บทที่ 1 สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (Ordinary...
Transcript of บทที่ 1 สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (Ordinary...
5. การสมมติผลเฉลยแบบอนุกรมกําลัง
ผลเฉลยแบบอนุกรมกําลัง (power series solution) เป็นวิธีมาตรฐานในการแก linear-ODEs ที่มีสัมประสิทธิเ์ป็นตัวแปร ODE ณ ที่น้ี อยูในรูป
y′′(x) + p(x)y′(x) + q(x)y = 0 (92)
และผลเฉลยของสมการน้ีจะอยูในรูปของอนุกรมกําลัง ในวิชาแคลคูลัส อนุกรมกําลังรอบจุด x0จะอยูในรูป
y(x) = a0 + a1(x− x0) + a2(x− x0)2 + · · · =
∞∑n=0
an(x− x0)n (93)
โดยที่สัมประสิทธิ ์ an เป็นจํานวนจริงคงตัว
จักรกฤษ แกวนิคม (Physics CMRU) บทที่ 1 สมการเชิงอนุพันธสามัญ (Ordinary Differential Equations: ODEs) September 22, 2014 107 / 129
ตัวอยางของฟังกชันที่เขียนในรูปอนุกรมอนันตที่กระจายรอบจุด x0 = 0
1
1− x= 1 + x+ x2 + · · · =
∞∑n=0
xn ⇒ อนุกรมเรขาคณิต โดยที่ |x| < 1 (94)
ex = 1 + x+x2
2!+
x3
3!+ · · · =
∞∑n=0
xn
n!(95)
cosx = 1− x2
2!+
x4
4!− · · ·+ · · · =
∞∑n=0
(−1)nx2n
(2n)!(96)
sinx = x− x3
3!+
x5
5!− · · ·+ · · · =
∞∑n=0
(−1)nx2n+1
(2n+ 1)!(97)
จักรกฤษ แกวนิคม (Physics CMRU) บทที่ 1 สมการเชิงอนุพันธสามัญ (Ordinary Differential Equations: ODEs) September 22, 2014 108 / 129
5.1 อนุกรมเทเลอร (Taylor’s series)อนุกรมเทเลอรเป็นอนุกรมที่แสดงรูปของฟังกชันใดๆที่กระจายในรูปของอนุกรมอนันต (infiniteseries) ซึ่งเป็นรูปแบบของอนุกรมกําลัง รูปแบบของอนุกรมเทเลอรคือ
f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) +f ′′(x0)
2!(x− x0)
n + · · · (98)
หรือในรูปแบบที่กระชับมากขึ้น:
f(x) =∞∑n=0
f (n)(x0)
n!(x− x0)
n (99)
เมื่อ f (n)(x) คืออนุพันธอันดับที่ n ของฟังกชัน f(x)
จักรกฤษ แกวนิคม (Physics CMRU) บทที่ 1 สมการเชิงอนุพันธสามัญ (Ordinary Differential Equations: ODEs) September 22, 2014 109 / 129
ในกรณีที่ x0 = 0 จะเรียกวาอนุกรมแม็คคลอรีน (Maclaurin’s series) [ในทางฟิสิกสมักจะเรียกทัง้สองวาอนุกรมเทเลอร] น่ันคือ
f(x) = f(0) + f ′(0)x+f ′′(0)
2!x2 + · · · (100)
หรือ
f(x) =
∞∑n=0
f (n)(0)
n!xn (101)
ตัวอยาง 5.1จงกระจายอนุกรมของฟังกชัน f(x) = ex รอบจุด 0
จักรกฤษ แกวนิคม (Physics CMRU) บทที่ 1 สมการเชิงอนุพันธสามัญ (Ordinary Differential Equations: ODEs) September 22, 2014 110 / 129
ตัวอยาง 5.1 (ตอ)
แบบฝึกหัด 5.4จงกระจายอนุกรมของฟังกชันตอไปน้ีรอบจุด 0 โดยเขียนใหเห็น 4 พจนแรก
1 cosx และ sinx2 ln(1 + x)
3 eix และ e−ix
41
√1 + x2
