mATEmATıKA

UNIVERSITAS KATOLIK PARAHYANGANPARAHYANGAN CATHOLIC UNIVERSITY

FAKULTAS TEKNOLOGI INFORMASI DAN SAINSFACULTY OF INFORMATION TECHNOLOGY AND SCIENCEJalan Ciumbuleuit 94, Bandung 40141, Indonesia

VOL. 11 TH. 2016 ISSN 1907-3909

Seminar Nasional

mATEmATıKA

VOL. 11 TH. 2016 ISSN 1907-3909

Seminar Nasional

REVIEWERS

Dr. J. Dharma Lesmono Benny Yong, MSi

Dr. Ferry Jaya Permana, ASAI Farah Kristiani, MSi

Iwan Sugiarto, MSi Livia Owen, MSi

Agus Sukmana, MSc Maria Anestasia, MSi Erwinna Chendra, MSi Liem Chin, MSi

Taufik Limansyah, SSi, MT

Alamat Redaksi:Jurusan Matematika, FTIS - UNPAR

Gedung 9, Lantai 1Jl. Ciumbuleuit No. 94, Bandung - 40141

i

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas terselenggaranya

Seminar Nasional Matematika UNPAR 2016. Seminar ini merupakan kegiatan rutin

tahunan yang diselenggarakan oleh Jurusan Matematika, Universitas Katolik

Parahyangan, yang dimulai sejak tahun 2005 dan tahun ini merupakan tahun ke-12

penyelenggaraannya. Seminar Nasional Matematika UNPAR ini merupakan wadah

pertemuan ilmiah antara matematikawan, guru, peneliti, dan praktisi yang tidak hanya

terbatas di bidang matematika saja, melainkan juga penerapannya dalam berbagai

bidang ilmu, antara lain dunia medis, ekonomi, lingkungan hidup, gejala alam dan

penanganan risiko.

Seminar tahun ini mengambil tema “PERANAN MATEMATIKA DALAM

PENGELOLAAN RISIKO”. Pemilihan tema ini dilatarbelakangi oleh perkembangan

yang cukup pesat dari penerapan matematika di industri keuangan termasuk di dalam

pengelolaan risiko suatu perusahaan. Melalui seminar ini diharapkan para peserta dapat

saling berbagi pengetahuan dan informasi terbaru sehingga berdampak pada kesiapan

yang lebih baik dari Indonesia dalam menghadapi tantangan ini.

Seminar kali ini mengundang tiga orang pembicara dari kalangan akademisi dan praktisi

yang akan berbagi pengalaman, gagasan, dan pikiran. Pada sesi pararel, akan

dipresentasikan 59 makalah yang merupakan hasil karya dosen, peneliti, dan mahasiswa

dari berbagai instansi di tanah air.

Kami atas nama panitia Seminar Nasional Matematika UNPAR 2016 mengucapkan

terima kasih atas partisipasinya, semoga bermanfaat bagi semua pihak.

Bandung, September 2016

Ketua Panitia

Dr. J. Dharma Lesmono

iii

DAFTAR ISI

Kata Pengantar ...i

Daftar Isi ...iii-ix

ALJABAR DAN ANALISIS

PRIMITIF FUNGSI TERINTEGRAL HENSTOCK-STIELTJES

BERNILAI DI RUANG HILBERT

Made Benny Prasetya Wiranata dan Ch. Rini Indrati – UGM ...AA 1-8

IDENTITAS BILANGAN FIBONACI DAN BILANGAN LUCAS

PADA Z6

Sri Gemawati, Musraini M., Asli Sirait, dan Muslim – Universitas Riau ...AA 9-16

BATAS ATAS PADA NORM-TAK HINGGA DARI INVERS

MATRIKS NEKRASOV

Euis Hartini – Universitas Padjadjaran ...AA 17-22

PEMBANGKIT SEMIGRUP DAN GRUP

Aloysius Joakim Fernandez – Universitas Katolik Widya Mandira ...AA 23-28

STATISTIKA

MEMBANGUN APLIKASI STATISTIK DENGAN R SHINY GUI

Zulhanif – Universitas Padjadjaran ...ST 1-7

ANALISIS METODE PENGUMPULAN DATA PRODUKTIVITAS

BAWANG MERAH DAN CABAI BESAR

Anita Theresia – BPS ...ST 8-16

BAYESIAN SPATIAL AUTOREGRESSIVE (BSAR) DALAM MENAKSIR

ANGKA PREVALENSI DEMAM BERDARAH (DB) DI KOTA BANDUNG

I Gede Nyoman Mindra Jaya, Zulhanif, dan

Bertho Tantular – Universitas Padjadjaran …ST 17-24

ESTIMASI REGRESI SEMIPARAMETRIK DENGAN RESPON

HILANG MENGGUNAKAN ESTIMATOR TERBOBOT

SKOR KECENDERUNGAN

Nur Salam – Universitas Lambung Mangkurat ...ST 25-32

iv

PERBANDINGAN METODE ROBUST MELALUI LEAST MEDIAN

SQUARE DAN M-ESTIMATOR DALAM MENENTUKAN MODEL

WAKTU KELANGSUNGAN HIDUP (SURVIVAL TIME)

