A Plica c i Ones Integral Es
Transcript of A Plica c i Ones Integral Es
-
8/13/2019 A Plica c i Ones Integral Es
1/23
Aplicaciones de las integrales dobles
Las integrales dobles tienen multiples aplicaciones en fsica y en geometra. A con-tinuacion damos una relacion de alguna de ellas.
1. El area de una region plana R en el plano xy viene dada por una integral doble.
area(R) =
Rdxdy
2. El volumen Vencerrado entre una superficie z=f(x, y)(>0) y una region Ren el
plano xy esV =
R
f(x, y)dxdy
3. Sea f(x, y) la funcion de densidad (=masa por unidad de area) de una distribucionde masa en el plano xy. Entonces la masa total de un trozo plano R es
M=
Rf(x, y)dxdy
4. El centro de gravedad de la masa del trozo plano R anterior tiene coordenadas x, y
donde:x=
1
M
R
xf(x, y)dxdy, y = 1
M
R
yf(x, y)dxdy
5. Los momentos de inercia Ix e Iy de la masa de R con respecto a los ejes x e yrespectivamente son:
Ix =
Ry2f(x, y)dxdy; Iy =
R
x2f(x, y)dxdy
-
8/13/2019 A Plica c i Ones Integral Es
2/23
Integrales Mltiples y Sus Aplicaciones
APLICACIONES DE LAS INTEGRALES MLTIPLES
En este captulo se presentan algunas de las aplicaciones tanto fsicas como
geomtricas de las integrales mltiples, especficamente para las integrales dobles y
para las integrales triples.
APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES
Entre las aplicaciones de las integrales dobles, se tienen las
aplicaciones geomtricas y las fsicas. En el primer grupo se
encuentran: el clculo del rea de una figura plana y el clculo de
volmenes de slidos en el espacio; entre las aplicaciones fsicas
estn el clculo de: masa, momentos estticos de figuras planas,
centros de masa y momentos de inercia para una regin
bidimensional.
REA DE UNA FIGURA PLANA
En el captulo 1 de este trabajo, se explic el significado intrnseco
de la integral doble de una funcin f positiva en una regin
bidimensional D, ( )D
f x, y dA , como el volumen del slido S
definido sobre la reginDy bajo la grfica de la funcin f . Ahora,
si se considera que ( ), 1f x y = , entonces la integral anterior queda
como:
( )D D
f x, y dA dA= (III.1)
Por lo tanto, empleando la definicin de la integral doble, se tiene
que:
01 1
n m
ijD P
i j
dA Lim A
= =
= (III.2)
Recuerde que la integral
doble ( )D
f x, y dA ,tambin puede escribirsecomo
( )0
1 1
n m* *
i j ijP
i j
Lim f x , y A
= =
-
8/13/2019 A Plica c i Ones Integral Es
3/23
Integrales Mltiples y Sus Aplicaciones
donde ijA es el rea del rectngulo genrico denotado ijD , el
cual puede observarse en la figura 3.1
D
a = x0
y
xxi xn= bxi-1
c = y0
d = ym
yj-1
yjyj
xi (xi*,yj
*)
Dij
Figura 3.1
Regin D dividida en subrectngulos ijD
En otras palabras, la integralD
dA representa el volumen de un
slido de seccin transversal constante, cuya base es la regin D
y cuya altura es igual a la unidad. Para un slido con estas
caractersticas, el volumen se obtiene como el producto del rea
de la base y la altura del mismo.
A partir de todo lo anterior, se define el clculo del rea de una
regin plana.
REA DE UNA FIGURA PLANA
Sea D una regin bidimensional D , tal que 2D . Sea A el
rea de la regin D , entonces:
DA dxdy= (III.3)
-
8/13/2019 A Plica c i Ones Integral Es
4/23
Integrales Mltiples y Sus Aplicaciones
Observe que si la regin D es de tipo 1, la ecuacin anterior
queda como:
( )
( )[ ]
( )
( )b g x b g x
f xa f x aA dydx y dx= = (III.3)
( ) ( )b
aA g x f x dx= (III.4)
Donde la ltima integral, representa el rea comprendida entre las
grficas de ( )y f x= y ( )y g x= en el intervalo cerrado [ ]a,b . Esta
integral se estudia en la asignatura Anlisis Matemtico II, dentro
de las aplicaciones de la integral definida.
