A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

51
A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials Somnath Ghosh * , Kyunghoon Lee 1 , Prasanna Raghavan Department of Mechanical Engineering, The Ohio State University, 206 West 18th Avenue, Columbus, OH 43210, USA Received 13 June 1999; in revised form 13 April 2000 Abstract An adaptive multi-level methodology is developed in this paper to create a hierarchy of computational sub-domains with varying resolution for multiple scale problems. It is intended to concurrently predict evolution of variables at the structural and microstructural scales, as well as to track the incidence and propagation of microstructural damage in composite and porous materials. The microstructural analysis is conducted with the Voronoi cell ®nite element model VCFEM), while a conventional displacement based FEM code executes the macroscopic analysis. The model intro- duces three levels in the computational domain which include macro, macro±micro and microscopic analysis. It dif- ferentiates between non-critical and critical regions and ranges from macroscopic computations using continuum constitutive relations to zooming in at `hotspots' for pure microscopic simulations. Coupling between the scales in regions of periodic microstructure is accomplished through asymptotic homogenization. An adaptive process signi®- cantly increases the eciency while retaining appropriate level of accuracy for each region. Numerical examples are conducted for composite and porous materials with a variety of microscopic architectures to demonstrate the potential of the model. Ó 2001 Elsevier Science Ltd. All rights reserved. Keywords: Multi-level model; Voronoi cell FEM; Particle cracking; Adaptivity; Elastic±plastic 1. Introduction Heterogeneous structures with second phase inclusions or voids in the microstructure are conventionally analyzed with macroscopic properties obtained from homogenization of response at smaller meso, micro) length scales. The mathematical homogenization theory, which uses asymptotic expansions of displace- ment, strain and stress ®elds about macroscopic values, has been used as a tool for analyzing multiple scale responses in Benssousan et al. 1978), Sanchez-Palencia 1980), Parton and Kudryavtsev 1993) and Bakhvalov and Panasenko 1984). The method is based on the assumptions of spatial periodicity of mi- croscopic representative volume elements RVE) and local uniformity of macroscopic ®elds within each RVE. It decomposes the multiscale boundary value problem into a decoupled set of microscale RVE International Journal of Solids and Structures 38 2001) 2335±2385 www.elsevier.com/locate/ijsolstr * Corresponding author. Tel.: +1-614-292-2599; fax: +1-614-292-7369. E-mail address: [email protected] S. Ghosh). 1 Present address: Scienti®c Forming Technologies Corporation, Columbus, OH 43220, USA. 0020-7683/01/$ - see front matter Ó 2001 Elsevier Science Ltd. All rights reserved. PII:S0020-768300)00167-0

Transcript of A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

Page 1: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

� ���������� ����� ���� � ����� ��� ������� �� � � �� � ����� �� �������� �� ������ � ���� ��

���� �� ����� �� ��������� ��� �� �� � �� � �� �

���������� ��� ������ ������������ � � � � ����� ����������� ��� ���� ��� ���!�� "�!�#!�� �$ %&���� ��

������ �� ��� �!!!" �� ������ ���� �� ����� #$$$

��������

�� � ���� ���������� ����������� �� �������� �� ���� � ��� �� �� �� ���� ��� �� ����� ���� � ��%���� ���

&��� ����� ���������� ��� �������� � �� ���%����' (� �� �������� �� ���������� ������ �������� �� �� %��� � ���

������� � �� ����������� � � ���� � &��� � �� �� ) ��� ������� �� ���� � ���� �� ����������� � � � �� ��

�������� �� ������ � ���� ��' *�� ����������� � � ����� �� ������� &��� ��� +������ ��� ,���� ������� �����

-+./012� &���� �������� � ����� ����� % ��� /01 ��� �3����� ��� � ������ � �����' *�� ����� ������

���� ����� ����� �� ��� ����� ���� � ��� �� &��� ������ � ��� � ��4���� �� �������� � �����' (� ����

������� ��� %��&��� �������� � �� ���� � ������� �� � ���� ���� � ������ ����� ����� ����� ��������

���������� ��� ����� �� 5������ �� � 6��������7 ��� ���� �������� ����� �����' .������� %��&��� ��� � ��� ��

������� �� ������� ������������ �� ��������� ������� �������� ��������5 ����' �� � ���� ������ �����,�

���� ���� ��� ��� �8���� &���� ��� ����� ������� �� ���� �� �� � ��� � � ������' 9����� � �3 ����� ��

������� ��� �������� �� ������ � ���� �� &��� ����� �� �������� ���������� �� �������� �� ��� ������� �

�� ��� �����' � #$$� 0������ ����� ���' ��� ������ �������'

'��(�)�* 1��������� �����" +������ ��� /01" � ����� � )���" �� ������" 0� ���4�� ���

� ���� ������

:������������ ��������� &��� ����� �� �� ��������� �� ���� �� ��� ������������ �� �������� ��� � ��5�� &��� � ������ ���������� �%� ���� ���� ��������5 ���� �� �������� � �� ���� -����� ����2������ � ���' *�� � ���� �� � ��������5 ���� ������� &��� ���� �������� �3� ������ �� ����� ������� ��� �� �� ������ ,���� %��� � ������ ����� � � %��� ���� � ���� ��� � ��5��� �������� � ����������� �� ;������� � �� �' -�!<=2� � ���5�� ���� -�!=$2� � ���� �� ����� ��� -�!!�2 ��; )� �� �� � � ���)� -�!=>2' *�� ������ �� % ��� �� ��� ���������� �� �� �� � ���������� �� ��������� ��������� ��� ����� �������� -�+02 �� �� � ���������� �� � ������ ,���� &����� � ��+0' (� ��������� ��� ������ �� %���� �� ��� ���%��� ���� �������� ��� �� ����� �� �+0

(����� ���� � ���� � �� ������ �� ��������� �= -#$$�2 #��?4#�=?

&&&'�������'��@�� ��@�A������

� .������������ �����' *��'B C��D�>�#!#�#?!!" � 3B C��D�>�#!#�<�D!'

�+���� �))����* �����'?E���'��� -�' �����2'� ������� ������B ������, /������ *���������� .����� ����� .����%��� F: >�##$� G��'

$$#$�<D=�@$�@H � ��� ����� � ���� � #$$� 0������ ����� ���' ��� ������ �������'

�((B �$$#$�<D=� -$$ 2$$�D<�$

Page 2: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

���%��� �� � ��� �� ���%���' .�������� ,���� ������� � ����� �� �3����� � � � � �� ��� ������� ���� �� ����� %��&��� ��� � ���' 1������� � �� � ����� �� ���� � �� ��� ��������� ��������� %� ���������� � � %��� ������� %� /��� �� ;���)� -�!!?2� /��� �� I ��� � -�!!�2� ������ �� ��)���-�!!�2 �� :�������� �� ��)��� -�!!#2' /�� �������� � � ���� ��� ��� ��������5 ���� ������� � � %����3������ %� ��J��� -�!=?2� /��� �� �' -�!!<2� ������ -�!!$2 �� .���� -�!!#2' *�� ������ � � ��� %�������������� �� ����� �� � � �� %� ,%��4� ���3 ��%������ �� ���� � �� ����� ��� %� ���� -�!=D2 �� ,%��������� ����� ������������� � � � �� ����� %� K����� �� �' -�!=!2'

K������ ��� � �� ���� �������� ��������5 ���� � � ��L���� ����������� ������ ���� �8���� �� �� � ������� �����' 0������� ����� ���� � �L���� � ������ &��� ���� ������ ��� �� ��� � ��� � � � � ������ ���� ����� �� ��� � ������ ������ %���� �� ��� ���%���� �� ��� ����������� ��+0 ������ %� ����� �&��' *� ������5� ����� ������ � �� ������� � � ������ ������ ���� ��������� �� ��� �������� �+0' ��� ��� ��5 ����� � � ��&��� %� ���� ����� ��� ������ ���� �� � ����� � ����� �� � �� � ���� ��' *�� ��������5 ���� ������ � � ������ � A�� ����� ���� �������� ���� ���% �� ����������� �5' - 2 ���������� �� ��� � ������ ,���� &����� � � �+0 �� -%2 �� �� � ������������ ��� �+0' *�� ���������� ��������� �� ��� ������� �� �� ���� � ������� �� ���� �� ������� &���� ���� ������ ,���� � �� ������� %��' /��� ������ ������ ��� � ��� )�� �����%������ �� � ���� ��������������� �� ���� ������ ���� �� ��� ������� �� ������ �������� � � �� �� ���� %����� �� ���������� � ����� �� ��������������' /����������� �� ����� � ���������� ������� �� � ��� �+0 � � %� ���� ����� ��������� ��� ������ �����%������ �� � ������ �����' /�� ����������� �������������� ��8������� ��� �������� ������ %� ��������� � �+0 ��� ��������5 ���� � �����' G��� ��� ������ �� �������������� �� ���� ������' 0�� ������������ �������� �� ��������5 ���� � � %� ����� ���� ��� ��� %��' ���& �L���� ���% �4�� � �����J��� % ��� �� ���� ��� � ������������ �� ������������� �� ,��� ��� %��� � � %��� �������� %� ;������)� �� �' -�!!>2� ��%%��� �� ����� -�!!D2 �� :����� -�!!?2'� � �� �� ��%�)� -�!<>2 � � �������� ��� %�� )��&� �� �L���� ������� ������ ��� �������� � ���� ��� &��� ���� ����� �� ��� ���� ��� ���% �4�� � �����J���' /��� �� ;���)� -�!!?2 �� /��� �� �' -�!!>2� � ���� ���% �4�� � �����J��� &��� ��������� ������� �� �3���� ��� �������� � �� �������� �� ����������� � ���� ��' M���� �� �' -�!!D2� F��� �� M���� -�!!<2 �� F��� �� �' -�!!!2 � � �������� ��������5�� K������� ���A����� ������ -:K�12� &��� ������� ��� ����������� � �L��� � ��L������ ��� �� ��� � ������ �������� �� ������������� ���������'

�� ������ �� ��� ����� ���� � ������� ��� �������� � �� ���%���� ��� ��� ������5��� �&� ����� ��������� �5' ��� �������5 ���� ����� �� ��� �������� ����� ��� �� ��������5�� � ���� � ���������� ��������� �� F��� �� M���� -�!!<2 �� F��� �� �' -�!!!2' (� ��� ������� &��)� � � ���� ���������������� �� �������� �� ������ ��� � ���� ���� �� �������� �����' (� �� ���� � �������� ��� �� � �� � ����� �� �� ���4�� ��� �������� �� ������ ��������� &��� ����������� � � � ��' *�� ����� ��������� ���� � ���� ��� �� ���������� ������ ��� �������� �� �� %��� � ������� � �� ����������� �� ���� � &��� � �� �� ) ��� ������� �� ���� � ���� �� ����������� � � � ��' �� ����� �� ������������ � �������� &��� �%��� �� ������%������� �� ��� �� ��5�� �� ��������������� �� ���������� ���� %���� +������ .��� ,���� ������� ����� -+./012 -1������ �� ������ �!!D� �!!=" ����� �� �'� �!!<2' ����� ���� �� ����� ���� � �8���� &��� ��8���� �� � �� ���������� � � %��� ����� ��� �� ��� �� �� ���4�� ��� � ���� �� %� ���� ������' ���������� � � �� %� � ����� � )��� � � %��� ���� ������� �� 1������ -�!!=2' �������� � � ���� +./01 � � %��� ���������� �������� %� 1������ �� ����� -#$$$2� &���� ������� � �� ���� �� �3����� �� �&� �������� �� ��� % ��� �� ������������ �� ���� �� ����� �� �����' (� ��� ,��� �� ��� ����� ����� ������� � �� ����� �� ����� ��� %� ����,������ �� ����������� ��� ����� &��� �� �����&�� %� � ��������� �� ������ �������� �� ����� �������� �� )���� �� ��� �����'

/�� ������� �+0 �� �� ��� �� �� ���4�� ��� � ���� ��� ��� ����������� � +./01 � � %��� ������&��� ������� � � ����� ���� %� ����� �������� ��������5 ���� �� ����� �� �' -�!!?� �!!D2' *��������� � ��� ��� ���%����� &���� ���������� �� � ������ ���������� �� �� ����� � ���������� ��

#��D �, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3

Page 3: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

J������� %��' .����J������� �� %����� ����� �� �� ��������� ��%�� ���� �� ��������5 ���� �����% � �� � �������� &��� �� �������� � ������ )��� ��� �� ��� � ) �� ������ )��&����� �� ������� �� ���J���� ��L������ � ����������' *�� ���������� ����������� �������� �� ���� � ��� �������� ���� ����� %���L������ ���� %��&��� �������� � �� ���� � ������� �� � ����� ���� � ������ ����� ����� ������������� ���������� ��� ����� �� 5������ �� � 6��������7 ��� ���� �������� ����� �����' *�� 5�������� ��������� %� �������������� �����J�� �� �� � �� ����� &���� � ������ �������� �� ���������� �������� �� ������� �� ����� �������� �� ������' ����� ��� � �� ����� �� % ��� �� �� � ����� ����� 6�����7 �� �������� �� ������' *�� ����� ����� �� ��� �� � �� ���� �� �����%�� �������� �� �������� �������� �#' *�� � ��� ��������� ����� ����� �� ��� ����� ���� � ��� ��� ��� - 2 ����� � ������ � ����� &��� ��������5�� � ���� � � � ������� -%2 � ��4�������� � ����� ��� ������� �+07� �� -2����� �������� � �����' �������� ��� ��& & � �� ��������� ����&��� ��������� �� ���4�� ������������� ����� �� ��������� �� ���� � ���' *��� ����� ����� ��� ��� ��� ��� �� ����������� ����������� �� �� %���' � ���%�� �� ������ � �3 ����� �� ����� &��� ����� �������� ����������� �� ������� ��� ���������� �� ���� ���������� �����'

� ��� ��� �������� ��� �������� ����� �� �����

1������� � �� �������� �� ������������� � ���� �� �� ����� �� �� ���������� ���� ��� �� �� � �� %����� � ��� � �� �� ����� ���' �� �L���� ����� �� ���� � �� ��J����� �&��& � ������� ����8���� ��������� � &��� � ��� �� �� ��������� ���� �� ��� ����� �� �� %��� � ��L����� � ���' *��,��� �� 6%����� ��7 ������� ��� ��� �������� ���� �� �J�� ���� ����������� %�� ��� � � ����������� �� � ������� �� ��� ����������� � �������� �� %�� ��� �� ��� ���������� �� ���� %�� ������������ �� ������ �� �� �� ��� ��������' (� ��� ��������5 ���� ��������� � ���� ��� �+0 � ��� � �� ��������,�� � ����������� � � �� �� ��������������� -/��' �-%22' *�� � �� � �� ��� �+0 ��� �� � ��� �� � ���&��� ������ �� ��� � � ������� ������ � �� �������� ���������������� %�� �� �����, ���� �� �� ��� ���

/��' �' � ������������� �������� ���&��� ����� � ��� - 2 *�� �������� � ��� � ������ � �� �� ������ �� �� -%2 � ������

���� ��� ����� ������� -�+02 � ��� �������� � �� &��� ��� +./0 ����� �� -2 � +������ ��� ������� � ��� � �� �� ������

������������� �� % �� ������� � �������'

�, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3 #��<

Page 4: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

�� ��� � ������ ������ � �� � �� ��� �������� �� ������ �� ��' :�������5�� �� %��� � ��� � ������� � �� �� �%� ���� %� ����� �� ���� �� �� %��� �� ��� �+0� �����&��� ��� ��,������B

� � �� ��� ��

�� ���� ����� &���� �� � �

���� � ���

*�� �������� ��� � ������ ������������ ������ �� ��� :���41 ���� ���������� -:���� �!D?2� ������ �J�� ���� �� ��� �� ������ ��� ��� �� � �� �J�� ���� ��������5�� ���� ' *���� ��� �� ��� ��� ������%�� ������ ,��� ���� �� )���� �� ��� ������%�� ��� �� ,��� �����

�� � ��� � ���� � ���� � � � � �#�*�� �������� ������ ���� �� ��� �� ���� ,���� � �������� ��� ����������� �������� -#2 � � %� �%� ����%� ������ %���� �� ��� ���%���� ��� ��� �+0 5 &��� ������%�� ����������� ������@��� �� �� ����������� %���� �� ���������� �� ��� �

������� �� ���� �% � ���� ���� � � ���� �� �� �

������� ��� �� �% � ���� � �� �� �

� ����������� �% � ���� �� ����� � ���� �� ����� ���� �� �� � ���&���� � �� �� � �� � �� �������� �� �� �� ��� ������ �� 5�������� ����� ����� �������� ��� ����������� � �� � ������% ����� �� � ������ ��� �� % ��� ����� ����� ,����' *�� � ������ �����������J� ����� �� �%� ���� %� ������ %���� �� ��� ���%��� �� ��� �+0 5 &��� �� ��� �� ��� ����� ���� ��%���� �� ��������� �� 0J�' -� 24-�2� �����&�� %� ��� �� ���� ������ �� 0J' -�2' /�� ���� � �� ������������� �� ��� �� 5� ��� ��� ���� %��&��� ��� ��� �� ������ �������� � � %��� ��� %������ �� ��J���-�!=<2 �

��� � ���� � ���� ��� � ��

��� � ���� ��� � ����� � ��� �� � �!� �>�

&���� ������

������

���� ��� ����������� ��� ��������5�� ���L���� ������� � �� ��� &��� ������� �� �����

���������� �� ������� ��� �� %���� �� ���������� �� ��� �� ��� � ������ - ������ �� �� ���2 ��� ��,���' *�� ��L����� �� ���L������ &��� ��� )���� �� �� )����� %���� �� ���������� ����� &��� ����� ���� ��5�� �� 5' (� �� ����� ��� ������� %� :�������� �� ��)��� -�!!#2 �� � ��� ��� � �� �+0 ��5�� ������������� %���� �� ��������� �� �3����� �� ����� ���� �� �� �� ����� ��� ��������5�� ����������� � ������ �� � ������ ����������'

*�� ����� ������� �� ��� 6��� ��&�7� &���� ��� �������� �� �� %��� �� � �� ��� �� ��� ������������� ���� )��&� � ������ �� %���� %� ������ ������ � �����6����' (� ����� �������� &������� ������������ � � ���� �+0 5� ��� �������� �� %��� � %� � �� ��� %� ������ %���� �� ��� ���%��� &��� ������� � ������ ��� ��� �� ��� �� � ���������� �������� �� 0J' -�2' (� ������������� &���� ���������� �� �� � ���������� �� ��� �+0 � � %� ���� ������ ��� �� ��5 ���� ������ &������ �� ����� ������ ��� �� ��� ����������� � �� � ������ �������'

� � �������� �� �� �� ��� �������� �!����� ������

(� ��� ������ �� ���� �&��& � ������� �� �������� � �� ���%����� ��� ����� ���� � ��� �� �� ����� ��� �� � ������ ��������� ���� ����� ����� �� ���� ��� % ��� �� ��� ��J��������� �� ��� ����������'��� ���� ��� �� �������� �� ���� �� ����� ���� � �8���� � &��� � �� � �� �������� ����������� �� %��� � ��� �������� �� ����������� � � ���' �� �������� �� ��� �� �' -�!!!2� ��� ����� ������������5 ���� �� ����������� � �+0 ��������� �� � �� �� ��������5�� ���������� �� � ��� ��&�

#��= �, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3

Page 5: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

��� � ��� � �������� �� ������ � � ��' *�� ����� ����� �� ���� ��� &��� ��J��������� �� ���� �������������� -/��' #2 �� � �����&�B

-�2 .����� ���� � ��%��� �� �����$B *���� ��������� �� �������� � � ������ ������� �� /��' #- 2�&���� ������ ���� �� %��� �� ��� ����� ������� �� ���������� ��������� � � %� ������ ��� ������������� � ���� � �+0' � �� �L��� �� �������%�� �� ���� ������ �� �� � ���������� ��� ����� � � %������� ���� ������ ��� �� ��� �+0 ���� ���� 5��� �����' .�������� ���� ��������� �� ���������������� ��� ������ �� � �� ��������� &��� ��� �� � ����������� � ������������ �� �������� ���� ������ �������� �� ����� �������'

*�� �����$ � ������ ����� ����� �� ��� ���� %� ������� ��,������ �� �� � �� ���� ��� �&��� ����' *�� ,��� �� �� �������� �� ����� ����� 6����� �� ����7 �� ��� � ������ ����� ���� ������' � ����� ����%��� �� �� � �� �� %��� ��� ����� ���� � ����� �� 65��� ��7 �� ������� �� �������������������� ��� �� �������� ���������������' *��� ������ ��� ���� ���� �� ��5� �� ��� � �� ������ � �� �������� %� ������� ��,������ �� � ������ �������� �� ��� ���� � ������� � ���&� ��/��' # '

-��2 .����� ���� � ��%��� �� ������B *���� �� ������� �� � � � �������� �������� ���������������� �� ��������� � ������ ���������������� -/��' #- 2 �� -%22' ��������� ��� ����� ����� �� ������ ������� �������� ���������� �� ��� ���������� �� � � �� �� ���� %������� �� ��� �+0 �� �����%���� ���� ����' /�� �������� � �� �� ���� � �� � ����� ��� �������� ��������5 ���� ��������

/��' #' � ���� ��� � ���������� ����� ���� � ��� ��" �����$ ��� � ��� �� �������� �������� - 2 ������ ��� ������ � ���

�������� -�+02 �������� &��� �������� ��������5 ���� �� -%2 �����# ��� ���� �������� ��������'

�, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3 #��!

Page 6: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

&��� �� % ��� �� ��� �3������ �� � �+0� �� ����' 1 ������ ������� ��,������ %� �� � �� ������������ ��� ���� ����'

-���2 .����� ���� � ��%��� �� �����#B *���� ���� � ������� � ���� ��5� &��� ��� �������� �� ������������ � � � �� �� ��� ���� �� ����� ����� )� �� ���� %������� -/��' #-%22� �� ���� �� ���� � ������� ,��� �� ������' *�� ���������� �� � ������ ���������� �� �� � ���������� �� ���� �����' *��� ��5� � �� �L���� �� �� ��J����� �� � ��� ������ � ��4���� ����� ���� � ����� �&��� �� ����������������� ������ ����� ����� � ��� �������� �� ��� ������������' � ��� ���� N�& � �� �� ��� � ���� ���� ��� � ������ �� ������� �� /��' �'

/��' �' /��& � �� �� ��� ��J���� �� ���� ����� �� ��� ���������� �� �����'

#�>$ �, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3

Page 7: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

*�� ��%��������� ����� ���� � ��� �� �� ������ ��� � � �� ���4�� ��� %��� �� � ���� � ��� ���1�* �� � ������� �� ������� �1�*��� ��� &��� ��� �+0 �� ���� ��� ������� ���� �� ��� �� ��������1�*���� &���� ��� ���������� ���������� �� ��� ����� �'�'

�1�*��� �� � �1�*������ �� �1�*������� ��� �?�*�� � ������ ������� �� ���������� �� ������� ���������� �� ���� ���� � ��� ���%�� �� �+0� 5� �'�'

�1�*��� � �������

��1�*���� � &���� ��1�*���

� � �����

�� � �D�

:��� ���� ���������� �� ��� ���%�� �� ��L����� �+07� � �� �� ��� ������� �������� �� ��� �� �� �� �

��������� � ���������� �� ��8������ � ��� ���%��' *�� ����������� ������ �1�*���� �� ��,��� � ������ �� �� ����������� � ������� ��� &��� ��� ����� �+07� �� ��� ���� ���� �'�'

�1�*���� � �������� �1�*����

� � �� � �� � $ �� �� �� �<�*�� �����$ �� ������ �� ��� ����� ���� � ��� �� � ��������� �� ��� ������� �������� &���� ��� �����#%������ �� ��� ����������� ������� �

��$ ��� � �1�*���� ��# � �1�*����� �=�

" #�������$����� ���% &������ ���� '���� ������� ���%�

%,�, �������� �����6���� (�� �������!��!��� ����)�����

.������� ������������� �������� ������� ������ ��������� -/��' � 2� ��� &��� ��� ������������������������� ���������� �� �� �� ��� ���� ��� �+0� 5-�2 %��� � ������ ����� � � ���&� �� /��'�%' *�� �+0 �� �������5�� ���� ���� �� +������ ����� &��� � ��� ��� ���� ���� ��� ������������ %�K������� ������� ����' (� ��� +������ ��� ,���� ������� ������ -+./012� � � +������ ��� ���������� % �� ������� � ������� -;�02� &��� �� ��� �����%������ �� ������������� �� ��� ������������' *������������ �� ��� 5-�2 �� ���� ��� ��� �� �� �� ��� ����� &��� ��� ������� � ���������� 7� �'�' �� �� ��� �� �� ������� ���%�� �' K�� �� �� ���� �� �������� �� �� %��� �� �� �� �����%������ � �� ���� ������ ����� �� �� �� %��� �� ������ �� �3��%�� ��������� �� %��� ������ � ��� �'�'�� � ���� ����� &���� � � ���' *�� ���������� � ������� ���� ���� �� ��� ������� &��� ��� �&� ������� ��� �� ���� �� ���������� �� ������� ������� � �� ����������� � ��� ��' *�� ��������� ��������� ���������� �� ��� ������������ %��� � � )�� ��� ��������� �� ��� ������� �� ��� ����� 5�������� -; )� �� �� � � ���)�� �!=>" ������ �� ��)���� �!!�" :�������� �� ��)���� �!!#"K����� �� �'� �!=!2' /�� �� �� ������ ���� �� ������ ������� ��� � �� ����� �� ��� �J����%����� )���� �� �� ���������� ��� ����� �� ���� �

0J����%���� ������ � � ��� ����� ��� ����� � �

#

� � ������

�� � � ������

��

.���������� ���� � ��

��� ����� �� ��� �!�

&���� ������� ��� ������� �� �� � � ��� �� �� 5�������� � ��� �� ������� ��� �� �� ����� ����� ,����� ������

�����' /����������� ��� ������� %���� �� ��������� � � %� ����,�� �

� � ��� �� � � � ��� �� ��� �� �+0 %���� �� �� �� ���� �� ��������� ���� �� � ��$�

*�� 5�������� ����� ����� � �� ,��� �� ����3�� ��� %� � �������� �3� ����� %��� � &��� ������ ����� � � ����� �B

�, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3 #�>�

Page 8: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

� � ��� � � $ ��� �� � � � �

��� �� � �# � # ��� �� � � � � ���� ����

9����� �� � ��� �� �� � �� ���� ��� �� �� ������� ������� �� ��� �&� ������ � ��� �� �� ���� �

����

� �� ���

� �

��� ��

��� �

����

� ��#�

��� ������ � �� ������ ���� � %� �3������� �

���� �

���$� � ���

� � � ��#� � �# ���

� ����

&����

��$� � ��

���

� � $�

���� ���

� � �����

� � $�

���

�� � � �

���

�� ��#

� � �����

� � ��

���

�� � � #

���

�� ��>�

/��� 0J�' -!2 �� -��2� �� ����� ��� ���������� �������� �� ��� �+0 %���� ������

� ��� � $� �� � %������ -����� �� �'� �!!?� �!!D2 �� �

��$� � $� � $

� � $ ��� ��

� ����

���� �

��������

� � $�

���

��� � � �

���

� $� ��?�

;� ��������� ��� ����� ���� ��� &��� � �� ������ �� 0J' -��2� ��� ���������� ��� ���� �� ��� 5���� �� ���3������� �

���� � ���

� � ����� ��

��� � ��

���

� � $�

���

�� � � �

���

�� ��D�

:��� ����� �� ��� ����������� � ��� �� � �� ������� ��� &��� ��� � �#�� � $

����� � � � $������ �� � �� ���

� ������ � �� �� ���� � �#�� � �

����� � � � ������� �� ������� � N��� ���� ��� �� � �� ������ -��J����

�!=?2' K�� �� ���� ���� �� ��� � �� ���%���� ����� � �

�� ��� �������� �J����%���� �������� � %� �3�������� �

���� � ����

� ���� � $

���� � �

� ��� ���� � $

����

������ ������

� $� ��<�

(� 0J' -�<2� ����� �� 5� ���������� ������� �� ��� �� 5�������� ������� ������������ � � �������

����� �� ��� ������ ���� �� ��� �+0' ��%��������� 0J' -�<2 �� ��� ���������� ��� ����� �� 0J' -!2 ������ ����������� ���������� ��� ����� �

����� ��� � ��

��� ������

�� �����

���

� ��=�

&���� �� �� �����)�� ���� ' *�� �� � �� 0J' -�=2 ������ ��� ��������5�� �� ���4�� ��� � ����� ���������� ��� �� ��� � ������ � ������ �� ��� ����

�:��� � �����

� �� � �

�� ���������� � �

���������� ������

�� �����

���

��� � ��!�

*�� � ������ ������ �� ��� �� ��� ���� � ���� %� �� ��� �

#�># �, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3

Page 9: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

������ � ����� ������

��� �����

���

� � $

���

��

� �:��� �������� �#$�

&���� ��� ��������5�� �� %��� �� ���� � ������ ���� �� ���� � ������ ���� ' *�� �������� � �� �� ������� ���� � ����� ��� �� ���4�� ��� � ���� �� � %� ������� &��� ��� ��������5�� ������� � ���� ������ ���� �� %� ����� ��� +./01 ��� ������ ��� �������� ���%���'

%,�, � � 8��� ���� 9���� ������� ��� ) � �������!��!��� ��������

*�� +./01 � � %��� ���������� �������� ��� �������� �� ������ � ���� �� �� 1������ ������� -�!!D� �!!=� #$$$2' ��%��� �� ���������� � ������� �� ��� �� ��5�� �� ��������������� �� �� ����������� %� +./01' *�� ����� ���� � ����� � ��� ��� ����� %� K������� ������� ���� �� ��� ������������� � ���&� �� /��' �%' 0 � +������ ��� &��� ��� ��%����� �������� �� ��� �� ��� ��� � �������� �� ���� ������ ����' (� 1������ �� ����� -�!!=2� ��� +./01 ������ ���� � � %��� �3������ �������� � � �� �������� �� ��� ���� �� � ����� � )���� &���� ��� � ) �� �� ��5�� � � ������� � ���'0 � +������ ��� ������� �� ��� %�� �� � ��� �� �������� ���� �&� ���������� �� ��� -� ���3 �����������2 �� ��� � ��� ����� �� ����� �� ��� -� ���3� �������� �� � )2 �� � � ��� ����' .�������� ����� � )��� �� ��������� �� ������ �� ��� � ��� ��� ����� �� � � ��'

*�� +./0 ������ ���� �������� ��%��� ������� %� ��%����� ��� ����� �� ,���� ������� �������&��� ������ �� ������� ��� ������� �����' G�� �� ��%��� ������ % ��� ������ ���� ������� �� �������� �� �� � &��� �����, ���� ������ ������ �� �������� ��� ��� �� ����� ����� % ��� /01������' .������� ���� � ��������� ��� ����� ������� 5 ��������� �� : ��� � ��� ��@�� � � ���� ������� �� � �� ��� ���� �� � � �� ��� : +������ ��� ��������� � ���&� �� /��' �-%2' (� +./01� ����+0 5 �������� ��� +������ ��� �������� ��� �'�' � � �

�����' *�� ������ ������ ��%��� ������ ���� ��+./01 ��J����� ����������� ���������� �� � �J����%�� ��� ������ ,��� -�2 �� � � �� ��� � ���3 ���������� �� ��� �� � � ������� �� � � �

� � � � �� ��� ��%�� ����� ����� ,���� � �� ��� �������

%���� �� ���� �� �� ��� � ���3��������� ������ � �� �� ��� �� ��� � ) %���� �� ���' (� � �������� ������� ���� ��� �� ������ ������� ��� �������� � �� ���� � ������ ���� ��������� � ������� ������������� ��

��� ������� � �

���

���������� ����

� � ����

�����

��� ��� �� ��� ������ �������������� �� ���� ����������

�����

���� ���� ��� ����� �%���� �� �� �����

����

��� � ��� � � � ��� � ��� � ������ �� ���3��������� ������ � �� �����

�����

�� � ��� �� ���� � ������� �� ) %���� �� �� ������ �#��

&���� �� �� ��� �������� �� ��������� �� ������ �������' + �� %��� -���2 ��������� �� ���� � ���%�������� �� � ��������� &���� �� %��� -�����2 �� ��� ������������ ��������� �� �� � �������� ������' F��& �� ���� �� �� ���� �� �� ��� �� ������� %� ��� � �� �� ����������' ����������� �� ��� �� ���� ��� &��� ��� � ���3� �������� �� � ) �� ���� ����������� �� � � +������ ��� �������'*�� ��� � ������ ��� ��� ������ �+0 �� : +������ ���� �� �%� ���� � �� ���

��� ��� ' ������� ��� ,���

�� ���� �� ��� �� 0J' -#�2 &��� ������ �� ������ ��������� �� �� 5��� ������ ��� ������� ��� ��%����� �

�, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3 #�>�

Page 10: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

��� 0���� �J� ����� &���� ������� ��� ,��� �� ����� �� �� &��� ������ �� ��� ����������� %���� �� ������ ������ ��� ��� �� ���� �� 5���� ����� ��� ������������� %���� �� �� ���� ���������� � ���3��������������� � �� ���� ��������� �� 5��� �� ���� � ) %���� �� ��������� ����������' (���������� ����������� �� ������ ��������� �� �� � �� �� ��� � ���3 �� �������� �� ��� �� � � �������� ���� ����&��� ������ �������������� ���� ��� ������ �' (� ���� ������ ���� � ����� �� ����7� ������ ����������� �� �� ��� �� ����� ���� � �8����� � � %��� �������� �� 1������ �� ����� -�!!D� �!!=2 ����J����%�� ��� ������ ,����' *�� �������� � ���� �� ������ ������ ���� �� � ��� ������ � �� � )%���� ��� ������� ��� ��� �� �� �� ��� �������� �� � ) �� ��� ���� � ����� �� ���� ��������� ���� ������ �� �� �� ���' /����������� ���� �� � � � ��� ���� ��� ���� ��� ������ ��' .��� ��%������� ����� ��������� �� ����� ��� �� � � �� ��� %���� ����@������ �� ���� �� �� ��� %� ��������� ���� ��� � ����� ������ ����� �������� � �� �� ��������' *�� ������ �� ����� ����� �������� ������ � %� �3������� �

����� � �(���� �������� ��� � ���3� �� ���� � �(��� ������� ��� �������������� � �)����*� ��� ������� %���� ��������� � �)���*�� ��� ������ ��� �� ������ � �)����*��� ��� � ) � ��� �##�

&���� ��*�� ��*�� �� ��*��� �� ��� ��� � ����� ����� �������� ������ �� �)��� �)� �� �)�� �� ��������������� �������� ���� � �����'

%,&, "!����� ��������� �����6���� (�� 8��� ���� ���� ������� �)��

(� ��� �������� � ������ ����� ��� �J����%�� ��� �������� ������ �������� ���������� �����-� ���2 �� 0J' -�<2 �� ��� ����������� � ��� �� ��������� �� ������ ��� � ��� �� 0J' -�D2' ������ ���� ��� ��������� �� �������� ����� ������ �� ��� ��� %���� ���� ��� �� ������,�� &��� ��� �� 0J'-�<2 �� ����� �� ��� ������ � �� � ) ���� � �� ������� %� ���� �� ������ ����������' (� ��� %������ �3����� �� ���� %���� ���� ��� �� ���������� ��������� �� ��� %���� ��� ��� �������� � ������������� � ��� � � +������ ��� ������� �� 0J' -#�2 �� ����,�� ��� ��� �������� ��������5 ���� ������ �

��� � �

���

#�������

����

��� �� �

���

�� � �����

�����

��� � ���� �� ��� � ������� ����

���� � ���� � �� � ���� � ���� � �������

�����

��� � ���� �� ����� � ����� � �� ����

��� �������� � �#��

&���� ����� �� � ���� �� ����� �� ���4�� ��� ����� �� ������' *�� � �� ���� �� 0J' -#�2 ������� ��� ���

�L�� �� � ������ ��� ��� � �� ��� ������������' *�� �� ���� �� �������� �� ��� &��� ������ �� ������

�������� ���� ������ � 0����7� �J� ������ ��� �������� � ���� �� )���� �� ��� �����

��� � ���� � �� � ��� � �� � � � �

����

�� ��� ������� � ���3 �� �������� �� ���� �#>�

�� ���� ���� �� ��� ��� � ������ ������� � �� ������ �

�� &��� ������ �� ����� ����� ��������� � �

� � ��

�� � ��� � ������ �� ��� �������������� ������ � �� � ) %���� �� �� ���� ��������� ���������� ���

��������'

#�>> �, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3

Page 11: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

���� � ���

�� ���� � ����

� � ����� ���

� �� ����

���� � ���

� � �� � ����

� � ����� � �

� �� ���

���� � ���

� � ��� � $ �� ���� �#?�

*�� �������� +./01 ������ �� �3����� ��� �&� �������� �� � � �������� �� ��� � ������������' *�� ,��� �� �� � �� �� ��� �������� ������ ��������� ��� ���� ��� ���� ���� �� ��� � ������� ��� �� �� � ��� %�������� �� ��� ����� �� ��� �������� ���' *�� ����� �� �� ��� �� ��� ����� �� ����� ��������5�� � ����� ������� �:

��� � ��� ��� �� ��� �������� �� ��� � ������ ������' *����� ��� �� ��� ��� ���� �� �������� ������ �� ��������5�� � ����� ������� ��� ���� �������� ������ �� ����� �� �' -�!!?� �!!D2' *�� +./01 �� ������� ��� �� � ������ � ����� ������ &��� ��������� � %���� �� ��� %� ��� ��������5 ���� ��������' *�� � ������ � ����� �� ��������� ����� ����� ����� % ��� ,���� ������� ��� &��� �� �� ��� �� OG�K> ��������' 9����� � ������ ���� �� ������������� ���� ��������� ������ ������ ���� �� ������ �� ������ -��� �� ��)���� �!=<2' 1 ���� ����������� ��� ����� � � � ������ ���� ����� �� �������� �� �%� ���� ���� ��������5 ���� �� ��������� +./01 �������' 1������� �������� ��

� �� �� ��� �� ����� � ������ �������� ��' *�� ��������� +./01 �� ��� ���)�� �� � �� �� ��� ��������5�� �� ���4�� ��� � ����� ������� �: %� ������� ���� ��������� �� � ������ ��� ��'

+ ,������������ ��� ����� �� ���- �� �%� %������%���� �� ��

�����$ ���������� �� � ������ ������� -��$ � �1�*���2 �� /��' # � &���� ������ ���� �� %��� ��)��������� �� ��� ��� �� ��� ����� ������� �� ����� � ������ %�� ���' � �� �L��� �� �������%�� ���� � ���������� ��� ����� � � %� ������ ���� ������ ��� �� 5��� �+0 ����� �� ��� ����� �� ����������'(� �� ������ �� � � ������ � ����� &��� ��������5�� ���������� ��� ����� �� ��8���� ��� ������������' ���������� ���������� ��� ����� &��� ����� � � ������ �� �������� ��� �������� � ����� ��������������� ������������� &��� �� ���4�� ��� ���������� �� ���' *� ���� ��� ��� ��� ��� �� ������������ � ����������� ��� ���������� ����� �� % ��� �� �&��� �� � ����� ����� ��� �������� ���������5 ���� ������ �� ����������� � � ����� %� +./01' � �������� ���������� ����� ���� ��� ��� �� ����� ���� � �8���� ��� �&��� �� � �����'

3,�, � �������4������� ������!���� �)��

+ ����� �������� ���������� ������ � � %��� ��������� % ��� �� ���� ��� � ����� �� �������� �� ������ �������������' F�� � � ����� �� ��� ������� � �������� &��� ���������� �� ���������� � %��� ��������� �� ��� �� .��� -�!!�2 �� P�� �� �� �� -�!!?2 ��� �������� � ���� ��� &������� � � ����� �� ���������� %� �� �� �J� ��� ,����� �� ���� ��� � � ������� ���������' ; � �� �' -�!!�2� � ���� ��� � �� � ������� �3������ ��� ��� �������� � ��� ��� � ���3 � ���� �' � &����� ������������ ���������� ����� ��� ������ � ���� �� �� �� � �� ������ -�!<<2� &��� � � %��� ����,�� %�*��� �� -�!=#2 &��� ���� ��� � ����� �� ������� �� ��� �L��� �� ��� ���&�� �� � ������' ;���������� ����� ����� �� ������������ �� � ����������� � ���������������� ���%�� �� ����� ���������� �������� ��� ��J� ���� ����� �� �� ����� �� ���������� � � ������ &��� ������ ������ ���� �� ����� ���� ��� ���������� ���������' *�� � �� ��)��� -�!!?2 � � ����� �� ������ ���� %� ����� ��� �������� ��������5 ���� �� ������ � �3������ ������ � �������� � � % �� �� ��� ��� �� �� �' (���� �� ����� ��� �� �������� ���������� �� ���������� ���� ������� ���� �� ��������5�� ������4��� �� ���� � ������ �� ���� � � % ��' *��� ���� �� ��&���� �� �� �� ���� � � % �� �� ��� �� �����%�������� ���� � ��� �� ��J����� ������ � ������� ���� � ��� ���%�� �� �+0 %���� �� ��� ���%����'/��� �� �' -�!!<2 � � ���� ��� ��� �� �� ������ ���� ��� �� ,����� ��������� %� K�� ) �� ;��������

�, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3 #�>?

Page 12: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

-�!!#2� �� ������ �&������� �� ���� ����� % ��� �� ��� � ���� �� � ��������5 ���� ������ &�������&��� ���� �� �� ������ ���� ,����' :�&���� ����3�� ���� ��� �������� ��� &��� ��& ����� ��������� � �������� � � ��� %� %�� �� ����� ���� ��� � ��� �� ������ �� �������� �� ��� ��� %��&��� �� ���'

1��� ��� %� �&� ������� ������ ����&��� ��������� �� ���4�� ��� ���������� ����� &��� � ��������� ����� ������� �� �������� �� ���� � ���' *�� ,��� �� � �� � ������� ����� �� �� � �� ������ ���� ��� ��� ����������� � ����������� �'�' �� �� � ������%������� �� ���� ��5�� �� ���������� �� ���������� � �� ���� �� �� ����� ������ � &��� � ��� ������ ������ �� ��� �� ,����' *��� � %� ����� ����� ����� �� �������� ���� ��� ���� ,���� ������� � ����� �� ��� �+0 -�'�' +./01 � �����2� ��%A������ &��� ����� �� �� ���� ���������' *�� ����� �� � �8���� ������� ����� ���� ��� �� ���� �� �����%������ � ��� ������ � � � % �� &��� ��� � ��� ���%�� �� ������ � �3��������� �� �� �� �����J����' *�� �8���� ���������� �� ���������� ������ ������� ��� ���������� �������� �� �� �� �� %���� �� ��������� %� ����� ���� ����&��� ��������� ����� � � ������ ���� � � �� �������5����� �� �� � -/��' >2' 9����� � � � ������ �� ��� ��� �� �� � �� ������ �� ��� �� ��� ������� ���J���� �� ����� ���� � �+0 � ����� ��%A�� �� � ������� ��� �� � ������ ��� ��� �� ��� �� � ���'*�� ��� �� �� � �� /��' > �� �������5�� ���� �%� ��������� � � ��� ����� �# ����� �� � � ������' /������ ����� ���� � �+0 � ������ ���������� � � ������ ��)� ����� ������� ��8����� �� �� ��� &��) �� ����� ��� ��� � � ��� � �����' *�� ���������� ��� ���� � �� ����� �� ��� ��� �� �� � �� �����%� ���� %� �������� ���� ��� � ���� ����� �������� � �� �� ��������' 0� ���4�� ��� ������ ��������� �� ��� ������� ������� �� ��� �� �� ��� �� ����������'

/��' >' � ��� � ��� � ��� ��� �� ��%��� �� �������5�� ���� �%� �������� ��� �������� ���� ���������� ����� � � ������' *�� ��� �

���� �� �������� �� �� ��� &��) �� ������ ��� ����� ���'

#�>D �, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3

Page 13: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

3,�,�, 7����� ����������F��������� ��������5�� �� ��� � ���� � ���������� �� �%� ���� %� �������� ��������5 ���� ��

��A������ &��� ��� +./0 � ����� �� ��� �������� �� ������ ������������� ���� 0J' -�!2 � �3��� ���� �� ����� �� �' -�!!?2' I��� �� �� ��� �� ����������� ����� ��� � �� +./0 � ����� �� ��������� � ������������ �� � ����������� �������� �� ��� � ������ ��� �� Q���� ��� � ���R' *�� ������������ ������ ������ �� ������ ��� � ������ � �����'

3,�, �����+���������� (�� ��������� ����) !�����

*�� �������� �� �� �� ��������� �� ������ �� %� ���� � �� ���� &���� ��� � ���3 �� �� �� �������� ���4�� ��� ��� %��� �������� �� ������ � ���� ��' (� �� �� ��� �� ��������� � ��������� �� � ������ � �� ��� ��� �� �� ��� ��� �� �� �� �� 6�����7 �������� �� 5���� �� � ��' *�� ����� ������� � ���� %������%�� �� ����� �� ��� � ������ ����� �� ������ ��������� -������� �� ���2' *�� ����� ������� ��������� �� �������� �� &������ ����� :���7� �!>= ��������� ����� ������� -:���� �!D?" P�� �� �� ����!!?2 �� ��A������ &��� ��� ������� �� ������ ��������� ������ �� ��� *��� ��4������ -������� �!<<"*��� ��� �!=#2 �

� � ����� � ����# � ��#��

� #� ���� � � ���

����

#

���� � ������ ����

� �� � � $� �#D�

&���� ���� ��� � ��� �� ��� � ������ ����� �� ��� ���� ������ ��� � ��� ���� �� ��� �� ��������� ����� ���� �� � ����� �� �� ���� �� ��� N�& ������ �� ��� �' /�� ��� �������� � ���� �� ��� ��������� �� ���������� �������� �� ������ �������%�� �� ��� ������� �� ������ ��8���� $ �� �������' .��8����������� ��� � ��� ����� �� ���� �� $ �� ���������� ���� ����� ���� � �3��������� ��� ���� ��3�' *�� ��������� �� �� ��� ��� �� �� �%� ���� ���� ��� ����� ������� � %� ����� ��� ���� ��� N�& ���� ���� ������� � ���� ��� �'�' ���� � ���������'

3,�,�, "�;����� ����!����3,�,�,�, $ ��) �� ����* .����� ���� � �3������ ���� �� �� � ��� �� ���� �� $ &��� ���� ���� ������� ���� ���� �� ��� �����, ��' (� �� ���������� ������ �� %� ���� �� ��� �� �� � ���������' *��� ��������� ����������� &��� ��� *���� ��4������ ������� &���� $ �� ���������� �� ����� �� ��� ����� � ��� ������� ����' *�� ���������� � � ������ $ �� �� ���� �� � �� ��� �� ������ � ���� %� ������ �������������� � �+0 %���� �� ��� ���%���� &��� �&� ������� �� ���� ��������� �5' -�2 %� 3� � ��������� ���� -��� � ��� � ����� ��� � $2 �� -��2 ���� ��� � �� ���� -��� � ���� ��� � ��� � $2' /�� �� � ��������� -�2� 0J' -#D2 %�����

������������ $���� � � �������

� ����

�� �����

� � � $� �#<�

�� ��� �� � �������� -��2� �� %�����

��$� $�������� � ��#��

� #� ���� � � � � � $ �� �� ���� �

���������������#

��

�� �

�� �#=�

*�� ���� �� $ �� �� ���� �� ���������� ���� ����� ���� 0J' -#=2 �� ������� ��� ��� � ���� 0J' -#<2'*�� ����� �� � �����&�B

�' ���� � ��4���� %���� �� ��� ���%��� &��� �+0 ��������5 ����� &��� �������� � ���� ��� ��� ����' F%� �� � ������ �� ��� &��) %� �� ���� ��� ��� ����������� � �� ��� &��)- ��� � �

��+0

�� �� ��

�� ��2 �� ���� ��� � ������ ��� � ������ � ������� �� �� ��� &��) ��'

�, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3 #�><

Page 14: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

#' ������ �� ����� ��� ��� $ -�'�' ���$ � �� ������ -�!<<2 �� *��� �� -�!=#2 �� � �� �� �� �������� 0J' -#=2'

�' ���� ���� � ������ %���� �� ��� ���%��� &��� �������� � %� 3� � �� ����� ����� ��� ���������5�� �� ���4�� ��� ���������� ��� ���� �� ���� ��� N�& ���� &��� ����� ������� -#D2'

>' ���� ��� ��� � ���� �� ��� � ���� ���� ��� ��� ������ ������� �� %� 3� � �� ����'?' ���� � ��4���� %���� �� ��� ���%��� &��� �+0 ��������5 ���� &��� ��� � �� �������� � %��

3� � �� ���� � �� ��� ������� ����' ���� ��� ���� � ��� �� ���� � ��� ���� ��� ��� ������ ������� ���� ����'

D' .��� �� ��� ������� �� ����� > �� ?' (� ��� �&� ���� ���� %��� ������� �� &����� ������ ����� ������&����� ���� ��� ������ �� ������ ��� �� ��� �� $ �� ���� # �� �����' F����&���� ��� ��������J���� �� ���� ��� &��� ��L����� ��� �� $'

3,�,�,�, ��������* *�� ��8���� " �� 0J' -#D2 �� ����� �� �� ������� %�� &��� ��� �������� �� �� ��������� ���� �� �3 ����� �� ��� �� ���� &��� ��� ����� �� �� ��� &��) �� ���&� �� /��' ?' I���� �� �� ������ �� %� ������� �� ��� ��� � ��� �� �� �� ��� &��)� ��� ��������� �� �� � ������� �� ������ ��%� �������%��' (� ��� �������5�� ��� �� �� � �� /��' >� ��� ��� �� ����&��� ��������� " � �� ������ � ���� %� �%� ���� %� �������� ���� ���� ��� � ���� ������ ��

������ ��� � ��� ���� ���#��

����������� ��� � ����� �#!�

&���� � �� ��� ��� � ���� �� � �� �� �� �������� ��� �#������ %��) �������'-�������� )�������6�) ������ ����� ��) �)�� ����������* *�� ��� � ���� �� � ������ ��������

-������� ����2 �� ��� ������������ �� ��� &��) �� �� ,��� � �� ��� � � � ��� � ����� �� ��%�� � ����� ��� � ��� � ��� �� � %� ������ �������� � � ����������� %���� �� ��� ���%���� &��� +./01

/��' ?' + �� ���� �� ��� ����� ������� ��8���� ������ ��� � ��� ����� - 2 � ������� �� � �� ���� � ��� ��� ��� ��L����� ��������������

-%2 � ������� �� �� ��� &��) ��'

#�>= �, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3

Page 15: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

�� �������� ��������5 ����' (� ���� ������� � ������ ��� �� ��������� �� ������ �� ��� �+0��%A���� �� ������� %���� �� ��������� -��� �'�' ����� �� �' -�!!D� �!!<22' ��� �� ��������� �� ������ ���� � �� � ���� �� ��� ��� �� �� �� ��� �� � ���� �� � ��� %��&��� ��� �� ��������� �� � ��� ������'�' ���� � ���� � ���� � � � � � � � ��� � �# �� � ��� &���� � �� � �� ��� ���� � ������ ��� �� ��� ��� ���� � �� /��' >' *�� N�& ������ �� ���� � � � ���� �� /��' > � %� �%� ���� ���� ��� ��� � ������4�� ���&��) ���� �� 0J' -#=2' /��� ��� ���� �� � ������ �� %��� �������� ���� � �� ����� � ���� ������������� �� ��� ��� �� � ��������� ��� ��8���� ������ ��� � ��� ���� �� ��� ��� ����� 0J' -#D2'

/��� ��� �������� ���������� ���� J� ���� �� ��� ��� � ��� � ��� ��� �� �� � �� ��������� ��� �� ������� �� � $� � �� �=$� �� ��� ��� � ��� �� �� �� $� ��� !$� ������� �� ���� �� ��' *��� �� ���� ��� �� /��'>' *��� ����� ��%�� � �� ��� ��� �� �� � �� ������ ���� �D �%� %��) ������� &��� �# ��� � ������ � �'*�� �� ���� �� �������� �� ��� ��� �� �� � �� ������� �� ����� ��� ���� ��� ��� �� ����� �� "' *���� �� ����� �� " &��� ��� ������ �� ���� � -�� ���� �� ��� ��� � ��� �� ��2 �� ��� �� ��� &��) �� ��� �����L����� ������������� �� ������� �� /��' ?' *�� � � %��� ���� �� " �� /��' ?- 2 �� ��������� &��� ���J� �� �� ���� ���� � ����# �� ��� ����� �������' *�� ������� ���� ��� �� � � � ��?� �������������� ���� ��� ���� �� ��' *�� ��8���� ��%��J������ ���� ��� �� ���� ��� ��� ���� �� �� �� ��� &��)�� ��� ����� ������� �' (� /��' ?-%2� ��� ��8���� " � ������� �� ��� �� ��� &��)� &��� ���������� ����� � �� � �������� �� ��� ��� �� �� �� �� �������' *�� ��� �� " �� %���5�� %����� ��� �� ��� �� ���&��)� &��� �� ���� � ��� ����� %���� �� �� ��� ��� �� �� � ������� �� /��' >'

3,&, :!������� ������������� � � ������!���� �)��

*�� �� ���4�� ��� ���������� ����� ��� �������� �� ������ � ���� �� �� ������ ���� ��� �������������� ������� -#D2 &��� ���� ��� N�& ���� �� �������� � �������' (� � �������� � ����� ��� ��������������� ��� �� ��� ��� �� �� ��� ��������� �� ��� ��� -���� � �����2 �������� ������ ������������� �

��� � �:�������� � ������� ��$�

&���� �:��� �� ��� ��������5�� �� ������ ������' G���� ���� ��� N�& ����� ��������� �� ��� �� ��� ��� ��

�������� �� �%� ���� �

���� � ������

� ����

0����� ���� �� ��� N�& � � ����� � ���� ��� %�� �J� ����� ������� �� �&� �J� ������

�����������

� � �����

������

� � $� �����

������

� � �����

������

� � $� ��#�

*���� �J� ����� �� ����� ����� ��� % )& �� 0���� ������ ���� ������� &��� �� ������ � �� ��� � ������ �� ��� ��������' I��� )��&� ��������� �� ��� ��� ��� ��������� ��� �� 0J' -�#2 �������� &��� ��� ������������ -#D2 �� ����� ���� ����� %� ����� ��� 9�&���4� ����� ������' *�� ������ ��������� �� �%�� ���� %� ��� �����&��� �����B

�' (���� ��5� ���� �� ����� ���� �� ���� '#' . ��� �� ��� �� ����� ������

� ��� ��� ����� ������� �� ���� ��� ��� ��������� �� �� ��� ��� �� ������

����� �� ����� ���� 0J�' -�$2 �� -�#2' G�� �� ��� �������� �� �� ��� &��) ����� ��� ��� ������� � �������� � �������� � �������� '

�' (� �� ���� �� �������� �� �� ��� ��� �� �������� ���� � ���#� &���� ���� �� ���# �� ������%�� ������ ���� ���� ����' F����&��� �� �� ���� #'

*�� � � ����� " �� ���� �%� ���� ���� ��� �������� ���� 0J' -#!2'

�, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3 #�>!