Soemartini dan Enny Supartini – Universitas Padjadjaran …ST 33-40 DESAIN SPLIT-BALLOT MTMM UNTUK EVALUASI KUALITAS

INSTRUMEN PENGUKURAN

Achmad Bachrudin – Universitas Padjadjaran …ST 41-48

SPARSE MULTINOMIAL LOGISTIC REGRESSION

(Studi Kasus Data Kredit Macet di Bank Nasional “N”)

M. Fajar Jamiat – Skadron Pendidikan 201 Lanud Sulaiman TNI AU

Nusar Hajarisman – Universitas Negeri Islam Bandung

Anna Chadidjah – Universitas Padjadjaran ...ST 49-56

ANALISIS KETERTINGGALAN DAERAH DI INDONESIA

MENGGUNAKAN REGRESI LOGISTIK BINER

Titi Purwandari dan Yuyun Hidayat – Universitas Padjadjaran …ST 57-62 PENDEKATAN TRUNCATED REGRESSION PADA TINGKAT

PENGANGGURAN TERBUKA PEREMPUAN

Defi Yusti Faidah, Resa Septiani Pontoh, dan

Bertho Tantular – Universitas Padjadjaran …ST 63-68

ANALISIS VARIANS MULTIVARIATE UNTUK DATA LONGITUDINAL

DENGAN PENGUKURAN DATA DILAKUKAN SECARA BERURUT

BERDASARKAN WAKTU (REPEATED MEASURE)

Enny Supartini dan Soemartini – Universitas Padjadjaran ...ST 69-76

APLIKASI ALGORITMA BOOSTING DALAM REGRESI LOGISTIK

Zulhanif – Universitas Padjadjaran …ST 77-81

PENYESUAIAN BAGAN KENDALI ATRIBUT KHUSUSNYA GRAFIK c

DENGAN PENDEKATAN EKSPANSI CORNISH-FISHER

Irmina Veronika Uskono – Universitas Katolik Widya Mandira ...ST 82-85

MATEMATIKA PENDIDIKAN

MENINGKATKAN AKTIVITAS BELAJAR MAHASISWA MELALUI

TEKNIK MIND MAP PADA MATA KULIAH MATEMATIKA DISKRIT

Ririn Widiyasari – Universitas Muhammadiyah Jakarta ...MP 1-8

v

PENGEMBANGAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA DENGAN

PENDEKATAN METAKOGNITIF UNTUK MENINGKATKAN

KEMAMPUAN BERPIKIR LOGIS DAN SIKAP POSITIF SISWA SMP

Kms. Muhammad Amin Fauzi, Sri Lestari Manurung, dan

Arnah Ritonga – Universitas Negeri Medan ...MP 9-17

PENGEMBANGAN BAHAN AJAR MATEMATIK BERBASIS INKUIRI

BERBANTUAN MULTI MEDIA UNTUK MENINGKATKAN

KEMAMPUAN BERPIKIR KRITIS SISWA SMA SE-PROVINSI

SUMATERA UTARA

Waminton Rajagukguk, Kms. Muhammad Amin Fauzi, dan

Yasifati Hia – Universitas Negeri Medan ...MP 18-25

ANALISIS KESULITAN MAHASISWA DALAM MENYELESAIKAN

SOAL KEMAMPUAN ABSTRAKSI MATEMATIS PADA

MATA KULIAH STATISTIKA MATEMATIKA

Andri Suryana – Universitas Indraprasta PGRI Jakarta ...MP 26-34

PENGEMBANGAN SOAL TIPE PISA DENGAN KONTEKS BATU AKIK

Rika Octalisa, Ratu Ilma, dan Somakim – Universitas Sriwijaya ...MP 35-43

FAKTOR PENYEBAB KESALAHAN YANG DILAKUKAN

MAHASISWA DALAM MENYELESAIKAN SOAL KEMAMPUAN

PEMECAHAN MASALAH MATEMATIS PADA

MATA KULIAH TEORI PELUANG

Georgina Maria Tinungki – Universitas Hasanuddin ...MP 44-51

PENGEMBANGAN SOAL HOT UNTUK SISWA SMP

Indah Sari Kastriandana – Universitas Sriwijaya ...MP 52-58

PEMBELAJARAN MATEMATIKA ANAK BERKEBUTUHAN

KHUSUS DI SEKOLAH INKLUSI

Chatarina Febryanti dan

Ari Irawan – Universitas Indraprasta PGRI Jakarta ...MP 59-64

ALAT PERAGA IRISAN KERUCUT

Eyus Sudihartinih dan Tia Purniati – Universitas Pendidikan Indonesia ...MP 65-70