จักรกฤษ แกวนิคม (Physics CMRU) บทที่ 1 สมการเชิงอนุพันธสามัญ (Ordinary Differential Equations: ODEs) September 22, 2014 111 / 129
5.2 การสมมติผลเฉลยแบบอนุกรมกําลังผลเฉลยของ ODE แบบอนุกรมกําลังมีแนวคิดงายๆ คือ การสมมติผลเฉลยใหอยูในรูปอนุกรมกําลังแลวนําไปแทนใน ODE ที่เราตองกําหาผลเฉลย เราจะไดศึกษาจากตัวอยางตอไปน้ีตัวอยาง 5.2จงหาผลเฉลยของ y′ − y = 0 โดยใชอนุกรมกําลังขัน้ที่ 1 แทนคา
y = a0 + a1x+ a2x2 + · · · =
∞∑n=0
anxn (102)
และ
y′ = a1 + 2a2x+ 3a3x2 + · · · =
∞∑n=1
nanxn−1 (103)
ลงใน ODE ที่โจทยกําหนดจะได
(a1 + 2a2x+ 3a3x2 + · · · )− (a0 + a1x+ a2x
2 + · · · ) = 0
จักรกฤษ แกวนิคม (Physics CMRU) บทที่ 1 สมการเชิงอนุพันธสามัญ (Ordinary Differential Equations: ODEs) September 22, 2014 112 / 129
ตัวอยาง 5.2 (ตอ)หรือ
(a1 − a0) + (2a2 − a1)x+ (3a3 − a2)x2 + · · · = 0
เน่ืองจากแตละเลขชีก้ําลังเป็นอิสระเชิงเสน (linear independence) ตอกัน ดังน้ันแตละพจนจึงมีคาเป็นศูนย กลาวคือ
a1 = a0, a2 =a12
=a02!, a3 =
a23
=a03!, · · ·
ดังน้ัน จากสมการ (102) จะไดผลเฉลยทัว่ไปคือ
y = a0 + a0x+a02!x2 +
a03!x3 + · · · = a0
(1 + x+
x2
2!+
x3
3!
)หรือ
y = a0ex
จักรกฤษ แกวนิคม (Physics CMRU) บทที่ 1 สมการเชิงอนุพันธสามัญ (Ordinary Differential Equations: ODEs) September 22, 2014 113 / 129
ตัวอยาง 5.3จงหาผลเฉลยของ y′′ + y = 0 โดยใชอนุกรมกําลัง
จักรกฤษ แกวนิคม (Physics CMRU) บทที่ 1 สมการเชิงอนุพันธสามัญ (Ordinary Differential Equations: ODEs) September 22, 2014 114 / 129
ตัวอยาง 5.3 (ตอ)
จักรกฤษ แกวนิคม (Physics CMRU) บทที่ 1 สมการเชิงอนุพันธสามัญ (Ordinary Differential Equations: ODEs) September 22, 2014 115 / 129
ตัวอยาง 5.4: สมการเลอฌ็องดรพิเศษ (special Legendre equation)จงหาผลเฉลยของสมการ (1− x2)y′′ − 2xy′ + 2y = 0
จักรกฤษ แกวนิคม (Physics CMRU) บทที่ 1 สมการเชิงอนุพันธสามัญ (Ordinary Differential Equations: ODEs) September 22, 2014 116 / 129
ตัวอยาง 5.4 (ตอ)
จักรกฤษ แกวนิคม (Physics CMRU) บทที่ 1 สมการเชิงอนุพันธสามัญ (Ordinary Differential Equations: ODEs) September 22, 2014 117 / 129
แบบฝึกหัด 5.5จงหาผลเฉลยแบบอนุกรมกําลังของสมการเชิงอนุพันธตอไปน้ี
1 (1 + x)y′ = y
2 y′ = −2xy
3 y′′ − y + xy = 0
4 y′′ + 3xy′ + 2y = 0
5 y′′ + (1 + x2)y = 0
จักรกฤษ แกวนิคม (Physics CMRU) บทที่ 1 สมการเชิงอนุพันธสามัญ (Ordinary Differential Equations: ODEs) September 22, 2014 118 / 129
จุดสามัญและจุดเอกฐาน
นิยาม: จุดสามัญและจุดเอกฐานถาฟังกชัน p(x) และ q(x) ของสมการเชิงอนุพันธ
