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MEMORIAS DEL XVIII CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM19 al 21 DE SEPTIEMBRE, 2012 SALAMANCA, GUANAJUATO, MXICO

Derechos Reservados 2012, SOMIM

MODELO DE ADHESIN JKR PARA EL CONTACTO ENTRE ASPEREZASSENO

1,2Rojas Garnica Juan Carlos, 1Szwedowicz Wasik Dariusz, 3Bedolla Hernndez Jorge.

1Departamento de Ingeniera Mecnica, Centro Nacional de Investigacin y Desarrollo Tecnolgico,Prolongacin Av. Palmira esq. Apatzingn. Col. Palmira, C.P. 62490. Cuernavaca, Morelos, Mxico.

2Carrera de Ingeniera en Mecatrnica, Universidad Tecnolgica de Puebla,Antiguo Camino a la Resurreccin No. 1002-A Zona industrial Oriente. C.P. 72300. Puebla, Puebla. Mxico.

3Departamento de Metal-Mecnica , Instituto Tecnolgico de Apizaco,Avenida Instituto Tecnolgico s/n. C.P. 90300. Apizaco, Tlaxcala. Mxico.

[email protected],[email protected],[email protected]

RESUMEN.

En el presente trabajo se muestra una

adaptacin del modelo de adhesin JKR a

superficies de contacto con perfil seno derivadas

de la teora fractal. Se desarrollan lasexpresiones de contacto, con base en la teora de

Hertz, para las asperezas, y se introducen en la

teora JKR. Con esto se obtiene la expresin de

carga total, que incluye compresin y adhesin,y la expresin de fuerza de separacin. Se

realiza un estudio comparativo entre el modelo

con la geometra original, y el obtenido pormedio de un radio equivalente. Los resultados de

este estudio muestran que el modelo original

subestima el valor de la fuerza de adhesin.

ABSTRACT.

In the present work the adaptation of the JKR

adhesion model applied to roughness surfaceswith sine profile is shown. This profile is related

with fractal theory. Mathematical expressions for

contact were developed on the Hertz theory. Theasperities were considered into JKR theory in

order to get the expression of full load,

compression and adhesion, and expression of

separation force. A study comparing the original

model geometry against a model with equivalentradius was developed. This study found that the

original model sub-estimates the value of the

separation force.

NOMENCLATURA

Smbolo Concepto Radio de la zona de contacto entreesferas (circular)

a Radio mayor de la elipse de contactoentre asperezas seno

b Radio menor de la elipse de contactoentre asperezas seno

e Excentricidad de la elipse de contacto Radio mayor de la elipse de contactoentre asperezas seno calculada con teora

de Hertz Radio menor de la elipse de contactoentre asperezas seno calculada con teorade Hertz Radio mayor de la elipse de contactoentre asperezas seno incluyendoadhesin Radio menor de la elipse de contactoentre asperezas seno incluyendoadhesin Radio circular equivalente de un

permetro elptico de contacto Deformacin de dos cuerpos en contacto Deformacin calculada con teora deHertz

Desplazamiento por adhesin Deformacin total Desplazamiento de cuerpo sin adhesinR Radio relativo entre dos superficies

esfricasR1 Radio del cuerpo esfrico 1 en contacto Radio del cuerpo esfrico 2 en contacto Radio equivalente de una aspereza senoA Primera constante de definicin del

radio equivalenteB Segunda constante de definicin del

radio equivalente Primer radio relativo entre asperezasseno

Segundo radio relativo entre asperezas

seno Radio de curvatura principal mximo dela aspereza 1 Radio de curvatura principal mnimo dela aspereza 1 Radio de curvatura principal mximo dela aspereza 2 Radio de curvatura principal mnimo dela aspereza 2

r Coordenada transversal del perfil seno

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y Coordenada longitudinal del perfil seno2 Amplitud de la aspereza seno

f Frecuencia circular de la aspereza seno Longitud de onda de la aspereza seno ngulo de inclinacin entre las

asperezas seno

Primera integral elptica completa del

trmino de excentricidad Segunda integral elptica completa deltrmino de excentricidad Trmino agrupador de integraleselpticas Trmino agrupador de radios decurvatura principales relativos.

