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Elementos de Teor�a Axiom�tica de Conjuntos

Conjuntos Relaciones

N�meros Naturales

Funciones

de Orden

de Equivalencia

Enteros

Operaciones

Cardinalidad

Estricto

Parcial

Total

Racionales

Clases residuales

�lgebra de Boole

Reticulados

Buen orden

Reales

�lgebra

TTTTTTTT

��������

JJJJJ

�����

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��

aa

��

Vicente YriarteUniversidad Sim�n Bol�var

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Elementos de Teor�a Axiom�tica de

Conjuntos

Vicente Yriarte

Universidad Sim�n Bol�var

Caracas� Octubre de ����

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��Por qu� tan duro��dijo un d�a el carb�n del fog�n al diamante�� �no somos parientes cerca

nos� �Por qu� tan blandos� �Oh hermanos m�os� yo os lo pregunto� �no sois mis hermanos�

�Por qu� tan blandos tan condescendientes� �Por qu� hay tanta abnegaci�n en vuestro cora

z�n� �Por qu� hay tan poco destino en vuestra mirada� y si no quer�is ser destinos inexorables

�c�mo podr�ais vencer alg�n d�a conmigo� Y si vuestra dureza no quiere levantar chispas cortar

y tajar �c�mo podr�ais alg�n d�a �crear conmigo� Pues los creadores son duros� Y debe ser

para vosotros una dicha imprimir la huella de vuestra mano en los siglos como en la cera blanda

una dicha escribir sobre la voluntad de los milenarios como en bronce� m�s duro que el bronce

m�s noble que el bronce� El m�s duro es el m�s noble� �Oh hermanos m�os� yo suspendo sobre

vuestras cabezas esta nueva tabla� � �SED DUROS�

As� habl� Zaratustra� Federico Nietzsche�

Dedico este libro a mi esposa Silvia�

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Prefacio

Este libro pretende servir de texto en un curso que se dicta en la UniversidadSim�n Bol�var a los estudiantes de Ingenier�a de la Computaci�n y cuyo objetivoes proporcionar parte del piso matem�tico que requieren dichos estudiantes paracursar otros cursos posteriores en su carrera como� por ejemplo� probabilidades�estad�sticas� base de datos� lenguajes e interpretadores� dise�o l�gico� investi�gaci�n de operaciones� optimizaci�n� c�lculo num�rico� an�lisis de algoritmos�teor�a de la computaci�n� etc�

Los requerimientos previos para entender el material que aqu� se presenta sonfundamentalmente los que adquiere un estudiante en su primer a�o de c�lculo�sin embargo� es recomendable aunque no indispensable algo de conocimientob�sico de l�gica�

Se presentan los elementos de una teor�a axiom�tica de conjuntos� esto signi�ca que s�lo se investigan algunos de los t�picos usuales en teor�a de conjuntosy adem�s que de dichos t�picos se presentan s�lo parte de ellos� Sin embargo�el material presentado le permite al lector tener una idea general de la teor�a deconjuntos y mejorar sus habilidades en el dif�cil arte de demostrar teoremas� Eltexto empieza dando las reglas que permiten decidir que colecciones admitiremoscomo conjuntos para no tener contradicciones� lo cual signica dar los axiomasb�sicos de la teor�a y su discusi�n� Se discuten algunas de las paradojas cl�si�cas de la teor�a de conjuntos� En el segundo cap�tulo se estudian los conceptosb�sicos de las relaciones binarias� En los siguientes cap�tulos se estudian variostipos de relaciones relaciones de orden� relaciones de equivalencia y funciones�En el cap�tulo cuatro se construye el conjunto de los n�meros naturales y seestudian sus propiedades� Se hace especial �nfasis en el principio de inducci�nmatem�tica de los n�meros naturales� En el cap�tulo cinco se estudia la compo�sici�n de relaciones y las clausuras de relaciones� En el cap�tulos de relacionesde equivalencias� se construye el conjunto de los n�mero enteros racionales apartir del conjunto de los n�meros naturales y del concepto de relaci�n de equi�valencia� Tambi�n se estudian las propiedades de este conjunto� Finalmente enel cap�tulo ocho se estudia el concepto de cardinalidad de un conjunto� Se hace

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especial �nfasis en las deniciones y teoremas relacionados con conjuntos nitos�contables y no contables�

Muchos de los matem�ticos con los que he estudiado� o cuyos libros he le��do han contribuido de una u otra forma a la escritura de este libro� De losmatem�ticos de quienes he tenido la fortuna de aprender puedo mencionar alos profesores Ana Viola� Jorge Viola� Claudio Madgaglio� Jos� Luis Palacios ymuchos otros que no nombro por no hacer la lista interminable� Quiero expre�sar mi especial agradecimiento al profesor Oscar Nava� Finalmente� agradezcoinnitamente a Patric Suppes Paul R� Halmos autores de los libros de dondeaprend� por primera vez muchos de los conceptos aqu� expuestos�

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Resumen de la Notaci�n

A continuaci�n se muestra una lista de la notaci�n que se usa en este libro juntocon su descripci�n y la p�gina donde aparece por primera vez o donde se dene�La misma se clasic� en base al tema al cual se reere�

S�mbolos L�gicos

Notaci�n Descripci�n P�ginap � q disyunci�n� p o q � �p � q conjunci�n� p y q � ��p la negaci�n de p � �p� q implicaci�n l�gica� p implica q � �p� q p si y s�lo si q � �P � Q P es l�gicamente equivalente que Q � ��x cuanticador universal� para todo x � ��x cuanticador existencial� existe x � ���x existe �nico x � �

Notaci�n B�sica de Conjuntos

Notaci�n Descripci�n P�gina conjunto vac�o �fag singlet�n �conjunto cuyo �nico elemento es a� �fa� bg par no ordenado �conjunto cuyo �nicos elemento son a y b� �fa�� � � � � akg conjunto cuyos elementos son a�� � � � ak �fx �A �P �x�g elementos de A que satisfacen la propiedad P �x A x pertenece al conjunto A �x � A x no pertenece al conjunto A �A � B A es subconjunto de B �A B A es subconjunto propio de B �A � B A es superconjunto de B �A � B A es superconjunto propio de B �A � B igualdad de conjuntos� el conjunto A es igual a B A �B A uni�n B �A �B A intersecci�n B �

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A� B A menos B ��A uni�n de A �����A intersecci�n de A � �x � y� par ordenado � �a��� � �� ak� k�tupla �A� B producto cartesiano de A por B ��P�A� � �A partes de A� conjunto de los subconjuntos de A ��A complemento de A ��suc �A� sucesor del conjunto A ���ni��Xi elementos que pertenecen a todos los Xi ���ni��Xi elementos que pertenecen a alguno los Xi ����i��Xi elementos que pertenecen a todos los Xi ����i��Xi elementos que pertenecen a alguno los Xi ��An conjunto de las n�tuplas de elementos de A ���A� conjunto de tuplas innitas de elementos de A ���Qn

i��Ai conjunto de las n�tupla � a�� � � � � an � con ai Ai �jAj cardinalidad de A� i�e� no� de elementos de A ���

Relaciones Binarias

Notaci�n Descripci�n P�ginaxRy x esta relacionado con y mediante R ���x � y� R el par �x � y� pertenece a R ��DR dominio de la relaci�n R ��RR recorrido de la relaci�n R ��FR campo de la relaci�n R ��R�B� imagen de B mediante R ��R���B� preimagen de B mediante R ��RjB restricci�n de R a B ��Rjizq�B� restricci�n del dominio R a B ��Rjder�B� restricci�n del dominio R a B ��ajb a divide a b ��IdA relaci�n identidad de A �R � S producto de relaciones ��Rn potencia de relaciones ��R � S composici�n de relaciones ��t�R� � R� clausura transitiva de R ��r�R� clausura re�exiva de R ��s�R� clausura sim�trica de R ��tr�R� � R� clausura re�exotransitiva de R ��R�x� clase de equivalencia de x mediante R ��R� relaci�n de equivalencia asociada a la partici�n � ���R partici�n asociada a la relaci�n de equivalencia R ���x� abrevia a R�x� cuando R queda clara ��A�R conjunto cociente ��

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��A� conjunto de las particiones del conjunto A ��bR conversa de R ��D � hV�Ai digrafo con v�rtices V y aristas A ���� � �� �� es m�s o igual na que �� ��E�A� conjunto de las relaciones de equivalencias de A ��

Funciones

Notaci�n Descripci�n P�ginaf�x� imagen de x mediante f ���f � g f compuesta con g ���f A� B funci�n total de A en B ���f A��B funci�n total inyectiva de A en B ���f A��B funci�n total sobreyectiva de A en B ���f A���B funci�n total biyectiva de A en B ���BA conjunto de las funciones totales de A en B ���f�� inversa de la funci�n f ���f�B� imagen del conjunto B mediante f ���f���B� preimagen del conjunto B mediante f ���

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N�meros

Notaci�n Descripci�n P�ginaIN conjunto de los n�meros naturales ��IN � naturales mayores que cero �IN � fg� ��Z conjunto de los n�meros enteros ��Z� enteros positivos ��Z� enteros negativos ��Z� enteros no nulos �sin el cero� ��Q n�meros racionales ��IR n�meros reales � C n�meros complejos ��Zn conjunto de las clases residuales m�dulo n ���n� f�� �� �� � � � � ng naturales positivos menores e iguales que n ����a� b� intervalo abierto de n�meros reales � ��a� b� intervalo cerrado de n�meros reales � �Z�x� polinomios con coecientes en Z � �

Ordenes Parciales

Notaci�n Descripci�n P�ginahA�Ri conjunto parcialmente ordenado ��min �A� m�nimo del conjunto A ��max�A� m�ximo del conjunto A ��Mins �A� minimales del conjunto A ��Maxs �A� maximales del conjunto A ��cotinf �A� cotas inferiores o minorantes del conjunto A ��cotsup�A� cotas superiores o mayorantes del conjunto A ��inf �A� �nmo del conjunto A ��sup �A� supremo del conjunto A ��O�A� conjunto de los ordenes parciales de A � L�A� conjunto de los ordenes lineales de A � s�a� segmento de a ��xl y x es predecesor inmediato de y � H�R� diagrama de Hasse de la relaci�n R � x � y �x � y� pertenece a la relaci�n � ��x � y x es menor que y o �x � y� pertenece a la relaci�n � ��x � y pertenece a la relaci�n � ��x � y x es mayor que y o �x � y� pertenece a la relaci�n � ��

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�ndice General

� Teor�a de Conjuntos ���� Introducci�n � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Principios y Axiomas B�sicos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Relaciones entre Conjuntos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Operaciones sobre Conjuntos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Familias de Conjuntos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Conjunto Potencia � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Axioma de Fundamentaci�n � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Grafos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Ejercicios Resueltos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� Relaciones Binarias ���� Par Ordenado � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Producto Cartesiano � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Relaciones Binarias � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Producto de Relaciones � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� Generalizaci�n � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Grafos y Digrafos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Ejemplos de Relaciones � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Ejercicios Resueltos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

Relaciones de Orden � �� Generalidades � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� Conjuntos Parcialmente Ordenados � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Reticulados � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� Ejercicios Resueltos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �� Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

N�meros Naturales ����� La Denici�n � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Orden en los Naturales � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Aritm�tica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

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x �NDICE GENERAL

��� Ejercicios Resueltos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� Clausuras de Relaciones ����� Composici�n y Potencia de Relaciones � � � � � � � � � � � � � � � ����� Clausuras � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Matriz Asociada � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Ejercicios Resueltos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

Relaciones de Equivalencia ����� Relaciones de Equivalencia � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� N�meros Enteros � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� La Construcci�n � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Aritm�tica del N�mero Entero � � � � � � � � � � � � � � � ������ Orden en los Enteros � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� Comentarios sobre el Orden � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� Congruencias � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� �� Aritm�tica de Zn � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� Construcci�n de los Racionales � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Ejercicios Resueltos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

� Funciones ������ La Denici�n � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ Tipos de Funciones � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� Funciones Inversas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ Ejercicios Resueltos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

� Cardinalidad ������ Conjuntos Finitos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ Conjuntos Contables � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

����� Axioma de Elecci�n � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �������� Caracterizaci�n de Conjuntos Contables � � � � � � � � � � ���

�� Conjuntos no Contables � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Ejercicios Resueltos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� Ejercicios � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