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0
เป็นฟังกชัน analytic (ไมลูออก) ที่จุด x0 เราเรียกจุด x = x0 วาเป็นจุดสามัญ (ordinarypoint) แตถามีบางฟังกชัน p(x) หรือ q(x) ไม analytic ที่จุด x = x0 เราเรียกจุด x = x0วาเป็นจุดเอกฐาน (singular point)
ตัวอยาง 5.5สมการ
(x2 − 4)y′′ + (x+ 2)y′ + 3y = 0
มีจุดเอกฐาน คือจุด x = ±2 จุดอื่นๆนอกเหนือจากน้ันเป็นจุดสามัญ
จักรกฤษ แกวนิคม (Physics CMRU) บทที่ 1 สมการเชิงอนุพันธสามัญ (Ordinary Differential Equations: ODEs) September 22, 2014 119 / 129
ตัวอยาง 5.6สมการ
(x2 + 1)y′′ + (2x+ 1)y′ − y = 0
มีจุดเอกฐาน คือจุด x = ±i จุดอื่นๆนอกเหนือจากน้ันเป็นจุดสามัญ
ตัวอยาง 5.7จุด x = 0 เป็นจุดเอกฐานของสมการ
xy′′ + sin(x)y′ + x2y = 0
หรือไม เราลองพิจารณาการนํา x หารตลอดทัง้สมการ เราพบวามีพจน sin(x)/x เกิดขึ้นมา แตเน่ืองจาก
sinxx
=1
x
(x− x3
3!+
x5
5!− · · ·
)= 1− x2
3!+
x4
5!− · · ·
ซึ่ง analytic ที่จุด x = 0 ดังน้ันจุดน้ีจึงเป็นจุดสามัญ
จักรกฤษ แกวนิคม (Physics CMRU) บทที่ 1 สมการเชิงอนุพันธสามัญ (Ordinary Differential Equations: ODEs) September 22, 2014 120 / 129
5.3 สมการเชิงอนุพันธเลอฌ็องดรและพหุนามเลอฌ็องดรสมการเชิงอนุพันธเลอฌ็องดร (Legendre’s differential equation) มีรูปแบบมาตรฐานดังน้ี
(1− x2)y′′ − 2xy′ + l(l + 1)y = 0 (104)
โดยที่ l เป็นพารามิเตอรซึ่งคาของมันขึ้นอยูกับปัญหาที่พิจารณา สมการน้ีปรากฏอยูในวิชาฟิสิกสในหลายๆเรื่องโดยเฉพาะ เรื่องปัญหาคาขอบ (boundary value problem) ของทรงกลม ผลเฉลยใดๆของสมการ (104) เรียกวา ฟังกชันเลอฌ็องดร (Legendre function) ถาเราหารสมการ (104)ดวย 1− x2 จะพบวา จุด x = 0 เป็นจุดสามัญ ดังน้ันเราใชอนุกรมกําลังแกสมการซึ่งอยูในรูป
y =∞∑
m=0
amxm (105)
จักรกฤษ แกวนิคม (Physics CMRU) บทที่ 1 สมการเชิงอนุพันธสามัญ (Ordinary Differential Equations: ODEs) September 22, 2014 121 / 129
ทําการหาอนุพันธจะได
y′ =
∞∑m=1
mamxm−1, y′′ =
∞∑m=2
m(m− 1)amxm−2
แทนคาในสมการ (104) [กําหนดให k ≡ l(l + 1)]:
(1− x2)
∞∑m=2
m(m− 1)amxm−2 − 2x
∞∑m=1
mamxm−1 + k
∞∑n=0
amxm = 0
หรือ∞∑
m=2
m(m− 1)amxm−2 −∞∑
m=2
m(m− 1)amxm − 2∞∑
m=1
mamxm + k∞∑
m=0
amxm = 0
จักรกฤษ แกวนิคม (Physics CMRU) บทที่ 1 สมการเชิงอนุพันธสามัญ (Ordinary Differential Equations: ODEs) September 22, 2014 122 / 129
ทําการเลื่อนดัชนี (shifting index) โดยการกําหนดให n = m− 2 ในพจนที่ 1 ทางดานซายมือของสมการ สวนพจนที่เหลือ เรากําหนดให n = m จะได
∞∑n=0