P Carga de contacto entre esferas Carga total en la zona de contacto Carga de contacto entre asperezas conteora de Hertz Fuerza de separacin de dos cuerpos encontacto

E* Mdulo equivalente de los materiales dedos cuerpos en contacto

Mdulo de Young del cuerpo 1 encontacto Mdulo de Young del cuerpo 2 encontacto Razn de Poisson del cuerpo 1 encontacto Razn de Poisson del cuerpo 2 encontacto Rigidez equivalente de los materiales dedos cuerpos en contacto Energa de adhesin por unidad de rea Energa superficial del cuerpo 1 Energa superficial del cuerpo 2

Energa interfacial entre dos cuerpos

Energa elstica en la zona de contacto

U1 Energa de contacto aparente de Hertz Energa por desplazamiento adhesivoUM Energa mecnica potencial Energa superficial en la zona de

contacto Energa total del sistema en la zona decontacto

1.0 INTRODUCCIN

Trabajos de la ltima dcada sobre lascaractersticas superficiales de cuerpos slidosindican al uso de la teora fractal como un

aspecto recurrente, principalmente para elestudio del comportamiento del contacto,ejemplo de estos trabajos son Ciavarella et al.[6], Carbone et al. [4], Gao y Bower [9], Perssonet al. [22], Goedecke y Mock [12], Mser [15] yZahouani et al. [25]. Las bondades de la teorafractal permiten la replicacin de caractersticassuperficiales a mltiples escalas, lo cual

posibilita la elaboracin de modelos condiferente grado de detalle, por ejemplo, de

desgaste, de conduccin de calor, de conduccinelctrica, entre otros fenmenos, en los cuales seincorporen irregularidades superficiales condiversos rdenes de escalas (micro-nanomtricas). La replicacin de dichasirregularidades se realiza por medio de una serie

peridica cuyas amplitudes y longitudes estnasociadas a las mediciones superficiales y queadoptan la forma de una funcin seno. Loanterior implica que modelos anteriores, basadosen asperezas de forma esfrica, como losdesarrollados por Greenwood y Williamson [13],Chang et al. [5], o Kogut y Etsion [16] tenganque ser adaptados en estudios basados en lateora fractal.Por otra parte, la adhesin entre dos cuerposslidos es un fenmeno de atraccin superficial,que depende de la interaccin qumica de losmateriales en la interfaz de contacto,constituyndose en una componente clave enestudios de friccin y de deslizamiento parcial(fenmeno de fretting). La adhesin contribuyesignificativamente a la aparicin de zonas dealtos esfuerzos, que pueden propiciar lageneracin de grietas y por ende la falla en

piezas mecnicas.Bhushan [2] seala que la adhesin se constituye

principalmente por las fuerzas de Van der Waals,aunque en dependencia de los materiales puedeninfluir el enlace dbil de hidrgeno o los enlacesfuertes como el inico, el covalente o elmetlico. Para calcular la atraccin debido estasinteracciones moleculares se recurre al concepto

de la energa libre superficial, que se definecomo la energa necesaria para romper losenlaces intermoleculares de un material dandolugar a una superficie, siendo sta, enconsecuencia mayor a la energa inmersa dentrode la materia. Ejemplo de su importancia se hallaen la relacin experimental entre esta energa y lafriccin hallada por Minn y Sinha [18].Con este concepto es posible establecer untrabajo de adhesin () presente en la unin delas superficies en contacto para ello se establecea igual a la variacin en la energa superficialdel sistema por unidad de rea. De esta forma,

representa la energa que debe ser aplicada paraseparar un rea unitaria de la interfaz o para crearnuevas superficies.El trmino de energa superficial aparece tantoen el modelo de adhesin Johnson-Kendall-Roberts (JKR), establecido por Johnson et al.[15], como en el de Dejarguin-Muller-Toporov(DMT), establecido por Derjaguin et al. [7], conresultados similares pero con coeficientes de 1.5

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para el JKR y 2 para el DMT. Esta diferenciasurge porque el modelo JKR se basa solo en lazona de contacto, mientras que el modelo DMTconsidera solo las superficies que estn afuera dela zona de contacto. Bhushan et al. [2] presentanun parmetro que determina la relacin de la

deformacin con la intensidad de carga aplicadacuyo valor permite decidir si usar el modelo JKRo el DMT, por ejemplo, cuando este parmetrovale 0.1 indica poca deformacin (cuerposrgidos) recomendndose usar el modelo DMT,caso contrario, cuando vale 5, lo que indicamucha deformacin (cuerpos elsticos) serecomienda el modelo JKR. Sin embargo, enocasiones el valor de dicho parmetro no serelaciona con ninguno de los dos modelos, paraestos casos el modelo propuesto por Maugis,

presente en el trabajo de Gerberich y Cordill[11], opera como un modelo intermedio entre elJKR y el DMT. En forma general, entre msdeformable sea la zona de contacto es preferibleusar el modelo JKR. Una alternativa es lamostrada en Deladi et al. [8], en la que a lafuerza de adhesin obtenida por el modelo JKRse le suma las fuerzas de van der Waalscalculadas en las zonas de no contacto vecinas ala zona de contacto. Estudios de adhesin sobresuperficies fractales o senoidales usando elmodelo JKR, en donde un conjunto de asperezases cargado de forma normal, se encuentran enlos trabajos de Li y Kim [17], Mulakaluri yPersson [19], Persson [21] y Waters et al. [24].Aunque el modelo JKR se construy sobre bases

elsticas este puede ser adaptado en condicionesplsticas como lo muestran los trabajos de Sahooy Ali [23], y, Zhang y Zhao [26]. Otro modelo dereciente aplicacin a asperezas de escalananomtrica es el que emplea las funciones deGreen en la dinmica molecular como el que semuestra en los trabajos de Almqvist et al. [1] yCampa et al. [3].Retomando al modelo JKR, este fue elaboradoconsiderando superficies esfricas, lo cual fuetil en teoras que consideraban a las asperezas orugosidades con forma esfrica, cuyasexpresiones de radio de zona de contacto,

deformacin y presin se obtienen de la teora deHertz, las cuales se usan para determinar lafuerza de adhesin.Sin embargo, como el modelo de asperezasesfricas tiene una baja correspondencia con losresultados experimentales y el contacto lateralest presente cuando hay movimiento tangencial,el presente trabajo tiene como objetivos,desarrollar el modelo JKR para el contacto

lateral entre asperezas seno, las cuales sonconsideradas en la teora de Hertz comosuperficies generales ya que presentan radiovariable, y, realizar una comparacin entre laecuacin para superficies esfricas con laobtenida para asperezas seno mediante el uso de

un radio equivalente.En el artculo se presentan las relaciones decontacto y adhesin para cuerpos esfricos y eldesarrollo del modelo de adhesin para asperezascon perfil seno, en el que se incluye el

procedimiento de clculo de la carga, la fuerzade separacin y deformacin en la zona elpticade contacto. Con lo anterior, se cuenta con loselementos de comparacin entre asperezas con

perfil esfrico con las del perfil seno, de loscuales la fuerza de separacin es la usada en unestudio de caso para diferentes posiciones decontacto para verificar la conveniencia de uso delmodelo original con un radio equivalente conrespecto al modelo desarrollado para asperezascon perfil seno. Adems de comparar losmodelos entre s, con los resultados obtenidos seanaliza la influencia de la geometra en laadhesin.

