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The progress in physics cer-tainly will depende to a largeextent on the progress 01 nonli-near mathematics, 01 methods01 solving nonlinear equations.W. Heisenberg2}

111

RESUMO

Faz-se uma introdução à ciên-cia dos sistema complexosatravés de exemplos simples,escolhidos de modo a realçaralguns aspectos das relaçõesentre o não-linear, o colectivo,o caos, a previsibilidade e acalculabilidade.

A CIÊNCIA DOSSISTEMAS COMPLEXOS

Rui DilãoDepartamento de Fisica do 1ST

1. INTRODUÇÃO

Quando se junta um grande número de sistemas, as propriedades macros-cópicas ou colectivas do sistema composto não estão, em geral, relaciona-das com as propriedades dos seus constituintes individuais. Neste caso, osistema composto é um sistema complexo.

As ciências como a física, a biologia, a química, a economia, a história e amedicina estudam sistemas complexos: têm que lidar com as catástrofes,com a turbulência, com as doenças, com as revoluções, com a evolução na-tural, com a extinção dos dinossaurios, com a evolução da bolsa e do uni-verso. Com o desenvolvimento de máquinas de cálculo poderosas que che-gam a realizar 1011operações de vírgula flutuante por segundo, é possívelcálcular estes sistemas.

A grande dificuldade no estudo das propriedades dos sistemas complexos éde que, em geral, os modelos matemáticos associados conduzem à determi-nação de soluções de equações não-lineares, sendo difícil a aferição de so-luções numéricas com os resultados experimentais e com as soluções analí-ticas (quando existem). Como a experiência tem mostrado, aparecemdificuldades relativas à fraca previsibilidade que muitos algo ritmos fornecem,tendo-se criado a necessidade de desenvolver técnicas específicas para aanálise de sistemas não-lineares. A teoria dos sistemas dinâmicos tentacumprir este programa.

O objectivo da teoria dos sistemas dinâmicos é estudar as propriedadesqualitativas das soluções de equações, estabelecendo novos métodos deanalise, observação e descrição dos sistemas reais. A teoria qualitativa dossistemas dinâmicos ocupa-se das propriedades topológicas das soluções deequações. A teoria métrica dos sistema sdinâmicos ou teoria ergódica es-tuda o problema da possibilidade de determinar valores médios de grande-zas associadas à descrição dos sistemas.

Enquanto os métodos quantitativos estão por excelência associados a pro-blemas lineares, a teoria dos sistemas dinâmicos desenvolve técnicas quali-tativas de analise global de soluções de equações com o objectivo de deter-minar e classificar os seus tipos genéricos. Esta abordagem permite preverpropriedades dinâmicas, como sejam o aparecimento ou desaparecimentode singularidades, a emergência de propriedades estocásticas, etc.. Recen-temente, por análise directa de séries temporais obtidas experimentalmente,estas técnicas qualitativas têm vindo a ser utilizadas na previsão da evolu-ção de sistemas cujas equações dinâmicas não existem ou estão mal defini-das1).

O mundo dos sistemas complexos é o mundo das transições de fase, dasmudanças bruscas de comportamento ou das bifurcações, da emergênciade ordem em processos caóticos,. da ocorrência de processos violentoscomo a explosão de uma supernova ou a extinção de uma espécie. Como

s111

111

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..

..

::,:s::::>?""""""

estes processos estão invariavelmente associados a modelos matemáticosnão-lineares, esta exposição está organizada tendo como ponto de partidaas relações entre o linear e o não-linear, tentando mostrar a diversidade defenómenos que podem surgir nos sistemas complexos.

Nos exemplos que se seguem, iremos ver como se relacionam alguns des-tes problemas, realçando as relações entre o não-linear, o colectivo, o caos,a previsibilidade e a calculabilidade.

"2. SISTEMAS LINEARES VERSUS SISTEMAS NÃO-LINEARES

"

Nos sistemas de equações lineares, sejam elas equações às diferenças,equações diferenciais ordinárias ou equações às derivadas parciais, é sem-pre possível determinar soluções que obedecem a condições iniciais e con-dições fronteira. Mais ainda, através de um conjunto de soluções particula-res, é sempre possível gerar novas soluções através de combinaçõeslineares das soluções dadas.