A Comentarios de L�gica ��

B Respuestas o Sugerencias �

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Cap�tulo �

Teor�a de Conjuntos

��� Introducci�n

Las dos corrientes��Si consideramos el espejo en s�

no hallamos m�s que los objetos que re�eja� Si queremos

apoderarnos de esos objetos tornamos a ver el espejo y no

m�s� Esta es la historia general del conocimiento�

Aurora� Federico Nietzsche�

La teor�a de conjuntos fue estudiada formalmente por primera vez por elmatem�tico alem�n Georg Cantor ������������ La teor�a de conjuntos tal comoCantor la formul� por primera vez genera contradicciones� Por esta raz�n sehicieron otras teor�as de conjuntos m�s sosticadas con el n de eliminar dichascontradicciones� Sin embargo� por su sencillez la mayor�a de los matem�ticospreeren un enfoque casi igual al de Cantor conocido como Teor�a Ingenua� deConjuntos� La raz�n por la cual en la teor�a ingenua �o intuitiva� de conjuntosse generan contradicciones es que en ella cualquier colecci�n de objeto se puedeconsiderar como un conjunto� Esto trae como consecuencia que uno se pase deingenuo y admita como conjuntos colecciones no intuitivas como el conjunto detodos los conjuntos que no se contienen a si mismos y el conjunto de todos losconjuntos o conjunto universal�

El tratamiento ingenuo de la teor�a de conjuntos �Naive Set Theory� asumeque la denici�n de conjunto como una colecci�n de objetos es sucientementeclaro� Mientras que en un tratamiento axiom�tico se establecen reglas quelimitan la noci�n intuitiva de conjuntos� Adoptaremos un esquema axiom�ticoparecido al usado por Ernst Zermelo en ����� Pero debido a que en nuestroesquema axiom�tico usaremos un axioma denido por primera vez por Fraenkeldiremos que el esquema que usamos es el esquema de Zermelo�Fraenkel� NotaCantor no enunci� ning�n axioma� sin embargo� el an�lisis de sus demostracionessugiere que casi todos los teorema que �l demostr� pueden derivarse de tresaxiomas� a saber el axioma de extensi�n� el axioma de abstracci�n y el axiomade elecci�n�

�Na�ve Set Theory

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� CAP�TULO �� TEOR�A DE CONJUNTOS

��� Principios y Axiomas B�sicos

Contrario a lo que hace la teor�a de conjuntos ingenua� que asume que cualquiercolecci�n de objetos es un conjunto� en una teor�a axiom�tica de conjuntos sedan las reglas de formaci�n de las colecciones que se van a admitir o que se vana considerar como conjuntos�

Una denici�n usual de conjunto es la siguiente Un conjunto es cualquiercolecci�n de objetos que se puede tratar como una entidad� Aceptaremos queun conjunto es una colecci�n de objetos pero no toda colecci�n de objetos laaceptaremos como conjunto� Si un objeto x est� en un conjunto A se dice quex es un elemento del conjunto A o que �pertenece al conjunto� y se denota porx A� De lo contrario se denota por x � A�

N�tese que no hemos dado una especicaci�n formal de lo �que es un con�junto� ni hemos dado reglas para decidir si un elemento �pertenece� o no a unconjunto dado�

Como consecuencia de no tener deniciones de estos conceptos� no tenemosun procedimiento para probar formalmente si algo es un conjunto o si un ob�jeto es un elemento de un conjunto dado� Por lo tanto� debemos conar en elentendimiento com�n del signicado de los t�rminos�

Los principios b�sicos de la teor�a de conjuntos son la �noci�n de conjuntos�y la �noci�n de pertenencia�� A estos se agrega el conjunto de axiomas queestableceremos a continuaci�n�

Lo primero que aceptaremos sin demostraci�n es que la colecci�n de objetosque no tiene ning�n objeto es un conjunto�

Axioma ��� �Axioma de Conjunto Vac�o� Existe un conjunto que no tie�ne elementos� esto es� ��A���x��x � A�� a dicho conjunto lo llamaremos con�junto vac�o y lo denotaremos por �

El conjunto Vac�o

De�nici�n ��� �Conjunto Vac�o� Un conjunto que no tiene elementos se de�nomina conjunto vac�o� Se representar� por el s�mbolo

Podr�amos preguntarnos � qu� sentido tiene tener un conjunto que no tiene ele�mentos� El conjunto vac�o es s�lo una convenci�n y las matem�ticas podr�anvivir sin �l� Pero� es una convenci�n conveniente porque ahorra mucho tiempoal establecer y probar teoremas� Sin esta convenci�n� por ejemplo� tendr�amosque probar que dos conjuntos A y B tienen elementos en com�n antes de usar lanotaci�n A �B� Adem�s� nos garantiza que cuando hablemos de conjuntos noestemos hablando de entes no existentes� por lo menos tenemos uno el conjuntovac�o� aunque no tenga elementos�

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���� PRINCIPIOS Y AXIOMAS B�SICOS

Axioma de Extensi�n

El segundo paso ser� proporcionarnos una regla que nos permita decidir si dosconjuntos son iguales�

Axioma ��� �Axioma de Extensi�n� Si dos conjuntos A y B tienen los mis�mos elementos� entonces son iguales� En otras palabras� Si todo elemento de Aes un elemento de B y todo elemento de B es un elemento de A� entonces A yB son iguales�

Dicho axioma se puede expresar en notaci�n l�gica de cualquiera de las siguientesdos maneras�

a� �x�x A� x B� �� A � Bb� ��x�x A� x B�� � ��x�x B � x A�� �� A � B

Observe que el axioma de Extensi�n no establece que si A y B son iguales�entonces todo elemento de A es elemento de B y todo elemento de B es elementode A� Esto es� sin embargo� una consecuencia inmediata de la denici�n deigualdad�si dos objetos son iguales� todo lo que puedo armar de uno de elloslo puedo armar del otro�� Por consiguiente se tiene que el siguiente teoremaes cierto� En ocasiones uno se ve tentado a armar que lo que establece elteorema� es el enunciado del axioma de extensi�n�

Teorema �� Dos conjuntos son iguales si y s�lo si tienen los mismos elemen�tos� esto es� si y s�lo si todo elemento de A es elemento de B y todo elementode B es elemento de A�

a� A � B � �x�x A� x B�

b� A � B � ��x�x A� x B��� ��x�x B � x A��

Una consecuencia inmediata del axioma de extensi�n es la unicidad del con�junto vac�o que se da en el siguiente teorema� Alerta El axioma de extensi�ngarantizar� la unicidad de muchos de los conjuntos que deniremos�

Teorema �� El conjunto vac�o es nico�

Prueba� Sabemos que el conjunto vac�o es un conjunto tal que ��x��x � ��Supongamos que existe otro conjunto vac�o �� esto es� � es tal que ��x��x � ���Como para todo x las proposiciones x y x � son falsas� se tiene que��x��x � x �� � ��x��x � � x � y por lo tanto con base en elaxioma de extensi�n concluimos que � � �

Los siguientes dos axiomas permiten crear nuevos conjuntos a partir de otrosya existentes

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� CAP�TULO �� TEOR�A DE CONJUNTOS

Axioma de Separaci�n

Axioma ��� �Axioma de Separaci�n� Si A es un conjunto y P es una pro�piedad que pueden o no satisfacer los elementos del conjunto A� entonces existeun conjunto cuyos elementos son justamente los elementos de A que satisfacenla propiedad P � esto es existe B tal que B � fx A P �x�g�

��B���x��x B � x A� P �x��

Este axioma permite construir nuevos conjuntos a partir de otros ya existentesseparando los elementos que satisfacen una cierta propiedad�

Paradojas

Un axioma relacionado con el Axioma de Separaci�n es el Axioma de Abstrac�ci�n el cual permite denir conjuntos en base a una propiedad� Este axioma noforma parte de nuestra axiom�tica porque el mismo lleva a una contradicci�n�El axioma de abstracci�n se enuncia como sigue �y�x�x y � P �x��� Si dichaproposici�n se aceptara como axioma se tendr�a sustituyendo P �x� por x � xque �y�x�x y � x � x�� e instanciando en c la variable y y luego la x setendr�a la f�rmula contradictoria c c� c � c� Esta antinomia fue descubiertasimult�neamente por Zermelo y por Russell pero publicada primero por Russellen ����� Generalmente relacionamos la paradoja del conjunto de los conjuntosque no se contienen a ellos mismos con el enunciado que arma la existenciade un barbero que afeita a todos y solamente a aquellos que no se afeitan ellosmismos� Sea b ese barbero� el enunciado que le atribuye la propiedad previa�mente citada se escribe como sigue �x�bRx � �xRx�� La contradicci�n seobtiene instanciando x en b� Como la hip�tesis de la existencia de tal barbe�ro conduce a una contradicci�n� uno concluye simplemente que tal barbero noexiste� Esta es simplemente una prueba por absurdo� En el caso de la paradojade Russell� la situaci�n es diferente� No podemos prescindir del axioma de abs�tracci�n totalmente� Lo que hizo Zermelo fue restringirlo y formar el axioma deSeparaci�n�

Nada Contiene Todo

Una consecuencia inmediata� pero no trivial� del axioma de separaci�n es queno existe un conjunto universal� esto es� un conjunto que contiene todo� inclusoa �l mismo� El axioma de Separaci�n establece que si P es una proposici�n setiene que

��a���y���x��x y � x a � P �x��Dado un conjunto arbitrario A� veamos que hay algo�un conjunto�que nopertenece a A� Si en esta f�rmula sustituimos P �x� por la proposici�n x � x e

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���� PRINCIPIOS Y AXIOMAS B�SICOS �

instanciamos a por A se tiene que ��y���x��x y � x A � x � x�� Luego siB es uno de los que satisfacen la proposici�n� entonces se tiene que

��x��x B � x A � x � x� � �����

Supongamos que B A� por tercero excluido tenemos que B B�B � B� Porcasos si B � B como B A tenemos que B A � B � B lo cual implica� envirtud de ������ que B B� que es una contradicci�n� si B B� tendr�amos por����� que B A � B � B lo cual es una contradicci�n porque B B� Luego�B � A� y concluimos que no importa quien sea A existe un conjunto que nopertenece a A� esto es� que no existe un conjunto universal�

Axioma de Apareamiento

El siguiente axioma nos permite construir los primeros conjuntos no vac�os�

Axioma �� �Axioma de Apareamiento� Dados dos conjuntos cualesquie�ra existe un conjunto cuyos elementos son precisamente esos dos conjuntos�Simb�licamente� ��x���y���A��z A� z � x � z � y�

Si A�B son conjuntos� el axioma de apareamiento asegura que existe unconjunto C tal que X C �� x � A � x � B y el axioma de extensi�ngarantiza su unicidad� A dicho conjunto lo llamaremos pareja no ordenada A�By lo representaremos por fA�Bg�

Parejas no Ordenadas

De�nici�n ��� �Pareja no Ordenada� Dados dos conjuntos A y B� se de�ne la pareja no ordenada fA�Bg como el conjunto cuyos elementos son justa�mente A y B�

Si A es un conjunto la pareja ordenada fA�Ag se denomina �singlet�n� o con�junto singular porque debido al axioma de extensi�n se tiene que fA�Ag � fAg�

Ejemplo ��� La primera pareja no ordenada que se puede construir es el sin�glet�n fg y la segunda es f� fg g� Note que estos son nuestros primeros ejem�plos de conjuntos no vac�os� Tambi�n pueden construirse� ffgg� f� f� fgg g�etc� etc� Todos estos conjuntos construidos en base al axioma de apareamientotienen a lo sumo dos elementos�

Variantes del Axioma

Una versi�n m�s general del axioma de apareamiento se enuncia as� �Dados dosconjuntos A y B� existe un conjunto que los contiene a ambos�� Note que dichoconjunto puede contener otros elementos distintos de A y de B� Sin embargo�las parejas no ordenadas se pueden obtener usando el axioma de separaci�n� porejemplo si C es un conjunto que contiene a A y a B� entonces fA�Bg � fx x C � �x � A � x � B�g

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� CAP�TULO �� TEOR�A DE CONJUNTOS

Observe que en lugar del axioma de Apareamiento se pudo haber denido unaxioma de �singlet�n� diciendo dado un conjunto cualquiera existe un conjuntocuyo �nico elemento es dicho conjunto� En dicho caso las parejas se construir�anen base al siguiente axioma�

Axioma de Uni�n

El axioma de apareamiento nos permite construir conjuntos con a lo sumo doselementos parejas o singletones� El siguiente axioma nos permite construirconjuntos con tantos elementos como queramos�

Axioma ��� �Axioma de Uni�n� Si x es un conjunto� existe un conjuntocuyos elementos son los elementos de los elementos de x� Se denota por �x

N�tese que si ninguno de los elementos de x es un conjunto �x es el conjuntovac�o� Adem�s� como el conjunto vac�o no tiene elementos� se tiene que � � �Si deseamos formar un conjunto con los tres elementos a� b� c podemos usar elaxioma de uni�n con el par ffag� fb� cgg� esto es� �ffag� fb� cgg � fa� b� cg dondela notaci�n fa� b� cg signica el conjunto cuyos elementos son a� b� c� Mientrasque si queremos formar el conjunto cuyos elementos son los conjuntos a� b� c� d�usamos el axioma de uni�n con� por ejemplo� el par no ordenado ffa� bg� fc� dgg�Ejercicio ��� Explique� c�mo puede formar conjuntos con cinco o m�s elemen�tos