PERBEDAAN PENGARUH BENTUK TES FORMATIF TERHADAP

HASIL BELAJAR MATEMATIKA DITINJAU DARI TINGKAT

KREATIVITAS SISWA

Lasia Agustina – Universitas Indraprasta PGRI ...MP 71-76

vi

REPRESENTASI VISUAL PENYELESAIAN SOAL CERITA

PECAHAN SISWA SMP

Kristoforus Djawa Djong – Universitas Katolik Widya Mandira,

Mahasiswa Pasca Unesa ...MP 77-82

PENGARUH PENDEKATAN RECIPROCAL TEACHING TERHADAP

KEMAMPUAN BERPIKIR KREATIF MATEMATIKA SISWA

Ulfah Hernaeny dan

Febrina Lia Dahlia – Universitas Indraprasta PGRI Jakarta ...MP 83-88

PENGARUH GAYA BELAJAR TERHADAP KEMAMPUAN

PEMAHAMAN MATEMATIKA

Seruni dan Nurul Hikmah – Universitas Indraprasta PGRI ...MP 89-95

PENERAPAN ASESMEN KINERJA MELALUI “PBM” UNTUK

MENINGKATKAN KEMAMPUAN BERPIKIR KRITIS,

KREATIF MATEMATIK

Erik Santoso – Universitas Majalengka ...MP 96-102

PENERAPAN MODEL PEMBELAJARAN TREFFINGER DALAM

MENINGKATKAN KEMAMPUAN BERPIKIR KREATIF

Roida Eva Flora Siagian – Universitas Indraprasta PGRI Jakarta ...MP 103-109

PENGEMBANGAN BAHAN AJAR BERBASIS PROBLEM BASED

LEARNING UNTUK SISWA SMP

Asri Nurdayani, Darmawijoyo, dan Somakim – Universitas Sriwijaya ...MP 110-116

ANALISIS PENGARUH SIKAP MAHASISWA PADA MATA KULIAH

MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS TERHADAP

PRESTASI BELAJAR

Herlina – Universitas Bunda Mulia ...MP 117-121

PENGARUH PENGUASAAN TEKNOLOGI INFORMASI DAN

KOMUNIKASI DAN DISIPLIN KERJA TERHADAP PRODUKTIVITAS

KERJA GURU

Yuan Andinny dan Indah Lestari – Universitas Indraprasta PGRI ...MP 122-130

vii

MATEMATIKA TERAPAN

ANALISIS PENGARUH TINGKAT PENGANGGURAN TERBUKA

DAN ANGKA MELEK HURUF TERHADAP TINGKAT KEMISKINAN

MENGGUNAKAN MODEL FIXED EFFECT

(Studi Kasus Wilayah Kabupaten Propinsi Jawa Barat)

Ani Andriyati dan Rini Rakhmawati – Universitas Pakuan ...MT 1-8

PENYEBARAN PENYAKIT DEMAM BERDARAH DI SURABAYA

MENGGUNAKAN METODE K-MEANS

Suzyanna, Purbandini, Indah Werdiningsih, dan

Miswanto – Universitas Airlangga Surabaya ...MT 9-16

ENKRIPSI DAN DEKRIPSI TEXT.TXT MENGGUNAKAN

KRIPTOSISTEM ELLIPTIC CURVE CRYPTOSYSTEM (ECC)