2.0 DESARROLLO

2.1 Relaciones de contacto elstico bajo lateora de Hertz para asperezas seno.Los resultados obtenidos por Hertz, presentes enJohnson [14], para el contacto entre dos cuerposesfricos, permiten el clculo de la deformacin

normal, , el radio de contacto, , y la presinmxima, , en funcin de una carga normal, P,aplicada en el punto de contacto de acuerdo a loque se muestra en la figura 1.En base a dichos resultados el modelo JKR

plantea a la carga total presente en la zona decontacto,P1, como:= 3 6 3 (1)La energa de adhesin, , se calcula por mediode: = (2)Lo anterior permite calcular el radio de contacto

por medio de:

= (3)El trmino de carga P0 en la ecuacin (1)corresponde a la compresin en la zona decontacto entre cuerpos esfricos, pero si la cargaes de tensin, es decir, la fuerza de separacin,esta tiene signo contrario por lo que al despejarsu valor se debe garantizar un valor real en la

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raz cuadrada, esto es, 63, conlo que la fuerza de separacin resulta en:= (4)Esta expresin es til en condiciones elsticas y

para cuerpos esfricos, permitiendo la realizacinde estudios de friccin y desgaste considerando a

las asperezas como semi-esfricas. Sin embargo,para condiciones plsticas se debe considerar laadhesin del rea de contacto que no presentarecuperacin y para cuerpos no esfricos se debe

buscar alguna adaptacin que compense lasdiferencias geomtricas.

Figura 1. Deformacin y radio de zona de contacto

entre dos cuerpos esfricos segn la teora de Hertz.

Cuando se presenta el contacto lateral entreasperezas seno (figura 2) se asume que la formadel rea de contacto es elptica, teniendosemiejes a y b (figura 3). Para este contactotambin se recurre a la teora de Hertz, Johnson[14], para hallar la deformacin, los radios de lossemiejes de la elipse de contacto y la presinmxima, considerando a las superficies de lasaspereza seno como superficies generales.

Figura 2. Contacto lateral entre asperezas.

En la teora de las superficies generales seinvolucran los trminos y quecorresponden a las integrales elpticas completasdel argumento de excentricidad, el cual secalcula como: =1 / , b

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= [+ ] (11)

Figura 4. Dimensiones de una aspereza senoidal.

La coordenada yse relaciona con la coordenada

r, segn el perfil seno, por medio de: = sen( ) (12)La frecuencia circular f de la aspereza serelaciona con la longitud por medio de: = (13)Por lo que al desarrollar la ecuacin (11) setiene:

= ++ + (14)Cabe sealar, que se usa un marco local conorigen en el punto de contacto para el clculo dela deformacin, zona de contacto, presin y

adhesin.Con estos resultados es posible redefinir almodelo JKR para asperezas seno.

2.2 Modelo JKR para las asperezas seno.

De acuerdo a la teora JKR debe existir unequilibrio de la energa total con respecto a losradios de contacto, que en el caso de asperezascon funcin seno se establecen con lasdimensiones a y b de la elipse formada en lazona de contacto. Como ambas dimensionesdependen en la misma proporcin de los radios

de curvatura principales y de las condiciones decarga, entonces al considerar el radio mayor a: = 0 (15)De acuerdo a la figura 5, el radio de contacto a0se establece cuando las fuerzas superficiales noactan mientras a1 se define cuando dichasfuerzas estn presentes.

Entonces, recurriendo a la teora del contactoelstico de Hertz para perfiles generales, Johnson[14] se tiene que el radio de contacto mayor, ,y la deformacin, , sin considerar las fuerzassuperficiales son:

= *

(16)

= (17)

Figura 5. Modelo JKR de adhesin.

