A Cople Magnetic o

8/17/2019 A Cople Magnetic o

1/25

CIRCUITOS ACOPLADOS

MAGNÉTICAMENTECIRCUITOS ELÉCTRICOS II

ALUMNO: ARANIBAR HUANCAPAZA CHARLES

CODIGO: 1323210081

PROF.: ARMANDO CRUZ


2/25

INDUCTANCIA MUTUA

Autoinductancia

dt

t di Lt v

i1 L1 L2 v2i2

L1 L2v1

M M

La corriente i1 en L1 produce el voltaje de circuito abierto v2 en L2.

La corriente i2 en L2 produce el voltaje de circuito abierto v1 en L1.

dt

t di M t v 1

212

dt

t di M t v 2

121

La inductancia mutua se presenta cuando dos bobinas están lo suficientemente

cerca como para que el flujo magnético de una influya sobre la otra.


3/25

CONVENCIÓN DE LOS PUNTOSUna corriente que entra por la terminal punteada de una bobina produce un voltaje

de circuito abierto entre las terminales de la segunda bobina, cuyo sentido es el de

la dirección indicada por una referencia de voltaje positiva en la terminal punteada

en esta segunda bobina.

i1

L1 L2

M

+

_ dt

di M v 1

2

i1

L1 L2

M

+

_ dt

di M v 1

2

i1

L1 L2

M

+

_ dt

di M v 12

i1

L1 L2

M

+

_ dt

di M v 12


4/25

VOLTAJE MUTUOi1

L1 L2

+

_

v2v1

+

_

i2 M

i1

L1 L2

+

_ v2v1

+

_

i2 M

dt

di M dt

di Lv

21

11

dt

di M

dt

di Lv 12

22

dt

di M

dt

di Lv 21

11

dt

di M

dt

di Lv 12

22

Para frecuencia

compleja

V1 = – s L1I1 + s M I2

V2 = – s L2I2 + s M I1

Para estado senoidal

V1 = – jw L1I1 + jw M I2

V2 = – jw L2I2 + jw M I1


5/25

ESTRUCTURA DE BOBINAS ACOPLADAS

i1

i2

Flujos magnéticos aditivos

i1

i2

Flujos magnéticos sustractivos


6/25

EJEMPLO

I1

100 H

V2

+

_

M = 9 H

I2

V1 = 10/_0°

w = 10 rad/s

1 H400 W

1 W

+ _

I1(1 + j10) – j90I2 = 10

I2(400 + j1000) – j90I1 = 0

7.1690.6

10

7.161724.0400

1

2

V

V


7/25

GRÁFICO DE RESPUESTA EN

FRECUENCIA 400500193600

2

1

2

sss

VV


8/25

EJEMPLO

I1

6 H

M = 2 H

I3V1

7 H3 W

5 W

+ _

(5 + 7s)I1 – 9sI2 + 2sI3 = V1

– 9sI1 + (17s + 1/s) I2 – 8sI3 = 0

2sI1 – 8sI2 + (3 + 6s) I3 = 0

I2

1 F


9/25

CONSIDERACIONES DE ENERGÍA

1

1

111 idt

di Liv

i1

L1 L2

+

_

v2v1

+

_

i2 M Poniendo en circuito abierto las terminales de la derecha y

haciendo crecer la corriente i1 desde 0 hasta I 1 en t = t 1.

La energía almacenada es.

2

112

1

0 111

1

0 11

1

I Ldii Ldt iv I t

Ahora haciendo crecer la corriente i2 desde 0 hasta I 2 de t = t 1a t = t 2. manteniendo i1 constante

La energía entregada del lado derecho es.

2

222

1

0 22222

22

1

I Ldii Ldt iv I t

t

Sin embargo se entrega energía a la red del lado izquierdo.

211221121

2

1211

2

1

2

1

2

1

I I M di I M dt idt

di M dt iv

t

t

t

t

t

t

2112

2

222

12

112

1 I I M I L I LW total

La energía total es.