Esta última propriedade designa-se por princípio da sobreposição, técnicautilizada na construção de soluções gerais de equações, e tem aplicaçõesimportantes na mecânica, no electromagnetismo e na mecânica quântica.Por isso é muito frequente associar esta propriedade à própria estrutura eao âmbito das teorias em questão.

Dos vários domínios da física, o electromagnetismo e a mecânica quânticasão particularmente sensíveis a esta discussão. Como é conhecido, asequações que determinam os campos e as funções de onda são lineares, eo princípio da sobreposição aparece sempre como uma ferramenta para adescrição dos fenómenos que são tratados nestes domínios.

Por exemplo, Werner Heisenberg, referia-se à mecânica quântica da se-guinte maneira2):

Linearity in quantum theory has a very deep, almost philosophical reasonand is not just connected with some approximation. In quantum theory wedo not deal with facts but with possibilities: the square of the wave func-tion describes the probability, and the superposition of the wave functionthe possibility of adding two solutions to get a new solution, is absolutelyessential for the whole foundation of quantum theory. Therefore it defini-tely would be wrong to say that the linear character of quantum theory isapproximate in the same sense as the linearity of Maxwell's equations isapproximate.

Por outro lado, em relação ao electromagnetismo e à electrodinâmica quân-tica a relação entre o linear e o não-linear é completamente diferente. MaxBorn e Leopold Infeld escreveram3):

In ali these cases there is sufficient evidence that the present theory (for-mulated by Dirac's wave equation) holds as long as the wave-Iengths (ofthe Maxwell or the de Broglie waves) are long compared with the "radiusof the electron" e2 /me2 , but breaks down for a field containing shorter

waves. The non-appearence of Planck's constant in this expression forthe radius indicates that in first place the electromagnetic laws are to bemodified; the quantum laws may then be adapted to the new field equa-tions.

e mais tarde, Barbashov e Clhernikov comentavam4):

Since the appearence of the paper of Bom and Infeld on a nonlinear elec-trodynamics of the free field it has become clear that the nonlinear theory le-ads to qualitatively new and much richer physical concepts than the lineartheory.

"

"

"

"

6

3. EXEMPLOS DE SISTEMAS NÃO-LINEARES COM COMPORTAMENTOCOMPLEXO. EMERGÊNCIA DE PROPRIEDADES COLECTIV AS.

3.1. A equação de Burgers: formação e propagação de singularidades

A equação de Burgers descreve a evolução de um sistema de partículassem interacções mútuas. É um o exemplo de como se podem formar estru-turas complexas (singularidades) quando se passa da descrição do movi-mento de uma partícula para a descrição (colectiva) do movimento de umconjunto de partículas.

Como é bem conhecido, uma partícula isolada tem um movimento rectilí-

neo e uniforme, e a sua lei de movimento é x(t) = vot+ Xo em que Xo é

a posição da partícula no instante t=O e Vo é a sua velocidade. Vamosentão considerar um conjunto infinito (contínuo) de partículas isoladas e

sem interacções mútuas. No instante t=O, a distribuição espacial de velo-

cidade e densidade é, respectivamente, vn(x) = v(x,t = O) e

Pn(x)=p(x,t=O), figura 1.

1 2t PO(X)r

1.5

1

-0.5 0.5

-1 1 2 3 4 5 E;

Fig. 1: Distribuições iniciais de velocidade (vo (x)) e densidade (Po (x)) de um conjunto

de partículas.

Como o movimento de cada partículaobedece à equaçãode Newton, x = O,a velocidade das partículas num instante arbitrário t é

7@ '"

'"

dv = dv + dx dv = dv + v dv = Odt dt dt dx dt dx

'"

'"A equação de Burgers para o movimento colectivo das partículas é

dV+vdV=Odt dx

'"

(1)'"

Como se mostra facilmente5),6),a solucão da equação de Burgers, obede-

cendo às condições iniciais Vo(x) e Po(x) , é @

v(x,t) = vo(x+tv(x,t))

p(x,t ) = Po(xo)1+ t dvo

dxo

'"

(2)

em que Xo é a coordenadaLagrangeana, Xo= x(t = O).

Na figura 2 estão representadas as funções velocidade e densidade parat = 1,O e t = 1,5 , calculadas9) a partir de (2) e das distribuições iniciais re-presentadas figura 1.

::;,:;;::::I>1"""'"V"1

Fig. 2: Evolução temporal de uma distribuiçãode partículas, ao fim dos tempos t = 1,O e

t = 1. 5 calculada a partir das distribuições de velocidade e densidade da figura 1.

No instante t = 1,0 e no ponto x = Xc a derivada de v(x,t) em ordem a x éinfinita e para t > 1,O, existe uma região do espaço em que a velocidadedas partículas pode tomar dois valores. Do mesmo modo, através do gráficoda densidade de partículas conclui-se que em t = 1,O formou-se uma singu-

laridade na função p(x,t): p(xc,t = 1)= 00. Da análise exacta das soluçõesda equação de Burgers decorre que existem apenas soluções bem definidaspara tempos

. 1t < t =-mm---,--

c Xo Vo (xo)

8 Se em geral um sistema de equações às derivadas parciais não-linearesevolui para soluções que podem tomar mais do que um valor no espaço,surge o problemade saber como interpretaras soluções quando estas apa-recem associadas a sistemas reais. Existemduas propostas bem diferentes.Para alguns autores, baseados em resultados experimentaise na necessi-dade de previsibilidadede sistemas reais, as soluções singulares são apro-ximadas por soluções construídas através da regra da alavanca de Maxwell,figura 3. Neste caso, diz-se que a solução da equação desenvolve uma

.

0.5

4 10

-0.5 -0.5

-1 -1

Fig. 3: Formação de uma frente de choque na equação de Burgers. A frente de onda dechoque é determinada pela igualdade das áreas a) e b): Regra da alavanca Maxwell.

onda de choque ou frente de onda de choque, a que está associada umavelocidade de propagação característica. A demonstração desta regra empí-

V'\"'"

"'" 1<C:::;:

oc

t=1,0

-0.5

-1

..

..t=1,5

-0.5.-1

..

..

..

.

..

.

ricadeve-sea HopF),Contudo,do pontode vistacomputacionale para sis-temas em que existe o controlo analítico do processo de formação destetipo de singularidades, os resultados numéricos são diferentes dos resulta-dos teóricos.

Outros autores preferem considerar que sistemas com um comportamentodeste tipo, os vários valores admissíveis em cada ponto do espaço podemde facto ocorrer e, não existindo critériode escolha, os resultados experi-mentais são interpretadoscomo sendo de natureza estocástica.De facto, ambas as interpretações são possíveis. Se se pretende seguiruma frente de onda de choque, a primeira interpretação é adequada, Con-tudo, quando se mede um campo ou uma velocidadeno interiorde uma sin-gularidade, os resultados experimentaisvão a favor da segunda interpreta-ção. A primeira interpretação explica bem a formação de cogumelos e dejactos em explosões de estrelas8),A segunda interpretação dá conta, porexemplo, da observação de oscilações aleatórias do campo magnético damagneto-esfera, na regiãode choque do vento solar.Deste exemplo conclui-seque as soluções de equações às derivadas parci-ais não-lineares (tecnicamente equações quasi-lineares) podem gerar fenó-menos complexos como sejam a formação de singularidades e o apareci-mento de aleatoriedade durante a evolução temporal dos sistemas,tornando-os difíceisde prever. Quando se analisa o comportamentodas so-luções de equações às derivadas parciais não-lineares e sobre as quais nãoexiste controlo analítico, é difícila calibração dos resultados numéricosquando comparados com observações reais9).

Face a este panorama, é corrente afirmarque é possível existiremfenóme-nos naturais cuja possibilidadede previsão consiste na observação.

3.2. A equação das ondas

Uma pequena perturbação num meio continuo propaga-se de acordo com aequação

;j2</J Z dZ</J-=c-dtZ dxz

9(3) ..

No entanto, esta equação é apenas uma aproximação à lei de propagação.De facto, quando se analisa o problema das vibrações de uma corda chega-se à equação não-linear

..

J2cp - c2 êicp:J 2 -

( )3/2 :J 2

ut 1+ (~~ r aX

..

(4)..

I /(2

)3/2

Com a aproximação habitual das pequenas amplitudes, 'l 1+ (~~) == 1,

obtem-se a equação das ondas (3), apenas válida para o estudo da propa-gação de pequenas perturbações.Na figura4 está representada a evolução temporalde uma corda presa nasextremidades, calculada através da equação linear (3) e da equação não-li-near (4). Como se avalia facilmentepor análise das figuras, o espectro dasolução da equação linear mantem-se invarianteao longo do tempo, a me-nos de variações de amplitude,enquanto que para a solução da equaçãonão-linear aparecem novas frequências. Levanta-se então o problema desaber como é que a energia se espalhou pelos restantes modos próprios.As simulações apresentadas na figura 4 não foram prolongadas no tempo,pois para t> 0,155 a solução numérica da equação não-linear não con-

..

..

..

verge, embora a técnica utilizada na obtenção das soluções apresentadasna figura tenha sido baseada na resolução formal da solução geraI9),'O).

Equação linear Equação não-linear

0.2t=O 0.2 t=O

"-0.1 -o .1

-0.2 -0.2

0.2

"t=0.155

0.2t=0.155

-o .1 -o .1

"-0.2 -0.2

Fig. 4: Evolução de uma onda progressiva na equação de ondas linear (3) e não-linear (4).

No caso de cordas relativistas (c = 1) a lei de propagação de uma ondaobedece à equação de evolução3)

;irp- ;Yrp=2 drp drp d2rp _ (drp)2 d2rp _(drp)2 d2rp

dt2 dX2 dt dx dtdx dx dt2 dt dx2(5)

Na figura 5 está representada a evolução temporal de duas perturbações nacorda infinita mostrando a formação dinâmica de singularidades. Enquanto que"

10 t=1 t=2 "

fiA ~---

a)t=3 t=4

~--

Fig. 5: a) Formação de singularidades na interacção de duas perturbações numa corda in-finita relativista. b) Superfície integral correspondente à região do espaço em que se for-mam singularidades numa solução particular de equação (5).

noutras equações não-lineares como a Korteweg-deVries a interacção dedois pacotes de onda do tipo solitão não gera nenhum tipo de estrutura nazona de interacção. No caso da equação (5), a solução </J(x,t)pode tomarvários valores nos mesmos pontos x e t, figura 5a). Isto é, se o observável</J(x,t) pode tomar vários valores num ponto do espaço e não existe ne-

nhum critério de escolha da boa solução, é de esperar que o resultado deuma observação seja uma sequência de valores aleatórios.

As soluções representadas na figura 5a) foram obtidas analíticamente atra-vés da parametrização das soluções1O)e não foi possível encontrar um mé-todo numérico que permitisse resolver as singularidades. O que é interes-sante reter neste exemplo é de que para pequenas amplitudes a interacçãoentre as duas frentes de onda não apresenta qualquer problema técnico,não se gerando singularidades, enquanto para grandes amplitudes apare-cem e desaparecem singularidades, todas elas parametrizada pelo tempo.Na figura 5b) estão representados dois cortes da superfície integral de umasolução da equação (5), mostrando o mecanismo de formação, evolução edesaparecimento das singularidades.

3.3. Sistemas químicos. Formação de Padrões

A reacção química autocatalítica

B+X _/1 Y 2X +Y _/2 3X

é descrita pelas equações cinéticasdY

(2

- = k B C - Y) -- k Y(C -- Y )dt] 2

dB-=-k]B(C-Y)dt

X(t)=C--Y(t)

.. em que X, Ye B são as concentrações das espécies químicas e k] e k2

são as constantes das reacções. A constante C = X(t) + Y(t) é invariante ao

longo do tempo, estando relacionada com a lei da conservação da massa.

Com, k] = k2 = 1,0 e as concentrações iniciais X(O) = 0,5 e Y(O) = 0,0, épossível mostrar que as concentrações podem evoluir para dois estados deequilíbrio genéricos (X = C, Y = O,B = O) e (X = O,Y = C, B;::O:O). O primeiroestado é atingido se B < 0,617. Se B > 0,617, podemos ter uma infinidadede soluções de equilíbrio. Na figura 6, representamos a evolução das con-centrações no espaço de fases (X, B) .

Se esta reacção é efectuada num reactor agitado, garantindo uma homoge-nização dos vários componentes químicos, qualquer um dos estados deequilíbrio do sistema de equações (7) é atingido nas condições indicadas.No entanto, se a reacção se dá num meio espacialmente extendido, comoacontece por exemplo nos tecidos biológicos, as várias espécies químicasdifundem-se, passando a pxistir competição entre reacção e difusão. Nestecaso, as equações de evolução das espécies químicas são:

dX 2

(d2X d2X

)- = --k]B X + k2YX + Dx :2+ :2dt dx dy

dY = k B X - k Y X2 + D(

d2Y+ d2Y)dt] 2 Y dx2 di

dB =--kBX+D(

d2B+ d2B)dt ] B dX2 di

(6)

(7)

11..

..

..

..

..

..

(8)

i11

(i,B) Phase ~pace

@

@

o 0.1 0.2y

@Fig. 6: Espaço de fases da equação cinética (7).

em que Dx, Dy e DB são os coeficientes de difusão no meio das três es-pécies químicas. Sistemas destes tipo, que têm soluções cinéticas elemen-tares, podem gerar fenómenos bastante complexos. Por exemplo, esco-lhendo Dx =0,01, Dy =0,0001 e DB= 0,00001, a concentração espacial daespécie química X evolui conforme se mostra na figura 7.

@

@

t=50 t=10 t=50

@

@

@

12

Fig. 7: Evolução temporal do sistema de reacção-difusão (8), para condições iniciais alea-tórias e condições fronteira de fluxo nulo. Integração numérica com o método de Eulernuma rede de 150x150. Ao fim do tempo t=50 o sistema atingiu o estado de equilíbrio.

Assim, a reacção química (6) gerou estrutura espacial através de uma inte-racção difusiva, embora as leis cinéticas sejam elementares. Este tipo deacoplamento é um exemplo de como se podem formar padrões em sistemasbioquímicas, levando muitos autores a pensar que este tipo de fenómenosestá na base da morfogénese11),12).Na figura 8 estão representadas duas dis-tribuições espaciais obtidas em reacções autocatalíticas13).

3.4. Caos determinista

Quando se observa a evolução (temporal) de um sistema e se seleccionauma variável, por exemplo x, como representativa do seu estado, a hipótesede trabalho mais simples e a mais utilizada nas aplicações é de que a evolu-ção da média temporal de x(t) nos dá uma medidaaproximadade como oestado do sistema está a evoluir. A teoria ergódica estabelece as condiçõesde existência deste valor médio. Contudo, existem sistemas reais em que es-tes valores médios podem estar mal definidos, não assumindo nenhum valorparticular. Neste caso estamos na presença de sistemas aleatórios,

Fig. 8: Distribuição espacial de concentração obtidas em dois processos autocatalíticos di-ferentes.

@ @

em geral, associados à formação de singularidades nas soluções das equa-ções dinâmicas, como é o caso dos exemplos 3.1 e 3.2. Nos sistemas comcaos determinista, estes valores médios existem sempre mas a dinâmica dosistema é aleatória ou caótica.

Para determinar se um sistema tem caos determinista existe uma metodolo-

gia simples que consiste em avaliar como é que um sistema se comportaface a pequenas variações nas condições iniciais. Se, para pequenas varia-ções nas condições iniciais ao fim de um tempo t o estado do sistemaafasta-se exponencialmente no tempo, na métrica do espaço de fases, en-tão o sistema tem sensibilidade às condições iniciais. Em geral, um sistemacom sensibilidade as condições iniciais é caótico.

O sistema caótico mais simples é o modelo conhecido por transformação depasteleiro ou ferradura de Smale14).Vejamos então como se constroi estemodelo.

Suponha-se um quadrado de lado 1 ao qual se aplicam as transformações(figura 9): 13

1) Duplica-se a coordenada horizontal e divide-se por 2 a coordenada verti-cal.

2) Sutura-se verticalmente em x = 1 e empilham-se os dois rectângulos.

@

@

b @

1-.. a b

2-..

@

a

@

Fig. 9: Protótipo de um sistema caótico: construção da transformação de Smale ou de pas-teleiro.

@

Considerando que o quadrado inicial representa o conjunto de todos os va-lores possíveis das variáveis dinâmicas de um sistema no instante t=O, noinstante t=1 o sistema evoluiu para um novo estado em que alguns dos pon-tos representativos do estado do sistema têm uma ordem relativa que foi al-terada de acordo com as transformações 1) e 2).

Vejamos então o que acontece quando se pinta uma figura no quadrado.Como se vê na figura 1O, os pontos coloridos vão mudando de posição aolongo do tempo e a figura coerente inicial desfez-se completamente. Muitosautores designam a transformação de Smale por transformação de paste-leiro (por razões obvias...).

@

..

.. Fig. 10: Mistura de cond,ições iniciais e propriedades aleatórias da transformação deSmale.

Ora, é possível mostrar que para esta transformação determinista, dois pon-tos muito próximos no quadrado inicial afastam-se exponencialmente com otempo, e assim a transformação de Smale tem sensibilidade em relação ascondições iniciais. Por outro lado, este sistema é equivalente ao processoestocástico do jogo da cara-ou-coroa, protótipo de sistemas com proprieda-des estocásticas.

Todo o sistema dinâmico com esta propriedade é um sistema dinâmico caó-tico!

Para encontrar sistemas que tenham estas propriedades basta entãoconstruir transformações com a capacidade de "dobrarem" ao longo dotempo o conjunto de estados iniciais. Ora, isto pode ser conseguido atra-vés de transformações de um intervalo, sobrejectivas e não invertíveis.Por exemplo, a transformação quadrática do intervalo [0,1],

xn+l = 4xII(1- XII)' figura 11a), tem esta propriedade. Na figura 11b) estárepresentado a evolução temporal de um ponto genérico do intervalo[0,1], concluindo-se que a evolução temporal da transformação é aleató-ria, embora o sistema dinâmico seja determinista, isto é, um ponto do do-mínio transforma-se univocamente num ponto do contradomínio. De facto,é possível mostrar que este sistema é caótico.

..

..

..

..

14

Xt+10,8

0.6

0.2

.. ..

a) b)

1Xt

0.8

0.6

0.4

0.2

0.4 0.6 0.8 1

Xt10 20 30

Fig. 11: Gráfico da função quadrática do intervalo [0,1] e série temporal caótica.

A transformação da fiÇJura11 pode ser mergulhada na família de transforma-ções xn+l = 4/1 XII(1- XII) , dependentes do parâmetro /1, e May15J, num con-

texto de dinâmica de populações, descobriu que ao variar o parâmetro/1 E [0,1] podiam existir transições bruscas entre comportamentos assintóti-cos regulares periódicos e comportamentos caóticos (ou ergódicos). Na fi-gura 12 apresentamos o conjunto de estados assintóticos acessíveis datransformação XII+l = 4/1 XII(1- XII), em função do parâmetro /1.

1.0

1.0

0.00.92 ~

Fig. 12: Diagrama de bifurcações em função do parâmetro J1 para a função quadrática

do intervalo. xn+l = 4J1xn (1- xn)

" @

Até agora mostramos como surgem comportamentos caóticos em modelosmatemáticos não-lineares. Seria interessante que eles aparecessem em sis-temas reais. De facto, num simples circuito eléctrico com uma junção p-n decapacidade variável foi possível observar o mesmo comportamento qualita-tivo que o encontrado na figura 1216).Na figura 13 está representado o dia-grama de bifurcações a dinâmica caótica do sistema em função de uma ten-são exterior. As figuras 12a) e 12b) foram obtidas a duas temperaturasdiferentes.

1S

"

"

a) b) "

@

"

Fig. 13: Diagrama de bifurcações obtido experimentalmente num circuito com uma junçãop-n com comportamento não-linear.

"Outro exemplo de sistema caótico é o atractor estranho de Lorenz17),associadoà evolução temporal da temperatura no interior de um fluído, mantido entreduas placas paralelas a temperaturas diferentes. A equação de Lorenz é

x = O"(y - x)

y=rx-y-xz

i = -bz + xy

:;;:::»?'"""'-'"'

em que x é proporcional à função de corrente e y e z são duas funções re-lacionadas com a temperatura. Os parâmetros r e (j são proporcionais,respectivamente, aos números de Reynolds e Prandtl e b é um facto r deforma. Na figura 14 está representada a órbita no espaço de fases (x,y,z)de um ponto inicial genérico. Neste exemplo, as órbitas de fase não conver-gem para nenhum estado estacionário, percorrendo erraticamente uma re-gião limitada do espaço de fases.

40

o

"

"

"

10

16Fig. 14: Atractor estranho de Lorenz no espaço de fases (x, y, z) , para r = 28 ,

() = 10 e b = 8/3 . " "

Quando se varia o parâmetro r encontramos o mesmo tipo de estrutura queas encontradas nos mapas do intervalo. Na figura 15, representamos o dia-grama de bifurcações do atractor de Lorenz em função de r. Comparandoeste diagrama de bifurcações com o da figura 12, mostra-se a analogia entreo comportamento das soluções da equação de Lorenz com as soluções daequação discreta do intervalo, construída a partir da transformação de Smale.Conclui-se assim que o sistema de Lorenz tem comportamento caótico.

Pensa-se que o comportamento encontrado no atractor Lorenz é comum amuitos sistemas não-lineares com pelo menos três variáveis de estado.A associação de processos caóticos a dinâmicas não-lineares deterministasabre um novo capítulo na ciência moderna, possibilitando a utilização demodelos matemáticos no controlo e previsão da evolução temporal destessistemas. Em particular, é hoje um assunto de intensa investigação o de-senvolvimento de métodos de controlo não-linear para sistemas caóticos18).

4. CALCULABILlDADE E IMPREVISIBILlDADE

Para terminar, vamos introduzir um sistema caótico simples mas cujas pro-priedades computacionais contradizem todos os resultados analíticos.

Seja a transformação do intervalo

xn+l = g(xn) = 21xnl-I (9)

350.

100.0

Fig. 15: Diagrama de bifurcações em função do parâmetro r para o atractor de Lorenz.

com x"E[-I,I]. Ora, como o declive da função g(x) é :1:2, os 2" pontosfixos das iteradas g" (x) são instáveis. Por outro lado, é possível mostrarque este sistema é caótico e tem sensibilidade às condições iniciais, o queimplica que as iteradas de um ponto genérico do intervalo [-1,1] percorremdensamente esse intervalo.

No entanto, quando se itera, por exemplo,o ponto Xn = 0,97397, ao fim de53 iteradas a sua imagem cai no ponto fixo instável x = 1, figura 16. Ora,isto contradiz todos os resultados analíticos e a própria afirmação de que osistema é caótico.

1

<$

10 o 4 60

0.5

-0.5

-1

Fig.16:Orbitado ponto xn = 0,97397 , por iteração da função do intervalo (9).

Qual a razão desta discrepância entre resultados analíticos e observaçãonumérica? A resposta é simples e está associada à representação digitaldos números nos computadores. Na figura 17 está representado o gráficoda função contínua (9), assim como o seu gráfico na representação internade um computador a 4 bits. Devido à precisão finita dos computadores, poisestes trabalham apenas com números racionais, os pontos fixos instáveis dafunção (9) são transformados em pontos fixos estáveis e o sistema com-porta-se numericamente como um sistema regular, apenas com um longotransiente.

s:>?'"

17<$

<$

70

<$

<$

<$

<$

*

*

-0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 10.75o

Fig. 17: Gráfico da função g(x) e da sua aproximação na representação interna de um

computador.

Terminamos com este exemplo, para chamar a atenção para o facto de quea previsão numérica de sistemas não-lineares pode fornecer soluções bas-tante diferentes das encontradas tanto nos modelos matemáticos como na

realidade da experiência. Assim, os critérios de validação dos modelos nu-méricos tem de ser confrontados, por um lado, com os resultados das previ-sões teóricas (consistência), por outro, com os resultados experimentais (ca-libração).

REFERÊNCIAS

C. Nicolis e G. Nicolis, Nature 311 (1984) 529-532.

W. Heisenberg, Phys. Today vol. 20 (1967) pág. 27-33.

M. Bom e L. Infeld, Proc. Roy. Soe. vaI. A144 (1934) pág. 425-451.

Barbashov e Chernikov, Soviet Physics JETP vol. 23 (1966) pág. 861-868.

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V. I. Arnold, Singularities of caustics and Wave Fronts, Kluwer, Dordrecht, 1990.

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