pequena siendo las masimportantes, por este orden, las de Venus y Jupiter. El efecto de estos siem-pre esta por debajo del efecto relativista, que es del orden de 10�10, es decirextremadamente pequeno.

17.4 Clasificacion de los satelites artificiales segunsu orbita

Una vez estudiado el efecto de la orbita en el movimiento de un satelite sobrela superficie terrestre y los efectos que las perturbaciones producen sobre esta,podemos clasificar los tipos de satelites en funcion de las caracterısticas orbitales.

Las orbitas mas frecuentes son orbitas circulares o de muy pequena excentrici-dad. Dentro de estas la primera clasificacion viene dada por la altitud del satelitesobre la superficie terrestre.

17.4.1 Orbitas bajas (LEO)

Aunque no existe una clasificacion rigurosa de las orbitas por su altitud seestima que una orbita baja, LEO3, es una orbita situada a una altitud entre 200km y los 800 km. Las orbitas de altitud menor no son estables debido a la dismi-nucion progresiva de su altitud por el efecto del rozamiento atmosferico. Aunqueorbitas de mayor altitud podrıan considerarse como orbitas bajas la existencia delcinturon de Van Allen impide situar satelites a dichas altitudes.

En 1958 las naves Explorer I y III confirmaron la existencia de los cinturonesde radiacion de Van Allen, que consisten en dos anillos de forma toroidal4 alre-dedor del ecuador de la Tierra. Dicha zona esta formada por partıculas cargadas,protones en el anillo interior y electrones en el exterior, que son atrapados porel campo magnetico terrestre. El anillo interior esta situado entre los 800 y los6000 km de altitud sobre la superficie terrestre y alcanza su maxima densidad alos 3000 km de altitud. El anillo exterior tiene su mayor densidad entre los 15000km y los 20000 km de altitud. A partir de los 50� o 60� de latitud norte o sur ladensidad de los cinturones es muy pequena.

La energıa de las partıculas de los cinturones de Van Allen puede danar ydegradar seriamente los componentes electronicos de los satelites y hace peligrarla salud de un ser humano que este permanentemente expuesto a ellas. Por ellodeterminadas misiones, sobre todo las misiones largas y las tripuladas, deben sersituadas a una altitud que interfiera lo mınimo posible con esta zona.

La seguridad de la zona de orbitas bajas, por debajo del cinturon interior deVan Allen, la hace una zona especialmente util para las misiones tripuladas como

3Low Earth Orbit.4Como una rosquilla o donuts.


la estacion espacial internacional, ISS5, que esta situada a unos 350 km de altituden una orbita casi circular inclinada 51�. Otra caracterıstica de las orbitas LEO esque el coste de satelizacion es pequeno comparado con otro tipo de orbitas. Bastaun cohete lanzador de dos etapas para situar un satelite en una orbita baja. Elmayor problema de dichas orbitas es que el rozamiento producido por la atmosferarequiere un mayor gasto de combustible para su mantenimiento en orbita, por loque la eleccion de esta altitud para el estacion espacial supone un compromisoentre seguridad y coste de la mision.

Un satelite bajo tiene un semieje pequeno y por tanto un periodo corto, porlo que puede completar entre 14 y 16 vueltas a la Tierra por dıa. Ademas, co-mo se ve en su traza densa (figura 17.3(a)), puede observar, en algun momento,cualquier punto de la superficie terrestre de latitud menor que la inclinacion. Es-ta caracterıstica hace este tipo de orbitas muy utiles para cualquier mision detipo geodesico (medida del potencial terrestre), fotografico, meteorologico, medioambiental, etc.

17.4.2 Orbitas medias (MEO)

Se consideran orbitas medias, MEO6 a las orbitas situadas mas alla del cin-turon interior de Van Allen y hasta los 35000 km.

En esta zona, evitando el cinturon exterior o protegiendose de el, se situanlos satelites de las constelaciones usadas para la navegacion, como GPS o Galileo.Tanto el sistema GPS como GLONNAS usan altitud de unos 20000 km con orbitasde periodo orbital de 12 horas. Galileo se situara en orbitas de 23220 km de altitudy 56� de inclinacion.

17.4.3 Orbitas geoestacionarias (GEO)

Los ultimos tipos de orbitas que estudiaremos son las orbitas geosıncronas y lasorbitas geoestacionarias, GEO. En ambos casos el periodo orbital esta sincroni-zado con la rotacion de la Tierra, las geoestacionarias, ademas, tienen inclinacionnula, es decir, son orbitas ecuatoriales. La idea de situar satelites en estas orbitasfue publicada en 1928 por Herman Potocnik, aunque luego fueron popularizadaspor el autor de ciencia-ficcion Artur C. Clarke. Estas son las unicas orbitas altaspor lo que al contrario que las bajas y las medias no seran denominadas ası.

Como se observa por su traza (figura 17.4(b)) las orbitas geoestacionariasocupan un punto fijo del ecuador terrestre, salvo la deriva producida por lasperturbaciones que debe ser corregida cada cierto tiempo. De esta forma, unaantena fija puede estar apuntando constantemente al satelite lo que los hace muyutiles para las comunicaciones, especialmente para la transmision de senales de

5International Space Station.6Medium Earth Orbit.


television. Ademas de su uso en television y telecomunicaciones estas orbitas sonusadas para satelites meteorologicos como los GOES (norteamericanos), Meteosat(europeos) y GMS (japoneses).

La altitud de esta orbitas es de 35786 km, es decir poseen un semieje de 42164km. El area de visibilidad de estos satelites es de aproximadamente el 43% de lasuperficie del hemisferio que definen. Se excluyen las regiones por encima o debajode los 70� de latitud (norte y sur). Esta caracterıstica, sujeta a su inclinacion, haceque el numero de satelites geoestacionarios este limitado, pues estos unicamentepueden estar en un estrecho anillo que rodea el ecuador, de radio 42164 km, en elque se encuentran unos 300 satelites.

17.4.4 Satelites Molniya y Tundra

La mala cobertura de los satelites geoestacionarios por encima de los 70�

constituyo un gran handicap para el desarrollo de los sistemas de comunicacionessovieticos. Para solucionar esto aprovecharon tres propiedades de las orbitas delos satelites artificiales vistas con anterioridad:

Los satelites de gran excentricidad permanecen gran parte de su tiempo enlas proximidades del apogeo y pasan muy rapido por el resto de las regiones.La excentricidad de estos satelites es aproximadamente 0.7.

Un satelite en inclinacion crıtica mantiene el perigeo, y como consecuenciael apogeo, estacionario, es decir ocupa siempre el mismo lugar.

Un periodo orbital igual a medio dıa sidereo hace que cada 24h el sateliterepita su traza, pasando por los mismos lugares.

Figura 17.8: Dos vueltas de la orbita de un sateliteMolniya.

Las orbitas con estaspropiedades fueron llamadasorbitas Molniya, tomando elnombre del primer satelitelanzado en dicha orbita elMolniya 1. La figura 17.8,que representa la trayecto-ria diaria, dos vueltas, de unsatelite de este tipo dice porsi sola las posibilidades deestos satelites, si tenemos encuenta que la mayor partedel tiempo el satelite se en-cuentra en la zona del hemis-ferio norte de la grafica. Pa-ra conseguir esta trayectoria

basta usar los elementos orbitales dichos y situar el apogeo por encima del puntosobre el que se quiera tener el satelite el mayor tiempo posible.


Este tipo de satelites han sido usados, tanto para usos civiles, de comuni-caciones, como militares, por la Union Sovietica y por los Estados Unidos. Lasposibilidades del sistema aumentan si en lugar de uno se situan tres satelites en lamisma orbita, asegurando que en cada momento del dıa uno de los tres satelitesesta volando por encima de la zona de cobertura.

El inconveniente principal de este sistema es que en las estaciones de Tierrase hace necesario el uso de dos antenas de rastreo. Ya que la distancia estacion-satelite cambia continuamente, la potencia recibida varıa y lo mismo ocurre conla frecuencia en recepcion debido al efecto Doppler. Se hace necesaria una progra-macion previa que permita comunicar simultaneamente a las estaciones de Tierrael instante en que deben cambiar de satelite. Por otro lado, como la altitud delsatelite varıa, el haz de cobertura tambien variara. Los satelites Molniya llevanuna antena de rastreo que debe permanecer orientada hacia las estaciones deTierra operativas.

Otro tipo de orbitas que usan la inclinacion crıtica son las orbitas Tundra.Su diferencia con las orbitas Molniya es que su excentricidad no es tan gran-de, generalmente entre 0.25 y 0.4 y tienen un perıodo de 24h. Estas son orbitasgeosıncronas, que tienen una traza en forma de ocho. Situando el apogeo en unpunto del hemisferio norte se consigue que el satelite recorre la parte superior delocho la mayor parte de su tiempo, con lo que con dos satelites en la misma orbita,separados 180� se consigue una completa cobertura de la misma.

17.4.5 Satelites heliosıncronos

Al igual que las orbitas Molniya, los satelites en orbita heliosıncrona son sateli-tes que aprovechan las caracterısticas del problema principal del satelite, en con-creto la precesion del nodo, para conseguir una determinada caracterıstica. Eneste caso, se trata de que en cada punto de la orbita, definido por una anomalıadada, las condiciones de iluminacion del Sol sobre el punto de la superficie terres-tre que el satelite sobrevuela son identicas para cada vuelta, o lo que es igual, elangulo horario H� del Sol en ese punto es el mismo. Esto es especialmente utilpara los satelites de observacion terrestre, por lo que casi todos aprovechan estacaracterıstica.

Para comprender esto recordemos las expresiones (3.13) y (5.1), que reunidasnos permiten escribir

GMST = ↵+H � �, (17.8)

donde GMST es el instante de la observacion, � es la longitud de un observador, ↵es la ascension recta en ese instante de un astro cualquiera, en este caso tomaremosel Sol, y H es el angulo horario del mismo astro observado en el instante y lugardados.

Por otro lado, la segunda de las expresiones (17.2) nos permite asegurar quela longitud del punto de la traza desde un instante cualquiera de la orbita de ano-


malıa verdadera f1

a otro f2

= f1

+2⇡ pasa de un valor �1

a otro �2

relacionadospor la expresion

�2

� �1

= �⌦� (GMST2

�GMST1

), (17.9)

siendo �⌦ la variacion del angulo del nodo en una vuelta, que en una orbitakepleriana vale cero, pero cuando la orbita esta perturbada por el achatamientoterrestre viene dado por (17.7).

Particularizando (17.8) para los dos instantes, tomando el Sol como el astropara el cual se dan ↵ y H, y llevando todo a la expresion (17.9) podremos poner

H2

�H1

= �⌦��↵, (17.10)

donde �↵ = ↵2

� ↵1

representa la variacion de la ascension recta del Sol en unavuelta de la orbita.

Si hacemos coincidir la variacion, en una vuelta, de la ascension recta del Solcon la del nodo de la orbita, el angulo horario del Sol en el lugar sobrevolado porel satelite coincidira en el instante inicial y al cabo de una vuelta, cumpliendoselas condiciones deseadas.

Para comprobar de manera practica lo que esto supone en el diseno de lasorbitas de satelites artificiales tendremos en cuenta que este tipo de satelitesde observacion tienen una orbita baja, por lo que las orbitas heliosıncronas sonsiempre orbitas LEO. Por otro lado, como el periodo orbital de un satelite LEOes pequeno, podemos simplificar el movimiento del Sol, tomando el Sol medio enlugar de verdadero, por lo que este da una vuelta completa en el ecuador conuna velocidad angular de 2⇡/365.2422 rad/dıa, por lo que durante un periodoP del satelite el valor de �↵ vendra dado por 2⇡P/(365.2422 ⇥ 24 ⇥ 60), dandoP en minutos. Si ahora calculamos �⌦ en una vuelta, por medio de la relacion(17.7), para un satelite en orbita circular e = 0 y radio a = 1.125, lo que equivaleaproximadadmente a 800 km de altitud, se obtiene la inclinacion necesaria paraque la condicion se cumpla, en este caso i = 98.�6. Esto nos da una orbita casipolar y retrograda muy habitual en este tipo de satelites.

17.4.6 Orbitas de transferencia geoestacionarias (GTO)

Estas orbitas permiten pasar un satelite de una orbita baja circular y ecuato-rial a una orbita geoestacionaria. Para ello la orbita tiene que ser muy excentricay tener una distancia en el perigeo, r

p

, que coincida con el radio de la orbita bajay una distancia en el apogeo, r

a

, que coincida con el radio de la orbita geoesta-cionaria. A partir de estos valores es facil deducir el semieje y la excentricidad deesta orbita, que valdran

a =rGS

+ rLEO

2, e =

rGS� r

LEO

2 a,

donde rGS

, rLEO

representan respectivamente los radios de las orbitas geoestacio-naria y baja.

Capıtulo 18

Maniobras orbitales

18.1 Introduccion

En el capıtulo anterior se ha analizado la relacion entre los elementos orbitalesde un satelite artificial y las caracterısticas concretas de la mision para la que dichosatelite ha sido disenado. Llamaremos orbita nominal del satelite a la orbita enla que sera situado para cumplir su mision.

En este capıtulo analizaremos las fases que conducen hasta la insercion delsatelite en su orbita nominal. Incluiremos, desde el lanzamiento del mismo, hastalas correcciones de la orbita, o maniobras, que lo llevaran en sucesivas etapas asu orbita nominal o que permitiran la correccion de la misma cuando el efecto delas perturbaciones lo aleje de esta. Con objeto de una mayor claridad en la expo-sicion de estos temas simplificaremos el complejo sistema tecnico que encierran,centrandonos principalmente en los aspectos dinamicos del mismo.

18.2 La velocidad y la navegacion espacial

La orbita de una nave espacial es la solucion del sistema de ecuaciones diferen-ciales (12.1), en la que se incluyen todas las perturbaciones, para un conjunto devalores iniciales dado por el vector de estado (x

0

,X0

) en el instante inicial t = t0

.Si cambiamos las condiciones iniciales, la posicion, la velocidad o ambas obtene-mos otra orbita diferente caracterizada por las nuevas condiciones iniciales. Estaafirmacion, que se deduce trivialmente de la teorıa de las ecuaciones diferencia-les ordinarias, tiene unas consecuencias dinamicas obvias pero que es convenientedestacar.

288 Maniobras orbitales

Las pelıculas de ciencia ficcion han popularizado una serie de naves espacialesque distan mucho de lo que es la navegacion por el espacio. Estas naves son presen-tadas como un vehıculo similar, en cuanto a su comportamiento, a un avion, quees facilmente maniobrado por un piloto que modifica en tiempo real la trayectoriade la nave. La realidad es muy distinta. La intervencion del piloto en la trayec-toria de una nave unicamente tiene importancia en las reentradas a la atmosferade los transbordadores espaciales, que realmente se convierten en grandes avionesy en las ultimas fases de aproximacion entre dos naves que se acoplan, como lasllegadas a la estacion espacial. El resto del tiempo los viajes espaciales son masparecidos a los viajes en tren donde las vıas han quedado fijadas por la ecuaciondiferencial y por las condiciones iniciales y estas han fijado tambien el horario deltren.

Para cambiar de ruta, tanto la vıa como los horarios, debemos fijarnos de nuevoen los parametros que modifican la orbita. La ecuacion diferencial es siempre lamisma, luego unicamente el cambio de las condiciones iniciales, o valores de laposicion y velocidad en un cierto instante, permitira el cambio de trayectoria.Pensemos ahora que tenemos un satelite artificial en una orbita dada, por ejemplouna orbita ecuatorial y queremos darle una cierta inclinacion. Supongamos queestamos en el instante t

0

y tenemos una posicion y velocidad que nos aseguranla orbita ecuatorial; para el cambio de orbita debemos cambiar, en ese mismoinstante t

0

, la posicion y la velocidad, pero es facil comprender que no podemosmodificar la posicion de la nave instantaneamente. Ası pues, el unico recursoque nos queda es modificar la velocidad y obtener unas condiciones iniciales,(x

0

,X0

+ �v), que transferiran la nave a una nueva orbita que tiene un puntoen comun con la anterior.

El cambio de velocidad, producido por la variacion de la cantidad de movi-miento de la nave al expulsar masa a gran velocidad, es la unica forma posible, enla actualidad, de cambiar la orbita. A esta accion le llamaremos maniobra orbitaly sus caracterısticas seran estudiadas en el presente capıtulo.

Ademas de los cambios de orbita durante una mision, la velocidad juega tam-bien un importante papel en el lanzamiento al espacio de una nave, condicionandosi esta puede o no entrar en orbita y si la orbita puede o no alejarse de la Tierralo suficiente para alcanzar otros cuerpos del sistema solar. Para comprender estonos olvidaremos, por ahora, de la direccion del vector velocidad y consideraremosalgunas propiedades del movimiento orbital derivadas unicamente de su norma,basadas en la expresion (8.11) y en su particularizacion a los distintos tipos demovimientos dada en la tabla (8.1).

Supongamos que queremos poner en orbita un satelite artificial alrededor deun cuerpo o planeta de radio r

P

. Para ello realizaremos el lanzamiento del satelite,que en esencia consiste en un procedimiento, que describiremos en los siguientesapartados, para situar el satelite en una posicion del espacio, a una cierta distanciarP

del centro de masas del planeta y con una cierta velocidad.

La velocidad y la navegacion espacial 289

Para comprender el efecto de la velocidad en la puesta en orbita del satelitepartiremos de la expresion

v2s

= G mP

rP

, (18.1)

que nos da el cuadrado de la velocidad de una orbita circular, (tabla 8.1), auna distancia r

P

de un planeta de masa mP

. A la velocidad vs

le llamaremosvelocidad de satelizacion y representa la mınima velocidad necesaria para queuna nave, dejada libre a una distancia r

P

del centro del planeta, entre en orbitaalrededor del mismo, convirtiendose en un satelite artificial, y no vuelva a caer ala superficie.

Las propiedades del movimiento kepleriano indican que un cuerpo de masacualquiera, situado a una cierta distancia de otro con cualquier velocidad, semovera en orbita kepleriana alrededor del segundo. Para ver que esto no contradicelo afirmado en el parrafo anterior tendremos en cuenta que, a partir de la expresionde la velocidad para una orbita elıptica cualquiera, se obtiene facilmente que, parauna distancia r

0

y una velocidad v0

, el semieje de la orbita es igual a

a =µr

0

2µ� r0

v20

.

Si la velocidad fuese inferior a la velocidad de una orbita circular, esto es v20

<µ/r

0

, se llegarıa finalmente a que a < r0

, y por otro lado a que la distancia enel periastro r

p

= a(1 � e) < a < r0

. Si r0

coincide con el radio del planeta rP

resultara que la distancia en el periastro serıa menor que el radio del planeta,por lo que el satelite chocarıa con la superficie del mismo. A un cuerpo conuna trayectoria elıptica de este tipo, esto es, con una velocidad menor que lade satelizacion a una distancia r

P

, se le llama misil balıstico.

Para la misma distancia, un aumento de v supone un aumento de la energıa,obteniendose una orbita elıptica. Si aumentamos lo suficiente la velocidad, laenergıa llegara a anularse y la orbita pasara a ser parabolica. En este caso

v2e

= 2G mP

rP

. (18.2)

A esta velocidad,p2 veces mayor que la velocidad de satelizacion, se le llama

velocidad de escape, puesto que a partir de ella la orbita ya no es periodica y lanave, llamada ahora sonda espacial, se aleja indefinidamente del planeta.

Tierra Luna Marte Venusvs

7.91 1.68 3.55 7.33ve

11.18 2.36 5.02 10.36

Tabla 18.1: Velocidades de satelizacion y escape en km/s


En la tabla 18.1 pueden verse los valores de la velocidad de satelizacion y escapepara la Tierra, la Luna, Marte y Venus. Todas las velocidades estan expresadasen km/s. Estas velocidades indican que el coste de puesta en orbita de una misionespacial es mucho menor si se realiza desde la Luna en lugar de realizarlo desdela Tierra mientras que desde Marte el coste es la mitad que desde la Tierra.

Aumentando mas la velocidad se obtienen orbitas hiperbolicas en las que lasonda siempre se aleja del planeta. Es interesante observar que puede considerarseque, cuando la distancia entre el satelite y el planeta es lo suficientemente grande,el planeta ya no atrae gravitacionalmente a la sonda, sin embargo, esta no separa y continua su viaje con una velocidad que nunca es menor que la llamadavelocidad residual

v21 = lımr!1

µ

✓

2

r+

1

a

◆

=µ

a. (18.3)

18.3 Propulsion de naves espaciales

Para entender las relaciones entre la dinamica de la navegacion espacial ycuestiones tan importantes para el coste de una mision como la cantidad de com-bustible que debe llevar y el tiempo de vida estimado de la mision, sera necesariocomprender algunos conceptos de la propulsion de las naves espaciales.

Una maniobra orbital consiste en una modificacion de la velocidad del satelitebasada en la ley de conservacion del momento lineal o cantidad de movimiento. Elefecto de los cohetes consiste en la expulsion de una cierta cantidad de masa a unacierta velocidad, lo que produce un aumento de la velocidad del satelite en sentidocontrario a la expulsion. Existen diversos metodos de expulsion de esta masa peropor el momento pensaremos en un proceso de combustion y en la expulsion a granvelocidad de los gases de dicha combustion.

Llamaremos c a la velocidad efectiva de eyeccion1 de los gases para un cohetedado, y b = �m � 0 la velocidad constante de perdida de masa para dicho cohete.Si m es la masa total y X la velocidad en el instante anterior al encendido delos cohetes, la ley de conservacion de la cantidad de movimiento nos indica quela variacion de la velocidad �v despues de un intervalo de tiempo �t viene dadapor

(m� b�t)(X +�v) + (b�t)(X + c)�mX = F

ext

�t,

donde Fext

es la resultante de las fuerzas exteriores que actuan sobre la nave. Lasprincipales fuerzas externas son la fuerza de gravedad, el rozamiento atmosferico,etc.

1La velocidad efectiva no coincide con la velocidad real de expulsion de gases, pues esta quedamodificada por la distinta presion relativa de los gases y del aire. La relacion viene dada porc = v

r

+ (pg

� p

a

)A/b, donde v

r

es la velocidad real de expulsion, pg

, p

a

las presiones de losgases y la atmosfera y A el area de la tobera de expulsion.

Propulsion de naves espaciales 291

Desarrollando esta expresion se llega a

m�v � b�t (�v � c) = F

ext

�t,

que, dividida por �t y tomando lımites cuando �t! 0, nos conduce a

m lım�t!0

�v

�t= b

⇣

lım�t!0

�v � c

⌘

+ F

ext

,

o lo que es igual

mdv

dt=

dm

dtc+ F

ext

, (18.4)

que es la llamada ecuacion del cohete.

El termino

F

c

=dm

dtc = �b c, (18.5)

es el empuje o fuerza que el cohete ejerce sobre la nave.

La direccion del vector c es la direccion hacia la que se expulsan los gases en lacombustion y puede ser modificada, por ello, los dos parametros que caracterizanrealmente un cohete son las normas, c y F

c

= b c, de los vectores anteriores yque, por extension, se llaman tambien velocidad efectiva y empuje del cohete. Enla practica no se usa la velocidad efectiva, sino esta dividida por el valor de laconstante g

0

de la aceleracion de la gravedad en un punto del ecuador terrestre.Ası, definiremos el impulso especıfico como la cantidad

Isp

=c

g0

. (18.6)

La cantidad Isp

, ası definida, se representa en segundos, mientras que el empujese representa en newtons2.

Existiran dos tipos de cohetes en funcion de su empuje. Los que tienen ungran empuje, en general mucho mayor que la fuerza de gravedad, y los de bajoempuje, o microempuje, que es menor que la fuerza de gravedad. Estos ultimoscomunican al satelite una pequena aceleracion durante un periodo de tiempo largo,en contraposicion con los de gran empuje que son encendidos durante un periodode tiempo muy corto, despreciable frente al periodo orbital, y que durante esteperiodo producen una gran aceleracion. En general supondremos que el impulsoproporcionado por estos ultimos es instantaneo.

La variacion de la velocidad de la nave durante el proceso de encendido demotores se obtendra integrando la ecuacion (18.4) entre los instantes de encendidoy apagado de motores. Si consideramos el encendido de un cohete de alto empuje,mucho mayor que las fuerzas de gravedad y rozamiento atmosferico, podemos

2N = m kg s�2.


suponer que la suma de las fuerzas externas es nula. Integrando la ecuacion (18.4)del cohete en estas condiciones se llega a

�v = �c log⇣m

0

m

⌘

.

La anterior relacion indica que la variacion de la velocidad de la nave lleva ladireccion opuesta a la de la expulsion de los gases, que puede ser elegida orientandolas toberas, por ello, el parametro mas importante de la maniobra es la variacionde la norma de la velocidad, que se puede poner como

�v = c log⇣m

0

m

⌘

= Isp

g0

log⇣m

0

m

⌘

, (18.7)

y es proporcional a la velocidad efectiva (impulso especıfico) y al logaritmo delcociente entre la masa inicial, m

0

y la masa m al final del encendido, que es lainicial menos la expulsada. Al valor �v, que indica la variacion de la norma delvector velocidad en una maniobra, se le llama impulso total o mas habitualmentedelta uve.

Si queremos calcular el tiempo de encendido de un cohete de parametrosFc

, Isp

, para conseguir un impulso �v, bastara tener en cuenta que en un tiempot se habra expulsado una cantidad de masa igual a b t, luego si la masa inicial esm

0

la final sera m = m0

� bt, que llevada a (18.7) nos da

t =m

0

b

⇣

1� e��v/c

⌘

=m

0

Isp

g0

Fc

⇣

1� e��v/Isp g0

⌘

, (18.8)

donde hemos sustituido b por su valor en terminos de Fc

e Isp

.

A lo largo de la vida de un satelite se realizan multiples maniobras, en cadauna de las cuales se produce un impulso total �v

i

de acuerdo con la expresion(18.7). La suma de estos impulsos, que se podra poner como

�v =X

i

�vi

=X

i

c log

✓

mi�1

mi

◆

= c log

✓

m0

mn

◆

,

es llamada velocidad caracterıstica y depende de la cantidad de masa total expul-sada o combustible utilizado. El coste de una mision, que depende de la cantidadde combustible cargado en la nave, se minimiza si conseguimos minimizar la ve-locidad caracterıstica.

Llamemos mc

a la cantidad total de combustible que carga una nave y mn

a supeso sin combustible, su carga util, entonces la velocidad caracterıstica del con-junto de todas las maniobras realizadas hasta que la nave se queda sin combustiblese podra poner en cualquiera de las dos formas siguientes:

�v = c log

✓

mn

+mc

mn

◆

,m

c

mn

= e�v/c � 1. (18.9)

Propulsion de naves espaciales 293

Las dos relaciones anteriores indican la cantidad total de combustible, en re-lacion con la carga util, que debe llevar una nave cuya mision requiera en totaluna velocidad caracterıstica �v. Hay que recordar que la velocidad caracterısticaes la suma de los delta uve de cada una de las maniobras realizadas en la mision.Se pueden realizar cuantas maniobras se quiera, y distribuirlas como se desee, conla unica condicion de que la velocidad caracterıstica queda condicionada por lacantidad total de combustible y no por la potencia de los cohetes.

La ecuacion (18.9) ha sido obtenida en ausencia de fuerzas externas, sin em-bargo, en la realidad, el resto de fuerzas que actuan sobre el satelite contribuyena disminuir el valor del delta uve obtenido con la misma cantidad de combustible.Esta disminucion de la eficiencia de cada maniobra es proporcional al tiempo deduracion del encendido de los motores. Cuanta menos duracion tenga el encendi-do, menor sera la perdida de impulso. Obviamente, cuanto mayor sea el empujedel cohete se precisara un menor tiempo de encendido por lo que la maniobrasera mas efectiva.

Actualmente existen dos tipos de cohetes en uso: los de propulsion quımica ylos de propulsion ionica o electrica. Los cohetes de propulsion quımica poseen bajoimpulso especıfico pero la cantidad de masa expulsada es muy grande por lo queconsiguen un gran impulso total, o lo que es igual, consiguen una gran variacionde la velocidad en poco tiempo de encendido. Como en el espacio exterior no hayoxıgeno para quemar el combustible, el cohete debe llevar almacenado en tanquesno solo el propelente o combustible, sino tambien el oxidante o comburente. Loscombustibles quımicos pueden ser solidos, que habitualmente llevan mezclado elpropelente y el oxidante y los combustibles lıquidos, que almacenan ambos porseparado. Los combustibles solidos alcanzan velocidades de expulsion de gasesentre 1000 y 4000 m/s y pueden conseguir empujes de entre 1000 y 107 N, mientraslos cohetes con bipropelentes lıquidos expulsan los gases entre 1000 y 4700 m/s yalcanzan empujes de entre 0.1 y 107 N.

Los cohetes de propulsion quımica son los mas usados en la navegacion espa-cial. El impulso especıfico entre 200 y 500 segundos es pequeno pero lo compensancon el gran empuje que pueden conseguir. Existen tres tipos de cohetes de estaclase: los de pequeno impulso, entre 0.1 y 10 N utiles para las maniobras de cambiode actitud; los de impulso medio, entre 200 y 400 N, utiles para realizar maniobrasde cambio de orbita; y finalmente los grandes cohetes de un empuje del orden demillones de newtons que son los usados por los lanzadores para poner las navesen orbita.

Los cohetes ionicos aıslan iones y los lanzan a una gran velocidad con lo quese consiguen grandes impulsos especıficos, sin embargo, el impulso total es muypequeno, puesto que la masa expulsada es muy pequena. La ventaja frente alos de propulsion quımica es que pueden mantenerse en funcionamiento durantegrandes perıodos de tiempo con poco coste de combustible, por lo que seran muchomas adecuados para la navegacion interplanetaria no tripulada. Un motor ionicopuede producir un impulso especıfico de 8000 a 80000 segundos, pero su empuje


esta entre los 10�3 y los 10 N.

El efecto de este tipo de motores es igual al de una pequena perturbacion queactua de manera continuada. Este tipo de efecto es similar al que puede producirotro de los sistemas de propulsion propuestos, aunque todavıa no probados: lavela solar. En este caso se trata del efecto continuado de la presion de radiacionsolar sobre una vela de grandes dimensiones. Esto puede producir una fuerza deunos 9 N por km2 de vela, siempre en la direccion opuesta al Sol, sin gasto algunode combustible.

Los motores ionicos han sido probados en la mision de la ESA Smart-1, queha llevado una nave a la Luna con un motor ionico de 70 milinewtons en unatrayectoria espiral, esto es, con el semieje creciendo poco a poco de forma continua.La duracion del viaje ha sido de 14 meses, frente a una duracion menor de cuatrodıas de una trayectoria convencional pero con un coste muchısimo menor.

En lo que sigue estudiaremos el efecto sobre las orbitas de los satelites demaniobras producidas por cohetes de propulsion quımica y supondremos que elimpulso total se ha producido por un encendido instantaneo de los cohetes queorigina una discontinuidad en la velocidad sin cambio de posicion.

Para terminar este apartado, y una vez visto lo que la tecnologıa de cohetespuede proporcionarnos en la actualidad, revisaremos una serie de magnitudes queinformaran sobre los costes de cada tipo de mision. Por un lado el proceso mascaro de un mision espacial es el proceso de lanzamiento, que exige conseguir unavelocidad de 7.9 km/s, lo que requiere una cantidad de combustible enorme. Estaes la razon principal por la que el proceso de lanzamiento y el resto de la mision seconsideran por separado, requieren distinta tecnologıa y abordan problemas muydiferentes.

El uso de los cohetes, una vez puesto el satelite en orbita, es mucho mas mode-rado que en la fase del lanzamiento. Los cohetes tienen un empuje mucho menorque los usados en el lanzamiento y las necesidades de combustible son mucho maspequenas, aunque varıan mucho en funcion del tipo de mision. Por ejemplo, unsatelite en orbita geoestacionaria necesita, para una mision de una vida media deunos 10 anos, puesta inicialmente en una orbita GTO, un delta uve caracterısticode unos 2000 m/s, algo menor o mayor dependiendo de la inclinacion de la orbitade aparcamiento inicial, que dependera de la latitud del lugar del lanzamiento.Esta cantidad puede suponer entre unos 800 o 1000 kg de combustible para unanave con una masa inicial de unos 2000 kg y un motor de I

sp

= 300 s.

Las maniobras necesarias para corregir el rozamiento atmosferico de una orbi-ta LEO son muy frecuentes pero de pequeno delta uve, no mayor que 100 m/sdependiendo de la altitud. Esto puede suponer, para una altitud de 450 km y unIsp

= 250 s un gasto de 12.8 kg de combustible por ano.

Aunque el calculo del impulso total necesario para cada una de las distintasmaniobras sera estudiado mas adelante podemos adelantar las magnitudes dealguna de estas maniobras. Ası por ejemplo: el paso de una orbita LEO a una GTO

Lanzamiento de satelites artificiales 295

requiere 2500 m/s; para pasar de una GTO a una geoestacionaria es necesario 1500m/s; el paso desde el perigeo de una orbita GTO a una orbita de escape de laTierra es de 700 m/s; la insercion en una orbita lunar de una orbita de escape dela Tierra son 700 m/s; etc.

18.4 Lanzamiento de satelites artificiales

El proceso inicial en la puesta en orbita de una nave solo puede ser llevado acabo por medio de un vehıculo de grandes dimensiones llamado cohete portadoro vector de lanzamiento. Posteriormente, cuando el satelite ya este en orbita, pe-quenos motores, llamados tambien cohetes3 seran usados para efectuar las manio-bras de transferencia que lleven el satelite a su orbita nominal o que lo mantenganen ella.

Hemos de pensar en un satelite artificial como en un objeto pequeno, sin capa-cidad para cargar grandes cantidades de combustible y, por tanto, sin posibilidadde navegar libremente en el espacio, estando limitada esta navegacion a la orbitaen la que ha sido dejado y a pequenas correcciones de dicha orbita realizadas conuna cantidad limitada de combustible o con la energıa generada por los panelessolares que en ocasiones se le anaden. Por ello, es muy importante considerar porseparado el proceso de lanzamiento, que exige el uso de los vectores de lanza-miento, y el desarrollo del resto de la mision a partir del instante de puesta enorbita.

Un cohete portador consiste en un vehıculo de grandes dimensiones, con unagran cantidad de combustible, que tras un periodo de combustion consigue co-municar al satelite una velocidad de modulo igual o mayor que la velocidad desatelizacion. Una vez terminada esta combustion el satelite se separa del cohete ycomienza su mision en solitario. Para una mayor eficiencia en la puesta en orbitadel satelite, los cohetes portadores son construidos con varias fases con sus co-rrespondientes depositos de combustible y motores. Estas fases son sucesivamenteabandonadas y caen a la Tierra una vez que el combustible se ha consumido.

El satelite ocupa generalmente una pequena parte del cohete, en el extremosuperior del mismo, y es llamado en Astronautica la carga util. En lo que sigue,por simplificar, supondremos que el cohete tiene unicamente dos fases y la cargautil.

Existen dos formas distintas de poner el satelite en orbita segun queramosuna orbita baja o alta. Analizaremos la primera, pues la segunda se realiza en dosetapas, una primera etapa que es identica a la de las orbitas bajas y una segundaque consiste en una correccion de la orbita previa a la definitiva.

La primera etapa consiste en el lanzamiento del cohete desde un lugar de lasuperficie terrestre caracterizado por su latitud geografica �

l

. Inicialmente los mo-

3Suele utilizarse indistintamente la palabra cohete tanto para el vehıculo lanzador como paralos motores de este o de el propio satelite.


tores son encendidos y el cohete lanzado verticalmente. Inmediatamente despuesde que comience la ascension del vehıculo se le comunica una lenta rotacion queorienta el eje longitudinal del cohete, que senala la direccion del vector velocidad,hacia un lugar del espacio de acimut A

s

y distancia cenital (90� � �s

). Antes dellegar al punto S, final de la trayectoria del cohete, se abandona la primera fasedel mismo, que cae a la Tierra y se enciende la segunda que lo lleva hacia S. Eneste punto se separa la segunda fase de la carga util y esta es dejada en su orbitacon una velocidad dada por el vector X

s

.

X

s

S

L

Figura 18.1: Lanzamiento de un satelite ar-tificial.

Las caracterısticas tecnicas yeconomicas del lanzamiento obligana que el punto S se encuentre a unadistancia entre 200 y 500 km del lu-gar del lanzamiento, por lo que, sinperdida de generalidad, podemos su-poner para el punto S una latitud�s

= �l

, igual a la de la base de lan-zamiento.

Observese que la segunda fasequeda tambien en orbita junto conla carga util, sin embargo, las pro-piedades aerodinamicas de esta ha-cen que se vea rapidamente afectadapor el rozamiento atmosferico, frenandola4 y obligandola a caer a la Tierra.

La caıda de la primera fase a la Tierra y la posibilidad de accidente previoy caıda prematura del cohete a la Tierra limitan el acimut o direccion de lanza-miento. Generalmente, las bases de lanzamiento estan situadas junto al mar, oen regiones ampliamente despobladas, de manera que el acimut del lanzamientoesta condicionado por la direccion que menor riesgo de accidente entrane.

X

s

Sur

Z

vs

�s

As

Figura 18.2: Vector velocidad del satelite.

Supondremos el satelite puestoen orbita en el punto S con una velo-cidad X

s

de modulo vs

y coordena-das angulares A

s

, �s

respecto de unsistema de coordenadas horizontales:

X

s

=

0

@

vs

cos �s

senAs

vs

cos �s

cosAs

vs

sen �s

1

A .

(18.10)

El valor deXs

no sirve para esta-blecer la velocidad inicial del sateliteen el problema de dos cuerpos, y conello establecer su orbita, pues este vector debe estar referido a un sistema inercial,

4El propio rozamiento evita el peligro al quemar totalmente la nave antes de su caıda.


y el sistema de coordenadas horizontales no lo es debido a la rotacion de la Tierra.Si tenemos en cuenta la relacion de la velocidad expresada en un sistema inercialy otro que gire con velocidad angular ! podremos poner

X

o

= X

s

+ ! ⇥ x

s

,

donde x

s

es la posicion del satelite.

x

s Sur

ZP

!

Figura 18.3: Rotacion de la Tierra y posi-cion del satelite.

En nuestro caso ! es un vector demodulo 2⇡ radianes/dıa, que lleva ladireccion del polo norte. El vector x

s

,que representa la posicion del satelite,forma un angulo igual a 90� � �

l

con! (ver figura 18.3). Por tanto

|! ⇥ x

s

| = ! r0

cos�l

,

mientras que la direccion de ! ⇥ x

s

debe ser perpendicular a x

s

, esto es,pertenece al plano horizontal, y lle-vara la direccion este, es decir

! ⇥ x

s

= (�! r0

cos�l

, 0, 0).

Por tanto se tendra

X

o

=

0

@

vs

cos �s

senAs

� !ro

cos�l

vs

cos �s

cosAs

vs

sen �s

1

A , (18.11)

que representa la velocidad absoluta del satelite, aunque expresada en el sistemahorizontal. El termino �! r

o

cos�l

, es la contribucion de la velocidad de rotacionde la Tierra a la velocidad del satelite.

En estas condiciones, las coordenadas polares esfericas (vo

, Ao

, �o

) pueden con-siderarse como la velocidad, acimut y altura del satelite en el instante inicial. Enparticular, puede observarse que

v2o

= v2s

� 2 vs

! cos �s

cos�l

senAs

+ !2r2o

cos2 �l

. (18.12)

Analizando detalladamente la expresion anterior se concluye que la contribucionde la rotacion de la Tierra a la velocidad del satelite es maxima, con el consiguienteahorro de energıa, cuando A

s

= 270�, esto es, cuando el cohete es lanzado endireccion este, o bien cuando �

l

= 0�, esto es cuando se lanza desde el ecuador.Este ahorro puede suponer hasta un 6% de la velocidad requerida.

El ahorro en funcion del acimut del lanzamiento se debe combinar con las res-tricciones de seguridad de cada base y ha propiciado que tanto la base americana


de Cabo Canaveral (Florida) como la francesa de Kourou (en la Guayana Fran-cesa) se encuentren en la orilla atlantica del continente americano desde dondepuede dirigirse el cohete hacia el este con total seguridad. Ademas, ambas basesestan muy proximas al ecuador, �

l

= 25�N en el primer caso y �l

= 5�N en elsegundo.

En lo que sigue, supondremos que hemos dejado el satelite en una posiciondefinida por su distancia al centro de la Tierra, r

o

, su latitud �l

, que se consideraigual a la de la base de lanzamiento y su velocidad inicial dada por v

o

, Ao

, �o

.Estudiaremos ahora los elementos orbitales de este satelite en funcion de los cincoparametros.

Teniendo en cuenta la cantidad de energıa necesaria para alcanzar la velocidadde satelizacion, o una velocidad mayor, se considera que la velocidad conseguidapermitira unicamente orbitas elıpticas, siendo necesaria una transferencia entreorbitas para conseguir posteriormente una orbita parabolica o hiperbolica. Portanto, en este apartado consideraremos unicamente orbitas elıpticas y aplicaremoslas formulas del movimiento orbital particularizadas al caso elıptico.

Como sabemos, en el movimiento elıptico la velocidad se puede poner como

v2o

= µ

✓

2

ro

� 1

a

◆

,

de donde obtenemosa =

ro

µ

2µ� r0

v2o

, (18.13)

que nos da el semieje de la orbita.

Por otro lado

G = |xo

⇥X

o

| = ro

vo

|sen(90� � �o

)| = ro

vo

cos �o

,

pues �o

es el angulo entre x

o

, direccion del cenit, y X

o

. A partir de ahı

p =G2

µ=

r2o

v2o

cos2 �o

aµ,

y por ultimo, teniendo en cuenta la relacion p = a(1� e2), podemos poner

e2 = 1� r2o

v2o

cos2 �o

aµ, (18.14)

que nos da la excentricidad de la nueva orbita.

A partir de la expresion de la excentricidad podemos extraer alguna conclusionsobre los parametros del lanzamiento. En primer lugar, suponiendo la velocidadvo

igual a la de satelizacion, el factor r2o

v2o

/aµ es igual a la unidad, por lo que paraponer el satelite en orbita baja hay que conseguir al final de la fase de lanzamientoun valor de �

o

proximo a cero para conseguir una orbita poco excentrica. Una granexcentricidad en este tipo de orbita puede provocar la colision del satelite con laTierra, pues la distancia en el periastro, r

p

= a(1� e), puede hacerse menor queel radio de la Tierra.


X

o

�s

Figura 18.4: Otro tipo de lanzamiento.

Una orbita alta puede conse-guirse, bien a partir de una orbitabaja y una transferencia orbitalcomo las que seran analizadas alfinal de este capıtulo, o bien porun tipo diferente de lanzamientoen el que en lugar un angulo �

o

pequeno y una velocidad de sate-lizacion, se obtiene un �

o

de unos45� y una velocidad mucho me-nor (figura 18.4). De esta formase consigue una orbita balısticaque deberıa volver a chocar conla Tierra. Sin embargo, en la par-te mas alejada de la superficie te-rrestre se encienden los motores

de la segunda fase del cohete para obtener una velocidad que ponga el satelite enuna orbita de mayor altitud.

Para continuar con la obtencion de los elementos orbitales recordemos la ex-presion de r en funcion de la anomalıa excentrica y la ecuacion de Kepler

r = a(1� e cosE),

n t = E � e senE.

De la primera obtenemos la relacion

cosE =a� r

ae.

Por otro lado, derivando ambas y sustituyendo el valor de dE/d t, se llega a

senE =rr

epµa

=x ·Xepµa

,

por lo que podremos finalmente poner

E = atan(a� r

ae,x ·Xepµa

). (18.15)

Esta relacion, aplicada al instante S donde comienza la orbita del satelite, nosdara

E = atan(a� r

ae,ro

vo

sen �o

epµa

), (18.16)

donde observamos que un valor de �o

proximo a 0� nos asegura que S esta proximoal periastro.


A partir de este valor de Eo

podemos obtener la epoca de paso por el periastrocomo

T = to

�

s

a3

µ(E

o

� e senEo

), (18.17)

S

S0

Ao

�l

i

! + fo

SMST � ⌦N

P

�

Figura 18.5: Posicion de S en la esfera celeste.

Para obtener los elementosangulares de la orbita, observe-se la figura 18.5 donde SMSTrepresenta el instante de tiemposidereo local del satelite en el mo-mento en que es dejado en orbi-ta. Este tiempo puede conocer-se facilmente a partir del tiem-po sidereo local de la estacionde lanzamiento y la diferencia delongitudes entre L y S.

La primera consecuencia quepuede observarse es que un aci-mut A

o

menor que 180� nos dauna orbita retrograda, mientrasque un acimut mayor que 180�

nos da una orbita directa. Estu-diaremos unicamente estas ulti-mas, para las cuales, aplicando las formulas de Bessel al triangulo esferico NSS0,se llega a las expresiones

cos i = � senAo

cos�l

,� cosA

o

= tan�l

cot(! + fo

),sen�

l

= cotAo

tan(SMST � ⌦).(18.18)

La primera de las relaciones nos indica que la inclinacion de la orbita dependedel acimut del lanzamiento y de la latitud de la base. Observando esta relacion sellega a la conclusion de que unicamente podemos conseguir orbitas ecuatorialessi lanzamos el cohete desde el ecuador en direccion este, mientras que una orbitapolar se consigue bien lanzando exactamente desde el polo norte o sur, o bienlanzando hacia el norte o el sur desde cualquier lugar de la Tierra.

Este hecho limita la industria espacial de muchos paıses que no disponen de ba-ses cerca del ecuador, por lo que no pueden poner directamente en orbita satelitesgeoestacionarios de comunicaciones.

La tercera relacion nos da el valor de SMST � ⌦ en funcion de �l

y Ao

.Esta relacion nos indica la hora del lanzamiento para conseguir un valor dado delangulo del nodo. Esto define una primera condicion para la llamada ventana delanzamiento, que es el perıodo de tiempo en que un satelite puede ser lanzadoal espacio para conseguir una orbita determinada. Otras condiciones son de tipo

Correccion de orbitas 301

tecnico como la iluminacion del Sol, el campo de vision de sensores estelares,visibilidad desde ciertas estaciones, etc.

Hasta aquı se han tratado dos tipos de lanzamientos, los que ponen el sateliteen una orbita LEO y los que permiten ponerlo en orbitas mas altas por mediode una orbita balıstica y un impulso en el apogeo. Existe una tercera forma, muyusada para lanzar satelites a orbitas geoestacionarias basada en otra etapa masen el cohete portador. Una vez puesta la carga util y la ultima etapa en una orbitaLEO, se utilizan los motores de la ultima etapa para poner el conjunto en unaorbita GTO que tiene su apogeo en un punto del anillo geoestacionario. El sateli-te se deja finalmente en esta orbita y deben ser los motores del satelite los querealicen una maniobra en el apogeo de la orbita GTO para dejarlo en orbita geo-estacionaria. Puesto que el lanzamiento no se puede realizar exactamente desde elecuador la orbita inicial esta ligeramente inclinada. Esta inclinacion, dependientede la latitud del lugar de lanzamiento, se hereda en las orbitas GTO y solo secorrige cuando se realiza la maniobra de paso a orbita geoestacionaria pues, comose vera mas tarde, en ese punto es mucho mas economica.

18.5 Correccion de orbitas

Una vez puesto en orbita un satelite artificial debemos buscar la manera demodificar su orbita, bien porque esta no es la orbita nominal del satelite, que nosiempre puede conseguirse directamente en el lanzamiento, o bien porque las per-turbaciones van degradando poco a poco la orbita nominal que debe ser corregidapara que el satelite pueda seguir desempenando la funcion para la que ha sidodisenado.

Supongamos que un satelite artificial se encuentra en una orbita inicial, Oi

, deelementos orbitales (a

i

, ei

, ii

,⌦i

,!i

, Ti

). En el instante t su posicion y velocidadvendran dados pos x

i

,Xi

. Si en dicho instante comunicamos un impulso que varıala velocidad a X

f

= X

i

+ �v, la orbita final Of

vendra dada por los elemen-tos orbitales (a

f

, ef

, if

,⌦f

,!f

, Tf

) obtenidos a partir de la posicion y velocidadiniciales x

f

= x

i

,Xf

. El metodo de Laplace permitira obtener dichos elementosorbitales.

El paso del satelite desde la orbita inicial Oi

a una orbita final Of

se puederealizar de dos formas distintas segun que estas tengan o no un punto comun.Llamaremos correccion de la orbita a la realizacion de una maniobra orbital sim-ple, efectuada en un punto de interseccion de las dos orbitas, y que modifica loselementos de una orbita inicial y los transforma en los de la orbita final. Si las dosorbitas no tienen un punto en comun el paso de una orbita a otra sera llamadotransferencia orbital y debera ser realizado con un mınimo de dos maniobras.

El problema de las correcciones orbitales o maniobras orbitales simples tieneuna gran influencia en la duracion final de la mision espacial. En efecto, cadamaniobra exige un �v

i

para el cual se gasta una cierta cantidad de combustible.


En el momento en que no hay mas combustible la vida activa del satelite acaba,pues ya no podremos corregir la orbita y esta se degradara por el efecto de las per-turbaciones. Ası, la cantidad total de combustible determina el �v caracterıstico,que es la suma de todos los �v

i

de las sucesivas maniobras. La estrategia de lascorrecciones orbitales debe ser disenada de manera que se minimice la suma delos �v

i

para conseguir alargar al maximo la vida del satelite. No existe una estra-tegia optima y, en muchas ocasiones, esta depende de diversos factores y no soloel gasto de combustible. Sin embargo, el estudio de las caracterısticas dinamicasde los distintos tipos de correcciones, junto con las de las transferencias orbitales,nos ayudara en la eleccion de la estrategia final de las maniobras.

Nuestro problema sera obtener el impulso necesario �v para pasar de Oi

a Of

,y que debe ser aplicado en el punto comun de ambas orbitas. Por su simplicidade importancia analizaremos por separado tres formas posibles de correccionesorbitales: una correccion general, la correccion del plano de la orbita y la de laforma de la orbita manteniendo el plano.

18.5.1 Correccion general de la orbita

Para realizar una correccion de la orbita en una unica maniobra basta con queexista un punto de interseccion entre la orbita inicial y la final para lo que debeaplicarse el procedimiento desarrollado en el apartado 9.6.

Una vez comprobado que existe tal punto, en los apartados 9.6.2 y 9.6.3 sepresenta un procedimiento para calcular las anomalıas verdaderas f

i

, ff

5 del pun-to de interseccion en ambas orbitas, lo que nos indica donde debe efectuarse lamaniobra.

Con los valores de fi

, ff

basta aplicar las expresiones de calculo de efemerides(9.30) para obtener los vectores velocidad X

i

,Xf

con los que calcular el impulso�v = X

f

�X

i

.

En general no suelen aplicarse maniobras generales sino que estas se dividen envarias maniobras consecutivas que cambian solo parte de los elementos orbitales,bien los que definen el plano orbital o los que determinan la forma y dimensionesde la orbita.

18.5.2 Cambio del plano orbital

Si queremos cambiar el plano orbital sin modificar la forma de la orbita de-beremos efectuar una maniobra que no modifique la energıa, que es inversamenteproporcional al semieje a, ni el modulo del momento angular, que define el semila-do recto p de la orbita, y junto con el valor de a, su excentricidad e. El valor de laenergıa podıa ponerse como 2h = v2�µ/r, por lo que para mantenerla constante,debe mantenerse constante el modulo de la velocidad.

5Allı llamadas f1, f2.


Si la velocidad inicial esX

i

= Ru+ Tv,

expresada en el sistema orbital, ensayaremos una maniobra que produzca unavelocidad final

X

f

= Ru+ T cosAv + T senAn,

esto es, una velocidad que tiene su componente tangencial girada un angulo Arespecto a u. Se comprueba facilmente que v2

i

= R2 + T 2 = v2f

, por lo que laenergıa, y con ella el semieje se mantienen constantes. A esta maniobra se lellama giro a velocidad constante.

Si llamamos G

i

al momento angular de la orbita inicial y G

f

al de la orbitafinal, se tendra

G

f

= x

f

⇥X

f

= ru⇥ (Ru+ T cosAv + T senAn)

= rT cosAn� rT senAv.

Por otro lado, Gi

= rT n, por lo que G2

i

= G2

f

, esto es, el modulo del momentoangular no varıa, y por tanto p y e no varıan.

El vector de Laplace A indica la nueva direccion espacial de la lınea de losapsides, sin embargo, puede comprobarse que ni !

i

ni Ti

varıan.

El incremento de la velocidad para pasar de X

i

a X

f

sera

�v = X

f

�X

i

= T (1� cosA)v � T senAn,

cuya norma �v vendra dada por

(�v)2 = T 2(1� cosA)2 + T 2 sen2 A = 2T 2(1� cosA) = 4T 2 sen2A

2,

o lo que es igual

�v = 2T senA

2, (18.19)

donde T es la componente transversal de la velocidad en la orbita inicial, esto es

T = rf =r2f

r=

Gi

r=

pµ p

i

r.

La expresion (18.19) tiene unas interesantes consecuencias dinamicas, pues nosindica que el coste de un cambio orbital es proporcional a la velocidad tangenciallo que lo hace en general muy costoso. En efecto, pensemos en una orbita circular,que por otro lado es una de las mas habituales, en ella la velocidad radial es R = 0y toda la velocidad es transversal, T =

p

µ/r. Como veremos mas adelante, el pasode una orbita ecuatorial a una polar exige un angulo A = 90�, luego se tendra que�v =

p

2µ/r, esto es, mayor que la velocidad de la orbita. Si r coincide con el


radio de la Tierra esta se transforma en la velocidad de escape, es decir es muchomas caro transformar una orbita baja circular y ecuatorial en una orbita polar queponer en orbita el satelite. Afortunadamente el proceso de lanzamiento permiteobtener directamente la inclinacion nominal eligiendo adecuadamente el acimutdel lanzamiento. Una variacion pequena del plano orbital, hace que senA/2 seamuy pequeno lo que reduce el coste de la maniobra. A pesar de esto, este tipo demaniobras debe llevarse a cabo lo mas alejados de la Tierra que sea posible puescuanto mayor sea el valor de r menor sera el coste.

Para encontrar el valor del angulo girado en funcion de la inclinacion y elangulo del nodo de ambas orbitas, basta tener en cuenta que dicho angulo coincidecon el angulo entre los dos planos de la orbita definidos por los vectores n

i

,nf

yhaciendo uso de la tercera de las ecuaciones (9.11) se tendra

cosA = n

i

· nf

= cos ii

cos if

+ sen ii

sen if

cos(⌦f

� ⌦i

). (18.20)

Si no se modifica el angulo del nodo podemos simplificar la expresion anterior yponer A = i

f

� ii

.

Para calcular el punto donde debe realizarse la maniobra basta calcular laanomalıa verdadera del punto de interseccion en ambas orbitas. Para ello, debeaplicarse el proceso seguido en el apartado 9.6.2, que aparte de indicarnos si estamaniobra es posible si hay algun punto de interseccion, nos da una expresion delas anomalıas f

i

, ff

de dicho punto en sendas orbitas.

A

A

I

�

T

Nf

Ni

ii

if

⌦i

⌦f

Figura 18.6: Cambio del plano orbital.

Aunque con lo visto hastaaquı se tiene toda la informacionnecesaria para realizar este tipode maniobra, puede resultar in-teresante averiguar cual es la la-titud geografica del punto dondedebe efectuarse. Para ello, si di-bujamos la trayectoria en la esfe-ra celeste, la direccion de la mis-ma vendra dada por la compo-nente de la velocidad en el planotangente a la trayectoria en esepunto, por tanto, el angulo en-tre los dos planos sera igual a Aen el punto donde se realiza lamaniobra. La posicion relativa delas dos orbitas en la esfera celes-te puede verse en la figura 18.6.Sea � la latitud del punto I don-de se realiza la inyeccion de combustible o maniobra, aplicando la formula delos senos de Bessel a los triangulos esfericos N

f

TI y Ni

Nf

I, y combinandolas


adecuadamente, se obtendra

sen� =sen(⌦

f

� ⌦i

) sen ii

sen if

senA, (18.21)

esto es, la latitud del lugar donde debe efectuarse la maniobra.

De esta expresion se deduce que para un cambio de inclinacion, sin cambiar elnodo, la maniobra debe realizarse al cruzar la orbita el ecuador � = 0�.

18.5.3 Correccion de la orbita en su plano

El plano de la orbita viene caracterizado por la direccion del vector momentoangular G = x⇥X, por lo que, al no modificar la posicion x, basta que el nuevovector velocidad X

f

este contenido en el plano de la orbita inicial Oi

para queesta no varıe, manteniendose constantes los valores de la inclinacion i

f

= ii

y elangulo del nodo ⌦

f

= ⌦i

.

a

1

a

2

!1

!2

f1 f

2

X

i

X

f

�i�

f

O

Nodo

r

O1

O2

Figura 18.7: Correccion de la orbita en su plano.

Como en la maniobra de cam-bio de plano es preciso demos-trar, en primer lugar, la existen-cia de un punto de interseccion,mediante el proceso descrito enel apartado 9.6.3 donde se en-cuentran los valores f

i

, ff

6, de lasanomalıas verdaderas de la inter-seccion en las dos orbitas, cuyosignificado puede verse en la fi-gura 18.7. Para ello se resuelvela ecuacion

C cos fi

+ S sen fi

= P, (18.22)

siendo

C = pf

ei

� pi

ef

cos(!i

� !f

),S = p

i

ef

sen(!i

� !f

),P = p

i

� pf

.(18.23)

Para encontrar la variacion�v de la velocidad basta recordar que, si las orbitasson elıpticas, se tendra

v2i

= µ

✓

2

r� 1

ai

◆

, v2f

= µ

✓

2

r� 1

af

◆

.

El angulo � entre la direccion radial y la velocidad, definido en (9.22), podıaponerse como � = atan(r/v, rf/v). En el movimiento orbital rf = G/r > 0, luego

6Allı se usaba la notacion f1, f2.


sen � > 0, por tanto, la reduccion del posible rango de valores de � permite poner� = acos(r/v). Por otro lado, la ecuacion (8.11) de la expresion de r en polaresse deduce que

� = acose sen f

p

1 + 2e cos f + e2, (18.24)

lo que nos da los valores de �i

, �f

sin mas que anadir el correspondiente subındicea los elementos orbitales en la expresion anterior.

Basta recordar que

X = v cos � u+ v sen � v = v cos � u+v G

rv,

para obtener, tanto X

i

como X

f

y por tanto �v. Asimismo, el modulo se ob-tendra a partir de la relacion

(�v)2 = v2f

+ v2i

� 2 vi

vf

cos(�f

� �i

). (18.25)

18.5.4 Cambio de la forma de la orbita

Un caso particular del anterior consiste en cambiar la forma y dimensiones dela orbita sin modificar su plano ni su posicion relativa en este. Esto equivale amantener constante el valor de !,⌦, i y variar a y e.

En este caso !1

= !2

por lo que, particularizados los coeficientes (18.23), laecuacion (18.22) podra ponerse como

cos f =p1

� p2

e1

p2

� p1

e2

, (18.26)

siendo f la anomalıa de la interseccion en ambas orbitas, que coincide por sercomun la lınea de los apsides. En el caso de que alguna de las orbitas sea circular,al imponer !

1

= !2

, hemos tomado un origen ficticio de anomalıas verdaderas delas orbitas circulares en el perigeo de la orbita no circular.

Una maniobra muy frecuente consiste en fijar la distancia mınima, o distanciaen el periastro, r

p

del satelite y modificar la maxima ra

. Si tenemos en cuenta quepara una elipse se tiene

p = rp

(1 + e) = ra

(1� e), (18.27)

la ecuacion (18.26) se pondra

cos f =rp

(1 + e1

)� rp

(1 + e2

)

rp

(1 + e2

)e1

� rp

(1 + e1

)e2

= 1,

por lo que dicha maniobra debera realizarse en el periastro con un angulo � = 0,es decir con un impulso en la direccion tangencial, aumentando la velocidad, siqueremos alejar el apoastro y disminuyendola si queremos acercarlo.


X

�v

(a) �v < 0. Menor distancia r

a

X

�v

(b) �v > 0. Mayor distancia r

a

Figura 18.8: Cambio de la distancia en el apocentro.

Observemos que en este caso, extrayendo la raız cuadrada de (18.25), se obtiene�v = v

f

� vi

, que sale positiva al aumentar la velocidad y negativa al disminuir.Obviamente�v es una norma luego debe ser siempre positivo, pero en los impulsostangenciales, donde las velocidades se suman y restan linealmente, el signo indicaque el impulso debe ser efectuado en la direccion del vector velocidad (positivo)o la contraria (negativo).

De la misma forma puede demostrarse que para aumentar o disminuir la dis-tancia en el periastro, manteniendo la del apoastro, debe efectuarse la maniobraen el apoastro, f = 180�, tambien en la direccion tangencial.

Capıtulo 19

Transferencias y encuentrosorbitales

19.1 Transferencias orbitales

El problema de las transferencias orbitales consiste en el paso de una orbitainicial a otra final que no tiene ningun punto en comun con la inicial. Para estatransferencia son necesarios, al menos, dos impulsos �v o maniobras. Para ello,elegiremos un punto cualquiera de la orbita inicial y otro de la orbita final, e iremosconstruyendo una cadena de orbitas de transferencia intermedias de manera quela primera orbita de transferencia pase por el punto elegido de la orbita inicial yun punto de la segunda orbita de transferencia, que cada orbita de transferenciatenga un punto en comun con la anterior y con la siguiente y finalmente que laultima orbita de transferencia pase por el punto elegido de la orbita final. Cuandoel orbitador pase por cada punto en comun efectuaremos una maniobra que locambie de orbita hasta que se encuentre en la orbita final. Ası pues, si hay norbitas de transferencia efectuaremos n+ 1 maniobras.

Puesto que podemos elegir cualquier punto en las orbitas inicial y final y unnumero indeterminado de orbitas intermedias nos encontramos un numero infi-nito de posibilidades de realizar una transferencia, por lo que debemos tener unbuen criterio de busqueda y eleccion para resolver este problema. El problemade construir la transferencia optima consiste en elegir, de entre todas las posiblescombinaciones de maniobras que pasen de una orbita inicial a una final, aquellaque menor coste tenga, teniendo en cuenta que el coste es funcion de la veloci-dad caracterıstica de la transferencia. En muchas ocasiones hay que considerar

310 Transferencias y encuentros orbitales

tambien otro parametro en este estudio: el tiempo de la transferencia, o tiempotranscurrido entre la primera y la ultima maniobra. Puede darse el caso de quetengamos una posible transferencia, algo mas barata que otra, pero que tenga untiempo de transferencia considerablemente mayor, lo que puede hacer inviable lamisma.

Aunque la transferencia entre dos orbitas puede conseguirse siempre mediantedos impulsos, no se puede decir que la velocidad caracterıstica, o suma de losmodulos de los impulsos, sea optima cuando su numero es dos, de hecho, veremoscasos en los que se consigue una minimizacion de esta velocidad aumentando elnumero de maniobras.

Antes de comenzar el estudio de algunas transferencias orbitales, tendremosen cuenta que un impulso tangencial es el que proporciona la mayor variacion dela energıa de la orbita original ya que la energıa de la orbita depende del cuadradode la velocidad, y por otro lado

v2f

= v2i

+�2v + 2vi

�v,

nos da una mayor velocidad final cuando �v es tangencial. De acuerdo con esto,la mejor forma de aprovechar el impulso suministrado por un cohete es aplicarloen la direccion del movimiento.

La busqueda de una transferencia optima es un problema muy complicado querequiere de sofisticadas tecnicas matematicas y que en este momento no esta com-pletamente resuelto. Con objeto de ilustrar el problema consideraremos mode-los simplificados de transferencias donde los impulsos sean tangenciales y estenefectuados en dos puntos caracterısticos de la orbita: el apogeo o el perigeo. Enparticular estudiaremos el proceso de transferencia entre dos orbitas circularescoplanarias de radios respectivos r

i

, rf

.

19.1.1 Transferencias de Hohmann y bielıptica

En el ano 1925 Hohmann conjeturo que la trasferencia de mınimo coste entredos orbitas circulares es la compuesta de dos impulsos tangenciales realizados enel perigeo y apogeo (o viceversa) de una elipse tangente en estos puntos a las dosorbitas. Este tipo de orbita es la usada por las orbitas GTO que conectan dosorbitas circulares coplanarias, las orbitas LEO y las geoestacionarias y una de lasposibles opciones para viajes a planetas.

Las figuras 19.1(a) y 19.1(b) muestran las dos posibles situaciones que sepueden presentar segun que queramos aumentar o disminuir el radio de la orbita.Supondremos que r

1

es el radio de la inicial y r2

es el radio de la orbita final.

En el punto M1

se realiza la primera maniobra consistente en un impulsotangencial �v

1

en el sentido de la velocidad (si queremos aumentar el radio r1

)o en sentido contrario (si queremos disminuirlo). Tras esta maniobra, la orbitase convierte en una elipse, orbita de Hohmann, en la que M

1

es el perigeo (o

Transferencias orbitales 311

M1

�v1

M2

�v2

r2

r1

(a) Aumento del radio orbital.

M1

�v1

M2

�v2

r1

r2

(b) Disminucion del radio orbital.

Figura 19.1: Transferencia de Hohmann.

apogeo), pues al mantener la direccion de la velocidad esta debe ser perpendiculara la direccion radial, pues ası ocurre siempre en orbitas circulares, sin embargo,en orbitas elıpticas este hecho obliga a que el punto sea el perigeo o apogeo.Tras recorrer la mitad de la orbita elıptica la segunda maniobra se realizara en elapogeo (perigeo) de la misma M

2

, efectuando un impulso tangencial de modulo�v

2

adecuado para que la nueva orbita sea circular y tenga exactamente el radior2

deseado.

Las condiciones impuestas en el apartado anterior obligan a que la orbitaintermedia tenga un valor de la distancia en el perigeo igual al menor de losradios, mientras que la distancia en el apogeo debe coincidir con el mayor. Porello, suponiendo r

1

< r2

se tendra

r1

= a(1� e), r2

= a(1 + e),

de donde obtendremos los elementos orbitales de la orbita de transferencia:

a =r1

+ r2

2, e =

r2

� r1

r1

+ r2

. (19.1)

En el caso de que r1

> r2

tendremos

e =r1

� r2

r1

+ r2

,

por lo que finalmente podremos poner, para cualquier caso

e =|r

1

� r2

|r1

+ r2

. (19.2)


El tiempo total de duracion de la transferencia sera igual a la mitad del periodode la orbita elıptica de transferencia, esto es,

Ttr

=P

2= ⇡

s

a3

µ= ⇡

s

(r1

+ r2

)3

8µ, (19.3)

y llamando P1

= 2⇡p

r31

/µ al periodo de la orbita circular de radio r1

se tendra

Ttr

= P1

r

(1 + k)3

32, (19.4)

donde hemos llamado k = r2

/r1

a la razon de los radios de las orbitas.

Para calcular el coste de la transferencia hemos de calcular los valores dela velocidad antes y despues de cada maniobra. La primera pasa de una orbitacircular de radio r

1

a otra elıptica de semieje (r1

+ r2

)/2 y una distancia r1

delfoco. Ası pues

�v1

=

s

2µr2

r1

(r1

+ r2

)�r

µ

r1

. (19.5)

La segunda pasa un punto de la misma elipse a una distancia r2

del foco a unaorbita circular de radio r

2

, luego

�v2

=

r

µ

r2

�s

2µr1

r2

(r1

+ r2

).

Los valores �v1

,�v2

, ası obtenidos, pueden ser positivos o negativos, indicandoen este ultimo caso un frenado o disminucion de la velocidad. Calcularemos lavelocidad caracterıstica sumando los modulos de estas cantidades. Con objeto dequitar las dimensiones de esta cantidad dividiremos por v

1

=p

µ/r1

lo que nosdara

�v

v1

=

�

�

�

�

�v1

v1

�

�

�

�

+

�

�

�

�

�v2

v1

�

�

�

�

,

que tras sencillas operaciones podra ponerse como

�v

v1

=

�

�

�

�

�

s

2k

(1 + k)� 1

�

�

�

�

�

+

�

�

�

�

�

r

1

k�s

2

(1 + k)k

�

�

�

�

�

. (19.6)

La figura 19.2 nos muestra el coste �v/v1

de la transferencia en funcion de k,esto es, de la relacion de los radios de las dos circunferencias.

Observamos dos comportamientos distintos segun k sea menor o mayor que launidad, esto es, segun aumentemos o disminuyamos el radio de la orbita. Cuandodisminuimos la orbita por debajo de la mitad del radio inicial el coste se elevamuchısimo, tendiendo a infinito al tender k a 0. El aumento de k por encima de launidad supone un aumento del coste hasta un valor maximo 0.5363 que se alcanzaen k = 15.58. A partir de ahı el coste va disminuyendo, tendiendo asintoticamenteap2� 1 ⇡ 0.41.

Transferencias orbitales 313

�v

v1

1001010.10.01

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Figura 19.2: Coste de la transferencia de Hoh-mann en funcion de la relacion de radios (escalalogarıtmica).

Esta grafica permite estable-cer curiosas conclusiones comoque unicamente para valores de0.49 < k < 3.3 es menos costosaesta trasferencia que un escape,etc.

La busqueda de otro tipode transferencias entre dos orbi-tas circulares llevo a estudiar latransferencia bielıptica que co-necta las dos circulares con tresimpulsos (figura 19.3(a)). El pri-mero lleva a una orbita elıpticacuyo apogeo esta a una distancia

rb

mayor que el radio de la segunda orbita. Desde este punto Mb

una nueva ma-niobra nos lleva a otra elipse cuyo perigeo esta exactamente a una distancia r

2

.Desde ahı la tercera maniobra pone el satelite en la orbita final.

M1

M2

�v1

�v2

rb

Mb

�vb

(a) Transferencia bielıptica.

k

B �H

1006020

0.04

0.06

0.08

(b) Diferencia entre el coste de la transferen-cia bielıptica y la de Hohmann para k > 1.

Figura 19.3

Analizaremos en la misma forma que antes la velocidad caracterıstica en fun-cion de k y de otro parametro k

b

= rb

/r. La figura 19.3(b) muestra la diferenciaentre la velocidad caracterıstica en la transferencia bielıptica para k

b

= 2k, y lavelocidad caracterıstica en la transferencia de Hohmann para valores de k ma-yores que la unidad. Puede comprobarse que la transferencia bielıptica es maseconomica que la de Hohmann cuando k > 13.87. Sin embargo, la diferencia essiempre pequena, lo que combinado con el hecho de que el tiempo de transferenciaes mucho mayor, pues deben recorrerse dos medias elipses, ambas mayores que lade Hohmann, hace que esta mejora del coste no sea util en la practica.


19.1.2 Transferencia optima en dos maniobras

La comparacion entre la transferencia de Hohmann y la bielıptica nos ha mos-trado las peculiaridades del calculo de transferencias que nunca nos aseguran me-jores resultado con el mınimo numero de maniobras. Sin embargo, si que podremosobtener la transferencia optima cuando fijamos en dos el numero de maniobras yfijamos tambien el punto donde se realizan.

Supondremos una orbita inicial Oi

y otra final Of

que no tienen ningun puntoen comun. Buscaremos una orbita de transferencia que conecte un punto cual-quiera de la orbita inicial P

1

2 Oi

, con un punto cualquiera de la orbita finalP2

2 Of

, de manera que la velocidad caracterıstica sea mınima. El recorrido en-tre P

1

y P2

se realizara por una de las infinitas orbitas de transferencia Ot

(x1

,x2

),que conecta P

1

con P2

.

La primera maniobra, realizada en el punto P1

, de vector de posicion x

1

,pasara de una velocidad, X

1

, antes de la maniobra, a X

i

, despues de la maniobra.Si llamamos {u

1

,v1

,n} al sistema orbital de la orbita O1

en P1

podremos poner,por un lado X

1

= R1

u

1

+ T1

v

1

, y por otro X

i

= Ri

u

1

+ Ti

v

1

+ Ni

n. De estaforma el �v de esta maniobra vendra dado por

�v1

(R1

, T1

) =q

(Ri

�R1

)2 + (Ti

� T1

)2 +N2

i

. (19.7)

La segunda maniobra se realizara en el punto P2

, de vector de posicion x

2

,donde la velocidad del satelite pasara del valor X

f

= Rf

u

2

+ Tf

v

2

+Nf

n, antesde la maniobra, al valor X

2

= R2

u

2

+T2

v

2

, despues, y donde hemos consideradoque {u

2

,v2

,n} es el sistema orbital de la orbita O2

en P2

. El �v de la segundamaniobra vendra dado por

�v2

(R2

, T2

) =q

(Rf

�R2

)2 + (Tf

� T2

)2 +N2

f

. (19.8)

Para efectuar la transferencia de mınimo coste del satelite desde la orbitainicial O

i

a la orbita final Of

debemos elegir dos puntos P1

, P2

y una orbita detransferencia O

t

(x1

,x2

) que haga mınimo el valor del �v = �v1

+�v2

total.

Para hacer esto, partiremos de dos puntos P1

, P2

elegidos y aplicaremos elmetodo de los multiplicadores de Lagrange para minimizar la funcion

�v(R1

, T1

, R2

, T2

) =q

(Ri

�R1

)2 + (Ti

� T1

)2 +N2

i

+ (19.9)q

(Rf

�R2

)2 + (Tf

� T2

)2 +N2

f

, (19.10)

sujeta a las relaciones (11.14, 11.16, 11.18) entre los parametros (R1

, T1

, R2

, T2

).Cuando w = 0 deberemos sustituir la restriccion (11.18) por la (11.19).

Si hacemos un barrido de puntos P1

, P2

de cada una de las dos orbitas ycalculamos la velocidad caracterıstica mınima en cada caso podemos compararestas velocidades mınimas y decidir entre que puntos haremos la transferencia.

Encuentros orbitales 315

w

�vm

0� 180� 360�

Figura 19.4: Transferencias entre dos orbitas circulares coplanarias.

Para comprobar la validez del metodo, reproduciremos un resultado clasicode dinamica orbital: la orbita de transferencia de Hohmann. Supondremos dosorbitas circulares coplanarias de radios r

1

y r2

. Al ser coplanarias, el trianguloOP

1

P2

formado con dos puntos cualesquiera P1

y P2

de las dos orbitas circularesesta en el mismo plano que las dos orbitas por lo que la orbita de transferenciaestara tambien en el mismo plano. Ademas, por ser orbitas circulares el resultadoobtenido sera identico para cualquier eleccion del punto inicial P

1

, dependiendounicamente del angulo de transferencia w en lugar de depender de cada una delas anomalıas de los puntos de salida y llegada.

La figura 19.4 representa, a la izquierda, las orbitas de transferencia de ve-locidad caracterıstica mınima para los distintos valores de w, mientras que a laderecha se representa el valor de �v

m

(w). Como puede observarse el mınimo seobtiene para un valor de w = 180�, lo que concuerda con el resultado conocido,enunciado por Hohmann, de que la orbita de transferencia de mınimo coste entredos orbitas circulares coplanarias conecta los dos puntos alineados con el centrode atraccion, por medio de una orbita que tiene su periastro y apoastro en estosdos puntos.

19.2 Encuentros orbitales

En el apartado anterior se ha analizado la realizacion de transferencias orbi-tales que permiten que una nave pase de una orbita inicial a otra final sin ningunpunto en comun con la primera, sin embargo, no se ha tenido en cuenta en ningunmomento en que instante entra la nave en la segunda orbita. Este valor es funda-mental cuando no se trata de un simple cambio de orbita, sino que se pretendeque la nave alcance otro cuerpo que ocupaba esa segunda orbita.


Una maniobra del tipo enunciado en el parrafo anterior se llama encuentroespacial1 y tiene muchas utilidades en Astrodinamica, bien para reunir dos naves,por ejemplo un transbordador espacial y la ISS, o bien para llegar con una navehasta la Luna o un planeta.

Para resolver este problema comenzaremos llamando objetivo, y representando-lo por O a la nave o cuerpo que queremos alcanzar e interceptor a la nave quemodifica su orbita en busca del objetivo. Tendremos dos posibles estrategias deaproximacion: situar el interceptor en la orbita del objetivo en un punto distintoal que ocupa este y realizar una maniobra de espera del objetivo o bien hacerentrar al interceptor en la orbita del objetivo en el mismo punto que ocupa elobjetivo en el instante de entrada.

19.2.1 Maniobra de espera

En el primer caso supondremos que ya se ha situado el interceptor en unaorbita identica a la del objetivo, salvo un valor distinto de la epoca del paso por elperiastro, que hace que interceptor y objetivo esten permanentemente separadosen esta orbita.

O

I

�v

fo

Figura 19.5: Orbita de espera del interceptor Ipara alcanzar el objetivo O. Caso en que se acortael periodo del interceptor.

Existen varias estrategias pa-ra hacer coincidir ambos cuerpos,aunque describiremos aquı unade las mas sencillas que consis-te en esperar a que el interceptorpase por el periastro y aplicar enese punto un �v tangencial, biennegativo o positivo, que lo situeen una orbita de periodo menoro mayor que la orbita del objeti-vo y esperar a que objetivo e in-terceptor pasen simultaneamentepor el punto comun de ambas.

Sea fo

la anomalıa verdade-ra del objetivo en el instante T

I

de paso por el periastro del inter-ceptor (ver figura 19.5). Una vezobtenido f

o

podremos calcular el tiempo relativo de O en ese punto �t = to

�TO,

es decir el tiempo que ha tardado O en pasar del periastro al punto de anomalıafo

. A partir de ese instante el tiempo que tardara en pasar por el periastro denuevo sera n

OP

O��t, siendo n

Oel numero de pasos.

Si el interceptor realiza una maniobra tangencial en el periastro, llegara a unperiodo orbital P

Ide forma que los pasos sucesivos por el punto donde se ha

1En ingles space rendezvous.


realizado la maniobra se efectuaran en los instantes nIP

I, siendo n

Iel numero de

vueltas.

Si han pasado nO

vueltas del objetivo y nIdel interceptor antes de pasar

simultaneamente por el punto comun de las dos orbitas, el tiempo transcurridosera el mismo, por lo que se cumplira la relacion n

OP

O��t = n

IP

I, de la cual

podemos deducir

PI=

nOP

O��t

nI

. (19.11)

El objetivo es encontrar un valor PI, compatible con el problema, a partir de

dos numero enteros positivos cualesquiera nO, n

I. Para comprobar la idoneidad

de PIhabra que deducir, a partir de el, el semieje mayor de la nueva orbita, y

puesto la distancia en el periastro rp

se mantiene, calcular a partir de a y rp

elvalor de la excentricidad e.

Aunque nO, n

Ipueden ser elegidos arbitrariamente, con la condicion de que los

valores calculados de a, e sean correctos, es conveniente comprender el significadode ambos valores para una eleccion adecuada. El parametro clave es n

I. Cuanto

mayor sea nImenor sera el �v, por lo que el coste sera menor, sin embargo el

tiempo de espera para el encuentro sera mayor.

Hemos planteado esta maniobra en el periastro, pero se puede plantear de for-ma similar desde el apoastro. En este caso hay que anadir una condicion adicional,pues si la maniobra exige acortar el periodo esto implicara acortar la distancia r

p

en el periastro, que debe ser siempre mayor que el radio del planeta situado en elfoco de las dos orbitas.

En el caso mas simple de que la orbita objetivo sea circular no existe periastroni apoastro, por lo que la maniobra se puede realizar desde cualquier punto porigual. Hay que tener en cuenta que en este caso si se acorta el periodo debecomprobarse el nuevo valor de r

p

pues en este caso el punto de la maniobra actuade apoastro de la nueva orbita.

19.2.2 Encuentro directo en transferencias generales

El encuentro directo consiste en encontrar la orbita de transferencia entredos orbitas dadas anadiendo la condicion de que la posicion del orbitador y delinterceptor deben coincidir en el instante que la orbita de transferencia se cruzacon la orbita final. Esta condicion introduce mayor complejidad al problema de lastransferencias, pues a la condicion de minimizar el �v anade otra nueva condicionque fija el tiempo de transito en la orbita de transferencia.

Siempre es util contar con una solucion inicial del problema, aunque la quevamos a dar en primer lugar no sera, en general, la optima.


Oi

Ii

Of

If

P

OO

OI

Ot

x

I

x

O

Figura 19.6: Encuentro espacial entre dos orbitascualesquiera.

Llamemos OIa la orbita del

interceptor y OOa la del objeti-

vo. Supondremos que en el ins-tante t

i

el interceptor se encuen-tra en el punto x

I= PI

i

deO

Iy el objetivo se encuentra en

x

O= PO

i

de OO. En ese ins-

tante queremos realizar una ma-niobra que pase el interceptor auna orbita de transferencia O

t

.que tenga un punto de intersec-cion con la orbita objetivo O

O, y

que este se alcance al cabo de untiempo �t de manera que en elinstante t

f

= ti

+�t tanto el in-terceptor como el objetivo coin-cidan en el punto x

O= PO

f

.

Para encontrar la orbita de transferencia basta tener en cuenta que en elinstante t

f

se debe verificar tambien que x

O= PI

f

, es decir, este debe ser elpunto de la orbita de transferencia que se alcanza en t

f

. Ası pues, el problemaconsiste en resolver el problema de Lambert que encuentre la orbita keplerianaque une x

Icon x

Oen un tiempo �t.

Obviamente la eficiencia de esta transferencia estara en funcion de una buenaeleccion de el punto x

Iy de �t.

19.2.3 Encuentros en transferencias de Hohmann

N

P I

Oi

Oe

✓

I

O

Figura 19.7: Sistema sinodico PIO.

El problema de los encuen-tros espaciales desde orbitas dis-tintas se simplifica, al igual que elde las transferencias, cuando lasorbitas O

Iy O

Oson circulares y

coplanarias. En este caso realiza-remos una transferencia de Hoh-mann, puesto que sabemos quees la optima, ahora bien, pues-to que esta transferencia se puedeiniciar desde cualquier punto dela orbita inicial, por ser esta cir-cular, esperaremos a que la posi-cion relativa inicial de I y O seala adecuada para su encuentro.

Para ver cual es ese punto esconveniente cambiar el sistema de referencia y pasar a otro cuyo plano sea el de


la orbita, caracterizado por el vector n comun en la orbita del objetivo y delinterceptor, cuyo eje Ox sea la direccion del interceptor, es decir, la del vectorPI. A este sistema le llamaremos sistema sinodico y es el utilizado para estudiarlos movimientos geocentricos de los planetas.

La posicion del objetivoO, en este sistema, quedara caracterizada por el angulo✓ de la figura 19.7. Observese que en esta figura se han representado los dosposibles casos segun que la orbita del objetivo tenga un radio menor (O

i

), omayor (O

f

) que la del interceptor.

Si xI(t) representa la posicion del interceptor en su orbita en cada instante, y

x

O(t) la del objetivo, el angulo ✓, que puede tomar cualquier valor en [0, 2⇡), se

podra obtener aplicando la relacion (1.25), es decir:

✓(t) = atan [xI(t) · x

O(t), n · (x

I(t)⇥ x

O(t))] . (19.12)

Por otro lado, los angulos I,

Oque representan, respectivamente, la posicion

de I y O respecto de una direccion fija PN , se podran poner como

I= n

I(t� T

I),

O= n

O(t� T

O),

siendo nI, n

O, los movimientos medios de las orbitas O

Iy O

O. Por tanto, el valor

de ✓ = O�

Ise pondra tambien como

✓ = nS(t� T

S), (19.13)

donde nS= n

O�n

Ies la velocidad angular constante del movimiento de O en el

sistema sinodico.

Observemos que, cuando el objetivo, Oi

, tiene un radio menor que el intercep-tor, se tendra n

O> n

I, por lo que n

S> 0, y por tanto el angulo ✓ sera creciente, es

decir, el objetivo se movera respecto al interceptor en sentido directo. Cuando elobjetivo, O

e

, tiene un radio mayor que el interceptor el angulo ✓ sera decreciente,es decir el objetivo se movera en sentido retrogrado respecto al interceptor.

El movimiento de O en el sistema sinodico tiene un periodo S, que llamaremosperiodo sinodico, que representa el periodo en el cual se repiten todas las confi-guraciones posibles de los tres puntos P, I,O. El punto optimo para realizar latranferencia, que vendra caracterizado por un valor del angulo ✓, se repetira ca-da periodo sinodico, por lo que este juega un importante papel en la navegacionespacial.

Para encontrar el periodo sinodico basta tener en cuenta la relacion entremovimiento medio y el periodo, n = 2⇡/P , que anadida a las relaciones entren

S, n

Oy n

I, junto con la condicion de que el periodo tiene que ser positivo, nos

dara la expresion1

S=

�

�

�

�

1

PO

� 1

PI

�

�

�

�

. (19.14)


Por ultimo buscaremos el angulo ✓IO, que forma el objetivo con el interceptor

en el instante adecuado, para que la transferencia de Hohmann haga coincidirambos en el punto final de esta transferencia. Las figuras 19.8(a) y 19.8(b) nosmuestran las dos situaciones posibles segun que el interceptor tenga un radiomenor (figura 19.8(a)) o mayor (figura 19.8(b)) que el objetivo.

P Ii

Oi

If

Of

✓IO

(a) Aumento del radio orbital.

PIi

Oi

If

Of

✓IO

(b) Disminucion del radio orbital.

Figura 19.8: Encuentro desde una transferencia de Hohmann.

En ambos casos el tiempo de transito Ttr

del interceptor desde Ii

a If

vendra da-do por (19.3). Durante ese tiempo el angulo recorrido por el objetivo es igual an

OTtr

, y este angulo es igual a ⇡� ✓IO

si el objetivo tiene un radio mayor, e iguala ⇡ + ✓

IOsi lo tiene menor. Ası pues se tendra:

✓IO

=

8

>

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

>

:

⇡ � nOTtr

= ⇡

1� nO

s

(rI+ r

O)3

8µ

!

, rI< r

O,

nOTtr

� ⇡ = ⇡

nO

s

(rI+ r

O)3

8µ� 1

!

, rI> r

O.

(19.15)

Unicamente cuando el angulo ✓, dado por (19.12), alcance el valor ✓IO

sepodra realizar la maniobra que permita este encuentro. Esta posicion se repe-tira cada periodo sinodico, representando tambien el periodo sinodico el maximotiempo de espera necesario para poder realizar esta transferencia.

Para encontrar el tiempo de espera hasta realizar un encuentro de estas ca-racterısticas basta conocer el valor del angulo ✓ y tener en cuenta la relacion✓ = n

S(t� T

S) de la cual obtendremos el tiempo de espera hasta el comienzo de

Viaje a Marte en una orbita de transferencia de Hohmann 321

la primera maniobra que sera

�t =✓ � ✓

IO

nS

.

Finalmente, sumando a �t el tiempo Ttr

de la transferencia se obtiene el tiempode espera hasta el encuentro espacial.

19.3 Viaje a Marte en una orbita de transferenciade Hohmann

Para ilustrar lo visto hasta aquı efectuaremos el estudio de un viaje a Martetripulado, lo que exige realizar tanto el viaje de ida como el de vuelta. Los resul-tados que obtendremos pueden ser facilmente extrapolados a cualquier otro tipode transferencia de Hohmann entre planetas.

Para comenzar supondremos un modelo simplificado en el que tanto la Tierracomo Marte tienen orbitas circulares y coplanarias. Los radios respectivos dedichas orbitas son 1 y 1.524 U.A. lo que nos da unas velocidades orbitales de29.785 km/s para la Tierra y 24.130 km/s para Marte. Aplicando la relacion(19.5) deducimos que el �v necesario para entrar en una orbita de Hohmannhacia Marte es de 2.945 km/s.

Para que la nave entre en la orbita de transferencia de Hohmann, que es unaorbita que tiene el Sol como cuerpo central, debe salir de la atraccion gravita-cional de la Tierra. En el capıtulo siguiente analizaremos las fases de una misioninterplanetaria que incluyen, para nuestro viaje, una salida de la Tierra en unaorbita hiperbolica y una entrada en Marte. Por el momento baste decir que paraconseguir el �v indicado en el parrafo anterior es necesario aplicar a la nave un�v = 3.656 km/s desde una orbita de aparcamiento en la Tierra.

La duracion de la orbita de transferencia, hasta la llegada de la sonda a lasproximidades de Marte, viene dada por (19.3), lo que nos da un valor para elcaso de Marte de unos 258 dıas o 0.7087 anos. Hemos despreciado, por ser muypequenos en comparacion con el de la transferencia, el tiempo hasta que la navesale de la atraccion gravitacional terrestre y el tiempo de aproximacion a Martedesde que entra en su esfera de influencia gravitacional.

Para una mision tripulada debemos traer de regreso la nave lo que exige otraorbita de Hohmann de la misma duracion entre Marte y la Tierra. Sin embargo,como se ha visto en el capıtulo anterior la entrada en una orbita de Hohmann deberealizarse en un instante preciso de la configuracion Sol-Tierra-Marte para que lanave llegue al final de su viaje en el momento en que llega el planeta. Esto obligaa alargar la mision para esperar en Marte a que la configuracion de los planetassea adecuada para el regreso a la Tierra. Para analizar la duracion exacta de esteviaje observaremos la figura 19.9 donde se han representado las distintas fases delmismo.


T1

T2

T3

T4

M1

M2

M3

M4

Figura 19.9: Viaje de ida y vuelta a Marte enuna transferencia de Hohmann.

La expresion (19.14) nos daun perıodo sinodico del plane-ta Marte de unos 780 dıas (2.14anos), luego la ventana de lanza-miento a una orbita de Hohmannse repite cada poco mas de dosanos.

Las relaciones (19.15) nos danla posicion relativa que deben te-ner la Tierra y Marte para co-menzar las dos orbitas Hohmannde la mision. En efecto ✓

TM=

⇡ � nMTtr

= 44.�34, ✓MT

=n

TTtr

� ⇡ = 75.�14.

Comienza el viaje en el ins-tante t

1

= 0 en el que la Tierraesta en T

1

y Marte en M1

y elangulo entre ambos es ✓

TM. En

ese momento comienza la primera orbita de transferencia que lleva la sonda alpunto M

2

donde esta Marte en t2

= Ttr

. En ese instante la Tierra esta en T2

.

En lo que sigue llamaremos

M = nM(t� T

M), T = n

T(t� T

T), (19.16)

a las posiciones angulares de Marte y la Tierra en un instante t cualquiera. Sitomamos como origen de angulos la direccion de la Tierra en el instante t

1

= 0 sepodra poner

M = nM(t

1

� TM) = ✓

TM, T = n

T(t

1

� TT) = 0,

de donde se deduce que TM

= �✓TM

/nM, T

T= 0. Con estos valores y la expresion

(19.16) encontramos que las posiciones angulares de Marte y la Tierra en t2

= Ttr

son M = 180�, T = 255.�138, que nos da una diferencia angular de 284.�862 queno permite la insercion en una orbita de regreso.

La relacion (19.13) nos da el valor del angulo relativo entre Marte y la Tierra.Si particularizamos esta relacion para el instante t

2

obtenemos TS, valor que pos-

teriormente utilizaremos para ver el tiempo que debe transcurrir hasta el instantet3

en que el angulo toma el valor ✓MT

que permite el comienzo de la segundamaniobra de Hohmann. Este valor nos da un tiempo de espera t

e

que resulta serte

= 1.24403 anos. Por tanto, la tercera parte del viaje comienza en el instantet3

= te

+ Ttr

en el que Marte esta en M3

y la Tierra en T3

.

El viaje termina en el instante t4

= t3

+ Ttr

, esto es, despues del tiempo dela transferencia de Hohmann cuando la sonda llega a la Tierra, que esta en T

4

yMarte se encuentra en M

4

. De esta forma la mision ha durado un tiempo igual ate

+ Ttr

= 2.661 anos.

Capıtulo 20

Navegacion interplanetaria

20.1 Sondas espaciales

En los capıtulos anteriores se ha estudiado el movimiento de los satelites ar-tificiales terrestres, aunque las ideas y conceptos establecidos son facilmente ex-portables a cualquier otro tipo de nave orbitando en torno a un planeta o unsatelite natural como la Luna. Estos vehıculos seguiran siendo llamados satelitesartificiales.

Distinguiremos los satelites artificiales, que siempre permanecen en orbitaelıptica alrededor de un planeta, de las naves que realizan un viaje entre cuerposdistintos del sistema solar. A estos vehıculos les llamaremos sondas espaciales. Lacaracterıstica fundamental de las sondas espaciales es que no permanecen siempredentro del campo gravitacional de un unico cuerpo, sino que durante su viaje vancambiando de foco de atraccion.

Un viaje de la Tierra a la Luna podra ser considerado inicialmente como unviaje en orbita alrededor de la Tierra, con la correspondiente perturbacion orbitalproducida por la Luna. Cuando la sonda se acerque lo suficiente a la Luna elproblema kepleriano cambiara, pues a partir de ese instante el foco principal deatraccion gravitacional pasara a ser la Luna pasando la sonda a orbitar en tornoa la Luna con una perturbacion que le producira la presencia de la Tierra.

Un viaje de la Tierra a Marte resulta mas complejo pues a lo largo de dichoviaje la sonda podra considerarse como atraıda por la Tierra y Marte, cuandoeste suficientemente proxima a dichos planetas, y atraıda por el Sol durante elresto del viaje.

324 Navegacion interplanetaria

Una aproximacion rigurosa a estos recorridos debe obtenerse a partir de unaformulacion del problema de n cuerpos, pues la sonda es atraida gravitacional-mente por todos y cada uno de los astros del sistema solar. Unicamente metodosnumericos que integren dicho problema nos daran una descripcion precisa del mo-vimiento. Sin embargo, en la fase de diseno de la mision, que debe ser establecidacon todo detalle mucho antes del lanzamiento de la nave, podemos aprovechar-nos del hecho que aprendimos al estudiar el modelo de n cuerpos y que estableceque en las proximidades de un planeta la atraccion gravitacional del resto de loscuerpos del sistema solar resulta ser una pequena perturbacion sobre el modelokepleriano formado por el planeta y la sonda.

La primera fase de estudio y diseno de este tipo de misiones consiste en des-preciar esta perturbacion y estudiar la orbita completa como una sucesion desegmentos de orbitas keplerianas que se unen en los puntos en que deja de actuarcomo foco un cuerpo y otro pasa a ser el foco principal. Puesto que las orbitaskeplerianas son conicas, a las orbitas usadas en la navegacion planetaria se lesllama conicas enlazadas. El punto donde la orbita cambia de conica por pasar adepender de otro foco atractor sera estudiado en el apartado siguiente.

Cuando se estudia la orbita de una sonda interplanetaria deben considerarsetambien los cambios de sistema de referencia debidos a las caracterısticas de losdistintos focos de atraccion. Ası, las orbitas de satelites artificiales estan siemprereferidas a un sistema ecuatorial por ser este el que mejor se adapta al movimientode la Tierra. Sin embargo, las orbitas de los cuerpos del sistema solar se dansiempre en el sistema de coordenadas eclıpticas lo que debe tenerse muy presenteen la fase de estudio de la mision. Debe recordarse tambien que el eje de rotacionde cada planeta no es paralelo al de la Tierra, o lo que es igual, el plano de suecuador no coincide con el del ecuador terrestre. Esto hay que tenerlo presentecuando el objetivo final de la nave sea orbitar en torno al planeta o la Luna encuyo caso deben usarse las expresiones de la rotacion al sistema planetografico.

En lo que sigue comenzaremos el estudio de las trayectorias interplanetariasdesde una orbita de aparcamiento en torno a la Tierra, esto es, una orbita circularbaja. Analizaremos, de forma elemental, los pasos que debemos seguir para situardicha sonda en las proximidades de otro cuerpo del sistema solar. Anteriormenteveıamos que las maniobras de cambio de plano eran, en general, enormementecostosas por lo que, de aquı en adelante, supondremos el sistema solar coplanario yla orbita inicial situada con la inclinacion y angulos del nodo adecuados obtenidosdirectamente en la fase de lanzamiento.

Estudiaremos como realizar un viaje interplanetario sin realizar mas maniobrasque la inyeccion inicial realizada desde la orbita de aparcamiento para ponerla sonda en la ruta interplanetaria. Para modificar la conica y poner las navesen orbita en torno a los planetas se usaran los cambios en la velocidad de lanave producidos por la aproximacion de la nave a los distintos planetas que,como veremos, modifican la velocidad, produciendo un efecto equivalente a lasmaniobras orbitales en los satelites artificiales.

Esfera gravitacional de influencia 325

20.2 Esfera gravitacional de influencia

Para comprender las rutas interplanetarias, formadas por conicas enlazadas,sera preciso determinar a partir de que punto podemos considerar que una sondano depende de la atraccion gravitacional de un cuerpo y pasa a depender deotro. Esta region del espacio sera aproximadamente una esfera alrededor del focoatractor.

Existen dos tipos de esferas gravitacionales que no seran consideradas aquı porsu falta de interes practico. Por un lado las esferas de Hill que se corresponden conla zona del problema restringido alrededor de los primarios donde esta confinado elmovimiento de satelite para determinados valores de la integral de Jacobi. Por otrolado se tiene la esfera de gravitacion que esta determinada por el lugar geometricode los puntos donde se iguala la atraccion gravitacional de los primarios.

Para definir con mayor precision la region que represente el punto donde acabala atraccion gravitacional pensemos en los dos problemas. Por un lado un viajeTierra-Luna y por otro un viaje Tierra-Planeta (para cualquier planeta).

Sobre una nave proxima a la Tierra aparece la perturbacion Luni-Solar quepuede crecer, en funcion de la posicion relativa del Sol y la Luna, cuando la navese aleja de la Tierra. Hasta la distancia de la Luna la perturbacion que produceel Sol continua siendo pequena por lo que en este caso el Sol no podra ser tomadocomo foco atractor en ningun momento en el viaje entre la Tierra y la Luna. Sinembargo, cuando la nave se acerque a la Luna la atraccion de esta crecera hastahacerse mayor que la debida a la Tierra. El modelo adecuado en este caso es eldel problema restringido de tres cuerpos con la Tierra y la Luna como primariosy la Tierra como astro principal.

Pensemos ahora en un viaje entre dos planetas. En las proximidades del primerplaneta el Sol ejerce un efecto perturbador de tercer cuerpo que aumenta a medidaque la nave se aleja del planeta, sin embargo, durante ese periodo el efecto delsegundo planeta es despreciable. Durante el periodo intermedio es el Sol el queejerce de astro principal. Para ver cuando uno de los planetas es el foco primariodebemos considerar de nuevo el problema restringido, los dos primarios seran elSol y el planeta, mientras que la nave sera el tercer cuerpo de masa despreciable.

P0

P1

S

x

0

x

1

r↵0

↵1

Figura 20.1: Posicion relativa de la sonda S res-pecto de los planetas P0, P1.

En ambos casos tenemos unsistema con dos primarios P

0

, P1

,de masas m

0

� m1

, y el ter-cer cuerpo S de masa desprecia-ble. Tal como vemos en la figura20.1 llamaremos x

o

= P0

S,x1

=P0

S, r = P0

P1

de forma que lasecuaciones (13.14), (13.15) se es-cribiran como

x

0

= �µ0

x

0

r30

� µ1

✓

x

1

r31

+r

r3

◆

, (20.1)


x

1

= �µ1

x

1

r31

� µ0

✓

x

0

r30

+r

r3

◆

, (20.2)

donde ri

= kxi

k, µi

= Gmi

, i = 0, 1.

Las ecuaciones (20.1), (20.2) se pueden poner como

x

0

= K0

+P0

, (20.3)

x

1

= K1

+P1

, (20.4)

donde Ki

representa la fuerza de atraccion kepleriana de Pi

sobre S y Pi

laperturbacion que produce P

(1�i)

.

Se usara una u otra ecuacion segun el valor relativo de la fuerza de atraccionkepleriana de cada cuerpo y la perturbacion producida por el otro, para elloconsideraremos el cociente kP

(1�i)

k/kK(1�i)

k, i = 0, 1, que sera

kP(1�i)

kkK

(1�i)

k =r2(1�i)

µ(1�i)

µi

"

✓

x

i

r3i

+r

r3

◆

2

#

1/2

=m

i

m(1�i)

r2(1�i)

1

r4i

+1

r4+ 2

x

i

· rr3i

r3

�

1/2

=m

i

m(1�i)

r(1�i)

2

r2i

1 +⇣r

i

r

⌘

4

� 2⇣r

i

r

⌘

2

cos↵i

�

1/2

.

(20.5)

Supondremos que el astro de menos masa P1

es el foco de atraccion del pro-blema cuando la relacion entre la fuerza perturbadora y la atraccion keplerianasea menor que para P

0

, es decir cuando kP1

k/kK1

k < kP0

k/kK0

k, o lo quees igual cuando

� =kP

0

k/kK0

kkP

1

k/kK1

k > 1.

Si consideramos las dos expresiones (20.5) para i = 0, 1, llamamos �i

= ri

/ry observamos que, de acuerdo con las propiedades del triangulo de la figura 20.1,se tiene que r = r

0

cos↵0

+ r1

cos↵1

, podremos poner

� =m2

1

m2

0

�40

�41

s

1 + �41

� 2�21

cos↵1

1 + �40

� 2�0

(1� �1

cos↵1

).

Expresando �0

en terminos de �1

, a partir del teorema del coseno aplicado altriangulo de la figura 20.1, tendremos que �2

0

= 1 + �21

� 2� cos↵1

. Llevando a �la expresion anterior y desarrollando en serie de potencias de �

1

se obtendra

� =m2

1

m2

0

1

�51

1p1 + 3 cos2 ↵

1

+O(�1

)

�

.

Puesto que �1

debe ser muy pequeno cuando la fuerza de atraccion de P1

seadominante, la condicion � > 1 se podra poner como

�51

<m2

1

m2

0

1p1 + 3 cos2 ↵

1

<m2

1

m2

0

.

Salida del campo gravitacional de un planeta 327

La condicion anterior indica el instante a partir del cual podemos considerarque el foco del problema deja de ser el astro principal P

0

y pasa a ser P1

. Puestoque �

1

= r1

/r la condicion anterior representa una esfera de radio

r1

= r

✓

m1

m0

◆

2/5

, (20.6)

que se llamara esfera de influencia.

En el caso del sistema Tierra-Luna, la esfera de influencia de la Luna, queindica cuando las sondas espaciales estan dentro del campo gravitacional de laLuna, tiene unos 66000 km de radio. La esfera de influencia de la Tierra en elsistema Sol-Tierra tiene un radio de 924000 km, lo que incluye a la propia Lunaque se puede considerar dentro del campo gravitacional terrestre. La esfera deinfluencia de Marte en el sistema Sol-Marte tiene un radio de 378000 km.

20.3 Salida del campo gravitacional de un plane-ta

Tanto el proceso de alejamiento de un planeta como el de aproximacion almismo, que sera estudiado en el siguiente apartado, deben ser analizados dentrode la esfera de influencia del planeta que determina la region lımite a partir de lacual supondremos que la gravedad del planeta no afecta a la orbita del mismo entorno al Sol1.

La primera operacion a realizar para navegar de un planeta del sistema solar aotro es la salida del campo gravitacional del primero. Supondremos que la sondase libera de la atraccion de la gravedad del planeta cuando sale fuera de la esferade influencia en una orbita hiperbolica respecto al mismo. De esta forma nosaseguramos que el la sonda no tiene un movimiento periodico que la hace regresaral planeta.

En la aproximacion al modelo real, formada por conicas enlazadas, supondre-mos ademas que el radio de la esfera de influencia del cuerpo atractor puede serconsiderado infinitesimal si se compara con el radio de su orbita e infinitamentegrande comparada con el radio del cuerpo.

Supondremos que la sonda se encuentra inicialmente en una orbita de apar-camiento alrededor del planeta. Esta orbita es una orbita baja y circular situadaen un plano adecuado obtenido en el proceso de lanzamiento. La maniobra paraalejar la nave del planeta consiste en un empuje tangencial en un punto adecuadode la orbita de aparcamiento que lo inserte en una orbita hiperbolica (figura 20.2)que cortara en algun punto la esfera de influencia del planeta.

1Aquı excluimos los viajes a la Luna.


�v

v1

T A

fA

fSOI

x

SOI

rSOI r

a

Figura 20.2: Salida del campo gravitacional deun planeta.

La hipotesis anterior, que su-pone que la esfera de influenciatiene radio infinito respecto delradio del planeta, determina quela velocidad de la nave al cru-zar la esfera de influencia llevala direccion de la asıntota a lahiperbola y su norma coincidecon la velocidad residual. A dichavelocidad, expresada con respec-to a un sistema inercial con cen-tro en el planeta, le llamaremosv1.

Puesto que las velocidadescircular y parabolica, de unaorbita kepleriana a una distanciar del centro de masas del planeta,vienen dadas por

p

µ/r yp

2µ/rrespectivamente, el �v necesariopara obtener la orbita parabolicadesde un punto de la orbita de aparcamiento verificara �v > (

p2 � 1)

p

µ/ra

,siendo r

a

el radio de la orbita de aparcamiento.

Por otro lado, la relacion v21 = µ/a nos dice que para conseguir una velocidadv1, cuando la sonda alcance el lımite de la esfera de influencia, el semieje de laorbita hiperbolica de salida debe ser

a =µ

v21. (20.7)

Ademas, puesto que el impulso es tangencial en una orbita circular y la nuevaorbita es hiperbolica el punto de la maniobra es el periastro de la nueva orbita,por tanto r

a

= a(e� 1), de donde obtenemos finalmente que

e =v21r

a

µ+ 1. (20.8)

El valor de �v podra ser calculado exactamente si tenemos en cuenta quepasamos de una orbita circular v2

c

= µ/ra

a una hiperbolica v2h

= µ(2/r+ 1/a) =2µ/r + v21, por lo que obtendremos finalmente:

�v =

r

2µ

ra

+ v21 �r

µ

ra

. (20.9)

Una vez conocido el valor del �v debemos averiguar en que punto de la orbitade aparcamiento debe efectuarse la maniobra, para lo cual consideraremos que el

Entrada en el campo gravitacional de un planeta 329

punto de la esfera de influencia de radio rSOI

se alcanza cuando

rSOI

=a(e2 � 1)

1 + e cos fSOI

,

o lo que es igual en un punto que forma un angulo

fSOI

= acos

1

e

✓

a(e2 � 1)

rSOI

� 1

◆�

,

con la direccion del punto de salida. Para ser coherentes con la hipotesis de partidapodemos suponer que r

SOI=1 lo que nos da un angulo

fA= acos

✓

�1

e

◆

, (20.10)

que coincide con la direccion de la asıntota.

Sustituyendo el valor de fA

en (18.24), que representa el angulo � entre ladireccion radial y la del vector velocidad expresado en terminos de e y f , seobtiene que � = 0, lo que indica que la direccion del vector velocidad al final dela maniobra lleva la direccion radial (del planeta a la sonda).

A partir del instante en que la sonda sale de la esfera de influencia la orbi-ta sera considerada como una orbita alrededor del Sol. En estas condiciones elparametro µ cambia, pues en la orbita alrededor del planeta valıa µ = µ

P= Gm

P,

mientras que la orbita solar vale µ = µ� = Gm�.

La hiperbola inicial se enlazara en ese momento con la conica que la sonda re-corra alrededor del Sol. Esta nueva orbita se obtendra partiendo de las condicionesiniciales, posicion y velocidad en ese instante, que vendran dadas por

x� = r�, X� = v� + v1, (20.11)

donde r�,v� representan la posicion y velocidad del planeta respecto del Sol ydonde ademas se ha despreciado la posicion de la sonda x

SOIrespecto del planeta.

20.4 Entrada en el campo gravitacional de unplaneta

La entrada en el campo gravitacional de un planeta coincide con el instanteen el que la sonda entra dentro su esfera de influencia. Como veremos en esteapartado, esta entrada puede dar lugar a tres tipos distintos de comportamientosque dependen del la direccion y la norma del vector velocidad de la sonda relativoal planeta en el momento de la entrada en la esfera de influencia.

Para estudiar el proceso que sigue a la entrada de la sonda en el campo gra-vitacional, o la esfera de influencia, supondremos que esta entrada se realiza de


acuerdo con las caracterısticas de la figura 20.3 donde vemos que la velocidadforma un angulo ↵ 2 [0,⇡/2] con la direccion radial de la sonda desde el planetadada por u. Situando el vector n que define el plano orbital hacia arriba del planoimpedimos que ↵ sea mayor que ⇡, haciendo que los valores de ↵ en el interva-lo (⇡/2,⇡) correspondan a una salida de la esfera de influencia en lugar de unaentrada.

uP

v

x

SOI

↵v

S

Figura 20.3: Condiciones de entrada de una son-da en la esfera de influencia de un planeta.

Si llamamos v = n ⇥ u po-demos definir el sistema orbitalde la sonda respecto al planeta,que comienza en ese punto. Eneste sistema los vectores de po-sicion y velocidad inicial en elinstante de la entrada se podranponer como x

P= ru, X

P=

�v cos↵u+ v sen↵ v, donde r esel radio de la esfera de influenciay v la norma del vector velocidadde la sonda relativo al planeta.

El algoritmo visto en elcapıtulo 9 permite obtener loselementos orbitales de la nuevaorbita a partir de la posicion yvelocidad anteriores. A partir delos vectores momento angular yde Laplace podemos determinarel semilado recto p y la excentricidad e y, con estos, la distancia en el periastrorp

= p/(1 + e).

Hemos realizado este estudio tomando unos valores de r = 1, µ = 1 quegeneralizan los resultados para cualquier caso sin mas que cambiar la unidad delongitud para hacerla igual al radio de la esfera de influencia y la unidad de tiempoque haga µ = 1.

La figura 20.4 muestra las curvas de nivel de la funcion e = e(↵, v) que nosda la excentricidad en funcion de el angulo ↵ y de v. En dicha figura el eje Oxrepresenta el angulo ↵, mientras que el eje Oy representa la velocidad v. El valorv = 1.41, que representa la velocidad de escape para r = 1, separa dos regionesdel espacio fasico, la zona inferior de la figura representa orbitas elıpticas mientrasque la superior representa orbitas hiperbolicas. La excentricidad aumenta en lazona inferior conforme la curvas se desplazan a la izquierda, mientras que en lazona superior las curvas mas altas representan excentricidades mayores.

Por otro lado hemos representado en la misma figura la curva rp

(↵, v) = RP,

donde rp

es la distancia en el periastro de la nueva orbita y RPel radio del planeta.

Esta curva separa la figura en otras dos zonas que representan las orbitas paralas cuales el radio del planeta es mayor o menor que la distancia en el periastro.

Entrada en el campo gravitacional de un planeta 331

Si el radio del planeta es mayor que rp

se produce una colision de la sonda con elplaneta.

1

2

3

1.510.500

1

2

3

Figura 20.4: Grafica de contorno de la ex-centricidad de la orbita de entrada en un pla-neta en funcion del angulo (eje Ox) y de lavelocidad (eje Oy).

Ası pues, la figura 20.4 nos mues-tra los tres posibles casos:

1. Colision de la sonda con el pla-neta (zona oscura).

2. Entrada en una orbita elıptica(periodica) de captura de la son-da.

3. Entrada en una orbita hi-perbolica en la que se realizauna aproximacion entre la son-da y el planeta a partir de lacual esta vuelve a alejarse has-ta que sale de nuevo de la esfe-ra de influencia alejandose de laatraccion del planeta.

Estos tres casos se ilustran en lafigura 20.5 con tres ejemplos de los tres tipos de orbitas. O

1

representa una orbitade colision, O

2

una orbita de captura y O3

una orbita de aproximacion.

O1

O2

O3

Figura 20.5: Tres tipos de orbitas de entrada enla esfera de influencia de un planeta

En el perigeo de una orbi-ta elıptica del tipo O

2

podemosrealizar una maniobra para re-ducir el semieje de esta orbita,o bien, si el planeta tiene unaatmosfera suficientemente densay la distancia en el perigeo ade-cuada realizar un aerofrenado,esto es, disminuir el semieje usan-do el frenado atmosferico. Unamaniobra adecuada, efectuada enel instante preciso, permite tam-bien la captura de la sonda por elplaneta desde las orbitas de coli-sion y de aproximacion.

Las orbitas de aproximaciontienen una gran utilidad astro-dinamica porque constituyen unmetodo muy barato de modificarla velocidad de la nave utilizandola gravitacion del planeta en una maniobra llamada asistencia gravitacional queestudiaremos en el siguiente apartado.


20.5 Impulso gravitacional

Para reducir el coste de las maniobras necesarias para un viaje interplanetariopuede usarse la orbita de aproximacion a un planeta con objeto de conseguiruna variacion de la velocidad, o impulso, basado en la geometrıa de la orbitahiperbolica de aproximacion. Dicho impulso sera llamado impulso gravitacional.

⌫

� �rp

v

e

1

v

s

1

Figura 20.6: Hiperbola de aproximacion al pla-neta.

La figura 20.6 muestra lo queocurre cuando entramos en la es-fera de influencia del planeta conuna velocidad v

e

1 de norma v1y direccion la de la asıntota deentrada.

La orbita seguida por la son-da pasa muy cerca del planeta auna distancia en el periastro derP

y llega de nuevo al lımite dela esfera de influencia con una ve-locidad v

s

1 que tiene la mismanorma que v

e

1 y forma con ellaun angulo ⌫.

Relacionando la figura 20.6con la 20.2 podemos comprobarque � = ⇡� f

A, de donde, a par-

tir de (20.10), podemos deducirque ⌫/2 = f

A� ⇡/2 y finalmente

sen⌫

2=

1

e.

Por otro lado, la expresion (20.8) se pondra ahora

e =v21r

p

µ+ 1,

donde el hemos sustituido ra

por la distancia rp

en el periastro. De esta formapodremos poner tambien

sen⌫

2=

µ

µ+ v21rp

. (20.12)

La figura 20.7 representa la variacion de la velocidad en el impulso gravitacional,para ello tengamos en cuenta que si ve

1, vs

1 son la velocidad de entrada y salidade la sonda respecto al planeta, estas velocidades referidas al Sol se pondran como

X

i

= v

P+ v

e

1, X

f

= v

P+ v

s

1, (20.13)

donde v

Prepresenta la velocidad del planeta respecto del Sol y X

i

,Xf

las velo-cidades inicial y final de la sonda al entrar y al salir de la esfera de influencia enla orbita de aproximacion al planeta.

Impulso gravitacional 333

⌫

v

s

1

v

e

1

�v

v

P

X

f

X

i

Figura 20.7: Impulso gravitacional.

El impulso obtenido con estamaniobra sera

�v = X

f

�X

i

= v

s

1 � v

e

1.(20.14)

Una simple inspeccion de lafigura 20.7 permite deducir quebasta cambiar la geometrıa de lahiperbola para conseguir distin-tos impulsos, tanto en norma co-mo en direccion. La situacion delplano de la orbita hiperbolica tie-ne tambien una gran importancia

en la direccion del impulso gravitacional, sin embargo, esto no sera analizado enel presente libro.

Para conocer el valor de �v tendremos en cuenta que

(�v)2 = (vs

1 � v

e

1)2 = 2v21 � 2v21 cos ⌫ = 4v21 sen2⌫

2,

por lo que aplicando (20.12) obtenemos

�v = 2v1 sen⌫

2=

2 v1 µ

µ+ v21rp

.

Estudiando el Delta uve como funcion de v1 podemos deducir facilmenteque tiene un maximo para el valor v1 =

p

µ/rp

. Un estudio para los diferentesplanetas del sistema solar nos da los valores del maximo�v que se puede conseguircon una orbita de aproximacion a cada planeta que son de 7.91 km/s para laTierra, 3.55 km/s para Marte, 42.73 km/h para Jupiter, etc.

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Indice alfabetico

Aaceleracion

de arrastre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101de coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101del origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102relativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

achatamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46acimut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40across-plane . . vease direccion normalacross-track vease direccion normal a

la tangenteaerofrenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331afelio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128along-track vease direccion tangencialaltitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143mınima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143

altura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40angulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

de rotacion del planeta . . . . . . . . 51de rotacion terrestre . . . . . . . 64, 77de transferencia . . . . . . . . . . . . . . 177de trayectoria de vuelo . . . . . . . 151del nodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143determinacion de un . . . . . . . . . . . . 5determinacion principal de un . . .5directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13horario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41retrogrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13sentido de un . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

angulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32anomalıa

excentrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135verdadera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

ano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81anomalıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81beseliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93bisiesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90juliano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82, 93sidereo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81tropico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

apoastro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128apogeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128argumento del periastro . . . . . . . . . . .144armonicos

teserales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225zonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225

ascension recta . . . . . . . . . . . . . . . . .42, 59atmospheric drag . vease rozamiento

atmosfericoazimut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vease acimut

Bbasura espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

Ccalculo de efemerides . . . . . . . . . . . . . .151calendario

gregoriano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91juliano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . 98carga util . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292cenit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .vease zenitcinturones de Van Allen . . . . . . . . . . .281coeficiente

balıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .236de rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . 236

coeficientes de normalizacion . . . . . .222

337

338 Indice alfabetico

coeficientes de transicion. . . . . . . . .veasefunciones f y g

cohete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295portador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

conica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110apocentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111directriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110eje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111excentricidad . . . . . . . . . . . . . . . . .110foco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110hiperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112pericentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111semieje mayor . . . . . . . . . . . . . . . . 112semieje menor . . . . . . . . . . . . . . . .112semilado recto . . . . . . . . . . . . . . . .111

conicas enlazadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 324cono de visibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . 277constante de gravitacion universal 115,

207constelaciones de satelites . . . . . . . . .255coordenadas

areograficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14de la epoca J2000.0 . . . . . . . . . . . .58horizontales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40medias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58planetograficas. . . . . . . . . . . . . . . . .50polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

colatitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14colongitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14latitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14longitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14selenograficas . . . . . . . . . . . . . . . . . .50verdaderas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

correccion de la orbita . . . . . . . . . . . . 301cuaternio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34parte imaginaria . . . . . . . . . . . . . . .34parte real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

cuerpo central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123curvas de velocidad cero . . . . . . . . . . 217

Ddeclinacion . . . . . . . . . . . . . . . . .41, 42, 59delta uve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292desarrollos de Hansen . . . . . . . . . . . . . 138determinacion de orbitas . . . . . . . . . .151dıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75

medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78sidereo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

direccionnormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102normal a la tangente . . . . . . . . . 151radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

distancia cenital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

Eeclıptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

oblicuidad de . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38ecuacion

de Barker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135de Kepler universal . . . . . . . . . . .170de los equinoccios. . . . . . . . . . . . . .64de Sundman. . . . . . . . . . . . . . . . . .131del centro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78del cohete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78fundamental de Newton . . . . . . . 98

ecuacionesde Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . .194

ecuador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38aparente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57de la fecha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57del planeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50intermedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57verdadero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

efemerides planetarias. . . . . . . . . . . . .201elementos

de dos lıneas . vease variables TLEmedios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198orbitales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145


osculadores . . . . . . . . . . . . . 192, 198elevacion . . . . . . . . . . . . . . . . . vease alturaempuje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291encuentro espacial . . . . . . . . . . . . . . . . 316energıa orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125epoca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142equinoccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

de la fecha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57verdadero de la fecha . . . . . . . . . . 57

esferaceleste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16cırculo maximo . . . . . . . . . . . . . . . . 16cırculo menor . . . . . . . . . . . . . . . . . .16de gravitacion . . . . . . . . . . . . . . . . 325de Hill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325de influencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

Eulerangulos de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32parametros de . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

excentricidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Ffecha juliana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

modificada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93flujo solar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .239fly path angle . . . . . . . vease angulo de

trayectoria de vueloflyby . . . .vease orbita de aproximacionformulas

de Besselde los senos . . . . . . . . . . . . . . . . . 19del coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18polar del coseno . . . . . . . . . . . . . 20tercera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20tercera polar . . . . . . . . . . . . . . . . 20

de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98funcion

acos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6arccos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7arcsin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7arctan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7asin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

atan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6cart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15de Stump↵ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

funciones f y g de Lagrange . . . . . . 118

Ggiro a velocidad constante . . . . . . . . .303

Hhodografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98hora oficial espanola . . . . . . . . . . . . . . . .88horizonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

Iimpulso

especıfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .291gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . 332total . . . . . . . . . . . . . . vease delta uve

inclinacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143crıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .279

instante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91de paso por el periastro . . . . . . 132orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

interceptor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .316

Llatitud

eclıptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43geocentrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47geografica . . . . . . . . . . . . . . . . . 43, 47

leyde las areas . . . . . . . . . . . . . . 99, 131de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

leyes de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109lınea

de los apsides . . . . . . . . . . . . . . . . 127de los nodos . . . . . . . . . . . . . . . . . .143

longituddel periastro. . . . . . . . . . . . . . . . . .144eclıptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43geografica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

low earth orbit . . . . vease orbita baja


Mmaniobra orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . .288matriz

de nutacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67de precesion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65de precesion–nutacion . . . . . . . . . 69de rotacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28de rotacion elemental . . . . . . . . . . 30de tambaleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62del sesgo de la referencia . . . . . . .70ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

medium earth orbit . . . . vease orbitamedia

meridiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46, 50de referencia.vease meridiano cerodel lugar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

misil balıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .289modelo de atmosfera

de Harris–Priester . . . . . . . . . . . . 237de Jaccia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .238exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

momento angular . . . . . . . .98, 124, 209movimiento

kepleriano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192relativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116

Nnadir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39Neper

analogıas de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21regla del pentagono de . . . . . . . . .20

nutacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56en longitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67en oblicuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Oobjetivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .316oblicuidad

de la eclıptica. . . . . . . . . . . . . . . . . .38media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57, 67verdadera de la fecha . . . . . . . . . . 57

orbita

baja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .281cementerio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263de aproximacion . . . . . . . . . . . . . .331de captura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331de colision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .331de Hohmann . . . . . . . . . . . . . . . . . 310de transferencia . . . . . . . . . . . . . . 175geoestacionaria. . . . . . . . . .275, 282geosıncrona . . . . . . . . . . . . . 275, 282halo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .216heliosıncrona . . . . . . . . . . . . . . . . . 284kepleriana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282Molniya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287osculatriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .198polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .273promediada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198Tundra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .284

orbitador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123orientacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13origen

celeste intermedio. . . . . . . . . . . . . .60terrestre intermedio. . . . . . . . . . . .60

Pparalelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41parametro orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . 142parametros de Euler. . . . . . . . . . . . . . . .33patched conics . . . . . . . . .vease conicas

enlazadaspayload . . . . . . . . . . . . . . vease carga utilperiastro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128perigeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128perihelio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128periodo

de Chandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114, 129sinodico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

perturbacionde corto periodo . . . . . . . . . . . . . .197de largo periodo . . . . . . . . . . . . . .197directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210empırica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .248indirecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210


luni-solar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .210secular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

planode la eclıptica . . . . . . vease eclıpticadel ecuador . . . . . . . . .vease ecuadorfundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37horizontal . . . . . . . . .vease horizonte

polinomiosasociados de Legendre . . . . . . . .220de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

poloceleste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38celeste de efemerides . . . . . . . . . . .60celeste intermedio. . . . . . . . . . . . . .60de la eclıptica. . . . . . . . . . . . . . . . . .42del planeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37movimiento del . . . . . . . . . . . . . . . . 55terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

potencial perturbador . . . . . . . . . . . . .192precesion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56precesion del nodo . . . . . . . . . . . . . . . . 279primer meridiano vease meridiano ceroproblema

de n cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . 207de dos cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . 115de Lambert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175de las transferencias orbitales .175kepleriano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117no perturbado . . . . . . . . . . . . . . . .199principal del satelite . . . . . . . . . .278

propagador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201SGP4/SDP4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

propulsionionica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293quımica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

punto vernal . . . . . . . . . vease equinocciopuntos de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . 213

Rradio

ecuatorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

relojatomico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

estado del . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86marcha del . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

rendezvous . .vease encuentro espacial

Ssatelite artificial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

eclipses en. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .246segundo

atomico internacional . . . . . . . . . .85intercalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87

semieje mayor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143semilatus rectum . vease semilado rectosentido de giro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12sistema de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . 4

apsidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149baricentrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39baricentrico celeste . . . . . . . . . . . . 58celeste intermedio. . . . . . . . . . . . . .60celeste internacional . . . . . . . . . . . 59cilındrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157de Frenet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150dextrogiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10eclıptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42ecuador verdadero–equinoccio me-

dio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58ecuatorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42ecuatorial de la epoca J2000.0 . 58ecuatorial medio . . . . . . . . . . . . . . .58ecuatorial verdadero de la fecha57espacial . . . . . . . .59, 101, 123, 146espacial geocentrico . . . . . . . . . . . .59espacial planetocentrico . . . . . . . .59geocentrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39geocentrico celeste . . . . . . . . . . . . . 58geografico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46heliocentrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39horario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40inercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99inercial con centro en la Tierra117levogiro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10nodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147nodal–espacial . . . . . . . . . . . . . . . .147orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102, 149


origen del . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9ortonormal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9planetocentrico . . . . . . . . . . . . 39, 51planetografico . . . . . . . . . . . . . . . . . 50retrogrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10rotacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25selenocentrico. . . . . . . . . . . . . . . . . .39terrestre intermedio. . . . . . . . . . . .60topocentrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

sonda espacial . . . . . . . . . . . . . . . 289, 323space debris . . . vease basura espacialswingby vease orbita de aproximacion

Ttiempo

atomico internacional . . . . . . . . . .85civil local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79coordenada baricentrico. . . . . . . .90coordenada geocentrico . . . . . . . . 90de efemerides . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84de zona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88dinamico baricentrico . . . . . . . . . .89dinamico terrestre . . . . . . . . . . . . . 89GPS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78medio de Greenwich . . . . . . . . . . . 80sidereo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44, 75sidereo aparente . . . . . . . . . . . . . . . 76sidereo aparente en Greenwich 64,

76sidereo local medio . . . . . . . . . . . . 76sidereo medio . . . . . . . . . . . . . . . . . .76sidereo medio en Greenwich64, 76solar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77solar medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78solar verdadero . . . . . . . . . . . . . . . . 77terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89universal

TU0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79TU1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80TU2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

universal coordinado . . . . . . . . . . .87UTC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

transferencia

bielıptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313de Hohmann . . . . . . vease orbita de

Hohmannorbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

traslacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25traza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271, 272triangulo

esferico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

two line elements . . . . vease variablesTLE

Vvariable dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . 142variables

de Delaunay. . . . . . . . . . . . . . . . . .162de estado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141de Hill . . . . . . . . . . . . vease variables

polares–nodalesde Whittaker . . . . . . vease variables

polares–nodalesequinocciales . . . . . . . . . . . . . . . . . 145no singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 145polares–nodales . . . . . . . . . . . . . . 159TLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201, 203

vectorcomponentes de un. . . . . . . . . . . . . .4de estado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124de posicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97direccion de un . . . . . . . . . . . . . . . . . 5longitud de un . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4norma de un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4rotacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

vectoresangulo entre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4producto escalar de . . . . . . . . . . . . . 4producto mixto de . . . . . . . . . . . . . . 9producto vectorial de . . . . . . . . . . . 8

velocidadangular de un sistema de referencia

100areolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99caracterıstica . . . . . . . . . . . . . . . . .292


de escape. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .289de perdida de masa. . . . . . . . . . .290de satelizacion. . . . . . . . . . . . . . . .289efectiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .290radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102residual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

ventana de lanzamiento . . . . . . . . . . . 300

Zzenit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Abad alberto astrodinamica

Science

Transcript of Abad alberto astrodinamica