Haciendo el proceso inverso, se tiene

2121

2

222

12

112

1 I I M I L I LW total

Por tanto

2112 M M M


10/25

CONSIDERACIONES DE ENERGÍA (CONT)El límite superior para el valor de M es

21 L L M

El Coeficiente de acoplamiento se define como

10

21

k L L

M k


11/25

EJEMPLOSea L1 = 0.4 H. L2 = 2.5 H, k = 0.6 e i1 = 4i2 = 20 cos(500t – 20°) mA. Evalue las

siguientes cantidades en t = 0: a) i2, b) v1, y c) la energía total almacenada en el

sistema.

i1

L1 L2

+

_

v2

v1

+

_

i2 M

a) i2(0) = 20 cos(500(0) – 20°) mA = 4.698 mA

dt

di M

dt

di Lv 21

11

b) Para v1 hay que evaluar

M = k L1 L2 = 0.6 H

v1(0) = 0.4[ – 10 sen( – 20°)] + 0.6[ – 2.5sen( – 20°)] = 1.881 V

c) La energía es

w(t ) = ½ L1[i1(t )]2 + ½ L2[i2(t )]

2 + M [i1(t )] [i2(t )]

w(0) = 0.4/2[18.79]2 + 2.5/2[4.698]2 + 0.6[i1(0)] [i2(0)]

w(0) = 151.2 mJ


12/25

EL TRANSFORMADOR LINEAL

I1

V L

+

_

M

I2V s

R1

+ _

V s = I1Z11 – I2s M

0 = – I1s M + I2Z22 = 0

donde

Z11 = R1 + s L1

Z22 = R2 + s L2 + Z L

22

22

11

1

2

Z

sZ

V

VZ

M ent

Z L L1 L2

R2

En un transformador lineal el

coeficiente de acoplamiento es

de algunas décimas.

Transformador lineal con unafuente en el primario y carga en

el secundario

22

22

Z

s M

Impedancia reflejada:

2

22

2

22

22

22

2

22

2

22

22

22

11

X R

X M j

X R

R M ent

w

w ZZ

La reactancia reflejada tiene el signo

contrario al de reactancia X 22


13/25

EJEMPLOLos valores de los elementos de cierto transformador lineal son: R1 = 3W, R2 = 6W, L1 =2mH, L2 = 10mH, M = 4mH, si w = 5,000 rad/s, determine Zent para Z L igual a a) 10W, b) j20W, c) 10 + j20W, d) j20W.

a)

Similarmente b) 3.4862 + 4.3274i c) 4.2413 + 4.5694i d) 5.5641 - 2.8205i

Z11 = R1 + s L1 = 3 + j(5000)(0.002) = 3 + j10

Z22

= R2

+ s L2

+ Z L

= 6 + j(5000)(0.010) + 10 = 16 + j50

22

22

11

1

2

Z

sZ

V

VZ

M ent = 3 + j10 + (5000)2(0.004)2/(16 + j50) = 5.3222 + 2.7431i


14/25

RED EQUIVALENTE Ti1

L1 L2

+

_

v2v1

+

_

i2 M

Ecuaciones de malla para el transformador lineal

dt

di L

dt

di M v

dt

di M

dt

di Lv

2

2

1

2

21

11

Pueden rescribirse como

dt

di M L

dt

iid M v

dt

iid M

dt

di M Lv

2

2

21

2

211

11

Las cuales corresponden a la red

i1

+

_

v2v1

+

_

i2

M

L1 – M L2 – M


15/25

EJEMPLODetermine el equivalente T del transformador de la figura

i1

30 mH 60 mH

i240 mH

i1 -10 mH 20 mH

40 mH

L1 – M = – 10 mH

L2 – M = 20 mH

Q


16/25

RED EQUIVALENTEPA partir de la ecs. de malla

dt

di L

dt

di M v

dt

di M

dt

di Lv

2

2

1

2

21

11

Se puede despejar i1 e i2, obteniendo

t t

t t

dt v M L L

Ldt v

M L L

M t uii

dt v M L L

M dt v

M L L

Lt uii

0 22

21

1

0 12

21

22

0 22

210

12

21

2

11

0

0

Estas ecs. representan ecs. de nodos

de la red de la figura donde

M L

M L L L

M L

M L L L

M

M L L L

C

A

B

1

2

21

2

2

21

2

21 i1

+

_

v2v1

+

_

i2 L B

LC L A

i1(0)u(t )i2(0)u(t )


17/25

EJEMPLO

M L M L L L

M L

M L L L

M

M L L L

C

A

B

1

2

21

2

2

21

2

21

Determine el equivalente T del transformador de la figura

i1

30 mH 60 mH

i240 mH

i1 i25 mH

= 2x10 –4/20x10 –3 = 10mH

= 2x10 –4/( –

10x10 –3)= -20mH

= 2x10 –4/40x10 –3 = 5mH

10 mH – 20 mH


18/25

EL TRANSFORMADOR IDEALEs una aproximación de un transformador fuertemente acoplado.

Las reactancias inductivas del primario y del secundario son muy grandes

comparadas con las impedancias de la terminación.


19/25

RELACIÓN DE VUELTAS

2

2

1

2

2

1

2 a N

N

L

L

Se cumple la siguiente relación:

I1 V2

+

_

k = 1

I2V1

+

_

Z L L1 L2

1: a

a = razón del número de vuelas del secundario al primario = N 2 / N 1

V1 = jw L1I1 – jw M I2

0 = – jw M I1 + (Z L + w L2) I2

Despejando V1:

2

21

2

1

2

22

1

1

1

2

22

1111

L j L L L j

L j

M L j

L j

M L j

L

ent

L

ent

L

www

w

ww

www

ZZ

ZI

VZ

ZIIV


20/25

RELACIÓN DE VUELTAS(CONTINUACIÓN)

Si dejamos queL

1 tienda a infinito

Dado que L2 = a2 L1

2

11

2

1

1

2

2

1

222

1

22

1

1

2

2

1

22

1

/ a L j La j

L j

La j

La La L j

La j

La L j

L

L

L

Lent

L

Lent

L

ent

w

w

w

w

www

w

ww

Z

Z

Z

ZZ

Z

Z

Z

ZZ

2a L

ent

ZZ


21/25

ACOPLAMIENTO DE IMPEDANCIASSuponga un amplificador con 4000 W de impedancia de salida y una bocinacon 8 W de impedancia.

4.22

4.22

1

500

1

4000

8

84000

2

1

22

N

N

a

aa L

ent

ZZ


22/25

RELACIÓN DE CORRIENTES

a L

L

L j

M j

L j

M j

L

1

2

1

221

2 w

w

w

wZI

I

Si suponemos que L2 se hace muy grande.

N 1I1 = N 2I2

Entonces

Para el ejemplo anterior, si el amplificador produce una corriente de 50 mA en

el primario, en ele secundario habrá una corriente de (22.4)(50mA) = 1.12 A.

La potencia en el altavoz es (1.12)2(8) = 10W.

La potencia suministrada por el amplificador es (0.05)2(4000) = 10W


23/25

RELACIÓN DE TENSIONES

1

2

1

2

1

22

2

1

2

1

2

1

2

/

N

N a

aa L

L

ent

L

V

V

I

I

ZI

ZI

ZI

ZI

V

V

La relación para tensiones es

Si a > 1, en transformador es elevador

Si a < 1, en transformador es reductor

V1I1 = V2I2

Se cumple


24/25

EJEMPLO

I1 I2V1

_

10 k W

1: 10

+

V2

+

_

+ _

100 W

50 V

rms

Encuentre la potencia promedio disipada para el resistor de 10K,

La potencia es simplemente: P = 10000 |I2|2

La impedancia que “se ve” en la entrada es Z L/a2 = 100 W

I1 = 50/(100 + 100) = 250 mA rms

I2 = (1/a) I1 = 25 mA rms, la potencia es P = 6.25 W.

Ó


25/25

RELACIONES DE TENSIÓN EN EL TIEMPOi1

L1 L2

+

_

v2

v1

+

_

i2 M Ecuaciones de malla para el transformador ideal

dt

di L

dt

di M v

dt

di M dt

di Lv

2

2

1

2

21

11

Despejando la derivada de i2 en lasegunda ec. y sustituyendo en la primera

y ya que M 2 = L1 L2

22

2

1

2

2

1

1

2

2

2

2

1

11

1v

av

L

Lv

L

M v

dt

di

L

M v

L

M

dt

di Lv

Dividiendo la primera ec. entre L1 ysuponiéndola muy grande

Aaii

dt dia

dt di

dt

di

L

M

dt

di

L

v

21

21

2

1

1

1

1

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