Ejemplo ��� N�tese que el conjunto f � fg� f� fgg g es el resultado de�f fg� ffg� f� fggg g

Notaci�n�

Cuando queramos hacer referencia a un conjunto listando sus elementos escri�biremos los elementos del conjunto entre llaves como� por ejemplo fa� b� cg ofa� b� c� � � � � gg� Cuando se denota un conjunto de esta forma se dice que elconjunto est� de�nido por extensi�n� Cuando se dene usando el axioma deseparaci�n se representa por fx x A � P �x�g y se dice que el conjunto est�de�nido por separaci�n� Nota A tiene que ser un conjunto�

��� Relaciones entre Conjuntos

Las dos relaciones� m�s importantes sobre conjuntos son la relaci�n de igualdadde conjuntos y la relaci�n de contenci�n de conjuntos� La primera se deni�por el Axioma de Extensi�n que arma que dados dos conjuntos basta conquetengan los mismos elementos para que sean iguales� De la segunda damos ladenici�n a continuaci�n�

�El uso de la palabra relaciones en este momento es tiene el sentido usual de comparaci�nde dos objetos m�s adelante se de�nir� formalmente el t�rmino relaci�n

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���� RELACIONES ENTRE CONJUNTOS �

De�nici�n �� �Subconjuntos� Dados dos conjuntos A y B� decimos que Aes subconjunto de B y lo denotamos por A � B si y s�lo si todo elemento de Aes elemento de B� �i�e� A � B � � x �x A� x B�

Si A � B tambi�n decimos que A est� contenido en B o que B contiene a Ao que B es superconjunto de A� Es equivalente escribir B � A�

Ejemplo �� Si A � fa� bg sus subconjuntos son� � fag� fbg y fa� bg� Elconjunto fa� cg no es subconjunto de A porque c fa� cg � c � A�

Ejercicio ��� Muestre todos los subconjuntos del conjunto f�� �� �g�

De�nici�n �� �Subconjuntos Propios� Dados dos conjuntos A y B� de�cimos que A es subconjunto propio de B y lo denotamos por A B si todoelemento de A es elemento de B� pero A es distinto de B�

A B � �A � B � A �� B�

Tambi�n suele usarse la expresi�n B es superconjunto propio de A y el s�mboloB � A para denotar que A B�

Una manera f�cil de probar que A es subconjunto propio de B es mostrarque A es subconjunto de B pero existe un elemento de B que no pertenece a A�Esto se formaliza en el pr�ximo teorema�

Teorema ��� A B � �A � B � ��x��x B � x � A��

Teorema ��� El conjunto vac�o es subconjunto de cualquier conjunto� esto es�Para todo conjunto A se tiene que � A�

Prueba� Supongamos que es falso� esto es� que existe A tal que �� A� Estosignica que ��x��x � x � A�� pero esta �ltima proposici�n no puede serverdadera porque �� �x��x � �

M�s a�n� el conjunto vac�o es subconjunto propio de cualquier conjunto no vac�o�Adem�s� el �nico subconjunto del conjunto vac�o es el mismo� por lo tanto elconjunto vac�o no tiene subconjuntos propios� Pru�belo�

Teorema ���� Para cualquier conjunto A� se tiene que A � A�

La igualdad de conjuntos y la contenci�n de conjuntos est�n relacionadaspor el siguiente teorema� Este teorema es� por decirlo as�� la implementaci�ndel Axioma de Extensi�n porque en la mayor�a de los casos cuando se requiereprobar que A es igual que B se le usa en lugar de usar el Axioma de Extensi�n�

Teorema ���� �Doble Contenci�n� Si A � B �B � A� entonces A � B

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� CAP�TULO �� TEOR�A DE CONJUNTOS

Prueba� Por denici�n de subconjunto� como A � B se tiene que ��x��x A� x B� y como B � A se tiene que ��x��x B � x A�� Luego�

A � B �B � A �� �x�x A� x B� � �x�x B � x A��� A � B Axioma de Extensi�n

El rec�proco del teorema tambi�n es cierto� Pru�belo� Puede ser �til m�s ade�lante�

Teorema ���� Si A � B� entonces A � B �B � A�

��� Operaciones sobre Conjuntos

Con el n de obtener otras formas de especicar conjuntos denimos a conti�nuaci�n lo que llamaremos operaciones sobre conjuntos�

Una operaci�n sobre conjuntos usa algunos conjuntos dados �llamados ope�randos� para especicar otros conjuntos llamados resultantes� Empezaremoscon las operaciones binarias� Una operaci�n binaria es una regla que le asociaa cada par de conjuntos un �nico nuevo conjunto�

Las operaciones que usualmente se denen sobre conjuntos son

De�nici�n ��� �Intersecci�n de Conjuntos� Dados dos conjuntos A y B laintersecci�n de A y B es el conjunto cuyos elementos son los elementos comunesde A y B� Se denota por A �B� Simb�licamente�

A �B � fx x A � x Bg

Nota Seg�n la denici�n A � B debe ser un conjunto� ello es cierto por�que como A es un conjunto� en base al axioma de separaci�n� se tiene que��C���x��x C � x A � x B�� Donde P �x� es x B� Dicho conjunto C�que debe existir gracias al axioma de separaci�n es justo A � B�

De�nici�n �� �Diferencia de Conjuntos� Dados dos conjuntos A y B ladiferencia de A y B es el conjunto cuyos elementos son los elementos de A queno est�n en B� Se denota por A�B� Simb�licamente�

A�B � fx x A � x � Bg

Ejercicio �� Justique la existencia de A�B

De�nici�n ��� �Uni�n de Conjuntos� Dados dos conjuntos A�B la uni�nde A y B es el conjunto cuyos elementos son los elementos de A y los elementosde B� Se denota por A �B� Simb�licamente�

A �B � fx x A � x Bg

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��� OPERACIONES SOBRE CONJUNTOS �

Justicaci�n Como A y B son conjuntos� el axioma de apareamiento ga�rantiza la existencia del conjunto fA�Bg y el axioma de uni�n la del conjunto�fA�Bg y se probar� m�s adelante que A �B � �fA�Bg�Ejemplo �� Dados A � f�� �� � �g� B � f�� �� �� �� �g y C � f� �g hallea A �B b A �B c A�C d �A�B� �CEn la Figura ��� se muestran unos diagramas de Venn que ilustran estas tresoperaciones�

A

B

A �BA

B

A �B A�B

A

B

Figura ��� Representaci�n de las Operaciones

De�nici�n ��� �Conjuntos Disjuntos� Dos conjuntos A y B se llaman dis�juntos si no tienen ningn elemento en comn� esto es� siA �B � Teorema ��� Las operaciones de uni�n e intersecci�n de conjuntos son con�mutativas y asociativas� i�e� dados los conjuntos arbitrarios A� B y C�

a A �B � B �Ab A �B � B �Ac �A �B�� C � A � �B � C�d �A� B�� C � A � �B � C�Teorema ��� Las operaciones de uni�n e intersecci�n de conjuntos son dis�tributivas cada una con respecto a la otra� esto es� dados A� B� C arbitrarios�

a A � �B � C� � �A�B� � �A� C�b A � �B �C� � �A�B� � �A �C�Prueba� �a� Por doble contenci�n� ��� Sea x A� �B�C�� por denici�n deuni�n x pertenece a A o x pertenece a B �C� Si x A� se tiene que x A�By adem�s que x A�C�A unido con cualquier conjunto�y por consiguiente�en base a la denici�n de intersecci�n x �A � B� � �A � C�� si x B � C�entonces se tiene que x B y x C y por consiguiente x A�B y x A�Cy por lo tanto x �A �B� � �A �C�� Luego� como en ambos casos obtuvimosque x �A� B�� �A �C�� concluimos que A � �B � C� � �A �B� � �A�C��

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�� CAP�TULO �� TEOR�A DE CONJUNTOS

��� Sea x �A � B� � �A � C�� por denici�n de intersecci�n x A � B yx A�C� Por casos si x A� tenemos que x A� �B �C�� si x � A� comox A � B� tenemos que x B y adem�s como x A �C tenemos que x C�Luego� x B � C y por lo tanto x A � �B � C�� La parte �b� se deja comoejercicio� �

Teorema ���� A� �A� B� � A� B

Prueba� Por doble contenci�n� ��� Sea x A � �A � B�� por denici�n dediferencia x A y x � A � B� como x A si x perteneciese a B se tendr�aque x A � B lo cual contradir�a la hip�tesis x � A � B� luego x � B y porconsiguiente x A�B���� Sea x A�B� por denici�n de diferencia x A� x � B� luego x � A�By por consiguiente x A� �A� B�� �

Las siguientes propiedades de conjuntos se conocen con los nombres de idem�potencia de la uni�n y de la intersecci�n respectivamente�

Teorema ��� a� A �A � A b� A �A � A

Las siguientes dos propiedades del conjunto vac�o hacen que al mismo se ledenomine elemento neutro de la uni�n y elemento absorbente de la intersecci�n�

Teorema ���� a� A � � A b� A � � A continuaci�n se plantean una serie de teoremas b�sicos sobre la mani�

pulaci�n de las operaciones b�sicas de conjuntos� Los mismos se dejan comoejercicio� con las siguientes recomendaciones �� el estudiante debe probarlostodos� si es necesario m�s de una vez� �� Las igualdades conjunt�sticas debeprobarlas por doble contenci�n� a menos que uno de los conjuntos sea el con�junto vac�o� en cuyo caso� puede ser m�s f�cil probar que el otro conjunto de laigualdad no tiene elementos� � En las implicaciones debe probar el consecuenteusando� cuando lo necesite� el antecedente�

Teorema ���� a� A � A �B b� A �B � A

Teorema ���� a� A�B � A b� A� � A

Teorema ����a� Si A � B� entonces A �B � B

b� Si A � B� entonces A �B � A

Teorema ����a� Si A � B y C � D� entonces �A �C� � �B �D�

�Alerta� Se est� usando un teorema de l�gica que se llama El Tercero Excluido y queestablece que p � �p

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��� FAMILIAS DE CONJUNTOS ��

b� Si A � B y C � D� entonces �A�C� � �B �D�

Teorema ���� Dados los conjuntos A� B� C y D de un universo de discursoU se tiene quea A � �B �A� � A �Bb A� �B �C� � �A� B�� �A�C�

c A� �B �C� � �A� B�� �A�C�

Complemento Absoluto

En ciertas ocasiones todos los conjuntos que nos interesa considerar para resolverun determinado problema son subconjuntos de un conjunto m�s grande� quellamaremos el universo del discurso� A dicho conjunto se le puede representarpor la letra U � Alerta No debe olvidarse que no existe un conjunto universal�Las armaciones de la presente secci�n se reeren a alg�n universo del discurso�

De�nici�n ��� Sea A un subconjunto del universo del discurso U � se dene elcomplemento de A como el conjunto de los elementos de U que no est�n enA� Se denota por A

A � U �A � fx x � AgTeorema ��� Si A es cualquier subconjunto del universo U � entonces

a A �A � U

b A �A � Teorema ��� El complemento de un conjunto es nico�

Teorema ���� Para todo subconjunto A del universo U se tiene que A � A�Esto es� el complemento del complemento de A es A�

Teorema ��� �Leyes de De Morgan� Dados dos conjuntos arbitrarios deluniverso U se tiene que

a A �B � A� Bb A �B � A �B

��� Familias de Conjuntos

De�nici�n ���� �Familias de Conjuntos� Una familia de conjuntos es unconjunto cuyos elementos son conjuntos

Ejemplo ��� Son ejemplos de familias�F� � f� fg� f� fgg gF� � ffag� fa� bggF� � ffag� fbg� fa� bgg

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�� CAP�TULO �� TEOR�A DE CONJUNTOS

De�nici�n ���� �Uni�n� Dado un conjunto A� la uni�n de A es el conjuntocuyos elementos son los elementos de los elementos de A

�A � fx ��B��x B �B A�g

Nota Es conveniente usar como denici�n alternativa la siguiente proposi�ci�n� Dicha proposici�n puede demostrarse a partir de la anterior�

x �A�� ��B��x B �B A�

Ejemplo �� Si A � ffag� fa� bgg� entonces �A � fa� bgSi A � ff� ag� ffag� fg� gg� entonces �A � f� a� fag� fgg

