A Punt Es Electromagnetism o

8/16/2019 A Punt Es Electromagnetism o

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CONTENIDO 3

4.2 Denición de capacitancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.3 Unidad de capacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.4 Clases de capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.5 Capacitor de placas planas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.6 Capacitor cil índrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.7 Capacitor esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.8 Combinación de capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.9 Energía almacenada en un capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.10 Densidad de energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.11 Capacitancia de un capacitor con dieléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.12 Variaciones de energía debidas a la intromisión de un dieléctrico en un capacitor . . . . . . . . . . . . 22

4.13 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5 Corriente Y Resistencia Eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.1 Corriente eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.2 Resistencia y ley de ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.3 Resistencia y temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.4 Energía eléctrica y potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.5 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6 Corriente Y Resistencia Eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6.1 Fuerza electromotriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6.2 Resistores en serie y en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6.3 Transformación ∆− y, y−∆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336.4 Puente de Wheatstone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6.5 Leyes de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.6 Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

7 Campos Magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

7.1 Campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

7.2 Fuerza magnética sobre un conductor que conduce corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

7.3 Momento de torsión sobre un lazo de corriente (espira) situado en un campo magnético . . . . . . . 41

7.4 Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

7.5 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

utsElectromagnetismo

Departamento de Ciencias Básicas


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8 Ley De Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468.1 Ley de inducción de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

8.2 FEM de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478.3 Ley de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

8.4 FEM inducidas y campos eléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

8.5 Generadores y motores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

8.6 Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Bibliografía ....................................................................................................................................................................59


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Introducción

Hacia casi todos los ámbitos que nos rodean, que dirijamos nuestra mirada encontraremos testigos de laactividad humana relacionada con las aplicaciones de los campos eléctricos y magnéticos, y aún en sitiosno afectados por el hombre, la actividad de la naturaleza afecta en sus fenómenos eléctricos y magnéticostodo. El estudio a nivel elemental introductorio que se hace de la materia electromagnetismo en el tercernivel de varias de las tecnologías tiene importancia aclaratoria sobre los principios físicos involucrados y enalgunos casos es vital su comprensión de los fenómenos vistos para una mayor comprensión y aplicacionesposteriores. Estos apuntes del docente sin duda serán de ayuda, aunque sin ninguna duda no reemplazaranaquellos textos de la bibliografía que se mencionan y que tienen una gran profundidad y acompañadosde una experiencia experimental mucho mayor que la que estos apuntes puedan aportar. Sin embargo laintención es ser un aporte rápido y útil de ayuda al estudiante diligente y aplicado.


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1 Campos Eléctricos1.1 Unidades

Cuando se hacen cálculos en los cuales se aplique la Ley de Coulomb, la carga debe estar en coulomb y ladistancia en metros. La constante de proporcionalidad de la fuerza, se expresa en [ N ·m2/ C 2].

1.2 Ley de coulomb para sistemas discretos o sistemas de cargas puntuales

La fuerza electrostática ejercida sobre la carga j-ésima, está dada por el vector suma de las fuerzas ejercidaspor cada una de las otras cargas individuales:

F j = N

∑i= j= 1

i= j

F ji

Cuando se aplica la ley de Coulomb a sistemas de cargas que interactúan, es importante utilizar el principiode superposición, que consiste en sumar las fuerzas que cada carga ejerce sobre una carga determinada. Elprincipio de superposición también se utiliza para determinar el campo eléctrico resultante.

1.3 Fuerza entre dos cargas puntuales

La fuerza que la carga q1 ejerce sobre la carga q2 está dada por

F 21 = k eq1q2

r 2 r̂

Donde r̂ es un vector dirigido de q1 a q2 .




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1.4 Campo eléctrico

El campo eléctrico en cualquier punto del espacio se dene como la razón de la fuerza eléctrica por unidadde carga, ejercida sobre una carga de prueba pequeña y positiva situada en el punto donde el campo esdeterminado:

E = F

q0

1.5 Campo eléctrico en un punto p situado a una distancia r de una carga q

La ley de Coulomb conduce a la siguiente expresión:

E = k eqr 2

r̂

Donde r̂ está dirigido de la carga q hacia el punto P .

1.6 Campo eléctrico en un punto p debido a un sistema de n cargas puntuales

Del principio de superposición se sigue que:

E = k e ∑i

qi

r 2ir̂

i

1.7 Cálculo del campo eléctrico de un sistema continuo o una distribucióncontinua de carga

La expresión general para determinar el campo eléctrico sobre un punto del espacio, cercano a la distribu-ción de carga, usando la ley de Coulomb es:

E = k e

dQ

r 2 r̂

En este caso se debe tener en cuenta:

1. La densidad de carga: (caso uniforme)

ρ = QV = dQdV , para una distribución volumétrica de carga.

σ = Q A = dQdA , para una distribución supercial de carga.




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4 Campos Eléctricos

λ = Q L = dQdL , para una distribución lineal de carga.

2. La simetría, la cual permite simplicar los cálculos.

1.8 Constantes

Carga del electrón e = 1.60217733 ×10−19C .Masa del electrón me = 9.1093897 ×10−31 kg.Masa del protón m p = 1.672623 ×10−27 kg.

Constante de Coulomb k e = 8.9875 ×109

N ·m2

/ C 2

1.9 Ejercicios Resueltos

1. Tres cargas puntuales están localizadas en los vértices de un triángulo equilátero. Calcule la fuerzaneta sobre la carga de

Solución.

El campo eléctrico debido a la carga de 2 µ, es:

E 1 = k eqr 2

r̂ = (9 x109 N ·m2/ C 2)(2 x10−6C )

(0.5 m)2 r̂

Pero:

r̂ = cos60 0 î + sen 600 ˆ j = 0.5 î + 0.86 ˆ j




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Luego:

E 1 = ( 3.6 x104 î + 6.19 x104 ˆ j) N / C

El campo eléctrico debido a la carga de −4 µ C , es:

E 1 = k eqr 2

r̂ = (9 x109 N ·m2/ C 2)(−4 x10−6C )

(0.5 m)2 r̂

donde

r̂ = cos60 0 î −sen 600 ˆ j = 0.5 î−0.86 ˆ j

Luego:

E 2 = ( 7.2 x104 î−1.23 x105 ˆ j) N / C

El campo eléctrico resultante, está dado por:

E = E 1 + E 2 = ( 1.08 x105 î −6.11 x104 ˆ j) N / C

Luego la fuerza neta sobre la carga de 7 µ C , es:

F = q E = ( 7.0 µC )(1.08 x105 î −6.11 x104 ˆ j) N C

F = q E = ( 7.56 x10−1 î −4.2 x10−1 ˆ j) N

2. Determine la fuerza eléctrica que una línea nita de carga de longitud l y densidad carga uniformeλ, ejerce sobre una carga puntual q situada a una distancia y sobre su mediatriz, como se indica en lagura:




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6 Campos Eléctricos

Solución.

d F = dF (cos θ ˆ j + sen θ î)

d F = k eqλ dx x2 + y2

(cos θ ˆ j + sen θ î)

F = d F = k eqλl / 2

−l / 2

dx x2 + y2

(cos θ ˆ j + sen θ î)

Por simetría, la integral anterior se reduce a:

F = d F = k eqλl / 2

−l / 2

dx x2 + y2

(cos θ ˆ j)

Sustituyendo el valor de cos θ, se sigue que:

F = d F = k eqλl/ 2

−l/ 2

dx( x2 + y2)

y

x2 + y2ˆ j

Usando la fórmula de integración:

dx( x2 + a 2)3 / 2 = xa 2√ x2 + a2 ,

se obtiene:

F = d F = k eqλ y y2 x

x2 + y2l/ 2

−l / 2ˆ j

F == k eqλ

yl/ 2

(l/ 2)2 + y2 −

(−l/ 2)

(l/ 2)2 + y2

ˆ j

F == k eqλl

y1

(l/ 2)2 + y2 ˆ j




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3. Determine el campo eléctrico a una distancia x, sobre el eje de un anillo radio a , que tiene una cargaQ distribuida uniformemente. A qué distancia del centro del anillo se presenta el máximo valor delcampo eléctrico y diga cuál es.

Solución.

d E P = dE cos θ î = k eλ dl

( x2 + a 2) x

( x2 + a 2)î

d E P = dE cos θ î = k e λ dl( x2 + a 2) x

( x2 + a 2)î

E P = k eλ x

( x2 + a 2)32

dl î

E P = k eλ x(2π a)

( x2 + a 2)32

î

E P = k eQx

( x2 + a 2)32

î

La distancia a la cual se obtiene el máximo valor del campo eléctrico se obtiene de acuerdo al criteriode la primera derivada, así:

dE dx

= 0⇒ ( x2 + a 2)

3

/ 2 −3 x2( x2 + a 2)1

/ 2

( x2 + a2)3 = 0

Luego simplicando se obtiene:

x2 + a 2 = 3 x2⇒2 x2 = a2⇒ x =

a√ 2

El máximo valor del campo eléctrico es:

E = k eQ a / √ 2

a2

+ ( a / √ 2)2

3 / 2= k e

Qa

(3a 2/ 2)3 / 2

E = k eQa / √ 2

(3a 2/ 2)(3a2/ 2)12

= Q

4π ε0 (3a / 2)(3a2)12

E = Q

6√ 3π ε0a2




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2 Ley de Gauss2.1 Ley de Gauss

La ley de Gauss constituye un método alternativo para calcular el campo eléctrico producido por distribu-ciones de carga de elevada simetría.

La ley de Gauss dice que el ujo eléctrico neto que atraviesa una supercie hipotética gaussiana cerrada esigual a la carga neta dividida por la permitividad eléctrica del vacío ε0 .

ϕe = E ·d A = qinε0

,

donde qin representa la carga neta dentro de la supercie y E representa el campo eléctrico en cualquier

punto sobre la supercie cerrada. El símbolo representa una integral sobre una supercie cerrada. El campoeléctrico situado a una distancia r de una carga puntual q se determina usando el Teorema de Gauss de lasiguiente manera:

ϕe = E ·d A = Ed A = E dA = E (4π r 2) = qε0

2.2 Flujo eléctrico

Es una medida del número de líneas de campo eléctrico que penetran alguna supercie. El ujo eléctricotiene las unidades de N ·m2/ C .




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Para una supercie plana situada en un campo eléctrico uniforme, el ujo eléctrico depende del ángulo queforma la normal a la supercie y la dirección del campo eléctrico.

ϕ = E ·

A =

E

A cos θ

Observaciones

1. Para el caso de una supercie cerrada general situada dentro de un campo eléctrico no uniforme, elujo eléctrico se calcula integrando la componente normal del campo eléctrico sobre la supercie encuestión.

ϕ= sup erf icie

E ·d A

El ujo eléctrico neto a través de las supercies de diversas formas que rodean una carga q, es elmismo.

2. La ley de Gauss establece que el ujo ϕ evaluado sobre una supercie hipotética gaussiana cerrada esigual a la carga neta encerrada dividida por la constante de permitividad eléctrica del vacío ε0 . Si nohay carga en el interior de la supercie cerrada el ujo eléctrico neto a través de la supercie es cero.Esto signica que el número de líneas que entra a la supercie es igual al número de líneas que salede la supercie.

3. El campo eléctrico es cero en un conductor en equilibrio electrostático.

4. El exceso de carga sobre un conductor aislado se sitúa totalmente sobre su supercie.




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10 Ley de Gauss

5. El campo eléctrico justamente en el exterior de un conductor cargado es perpendicular a la superciedel conductor y tiene una magnitud igual a σ/ ε0 , donde σ es la carga por unidad de área.

6. En los conductores de forma irregular la carga eléctrica tiende a acumularse en los sitios donde elradio de curvatura es más pequeño, es decir en las regiones con puntas.

7. La ley de Gauss debe ser escogida de tal manera que tenga la misma simetría de la distribución decarga.

8. La supercie gaussiana debe escogerse de tal manera que incluya los puntos donde se desea calcularel campo eléctrico.

9. La dirección del campo está determinada por la simetría de la distribución.

10. La supercie gaussiana puede dividirse en varias supercies, sobre las cuales debe analizarse el án-gulo que forma el campo eléctrico con el diferencial de área.

11. La carga total encerrada por la supercie gaussiana puede obtenerse de la expresión:

q = dq ,donde dq puede expresarse para las diferentes distribuciones de carga mediante: dq = λdl , dq =σ dA dq = ρ dv , para los casos de distribución de carga lineal, supercial o volumétrica.


1. Determine el campo eléctrico en el interior y en el exterior de una esfera aislante de densidad de cargauniforme ρ, radio a y carga total positiva Q.

Solución.

(a) Para puntos situados en el exterior de la esfera r > R, la esfera se comporta como si fuera unacarga puntual, veamos,

E ·d A = Q/ ε0.




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Pero,

E ·d A = E d A cos0 0 = EdA.Entonces,

E dA = Q/ ε0 ,Además,

dA = 4π r 2 ,Entonces,

E (4π r 2) = Q/ ε0 .

Despejando E , se obtiene

E = 14πε0

Qr 2

; r > R

.(b) Para puntos situados en el interior se debe calcular la carga situada en el interior de la supercie

gaussiana usando la densidad de carga, así

E ·d A = Qin

ε0=

ρ (4π r 3/ 3)ε0

Teniendo en cuenta que

E

·d A = E d A cos0 0 = EdA

Se sigue que

E (4π r 2) = Q4π a 3

3

(4π r 3/ 3)ε0

E = Q4π a3

r ε0

= k eQr a 3

; r < R

Esto signica que cuando se hace la gráca del campo eléctrico dentro de la esfera aislante deradio a en función de la distancia r , es una línea recta.




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12 Ley de Gauss

2. Calcule el campo eléctrico debido a un cascarón esférico delgado, de radio a y carga total Q distribuidauniformemente sobre su supercie, en puntos interiores y exteriores.

Solución.

(a) Para puntos exteriores el cascarón esférico se comporta como una carga puntual, veamos,Usando la ley de Gauss, se sigue que

E ·d A = Q/ ε0pero,

E ·d A = E d A cos0 0 = EdAentonces,

E dA = Q/ ε0además

dA = 4π r 2

luego,

E (4π r 2) = Q/ ε0

Despejando E , se obtiene

E = 14πε0

Qr 2

; r > R

(b) Para puntos situados dentro del cascarón el campo eléctrico es nulo. Veamos:De la ley de Gauss,

E ·d A = Q/ ε0pero, la supercie gaussiana, en esta oportunidad no envuelve ninguna carga eléctrica, puesto

que en los conductores toda la carga se localiza sobre su supercie, por tanto,

E ·d A = 0⇒ E = 0.




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3. Determine el campo eléctrico a una distancia r de una línea innita de carga positiva con densidadlineal de carga uniforme lambda .

Solución.

Aplicando la ley de Gauss, se obtiene,

E ·d A = Qin / ε0 = λ lε0

Debemos tener en cuenta que la integral cerrada se reduce solamente a la integral sobre la supercielateral de la supercie gaussiana cilíndrica. Por lo tanto se obtiene

E (2π rl ) = λ l/ ε0

luego,

E = λ

(2π r )ε0

O también,

E = 2k eλr

.




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14 Ley de Gauss

4. Determine el campo eléctrico debido a un plano innito no conductor con densidad supercial decarga uniforme σ.

Solución.

De la ley de Gauss se sigue que

E ·d A = σ A/ ε0 .Integrando sobre las dos bases del cilindro de área A, se sigue que

2 EA = σ A/ ε0

Simplicando por A, se obtiene

E = σ / 2ε0 .




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3 Potencial Eléctrico3.1 Diferencia de potencial

La diferencia de potencial entre dos puntos B y A situados en un campo eléctrico, se dene como el trabajopor unidad de carga, hecho por un agente externo para mover una carga (lentamente para estar seguros deque permanece en equilibrio) de prueba q0 (pequeña y positiva), desde A hasta B.