Akik Hidayat, Mira Suryani, dan Akmal – Universitas Padjadjaran ...MT 17-26

PREMI ASURANSI JIWA DWIGUNA LAST SURVIVOR

DENGAN DISTRIBUSI PARETO

Hasriati, Ihda Hasbiyati, dan T. P. Nababan – Universitas Riau …MT 27-36

ANALISA PERILAKU KONSUMEN DALAM MENENTUKAN

STRATEGI PEMASARAN MENGGUNAKAN CONFIGURAL

FREQUENCY ANALYSIS

Resa Septiani Pontoh, Defi Yusti Faidah, dan

Bertho Tantular – Universitas Padjadjaran …MT 37-42

MODEL OPTIMASI VAKSINASI

Jonner Nainggolan – Universitas Cenderawasih Jayapura ...MT 43-48

PEMANFAATAN FUNGSI MODIFIKASI WEIL PAIRING PADA

SKEMA PROXY SIGNATURE

Annisa Dini Handayani – Sekolah Tinggi Sandi Negara ...MT 49-54

KONTROL OPTIMUM PADA POPULASI TUMOR DAN WAKTU

PENGOBATAN BERDASARKAN MODEL RADIOVIROTHERAPY

Embay Rohaeti dan Susi Susanti – Universitas Pakuan ...MT 55-61

INVERS MATRIKS VANDERMONDE

Handi Koswara dan Iwan Sugiarto – Universitas Katolik Parahyangan ...MT 62-70

viii

MAHASISWA

DISTRIBUSI BETA-PARETO

Adrianus Rambe, Siti Nurrohmah, dan

Ida Fithriani – Universitas Indonesia …MS 1-8

PERSAMAAN DIFUSI PADA ZOOPLANKTON

Rahmat Al Kafi, Sri Mardiyati, dan

Maulana Malik – Universitas Indonesia …MS 9-16

DISTRIBUSI RAYLEIGH

Fitria Andaryani, Siti Nurrohmah, dan

Ida Fithriani – Universitas Indonesia ...MS 17-24

PEMILIHAN PORTOFOLIO YANG OPTIMAL DENGAN

MENGGUNAKAN METODE ANT COLONY OPTIMIZATION

Joseph Martua Nababan dan

Liem Chin – Universitas Katolik Parahyangan ...MS 25-32

PENERAPAN ALGORITMA BEE COLONY UNTUK

MENYELESAIKAN TRAVELING SALESMAN PROBLEM

Refy Kusumah dan

J. Dharma Lesmono – Universitas Katolik Parahyangan ...MS 33-40

PEMODELAN PERHITUNGAN PREMI ASURANSI JIWA

DWIGUNA UNIT LINK DENGAN GARANSI

Bernika Setiawan dan

Ferry Jaya Permana – Universitas Katolik Parahyangan ...MS 41-48

PENENTUAN HARGA OPSI SAHAM KARYAWAN (OSK) MODEL

HULL-WHITE DENGAN METODE BINO-TRINOMIAL (BTT)

Natasha Magdalena dan

Erwinna Chendra – Universitas Katolik Parahyangan ...MS 49-58

EKSISTENSI BIONOMIK EQUILOBRIUM PADA MODEL INTERAKSI

INDUSTRIALISASI BIOMASSA DAN HEWAN LINDUNG

Ganjar, E. Hertini, dan A. K. Supriatna – Universitas Padjadjaran ...MS 59-67

IMPLEMENTASI MODEL HYBRID ARIMA-ANN MENGGUNAKAN

FILTER MOVING AVERAGE PADA PERAMALAN NILAI TUKAR

DOLAR AS TERHADAP RUPIAH

Dian Nurhayati, Bevina D. Handari, dan

Fevi Novkaniza – Universitas Indonesia …MS 68-76

ix

MODEL PENYEBARAN PENYAKIT SARS DENGAN

PENGARUH VAKSINASI

Putri Efelin, Benny Yong, dan

Livia Owen – Universitas Katolik Parahyangan ...MS 77-85

STABLE AGE DISTRIBUTION PADA MODEL BACK-CROSSING

PERSILANGAN TERNAK LOKAL DAN TERNAK EKSOTIS

A. U. Raihan, A. K. Supriatna, dan

N. Anggriani – Universitas Padjadjaran ...MS 86-92

MODEL PERSEDIAAN P(R,T) MULTI ITEM DENGAN

DISTRIBUSI PERMINTAAN UMUM

Handi Koswara dan

J. Dharma Lesmono – Universitas Katolik Parahyangan ...MS 93-99

DISTRIBUSI EXPONENTIATED EXPONENTIAL

Ridho Okta Pawarestu, Siti Nurrohmah, dan

Ida Fithriani – Universitas Indonesia ...MS 100-106

PENENTUAN JARAK MINIMUM DALAM SUATU JARINGAN

DENGAN ALGORITMA PRIM DAN PEMROGRAMAN

BILANGAN BINER

Robby Hardiwinata dan

J. Dharma Lesmono – Universitas Katolik Parahyangan …MS 107-113

ALGORITMA SWEEP DAN ELITE ANT SYSTEM UNTUK

MENYELESAIKAN MULTIPLE TRAVELING

SALESMAN PROBLEM (MTSP)

Karina, Gatot F. Hertono, dan

Bevina D. Handari – Universitas Indonesia …MS 114-119

PENAKSIRAN PARAMETER SKALA DARI DISTRIBUSI

NAKAGAMI MENGGUNAKAN METODE BAYES

Siti Nur Noviyani Witayati, Ida Fithriani, dan

Siti Nurrohmah – Universitas Indonesia ...MS 120-127

MS - 107

PENENTUAN JARAK MINIMUM DALAM SUATU JARINGAN

DENGAN ALGORITMA PRIM DAN PEMROGRAMAN

BILANGAN BINER

Robby Hardiwinata1 dan J. Dharma Lesmono2

1,2Jurusan Matematika Universitas Katolik Parahyangan

email : 1hardirobby@gmail.com, 2jdharma@unpar.ac.id

Abstrak. Penelitian Operasional yang dimulai sejak revolusi industri merupakan bagian dari

aplikasi matematika untuk memecahkan masalah optimasi. Pemrograman Linear merupakan

salah satu model Penelitian Operasional yang berkembang dan dapat digunakan untuk

menganalisis suatu jaringan seperti jaringan transportasi, listrik, air dan telekomunikasi. Dalam

makalah ini akan dibahas Algoritma Prim dan Pemrograman Bilangan Biner, yang berkaitan

dengan Pemrograman Linear, untuk mencari suatu jaringan atau pohon rentang minimum pada

masalah pendistribusian listrik di Rumania. Pohon Rentang Minimum merupakan variasi dari

persoalan pencarian jarak terpendek. Pada pohon rentang minimum akan ditentukan sisi-sisi

yang menghubungkan masing-masing simpul yang ada pada jaringan sehingga diperoleh

panjang sisi total yang minimum. Baik Algorimta Prim ataupun Pemrograman Bilangan Biner

menghasilkan pohon rentang minimum yang sama tetapi terdapat perbedaan dalam waktu

pencarian solusi dengan menggunakan Matlab. Algoritma Prim membutuhkan waktu lebih cepat

yakni selama 0,002393 detik sedangkan Pemrograman Bilangan Biner selama 0,013275 detik.