Teorema ���� �a � � �b �fg �

Teorema ���� �fAg � A

Teorema ���� �fA�Bg � A �B

Teorema ��� ��A�B� � ��A�� ��B�

Prueba� Por doble contenci�n� ��� Sea x ��A�B�� por denici�n de uni�n��C��x C � C A � B�� luego se tiene que dicho C� por denici�n de uni�npertenece a A o pertenece a B� Si C A� tenemos que ��C��x C � C A��por lo tanto x �A y por consiguiente x ��A����B�� Si C B� tenemos que��C��x C�C B�� por lo tanto x �B y por consiguiente x ��A�� ��B��Luego� ��A�B� � ��A�� ��B����� Sea x ��A� � ��B�� por denici�n de � se tiene que x �A � x �B�Si x �A� por denici�n de �A� ��C��x C � C A� y por consiguien�te C A � B� Luego� ��C��x C � C A � B� lo cual implica quex ��A � B�� Si x �B se concluye an�logamente que x ��A� B�� Por lotanto� ��A�� ��B� � ��A �B� �

Teorema ��� A B �� A � �B

Prueba� Sea x A� queremos probar que x �B� Por denici�n de �B setiene que x �B � ��C��x C � C B�� Por lo tanto queremos probar que��C��x C � C B�� Como por hip�tesis �x A � A B�� tenemos que� enefecto� existe C tal que �x C �C B� y por consiguiente x �B� concluimosque A � �B� si A B� �

Teorema ��� A � B �� �A � �B

Teorema �� ��A��A B � A � C� �� �B � C

Teorema �� ��A��A B � A �C � � �� ��B��C �

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��� FAMILIAS DE CONJUNTOS �

De�nici�n ���� Dado un conjunto A la intersecci�n de A es el conjunto cuyoselementos son los elementos que est�n en todos los elementos de A

�A � fx ��B��B A� x B�gTeorema ��� �De�nici�n Alternativa�

x �A�� ��B��B A� x B� � ��B��B A�

Ejemplo ��� Si A � ffag� fa� bgg� entonces �A � fagSi A � ff� ag� ffag� fg� gg� entonces �A � fgTeorema �� � � Prueba� Como el conjunto vac�o es �nico� basta probar que � � �x��x ��� Porreducci�n al absurdo� si x �� se tiene que ��B��B � x B�� ��B��B � pero esto es falso pues ��B��B � �� Luego se tiene que ��x��x � �� y porconsiguiente � � �

Teorema ��� �fg � Prueba� Basta probar que ��x��x � �fg�� x �fg implica que ��B��B fg � x B�� ��B��b fg�� pero esto es falso pues fg �� x � Por lotanto� � � �x��x �fg� �

Teorema ��� �fAg � A

Teorema ��� �fA�Bg � A �BTeorema ��� A B �� �B � A

Teorema ��� A B �A � C �� �B � C

Teorema ��� A � B � ��C��C A� �� �B � �ATeorema �� ��C��C A�� ��D��D B� �� ��A �B� � ��A�� ��B�

Prueba� Por doble contenci�n� ��� Sea x ��A �B�� por denici�n de � setiene que ��M��M A�B � x M�� ��M��M A�B�� esto es� x pertenecea todos los elementos de A�B y A�B no es vac�o� En consecuencia x pertenecea todos los elementos de A y a todos los elementos de B� Adem�s� como porhip�tesis� tanto A como B son no vac�os se tiene que x �A y x �B� Luego�x ��A�� ��B����� Sea x ��A� � ��B�� por denici�n de � se tiene que x �A � x �B�Por lo tanto� x pertenece a cada uno de los elementos de A y x pertenece a cadauno de los elementos de B y adem�s� A y B son no vac�os� Concluimos quex pertenece a cada uno de los elementos de A � B y A � B es no vac�o� y enconsecuencia x ��A� B�� �

Teorema �� A B �A �C � �� ��B�� C � Teorema ��� �A � �A

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�� CAP�TULO �� TEOR�A DE CONJUNTOS

�� Conjunto Potencia

Axioma �� �Conjunto Potencia� Dado un conjunto A existe un conjuntocuyos elementos son los subconjuntos del conjunto A

��B���C��C B � C � A�

De�nici�n ��� �Conjunto Potencia o de Partes� Dado un conjunto A�se dene el conjunto potencia de A� P�A�� como el conjunto cuyos elementosson los subconjuntos de A

P�A� � fB B � Ag

Teorema ��� �De�nici�n Alternativa� B P�A��� B � A

Teorema ��� P�A�

Teorema ��� A P�A�

Teorema ���� P�� � fg

Prueba� DC� Si x fg� se tiene que x � y como � tenemos quex P��� Luego� fg � P��� Adem�s� si x P�� se tiene que x � y porteorema el �nico subconjunto del conjunto vac�o es el conjunto vac�o� Por lotanto� P�� � fg

Teorema ���� PP�� � f� fgg

Teorema ���� A � B �� P�A� � P�B�

Prueba� Sea x P�A�� queremos probar que x P�B�� Como x P�A��x � A se tiene que x � A y como por hip�tesis A � B� por transitividad de �se tiene que x � B� y por consiguiente x P�B� �

Teorema ��� P�A�� P�B� � P�A�B�

Prueba� Sea x P�A��P�B�� por denici�n de uni�n x P�A�� x P�B��Si x P�A� tenemos que x � A� por lo tanto x � A � B y por consiguientex P�A � B�� Si x P�B�� se tiene que x � B y por lo tanto x � A � B locual implica que x P�A �B�� Luego� P�A�� P�B� � P�A� B� QED �

Teorema ��� P�A�� P�B� � P�A�B�

Teorema ���� P�A� B� � �P�A��P�B��� fg

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���� AXIOMA DE FUNDAMENTACI�N ��

Prueba� Sea x P�A � B�� en base a al denici�n de conjunto potenciatenemos que x � A � B� esto es� todo elemento de x es elemento de A � B�lo cual signica que todo elemento de x es elemento de A y no es elemento deB� Consideremos dos casos� si x � y si x �� � si x � tenemos que x fgy por lo tanto x �P�A� � P�B�� � fg� si x �� tenemos que x es subcon�junto de A y no lo es de B� por lo tanto x P�A� � P�B� y en consecuenciax �P�A�� P�B��� fg� �

�� Axioma de Fundamentaci�n

Para evitar situaciones no intuitivas que se podr�an presentar con la noci�n depertenencia como son A A� A B � B A� A B � B C � C A� etc��etc� se presenta el siguiente axioma�

Axioma ��� �De Fundamentaci�n� Todo conjunto no vac�o A tiene unelemento x tal que ninguno de sus elementos pertenece a A