Dibuje la regin D y calcule su rea, empleando las integrales
dobles:D
dxdy y D dydx , ( ){ }2 22 4D x, y x y y x y=
Figura 1
E ercicio 1
Recuerde que la grfica
de la ecuacin:
2
ay by c= + +
Es una parbolahorizontal
Recuerde que una reginD es de tipo 1 si se
cumple:
( )
( ) ( )
x, y a x bD
x y g x
=
24x y=
2 2x y y=
D
-
8/13/2019 A Plica c i Ones Integral Es
5/23
Integrales Mltiples y Sus Aplicaciones
Para calcular el rea de la regin por medio de la integral doble
D dxdy , es necesario definir los lmites de integracin, que seilustran en la figura 3.3
Observe que la regin Des una regin tipo 2, por
lo cual el rea se obtieneempleando una sola
integral doble de laforma
Ddxdy .
Valor dexala salida deD
24x y=
D
Valor dexala entrada deD
2 2x y y=
-
8/13/2019 A Plica c i Ones Integral Es
6/23
Integrales Mltiples y Sus Aplicaciones
Dada la regin D , determine las ecuaciones de las curvas que la
limitan y calcule su rea empleando las integrales dobles: D dxdy
yD
dydx .
Figura 3.5
Regin D del ejemplo 3.2
Las ecuaciones de las curvas que limitan a la regin Dson:
1 16 20C : y x= +
2 2 20C : y x= + y
2
3
4C : y x=
a) Para el clculo del rea de la regin Dpor medio de la integral
dobleD
dxdy , se necesita saber que valor toma la variablexa la
entrada y salida de la regin. En la figura 3.6 se pueden observar
estos valores.
E ercicio 2
Las ecuaciones de lascurvas en funcin de lavariableyson:
1
20
16
yC : x
=
2
20
2
yC : x
=
12yC : x=
C1
D
C3
C2
-
8/13/2019 A Plica c i Ones Integral Es
7/23
Integrales Mltiples y Sus Aplicaciones
Figura 3.6
Regin D del ejemplo 3.2 como tres regiones tipo 2
Como 1 2 3D D D D= , entonces:1 2 3D D D
A dxdy dxdy dxdy= + +
donde:
( )
( )
( )
1
2
3
0 42 2
204 16
16 2
20 2016 20
16 2
y yD x, y x y
yyD x, y x y
y yD x, y x y
=
=
=
La regin D no es unaregin tipo 2, sin
embargo se puede dividiren tres regiones: D1, D2yD3., que s lo son. Por
esta razn, para resolverla integral doble
Ddxdy se debe
emplear la propiedadaditiva respecto a la
regin de integracin.
Valor dexa
la salida deD3
20
2
yx
= D3
Valor dexa
la entrada deD3
20
16
yx
=
Valor dexa
la salida deD2
2
yx=
D2
Valor dexala entrada deD2
20
16
yx
=
Valor dexa
la salida deD1
2
yx=
D1
Valor dexa
la entrada deD1
2
yx=
4y=
16y=
-
8/13/2019 A Plica c i Ones Integral Es
8/23
Integrales Mltiples y Sus Aplicaciones
Calcule, empleando integrales dobles, el rea comprendida entre
dos crculos concntricos de radios 2 y 4.
Considere una corona circular con centro en el origen del sistema
de coordenadas tal como se observa a continuacin.
Figura 3.8
Regin D del ejemplo 3.3
ComoD
A dydx= y la regin D es simtrica respecto al origen,
entonces para simplificar el clculo de rea, slo se evaluar
11
DA dydx= , donde 1A es el rea de la reginDque se encuentra
en el primer cuadrante, denotada como1
D
14A A=
La regin denotada comoD1, se muestra en la figura 3.9.
La reginDplanteada en
el ejemplo 3.3 recibe elnombre de corona
circular, y su rea es:
( )2 2R r= dondeR: Radio externo
r: radio interno
E ercicio 3
D2 2 16x y+ =
2 2 4x y+ =
-
8/13/2019 A Plica c i Ones Integral Es
9/23
Integrales Mltiples y Sus Aplicaciones
Figura 3.9
Regin 1D del ejemplo 3.3
Luego:1. 1.
1A BD D
A dydx dydx= + , donde:
( ){ }( ){ }
2 2
1
2
1
0 2 4 16
2 4 0 16
.A
.B
D x, y x x y x
D x, y x y x
=
=
Valor deya
la salida deD1.A
216y x=
Valor deya
la entrada deD1.A24y x=
D1.A
2x=
D1.B
Valor deya
la salida deD1.B
216y x=
Valor deyala entrada deD1.B
0y=
Para calcular el rea de laregin D1, se puededividirla en dos regionestipo 1:
1 1 1.A .BD D D=
-
8/13/2019 A Plica c i Ones Integral Es
10/23
Integrales Mltiples y Sus Aplicaciones
VOLUMEN DE UN SLIDO EN EL ESPACIO
En el captulo 1 de este trabajo, se determin que la integral
( )D
f x, y dA representa el volumen del slido Sdefinido sobre la
regin Dy bajo la grfica de la funcin f ; sin embargo, la integral
doble tambin puede emplearse para determinar el volumen de un
slido ms general.
Dibuje el slido S acotado por las superficies: 2 22z x y= + y
2 220z x y= y plantear su volumen empleando integrales
dobles.
En la figura 3.10 se muestra el slido Sde este ejemplo, donde la
superficie superior es 2 220z x y= y la superficie inferior viene
dada por la ecuacin 2 22z x y= + .
VOLUMEN DE UN SLIDO EN EL ESPACIO
Sean 2:f y 2:g dos funciones reales, continuas
en una regin bidimensional D , tales que ( ) ( ), ,f x y g x y
( ),x y D . Sea V el volumen del slido acotado
superiormente por la grfica de la funcin g y acotado
inferiormente por la grfica de la funcinf, entonces:
( ) ( ), ,D
V g x y f x y dA=
(III.5)
E ercicio 4
-
8/13/2019 A Plica c i Ones Integral Es
11/23
Integrales Mltiples y Sus Aplicaciones
Figura 3.10
Slido S del ejemplo 3.4
El volumen del slido S, mostrado en la figura anterior, se obtiene
mediante la integral doble:
2 2 2 220 2D
V x y x y dA = +
donde D es la proyeccin del slido S en el plano xy. Esta
proyeccin, para este ejemplo, resulta ser un crculo con centro en
el origen, al que se obtiene en la interseccin de las dos
superficies:
2 2
2 2 2 2
2 2
22 20
20
z x yy x y
z x y
= + + =
=
( )2 2 2 2 2 24 20 4x y x y x y+ = + =
Entonces:
( ){ }2 2, 4D x y x y= +
La superficie definida porla ecuacin:
2 220z x y= Es una semiesfera (partesuperior).
La superficie definida porla ecuacin:
2 22z x y= + Es un cono .
S
Valor dezala salida de S
2 220z x y=
Valor dezala entrada de S
2 22z x y= +
-
8/13/2019 A Plica c i Ones Integral Es
12/23
Integrales Mltiples y Sus Aplicaciones
Figura 3.11
Regin D del ejemplo 3.4
Es decir, ( ){ }2 2, 2 2 4 4D x y x x y x=
Volviendo a la integral de volumen, se tiene que:
2
2
2 42 2 2 2
2 420 2
x
xV x y x y dydx
= +
Valor deyala salida deD
24y x=
Valor deyala entrada deD
24y x=
D
Donde D es una regintipo 1 y tambin tipo 2,
pero en este ejemplo setrabaja como una regin
tipo 1.
En el siguiente captulo,se mostrar como
resolver una integral deeste tipo, empleando uncambio de variable
apropiado.
-
8/13/2019 A Plica c i Ones Integral Es
13/23
Integrales Mltiples y Sus Aplicaciones
Dibuje el slido S acotado por las superficies: 4z xy= + y 1z= y
dentro del cilindro 2 2 1x y+ , calcule su volumen empleando
integrales dobles.
En la figura siguiente se aprecia el slido S, acotado por las
superficies 4z xy= + y 1z= y dentro del cilindro 2 2 1x y+ .
Figura 3.12
Slido S del ejemplo 3.5
El volumen del slido S, se obtiene mediante la integral doble:
[ ] [ ]4 1 3D D
V xy dA xy dA= + = +
donde D es la proyeccin del slido S en el plano xy. Esta
proyeccin, se observa en la figura 3.13
EJERCICIO 5
S2 2 1x y+ =
Valor deza
la salida de S4z xy= +
Valor dezala entrada de S
1z=
-
8/13/2019 A Plica c i Ones Integral Es
14/23
Integrales Mltiples y Sus Aplicaciones
Figura 3.13
Regin D del ejemplo 3.5
En este caso, la reginDse define como:
( ){ }2 2, 1 1 1 1D x y y x y y=
Dibuje el slido S acotado por 3 31z x y xy= + + , 0z= , 3y x x= y
2
y x x= + y calcule su volumen empleando integrales dobles.
En la figura 3.14 se observa el slido S,acotado superiormente por
3 31z x y xy= + + e inferiormente por 0z= ; mientras que las
superficies 3y x x= y 2y x x= + definen las paredes de dicho
cuerpo tridimensional.
EJERCICIO 6
Valor dexala salida deD
21x y=
Valor dexala entrada deD
21x y=
DEn este ejemplo, laregin D es de tipo 1 y
tambin tipo 2, pero setrabaja como una regin
-
8/13/2019 A Plica c i Ones Integral Es
15/23
Integrales Mltiples y Sus Aplicaciones
Figura 3.14
Slido Sdel ejemplo 3.6
Donde, el volumen del slido S, se obtiene como:
3 3 3 31 0 1D D
V x y xy dA x y xy dA = + + = + +
Al proyectar el slido anterior en el plano xy, se obtiene la regin
bidimensionalD,la cual se aprecia en la figura 3.15
Figura 3.15
Regin D del ejemplo 3.6
Valor deyala salida deD
3y x x=
Valor deyala entrada deD
2y x x= +
D
En la figura 3.15, se
observa que la regin Ddel ejemplo 3.6 es unaregin de tipo 1.
S
Valor dezala salida de S
3 3
1z x y xy= + +
Valor dezala entrada de S
0z=
-
8/13/2019 A Plica c i Ones Integral Es
16/23
Integrales Mltiples y Sus Aplicaciones
Por lo tanto, la reginDse define como:
( ){ }2 3, 1 0D x y x x x y x x= +
La integral de volumen queda como:
3
2
03 3
11
x x
x xV x y xy dydx
+ = + +
13 90
11 8 7 6 3 2
1
7 5174 2 2
4 4 1260
x xV x x x x x x x dx
= + + =
MASA DE UNA FIGURA PLANA
A continuacin, se explica como determinar la masa de una figura
plana no homognea, de rea D , como la regin mostrada en la
figura 3.16; es decir para regiones donde la densidad vara en
cada punto ( )x, y D .
Figura 3.16
Regin D no homognea
La densidad tieneunidades de masa por
rea unitaria.Para esta aplicacin,
considere que la funcin
densidad es continua
en la regin D .
En la figura 3.16 laregin D es nohomognea, por lo cual
su sombreado no esuniforme.
Adicionalmente:
( ) ( )0x, y x, y D =
-
8/13/2019 A Plica c i Ones Integral Es
17/23
Integrales Mltiples y Sus Aplicaciones
Si se escoge un punto arbitrario ( )* *i j ij, y D , entonces la masa
de este subrectngulo, denotada como ijm , se obtiene como:
( )* *,ij i j ijm x y A= (III.6)
Por lo tanto la masa de la placa plana de rea A , se puede
estimar mediante la doble suma de Riemann:
( )* *
1 1
,n m
i j iji j
m x y A= =
(III.7)
Si se aumenta el nmero de subintervalos, de manera que la
norma de la particin Ptienda a cero, se tiene:
( )* *0
1 1
,n m
i j ijP
i j
m Lim x y A
= =
= (III.8)
( ) ( )* *01 1
, ,
n m
i j ijDP
i j
m Lim x y A x y dA
= == = (III.9)
Entonces, el clculo de la masa de una figura plana se obtiene
mediante:
MASA DE UNA FIGURA PLANA
Considere una lmina plana de densidad variable
( ), y ,
que ocupa una regin D en el plano xy, entonces su masa,
denotada m , se obtiene como:
( ),D
m x y dA= (III.10)
El clculo de masa deuna regin D , tambin
puede emplearse para
calcular la cargaelctrica, Q, distribuida
sobre una regin D .
( ),D
Q x y dA=
Donde es la funcin
densidad de carga.
-
8/13/2019 A Plica c i Ones Integral Es
18/23
Integrales Mltiples y Sus Aplicaciones
Determine la masa de la placa plana limitada por las curvas
2
1x y= y2
2 2x y= , cuya densidad es igual a la unidad.
Recuerde que la densidad se calcula como ( ),D
m x y dA= , por
lo tanto para esta placa se tiene:
Dm dA=
Ahora, se debe identificar la regin D para definir los lmites deintegracin.
Figura 3.17
Regin D del ejemplo 3.7
Entonces la reginDest definida como:
( ){ }2 22 2 1 1 1D x, y y x y y=
EJERICIO 7
Valor dexala salida deD
2 1x y=
Valor dexala entrada deD
22 2x y=
D
-
8/13/2019 A Plica c i Ones Integral Es
19/23
-
8/13/2019 A Plica c i Ones Integral Es
20/23
Integrales Mltiples y Sus Aplicaciones
Tomando el lmite cuando el nmero de subrectngulos aumenta
en la expresin anterior:
( )* * *0
1 1
,n m
x j i j ijP
i j
Lim y x y A
= =
= (III.14)
( ) ( )* * *0
1 1
, ,n m
x j i j ijDP
i j
Lim y x y A y x y dA
= =
= = (III.15)
Anlogamente, el momento esttico alrededor del eje y, que se
denotay
, se obtiene como:
( ) ( )* * *0
1 1
, ,n m
y i i j ijDP
i j
Lim x x y A x x y dA
= =
= = (III.16)
MOMENTOS ESTTICOS DE FIGURAS PLANAS
Sea D una regin del plano xy, tal que su densidad viene
dada por la funcin 2: , la cual es continua
( )x, y D , entonces el momento esttico alrededor del eje x,
denotado x , se obtiene como:
( ),xD
y x y dA= (III.17)
Mientras que el momento esttico alrededor del eje y,
denotadoy
, se calcula como:
( ),yD
x x y dA= (III.18)
-
8/13/2019 A Plica c i Ones Integral Es
21/23
Integrales Mltiples y Sus Aplicaciones
Determine los momentos estticos de la placa plana descrita en el
ejercicio 7
Solucin:
Los momentos estticos se calculan de la siguiente manera:
( ),xD
y x y dA= y ( ),y Dx x y dA= .
Entonces:
( )2
2
1 1 12
1 2 2 11 0
y
xy
M ydxdy y y dy
= = =
2
2
1 1 14 2
1 2 2 1
3 3 83
2 2 5
y
yy
M xdxdy y y dy
= = + =
EJERCICIO 8
La regin del ejemplo 3.7se muestra a continuacin
Y se encuentra acotada
por las curvas
2
1x y= y 22 2x y= .La densidad es :
( ) 1x, y =
( ) 2 22 2 1
1 1
x, y y x yD
y
=
-
8/13/2019 A Plica c i Ones Integral Es
22/23
Integrales Mltiples y Sus Aplicaciones
CENTRO DE MASA
El centro de gravedad de una figura plana D, es un punto P de
coordenadas ( )x , y D , en el cual la regin se equilibra
horizontalmente. Las coordenadas de este punto se obtienen de
las ecuaciones:
yx
m= (III.19)
xym
= (III.20)
Donde tanto la masa de la placa plana como los momentos
estticos se calculan por medio de integrales dobles.
El centro de gravedad
tambin es llamado
centro de masa.El significado fsico delcentro de gravedad, es
que la lmina secomporta como si sumasa estuviera
concentrada en ese punto.
El centro de gravedad
recibe el nombre de
centroide cuando ladensidad es constante.
-
8/13/2019 A Plica c i Ones Integral Es
23/23
Integrales Mltiples y Sus Aplicaciones
Determine el centro de masa de la placa plana descrita en el
ejercicio 7
El centro de masa es un punto ( )P x , y D , tal que sus
coordenadas se obtienen empleando las ecuaciones III.21 y
III.22. Como ya se calcul la masa y los momentos estticos para
esta regin, entonces slo queda sustituir en las ecuaciones III.19
y III.20
865
4 5
3
yMx
m= = =
00
4
3
xMym
= = =
CENTRO DE MASA
Sea D una regin del plano xy, tal que su densidad viene
dada por la funcin 2: , la cual es continua
( )x, y D , entonces el centro de gravedad viene dado por:
( )1
,D
x x y dAm
= (III.21)
( )1
,D
y y x y dAm
= (III.22)
Donde m es la masa de la placa D , que se obtiene como
( ),D
x y dA .
La regin del ejemplo 3.7est acotada por las
curvas 2 1x y= y22 2x y= .
Su densidad es :
( ) 1x, y =
Y adicionalmente seobtuvo:
2
2
1 1
1 2 2
4
3
y
ym dxdy
= =
0
8
5
xD
yD
M ydA
M xdA
= =
= =
EJERCICIO 10