Hal ini terjadi karena langah-langkah pencarian solusi optimal dari Algoritma Prim relatif lebih

sederhana dibandingkan Pemrograman Bilangan Biner.

.

Kata kunci : Pohon rentang minimum, Algoritma Prim, Pemrograman Bilangan Biner.

1. PENDAHULUAN

Penelitian Operasional yang dimulai sejak revolusi industri merupakan bagian dari aplikasi

matematika untuk memecahkan masalah optimasi. Penelitian Operasional sering dikaitkan

secara eksklusif dengan penggunaan teknik-teknik matematika untuk memodelkan dan

menganalisis masalah-masalah pengambilan keputusan. Disamping teknik-teknik itu, masalah

pengambilan keputusan juga mencakup faktor-faktor penting lainnya yang tidak dapat

diterjemahkan secara langsung ke dalam model-model matematika. Faktor-faktor itu adalah

adanya unsur manusia di dalam setiap pengambilan keputusan.[4]

Keberhasilan suatu teknik pada Penelitian Operasional diukur dari penggunaan teknik tersebut

sebagai suatu alat pengambil keputusan untuk solusi yang optimal. Sejak diperkenalkan pada

akhir tahun 1940, Pemrograman Linear telah terbukti sebagai salah satu alat Penelitian

Operasional yang paling efektif. Pemrograman Linear merupakan model dari Penelitian

Operasional yang dapat digunakan untuk menganalisis suatu jaringan seperti jaringan

transportasi, listrik, air ataupun jaringan telekomunikasi yang sering kita jumpai sehari-hari.[3]

Makalah ini akan membahas mengenai aplikasi dari Pemrograman Linear, dalam hal ini adalah

Algoritma Prim dan Pemrograman Bilangan Biner untuk pohon rentang minimum pada masalah

pendistribusian listrik di Rumania.

MS - 108

2. LANDASAN TEORI

2.1 Teori Graf

Graf didefinisikan sebagai: G = (V,E), dimana V merupakan himpunan tidak kosong dari setiap

simpul pada himpunan {v1, v2,…,vn} dan E adalah himpunan sisi yang menghubungkan

sepasang simpul di himpunan { e1, e2,…, en}. Beberapa terminologi dasar dalam graf yang perlu

diketahui adalah sebagai berikut:

1. Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberi sebuah bobot. 2. Bertetangga artinya dua buah simpul pada graf tidak berarah jika keduanya terhubung

dengan sebuah sisi. Dapat dikatakan, jika v1 dan v2 bertetangga, maka haruslah terdapat

sisi (v1, v2).

3. Bersisian artinya untuk sebarang sisi e = (v1, v2), sisi e dikatakan bersisian dengan titik v1

dan titik v2.

4. Siklus artinya lintasan yang simpul awal dan simpul akhirnya sama.

5. Pohon adalah graf terhubung dengan n - 1 sisi dan n simpul.

2.2 Pohon Rentang Minimum

Jika G adalah graf berbobot, maka bobot dari pohon rentang T dari G didefinisikan sebagai

jumlah bobot pada semua sisi di T. Pohon rentang yang berbeda memiliki bobot yang berbeda

pula. Di antara semua pohon rentang di G, pohon yang memiliki bobot paling minimum

dinamakan pohon rentang minimum. Persoalan pohon rentang minimum menyangkut pemilihan

seperangkat penghubung yang menghubungkan semua simpul dalam suatu jaringan sedemikian

rupa sehingga menghasilkan jumlah panjang yang minimum dari semua penghubung terpilih.[5]

2.3 Pemrograman Linear

Pemrograman Linear merupakan suatu model umum yang dapat digunakan dalam pemecahan

masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal. Masalah tersebut timbul

apabila seseorang diharuskan untuk memilih atau menentukan tingkat setiap kegiatan yang akan

dilakukannya, dimana masing-masing kegiatan membutuhkan sumber yang sama sedangkan

jumlahnya terbatas.[4]

Terdapat tiga komponen dasar di dalam model Pemrograman Linear yaitu:

Variabel keputusan yang ingin ditentukan model.

Kendala-kendala yang harus dipenuhi oleh solusi dari model tersebut.

Tujuan yang ingin dioptimalkan (maksimasi atau minimasi).