(n+ 2)(n+ 1)an+2xn −
∞∑n=2
n(n− 1)anxn − 2
∞∑n=1
nanxn + k
∞∑n=0
anxn = 0
หรือเขียนในรูป [อยาลืม k = l(l + 1) ]
∞∑n=0
[(n+ 2)(n+ 1)an+2 + {−n(n− 1)− 2n+ l(l + 1)}]xn = 0
พจนในวงเล็บปีกกาสามารถจัดรูปใหมไดคือ (l − n)(l + n+ 1) ดังน้ัน
an+2 = −(l − n)(l + n+ 1)
(n+ 2)(n+ 1)an (106)
สมการน้ีเรียกวาความสัมพันธเวียนเกิด (recurrence relation) ซึ่งเราสามารถทราบคาสัมประสิทธิ ์แตละตัวไดยกเวน a0 และ a1 ซึ่งเป็นคาคงตัวใดๆ
จักรกฤษ แกวนิคม (Physics CMRU) บทที่ 1 สมการเชิงอนุพันธสามัญ (Ordinary Differential Equations: ODEs) September 22, 2014 123 / 129
สมการ (106) ใหผลดังน้ีคือ
a2 = −l(l + 1)
2!a0
a4 = −(l − 2)(l + 3)
4 · 3a2
=(l − 2)l(l + 1)(l + 3)
4!a0
...
a3 = −l(l − 1)(l + 2)
3!a1
a5 = −(l − 3)(l + 4)
5 · 4a3
=(l − 3)(l − 1)(l + 2)(l + 4)
5!a1
...
สัมประสิทธิแ์ตละ an มีลักษณะกระโดดขามกัน ซึ่งแยกชัดเจนระหวาง n เป็นคูและคี่ ดังน้ันเราอาจเขียนผลเฉลยในรูป
y(x) = a0y1(x) + a1y2(x) (107)
จักรกฤษ แกวนิคม (Physics CMRU) บทที่ 1 สมการเชิงอนุพันธสามัญ (Ordinary Differential Equations: ODEs) September 22, 2014 124 / 129
เมื่อ
y1(x) = 1− l(l + 1)
2!x2 +
(l − 2)l(l + 1)(l + 3)
4!x4 −+ · · · (108)
y2(x) = x− l(l − 1)(l + 2)
3!x3 +
(l − 3)(l − 1)(l + 2)(l + 4)
5!x5 −+ · · · (109)
อนุกรมเหลาน้ีจะลูเขา (converge) เมื่อ |x| < 1 เน่ืองจากวา y1(x) มีเฉพาะพจนกําลังคูของ xและในขณะเดียวกัน y2(x) มีเฉพาะพจนกําลังคี่ของ x ดังน้ัน y1(x) และ y2(x) จึงเป็นอิสระเชิงเสนตอกัน ดังน้ันผลเฉลย (107) จึงเป็นผลเฉลยในชวง −1 < x < 1 เน่ืองจากวา จุดx = ±1 เป็นจุดที่ไม analytic ดังน้ันเราไมสามารถหาผลเฉลยในพจนกําลังสูงๆของ x ได เวนแตวา อนุกรมน้ีจะถูกทําใหยุติ (terminate) จนกลายเป็นพหุนาม (polynomials)
จักรกฤษ แกวนิคม (Physics CMRU) บทที่ 1 สมการเชิงอนุพันธสามัญ (Ordinary Differential Equations: ODEs) September 22, 2014 125 / 129
พหุนามเลอฌ็องดร (Legendre polynomials)
พหุนามเลอฌ็องดร เกิดขึ้นในกรณีที่ผลเฉลยอนุกรมของสมการเลอฌ็องดรถูกทําใหยุติ โดย lเป็นจํานวนเต็มที่มากกวาหรือเทากับศูนย จากสมการ (106) เราสังเกตไดวา ถา n = l จะเป็นผลใหพจน al+2 = 0, al+4 = 0, ... ดังน้ัน
ถา l เป็นเลขคู ⇒ y1(x) ลดรูปกลายเป็นพหุนาม degree lถา l เป็นเลขคี่ ⇒ y2(x) ลดรูปกลายเป็นพหุนาม degree l
พหุนามที่ไดน้ี เมื่อคูณกับคาคงตัวที่เหมาะสม เราจะเรียกวา พหุนามเลอฌ็องดร (Legendrepolynomials) โดยใชสัญลักษณ Pl(x) ตัวเลือกมาตรฐานสําหรับคาคงตัวน้ี กรณี l เป็นคาสูงสุดคือ
al =(2l)!