Siendo un trmino que incluye a lasintegrales elpticas:= { } (18)Mientras es un trmino que incluye soloradios de curvatura principales relativos:

=

(

)

(19)

El mdulo de rigidez equivalente se calcula pormedio de:= (20)Ahora, si las fuerzas de atraccin actan entre lassuperficies el radio de contacto en equilibrio sera1, mayor que a0, aunque se mantenga el valorP0de la carga. Una carga de Hertz aparente P1quecorresponde al radio de contacto de a1puede serdefinido tal que:= * (21)La energa total UT del sistema est compuesto

de tres trminos, la energa elstica almacenadaUE, la energa mecnica aplicada UMy la energasuperficial US. La energa elstica se calcularelacionando al desplazamiento con la carga.Despreciando a las fuerzas superficiales elsistema es cargado para tener un radio decontacto a1con una carga P1(condicin A) querequiere energa U1. Manteniendo el radio decontacto en a1, la carga es entonces reducida aP0

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para dar el estado final del sistema (condicinB), liberando la energa U2. Entonces: = . (22)En el caso de la energa U1: = (23) = * = (24)Por lo que al usar las ecuaciones (23) y (24) setiene:= (25)Por lo que:= = 5 (26)Al considerar las fuerzas superficiales, y deacuerdo al modelo JKR con base a clculos deesfuerzos realizados por Johnson et al. [15], larelacin carga de adhesin-desplazamiento estdada por: = (27)El trmino Kest relacionado con el mdulo derigidez equivalente,E*, por medio de:Entonces, = (28)Por otro lado, el desarrollo original considera unaseccin agrandada de forma circular, por lo queal analizar la expansin de una superficie elpticase emplear un radio de contacto equivalente aea

partir de permetros iguales, cmo lo indica lafigura 6.

Figura 6. Permetros iguales en el agrandamiento deseccin por adhesin entre circunferencia y elipse.

En el caso del permetro de la elipse, ste sepuede calcular a partir de la integral elpticacompleta , de la siguiente manera: =4

, por lo que al igualarlo con el obtenido

por un radio equivalente en una circunferencia setiene:2 = 4 = (29) = (30)Por lo tanto:= = () (31)

Como = , entonces:= (32)

=

5 / (33)La energa potencial mecnica UM de la cargaaplicadaP0se obtiene multiplicando dicha carga

por el desplazamiento, el cual se obtiene restandoal desplazamiento de Hertz aparente la partecorrespondiente de la adhesin, esto es:= = * =

/ (34)La energa superficial US para un contactoelptico est dado por:= = = = = } (35)

Donde es la energa o trabajo de adhesin deambas superficies y que se calcula segn la

ecuacin (2).La energa total UTes:= = 5

(36)

Para hallar la variacin = 0, queasegure el estado de equilibrio, se considera quea1depende directamente deP1, entonces: = 0

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0 = * 5 *

Multiplicando por

se tiene:

= 0donde: = 5 = = Entonces:

= + *

(37)

donde: = 4 * 5 * (38)En el caso de que no existan fuerzassuperficiales, =0, se tiene lo siguiente. = * Tomando el valor positivo de la raz.

= *

+*

* = *

* ==

Lo que resulta en solo la carga de compresin, locual debe obtenerse en caso de no existir fuerzasde adhesin.Para determinar la fuerza de separacin, serequiere aplicar una carga que supere a la energade adhesin, y que para que sea un resultado realdebe provocar un valor igual o mayor que ceroen el trminoZ,presente en la ecuaciones (36) y(37). Esto es:

4 * 5 * Por lo que al despejar la carga P0 se tiene lafuerza de separacin:= + (39)

2.3 Estudio de caso

A continuacin se realiza una comparacin entrelas fuerzas de separacin obtenidas por lasecuaciones (4), aplicable a asperezas esfricas, y