A �� �� ��x��x A � ��y��y x� y � A��

Teorema ���� A � A

Prueba� Por absurdo� supongamos que A es un conjunto tal que A A� Setiene que A fAg y por lo tanto fAg �� � Luego� por el axioma de regulari�dad� se tiene que ��x��x fAg���y��y x � y � fAg��� Pero como fAg esun singlet�n el �nico x que podr�a satisfacer la primera cl�usula del � es A� ypor lo tanto tendr�amos por la segunda cl�usula que ��y��y A � y � fAg��Como por hip�tesis� A A se tiene que A � fAg� lo cual es una contradicci�n�luego A A �

Teorema ���� ��A B �B A�

Prueba� Supongamos por absurdo que A B � B A� Como fA�Bg �� por el axioma de fundamentaci�n se tiene que ��x��x fA�Bg � ��y��y x�y � fA�Bg�� Seg�n esta proposici�n uno de los elementos de fA�Bg es tal queninguno de sus elementos pertenece a fA�Bg� Como fA�Bg es un par� dichoelemento es A o es B� Si es A� tenemos una contradicci�n pues uno de suselemento � a saber� B pertenece a fA�Bg� y si dicho elemento es B tenemos denuevo una contradicci�n pues A es uno de sus elementos y pertenece a fA�Bg�Luego� es falso que A B �B A� �

El siguiente teorema se deja como ejercicio�

Teorema ���� ��A B �B C �C A�

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�� CAP�TULO �� TEOR�A DE CONJUNTOS

Resumen de Axiomas

Hasta los momentos se han presentado los siguientes axiomasAxioma de Conjunto Vac�o ��A���x��x A�Axioma de Extensi�n ��x��x A� x B� �� A � BAxioma de Separaci�n ��B���x��x B � x A� P �x��Axioma de Apareamiento ��A���z��z A� z � x � z � y�Axioma de Uni�n��C���x��x C � ��B��x B � B A�Axioma de Conjunto Potencia ��B���C��C B � C � A�Axioma de Fundamentaci�n A �� �� ��x��x A � ��y��y x� y � A��

��� Grafos

De�nici�n ��� �Grafo� Dado un conjunto V � un grafo sobre V es un parordenado hV� P i donde P es un conjunto de parejas de V �

Cada grafo sobre un conjuntoA se puede representar por un gr�co que contengatodos los elementos de A y una l�nea entre los elementos x y z si el par fx� zg per�tenece al grafo� Por ejemplo� si A � fa� b� c� dg los grafos ffa� bg� fa� dg� fc� dggffa� bg� fd� cg� fb� dg� fa� cgg� ffa� bg� fa� dg� fa� cgg y ffa� dg� fb� cgg se represen�tan como se muestra en la gura siguiente�

a b

d c

a b

d c

a b

d c

a b

d c

Figura ��� Algunos Grafos de fa� b� c� dg

�Alerta rojo� Se de�nir� en el pr�ximo cap�tulo� Es formalmente un conjunto con doselementos a saber ha� bi � ffag�fa� bgg� Sin embargo s�lo necesitamos en este momento quequede claro que es un conjunto que consta de dos conjuntos

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�� � EJERCICIOS RESUELTOS ��

��� Ejercicios Resueltos

Ejercicio Resuelto ��� A B �� A � B � ��x��x B � x � A�

Respuesta� Probaremos las dos implicaciones� ��� Queremos ver que A �B���x��x B�x � A�� como por hip�tesis A B tenemos que A � B�A �� B�por lo tanto nos falta ver solamente que ��x��x B �x � A�� Si ��x��x B �x A� tendr�amos que B � A y en base al teorema de doble contenci�n ten�dr�amos que A � B lo cual ser�a una contradicci�n pues por hip�tesis A �� B�Luego� existe x tal que la proposici�n �x B � x A� es falsa� esto es���x��x B � x � A����� Si ��x��x B � x � A� se tiene que A �� B pues dos conjuntos son igua�les ssi tienen los mismo elementos� y como adem�s A � B se tiene que A B� �

Ejercicio Resuelto ��� A B �B C �� A C

Respuesta� Para probar que A C debemos probar que A � C y que��x��x C � x � A�� Sea x A� como por hip�tesis tenemos que A B setiene que x B y como tambi�n por hip�tesis B C concluimos que x C�luego A � C� Como B C se tiene que ��z��z C � z � B�� dicho z no puedepertenecer a A� pues si perteneciera a A� dado que A B tendr�amos que z Blo cual contradir�a que z � B� Luego� ��x��x C � x � A� �

Ejercicio Resuelto �� Demuestre que �A�B��C � A��B�C�

Respuesta� Por doble contenci�n� ��� Sea x �A�B��C� debo probar quex A��B�C�� Como x �A�B��C se tiene que x pertenece a �A�B��C oa C � �A�B�� Por casos si x �A�B��C se tiene que x �A�B�� x � C oequivalentemente que x �A� B�� �B � A�� x � C� Por casos si x A�Bse tiene que x A � x � B � x � C por lo tanto x � B � C y x � C � B locual implica que x � B�C y que x A � �B�C� que a su vez implica quex A��B�C�� si x B � A se se tiene que x � A � x B � x � C y porlo tanto que x B � C y como consecuencia x B�C� lo que implica quex �B�C� � A y por consiguiente que x A��B�C�� Si x C � �A�B�se tiene que x C y x � �A�B� y en consecuencia x � �A � B� � �B � A��Luego� usando el tercero excluido� consideremos dos casos� x A y x � A� Six A se tiene que x B porque de lo contrario tendr�amos que x A�B� Y six A�x B�x C se tiene que x � �B�C� y en consecuencia x A��B�C�lo que implica que x A��B�C�� Si x � A se tiene que x � B porque de locontrario tendr�amos que x B � A� Luego� x C � x � A � x � B lo queimplica que x C � �A�B� y por consiguiente en A��B�C����� Afortunadamente esta contenci�n es an�loga� �

Ejercicio Resuelto �� Demuestre que �fA�B�Cg � A �B �C

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�� CAP�TULO �� TEOR�A DE CONJUNTOS

Respuesta� Por doble contenci�n� ��� Sea x �fA�B�Cg� por denici�n de� se tiene que x pertenece a cada uno de los elementos de fA�B�Cg� esto es�x A � x B � x C y por lo tanto x A �B �C���� Sea x A�B�C� se tiene� por denici�n de �� que x A�x B �x Cy por lo tanto que x pertenece a cada uno de los elementos de fA�B�Cg y co�mo adem�s fA�B�Cg es no vac�o pues A es uno de sus elementos se tiene quex �fA�B�Cg� �

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����� EJERCICIOS ��

��� Ejercicios

�� En cada uno de los siguientes conjuntos Ai indicar si x Ai y si x � