จํานวนและการคํานวณ Number and Calculation)...บทท 4 จ...

บทท 4

จานวนและการคานวณ

(Number and Calculation)

ในการจดการเรยนการสอนวชาคณตศาสตรนน สงทมความสาคญอยางยงททาใหผเรยนเขาใจ

คณตศาสตรอยางแทจรงคอทกษะทางคณตศาสตร อนไดแกความรสกเชงจานวน (number sense) ซง

เปนสงทเกดขนภายในจนตนาการของผเรยน แททจรงแลวจานวนเปนสงทไมสามารถใหคานยามได

ในทางคณตศาสตรเรยกวา สงอนยาม หมายความวาเปนสงนามธรรมททกคนรบรและเขาใจตรงกนวา

เปนอะไรโดยไมตองอธบาย หนาทของจานวนคอการใชบอกปรมาณตาง ๆ วามมากนอยเพยงใด เรยก

จานวนททาหนาทนวา จานวนเชงการนบ (cardinal number) อกหนาทหนงคอการใชบอกอนดบ วาสง

ไหนมากอน สงไหนมาหลง เรยกจานวนททาหนาทนวา จานวนเชงอนดบท (ordinal number) เนองจาก

จานวนเปนสงนามธรรม จงมความจาเปนทจะตองมสงทเปนรปธรรมมาแทนจานวนเพอใชประโยชน

มนษยเราจงสรางตวเลขขนมาเพอเปนสญลกษณแทนจานวน ในแตละอารยธรรมกจะมตวเลขท

แตกตางกนออกไปเชนเดยวกบภาษาตาง ๆ ในโลกทมสญลกษณเปนตวอกษร พยญชนะ สระ และ

วรรณยกต ในยคปจจบนน ตวเลข ยงมหนาทเพมเตมอกอยางหนงคอ เพอใชแยกบางสงทแตกตางออก

จากกน เชน รถเมลสาย 205 กบรถเมลสาย 72 ซงไมไดหมายความวารถเมลสาย 72 จะมากอน สาย

205 หรอ รถเมลสาย 72 จะนอยกวาสาย 205 หรอตวอยางเชนหอง 2210 กบหอง 3301 ไมได

หมายความวา เราจะเดนไปถงหอง 2210 กอน หอง 3301 แตอยางใด ตวเลขพวกนเราไมไดนามนมา

นบหรอคานวณคาโดยบวกลบคณหาร มนเปนเพยง “ชอ” หรอ “สญลกษณ” เทานน ในบทเรยนนจะ

กลาวถงจานวนและตวเลขซงทาหนาทใน 2 อยางแรกเทานน

4.1 ระบบฮนด-อารบกและระบบตาแหนงยคกอน

(Hindi-Arabic System and Early Positional Systems)

4.1.1 ระบบฮนด-อารบก

เรองราวเรมมาจากเมอพวกพราหมณหรอฮนดในชมพทวปมการใชเลข 0 ในระบบเลขฐาน 10 ทาให

การเขยนตวเลขและการคานวณทดไปเรอย ๆ อยางเปนระบบจาก 10 เปน 100 จาก 100 เปน 1,000

จาก 1,000 เปน 10,000 ไมมทสนสด เราไมสามารถกลาวไดอยางเตมปากวาฮนดเปนพวกแรกทคนพบ

ระบบเลขฐาน 10 เนองจากชาวอยปตซงกไมไดใชเลข 0 กใชเลขฐาน 10 เชนเดยวกน เพยงใชสญลกษณ

เปนรปอนทตางกนแทนเลข 10 100 1,000 จงยงเปนทถกเถยงดวยวาฮนดเปนอารยธรรมแรกทคดคน

การใช 0 หรอไดรบอทธพลจากอาหรบ หรออาหรบรบจากฮนด พวกทถอขางฮนดนนอธบายวาจารก

ของทพบในอนเดยตงแต ค.ศ.595 ไดปรากฏเลข 1-9 และ 0 แลว และยงเปนชวงกอนความเจรญของ

2

อารยธรรมอาหรบ ภายหลงอาหรบนาไปใชและเผยแพรในโลกตะวนตก จงทาใหเขาใจวาอาหรบเปนผ

คนพบและเรยกระบบตวเลขแบบนวา เลขอารบก แตเนองจากหลกฐานอะไรกไมชดเจน จงมการเรยก

ระบบตวเลขนอยางประนประนอมวา ระบบเลขฮนด-อารบก (Hindi-Arabic System) ระบบเลขฮนด-

อารบกนนประกอบดวยตวเลขโดดทแตกตางกนทงหมด 10 ตว ไดแก

0 1 2 3 4 5 6 7 8 และ 9 แลวจงสรางตวเลขแทนจานวนทมคาตอจากนนโดยวนกลบมาใชตวเลขเดม

ทมอย เชน 10 11 12 13 14 15 ไปเรอย ๆ

ในระบบฮนด-อารบก เราสามารถกระจายตวเลขออกเปนผลบวกยอยดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง 4.1.1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )34,526 3 10,000 4 1,000 5 100 2 10 6 1= × + × + × + × + ×

ตอมาในชนเรยนทสงขนไป เมอเราเรยนรเรองเลขยกกาลงแลว เรากเขยนอกวา

( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 3 2 1 034,526 3 10 4 10 5 10 2 10 6 10= × + × + × + × + × เรากลาววา

เลข 3 อยในหลกหมน มคาประจาหลกเปน 10,000

เลข 3 จงมคาเทากบ 3 คณ 10,000 เทากบ 30,000

เลข 4 อยในหลกพน มคาประจาหลกเปน 1,000

เลข 4 จงมคาเทากบ 4 คณ 1,000 เทากบ 4,000

เลข 5 อยในหลกรอย มคาประจาหลกเปน 100

เลข 5 จงมคาเทากบ 5 คณ 100 เทากบ 500

เลข 2 อยในหลกสบ มคาประจาหลกเปน 10

เลข 2 จงมคาเทากบ 2 คณ 10 เทากบ 20

และเลข 6 อยในหลกหนวย มคาประจาหลกเปน 1

เลข 6 จงมคาเทากบ 6 คณ 1 เทากบ 6 เหมอนเดม เปนตน

ในทนแมเลข 3 โดด ๆ จะมคานอยกวาเลข 4 แตเมอนามาเขยนในระบบฮนด-อารบกเชนนแลวเลข 3

ตวนกลบกลายเปนสญลกษณแทนจานวนทมคามากกวาเลข 4 มากมายหลายเทา การทตาแหนงของ

ตวเลขมผลตอคาของตวเลขเชนน เราเรยกวา ตวเลขนอยในระบบตาแหนง (positional system) สงใดก

ตามทอยในระบบตาแหนง การเปลยนตาแหนงของสงนนกสามารถเปลยนคาของมนได ๛

ตอไปเราจะกลาวถงตวเลขในระบบตาแหนงยดกอนทนาสนใจพอสงเขป

4.1.2 ระบบตวเลขบาบโลน

ชาวบาบโลเนย (Babylonian) เปนชนชาตเกาแกทสดชาตหนงในดนแดนเมโสโปเตเมย (Mesopotamia)

เมโสโปเตเมยเปนคากรกโบราณ เกดจากคาวา meso ทแปลวา กลาง กบคาวา potamia ทแปลวานา

โดยรวมกนแลวหมายถง "บรเวณระหวางแมนาสาคญสองสายไดแกแมนาไทกรสและยเฟรทส" ดนแดน

3

อนอดมสมบรณนเปนทตองการครอบครองของทก ๆ ชนชาต จงมการรบพงกระทาสงครามเพอแยงชง

ความเปนใหญเหนออาณาเขตนอยเสมอ ชนชาตแรกทสรางอารยธรรมเมโสโปเตเมยขนคอชาวสเม

เรยน อารยธรรมทชาวสเมเรยนขนเปนพนฐานสาคญของอารยธรรมเมโสโปเตเมย สถาปตยกรรม

ตวอกษร ศลปกรรมอน ๆ ตลอดจนทศนคตตอชวตและเทพเจาของชาวสเมเรยน ไดดารงอยและม

อทธพลอยในลมแมนาทงสองตลอดชวงสมยโบราณ มการประดษฐอกษรลม (Cuneiform) ซงเกดจาก

การกดมมของแทงไมลงบนแผนดนเหนยวใหกลายเปนตวอกษรและตวเลขใชกนอยางแพรหลายใน

อารยธรรมเมโสโปเตเมย ตวเลขพนฐานของชาวบาบโลนมทงหมด 59 ตวดงทแสดงในรปท 4.1.1

รปท 4.1.1 ตวเลขบาบโลน

ทมา : http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Babylonian_numerals.html

เพอความสะดวก จะเขยนแทนเลข 1 ของบาบโลนดวยสญลกษณ V และแทนเลข 10 ดวย

สญลกษณ < ดงแสดงในตารางท 4.1.1

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Babylonian_numerals.html

4

เลข สญลกษณ เลข สญลกษณ เลข สญลกษณ

1 V 21 <<V 41 <<<<V

2 VV 22 <<VV 42 <<<<VV

3 VVV 23 <<VVV 43 <<<<VVV

4 VVVV 24 <<VVVV 44 <<<<VVVV

5 VVVVV 25 <<VVVVV 45 <<<<VVVVV

6 VVVVVV 26 <<VVVVVV 46 <<<<VVVVVV

7 VVVVVVV 27 <<VVVVVVV 47 <<<<VVVVVVV

8 VVVVVVVV 28 <<VVVVVVVV 48 <<<<VVVVVVVV

9 VVVVVVVVV 29 <<VVVVVVVVV 49 <<<<VVVVVVVVV

10 < 30 <<< 50 <<<<<

11 <V 31 <<<V 51 <<<<<V

12 <VV 32 <<<VV 52 <<<<<VV

13 <VVV 33 <<<VVV 53 <<<<<VVV

14 <VVVV 34 <<<VVVV 54 <<<<<VVVV

15 <VVVVV 35 <<<VVVVV 55 <<<<<VVVVV

16 <VVVVVV 36 <<<VVVVVV 56 <<<<<VVVVVV

17 <VVVVVVV 37 <<<VVVVVVV 57 <<<<<VVVVVVV

18 <VVVVVVVV 38 <<<VVVVVVVV 58 <<<<<VVVVVVVV

19 <VVVVVVVVV 39 <<<VVVVVVVVV 59 <<<<<VVVVVVVVV

20 << 40 <<<<

ตารางท 4.1.1 สญลกษณทใชแทนตวเลขบาบโลน

ตวเลขของบาบโลนเขยนเปนหลก ๆ แตละหลกเวนระยะหางออกจากกน คาของตวเลขบาบ

โลนจะหาไดตามตวอยางตอไปน


<<<<<VVVVVVV <<<VVVV <<<<<V VVVVVVVV

เปนตวเลขบาบโลน 4 หลก ซงแปลออกมาเปนตวเลขฮนด-อารบกไดเปน

57 34 51 8

5

ทงนตวเลขในแตละหลกจะมคาประจาหลกเรยงตามลาดบคอ

360 60 60 60× × = 260 60 60× = 160 60= 01 60= เมอนาตวเลขในแตละหลกไปคณกบคาประจาหลกนน ๆ แลวนาผลคณมาหาผลรวมจะไดเปนคาของ

เลขบาบโลน ซงในทนเทากบ

( ) ( ) ( ) ( )3 2 1 057 60 34 60 51 60 8 60

12,312,000 122,400 3,060 812,437,468

× + × + × + ×

= + + +=

๛ ตวเลขบาบโลนถอวาเปนเลขในระบบตาแหนง เนองจากการสลบตาแหนงของตวเลขบาบโลน

จะทาใหคาของตวเลขเปลยนไปดงตวอยางตอไปน


<<<<<VVVVVVV <<<VVVV VVVVVVVV <<<<<V

เปนตวเลขบาบโลน 4 หลก ซงแปลออกมาเปนตวเลขฮนด-อารบกไดเปน

57 34 8 51

เชนเดยวกน ตวเลขในแตละหลกจะมคาประจาหลกเรยงตามลาดบคอ

360 60 60 60× × = 260 60 60× = 160 60= 01 60= เมอนาตวเลขในแตละหลกไปคณกบคาประจาหลกนน ๆ แลวนาผลคณมาหาผลรวมจะไดเปนคาของ

เลขบาบโลน ซงในทนเทากบ

( ) ( ) ( ) ( )3 2 1 057 60 34 60 8 60 51 60

12,312,000 122,400 480 5112,434,931

× + × + × + ×

= + + +=

๛ 4.1.3 ระบบตวเลขมายน

หลายพนปกอนทชาวยโรปจะเดนทางมาถงทวปอเมรกา มอารยธรรมทเจรญรงเรองในดนแดนเมโส

อเมรกาคอ อารยธรรมมายน (Mayan civilization) อารยธรรมนกระจดกระจายอยในบรเวณคาบสมทรย

คาตน ภาคใตของประเทศเมกซโก มอาณาเขตลงไปครอบคลมประเทศกวเตมาลา ประเทศเบลซ และ

ประเทศฮอนดรสทงหมดในปจจบน ชาวมายนมความฉลาดปราดเปรองในศาสตรหลายแขนง ไดแก

ดาราศาสตร คณตศาสตร เกษตรกรรม สถาปตยกรรม การชลประทาน การทอผา การทา

เครองปนดนเผา มระบบปฏทนและภาษาเขยนของตนเอง ชาวมายนมการจานวนนบทไมเหมอนชนชาต

ใดในโลก โดยจะเรมนบจาก 0 เชนลกคนแรกคอคนท 0 คนถดไปเปนคนท 1 2 และ 3 อยางนเปนตน

ระบบปฏทนมายน เรมจาก 20 kin(วน) = 1 uinal (เดอน)

6

18 uinal = 1 tun (ป) = 360 วน

20 tun = 1 catun = 7,200 วน

20 catun = 1 baktun =144,000 วน

20 baktun = 1 pictun =2,880,000 วน

20 pictun = 1 calabtun =57,600,000 วน

20 calabtun = 1 kinchiltun =1,152,000,000 วน

20 kinchiltun = 1 alautun =23,040,000,000 วน

โดยมวนแรกของเดอนคอวนท 0 และวนสดทายของเดอนคอวนท 19 ทานองเดยวกน เนองจากหนงปม

18 เดอน จงเรยกเดอนแรกของป (tun) วาเดอนท 0 และเรยกเดอนสดทายของปวาเดอนท 17

นอกจากนเรยกปแรกของ catun วา ปท 0 จนกระทงถงปสดทายใน catun นนๆวา ปท 19 และเปนเชนน

เรอย ๆ ในหนวยปฏทนทใหญขนไป เราจะสงเกตไดวา ชวงระยะเวลา catun กนเวลาไป 7,200 วน นบ

ไดประมาณ 19-20 ปตามจรง และชวงระยะเวลา 1 baktun กนเวลาไป 144,000 วน ซงเทากบ 394-

395 ป เปนเวลาทยาวนานพอสมควรแตกไมไดสนเกนไปเชน 1 catun ดงนนชาวมายนจงกาหนดเวลาให

1 baktun เปนหนงรอบปฏทน ในการเขยนวนทแบบมายนนนจะเขยนเปน 5 หลก คอ

. . . .pp qq rr ss tt

โดยท หลกแรกนบจากขวามอแสดงวนทในแตละเดอน กาหนดโดยตวเลข 0-19

หลกท 2 แสดงเดอนทในแตละ tun กาหนดโดยตวเลข 0-17

หลกท 3 แสดงลาดบของ tun ในแตละ catun กาหนดโดยตวเลข 0-19

หลกท 4 แสดงลาดบของ catun ในแตละ baktun กาหนดโดยตวเลข 0-19

และหลกท 5 แสดงลาดบของ baktun ในแตละ pictun กาหนดโดยตวเลข 0-19 เชนกน

อยางไรกตาม นบแตเมอสถาปนาอาณาจกรมายนขนเมอ 3,116 ปกอนครสตศกราช จะไดวา

รอบปฏทนท 1

ปฏทนมายน 0.0.0.0.0 ถง 0.19.19.17.19

อยในชวง 3,116-2,734 ปกอนครสตศกราช ถอเปนจดเรมตนอาณาจกรมายน


ปฏทนมายน 1.0.0.0.0 ถง 1.19.19.17.19

อยในชวง 2,734-2,339 ปกอนครสตศกราช ตรงกบชวงราชอาณาจกรอยปตเกา (ยคประมด)

7


ปฏทนมายน 2.0.0.0.0 ถง 2.19.19.17.19

อยในชวง 2,339-1,944 ปกอนครสตศกราช ตรงกบชวงราชอาณาจกรอยปตยคกลาง (ยคสารด)


ปฏทนมายน 3.0.0.0.0 ถง 3.19.19.17.19

อยในชวง 1,944-1,550 ปกอนครสตศกราช ตรงกบราชอาณาจกรอยปตใหม (ยคสเมเรยนถงบาบโลน)


ปฏทนมายน 4.0.0.0.0 ถง 4.19.19.17.19

อยในชวง 1,550-1,155 ปกอนครสตศกราช เปนยคอารยธรรมบานเชยง


ปฏทนมายน 5.0.0.0.0 ถง 5.19.19.17.19

อยในชวง 1,155-761 ปกอนครสตศกราช เปนจดเรมตนของยคเหลก (iron age)


ปฏทนมายน 6.0.0.0.0 ถง 6.19.19.17.19

อยในชวง 761-366 ปกอนครสตศกราช เปนชวงเวลาใกลเคยงกบยคพทธกาล


ปฏทนมายน 7.0.0.0.0 ถง 7.19.19.17.19

อยในชวง 366 ปกอนครสตศกราช-ค.ศ.28 เปนชวงเวลาใกลเคยงกบยคครสตกาล


ปฏทนมายน 8.0.0.0.0 ถง 8.19.19.17.19

อยในชวง ค.ศ.28-ค.ศ.422 เปนชวงเดยวกบอาณาจกรฟนน


ปฏทนมายน 9.0.0.0.0 ถง 9.19.19.17.19

อยในชวง ค.ศ.422-ค.ศ.817 เปนชวงเดยวกบอาณาจกรทวารวด

8


ปฏทนมายน 10.0.0.0.0 ถง 10.19.19.17.19 อยในชวง ค.ศ.817-ค.ศ.1211 เปนชวงเดยวกบอาณาจกร

หรภญไชยตอถงลานนา


ปฏทนมายน 11.0.0.0.0 ถง 11.19.19.17.19

อยในชวง ค.ศ.1211-ค.ศ.1606 เปนชวงพอขนศรอนทราทตยถงปลายรชกาลสมเดจพระเอกาทศรถ


ปฏทนมายน 12.0.0.0.0 ถง 12.19.19.17.19

อยในชวง ค.ศ.1606-ค.ศ.2012 เปนชวงปลายรชกาลสมเดจพระเอกาทศรถจนถงป 2012

จะเหนวา ณ เวลาปจจบน ถอวาเปนชวงตนของ baktun ท 14 ของปฏทนมายน ทงนนบเวลา

ตงแตอาณาจกรมายนเรมตนจนถงบดนยงไมครบเวลา 1 pictun ตามทไดกาหนดไวแตอยางใด เหตท

กลาวถงระบบปฏทนมายนเสยยดยาวเนองจากมความเกยวของกบระบบตวเลขมายน ดงทจะกลาวถง

ตอไปน

ตวเลขพนฐานของชาวมายนมทงหมด 20 ตว เทากบจานวนวนใน 1 เดอน และนอกจากนยง

สมมลกนดวยเนองจากเรมจากเลข 0 จนถงเลข 19 ดงแสดงในรปท 4.1.2

รปท 4.1.2 ตวเลขมายน

ทมา : Howard (1969, p15)

ตวเลขของมายน โดยทวไปเขยนเปนหลก ๆ ในแนวตง แตกมเขยนในแนวนอนบาง แตละหลก

เวนระยะหางออกจากกน คาของตวเลขมายนจะหาไดตามตวอยางตอไปน

9


เปนตวเลขมายน 5 หลก ซงแปลออกมาเปนตวเลขฮนด-อารบกไดเปน

12 10 13 11 3 จากบนลงลาง

ทงนตวเลขในแตละหลกจะมคาประจาหลกเรยงตามลาดบคอ 318 20 20 20 18 20 144,000× × × = × = เทากบจานวนวนใน 1 baktun

218 20 20 18 20 7,200× × = × = เทากบจานวนวนใน 1 catun 118 20 18 20 360× = × = เทากบจานวนวนใน 1 tun

120 20= เทากบจานวนวนใน 1 เดอน

และ 01 20= คอ 1 วนตามลาดบ

เมอนาตวเลขในแตละหลกไปคณกบคาประจาหลกนน ๆ แลวนาผลคณมาหาผลรวมจะไดเปนคาของ

เลขมายน ซงในทนเทากบ

( ) ( ) ( ) ( )12 144,000 10 7,200 13 360 11 20 31,728,000 72,000 4,680 220 31,804,903

× + × + × + × +

= + + + +=

๛ ตวเลขมายนกถอวาเปนเลขในระบบตาแหนง เนองจากการสลบตาแหนงของตวเลขมายนจะทาใหคา

ของตวเลขเปลยนไปดงตวอยางตอไปน

10


เปนตวเลขมายน 5 หลก ซงแปลออกมาเปนตวเลขฮนด-อารบกไดเปน

12 10 11 13 3 จากบนลงลาง

เมอนาตวเลขในแตละหลกไปคณกบคาประจาหลกนน ๆ แลวนาผลคณมาหาผลรวมจะไดเปนคาของ

เลขมายน ซงในทนเทากบ

( ) ( ) ( ) ( )12 144,000 10 7,200 11 360 13 20 31,728,000 72,000 3,960 260 31,804,223

× + × + × + × +

= + + + +=

๛

11

แบบฝกหด 4.1

1. จงหาคาของเลขบาบโลนตอไปน

1.1 <<<VVV <<VVV <<<VVVVVV <<<<VVVVVV

1.2 <V VVVVV <<<VVVVVV <VVVVV

1.3 << VVVVV <<<<V <<<VVVV VVV

1.4 VVV VVVVV <VVVV <<<<<V <<VVV <<<<VV

1.5 <<<VVV <<<VVV <VVVVVVV <<<<VVVVV <<<<<VVV

2. จงหาคาของเลขมายนตอไปน

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

12

4.2 ฐานเลข

(Number Bases)

ระบบฐานเลข เปนสญลกษณทางคณตศาสตรทแสดงถงการเขยนแทนจานวนตาง ๆ ดวยระบบเลขซง

แตละระบบมจานวนตวเลขทใชเหมอนกบชอของระบบฐานเลขนน เชน เลขฐานสอง เลขฐานสาม เลข

ฐานแปด เลขฐานสบ เลขฐานสบหก

เลขฐานสอง เปนเลขฐานทประกอบดวยตวเลข 2 ตว คอ 0 และ 1 ซงเลข 0 กบ 1 เปนเลขท

นยมใชกบคอมพวเตอรในการประมวลผลการทางาน การเกบขอมล หรอโปรแกรมทเกยวของกบ

สถานะทางไฟฟา

เลขฐานสาม หมายถง ระบบเลขทมสญลกษณเพยงสามตวคอ 0, 1 และ 2 บางครงอาจ

หมายถงการทมโอกาสจะเลอกไดเพยง 3 ทาง เชนการเลอกเปดเขา เปดออก หรอ ไมเปดอยางใดอยาง

หนง

เลขฐานส หมายถง ระบบเลขทมสญลกษณสตวคอ 0, 1, 2 และ 3 โดยอาศยแนวคดนเราจง

สามารถนยามระบบเลขฐานจานวนเตมบวกคาไมตากวา 2 คาใด ๆ กไดนอกจากนเชน เลขฐานแปด

เปนระบบเลขทประกอบดวยเลข 8 ตวคอ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 รวมแปดตว

เลขฐานสบ เปนเลขฐานทประกอบดวยเลข 10 ตว คอ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ซงเลข

ฐาน 10 เปนระบบเลขทมนษยทวไปสามารถเขาใจไดงายมากทสด เพราะวาเปนตวเลขทเกยวของกบ

ชวตประจาวน

เลขฐานสบหก เปนเลขฐานทประกอบดวยเลข 10 ตวและตวอกษร 6 ตว คอตวเลข 0, 1, 2, 3,

4, 5, 6, 7, 8, 9, และตวอกษร A แทน 10, B แทน 11, C แทน 12, D แทน 13, E แทน 14, F

แทน 15 ซงรวมกนแลวได 16 ตว

ตวอยาง 4.2.1 การเขยนเลขตาง ๆ จะเขยนตวเลขทเปนสมาชกในฐานนนแลวเขยนฐานกากบไวเชน

812034 เปนเลขฐานแปด

1612034 เปนเลขฐานสบหก

312034 ไมเปนเลขฐานสาม เนองจากเลขฐานสาม มสญลกษณเพยงสามตวคอ 0, 1 และ 2

กรณทไมเขยนตวเลขระบฐานกากบไว จะถอวาเปนเลขฐานสบ เชน 1012034 12034= ๛

http://th.wikipedia.org/w/index.php?title=%E0%B8%AA%E0%B8%B1%E0%B8%8D%E0%B8%A5%E0%B8%B1%E0%B8%81%E0%B8%A9%E0%B8%93%E0%B9%8C%E0%B8%97%E0%B8%B2%E0%B8%87%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C&action=edit&redlink=1

http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99

http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%82%E0%B8%90%E0%B8%B2%E0%B8%99%E0%B8%AA%E0%B8%AD%E0%B8%87

http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%82%E0%B8%90%E0%B8%B2%E0%B8%99%E0%B9%81%E0%B8%9B%E0%B8%94


http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%82%E0%B8%90%E0%B8%B2%E0%B8%99%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%9A

http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%82%E0%B8%90%E0%B8%B2%E0%B8%99%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%9A%E0%B8%AB%E0%B8%81

http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%82%E0%B8%90%E0%B8%B2%E0%B8%99%E0%B8%AA%E0%B8%AD%E0%B8%87


http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%82%E0%B8%90%E0%B8%B2%E0%B8%99%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%9A

http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%82%E0%B8%90%E0%B8%B2%E0%B8%99%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%9A%E0%B8%AB%E0%B8%81

13

4.2.1 การหาคาของเลขฐานตาง ๆ

พจารณาการกระจายเลขจากตวอยาง 4.1.1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )34,526 3 10,000 4 1,000 5 100 2 10 6 1= × + × + × + × + ×

( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 3 2 1 03 10 4 10 5 10 2 10 6 10= × + × + × + × + ×

เนองจากคาประจาหลกของเลขในแตละตาแหนงอยในรป 10n

เมอ 0, 1, 2,n = และเราเรยกเลข

นวา เลขฐานสบ โดยอาศยหลกการเดยวกนน จงนาไปขยายเพอหาคาของเลขฐานตาง ๆ ได

ตวอยาง 4.2.2 จงหาคาของ 812034

วธทา

( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 3 2 1 0812034 1 8 2 8 0 8 3 8 4 8

4,096 1,024 0 24 45,148

= × + × + × + × + ×

= + + + +=

๛

ตวอยาง 4.2.3 จงหาคาของ 1612034

วธทา

( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 3 2 1 01612034 1 16 2 16 0 16 3 16 4 16

65,536 8,192 0 48 473,780

= × + × + × + × + ×

= + + + +=

๛

ตวอยาง 4.2.3 จงหาคาของ 162AE C

วธทา

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

3 2 1 016

3 2 1 0

2 16 16 2 16 16

10 16 14 16 2 16 12 16

40,960 3,584 32 1244,588

AE C A E C= × + × + × + ×

= × + × + × + ×

= + + +=

๛

4.2.2 การเขยนเลขฐานสบใหเปนฐานอน

การเขยนเลขฐานสบ ใหเปนฐานอนนน จะขอยกตวอยางใหเหนเปนรปธรรม เชน ถามดอกบวจานวน

400 ดอก นามามดเปนกา กาละ 3 ดอก เมอครบ 3 กากใหมดเปนกาใหญขนอก 1 กา เมอไดกาใหญ

ขนาดเดยวกนครบ 3 กากใหมดเปนกาใหญขนไปอก ผลลพทกคอบางดอกไมไดมดเปนกา บางกากม 3

ดอก บางกากม 9 ดอก กาใหญกวานนกม 27 ดอก ใหญกวานนก 81 ดอก และกาทใหญทสดม 243

14

ดอก คาถามกคอจะมดอกบวเปนเศษไมไดมดจานวนกดอก ดอกบวขนาดกาละ 3 ดอก 9 ดอก 27

ดอก 81 ดอกตอยางละเทาไหร นคอการแปลงเลข 400 ฐานสบ ใหเปนเลขฐานสาม

แนวคดในการหาคาตอบกคอ

(1) เราหยบดอกบวออกมามดเปนกาทละ 3 ดอก ไดทงหมด 133 กา เรยกวา “กาสาม” ซงใช

ดอกบวไป 399 ดอก เหลอเศษ 1 ดอก

(2) เรานาดอกบวกาสามมาทละ 3 กา มดรวมกนใหไดกาละ 9 ดอก ไดทงหมด 44 เรยกวา “กา

เกา” ในการน ใชกาสามไป 132 กา เหลอกาสาม 1 กา

(3) เรานาดอกบวกาเกาซงม 44 กา มาทละ 3 กา มดรวมกนใหไดกาใหญขน เรยกวา “กายสบ

เจด” ไดทงหมด 14 กายสบเจด ใชกาเกาไป 42 กา เหลอกาเกา 2 กา

(4) เรานาดอกบวกายสบเจดซงม 14 กา มาทละ 3 กา มดรวมกนใหไดกาใหญขน เรยกวา “กา

แปดสบเอด” ไดทงหมด 4 กาแปดสบเอด ใชกายสบเจดไป 12 กา เหลอกายสบเจดจานวน 2 กา

(4) เรานาดอกบวกาแปดสบเอดซงม 4 กา มาทละ 3 กา มดรวมกนใหไดกาใหญขน เรยกวา “กา

สองรอยสสบสาม” ไดกาเดยว ใชกาแปดสบเอดไป 3 กา เหลอกาแปดสบเอดจานวน 1 กา

สดทายผลลพธตามนคอ

กาสองรอยสสบสาม 1 กา

กาแปดสบเอด 1 กา

กายสบเจด 2 กา

กาเกา 2 กา

กาสาม 1 กา

เศษทไมไดกา 1 ดอก

ในกระบวนการคดออกทละเทา ๆ กนนนคอการหาร ไดผลลพธและเศษเหลอจากการหาร

กรรมวธนนามาใชเปลยนฐานเลขใหเปนฐานสาม กคอการหาร 400 ดวย 3 แลวเกบเศษมาเขยนเปน

เลขฐานทตองการ เปน 1 1 2 2 1 1

ตวอยาง 4.2.4 จงแปลง 400 ใหเปนเลขฐานสาม

วธทา )3 400

)3 133 เศษ 1

)3 44 เศษ 1

)3 14 เศษ 2

)3 4 เศษ 2

1 เศษ 1

เมอนาผลจากการหารตงแตขางลางสดยอนไปขางบนจงไดวา 3400 112211= ๛

15

ทานองเดยวกน เราสามารถใชวธเดยวกนนแปลงเลขฐานสบใหเปนฐาน b โดยการหาร

เลขฐานสบนนดวย b ตามตวอยาง 4.2.4 ไดเชนกน

ตวอยาง 4.2.5 จงแปลง 40,000 ใหเปนเลขฐานสบหก

วธทา

)16 40,000

)16 2,500 เศษ 0

)16 156 เศษ 4

9 เศษ 12 ซงแทนดวย C ในระบบเลขฐาน 16

เมอนาผลจากการหารตงแตขางลางสดยอนไปขางบนจงไดวา 1640,000 9 40C= ๛

ตวอยาง 4.2.6 จงแปลง 2,521 ใหเปนเลขฐานสอง

วธทา

)2 2,521

)2 1,260 เศษ 1

)2 630 เศษ 0

)2 315 เศษ 0

)2 157 เศษ 1

)2 78 เศษ 1

)2 39 เศษ 0

)2 19 เศษ 1

)2 9 เศษ 1

)2 4 เศษ 1

)2 2 เศษ 0

1 เศษ 0

เมอนาผลจากการหารตงแตขางลางสดยอนไปขางบนจงไดวา 22,521 100 111 011 001= ๛

16

4.2.3 การแปลงเลขฐาน a ใหเปนเลขฐาน b

ในหวขอทผานมาดกลาวถงการแปลงเลขฐานสบ ใหเปนฐานอน ๆ และการแปลงเลขฐานอน ๆ ใหเปน

เลขฐานสบ มาแลว ในหวขอนจะกลาวถงการแปลงเลขฐานซงไมเปนฐานสบ ใหเปนอกฐานหนงท

ตางกน

ในการแปลงเลขฐานหนงไปยงอกฐานหนงอาจมวธเฉพาะเจาะจง เชน การแปลงเลขฐานสอง

ใหเปนฐานสหรอฐานแปด หรอ ฐานสบหก ซงไมไดยงยากและซบซอน ดงตอไปน

ตวอยาง 4.2.6 การแปลงคาเลขฐานสองใหเปนเลขฐานส สามารถคานวณไดจากการแบงกลม

เลขฐานสองออกเปนกลม ๆ กลมละ 2 หลกจากดานขวามาดานซาย แลวหาคาปกตของเลขแตละกลม

(แปลงเลขฐานสองแตละกลมใหเปนเลขฐานสบ) จากนนจงนาตวเลข

ทไดมาเรยงตอ เชน ตองการเปลยน 211011001110 ใหเปนเลขฐานส

ทาโดยการแบงกลม 11011001110

ออกเปน

1 10 11 00 11 10 ซงเลขฐานสองในแตละกลมจะมคาในฐานสบเรยงตามลาดบเปน

1 2 3 0 3 2 จงไดวา 2 411011001110 123032=

ซงสามารถตรวจสอบไดวาผลลพธนนเปนจรง ๛

ตวอยาง 4.2.7 การแปลงคาเลขฐานสองใหเปนเลขฐานแปด สามารถคานวณไดจากการแบงกลม



ทไดมาเรยงตอ เชน ตองการเปลยน 211011001110 ใหเปนเลขฐานแปด


ออกเปน

11 011 001 110 ซงเลขฐานสองในแตละกลมจะมคาในฐานสบเรยงตามลาดบเปน

3 3 1 6 จงไดวา 2 811011001110 3316=


17

ตวอยาง 4.2.8 การแปลงคาเลขฐานสองใหเปนเลขฐานสบหก สามารถคานวณไดจากการแบงกลม



ทไดมาเรยงตอ เชน ตองการเปลยน 211011001110 ใหเปนเลขฐานสบหก


ออกเปน

110 1100 1110 ซงเลขฐานสองในแตละกลมจะมคาในฐานสบเรยงตามลาดบเปน

6 12 14 หรอ 6 C E ในสญลกษณของเลขฐานสบหก

จงไดวา 2 1611011001110 6CE=


จากตวอยางทแสดงใหด แททจรงเปนการเปลยนเลขฐานหนงไปยงอกฐานหนงโดยการแปลง

ผานเลขฐานสบ ดงนนจงไมมความจาเปนในการจดจาวธแปลงเลขฐานแบบเฉพาะเจาะจงเหลานแต

อยางใด หากผเรยนทราบวธหาคาเลขฐานเหลานนในระบบฐานสบและทราบวธแปลงเลขฐานสบใหเปน

ฐานทตองการไดกสามารถแปลงเลขฐานตาง ๆ ใหเปนฐานใด ๆ กได อปมาเหมอนกบการเดนทางไป

ตางประเทศทไมจาเปนตองแลกเงนตราในทกสกลเงนททาอากาศยานสวรรณภม เพยงแตเรามเงนบาท

ไปแลกเงนสกลหลก เชน เงนเหรยญสหรฐอเมรกา เงนยโร เชนน ยอมสามารถแลกเปนเงนสกลใดกได

เมอเดนทางไปถงทาอากาศยานของประเทศทเปนจดหมาย เงนสกลหลกทวากเปรยบไดกบเลขในระบบ

ฐานสบนนเอง

ตวอยาง 4.2.9 จงแปลง 3210020 ใหเปนเลขฐานหา

วธทา

ขนตอนแรก เราเปลยน 3210020 ใหเปนเลขฐานสบ จะไดวา

( ) ( ) ( )5 4 13210020 2 3 1 3 2 3 486 81 6 573= × + × + × = + + =

ขนตอนท 2 เราเปลยน 573 ใหเปนเลขฐานหา ในทน สามารถแสดงไดวา

5573 4243=

นนคอ 3 5210020 4343= ๛

18


1. จงหาคาของเลขฐานตอไปน

1.1 210110100111

1.2 4133202

1.3 5120124

1.4 85612

1.5 1613 2A F

2. จงแปลงเลขฐานสบใหเปนเลขฐานอนทระบ

2.1 แปลง 12589 ใหเปนฐานสอง

2.2 แปลง 236987 ใหเปนฐานหา

2.3 แปลง 6748950 ใหเปนฐานหก

2.4 แปลง 21547 ใหเปนฐานแปด

2.5 แปลง 212458652 ใหเปนฐานสบหก

3. จงแปลงเลขฐานตอไปนใหเปนฐานทระบโดยวธใดกได

3.1 210111100100111 ใหเปนฐานส

3.2 210100100111 ใหเปนฐานแปด

3.3 21011110101001011 ใหเปนฐานสบหก

3.4 724032 ใหเปนฐานหา

3.5 524032 ใหเปนฐานสาม

19

4.3 การคานวณระบบตาแหนง

(Computation in Positional Systems)

การคานวณ คอการกระทาโดยใชตวกระทาทนยามมาอยางรดกมภายใตขอตกลงในระบบหนง ๆ ดงนน

การคานวณในระบบตาแหนงยอมหมายถงการกระทาเพอใหไดมาซงตวเลขตวใหมโดยใชตวเลขเดมทม

อยแลวภายใตระบบตาแหนงนน ๆ ตวกระทาในระบบตาแหนงทจะกลาวถงในทนเรมตนมาจากการ

บวกปกต จากนนเราจงนยามการลบโดยใหการลบเปนการบวกเพมดวยจานวนตรงขาม (ตวผกผน

สาหรบการบวก) ของจานวนทจะนามาลบนน ๆ กลาวคอ

( )x y x y− = + − ซงในทน y− หมายถงจานวนตรงขามของ y

จากนนเรานยามการคณ โดยใหการคณเปนการบวกจานวนจานวนหนงดวยตวมนเองไปเปนจานวนครง

ทแนนอน เชน

5 3 5 5 5 15× = + + = หรอ

15 3 5 5 52

× = + + + ครงหนงของ 5

15 5 5 22

= + + +

1172

=

ในทางกลบกน

3 5 3 3 3 3 3 15× = + + + + = ตรงนเปนการนยามการคณทเปนทถกเถยงกนอยางดเดดเผดมนจากคนทไมเขาใจในระเบยบวธทาง

คณตศาสตรในโลกอนเทอรเนตอยชวงหนง

ตอจากนเราจงนยามการหาร โดยกาหนดวาการหาร a ดวย b คอการเอา a เปนทตงแลว

หกคา a ออกครงละ b ( ...a b b b b− − − − ) ทาเชนนไปเรอย ๆ จนกระทงไมเหลออะไรเลย หรอ

เหลอนอยจนหกตอไปไมไดแลว เรยกจานวนครงททาการหกออกวา ผลหาร เรยกสงทเหลอจากการหก

ออกซงหกตอไปไมไดแลววาเศษเหลอจากการหาร ถาหกไดหมดพอดกเรยกวาหารลงตว เรยก a วา

ตวตงและเรยก b วาตวหาร เชน

ในการหาร 10 ดวย 2 เราจะไดวา 10 2 2 2 2 2 0− − − − − = จะเหนวามการหกออกจานวน

5 ครงจนหมดพอด จงสรปวา ในการหาร 10 ดวย 2 ไดผลลพธเปน 5 และเปนการหารลงตว การ

นยามการหารเชนนเราสามารถกลาวไดวา ในการหารแตละครง ถาตวตงไมเปนศนยแลวตวหารจะเปน

ศนยไมไดเนองจาก 0 0 0 0 0a − − − − − จะไมมวนหมดไป จงไมมการหารดวยศนย ในทางตรงขาม ถา

ตวตงเปนศนยและตวหารกเปนศนย การหารนนอาจบงเกดผลกได หรอเราอยากใหมนเปนอะไรกได

ตามใจ เชนทเรารยกวารปแบบยงไมกาหนด (indeterminate form) นนเอง ถาเราเขาใจการหารวาเปน

20

อะไรเชนน จะทาใหเราสามารถหาผลหารไดอยางงายและเขาใจถองแทโดยไมตองทองจาหลกหรอ

กฏเกณฑใด ๆ เชน ตองการหาร 0.8 ดวย 0.2 เราสามารถพจารณาไดวา

0.8 0.2 0.2 0.2 0.2 0− − − − =

ตองทาการลบออกทงหมด 4 ครง จงหมดไปพอด ดงนน 0.8 ดวย 0.2 จงมผลลพธเปน 4 เปนตน

ในหวขอนจะกลาวถงการคานวณในระบบตาแหนงเฉพาะการบวก การลบ การคณและการ

หารเทานน

4.3.1 การบวกในระบบตาแหนง

เพอใหเหนภาพทเปนรปธรรม จะยกตวอยางการบวกเลขในระบบตาแหนง หรอการบวกเลขฐาน

เหมอนกบทเคยยกตวอยางในเรองการมดดอกบวเปนกา ในฐานเจดกคอการมดรวมใหไดกาละเจดดอก

ถาไดกาละเจดครบเจดกากใหมดรวมเปนกาใหญตอไปอกเชนนไปเรอย ๆ กรณทมดอกบว 2 กลม กลม

แรกม 1 กากบ 6 ดอก อกกลมม 2 กา กบ 4 ดอก เมอนามารวมกนกจะได 3 กากบ 11 ดอก ซง

สามารถนามามดรวมไดเปนอกกาหนง กลายเปนดอกบวทงหมด 4 กาและเหลอดอกบวทไมไดมดอก 3

ดอก ในทนเราเทยบใหเปนสญลกษณทางคณตศาสตรคอ

7 7 71 6 2 4 4 3+ =

พจนแรกทางซายมอของสมการแสดงถงจานวนดอกบวกลมแรก พจนหลงแสดงจานวนดอกบวกลมท

สอง และพจนทางขวาของสมการกคอผลจากการรวมดอกบวทงหมดเขาดวยกน อนทจรงการบวกนถอ

เปนการบวกปกต เราทาการบวกตวเลขในหลกทตรงกน กลาวคอ เมอนา 6 มาบวกกบ 4 จะไดผลลพธ

เปน 10 ซงเทากบ 71 3 จงเขยน 3 ไวในผลบวกแลวนา 1 ไปทดในหลกตอไปและทาการบวกอกครง

หนง

11 62 44 3

+

21

ตวอยาง 4.3.1 จงใชแนวคดดงทอธบาย หาผลบวก

5 51 4 3 3 4 4+

วธทา

ในหลกหนวย 53 4 7 1 2+ = = ไดผลลพธเปน 2 ทด 1

ในหลกสบ 4 4 8+ = รวมกบททดอก 1 เปน 59 1 4= ไดผลลพธเปน 4 ทด 1

ในหลกรอย 1 3 4+ = รวมกบททดอก 1 เปน 55 1 0= ไมมการทดอกตอไป ดงนน

1 11 4 33 4 4

1 0 4 2

+

จงตอบวา

5 5 51 4 3 3 4 4 1 0 4 2+ =

๛

ตวอยาง 4.3.2 จงหาผลบวก

16 165 8B A F F A C+

วธทา

ในหลกหนวย 1615 12 27 1F C B+ = + = = ไดผลลพธเปน B ทด 1

ในหลกสบ 10 10 20A A+ = + = รวมกบททดอก 1 เปน 1621 1 5= ไดผลลพธเปน 5 ทด 1

ในหลกรอย 5 5 15 20F+ = + = รวมกบททดอก 1 เปน 1621 1 6= ไดผลลพธเปน 6 ทด 1

ในหลกพน 8 11 8 19B + = + = รวมกบททดอก 1 เปน 1620 1 4= ไมมการทดอกตอไป ดงนน

1 1 15

81 4 6 5

B A FF A C

B

+


16 16 165 8 1 4 6 5B A F F A C B+ =

๛

4.3.2 การลบในระบบตาแหนง

เพอใหเหนแนวคดทเปนจรงและงายตอการทาความเขาใจวธการลบเลขในระบบตาแหนง จะกลาวถง

การลบทตงมคามากกวาตวลบเทานน ในการลบกจะทาการลบตวเลขในหลกเดยวกบ ถาตวตงมคา

นอยกวากตองมการยมคาของจานวนมาจากหลกขางหนาเชนการลบเลขฐานสบทวไป ดงแสดงใน

ตวอยางตอไปน

22

ตวอยาง 4.3.3 จงหาผลลบ

8 87 4 3 3 2 4−

วธทา

ในหลกหนวยลบ 4 ออกจาก 3 ไมได ตองยมหลกขางหนามา 1 ซงในเลขฐาน 8 เลข 1 ในหลกหนามคา

เปน 8 (เชนการยมดอกบวกาละแปดมากาหนง มาแกะมดออก ไดดอกบวจานวนทงสน 8 ดอก) รวม

กบ 3 ทมอยกลายเปน 11 จงไดวา 11 4 7− = เขยนแสดงผลลพธไว

ในหลกสบ 4 ถกยมไป 1 เหลอ 3 3 2 1− = เขยนแสดงผลลพธไว

ในหลกรอย 7 ไมไดถกยมจงคงคาเดม 7 3 4− = เขยนแสดงผลลพธไว

ดงนน

7 4 33 2 44 1 7

-


8 8 87 4 3 3 2 4 4 1 7− =

๛

ตวอยาง 4.3.4 จงหาผลลบ

16 165 8B A F F A C−

วธทา

ในหลกหนวย 1615 12 3F C− = − = เขยนแสดงผลลพธไว

ในหลกสบ 0A A− = เขยนแสดงผลลพธไว

ในหลกรอย 5 F− ไมไดผล ตองยมจากหลกพนมา 1 ซงมคาเทากบ 16 ในหลกรอย 16เมอนามา

รวมกบ 5 เปน 21 จงไดวา 1621 21 15 6F− = − = เขยนแสดงผลลพธไว

ในหลกพน B ถกยมไป 1 เหลอ A จงไดวา 168 10 8 2A− = − = เขยนแสดงผลลพธไว

ดงนน

582 6 0 3

B A FF A C

-


16 16 165 8 2 6 0 3B A F F A C− =

๛

23

4.3.3 การคณในระบบตาแหนง

เมอเราคนเคยกบการบวกแลว การคานวณหาผลคณของเลขในระบบตาแหนงกไมใชเรองยากอกตอไป

อยางไรกตาม จะเรมหาผลคณของจานวนในระบบตาแหนงกบตวคณซงมหลกเดยวกอน

ตวอยาง 4.3.5 จงหาผลคณ

8 87 4 3 5×

วธทา

จะเรมคณเชนเดยวกบการคณเลขฐานสบตามปกต โดยการคณหลกหนวยกบตวคณกอน

ในอนดบแรก จะไดวา 83 5 15 1 7× = = เขยนแสดงผลลพธ 7 แลวทด 1 ไวเหนอหลกถดไป

จากนนจงคณหลกสบกบตวคณ จะไดวา 4 5 20× = รวมกบ 1 ททดไว กลายเปน 821 2 5= เขยน

แสดงผลลพธ 5 แลวทด 2 ไวเหนอหลกถดไป

ในหลกจะไดวา 7 5 35× = รวมกบ 2 ททดไว กลายเปน 837 4 5= จงเขยนแสดงผลลพธ 4 5 โดย

ไมทดอกเนองจากการคณจบสนแลว

ดงนน

2 17 4 3

54 5 5 7

×


8 8 87 4 3 5 4 5 5 7× =

ทงนสามารถตรวจสอบไดวาผลคณเปนจรงเนองจาก

8 8 87 4 3 5 483 5 2415 4 5 5 7× = × = = ๛


16 165B A F C×

วธทา

ในหลกหนวย 1615 12 180 4F C B× = × = = เขยนแสดงผลลพธ 4 ทด B ไวเหนอหลกสบ

ในหลกสบ 10 12 120A C× = × = รวมกบ B ททดไว ได 16120 120 11 131 83B+ = + = =

เขยนแสดงผลลพธ 3 ทด 8 ไวเหนอหลกรอย

ในหลกรอย 5 5 12 60C× = × = รวมกบ 8 ททดไว ได 1660 8 68 44+ = = เขยนแสดงผลลพธ 4

ทด 4 ไวเหนอหลกพน

24

ในหลกพน 11 12 132B C× = × = รวมกบ 4 ททดไว ได 16132 4 136 88+ = = เขยนแสดง

ผลลพธ 8 8 ไวโดยไมทดอกเนองจากการคณจบสนแลว

ดงนน

4 85

8 8 4 3 4

BB A F

C×


16 16 165 8 8 4 3 4B A F C× =


16 16 165 46511 12 558132 8 8 4 3 4B A F C× = × = = ๛

การคณผลคณของเลขฐานกบตวคณทมมากกวาหนงหลกกใชวธเดยวกบการคณเลขฐานสบทมตวคณ

มากกวาหนงหลก นนคอหาผลคณของตวตงกบแตละหลกของตวคณแลวนาผลลพธมาบวกกนในระบบ

ตาแหนงนน ๆ


5 53 4 3 42×

วธทา

(1) โดยการหาผลคณ 5 53 4 3 2×

1 13 4 3

21 2 4 1

×

จะไดวา

5 5 53 4 3 2 1 2 4 1× =

(2) โดยการหาผลคณ 5 53 4 3 4×

3 23 4 3

43 0 3 2

×

25

จะไดวา

5 5 53 4 3 4 3 0 3 2× =

(3) จงไดวา

3 4 34 2

1 2 4 13 0 3 23 2 1 1 1

×

+


5 5 53 4 3 42 3 2 111× =


5 5 53 4 3 42 98 22 2156 3 2 111× = × = = ๛


16 162 4 8A B E D×

วธทา

(1) โดยการหาผลคณ 16 162 4A B D×

1 3 82 4

8 3

A BD

D C F

×

จะไดวา

16 16 162 4 8 3A B D D C F× =

(2) โดยการหาผลคณ 16 162 4 8A B ×

1 2 52 4

85 1 2 5 8

A B×

จะไดวา

16 16 162 4 8 5 1 2 5 8A B × =

26

(3) โดยการหาผลคณ 16 162 4A B E×

2 4 92 4

8 0 1

A BE

E A

×

จะไดวา

16 16 162 4 8 0 1A B E E A× =

(4) จงไดวา

2 48

8 35 1 2 5 8

8 0 19 3 9 7 4

A BE DD C F

E AD F

+


16 16 162 4 8 9 3 9 7 4A B E D D F× =


16 16 162 4 8 41547 3725 154762575 9 3 9 7 4A B E D D F× = × = = ๛

4.3.4 การหารในระบบตาแหนง

ดงทไดกลาวมาแลววา การหารนนคอการลบจานวนทเปนตวตงดวยคาเดมซาไปเรอย ๆ จนกวาคาของ

ตวตงจะกลายเปนศนย หรอมเชนนนกเหลอคาทไมสามารถลบตอไปไดอก จานวนครงทนาไปลบออก

คอผลหาร ในกรณทตวหารเปนจานวนเตมบวก เราสามารถใหความหมายของการหารทสมมลกบ

ความหมายดงทกลาวมาวา การหารคอการแบงคาของจานวนทเปนตวตงออกเปนกลม ๆ กลมละเทา

ๆ กน เชน การหารจานวนเตมใด ๆ ดวยจานวนเตมบวก n คอการแบงจานวนนนใหไดผลลพธออกมา

เปนจานวนเตม n กลม กลมละเทา ๆ กนโดยอาจจะเหลอเศษหรอไมกได เชนการหาร 60 ดวย 2 จะ

หมายถงการแบง 60 ออกเปน 2 กลม กลมละ 30 หรอ การหาร 50 ดวย 3 กคอการแบง 50

ออกเปน 3 กลม กลมละเทา ๆ กน กจะไดกลมละ 16 เหลอเศษ 2 เปนตน ในการหาผลหารของตวเลข

ในระบบตาแหนงสามารถอธบายใหเปนรปธรรมไดโดยใชตวอยางของมดดอกบวเชนเดม

สมมตวาเรามดอกบวมดเลก มดละ 7 ดอกอย 4 มด เศษของดอกบวทไมครบมด อก 6 ดอก

เราจะมดอกบวทงหมด 34 ดอก ในทนเราอาจแทนจานวนดอกบวไดโดยใชเลขฐานเจดคอ 74 6

27

ถาเราตองการแบงดอกบวออกเปน 3 กลมเทา ๆ กน เรากจะทาการแยกดอกบว 4 มดออกเปน 3 กลม

ไดกลมละหนงมด ทเหลออก 1 มดกนามาแกะได 7 ดอก รวมกบดอกทไมไดมดเดมอก 6 ดอก รวมเปน

13 ดอก แบงออกเปน 3 สวนเทา ๆ กนนาไปใสรวมกบกลมทง 3 ทไดแบงไวแลว กจะไดสวนละ 4 ดอก

เหลอเศษ 1 ดอก และเราจะเหนวา หลงจากการแบงดงน จะไดดอกบว 3 กลม กลมละ 1 มด กบ 4

ดอก เหลอเศษ 1 ดอก ในทางคณตศาสตรกคอการหาร 74 6 ดวย 3 ซงใหผลลพธเปน 71 4 เศษ 1

ทกลาวมานเปนความหมายของการหารเลขในระบบตาแหนง ทงนการหารตวเลขระบบ

ตาแหนง เราจะเขยนพหคณของตวหารไวเพอปองกนความสบสนทอาจเกดขน ทงนวธการหารกอาศย

หลกการเดยวกบการหารยาวในระบบเลขฐานสบ ใหพจารณาตวอยางตอไปน

ตวอยาง 4.3.9 จงหาผลหาร

9 94 8 5 1 7÷

วธทา

เราจะหมายเหตไววา ในระบบฐาน 9 พหคณของ 7 คอ

97 1 7× = 97 2 14 1 5× = = 97 3 21 2 3× = = 97 4 28 3 1× = = 97 5 35 3 8× = = 97 6 42 4 6× = = 97 7 49 5 4× = = 97 8 56 6 2× = = 97 9 63 7 0× = =

ดงนน โดยการตงหารยาว

6 3 27 4 8 5 1 เนองจาก 4 หารดวย 7 ไมได จงพจารณา 4 8 แทน จะไดวา 7 คณ 6 ได 4 2

ดงนน 4 8 หาร 7 ได 6 จงเขยน 6 ไวขางบน 4 8 – 4 6 ได 2 ดง 5 ลงมา

4 62 5

− เนองจาก 7 คณ 3 ได 2 3 ดงนน 2 5 หารดวย 7 ได 3 จงเขยน 3 ไวขางบน

2 5 – 2 3 ได 2 ดง 1 ลงมา

2 30 2 1

−

เนองจาก 7 คณ 2 ได 1 5 ดงนน 2 1 หารดวย 7 ได 2 จงเขยน 2 ไวขางบน

2 1 – 1 5 ในฐานเกาได 5 เปนเศษเหลอจากการหาร

1 55

− นนคอ

9 9 94 8 5 1 7 6 3 2÷ = เหลอเศษ 5

ทงนสามารถตรวจสอบไดวา 9 9 94 8 5 1 7 3610 7 515 6 3 2÷ = ÷ = = เศษ 5 ๛

28


8 87 4 3 5÷

วธทา

เราจะหมายเหตไววา ในระบบฐาน 8 พหคณของ 8 คอ

85 1 5× = 85 2 10 1 2× = = 85 3 15 1 7× = = 85 4 20 2 4× = = 85 5 25 3 1× = = 85 6 30 3 6× = = 85 7 35 4 3× = = 85 8 40 5 0× = =


1 4 0

5 7 4 3 เนองจาก 7 หารดวย 5 ได 1 เศษ 2 ดง 4 ลงมา

52 4

− เนองจาก 5 คณ 4 ได 2 4 ดงนน 2 4 หารดวย 5 ได 4

2 40 0 3

− แลวจงเตมเลขศนยไวตรงผลหารเนองจากไมมการหารครง

สดทายแลว และเนองจาก 5 หาร 3 ไมไดแลว จงตอบวา

8 8 87 4 3 5 140÷ = เหลอเศษ 3 ๛


5 54 0 4 2 1 4÷

วธทา

เราจะหมายเหตไววา ในระบบฐาน 5 พหคณของ 1 4 คอ

51 4 1 1 4× = 51 4 2 3 3× = 51 4 3 1 0 2× =

51 4 4 1 2 1× = 51 4 5 1 4 0× =


29

2 1 31 4 4 0 4 2 เนองจาก 4 หารดวย 14 ไมได จงพจารณา 4 0 แทน ไดวา 1 4 คณ 2 ได 3 3

ดงนน 4 0 หาร 1 4 ได 2 จงเขยน 6 ไวขางบน 4 0 – 3 3 ในฐานหา ได 2

ดง 4 ลงมา

3 32 4

− เนองจาก 1 4 คณ 1 ได 1 4 ดงนน 2 4 หารดวย 1 4 ได 1 จงเขยน 1 ไวขางบน

2 4 – 1 4 ในฐานหา ได 1 0 ดง 2 ลงมา

1 41 0 2

−

เนองจาก 1 4 คณ 3 ได 1 0 2 ดงนน 1 0 2 หารดวย 1 4 ได 3 ลงตว จง

เขยน 3 ไวขางบน 1 0 2 -1 0 2 =0 ไมมเศษเหลอจากการหาร

1 0 20 จงตอบวา

5 5 54 0 4 2 1 4 2 1 3÷ =

ทงนสามารถตรวจสอบไดวา 5 5 54 0 4 2 1 4 522 9 58 2 1 3÷ = ÷ = = ๛

30


1. จงหาผลบวก

1.1 2 21011001 1001001+

1.2 4 4202310 21131+

1.3 6 6532014 231542+

1.4 8 875164 23654+

1.5 16 1613 2 4 3AB CF E+

2. จงหาผลลบ

2.1 3 3211012 21101−

2.2 5 51432014 231042−

2.3 7 71652344 631542−

2.4 9 9751086 287604−

2.5 16 161 23 2 45 3A C D E−

3. จงหาผลคณ

3.1 2 21011001 1011×

3.2 3 3211012 211×

3.3 5 52014 234×

3.4 8 8754 234×

3.5 16 161 2 3AC D E×

4. จงหาผลหาร

4.1 3 3211012 12÷

4.2 4 4202310 13÷

4.3 5 51414 42÷

4.4 7 71652344 62÷

4.5 16 1628 2A C E÷

31

4.4 ระบบการคณานบยคกอน

(Early Numeration Systems)

ในหวขอ 4.1 กลาวถงระบบตาแหนงยคกอนทสาคญไปแลว และในหวขอนนเราไดเวนการกลาวถง

รายละเอยดบางอยางไป แตเนองจากหวขอ 4.2 เราไดกลาวถงระบบเลขฐานตาง ๆ เพมเขามา ในหวขอ

นจงจะกลบมาเกบรายละเอยดของระบบเลขทไดขามไปใหสมบรณยงขน

4.4.1 ระบบตวเลขบาบโลน

จากหวขอ 4.1.2 เราจะเหนวาระบบตวเลขบาบโลนนนเปนระบบเลขฐานหกสบ กลาวคอการเขยนเลข

บาบโลนเปนหลก ๆ แตละหลกจะมคาประจาหลกเปน

... 360 60 60 60× × = 260 60 60× = 160 60= 01 60=

ในทน ระบบเลขบาบโลนทไมมสญลกษณของเลขศนย กระนนชาวบาบโลนกมการแกปญหาโดยใชการ

เวนระยะหางแทนเลขศนย ในหวขอนจะกลาวถงการแปลงเลขฐานสบใหเปนสญลกษณบาบโลน

การแปลงเลขฐานสบใหเปนสญลกษณบาบโลนนน ม 2 ขนตอน ขนตอนแรกจะแปลง

เลขฐานสบใหเปนฐานหกสบแลวจงเขยนสญลกษณบาบโลนแทนเลขฐานหกสบแตละหลกทหามาได

ตวอยาง 4.4.1 จงแปลง 4,531,234 ใหเปนสญลกษณบาบโลน

วธทา

ขนตอนท 1 แปลง 4,531,234 ใหเปนเลขฮนด-อารบกฐานหกสบ ในทนรายละเอยดของการแปลง

ไดกลาวไวแลวในหวขอทผานมา

เราไดวา 4,531,234 = 20 58 40 34

ขนตอนท 2 ใชตารางท 4.1.1 เขยนสญลกษณบาบโลน จะไดวา

4,531,234 = << <<<<<VVVVVVVV <<<< <<<VVVV

๛

ตวอยาง 4.4.2 จงแปลง 6,847,224 ใหเปนสญลกษณบาบโลน

วธทา

ขนตอนท 1 แปลง 6,847,224 ใหเปนเลขฮนด-อารบกฐานหกสบ

เราไดวา 6,847,224 = 31 42 0 24

32

ขนตอนท 2 ใชตารางท 4.1.1 เขยนสญลกษณบาบโลน และเนองจากใชการเวนระยะหางแทนเลข 0

จะไดวา

6,847,224 = <<<V <<<<VV <<VVVV

๛

4.4.2 ระบบตวเลขมายน

จากหวขอ 4.1.3 เราจะเหนวาระบบตวเลขมายนนนเปนระบบเลขฐานยสบกไมใช ฐานสบแปดกไมเชง

เนองจากการเขยนเลขมายนเปนหลก ๆ แตละหลกจะมคาประจาหลกเปน

... 318 20× 218 20× 18 20× 20 1

อยางไรกตามเราจะอางวาเลขมายนเปนระบบเลขฐานปฏทนมายน ในหวขอนจะกลาวถงการแปลง

เลขฐานสบใหเปนสญลกษณมายน

การแปลงเลขฐานสบใหเปนสญลกษณมายนนน ม 2 ขนตอนเชนกน ขนตอนแรกจะแปลง

เลขฐานสบใหเปนฮนด-อารบกฐานปฏทนมายนเสยกอน แลวจงเขยนสญลกษณบาบโลนแทนเลขแตละ

หลกทหามาได

ในการแปลงเลขฐานสบใหเปนฮนด-อารบกฐานปฏทนมายนนนสามารถทาไดเชนการแปลงเลข

ฐานตาง ๆ นนคอเราจะทาการหารแลวเกบเศษทไดจากการหารมาเขยนเปนเลขฐานใหม ในการนจะ

สงเกตเหนวาในการเขยนปฏทนแบบมายนนนจะเขยนเปน 5 หลก คอ

. . . .pp qq rr ss tt

โดยท หลกแรกนบจากขวามอแสดงวนทในแตละเดอน กาหนดโดยตวเลข 0-19

หลกท 2 แสดงเดอนทในแตละ tun กาหนดโดยตวเลข 0-17

หลกท 3 แสดงลาดบของ tun ในแตละ catun กาหนดโดยตวเลข 0-19

หลกท 4 แสดงลาดบของ catun ในแตละ baktun กาหนดโดยตวเลข 0-19

และหลกท 5 แสดงลาดบของ baktun ในแตละ pictun กาหนดโดยตวเลข 0-19 เชนกน

ทานองเดยวกน การเขยนเลขแบบมายนจะมหลกหนวยทกาหนดโดยตวเลข 0-19 หลกสบท

กาหนดโดยตวเลข 0-17 และหลกอน ๆ หลงจากนกาหนดโดยตวเลข 0-19 เหมอนกนหมด ทงนในการ

หารเพอเกบเศษ การหารครงแรกจะไดเศษสาหรบเปนตวเลขในหลกหนวย จงตองหารเลขฐานสบดวย

20 เพอใหไดตวเลข 0-19 ตามตองการ แตในขนท 2 เพอใหไดตวเลข 0-17 จะตองหารดวย 18 และใน

ขนตอนหลงจากนจงสามารถหารดวย 20 ตอไปเรอย ๆ ขอใหดตวอยางตอไปน

33

ตวอยาง 4.4.3 จงแปลง 4,531,234 ใหเปนสญลกษณมายน

วธทา

ขนตอนท 1 แปลง 4,531,234 ใหเปนเลขฮนด-อารบกฐานมายน

(1) 4,531,234 หารดวย 20 ได 226,561 เศษ 14

(2) 226,561 หารดวย 18 ได 12,586 เศษ 13

(3) 12,586 หารดวย 20 ได 629 เศษ 6

(4) 629 หารดวย 20 ได 31 เศษ 9

(5) 31 หารดวย 20 ได 1 เศษ 11

จงไดเลขฐานมายนเรยงลาดบจากหลกคาสงไปหลกหนวยเปน

1 11 9 6 13 14

ขนตอนท 2 เขยนสญลกษณมายนโดยใหหลกคาสงอยบน หลกหนวยอยลางสด ไดเปน

๛

ตวอยาง 4.4.4 จงแปลง 1,874,862 ใหเปนสญลกษณมายน

วธทา

ขนตอนท 1 แปลง 1,874,862 ใหเปนเลขฮนด-อารบกฐานมายน

(1) 1,874,862 หารดวย 20 ได 93,743 เศษ 2

(2) 93,743 หารดวย 18 ได 5,207 เศษ 17

(3) 5,207 หารดวย 20 ได 260 เศษ 7

(4) 260 หารดวย 20 ได 13 เศษ 0

จงไดเลขฐานมายนเรยงลาดบจากหลกคาสงไปหลกหนวยเปน

13 0 7 17 2

34

ขนตอนท 2 เขยนสญลกษณมายนโดยใหหลกคาสงอยบน หลกหนวยอยลางสด ไดเปน

๛

4.4.3 ระบบตวเลขโรมน

ประวตศาสตรไดบนทกไววาในราว 753 ปกอนครสตศกราช ไดมชนเผาหนงเขามาตงฐนฐานในดนแดน

แถบลมแมนาไทเบอรบรเวณแหลมอตาลในปจจบน โดยเรยกหมบานของพวกเขาวา “โรม” ตามชอของ

ผนาชนเผาคอ “โรมวลส” และ “เรมส” สองพนอง และตอมาชนเผานกถกเรยกวา “โรมน” ตามชอ

หมบานทพวกเขาปกหลกอย ทงนไมมหลกฐานแนนอนวาอพยพมาจากทใด ซงในสถานทเดยวกนนกม

ชนเผาอกชนเผาหนงอพยพมาปกหลกอยทนและแผนอทธพลสรางอาณาจกรของตนอยกอนลวงหนา

แลวเปนเวลาเกอบ 300 ป คอชาวอทรสกน โดยมการสถาปนาอาณาจกรอทรสกนอยทางทศเหนอของ

โรม ซงดนแดนศนยกลางของชาวอทรสกนนกคอตรงทเปนแควนทสคานย (Tuscany) ในปจจบน สวน

ทางดานทศใตของแหลมอตาลนนกมชนเผาชาวกรกไดมาตงถนฐานอยกอนอกเชนกน โดยมศนยกลาง

อยทเมองเนเปล (Naples) และทเกาะซซล ชาวอทรสกนนนเปนชนเผาขยนขนแขงและชางเรยนร

สามารถสรางถาวรวตถ ศาสนสถาน และอาคารบานเรอน พรอมทงวางระบบสาธารณปโภคตาง ๆ ท

ทาใหดนแดนแหงนกลายเปนอาณาจกรทมอารยธรรมเจรญรงเรองขนเปนอยางมากในแถบทะเลเมด

เตอรเรเนยน เมอชนเผาชาวโรมนไดอพยพเขามาในดนแดนนกสามารถปรบตวอยอาศย กลมกลนเขา

กบสงคมทงของชาวอทรสกนและชาวกรกไดเปนอยางด แรกเรมทเดยวนนชาวโรมนกยงคงอยภายใต

อทธพลของกษตรยแหงอทรสกน ชาวโรมนนนประกอบอาชพเกษตรกรรมและคาขายอยกบระหวางชาว

อทรสกนและชาวกรก ตอมากประสบชองทางในการสรางสงคมของตนเองใหเจรญรงเรองขนทดเทยม

อทรสกนและกรก เนองจากทตงของชาวโรมนอยกลางระหวางชาวอทรสกนและชาวกรก ทาใหโรม

กลายเปนศนยกลางของการเดนทางตดตอทาการคากนระหวางชนชาตทงสามจนกระทงในทสด จาก

หมบานเลก ๆ กขยายอาณาบรเวณออกไปเรอย ๆ ประกอบกบชาวโรมนเองกขยายเผาพนธของตนขน

35

อยางรวดเรวดวยเชนกน จงทาใหโรมนนไดกลายสภาพเปนเมองใหญขนเรอยมา ในทสดเมอชาวโรมน

สามารถสรางชนชาตของตนเองขนมาทดเทยมชนชาตอนไดแลว ในราว 510 ปกอนครสตศกราช ชาว

โรมนกไดเรมยดอานาจชาวอทรสกนและกรก แลวสถาปนาอาณาจกรของตนเองดวยการปกครองใน

แบบสาธารณรฐขนแทน ประมาณ 300 – 100 ปกอนครสตศกราช ชาวโรมนนาตวหนงสอกรกตามท

แสดงในตาราง 4.4.1 มาดดแปลงเปนตวเลขโรมน ไดเปนสญลกษณพนฐานเจดตวตามตารางท 4.4.2

Alpha A α Nu N ν

Beta B β Xi Ξ ξ

Gamma Γ γ Omicron O ο

Delta ∆ δ Pi Π π

Epsilon E ε Rho Ρ ρ

Zeta Z ς Sigma Σ σ

Eta H η Tau T τ

Theta Θ θ Upsilon ϒ ϑ

Iota I ι Phi Φ ϕ

Kappa K κ Chi X χ

lambda Λ λ Psi Ψ ψ

Mu M µ Omega Ω ϖ

ตารางท 4.4.1 ตวอกษรกรกทงพมพใหญและพมพเลก 24 ชด

ตวเลขโรมน I V X L C D M

ตวเลขฮนด-อารบก 1 5 10 50 100 500 1000

ตารางท 4.4.2 ตวเลขพนฐานของโรมน

หลกการเขยนตวเลขโรมนแทนจานวนนนมการกาหนดหลกเกณฑทเกยวของกบตาแหนงของตวเลข

พอจะถอไดวาเปนตวเลขระบบตาแหนงได หลกการดงกลาวคอ

(1) สญลกษณแตละตวจะเขยนตดกนไดไมเกน 3 ตว ยกเวนตว M

36

(2) เขยนโดยใชหลกการนบจานวนตวเลขปกต โดยใหเขยนและอานสญลกษณเรยงลาดบ

คาจากมากไปนอย เชน

III = 1 + 1 + 1 = 3

XXII = 10 + 10 + 1 + 1 = 22

DDCCCLXVII = 500 + 500 + 100 + 100 + 100 + 50 + 10 + 5 + 1 + 1 = 1,367

(3) ถาสามารถเขยนไดมากกวา 1 แบบ ใหเขยนแบบทใชสญลกษณจานวนนอยทสด เชน

15VVV = และ 15XV = ใหใชแบบหลงเนองจากใชสญลกษณเพยง 2 ตว

(4) เพอหลกเลยงกฎขอแรก ใหเขยนตวเลขทมคานอยไวหนาตวเลขทมคามากไดเปนกรณ

พเศษ โดยไมถอวาขดกบขอท 2 ตวเลขพเศษทอนญาตมเพยง 6 ตวเทานน คอ

4IV = 9IX =

40XL = 90XC =

400CD = 900CM = หมายเหต

(1) หลกการเขยนตวเลขทมคานอยไวหนาตวเลขทมคามาก ไมไดถอวาเปนการลบแตอยางใด แต

เปนสญลกษณพเศษสาหรบเลข 6 ตวนเทานน การเขยนแบบอนใหถอวาเปนการบวกทงสน เชน IM

ไมไดถอวาเปน1000 1 999− = แตอยางใด การเขยนสญลกษณ IM กยงคงมคาเปน 1 1000 1001+ =

เพยงแตตองจดรปใหมใหถกตองเปน MI

(2) การใชเครองหมายขด ( – ) เขยนบนสญลกษณพนฐาน 6 ตว คอ , , , , V X L C D และ M

โดยสญลกษณใหมนจะมคาเปน 1,000 เทาของตวเลขเดม เพอใหเขยนตวเลขแทนจานวนคาสงขน

กลาวคอ

V แทนจานวน 5,000 C แทนจานวน 100,000

X แทนจานวน 10,000 D แทนจานวน 500,000

L แทนจานวน 50,000 M แทนจานวน 1,000,000

เชน เขยน 15,442 เปนเลขโรมน ไดเปน XVCDXLII นนมไดมแตเดมของชาวโรมน หากเปน

หลกการทสรางขนมาใหมโดยคนยคปจจบน

ตวอยาง 4.4.5 จงหาคาของเลขโรมน MCDXXXIV

วธทา ในการอานคาเลขโรมน ถามสญลกษณพเศษ 6 ตวเลข จะทาการคดแยกออกมากอน

ทงน จะเหนวามสญลกษณ 400CD = และ 4IV = ปรากฎอยดงนน

( ) ( ) 1000 400 30 4 1434MCDXXXIV M CD XXX IV M CD XXX IV= = + + + = + + + =

๛

37

ตวอยาง 4.4.6 จงหาคาของเลขโรมน DDDDDDXLVII

วธทา ในการอานคาเลขโรมน ถามสญลกษณพเศษ 6 ตวเลข จะทาการคดแยกออกมากอน

ทงน จะเหนวามสญลกษณ 40XL = ปรากฎอยดงนน

( ) 3000 40 5 2 3047DDDDDDXLVII DDDDDD XL VII DDDDDD XL V II= = + + + = + + + =

แตทงน การเขยน DDDDDD นนผดหลกการ จงตองเขยนใหมเปน MMM ซงใหคา 3000 เชนเดม

จงไดวา 3047DDDDDDXLVII MMMXLVII= = ในรปแบบทถกตอง

๛

โดยอาศยหลกการเดยวกน เราสามารถแปลงเลขอารบกฐานสบใหเปนเลขโรมนโดยพจารณา

ตวเลขพเศษทง 6 กอนเปนอนดบแรก

ตวอยาง 4.4.7 จงเขยน 3,549 เปนสญลกษณโรมน

วธทา 3,549 มตวเลขทตองใชสญลกษณพเศษคอ 40 และ 9

ดงนน 3,549 = 3,000 +500 +40 +9

= MMM +D +XL +IX

= MMMDXLIX

๛

ตวอยาง 4.4.8 จงเขยน 6,974 เปนสญลกษณโรมน

วธทา 6,974 มตวเลขทตองใชสญลกษณพเศษคอ 900 และ 4

ดงนน 6,974 = 6,000 +900 +70 +4

= 6,000 +900 +50 +20 +4

= MMMMMM +CM +L +XX +IV

= MMMMMMCMLXXIV

๛

4.4.4 ระบบเลขอยปต

ราชอาณาจกรอยปตไดรบการกอตงขนเมอหลายพนปกอนครสตศกราช มอายยาวนานตลอดชวง 3

รอบปฏทนมายนจนตองแบงยคของประวตศาสตรออกเปน 3 ยคไดแกราชอาณาจกรอยปตยคตน ยค

กลางและยคปลาย มอาณาเขตครอบคลมทราบลมแมนาไนลจากเมองแอสวานจนจรดชายฝงทะเลเมด

เตอรเรนยนของประเทศอยปตปจจบน อยปตโบราณเปนอารยธรรมหนงทเกาแกทสดในโลก และเปน

อารยธรรมแรก ๆ ทใหความสาคญอยางมากกบการจดบนทก งานศลปะและการสอสาร จงไดประดษฐ

กระดาษปาปรส (papyrus) ขนจากตนกกทพบไดทวไปในแถบลมแมนาไนล ชาวอยปตโบราณมอกษร

ภาพและตวเลขทเรยกวา ไฮโรกลฟ (Hieroglyph) อกษรภาพแทนตวเลขตางๆ ดงแสดงในตารางท 4.4.3

38

ตารางท 4.4.3 ตวเลขโบราณของอยปต

ทมา : https://ammetcalf2014.wordpress.com/author/ammetcalf2014/page/2/

สญลกษณแตละตวมความหมาย และใชแทนคาของจานวนดงตอไปน

ขด ความหมายคอมนษย มคาเทากบหนง

ประตโคง ความหมายคอแทนบชา มคาเทากบสบ

เชอกขดเปนวง ความหมายคอการสารวจดนแดน มคาเทากบหนงรอย

ดอกไม ความหมายคอพระอาทตยขนหรอการมชวตใหม มคาเทากบหนงพน

นวช ความหมายคองานหตถกรรมหรอการนบ มคาเทากบหนงหมน

ลกออดหรอกบ ความหมายคอการเกดหรอการงอก มคาเทากบหนงแสน

คนยกมอขนเหนอศรษะ ความหมายคอจดกาเนดของสรรพสงตาง ๆ มคาเทากบหนงหนงลาน

รปดวงอาทตยกาลงขน ความหมายคอการนบถอเทพเจาองคสงสด มคาเทากบสบลาน

รปท 4.4.1 ตวเลขโบราณของอยปต

ทมา : http://discoveringegypt.com/egyptian-hieroglyphic-writing/egyptian-mathematics-numbers-

hieroglyphs/

อยางไรกตามอกษรภาพดงกลาวอาจมการกลบจากซายเปนขวา ซงกถอวามความหมาย

เดยวกน จากการสงเกตคาทางจานวนของสญลกษณทงหมด จะเหนวาชาวอยปตใชเลขฐานสบนนเอง

แตเปนเลขฐานสบในรปสญลกษณของภาพวาดไมใชเลขฐานสบทเปนระบบตาแหนง การเขยนและอาน

39

สญลกษณแทนจานวนของชาวอยปต ใชวธรวมคาของสญลกษณเหลานน ไมคานงถงตาแหนงของ

สญลกษณ ดงนน จานวนเดยวกน อาจจะเขยนสญลกษณสลบทเปนแบบตางๆ ได เชนการอานและ

การเขยนเลขอยปตจะนาเสนอในตวอยางตอไปน


สญลกษณ I แทนจานวน 1 IIIIII แทนจานวน 6

|| แทนจานวน 2 IIIIIII แทนจานวน 7

III แทนจานวน 3 IIIIIIII แทนจานวน 8

IIII แทนจานวน 4 IIIIIIIII แทนจานวน 9

IIIII แทนจานวน 5 ∩ แทนจานวน 10

๛


สญลกษณ ∩∩ แทนจานวน 20

∩∩∩ แทนจานวน 30

∩∩∩∩ แทนจานวน 40

∩∩∩∩∩ แทนจานวน 50

∩∩∩∩∩∩ แทนจานวน 60

∩∩∩∩∩∩∩ แทนจานวน 70

∩∩∩∩∩∩∩∩ แทนจานวน 80

∩∩∩∩∩∩∩∩∩ แทนจานวน 90 ๛


เปนสญลกษณแทนจานวน 3,465 ๛


เปนสญลกษณแทนจานวน 21,346 ๛

40


เปนสญลกษณแทนจานวน 1,302,540 ๛


เนองจากตวเลขอยปตไมไดอยในระบบตาแหนงสญลกษณทงสองกลมเปนสญลกษณแทนจานวน

2,001,000 เชนเดยวกน ๛

รปท 4.4.2 ดวงตาแหงเทพเจาโฮรส

ทมา : http://discoveringegypt.com/egyptian-hieroglyphic-writing/egyptian-mathematics-numbers-

hieroglyphs/

เมอประมาณ 300 ปทผานมา นกสารวจชาวองกฤษคนหนงไดคนพบเอกสารประหลาดใน

อยปตซงทราบตอมาวาเปนเอกสารทเขยนขนโดยนกคณตศาสตรชาวอยปตโบราณชออาเมส (Ames)

ในเอกสารนนปรากฎการเขยนสญลกษณแทนเศษสวนแบบตวเลขอยปตไวดวย นอกจากนมเทพนยาย

อยปตโบราณเลาวา ครงทเทพเจาเซธ (God Seth) ทารายเทพเจาโฮรส (God Horus) ผเปนนองชายของ

ตนเอง ครงนน เซธควกตาของโฮรสออกแลวฉกเปนชน ๆ แตภายหลงโฮรสกสามารถนาชนสวนของ

ดวงตากลบมารวมกนและรกษาใหดเหมอนเดม จากเทพนยายเรองน ชาวอยปตโบราณไดถอโอกาสใช

ชนสวนดวงตาของโฮรสทจะอธบายเรองเศษสวนดงรปท 4.4.2 ในรปนนซงขอบตาเปนสญลกษณทใช

เขยนเศษสวนทวไป ลกตาเปนสญลกษณพเศษแทน 1 4 ตาขาวทางดานขวาเปนสญลกษณพเศษแทน

1 2 ตาขาวทางดานซายเปนสญลกษณพเศษแทน 1 16 ควทอยเหนอดวงตาเปนสญลกษณพเศษ

แทน 1 8 รอยขดแผลเปนทปลายมวนโคงเปนสญลกษณพเศษแทน 1 32 และสดทายนาตาทไหลลง

มาเปนสญลกษณพเศษแทน 1 64 อยางไรกตามรายละเอยดเรองเศษสวนของชาวอยปตจะไมนามา

กลาวไวในทน ผเรยนสามารถคนควาเรองการเขยนเศษสวนของชาวอยปตไดดวยตวเอง

41


1. จงแปลงเลขอารบกฐานสบตอไปนใหเปนสญลกษณบาบโลน

1.1 256987

1.2 15698775

1.3 2657489

1.4 2136542

1.5 1236587

2. จงแปลงเลขอารบกฐานสบตอไปนใหเปนสญลกษณมายน

2.1 256987

2.2 5698775

2.3 2136542

2.4 1236587

2.5 2657489

3. จงแปลงเลขอารบกฐานสบตอไปนใหเปนสญลกษณโรมน

3.1 5964

3.2 9449

3.3 4444

3.4 3985

3.5 1999

4. จงแปลงเลขอารบกฐานสบตอไปนใหเปนสญลกษณอยปต

4.1 298

4.2 6958

4.3 85269

4.4 853665

4.5 3625962

5. จงหาคาของเลขโรมนตอไปน

5.1 MDCCCXXXVI

5.2 MCDLXXXIX

5.3 CMLXV

5.4 MMCCXXII

5.5 MMDCCLXXII

42

6. จงหาคาของเลขอยปตตอไปน

6.1

6.2

6.3

6.4

6.5

43

เอกสารอางองบทท 4

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย (สสวท.), สานกงานคณะกรรมการการอดมศกษา

(สกอ.), และสานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.). (2552). เอกสารสาหรบผใหการ

อบรมคณตศาสตรมธยมศกษาตอนปลาย หลกสตรท 3. ไมทราบเมองทพมพ: ไมทราบชอผรบผดชอบ

ในการพมพ.

อจจนา ผลานวตร (2552). คนพบอารยธรรมโลก กรกโบราณ. กรงเทพฯ : เอเธนสพบลชชง.

อจจนา ผลานวตร (2552). คนพบอารยธรรมโลก จกรวรรดโรมน. กรงเทพฯ : เอเธนสพบลชชง.

อจจนา ผลานวตร (2552). คนพบอารยธรรมโลก ยคกลาง. กรงเทพฯ : เอเธนสพบลชชง.

อจจนา ผลานวตร (2552). คนพบอารยธรรมโลก อารยธรรมแรก. กรงเทพฯ : เอเธนสพบลชชง.

Boyer, C. (1968). A History of Mathematics. New York: John Wiley & Sons.

Howard, E. (1969). An Introduction to the History of Mathematics. New York: Holts, Rinehart and

Winston, Inc.

Kahn, C. and Osborne, K. (2005). World History: Societies of the Past. Manitoba: Portage & Main

Press.

Katz V. (2007). The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook.

New Jersey: Princeton University Press.

Thomas, C. (2007). Mayan Calendar Systems. Massachusetts: Harvard University Press.

44

บทท 6

คณตศาสตรสาหรบผบรโภคและการจดการทางการเงน

(Consumer Mathematics and Financial Management)

การจดการทางการเงนคอการกระทาตาง ๆ ทเกยวกบการจดหาแหลงเงนทนของผบรโภค เชน การ

กยมเงน หรอ การควบคมการใชจายเงน ซงมจดประสงคดงตอไปน คอ การบรหารเงนเพอใหแนใจวา

จะมเงนเพยงพอทจะดาเนนธรกจหรอดารงชวตไดอยางตอเนองในระยะยาว การบรหารเงนเพอใหแนใจ

วาผลตอบแทนทจะไดรบจากการลงทนในโครงการตาง ๆ หรอกจกรรมตาง ๆ เชนการฝากเงน การให

กยมใหผลตอบแทนทเพยงพอและคมคากบการลงทน และไดผลตอบแทนตามทกาหนดไวลวงหนา

คณตศาสตรสาหรบผบรโภคเปนคณตศาสตรสาขาหนงซงแสดงใหเหนวธการใชทกษะพนฐาน

ทางคณตศาสตรตอสถานการณในชวตจรงโดยเฉพาะเรองการจดการทางการเงน เชนการซอรถแบบ

ผอนสง การคา การฝากเงนแบบตาง ๆ การลงทนทางการเงนงาย ๆ เปนตน ในตางประเทศ

คณตศาสตรผบรโภคมกจะถกนาเสนอใหจดการเรยนการสอนในชนมธยมศกษา การเตรยมความรเพอ

เรยนเรองคณตศาสตรของผบรโภคอาจจะตองมการความรถงเรองทเคยเรยนมาตงแตระดบ

ประถมศกษา เชนเรอง เศษสวน ทศนยมและเปอรเซนต

6.1 เปอรเซนต

(Percent)

เปอรเซนตหรอรอยละ เปนอตราสวนทแสดงการเปรยบเทยบ จานวนใดจานวนหนง กบ 100 โดยมตว

สวนเปน 100 ใชสญลกษณ % โดยทวไปในชวตประจาวนมกจะเกยวของกบรอยละอยเสมอ เชน

ภาษมลคาเพม (VAT) การซอของในระบบผอนชาระ เปนตน

รอยละ เศษสวน และทศนยม สามารถเปลยนรปใหอยในรปอน ๆ ทสมมลกนได

ตวอยาง 6.1.1 การเขยนเปอรเซนตหรอรอยละในรปแบบตาง ๆ

(1) 25100

เขยนแทนดวย รอยละ 25 หรอ 25 % หรอ 0.25

(2) 0.16100

เขยนแทนดวย รอยละ 0.16 หรอ 0.16 % หรอ 0.0016

(3) 6100

เขยนแทนดวย รอย 6 หรอ 6 % หรอ 0.06 ๛

การเขยนรอยละหรอเปอรเซนตใหอยในรปของเศษสวน ทาไดโดยการเปลยนรอยละหรอ

เปอรเซนตใหเปนเศษสวนทมสวนเปน 100 หลงจากนนจงทาใหเปนเศษสวนอยางตา

45


(1) รอยละ 45 = 45 9100 20

=

(2) 12 % = 12 3100 25

=

(3) 0.30 % = 0.30 3100 1,000

= ๛

การเขยนรอยละหรอเปอรเซนตของเลขจานวนเตมหรอทศนยมสามารถทาใหเปนเศษสวนทม

สวนเปน 100 แลวจงเลอนจดทศนยมไปทางซายอก 2 ตาแหนง


(1) 35 % = 35 0.35100

=

(2) 8% = 8 0.08100

=

(3) 200 % = 200 2.00100

=

(4) 2.5 % = 2.5 0.025100

=

(5) 0.045% = 0.045 0.00045100

= ๛

การเขยนเศษสวนหรอทศนยมใหอยในรปรอยละหรอเปอรเซนตทาไดโดยการเปลยนทศนยมให

เปนเศษสวนกอน แลวทาตวสวนใหเปน 100 แลว จงเปลยนใหเปนรอยละหรอเปอรเซนต


(1) 0.45 = 45100

= 45 %

(2) 0.5 = 5 5 10 5010 10 10 100

×= =

× = 50 %

(3) 2.75 = 275100

= 275 %

(4) 0.00025 = 25 25 100 0.25100,000 100,000 100 100

÷= =

÷ = 0.25 % ๛

46

เนองจาก 100 % กคอ 100100

= 1 การเขยนเศษสวนหรอทศนยมใหอยในรปรอยละหรอ

เปอรเซนตอาจทาไดโดยการ นา 100 % คณกบจานวนทศนยม แลวหาผลคณของตวเลขโดยคง

เครองหมาย % ไวทเดม


(1) 0.257 = 0.257 × 100 % = 2.57 %

(2) 0.06 = 0.06 × 100 % = 6 %

(3) 0.85 = 0.85 × 100 % = 85 %

(4) 3.50 = 3.50 × 100 % = 350 %

(5) 0.003 = 0.003 × 100 % = 0.3 % ๛

การเขยนเศษสวนใหอยในรปของรอยละหรอเปอรเซนต ใหนาเศษสวนคณกบจานวนคงคา

เดยวกนทงเศษและสวน เพอทาตวสวนใหเปน 100 แลวจงเปลยนเปนรอยละหรอเปอรเซนตภายหลง


(1) 45

= 4 20 805 20 100×

=×

= 80 %

(2) 1520

= 15 5 7520 5 100×

=×

= 75 %

(3) 225

= 2 4 825 4 100×

=×

= 8 % ๛

การเขยนเศษสวนใหอยในรปของรอยละหรอเปอรเซนต โดยการทาเชนเดยวกบตวอยาง 6.1.5

คอการนา 100 % คณกบเศษสวน แลวหาผลคณของตวเลขโดยคงเครองหมาย % ไวทเดม


(1) 13

= 13× 100 % =100

3% = 33.33 %

(2) 512

= 512× 100 % = 500

12 % = 41.67 %

(3) 1031

= 1031× 100 % = 1,000

31% = 32.36 %

(4) 2312

= 2312× 100 % = 2,300

12% = 191.67 % ๛

47

กจการทางการเงนในชวตประจาวนมความเกยวของกบรอยละอยเสมอ เชน การซอขาย กาไร

ขาดทน การลดหรอการเพมทคดเปนรอยละ การคดภาษมลคาเพม ฯลฯ ตอไปนจะเปนการนาความร

เรองเศษสวนมาใชในการคานวณเกยวกบรอยละ ซงจะพบดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง 6.1.7 จงหาวา 20% ของ 70 มคาเทากบเทาไร

วธทา สมมตให 20% ของ 70 มคาเทากบ x เขยนเปนเศษสวนไดวา

2070 100x=

จะได 100 70 20 1400x× = × =

1,400 14100

x = =

นนคอ 20% ของ 70 เทากบ 14 ๛

ตวอยาง 6.1.8 จงหาวา 12 เปนกเปอรเซนตของ 45

วธทา สมมตให 12 เปน x % ของ 45 เขยนเปนเศษสวนไดวา

12100 45

x=

จะได 45 12 100 1,200x× = × =

1,200 26.6745

x = =

นนคอ 12 เปน 26.67 เปอรเซนตของ 45 ๛

ตวอยาง 6.1.9 จงหาวา 8 เปน 25% ของจานวนใด

วธทา ให 8 เปน 25% ของ x เขยนเปนเศษสวนไดวา

25 8100 x

=

จะได 25 8 100 800x× = × =

800 3225

x = =

นนคอ ให 8 เปน 25% ของ 32 ๛

ตวอยางตอไปจะเปนการแกโจทยปญหาเกยวกบรอยละโดยใชเศษสวนสวนตอไปน

ตวอยาง 6.1.10 ในหมบานแหงหนงมคนอาศยอย 500 คน 12% ของจานวนคนทงหมดทอย

ในหมบานนทางานในโรงงานลาไยกระปอง จงหาจานวนคนททางานในโรงงานลาไยกระปอง

วธทา สมมตใหจานวนคนททางานในโรงงานสบปะรดกระปองเปน x เขยนเปนเศษสวนไดวา

12500 100

x=

จะได 100 12 500 6,000x× = × =

6,000 60100

x = =

นนคอจานวนคนงานททางานในโรงงานลาไยกระปองคอ 60 คน ๛

48

ตวอยาง 6.1.11 โรงเรยนแหงหนงมนกเรยน 2,800 คน นกเรยนทหนกเกน 70 กโลกรมมอย 84

คน จงหาวาจานวนนกเรยนทหนกเกน 70 กโลกรมเปนกเปอรเซนตของจานวนนกเรยนทงหมด

วธทา สมมตใหจานวนนกเรยนทหนกเกน 70 กโลกรมเปน x เปอรเซนตของจานวนนกเรยน

ทงหมด เขยนเปนเศษสวนไดวา

84100 2,800

x=

จะได 2,800 84 100 8,400x× = × =

8,400 32,800

x = =

ดงนนจานวนนกเรยนทหนกเกน 70 กโลกรมเปน 3 เปอรเซนตของจานวนนกเรยนทงหมด ๛

ตวอยาง 6.1.12 นายสนทรขายรถยนตคนหนงในราคา 550,000 บาท ปรากฎวาไดกาไร 32 %

ของราคาทน จงหาราคาทนของรถยนต

วธทา สมมตวาราคาทนของรถยนตเปน x บาท

นายสนทรขายรถยนตไดกาไร 32 % ของราคาทนหมายความวา ถาทน 100 บาท นายสนทรไดกาไร

32 บาท นนคอนายสนทรตองขายในราคา 132 บาท แตโจทยกาหนดวา นายสนทรขายรถยนตราคา

550,000 บาทเขยนเปนเศษสวนไดวา

132 550,000100 x

=

จะได 132 550,000 100 55,000,000x× = × =

55,000,000 416,666.67132

x = =

ดงนน ราคาทนของรถยนตเปน 416,666.67 บาท ๛

ตวอยาง 6.1.13 นทราขายตเยนไปราคา 4,500 บาท ปรากฏวาขาดทน 10 % ถายอนเวลา

กลบไปไดและนทราตองการกาไร 500 บาท นทราจะตองขายตเยนในราคาเทาไร

วธทา สมมตวาราคาทนของตเยนเปน x บาท นทราขายตเยนขาดทน 10 % ของราคาทน

หมายความวา ถาทน 100 บาท นทราขาดทน 10 บาท นนคอนทราขายไปในราคา 90 บาท แตโจทย

บอกวา นทราขายตเยนในราคา 4,500 บาท เขยนเปนเศษสวนไดวา

90 4,500100 x

=

จะได 90 4,500 100 450,000x× = × =

450,000 5,00090

x = =

49

ดงนน ราคาทนของตเยนเปน 5,000 บาท และถายอนเวลากลบไปไดและนทราตองการกาไร 500

บาท นทราจะตองขายตเยนในราคา 5,500 บาท ๛

ตวอยางท 6.1.14 รานตนตราภรณประกาศลดราคาสนคาทกชนด 15% ถาสมศรไดสวนลดจาก

การซอพดลม 300 บาท จงหาราคาขายพดลมกอนใหสวนลด

วธทา สมมตวาราคาขายกอนใหสวนลดเปน x บาท ลดราคาสนคาทกชนด 15% หมายความวา

ถารานคาปดราคาไว 100 บาท จะไดสวนลด 15 บาท แตสมศรไดสวนลดจากการซอพดลม 300 บาท

เขยนเปนเศษสวนไดวา

15 300100 x

=

จะได 15 300 100 30,000x× = × =

30,000 2,00015

x = =

ดงนน ราคาขายของพดลมกอนใหสวนลดเปน 2,000 บาท ๛

ตวอยางท 6.1.15 โรงเรยนบานเวยงบวมนกเรยนชาย 42% ของนกเรยนทงหมด ถานกเรยนหญง

ทงหมดม 540 คน จงหาวาโรงเรยนนมนกเรยนทงหมดกคน

วธทา สมมตวาโรงเรยนนมนกเรยนทงหมด x โจทยกาหนดวามนกเรยนชาย 42% ของนกเรยน

ทงหมด หมายความวา ถามนกเรยนทงหมด 100 คน จะเปนนกเรยนชาย 42 คน นนคอโรงเรยนบาน

เวยงบวมนกเรยนหญง 58 คน แตเนองจากโจทยบอกวา นกเรยนหญงทงหมดม 540 คน เขยนเปน

เศษสวนไดวา

58 540100 x

=

จะได 58 540 100 54,000x× = × =

54,000 931.0358

x = =

เนองจากจานวนนกเรยนจะตองเปนจานวนเตม ดงนน โรงเรยนบานเวยงบวมนกเรยนทงหมด 931 คน

และมนกเรยนชายจานวน 391 คน ๛

50


1. จงเขยนเศษสวนตอไปนใหอยเปนรปของรอยละ

1.1 78

1.2 12

1.3 102

1.4 25600

1.5 1812

2. จงเขยนรอยละตอไปนใหอยเปนรปของเศษสวน

2.1 72 %

2.2 125 %

2.3 0.75 %

2.4 2.5 %

2.5 12 %

3. จงเขยนจานวนตอไปนใหอยในรปรอยละ

3.1 0.36

3.2 0.529

3.3 3.03

3.4 2

3.5 0.0005

4. จงตอบคาถามตอไปน

4.1 25 % ของ 60 เทากบเทาไร

4.2 32 % ของ 450 เทากบเทาไร

4.3 33 เปนกเปอรเซนตของ 44

4.4 360 เปนกเปอรเซนตของ 180,000

4.5 250 เปน 40 % ของจานวนใด

5. จงตอบคาถามตอไปน

5.1 5 % ของ 20% ของ 800 มคาเทาใด

5.2 20 % ของ 4000 เปน 15 % ของจานวนใด

5.3 5 % ของ 250 เทากบ กเปอรเซนตของ 360

5.4 12 % ของจานวนใด เทากบ 40 % เปอรเซนตของ 120

51

6. เบนสอบวชาภาษาองกฤษไดคะแนน 35 คะแนนจากคะแนนเตม 150 คะแนน จงหาวาเบนสอบ

วชาภาษาองกฤษไดรอยละเทาใด

7. ชางรบเหมากอสรางทาสญญากบเจาของบานวาจะรบเงนงวดแรก 25 % ของราคาบาน ถา

บานราคา 3.5 ลานบาท อยากทราบวาผรบเหมากอสรางจะไดรบเงนงวดแรกเทาใด

8. รานสยามโทรทศนปดราคาขายเครองเสยงไว 7,990 บาท และประกาศลดราคาอก 15 % ของ

ราคาทปดปายไว และหากผซอเปนสมาชกวไอพของรานจะไดรบสวนลดอก 300 บาท อยากทราบวาผ

ซอทเปนสมาชกวไอพของรานจะตองจายเงนเทาไร

9. ลาวลยออมเงนได 24,000 บาท เงนจานวนนนเปนเพยง 25 % ของเงนทงหมดทลาวลย

ตองการออม จงหาวาลาวลยหวงวาจะออมเงนทงหมดกบาท

10. โฉมฉายมเงนในธนาคารจานวน 125,000 บาท มเหตใหตองใชจายไปเหลอเพยง 75,000 บาท

จงหาโฉมฉายใชเงนไปกเปอรเซนตของเงนทงหมด

52

6.2 ดอกเบยคงตน

(Simple Interest)

ในฐานะผบรโภค โดยเฉพาะเรองการจดการทางการเงน ความรเบองตนทางเศรษฐศาสตรเปนสงใกล

ตวทควรทราบ ในการผลตสนคาและบรการเราทราบกนดวา มปจจยการผลต 4 ประเภท คอ ทดน

แรงงาน ทน และ ผประกอบการ

ทดน หมายถง ทดนและทรพยากรธรรมชาตทงหมด เชน ปาไม นาฝน เปนตน สงเหลานจะม

อยตามธรรมชาต มนษยสรางขนเองไมได แตสามารถพฒนา ปรบปรงคณภาพของทรพยากรธรรมชาต

ไดบาง เชน การปรบปรงทดนใหอดมสมบรณขน เปนตน ผลตอบแทนจากการใชทดน เราเรยกวา คา

เชา

แรงงาน หรอ ทรพยากรมนษย หรอเรยกอกอยางหนงวา ทนมนษย ไดแก แรงกาย แรงใจ

ความร สตปญญา และความคด ทมนษยทมเทใหแกการผลตสนคาและ ผลตอบแทนของแรงงาน

เรยกวา คาจางและเงนเดอน

ทน คอ สงทมนษยสรางขนเพอใชรวมกบปจจยการผลตอนๆ ในการผลตสนคาและบรการ

แบงเปน 2 ประเภท คอ สงกอสรางและอปกรณการผลต สวนการลงทนหมายถง การใชจายลงทนโดย

มวตถประสงคเพอใหการผลตสนคาและบรการเพมขนในอนาคต เงนทนนนเปนเพยงตวกลางใหเกด

สนทรพยประเภททน สนทรพยประเภททนจะสะทอนถงกาลงการผลตทมอยในหนวยผลตหรอระบบ

เศรษฐกจทเปนจรงไดดกวาจานวนเงนทน ดงนนสนคาทนจงมความสาคญในเชงเศรษฐกจมากกวา

เงนทน แตเนองจากการวดผลตอบแทนจากปจจยทนมความยงยาก โดยทวไปเราจงใชผลตอบแทนของ

เงนทนอนไดแก ดอกเบย

ผประกอบการ คอ ผทาหนาทรวบรวมปจจยการผลต 3 ประเภท ทกลาวมาขางตน เพอทาการ

ผลตสนคาและบรการ คาตอบแทนของผประกอบการ เรยกวา กาไร

6.2.1 ดอกเบยและอตราดอกเบย

นยาม 6.2.1 ดอกเบย (Interest) คอเงนทไดรบเพมขนจากการลงทนดวยเงนทน

ในทางเศรษฐศาสตรดอกเบยเปนเครองควบคมอตราเงนเฟอ คอ เมอใดทเกดอตราเงนเฟอขน

แสดงวา มปรมาณเงนในตลาด (หมายถงเงนในมอประชาชน) จานวนมาก และสนคาจะราคาแพงขน

การขนดอกเบยทงเงนฝากและเงนก ทาใหเงนไดออกจากตลาดไป ปรมาณเงนจะลดลง เงนเฟอกจะ

ลดลง เชงเศรษฐศาสตรสามารถตความออกมาไดหลายทาง แตในคนสวนใหญมกจะเขาใจตรงกนวา

ดอกเบย คอ เงนทจะไดเพมขนในลกษณะของคาตอบแทนทผปลอยกไดจากผขอก ซงในทางกลบกนผ

ขอกกจาเปนจะตองจายเงนในสวนน (ดอกเบย) กบผใหกนอกเหนอจากในสวนของเงนตนทกมาดวย ซง

53

จานวนคาตอบแทนในลกษณะของดอกเบยจะมการคดในรปแบบรอยละเปนหลก เชน รอยละ 3, รอย

ละ 5, รอยละ 20 ฯลฯ ทงนขนอยกบขอตกลงททงสอง ฝายยนยอมรวมกนกอนจะทาสญญา แตจะตอง

ไมเกนทกฎหมายระบไวมเชนนนจะมความผด ซงอตราดอกเบยอยางเปนทางการจะถกกาหนดจาก

คณะกรรมการนโยบายการเงน (กนง.) ในการกากบดแลของธนาคารแหงประเทศไทย

นยาม 6.2.2 อตราดอกเบย (interest rate) หมายถง ผลตอบแทนหรอจานวนเงนตามนยาม 6.2.1 ท

ผกตองจายชาระใหแกผใหก โดยสญญาวาจะชาระคนเตมมลคาในวนทครบกาหนดในอนาคตตามทตก

ลงกนไว ในการกลาววา อตราดอกเบยเปน ตอหนวยเวลา หมายความวาคาตอบแทนดงกลาวจะมคา

หนวยเงนตอเงนกหนงหนวยเงนตอชวงเวลาหนงหนวยเวลา

ตวอยาง 6.2.3 อตราดอกเบย 0.04 ตอป หมายความวา ในชวงเวลา 1 ป สาหรบเงนกแตละบาท

จะตองจายดอกเบย 0.04 บาท อตราดอกเบย 2% ตอเดอนหมายความวา ในชวงเวลา 1 เดอน สาหรบ

เงนกแตละบาทจะตองจายดอกเบย 0.02 บาท และอตราดอกเบย 5% ตอวนหมายความวา ในชวง

เวลา 1 วน สาหรบเงนกแตละบาทจะตองจายดอกเบย 0.05 บาท เปนตน ๛

6.2.2 การนบวนเพอคดดอกเบย

ในบางครงมการคดดอกเบยเปนจานวนวน ถาอตราดอกเบยถกกาหนดเปนเดอนหรอเปนปกจะตองหา

สดสวนของเวลาใหถกตองและเปนทยอมรบ ทงนหลกการเบองตนของการนบวนกยมกคอใหนบวน

แรกหรอวนสดทายอยางใดอยางหนงเพยงอยางเดยว

6.2.2.1 การกาหนดจานวนวนใน 1 ป

6.2.2.1.1 กาหนดให 1 ป มจานวนวนตามจรงคอ 365 วน หรอ 366 วนในปอธกสรทน

เรยกการคดดอกเบยโดยกาหนดจานวนวนทงปแบบนวา การคดดอกเบยจรง (exact interest)

6.2.2.1.2 กาหนดให 1 ป ม 360 วนเสมอ เรยกการคดดอกเบยโดยกาหนดจานวนวนทง

ปแบบนวาการคดดอกเบยสามญ (ordinary interest)

6.2.2.2 การนบวนในแตละเดอน

6.2.2.2.1 การนบจานวนวนตามทเปนจรง โดยรวมวนแรกหรอวนสดทายวนใดวนหนง ใน

ทนจะใชวธนบวนสดทาย เรยกการนบวนแบบนวา การนบวนแบบเวลาจรง (exact time)

6.2.2.2.2 การนบจานวนวน โดยการประมาณวา 1 เดอนม 30 วนเทากนทกเดอน เรยก

การนบวนแบบนวา การนบวนแบบเวลาประมาณ (approximate time)

54

ตวอยาง 6.2.4 จานวนวนในการกยมเมอวนท 10 มกราคม 2559 ใชคนเมอวนท 22 มถนายน 2559

เดอน เวลาจรง เวลาประมาณ

มกราคม 31-10=21 30-10=20

กมภาพนธ 29 30

มนาคม 31 30

เมษายน 30 30

พฤษภาคม 31 30

มถนายน 22 22

จานวนวนรวม 164 162

จากทมการกาหนดวนได 2 แบบใน 1 ป และ การนบวน 2 แบบ ทาใหการคดดอกเบยมวธท

แตกตางกนทงหมด 4 วธไดแก

วธท 1 การคดดอกเบยจรง เวลาจรง

วธท 2 การคดดอกเบยสามญ เวลาจรง

วธท 3 การคดดอกเบยจรง เวลาประมาณ

วธท 4 การคดดอกเบยสามญ เวลาประมาณ

วธท 2 เปนวธทใหประโยชนแกเจาหนมากทสดเพราะจานวนวนทเปนหนมากแตตวหารคอ

จานวนวนทกาหนดใน 1 ปมนอย เปนวธทใชกนทวไปยกเวนแตจะกาหนดเปนอยางอน เรยกวากฎของ

นายธนาคาร (bankers’ rule) ในทางกลบกน วธท 3 เปนวธทใหประโยชนแกลกหนมากทสดเพราะ

จานวนวนทเปนหนนอยแตตวหารคอจานวนวนทกาหนดใน 1 ปมมากตามจรง จงไมนยมใชในทาง

ปฏบต ๛

6.2.3 ดอกเบยคงตน

ดอกเบยคงตน หมายถง ดอกเบยทคดจากเงนตนเรมแรกซงจะคงทเสมอ

ถากาหนดให I คอ จานวนดอกเบย

P คอ เงนตน

r คอ อตราดอกเบยตอหนงหนวยเวลา

และ t คอ จานวนหนวยระยะเวลาทคดดอกเบย

55

โดยนยามของดอกเบย จะเหนวา

ใน 1 หนวยเวลา ถากเงน 1 หนวยเงน แลวจะมดอกเบย r หนวยเงน

ถากเงน P หนวยเงน แลวจงมดอกเบย pr หนวยเงน โดยเทยบสดสวน

นนคอสาหรบ t หนวยเวลาในการกเงน P หนวยเงน จงมดอกเบย prt หนวยเงนโดยเทยบสดสวน

ดงนนจงไดวา tI Pr=

ตวอยาง 6.2.5 คณชายธราธรกเงนเพอนมา 10,000 บาท เปนเวลา 9 เดอน โดยทเพอนคดอตรา

ดอกเบย 15% ตอป จงมดอกเบย 9Pr 10,000 0.15 1,12512

I t= = × × = บาท เมอครบกาหนดชาระ

จะตองชาระทงเงนตนทงดอกเบย 11,125 บาท สงเกตวาหนวยของเวลาเปนหนวยเดยวกนในอตรา

ดอกเบยและระยะการกยม ๛

ตวอยาง 6.2.6 คณชายปวรรจกเงนเพอนมา 10,000 บาท เปนเวลา 3 ป 6 เดอนมาแลว โดยทเพอน

คดดอกเบยคงตนในอตรา 12% จงมดอกเบย 42Pr 10,000 0.12 4,20012

I t= = × × = บาท เมอครบ

กาหนดชาระจะตองชาระทงเงนตนทงดอกเบย 14,200 บาท ๛

ตวอยาง 6.2.7 คณชายพฒภทรขอยมเงน 20,000 บาท จากเพอนเพอนาไปลงทนคาขาย เมอวนท 10

มกราคม 2559 โดยสญญาวาจะใชคนในวนท 22 มถนายน 2559 และจลนคดดอกเบยจากคณชายพฒ

ภทรแบบคงตนในอตรา 12% ตอป จงคานวณหาจานวนดอกเบยซงคดโดยวธ

(1) คดดอกเบยสามญและนบวนแบบเวลาจรง

(2) คดดอกเบยสามญและนบวนแบบเวลาประมาณ

(3) คดดอกเบยจรงและนบวนแบบเวลาจรง

(4) คดดอกเบยจรงและนบวนแบบเวลาโดยประมาณ

วธทา ป 2559 เปนปอธกสรทน มจานวนวน 366 วนในการคดดอกเบยจรง และ 360 วนในการคด

ดอกเบยสามญ จากตวอยาง 6.2.4 นบวนยมแบบจรงได 164 วน นบวนยมแบบประมาณได 162 วน

ดงนนดอกเบยทคานวณไดคอ

(1) คดดอกเบยสามญ นบวนกแบบเวลาจรง

16420,000 0.12 1,093.33360

I prt= = × × = บาท

(2) คดดอกเบยสามญ นบวนกแบบเวลาประมาณ

16220,000 0.12 1,080.00360

I prt= = × × = บาท

56

(3) คดดอกเบยจรง นบวนกแบบเวลาจรง

16420,000 0.12 1,075.41366

I prt= = × × = บาท

(4) คดดอกเบยจรง นบวนกแบบเวลาประมาณ

16220,000 0.12 1,062.30366

I prt= = × × = บาท ๛

ตวอยาง 6.2.8 คณชายรชชานนทกเงนจากสหกรณแหงหนงเปนจานวนเงน 260,000 บาท เปนเวลา 3

เดอน พอครบกาหนดเวลามลลกาตองจายดอกเบยไปเปนจานวนเงน 5,200 บาท อยากทราบวา

สหกรณแหงนนคดอตราดอกเบยเงนกนเปนแบบคงตนอตราเทาใดตอป

วธทา จาก I prt=

จงไดวา 35,200 260,000 65,00012

r r= × × =

ดงนน 5,200 0.0865,000

r = =

ไดวาอตราดอกเบยคอ รอยละ 8 หรอ 8% ตอป ๛

ตวอยาง 6.2.9 คณชายรณพรกเงนธนาคารเปนจานวนเงน 480,000 บาทโดยธนาคารคดดอกเบย

7.5%ตอป เมอเวลาผานไประยะหนงคณชายรณพรไปตรวจสอบดทธนาคาร ปรากฏวาธนาคารแจงวา

คณชายรณพรเปนหนธนาคารเปนจานวนเงนทงสน 498,000 บาทคดดอกเบยแบบคงตน อยากทราบ

วา คณชายรณพรไดกเงนจากธนาคารเปนเวลานานเทาใด

วธทา เนองจากดอกเบย = เงนรวม – เงนตน

= 498,000-480,000

= 18,000 บาท

จาก I prt=

จงไดวา 18,000 480,000 0.075 36,000t t= × × =

ดงนน 18,000 0.536,000

t = =

ไดวา เวลาคอ 0.5 ป หรอ 6 เดอนนนเอง ๛

ตวอยาง 6.2.10 จงคานวณหาเงนตนทคณชายธราธรกมาเมอจานวนดอกเบยทจายคอ 18,000 บาท

โดยเจาหนคดอตราดอกเบย 12% ตอปและระยะเวลาในการกคอ 2 เดอน

วธทา จาก I prt=

จงไดวา 218,000 0.12 0.0212

p p= × × =

57

ดงนน 18,000 900,0000.02

p = =

ไดวา คณชายธราธรกเงนมา 900,000 บาท ๛

การคดดอกเบยแบบคงตนนใชกบการกยมทระยะเวลากยมไมเกนงวดการคดดอกเบย โดยทาง

ปฏบต ในการชาระหน ทกๆครงทมการคดคอกเบยตามสญญาและลกหนมหนาททจะตองชาระ

ดอกเบยกอน นนคอจานวนเงนทลกหนชาระจะถกดงไปชาระดอกเบยกอนเปนอนดบแรก สวนทเหลอ

จะนาไปชาระเงนตนใหลดลงตอไป (ดตวอยาง 6.2.11) กรณทครบกาหนดชาระ หรอครบกาหนดวนคด

ดอกเบยแลว ถาดอกเบยทเกดขนทยงไมไดชาระ ดอกเบยจานวนนนจะถกนาไปรวมเปนเงนตนสาหรบ

การคดดอกเบยครงตอไป เรยกวาดอกเบยทบตน ซงจะกลาวในหวขอถดไป

ตวอยาง 6.2.11 คณชายปวรรจยมเงนเพอนมา 15,000 บาท เมอวนท 10 มกราคม 2559 กาหนดใช

คนใหหมดในวนท 22 มถนายน 2559 อตราดอกเบย 12% ตอป นบเวลากโดยการนบวนคนเงน (นบวน

ชาระ) เมอยมไปแลว คณชายปวรรจ ทยอย นาเงนไปคนทกวนสนเดอนของแตละเดอน ครงละ 2,000

บาท ยกเวนในเดอนสดทายมการชาระทงหมด จงเขยนตารางการชาระหน รายการชาระดอกเบย

รายการชาระเงนตน พรอมยอดหนคงเหลอในแตละงวด ถาเพอนคดดอกเบยตามกฎของนายธนาคาร

(ดอกเบยสามญ เวลาจรง)

วธทา ตามกฎของนายธนาคาร (ดอกเบยสามญ เวลาจรง) บบวนใน 1 ป ได 360 วน

อตราดอกเบย 0.12 ตอป

(1) ในการชาระครงแรก วนท 31 มกราคม 2559 นบเวลากได 21 วน

จาก I prt=

จงไดวา 2115,000 0.12 105.00360

I = × × =

ในวนน ชาระดอกเบย 105.00 บาท ดงนนเปนการชาระเงนตน 2,000.00-105.00=1,895.00

เงนตนคงเหลอ 15,000.00-1,895.00= 13,105.00

(2) ในการชาระครงทสอง วนท 29 กมภาพนธ 2559 นบเวลากได 29 วน

จาก I prt=

จงไดวา 2913,105 0.12 126.69360

I = × × = (ปดเศษทศนยมขน)


เงนตนคงเหลอ 13,105.00-1873.31= 11,231.69

(3) ในการชาระครงทสาม วนท 31 มนาคม 2559 นบเวลากได 31 วน

จาก I prt=

58

จงไดวา 3111,231.69 0.12 116.07360



เงนตนคงเหลอ 11,231.69-1,883.93= 9,347.76

(4) ในการชาระครงทส วนท 30 เมษายน 2559 นบเวลากได 30 วน

จาก I prt=

จงไดวา 309,347.76 0.12 93.48360



เงนตนคงเหลอ 9,347.76-1,906.52= 7,441.24

(5) ในการชาระครงทหา วนท 31 พฤษภาคม 2559 นบเวลากได 31 วน

จาก I prt=

จงไดวา 317,441.24 0.12 76.90360



เงนตนคงเหลอ 7,441.24-1,923.10= 5,518.14

(6) ในการชาระครงทสดทาย วนท 22 มถนายน 2559 นบเวลากได 22 วน

จาก I prt=

จงไดวา 225,518.14 0.12 40.47360


ในวนน ชาระดอกเบย 40.47 บาท และเนองจากเปนการชาระหนทงหมดตามสญญา จงตองชาระเงน

ตนทเหลอทงหมดดวย ดงนนเปนการชาระเงนทงสน 5,518.14+40.47 = 5,558.61 บาท เปนอนหกลบ

กลบหน เมอนามาเขยนตารางการผอนชาระ จะไดดงน

วนทชาระ เงนตน ชาระดอกเบย ชาระเงนตน ชาระรวม เงนตนคงเหลอ

31-01-59 15,000.00 105.00 1,895.00 2,000.00 13,105.00

29-02-59 13,105.00 126.69 1,873.31 2,000.00 11,231.69

31-03-59 11,231.69 116.07 1,883.93 2,000.00 9,347.76

30-04-59 9,347.76 93.48 1,906.52 2,000.00 7,441.24

31-05-59 7,441.24 76.90 1,923.10 2,000.00 5,518.14

22-06-59 5,518.14 40.47 5,518.14 5,558.61 0.00

ตารางท 6.2.1 การผอนชาระหนของคณชายปวรรจ

๛

59


1. จงหาดอกเบยของเงนตน 7500 บาท อตราดอกเบย 7% เวลา 4 เดอน

2. จงหาดอกเบยและเงนรวม (เงนตนรวมกบดอกเบย) ของเงนตน 11,250 บาท อตราดอกเบย

12% เวลา 7 เดอน

3. คณชายพฒภทรกเงน 1,500 บาท เวลา 2 เดอน ตองจายคนพรอมดอกเบย 1,590 บาท จง

หาอตราดอกเบย

4. คณชายรชชานนทนาเงนไปฝากธนาคาร 8,400 บาท อตราดอกเบย 7.5% ระยะเวลานาน

เทาใด จงจะได ดอกเบย 245 บาท

5. คณชายรณพรกเงนมา 30,000 บาท อตราดอกเบย 10% เมอนาเงนไปคนพรอมดอกเบย เขา

ตองจายดอกเบย 750 บาท จงหาวาคณชายรณพรกไปนานเทาใด

6. คณชายธราธรกเงนมาจานวนหนง อตราดอกเบย 7% เวลา 8 เดอน ตองชาระดอกเบย 105

บาท คณชายธราธรกเงนมาเทาใด

7. คณชายปวรรจลงทนพมพหนงสอขาย ภายใน 15 เดอน เขาไดกาไร 26,000 บาท ซงคดเปน

รอยละไดรอยละ 13 ตอป จงหาเงนลงทน

8. คณชายพฒภทรนาเงนฝากไวกบธนาคารเปนเวลา 8 ป ปรากฎวาไดดอกเบยเทากบเงนตน

สมมตวาธนาคารคดดอกเบยคงตน จงหาอตราดอกเบย

9. คณชายรชชานนทนาเงนฝากไวกบธนาคารจานวนหนง จะใชเวลานานเทาใดจงจะไดเงนรวม

เปน 2 เทาของเงนตน ถาสมมตวาธนาคารคดดอกเบยคงตน อตราดอกเบย 12%

10. คณชายรณพรนานาฬกาไปจานาไดเงนมา 1,200 บาท กาหนดไถใน 3 เดอน อตราดอกเบย

15% คณชายรณพรตองไถดวยเงนเทาใด

11. คณชายธราธรกเงนมา 200,000 บาท อตราดอกเบย 12% เพอมาซอทดน คณชายธราธร

ขายทดนไปในเวลา 3 เดอนไดเงนมา 250,000 บาท เมอใชหนแลวคณชายธราธรไดกาไร

เทาไร

12. คณชายปวรรจนาเงนฝาก 20,000 บาท ระยะเวลา 6 เดอน อตราดอกเบย 7.5%

จงหาเงนรวม

13. ถาธนาคารใหดอกเบยเงนฝาก 8% แบบคงตน คณชายพฒภทรจะตองนาเงนฝากเทาใดจงจะ

ไดเงนรวม 45,000 บาท ในเวลา 9 เดอน

14. เงนตน 4,500 บาท ไดเงนรวม 5,000 บาท ในเวลา 2 เดอน จงหาอตราดอกเบย

15. คณชายรชชานนทซอตเยนเครองหนงซงมราคาเงนสด 8,500 บาท ถาคณชายรชชานนท

ตองการผอน 2 งวด งวดแรกจายเมอซอ 5,000 บาทและจายอก 4,000 บาท ในอก 3 เดอน

ถดไป ผขายคดอตราดอกเบยเทาใด

60

16. คณชายรณพรซอเครองซกผาดวยระบบเงนผอน ซงจะจายชาระ 3 งวด งวดละ 3,000 บาท

งวดแรกจายเมอซอ อก 2 งวดจายในเดอนถดไป 3,000 บาท และเดอนถดไปอก 3,000 บาท

ถาอตราดอกเบย 15% จงหาราคาเงนสด

17. คณชายธราธรซอตเยน ผขายเสนอราคาเงนสด 12,000 บาท หรอเอาไปใชกอนแลวคอยจาย

13,000 บาท ในอก 6 เดอนถดไป ถาคณชายธราธรสามารถกเงนมาซอเงนสด อตราดอกเบย

10% เขาควรเลอกวธใด และจะประหยดไดเทาไรในปจจบน

18. คณชายปวรรจกเงนจากสถาบนการเงนมา 150,000 บาท อตราดอกเบย 7% ปรากฎวาเมอใช

คน คณชายปวรรจตองจายเปนเงน 175,000 บาท คณชายปวรรจกเงนมานานเทาใด

19. จงหาดอกเบยสามญและดอกเบยจรงของเงนตน 7,500 บาท เวลา 100 วน อตราดอกเบย 6%

20. จงหาดอกเบยสามญและดอกเบยจรงของเงนตน 1,200 บาท เวลา 45 วน อตราดอกเบย 8%

21. จงหาจานวนวนจรงและจานวนวนโดยประมาณจาก 5 มนาคม ถง 28 กนยายนปเดยวกน

22. จงหาจานวนวนจรงและจานวนวนโดยประมาณจากวนท 2 มกราคม 2563 ถงวนท 5

ตลาคม 2563

23. คณชายพฒภทรกเงน 50,000 บาท เมอวนท 15 พฤศจกายน 2559 จนถงวนท 20

กมภาพนธ 2560 ถาคดดอกเบย 6% จงหาดอกเบยโดยวธตาง ๆ ทง 4 แบบ

24. คณชายรชชานนทกเงน 30,000 บาท เมอวนท 15 ธนวาคม 2558 อตราดอกเบย 6% จงหา

ดอกเบยเมอถง วนท 8 เมษายน 2559 ตามกฎของนายธนาคาร

25. คณชายรณพรกเงน 30,000 บาท ในวนท 15 มนาคม 2559 จนถงวนท 18 กนยายน 2559

ถาอตราดอกเบย 9% จงหาดอกเบย โดยวธตาง ๆ ทง 4 แบบ

26. คณชายธราธรนาเงนฝากเดอนละ 1,000 บาท ทกวนท 1 ของเดอน ตงแตเดอนมกราคม

2559 ถงเดอนมนาคม 2559 ถาธนาคารคดดอกเบยใหในวนท 31 มนาคม 2559 ดวยอตรา

6% จงหาเงนรวมในวนนนตามกฎของนายธนาคาร

27. คณชายปวรรจนาเงนฝากเดอนละ 1,000 บาท ทกวนท 1 ของเดอน ตงแตเดอนมกราคม

2559 ถงเดอนมนาคม 2559 ถาธนาคารคดดอกเบยใหในวนท 31 ธนวาคม 2559 ดวยอตรา

6% จงหาเงนรวมในวนนนตามกฎของนายธนาคาร

28. คณชายพฒภทรนาเงนฝากเดอนละ 1,000 บาท ทกวนท 1 ของเดอน ตงแตเดอนมกราคม

2559 ถงเดอนธนวาคม 2559 ถาธนาคารคดดอกเบยใหในวนท 31 ธนวาคม 2559 ดวย

อตรา 6% จงหาเงนรวมในวนนนตามกฎของนายธนาคาร

29. จงหาอตราดอกเบยคงตนตอป สาหรบเงนตน 500 บาท ทจะเปนเงนสะสมรวม 1,000 บาท ใน

เวลา 5 ป

30. จงหาระยะเวลาสาหรบเงนตน 500 บาท ทจะเปนเงนสะสมรวม 1,000 บาท ดวยอตราดอกเบย

คงตน 12%

61

6.3 ดอกเบยทบตน

(Compound Interest)

นยาม 6.3.1 ดอกเบยทบตน หมายถง ดอกเบยทคดจากเงนตนเรมแรกบวกกบดอกเบยทไดรบในแต

ละงวดการคดดอกเบยทผาน มาโดยมแนวคดวาไดมการนาจานวนดอกเบยทไดรบในงวดกอน ๆ นนไป

ลงทนตอ อนจะมผลใหดอกเบยทคานวณไดเพมขนทกปตามเงนตนทเพมขนนน

การคานวณดอกเบยทบตนจะยงยากกวาการคานวณดอกเบยเชง เดยว เพราะเงนตนทนามา

คดดอกเบยในแตละปจะไมเทากนและนอกจากน ในวงการธรกจประเภทตาง ๆ กยงนยมคดดอกเบย

ทบตนตอชวงเวลาทแตกตางกนอกดวย เชน อาจจะคดดอกเบยทบตนตอป ตอครงป ตอเดอนจนไปถง

ตอวนกได อกทงในการลงทนบางอยาง ผลตอบแทนกวาจะไดรบใชเวลาหลายปมาก ดงนน จงมการคด

สตรทวไปในการหาดอกเบยทบตน ดงน

ถากาหนดให P คอ เงนตน

r คอ อตราดอกเบยตอหนงหนวยเวลา ซงตอจากนไปจะเรยกวา งวด

และ n คอ จานวนงวดทคดดอกเบย

ตอไปจะเปนตารางแสดงเงนรวม (เงนตน+ดอกเบย) ในแตละงวดหลงจากการคดดอกเบยและยงไมม

การชาระดอกเบย

งวดท เงนตน ดอกเบย เงนรวม

1 P rP )1( rPrPP +=+

2 )1( rP + rrP )1( + 2)1()1()1( rPrrPrP +=+++

3 2)1( rP + rrP 2)1( + 322 )1()1()1( rPrrPrP +=+++

n 1)1( −+ nrP rrP n 1)1( −+ nnn rPrrPrP )1()1()1( 11 +=+++ −−

นนคอถา nS เปนจานวนเงนรวมเมอสนงวดท n แลว

nn rPS )1( +=

ตวอยาง 6.3.2 คณชายรชชานนทกเงน 3,000 บาท ระยะเวลา 3 ป อตราดอกเบย 12% จงหาเงนรวม

และดอกเบย ถา คดดอกเบยทบตนปละ 4 ครง

วธทา จะเหนวาอตราดอกเบยตอปคอ 12 % หรอ 0.12 แตในทนมการคดดอกเบยปละ 4 ครง ดงนน

ในเวลา 3 ปจงจะมการคดดอกเบยทงหมด 12 ครง และแตละครงจะใชอตราดอกเบยเพยง 0.12 / 4

เทากบ 0.03 หรอ 3%

จาก nn rPS )1( +=

62

ในขอนจะไดวา n=12 r=0.03 และ P=3,000 ดงนน

เงนรวมคอ 12 12

12 3,000 (1 0.03) 3,000 (1.03) 4,277.08S = × + = × = และไดวาดอกเบยคอ 4,277.08-3,000= 1,277.08 ๛

ตวอยาง 6.3.3 คณชายรณพรกเงน 6,000 บาท ระยะเวลา 3 ป อตราดอกเบย 15%

จงหาเงนรวมและดอกเบย ถา

ก) คดดอกเบยคงตน

ข) คดดอกเบยทบตนทก 12 เดอน

ค) คดดอกเบยทบตนทก 6 เดอน

ง) คดดอกเบยทบตนทก 4 เดอน

จ) คดดอกเบยทบตนทก 3 เดอน

ฉ) คดดอกเบยทบตนทก 2 เดอน

ช) คดดอกเบยทบตนทกเดอน

วธทา (ก) จาก I prt= จงไดวา 6,000 0.15 3 2,700I = × × =

ดงนน เงนรวม = เงนตน + ดอกเบย = 6,000 + 2,700 = 8,700 บาท

(ข) คดดอกเบยทบตนทก 12 เดอน คอ ปละครง ในเวลา 3 ป จงม n= 3 ในอตราครงละ

r=0.15 จาก 3(1 ) 6,000(1 0.15) 9,125.25nnS P r= + = + =

ดงนน เงนรวม = 9,125.25 บาท

(ค) คดดอกเบยทบตนทก 6 เดอน เปนการคดดอกเบยปละ 2 ครง ในเวลา 3 ป จงม n= 6

ในอตราครงละ r=0.15 /2 = 0.075 จาก 6(1 ) 6,000(1 0.075) 9,259.81nnS P r= + = + =


(ง) คดดอกเบยทบตนทก 4 เดอน เปนการคดดอกเบยปละ 3 ครง ในเวลา 3 ป จงม n= 9

ในอตราครงละ r=0.15 /3 = 0.05 จาก 9(1 ) 6,000(1 0.05) 9,307.97nnS P r= + = + =


(จ) คดดอกเบยทบตนทก 3 เดอน เปนการคดดอกเบยปละ 4 ครง ในเวลา 3 ป

จงม n= 12 ในอตราครงละ r=0.15 /4 = 0.0375

จาก 12(1 ) 6,000(1 0.0375) 9,332.73nnS P r= + = + =


(ฉ) คดดอกเบยทบตนทก 2 เดอน เปนการคดดอกเบยปละ 6 ครง ในเวลา 3 ป


จาก 18(1 ) 6,000(1 0.025) 9,357.95nnS P r= + = + = ดงนน เงนรวม = 9,357.95 บาท

63

(ช) คดดอกเบยทบตนทกเดอน เปนการคดดอกเบยปละ 12 ครง ในเวลา 3 ป


จาก 36(1 ) 6,000(1 0.0125) 9,383.66nnS P r= + = + =


จะสงเกตเหนวา ในการลงทนดวยเงนตนเทากบ อตราดอกเบยตอปอตราเดยวกน และ

ระยะเวลาลงทนเทากน ยงมการคดดอกเบยทบตนบอยครงมากเทาใดกจะยงทาใหเงนรวมมากขน ๛

มลคาปจจบน (Present Value) นยามขนตามหลกแนวคดทวา เงน 1 บาท หรอ 1 หนวยในวนน

จะมคาเทาไรในอนาคต หรอ เงนจานวนหนงในอนาคต ถาคดยอนกลบมาในวนนจะมคาเทาไร โดยตาม

หลกทวๆไปแลว เรามกจะกลาวกนวา เงน 1 หนวยในวนน จะมคามากขนในอนาคต ซงตวแปรสาคญท

ทาใหเปนเชนนน คอ อตราดอกเบยทเปนบวก เงนทไดรบในวนนยอมมคามากกวาเงนจานวนเทากนท

จะไดรบในอนาคต ตวอยางตอไปนจะทาใหเหนภาพชดเจนขน

สมมตเรามเงน 100 บาทในวนน และนาไปฝากประจากบธนาคารไดอตราดอกเบย 4% ทบตน

เปนเวลา 2 ป เมอครบกาหนดเราจะไดรบเงนคนทงหมดเทากบ 100 X 1.04 X 1.04 = 108.16 บาท

ในขณะเดยวกน หากเราคาดวาจะไดรบเงน 100 บาทในอนาคตอก 2 ปขางหนา นนหมายความวา

ทานจะตองลงทนเปนจานวนเงน 92.45 บาทในวนน เนองจาก 92.45 X 1.04 X1.04 = 100 ดงนนเงน

100 บาทในอก 2 ปขางหนากจะมมลคาปจจบนในวนนของกคอ 92.45 บาทนนเอง นนแสดงวาเงน

100 บาทในวนนมคามากกวาเงน 100 บาทในอนาคต แตทงน จะมากนอยกวากนเทาใดกขนกบอตรา

ดอกเบย ในกรณทอตราดอกเบยเปน 0 กจะทาใหเงน 100 บาท ณ เวลาไหน ๆ มคาเทากนเสมอ

นยาม 6.3.4 สาหรบเงนตน P บาท ณ เวลาปจจบน โดยการคดดอกเบยทบตนเปนจานวน n งวด

อตราดอกเบยทบตน r ตองวด จะไดเงนรวมคอ nrPS )1( += เรยก P วามลคาปจจบนของ S

จากนยามจะไดวา

(1 )n

SPr

=+

ตวอยาง 6.3.5 เงนจานวน 25,000 บาท ลงทนในอตราดอกเบย 12% ทบตนทก 6 เดอน เปนเวลา 4

ป จะไดเงนรวมในอก 4 ปขางหนาคอ

20.846,39212.01000,25

8=

+=S บาท

กรณนเรากลาววา 25,000 เปนคาปจจบนของ 39,846.20 ภายใตเงอนไขระยะเวลาและอตรา

ดอกเบยดงกลาว ๛

64

ตวอยาง 6.3.6 จะตองลงทนเปนจานวนเงนเทาใด เพอใหไดเงนรวมจานวน 25,000 บาท ใน

อตราดอกเบย 12% ทบตนทกเดอน เปนเวลา 4 ป

วธทา เราตองการหาคาปจจบนของเงน 25,000 ซงกคอ

48

25,000 15,506.510.12112

P = = +

บาท

๛

ตวอยาง 6.3.7 จงหาวาเงน 2,000 บาทในปจจบน เงน 2,250 บาท ในอกหนงปขางหนา และ

เงน 2,500 บาท ในอกหนงปถดไปมมลคาจรงมากนอยตางกนอยางไรถามการคดดอกเบยทบตนทก

เดอนในอตรา 12% ตอป

วธทา ให 1P เปนมลคาปจจบนของเงน 2,250 บาทในอกหนงปขางหนา และ ให 2P เปนมลคา

ปจจบนของเงน 2,500 บาทในอกหนงปถดไป (2 ปขางหนานบจากปจจบน) เนองจากมการคดดอกเบย

ทบตนทกเดอน ในอตรา 0.12 ตอปหรอ 0.12 / 12 = 0.01 ตอเดอน จะไดวา

1 12 12

2, 250 2,250 1,996.761.010.121

12

P = = = +

และ 2 24 24

2,500 2,500 1,968.921.010.121

12

P = = = +

นนคอเทยบมลคาปจจบนแลว เงน 2,000 บาท มคาสงกวา 2,250 บาทในปหนา และสงกวาเงน 2,500

บาทในปถดไป ๛

65


1. จงหาเงนรวมของเงนตน 6,500 บาท อตราดอกเบย 12% เวลา 2 ป

ก. ทบตนปละครง ข. ทบตนปละ 2 ครง ค. ทบตนปละ 4 ครง

2. หญงใหญกเงน 20,000 บาท ระยะเวลา 2 ป อตราดอกเบย 15% ทบตนเดอนละครง จง

หาดอกเบยและเงนรวมทหญงใหญตองจาย

3. ชายกลางกเงน 25,000 บาท ระยะเวลา 1 ป อตราดอกเบย 12% คดดอกเบยคงตน

เมอไดเงนก ชายกลางนาเงนทงหมดไปใหคนอนกตอ อตราดอกเบย 12% เทากน แตคด

ดอกเบยทบตนทกเดอนจงหากาไรทชายกลางไดรบเมอสนป

4. จงหาเงนรวมของเงนตน 3,000 บาท เวลา 12 ป อตราดอกเบย 9% คดทบตนทกเดอน

5. เงนตน 4,000 บาท ระยะเวลา 2 ป อตราดอกเบย 12% จงหาดอกเบย

ก. ทบตนทกเดอน ข. ทบตนทก 3 เดอน

6. จงหาคาปจจบนของเงน 4,000 บาท ระยะเวลา 2 ป 6 เดอน อตราดอกเบย 15% ทบตนป

ละ 4 ครง

7. หญงเลกกเงนมาจานวนหนง ระยะเวลา 4 ป อตราดอกเบย 15% ทบตนทกครงป ไดเงน

รวม 23,600 บาท หญงเลกกเงนมาเทาใด

8. ถาธนาคารใหดอกเบย 10% ทบตนปละ 2 ครง ชายนอยจะตองฝากเงนไวเทาไร จงจะได

ดอกเบย 5,963.94 บาทในระยะเวลา 3 ป

9. ถาธนาคารใหดอกเบย 6% ทบตนปละ 4 ครง จะตองฝากเงนไวเทาไร พจมานจงจะได

ดอกเบย 2,500 บาท ในระยะเวลา 2 ป

10. ธนาคารแหงหนงใหดอกเบย 9% ทบตนปละ 2 ครง อกธนาคารหนงใหดอกเบย 8% ทบตนทก

เดอน ถาพจนามเงน 50,000 บาท ควรจะฝากธนาคารแหงใดจงจะไดดอกเบยมากกวา และ

มากกวาเปนจานวนเงนเทาไรเมอฝากครบ 1 ป

11. ธนาคารแหงหนงใหดอกเบยเงนฝากปละครง อตราดอกเบย 9% ธนาคารอกแหงหนงให

ดอกเบยทกเดอน อตราดอกเบย 7.5% หมอมพรรณรายควรฝากเงนกบธนาคารแหงใด

12. นาแพรวจะตองไดรบเงน 32,000 บาท ใน 3 ปขางหนา จงหาคาปจจบนของเงนดงกลาว ถา

อตราดอกเบย 12% ทบตนทก 6 เดอน

13. จงหาเงนรวมของเงนตน 5,300 บาท เวลา 4 ป 3 เดอนอตราดอกเบย 9% ทบตนทกครงป

14. จงหาเงนรวมของเงนตน 4,500 บาท เวลา 1 ป 2 เดอน อตรา 12% ทบตนปละ 4 ครง

15. จงหาคาปจจบนของเงนรวม 8,000 บาท เวลา 3 ป 7 เดอน อตรา 6% ทบตนปละ 3 ครง

16. จงหาคาปจจบนของเงนรวม 6,500 บาท เวลา 3 ป 4 เดอน อตรา 10% ทบตนปละ 2 ครง

66

17. ทานผหญงไฉไลมหนทจะตองใชในปจจบน 20,000 บาท และยงมหนทจะตองใชในเวลา 1 ป

6 เดอนขางหนาอก 40,000 บาท ถาทานผหญงไฉไลตองการใชหนทงหมดใน 6 เดอน

ขางหนา ทานผหญงไฉไลตองจายเทาไร ในอตราดอกเบย 18% ทบตนทกสามเดอน

18. นางสายใจกเงนมา 10,000 บาท อตราดอกเบย 12% ทบตนทกเดอน แตนางสายใจตกลงใจ

ทจะจายเปน 3 งวด โดยจายเทา ๆ กนในเดอนท 6 และเดอนท 12 งวดละ 4,000 บาท และ

จายทเหลอทงหมดเมอสนปท 2 จงหาจานวนเงนงวดสดทายทนางสายใจตองจาย

19. ทานตอมขายโทรทศนราคาเงนสด 13,500 บาท ถาผซอจายโดยเงนผอนจะตองจายเงนดาวน

จานวนหนงเมอซอ และจายอก 2 งวดเทา ๆ กน งวดและ 5,000 บาท เมอสนเดอนท 3 และ

เมอสนป ถาอตราดอกเบย 15% ทบตนทกเดอน จงหาจานวนเงนดาวน

20. กอนเสยชวตคณตาสรพลไดฝากเงน 500,000 บาท ไวกบธนาคารเพอเปนมรดกใหหลานสาม

คน ซงปจจบนมอาย 18 ป 15 ป และ 14 ป โดยมเงอนไขวา ใหหลานแตละคนรบเงนเมออาย

ครบ 21 ป เปนจานวนเงนเทา ๆ กน ถาธนาคารใหดอกเบยดวยอตรา 6% ทบตนทกครงป

จงหาจานวนเงนทหลานแตละคนจะไดรบ

รปท 6.3.2 บานทรายทอง

ทมา : https://pbs.twimg.com/media/CmckrJ5VIAAkQEn.jpg

https://pbs.twimg.com/media/CmckrJ5VIAAkQEn.jpg

67

6.4 การซอผอนสง

(Installment Buying)

ในหวขอทผาน ๆ มา เราไดกลาวถงการชาระหนแบบลดตนลดดอก และนอกจากนผเรยนยงฝก

แกปญหาเกยวกบการซอแบบผอนสงมาบางแลวในแบบฝกหด 6.3 ซงการซอแบบผอนสงทไดทามา

เปนแบบงาย ๆ ไมไดผอนหลายงวดและไมมรปแบบชดเจน ในหวขอนจะกลาวถงการการซอผอนสงทม

รปแบบชดเจนมากขน กลาวคอ การผอนสงทมงวดการผอนเทา ๆ พรอม ๆ กบงวดการคดดอกเบย

เชนเปนรายเดอน เปนสามเดอน หรอรายปเหมอน ๆ กน นอกจากนจานวนเงนทผอนในแตละเดอนก

จะเปนจานวนคงท หรอทเรยกกนในอกชอหนงวา การชาระคารายงวด หรอการจายคารายงวด หรอ

การจายคางวด

เนองจากเงนรวมของเงนรายงวดเปนอนกรมเรขาคณตทมพจนแรกเปนคา R คาหนงและพจน

ถดไปเปน kiR )1( + เมอ nk ,,3,2,1 = เปนจานวนงวดทงหมดจงสามารถใชผลบวกของอนกรม

เรขาคณตจากดหาคาของเงนรวมนนได ซงในทนเงนรวม

2 3 1 (1 ) 1 (1 ) 1(1 ) (1 ) (1 ) (1 )(1 ) 1

n nn i iS R R i R i R i R i R R

i i− + − + −

= + + + + + + + + + = = + −

ทฤษฎบท 6.4.1 ในการสงเงนงวดละ R บาท ตอนปลายงวด จานวน n งวด ในอตราดอกเบยทบ

ตน i ตองวด จะไดเงนรวมหลงจากการสงงวดสดทายคอ (1 ) 1niS R

i + −

=

รปท 6.4.1 โฆษณาการซอผอนสง

ทมา : http://www.jaymart.co.th/images/pay0month/oppo.jpg

http://www.jaymart.co.th/images/pay0month/oppo.jpg

68

ตวอยาง 6.4.2 สงเงนเดอนละ 1,000 บาท ทกสนเดอน อตราดอกเบย 12%ตอป ทบตนทกเดอน

จงหาเงนรวมหลงจากการสงเงนงวดท 20

วธทา พจารณาผงเวลาแสดงการฝากเงน

งวดท 1 2 - - - - 18 19 20

1,000 1,000 1,000 1,000 1,000

จะเหนวา เงนรวมของเงนงวดท 1 คอ 191,000(1.01)

เงนรวมของเงนงวดท 2 คอ 181,000(1.01)


เปนเชนนไปเรอยๆ จนกระทง


และ เงนรวมของเงนงวดท 20 คอ 1,000 เปนการฝากครงสดทายทไมไดมการคด

ดอกเบย ดงนนเงนรวมทงหมดคอ 20

2 19 (1.01) 11,000 1,000(1.01) 1,000(1.01) 1,000(1.01) 1,000 22,019.001.01 1

−+ + + + = = −

หรอถาตองการใชสตรในทฤษฎบท 6.4.1 กจะไดวา

20(1 0.01) 11,000 22,019.000.01

S + −

= =

๛

1,000(1.01)

21,000(1.01)

181,000(1.01)

191,000(1.01)

69

ตวอยาง 6.4.3 สงเงนเดอนละ 2,000 บาท ทกปลายเดอน อตราดอกเบย 12% ตอป ทบตนทกเดอน

จงหาเงนรวมหลงจากการสงงวดท 12

วธทา

พจารณาผงเวลาแสดงการฝากเงน

งวดท 1 2 - - - - 11 12

2,000 2,000 2,000 2,000 2,000

จะเหนวาเงนรวมของเงนงวดท 1 คอ 112,000(1.01)



เปนเชนนไปเรอยๆ จนกระทง



และ เงนรวมของเงนงวดท 12 คอ 2,000 เปนการฝากครงสดทายทไมไดมการคด

ดอกเบย ดงนนเงนรวมทงหมดคอ 12

2 11 (1.01) 12,000 2,000(1.01) 2,000(1.01) 2,000(1.01) 2,000 25,365.011.01 1

−+ + + + = = −

หรอถาตองการใชสตรในทฤษฎบท 6.4.1 กจะไดคาเดยวกน

๛

22,000(1.01)

102,000(1.01)

112,000(1.01)

70

จากทฤษฎ 6.4.1

(1 ) 1niS Ri

+ −=

เปนมลคารวมของเงนทก ๆ งวดททะยอยสง เงนกอนน

ถา P เปนมลคาปจจบนของเงนกอนน จะไดวา

แตเนองจาก 2 3 1(1 ) (1 ) (1 ) (1 )nS R R i R i R i R i −= + + + + + + + + +

ดงนน

2 3 1(1 ) (1 ) (1 ) (1 )(1 )

n

n

R R i R i R i R iPi

−+ + + + + + + + +=

+

2 3 11 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )(1 )

n

n

i i i iRi

− + + + + + + + + += +

3 2

1 1 1 1(1 ) (1 ) (1 ) (1 )nR

i i i i

= + + + + + + + +

( )1 3 2n nR v v v v v−= + + + +

เมอ

11

vi

=+

( )2 3 11 nRv v v v v −= + + + + +

( )1 11

1 1

n nnv v vRv R v R

v v i − − = = − = − −

เนองจาก

( )

( )

1 1 1 1 1 111 1 1 1 1

1 1 1 1 11 1 11 1 1 1 1 1

iv i i i i i

i i i iv iii i i i i i

× + + + + + + = = = = = =+ + −− − − × + + + + + + +

ในการจายคางวด ความหมายของมลคาปจจบนกคอจานวนเงนทเราทาการกยม หรอในการซอผอนสง

ความหมายของมลคาปจจบนกคอภาระหนทยงคงตองชาระเปนคาสนคา ซงกคอราคาเงนสดของสนคา

กรณทไมมเงนดาวน หรราคาเงนสดหกเงนดาวนแลวนนเอง สรปเปนทฤษฎบทไดดงน

ทฤษฎบท 6.4.4 ในการซอสนคาทมราคาคางชาระ P บาท ถาผอนสงสนคางวดละ R บาท ตอน

ปลายงวด จานวน n งวด ในอตราดอกเบยทบตน i ตองวด จะไดสตรความสมพนธคอ

1 nvP Ri

−=

เมอ

11

vi

=+

( )1 nSP

i=

+

71

ตวอยาง 6.4.5 ซอตเยนโดยไมมดาวน แลวผอนสงเดอนละ 1,500 บาท เปนเวลา 1 ป ถาอตรา

ดอกเบย 12% ทบตนทกเดอน จงหาราคาเงนสด

วธทา ในการผอนชาระ 12 เดอน อตรา 12% ทบตนทกเดอน เดอนละ 1,500 บาท จะไดวา

0.12 0.01 ; 12; 1,50012

i n R= = = =

จากสตรในทฤษฎบท 6.4.4 จะไดวา 12 121 11 1

1 0.01 1.011,500 1,500 1,500 11.2550 16,882.620.01 0.01

P

− − + = = = × =

นนคอราคาเงนสดเทากบ 16,882.62 ๛

ตวอยาง 6.4.6 ซอบานหลงหนง จายเงนดาวน 230,000 บาท แลวจายผอนสงอกเดอนละ 12,500

บาทเปนเวลา 2 ป บานหลงนราคาเงนสดเทาใด ถาอตราดอกเบย 12% ทบตนทกเดอน

วธทา ในการผอนชาระ 24 เดอน อตรา 12% ทบตนทกเดอน เดอนละ 12,500 บาท จะไดวา

0.12 0.01 ; 24; 12,50012

i n R= = = =


1 0.01 1.0112,500 12,500 12,500 78.7566 984,457.660.01 0.01

P

− − + = = = × =

เงนจานวนนคอหนสนในการผอนสงทงหมด แตเนองจากวางเงนดาวนไปแลว 230,000 บาท ดงนน

ราคาเงนสดของบานจงเทากบ เทากบ 984,457.66+230,000.00 = 1,214,457.66 บาท ๛

ตวอยาง 6.4.7 ซอสนคาชนหนงในราคาเงนสด 30,000 บาท แตถาจะผอนตองวางเงนดาวนทนท

5000 บาทแลวชาระเปนรายเดอน ๆ ละเทา ๆ กน ถาอตราดอกเบย 24 % ตอป ทบตนทกเดอน จงหา

เงนชาระรายเดอนทมมลคารวมเทากบการซอเงนสด ในการผอน 6 งวด

วธทา ซอสนคาชนหนงในราคาเงนสด 30,000 บาท แตถาจะผอนตองวางเงนดาวนทนท 5,000 บาท

แสดงวาเปนหนทตองผอน 25,000 บาท ในการผอนชาระ 6 เดอน อตรา 24% ทบตนทกเดอนดงนน

0.24 0.02 ; 6 ; 25,00012

i n P= = = =

จากสตรในทฤษฎบท 6.4.4 จะไดวา

72

6 61 11 11 0.02 1.0225,000 5.60140.02 0.02

R R R

− − + = = =

นนคอ

25,000 4,463.175.6014

R = =

เงนชาระรายเดอนคอ 4,463.17 บาท ๛

ตวอยาง 6.4.8 รถจกรยานยนตราคาเงนสด 79,999 บาท ดาวน 0% แลวชาระเปนรายเดอน ๆ ละ

เทา ๆ กน ในอตราดอกเบย 36 % ตอป ทบตนทกเดอน จงหาเงนชาระรายเดอนในการผอน 24 งวด

วธทา ราคาเงนสด 79,999 บาท เปนหนทตองผอนทงหมด ในการผอนชาระ 24 เดอน อตรา 36%

ตอเดอนทบตนทกเดอนดงนน

0.36 0.03 ; 24 ; 79,99912

i n P= = = =


1 0.03 1.0379,999 16.93550.03 0.03

R R R

− − + = = =

นนคอ

79,999 4,723.7516.9355

R = =

เงนชาระรายเดอนคอ 4,723.75 บาท ๛

73


1. ซอตเยนโดยไมมดาวน แลวผอนสงเดอนละ 2,500 บาท เปนเวลา 2 ป ถาอตราดอกเบย 12%

ทบตนทกเดอน จงหาราคาเงนสด

2. ซอบานหลงหนง จายเงนดาวน 300,000 บาท แลวจายผอนสงอกเดอนละ 20,000 บาทเปน

เวลา 3 ป บานหลงนราคาเงนสดเทาใด ถาอตราดอกเบย 12% ทบตนทกเดอน

3. ซอสนคาชนหนงในราคาเงนสด 15,000 บาท แตถาจะผอนตองวางเงนดาวนทนท 7,500 บาท

แลวชาระเปนรายเดอน ๆ ละเทา ๆ กน ถาอตราดอกเบย 24 % ตอป ทบตนทกเดอน จงหา

เงนชาระรายเดอนทมมลคารวมเทากบการซอเงนสด ในการผอน 10 งวด

4. รถจกรยานยนตราคาเงนสด 39,999 บาท ดาวน 0% แลวชาระเปนรายเดอน ๆ ละ

เทา ๆ กน ในอตราดอกเบย 24 % ตอป ทบตนทกเดอน จงหาเงนชาระรายเดอนในการผอน

36 งวด

5. ซอตเยนโดยไมมดาวน แลวผอนสงเดอนละ 2,500 บาท เปนเวลา 10 เดอน ถาอตราดอกเบย

6% ทบตนทกเดอน จงหาราคาเงนสด


เวลา 3 ป บานหลงนราคาเงนสดเทาใด ถาอตราดอกเบย 18% ทบตนทกเดอน

7. ซอสนคาชนหนงในราคาเงนสด 45,000 บาท แตถาจะผอนตองวางเงนดาวนทนท 9,000 บาท

แลวชาระเปนรายเดอน ๆ ละเทา ๆ กน ถาอตราดอกเบย 12 % ตอป ทบตนทกเดอน จงหาเงน

ชาระรายเดอนทมมลคารวมเทากบการซอเงนสด ในการผอน 12 งวด

8. รถจกรยานยนตราคาเงนสด 65,999 บาท ดาวน 0% แลวชาระเปนรายเดอน ๆ ละ

เทา ๆ กน ในอตราดอกเบย 12 % ตอป ทบตนทกเดอน จงหาเงนชาระรายเดอนในการผอน

48 งวด

9. ซอตเยนโดยไมมดาวน แลวผอนสงเดอนละ 500 บาท เปนเวลา 2 ป ถาอตราดอกเบย 15%

ทบตนทกเดอน จงหาราคาเงนสด


เวลา 2 ป 6 เดอน บานหลงนราคาเงนสดเทาใด ถาอตราดอกเบย 24% ทบตนทกเดอน

11. ซอสนคาชนหนงในราคาเงนสด 2,000 บาท แตถาจะผอนตองวางเงนดาวนทนท 200 บาทแลว

ชาระเปนรายเดอน ๆ ละเทา ๆ กน ถาอตราดอกเบย 6 % ตอป ทบตนทกเดอน จงหาเงนชาระ

รายเดอนทมมลคารวมเทากบการซอเงนสด ในการผอน 10 งวด

74

12. รถจกรยานราคาเงนสด 12,000 บาท ดาวน 0% แลวชาระเปนรายเดอน ๆ ละเทา ๆ กน ใน

อตราดอกเบย 24 % ตอป ทบตนทกเดอน จงหาเงนชาระรายเดอนในการผอน 12 งวด

13. ซอโทรทศนโดยไมมดาวน แลวผอนสงเดอนละ 1,299 บาท เปนเวลา 1 ป ถาอตราดอกเบย

12% ทบตนทกเดอน จงหาราคาเงนสด

14. ซอทดน จายเงนดาวน 100,000 บาท แลวจายผอนสงอกเดอนละ 10,000 บาทเปนเวลา 3 ป

ทดนผนนราคาเงนสดเทาใด ถาอตราดอกเบย 27% ทบตนทกเดอน

15. ซอโทรศพทในราคาเงนสด 23,999 บาท แตถาจะผอนตองวางเงนดาวนทนท 2,399 บาทแลว

ชาระเปนรายเดอน ๆ ละเทา ๆ กน ถาอตราดอกเบย 24 % ตอป ทบตนทกเดอน จงหาเงน

ชาระรายเดอนทมมลคารวมเทากบการซอเงนสด ในการผอน 10 งวด

75


มาณพ วราภกด. (2549). ทฤษฎดอกเบย. กรงเทพฯ : สานกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.

อาพล ธรรมเจรญ. (2551). คณตศาสตรการเงน. กรงเทพฯ : โรงพมพพทกษการพมพ.

Brown, R L. And Zima, P. (1996). Schaum's outline of Mathematics of Finance. (2nd ed.).

New York: McGraw-Hill International Book.

76

บทท 7

การวดในชวตประจาวน

(Measurement in Everyday Life)

การบอกเลาถงลกษณะของวตถหรอปรมาณใด เราอาจบอกวา ของสงนนมขนาดเลกหรอใหญ เบาหรอ

หนก รอนมากหรอนอย ไปเรวหรอชา การบอกเลาเชนนเปนการบอกโดยใชสายตาหรอความรสกกะคา

โดยประมาณอยางคราว ๆ แตถาตองการทราบคาทแนนอนกตองมการวด ซงเปนการหาปรมาณโดยใช

เครองมอ เพอใหไดคาตวเลขทแนนอนโดยมหนวยตาง ๆ ตามทกาหนดไวทเครองมอ เชน การใชไม

บรรทดทมหนวยเปนนว วดความยาวของสงหนง กจะไดคาเปนตวเลขทมหนวยเปนนว ซงเปนความยาว

นบแตอดต การวดเรมจากการใชสงของในธรรมชาตทอยรอบ ๆ ตวเรามาเทยบเปนหนวยของการวด

คนในแตละทองถนใชเครองมอและหนวยของการวดแตกตางกนออกไป เชนในสมยกอน คนไทยวด

ระยะโดยมหนวยเปนคบ ศอก วา ซงเทยบมาจากขนาดของรางกายมนษยหรอชาวนาใชทะนานตวงขาว

ใสถง เพอนาไปขาย เมอตวงครบ 20 ทะนาน ไดขาวเตมถงพอด กเรยกปรมาณขาว 20 ทะนานนนวา

เปนขาว 1 ถง ซงหนวยเหลานรเฉพาะในหมคนไทยดวยกนเทานน ตอมาเมอโลกเจรญขนมการตดตอ

คาขายกนระหวางประเทศตาง ๆ จงจาเปนตองมเครองมอและหนวยของการวดทใชไดและเขาใจได

เหมอนกนทวโลก ภายหลงการปฏวตในฝรงเศส ในป ค.ศ. 1789 นกวทยาศาสตรชาวฝรงเศสไดประชม

รวมกนจดตงมาตรฐานในการวดขน พวกนกวทยาศาสตรเหลานนไดทาการวด และคานวณระยะทาง

จากขวโลกเหนอ จนถงเสนศนยสตร แลวแบงเปน 10 ลานสวน แตละสวนเรยกวา 1 เมตร ระบบเมตรก

เปนระบบทใชสบหรอทศนยมเปนหลกเชน 10 เซนตเมตรเทากบ 1 เดซเมตร 10 เดซเมตรเทากบ 1 เมตร

ความยาว 1 เมตรมาตรฐานทาดวยแทงโลหะเกบไวทกรงปารส ปรมาตรมาตรฐานคอลตร โดยให 1

ลตร เทากบ 1,000 ลกบาศกเซนตเมตร ในการวดอณหภม ไดกาหนดหนวยวดขนใหม โดยใชหนวยเปน

เซลเซยส หนวยนตงตามชอของนาย แอนเดอร เซลเซยส (Anders Celsius มชวตอยระหวาง ค.ศ. 1701

ถง 1744) เขานกดาราศาสตรชาวสวเดน นายเซลเซยสเปนคนแรกทเสนอใหใชหนวยทใกลเคยงกบ

หนวยนในป พ.ศ. 2285 (ค.ศ. 1742) แตแรกกาหนดใหอณหภมจดเยอกแขงของนาคอ 0 องศา และจด

เดอดของนาคอ 100 องศาทระดบความดนบรรยากาศมาตรฐาน มชอเรยกอก 2 แบบคอ องศา

เซนตเกรด (centigrade) กบองศาเซนเทสซมล (centesimal) อนดบสดทาย นาหนกมาตรฐานในระบบ

เมตรกคอกรม โดยท 1 กรม เทากบนาหนกของนาบรสทธทมปรมาตร 1 ลกบาศกเซนตเมตรท 4

เซนตเกรด (เซลเชยส) ในระบบน กใชทศนยมเหมอนกน ระบบเมตรกเปนระบบทสะดวก เพราะทก

อยางเปนทศนยม จงมผนยมใชมาก

77

อปสรรคทใหแปลงหนวยในระบบเมตรก

อาน สญลกษณ คา อาน สญลกษณ คา

exa E ลานลานลาน deci d หนงในสบ

peta P พนลานลาน centi c หนงในรอย

tera T ลานลาน milli m หนงในพน

giga G พนลาน micro µ หนงในลาน

mega M ลาน nano n หนงในพนลาน

kilo k พน pico p หนงในลานลาน

hecto h รอย femto f หนงในพนลานลาน

deca da 10 สบ atto a หนงในลานลานลาน

(1) มาตราชง ใชคาวากรม ใสคาอปสรรคแปลงขนาดทเลกลงหรอใหญขน

(2) มาตราตวง ใชคาวาลตร ใสคาอปสรรคแปลงขนาดทเลกลงหรอใหญขน

(3) มาตราวด ใชคาวาเมตร ใสคาอปสรรคแปลงขนาดทเลกลงหรอใหญขน

(4) มาตราวดพนท ใชคาวาตารางตอดวยหนวยการวดทใช

(5) มาตราวดอณหภม ใชองศาเซลเซยส

ในหวขอตอไปจะกลาวถงการวดความยาว การวดพนท การวดปรมาตรหรอทเรยกกนวาการตวง การ

วดนาหนกหรอทเรยกกนวาการชง และอณหภมในระบบตาง ๆ ทเกยวของกบชวตประจาวน รวมถง

การแปลงหนวยจากระบบหนงไปยงอกระบบหนง โดยในทนจะกลาวถงเฉพาะระบบองกฤษและระบบ

ไทยเทานน เนองจากระบบองกฤษ (English System หรอ Imperial System) เปนหนวยมาตรฐานอก

หนวยหนง หนวยนยงนยมใชกนใน หลายประเทศ แตในไทยเรามกไมคนเคยนกเพราะไมไดใชเปนหนวย

มาตรฐาน หนวยวดท เปนทนยมใชกนมานานคอ วดความยาวเปนนว ฟต หลา ไมล วด นาหนกเปน

ออนซ ปอนด วดอณหภมเปน ฟาเรนไฮต

7.1 การวดความยาว

(Measuring Length)

พระราชบญญตมาตราชงตวงวด พ.ศ. 2542 ซงใหไว ณ วนท 7 เมษายน พ.ศ. 2542 ประกาศวาให

ยกเลกพระราชบญญตมาตราชงตวงวด พระพทธศกราช 2466 ใหยกเลกพระราชบญญตมาตราชงตวง

วด แกไขเพมเตม พทธศกราช 2476 ใหยกเลกพระราชบญญตมาตราชงตวงวด พ.ศ. 2466 แกไข

78

เพมเตม พทธศกราช 2477 ใหยกเลกประกาศของคณะปฏวต ฉบบท 171 ลงวนท 30 มถนายน พ.ศ.

2515 ใหยกเลกพระราชบญญตมาตราชงตวงวด (ฉบบท 4) พ.ศ. 2526

แลวมาใชพระราชบญญตนแทน ในพระราชบญญตไวกลาวไววา

(1) “มาตราชงตวงวด” หมายความวา หนวยทกาหนดใหรขนาดหรออตราเทยบสวนใด ๆ ของ

ปรมาณตาง ๆ

(2) “เครองชงตวงวด” หมายความวา เครองชง เครองตวง และเครองวด

(3) “เครองชง” หมายความวา เครองสาหรบใชชงแสดงนาหนก และใหหมายความรวมถงตม

นาหนกทใชในการชงและสวนประกอบของเครองชงทรฐมนตรประกาศกาหนด

(4) “เครองตวง” หมายความวา เครองทมลกษณะเปนภาชนะสาหรบใชตวงแสดงปรมาตรของ

สงของ และใหหมายความรวมถงสวนประกอบของเครองตวงทรฐมนตรประกาศกาหนด

(5) “เครองวด” หมายความวา เครองสาหรบใชวดแสดงปรมาณหรอหนวยของสงใด ๆ แตไมใช

เครองชงหรอเครองตวง และใหหมายความรวมถงสวนประกอบของเครองวดทประกาศกาหนด

ในบททวไปของพระราชบญญต

มาตรา 9 กลาววา การชง การตวงและการวดทงปวง ใหใชมาตราชงตวงวดในระบบเมตรก

หรอในระบบประเพณทเทยบเขาหาระบบเมตรกตามทกาหนดในบญชทายของพระราชบญญตน

มาตรา 10 กลาววาในการซอขายหรอจาหนายสนคาใด ๆ ในทองทใด ถารฐมนตรเหนสมควร

ใหใชมาตราชงตวงวดเฉพาะในระบบเมตรกตามมาตรา 9 หรอใหกระทาโดยการชง การตวงหรอการวด

อยางใดอยางหนง

บญชมาตราชงตวงวดตามมาตรา 9 ตามพระราชพระราชบญญตมาตราชงตวงวด พ.ศ. 2542

กลาววา หนวยมลฐานของความยาวใหเปนเมตร เมตร คอ ความยาวของทางเดนของแสงใน

สญญากาศในชวงเวลา 1 ใน 299,792,458 ของหนงวนาท และใหจานวนหนวยของความยาวเปน

ดงตอไปน

ชอ อตรา อกษรยอ

กโลเมตร เทากบ พนเมตร กม.

เฮกโตเมตร เทากบ รอยเมตร ฮม.

เดคาเมตร เทากบ สบเมตร ดคม.

เมตร เทากบ หนงเมตร ม.

เดซเมตร เทากบ หนงในสบของหนงเมตร ดม.

เซนตเมตร เทากบ หนงในรอยของหนงเมตร ซม.

มลลเมตร เทากบ หนงในพนของหนงเมตร มม.

ไมโครเมตร เทากบ หนงในลานของหนงเมตร มคม.

79

7.1.1 มาตราวดความยาวในระบบองกฤษ

12 นว = 1 ฟต

3 ฟต =1 หลา

1,760 หลา =1 ไมล

(โดยเทยบกบระบบเมตรก 1 นว = 2.54 เซนตเมตร)


เนองจาก 1 นว = 2.54 เซนตเมตร

ดงนน 1 ฟตเทากบ 2.54 X 12 = 30.48 เซนตเมตร

1 หลาเทากบ 30.48 X 3 = 91.44 เซนตเมตร

และ 1 ไมลเทากบ 91.44 X 1760 = 160,934.40 เซนตเมตร = 1,609.34 เมตร

จงไดวา 1 ไมลมคาประมาณ 16 กโลเมตร ๛


อตราเรวของแสง (speed of light) ในสญญากาศ มนยามวาเทากบ 299,792,458 เมตรตอวนาท

สามารถเปลยนหนวยไดเปน 1,079,252,848.8 กโลเมตรตอชวโมง หรอประมาณ 186,282.397 ไมล

ตอวนาท หรอ 670,616,629.4 ไมลตอชวโมง ใหผเรยนไปตรวจสอบดวยตนเอง ๛

7.1.2 มาตราวดวามยาวในระบบไทย

2 หน = 1 กระเบยด

4 กระเบยด = 1 นว

12 นว = 1 คบ

2 คบ = 1 ศอก

4 ศอก = 1 วา

20 วา = 1 เสน

400 เสน = 1 โยชน

(โดยเทยบกบระบบเมตรก 1 ศอก = 50 เซนตเมตร)


เนองจาก 1 ศอกเทากบ 50 เซนตเมตร ดงนน 1 คบจงเทากบ 50/2 = 25 เซนตเมตร และ 1 นว

จงเทากบ 25/12= 2.08 เซนตเมตร จะสงเกตเหนวา 1 นวในระบบไทยจะสนกวา 1 นวในระบบองกฤษ

และนอกจากน จะไดวา 1 วาเทากบ 50 X 4 = 200 เซนตเมตร หรอ 2 เมตร ๛

80


ในไตรภมกถากลาววา สวรรคมทงหมด 6 ชน เรยงตามลาดบความสงจากโลกมนษยดงน

สวรรคชนจาตมหาราชกา เปนสวรรคชนตาสด อยสงกวาแผนดนขนไปเบองบน 46,000 โยชน

สวรรคชนดาวดงษา เปนสวรรคชนทอยเหนอจาตมหาราชกาขนไปอก 46,000 โยชน

สวรรคชนยามา สงขนไปจากดาวดงส 84,000 โยชน

สวรรคชนดสต สงขนไปจากยามา 168,000 โยชน

สวรรคชนนมมานนรด สงขนไปจากดสต 336,000 โยชน

สวรรคชนปรนมตวสวตต เปนสวรรคชนสงสด หางขนไปจากนมมานนรดอก 672,000 โยชน โดยการ

เทยบอตราการวดระยะทาง จะไดวา 1 โยชนเทากบระยะทาง 16 กโลเมตร

ดงนนจงไดวา

(1) สวรรคชนจาตมหาราชกา อยสงกวาแผนดนขนไปเบองบน 736,000 กโลเมตร

(2) สวรรคชนดาวดงษา สงจากชนจาตมหาราชกาขนไปอก 736,000 กโลเมตรเชนกน

(3) สวรรคชนยามา สงขนไปจากดาวดงส 1,344,000 กโลเมตร

(4) สวรรคชนดสต สงขนไปจากยามา 2,688,000 กโลเมตร

(5) สวรรคชนนมมานนรด สงขนไปจากดสต 5,376,000 กโลเมตร

(6) สวรรคชนปรนมตวสวตต สงขนไปจากนมมานนรดอก 10,752,000 กโลเมตร

นนคอถาจะเดนทางจากโลกมนษยขนไปยงสวรรคชนสงสดตามแนวดง จะตองเดนทางใน

ระยะทาง 21,632,000 กโลเมตร และจะสงเกตเหนวา ระยะทางจากสวรรคชนตากวาไปชนสงถดไปจะ

เพมขนประมาณ 2 เทาตวเรอย ๆ เปนทนาสนใจมาก ๛

81


1. กระทรวงคมนาคมของประเทศสหรฐอเมรกาไดนยามวา รถไฟความเรวสงคอรถไฟทสามารถ

รกษาอตราเรวไวไดมากกวา 125 ไมลตอชวโมง อตราเรวนเทยบไดกบกกโลเมตรตอชวโมง

2. อตราเรวของเสยง คอ ระยะทางทเสยงเดนทางไปในตวกลางใด ๆ ไดในหนงหนวยเวลา

โดยทวไปเสยงเดนทางในอากาศทมอณหภม 25°C ไดประมาณ 346 เมตรตอวนาท อตราเรวนเทยบได

กบกกโลเมตรตอชวโมง

3. ปแสง (light-year) คอ หนวยของระยะทางในทางดาราศาสตร โดยกาหนดให 1 ปแสง เทากบ

ระยะทางทแสงเดนทางในเวลา 1 ป ถาอตราเรวแสงทมคา 299,792.45 กโลเมตรตอวนาทและ 1 ปม

365.25 วน แลวจงหาวา ระยะทาง 1 ปแสงเทากบกกโลเมตร

4. ลเปนหนวยวดระยะทางของจนโบราณมคาเทากบ 500 เมตร จนซฮองเตจกรพรรดองคแรก ได

มโครงการใหสรางและเชอมตอกาแพงเมองจนสวนตาง ๆ ทมอยแลวทางดานทศเหนอเขาดวยกน แนว

กาแพงใหมของจนซฮองเตมความยาวมากและ จงไดรบการขนานนามวา กาแพงหมนล โดยความยาว

เชนนนจะมคาเทากบกไมล

5. พระปฐมเจดยเปนพระเจดยเกากวาพระเจดยอน ๆ ในประเทศสยาม สนนษฐานวาสรางสมย

ทวาราวด ตงอยทเมองนครไชยศรในสมยกอน ปจจบนอยในอาเภอเมองนครปฐม เดมม ความสง 40

วา 5 ศอก ความสงนเทากบกเมตร

6. ในรชสมยพระบาทสมเดจพระจอมเกลาฯ ไดบรณะพระปฐมเจดยโดยกอฐานใหญรอง 5 เสน

16 วา 3 ศอก องคพระเจดยถงยอดนพศล ตลอดยอดมงกฏ สง 3 เสน 1 คบ 6 นว ความยาวฐานและ

ความสงนเทากบกเมตร

7. ไมลทะเล (nautical mile) เปนหนวยวดความยาวอกหนวยหนง มคาเทากบ 2,025 หลา

ถามวาไมลทะเลนนสนหรอยาวกวาไมลปกตกเมตร

8. ระยะทางเดนรถทสนทสดระหวางเชยงใหมกบกรงเทพฯคอ 696 กโลเมตร ระยะทางนเทากบก

ไมล

82

7.2 การวดพนทและปรมาตร

(Measuring Area and Volume)

บญชมาตราชงตวงวดตามมาตรา 9 ตามพระราชพระราชบญญตมาตราชงตวงวด พ.ศ. 2542 กาหนด

เพมเตมวา หนวยของพนทใหเปนตารางเมตร คาวาตารางเมตรนคอ พนทตารางรปสเหลยมจตรสทม

ดานกวางยาวดานละหนงเมตร และใหจานวนหนวยของพนทเปนดงตอไปน


ตารางกโลเมตร เทากบ ลานตารางเมตร กม.2

ตารางเฮกโตเมตร เทากบ หมนตารางเมตร ฮม.2

ตารางเดคาเมตร เทากบ รอยตารางเมตร ดคม.2

ตารางเมตร เทากบ หนงตารางเมตร ม.2

ตารางเดซเมตร เทากบ หนงในรอยของหนงตารางเมตร ดม.2

ตารางเซนตเมตร เทากบ หนงในหมนของหนงตารางเมตร ซม.2

ตารางมลลเมตร เทากบ หนงในลานของหนงตารางเมตร มม.2

หนวยของปรมาตรใหเปนลกบาศกเมตร คาวาลกบาศกเมตรนคอ ปรมาตรทบรรจอยใน

ลกบาศก มดานกวางยาวและสงดานละหนงเมตร และใหจานวนหนวยของปรมาตรเปนดงตอไปน


ลกบาศกกโลเมตร เทากบ พนลานลกบาศกเมตร กม.3

ลกบาศกเฮกโตเมตร เทากบ ลานลกบาศกเมตร ฮม.3

ลกบาศกเดคาเมตร เทากบ พนลกบาศกเมตร ดคม.3

ลกบาศกเมตร เทากบ หนงลกบาศกเมตร ม.3

ลกบาศกเดซเมตร เทากบ หนงในพนของหนงลกบาศกเมตร ดม.3

ลกบาศกเซนตเมตร เทากบ หนงในลานของหนงลกบาศกเมตร ซม.3

ลกบาศกมลลเมตร เทากบ หนงในพนลานของหนงลกบาศกเมตร มม.3

หนวยของความจใหเปนลตร คาวาลตรนคอ ปรมาตรของนาบรสทธหนกหนงกโลกรม (คาวา

กโลกรมนจะกลาวในหวขอตอไป) ณ อณหภม 4 องศาเซลเซยส เมอความกดบรรยากาศปกต และให

จานวนหนวยของความจเปนดงตอไปน

83


กโลลตร เทากบ พนลตร กล.

เฮกโตลตร เทากบ รอยลตร ฮล.

เดคาลตร เทากบ สบลตร ดคล.

ลตร เทากบ หนงลตร ล.

เดซลตร เทากบ หนงในสบของหนงลตร ดล.

เซนตลตร เทากบ หนงในรอยของหนงลตร ซล.

มลลลตร เทากบ หนงในพนของหนงลตร มล.

พระราชบญญตกลาวอกวา เพอประโยชนในการแสดงปรมาตรใหถอวาหนงลตรเทากบหนง

ลกบาศกเดซเมตร ทงนตวพระราชบญญตแยกนยามคาวาลตรซงเปนหนวยของความจในความหมาย

ทตางกนกบลกบาศกเดซเมตรซงเปนหนวยของปรมาตร เนองจากตองการใหใชหนวยของความจกบ

วตถทเปนของเหลวเทานน สวนปรมาตรนนใหใชกบวตในสถานะอน ๆ ได เชนอยางกรวด หนดน ทราย

จากหมายเหตดงกลาวทาใหเราไดวา 1 ลกบาศกเซนตเมตรคอปรมาตรเดยวกบ 1 มลลลตร และเปน

ปรมาตรเดยวกบ 1 ซซ

7.2.1 มาตราวดพนทในระบบองกฤษ

1 เฮกตาร = 1.5 เอเคอร

1 เอเคอร = 55x88 ตารางหลา

(โดยเทยบกบระบบเมตรก 1 เอเคอร = 4046.856 ตารางเมตร)


เนองจาก 1 หลา เทากบ 91.44 เซนตเมตร ดงนน 1 ตารางหลาคอ 91.44 X 91.44 = 8,361.27

ตารางเซนตเมตร จงไดวา 1 เอเคอรเทากบ 55 X 88 X 8,361.27 = 40,468,546.80 ตารางเซนตเมตร

และเนองจาก 1 ตารางเมตร = 100 X 100 = 10,000 ตารางเซนตเมตร จงไดวา 1 เอเคอรเทากบ

40,468,546.80 / 10,000 = 4,046.85 ตารางเมตร ๛


เนองจาก 1 ตารางกโลเมตร เทากบ 1,000 X 1,000 = 1,000,000 ตารางเมตร และ 4,046.85

ตารางเมตร เปน 1 เอเคอร ดงนน 1 ตารางกโลเมตรเทากบ 1,000,000 / 4,046.85 = 247.11 เอเคอร

๛

84

7.2.2 มาตราวดปรมาตรในระบบองกฤษ

3 teaspoons(tsp. ) = 1 tablespoon(tbsp.)

2 tbsp. = 1 fl. ounces (fl.oz.)

8 ounces (oz.) = 1 cup (c)

2 c = 1 pint (pt.)

2 pt. = 1 quart (at)

4 at = 1 gallon (gal)

(โดยเทยบกบระบบเมตรก 1 teaspoon = 5 ลกบาศกเซนตเมตร)


จะเหนวา 1 ชอนชา = 5 ลกบาศกเซนตเมตร หรอ 5 ซซ

ดงนน 1 ชอนโตะ = 5 x 3 = 15 ซซ

1 ออนซ = 15 x 2 = 30 ซซ

1 ถวยตวง = 30 x 8 = 240 ซซ

1 ไพนท = 240 x 2 = 480 ซซ

1 ควอรท = 480 x 2 = 960 ซซ

และ 1 แกลลอน = 960 x 4 = 3,840 ซซ = 3.84 ลตร

แตโดยความเปนจรง หนวยวด 1 ชอนชาไมไดเทากบ 5.00 ซซ ตามทบญญต แตจะเทากบ 4.93 ซซ

ซงจะทาให 1 ชอนโตะ = 4.93 x 3 = 14.79 ซซ

1 ออนซ = 14.79 x 2 = 29.58 ซซ

1 ถวยตวง = 29.58 x 8 = 236.64 ซซ

1 ไพนท = 236.64 x 2 = 473.28 ซซ

1 ควอรท = 473.28 x 2 = 946.56 ซซ

และ 1 แกลลอน = 946.56 x 4 = 3,786.24 ซซ = 3.79 ลตร เปนคาทถกตองมากกวา

แตทงสองกรณกพอจะกลาวไดเหมอนกนวา 1 แกลลอนเปนปรมาตรทเทากบ 3.8 ลตรโดยประมาณ

๛


เลอด เปนสวนประกอบทสาคญของรางกาย เปรยบเสมอนสายธารหลอเลยงชวต ตามปกต

แลวมนษยเราจะมเลอดไหลเวยนอยในรางกายประมาณ 4,000 – 5,000 ซซ ถาเทยบวา 5 ซซเทากบ 1

ชอนชาแลว เราสามารถคานวณไดวา รางกายคนเรามเลอดไหลเวยนอยประมาณ 16.67- 20.83 ถวย

ตวง ๛

85

7.2.3 มาตราวดพนทในระบบไทย

100 ตารางวา = 1 งาน

4 งาน = 1 ไร

(โดยเทยบกบระบบเมตรก 1 ตารางวา = 4 ตารางเมตร)


เนองจาก 1 ไร ม 4 งาน = 4 X 100 = 400 ตารางวา = 400 X 4 = 1,600 ตารางเมตร และ

นอกจากน 1 ตารางกโลเมตรเทากบ 1,000 X 1,000= 1,000,000 ตารางเมตร จงไดวา

1 ตารางกโลเมตร = 1,000,000 / 1,600 = 625 ไร ๛


ปญหาพนททบซอน 4.6 ตารางกโลเมตรบนเขาพระวหาร เปนปญหาซงยงหาจดจบไมได

ระหวางไทย-เขมร จนเกดการปะทะทางทหารกนหลายหนดวยกน เนองจาก 1 ตารางกโลเมตร เทากบ

625 ไร ถาจะคดเปนหนวยพนทในระบบไทย กจะเทากบ 4.6 x 625 = 2,875 ไร ๛

7.2.4 มาตราวดปรมาตรในระบบไทย

20 ทะนาน = 1 สดหรอถง

50 ถง = 1 บน

2 บน = 1 เกวยน

ซงใน พ.ศ. 2466 (สมยรชกาลท 6) ไดตราพระราชบญญตมาตราชงตวงวดฉบบแรกโดยกาหนดให

ทะนาน ใหเทากบ หนงลตร (ท.)

สด ใหเทากบ ยสบลตร (ส.)

บน ใหเทากบ พนลตร (บ.)

เกวยน ใหเทากบ สองพนลตร (กว.)

การวดปรมาตรในระบบไทยแตเดมไมปรากฎวาใชวดปรมาณของเหลว สวนใหญกเอาไวใชตวง

ขาวเปลอกขาวสารเปนสวนใหญ เนองจากมการตราพระราชบญญตมาตราชงตวงวดมาใชเปน

เวลานาน ยงไปกวานนกมกฎหมายตราขนเพอใหใชการวดนาหนกแทนการวดปรมาตรสงเหลาน ซงจะ

กลาวในหวขอถดไป ในปจจบนจงไมคอยมการใชหนวยวดปรมาตรแบบไทยมากนก จะไมกลาวใน

รายละเอยดหรอใหตวอยางในเรองน

86


1. มหาวทยาลยเชยงใหมมพนทประมาณ 8,500 ไร แบงเปน 3 ฝงใหญ ๆ คอ ฝงสวนดอกเปน

ทตงของคณะสายการแพทยทง 6 ฝงสวนสกเปนทตงของคณะสวนใหญและหอพกป 1 ฝงแมเหยะ เปน

ทตงของคณะสตวแพทยศาสตรและอตสาหกรรมเกษตร ถามวามหาวทยาลยเชยงใหมมพนทประมาณ

กเอเคอร

2. โลกมพนทผว 510,072,000 ตารางกโลเมตร เปนพนนาประมาณ 361,132,000 ตาราง

กโลเมตร ทเหลออกประมาณ 148,940,000 ตารางกโลเมตร เปนพนดน ถามวาโลกมพนทผวเปนพน

นากไร

3. จากขอ 2. โลกมพนทผวเปนพนดนกเอเคอร

4. ปาหมพานตตงอยบรเวณเชงเขาพระสเมร มลกษณะเปนมณฑลวงกลม เสนผานศนยกลาง

3,000 โยชน ตามขอมลนแลว พนทของปาหมพานตจะเทากบกตารางกโลเมตร

5. ทาเนยบขาวเปนทพานกอยางเปนทางการและสถานททางานหลกของประธานาธบด

สหรฐอเมรกาทกคน มพนทใชสอยรวม 55,000 ตารางฟต พนทนจะเทากบกไร กงาน กตารางวา

6. พระราชวงตองหามเปนพระราชวงหลวงของจนมาตงแตสมยกลางราชวงศหมงจนถงราชวงศชง

ตงอยใจกลางของกรงปกกงครอบคลมพนท 180 เอเคอร คดเปนพนทกตารางเมตร

7. การวดปรมาตรสาหรบนามนปโตรเลยมใชหนวยคอ บารเรล (barrel) โดยท 1 บารเรลประมาณ

ได 159 ลตร ทงน 1 บารเรลเทากบ 35 แกลลอนองกฤษ และเทากบ 42 แกลลอนสหรฐอเมรกา ถาม

วา 1 แกลลอนขององกฤษมากหรอนอยกวา 1 แกลลอนของอเมรกาเปนปรมาตรกซซ

8. เบยรจากสหรฐอเมรกายหอหนงบรรจขวดละ 12 fl. oz. ขายเปนกลอง 24 ขวด ในราคากลอง

ละ 490 บาท ถากาหนดให 1 ชอนชาเทากบ 5 ซซ ถามวาเบยรนราคาลตรละเทาใด

9. ขาวเปลอก 1 เกวยนเทากบกทะนาน

10. ทราย 1 ลกบาศกเมตรเทากบกถง

87

7.3 การวดนาหนกและอณหภม

(Measuring Weight and Temperature)

บญชมาตราชงตวงวดตามมาตรา 9 ตามพระราชพระราชบญญตมาตราชงตวงวด พ.ศ. 2542 กาหนด

เพมเตมอกวา หนวยมลฐานของมวลสารใหเปนกโลกรม คาวากโลกรมนคอ มวลสารซงเทากบมวล

สารแบบประถมระหวางประเทศของกโลกรม ใหจานวนหนวยของมวลสารเปนดงตอไปน


เมตรกตน เทากบ พนกโลกรม ต.

เมตรกควนตน เทากบ รอยกโลกรม ควต.

กโลกรม เทากบ หนงกโลกรม กก.

เฮกโตกรม เทากบ หนงในสบของหนงกโลกรม ฮก.

เดคากรม เทากบ หนงในรอยของหนงกโลกรม ดคก.

กรม เทากบ หนงในพนของหนงกโลกรม ก.

เดซกรม เทากบ หนงในหมนของหนงกโลกรม ดก.

เซนตกรม เทากบ หนงในแสนของหนงกโลกรม ซก.

มลลกรม เทากบ หนงในลานของหนงกโลกรม มก.

ไมโครกรม เทากบ หนงในพนลานของหนงกโลกรม มคก.

เพอประโยชนในการแสดงนาหนก ใหถอวาจานวนหนวยของมวลสารแหงสงใดเปนจานวนหนวยของ

นาหนกแหงสงนน

การวดปรมาตรหรอวดนาหนกของสนคาเปนสงสาคญทจะตองทาตามกฎหมายอยางเครงครด

เพอปองกนการเอารดเอาเปรยบกน ในป 2543 จงมประกาศกระทรวงพาณชย เรอง กาหนดสนคาท

ตองซอขายหรอจาหนายโดยใชมาตราชงในระบบเมตรก ดงน

หมวด ผลตภณฑจากพช

(1) ขาวเปลอก (2) ขาวสารจาว

(3) ขาวสารเหนยว (4) ปลายขาว

(5) ราขาว (6) ขาวโพด

(7) ขาวฟาง (8) เผอกและมนทกชนด

(9) ออย (10) ถวทกชนด

(11) งา (12) เมลดบว

(13) เมลดละหง (14) ฝายและเมลดฝาย

88

(15) หวหอมและกระเทยมแหง (16) นน นนปยและเมลดนน

(17) ปอ (18) ผกสดทกชนด

(19) เนอมะพราวแหง (20) พรกไทยและเครองเทศทกชนด

(21) พรกแหง (22) มะขามแหงและมะขามเปยก

(23) มนสาปะหลง และผลตภณฑจากมนสาปะหลง

(24) ยางแผนรมควน ยางคละและเศษยาง (25) แปงทกชนดทใชทาอาหาร

หมวด ผลตภณฑจากแร

(1) ปนซเมนต

(2) ปนขาว

(3) กาซปโตรเลยมเหลว(เฉพาะบรรจถงทใชในครวเรอน)

หมวด ผลตภณฑจากสตว

(1) เนอสกร มนแขง และมนเปลวของสกร (2) เนอโคและเศษเนอโค

(3) เนอกระบอ และเศษเนอกระบอ (4) เนอแกะ

(5) เนอแพะ (6) กนเชยง

(7) นมผง

หมวด ผลตภณฑจากอตสาหกรรมทางเคมหรออตสาหกรรมทเกยวเนองกน

(1) ผงซกฟอก (2) ผงชรส

(3) นาตาลทราย (4) นาตาลปบ

(5) ปย (ยกเวนปยทเปนของเหลว)

7.3.1 มาตราวดนาหนกในระบบองกฤษ

16 ounces (oz.) = 1 pound (lb.)

2,205 lb. = 1 metric ton

(โดยเทยบกบระบบเมตรก 1 oz. = 28.3495231 กรม และ 1 troy oz.= 31.1034768 กรม)

ในทน oz. อนแรกสาหรบชงสงของทวไปเชนอาหาร สวน troy oz. ใชสาหรบการชงโลหะมคาเชนทองคา

เงน พลาตนมเปนตน

89


ในการชกมวยสากลจะแบงนกมวยออกเปนพกดตาง ๆ ตามนาหนก ไดแก

(1) รน Heavyweight นาหนก มากกวา 200 ปอนด (lb.)

(2) รน Junior heavyweight ไมเกน 200 lb.

(3) รน Light heavyweight ไมเกน 175 lb.

(4) รน Super middleweight ไมเกน 168 lb.

(5) รน Middleweight ไมเกน 160 lb.

(6) รน Light middleweight ไมเกน 154 lb.

(7) รน Welterweight ไมเกน 147 lb.

(8) รน Light welterweight ไมเกน 140 lb.

(9) รน Lightweight ไมเกน 135 lb.

(10) รน Super featherweight ไมเกน 130 lb.

(11) รน Featherweight ไมเกน 126 lb.

(12) รน Super bantamweight ไมเกน 122 lb.

(13) รน Bantamweight ไมเกน 118 lb.

(14) รน Super flyweight ไมเกน 115 lb.

(15) รน Flyweight ไมเกน 112 lb.

(16) รน Light flyweight ไมเกน 108 lb.

(17) รน Mini flyweight ไมเกน 105 lb.

(18) รน Pin weight ไมเกน 101 lb.

เนองจาก 1 กโลกรมเทากบ 2.205 ปอนด นกศกษาสามารถคานวณไดวาถาตองการชกมวยสากล

จะตองขนชกในรนใด เชน ถานาหนก 65 กโลกรม กจะเทากบนาหนกในระบบองกฤษคอ 65 X 2.205

ไดเทากบ 143.33 ปอนด ถอวาจะขนชกไดตงแตรน Welterweight ขนไปจนถงรน Heavyweight ๛


สตรในการรบประทานของชายคนหนงในแตละวน คอ ขาวนง 0.5 ปอนด ปลาทปง 4 ออนซ

ถวฝกยาวตม 6 ออนซ ไอศกรมวนลา 4 ออนซ และไสอว 5 ออนซ คานวณออกมาเปนหนวยการวด

นาหนกระบบเมตรกได ขาวนง 0.5 /2.205 = 0.23 กโลกรม หรอ 230 กรม ปลาทปง 4 x 28.35 =

113.40 กรม ถวฝกยาวตม 6 x 28.35 = 170.10 กรม ไอศกรมวนลา 4 x 28.35 = 113.40 กรม และไส

อว 5 x 28.35 = 141.75 กรม ๛

90

7.3.2 มาตราวดนาหนกในระบบไทย (มกใชกบโลหะมคาในประเทศไทย)

4 สลง = 1 บาท

4 บาท = 1 ตาลง

20 ตาลง = 1 ชง

50 ชง = 1 หาบ

(โดยเทยบกบระบบเมตรก โดยประมาณ ทองคานาหนก 1 บาท = 15 กรม

แตโดยความเปนจรง ทองรปพรรณ นาหนก 1 บาท = 15.16 กรม

ทองคาแทงนาหนก 1 บาท = 15.244 กรม

และกาหนดให อญมณ 1 กะรต = 0.2 กรม)


ถากาหนดใหทองหนงบาทหนก 15 กรมกจะไดวา 1 ตาลงเทากบ 15 X 4 = 60 กรม และ 1 ชง

เทากบ 60 X 20 = 1200 กรม หรอ 1.2 กโลกรมนนเอง ในประเทศไทยสมยกอน มการบญญตคาของ

คนไทยไวเหมอนกน โดยกาหนดเอาฐานะของคนเปนเกณฑ อาจกาหนดกนดวยการไดรบอนญาตให

ครอบครองทดนทเรยกวา “ศกดนา” เพราะมสานวนพดกนตดมาจนทกวนนวา “เจาพระยานาหมน”

นอกจากน ยงมการตราคาคนอกอยางหนง ซงถอเปนประเพณ คอการตราคาหญงสาวในเวลาทชาย

หนมสงเถาแกมาสขอ พอแมของฝายหญงกมกจะเรยกทองเปนการชดใชคาทไดเลยงดมา เปนคาทนอน

หมอนมงบาง เปนกองทนรวมกนบาง เรยกวาสนสอด ทเปนทองกเรยกวา ทองหมน รวมเขาเปน

สนสอดทองหมน ซงชายกตองใชเงนตราเปนสนสอด และใชเงนตราซอทองหมน จะมากหรอนอย ก

ตองวาแลวแตจะเรยก หญงสาวบางคนกคาตวสงมาก อาจดวยเกดในตระกลสง มหนาตาสะสวย เปน

ผด ทงนการเรยกทองหมนอาจมากไปเปนสบเปนรอยชง (120 กโลกรม) เปนทมาของคาวา “สาวนอย

รอยชง” เปนตน


ตตนคาเมน เปนฟาโรหแหงอยปต ครองราชยชวง 1336-1327 ปกอนครสตศกราช ครงทมการ

ขดพบสสานตตนคาเมนแหงนเกอบ 100 ปกอน ไดพบกรสมบตมากมายถง 5 พนกวารายการ รวมถง

พบ “หนากากทองคา” ทตเขารปของกษตรยหนม นาหนกประมาณ 14 กโลกรม หรอ 14,000 กรม ซง

ยงคงแวววาวเปลงประกายมาตลอดกวา 3 พนป ถากาหนดให ทองคารปพรรณ 1 บาท เทากบ 15.16

กรม กจะไดวาหนากากทองคาชนน มนาหนกในระบบการชงของไทยเทากบ 14,000 / 15.16 = 923.48

บาท หรอราว 923.48 / 4 = 230.07 ตาลง หรอ 230.07 / 20 =11.54 ชง ๛

91

7.3.3 มาตราวดอณหภมในระบบองกฤษ

หนวยการวดอณหภมในระบบองกฤษเปนฟาเรนไฮต โดยตงชอตามนกฟสกสชาวเยอรมน กาเบรยล ฟา

เรนไฮต (Daniel Gabriel Fahrenheit 1686-1736) กาหนดวานามจดเยอกแขงอยท 32 องศาฟาเรนไฮต

โดยปกตจะเขยนวา 32 °F และมจดเดอดท 212 องศาฟาเรนไฮต แบงออกเปน 180 สวนจากจดเยอก

แขงถงจดเดอด ทงนเมอเทยบกบหนวยวดในระบบเมตรกทกาหนดใหนามจดเยอกแขงอยท 0 องศา

เซลเซยสและมจดเดอดท 100 องศาเซลเซยสซงเปนการแบงออกเปน 100 สวนจากจดเยอกแขงถงจด

เดอด จะไดวา

ถา C และ F เปนคาของอณหภมในหนวยเซลเซยสและหนวยฟาเรนไฮตทจดเดยวกน

เซลเซยส

0 C 100

32 F 212

ฟาเรนไฮต

จะเหนวา สดสวน 32F − ตอ 212 32− จะเทากบสดสวน 0C − ตอ 100 0− นนคอ

32 0212 32 100 0F C− −

=− −

32

180 100F C−

=

จะไดสตรการเปลยนหนวยไปเปนระบบเมตรกคอ

9 325

F C = +

ปจจบนประเทศทยงมการใชหนวยองศาฟาเรนไฮตไดแก สหรฐอเมรกา จาไมกา คอสตารกา

เปอรโตรโก และฟลปปนส


อณหภมปกตของรางกายมนษยโดยทวไปแลวเปนทยอมรบกนวาเทากบ 37.0°C ถาตองการ

แปลงเปนระบบองกฤษกแทนคา C ในสตรดวย 37.0 แลวแกสมการจะได คาของอณหภมในหนวยฟา

เรนไฮตคอ

9 37 32 66.6 32 98.65

F = × + = + =

°F

๛

92


เปนททราบกนดวา หมบานทหนาวทสดในโลกคอหมบานโอมยาคอน (Oymyakon) ซง

ตงอยแถบไซบเรย ในประเทศรสเซยประเทศรสเซย อณหภมเฉลยอยท -90°F ถาตองการแปลงใหเปน

ระบบเมตรก กแทน F ในสตรดวย -90 แลวแกสมการ จะไดคาของอณหภมในหนวยเซลเซยสคอ

990 325

C − = +

นนคอ

9 90 32 1225

C = − − = −

ดงนน

( )5 122 67.789

C = × − = − °C

๛

นอกจากนแลวบญชมาตราชงตวงวดตามมาตรา 9 ตามพระราชพระราชบญญตมาตราชงตวง

วด พ.ศ. 2542 ยงกาหนดเพมเตมอกวา หนวยมลฐานของเวลาใหเปนวนาท คอ ระยะเวลาเทากบ

9,192,631,770 คาบของการแผรงสทสมนยกบการเปลยนระดบไฮเปอรไฟนสองระดบของอะตอม

ซเซยม-133 (Caesium-133) ในสถานะพนฐาน

หนวยมลฐานของกระแสไฟฟาใหเปนแอมแปร คอ ปรมาณของกระแสไฟฟา ซงถารกษาใหคงท

อยในตวนาสองเสนทมความยาวอนนต มพนทภาคตดขวางกลมเลกมากจนไมจาเปนตองคานงถง และ

วางอยคขนานหางกนหนงเมตรในสญญากาศแลว จะทาใหเกดแรงระหวางตวนาทงสองเทากบ 2 x 10-

7 นวตน ตอความยาวหนงเมตร

หนวยมลฐานของอณหภมทางเทอรโมไดนามกสใหเปนเคลวน ซงเทากบ 1 ใน 273.16 ของ

อณหภมทางเทอรโมไดนามกสของจดสามสภาวะของนา หนวยเคลวนใหใชสาหรบแสดงชวงอณหภม

หรอความแตกตางของอณหภมดวยในกจการทงปวง ใหใชหนวยอณหภมเปนองศาเซลเซยสได

อณหภมเปนองศาเซลเซยสเทากบอณหภมทางเทอรโมไดนามกสลบดวย 273.15

หนวยมลฐานของปรมาณสารใหเปนโมล คอ ปรมาณสารของระบบทประกอบดวย

องคประกอบมลฐาน ซงมจานวนเทากบจานวนอะตอมใน 0.012 กโลกรม ของคารบอน-12 (Carbon-

12) เมอใชโมล ตองระบองคประกอบมลฐาน ซงอาจจะเปนอะตอมโมเลกล ไอออนอเลกตรอน อนภาค

อน ๆ หรอกลมของอนภาคตามทกาหนด

และ หนวยมลฐานของความเขมแหงการสองสวางใหเปนแคนเดลา คอ ความเขมแหงการสอง

สวาง ในทศทางทกาหนดใหของแหลงกาเนด ซงแผรงสเอกรงคดวยความถ 540 x 1012 เฮรตซ

และมความเขมแผรงสในทศทางนนเทากบ 1 ใน 683 วตต ตอ สเตอเรเดยน ซงจะไมกลาวถงการวด

เหลานในกระบวนวชา 206100

93


1. ไมกฤษณาเปนไมทรงคณคามาแตโบราณ มการนามาใชประกอบทางยาในแพทยในแถบทวป

เอเชย และการนามาใชเพอใหเกดกลนหอมซงรจกกนดในนาม “Aromatherapy” ถากาหนดให 1 ออนซ

เทากบ 28.3495231 กรมและ 1 บาทเทากบ 15 กรม จงหาวาไมกฤษณา 20 ชงเทากบกออนซ

2. เมอป 2556 ไมกฤษณาราคากโลกรมละ 300,000 บาท ถากาหนดให 1 บาท เทากบ 15 กรม

จงหาวา ไมกฤษณานาหนก 20 ชง จะมราคากบาท

3. ถากาหนดให 1 oz. เทากบ 28.3495231 กรม จงหาวา เนอวว 10 oz. เปนกกโลกรม

4. การคนพบสสานตตนคาเมน ฟาโรหของอยปต พบทรพยสมบตลาคา มมมของฟาโรหหนมถก

บรรจอยภายในโลงศพทองคาสามชนซงมนาหนกของทองคารวมเปน 100 กโลกรม ถามวาถอเปน

ทองคาก Troy oz. ถากาหนดใหทองคา 1 Troy oz. เทากบ 31.1034768 กรม

5. พระสโขทยไตรมตร หรอพระทองสโขทย หรอพระพทธมหาสวรรณปฏมากร เปนพระพทธรป

ทองคาแททงองค หนกถง 5.5 ตน ประดษฐาน ณ พระมหามณฑป พระพทธมหาสวรรณปฏมากร วด

ไตรมตรวทยารามวรวหาร ถามวาพระพทธรปองคนทาจากทองคานาหนกกหาบ ถากาหนดใหทองคา 1

บาท เทากบ 15 กรม

6. เพชรโคอนวรเคยเปนเพชรทมขนาดใหญทสดของโลก ขดไดในประเทศอนเดย เพชรเมดนเคย

ตกเปนสมบตของของหลายราชวงศของอนเดยในอดต ตอมาโคอนวรไดรบการนาขนถวายพระราชน

วคตอเรยแหงองกฤษ มทาการตดและเจยระไนใหม ซงปจจบนเหลอนาหนก 105.6 กะรตและถก

ประดบเปนเพชรเมดกลางของมงกฎของพระราชนองกฤษ ถามวาเพชรเมดนหนกกกรม

7. พยากรณอากาศระบวา คนนทกภมภาคทวโลกจะมอณหภมลดลงอก 10 ฟาเรนไฮต ถาขณะน

อณหภมอยท 29 เซลเซยส คนนอณหภมจะกลายเปนกเซลเซยส

8. จากเนอเพลงของวงไมโคร “... รอน รกตวเธอ มนรอนเปนไฟ หมน หมน หมนฟาเรนไฮต...

... รอน รอนเกนทน มนรอนเกนไป หมน หมน หมนฟาเรนไฮต...

...รอน รอนเหลอกาลง มนรอนขางใน หมน หมน หมนฟาเรนไฮต...” ถามวา หมนองศาฟาเรนไฮต

เทากบกองศาเซลเซยส

94


ขนษฐา ณ บางชาง. (2526). พระปฐมเจดย. กรงเทพฯ: องคการคาของครสภา.

คณะทางานโครงการวรรณกรรมอาเซยน. (2528). ไตรภมกถา ฉบบถอดความ: (Traibhumikatha; the

story of the three planes of existence modernized version). กรงเทพฯ: คณะกรรมการอาเซยนวา

ดวยวฒนธรรมและสารสนเทศ สมาคมประชาชาตแหงเอเซยตะวนออกเฉยงใต.

รงสฤษฏ บญชลอ. (2540). มวยสากล = Boxing. กรงเทพฯ: สกายบกส.

สมโชต อองสกล. (2540). มหาวทยาลยเชยงใหม: ประวตศาสตรของชมชนและภารกจทางวชาการเพอ

ชมชน. เชยงใหม : คณะศกษาศาสตร มหาวทยาลยเชยงใหม.

สานกงานคณะกรรมการกฤษฎกา. (2546). พระราชบญญตมาตราชงตวงวดพ.ศ. 2542. กรงเทพฯ:

สานกงานคณะกรรมการกฤษฎกา.

สรวฒน วงษศร. (2525). วทยาศาสตร 200 ป รตนโกสนทร. กรงเทพฯ : สมาคมวทยาศาสตรแหง

ประเทศไทยฯ.

อานาจ เจรญศลป. (2523). วทยาศาสตรรอบตว. กรงเทพฯ: ชมรมเดก.

Cohn R. and Russell J., (1992). History of the Metric System. Gaithersburg: National Institute of

Standards and Technology.

Ferrero G. (2007). Egypt : history and treasures of an ancient civilization. Vercelli : White Star.

Kahn, C. and Osborne, K. (2005). World History: Societies of the Past. Manitoba: Portage & Main

Press.

จํานวนและการคํานวณ Number and Calculation)...บทท 4 จ...

Documents

Transcript of จํานวนและการคํานวณ Number and Calculation)...บทท 4 จ...