Secara umum model Pemrograman Linear diformulasikan sebagai berikut:

Fungsi Objektif:

Maks / Min Z = ∑ 𝐶𝑛𝑗=1 jXj

dengan kendala:

∑ 𝑎𝑛𝑗=1 ijXj ≤ bi, i = 1,2,…,m

Xj ≥ 0, j = 1,2,..,n

Z : nilai dari fungsi objektif

Xj : tingkat aktifitas ke-j

Cj : koefisien di Z yang menyatakan jumlah penggunaan tingkat aktifitas ke-j

aij : jumlah sumber daya ke-i yang digunakan tiap unit aktifitas ke-j

bi : jumlah sumber daya ke-i yang tersedia untuk dialokasikan

3. ALGORITMA PRIM

3.1 Algoritma Prim

Konsep pohon merupakan konsep penting karena konsep ini mampu mendukung penerapan graf

dalam berbagai bidang ilmu. Aplikasi yang menggunakan konsep Pohon diantaranya adalah

pembangunan jalan dan rel kereta api, pembuatan jaringan komputer, pencarian jalur untuk

MS - 109

penjual keliling, dan sebagainya. Salah satu metode untuk mencari pohon rentang minimum

dalam masalah jaringan yang ditemukan oleh Robert C. Prim. Algoritma Prim membentuk

pohon rentang minimum dengan langkah per langkah. Pada setiap langkah kita mengambil sisi

graf G yang memiliki jarak minimum namun yang terhubung dengan pohon rentang T yang

telah terbentuk.[2]

Misalkan G adalah graf berlabel dengan n simpul dan T adalah pohon rentang minimum yang

akan dibentuk (mula-mula kosong). Langkah-langkah Algoritma Prim adalah sebagai

berikut:[5]

Inisialisasi: Mula-mula T adalah graf kosong

Ambil sembarang v ϵ V (G). Masukkan v ke dalam V (T).

V (G) = V (G) - v.

Untuk itu pilih i = 1, 2, …, n - 1:

(1) Pilihlah sisi e ∈ E(G) dan e ∉ E(T) dengan syarat:

(a) e berhubungan dengan satu simpul di T.

(b) mempunyai bobot (jarak) terkecil dibandingkan dengan semua sisi yang

berhubungan dengan tiap simpul dalam T.

Misalkan w adalah simpul ujung e yang tidak berada dalam T.

(2) Tambahkan e ke E(T) dan w ke V (T)

(3) V (G) = V (G) - w

3.2 Menentukan Jarak Minimum dengan Algoritma Prim

Akan dicari pohon rentang minimum dengan menggunakan Algoritma Prim untuk graf G pada

Gambar 1.

Gambar 1. Graf G

Solusi permasalahan gambar 1 sebagai berikut:

Misalkan G adalah graf mula-mula seperti yang tampak pada gambar di atas dan T adalah

pohon rentang minimum yang akan dibuat.

Tentukan simpul awal pertama (bebas), misalkan simpul A. V (T) = {A} dan E(T) = {}

Pilih jarak minimal suatu simpul yang terhubung dengan simpul A. Simpul B memiliki

jarak 3 terhadap simpul A, simpul C memiliki jarak 7 dari simpul A, sehingga simpul B

dipilih karena memiliki jarak minimal dari simpul A dibandingkan dari simpul B. Pemilihan

simpul B akan menghasilkan sisi A - B. V (T) = {A, B} dan E(T) ={AB}.

Pilih jarak minimal suatu simpul yang terhubung dengan simpul A atau simpul . Simpul C

dan D masing-masing memiliki jarak 7 dan 6 dari simpul A, sedangkan simpul B

terhubung dengan simpul D yang berjarak 5. Sehingga dipilih simpul B yang terhubung

dengan simpul D yang menghasilkan sisi A - B - D. V (T) = {A, B,D} dan E(T) ={AB,

BD}.

Pilih jarak minimal suatu simpul yang terhubung dengan simpul A atau simpul D. Simpul

C berjarak 7 dari simpul A dan berjarak 8 dari simpul D, sehingga dipilih sisi A-C, yang

akhirnya

menghasilkan sisi A - B - D, A - C. V (T) = {A, B, D, C} dan E(T) ={AB, BD, AC}.

Karena masing-masing simpul telah terhubung dan tidak ada siklus maka diperoleh pohon

rentang minimum yaitu sisi A-B, B-D, dan A-C.

MS - 110

4. PEMROGRAMAN BILANGAN BINER

4.1 Pemrograman Bilangan Biner

Pemrograman Bilangan Biner merupakan hal khusus dari Pemrograman Bilangan Bulat dan

Pemrograman Linear, dimana solusi dari variabel-variabel keputusan dari suatu permasalahan

haruslah bernilai nol atau satu. Secara umum, Pemrograman Linear terdiri dari tiga unsur utama

yaitu variabel keputusan, fungsi objektif dan fungsi kendala. Dalam Pemrograman Bilangan

Bulat semua variabel haruslah berupa bilangan bulat. Bentuk umum dari Pemrograman

Bilangan Bulat dan Pemrograman Bilangan Biner adalah sebagai berikut:[1]

Fungsi Objektif:

Maks/Min Z = ∑ 𝐶𝑛𝑗=1 jXj ,

Kendala:

∑ 𝑎𝑛𝑗=1 ijXj ≤ bi, i = 1,2,…,m

Xj ≥ 0, j = 1,2,..,n

Xj ∈ ℤ

Fungsi Objektif:

Maks/Min Z = ∑ 𝐶𝑛𝑗=1 jXj ,

Kendala:

∑ 𝑎𝑛𝑗=1 ijXj ≤ bi, i = 1,2,…,m

Xj = 0 atau Xj = 1

Untuk mencari solusi dari Pemrograman Bilangan Bulat dapat digunakan metode simpleks

dengan melakukan pembulatan pada solusi optimalnya, sedangkan untuk Pemrograman

Bilangan Biner, metode yang sering digunakan adalah metode branch and bound.[1]

4.2 Metode Branch and Bound

Pencarian solusi optimal dari suatu masalah dengan metode branch and bound melibatkan tiga

buah proses yaitu bounding, fathoming, dan branching.