Page 16: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

3,%, :!������� �<������ (�� � � �����!!� ������!���� �)��

*�� �� ���4�� ��� ���������� ����� �� ��� ��� %� ��� ���� ��� ������� �� � ������ ������ ������ ����� &��� ����� ����� ��� %� � ��4���� � �� � ����� ����� �������� ��������5 ����' 03� ����� �� ������� ��� %��� �������� �� ������ � ���� �� &��� ��L����� ������������ ��������������5' ��L����� �� ���� ��5�� �� �� �� � ������%������ �� ��� ���������������'

3,%,�, ������� ������� �������!��!�����3 ����������� � �+07� �� #$S �� ������ 4 ������� �������� &��� ������ ,%�� �� �������

� ���3� � ���&� �� /��' D� �� � ��5��' *�� �+07� �� � ���,�� �

- 2B �J� �� ���� � ����� &��� ���� � �������� -.�2�-%2B �J� �� ���� � ����� &��� � ������� � �������� - ���� � ��� ��� � �2 -.#2�-2B � ���� � ����� &��� #? ������ � ���� � ��������� -.�2�-�2B :���5��� ��� ������ � ���� � ����� &��� #? ������ � ������� � ��������� -.>2�-�2B � ������ �������� � ���� � ����� &��� #? ������ � ������� � ��������� -.?2�-�2B � ���� � ����� &��� �< � ���� �� �� �� ��5� ��������� -.D2�

*�� � ���� � ���������� ��� ��� �� ��� ����� ,%�� �� T����7� 1������ ���� � �>>�? �� � ������� � ���� �� � $�#D" �� ��� ��� �� ���4�� ��� ������� � ���3 �� T����7� 1������ ���� � D=�� �� � �������� ��� � �� � $��$� ����� � ����� ������ ��$�B ?? 1� � �� ���� T���� � ������� � &B ��J � �$ � #�$=����J'

*�� �+07� �� ��%A���� �� ���� ��L����� ����� �� �� ���� �5'

� ��B ���� ��� � �� ���� &��� ��������� -���� � ���� � $����� � ��2� �#B G�� 3� � ������� �� ���� &��� ��������� -���� � ������� � ���� � $2� ��B ;� 3� � ������� �� ���� &��� ��������� -���� � ���� � ������� � $2� �>B ;� 3� � �������4���������� �� ���� &��� ��������� -���� � ����� � ������� � $2

*�� ������4��� �� �������� �� ��� ��3 �������� ����������� � �+07� &��� ��� ���� �� ���� ��������� �� ������� �� ��� ������� ��� ������ ������� -��2 �� ������� �� /��' <' *�� ������� %� ��� ��������������� �� �&��� �� �������� ��������5 ���� ���� � �� ����� ��� ����� �� ���� ��� &��� ��� ��������� � ��� �� �� ���� ���� � ���� ���� ���� �� ��� �����' *�� ���� ������ �� �� ����� &��� ��� %� 3� �������� �� ���� �������� -��2� ��� &��� ��� ��� ���� ��� ��� �� ���&� �� * %�� �' :�&���� ��� ���� ����� ���� � ���� ��� ��� ������ ��� &��� ��� �������� �� �� ��� �&�� ��� � ���3 ����� ������' (� �������� �� �� ���� �� � ��� ��� ���� �� �������� ����� �������� ���� ��� �&��� �� �������� ���������5 ���� �������� � %� ���� � ���� � ��� �&������ ���� ��� ������ �� ��� � ���� ���� �� � ����� �� �������� � �� ����� ����'

�� � �3 ���� �� ������� � � ����� &��� ��� �&� ���� ���� �J� �� �� �� &��� �J� �� ���� ������� &��� ������� �� ���� �� �&� �������� � ��' � J� ���� �� ��� �� �� &��� �������� �� �� ������������� �� ���&� �� /��' =- 2' � ��� � �� ���� �� ?? 1� �� ������ �� �$ �J� � ���������' *�� � ���� ��� #$S �� ������ 4 ������� �������� &��� ��� ����������� � �+0 ��������� �� �? ������ � ���� ���������� ��������� � ������ �� ��� � ���3 -/��' =-%22' *�� � ���� � ���������� �� ��� � �� � �� ���������� �3 ����' .��� ����� �� ��� ������� �� � �� ������� ������ ����� �� ��� � ������ ������ ���

-���&� �� /��' !2 �� � ������ �� ��� &��) �� -��� ���&�2' *�� ,����� ��� � �� � � �� �� ����� �����L����� �� ��� �&� ���� ��� �� ���� �� � �S' :�&���� ��� ����� ���� � �8���� �� ��� � ������ � ����� &��� ��� �������� ���������� ����� �� � � �������� �� � ��� �&� � �� � �����' *�� � �� �� ��

#�?$ �, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3

Page 17: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

�8���� ��� ���� ���%��� �� ����3�� ���� <? $$$S� �� �� ��������� ��� ����� %�� &��� ���� � ������������� �� �� ��������'

/��' D' 1������������ &��� ��L����� �� ��� ��5�� ������ ���� �� �� �� � ������%������ ��� #$S ����� �� ���� ��������

-.��.#�.��.>�.?�.D2 �� ������ -+��+#�+��+>�+?�+D2 � ���� ��'

�, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3 #�?�

Page 18: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

/��' <' .��� ����� �� ��� ������4��� �� ������� �� ��� �������� ��� ��� ��� 3� � �� ���� ���� %� -�2 � ������ � ����� &��� ���

��������5�� ���������� ����� �� -��2 �&��� �� � ����� &��� �������� ��������5 ���� ����� ��� - 2 .�� -%2 .#� -2 .�� -�2 .>�

-�2 .? �� -� 2 .D �������������'

#�?# �, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3

Page 19: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

3,%,�, ������� ��!� �������!��!���*�� ��3 ����������� � �+0� �� � ��5�� � �� ��� ������ � ���� ��� &��� ���� ���� ��� ��� �����

����� �� /��' D' *�� � ���� � ��������� �� � ������� ���� &��� #$S ��� ����� �� ���� �� ���

* %�� �

1 3���� ��� �� -S2 �� ��� �� ���� �������� � &��� ��� ���������� ����� �� ��� �� ��� �� ���� ��� �&��� �� ��������5 ����

����� �����

1����@�� ���� .� .# .� .> .? .D

�� $'$<S $'$>S $'$=S $'$??S $'$=S $'$<?S

/��' =' - 2 /����� ������� ����� ��� J� ���� �� ��� �J� �� �������� �� �� &��� �J� �� ���� �� -%2 ��� +./0 ����� �� ��� ���

��������� � �������� �+0'

/��' !' .��� ����� �� � ������ ������ -���2 ������� �� �������� � ���� � &��� - 2 ��� ��������5�� ���������� ����� �� -%2

�&��� �� � ����� &��� �������� ��������5 ����'

�, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3 #�?�

Page 20: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

�����&��� �� ���4�� ��� ����������B T����7� ������� -��2� D='� �� � ������� � ��� - �2� $'�$� ����� ������ ������ -�$2� ?? 1� � �� ���� ����� � ������� � &B ��J � �$ � #�$=����J' *�� � �� ���� �� � ���������-����#�����>2 �� ������' �� ������ �� ��L����� %��&��� ��� �������� �� ������ �������������� ���� � �� ��� � ���� �� ��� ��� �� �� ��5 ���� �� �� �� ������� �� ����� ������� ��������� �� ��� ������������� �� ��� � ���� �� �� ����' ��� ��������������� ������%����� �� �� ��� ��� ��� �� � A������� �� ������ ���� %��&��� ��������� %� ��� �&� ���� ��� �� � � 6��������7 ��� ��� � ��� �� ���� ���� �� ��� �������� �����' 1������������ &��� ����������� �� ��������������� �������%������ �� �� ��� ��� �� �� ���&� �� /��' �$' /�� ��� ������������ +� -�J� �� ���� � ����� &��� ���� � ���2 ��� ��� �� ������%����� �� J���� ������� �� ���� ��� � �� ����� &���� ��� ��� ������������ +#-�J� �� ���� &��� � ������� � ���2 ����� �� ������� �� ��5 ���� &��� � ���& ��� �����' .����J������� ����������� ����� � ��� �� %� �L����'

�� �� ��� �� &��� ���������� ��� � �� � ������ ��� ��� ��������5�� ���������� ����� �� ����������� ������ ����� ����� &��� %� 3� � ������� �� ����� �'�' -���� � ���� � ��� �� ���� � $2' *�� ,��� ������ ��� ����� ������� -#D2 ����� ��� ��� ���� �� ���� �� ��� ����� ������� ��� � �� ������ �� �� ���

/��' �$' .������ ���� �� ��� �������� �� ��� ��� �� �� � �� ��� ����� ������������� ����� ���� ��� � �� ���� ��������� ��� - 2 +�

-%2 +# �������������'

#�?> �, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3

Page 21: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

��� ��� �� ��� < �� � ���������' K�� �� ��� � ) �� ��������� �� ��� ������� �� ���� �� ��� ����� ����������� �������� ����� �� �L���� ���� ��� ����� ������������� �� � �3��%�� �� � �������� �� ��� %�� ������ ���� �� ����' 1������������ +# -�J� �� ���� &��� ������� � ���2 �� +> -����5��� ��� ������ ������� ����� &��� � ���� �� �� � ������%�����2 ���&� ��� ��L����� ��� �� ��������� ��� � � �������� &��� %� 3� ��� ����' *���� ��� �������� ���������� ����� �� � ����� ���L���� ��� ����� �+07�' *�� �������������+? -� ������ �������� ������ � ������� � ���� &��� � ���� �� �� � ������%�����2 �� +D -� ���� �� �� �������%����� &��� � ���� �� �� �� ��5�2 ��� ���& �����, �� �� ��� ��� ������ �������� � �L��� �� ������������� ������ �� ��������� ��������� �� ��� �� ��� � ���' *�� ���� �� ������� �� �� ��� �� � ���� �� �� ��� ������������� &��� ��� ��L����� �� ���� �� ���� �� * %�� #' *�� ������������� +� �� +��3��%�� ��� ����� �������� ��������� �� ����� � ���� ���� �������� %��&��� ��������� %� ��� ��������������� �� ��� �&��� �� �������� ��������5 ����' .��� ������ �� ������4��� �� ��������� ��� %� 3� ��� �� ��� 3� ��� �� ��� �+07� �� � �� �� /��' ��' *���� ���& ��� ���� ��������' *�� �+07� +# �� +>�3��%�� ������� �� ��5 ���� � ��� �� �� ��� ��� ������ &���� ��� �+07� +? �� +D �3��%�� � �)�� ���������&��� %� 3� � �� ����' �� ��� N�& ���������� ��� ����� �+07� &��� ��� �������� ����� �� ��������� ������� %��'

3,3, 7����+�.� ��� ����� ���� #� +�)�������

*�� �� ������� %��&��� ����� ����� �� ���� ����� �� �������� %� � � ���� ���� ��,������ �������� ������� ��%������� �� ���,������ �� ��� �����$ �� ������ �������' *��� �� � ���� ��������� ���������� �� ���� �&� ��������� �5' - 2 �� �������� �� ����� �������5 ���� ����� �� ��� ����� ���� ������ �� -%2 �� ����� �������� ����� %� 5������ �� �� ������� �� ������ �� ��5 ���� ��� �� ��������� ���������������' *�� � ���� �� ��� �L���� �� %������� ��� � � %��&��� ��� � �� �� ����� ���������� %� ������� ������� ��,������ �� ���� � �������� � ���&� �� /���' #- 2 �� �D' *�� � ���� ���,������ � � %��� �3�������� �������� �� ����� ���� -M�� �� M���)��&�5� �!==� �!!#" 1����� ��1 � �� �!<<" K��)�&�5 �� �'� �!=?" ; �� �� F���� �!=<2 �� ��� � ���� � ��� �� � ���� ������� ����� ��� � � %��� ��������� �� ����� ���� %� � ���5� �� F��� -�!!=2' I����� ��� ������ �� �� � ���� ���������� �&� �������� �5' ��� ���� ��������� �� ��,������ ������� -M�� �� M���)��&�5��!==" ; �� �� F���� �!=<2 �� ���� ������� ���� ������� -M�� �� �'� �!!�" � ����� �� �'� �!!!2 � ������' I���� ��� ���� ������� ���� ������� � � %��� ��������� ��� ����� ��� ����� ������ �8����� ������������ ������ �� ������ ���� ���� %�� ��� ��� ������� &��)' *��� �� ��� �� ��� � � �� � ��� �������� ���� ������ ����� ������� �� ����� &��� ������ �� ��� ���������� � ���� � �+0 �� &��� ������� ����%������ � �����'

/����&��� ��������� �������� �� ; �� �� F��� -�!=<2� ��� ���� ��,������ �������� ��� ��� ��%�������� � � J� ���� ��� � OG�K> ������� ���� ���� �� ���� ��������� ���� ����� ���� ��& ����� �� ���%���� �� �� ��� �� ��� �����' /�� ��� ��%����� &��� ��� ����� ����� ,���� �� ��� %���� �� �� � ���� �A ��� ��������� ���� � ����� ��� ��� ����� �� ������� �� ��� ��& %���� �� ����� �� ��� ��%������

* %�� #

.� �� ���&��� ��� �������� �� ��� ���������� ����� ���� ��� �&��� �� ��������5 ���� ����� �����" �B ��� %�� ��� ��� ������

� ��� �� �� ���� -�S ��� ��2" �B ����� �3���� ���� ����� �� � � ��� �� ���

1����@�� ���� +� +# +� +> +? +D

�� � � � � � �

�# � � � � � �

�� � � � � � �

�> � � � � � �

�, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3 #�??

Page 22: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

�������' � �� �� ������ ���� ������ �� ���� ���� �� ������ �� ��� �3����� �������� �� ��� ��& ����� ����� ���% � ���L���� �� �� � ����� -��� ; �� �� F��� -�!=<2 ��� ��� ���2' 9����� � ������ ���� �� � �OG�K> ������� ���� � �� ���� �� ��������� %� ��� ����� ������ ������ ���� &��� ������ �� ������-��� �� ��)���� �!=<2'

. ,������������ ��� ����� �� ���� �� �%� %������%���� �� ��

*�� ������ ������� -��� � �1�*���2 �� ��� ����� ���� � ��� �� �� �������� � 6�&���7 �� 6�� �������7�������� &���� �������� ������ ���� �� ��� �+0 �� ���� �� ����� &������ �������� ����� �����

/��' ��' .��� ����� �� ��� ������4��� �� ������� �� ��� ������ � ���� � ��� - 2 %�� 3� � ������� ��� +� ������������ -%2 %�� 3� � �������

��� +� ������������� -2 ��� 3� � ������� ��� +� ������������ �� -�2 ��� 3� � ������� ��� +� ������������'

#�?D �, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3

Page 23: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

�� ����� �� ��� ����� �������' *��� �� ������,�� %� �� ��� ���� �� ������ �� � ������ �� %��� �'�'��������� ��� ��� ��� �� ������ ��' �� � �� ���� ���� �� �������� � � �� �������� �� �� ��5 ���� �� ���������������' .����� ����� �� ����� ������� �� ����� % ��� �� ���������� �� � ������ ���������� �� ���������� �� ��� �+0' .�������� &��� � ������ ����� ������ ����� ����� �� ����� �� �� ������ ������������ �� ������� ��� ����� ���� �� ���&�� �� � � ��' *�� �+0 �������� ��� ������ ���������� �3������� ��� ��� ����� �������� ��������5 ���� �� +./01 � �����' *�� ����� ����� �� ��������� %�������� �� ��� ������ ��� �� ������� ��J���� �� ,���� ������� � ����� � �����&�B

- 2 1���������� � � ����� �� ��� �+0� ��%A���� �� ��� ��J���� �� ���� � ������ ��� ��� �� ���������� &��� ���������� %���� �� ��������� �� ����� �� ��������5�� � ����� ������� -�:

���2'-%2 1 ������ � ����� �� ��� �������� ����� -�:

���2 �� ���� - 2� �� � �� �� � ������ �� %��� �'�'�������� �� ��� ��� ��� �� ������ �� ��'-2 1���������� � � ����� �� ��� �+0 � � � � ������ ����� -�'�' ������ ���� �����2 �� � ��������������� &��� �� � � ������ ��� ��� �� ��������� �%� ���� ���� ���� -%2 �� ���������� ���������� �� ��� �+0 %���� ��' 1������� �������� �� ��� ��� -��� ��2 �� ���� ��� ��� �� ��� �+07� ��� � �������' /�� ���� � �� ��� ���������� �� ���� ��� ����������� � ������ ������ ������ � %� ����� %� ����� ���� � ��%�� ���� �� ��������� &��� ���� ��� ��� ���� ���� - 2' :�&���� �3������������� �� �������� � �J� ����� �� ��J����� ��� ���%���� &��� �������� ����' *��� �� �3����� �� � ����� ��� � ���� �� ���� � ���'

.����� ���� � ��J��������� �� �������� �� ���� ���� �� ������� %�� ������ �� � �� � ��� ���� $' ��� � ������ ���� ����� �� ��� � ������ ����� ���� � ����� ������� ����������� � � ����� �� ����+0 ���%��� �� ���� ���� � ����� - � �� �� ����� ����� ��� ���� - 2 �� ��� ��� ���� -2 �� ��� ������� ��2&����� � � ���� ���� ����' *���� ��� ������ �������� �� ����� ���� ��� ���� �3������ ��� ��� �������$ ��������' (� �� ��������� ������ �� �� ������ ��%��� ������ �� ��� ������ �� ������� �� ����������� �����$ �� ������' (� �� ��� ���� � �� � ���� ���� %� ����������� ��� ��� ����������� � � � �� ������ %����� ����� %����� �������������� ��������� ����'

/ ,������������ ��� ����� �� ���� �� �%� %������%���� �� ��

�����# ������� -/��' #-%22 �� � ���,�� � ����� &��� ����� ����������� � ���������������� �� ��� ������ ������ � � ��' *��� ������� �� ���� �� �� ����� � ���������� �� ��� ������ �+0 �� ����� ������� � �%� ������,�� &��� �1�*���� �� 0J' -?2' (� ��� ����� ���� � ������ ��� �����# �������� -��# � �1�*����2� ���� ��5� ���� ��� ������������ �� ������ ��������' (� �� ������ �� � ����� �� ���� �� �������� ��� �������������� � � %��� ��,��� �� �� � ��8������ ���� �� �� � ����������' (� ��#� ��� � ��4���� ����� �������� �&����� �� ��������� �������� �����'

*�� ������ �� ����� ���� ��� �����# ������������ �� � � ������� �� ������� ��� �� /��' �#' �� �3������������������ �� ,��� �� ��� %� ���� ���� �+07� �� ��������� �� ��� ��� ������ ������ �� ��� � ������� ������ �������� �� �� ������� �� �����#' (� 0J' -<2� �� � ����������� ������ �� �� ��� �

�1�*����� � ��

������� � ����

&���� � ��� ���������� �� ��� �+07� �� ������� ��� ��� �A����� ��� �������� ��������' *��� �� ����

���� ��� %� ��� � ������ �������� �� �� ���� �� �� ��� �����# ������ &��� �� ��� ������ ���%���� ����' 0 � �����# ������� ��& ��� ��� ������������� � ���� � ������%����� -� �

� 2 �� � �� ��,��� ���� ����������� �� ��� ����������� � ���� � ������ �1�*����

� �� ��� ������� ��� �� ���#

�, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3 #�?<

Page 24: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

� �� � �1�*����

� � ���#� ��>�

*��� ������ �� ��%��J������ ������� ��� ���� ���� �� +������ ��� �������� -/��' �#-%22' *� ���� ���������%��&��� �����# ����������� � ������ �� �����%����� �����$@������ �������� �� ������� ��� ������� � ��� �� �� ������� ��������'

=,�, ������ �������� � �������� ����>��� �� �����+�

*�� �����# +./01 �������� ������ �� %������ ���������� � ������ �� ������ � ���3 � ���� �' /����� %������ � ����� �� � ���� ��� ����������� � � � �� ����� ���� �� ������ �� %� ������� %� � 3����� ������ � ������ % ��� ��������' (� ���� ��������� � ) �� ����� ��� &��� ��� � 3���� ������ ������� �� ������� �3���� ���� � �� ���� ������ �� � �����' (� ��� ����� ���� � ��������� �������� ����� ��������� �� ������ �� ��� �� ��� ���� �� � ������� � ���� ���� � �� ��� ������ � ��������� ����� � ��� ������ � ������� ������ �� ��� ��' (� ��� �� �� � ����� ���������� ��� � ) ��� �3���������� ��� ���� ��� � ���3' (� ��� �������� � ����� ���� � ��������� ���� �� � ��� ����� � � �3������ ���� � �� ��� ������ ��������' *�� �� ���� �� ������ � ) �� ���������� %� &������� �� ���������� �

�� � �� ��

� �� �������� �

� �������

� �� � �� ��

� �� �������� �

� �������

���� ��� ��� ���� ��?�

&���� �� ��� �� ���������� �� �� ���� �� � 3���� ������� ������ � ������ � ���� �� � �� �� ��� � �����'

*�� � ) �� �������� � ����� ����� �� ��� ������ � ������ ��������� � -�� � ��� �� � ��2 �� �3����� �� ��������� � �� %��� �����'

0 ,������� �%� �� ��� �� �%� %������%���� 1� �� ��

I���� �����$ �������� -��$ ��$2 �� ������ �������� -��� ���2 �� ������ � ��� ��� ������� ���� ���� � ����%�� ������� ��� ������ ��� �� �����# -��# ��#2 �������� &��� ������ �� ��� ,��� �&� ��J��������� ��������' *�� ���� �� �� ��� ���%�� �� %���� �� ����� �� ����� �������� ������� �� ��� ������

/��' �#' .�� ���� �3������ ������������" - 2 ���� �� � ������ �������� &��� � ���������� ������������ �� ���� ��� �+0��

-%2 ��� �3������ ������������ %� +������ ������� ����'

#�?= �, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3

Page 25: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

������ �� �� ������� �������� -��� ��#2� ���� � %�L�� 5���� � ���&� �� /��' ��' ;��� ��# �� ��� ��������� ������ +./01 ��� ������� �� ��� ������� ���L���� � ����� �� �� � �����' *�� ������ ������ ���� � ��� �� �� ���� �������� ��

�� � ���$ ��� ��# � ��$ � ��$�����$� ��� � ���

������� ��# � ��#�����# ���

���������� &��� ��� ����� �� ��L������ ��� � -��� /��' ��2

-�2 -� �#(2 �� ������ � �����# +������ ��� ������� ����� �� � �� ��� �� �� ������ � �� %���� ���-��2 -� �#�#2 �� +������ ��� ������� ����� �� ��� ��#4��# ������ ��-���2 -� �#���2 �� +������ ��� ������� ����� �� ��#4��� ������ ��-�2 -� �$����2 �� ����� �� ��$��4��� ������ � �� � %����� �� ��$ �� ��� ���������-2 -� �2 �� +������ ��� ������� ����� �� ��$��4��� ������ � �� � �� ��� %����� �� ��$ �� ��� �� ������ %� �� �� ��� ��������' (� � �������� � � ����� ��� �� ������ ������� ��� �������� �� ���� � &��)��� ��� ����� ���� � ��� �� � ��� ��� �� ��� ��� �������� � � %� &������ � � � � ���� �������- �� ����� �� �� %��� � ��L����� ����� �

�������� ��� �������$

����� � ��� �� ���

���������$

�� ����������

����� � ��� �� ���

��

��������

�� ���������#

����� � ��� �� ���

���������#

�� ���������$

�� ��

��������

�� ���������#

�� ��� ��D�

(� � ���� ��� �������� ������ &��� ��� 9�&���4� ����� ������� ��������� ���� ��5 ���� %� � )��� ����������� � ���� ��� �� ���� ���� �������� � ����� ����� ���� ��� ������ ��� � ����� ���L���� � ���3'/�� ��� �� ���� ����� ��� ����%��� �J� ����� � � ��� �����&��� ��������B

��$����$�� ��$����#

��#��$�� ��#��#

� ����$��

���#;

� �

� � �$��

� �#

� �

� ��<�

:��� ���$�� ���������� �� ����� ������ � ����� -� �$��2 �� � %����� �� �������� ��$ �� ��� �� �������� ���� � ������ ��$ ��� � ���&� �� /��' ��' (� ������ %� ����� �� � ���� ��� ������ ����� � ��������� � �� �������� ��$@��� �� �������� ���' *�� ����� ������ ���#; �� ��� ����� � �� ������������ ����� -� �#���2 �� ��� ������ �� �� �������� ��� �� �������� ��# �� �� ����� -� �#�#2 �� ��� ������ ��

/��' ��' (����� �� %��&��� ��� ���� $@� ��$ �� ��� ��������� �� ������� ��� �������� �� ��� �����# ��# ��������'

�, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3 #�?!

Page 26: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

%��&��� �&� ��# ��������' .�����%������ �� ��� ���L���� � ���3 ��� �� �� � ���� � � ��� �������� ����$ ��� � � %� �%� ���� �

���$����$���� � �

������$

������

���

��

���

����

����

������

� �$�� � �

������$

������

��� ���

������$

������

��� ���

������$

������

����� � ��� ���

������

� � ��������� �� ��� ���� ���%��� �� � �� ��� �� �� �������� �� � ������ ��������' /�� ����������� ��� �� ��# %�������� �� ��# � �����%������ �� ��� ���L���� � ���3 �� �� � ����� �� �%� ���� %�+./01 ��� ������ �������� &��� �� �� ������ ����' *�� �� ������� ������� � ���� ��� ��������� �� ���� ���� �������� �� � ������ �������� &������ A���� �� ��������������' F� ��� ��$��4���

������ ��� ���� �� ��������� %� ����� ����� ����� ������ � ����� � � �� ������ �� ����� ������������� ���� �� ��� �A ��� ��$ �� ��� ��������' *�� ����� ���� � ��� ����� � � �� ������ �� ����� ������� ������ � � �$���� �

�� �� � � �!� ���$����� �

� ��=�&���� �!� �� ��� ����� ����� � ���3' /�� %����� � OG�K> �����$@� ��������� � � ��& �� �!� ������� �� ��������� �� ��� ���� �� �� ��� ����� ���� ���� �� ��� ����� �����' *�� ������ �� &��� ��� ��# ��������� �'�'��� ��#4��� ������ �� �� ��� ��� �� ��� � �� & � � ��#4��# ������ ��'

*�� ����� ������ ���#; �� 0J' -�<2 ��������� �� ����� � ��� %���� �� ����� -� �#�#� � �#���� � �$����

�� � �2 �� �����# �������� �� � ��� �� ��� ����������� � +./0 �����' *� ���� ��� ��� �����%������� ��� ������ � ����� -� �#(2� �� �� ��������� ����� �� �� ��� �� �� ������ ���� �� ������ ������ ��������������� ��� +./01 ����� ����� ��������� � ��� ������ � ����� ���#( �� ����� �� ��� ����� ������ � %���� �� ����� ���#;� &����

���#;� � �

���#�#

���#���

���$����

�� �

�������

��� ��! �

� $ $ $$ � $ $$ $ � $$ $ $ !

"##$

%&&'

���#�#

���#���

���$����

���

� !� ��!�

&���� U/ V �� U?V �� ��� �������� �� ����� ��� � ����� ����������' (� +./01 �������� ������ ������L���� � ���3 �� ��� �� � ���� � � %� � ��������� �������� �

��#;��#; ��#;��#(

��#(��#; ��#(��#(

� ����#;

���#(

� �� � �#;

� �#(

� �� �>$�

�� �� ������ ���� �� ��� ������ � ������� �� ������� ������

��#;��#;( )*

� ��#;��#(( )

��#(��#(( )��

��#(��#;( )+

���#;� � � � �#;

� �� ��#;��#(( )

��#(��#(( )��

� �#(� �

� �>��

*���� ���L���� � ����� �� �� � ����� �� ���� ���� �� ��� ����%�� ������ �� 0J' -�<2'

2 � �������� �������� ��� ������ �� ���

(� �� ������ �� � ������� �� ������ ���� �� %� ��� %������ ��� �� ���������� ��� ����� ���� � ��%���� ��� ���� ��� ���� �� ������' (� ������� �� ���� �� ��������� ������� ��,������ %� � � �� ���� �� ��� �3����� �� �����$ �� ������ ������� ��� ������� �������5 ���� ������ ����������� ������� �� ����

#�D$ �, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3

Page 27: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

�������� �� ������ �� 5������ �� �� ����� ��� � �� � � %��&��� � ������ �� �������� ��������'*�� ������ ���� ��� ������� ��,������ �� ���� �� ������� �� ������ ��� %���&'7���� �.� +�)������� � � %� �3����� % ��� �� � ����� �� ���� � � %� ��,��� �

�� � �� ��� ����� �>#�&���� � �� ��� ���� ��������� �� �� ��� ,���� ������� ����3�� ����� �� �� ������� �� ������� �� ������� ���� �'�' ������� ��������� ��� ��� ��'� �� � � ������� ���� �� ��� �������' I��) �� ������� ������ ��,������ -M�� �� M���)��&�5� �!==" 1����� �� 1 � �� �!<<" K��)�&�5 �� �'� �!=?2 � ��������� ����� ����� �� �� ����� �� ������5� ��� ����� ���� � �L��� �� ������ ���� %�����' (� ����&��)� �������� �� ��%������ % ��� �� � ������� ���� � � ����� ��,��� �

����� � "�� ������������

��� � �>��

&���� ����� ���������� �� ��������� ������� � � ������ %�� &��� ��� ������� ����� �� %� ��,��� �� @� �� ������%�� J� ���� ����3' �� ����� ����

��� �� ������ �� ��� ��� �� ������� ����� �� �� ���������� ��� ������ ����� ���� � ��� �� �� :� �� ��� ���%�� �� ��������' ��� ����� ������ �� ��������� ��� ���� �� �J���������%��� ������ ��� �� �������5 ���� %� ���� ��,������ ��� ��� ����� &��� %�� �����%����' :�&���� ��� ���� ��������� ���%���� &��� �������� �� ��5 ����� �� ������ ������ �� ��� ����������� ��� %�� ������ � � %� ���� ��� ���� ���� ����� �� ������ �� ��� �������� �� %��� �� � � %����� ��� ���� ���� ��� ���������� �� ��� ������ �� ���� �� � �� ������' (� ���� &��) �� ������ �� � )�� �� %���� � 3���� ��L����� �� �� ��� &��) &��� �����%����� ��������� �'�'

�� ������ � 1 3

������

�� ��

� �,,,,, �

������

�� ��

� �A ���,,,,,

&��� ��� �� @�� �'?'7����+� � �����+� ��������� �� ��$ �������� � )�� �� � �� ��� �� &��� ������ % ��� �� � ������

�� %��� �'�' -�� �2 �� ��� �������� ����� �� � �� ��� ��� �� ���� � �������� �� %���' �������� �������� �� ������� �� �� ��� &��� ��� �������� ���� ����� �� ������ ?'� �� ��� �� ���� �� ������� %������ ��� ������� �� �&��� �� ��������5 ����' K�L����� ������ �� ���� ��� �������� �� ������ � ����� ��'

1 2 A� ������� �������!��!�� (�� ����!����

������� � # � �� ��������� � ����

#���

� � �>>�

:��� �� �� ��� � 3���� ������ � ������ �� ��$� �� �� ���� � ������ �� � �� �������������� �� ���� � ��

��� ���� � �� ���� ������ -��2 ��� ����������� � ���������' *�� �� ���� � �� ������� �� %� ��� �� ���������' *�� ����� �������� �� ��� %������ ���� ��� � ������ ���������� ���� ��� ��������5 ���� ������� ���%����� ��� %� 3� � �� ����� �� ��

� ��� %������ ���� ��� ������� �� ������ ?'>'

1B2 A� ��!� �������!��!�� (�� ��)�* ��� �� % ��� ������ �� ������ ���� ������ �� �� ��� �� ��� � �� �� ������ � ���� �� �� ���� �� ������� �� �� ��� &���

������ ������ � # � ����� ��������� � ����

#� ��� �>?�

&���� ��� ��������������#����

��

-� ��� ��� � ������ �L���� �� ��� ��� �� �� ��$ �� ������ �� �������������� �� �

���� � �� ���� %�� ������� ���� ����������� � �� ��� ��� �� �����' �� �� ��� �� ��� %������ ���� ����������� ���� �� %� 3� � ��� �� �� ������ ?'>'

�, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3 #�D�

Page 28: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

7����+� � �����+� ��������� �� ��� �������� ��� &��� ��8������ ���� �� �� � ���������� �� �� ���� %� ���,������ �� &��� ��� �+0 �� ������ �� %� �� ��� ���� �� �����, �� � � �� ��������' *�� � ���������� � &��� ������� ��� �� ������� ���� �������� ��� �� ��# �� ������%�� �� ����� �� �������� ��������� �� �������� � � �� �

1 2 A� ������� �������!��!�� (�� ����!�����

$� � �� � �%&�&

�$�� �>D�

1B2 A� ��!� �������!��!�� (�� ��)��

$� � �� � '%$'$

�$�� �><�

&���� $� � �� �� ��� � ��� �� ��� ���%�� �� � � ��� ��������� -9�K2 �� ��� ��� � ���%�� �� ���������-9�2 ��� ���������' /�� ������ �������������� �� �� ��� � ��� �� ��� � � ��� �� ������������ ��������� &��� � � ���� �� ��� ��� ��� �� ��� ��� � �+0 �� ' $� �� ������%�� ���� � � ��� �� �������� ���%��� �� ���%���'

�- 3�������� �������� ���% �%� � ���� � �������� �� �� ��

9����� � �3 ����� �� ����� �� ������� �� ��� �L�� �� ������� � �������� �� ����������� ������������� �� ��� � ������ �� �������� ���������' (� �� �3 ������ ��� ��������� �� ������ ��%� ���� � �� ��� &��� � � ) %� ��� ������ � ������ �������� �� ��� � ���3 �� �� ���4�� ���' (� ��� ,����3 ����� �+0 ��������� �� ������ ���� � �������� �� ������� %� ������ �� �����# �������� ����� ������ ��� 3� � ������� �� ����' (� ��� ,��� ��� ��� ��� � ������ ������� �� ������ &��� ��� ��������� ��� ������� �+0 %� �������� ��������5 ����� &���� �� ��� ����� ��� ��� ������� �� � ��������� ������ �� ��� ���� �� ��� +������ ��� ������� ��# ����� �� ��� �+0' *�� �� ���� �� ��������%����� ��� ���� �� �������� � )���' *��� �� ����������� %� ��� ���� �� ������ ������ � ��� �� ��� �� ��� ������4�� �� ���� �� /��' �>- 2' *����� ��� �������� �� ����� � �� ��� ����� � �� ��� �� ��� �� �������&��� ��� ����� �� �� ��� N�&' *�� � � �� ���� � ����� �� ��� ������ ������� ��� �� ��� ������� ������ ��� �� ����������' *�� ������ ����� �� �������� � 3���� ������ � ������� ���� ��5�� %� ������� � ������ ��� �� ��� ��� � � ������ ��� �� #'�S �� /��' �>' *��� �� A��� %����� � )��� %� ��������� �����' � ������� %�� ��&�� ������ ���� �� ���� ��� ��� �����# �����' ��� ��������� ���� ���������� &��� ���������� %���� �� �������� �� � ���� %���� ���� ������� �� ��� ��� �� ��� �������� ���������� ������'

��,�, �C���� �� �������� ��6� 1����� �C���2

9�������� � �� �L���� �� � ��N�� ��� �� � ��5� �� ����������� � ������������ �� � � ������� ����������5 ���� &��� ���������� �� �� ����� � ���������� �� ��������� �� �� �+0' I���� �������� ��$

�� ��� ������ �� ���� ����������� ��� �����# �������� ��# �� ���� &��) ����� ��� �� � ��5� �� ��� ������������� ������� ��� ���������� ������� �� ���� � �� �L��� ��� ��'

(� ���� �3 ���� ��� �L�� �� � ����� �� ��� ��5� �� ��� �������� �� � � �� �� ������� ���' *�� �&���L����� ����������� � �+07� ��������� �� /��' �?-%2 -�2 �� -��2 � � ������ � ������%����� -�J� �� ����2 �� � �� � ����� �� ��� �� �� ���� �� �� � #$S' ;�� ��� �+0 ��5�� �� ��L����� �� �� �� ��� ��5� �� ����� ���� �+0 -�2 �� $�? ��� $�? ��� &���� �� � �� ��� � ���� �+0 -��2 �� � ��� $�? ��' *�� � ������

#�D# �, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3

Page 29: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

�������� �� �J� �� �� �� &��� �J� �� ����� ��� &��� ��� ����� � �����$ ���� &��� ���������� �� ���&� ��/��' �?- 2' F��� J� ���� �� ��� �� �� �� ������� ���� �������� ������� �����' *�� �� ����� ��5� ��� ������ ������� ���&�� �� ���� � ����� %� �� � �� ���� �� ��� �� � ��' *���� ��� ��# �������� ��� ��

/��' �>' - 2 1 ������ 3� � ������4��� �� ����� ��� ������ �+0 �� ������� ������� %� ������ �� �����# ��������" 1 3����

������ � ������ ������%����� �� ��� �������� %� -%2 �����# ������� �� -2 ������ �������'

�, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3 #�D�

Page 30: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

���� ��� ������� �� ��� +./01 ����� ��� ��� � ���� �+0 -��2 %�� ���� �������� �� ��� +./01 ����� ������ �� ���� �+0 -�2' *�� � ���� � ���������� ��� %��� �������� �� ������ � ���� �� �� � �����&�B

�������� � ���3 -�� ���4�� ���2B T����7� ������� ���� � D=�� �� � ������� � ��� � �� � $��$� ����� ������ ������ ��$� � ?? 1� � �� ���� ����� � ������� � &B ��J � �$ � #�$=����J'������ � ����� -�� ���2B T����7� ������� ���� � �>>�? �� � ������� � ��� � �� � $�#D� ���� � � ������ )��� ������ -��2� $'� �� '

*�� �� � �� ������ �� #$ �J� � ��������� ���� ��� � ����� ����� �� � �� � ���&� �� /��' �?- 2'/�� ��� �������� �������������� /��' �D ������ ��� ����� � ������ �� �����# ����� ���� �

��� ��� � ��� ��� �� �� ���� �� ���' *�� �����$� ������� �����# �������� �� ���&� �� &����� ���� ��%� )� ����������� ��� ��� � ���� � ������ ���� �� /��' �D- 2 �� -%2' *�� �������� �� ��� ����� ������ &��� � � �� ���� �� ������� �� * %�� �' *�� �L�� �� ��� ������������ ��5� %����� ���� ���������� &��� ���� ���� ������ ����' � � ���� �����# ��� �� -#! � ������ ��������2 &��� �� ���������$ ��� �� �� ������� ��� ��� �� ���� �+0 -�2' *�� �L�� �� �+0 ��5� �� ��� � ����� �� � ������ )��� �� ��� �����, ��' *�� �����# ������ ���&� #> � )�� � ������ ��� ��� �+0 -�2 � ������� �� ��3� )�� � ������ ��� ��� �+0 -��2' *�� � �� �� �������� �� � )�� � ������ �� J���� ��L����� ��� ��� �&�������' /�� ��� �+0 -��2� ��� ����� �� �������� � )� �� ����� �� ���� � �� ���������� � �� ���� ������ �� ���� �������� �� �� ��� ����� )� � � ��� � �� ������ ���� � ��� � �� �� � ���� )' /�� ��� �� ���� � ������ �� �+0 -�2� ��� � �� �� ����� )� �� ��� � ��� ) �� �%����� �� ��� � >?� �� ��� �� ���� �������� &��� ������� � ����� )� �������� ���� � !$� �� ��� �� ���� ��������'

*�� ������ ����� �� � ������ �� �������� �� ��� ��� �� ������%����� � ��� ,� � �� ���� �� �� �� ���&� �� /���' �< �� �= ��� ��� �&� �������������' *�� � ������ ��� �� ������%����� ��� %��������� ���&� ������ ��� �� ������ ���� � ��� ����� �� �J� �� ���� &��� ���� ��� �� ����' I���� ���� ������ ��� ��� �� ��� ��� ��L����� ��� ��� �&� �+07�� �����, ���� � ���� �� � �� ��� ��� ��� ������ �� ��� �����# ������������ �� �+0 -�2' � %����� ��������� ���� �� ���� ��L����� �� ���� �� ��� �� ����� /���' �! �� #$' *�� � ������ - �� ���2 ������ ��� ������� � ��� ���� � ����� �� /��' �! ���� ������� �� �����, �� ��L����� �� ���� �3��%��� ������ � �� �L��' *�� ������ ����� �� ���� ,���� ���������

/��' �?' - 2 � J� ���� �� ��� �����$ �� ����� � ������ ����� �� �J� �� �� �� &��� �J� �� ����� -%2 ���� ��L����� ����������� �

�+07� ��� ��� �� �� �����'

#�D> �, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3

Page 31: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

/��' �D' 1 ������ ����� ���� ����� ���� ��� ��� �������� � ���� � � ��� ��� �� ��� �� ���� ��� ��� - 2 ��� � ���� �+0 -��2 ��

-%2 �� ���� �+0 -�2" ��� ������������ �����# ������ &��� ��� -2 ��� � ���� �+0 -��2 �� -�2 �� ���� �+0 -�2' �����$ �� &��� &����

��������� ������ �� &��� ���� �������� �� �����# �� &��� %� ) ��������'

* %�� �

0������� �� �������� � ����� ����� &��� ��� ����� ��� �������� ������������

S �� *�� � ����

�� �����

�����$ �������� ������ �������� �����# �������� *�� �

�+0 -�2 �+0 -��2 �+0 -�2 �+0 -��2 �+0 -�2 �+0 -��2 �+0 -�2 �+0 -��2

?$ �!! #$> � $ > > #$> #$=

<? �=� #$� ## �< �$ < #�� ##?

!$ �D< �== �> �> �? �= #�! #>$

�$$ �D# �<= ># >� #! #? #�> #>D

�, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3 #�D?

Page 32: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

�� � ����� � � ��' *�� ������� � �� ��� �������� �� � ����� � )��� ��&��� ���&� ������� %����L����� � ����� �� ��� ������ � �� �� � )��� ��� �+0 -�2'

*�� � �� ���%��� �� ����� ��� ������ ������������� &��� ��� �&� ��5�� �+07�� %�� &��� ��� ������ ����� �� $'> ��' *�� ����� ����� �� ������ �� ��� ����� ���� � ������ � ��� ��� �� �� ���� �� ���&� �� /��' #�- 2 �� -%2 �� ��� ������������ �����# ������������� �� /��' #�-2 �� -�2' *���������� �� ��� ����� ���� � ��� �� �� ��� � ���� �� * %�� >' (� �� ����������� �� ���� �� � ��� ��L������� �������� ��� ��� �&� �+07� �� �������, �� ���� ��' *��� � � %� ����%���� �� � ) �� � ���3 � � �� ����������� �� ��� �����' *�� �� ��� ��� � ������� � ���3 ���� ��� ������� ��J� �� ��L����� �� ��� �� �� ���� ������ � ��� � ����� � )��� ���� ��� ���������' � � ���� ������ ��� �� ����� �� &��� ��� � �� ���� ������ ��� �������� &��� ��� � �� %� �� ��� ���� �� ��� �� �� ��5 ����� %�� ��%��J������ ��

/��' �<' .������ ���� �� �� ��� ��� �� ��� ��� ��� �������� �J� �� �� ��B - 2 ��� � ������ �� ��� ��� �� �� -%2 ��� �����# ���

������ ��� �� � ��� ���� � ������ ��� ��� � ���� �+0 -��2 �����'

/��' �=' .������ ���� �� �� ��� ��� �� ��� ��� ��� �������� �J� �� �� ��B - 2 ��� � ������ �� ��� ��� �� �� -%2 ��� �����# ���

������ ��� �� � ��� ���� � ������ ��� ��� �� ���� �+0 -�2 �����'

#�DD �, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3

Page 33: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

��� � )� ��� �� ������� �� �����#' *�� ������ ����� �� � ������ �� �������� �� ��� ��� �� �������%����� �� /���' ## �� #�� ���& ����� � � ������ ��� �� ������%������� %�� ������ ��� ��� ��� ��� ��������� ����� &��� �� ���� �������� �+0 -�2� ��� �� ��� ���3����� �� ����' *��� � �� ���&� ��� � ���L�� �� ��� ��������'

/��' �!' *�� �������� �� ��� � ��� ����� ���� �� �J� �� ���� ��� ��� �&� �������������'

/��' #$' :������ � �� ��� ���%�� �� � � ��� � ������ � ������� �� ��� �����'

�, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3 #�D<

Page 34: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

* %�� >

0������� �� �������� � ����� ����� &��� ��� ����� ��� ������ ������������

S �� *�� � ����

�� �����

�����$ �������� ������ �������� �����# �������� *�� �

�+0 -�2 �+0 -��2 �+0 -�2 �+0 -��2 �+0 -�2 �+0 -��2 �+0 -�2 �+0 -��2

#? �!D �!D # # $ $ #�$ #�$

?$ �<? �<? #� #� > > #$� #$�

<? �#= �#= D= D= < < #$> #$>

�$$ !> !> ��� ��� �< �< ### ###

/��' #�' 1 ������ ����� ���� ����� ���� ��� ��� ������ � ���� � � ��� ��� �� ��� �� ���� ���� ��� - 2 ��� � ���� �+0 -��2 �� -%2

�� ���� �+0 -�2" ��� ������������ �����# ������ &��� ��� -2 ��� � ���� �+0 -��2 �� -�2 �� ���� �+0 -�2' �����$ �� &��� &���� ���

������� ������ �� &��� ���� �������� �� �����# �� &��� %� ) ��������'

#�D= �, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3

Page 35: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

��,�, $�����6���� ��, �!���+����� ���!�����

*�� �L�� ���������� �����# �������� �� %��� � ������ �� �������� �������� �� ������� %���� ���� ���� ������ ����� ���� �� ��� �J� �� �������� �� �� �� ��� ������� �3 ���� &��� ���������� ����� ����' *�� ������� ���&� �� ��� ��� � ���� � ������ �� �+0 -��2' *�� /��' #> ���&� ��� ������������� �� � ��� ������ ����� %� ��� �&� ������ � ��� ��� �� �� ����' *�� %�3�� �+07� �� /��' #>- 2���%���5� ����� ������� ����������' *�� ���������� ����� ��� ������� �� ������� %�� � ��� ������� �� ��������������� %���� � � ��� ��� ��� ��������5�� ����� ����' *�� �������� �� ��� � � �� ��������

/��' ##' .������ ���� �� �� ��� ��� �� ��� ��� ��� ������ �J� �� �� ��B - 2 ��� � ������ �� ��� ��� �� �� -%2 ��� �����# �����

���� ��� �� � ��� ���� � ������ ��� ��� �� ���� �+0 -��2 �����'

/��' #�' .������ ���� �� �� ��� ��� �� ��� ��� ��� ������ �J� �� �� ��B - 2 ��� � ������ �� ��� ��� �� �� -%2 ��� �����# �����

���� ��� �� � ��� ���� � ������ ��� ��� �� ���� �+0 -�2 �����'

�, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3 #�D!

Page 36: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

���� ��� %� ��� ��������5�� ����� �� ��� ��L����� ���� ��� �����# ����� �����' *�� ������ ��� ���������� �4; �� ������� �� /��' #? �� � �� �� ��� �L�� �� ��������5 ���� �� ������ ������ ����� �� � ���

/��' #>' � ��� ����� �� ��� ����������� � �������� �� � ��� ������ ����� %� - 2 ������� ������ � ����� �� -%2 � ���� ������

���� � �����'

/��' #?' .��� ����� �� � ������ ������ ��� ���� ������ �4; %� ������ �� ���������� � �����'

#�<$ �, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3

Page 37: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

����� �� ���� ����' *�� �&� ������ %�� � ����� ��� ���� ��� �����%������ �� ��� �����' I���� ������������� ����� ������� ������ �� ) �� � ��� ������ �� ��%����� ������� %�� �� ���� ��� �� ���� �������� ���������' *�� ������������ �������� �����# ������ �� ����� ��� ��� ���������� ����� �����&� �� ��� �����'

��,&, �C��� ����������� )�����#!��� ��) � ���

*� ������� �� ��� ��N���� �� � ����� ������%����� �� ��� � ����������� � � �� ��������� �&��+07� �� ������� &��� � �� ����� �� ���� -#$S2� ��5� -�'$ ��2 �� ���%�� �� � ������ -#?2' F�� � � � ����� ������%����� -/��' �?-%2� ���2� &��� �� � ���� ������%����� &��� ������� ��������%�� ���� ��%��&��� � ������� &���� ��� ����� � � ��� ������ �� � ����� % )������' ���3����� �� � ������ &�������� ������ �� )��&� �� ����� �� � � �� �� ������� �������������' *�� �� ����� � ������ ���� �� ���

/��' #D' 1 ������ ����� ���� ����� ���� ��� ��� �������� � ���� � � ��� ��� �� ��� �� ���� ��� ��� - 2 � ����� ������%�����

&��� ���� � � ������� -%2 �������� ������%����� &��� ���� � � ������� �� -2 � ����� ������%����� &��� ������� � � ������� ���

������������ �����# ������������� ��� -�2 � ����� -�2 �������� �� -�2 ������� � �+07�'

�, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3 #�<�

Page 38: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

� �� � �� ��� ������� �3 ����� �� ��� � ����� ����� �� $'?? �� �� ������ �� ��� ���� �� �J� ����������' *�� �� ����� ���&�� ��5� �� � ������ �������� %� � � �� ���� �� ��� �� � �� ��� �� �� � ��# ������� ������� �� ��� �+0'

*�� ����� � ������ ������ ��� ��� �&� �+07�� � ��� ,���� �� ��� �� ���� ���� �� ���&� �� /��'#D- 2 �� -%2' *�� �����# ������ -%� )2 ��� ��� �������� �+0 �� � ���� �� � �� � ��� ��� � ����� �+0'I����� ��� ��# ��������� ���� ��� ������� ��� ��� � ����� ������%����� �3�������� � ����� � � �� ����&� �� /��' #D-�2' :�&���� ���� � ��# �������� ��� ��� �������� ������������ �3��%�� � ����� � � ���� ���� &����� ��� ������ -/��' #D-�22' I���� ��� � ������ �� ��� �� ��� ��� ��� ���& ��� ������ ���������� ��� ��� ��L����� ������������� �� /���' #<- 2 �� #=- 2� ��� �������� ����� �� /���' #<-%2 ��#=-%2 �� ��� ����� ��� ��N���� �� ������%�����' 1�� ������ ����� �� �L���� �� ��� ��� �� ���� ���%����� &����� ��� ������� ��� ��� �� �����, ���� ��&�� ����� �� ��� � ����� �+0' /��' #! ���&� ����������� �� � ������ ������ ��� � ��� ����� �� ��� �J� �� ���� �� ��� ���%�� �� � � ��� � ������ � ������� �� ��� �����' *�� ������ ����� �� ��&�� ���� ��� ��� �������� �+0 ��� �� � ���� � � ��������������' 1��� �� � �&�� ��� ���%�� �� � ������ �� � � ��� ��� ��� �������� �� � ���&� �� ���������� �'

*� ������� �� ��� ��N���� �� �� ��� �+0 -/��' �?-%2 -�22 &��� ��� � �� ����� �� ���� -#$S2� ��5�-�'$ ��2 �� ���%�� -#?2 �� ���������' *�� � ������ �� ������� � &��� ���� � ��� �'$ �� � ������������%���� �� ��������' *�� ����� � ������ ����� �� /��' #D-2 ���&� � ���� �����# ��������� ��� &��� ����� �&� �������������� &��� ���� � ��# �������� �3��%����� � ����� � � ��' *�� ���� ���� ���%�� �� � )�� � ������ �� ��� �%����� ���� ��� ������� � �� /��' #!-%2' /�� ���� ��� %���� ������ �� �������� �� ��� ��� ��� �� /��' �$ �� ��� ������� %�� � ����' *�� � ������ ��������� ���&� � ���� ���� ��� �� ��� ���� ��� � � �� �� ��� ������������'

��,%, ��������!� ����� (�� � ��������� ���

� ��L����� � ������ ��� ��� �5' �� �� &��� ������� ��� ���� ��� �J� �� �� ��� � �� � �� ���� ������ �� ��������� �� ���� ,� � �3 ����' *�� �� �� �� �������� ��� �� ��� ����� ������%�� ����� ����� ��

/��' #<' .������ ���� �� �� ��� ��� �� ��� ��� ��� �������� �J� �� �� ��B - 2 ��� � ������ �� ��� ��� �� �� -%2 ��� �����# ���

������ ��� �� � ��� ���� � ������ ��� ��� � ����� �+0 �����'

#�<# �, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3

Page 39: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

��� ��� �� %����� ���� �� �� ��� � �3������� �� $'�? ��' K�� �� ���������� �� ��������� ���� � ���� ��� �� �� ������� � ���&� �� /��' ��' *�� � ���� �� ��� ���� � ����� �� ?$ �� ��� ��� �$$ ��� �$$�� �J� �� �� �� � ���&� �� /��' ��' *�� ����������� � �+0 �� #$S ����� �� ���� $�> ��� $�> ���J� �� ������ &��� ������ ���� � � �����' *�� � �� � ���� � ���������� � �� ��� ������� �3 ���� ������ &��� ��� ���� �3������ %���� �� � ��� ���� � � ����� � )��� ������ �� � $�# �� '

*�� � ���� ���������� ����� ���� � ��� �� �� ���&� �� /��' �# �� ��� ���%�� �� �������� �� � ������ &��� ���� ���� �� � %�� ��� �� * %�� ?' *�� �����# �������� �� �� ��� ���� �� � � �� ��������� ��� ����� ��� �� �� ��5 ���� %� � ����� � )���' 03������ �������� �� ��� � � ��� ������������� �� �����# ������� �� ���&� �� /��' �#' *�� � ������ �� ��� ��� �� ������ �� /��' ��- 2 ����

/��' #=' .������ ���� �� �� ��� ��� �� ��� ��� ��� �������� �J� �� �� ��B - 2 ��� � ������ �� ��� ��� �� �� -%2 ��� �����# ���

������ ��� �� � ��� ���� � ������ ��� ��� �������� �+0 �����'

/��' #!' *�� �������� �� - 2 ��� � ��� ����� ���� �� �J� �� ���� �� -%2 ��� ���%�� �� � � ��� � ������ ��� ��� ����� �����

���������'

�, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3 #�<�

Page 40: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

� ���� ���� �� 6��� �����7 �� ������ � � �� �� � ��� ���� � ������' *�� �������� ��� �� ����� ��/��' ��-%2 ���& � ��� �� ���� �� � ������ � )�� �� � � %� ����������� � ��� ����� ���� �� �� ��5 ������ ��� � ����� %��&��� ��� �����'

�� �� ������� �� ��� ������� �� �%� �������� �� ���%�

*� ������ �������� � � �������� �� ��� ���������� ������ � �3 ���� ���%��� �� � �� ��� ,�%���� �������� &��� ��������� �� �� ��� �� ��� ��� �� �� �� ��������� �� ���������' *��� � ��� �

/��' �$' .������ ���� �� �� ��� ��� �� ��� ��� ��� �������� �J� �� �� ��B - 2 ��� � ������ �� ��� ��� �� �� -%2 ��� �����# ���

������ ��� �� � ��� ���� � ������ ��� ��� �������� �+0 �����'

/��' ��' - 2 /����� ������� ����� ��� � �� �� ��� �������� �� �� &��� �&� ���� � ����� �� -%2 ��� +./0 ����� �� ��� �����

������� � �������� �+0'

#�<> �, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3

Page 41: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

/��' �#' 1 ������ ����� ���� ����� ���� ��� ��� �������� �� �� &��� �&� ����� � ��� ��� �� �� ����' *�� �����# ������� �� ���

������������ �� ���&� � ��� �&� ������� � �� ;'

* %�� ?

0������� �� �������� � ����� ����� &��� ��� ����� ��� �� �� &��� �����

S �� *�� � ����� ����� �����$ �������� ������ �������� �����# �������� *�� �

�D'D �$$ $ $ �$$

��'# �># $ $ �>#

>!'= ��> #$ $ �?>

DD'> #=> != $ �=#

=�'$ #!D �D> $ >D$

!�'? �#! #�< D= D�>

�$$'$ �#D #<# �$# <$$

/��' ��' .������ ���� �� - 2 ��� � ������ �� ��� ��� �� ��� �� -%2 �����# �������� �� ��� ��� �� ��� � ��� ������ . �� ��� ���

���������� �� /��' �#'

�, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3 #�<?

Page 42: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

���%��� & � �������� %� � � �� �� ��%�)� -�!<>2 �� �������� �� ��� ����� ����� �� �L���� ������� ����������5 ���� ������ �� ��������� ������ �� ��� �� � ��� ��� ���������� ����� ��� �� � ��� ���������'*�� ���%��� ������� �� �������� ����������� � ���&� �� /��' �>- 2' *�� ����� � �� �� ��� ����������� ������� �� � ������� ��&� �� ������ ������� � ,%���� �� ���� �� �J� �� �� �� &���� ��� %������ �� �� ��� ����������� � ���3 � ���� �' *�� � ��� �� ,%�� � ���� �� ���� ������ �� ��� �� � �+0 �� /��'�>-%2 �� #�� � $��� ������������ �� �� � ����� �� ���� �� #='#S' *�� %��� �� ��%A���� �� ����� ��5���� �� ��� �� �� ���� &��� ��������� �� �� ����� ������%�� � �(( � �' K�� �� �������� �� ��� <6 �� �6�� ��� ���� ��� J� ���� �� ��� � ��� �� �� ������� -/��' �>- 22' �������� %���� �� ��������� �� ��������� �� ��� ���� �� � � $ �� � � $� �� ��� ��� �� ����� ���� �� �� ������ �� %� �� ���� ����' *��� ���� � ���������� ��� ��� %���� ,%�� �� ���3� � ���3 �� ������%�� � �%���� � D$� �$D ���� %���� � $�#� ����3� � $�?� �$D ��� �� ���3� � $��>'

��,�, ��������� 8"A�� ���!������

*� ��� %���� �������� �� ��������� � ��� ����� ��� ��� � ���� +������ ��� ,���� ������� �����-�+./012 �������� �� 1������ �� ����� -#$$$2 �� ������ &��� ��� ���������� ����� ���� � �����'(� �+./01� �&� ����� �� ����� �� ��������� �� �� ���� ��� J� ���� �� ��� ��������' *��� �� -�2 ����� ���� ��������� ������ ������ ������������ ���� ����� �� ���� ������������ � ��� ������� %���� �� �� � ���3���������@��� ������ �� �� -��2 ��� ����� �� )���� �� ��� ��������� �� � �� �J� ��� �� � ������� ��� ��� �� ������� �� � � �� ��� ������� ���������� �� ���' K���� ����� � �� ����� �� � ������5��� ���� ������������� �� ����������� �� ���� � 6����� �7 ��������� ��� ����� ����� ,���� �� ���%���� ��@������ �' *���� ��������� ������5� ��� ���� � &��) ��� �� �� ���� ������������ �� �� �%�� ���� � ��������� �� ��� �� ���� ������������ �� ���������� �������� � �� ��� ������ � ����� �����,���' (� �� ����� ������� �� � �� ���� %� ����� ����� ����� ������� �� ������� �� ��� �� �� ����������� �� ��� %���� ��@������ �' *��� �� �����&�� %� �������� � �� ����� � ����������� �� %���� ��������� �������� ���� �������� U)V' *�� ����� �� )���� �� ��� ����� � � %� ������5�� %� ��� ���� ��������� �������� %� �������� � ��������� �� ����� � �� ���� �� ��� � ���3 �� �������� �� ���' ���� ������������� �� ����� ��� ������ ������� ��� �� ��������� ��� � �� ���� � � �������� �� ������5���

/��' �>' � �������� ����������� &��� � ������� � ���� �� ���� � ,%���� -%2 ��������� ��� ����� ������� ��� ��� �L���� ������

������ ��� �����'

#�<D �, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3

Page 43: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

%��� �� � �� ��������� ������ �� ��� ������������' 9����� � � ����� �� ���� � ������������� &�����L����� ������%������� ��5�� �� �� ��� �� ��������������� � � ���&� �������� �������� � �� &�������� � �� �����'

*�� � ���� +./01 �� 1������ �� ����� -#$$$2 �� ������� ��� �� ����� ����� �� ����������� ������ ������ ����� ��� �� �����# ��������' *� ������� �� ��� �L�� �� ����� �� � �� ����� ������,�� ������ ��� ���%��� ����� %��� &��� ��� ��& �� ���� ,%��� �� ���������' *�� ���� ������� �� > +������ ����������� � ���&� �� /��' �?- 2' *�� � ���3 �������� �� ��� ��%��� ������ ���� �� ��������� ���� �����7� ������ ������� ��������� �� �# ���� ������������ �������� � �3� ����� �� �D ���� ������ �������� -1������ �� ������ �!!D� #$$$2' *�� �������� �������� �� ��������� ����� #? ����� ��3�������� �������� � �������' K���� ����� ,���� ������������ �� 0J' -##2 �� ��������� &��� ���� � �� ���������� ��� ������� %���� ���� �� J� �� �� �� �� �������� ��� ���� ������ � ��������' *�� ���J���� �� � �� ����� ������� �� �&� ���� �� � 4 �����&�� %� ��� �� �� � �� ���� �� ����� ������������ �� �������� �����&�� %� ��� �� ����� � �� ���� �� ��� ������ ��������' *�� � ���� ��������&��� ���� ����� ����� ������� �� �������� �� ������� ��� �� /��' �?- 2' *�� ���� � �� ���� ����� ��� �)�� &��� �� ��� < �������� ��� � � �� ����� �� � �)�� &��� � &���� ����� �� ��� � �������� �����&� &��� �' *�� �������� �� ��� +./01 ��������� �� ���&� �� /��' �?-%2� ���� ��� ��� �� ���� ���� ��������� ����� �� -�*�02 � ������� �� ��� ��� � ������� �� �������' *�� �*�0 �� ��� ��� � -1������ �� ������ #$$$2

�*�0 �� ���

����� ��) �� ���

����� ��)

��� � ���� �>=�

&���� ���� ��� � ��) �� ��) ��������� �� ��� ��� � ���%�� �� �������� �� ��� �� ���� ��������� ����� ����� ������� %���� �� �� ������ � ��������� ����������' *�� ������� �� ������� -KF/2 ��������� ��

/��' �?' - 2 � ����������� � 4�� � ���� +./01 ���� ���&��� �� ����� �� ��� ����� � �� ���� ����� &��� �� �� ��KF/" -%2

�������� �������� � �� �� ����� �� �� �� �� ���� ��������� ����� -�*�02 � �������� �� ������ �� ��� KF/'

�, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3 #�<<

Page 44: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

��� ��� �� ��� ��� � ���%�� �� ��� � ������� �� ������� �� ��� ���%�� �� � ������ � � ������� �'�'KF/ � # � ������ � ��' * %�� D �� /��' �?-%2 ������ ������ � ��� ��� �� �*�0 &��� ���� ������� ��������� ��� �� � � � �� ����� �� ��� %���� �� �� ������ � ����' K������ ������ �� ��� ,���� ���������� �� ��� ��L����� �� ��� �� � �� ����' *�� ,��� �&� ����� �� ��� ��� �&� �������� ���� �� � � �� ���� �� ��� ����� ��� �� � �� ����' *�� �� ���� ��������� ����� ������ � ���� �� ��� ��� �� ����� � �� ���� ����� �'�' !$S � ��� �� �*�0 �� �%� ���� &��� D�S ���� �� �� KF/' I��� ��� ��%���J���� �� � �� ����� �� ������� � >S � ��� �� �*�0 �� �%� ���� &��� ������� ��S ���� �� �� KF/'���� ��� ������ �*�0 �������� �� � ���� %����� �&� ���� �� %���� �� �� � �� ������ ���� ����� ���������� ��� ��� ������� �� ����� ����� �� ���� ������'

� ��� ����� ����� �� � �� &��� ��� ��������� �� � � �� �� ��%�)� -�!<>2 -��� � �� ������� �� �������� ��� %� ��� ������ � ��� �9�T�2' *�� �9�T� ����� ��� &��� �������� �� ����� � � >#�$OG�K> �������� �� >�?# �����' *�� �������� ����� �� ������ ��� ����� ���� ����5��� � ������� � � � �� ��� ��� ��� ��� �� � ���� +./01� � ���� +./01 �� ��� �9�T� ����� �� /��' �D' (� ������ %������ �� � ��� �� ������ ������ ��� �� ����3�� ���� �&� ������ ��&�� ��� ��� �� ��� �� ���� ����� �������(( �� ���� �������� �� � ���� �� ����' ������� �� ��� � ���� +./01 ������� ���� ��� &��� &�������� �� ��� ������� �9�T� �����' *��� �� ��������� ������ ����� ���� �� ��� �� � �� ��� � ����+./01 ���������' *�� ,���� ��� ���&� ��� ������ � � ���� �� ��� �������� �� ��� ���� ���� ������ &����L���� ������� ������ %� ��������5 ���� �� ����' ���� ���� �� ����� ��� �� �� �� %��� ��� ���� �������� ��� ��������� �� ������ �� ���� ������'

* %�� D

�� ������ �� 4 4�� � �� ���� ��� ��� �� ��� �������� � ���� �� &��� ���� � ,%���

�� �� ���� (���� � �� �# �

KF/ >D> ?D! <>= =$<

�*�0 $'$�?!# $'$��!�� $'$$�<#D $'$$#>�<

/��' �D' ��� ������%����� � ������ �4� -�� 2 ��� ��� �������� ������ &��� ��� ��& �� ,%��'

#�<= �, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3

Page 45: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

��,�, �!���+����� ���!������

*� ���� �������� �� ��� ��� �� ����� J� ��� ������ ��� �������� ���%��� &��� >$ -� � >$2 ��&� ��D>$$ ,%��� �� ����� ��� %� ��� ���������� ���' *�� �����$@� �� � �� ���� �������� �� % ��� �� �� ����A��� �������� ���� �A ��� ������� %���� ����� �� ��� �

������ ������� �� � �.� � � � &���� � � ����

�� �

��� � �

��� ���)���# � ��)� ��#���#����

�� ���� �>!�

&���� :� �� ��� ��� � ���%�� �� �����$@� ��������' *��� �������� �� �������� ��� ���� ���� �� 5������ ���� ������� ���� ������ �� ������' /�� �����$ �� ������� ��� �� ������� �� � �� % ��� �� ������� A��� �� ��������, �� ������ ��� � �� ������� �� ��� �� ���� A��� �������� �� 0J' ->!2� �� ��� �

�����$ � ������ �� � �.# � � � �� �� �.# � �� � &���� �� ���� ����� ������

�� ���� �?$�

&���� .��.# �� ������%�� ���� ���' /�� ���� ��� ������ �� �����# �� ������� �� � �� ���� �%��� ������ �� �� ��� ����������� � �+07� �� ������ ��������' (� �� % ��� �� ��� � ��� �� �� � ������ ������� - �� � ������ ���� ����� �� +. �������2 �� ��� �� �� ������ ������� ��� ��� ������ �+0 - ����� �� �� +.��������2' *�� �������� �����&�� ��� ����������� ���� ��B

� ���� ��� �+0 ���%���� &��� ���������� %���� �� ��������� �� ���� ���� �� ������ � ��������� ���� �5' -�2 ��� � �� ��� � $� ��� � $� �(( � $� -��2 ��� � $� ��� � �� ��� � $� �(( � $� -���2 ��� � $���� � $� ��� � �� �(( � $ �� -�2 ��� � $� ��� � $� ��� � $� �(( � �'� /�� �� ��� -�4�2 � �� �� ��� ������ ��������� � ������ ���� ����� �� ��� � ���3 �� �������� �� ��� � �� ����� � �� �����

��� ������ &���� ���� �� ��� ����� �� ������'� 0 �� �� ��� ������ ������� ������ ���� � ����B

$� � � 1 3���� �� � �� �� �� 3�

$�� ��� ��� �� � �� �� � ���

�� $��� � 1 3���� � ��� �� � ���� 3�

$�� ��� ��� � ��� �� � ��� ���

� (� ��� ���������� ���%��� &��� �� � ��� �� ���������� ��� �� ������� �� � �� ������ ��

������ � �����# �� �� ��� �� 3 �$� �� �� ��� �

�� �� �� �� ���� 3 �$���� �� �� ���

��� �?�� � ���� �� � �S �� �� ������ ���� ������'

*�� ����� � ���� ������� �� #$$ �����$ OG�K> ��������' *� �3 ���� ��� ��������� �� ������� �� � �� ���� � � ������� �&� ���� �� � � ������ �5' -.� � ��?�.# � #2 �� -.� � ��#?�.# � ��?2 �� �3����������� &���' /��' �<- 2 �� -%2 ���& ��� �� � ���� �����$@������@�����# ������ &��� ��� ��L����� � �� ���� � � ������' *�� ,��� ��� �� �� �� �!� �����$ ��������� $ ������ ��������� ��3 �� ������� �������� �� ���� �����# ��������� &���� ��� ����� ��� � � ><? �����$ ��������� ���� ������ ��������� ���� �� �������� �������� �� ��3 �����# ��������' *�� ����������� � �+0 �� ���� ��� �� ������ �� %� �� ���������� � ��=$ �� ��� �����# �������� �� ������ �� ��� �� ������ ���� ���' *�� � �� ���%��� �� ��� ���������� ��� ������ � ��� �9�T� &��� ���� �� �$ $$$ ��������� ��� &��� �� � �� � �� ,%��� �� ���� ��������� �� � ��� �� ������ � �� ������� �3������� -��� /��' �<-22' (� /��' �=- 2 ��� � �������������� �� �����$ ��������� &��� ��������5�� �L���� ������� �� �������' *�� ,���� ���&� ��� �L�� ������ ��������� �� ��� ��������� �� � ��� ���������' I��� ���� ���� ���� �� � �� ����� ��� ���,� ������� ������ ���� ���� ��& ��� ��� ���� ���� �� � ��� ���������' (� /��' �=-%2 ��� �������� �����#�������� �� ������� �� ��� ������ �� ��� ���� ���� -���� ��� � �# �� /��' �=- 22' (� �� �� ��� ���� �� � �� ���,� � ������ ���� �� ��������5�� ��������� �� ������ �3��� �� ����� �� �� ���� ��������� �� � ��� ����

�, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3 #�<!

Page 46: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

/��' �<' - �%2 $� � ���� ���������� ���� ���&��� �����$� ������ �� �����# ��� �&� ��L����� � � ������ �� �� ������� ������ � �� -2

������������ �9�T� ���� &��� ��� ���� ������������ ������� �� � ��� ���� ����'

#�=$ �, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3

Page 47: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

����' *�� �&� ���������� ������ �� /��' �=- 2 �� -%2 �� ��� �9�T� ����� �� ������ ����� � �������'*���� ������� ���� �3 ����� ��� �������� � � �������� �� ��� ���������� ����� �� J� ��� ����� ���,�� �� ��,���� �� � ���� %��� ��� ���� ����'

/��' �=' .�������� �� ������ ��� � ������ �4� �� � ��B - 2 � ������ ������ ����� ����� ��� ��������5�� ������ �� �����$

��������� -%2 �������� �����# ������ ����� �� � ��� ���� � ��������� ������'

�, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3 #�=�

Page 48: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

�� 4��������� �� ����������

�� ������ �� ��� ����� ���� � ������� ��� �������� � �� ���%���� ��� ��� ������5��� �&� ����� ��������� �5' ��� �������5 ���� ����� �� ��� �������� �����' (� ���� � ���� � � ���� ���������� ������ ���������� �� ���� ���� ���� �� ������� ��� �������� ����� �� ��������� ��� �������� �� ��������� ��� ��� �� � � �� � ��� ������� � �� ����������� � � ���' *�� ����������� � � ����� �� ������� &��� ���+./01 ��� �� ���4�� ��� ����������� &��� � ����� � )���' +./01 ���&� ��� ��������� � ��� ��������� �������� ��� �� ���������� � � �� &��� ���� �� � � ���&� �� 1������ �� ����� -#$$$2 �� ����� �� 1������ -�!!=2' *�� �8���� �� ��� ������� ��� �� ��%������ ������� ��� �� /01������ ����� � )�� �������� �� � ��� ����������� � ������� ��� ����� � ��' � �������� � ����� �����% ��� �� ���4�� ��� /01 ��� �� �������� ��� � ������ � �����' �� ���� ���� ��,������ �� ������ ������� ��� ������ �� �������� �� �� �� ���� ��� �� ����� ���� � ��%��� ��� &��� ����� ������������' *��� ��L������ ��� %��&��� �������� � �� ���� � ������� �� ����� �� ���� ���� ��� �8���� ������� ����� %� ���������� � 65��� ��7'

*���� ����� �� ���� ���� �5' �����$� ������ �� �����#� ���� �� ��� ������� �� ����� &��� ���������������� ����' � ����&��� ��������� �� ���4�� ��� ���������� � & �� �������� ��� �����$ ����� �����'*�� ���� ��� �� ���� ����� �� �� � ���� �� �� �������� ���� �������� ������� �� � ����� ����� &��������� � ���� � ����������� �� �� �������� �� �� ����� �� ��� ����������� � ������%�����' *�� ����������� ��� ���� �� �� �� ��� ���� �8���� �� ����� ����� &��� ��� ��� &��� �&��� �� � ����� %� ���������5 ���� -�'�' ������ �� ��)���� �!!�2'

�����$ ����� ����� �� ��� ���� %� �������,������ ����� �� � �� ���� �����J���� �� ������������5 ���� ����� �� ��� ����� ���� � ����� �� 5��� �� �� ������� �� ������ �� ��5 ���� ��� ���������� ���������������' *�� ������ ��� �� � �� ���� �� % ��� �� �� ������ �� A���� �� �� ���&��) �� ��������' I���� ����� ����� ������ �� �L���� �� �J���������%����� �������5 ���� ������ &������������� �� ��� ����� ����� �� ���� �� ��� ������� �� ����������� ������� �� �� ��5 ���� �� ������ ���� ����� ����� �� ������ �� ��� �������� �� %���' (� ������ ��&��� %� ��������� �� � ��� �������� ��,������������ �� ����� ������ �� %� �� �� �� ����� �' /�� �3 ����� �� � � %��� ���&� �� ��� �� ; %��) -�!=D2 �� � �) �� ; %��) -�!=<2 ��� ���� � �� ����� &��� ��%���� �� � ���� ��,������ &������� �� �� ��� �������� � ����� �� �������� ���� ��A�� �3������� � � �� �� �������� �� �3������ ��� � ����� ��� ��� ���%���� &��� ������ ����' �������� ���� �� � � %��� �������� ��� �� F��� �� /���-�!!D2 �� ; %��) �� �' -�!!>2� �� � �� � ����� ����� ���� �����J��� �� �� � %�� �� �������� �������������� � ����� ��� &��� ������ ������ �� �������' � ��%��� ���� � �� ���� �������� ��� ������� ������������ ��������� ������� �� ��������� ����� �������� ������ � � &��� � ���� � �� ����' 1�� �� ���������� �� ������ �L���� %� ��� ������ �� ������� �� ���������� ����� �����J���' ���� ��� ���� ������ � ��� �� ���� �� ��� �������� ������� ����� ��������� ����� �� �������� �� ������ ��%�� �����'

I��� �������� � � �� �� �� ��5 ���� �� ������ %� ��� ���� ��� �����$ �������� ���� �� ����&��� �� ������ ��������� &��� ��� ����� ����� %��� � ��� � ������ �� �������� � ���' *�������� ��� ���� ���� ��� �� ������� �� �������J�� �� ���%�� �� ���� �� ��������� �� ���� �����'����� ����� �� � ������� �L���� ������� �� -�2 &��� ��� ��������5�� ���������� ��� ���� � � �� ��� ��������" -��2 &��� ��� � 3���� � ������ ������ � ������ �� ������� �� ������ �3���� ��� �� �� ���� ����� �������� �� ���� ������ �� -���2 &��� ��� � ������ �L���� �� ��� ��� �� �� ��� ��� � ���� �3������� �� �������������� ����' I��� ��� ���� �� �� � �� ������ �� � ������ �� %��� �� &��� ������������ � � � ��� ��� ���� ������ ��������� ��� ����� ������� �� ��� ������������ �� �� �������L���� �� ����� �� ������� �������� ����� ����� �� ����� ��' 03������ �������� �� ��� ������������� �� ������� ������� %� +./01 �� ����� �����# ��������' �� � ���� +./0 ����� -�+./012�� ���� �� ����� �������� �� ��� ����������� � � ����� �����' (� �+./01� �� ���� ��������� ����� �� ����� �� )���� �� ��� ��������� �� ������5�� ������� %���� ��@������ � ��������� �� ��� ���� �� ������� � ����� ����� ������� �� ������� �� �������� ���� ������� � &��� � ������� ������ �������

#�=# �, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3

Page 49: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

��� ������' (� 1������ �� ����� -#$$$2� �3������ �������� � �� �� �+./01 � � %��� ��� %��������� �� ��� �� �� ���4�� ��� ����������� � � �����' /�� ��� ���%��� ��������� �� ���� � ���� �&� ������ %���� �� �� � �� ���� �� ����� �� ���� ����� %�� ������� �� ��� �����# ��������'

���� � ������ � �3 ����� �� ������� &��� ��� ���������� ����� �� �3 ���� ��� �L�� �� ���������������� � ������������ �� ��� ������� �� �������� �� �������� �� ������ ������� � ���������'����, ��� � �� �L���� �L��� �� ����������� � ������%����� �� �� ��� �� ������� � ��������� �� ������ �� � �� � � �� �������� �� ������� ���' (� ���������� ��� ���������� ����� � � �������� ���%�� �� ��8��� ������ �� ������ ������� �� ���%����' :�&���� ���%�� �� ����� ��� ������� �������� ������� ��� ��' /�� �3 ����� ��� 9�&���4� ����� ���� ���� ����� ���� ��� �������� � ���%������������ ��� ��������� � ���� �� ���� �����# �������� &��� � � �� ������' *�� ���� ���� ��%���� ���� %��&��� ��L����� ����� &����� � � ���� ���� ���� � � � ����� �L�� �� �������� � &���'���� ��� ��� ������ ��������� � ���� ��� ���� �� ����� �� ��� �������� �� ����� - 2� -%2 �� -2 �������� D' (� �������� ��� ������ �� � ������ ��������� %�� ��� ��' *���� ������ �� �������� %������ �� &��� ��� � )��� ���� � �L���� ���� �� ��� ��������� �� ������� � � �����'

�������� �������

������� �� ���� &��) %� ��� G����� �� ��� ���� ���� �� F8� ������� �� �� 9�' K��:F>�!?���$�<D-����� � K������B K�' 1'�' M�)�� �� K�' �'�' (���2� �� %� ��� 9 ���� � ����� /���� ���� �������9�/ T���� (������ ��� �� �� -�� �� 9�' .1��!>?<D$�2 -����� � K������ �' .����2 �� �� ������� )��&������' .������� ������� %� ��� F��� ������������ .����� ������� �� �� W ���=���# �� ����� ������� )��&������' *�� ������ �� ��� �� ����� �� � �������� ����&�� ��� ��� ����������������� �� � ������ ������ ���� � ���'

5���������

; %��) � ('� �����%������ *'� 1 ����� �'� G� ��� �� .'�'� �!!>' ��������� ����� �� ��� �������� �� ��� ,���� ������� ������ �� ���

�� � J� ���� �� ����������� ����� ����� ����' /����� 0���' �� �' K��' �<� #<�4�#�'

; )� ��� 9'�'� � � ���)�� �'�'� �!=>' :�������5 ���� �� ������� ���� ' 1 ���� �� � ���%���� �� ��� 1�� ��� �� .��������

1 ���� ��' 9 �) � 1���&'

; �� �'� :��������� 'I'� 11��)���� �'1'� �!!�' �� ��� ������������ �� ������ � ����� � ���� �� ��� N�& �� ����' ��

1�� ����' �� 1 ���' �!'

; ��� '1'� F���� '*'� �!=<' �� ���� ,���� ������� ������� ��� � �� �� �������� ���%���� �� ����� ������' (��' ' 0����' ��' #?

-D2� D#�4D?�'

;������)�� *'� /���� '� ; ������ �'� �!!>' *�� ����� � ���� � �� ��� ,���� ������� �������� &��� ���� �� ������' .�����' 1���' ����'

1��' 0����' =�� <�4=!'

;������� �� �'� ������ '�'� � � ����� �� �'� �!<=' ��������� � ����� ��� ������� ���������' 9���� :��� ��� ������� �'

.����� .'�:'� �!!#' 1������� �� ��� �� ������ ��� %�� ��� ��� �������� � ���� �� ����� ��������5 ���� ������' ��'K'

K������ ����� G�������� �� 1���� �� 1('

K��)�&�5� �'� K����� ��'� F���� '*'� �!=?' F� � � ���� ���� ��,������ ��� ���� % ��� �� ������5 ���� �� �������� ���� �����'

.���' 1���' ����' 1��' 0����' �� D<4=!'

K������ /'� K�������� :'� K� ��� �'� ����� /'� �!=!' :�������5 ���� �� � � �� ��� �������� ���������' (��' ' 9��' 1���'

0����' #<� #=?4#!='

K�� )� �' '� ;��������� T'� �!!#' F� �� ������ ���� ��� ��� �� ������� ,���� �� ������� �� �� ��� ���� ' ���' �' ��' ����' �

>�<� #!�4��$'

/���� '� ;���)�� +'� �!!?' 1�������� ������ ��� ������� ������������� ���� � � �� ((B ������ �� �������� �� J� ���� ������ ��

�������������� � ��' .���' 1���' ����' 1��' 0����' �#D� �<4�='

/���� '� 9 � )� �'� :������ 1':'� �!!>' 1���� �� �������� ����� ���� ���� �� ����� ���� ��� ������� ������������� ������'

.�����' 1��' �> ->2� �#�4��='

�, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3 #�=�

Page 50: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

/���� '� ���)� �'� � ������ ��� 1'� ����� ��� 1'�'� �!!<' .����� ���� � �� ������ ��� �������� ��������� % ��� �� � ���� �� �

��������5 ����B ������ �� �� ���' .���' 1���' ����' 1��' 0����' �>=� ?�4<�'

/���� '� I ��� �� �'� �!!�' 1����� �� ,���� ������� ������ ��� �� ��� ����������� ������������� ������' .�����' 1��' �#�

�D>4�=$'

������ �'� ���� �'� 1������� �'� �!!?' 1������� � �� � ����� �� ������������� �� ��� ��������� ����� ��������5 ���� ������ ��

+������ ��� ,���� ������� ������' (��' ' ������ �����' �# -�2� #<4D#'

������ �'� ���� �'� 1������� �'� �!!D' *&� � �� � ����� �� ������������� �� ���4�� ��� � ���� �� &��� �������� ��������5 ����

�� +������ ��� ,���� ������� �����' .���' 1���' ����' 1��' 0����' ��#� D�4��D'

������ �'� 1������� �'� �!!=' � ����� �� ���� ����� ���� �� ����������� ������������� �� ��� ��� ���3 ���������' �� 1 ���' >D

-�2� !D?4!=#'

������ �'� 9�& )� M'� ���� �'� �!!<' O� ���� ��� � � ����5 ���� �� �������� �� �������� ������������� %� +������ ����' ��

1�� ��' �� 1 ���' >? -D2� ##�?4##�>'

������� '1'� �!!$' 9������� � ����� ���� � ����� ��� �������� � ���� � ����� ��������5 ����' ��'K' K������ ����� G�������� ��

1���� �� 1('

������� '1'� ��)���� 9'� �!!�' ������������ �� ������������� ��� � ���� �� % ��� �� ��� ��������5 ���� ������ &��� � ����

,���� ������� �������' .���' 1���' ����' 1��' 0����' =�� �>�4�!='

���� ;'� ; %��) � ('� �!=D' *�� ��� ������ �� ��� ,���� ������� ������' ' .�����' 1��' �� #�4>#'

������� �'�'� �!<<' .�������� ������ �� ������ ������� %� ��� ���� ���� �� ���&���(� T���� ������ �� N�& ����� ��� ������

������ ���� ' ' 0����' 1 ���' *��' !!� #4�?'

:���� �'� �!D?' � ���� ��������� ��� ��� �� �������� � ���� ��' ' 1��' ����' ������ ��� #��4###'

:��������� �' '� ��)���� 9'� �!!#' � ��� ����� �� ��������5 ���� �� �� �� �� ��� ��� � ����� ��� ������� ������������'

.�����' 1��' �$� <�4!?'

:������ *' '�'� �!!?' 1����� �� �������� B �����7� ��������� ��� K�����������9��� �� ������ ����� ��%���� � �� ������� %�%%���

�� ��� ������� �� �� %���5�� �������' .���' 1���' ����' 1��' 0����' �#< -�4>2� �=<4>$�'

���� ;'.'� ��)���� 9'� �!=<' 9�& ������� ������ �� ������ ��� %����� � �� ������� � �������� �� ��������� ���� � �� ������'

.���' 1���' ����' 1��' 0����' D?� �4>D'

����� /'� �!=D' K � �� ���������� ��� ����� ��� �������� � ���� ��' 0����' /� ' 1��' #? -?2� <��4<#='

� ���5�� �'� F���� '*' -0��'2� �!!=' �� ��� �� � ���� ����� ���� � �������' ������� ������� 1�� ���� ><� 0�������

������� �'

���� �'� 1������� �'� ������ �'� �!!!' 1������� � �� ����� ���� � ����� ��� � � �� �� �������� � ���� ��' .���' 1���' ����'

1��' 0����' �<#� �<?4#$�'

1������ �' '� 1 � �� �'+'� �!<<' �� ������ % ��� ��� ���� ��,������ �� ������� � ������ ' (��' ' 9��' 1���' 0����' �� -<2� �$=�4

�$!#'

1������� �'� ������ �'� �!!D' � ����� ��� � ����� �� �%��� �� �������� �� ������ ������������� &��� +������ ��� ,����

��������' (��' ' 9����' 1���' 0����' �!� #�D�4#�!='

1������� �'� ������ �'� �!!=' � +������ ��� ,���� ������� ����� ��� � ����� � )��� �� �������� � ���� ��' .���' 1���' ����'

1��' 0����' �?�� �<<4>$$'

1������� �'� ������ �'� #$$$' �� ������ �� �������� �� ��� +������ ��� ,���� ������� ����� ��� � ��5��� �������������

� ���� ��' .���' 1���' ����' 1��' 0����' �=?� �<4<>'

F���� '*'� /���� T'� �!!D' �� � �� ��������� ����� ����� ���� ��� ,���� ������� ����3�� ����� �� ������� %���� �� ��� ���%����'

' .�����' ����' 1 ��' <> -�4#2� #>?4#!�'

F���� '*'� +�� � ���� �'� 1���� 9'� �!!!' :��� ��� � �������� �� ������������� ������' .�����' 1���' ����' 1��' 0����' �<#�

�4#?'

F���� '*'� M����� *'('� �!!<' �� ����� �� � ���� �������� �� ������ ������������� �� ��� ���������' .�����' 1���' ����' 1��'

0����' �>=� �D<4�!�'

� � ��� 9' '� ��%�)�� 0'/'� �!<>' F� ��� �����, �� �� �L���� ������� ��������� ��� ,%���� ���������' ' .���' 1 �' =� #�>4##='

� ����� +'M'� ����� ���� ;'�'� �!!�' 0���������� 1�� ��� �� .�������� ��������' .�. ������ ;� � ���� /�'

� ������ �':'� 1���5��� ('/'1'� . � ��� 9���� ';'� 1 ��� � �'/'� �!!!' � ����������� ��� � ���� ,���� ������� � �����B

��& ��� � ������ ��� ����� ���� � ����������' .���' 1��' #�� �D�4�=='

� �)� 0'� ; %��) � ('� �!=<' �� �3���� ������ ��� ��� ����� � ���� ������ �� ��� �4� ������ �� ��� ,���� ������� ������' (��' '

9����' 1���' 0����' #>� #$=<4#�$D'

��%%���� K':'� ������ '9'� �!!D' �� �8���� ����� ���� � ����� ��� ��� ������ � ����� �� �� �� �� �� ���������' �� �� 1 ���'

�����' ? -�2� �?�4�D$'

� ���5�� ���� � 0'� �!=$' 9�������������� 1��� �� +�%� ���� *�����' ������ ����� �� ������� ��' �#<'� ��������� ;�����'

���� .'*'� .���� '�'� �!!�' � ������� �� � ����� ��� �� ��� %�� ��� �� ,%���� ���������' .���' ��' *��' >$� ��?4�#!'

��J���� �'� �!=?' �� � �� ���% � ����� �� ��� � ���� �� � ������ �� �� ������' (�B � &5�)� �'� ;� ���� �' -0��'2� �� ������

*�� � 4 1������� 1������ �� ����� ������ 0������� ������'

#�=> �, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3

Page 51: A multi-level computational model for multi-scale damage analysis in composite and porous materials

��J���� �'� �!=<' 0������� �� ��������5 ���� ������ ��� ���� ��� ����� ��� ���' (�B � ���5�� ���� � 0'� M ���� �' -0��'2�

:�������5 ���� *����J�� ��� .�������� 1��� � ��������� ;������ ��' �!>4#<?'

*�� � � �'� ��)���� 9'� �!!?' 9������ � ��������5 ���� ������ ��� �� �� � ���� �����' (�B ������ �'� F���A ��� �5�&�)�� 1'

-0��'2� .����� ���� � 1������ �� 1������ ���� ��10 �1K #�#� �4�D'

*��� ��� +'� �!=#' F� �� ��5 ���� �� ������ � ���� �� ��� ����� ������ � ����' (��' ' /� ' �= ->2� #�<4#?�'

P��� 1'� �� ��� K'� �!!?' � �� ������ ����� ��� ����������� � �������� � ���� �� �� ��� ���� ����� �� �������� �������� �������'

.���' ��' *��' ?>� ��4#�'

M��� 'M'� M���)��&�5� F'.'� �!==' �� ���� �����J��� �� ��� ,���� ������� ������' .���' ����' 9��' 1���' >� �!<4#$>'

M��� 'M'� M���)��&�5� F'.'� �!!#' *�� ������������� � �� ������ �� ���������� �����' � �� #B ����� ����� ��� �� � � �����'

(��' ' 9��' 1���' 0����' �� -<2� ��D?4��=#'

M��� 'M'� :������ 0'� M���)��&�5� F'.'� �!!�' 1��� ��������� � ���� ���� ������� ���� ����� J� ���� ��� � ��������' .���'

9��' 1���' 0����' !� ?><4??>'

M����� *'('� F���� '*'� ������ �' '� �!!D' :��� ��� � �������� �� ������������� %�����' .�����' 1���' ����' 1��' 0����' ��=�

#<�4#!='

�, - � �� ��, . /����������� 0!���� ���)� ��) ���!��!��� &� 1����2 �&&34�&�3 #�=?