V B −V A = W A→ B

q0=

B

A F ·d lq0

=−q0

B

A E ·d lq0

Por lo tanto, simplicando se sigue que la diferencia de potencial entre los puntos B y A se obtiene por laintegración a lo largo de la trayectoria de A a B:

V B −V A = − B

A

E ·d l

Para el caso en el cual el campo eléctrico es uniforme, la diferencia de potencial solo depende de la distanciad paralela al campo E :

V B −V A = − Ed

3.2 Potencial eléctrico en un punto próximo a una carga puntual

El potencial eléctrico calculado en un punto situado en la vecindad de una carga puntual a una distancia r,considerando que el potencial en el innito es nulo viene dado por:

V = k qr




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16 Potencial Eléctrico

3.3 Potencial eléctrico en un punto próximo a un sistema de n cargas puntuales

El potencial eléctrico en punto en la proximidad de un sistema de N cargas puntuales (sistema discreto),asumiendo que el potencial en el innito es cero, está dado por:

V = k e N

∑i= 1

qir i

3.4 Potencia eléctrico en un punto próximo a una distribución continua de carga

El potencial eléctricoen un punto próximo a unadistribucióncontinua de carga (sistema continuo), respecto

al innito en donde el potencial se dene como cero, se puede calcular integrando la contribución debida aun elemento de carga dQ, sobre la línea, supercie o volumen que contenga toda la carga, así:

V = k e dQr donde de acuerdo al caso, el diferencial de carga puede expresarse en términos de la densidad de carga,mediante:

dQ = λ dl ; dQ = σ dA; dQ = ρ dv

3.5 Energía potencial eléctrica

La energía potencial eléctrica de dos cargas puntuales separadas una distancia r , representa el trabajo re-querido para ensamblar el sistema desde una separación innita. Si las dos partículas tienen cargas de igualsigno la energía es positiva, pero si tienen cargas de signos opuestos la energía es negativa. La expresiónpara la energía electrostática viene dada por:

U = k eq1q2r 12

La energía potencial eléctrica total de un sistema de N cargas puntuales se obtiene sumando la energía paracada par de cargas y sumando los términos algebraicamente:

U = 12

k e N ∑i= 1

N ∑ j= 1 j= i

qiq jr i j

o también:

U = k e N

∑ j> i

N

∑i = 1

qiq jr i j

donde U se denomina energía de ensamble.




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La autoenergía o energía potencial eléctrica de un sistema continuo puede obtenerse mediante:

U = 12

ε0 E 2dvCuando se conoce la función potencial en una región del espacio, el vector de campo eléctrico se puedecalcular como el gradiente negativo del potencial:

E = −∇V En coordenadas cartesianas el gradiente negativo se expresa mediante:

E = −∇V = î∂V ∂ x − ˆ j

∂V ∂ y −k̂

∂V ∂ z

Las componentes escalares del campo eléctrico en coordenadas cartesianas, están dadas por:

E x = −∂V ∂ x ; E y = −

∂V ∂ y ; E z = −

∂V ∂ z

En coordenadas cilíndricas el campo eléctrico puede expresarse mediante:

E = −∇V = −ρ̂∂V ∂ρ −φ̂

1ρ

∂V ∂φ −k̂

∂V ∂ z

En coordenadas esféricas el campo eléctrico puede expresarse mediante:

E = −∇V = −r̂ ∂V ∂r −θ̂

1r

∂V ∂θ −φ̂

1rsen θ

∂V ∂ z


1. Determine la diferencia de potencial entre los puntos B y A, situados en las proximidades de una cargapuntual q.

Solución

V B −V A = − B

A

E ·d l = − B

A

Ed l cos180 0




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18 Potencial Eléctrico

V B

−V A =

B

A

Ed l =

−

B

A

Edr =

−k eq

B

A

dr r 2

V B −V A = −k eq B

A

dr r 2

= k eq 1r B −

1r A

Sir A →∞

y denimos V ∞ = 0, eliminando el subíndice, se sigue que:

V = k eq/ r

2. Potencial eléctrico en un punto P situado a una distancia x sobre el eje de una anillo cargado uni-formemente de radio a y carga total Q.

Solución

V = k e dQr = k eλ2π A

0

dl√ x2 + a 2

V = k eλ (2π a )√ x2 + a 2 = k e

Q√ x2 + a 2




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4 Capacitores Y Dielectricos4.1 Denición de capacitor (o condensador)

Es un dispositivo que consta de dos conductores (llamados conductores, armaduras o placas) que poseencargas iguales y opuestas y que sirve para almacenar cargas energía.

4.2 Denición de capacitancia

La capacitancia de un capacitor se dene como la carga sobre cualquiera de las placas (electrodos o ar-maduras) dividida por la diferencia de potencial eléctrico entre ellas.

C = |Q|∆V

= |Q|V

C es una constante cuyo valor depende de la geometría del sistema (tamaño, forma, separación de las placasy naturaleza del medio dieléctrico que llena el espacio entre las placas).Por convenio Q es la carga situada sobre el electrodo, placa o armadura positiva del capacitor y

∆V

es la diferencia de potencial entre el electrodo con carga positiva y el electrodo con carga negativa.

4.3 Unidad de capacidadLa unidad de capacidad en el sistema mks y SI se denomina Faradio ( F ): 1F = 1C / V .

4.4 Clases de capacitores

Entre los condensadores de capacitancias jas y variables se encuentran:




24/63

20 Capacitores Y Dielectricos

- El condensador de placas planas paralelas - El condensador cilíndrico - El condensador esférico.

4.5 Capacitor de placas planas paralelas

C = QV

= σ A

−d

0 E ·d l=

σ A Ed

= σ A

σε0 d

= ε0 A

d

La capacidad es proporcional al área de cualquiera de las placas e inversamente proporcional a la distanciade separación de las placas.

4.6 Capacitor cilíndrico

C = QV

= λ l

V a −V b=

λ l

−a

b E ·d l=

λ l

−a

b Ed r

C = λ l

− λ2πε 0

a

bdr r

= 2πε0 l

−ln ab =

2πε0 lln ba

La capacidad es directamente proporcional a la longitud del capacitor e inversamente proporcional al log-aritmo natural de la razón entre el radio b del cilindro exterior y el radio a del cilindro interior.




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21

4.7 Capacitor esférico

C = QV

= Q

V a

−V b

= Q

−a

b E ·d

l

= Q

−a

b Ed r

C = Q

− Q4πε0a

bdr r 2

= 4πε0

1a −1b

= 4πε0ab

(b −a )

4.8 Combinación de capacitores

La capacidad equivalente a n capacitores conectados en paralelo está dada por:

C =n

∑i= 1

C i

La capacidad equivalente a n capacitores conectados en serie está dada por:

C = 1n∑

i= 1

1C i

La expresión anterior se obtiene de la relación:

1C =n

∑i= 1

1C i

La capacidad equivalente es menor que la capacidad de cualquiera de los capacitores de la combinación.Cuando se tienen solamente dos capacitores conectados en serie, la capacidad equivalente es igual a larazón del producto de las capacidades a la suma de las capacidades:

C = C 1C 2C 1 + C 2




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4.9 Energía almacenada en un capacitor

U = Q2

2C =

12

QV = 12

CV 2

4.10 Densidad de energía

La densidad de energía está dada por:

u E = 12

ε0 E 2

4.11 Capacitancia de un capacitor con dieléctrico

Cuando la región entre las placas de un capacitor se llena completamente con un material de constantedieléctrica K , la capacidad aumenta en el factor K :

C = K ε0 A

d

4.12 Variaciones de energía debidas a la intromisión de un dieléctrico en un

capacitor

U −U 0 = U 0

K −U 0 = −U 0K −1

K ;

carga constante

U −U 0 = KU 0 −U 0 = ( K −1)U 0 ;potencial constante.


1. Evalúe la capacitancia equivalente de la gura. Todas las capacitancias valen C .

Solución




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23

En el primer lazo hay un capacitor de capacitancia C 1 = C .

En el segundo lazo hay dos capacitores en serie que tienen una capacitancia equivalente

C 2 = CC C + C

= C 2

En el tercer lazo hay tres capacitores en serie que tienen una capacitancia equivalente

C 3 = 11C +

1C +

1C

= C 3

Luego la capacitancia equivalente se obtiene como si se tuvieran tres capacitores

C 1 , C 2

yC 3

conectados en paralelo, por tanto:

C = C 1 + C 2 + C 3 = C + C 2 +

C 3 =

116 C

2. Un capacitor esférico de capacitancia C está compuesto por dos supercies esféricas tales, que el radiode una es dos veces el de la otra. Halle el volumen entre las esferas.

Solución

El volumen entre las esferas está dado por:

volumen = 43

π(2r )3 −43

π r 3 = 28

3 π r 3

3. Una placa conductora de espesor d y área A se inserta dentro del espacio entre las placas de un capac-itor de placas paralelas con espaciamientos y área supercial A como en la gura anexa. ¿Cuál es lacapacitancia del sistema?




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Solución

La capacitancia del sistema se calcula como si tratara de dos capacitores conectados en serie, así:

C = C 1C 2C 1 + C 2

Teniendo en cuenta que:

C 1 = ε0 A

s−d 2;

C 2 = ε0 A

s−d 2Luego:

C =

ε0 As−d 2

2

2 ε0 As−d 2

= ε0 As −d




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5 Corriente Y Resistencia Eléctrica5.1 Corriente eléctrica

Corriente es la taza a la cual uye carga por una supercie dada A. Si ∆Q es la cantidad de carga que pasaesta área en un intervalo de tiempo ∆t , la corriente promedio, Iprom es la carga que pasa por A en la unidadde tiempo:

I prom = ∆Q∆t

La corriente instantánea I se dene como el límite diferencial de la ecuación anterior:

I = dQ

dt

La unidad SI de corriente es el Ampere(A).

1 A = 1C 1s

Si n representa el número de portadores de carga móvil por unidad de volumen, entonces el número deportadores de portadores de carga móvil en el elemento de volumen A?x, mostrado en la gura anexa,

está dado por:

nA∆ x

Por lo tanto, la carga en este elemento es:

∆Q = ( nA∆ x)q




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26 Corriente Y Resistencia Eléctrica

donde q es la carga en cada partícula.Si los portadores se mueven con una velocidad vd, la distancia que se mueven en un tiempo ?t es:

∆ x = vd ∆t Luego:

∆Q = ( nAvd ∆t )q

Luego la corriente en el conductor está dada por:

I = nqAvd

La velocidadvd

es una velocidad promedio conocida como velocidad de arrastre o velocidad de deriva.

5.2 Resistencia y ley de ohm

Cuando las cargas se mueven bajo la acción de un campo eléctrico dentro de un conductor producen unacorriente. El campo eléctrico dentro del conductor puede existir cuando hay cargas en movimiento.Densidad de Corriente:La densidad de corriente se dene como la corriente por unidad de área:

J = I A

= nqvd

La densidad de corriente es una cantidad vectorial:

J = nq vd

Una densidad de corriente J = nq vd

se establece en un conductor cuando se mantiene una diferencia de potencial a través del conductor. Si ladiferencia de potencial es constante, la corriente también lo es. Por lo general la densidad de corriente esproporcional al campo eléctrico:

J = σ E

donde la constante de proporcionalidad recibe el nombre de conductividad del conductor. A la ecuaciónanterior se le conoce como ley de Ohm, la cual establece que en muchos materiales, la constante de propor-cionalidad entre la densidad de corriente y el campo eléctrico es una constante

σ

, que es independiente del campo eléctrico que produce la corriente. Para el caso de campo eléctrico uni-forme, la diferencia de potencial se relaciona con el campo eléctrico a través de un conductor de área A ylongitud l, por medio de la relación:




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27

V = El

Luego, sustituyendo E en la ley de Ohm se tiene:

J = σV l

Pero, teniendo en cuenta que:

J = I A

Entonces: I A

= σV l ⇒

I = σ AV l

= V R

siendo R la resistencia del conductor, la cual está dada por:

R = lσ A

= V I

El inverso de la conductividad es la resistividad ρ:

ρ = 1σ

Luego:

R = ρ l A

La resistividad se expresa en Ohmio-metro ( Ω−m) y la conductividad se expresa en (Ω−m) −1 = ohm .Para el caso de un cable coaxial que consta de dos conductores cilíndricos (uno macizo y otro hueco), deradios a y b respectivamente, de la expresión diferencial correspondiente a una sección de conductor dadapor:

dR = ρdl

Ase sigue para el caso particular del cable coaxial, que:

dR = ρ dr 2πrl

Integrando se obtiene:

R =b

a

dR = ρ2π L

b

a

dr r

= ρ2π L

lnba




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5.3 Resistencia y temperatura

En todos los metales la resistividad aumenta con el incremento de la temperatura, aproximadamente enforma lineal:

ρ = ρ0 [1 + α (T −T 0)]donde ? es la resistividad a la temperatura T (en 0C),

ρ0

es la resistividad a determinada temperatura de referencia T0 (que suele considerarse igual a 200C) y ? esel coeciente de temperatura de resistividad..Este coeciente puede expresarse como:

α = 1ρ0

∆ρ∆T

Análogamente, la resistencia varía con la temperatura de acuerdo a:

R = R0 [1 + α (T −T 0)].

5.4 Energía eléctrica y potencia

La tasa a la cual la carga∆Q

pierde energía al atravesar un resistor es:

∆U ∆t

= ∆Q∆t

V = IV

Como la tasa a la cual la carga pierde energía es igual a la potencia P disipada P en el resistor, tenemos:

P = IV




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29

Teniendo en cuenta que V=IR, podemos expresar la potencia disipada por un resistor en las siguientesformas:

P = I 2

R =

V 2

R


1. Suponga que la corriente que circula por un conductor disminuye exponencialmente con el tiempode acuerdo con

I (t ) = I 0e−t τ

donde l0 es la corriente inicial (en t=0) y τ es una constante que tiene dimensiones de tiempo. Con-sidere un punto de observación jo dentro del conductor.

(a) Cuánta carga pasa por este punto entre t = 0 y t = τ?

(b) Cuánta carga pasa por este punto entre t = 0 y t = 10τ?

(c) Cuánta carga pasa entre t = 0 y t = ∞?

Solución

(a) De la denición de intensidad de corriente instantánea:

I = dQ

dt ⇒dQ = Id t

Sustituyendo la expresión dada para I e integrando se sigue que:

Q

0

dQ =τ

0

I 0e−t τ dt = ( −τ)

τ

0

I 0e−t τ −

1τ

dt

Q = ( −τ) I 0 e−t τ

τ0

Q = ( −τ) I 0[e−1 −1]

Q = I 0τ[1 −e−1] = ( 1 −0.3678 ) I 0τ = 0.632 I 0τ(b) Para los límites entre t = 0 y t = 10τ, se utiliza el mismo procedimiento, obteniéndose la siguiente

expresión:

Q = ( −τ) I 0 e−t τ

10τ0




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Q = ( −τ) I 0 e−10τ

τ −e0

Q = −τ I 0 e−10 −1 = I 0τ[1 −e−10 ] = 0.999 I 0τ(c) Análogamente, para los límites entre t = 0 y t = ∞, se obtiene:

Q = ( −τ) I 0 e−t τ

∞0

= −τ I 0[e−∞ −e0]

Q = − I 0τ[0 −1] = I 0τ

2. Un conductor coaxial con una longitud de 20m está compuesto por un cilindro interior con un radiode 3.0mm y un tubo cilíndrico exterior concéntrico con un radio interior de 9.0mm. Una corriente defuga distribuida uniformemente de 10 µA uye dentro de los dos conductores. Determine la densidadde la corriente de fuga (en A/ m2) a través de una supercie cilíndrica (concéntrica con los conduc-tores) que tiene un radio de 6.0mm.

Solución

J = I A

= I 2π rL

= (10 µA)(10−6 A/ µA)

2π (6 ×10−3m)(20 ×10−2m)

J = 1.32 ×10−4 A/ m2




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6 Corriente Y Resistencia Eléctrica6.1 Fuerza electromotriz

Una fuente de fuerza electromotriz es cualquier dispositivo que produce un campo eléctrico y que puedeoriginar un movimiento de cargas en un circuito. La unidad S.I de fuerza electromotriz es el voltio.En el circuito mostrado en la gura anexa, el voltaje V = V b −V a entre los terminales de la batería es:

V = ε − Ir De aquí se sigue que:

ε = V + Ir (1)

Este voltaje resulta igual al potencial a través de la resistencia de carga o resistencia externa R, es decir:

V = IR

Igualando las dos ecuaciones anteriores se sigue que la corriente del circuito es:

I = ε

R+ r (2)

El siguiente gráco muestra las variaciones de potencial a medida que se recorre el circuito en el sentido delas manecillas del reloj.




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La potencia suministrada I ε se convierte en la potencia disipada en la resistencia de carga I 2 R y la potenciadisipada en la resistencia interna I 2r , como se expresa a continuación en forma analítica, multiplicando laecuación (1) por I , así:

I ε = I 2 R+ I 2r

La máxima potencia perdida en la resistencia de carga ocurre cuando R = r , como se demuestra a contin-uación:

P = I 2 R = ε

R+ r

2

R

Derivando P con respecto a R e igualando a cero se obtiene:

dPdR

= ε2 d dR

R

( R+ r )2

dPdR

= ε2( R+ r )2 −2 R( R+ r )

( R+ r )4= 0

( R+ r )2 = 2 R2 + 2 Rr

Luego, simplicando se obtiene:

R = r

6.2 Resistores en serie y en paralelo

a. Conexión en Serie: La corriente que circula por cada resistor es la misma. La caída de potencial entrelos extremos de la combinación es igual a la suma de las caídas de potencial ocurridas en cada resistor.

Para el caso de dos resistores R1 y R2 conectados en serie se tiene:

V = V 1 + V 2 = IR1 + IR2 = I ( R1 + R2)




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33

Luego los dos resistores conectados en serie se pueden sustituir por uno solo que tenga una resistenciaequivalente dada por:

Req = R1 + R2

N resistores conectados en serie, pueden ser sustituidos por un solo resistor que tenga una resistenciaequivalente dada por:

Req = R1 + R2 + ···= N

∑n= 1

Rn

b. Conexión en Paralelo: La diferencia de potencial entre los extremos de cada resistencia es la misma.

La corriente I se distribuye en cada resistor, de tal manera que para el caso de dos resistores:

I = I 1 + I 2 = V R1

+ V R2

= V 1 R1

+ 1 R2

I = V 1

Req

Luego:

1 Req

= 1 R1

+ 1 R2

(3)

Por lo tanto:

Req = R1 R2

R1 + R2

La expresión (3) puede generalizarse para N resistores conectados en paralelo, así:

Req = 1 N ∑

n= 1

1 Rn

6.3 Transformación ∆− y , y−∆




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R1 = Ra Rb

Ra + Rb + Rc

R2 = Rb Rc

Ra + Rb + Rc

R3 = Rc Ra

Ra + Rb + Rc

Ra = R1 R2 + R2 R3 + R3 R1

R2

Rb = R1 R2 + R2 R3 + R3 R1

R3

Rc = R1 R2 + R2 R3 + R3 R1

R1

6.4 Puente de Wheatstone

Se utiliza para medir resistencias desconocidas utilizando un circuito conocido como puente de Wheat-stone. El circuito consta de un galvanómetro, una batería, una resistencia desconocida R x y tres resistoresconocidos R1 , R2 , y R3 , donde R1 es un resistor variable.

Variando el valor de la resistencia conocida R1 se logra que la lectura en el galvanómetro sea cero, lo cualsignica que el potencial en el punto a debe ser igual al potencial en el punto b y en este caso se dice que elpuente está balanceado. Según estas consideraciones se tiene:

I 1 R1 = I 2 R2 (1)

I 1 R3 = I 2 R x (2)




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35

Dividiendo (1) por (2), se encuentra que:

R x = R2 R3

R1(3)

La expresión (3) permite calcular la resistencia desconocida R x.

6.5 Leyes de Kirchhoff

1. Ley de Mallas o Ley de Voltajes (LKV):

La suma de las corrientes que entran a cualquier nodo o unión debe ser igual a la suma de las corriesalen del nodo o unión. Esta ley expresa el principio de conservación de la carga.

2. Ley de Mallas o Ley de Voltajes (LKV):

La suma algebraica de los cambios o variaciones de potencial a través de todos los elementos alrcualquier lazo de un circuito cerrado debe ser cero. Esta ley surge del principio de conservación de laenergía.

Para aplicar la segunda ley deben tenerse en cuenta las siguientes reglas:

a. Cuando se recorre un resistor en el sentido de la corriente, la diferencia de potencial a través delresistor es − IR.

b. Cuando se recorre un resistor en sentido opuesto a la corriente, la diferencia de potencial a travésdel resistor es IR.

c. Cuando una fem se recorre de −a + , la diferencia de potencial es ε.d. Cuando se recorre una fem de + a −la diferencia de potencial es −ε.

6.6 Circuito RC

Consideremos el siguiente capacitor en serie con un resistor, una batería y un interruptor:

Cuando se cierra el interruptor y se aplica la Ley de Kirchhoff de voltajes, se obtiene:

ε − IR − qC

= 0 (1)

En el instante en que el circuito se cierra la carga en el capacitor es cero, luego haciendo q = 0, de la ecuaciónanterior se encuentra que la corriente inicial del circuito es:




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ε = I 0 R⇒ I 0 = ε R

(2)

Cuando el capacitor se carga hasta su valor máximo Q, las cargas dejan de uir y la corriente en el circuitose hace cero. Reemplazando la corriente por cero en la ecuación (1) se sigue que:

ε − qC

= 0⇒Q = C ε

La expresión para la carga en función del tiempo se obtiene resolviendo la ecuación diferencial (1), en dondeal hacer la sustitución I = dq / dt se encuentra que:

dqdt

= ε R −

q RC

Separando variables se tiene:

RC dqdt

= C ε−q

dqq −εC

= − 1 RC

dt

Integrando se obtiene:

q

0

dqq −εC

= − 1 RC

t

0

dt

ln [q −εC ]q0

= − 1 RC

t

lnq −εC −εC

= − 1 RC

t

q −εC −εC

= e− t RC

q −εC = −εCe− t RC

q = εC −εCe − t RC

q(t ) = εC (1 −e− t RC )

q(t ) = Q(1 −e− t RC )




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37

La expresión para la corriente en función del tiempo se obtiene a partir de la denición I = dq / dt , así:

I = dqdt =

εC RC e−

t

RC

Teniendo en cuenta que I 0 = ε/ R, se sigue que:

I = dqdt

= I 0e− t RC

Cuando se carga el capacitor y se desconecta la batería, se puede calcular la variación de la carga en funcióndel tiempo, en el proceso denominado descarga del capacitor, a partir de la ley de voltajes de Kirchhoff, así:

− IR − qC = 0

Teniendo en cuenta que se produce una reducción o decrecimiento de la carga, se sigue que la corrienteviene dada por I = −dq / dt , por lo tanto:

qC

= − Rdqdt

Separando variables:

dqq

= − 1 RC

dt




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Integrando:

q

Qdq

q=

−

1

RC

t

0dt

[ln q] qQ

= − t

RC

ln q −ln Q = − 1 RC

t

ln qQ

= − 1 RC

t

qQ

= e− t RC

q = Qe− t RC

La intensidad de corriente en el proceso de descarga está dada por:

I = −dqdt

= 1 RC

Qe− t RC = I 0e− t RC

En la ecuación anterior la corriente inicial es:

I 0 = Q RC




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7 Campos MagnéticosEn el siglo XIII A.C. los chinos utilizaron por primera vez la brújula, que básicamente consta de una agujamagnética. Los griegos descubrieron en el año 800 A.C. que ciertas piedras como la magnetita ( Fe 3O4)

atraían pedacitos de hierro.

Todo imán tenga la forma que tenga tiene dos polos llamados polo norte y polo sur. Los polos diferentes seatraen y los polos iguales se repelen. Los polos magnéticos no pueden aislarse es decir no se han podidoencontrar monopolos.

En el año de 1819 Hans Chistian Oersted encontró que una corriente eléctrica en un alambre desviaba unaaguja de una brújula situada en sus proximidades, dando origen a la ciencia del ELECTROMAGNETISMO,que relaciona efectos eléctricos con efectos magnéticos.

7.1 Campo magnético

El campo magnético se encuentra rodeando cualquier sustancia magnética o cualquier carga móvil.

El campo magnético B puede denirse en términos de la fuerza magnética ejercida sobre un objeto deprueba apropiado, que puede ser una partícula cargada que se mueve con velocidad v. La fuerza magnéticasobre una partícula cargada viene dada por la siguiente expresión:

F = q v× BEsto signica, que el campo magnético se dene en términos de la fuerza que actúa sobre la partícula car-gada en movimiento. Como puede verse la fuerza magnética es proporcional a la carga q y a la velocidad vde la partícula. La magnitud y dirección de la fuerza depende de la velocidad de la partícula y de la direc-ción del campo magnético. La fuerza F es perpendicular al plano formado por v y B. La fuerza magnéticasobre una carga positiva está en dirección opuesta a la dirección de la fuerza sobre una carga negativa quese mueve en la misma dirección. Si el vector velocidad forma un ángulo θ con el campo magnético, la mag-nitud de la fuerza es proporcional al sen θ. Un campo magnético estático puede cambiar la dirección de lavelocidad pero no la magnitud de la velocidad o la energía cinética de una partícula cargada.




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40 Campos Magnéticos

Unidades

La unidad SI del campo magnético es el Weber por metro cuadrado ( WB/ m2) llamado también Tesla ( T ).

1T = 1Wbm2

= N C ·m/ s

= N A·m

Otra unidad de uso común es el gauss ( G), que se relaciona con el tesla por medio de:

1T = 104G

En los laboratorios los imanes convencionales pueden producir hasta 2.5T . Los imanes superconductoresque se han construido producen hasta 25T . El campo magnético en puntos cercanos a la supercie de latierra es de 0.5 ×10−4G.

7.2 Fuerza magnética sobre un conductor que conduce corrienteLa fuerza magnética sobre una carga q que se mueve con una velocidad de arrastre o velocidad de derivavd es qvd × B. Para determinar la fuerza sobre un alambre recto de longitud L multiplicamos la expresiónanterior por el número de cargas nAL del segmento, donde n es el número de cargas por unidad de volumen,así:

F = ( q vd × B)nALTeniendo en cuenta que la corriente en el alambre es I = nqvd A, se sigue que:

F = I L

× B

siendo L un vector dirigido en sentido de la corriente I .

Para un alambre de forma arbitraria y de sección transversal uniforme, la fuerza que un campo magnético B ejerce sobre un segmento muy pequeño de longitud ds es:

Esto signica que la fuerza es máxima cuando B es perpendicular al elemento de corriente Id s y es cerocuando B es paralelo al elemento de corriente. Para el caso en el cual el campo magnético B es constante, lasexpresiones para la fuerza sobre un lazo abierto y uno cerrado se obtienen por integración y están dadasrespectivamente por:

F = I

b

a d s × B; para lazo abierto

F = I d s × B; para lazo cerrado.Si en el caso de lazo abierto la suma vectorial de todos los vectores de desplazamiento es L? y está dirigidode a a b, la expresión para la fuerza es:




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41

F = I L × BPara el caso del lazo cerrado el conjunto de vectores de desplazamiento forma un polígono cerrado cuyasuma vectorial debe ser cero, es decir,

d s = 0, por consiguiente F = 0.

7.3 Momento de torsión sobre un lazo de corriente (espira) situado en uncampo magnético

Cuando se tiene una lazo rectangular (o espira rectangular) por el que circula una corriente I y se encuentrasituado en un campo magnético B paralelo al plano del lazo, como se muestra en la gura anexa, las fuerzassobre los lados de longitud a son cero, debido a que d s × B = 0. La magnitud de las fuerzas sobre los ladosde longitud b, está dada por:

F 1 = F 2 = IbB

La fuerza sobre el lazo izquierdo está dirigida hacia fuera del papel y la fuerza sobre el lado derecho estádirigida hacia adentro del papel. Si suponemos que el lazo rectangular tiene un pivote que le permite giraren torno al punto O, las dos fuerzas producen un momento de torsión respecto de O que hace girar al lazoen el sentido de las manecillas del reloj.

La magnitud del momento de torsión, τmáx , es:

τmáx = F 1a2

+ F 2a2

= ( IbB)a2

+ ( IbB )a2

τmáx = IabB

Puesto que el área del lazo es A = ab , el momento de torsión máximo puede expresarse como:

τmáx = IAB




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Si el campo magnético forma un ángulo θ con la línea perpendicular al plano del lazo rectangular, como semuestra en la gura anexa, el momento de torsión alrededor de O tiene la magnitud:

τ=

F 1

a

2sen θ

+F

2

a

2sen θ

τ = IbBa2

sen θ + IbBa2

sen θ

τ = IabBsen θ

τ = IABsen θ

En forma vectorial se puede escribir de la siguiente manera:

τ = I A

× B

donde A es un vector perpendicular al plano del lazo rectangular. El sentido de A está determinado por laregla de la mano derecha según se describe en la gura anexa. Al colocar los dedos de la mano derecha enla dirección de la corriente en el lazo, el pulgar apunta en la dirección de A.

El producto IA se dene como el momento magnético µ del lazo. Es decir:

µ = I A

En el SI la unidad del momento magnético es ( Am2). Con esta denición el momento magnético de torsiónpuede denirse como:

τ = µ× B




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43

7.4 Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético

Cuando la velocidadde unapartículacargada es perpendicular a un campo magnéticouniforme, la partículase mueve en una trayectoria circular cuyo plano es perpendicular al campo magnético B (ver gura anexa).

De acuerdo con la segunda ley de Newton, se tiene que:

F = qvB = mv2

r

Despejando r se sigue que:

r = mvqB

lo cual indica que el radio de la trayectoria es proporcional a la cantidad de movimiento lineal e inversa-mente proporcional a la magnitud del campo magnético. La frecuencia angular de la partícula está dadapor:

w = vr

= qB

m

El período T está dado por:

T = 2π r

v=

2πw

= 2π m

qB

Las expresiones anteriores muestran que la frecuencia angular y el período de movimiento no dependende la velocidad de la partícula ni del radio de la órbita.

Cuando una partícula cargada se mueve en un campo magnético uniforme con una velocidad que formaun ángulo arbitrario con B, su trayectoria es una hélice. Por ejemplo, si el campo está en la dirección xcomo se muestra en la gura anexa, no hay componente de la fuerza en dirección de x, y, en consecuencia,ax = 0 y la componente x de la velocidad permanece constante. Además, la fuerza magnética q v× B haceque las componentes v x y v y, cambien en el tiempo, y el movimiento resultante es una hélice que tiene sueje paralelo al campo B. La proyección sobre el plano yz es un círculo y las proyecciones sobre los planos xyy xz son sinusoides.




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7.5 Ejercicios resueltos

1. Un lazo rectangular consta de N vueltas enrolladas muy próximas entre sí y tiene dimensiones a y b.El lazo se articula a lo largo del eje y, y su plano forma un ángulo θ con el eje x (gura anexa). ¿Cuáles la magnitud del momento de torsión ejercido sobre el lazo por un campo magnético uniforme Bdirigido a lo largo del eje x cuando la corriente es I en la dirección indicada?. ¿Cuál es la direcciónesperada de rotación del lazo?

Solución

Para el caso de una sola espira el momento de torsión está dado por:

τ = r × F dónde:

r = a(cos θ ˆ x+ sen θ ˆ z)

Y

F = IbB ( ˆ z)

Debe tenerse en cuenta que la fuerza sobre el lado superior de la espira se anula con la fuerza sobre ellado inferior de la espira y además la fuerza sobre el lado izquierdo de la espira no produce momento

de torsión con respecto al eje y puesto que el brazo de palanca es nulo. Luego el momento de torsióncon respecto al eje y es:

τ = a(cos θ ˆ x+ sen θ ˆ z) × IbB ( ˆ z) τ = abIB cos θ (−ˆ y).

Luego la magnitud del momento de torsión es:

τ = abIB cos θ




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45

Para el caso de N espiras el momento de torsión aumenta N veces, entonces:

τ = NabIB cos θ

Como el momento de fuerza va dirigido en sentido de ? y signica que la espira rota en sentido horariovista por observador situado encima de la espira.

2. Un electrón choca con un segundo electrón inicialmente en reposo. Después del choque, los radiosde sus trayectorias son 1.0cm y 2.4cm. Las trayectorias son perpendiculares a un campo magnéticouniforme de 0.044 T de magnitud. Determine la energía (en KeV) del electrón incidente.

Solución

La expresión para la energía cinética de una partícula es:

K = 12

mv2

Cuando un electrón ingresa a la región donde hay campo magnético, éste ejerce sobre la partícula unafuerza igual a la fuerza centrípeta, luego:

mv2

r = evB⇒v =

Ber m ⇒

v2 = B2e2r 2

m2

Luego:

K = 12 m

B2e2r 2

m2 = B2e2r 2

2m

Insertando los valores dados se obtiene:

K = (0.044 T )2(1.6 ×10−19C )

2(2.4 ×10−2m)2

2(9.1 ×10−31 kg)

K = 1.56 ×10−14 J 1keV

1.6 ×10−16 J = 98.03393 keV

Análogamente para el otro electrón se tiene

K = (0.044 T )2(1.6 ×10−19C )

2(1.0 ×10−2m)2

2(9.1 ×10−31 kg)K = 17.01978 keV




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8 Ley De FaradayExperimentos llevados a cabo por Michael Faraday en Inglaterra en 1831 e independientemente por JosephHenry en los Estados Unidos en el mismo año, demostraron que una corriente eléctrica podría ser inducida

en un circuito por un campo magnético variable.

La ley de inducción de Faraday establece que:

La magnitud de la fem inducida en un circuito es igual a la razón de cambio del ujo magnético a través de

8.1 Ley de inducción de Faraday

La fem inducida en un circuito es directamente proporcional a la rapidez de cambio del ujo magnético acircuito.

Este enunciado se puede expresar analíticamente mediante ε = −d ϕ E dt donde ε es la f em inducida y φ E es el

ujo eléctrico, que puede expresarse como

ϕ E = −→ B ·−→dA

Si el circuito consta de N espiras, la f em inducida es:

ε = − N d ϕ E dt




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47

Figura 1.1.1

Consideremos una espira conductora de área A en presencia de un campo magnético uniforme B, el cualforma un ángulo θ con la normal a la espira como se indica en la gura 1.1.1, en este caso, el ujo a travésde la espira es BAcos θ y la f em inducida puede expresarse como:

ε = −d dt

( BAcos θ)

De esta expresión, se ve que la f em puede ser inducida en el circuito de varias formas:

1. Variando la magnitud de B con respecto al tiempo.

2. Variando el área con respecto al tiempo.

3. Cambiando el ángulo θ entre −→ B y la normal al plano con respecto al tiempo, y

4. Cualquier combinación de éstas.

8.2 FEM de movimiento

Consideremos una barra conductora recta de longitud l moviéndose con una velocidad −→v a través de uncampo magnético −→ B dirigido perpendicularmente a −→v . Una f em igual a Blv se induce entre los extremosde la barra, veámoslo:




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48 Ley De Faraday

Figura 1.2.1

Los electrones en el conductor experimentarán una fuerza magnética a lo largo del conductor dada por−→F m = q−→v ×−→ B , que producirá el desplazamiento de los electrones hacia el extremo inferior del conductordejando una carga neta positiva en el extremo superior. Debido a la separación de las cargas se produceun campo eléctrico en el interior del conductor produciendo una fuerza eléctrica sobre los electrones dadapor −→F e = q−→ E dirigida hacia arriba. En el momento en que la fuerza magnética es balanceada por la fuerzaeléctrica, las cargas dejan de uir y la condición de equilibrio requerida es:

F m = F e

⇒qvB = qE

⇒vB = E

La relación entre el campo eléctrico y la diferencia de potencial entre los extremos del conductor es:

V = El = vBl

donde el extremo superior está a mayor potencial que el extremo inferior.

Cuando el conductor en movimiento es parte de una trayectoria conductora cerrada, como el circuitomostrado en la gura 1.2.2, que consta de una barra conductora de longitud l deslizándose a lo largo dedos rieles conductores paralelos, el cálculo de la f em inducida, de la corriente inducida y de la potencia seefectúa de la siguiente manera:




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Figura 1.2.2Barra conductora deslizándose con velocidad −→v a lo largo de dos rieles conductores por acción de unafuerza aplicada −→F ap .Un campo magnético B uniforme y constante se aplica al plano del circuito. Cuando la barra se jala haciala derecha con una velocidad variable −→v por la inuencia de una fuerza aplicada −→F ap , las cargas libres dela barra experimentarán una fuerza magnética a lo largo de la longitud de la barra. Esta fuerza a su vezproduce una corriente inducida, puesto que la rapidez de cambio de ujo magnético a través de la espira ypor ende la f em inducida es proporcional al cambio de área de la espira que se produce cuando la barra semueve a través del campo magnético.

El ujo magnético externo a través del circuito está dado por ϕm = Bl x, siendo l x el área del circuito encualquier instante.

De la ley de Faraday se sigue que la f em inducida es:

ε = −d ϕmdt

= −d dt

( Blx) = − Bldxdt

= − BlvSi la resistencia del circuito es R, la magnitud de la corriente inducida está dada por:

I = |ε| R

= Blv

R

La potencia disipada por la fuerza aplicada es:

P = F ap v = ( IlB)v = B2 l2v2

R

Esta potencia mecánica es igual a la potencia eléctrica I ε suministrada por la f em inducida y también esigual a la rapidez con que se disipa energía en la resistencia, I 2 R.

Ejemplos

Ejemplo 1. Fem Inducida en una Barra que Gira.




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50 Ley De Faraday

Una barra conductora de longitud l gira con una velocidad w alrededor de un pivote jo en su extremo. Uncampo magnético uniforme −→ B está dirigido perpendicularmente al plano de rotación, como se muestra enla gura 1.3.1.

Encuentre la f em inducida entre los extremos de la barra.

Figura 1.3.1

SoluciónConsidérese un segmento de barra de longitud dr que se mueve con velocidad v.

La f em inducida en el conductor está dada por:

d ε = Bvdr

ε = Bvdr Teniendo en cuenta que la velocidad lineal v esta relacionada con la velocidad angular w mediante: v = wr

y que además B y w son constantes se sigue que:

ε = B vdr = Bwl

0

rdr = 12 Bwl2

Ejemplo 2. Fuerza Magnética sobre una Barra que se Desliza.

Una barra de masa m y longitud l se mueve sobre dos rieles paralelos, en presencia de un campo magnéticodirigido hacia dentro de la página. Si se le imprime a la barra una velocidad inicial v0 hacia la derecha ydespués se libera. Encuéntrese la velocidad de la barra como una función del tiempo.

Figura 1.3.2




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51

Solución

La corriente inducida circula en sentido contrario a las manecillas del reloj y la fuerza magnética es F m =

− IlB, donde el signo negativo denota que la fuerza está hacia la izquierda y retarda el movimiento.De la segunda ley de Newton

F x = ma = mdvdt

= − IlBComo la corriente inducida está dada por la ecuación I = Bvl R , entonces:

F x = − Bvl R ·lB = −

B2vl2

R= m

dvdt

⇒ dv

v= −

B2l2

mRdt

Integrando esta última ecuación, utilizando como condiciones iniciales v = v0 , para t = 0, se encuentra que:v

v0

dvv

= − B2l2

mRt = −

t τ

siendoτ =

mR B2 l2

⇒ln

vv0

= −t τ

v = v0e−t τ

La f em inducida viene dada por:ε = IR = Blv0e−

t τ ,

y la corriente inducida viene dada por:

I = Blv

R=

Blv R

= Blv0e−

t τ

R

.

8.3 Ley de LenzLa ley de Lenz establece que:

La polaridad de la f em inducida produce una corriente que crea un ujo magnético que se opone al cambio enmagnético a través del circuito.

Considérese un imán de barra que se mueve hacia la derecha introduciéndose en una espira estacionaria,como se muestra en la gura 1.4.1.




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52 Ley De Faraday

Figura 1.4.1

a. Cuando el imán se mueve, en la espira conductora estacionaria se induce una corriente en la direcciónmostrada.

b. Esta corriente inducida produce su propio ujo hacia la izquierda para contrarrestar el incrementodel ujo externo hacia la derecha.

Aplicación de la Ley de Lenz:

La gura 1.4.2. muestra una barra que se hala horizontalmente a través de un par de rieles paralelos poruna cuerda (se supone que sin masa) que pasa sobre una polea ideal a la cual está sujeta y suspendida unamasa M . El campo magnético uniforme tiene una magnitud B, la barra deslizante tiene una masa m y ladistancia entre los rieles es l. Los rieles son conectados en uno de sus extremos por una resistencia de carga R. Deduzca una expresión que dé el valor de la velocidad horizontal como función del tiempo, suponiendoque la masa suspendida se dejó caer cuando la barra está en reposo para t = 0. Suponga que no hay fricciónentre la barra y los rieles.

Figura 1.4.2




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53

Solución

←−−−−−F m = mgDe la cinemática se sabe que la posición de la barra en función del tiempo es:

x = v0t + 12

at 2

Teniendo en cuenta que la aceleración es a = Mg / m, se sigue que:

x = 12

Mgm

t 2

De la denición de f em:

ε =

−

d ϕdt

=

−

d dt −→ B

·−→dA

Pero A = lvt , entonces:

ε = −β d dt

lvt = − Blv

ε = −β d dt

l12

Mgm

t 2

ε = −βl2

Mgm

t

La velocidad está dada por:v = −

ε Bl

v = −− Bl2

Mgm t

B l

Simplicando se obtiene:

v = − Mg2m

t

De la segunda ley de Newton:ΣF = ma :

µg− Ilβ = maReemplazando el valor de I , se obtiene:

µg− ε R

lβ = ma

µg+ β2 l2

2 µgm

t R

= ma

µg 1 + β2 l2

2t

mR= m

dvdt

dv = µgm

1 + β2 l2

2t

mRdt




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54 Ley De Faraday

v

0

dv =t

0

µgm

1 + β2 l2

2t

mRdt

v = Mg

mt +

Mgm2 R

B2 l2t 2

2

dv = ε Bd mR

dt

dv = ε Bd mR dt

dv = −vd 2 B2

mRt

ln v]vv0 = −d 2 B2

mRt

ln vv0

= −d 2 B2

mRt

vv0

= e−d 2 B2mR t

v = v0e−d 2 B2

mR t ,

que indica claramente que v decrece con el tiempo.

8.4 FEM inducidas y campos eléctricos

Consideremos una espira de radio r situada en un campo magnético uniforme que es perpendicular alplano de la espira como se muestra en la gura 1.5.1.

Si el campo magnético cambia en el tiempo, se induce en la espira una f em dada por: ε = −d ϕm

dt .

La corriente inducida implica la aparición de un campo eléctrico E , tangente a la espira. El trabajo que serealiza para mover una carga de prueba q alrededor de la espira es igual a qε. El trabajo realizado por fuerzaeléctrica sobre la carga eléctrica está dado por qE (2πr ),donde 2πr es la longitud de la circunferencia de laespira. Luego igualando las dos expresiones para el trabajo se sigue que:

qε = qE (2π Rr )

E = ε2πr




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Figura 1.5.1

Teniendo en cuenta que ε = −d ϕm

dt , siendo ϕm = BA = πr 2 B, se encuentra que el campo eléctrico inducido

puede expresarse como:

E = − 12πr

d ϕmdt

= −r 2

dBdt

El signo menos indica que el campo eléctrico inducido E se opone al cambio del campo magnético.

En general, la f em para cualquier trayectoria cerrada puede ser expresada como la integral de línea −→ E ·−→dl

sobre la trayectoria.

ε = −→ E ·−→dl = −d ϕmdt

Obsérvese que el campo eléctrico inducido −→ E que aparece en la ecuación anterior no es conservativo, varíaen el tiempo y es generado por la variación de un campo magnético.

Campo Eléctrico Debido a un Solenoide:

Un largo solenoide de radio R tiene n vueltas por unidad de longitud y conduce una corriente que varía enel tiempo sinusoidalmente I = I 0 cos ωt ,,donde I 0 es la máxima corriente y w es la frecuencia angular de lafuente de corriente como se aprecia en la gura 1.5.2.

Ejemplos:

a. Determine el campo eléctrico fuera del solenoide, a una distancia r de su eje.




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56 Ley De Faraday

Figura 1.5.2

Solución.

E

·d l =

−d ϕ

dt =

−d

dt β π R2 =

−π R2

dB

dt

ε (2π r ) = −π R2dBdt

B = µ0nI ⇒ dBdt

= µ0 N e

d dt

I 0 cos ωt

B = µ0 N e

d dt

I 0sen ωt

ε (2π r ) = −π R2 µ0nI 0d dt

(cos ωt ) = π R2 µ0nI 0ωsen ωt

ε = µ0nI 0ω R2

2r sen ωt

r > R

b. Cual es el campo eléctrico dentro del solenoide a una distancia r de su eje.

ε (2π r ) = π R2 µ0nI 0ωsen ωt ⇒ E = µ0nI 0rsen ωt

2r < R

8.5 Generadores y motores

Los generadores y motores son dispositivos que operan por el principio de inducción electromagnética. Elgenerador de corriente alterna (o generador de AC ),es un dispositivo que convierte la energía mecánicaen energía eléctrica. Un generador de AC consta de una bobina de alambre que se hace girar dentro deun campo magnético. Cuando la espira gira, el ujo magnético a través de esta cambia con el tiempo,induciendo una f em y una corriente en un circuito externo. Supóngase que la bobina tiene N espiras deárea A y que gira con velocidad angular w. Si θ es el ángulo entre el campo magnético y la normal al planode la espira como en la gura (1.6.1), entonces el ujo magnético a través de la espira en cualquier instantet está dado por:

ϕm = BAcos θ = BAcos ωt




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Figura 1.6.1

Bobina con N espiras de área A que gira con velocidad angular w dentro de un campo magnético B. La f eminducida varía sinusoidalmente en el tiempo.

Donde se ha utilizado la relación entre el desplazamiento angular y la velocidad angular θ = ωt . Por lo tantola f em inducida en la bobina está dada por:

ε = − N d ϕmdt

= − NAB d dt

(cos ωt ) = NABcos ωt

De la ecuación anterior se ve que la f em tiene un valor máximo εmax = NABω. El cual ocurre cuando θ = 900

o θ = 270 0 . La f em es nula cuando ωt = 0 o 1800 . La frecuencia de los generadores comerciales es por logeneral de 60 Hz .

Los motores son dispositivos que convierten la energía eléctrica en energía mecánica. Se suministra corri-

ente a la bobina por la medio de una batería y el momento de torsión que actúa sobre la bobina provocala rotación. A medida que la bobina gira, el ujo variable induce una f em en ella; esta f em siempre actúapara reducir la corriente en la bobina. Esta contra f em aumenta en magnitud con el aumento de la rapidezrotacional de la bobina.




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58 Ley De Faraday

8.6 Ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell para el espacio libre, en forma integral, son:

1. Ley de Gauss para el campo eléctrico:

−→ E ·−→dA = Qε0

(1)

2. Ley de Gauss para el campo magnético:

−→ B ·−→dA = 0 (2)3. Ley de Faraday - Henry :

−→ E ·−→dl = −d ϕmdt (3)4. Ley de Ampere- Maxwell:

−→ B−→dl = µ0 I + µ0ε0 d ϕedt (4)La ecuación (1) establece que el ujo eléctrico a través de cualquier supercie cerrada es igual a la carganeta dentro de la supercie dividida entre la constante ε0 .

La ecuación (2) establece que el ujo magnético total a través de una supercie cerrada es cero.

La ecuación (3) describe la relación entre un campo eléctrico y un ujo magnético variable. Como conse-cuencia de la ley de inducción de la Ley de Faraday se induce una corriente en una bobina conductoracolocada dentro de un campo magnético que varía en el tiempo.

La ecuación (4) describe la relación entre los campos eléctrico y magnético y las corrientes eléctricas.




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Bibliografía

[1] Serway Raymond, 2008. FÍSICA para ciencias e ingeniería, Cengage Learnig, 7a Edición.

[2] Hans Ohanian, 2000. FÍSICA para ingeniería y ciencias, Mc Graw Hill, 2a Edición.

[3] William Hayt, 2000. Teoría Electromagnética, Mc Graw Hill, 7a Edición.

[4] Sears y Zemansky, 2009. FÍSICA para ingeniería y ciencias, Addison-Wesley, 12a Edición, Vol 2.

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