A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

96

Transcript of A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

Page 1: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

� ����������� �� �� � �� �

� �� �� �������� ���� ��

�������� ��� � ���� �� � ��� ��

����� �� ���� ���������

�������� �� ���

�� ������� � ������������ ��������

����������

�������� �� �����

���� �����!����������"

Page 2: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

��������� ��� ��� �� �� ��� � � �� �� ������� ����� ������

� �� ���� �� ������ ��������

���� �� �� �� ���� �� �������� ������ �������� � ������

��� ������ ������� � � ������ ����� ���� �� � ���� ������ �� ������

�� �� � �������� ����� �� �������� ����� �� �� ������ ������ ��

��� �� �� �������� ������ ������� ��� �� ��������� �������

��� ���� �� � �� ������� ����� �� � �������! ����� �� ����� ��

� "���� ������� �� � ������ ������ ��� ����������� ����� � �

������ �� ������� ������ � ���� � �� ����� ������ ��� �� #���

���$�� ������ �� �� ��%���� ��� �� �� ���� �� �������� ������

�������� ��������� �� ���� ��� ���������� �� �� ������������ ����

�� �������� ������ ������� ��������� �� �� �� ��� �� �� ���

� ������ ������� �� ������������

��� ����� ������� ����� �� �� ��� � � ����� ������� �� ��

���� �� ������ �������� &�� ��� �� ��� � ����� ������� ��� ��

#�����$�� �������' �� ������ �� � ����� ������� ��� �� #�����$��

������� ������������ � ������� �� �� ������ ����� �� ���$

����� ��� � ���$ ���� ��� � ������ ����� �� ����� � �� � � ���

�� #�����$�� ������� �� ��� �� ������ ��� ��� �� ���

Page 3: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

��������

������� � ���� ������ �

������� � �������� ��������� ���������� ��� ��������� �������� ��

����� ��������� �

� ���� ������ �

� ����� ��������� �

! ����� ������������� ��

" ������������� �������������� ��

� #�� ������ �� ��� $�����%�� ��� ��� #�� ���������� �����& �'

( )���� ���� !"

������� ! )����������� !�

� #�� ��������� ��������� �������� !'

� #�� ���* ���������� �������� ��������� ��������� "!

! #�� ��������� ��������+����� ",

������� " #�� $�����%�� -�� ��� �� .���� /�������� �� �&� ��

#0�*1�0 .����� �� 2��% .����� ��

� ���� ������ ��

� ����� ��������� �'

�

Page 4: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

� ��������

! #�� ���� �� �0� �0�*��0 ������ ("

" .�����34� ������� �(

� #�� ���� �� �0� ���% ������ �'

( #�� ���� �� � ���% ����� �� � �0�*��0 ����� '(

� /���� �������� ,

������������ ,!

Page 5: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�2)-#51 �

����������

#�� ��� �� ���� ������ �� �� ��� � �0� �������� ������� ������ �� ��� ������

�� ��������� ���������

/����� 0� ���% �� ��� ������ �� �������� ��������� ��������� ���� �

������������� 3��0����� ) �������� ��������� �������� �� � ������ ��0��

������ �� � ����� ������ �� ��������� ���� �� ��3������ �� �� ��� ������� ������

�� ��� ��������� �����

� ������� �� 0� ���0 ���� ��� �������� ��������� ��������� ��� ���

���������� �������� ��� ������ �� ���� �� ��������� 6�� �&� �� ����������7 �� ��

��� ������ �� � ����� �������� �� � ��������� ����� #��� ��������������

����0� �� �� ������� ��� ���������� �������� �� 0��� �� ��� ������ ��� ���

�� ��� $�����%�� ��� ��� �� ��� �8����� ����� �� ��� ���� �� ��������

��������� ���������

� ������� �� 0� ��3� ���� ������������ �� ��� ������������� ������ �� ���

�������� ��������� ��������� �3����� �� ������� � �� 3������ ��������

�� ������������� ���� ������������ 0� ����������� ��� ��������� ���������

�������� �� .������ 9��:� �� ���0 ��0 �� ��������+� �� �� ����� � ���� �����*

������ ����� ��� ����� ;� ������� ���� ��������+������ �� ��� ��������

��������� ��������� �� ���0 ��0 ���� ��� ������ �� ��� .������� ������� ��

Page 6: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� �������� ��

���� %�� � ;� ���3� � ������� ���� �� � ���<������ �� =����� 9��: ����������

��� ����� �� ��� �����& �� ������ �� ����� ���� ��� ���* ���������� ��������

��������� ��������� �� ��� ����������� �������� ��������� ���������

#�� ����� ������� ��� �� �� ���� ������ �� ��0 �� ���3� �� �&������

������� ��� ��� $�����%�� ��������� ��������� ��� �� ���������� �� �������

������ #�� $�����%�� ���������� ����� ����� 0��� �&�������� � $�����%��

��� ��� 6���� ����� ����� �� �������� ��� ���7� �� � �� � �� .���� ��������� ��

��� .���� ������

�� � �� >����

�������

1����� 9��:� 9��: �� 1����� �� ;������� 9��: ��3� ��� �� ��� $��*

���%�� ��� ��� �� .���� ��������� ��������� ��� �� �0� �0�*��0 ������� �0�

���% ������� �� � ���% ����� �� � �0�*��0 ����� ;� ��� ��� ����������*

������ �&������� ��� ��� $�����%�� ���������� �� � ������� ��� �&��� ���

� .���� �������� �� � �8������ �� �0� ��������� �� �� .�����3 9�: �� ������

������� ������� �� � ������� 0�� ;� �����3� ���� ��� �������� ������� �����

���� �������� ��� ������� �� ��?��� ��� �������� �� ��� $�����%�� ��� ���

� ��� ����� ����� 0� ���� � 0�� �� �&����� ��� $�����%�� ��������� �� �����

�� ������� �� ����� �� ��

Page 7: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�2)-#51 �

�� ���� ��������� ��������� ��� ��������� ��������

�� ���� �������

�� �� �����

) �������� ��������� �������� �� � ������ ��0�� ������ �� � ����� ������

�� ��������� ���� �� ��3������ �� �� ��� ������� ������ �� ��� ��������� �����

;� ��� � ��� ������������ ���0��� ��� ���� �� �������� ��������� ����*

������ ��� ��������� �������� �� ����� ��������� �� ��� ��������� ����� ;�

���3� � � ������������� �������������� ��� �������� ��������� ��������� ��

����� �� ������ �� ���� �� ��������� 6�� �&� �� ����������7 �� �� ��� ������ �� �

����� �������� �� � ��������� ����� ;� ���0 ��0 ���� �������������� ����0�

�� �� ������� ��� ���������� �������� �� 0��� �� ��� ������ ��� ��� �� ���

$�����%�� ��� ��� �� ��� �8����� ����� �� ��� ���� �� �������� ���������

���������

�������� ���0� ��� ���������� ���0��� �������� ��������� ����*

����� �� ������������� �� 9��:� @�� � ������� A� �� �'�B!!� #�����

�������� ������ ��� �������� ��������� ��������� �� ��� ������� �� ����*

��� ����� ���� ��&�� �� �� ��� ������ �� C���� �D�����

�

Page 8: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

� �� �������� ������� � ����� ���

� 9�: �� =����� ��� �������� ��������� ��������� �� ���3� �&������

�������� ��� ��� ������ �� �� � C���� �D������ �� B� �������� 0��� ����� �

�� �� 0�� � �� � ��������� ��������� ����� �����3��� =����� �&��� � ���

������� �� � *�������3����� �� �������� ��������� ��������� �� ���0� ����

��� �&� �� ��� ������ �� � � � ����� �D����� �� � *�������3� �� � �������� ��

� .��������� =����� ���0� ���� ��� �&� �� ��� ������ �� ��� B� ��������

0��� +���� �� ��� ������� �� �3��� ��0 �� ������ ��� � �� � *�������3� ��

� �������� �� �

�������� ��������� ��������� ������ ��������� �� ��� �����&� �� ��� ���*

��� �� ���������� .������ ���� � �� � ������ ���� �� ����� �� ���� ��� �

������� �� � ��� ��� �� � ������ �����E

� 6� � � � �7 >�����

6���F � F � � �F ���7�

#��� ��� �������� �� �� � � � � �� � 6� � � � �7 ��� �� �&������ �� ����� ��

��� ��������� �� ��� ������ ������� ����� ��� ���������� �������� ���������

��������� #��� �������� ��3� ���� �3����� �� =���*����� 1��� �� G���

.���� �� ���������� 0��� ��� ������ �� ���������� 9��:

�������� ��������� ��������� ������ �� ����� ����� �� �����������

#��� 0��� ����� ��� �� ������ 0��%��� �� ��3������ ������ ���� ���������

=����� �� H�%%� 9�:� �� I�3�� �� .��%���� 9��: ��� ���� �� �����������

0��� ��� ������ �� ������� �8�������� �D������� ) ��� ������� �� �������

9�: ��� ���� �� ��� ��� � �� ��� ���������� �� ��� ��������� �����

Page 9: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� �������� �� �

�������� ��������� ��������� ��3� ���� ����� ��������� ��������� ��

��3���� ������� �� ���������� �� �������� 9��:� �������������� ���������

�� ������% 9��:� �� 3����� ��������� ��������� �� =����� ��������� �� 1���

�� .���� 9��: #�� ���� �� �������� ��������� ��������� 0�� ����� ���

�� =����� �� 9�:

#��� 0��% �� ������� �� H�������4� ��� � �� ��� ��������� ��������� ��

����� �������� 0��� ��� ��������� ������� 9�: #����� H������� ���� ���� ���

��� ��� ��� �� �� �� ��� �� H�������� , 2� ���0� ���� ����� ����������

���������� ��� ��� ��� ��� �� ��� ��� ������ ��������� �� ��� ��� ��� ��� ��

��� ��������3���� 0���� � �� � ��������� �� � �������� �� � .�� ��������� ��

��� � ������ ���������

�����3��� H������� �����+� ���� ��� ���� �� ��� ������� �� � ��� ��� ���

���� ���� ��� ��� ��� ��� �� �� ��� ��������� ��������� #��� ����3��� ���

�� ���� � 3����� ����� ������ �������� �� ��� ������� J������� ����� ���

����� �� H������� ��������� ��������� 2� ����� ��� ����� ����� �� ���� 3�����

����� �� ��� �D������� J�� >��������� J��� J�� >

���� J��� �� �� �� 6.��

)���� �& (� ��� ��� ����� ���������7 )����0�� �� �� ������� ��� ��������

�� ������ �� ����� �� 0��� �� ��� ������ �� $�����%�� ��� ��� �� ��� H�������

��������� ��������� ����� �K����� ��3������

#�� ��� �� ���� ������� �� �� ����������� H�������4� 0��% �� � ���������

H������� ��������� ��������� 0��� ��� ������� ��������� ���������� ���� ���

0��� ����� �������� ��������� ��������� ���� ��� �� �&� �� � ���������

Page 10: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� �� �������� ������� � ����� ���

6� � � � � �7 #��� ��%� ����� ��� �0� �8����� ������� I� ��� ��� ��� � ���

������� �������� ��������� ��������� �� ��� H������� ��������� ���������

��3� ��� ���� �������� �� ������ �� ������ �� 0��� �� ��� ���� ������ ��

$�����%�� ��� ���� I� ��� ����� ��� � 0� ���� � ���<������ ��� �� �� �

0�� ���� ��� ����� �� � H������� ��������� �������� �� � ������ ������ ����� �

��������� ��������� �� ������� �� ��������� ��

�� ����� ������ ��

C�� � �� � 3����� �� � � ) 3����� ��������� �� � �� �� ���� ��� ��D�����

�� 3������ � > 6�� �� � � � ��76�� �� � � � ��7 � � � ������� �� �� ;� ������ ���

������� �� �� �� � ������� ��������� �� �� ������ �� ����% �� ����� ������� ��

�������� �� ������ #���� � �� ��� ����� � �� ��� �� � �� � �� ��� 0����

;� ����� �� �0� ���� ��D������ �D��� �� ���� �8�� �� � ������ �� +���

3������ ;� 0���� � � � �� �� ����� ���� � �� � 3����� ��������� �� � #��

���+��� 3������ 6�� �� � � � ��7 ��� ����� ��� ����� �� �� #�� ������ �� �����

�� � �� ���� �� �� ��� ������ �� � �� ����� �� �6�7

.��������� 0� 0���� � ����� ����% �������� #��� ��� �� � ����6�� �� � � � ��7

������ �� ���� 6�� �� � � � ��7 ���� 0� 0���� � > � � � 6�� �� � � � ��7������������� � � � �

#� ��� 3����� ��������� � 0� ��������� �0� ������� �������E

�L > ��L ��L � � ���L ��L ��L � � ���L � � �

��� >��

�6�� �� � � � ��7L�

Page 11: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� ��� � ��� � � ���� ��

#�� 0����� �� � 3����� �� 0������ �� 0�����6�7� �� ��� ��� �� ��� ���� ������

�� � C�� � > �� �� � � � � � > � � � � � � � � � � �� � > �� �� � � � �� �

������� ��������� =�3�� ��� ������ ��0�� ������ �� �99� � � � � �:: ����� ��

� ������� ������ �� � �� 60���� �� > ������ �� �� �� ��� ��������� �����

�� � �������7 �� � ����� ��� ������� ������ �� ���� ��

��6�� � � � � �� �� � � � � �� � � � 7 >

�6��� �� � � � ��� ��� �� � � � ��� � � � 7�

) ������ ��0�� ������ � �� �99� � � � � �:: �� ����� � �������� ���������

��������� �� � ������� �� �� ����������� �� �� �� ��3������ �� �� ��� �������

������ �� ���� � �� �� �� ��� ����� ����� �� � �� ���� � ;� ����� ��

�� ��� ��� �� �������� ��������� ��������� �� � ������� �� �� �����������

� �������������� �� ��� ���� �� ��������� ���������

C�� � �� �� �������� ��������� ��������� .���� � F �� � ���

�� �� 0��� ���� � �� ���� �� �����0� ���� �� ��� � ���� ���������

�����3��� �� ��� � ��� � ���� ��������� ;� 0����

��� >

�����

�� ������

���

0���� �� �� ��� 3����� ����� �� �������� ��������� ��������� �� �������*

��������� ����� � )%�� �� ��� ����������� ������ �� ��� ���� �� ���������

���������� ��� 3����� ������ �� ��3� ����� �� �&� �� 3����� ���������� ��

Page 12: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� �� �������� ������� � ����� ���

�� ����� ��� ��������� ����������� ��0�� ���� �������� ������������ ��

��������� �������� ��������� ���������

#�� ���� ���� ����� ��� ���� �����0��� �������� 9��:� ��� ���������

�������� ��������� ��������� ��� ���� �����0��� H������� 9�: /�������

��� ���* ������������������ ��������� ��������� 0��� ����� ��� �� =�����

9��: ;� �����0 ��� �������� �� ��� ���� 9�� ��:

��� ������ ������ � ������� ���������� )�� 3����� ���������

� > 6�� �� � � � ��76�� �� � � � ��7 � � �

��������� � ��������

�� > ��� ��� � � � ���� ��� ��� � � � ���

� � � ���� ��� � � � ���� �

#�� �������� �������� ��������� �������� �� �&� �� � �� ��� ��� �� ���

������� ��������� ���� ��� �� ������� ���� �� �� � ����������� � �� ���

0���� ��� ������ �� � �� �� �� ��� ������� ������ #��� ���

�� >�

���� ����� � � ���

������

����� � � ���

��� � ��

0���� ��� ��� �� ��%�� �3�� ��� �8����� ��������� ��3��� �&������� 6�� �� � � � ��7

6�� �� � � � ��7 � � � �� 0���� � > 6�� �� � � � 7

��� ������� ������ � ������� ���������� C�� 6� � � � � �7 �� �

3����� #��� �������� �� �� ���� �� ��� ���������� ��������E

������� ��

�������� ���!� � � ��� >

��

6� F ���F �!F � � �F ���7�

Page 13: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� ��� � ��� � � ���� ��

C�� � �� � 3����� ��������� ;� ��� �� > ���������� ������������� ��� � � � �

��� ������� ����������� ������ � ������� ���������� C�� 6� � � � � �7

�� � 3����� #��� �������� �� �� ���� �� ��� ���������� ��������E

������� ��

�������� ���!� � � ��� >

��

�

�� ���� �!� � � � � ����

C�� � �� � 3����� ��������� ;� ��� �� > ���������� ������������� ��� � � � �

������� �������� ����� ��� �0� 3������� �� ��� �������� ������*

����� �������� ��������� ��������� #�� ���� 3������ 0�� ���� ����� ���

���������� ��������

���

M������! >

��

�

6�� ���76�� �!7

N��� ���� M���� > M�����M���� ;� ��� �����0��� ��������4� ����� ��������

.�� 9��:� �� �'!B�'"