(39), aplicable a asperezas seno, mediante el usode un radio equivalente que se calcula por mediode las ecuaciones (5)-(13). Se considera elmismo material para ambas asperezas, aceroAISI 4140, con una energa de adhesin de0.0379 N/m, Garca et al. [10]; mdulo de Youngde 210 GPa y una relacin de Poisson de 0.3. Seemplean asperezas del mismo tamao y sininclinacin de su eje de simetra, con amplitud de6 m y longitud de 6 m.Con las ecuaciones desarrolladas se puedenobtener otros resultados tiles, como ladeformacin total en la zona de contacto y lasdimensiones en dicha zona, sin embargo, lafuerza de separacin es importante parafenmenos de desgaste en donde su valor puededar lugar a altas deformaciones y/o eldesprendimiento del material cuando existemovimiento relativo entre las asperezas, como enel caso del fenmeno de fretting.

RESULTADOS

Para la comparacin entre los dos modelos serealizaron clculos en diferentes posiciones decontacto con ayuda de un cdigo propio aplicado

en el software matlab.En la figura 7 se observan los valores de losradios principales de una aspereza seno, lacorrespondiente al perfil seno, al de la seccincircular transversal y el radio equivalenteresultante. El valor del radio del perfil seno esmucho mayor a comparacin de los otros dos,creciendo esta diferencia de forma no lineal amedida que el punto de contacto se aleja de lacima de la aspereza. Este aspecto geomtrico

provoca que las zonas adhesivas sean diferentes,sobre todo a medida que las zonas de contactoestn ms lejos de la cima.

Con las ecuaciones (1) y (3), para el modelooriginal, y, (21) y (39) para el modelodesarrollado, se obtienen los radios de contactoque permiten el clculo de los permetros de laszonas de contacto cuando solo se considera laadhesin (nula carga de compresin).

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Figura 7. Radios de curvatura sobre las asperezas.

De la figura 8 se desprende que el permetro dela zona elptica es prcticamente el mismo al dela zona circular del modelo original en

posiciones cercanas a la cima de la aspereza, sin

embargo, existe una posicin a partir de la cual elpermetro de la zona elptica del modeloadaptado es mayor al de la zona circular delmodelo original, creciendo esta diferencia deforma no lineal a medida que el contacto se alejade la cima, por lo que el agrandamiento poradhesin, planteado en las ecuaciones (31) y(32), presenta un comportamiento diferente entrelas dos formas de asperezas.

Figura 8. Permetros de la zona de contacto debidosolo a la adhesin.

En la figura 9 se muestran los valores de las

fuerzas de separacin del modelo JKR originalusando un radio equivalente y del modelo JKRadaptado a perfiles seno.El modelo adaptado presenta valores absolutosmayores que el modelo original, creciendo estadiferencia de forma no lineal a medida que el

punto de contacto se aleja de la cima. Estavariacin se asume debida al valor mayor del

permetro, por ende mayor crecimiento de la

zona de adhesin, en el contacto entre asperezasseno comparado con el permetro entreelementos esfricos de radio equivalente. Por lotanto, aunque el modelo original JKR esnotablemente simple, no es aplicable a asperezascon perfil seno porque con el radio equivalente

se subestima el crecimiento de la zona deadhesin.

Figura 9. Fuerza de separacin por adhesin.

CONCLUSIONES

En este se trabajo se obtuvo una adaptacin delmodelo de adhesin JKR a asperezas con perfilseno, cuyas superficies son consideradasgenerales dentro de la teora de Hertz. Estamodificacin arroja una expresin ms completaque la del modelo original, Johnson et. al [15], lo

cual incrementa la complejidad de la solucin. Semostr que al aplicar un radio equivalente en elmodelo JKR original hay una subestimacin dela fuerza de separacin por adhesin. Estasubestimacin radica en que el permetro de lazona de contacto circular del modelo original esmenor que el modelo para superficies seno, locual se debe a que el radio de curvatura del perfilseno es mayor que el del radio equivalente.Con las expresiones obtenidas es posible realizarestudios de contacto entre asperezas senocoadyuvando en la obtencin de valores de reareal, presin, adhesin, friccin y desgaste.

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