2l(l!)2, l เป็นจํานวนเต็มบวก (110)
สังเกตไดวา al = 1 ถา l = 0
จักรกฤษ แกวนิคม (Physics CMRU) บทที่ 1 สมการเชิงอนุพันธสามัญ (Ordinary Differential Equations: ODEs) September 22, 2014 126 / 129
จากความสัมพันธเวียนเกิด (106) สัมประสิทธิต์ัวอื่นๆ หาไดดังน้ี
an = − (n+ 2)(n+ 1)
(l − n)(l + n+ 1)as+2, โดยที่ n ≤ l − 2 (111)
เราเปลี่ยนดัชนีโดยให n = l − 2 ดังน้ันสมการ (111) กลายเป็น
al−2 = − l(l − 1)
2(2l − 1)al = − l(l − 1)
2(2l − 1)· (2l)!
2l(l!)2
เน่ืองจาก (2l)! = 2l(2l − 1)(2l − 2)! และ l! = l(l − 1)! = l(l − 1)(l − 2)! ดังน้ัน
al−2 = − (2l − 2)!
2l(n− 1)!(n− 2)!
จักรกฤษ แกวนิคม (Physics CMRU) บทที่ 1 สมการเชิงอนุพันธสามัญ (Ordinary Differential Equations: ODEs) September 22, 2014 127 / 129
เชนเดียวกัน
al−4 = −(l − 2)(l − 3)
4(2l − 3)al−2 =
(2l − 4)!
2l2!(n− 2)!(n− 4)!
ดังน้ันสูตรทัว่ไปจึงอยูรูป
al−3m = (−1)m(2l − 2m)!
2lm!(n−m)!(n− 2m)!(112)
ผลที่ไดจากสมการเลอฌ็องดร เรียกวา พหุนามเลอฌ็องดร degree l ซึ่งอยูในรูป
Pl(x) =∞∑
m=0
(−1)m(2l − 2m)!
2lm!(n−m)!(n− 2m)!xl−2m (113)
เมื่อ M = l/2 หรือ (l − 1)/2
จักรกฤษ แกวนิคม (Physics CMRU) บทที่ 1 สมการเชิงอนุพันธสามัญ (Ordinary Differential Equations: ODEs) September 22, 2014 128 / 129
พหุนามเลอฌ็องดร degree ตางๆ แสดงไดดังน้ี
P0(x) = 1,
P1(x) = x,
P2(x) =1
2(3x2 − 1),
P3(x) =1
2(5x3 − 3x),
P4(x) =1
8(35x4 − 30x2 + 3),
P5(x) =1
8(63x5 − 70x3 + 15x) Figure 6: กราฟแสดงฟังกชันเลอฌ็องดร รูปจาก:
http://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_polynomials
จักรกฤษ แกวนิคม (Physics CMRU) บทที่ 1 สมการเชิงอนุพันธสามัญ (Ordinary Differential Equations: ODEs) September 22, 2014 129 / 129