Pada tahap bounding dibangun semua cabang pohon yang mungkin menuju solusi. Dalam

permasalahan pencarian rute terpendek pada setiap langkah terdapat 2 kemungkinan yang dapat

diambil, yaitu 0 jika pilihan tidak diambil atau 1 jika pilihan tersebut diambil. Sehingga total

langkah yang bisa diambil sebanyak 2n, dimana n merupakan jumlah simpul.

Proses kedua adalah fathoming yang merupakan tahap pendugaan. Pada tahap ini akan

dilakukan evaluasi terhadap masing-masing hasil pada tahap branching secara sistematis. Tahap

ini merupakan tahap iterasi, sehingga bisa saja diperoleh solusi sementara. Iterasi dilakukan

sampai solusi optimum ditemukan.

Proses ketiga yaitu branching akan menentukan simpul mana yang dapat dilakukan percabangan

dan simpul mana yang tidak dapat dilakukan percabangan dengan menggunakan syarat batas

dari kendala.[4]

4.3 Penyelesaian Model Linear dengan Pemrograman Bilangan Biner

Contoh berikut merupakan permasalahan alokasi biaya (dalam $) pada perusahaan Star Oil.

Dengan memperhatikan kondisi keuangan, perusahaan ingin menentukan pilihan terhadap 4

jenis investasi yang ada. Investasi pertama, kedua, ketiga dan keempat masing-masing akan

memberikan hasil sebesar 16.000, 22.000, 12.000, dan 8.000. Biaya yang harus dikeluarkan

perusahaan untuk investasi pertama, kedua, ketiga dan keempat masing-masing adalah sebesar

5.000, 7.000, investasi 4.000 dan 3.000. Besarnya dana yang dimiliki perusahaan untuk

MS - 111

membiayai keempat investasi tersebut adalah 14.000. Perusahaan ingin menentukan investasi

mana yang sebaiknya dipilih dengan mempertimbangkan kesediaan dana. [4]

Masalah di atas dapat dimodelkan ke dalam Pemrograman Bilangan Biner sebagai berikut:

Maks Z = 16X1 + 22X2 + 12X3 + 8X4 (dalam ribuan)

dengan kendala

5X1 + 7X2 + 4X3 + 3X4 ≤ 14

Xj = 0 atau Xj = 1 j =1,2,3,4

Berdasarkan konsep dari branching, fathoming, dan bounding diperoleh solusi optimal sebesar

42 (Z = 42) dengan X1 = 0 dan X2 = X3 = X4 = 1, sehingga dapat disimpulkan bahwa perusahaan

harus mengambil pilihan investasi kedua, ketiga, dan keempat.

5. MENENTUKAN JARAK MINIMUM DENGAN ALGORITMA PRIM DAN

PEMROGRAMAN BILANGAN BINER

5.1 Menentukan Jarak Minimum dengan Algoritma Prim

Pemerintah Rumania menginginkan akses distribusi jaringan listrik yang ada di wilayah tertentu

melakukan penghematan. Perusahaan terkemuka yang bergerak di bidang kelistrikan di negara

tersebut mencoba memenuhi permintaan pemerintah. Perusahaan tersebut membuat sebuah

perencanaan baru dengan mencoba mengurangi jaringan yang terhubung tanpa mengganggu

kegiatan masyarakat di daerah yang terkait.[1].

Jaringan yang terbentuk diberikan seperti gambar di bawah ini:

Gambar 2. Representasi dari peta Rumania (Matlab)

Misal tersebut diberikan X1 = jarak Arad - Zerind , X2 = jarak Arad - Timisoara, X3 = jarak

Zerind - Oradea, X4 = jarak Timisoara - Lugoj, X5 = jarak Orade - Sibiru, X6 = jarak Lugoj -

Mehadea, X7 = jarak Mehadea - Dobreta, X8 = jarak Dobreta - Rimmicu, X9 = jarak Rimmicu -

Sibiru, X10 = jarak Rimmicu - Craiova, X11 = jarak Rimmicu - Pitesti, X12 = jarak Craiova -

Pitesti, X13 = jarak Sibiru - Fragaras, X14 = jarak Pitesti - Bucharest, X15 = jarak Fragaras -

Bucharest , X16 = jarak Arad - Sibiru. Masing-masing panjang jaraknya yakni: X1 = 75km, X2 =

118km, X3 = 71km, X4 = 111km, X5 = 151km, X6 = 70km, X7 = 75km, X8 = 120km, X9 = 80km,

X10 = 146km, X11 = 97km, X12 = 138km, X13 = 99km, X14 = 101km, X15 = 211km, X16 = 140km.