��� ����� ��� ������ � ������� ���������� C�� 6� � � � � �7 �� �

3����� #��� �������� �� �� ���� ��

�������� �� >��

���� � � � �

�� > �������� ���

C�� � �� � 3����� ��������� ;� ��� �� > ���������� ������������� ��� � � � �

��� ��������� ������ � ������� ���������� � ��� ���� �� ��������

.�������� /�������� ����� �� �� ��3������� ���� �� "6��7 > ��� 6.�� 9�:

��� ���� ����������� �� ��3������� "7 ;� ���� ��� ��������� ��������

��������� ��������� �� ��� ����� ����� �� ��� �������� �������� ������*

��� ��������� ��������� �� �� ��� ��3������� " ���� ���������� ��� ���������

Page 14: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� �� �������� ������� � ����� ���

�������� ��������� ��������� ��� ���� ��

"6��7 > 6�����7 ��

0���� ��� ���� �� � �� ���� �� �����0� #� ��� 3����� ��������� � 0� ���������

��� ��������� �� � ���� �� 6�� F � � �F �� �� F � � �F �� � � � 7 > 6������ � � � 7

#���� 0� ���� ��� ���� �� � �� 6��7��������������

������� ;� ��� �����0��� H�������4� �������� �� ��� ��������� �����*

��� ��������� ��������� 9�: ������ �� ��� ��� �� ��� ���� 9��:

���� � �� ) 3����� ��������� �� ������� �� �� �� � ��������� �� 6�7� >

6� � � � � �7 �� � .��������� � �������� ��������� �������� �� ������� �� ��

�� �� �&� �� � ������� 3����� ���������

;� ������ ��� ��� �� �� �� �������� 0��� ��� ������� �� ������� ���������

�� �K����� ��3������ 6.�� 9��� ��: ��� ���� �����������7

) ��������� � �� 9�: �� � ������ �� ������� �� #� ����� ��� ����%� �� ���

��������� �� 0��� ��� �����0��� ����������E

6�7 53��� ����% �� � �� � �������� ������ �� #

6�7 #0� ������� ����%� �� � ��� ��<����

6!7 53��� ������� �� # ������� �� � ����% �� �

;� ����� �� O� ��� ������� �� ��� ���������� �� 9�: �� ��� �� ��� ���������

�������� #��� ��� ��� � �� $ ���������� �� O� 0� ��� ���� � �� � ��������� ��

$� 0������ �� � � $� �� �3��� ����% �� � �� � ������ �� ���� ����% �� $

Page 15: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� ��� � ��� � � ���� �

� �� 0���*%��0�� ��� ��� �������� 9��� ��:� ���� ��� �K����� �������� �� ���

��������� ������� O� �� ��3�� �� %� > 6��7���6�� �7L

#� ������� ��� �K����� �������� �� �� �����3�� �� ��� ��������� �������� 0�

�����3� ���� �� � > &� &� � � � &� �� &� �� ���������� ���� �� ����%� �� ���

��������� $� ����

9$ �: � O�� � O�� � � � � � O�� �

0���� 0� ��� �������� ���� �� � �� � � � � �� ;� ���� ��� ���� �� 9$ �:�

����� �� ����6$ �7� ��

����6$ �7 > 6�� �� � � � ��7 > 6������ � � � 7�

#���� 0� ��3� ���� %6$ �7 > %��%�� � � �%��� ;� ���� ��� ���� �� �� �����3��

9$ �: �� ���� � �� ����6$ �7 > ����� > 6��7����������� .��������� 0� ���� ���

���� �� � ��������� � �� ���� � > ����6M �7� 6#��� �������� �� ���������� 0���

��� ���3���� �������� �� ���� �7 ;� ������ ����

%6$ �7 > ����6$ �7�%6$ �7��

� ��� �� ;� ����� ���������� �� O� �� =���% ������� ��%� �� $� �� '

;� ����� 3����� ���������� �� =���% ������� ��%� �� % �� (

#� ��� ��������� � > &� &� � � � &� 0� ��������� ��� ������� 3�����

��������� � > 6�� �� � � � 7� 0���� ��� ���� &� ��� ��� ���� ����� � �� � �� �� &�

�� �����0���

/�� ��������� �� ��� ��������� ��!(�"��� 0� ��������� ��� ������� 3�����

��������� 6� � � � 76 � � �7

Page 16: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

� �� �������� ������� � ����� ���

N��� ���� 0� ��� ����3�� � ���� � 2����� ��������� 0� ����% �� �������

3����� ���������� �� ���������� �� 0� ����� ���� �� =���% ������� ��%� �� $�

�� '

C�� ) �� � ������������ �������� ) 0�� �3�� ��� �������� ) �� � �����

��D����� �� �������� �� ) ;� ����� � ��� ����� ��D����� �� ���� �� ���

����� 0�� C�� " > *�*� � � �*� �� � 0�� 0��� ������� �� ) #�� ���������

� �� ����� ��� ������ �� " �� �� ����� �� �"� /�� ���� ������ * �� ) 0�

����� �� �"�� ��� ������ �� ���������� �� ��� ������ * �� ��� 0�� "

#�� ��� �� ��� 0�� � �� ��� �������� ) ����� � ����� � ����� �� )��

#�� ��� �� ��� �������� 0�� � �� ����� �� )�� ;� �&��� ��� ����� �� �� ��

) �� � ����� �� �� �� )� ����� ��� ��&���������� �� ��

#�� �3�������� �� � 0�� " �� )�� ����� �� �36"7� �� ��� ��������

�� � � � �� �� �9� � � � �: 0���� � > �"��� � > �"�� � �� � > �"��

) ��D����� �� 0�� � �� )� �� � ������� �� ��� �������� �� 0�� � ;� �����

��� ��� �� ��� ��D������ �� 0�� � �� )� �� )�

#�� �3�������� �� � ��D����� �� 0�� � � > "�"� � � �"�� ����� �� �36�7�

�� ��� �������� �36"�7�36"�7� � � �36"�7 0���� �36"�7> ��� ��� � � � ���� � �� �� >

�"��� � �� > �"��� � �� �� > �"��� N��� ���� ���� 0�� "� �� �3������ �� �

�8����� ��������

� + �� � ��� �� 0�� � �� �� ��D����� �� 0�� �� ���� ��� ���������� ��������

�� + �� ��� ��� �� ��� �3��������� �� ��� �������� �� +

Page 17: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� ��� � ��������� ���� ��

�� � �� � �� ��� ������� ����������� ������ � ������� �����

���� �������� �� �� ��� ��������� �������� ��� ��������� �� ����� � �� )� ����

��� ���� > �� ���� > � � � � � �� ���� > ��

�� � #�� ���������� �������� ��� 0�� � ��)� 0��� �3�������� ����� � � ����

�� �� F , F � � �F �

� , � � � �

����

�� � � �����

#��������� ��� ���������� �������� ��� ��D������ �� 0�� � �� ��3�� ��

��

��������� ��

��F , F � � �F �

� , � � � �

����

�� � � �����

�!� � � ����

>��

���

6���F �! F � � �F ���7�

�>

������� ��

�������� ��7�!� � � ����

�

�� ����� � ������� ��

;� ��������� �� ��� 3����� �� � �� 0����� � � ����� �������� �� ��

�� �����0� C�� � > 6� � � � � �7 �� � 3����� �� � �� 0����� � C�� �� ��

��� ����� �������� �� �� ���� �� �� > ��������� � � ����������� ��� � � � � �

����������������� ���

;� ��3� ���� �� ���� �� 9�: �� ����������� ��� ��������� ������ �� �� ��

9�: �� ������������ �� �� �����3��� ���� ������ ���������� 9�: ���� �D��3������

������� #0� �������� �� �� �� ������ �� ��� ���� �D��3������ ����� �� ��

���� �� ����� �� � ����������� $ �� �� ���� ���� $�� > ��� ;� �� �� ���

�D��3������ ������� ����� ��� �������� ������� �� ���� �� ����

Page 18: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� �� �������� ������� � ����� ���

C�� 9�:� �� ��� ��� �� �� ��� ����� 6� ,7 0���� ��� ������� � �� 9�: �������

�� ��� ,�� �D��3������ ����� �� 9�: �� �� ��� ������ �� �� /�� �����������

��������� 0� ����� ��� ���� 6� ,7 �� ������� , ��� �3�� � /�� ��������� ���

������� 6! �7 �� ��������� ����� �� K!

;� ��� ����% �� 9�:� �� � ��� �� ������ ����� � 0� ��������� 6� �7 �� ������

���� ���� � ��� ���� ������ �� ���� �� 9�:� ����� ��� � ����� ������ �� � �����

������ �� �� �� ��

)������ 0�� �� ����%��� �� 9�:� �� �� �����0� ������ ��� ������ �� ��� �����

�������� �� �� 9�: 0� �� ����� � � � � � � �� 0� %��0 ��0 �� ����������

���0��� ���� #���� ��� ������ �� �� �� � �� ������ ���� ����������� �

����������� �� � > 6�7� ���� 0� %��0 ��0 �� ���������� ���0��� ��� ��� �����

���� ��� 0� ����� �� �!�� ����� I� ��� ����� ��� � �� � > 6�7 ���� 0� ���

��� ���� �� ���������� ���0��� ��� �� ��� ������ ���� ��� 0� ������ �!�� �����

C�� 6O�7� �� ��� ������� �� ���������� �� 9�:� =�3�� � ��������� � �� O�� 0�

��������� � ��������� �� �� 6O7� �� ��������� ������� � �� � �� ��� �� ��� ����

6� �7 #�� �������� �� 6O�7� ��� ����� ������ ����������

C�� �� �� � ������ ��������� #�� ���� �� �� 0������ ����6��7� �� ���

3����� ��������� �� � ���� �� ������ ���� ����6��7 ��� ���� 6�� �� � � � ��7

0��� ������������ �� �� �� ���� �� ����� ��� �&����� �� ����%� �� �� 0��� ��

�������� �� ��� ���� �D��3������ ������ �� �������� �� ��� ����� �D��3������

������ �� �� �� ����� ��� ���� �D��3������ ����� ���� ��� �� �������� #��

�������� � � ����� ���� ����6�7 > ��

Page 19: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� ��� � ��������� ���� ��

������� ! 6����� ���� �� O�7� ;� �&����� ��� ������ �� ����� �� O�

/����� 0� ��3� ���� 9!: �� ���������� ���� �0� �D��3������ �������E � ��

� ! �� ��� ������ �� �����

6�7 #�� ��� ��������� � > ����! ��� ���� 6� 76 � 76 �7�

P� �� ��� ������ �� ������ � �� ������ �� ����� > Q��K��K!�

�����3��� ����6�����7 > 6� 76 �76 �7 � 6� �7

6�7 #�� ��� ��������� � > ���! ��� ���� 6� � 76 �7�

P� �� ��� ������ �� ������ � �� ������ �� ����� > Q�K��K!�

�����3��� ����6�����7 > 6� �76 �7 � 6� �7

���� � "� C�� �� � �������� ���� 9�:� �� � ;� 0����� ��

�6 7 >������

-6.7���

0���� -6.7 ������ ��� ����� �� ���� . �� 0� ��� 3�������� � � � � � �� �����

��� ������ �� ��� ����� #� ��� ��� �� ��������� / 0� ��������� ��� ����������

��������E

�6/ 7 >����

�6�7�

������� �� .������ ���� E 9�:�������

� � �� ���� �� Q� �� !� Q� �� ��

K! �� !� K" �� !� �� � �� � #���� �6 7 > ��

������

���� � (� C�� �� �� ��� ��� �� ��� ��������� ���� 9�: �� � #��� ���

�� > � E 9�: � ��

Page 20: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� �� �������� ������� � ����� ���

;� ��� ���� � ������ ���� � �� ��& , �� �6�7 > , =�3�� ��� � ��� 0� ���� �

��������� �� 9�:� ����� %�� � � �� ������ ���� �� �� �� ��� �� ��� ���� ����%

�� %�� � �� �� ���� �� �6��7 > �6��7�

���� � �� ;� ���� � ���������� �� �� �� ����������� �� ��� �����

6���� ��� ��� �������� �� 9�:7 ���� ��� ��&�� 6���� ��� ��� ������3� �������� �7�

�� 0���� ��� ����� �� ���� ��& ��� �� ����� �� ���� ������������ N��� ����

��� �������� �� � ���������� 0���� ��� ����� ��� �� �� ������� ������������

6H������� ��� ��� 0�� ������� ��� 0��� 0� ��� ������� ���������� )� ������

��� �� 9�:� ����������� ��� ������� ������ �� ��������� ��������� 9��: �� ���

����������� �� ��������4� ����������� ���� ������ 9��: ;� ��� �����0���

=*� 1��� �� ������� ���� �����������7

;� ���� ��� �� ������� �������� �� � ���������� � �� �� ��� ��������

������� ���� � �� 0� ������ ����� ��� �&��� ��� ��3�� �� ��� ������������ ��

��� ����� #�� 0����� �� � ���������� �� ���� �� ��� 0����� �� ��� �� �������

�������� .��������� ��� %����� �� � ���������� �� 0������ �� %�� �� �� ���� ��

�� ��� %����� �� ��� �� ������� ��������

���� � ' 6#�� ���<������ ���7� C�� �� �� � ����� �������� �� ��

������ �� O� C�� � E 9�: � � �� � ���������� ;� ���� �� E 9�:� � � ��

��66� �77 > �6�7�

#�� ��� ��� ��� � �� �� �� ����� ��� ���<������ ��� �� ����� �� ���

Page 21: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� ���� ����� �� ���������� ��� ��

�� � � ��� ���! ����"������ �

� ���� ������� 0� ���� ����� ������� �� ���� �� ��������� �� �0� ������� ��

���� �� ����������� 5��� �� ����� ������� �� �� �&� �� ���������� �� O� ;�

���0 ��0 ����� ��������� ��� ���������� ��������� ��� ������ �� ��� ������*

���� ����� �� ��� ����� �� ������� �������� ��������� ��������� �����3���

0� ���0 ���� ��� ��������� ����������� ��0�� ���� �������� ������������

�� ��������� �������� ��������� ��������� ��� �� ������� �� ��� ����������

�������� �� ��� ����� �� ��� ����� ���� �� �� ��� ������ �� � ����� ��������

�� ��� ��������� �����

���� � , 6H�������7� C�� � �� � ��� ��������� �� 9�:

6�7 C�� �� �� ��� ������ �� �� ���� �� �� > � E � �� %�� � > �

�� ��� �� �� ��� ���������� ��������� �� > �6��7

6�7 C�� �� �� ��� ������ �� �� ���� �� �� > � E � �� %�� � � �

�� ��� �� �� ��� ���������� ��������� �� > �6��7�

6!7 C�� �� �� ��� ������ �� �� ���� �� �� > � E � �� %�� ��� > M

�� ��� �� �� ��� ���������� �������� �� > �6��7�

6"7 C�� �� �� ��� ��� �� ����������� � ���� ���� 0����� ���� ��& ��� �����

���� ��� ���� ����% �� � ��� �������� �� ��� C�� �� > �6��7 �� ���

���������� ��������

6�7 C�� �� �� ��� ��� �� ����������� ���� ���� ����� ���� ��� ���� ����%

�� � �� ���� ��� ���� ��&� �� 0����� ���� ��& ��� ����%� ���������

��� �������� �� ��� C�� �� > �6��7 �� ��� ���������� ��������

Page 22: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� �� �������� ������� � ����� ���

��� ��� � � "�� �� � #���� �� ����� �� ��� "�� � � �������� ��

9�: �� �� � � ��� � �� �� ��� $� �!� ��� �� E���� ���� �����!���

�� �� �����

�� �� ��

�� �� �L ��

�� �� �L ��

�� �� ��� ���

����� �L > ��L ��L � � ���L ��L ��L � � ���L � � � �� ��� >���6�� �� � � � ��7L�

�� � ;� �����3� ���� �� �� �� �� �� �� ������ �� ���� �� ����

����� ����� �� �� �� ������ �� ��

6�7 C�� � �� � �������� �� �� .������ ���� ��� ���� �� ��� ����� �� �

�� �� �� �� � > 6�� �� � � � ��76�� �� � � � ��7 � � � 6�� �� � � � ��7 #����

�6�7 > ���� ����� � � ���

������

����� � � ���

��� � � ����

����� � � ����� �

#���������

�6��7 >�

��� ��� � � � ���� � ��� ��� � � � ���

� � � ���� ��� � � � ���� �

Page 23: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� ���� ����� �� ���������� ��� ��

0���� ��� ��� �� ��%�� �3�� ��� ������� �� �&�� �� �� � � � �� )�� ����

�������� ������ �� �6��� ��� � � � 7L�6��� ��� � � � 7L � � � �8����� 0���

;� ��3� ������� ���� �60�7 > ������

6�7 ;� ��� ��0���� �� ��

�� > � E � � �� � �� �������� �� ����%� &� &� � � � �� �

#���������

�6��7 >�����

�6�7 >�����

�6� �&�7�6� �&�7 � � �

>�����

� �� ��������

�6� �&�7�6� �&�7 � � � >��

�� ������ ��������

�6�7

>��

6��� ��� � � � ���� F ���

��� � � � ���� F � � � 7

>����������

�����

�����

� � � ������

�����

�����

� � � ������

� � � > ���

6!7 �� �������� �� �� ��� ��� �� ��������� ���� 9�: �� � ���� ��� ��<����3�

�� ��� ����%� �� � 2�����

�6��7 >�����

�6�7 >����

� �� ���������

�6� �&�7�6� �&�7 � � �

>��

� �� ������ ���������

�6�7

��

N��� ���� �6�7 �� � �������� 0������ ������� ������ �����3��� ����

���� �������� ������ ���� ��L ��L � � � ��L �8����� ��������� � E &� �

Page 24: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� �� �������� ������� � ����� ���

�� #���������

�� ������ ���������

�6�7 > ��L ��L � � ��� L���

�� �6��7 > ��L ��L � � ���L ��L ��L � � ���L � � � �������� > �L ���

6"7 #� ��������� � ���������� � �� 1�� ��%� ��� �� ��� ����%� �� � ��

��� ���� �� ��� ����� �� ��� �� ��� ��&�� C������� �� �� ��� �����

���� � ���� ��& 1����� ���� ������� ��� ��� ����%� �� � � �����0� ����

�� >�

������ �

�6&7�

#��������� �� �� ������ �� ��� � 1�����

.������ ���� �� 9�: ����� ��� � ���� ������ � �� ������ �� �� �� �

���� ��& 0� ��3� � 0�� �� � ��� �� ����� ������� .������ 0� ��3�

���� ��� �� ������� �������� � ��� ��� ����� �� ��&�� #�� ��&��

��� �������� �� ��� � #��������� ����� ��� �L �8����� 0��� �� ��������

�� ����� ��� ����� �� 9�:� �� 0� ��� ��%��

�

������ ��

��D������ �� 0�� �

60��� ��� ���� �� ������� ��������7 ��� �� ����� ������� #��������

����� ��� �L�L � � ��L �����������

-���������� � ���� ���� �������� �� �� ��� ���������� �������� ��� ��*

D������ �� 0�� � � �� )� ���� ���� ���� > � ���� > � � � � ���� > ��

2����� �61����7 > �L �L � � ��L �� ��

�6��7 > ��L ��L � � ���L ��L ��L � � ���L � � � �������� > �L ���

Page 25: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� ���� ����� �� ���������� ��� �

6�7 � 9�: H������� ���0� ���� "6��7 > ����6�7�� 0��� � �� � �������

3����� ��������� #��������� 0� ��3� ����

6�����7�� > "6��7 ��"6�����7

> ���"6��7

> ���6�����7���

.���� ����� > ���� � ��� ��� � �� ���� �� 0� ��3� ���� �� �� ������

�

� � ����� �� 6H�������7� "�� �� � ��� � ������� ������ "�� � �

�������� �� O� �� �� � � ��� � �� �� ��� %&��� ��� � �� �������� �� �'�

$� �!� ���

�� E���� ���

����� �� �� ��� !����� ���� �� � ������� ��������� �� ������ �� �����!���

�� � ��� ��� ��� ��� ��� ��� �� �� �� ��� ��� � ������� ����������

;� ��������� ��������� �� �� ������ ���� ��� ��������� ��������� ��� ���

���������� �������� ��� ��� ��� �� ��������� ��3�� �� H�������� , �� 0� ������ ��0

�� ���������� ���0��� ��� �������� �� 9�: .��������� ��� ������� ��������

��������� ��������� ��� ��� ���������� �������� ��� ��� ��� �� ��������� ��3��

�� H�������� , �� 0� %��0 ��0 �� ���������� ���0��� ��� ��� �������� �� 9�:

)�� ����� �������� ��������� ��������� ���� ���0��� ����

#�� ������� �� #������ � �� ������ ������� ������� �� �&�����

Page 26: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

� �� �������� ������� � ����� ���

������� �� 6����� ���� �� O 7� C�� � > ���!��"( �� � ��������� �� O

#�� ���� �� ����� �� ��3�� �� � > 6� 76� �7�

6�7 � � ��� ���� %�� � > � � �����0� ���� Q� Q� �� � Q! K� �� , ��

Q" K( �� � �� � , �� � ��� �8����� �� ����

#�������� �6�����6�77 > ������� �����3���

�6�����6��77 >����� !�"#

������� > ����� !�"#

������� > ����������� �

6�7 � � ��� ���� %�� � � � � �����0� ���� Q� Q� �� � Q! K� �� , �� Q" K( ��

� 0���� � , � ��� ��� ����������� �8����� #��������� �6�����6�77 >

������� �����3���

�6�����6��77 >��

�����

����

� > ���������� �

6!7 � � �� ���� %�� � � � > M � � �����0� ���� Q� �� Q� ����� �� ��

�8����� ����%� �� %�� � � �� ���� Q! �� K� 6�� Q" �� K(7 ���� �����

�� �� �8����� ����%� �� %�� �� ;� ��3� �����

�6�����6��77 >�����

���������

����� ���

���

> ��� �

���������

��������

��� > ����������� �

Page 27: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� ���� ����� �� ���������� ��� ��

6"7 � � ��� ���� ��� ����� ������ ���� ��� ���� ����% �� � ��� ��������

�� ��� ;� ��� �����+� ���� ����% ����������

�6���6������77 >��

��� F�� �

����

�6�����6������77 >��

��� F�����

���

#���������

�6�����6��77 > �6��

��� F�� �

����76���

��� F�����

���7� > ������������ �

6�7 C�� � �� ���!"��( #� ������� �6��7 0� ������ �� �����0�E

#�� ���������� �������� ��� ��� ��� �� � O ���� ��� ��� ����%�

�� � �� ��� ���� ����% �� �������� �� �� ���� �� !L������

#�� ���������� �������� ��� ��� ��� �� � O ���� ��� �0� ����%�

�� ��� ��& �� ��� ����� ��� �� ������� ��&� �� ���� �������� �� ��

��� �0� ����%� �� �L������ F �L������ F �L�� �����

#�� ���������� �������� ��� ��� ��� �� � O ���� ��� ��� ����%�

�� �8����� ��&�� �� ������ #���������

������ > !L������ F �L������ F �L������ F �L�� ���� F������ �

#���� 0� ����� ��� ���<������ ��� �� ���� �� ��� ������� ����������������

��������� ��������� �� ��� ���3���� ���� �� ���3������ �������

Page 28: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� �� �������� ������� � ����� ���

�� #$� ���!�� �� �$� %� ��&�� "� ����� #$� ������� �������

/����0��� =����� 9�:� 0� ���� � ������ ��� ��� �� � �� ��� ��� > ����

#�� ����3���� �� ��� ������ ��� ��� �� ���������3� ������������� ����� ����

��� ���� ���� ��� ��� �������� ��������� ��������� � �� ��� ��� 3����� �����*

���� �� ��� ������ ��� ��� ��� �� ��3�� ��� �������� �� ��� � � � ���� ��� � � � ���

� � � �

�� �

;� ���� ��� $�����%�� ��� ��� �� ��� ���� �� �������� ��������� ����*

����� �� �� � �� > ��� ����� �� �&��� �� ��������� N��� ���� ��� ��� �� ���

������ ��� ��� �� �������� ��������� ��������� <��� ����

#�� ����3���� �� ��� $�����%�� ��� ��� �� ��������� ��������� ����� ����

��� ���� ���� �� ����0� �� �� ������ ��� ������������ �� ��� ���� ������ ����������*

����� �� ��� ��������� ����� 6�� ��� ������� ������ �����7 �� ��� ������ ��� ���

�� ����� ���� ������ ��������������� � �� ��� %��0 0������ ����� �� �� ����*

����� �������������� ��� ��� $�����%�� ��� ��� ��� ��� �������� ���������

���������

� ���� ������� 0� ���0 ��0 �� ������� ��� ������ �� $�����%�� ��� ����

�� �������� ��������� ��������� �� 0��� �� ��� ���������� �������� ;� ���

��� �����0��� ����������� �� ���� � ������� ��� M�� E �� � ���� ���� 0���

����0 �� �� ��� H�������4� ������������

Page 29: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

� ��� ������ ��� ��� ��������� �������� ��� ����� � �� ���� �� ��

�� � �� � �!� "�� � � !����� ��� � ��� ��� �� �� ��������� � O�

���� ��� �� �� � �� � �� ��!��

��

�

�>

�L

�L ����

�� � C�� � > 6� � � � � �7 I� �� ��� ����%� �� � ����� ��� ��3����

��&���������� �� �� #���� ��� �L ������������ �� 9�:� ���� ��� ��� � ���������

�� ���������� ��� �����0��� �0� ��� ������

6�7 � 0� ����� � �3� ��� ���� �� ��������� ��F-�F� � �F��� ��� � � � � �6�7�

���� 0� ������ � ������ ��������� �� ���� �

6�7 #�� �� �� �� ��� ��&�� �� �� �&��� � ��� �� �� �� ��� ����� �� �

) ��������� �� ��� ������ ���� ���� ���� ��� �0� �8����� ������� I� ��� ���

��� � �� 0� ������� ��� ����� �� ��� ���� ����� 0����� ��� ��& ���� �� �������

�L > ��L ��L � � ���L ��L ��L � � � ��L � � � ����� I� ��� ����� ��� � �� 0� �������

��� ��&�� �� ��� ���� ��+� �� %�� ���� �� ������� ��� >���6�� �� � � � ��7L

�����

�

���� � �" 6#�� ������� ���7� C�� � �� � 3����� ��������� �� � C��

0� >��

�

����� #��� ���� ��� ������� ��� M�� E�� ����� ��

M��60�7 >����

���

0���� � � ����� ���� � �� ��� ���� �� ��

Page 30: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� �� �������� ������� � ����� ���

.��������� 0� ���� #� >��

�

�L�� �� >

��

�

�� 1� >

��

�

�L�� �� �� >

��

�

�����

� �� ���� �� ���0 ���� #� ������ �� �� ��

���� �� 1� ��

���� �� ��

�� ������ ���

�� � �� � ��� ��� ������ �� M�� �� ��� ������� ��� ��M�� > �� �����

�!��� ��� � ��

�� � > �L�M��6�7 M��6 7��

�� � 6�7 � �� ������ �� ���0 ���� ��M��60�7 > 0�� ������� ���

��� 0�� �� � ����� ��� ��� ;� ��3� ����

��M��60�7 > ��6����

��7 > �������

�� > ���

��

�

��� > 0��

6�7 � �� ������ �� ���0 ����

�1�0�� > �L�M��61�7 M��60�7�

����� ���� ����� 1�� �� 0��� ��� ����� ������ I� ��� ��� ��� �

0� ��3�

M��61�7 M��60�7

�>

�����

������

��

>����

����

��� ��� >����

��� > ���

��

�

��

I� ��� ����� ��� � 0� ��3� ����

�1�0�� >

���

�

��L��

��

%

��%���

>

��

�

��

�L������ > �L���

��

�

��

Page 31: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

� ��� ������ ��� ��� ��������� �������� ��� ����� � �� ���� �� ��

�

-���������� ��� �������� 0��� #������ � �� 9�:� ����0� �� �� �������

��� ���������� ��������� �� 0��� �� ��� ������ ��� ��� �� ��� �0� ��������� ��

��

������� �(� #� ������� ��� ������ ��� ��� �� �0� ��0�� ��� ��������

��������� ��������� 0� ������ �� �����0� /����� 0� ������ ���� � > %

6I����0��� ����� ������ ��� ��� �� 7 #����

��� ��� > �L�M��6��7 M��6��7� > �L

�����

������

��

> �L����

��� ��� > �L

��

�

��

�%6M �7��

������� ��� ��� > �2%6M �7 �� ����� �� )���� �& (�

#���������

��� ��� >����L

�%6M �7�

0���� %6M �7 �� ���� �� �� %6M �7 ��� ��� ��������� � �� ���� �

������� ��� #� ������� ��� ���������� �������� ���0��� �0� ����� ��

��� 0� 0���� ��� ��������� ��� ���������� ����� ��� ��� ������� ��������

��������� ��������� ����� ��� �� H�������4� ����������� ����� � �� )���� �&

(� #���� 0� ����� ��� ���<������ ��� �� ���� �� �� �� ��� ��������� ���

� ������ /�� �&������ ������� ���� � � �� ���� $ 3

Page 32: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� �� �������� ������� � ����� ���

#���� ����� $ � � �� �� ���� �� ( � �� 0� ��3� ����

�� >����

�� �� �� >�!��

��

3

��!�

�� � �� � �'� "�� � �� � ��������� �� ��� ����

6�7 ��� �� M�� ����(��

M��6� � 7 > �LM��6�7 � M��6 7

6�7 ��� )�����*�� ������� �� ���� �� �� �� �����

� � > �L��6M��6�7 � M��6 77

6!7 ��� ������������ " �� � �� � ������������� ��� ���

"6�7 � "6 7 > � �

��� � ���

�� � 6�7 #�� ��� ��� �� � ����� ��� �� #��������� �� �� ������

�� ���0

M��6�� � ��7 > �L M��6��7 � M��6��7�

I� ��� ��� ��� � 0� ��3� ����

M��6�� � ��7 > M��

���

�

���

%

���� �����

�

>

��

�

�����L

�%6M �7���� M��6��7 >

�L���

�%6M �7�

�����

��

��

Page 33: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

� ��� ������ ��� ��� ��������� �������� ��� ����� � �� ���� �� ��

I� ��� ����� ��� � 0� ��3� ����

M��6��7 � M��6��7 >����

�� �����

�� >�������

�� � ��

>�������

��� ����� >���

�%6M �7�

�����

��

��

6�7 #��� �����0� ���� �

� � > ��6M��6� � 77 > ��6�LM��6�7 � M��6 77 > �L ��6M��6�7 � M��6 77�

����� ��M�� �� ��� � ������ ���

6!7 � �� ������� �� ���0 ���� "6��7 � "6��7 > �� � ��� ;� ��3� ����

"6��7 � "6��7 > ����6�7�� � ����6$7��

> ����6�$7 �� � �� > �� � ��

����� �� � �� > �� � �> $�

�

-���������� �' �������� 0��� #������ � �� 9�: ����0� �� �� ������� ���

$�����%�� ��� ��� �� ��� �0� ��������� �� ��

������� �,� #� ������� ��� $�����%�� ��� ��� �� �0� �������� ����*

������� �������� ��������� ��������� 0� ������ �� �����0�E

�� � �� >�

�L��

�

%L��

�

1� �1� >�

�L��

�

%L��

�

���M��61� �1�7

�

>����%�

�L��

�����

�� �����

��

�>

����%�

�L

�������

��6����7

Page 34: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� �� �������� ������� � ����� ���

>����%�

�L

�������

����6� � $7L��$%�����

������� �� � �� > ����� �� ����� �� )���� �& (!

'� (""�������

;� ����� ��� ��� ����� ���� �� 9�: ��%��� ��� ����������� ������� �� ���

�������� �� ��%� �� ���������� 0��� ��� ��������

C�� � $ �� ' �� �� O� #��� ��� �����0��� � �������� ���0��� ��������

������� ��������� ��������� ��� N��� ���� ��� �������� �� ��� ������ ��� ���

��� �8��� ���� ��� ��� �� 9�:

'��� #$� �������� ) �$�*� ) �����

�� >����

�� �� >����

%6� $7��

�� >�

��������

�� �� >�"��

%6� '7

%6M '7

�� "

%6$ '7��

�� >�� �

%6M $7�� �� >�

%6M �7

�� �

%6$ �7��

�� >����

����6� $7�� �� >����

�%6� $7���

�� >�

��������

����6$7 �� �� >�"��

�%6� '7�

�%6M '7�

�� "

%6$ '7��

�� >�� �

�%6M $7��� �� >�

�%6M �7�

�� �

%6$ �7��

�� >��

����6� � $7L�� �� >�"��

%6� '7

�%6M '7�

�� �

%6$ '7��

Page 35: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

� ������ ���� �

�� >��

����6$7 ����6$ � �7L�� �� >�"��

�%6� '7�

%6M '7

�� �

%6$ '7��

�� >����

����6� $7 ����6� $7L �� �� >����

����6� $7L��

�� >�� �

����6�7 ����6$ �7L �� �� >�� �

����6$7 ����6$ �7L ���

'��� #$� ���!�� "� �����

��� ��� > ��� ��� ��� >���

�%6M �7�

��� ��� > 46$ �7 ��� ��� > ����6$7 46$ �7

��� ��� > ����6$ � �7L ��� ��� > ������

��� ��� > ����6$7 ����6$ �7L46$ �7 ��� ��� > ����6$ � �7L

��� ��� >%6� $7

�%6M $7�46� $7 ��� ��� >

�"����

%6� '7%6$ '7

�%6M '7�

��� ��� >�"����

�%6� '7�%6$ '7

�%6M '7� ��� ��� > ����6�7 ���

��� ��� > ����6� $7L 46� $7 ��� ��� > ����6�$7%6� $7

�%6M $7�46� $7

��� ��� > ����6�$7�"����

%6� '7%6$ '7

�%6M '7��

0���� 4 �� ��� +��� �������� �� ��� �� ��� $�����%�� ������

'��� #$� %� ��&�� "� �����

�� � �� >���

�%6M �7��� �� � �� > 46$ �7��

Page 36: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

� �� �������� ������� � ����� ���

�� � �� > ����6$7 46$ �7�� �� � �� >�%6� $7�

�%6M $7�46� $7��

�� � �� >%6� $7

�%6M $7�46� $7�� �� � �� > ����

�� � �� > ���� �� � �� > ����

�� � �� >�"������

%6� '7�" �� � �� >�"������

�%6� '7��"

�� � �� > ����6�7�"������

�%6� '7��" �� ��� >�"����

%6� '7%6$ '7

�%6M '7��"

�� � �� >�"����

�%6� '7��%6$ '7�

�%6M '7��" �� � �� >

�"����

%6� '7�%6$ '7�

�%6M '7��"

�� � �� > ����6�7�"������

%6� '7�" �

Page 37: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�2)-#51 !

������������

� ���� ������� 0� ��� � ���� ������������ �� ��� ������������� ��������*

���� �� ��� �������� ��������� �������� �3����� �� ��� ���3���� �������

)� ��� ���� ����������� 0� ���� ��� ��������� �������� ��������� ����*

���� �� � ����� 5 �� � 0�� ���� ����0� �� �� %��� ���� ����������� ����� ���

����� 5 ���� ��� ��������� ��������� �������� ���� �� .������ 9��: /��

��������� ������� ���� 0� ��� ��������� �� ��� ������ �� ��� 3������� �� 5

#��� 0� ���� ��� ��������� �������� ��������� ��������� �� � 0�� ����

��������� ��� ����� ��D����� �� 5

#�� ��������� �������� ��������� �������� �� � ����� 5 ��������+�� ��

��� ��������� ��������� �������� �� �� ��� ��������� ����������

�����3��� 0� ����� � ������� ���� �� � ���<������ �� =����� 9��: ����������

��� ����� �� ��� �����& �� ������ �� ����� ���� ��� ���* ���������� �����*

��� ��������� ��������� �� ��� �������� ����������� �������� ���������

���������

/������� 0� ���� ��� ��������� ��������+����� �� � �������� ���������

�������� #��� 0� ������ �� ��� � ��� �8��� �� ��� ��������� ��������+�����

0��� ������ �� ��� �8����� ����� �� ��� ���� �� �������� ��������� ����*

�����

��

Page 38: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� �� ���� ��� ���

;� �&����� ��0 �� ��� ��� ������������� �������������� �� ��� ��������

��������� ��������� ������� �� ��� ���3���� ������� �� ������ ��� ����������

��������� ���0��� ��� ��0�� ��D������ ��� ��0��� �� ��� ����� ���������� �����

�� ��� ���� �� ����������� �� � �������� 0��

�� #$� �$� ����� �+������� )���� �

� ���� ������� 0� ���0 ���� ��� ��������� ��������� ��������� �� � �����

��� �� ���� �� ����� �� ��� ��� ��� ;� ���0 ���� ���� �������� ��� �� �&*

��� � �� ��� ���� �� �������� ��������� ���������� ��3��� �� ��� ����������

�� %��� ����3��� ����������� ����� ��� �����

;� ������ ��� ��� �� �� �� �������� 0��� ��� ������ �� ����� �� �� ������

�����

) ������ ����� �� � ����� 0������ ����� �� �������� � ��� C�� 5 �� �

������ ����� 0��� 3����& ��� 9�: �� � �� ��� # ) �������� 6 E 9�: � � ��

����� � ������ �������� �� 5 �� 66�7 �> 6677 0����3�� � �� 7 ��� 3������� ��

�� � �� �� 5

) ������ ��������� � �� 5 �� � ��������� �� 9�: ���� ���� ���� ����% �� � ��

������� ���������� 6��� ���� ����% �� � ������ 6�� �� ���� ���7 ��� �� 3�������7

C�� �657 �� ��� ��� �� ��� ������ ���������� �� 5

���� � � 6.������ 9��:7� C�� 5 �� � ������ ����� 0��� 3����& ��� 9�:

�� � �� ��� # #�� ��������� ��������� �������� �� ���� ��

�# >�$

�$���$�� � � ��$���

Page 39: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� ��� ������� � ������� � ����� ��� ��

0���� ��� ��� ������ �3�� ��� ������ ��������� 6 E 9�: � �

;� ���� ��� ��� �#� �� ����� �� ��� �� �� ���0 ���� ��� ����������

�������� �� ���� ��� �� ��� ��������� ��������� ��������

���� � ��� C�� 5 �� � ������ ����� 0��� 3����& ��� 9�: �� � �� ���

# C�� �#� �� ��� ������ �� �� ���� ��

�#� > � E 9�: � � E ��� ��� �� �� # �6��7 �> �6��7

>����

�����#

���

.������ ���0� �� 9��: ��� �����0��� �����������

�� � �� � ���

�6��6�#� 77 > �#�

;� ������ � �������� ��������� �������� �� ������ �� �� 0� ��3� ��� ��

��� ����� �������� ������ �� �� #��� ��� �� �������� �� 0� ��3� � �����

6�� ������ �����7 5 �� ���� ��3������ ��� �� 3������� ���� 0� 0��� �� %���

����% �� #���� 0� ��� ���������� ���0��� ��� �8����� %�� � �� 3������� ��

����� �8����� %�� � 3�������� �� 0����� ���� /�� ��������� ������� ���� 0�

��� ��������� �� ��� ����� ��D����� �� ����� 5 ;� ���� ��� ��������

��������� ��������� �������� �� �����0�

���� � �!� C�� 5 �� � ������ ����� 0��� 3����& ��� 9�: �� � �� ���

# #�� ��������� �������� ��������� �������� 6�� ��������� �� �� � � � 7

Page 40: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� �� ���� ��� ���

�� ���� ��

R�# >�$

�����$������$� � � ������$� �

0���� .6�7 ����� ��� ����� �� 3����& �

�� � �� � �"� "�� 5 � ���� ���� !����+ ��� 9�: �� ������ ��������

6������ � � ����7� ���� R�# ��� �����!��� �� �� ����!�� ��� �������� � ��

������ �������� �# ���� R�# ������� ��� ���,������ ��-

��6 R�#7 > �#

����� �� ��(�� ��6 R�#7 �� � ��� ���� ����� ��� ����� � �� ��� ������ �� ��

�� � ������� �� R�# ����� ���

�� � N��� ���� ��� �������� .6�7 � � � .6�7 ��� ��� ���� �� ���

�������� �� ����� 5� ��� ���� �� ��� ����� ��D����� �����3��� �� ���������

��� ����� ��D�����

#�� ����� ���� �� ��� ����������� �����0� ���� -���������� �� �� ��*

������� ��� �������� ��� �# �� �� �� 0� ��� ���������� ��� ����� ��D�����

�� ��� ����� #���� �� �������� �� 0� ����3�� .������4� ��������� ���������

�������� �

������� ��� � 9��: .������ ���0� ���� ��� ��������� ��������� ����*

���� ��� ������ 5 �� 1 6.�� /����� �7 ��� ��� ���������� ���0��� ����

Page 41: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� ��� ������� � ������� � ����� ��� ��

���������

��

��

��

���

� �

��

�

=���� =

�

� �

�

�

���������

���������

=���� 2

����� ��

I� ��� ����� ��� � ��� ��������� �������� ��������� �������� �� 5 ��

1 ��� �8�����

R�# > ������������������� F "�������������������������� F�������������������

R�% > �������������������� F ���������������������

F�������������������� F�������������� F���������������������

;� ��3� �����# ��������� #��������� ��� ����� ��D����� ��5 �� 6� � � � "7

.��������� 0� ��3� ���� �% ������� #��������� ��� ����� ��D����� �� 1 ��

6� � ! ! !7 I� ��� ����� ��� � ���������6 R�#7 > �������6 R�%7 > � � �L���� F " �

!L����� F �L����� �� ��� ��������� ��������� �������� �� ���� ����� 5 ��

����� 1

������� �(� #�� �������� ��������� ��������� �������� �������� ����

����������� ���� 0��� 0� ��� ������ �� ��3��� ���� ��� ��������� ���������

�������� �� ��� ����� ��D����� �� � �����

Page 42: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� �� ���� ��� ���

��

���

��

����

���������

��

��

��

���

� �

��

�

=���� C

��

���

��

����

���������

��

��

��

���

� �

��

�

=���� �

����� ��

#�� �������� ��������� ��������� �������� ��� ���������� ���0���

���� ������ ��3��� ��� ���� ����� ��D����� �� ��������� ��������� ����*

����

#�� ��������� ��������� �������� �� ������ + �� 0 �� !L���� F � �

�L �L����� F � � "L������ F �L������

#�� ����� ��D����� �� ������ + �� 0 �� 6���!!"7

R�& > �L������������������ F �L������������� F "���������������������

F ��������������������� F������������ F ���������� F "��������� F����

R�' > �L������������������ F ! � �L������������ F��������������������

F !�������������������� F !������������ F !������������ F������������ F����

0���� ��3��� � �������� ��������� �������� �� �&� �� � 3����� ���������

0���� � ����� �& S � � � T ������ �� ������ ���� 0� ����� �������� ���� 3�����

��������� 0��� ����� �� 0����� � ����� �� ������� � 3����� ��������� �� 6 ! � �7

Page 43: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� ��� ��� � ���� ���� �������� ������� � ����� ���� ��

������� ��4� %��0 �� �0� ������ 0��� ��� ���� �������� ���������

��������� ��������

#���� ��� ��3���� ����� 0��� �� ���� ��� ��������� �������� ���������

��������� ���� ��� �� 0���� ����������� 0� 0��� �� �������� ����� ���

����� /�� ��������� �� 0� ��3� � ������ ������ 0� ��� 0��� �� ��������

����� �������� �� ���%�� �� ����� �� 0� ��� 0��� �� �������� ����� ��� ������

��� � 0� ��3� � ������������ ������ 0� ��� 0��� �� �������� �� 0���� ����

���� 3����& �������� ���

�� #$� �,������ �! -��-�$ �+������� )���� ��

� ���� ������� 0� ���3� � ������� ���� �� � ���<������ �� =����� ����������

��� ����� �� ��� �����& �� ������ �� ����� ���� ��� ���* ���������� �����*

��� ��������� ��������� �� ��� �������� ����������� �������� ���������

��������� ������ ������� =�����4� ���<������ 0� ����� ��� ���� ���������

���� � ��� C�� )� �� ��� ����� ����� �� ��� 0�� � 0��� ������� ��

��� �������� )� )� �� ��� ������ �� )� �� �������� 0�� � �� )( �� ��� ���

�� ��� ��D������ �� 0�� � �� )�

) 0�� " �� )� �� �������3� �� �� �� ��� �������� �� �� ��� 0�� � �� )�

���� ���� " > ��� 0��� � 8 � ) 0�� � �� � C�� �� 0�� �� �� �� � �������3�

0�� �� �� �� �� ������� �� ��� ���<������ ����� #��� ��� �� ��� ��� 0�� � � ��

7 �� )�� � > �7 ������� � 9 7�� ;� ����� �� +6)7 ��� ��� �� C�� �� 0�� �

�� )

Page 44: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� �� ���� ��� ���

��� ��� �' 6C�� ��7� .� ���� � )� � � ������� ������ �

������������ ������� �� " ���� �����-

� > ���� � � � ��

����� �� + �� �� � �� � � � � � ���

/�� � ����� �� C�� ��4� ������� �� ������� ����������� �� 0�� � ��

C�� �� 0�� � ��� 9�'� �':

��� /������������ ������ � ������� ���������� C�� 6� � � � � �7

�� � 3����� #��� 5������� �� �� ���� �� ��� ���������� ��������

� F������� ��

�������� ���!� � � ��� >

� �!������� ����

�� F

�����

� ��� ����� �� �� �!� � � � ��� �

��

C�� � �� � 3����� ��������� ;� ��� � > ��������� ��� ��������� ��� � � � �

C�� +� �� ��� ������ �� )� ���������� �� ��D������ �� C�� �� 0�� � � ;�

��3� ��� �����0��� �����������

�� � �� � �, 6=�����7� "�� � � � � � � � ������� ��� ���� "�� 5��������� ���

� ��� �� ��� �� 0 +� ���������� �� ��������� �� " ���� ����� 0 ���� ���

�0 �� > �� �0 �� > �� � � � �0 �� > ��

�� ���� ��� ��� ��� � 0 ����� �� ���� � � ���� ���

���� > �� ���� > �� � � � ���� > ��

����� �65��������� ���7 > ��������� ����

Page 45: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� ��� ��� � ���� ���� �������� ������� � ����� ���� �

�� � H���� ��� �������� ��������� �� �� ��� ���������� ��������

�

�� ���� �!� � � � � ��!> � F

������� ��

��������� ���!� � � ����

2�����

� F������� ��

�������� ���!� � � ��� >

��

�� F

������� ��

��������� ���!� � � ���

�

#��������� �������� �� >�

������������ ��������������� ���

� � � � 0���� ��� ��� �� ��%��

�3�� ��� ��D������ �� 9 �� 9 � � � � ���� ���� 6�� �� � � � ��76�� �� � � � ��7 � � � �

6� � � � � �7�

;� ������ ��������� �� ������ ����

������� �� >�

����������� ��� ����������� ���

� � �

0���� ��� ��� �� ��%�� �3�� ��� ��D������ �� 9 �� 9 � � � � ���� ���� 6�� �� � � � ��7

6�� �� � � � ��7 � � � � 6� � � � � �7�

#��������� 0� ��3� ���� �� �� ������ �� ���0 ���� �������� �� �� ��� ����������

�������� ��� ��D������ �� 0�� � �� �������� � /�� ��� ��%� �� ����������� 0� ����

��� ����� �& � �� ��� ���� �� ��� ������������

C�� + �� ��� ��� �� C�� �� 0�� � �� ��� �������� ) #������ �' �������

����

�)�*�

" >��

�������������

���� � � � ��

Page 46: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

� �� ���� ��� ���

C�� U E )� � �9�+ � � � .: �� ��� ������������ ���� ��� � � �� �� � �� �

�� �� ��� 0���� � � � � � ��� ��������� 3�������� #���� 0� ��3� ����

�

�� �� � � � � � �>

���#�������� ��

�

�� U6�7

>�

������ �� �!������� ����

���#�������� ��

�

��U6�7

0���� 5������� �� >���� 5��������� ���

I� ��� ����� ��� � ���

�������� �� >�

��&������� �

�

�� U6�7

> � F����

-�������� ��6�� � � � ��7�

> � 6�� � � � ��7

��� ���� ��������� -�������� ���

/�� �&������ �� 6� �7 > 6� �7� ���� � ���� �� ��� �������� C�� �� 0�� � ��

��3�� �� � �� ��� ��� ��� � � � #���������

����� >�

�� �

�

�� ����

6�� ���7�� � �

#���� 0� ��3� ����

�

�� �� � � � � �>

������� ��

�!������� ����

�������� ��6�� � � � ��76�7

Page 47: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� ��� ��� � ���� ���� �������� ������� � ����� ���� ��

/��� ����������� � 0� ��3� ����

�

�� �� � � � � �>

������� ��

�!������� ����

�� F

��

��������� ���6� � � � �7

�

>�

������ �� �!������� ����

5������� ��6�� � � � ��76�7

#��������� �� ��%� ���������� �� ���� �� �� �� ��� �D������ ������� ���� 6�7

�� 6�7 ����� 0� ������ ���� �������� ��6�� � � � ��7 �D���� 5������� ��6�

� � � � ��7

�

;� ������ �� ���3� � ������� ���� �� � ���<������ �� =�����

� �������� ! 6=�����7� "�� � � !����� �������� �� �� ��� ���� �� ���

�������� �� �� �� � �� 6��7������

;� ������ ���� ��� �����0��� ����������� ��� �

�� � �� � !�� 6�7 "�� � � �������� �� 6�7�� �����

9��: ��� > 6��7������6�6�7� �7L�

6�7 "�� � � !����� �������� �� �� ����� � �� � ��� ��� ���������

��� �� ���� ����

9��: � >6��7������6�6�7� �7L

����

����� � �� ��� � �� �� � ����� ���

�� � 6�7 .������ ���� �� �� � ��� ������� �������� ������*

��� ��������� /��� -���������� � �� -���������� �, 0� ������ ���

Page 48: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� �� ���� ��� ���

� ������

��� >��

�

#��������� ���� �K����� ��3������ 0� ������ ����

�� >��

%6� M�7�� >��

6��7�����6�6�7� �7L���6!7

������� 9� M�: �� ���������� �� ��� ������� O� ��� � > �6�7� �

6�7 � �������� ��� ���<������ ��� ����3�� ������ 0��� ������ �� ���

����� �� ���* ���������� �������� ��������� ��������� #�� ������

�� ���� ��� ����� �� � C�� �� 0�� �� �� ������ � C�� �� 0�� � �

��� ���� ���� ����� �D��� �� �� �� �������� 0� ��� ������ ���� ���

���� ���� ����� �� � � ���� ����� ��� ���<������ ��� ����3�� ������

) C�� �� 0�� ������� �� ��� �� �� ���� �� �� ������ 0��� ���

���� ������ �� ��� �������� .��������� � C�� �� 0�� ������� �� ������

�� �� ���� �� �� ������ 0��� ��� ���� ������ �� ��� �������� #���������

�� � ��� ��� ���� ����� �D��� �� � ����

��6 ���7 > �L ��

)������� ��� ���<������ ��� �� ���� �� �� �� �D������ 6�7 0� ������

����

�L � >��

6��7�����6�6�7� �7L�L

��

�

����

0���� � �� ��� ����� �� � #���������

� >��

6��7�����6�6�7� �7L�����

�

Page 49: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� ��� �� �� ��� ���� �� !�� ��� ��

�

�� #$� "����"�! �"����!�.��� �

� 9��: G���� 1���� �� .���� ��� �� ����� ��D������ �� �������� ���� ��

����� ���������� ���������E ��� ��0�� ��D������ ��0��� �� ����� ����������

#� ���� ���� �� ��D������� ���� ��������� � ��������� �� ��� ��� #���� ���

���������� ��������� 0���� ������� �� ������� �3�� ��� ��������� ������

�� �� �K����� ��3������

#��� �������� ���� ��� ���� ����� ���� �� ����� 0��% �������� ��

�������� ��� ������� ����� � ���� ������� 0� ���0 ��0 ��� ������ ������

��������� 0��� ��� ��� ��������+������ �� ��� �������� ��������� ���������

C�� � �� � �������� ��������� �������� �� ��������� � � > ��� ��� � � � �

0��� � > � � � � � � /����0��� .������ 9�': 0� ���� ��� ��������� ��������+�*

���� ��� �� ������� ��� > � �� � � � �� ��� > �����0���

1����� ���� � ���������� �� � �������� � ���� 9�: �� 9�: �������� 0��� �

������ �� �� �� ��� �������� ������ ���� ��� ���� ����% �� %�� �

� ��� �� C�� � �� � ��������� �� � �� ������ � ;� ����

6�7� > �6� � �7 � � � 6� � �F �7

6�7� > �6� F �7 � � � 6� F �� �7

6�7� > 6�7��6�7�� � � � 6�7��

6�7� > 6�7��6�7�� � � � 6�7��

Page 50: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

� �� ���� ��� ���

��� ��� !�� "�� � � �������� �� O� ���� � �� � > 6�� �� � � � ����7�

����� �6�7 �� ��� ��� �� �� ��*� �� �� ����

��� 6��7 > 6�7���6"7

��� 6��7 > 6�7�6�7

��� 6��7 > ����6(7

��� 6��7 > 6�7�6�7

��� 6��7 > 6�7���6'7

�� � C�� / �� ��� ������ �� �� �� ��� ! �� ��� ���������� ��������

#��� ��� 6!7 �� �D��� �� ��� ������ �� ��������� �� / ���� ���� ����� ����� ��

�������� �� 9�: /��� H�������� , 0� ������ ��� �����0��� �������

6�7 #���� ��� 6�7��� ��������� ���� 9�: �� 9�: 0��� %����� �

6�7 C��% �� ���� ����% �� � ���������� #���� ��� 6�7� ����������� ����

9�: �� 9�: 2����� ����� ��� 6�7� ����������� ���� 9�: �� 9�:

6!7 #���� ��� ���� ��������� ���� 9�: �� 9�: ���� ��� �������� �� ��� ����%�

�� �

6"7 C��% �� ���� ����% �� � ���������� #���� ��� 6�7� ��������� ����

9�: �� 9�: ���� ��� ��<����3� �� ��� ����%� �� � 2����� ����� ��� 6�7�

����������� ���� 9�: �� 9�:

6�7 #���� ��� 6�7� ����������� ���� ��� ��� �� ����%� �� %�� � �� �

Page 51: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� ��� �� �� ��� ���� �� !�� ��� �

#� ����� ��� ������ �� ���������� ���� 9�: �� 9�: 0� ������ �� �����0�

#�� ����� �� � ��� �� ������� �� � �8����� 0���� ��� ����� �� � ��� ��

������� �� � F � 0��� 6#���� ��� � �������� ������ ��� �� ��� �� ��� ����

0���� �6�7 > �6�7 0� ���� ���� ������ ��� �� �� �� � �� �7 P���� �� �������

0� ��� ���� ��� ������ �� ����������� �� 6�7� > �6� F �7 � � � 6� F �� �7

�

N�0� 0� ��� ���� �� ������� ��� ���������� �������� ���0��� ��� �8�����

����� �� ��� ����� �� ����������� �� ����� �

� ��� �� C�� �6� �7 ����� ��� .������� ������ �� ��� ���� %�� ��

�6� �7 ����� ��� .������� ������ �� ��� ����� %��

#�� ������ �� ���������� �� � ��� �� � �������� ���� � ����%� �� ������ ��

�6� �7 .��������� ��� ������ �� ������������ � �� �� 0��� �&����� � ������

�� ������ �� ��6� �7�

� � ����� !!� ��� ���������� ������� ������ ��� ��� 6�7�� ��

6�7� ��

�� >����

�6� �76�7�

6�7� >����

�6� �7��

6�7� >����

�L

�L

��� �

�� �

�6�7�

6�7� >����

6��7����L

�L

��� �

�� �

�6�7�

Page 52: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

� �� ���� ��� ���

6�7� >����

��6� �7���

�� >����

6��7����6� �76�7�

�� � 6�7 )�������� ��� ������������ ��� �� ��� ���������� ����*

����� �� �� >�����

��� 0� ������ ����

�� >�����

6�7���6,7

>����

�6� �76�7�

� 0� ����� �K����� ��3������ �� 5D������ 6,7 0� ������

6�7� >�����

%6�7����

>��

�������

�����

%6�7

>����

�6� �7���

6�7 H���� � ������ ��������� �� �� � ��������� �� �� �������� 0��� � �����

�� �� �� ���� ����% C�� �� �� ��� ����� �� ������ ��������� �� 9�:

#� ��� ���������� � E 9�: � � 0� ��������� � ������ ���������

���� �� ��� %�� � �������� 0��� ��� �� ����� �� ��� ����� 2����� 0�

Page 53: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� ��� �� �� ��� ���� �� !�� ��� �

��3� ��� �����0��� �D������E

���� >�����

��6� 7

)���� ������������ ��� �� ���� �� �� �� �D������ 6� 7 �� ������

6�7� >�����

6�7����6��7

>����

�L

�L

��� �

�� �

�6�7��

������� ��� ������ �� ������ ���������� �� 9�: ���� � ����%� �� �&�&

�������

#���� ������� ��� %��0� �� ��� C�� ������� 9��:

� 0� ����� �K����� ��3������ �� �D������ 6��7� ���� 0� ������

6�7� >�����

%6�76�7���

�����3��� ��� ��� � �� �� 0� ��3� ���� %6�7 > 6��7������ �������

9 �: �� � ������� ������� #���������

6�7� >�����

6��7�����6�7���

>����

6��7����L

�L

��� �

�� �

�6�7��

6!7 #� ���� ��������� $ > &��&�� � � � �&�� 0� ��� ��������� �� � ���������

0�� %6M $7 > 6&� � �7L6&� � �7L � � � 6&� � �7L ���� �� C�� �� 0�� �

=�3�� ��� �� ���� ���� �� C�� �� 0�� �� ��� ���� $� � $ 0� ������

��� �8����� ������ ��������� 2�����

���� >�����

�%6M $7����

Page 54: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

� �� ���� ��� ���

)���� ��� ������������ ��� �� ���� �� �� �� ��� ���3���� �D������

�� ������

���� >�����

���6��7

>����

��6� �7����6�!7

0���� -6$7 �� ��� ������ �� ������ �� $ �� 0���� ��6� �7� �� ���

�������� .������� ������ �� ��� ����� %�� 0���� ������ ��� ������

�� ������������ �� �� 0��� � ������

;� ��3� �� � ����� ��������� �� ��� �� ��� ��������� �� �� ��

���������� ;� ��� ���� $ � ' �� ���� ����� �� $� 0������ 0��� ���

�������� ������� ����� �� ������� �� � ������ �� ���������3� ��������

���� ��� ������ �� '

� 0� ����� �K����� ��3������ �� ��� ���3���� �D������ 0� ������

�� >�����

%6$76�7���

>����

6��7����6� �76�7��

������� %6$7 �� +��� ������ ���� ����� �� $ ��������� ���� ���� �� ������

�� 0���� ���� %6$7 > 6��7������

)�� ����� �K����� ��3������ ��������� ��� ����� �&������ �� 9��: �

� � ����� !"� "�� � > 6�� �� � � � ��7 � �������� �� �� "�� � >

� � � � ���� � � � ��� �� F � � � ���

Page 55: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� ��� �� �� ��� ���� �� !�� ���

$� ��(�� ��<6� �7 �� � ��� ��� �� �� ��������� $ �� ����� � ���� ���

$ � � > M � ����

6�7��6�7�� � � � 6�7�� >����

��<6� �76�7��6�"7

6�7��6�7�� � � � 6�7�� >����

6��7��� ��<6� �76�7��6��7

�� � /��� )���� �& (� 0� ��3� ����

�� >�

��������

���6�(7

�� >�

��������

����6$7���6��7

)���� ��� ������������ ��� �� ���� �� �� �� �( �� ������ �" .��������� �����

��� ������������ ��� �� ���� �� �� �� �� �� ������ �� �

��� ��� !�� "�� � � !����� ���������

��� 6��7 >6�7������

��� 6��7 >6�7�

�L

��� 6��7 > ����

��� 6��7 >6�7��L

��� 6��7 >6�7������

�� � � �����0� ���� #������ � �� #������ !� �

Page 56: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the
Page 57: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�2)-#51 "

��� ��������� ����� �� ���� �������� ��� � ��

�!�"#�! ������ �� $��� ������%

�� �� �����

#�� ��� �� ���� ����� �� �� ���3� �� �&������ ������� ��� ��� $�����%��

��������� ��������� ��� �� ���������� �� ������� ������ #�� $�����%�� ����*

�������� ����� ����� 0��� �&�������� � $�����%�� ��� ��� 6���� ����� ����� ��

�������� ��� ���7� �� � ��� �� .���� ��������� �� ��� .���� ������

6�'7 �� � �� >����

�������

#���� ��������� ��� ���� �� ���� �� ��� �������������� �� ��� ���� ������

��������������� �� ��� ������ ��� ��� �� �0� ���� ������ ��������������� �� ���

��������� ����� ) ���� 0�� �� ���� ���� �� �� ��� ���������������� �&*

������� =�3�� �0� ��������� � > �� �� � � � �� � > � � � � �

6�,7 ��9�� : >����

������9�:��9� :

0���� ��9�� : ����� ��6��� ��� � � � ��� � � � 7 1����� 9��� ��: �� 1��*

��� �� ;������� 9��: ��3� ��� �� ��� $�����%�� ��� ��� �� .���� ���������

��������� ��� �� �0� �0�*��0 ������� �0� ���% ������� �� � ���% ����� ��

�

Page 58: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

� �� ��� ��������� �������

� �0�*��0 ����� ;� 0��� ��� ��� ���������������� �&������� 6�,7 ��� ��� $��*

���%�� ���������� �� � ������� ��� �&��� ��� � .���� �������� �� � �8������

�� �0� ��������� �� �� .�����3 9�: �� ������ ������� ������� �� � ������� 0��

;� �����3� ���� ��� �������� ������� ����� ���� �������� ��� ������� �� ��*

?��� ��� �������� �� ��� $�����%�� ��� ��� � ��� ����� ����� 0� ���� �

0�� �� �&����� ��� $�����%�� ��������� �� ����� �� ������� �� ����� �� ��

�� ����� ������ �

) ��������� � �� � ������3� ������� �� 0������ �� � � �� �� �� ���� ���

��D����� �� ������� ������� � ��� �� � ;� 0���� � �� � > 6�� �� � � � ��7�

0���� �� � �� � � � � � �� ����� �� �0� ���� ������� �D��� �� ���� �8�� �� �

������ �� +����� #�� ���+��� ������� �� ��� ����� ��� ����� �� �� �� ���

������ �� ����� �� ����� ��� ������ �� �� ����� �� �6�7 � ���� ������ �� ��

���3������ �� 0���� � > 6������ � � ����7 ��� ��� ��������� �� � ���� ��� .� ������

�� � P���� ���� ��������� 0� ���� ��� ������� �� �� �� ���.�L ���.�L � � ��

��.�L

;� � ������ � 0��� ��� ��� �� ������ 6� ,7 �� �� ���� �� � � , � ��� ��

����� �� ���� �� ��� ����� ������ �� � #�� ����� ������ �� � ��������� �

�� ������� �� �� � ���������� �� ��&�� ������� ����� �����& ���� ������ /��

��������� ��� ����� ������ ���������� ��� �� � > 6" ! �7 ��

Page 59: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� ��� � ��� � � ��� �

#� ��� ��������� � 0� ��������� ��� ��������� ��� ��� ���<����� ���������� ����

�� ��� > �, E �� � �� � =������������� �� ��� �� ������� ���� � �� ?������

��� ����� ������ �� � ����� ��� ���� ������� /�� ��������� ��� ���<�����

��������� �� � �� �� > 6! � � �7� �� ��� ��������� ��� ����� ������ ��

;� ������ ���� ����� ����� ��� ������ �� ��������������� �� ��� ���������

������ �� ����� ��������� ��������� .�� 9��: �� 9��: ��� ������ �� ������

C�� :6��7 �� ��� ����� �� ����� �������� �� ��� ��� ��������� ����� �� �

�������� �� ��� V� �� ��� ����� �� ����������� ��������� ��������� �� �����

� ) ����� ���:6��7 �� ��3�� �� ��� ���������� �� ��� ���� ������ ���������������

�� �� C�� ;� �� ��� ���� ������ ��������� �� �� ��������� ��� �� ��� ���������

% #���� �� � ������ ��� ��� � ��� �� :6��7 ���� ��

�;� ;���� >�

�L

�����

;�6$7;�6$7

�� �&��� � �� ���������

) ����� ��� ��� ����� �� ��������� ��������� �� ��3�� �� ��� .���� ���������

#���� �&���� � ������ ��� ��� � �'� �� V� ���� ��

��� ���'� > ��

0���� �� �� ��� $�����%�� ����� �� �&��� � �� ���������

Page 60: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

� �� ��� ��������� �������

C�� �� �� ��� ��0�� ��� ��������� �������� ��������� ��� �� %� 0����

% �� � ��������� �� � #���� �� �� �������� ��� E :6��7 �� V�� ��3�� �� ���

�������������� ����

���6;7 >����

���� ;6%7���

#��� ��� ��� ��� �����%���� �������� ���� �� ;� �� ��� ���� ������ ���������

�� �� �� �&� �� �� ���� ���6;�7 > ��� ��� .���� �������� ��������� ��� �� �

� ����������� 0� ������ ���� �� >���� �

��� ;�6%7��� 2�����

6� 7 ;�6%7 > ��� ����

C�� �� %� �� ( �� ���������� �� � #�� $�����%�� ��������� ���� ��� ����

��

���� > �;� ;�;���� >�

�L

�����

;�6$7;�6$7;�6$7�6��7

5D������ 6��7 ���0� ���� ��� $�����%�� ��������� ���� ��� ��������� �� ��

%� �� ( #�� ����3���� �� ��� $�����%�� ��������� ����� ���� ��� �����0���

����E C�� �� �� ��� �������������� �� ��� ��������� ����� ��������� ��� ��

��� ��������� ;� #��� ;�;� �� ��� ��������� �� �� ���� ��� ��������������

������� �� ��%��� ��� ������ ��� ��� �� �� �� �� �����3��� ���� �� ���

������������ �� �� �� �� ���

C�� � �� �� ����������� ��������� ��������� �� ����� � #�� $��*

���%�� ��� ���� � � � �� ���� ��

6��7 � � > ���6�77

Page 61: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� ��� � ��� � � ��� �

0���� ��� � > � � ��� 7 > � �� �76$7 > �6$776$7 #� ������ 6�'7 ���� ����

��������� 0� ��� � > ��� > ��� � > ;�� �� 7 > ;� �� 6��7

#�� $�����%�� ��� ��� ��� ��� �����0��� ����������E

�� � �� > �� � ���

�� � �� > ��� � ��� �

�����3��� �� � �� � ���*��0 �����

���� > ��� �

;� ����� ��� ��� ��������� �� ������������ �� �������� ���� � ��������� ����*

���� C�� � �� � ��������� ��������� �� ��� � > �� �� � � � �� �� ��������

;� 0���� � > �� F �� F � � � � �� ���� � 9�: ���

� 9�: > �6�� �� � � � 7�

� �������� �� � �� ��� ������� �� �99�� �� � � � ::� 0� 0���� � ���+ -+�+ 0����

�+ �� � �������� 0��� �������� � #��� ��9�: �� ���� �� �������

��9�: >�+

-+��+

��9�: > ���9�: � � � ���9�:

��� � > 6�� � � � ��7 ;� ���� � 9�: ��� ��� ��������� ��������� � �� ������

���� � 9�: �� ������ �� �

Page 62: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

� �� ��� ��������� �������

#�� ��������� �� ������������ ���� � ��������� �������� ��� ��� �����0���

���������� /�� � �� �������� �������� 6�� F 79�: > �� 9�: F 9�:�

�����3��� �� -+ > � ��� ��� �� ���� � 9�: > �6� � � �+ � � � 7�

C�� � > �� F �� F � � � �� � > � F � F � � � �� �0� ��������� H����

��� ��� �� �0� ��������� �� � F � > �� F �� F � � �F � F � F � � � �� ���

��� ��� �� �0� ��������� �� �� > ��� F � � �F ��� F � � � � #���

��9� F � : > ��9�: F ��9� :

��9�� : > ��9�:��9� :�6�!7

#�� ����� ��� ��� �� �������� �� ��� ����� �� ��������� ��������� �� �0� �������

��������� �� ���� ��

� ��

> � �� �

�

0���� ��� ��� ��3�� �������� �� � �� ������ ��� ����� ��� ��� �� ��� �����

�� ��������� ��������� �� �

/�� ��� ���������� �� 0� ��3� ���� �,9�� : > �,9�:�,9� :� � 0� ��0���� 6� 7

�� �, >�� ;

�6�7��� ����

6�"7��

;���9�� : >����

;�;���9�:�� 9� :�

#�%��� ��� �������� �� ;� �� ���� �� �� �� ��� ���3���� �D������ 0� ������

��9�� : >�

�;� ;�;����9�:��9� :�

Page 63: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� ��� ���� �� �"� �"� ��" ������ �

/������� ����� ��� �������� �� $�����%�� ��������� 6��7 0� ������ ��� �����*

����������� �&������� 6�,7

� ��� �� C�� � �� � ����� �� ��� ;� ��� ���� 6� ,7 ��� �� ������ ����

�� 0������ �� 6� ,7� �� 6� ,7 ��� �� ������ ���� � �� ��3��� ��� ������ ��

����� �����*0��� �� �����*0��� ;� ���� ��� 0����� �������� " ��

"-6� ,7 >

������������ �� �� 6� ,7

�����0���

� ����������� $ ��6�7 > �� � 9

� ��� �� ;� ����� �� ��� ��� ������� ������� ���� ���� �� �D��� �� �

�� �� ��� ��� �������� ������� ������� ���� �� �D��� �� �

� � �� � ������ ��0�� ������� ���� 9�+: � ������ ��� �������� �� �+ �� ��

/����0��� H���� $���� 0� ����� ��� �������������� �������� ������ �� �

����������� � �� ��������� � 0��� ����%����

6��7 6� 7 >

���������� �� ����������� � �� �����

�����0���

�� #$� ���� ) �/ �/ ,� / �$�"��

#�� ��<��� �� ���� ������� �� �� �� � ����� ������� ��� ��� $�����%��

��������� 0��� % > 6%� %�7 �� ( > 6(� (�7 ��� �0�*��0 ������� �� 0���

0� � ��� ��3� ��� ����������� �� ��� ��������� � ;� ������� ��� $�����%��

Page 64: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

� �� ��� ��������� �������

��������� ���� �� ����� �� ����� �� �� ���� ���������� 0� ���� �0� ������*

����� ������� �� �� ����� ��� ����� �� � #��� 0� ����� ��� ������ �� ������

�� �� ���� � ���� �� ����� ���������� ���� ��� �� ������ ���� 6(� %� F �7� ��

0� ��� ����0� �� ��3� ��� ������ �� ����� �����*0��� �� �����*0��� /�������

0� �������� ����� �0� �������

;� ����� �� ����� ����� �0� ������ ���� ����0 �� �� ����� #������ !, ��

� ������� ����

� ��� �� ;� ��� ��� ���� ����� �&�� �� �� 0� 0��� 0��%��� 0��� ��������

0��� ���� ����� 6 7 #��� ��� ��� ����� 6� ,7 ������� �� ��� ��� ��0 �� ���

,�� ������

���� !(� "�� � �� � � ������!� ��� ���� "�� : � ��� ������� ����

����� �� ������ �� �� �����0��� ����� 6 7� 1�(��

$ ��6�7 >��6� 77 : ��� E 6 �7� 6� 77

��

����

6�(7 $ ��6�7 >

�����������������������������������

�� � 9

�6.�F �7�� �� � � 9 ���6� �7

$ ��6�7 F 6.�(�7���6� �7 �� ���6� �7 � � 9 ��&6� �7

� ��� � $ ��6� F � � �� "7 �� � �� �!�� �� ��&6� �7 � �

� ��� � $ ��6� F � � �� "7 �� � �� ��� �� ��&6� �7 � �

Page 65: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� ��� ���� �� �"� �"� ��" ������

����� � �� ��(��� � �����- 2� � ����6� �7 �� �!��� ���� � > ���6� �7 � �3

��������� � > ���6� �7� ��

�� � � � �� �� ��� ���� �� ��� �� ������� ���� 0� ������ ����� ��� ��

��� ������ �� �� ���� � : 2����� $ ��6�7 ����� �� �D��� �� +���

� � � � ���6� �7� ���� 0� ��� �������� ��� ������ �� ������ �� ��

���� ��� �� ������ ���� 6 �7 ���� � ��� �D���� � �� �� � ���6� �7 ;�

��3� �� ����� �� �0� ����� � � �� � � ���� 0� ��� ������� � F " F � � � F

6� F �7 > �6.�F �7�� I� ��� ����� ��� � �� � �� �3��� ���� 0� ��� �������

� F ! F � � �F 6�F �7 > 6.�F �7�

� ���6� �7 � � 9 ��&6� �7� ���� 0� ��� �3� � ��� ������� ���� �0� �����

/����� 0� ����� ��� ������ �� ������ �� �� ���� ��� �� ������ ���� 6 �7

���� � ��� �D���� � �� $ ��6�7 #��� 0� ����� ����� ������ �� �� ���� ��� �� :

��� ��� �� � .���� � 9 ��&6� �7 ��� �������� ��3� ������ ���6� �7 �� �����

��� .�(�

�� ���� .�� #���� �

� ��&6� �7 � �� ���� �� �� ������ �� ����� ��� ����� ������ �� ������ �� ��

���� ��� �� ������ ���� 6 �7 ���� � : �� �������� ������� ��������� M� ���

������ �� 0��� ��� ���� ������ �� � #��� 0� �������� ����� ������ �� ��

�� : ���� ��� ��� ��������� ���� 6 �7 ������� � �� ��� ����� � � �� �3�� ����

������ �� ���2�� � � �� � ���� ������ �� ���2��

#��� 0� �������� ����� ������ ���� 0� ����� ��� ��3� ������ 0� �&�����

���� ������ �� ����� �� ��� �������� $ #�� ���� > ��F �F� ���������� ���

���� > ��� �� � > �� �F! #��� �� ��� � ���� ����� �� ��� ���� ����� �� ���

Page 66: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� ��� ��������� �������

Æ Æ Æ

Æ Æ

Æ Æ

Æ

Æ

��!�� �

���� ��0 ���� �� ��� ��������� ���� 6 �7 #��� �� ������ ��� ������ �� ������

���� ��� �� ������ ���� ���� ����� �� ��3��� �����*0��� �� �����*0���� 0�

�������� �� �F! �� �� � ;� ��3� ������� ���� ��� $ ��6�F ���� "7 ������

���� 0� ����� ��� ��3� ������ �

������� !�� �� �������� $(��6"7 ������ ��� ������ �� �� �� #���� �

���%� 0��� Æ #��� $(��6"7 > , .��������� $(��6'7 ������ ��� ������ ��

�� �� #���� � ���%� ������ 0��� ��� ������ Æ �� 0��� ��� ������ #���

$(��6'7 > �,�

���� !'� "�� * � - �� . � �� �� "�� : � ��� ������� ���� !�������

6* -7� 6*F � -7� 6* -F .7� �� 6* F � -F .7� $� ��(��

W6* � - .76� 7 >��6� 77 : E 6� 7� 6� 77

���

Page 67: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� ��� ���� �� �"� �"� ��" ������ �

������� ��� 6� 7 �� ���� ��� � � � ����

W6* � - .76� 7 >

�����������������

$������6� F � *� -7 � � -

$���/���6�� *7 F $������/��6�� *7� Æ - 9 9 -F .

$������6�� F -F .� *7 -F . �

����� Æ �� ��(��� � ����� 2� � 9 *� ���� Æ > � 2� * � � � * F �� ����

Æ >�0����

�

�� ��� � �� � 8 * F � ���� �� �������� ��� ����- 2� �� *� � ��

�!�� ���� Æ >����

�3 ���������� Æ >

����

��

�� � ;� ����� �� ����� ����� � � � - ���� ��� ���� �������� ���� �

: ���� 0� ����� �� 6�F�*� - -7 #��������� 0� ������ ���� 0� ��� ��������

�� ���� ����� .��������� �� � - F .� ���� ��� ���� �������� ���� � : ���� 0�

����� �� 6� � F - F . � * -7 )����� 0� ��� ������ ���� 0� ��� �������� ��

���� �����

I� ��� ����� ��� � �� - 9 9 -F .� ���� 0� ��� �3� � ��� ������� �� �0�

����� #�� ������ �� �������� �� ��� ����� �� �� �� ������ �� $���/���6��*7

#�� ������ �� �������� �� ��� ����� �� �� �� ������ �� $������/��6� � *7

;� ���� Æ �� �� ��� ������ �� ������ ���� ���� 0� ������ �0��� ����� ����

������� #��� �� �� ���� �� ��� ���� Æ �� ��3�� �� ��� ���3���� �������� �

#� ������� ��� �������� �� �� ��� �&������� � 9�: >�! �!�!9�: ���

� V� �� �� ������ �� �&��� � 9�� F � � � F ��: >�! �!�!9�� F � � �F ��: ���

��� � � �6(7 6.�� 9�� ������� !:� ��� ������ �� ������7 #��������� �� ����

������� 0� 0��% 0��� ��������� ��������� �� � ����� ������ �� 3��������

Page 68: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

� �� ��� ��������� �������

C�� % �� ( �� �0�*��0 ���������� .�� � > � F � �� � > � F �� ���

���������������� �&������� 6�,7 �� ������

6��7 ��96� F 76� F �7: >����

������9� F :��9� F �:�

N��� ���� ��� $�����%�� ��������� ��� +��� 0��� �6�7 8 "�

G�����4� �������� �� � .���� �������� �� � ����� �������� ��9�: �� � D��*

����� �� ���������� ���� ����

��9�: > ��6�� � � � ��7 > ��6�

� ����� 7� ��� ��� �6�� � ��7

�6�'7

�� ��� �������� ���������� �� ��� $�����%�� ��� ��� �� �� ������ �� ���*

���� ��� $�����%�� ��������� ���� 0��� (� � %�

��� ��� !,� "�� %� (� �� � � ��������� �� �� ����� % > 6%� %�7 ��

( > 6(� (�7 �� ��� ������� ��������� �� �� � > 6�� �� �� ��7 � ��������

�� ����� ��� ��� �� ��� �� "� .����� ��� (� � %�� ����

���� >�W6* � *F � F � -7� W6* � *F � F -F .F � -7

6(� %� F �7�

����� * > �� F ��� � > �� � ��� - > ���6�� � �� �� � ��7 �� . >���� F �� �

�� � ��

���

�� � ;� �&��� ��� ���������� ��96�F76�F�7: > ��6� � �7 �� �0�

�8����� 0��� �� ������ ��� $�����%�� ��������� �� �D������ ���� �������

C�� < �� ��� ���������� ���� �� < > 6� � �76� � 7��6� � �7� P����

Page 69: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� ��� ���� �� �"� �"� ��" ������ �

G�����4� �������� �� � .���� �������� 0� ������

6�,7 < >

���������������

� � � �

���� ���� ���� ��

����� ����� ����� ���

6�7���� 6�7���� 6�7���� 6�7��

����������������6�� �76 � �76�� �76�� 7

�

I� ��� ����� ��� � 0� ��� ��� G�����4� �������� �� �&��� ��9� F : ��

��9� F �: �� D�������� �� ���������� .��������� ���� ���� 6��7E

��96� F 76� F �7: >�

����������������

����

��� � ����

��

����� � �����

�� �

�

>�

����������������

��������� � ������� � ������� F ���������

6�� �76�� 7�6! 7

.���� (� F � �� %� F � ��� ���� ������� ���� ���� �D������ 6�'7 ������� ����

��� �������� �� ����� �� < �� ����� � �� ���3������ �� ���� �� ��&������

���������� ��

6!�7 4 > 6�� �76 � �7<�

C�� = �� ��� ���������� ������� �� �&��� ��� ��� ���������� ��������� ��

6��7 5D������� 6��7 �� 6�,7 �����

4 >=

�6�� �76�� 7�

C�� =��� �� ��� �������� �� ��� �� = 6 #��� =��� �� +��� �� � � �� , � �

������� = �� � ���������� �3������ �� �7 C�� 4��� �� ��� �������� �� ��� ��

Page 70: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� �� ��� ��������� �������

�!, �� # �� �� # �� # � �� # �� # � �� # �� # � �� # �� # � �� # �� # �

�� # �� ( �) #� #� �� �

�� # �� # � #� � �� �� � #�

�� # �� # � �� #� � � #� ��

�� # �� # � �� #� � � #� ��

�� # �� # � #� � �� �� � #�

�� # �� # � � �� #� #� �� �

��!�� �� #�� 3����� �� =������� 0��� �� F �� � �� F ��

4 #���

������

4������ >

�

�6�� �76�� 7

������

=������ >

����� ����

=�� ������������6!�7

��������� ��� �������� �� ��� �� ���� �� �� �� �D������ 6! 7 0� ������ ����

4��� >� ����

=���� ������ >�� ��

�����

= ������6!!7

;� ������� 4��� ���� 6!�7 �� �&��� ��� ��� ���������� ��������� �� 6��7

;� ����� �� �0� �����

���� �� .������ ���� �� F �� 8 �� F �� #���

�� F �� F" 8 �� F �� F! 8 �� F �� F� � �� F �� F� 8 �� F �� F� 8 �� F ���

;� ����� ��� 3����� �� =������� �� #���� � ;� ��� ��� ���3������ ���� =�������

�� +��� 0����3�� ��� 6� ,7 ����� �� ��� �� #���� �

Page 71: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� ��� ���� �� �"� �"� ��" ������ ��

�!, >� >� >� >� >� > >)

>�

>� �� F�

>� F� ��

>�

>� �� F�

> F� ��

>)

��!�� "� #�� 3����� �� 4��� 0��� �� F �� � �� F ��

5D������ 6!�7 ���0� ���� ��� 3���� �� 4��� ��� �� ������� �� � ��� ���

������� �����0��� �� ��� ����� 6� ,7 � #���� ! 0� ����� ��� 3����� �� 4���

0����

>� > 9 �� F ��7 >� > 9�� F �� �� F ��:

>� > 9�� F �� F � �� F �� F �: >� > 9�� F �� F � �� F �� F �:

>� > 9�� F �� F � �� F �� F �: > > 9�� F �� F ! �� F �� F !:

>) > 9�� F �� F ""7�

���� �� .������ ���� �� F �� � �� F �� #���

�� F �� F" 8 �� F �� F! 8 �� F �� F� 8 �� F �� F� 8 �� F �� F � 8 �� F ���

Page 72: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� �� ��� ��������� �������

N��� ���� �� #���� !� ��� ��0� �� ������� ��������� ��� �� �� F �� F �

�� ��F��F� ��� ��� ���� #��������� ��� 3����� �� =��� ��� ��F�� � ��F��

��� ����� � �� #���� !� �� 0� ���

>� > 9�� F �� F � �� F �� F �:

>� > 9�� F �� F � �� F �� F �:

>� > 9�� F �� F � �� F �� F �:

�� ���� ��� ����� �����3��� �� ������

� ���� ������ ��� <��� �� ��� �������� �� ��� �� < P���� 6�,7 0� ������

����

< >�

6�� �76 � �7

������

4������

>�

� �

��������

4����������6!"7

>�

���� ����

4�� ����� ��������

6N���E ;� ��� �3� � �� � � ������� < > 0��� � > 7 ������*

��� ��� ��������� �� ��� �� ���� �� �� �� �D������ 6!�7� 0� ������ <��� >

� ���� 4�� ����� ����� #���������

6!�7 <����� >��������

4����������������

;� ��3� ���0� ���� ���� > <����� ��� �� ������� �� � ��� ��� ������� ��

#���� ! �� ��� ������ �� �� ���� ��� �� ������ ���� 6(� %� F �7 .�� #���� "

Page 73: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� ��� ���� �� �"� �"� ��" ������ ��

Æ

Æ

Æ Æ

Æ

Æ

��!�� #

#�� �����*���� ����� �� #���� " ��� ���� ������ 6! �7

�� ���������� (� � %� � ��2�� #���� �� 0� ����� �� 6(� %� F �7 �� ��3�

�� ���3������ ������� � ��� ���� ������ �� �� ���� 0� ��� �������� ����� ��

���� ��� ���+��� �� #���� ! ��� ����� �� >� � >� �� >�� >�� 2����� 0� ��3� ����

<����� �� ��� ������ �� ������ �� �� ���� � >� � >� ���� ��� �� ������ ����

6(� %� F �7 ����� ��� ���� ���� ��� �� ������ �� >� � >��

���� � #�� ���D������ �� F �� 8 �� F �� ������� ���� �� F �� F � 8 ����

�����3��� %� � (� ������� ���� 0� ��� ���� ����� ����� ��� ������ �� �� ��3��

�� � � � , � ���� #�� ������ �� ������ �� �� ���� ��� �� ������ ����

6(� %� F �7 ���� � >� � >� �� ��3�� �� W6�� F �� �� � �� �� F �� F � �� � ��7�

.��������� ��� ������ �� ������ �� �� ���� ��� �� ������ ���� 6(� %� F �7

���� � >� � >� �� ��3�� �� W6�� F �� �� � �� �� F �� F � �� � ��7�

Page 74: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� �� ��� ��������� �������

���� � #�� ���D������ �� F �� � �� F ��� ������� ���� �� F �� F � 8 ����

�����3��� %� � (� ������� ���� 0� ��� ���� ����� ����� ��� ������ �� �� ��3��

�� � � � , � ���� #�� ������ �� ������ �� �� ���� ��� �� ������ ����

6(� %� F �7 ���� � >� � >� �� ��3�� �� W6�� F �� �� � �� �� F �� F � �� � ��7�

.��������� ��� ������ �� ������ �� �� ���� ��� �� ������ ���� 6(� %� F �7

���� � >� � >� �� ��3�� �� W6�� F �� �� � �� �� F �� F � �� � ��7� �

� � ����� " � "�� % > 6%� %�7� ( > 6(� (�7� �� � > 6�� ��7 � �����

����� �� �� .����� ��� (� � %� � ��� ����

���� > 6 � �76 � �7

����� � > ��&

�

�����������

�

���� >

�����������

�

��

�� � .�� �� > �� > �� #������ !, #��� 0� ������ ���� ��� �����

����������� �� ��� �������� �� W� ���� ��� 0��� - 9 9 - F .� ��3�� ������

N��� ���� (�F%���� � (�F%������ ��� ��� ���������� % ( �� � #���������

���� > $������6(� F %� � ��7� $������6(� F %� � �� � �7�

.������ ���� (�F%���� 9 � /��� ��� �������� �� $������ 0� ������ ����

���� > #��������� �� �� �� �� ��3� ���� ��� �D��� �� +���� 0� ����� ������

���� (� F %� � �� � �

� � (� F %� � �� 9 �� F �� ����

$������6(� F %� � ��7 >

�(� F %� � �� F �

�

�

Page 75: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� ��� ���� �� �"� �"� ��" ������ �

.��������� �� � (� F %� � �� 9 �� F �� ����

$������6(� F %� � �� � �7 >

�(� F %� F �� � �

�

�

� �� ���� �� ��� ���� ��� ����� ����� �� ��� �������� �� $ �� ��� ��� �����

#��������� ������ � �� �� ���3�� 0� ������ ��� ����� ������ �

������� "�� � % > ( > � > 6� �7 �� % > ( > 6�� ��7 �� � > 6!� �7� ����

���� ��� ���3���� ���������� 0� ������ ����

���� >

�� F �

�

��

��

�

�> 6� �� �3��7

N��� ���� �� ����� ��������� " �� ��� ����� ������ �� ������� 0� �����

���� ��� ��� ���������� �� ��� $�����%�� ��� ��� �� ��� ( > � > 6�� ��7 ��

% > 6!� �7

� � ����� "�� ��� )�����*�� ��������� ����� ����� % �� ( �� �������

���������� �� �� �������

�� � � �� ������ �� ��������� �� ������ � ������ �� $�����%�� ����*

������� )����� ���� % > ( > � > 6!� �7 #��� ���� ��� ���3���� ���������

0� ������ ����

���� >

�� F �

�

�

�

Page 76: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

� �� ��� ��������� �������

�� 0��*��12� ) ���!�

� ���� ������� 0� ����� .�����34� ������� ��� � .���� �������� �� � �8������

�� �0� ��������� .�� 9�: �� 9�� ������� !: ��� ������ �� ��������

���� � "!� C�� �� > �� F � � �F �� �� � ����� ��������� �� ���

� > 6�� � �� � � � � � 7 ;� ���� ��� �� ��

� > ����� � � ������

���� � ""� C�� �6�7 ����� ��� ������ �� ��3������� �� ��� �������*

���� � ;� ���� ��� ��������� �� ��

)0�� >�+���

6��7��+� 6�+�� � � � �+��7

��� ��� ���������� � 6�� � � � ��7

���� � "�� C�� X �� ��� ��������� �� ��%��� ��� @�� ����� � ����*

������ �� �� ��������� ���

X6��7 > ��6����� 7�������

��� ��� "( 6.�����34� /������7� "�� �� > �� F � � � F �� *�. �� >

� F � � �F � � ��� �� ���� ����

��9�� � ��: >�

X6��7X6��7)0�)

/��

�� � ��

�������

6�� � �7

#�� �������� 6� ,7 � ����� ���� ��� ����� 6� ,7 ������� �� ��� ������

�� � ;� ��� �� > ��� � 8 � �� � > ��� , 8 �

;� ��� .�����34� ������� �� � ���� ��� ��%��� ���� ������������ 0� ���

��� ��� ��&� �0� ��������

Page 77: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� ���$��%&� ������� ��

6�7 C�� % > 6�1���7 �� � ���% 6;� ��� �������� ���� �� � � ��

�� � �7 C�� �� > �� �� �� > ��

6!(7 ��9�� � ��: > 6��71������� �1�� 6�� � ��7�

6�7 C�� ( > 6(� (�7 �� � �0�*��0 ��������� C�� � > � � #���

6!�7 ��9� F �: >6��7

��6�������� � �������

� 7

� � ��

6!7 ;� ��� ���� � ��������� � �� � ����� ���% �� 6� �7 � �� �� ��� ���

���� � > 6�������� ��7� � ���������� ��� �0�*��0 ����� �� ����� ���

�� �� � ����� ���%

C�� � �� � ����� ���% C�� ? > �� �� �� @ > 7� 7� #���

�� �� �> ���� ��9�� F �� � 7� � 7�: �D����

6!'76�� � 7�76�� � 7�76�� � 7�76�� � 7�7

6�� � ��767� � 7�76��7��6����7

����67�7�7��

����������� � ��������

�

�7����� � 7����

�

�

I� ��� ����� ��� � �� �� > ���� �� ������� ��9��F��� 7�� 7�: 0�

����� 0���� � �� 6�����������7� #��� ��� 0� ��� .� E> .�� .� E> .�� ��

�� E> �� �� �� > �� �� 6!(7

6"7 C�� � �� � ���% ������ � > 6�����7� 6;� ��� �������� ���� .� � � ��

�� � �7 C�� ? > �� �� �� @ > 7� 7� #��� ��9��F���7��7�:

Page 78: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� �� ��� ��������� �������

�D����

6!,7 6��7���� �

6�� � ��7

�

67� � 7�7�

���7�6�� � 7�76�� � 7�76�� � 7�7�

����� 7����

�

� ��7�6�� � 7�76�� � 7�76�� � 7�7������ 7����

�

� ��7�6�� � 7�76�� � 7�76�� � 7�7������ 7����

�

F ��7�6�� � 7�76�� � 7�76�� � 7�7������ 7����

� �

�

�� #$� ���� ) �/ $ & �$�"��

� ���� ������� 0� ���3� �� �&������ ������� ��� ��� $�����%�� ���������

���� �� ��� ���� �� 0���� % > 6�1�7� �� ( > 6��77 ��� ���� ���% ������ =�3��

� ��������� � ��� $�����%�� �������� ���� ����� �� 0������ ����� 6� 77 �������

�� ���� ������� �� �� �������� �� %� ( �� �

1����� ���� 0� ����� ��� �������������� �������� �� ��������� � �����������

� 0��� ����%���� 6� 7

���� "�� "�� 6� 77 �� �� �� : � ��� ������� ���� !������� 6* �7�

6� *7� 6- .7� �� 6. -7� ���� * � �� - � .� - � * �� . � �� %���������� ����

- > . > �� �� ������ ���� ������� � 6* �Y �7�'

���� 6� 77 : �� �� �� �� �7 � �� � *� � �� *F � � �F 7 � -F .

Page 79: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

� ��� ���� �� �"� ���� ������ ��

�� � C�� +� �� ��� ���� �� ����� � ������� ������� 6� 77� �� ��� +� ��

��� ���� �� ����� �� ������� ������� 6� 77 #��� 0� ��3� ����

+� E > � F 7 � �

+� E > �� F �F 7

#�� ����� 6� 77 �� �� : �� �� ���� �� +� �� ���0��� ��� ����� �� ����� � �������

�������� 6* �7 �� 6� *7 #��� ��� *� � � 7�� � �� * �� +� �� ���0��� ���

����� �� ����� �� ������� �������� 6* �7 �� 6- .7 #��� ��� * F � � � F 7 �

-F . �

��� ��� "'� "�� �� % �� ( � ��������� �� �� ����� % > 6�1�7 ��

( > 6��77 �� ���* ������ ���� ��� )�����*�� ��������� ���� �� ��!��

��� �������-

6�7 2� � �� ������� ����� ���� ���� > ����

6�7 2� � �� ��� �������� �� ��� � ���* ����� ���� ���� > �

6!7 "�� � > 6����������7 � ��� � ���*� "�� � > �.� F .�� ����

���� > 6�� � � ��F � � �

�� ��76�� � �� � .�7

F 6�� �� F � � � F �

�� ��76�� � �� � .� F �7�

&��� ��� �� �� > � ���� �� �� ������� � > 6�����������7 �����

����� ��� ���!���� ������

Page 80: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� �� ��� ��������� �������

6"7 "�� � > 6���7 � ���* ����� ������� ��� � � �� � � 7� �� . � ��

����

���� > 6� � .F �76. � � F �76� � �F .7�

�� � .�� � > � � �� � > � �� ��� ���������������� �&�������

6�,7 �� ������

6" 7 ��96�� �76�� 7: >����

������9�� �:��9�� :

;� ��� �D������ 6!"7 �� ������� �� �� �� �� ��� ����� ��� �� � �� 6!'7

#��� 0� �3� � ��� ��������� �D������ �� 6�� �76�� 7 �� ���

��9�� � � F �:

6�� �76�� 7>����

����6��716�7� �

#���������

���� >�6��716�7�

���9�� � � F �:

6�� �76�� 7

0��� % �� ( ��� ���% ������

���� �� � � �� ��� �������� �� ��� ����� ���%� ���� ��� ����� 6! !7 ��

�� �� �� �� .�����34� �������� ��9�� � �F �: �D���� +���

���� �� C�� � > 6�������� ��7 �� � ����� ���% .�� �� > �� �� > ��

7� > �� �� 7� > �� 6!(7 #��� 0� �3� � �� 6�� �76�� 7 �� ���� �� �� ��

��� ��������� �D������ �� ������

6"�7��9�� � � F �:

6�� �76�� 7> 6��7��6�7�������

� 6�� �76�� 7

��� 6�7�������

�� �

������� � ����

��

��

Page 81: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

� ��� ���� �� �"� ���� ������ ��

N���E � �� > ���� 0� ����� 0���� � > 6�����������7 �� �� �� �� ��� 6!(7

C�� � �� � ����� �� ��� ;� ��� ���� 6� ,7 ��� �� ������ ���� �� 0������

� � 6� ,7� �� 6� ,7 ��� �� ������ ���� � �� ��3��� ��� ������ �� �����

�����*0��� �� �����*0��� ;� ��3� ���� � 0����� �������� ��

"-6� ,7 >

������������ �� �� 6� ,7Y

�����0���

C�� "-6/ 7 >�

������ "-6� ,7 �� ��� ���������� �������� �� � ������ / �� ��

C�� : �� ��� ��������� 0��� 3������� 6 .�7� 6.� 7� 6.� F �� � �� �� � ��7 ��

6�� � �� .� F �� � ��7 #���

"���������������6:7 >

��� 6�7�������

�� �

������� � ����

��

�

>������ ��

�������

6�7 ����

.�� #���� �

1����� ���� 0� ��� ����� �����& ���� ������� �� ���� ��� �����*���� ������

��� ���� ������ 6 7 #�� ���� ������ �� ��� ���� 3������� �� : �� #���� � ���

6 "7� 6" 7� 6' "7� �� 6" '7

;� ��������� ��� �����*��� �� � �� 6!,7 �� ��� ��� �� ���� �8����� ���*

������� ��������� #� �� ���� �������� ��� �����*��� �� � �� 6!,7 ��� ��

0������ ������� "-�6��7 0���� �� > 6�� F .� � � �� F .� F .� � �7 �� :� >

�� F .� F .� � � �� F .� � �Y�� � ��� �� > 6�� F .� ��" F .� F .� � �7 ��

Page 82: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� �� ��� ��������� �������

�

� �

� � �

� � � �

� � � � �

� � � �

� � �

� �

�

��!�� $� .� > " �� �� � �� > "

:� > �� F .� F .� �� F .� � �Y�� � ��� �� > 6�� F .� � � �� F .� F .�7 ��

:� > �� F .� F .� � � �� F .�Y�� � ��� �� �� > 6�� F .� F .� �� F .� F .�7

�� :� > �� F .� F .� �� F .� F .�Y�� � ��

;� �����3� ���� :� � :� 6�� :� � :� 7 ��� ���������� �� �� �����3���

6"�7 ���� > 66� �7 :� � :�7 F 66� �7 :� �:�7�

#�� 3������� �� ��������� :� � :� ��� ��3�� 6����� ��� �������� �� C���� "�7

��

* > �� F .� F .� � � � > �� F .� � �

- > �� F .� F .� . > �� F .�

Page 83: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

� ��� ���� �� �"� ���� ������ ��

.��������� ��� 3������� �� ��������� :� �:� ��� ��3�� ��

* > �� F .� F .� � > �� F .� � �

- > �� F .� F .� . > �� F .� � �

)������� C���� "� �� 6" 7 0� ������

���� > 6�� � � ��F � � �

�� ��76�� � �� � .�7

F 6�� �� F � � � F �

�� ��76�� � �� � .� F �7�

���� �� � �� � $ &� .������ ���� � �� � ���%� � > 6���7 .�� �� > ��

�� > �� 7� > �� �� 7� > �� 6!�7 #��� 0� �3� � �� 6�� �76�� 7 �� ����

�� �� �� ��� ��������� �D������ �� ������

6"!7��9�� � � F �:

6�� �76�� 7> 6��7�

����� � ���

��

���� 6�7�

�� �

�

F 6��7����

��� � �

��

���� 6�7���

�� �

��

;� 0��� �� ��������� ���� �D������ �� � ���������� �������� ��� � ������ /

����� ��� 0����� " ;� ������ �� �����0�E

C�� :� �� ��� ��������� 0��� 3������� 6. 7 6 .7 6.F � � � � � �7� ��

6� � � .F � � �7 #���

6""7 "����������6:�7 >

��� 6�7�

�� �

������ � ���

��

�>���� ��

������

6�7 ����

Page 84: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� �� ��� ��������� �������

�

� �� �

� �� � �� �

� �� � �� � �� �

� �� � �� � �� � �� �

� �� � �� � �� � �� �

� �� � �� � �� �

� �� � �� �

� �� �

�

��!�� %� . > " � > (�

6.�� #���� �7 .��������� ��� :� �� ��� ��������� 0��� 3������� 6. �7 6� .7

6.F � � � � � �7� �� 6� � � .F � � �7 #���

6"�7

"����������6:�7 > �

��� 6�7���

�� �

���� � �

��

�> �

���� ��

��������

6�7 ����

I����3� ���� ��� ������ �� �� ���� ��� �� ������ ���� 6 .7 �� :� ��

��� ������ �� �� ���� ��� �� ������ ���� 6� .7 �� :� ��� ��<���� �����3���

���� ���������� ��� ��� ��������� :� � :� .�� #���� (

N��� ���� :� �� �������� �� :� ;� ������ ����

"����������6:�7 F "����������6:�7 > �6� �7 :��

Page 85: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

� ��� ���� �� � ���� ����� ��� � �"� ��" ����� �

;� ��� ����� C���� "� �� ��� ���3���� �D������ �� ������E

6��� � � � .76. � �F � � .F �� � �7�

���� �� ����������� � � �� � � 7� �� . � � #��������� ���� ������ ��

�D��3����� �� 6. � �F �76� � �F .76� � .F �7� �� ����� �

� � ����� ",� "�� �� %� �� ( � ��������� �� �� ����� % > 6�1�7 ��

( > 6��77 �� ���* ����� �� � > 6�� ��7 �� ������� ����� ���� ���

)�����*�� ��������� ���� �� ��!��

���� > 6�� � � � � � ��76� > �7 F 6�� �� F � F �

�� ��76��� � � � �7�

�� � � #������ "'� ��� .� > .� > � �� > �� �� �� > ��� �

� � ����� � � "�� �� % �� ( � ��������� �� �� ����� % �� ( ��

���* ������ ���� ��� )�����*�� ��������� �� ������� �����!��� ��� ��

����� � !��� ��� ��� )�����*�� ��������� �� � � �� ��

'� #$� ���� ) � $ & �$�"� �� � �/ ,� / �$�"�

� ���� ������� 0� ���3� �� �&������ ������� ��� ��� $�����%�� ���������

�� ��� ���� % > 6�1���7 �� � ���% �� ( > 6(� (�7 �� � �0�*��0 ����� =�3��

� ��������� �� ��� $�����%�� ��������� ���� ���� �� 0������ ��� ����� 6�� (�7

������� �� ���� ������� �� �� �������� �� %� ( �� �

Page 86: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

� �� ��� ��������� �������

P���� ��� �������� ���������� �� ��� $�����%�� ��� ���� 0� ��� ������

���� �� � > 6����������7 ���� �� � �� � .� 6� �� > ���� 0� ����� ��0����

� �� 6�����������7 �����3��� ��� ���������� ������� �� � � � .�7

1����� ���� 0� ����� ��� 3���� �� ��� �������������� �������� �� �����������

� �� 6� 7

��� ��� ��� "�� �� % �� ( � ��������� �� �� ����� % > 6�1���7 ��

���* �� ( > 6(� (�7 �� ������� ����� ���� ��� )�����*�� ��������� ����

�� ��!�� ��� �������-

6�7 2� � �� ������� ����� ���� ���� > ����

6�7 2� � �� ��� �������� �� � ��� � ���*� ���� ���� > �

6!7 ������� � > 6����������7 �� ��� � ���*� .����� ��� ����� � .��

%2� �� > � ���� �� ����� ����� � > 6�����������7�' ����

���� > 6�� � (� � .� � � � ��76.� F �.� 9 �� 9 .� F �.� F !7

F 6�� � (� � .� � ��76.� F �.� � �� � .� F �.� F !7

F 6�� � (� � .� F � � ��76.� F �.� 9 �� 9 .� F �.� F !7

� 6�� F .� F .� > (�76.� F �.� F � � �� � .� F �.� F �7�

6"7 2� � �� ���*� ��� ����� 45�

Page 87: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

� ��� ���� �� � ���� ����� ��� � �"� ��" ����� ��

�� � .�� � > � F � �� � > � F �� ��� ���������������� �&�������

6�,7 �� ������

6"(7 ��96�� �76� F 7: >����

������9�� �:��9� F :�

P�� 6!"7 �� 6!�7 �� ������� �� �� �� �� ��� �����*��� �� � �� 6""7� ��

�3� � �� 6�� �7 �� ������

6"�7��96�� �76� F 7:

�� �>

�����������������

����6��71������ �������

��

��

� � �� ��� �������� �� ��� ����� ���%� ���� ��� ����� 6! !7 �� �� �� �� ��

.�����34� �������� ��96�� �76� F 7: �D���� +���

.���� 0� ����� � ������� ��� $�����%�� ��������� 0��� � �� ��������

�� � ���%� 0� ��� ������ ��� ��� ���� �� ���� ����� ���� � �� � ����� ���% C��

� > 6�������� ��7 6N���E � �� > ���� 0� ����� 0���� � > 6�����������7�7

.�� �� > �� �� > � 7� > �� �� 7� > � �� 6!(7� �� �������� �� ��/��0

��

���� �� �� �� ��� ��������� �D������

6"'7�

����������������

����6��71������ �������

> 6 � �76�� �76�� �7

� 6��7�������������

�6�� �������76�� ����7

��

��

;� ��3� ���� 6��76���76���7 > ��6�F F �7F��6�F F �7����

#��������� ���%��� �� ��� �������� �� � �� ���� �� �� �� ��� �D������� 0� ���

Page 88: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� �� ��� ��������� �������

���� ���� �� +��� �� �� �� �8����� ���� .� F �.� .� F �.� F � .� F �.� F � ��

.� F �.� F !�

C�� �� > .� F �.� �� �� > .� F �.� F ! .���� (� � �2�� 0� ��3� ����

���� > 9��:�

����������������

������

> 9��:�

����������������

������6�� �������7 6(� F � 8 �2�7

> 9��:�����6�� ����7

��� �������

��

�65D "(7

> 9��:�����6�� ����7������ ��

> 9��:����������� ��

� 6�� F .� F .� � �2�7

;� ��3� ������� ���� ��� �� > .� F �.� �� �� > .� F �.� F !

���� > 6�� � (� � .� � ��7�

C�� �� > .� F �.� F � �� �� > .� F �.� F � .���� (� � ���� 0� ��3� ����

���� > 9��:�

����������������

������

> 9��:�

����������������

����6�� �������7

> 9��:�������6� F F �76�� ����7

��� �������

��

�

>

�9��:�������6� F F �7

��� �������

��

���6�� F .� F .� > (�7

Page 89: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� � ��� �������� ��

>

�9��:�������6� F F �7

������ ��

�� 6�� F .� F .� > (�7

;� ��3� ������� ���� ��� �� > .� F �.� F � �� �� > .� F �.� F �

6",7 ���� > 6�� � (� � .� � � � ��7 F 6�� � (� � .� � ��7

F 6�� � (� � .� F � � ��7� 6�� F .� F .� > (�7�

�

� � ����� ��� ��� )�����*�� ��������� ����� ����� % �� ���* �� (

�� ������� ���� �� � � � �� � �� !�

�� 3��! � �����

#�� ����� ��� ��� �� ��������� ��������� 0�� ����3��� �� G 2 1� ���

9��: �� �,��� �������� 0��� ��� ������ ��� ��� �� ��������� ��������� 2� �����

���� ��� �� ��� ��� ����� ��������3��� H5 C�����0�� 9��� ��: ����3����

��� ����� ��� ��� �� �,�(

���� ��������� � =����� 9��: �� ) C�����& 9��: ������� �������������

��������������� ��� ��� $�����%�� ��������� �� ���� ��������� �����Y C�����&

�� ��� ���� 0���� % �� ( ��� ���%�� �� � � �������� �������&� �� =�����

�� ��� ���� ���� % �� ( ��� +��+�� ������ �� � �� �� ��������� �%�0 �����

) C�����& ���������� ��� $�����%�� ���������� 0��� �0� �� ��� ������ ���

���%� �� �������� ������ �� 0�� � �� �� ���� �D��3������ �������� ;� ����� ��

9��: �� 9': ��� � �������� ��������� �� ��� ������� #�� ��������� �� #������

Page 90: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� �� ��� ��������� �������

! �� ���� ����� ���0� ���� ���� ����� �� 0�� �� �� �� C�����&4� �D��3�������

�������� ������ � �� �� � �8����� ������������3�� =����� 0��%� �� � ����

������� �����0��%� ������������� ��� ���������� �� �%�0 �������& � 0��

���0� �� 9': ���� �� ��� ���� 0���� �0� �� ��� ���������� ��� ���% �������

�� ��� ���� ��� �� �� ��������� �������� ������ ��� ������ �� �D��3����� ��

C�����&4�

� 9':� )� =����� �� G� 1����� ���� � � 0�� �� ������ ���Z�� ��

������������ �� $�����%�� ��������� /��� ���� ���� ������� � �����*

�������� �������������� ��� ��� $�����%�� ��������� 0��� � �� � ��� ��� ��

����������� ��������� ���������� �� % �� ( ��� ��������� �%�0 ������

#��� ���� ���0� ��0 =�����4� �� C�����&4� ������� ��� ������

G� 1����� 9��:� 9��:� �� G� 1����� �� # ;������� 9��:� �������

�������� ��� ��������� ��� $�����%�� ��������� �� ��� ���� ����� ����� ���

�� ���� ����� #���� �������� 0�� ������ �������������E

/����� ���� �&��� � ��� $�����%�� ��� ��� �� � �� �� ����� �� .���� ����*

����� ����� ��� =�����*1����� ��������� 9': #�� ������� �� ��������� ���

$�����%�� ��������� 0�� �� ��� �� ��������� ����� ���� �� ������� ��� *

���� �� �%�0 .���� ���������

#��� ���� ������� � ���������� �� ��� ��������� ���� ����� �� ��� �&*

������� �� ��� ��������� ��� ��� �� �%�0 .���� ��������� �� ����� �� ��������

6������� ������ �� 9��:� �� 9��: �� 4������� ������ �� 9��: )� ���� ������

���� �� ��� ��� ������� �� ��������� � ����� ��� �� ������ ������

Page 91: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� � ��� �������� ��

/������� ���� ���� ��3�������� �� ����� ����� ���� �� ������ ������3�

������ �� ������� ��� ����� �������� �� �������� ������� �� ��������� ���

���� ������

� �������� �� �� ��� ��3���� ��0 �� �� ���� ��� ������������ �� ��� $��*

���%�� ��������� ����� 0��� % �� ( ��� �0�*��0 ������ ���� �� ���� ������

�� ��� ��� ������� �� G� 1����� �� # ;������� 9��: ���� �� ����

���������� ����� ���� �� ���� �� ��� /�� ��������� 0��� � �� ���� � �0�*��0

������ ���� �������� ��� �&����� ��� ����

Page 92: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the
Page 93: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

&�����������

*)+ �� ����� ,� ������� ��� -�,� �������� . ������ �������� ��� ��������� ��

������ ����� ���� ��� �)//(!� 0/)12/)�

*3+ 4�5� ������� 6��� ����� �� 7�������8 9�������� ���������� :����� � 9���

������ ;������ 7��� )//<�

*0+ =� >������� ��� ���� 4����� .������? ������� ��� �� :��������-�������� -����

���� ��� � ������ ������ �� �)//(!� @/1)((

*2+ �� 9��� ��� ,�7� #���� ��� ����������� �� ������ �������� � 64����9����

-�� �� 9�����������8 ,�7� #��� 5��� >��$�A����� )//B�

*B+ 7� C������� D� �� ��������� �� ������������ ���� � EFFG . ������ �������

������ �� ���� �� ��������� ��� �������� � �� �� ����� ����� E��� :F =�� 2

�)/@3!� 0@@10/H� ������ � 64����9���� -�� �� 9�����������8 ,�7� #��� 5���

>��$�A����� �)//B!� 2(01233�

*H+ ���� 4���� ��� ,�>� -������ .��I� �� ��������� ��� #�����$�� ������� ������

������ �)/<B!� 3)@13H0�

*@+ F��� 4������ ��� :��� C�$��� � ����� ��������� �� �� ������� �� .����:�������

�J����� ��� �� ������� �� #���������E��� �J������ � ���� ����� � ���� ��

�)/@B!� @@1))0�

*<+ F��� 4���� . ������ ������� ��� 7������������ �� �� ����� ��� � �� �)/<<!�

3B@13<B�

*/+ F��� 4���� 5��������� ���������� �� ������ �������� � 6��� )@� .K��������

:�����������8 7���� F�-����� .�������� 02<� B1)@� )/<<�

��

Page 94: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

�� � �� �$�����

*)(+ F��� 4���� 7����� 9������������ )//@�

*))+ F��� 4���� ��������� 7�������� ��� ����� ������ �� .���� �������� �������

����� �)/<2!� 3</10(3�

*)3+ .��� ,���� 4��9� -�� ��� >� .����� ���� � � �������G ����� ������� � �

������ ����� ��������� �� �)/<)!� )/013(3� ������ � 64����9���� -�� ��

9�����������8 ,�7� #��� 5��� >���A����� �)//B!� @01<3�

*)0+ �� :���� � 7����� �� #�����$�� �� ����������� �� ����� �����J��� ��

.K�������� �?������L�� 7� C������ � ���7� ���������� 7���������� 7��� )/@/� �F�G :���

��� =�� �� �������� ��� ��� 0)/103/� >������&����������=�� "��$G .�������

E����� )/<(�!

*)2+ C�5� :�������� ��� #�����$�� ������ �� ������ ����� ������������ �� ������

����� ���� � �)/BH!� </1/0�

*)B+ C�5� :�������� 7��� � ��� ����� ������ �� .��������� �� ������ ����� ���� �

�� �)/B@!� )<133

*)H+ �� :������� 69���������� �� �����8 9�������� ���������� :����� � 9��������

;������ 7��� )//@�

*)@+ F�4� ���������� . ������ ������� ��� &��� 7�� ������� ����� ������� D ����

.������ 7���������� )//B�

*)<+ 7��� ��������� 69�������� ���� ��8 E�� )13� 9�������� ;������ 7�� �)/)B�

)/)H!� -������� � 9������ =�� "��$ �)/H(!�

*)/+ �� ����$� ��� ���� �� ���� ������ �������� ���� ���� ����� ���� �)/H<!�

@H21@HB�

*3(+ -� ������ ��� 4��9� -��� D� �� ��������� �� 9����������� ����� G FFF� ���

���� �� >������� 5���������� � 64���� ����� ��� � �����������8 >� &����

���� �������� 7��� =�� "��$ ��� :������ )/@(� ��� )H@13)0� ������ � 64����

9���� -�� �� 9�����������8 ,�7� #��� 5��� >���A����� �)//B!� ))<1)2@�

Page 95: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

� �� �$����� �

*3)+ 7�,� D���� ��� 9� .��$����� C������� ����������� �� ������ ��%������� �J������

���!� �� ���� �� ����� � �)//3!� )2<01)B(0�

*33+ ,�&� -������� ��� ���� �� ����� ������� ���������� ���� �� ����� � �)/3@!�

200�2BB�

*30+ ,�>� -������ � ������� ��� �� #�����$�� ������ �� .���� ������� �� ���$ �����

�� ������ �� �)/</!� )((1))<�

*32+ ,�>� -������ ������� ��� �� � ������ �� �� #�����$�� ������ ������ � ���������

��� ������� � ���������� ����� ����� �)//3!� 3HB13<@�

*3B+ ,�>� -����� ��� �� ��������� D� �� #�����$�� ������ �� .���� ������� �� ��

��� ����� " ��� "��� ����� ���� ���� ���� �)//2!� H2/1H<0�

*3H+ 9� -�������� 6���� :�� ��������8 :����� ���� .��� ���������� =�� .����� E���

�� D ���� ;������ 7��� )//0�

*3@+ ��&� -��� �������� ������ ������� ��� �� ������� ������ 7��������� ��

�7.�9?//� 5�� 9� �����?�M� �� =� ��� D� .����� >��������� ,��� @�))� )///�

*3<+ ��&� -��� �������� ������ �������� �� ������� ����� ��� "���� ���

������ � ������ � ������� �� ���������

*3/+ 4��9� -��� D� �� ��������� �� ������������ ���� � FG ��� ���� �� �A���� �����

���� N� �������������$�������� � �)/H2!� 02(10H<� ������ � 64����9���� -��

�� 9�����������8 ,�7� #��� 5��� >���A����� �)//B!� 310)�

*0(+ 4��9� -�� ��� C� .���� 5��������� ;���� 4���� ������ ������ .����� =������

.��������� 7�� 9��� �� .����M� .���� FE� E��� FE� �� 2 �)/@@! H0@1H2H ������ �

64����9���� -�� �� 9�����������8 ,�7� #��� 5��� >��$�A����� �)//B!� 2B1B2�

*0)+ 4��9� -�� ��� ,��� .���� 7��� �� &��� �������� ���� #��� ����� ��� $��

�)//2! )0(B@1)0(H)�

*03+ 4��9� -�� ��� ,��� .���� 7��� �� ������� ��� ����� ������ �������� ����

#��� ����� ��� $�� �)//2! )0(H31)0(HH�

Page 96: A combinatorial overview of the theory of MacMahon symmetric functions and a study of the

� � �� �$�����

*00+ 4��9� -�� ��� ,��� .���� � ������ ����� �� -������ ������� )///�

*02+ >�5� .����� ��� . ������ 4����� ������� O >���$P9���� 7����� 4����� 9�������

���� )//)�

*0B+ -� .���� � 65��������� 9�����������8 E��� F� 9�������� .���� �� �������� ����

����� �� 9�������� ;������ 7��� )//@�

*0H+ -� .���� � 65��������� 9�����������8 E��� FF� 9�������� .���� �� ��������

�������� �� 9�������� ;������ 7��� )///�

*0@+ -� .���� � � ������ ������� ��������M���� �� �� �������� ��� ������ �� � ������

���� � ����� )HH1)/2 �)//B!