MS - 112

Penerapan Algoritma Prim dengan bantuan Matlab untuk masalah di atas menghasilkan gambar

sebagai berikut:

Gambar 3. Pohon Rentang Minimum dengan Algoritma Prim

Dari hasil di Gambar 3 diperoleh bahwa perusahaan listrik tersebut dapat memangkas total jarak

pada permasalahan pendistribusian listrik pada daerah yang dituju sebesar 648 km (dari 1803

km menjadi 1155 km).

5.2 Menentukan Jarak Minimum dengan Pemrograman Bilangan Biner

Dalam subbab ini akan dibahas aplikasi dari Pemrograman Bilangan Biner untuk menyelesaikan

masalah pemdistribusian listrik di Rumania seperti pada subbab 5.1. Pada gambar 2 terdapat 4

bagian ruang yang terbentuk yaitu daerah I,II,III, dan IV. Pemrograman Bilangan Biner

bertujuan mereduksi jumlah sisi pada masing-masing bagian ruang tersebut yang akan berakibat

pada reduksi total jarak. Permasalahan di atas dapat dimodelkan menjadi:

Min Z = 75X1 + 118X2 + 71X3 + 111X4 + 151X5 + 70X6 + 75X7 + 120X8 + 80X9 + 146X10 + 97X11

+ 138X12 + 99X13 + 101X14 + 211X15 + 140X16

dengan kendala

X1 + X3 + X5 + X16 ≤ 3

X2 + X4 + X6 + X7 + X8 + X9 + X16 ≤ 6

X10 + X11 + X12 ≤ 2

X9 + X11 + X13 + X14 + X15 ≤ 4

Xj = 0 atau Xj = 1 j =1,2,…,16

Dengan bantuan Matlab diperoleh gambar seperti di bawah ini:

Gambar 4. Pohon Rentang Minimum dengan Pemrograman Bilangan Biner

Terlihat bahwa Pemrograman Bilangan Biner menghasilkan pohon rentang minimum yang sama

dengan Algoritma Prim, sehingga diperoleh total jarak yang sama yakni 1155 km. Tetapi

terdapat perbedaan di dalam waktu pencarian solusi optimal dengan menggunakan Matlab.

MS - 113

Algoritma Prim membutuhkan waktu selama 0,002393 detik untuk memperoleh solusi optimal

sedangkan Pemrograman Bilangan Biner memerlukan waktu selama 0,013275 detik. Hal ini

disebabkan langkah-langkan pencarian solusi pada Algoritma Prim relatif lebih sederhana

dibandingkan Pemrograman Bilangan Biner.

6. KESIMPULAN

Dari pembahasan pada makalah ini, diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut:

1. Pemrograman Bilangan Biner dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah

Pemrograman Linear untuk kasus pendistribusian listrik di Rumania.

2. Algoritma Prim dapat menghasilkan jarak minimum (1155 km) pada jaringan

pendistribusian listrik di Rumania dengan waktu pencarian solusi optimal selama 0,002393

detik dengan bantuan Matlab.

3. Pemrograman Bilangan Biner dapat menghasilkan jarak minimum (1155 km) pada jaringan

pendistribusian listrik di Rumania. Waktu yang dibutuhkan untuk memperoleh solusi

optimal dengan bantuan Matlab adalah 0,013275 detik.

Algoritma Prim dan Pemrograman Bilangan Biner efektif untuk menyelesaikan permasalahan

jaringan dengan hasil akhir berupa pohon rentang minimum. Dalam kasus jaringan listrik atau

jaringan lainnya kedua metode ini dapat digunakan sebagai salah satu perencanaan yang baik

karena dapat mereduksi biaya. Algoritma Prim maupun Pemrograman Bilangan Biner dapat

menjadi rujukan bagi organisasi/perusahaan dalam hal pemetaan sebuah jaringan yang akan

dibangun/dibentuk.

DAFTAR PUSTAKA

[1]. Cormen, Thomas H., Leiserson, Charles E., Rivest, Ronald L., and Stein, Clifford. (2009).

An Introduction to Algorithms, MIT Press and McGraw-Hill, Massachusetts. [2]. Prim, R.C. (1957). Shortest connection networks and some generalisations, Bell System

Technical Journal vol. 36, pp 1389-1401.

[3]. Arogundade, O.T., Sobowale, B., Akinwale, A.T. (2011). Prim Algorithm Approach to

Improving Local Acces Network in Rural Areas, International Journal of Computer

Theory and Engineering 11, vol.3, pp 413-417.

[4]. Taha, Hamdy A. (2011). Operations Research An Introduction, Ninth Edition, Pearson

International, London.

[5]. Siang, Jong Jek. (2014). Riset Operasi dalam pendekatan Algoritmis, edisi kedua, Penerbit

ANDI, Yogyakarta.

I SSN 1907 - 3909

9 7 7 1 9 0 7 3 9 0 9 1 4

Alamat Redaksi:Jurusan Matematika, FTIS - UNPAR

Gedung 9, Lantai 1Jl. Ciumbuleuit No. 94, Bandung - 40141

PR

OS

IDIN

G S

EM

INA

R N

AS

ION

AL

MA

TE

MA

TIK

A 2

01

6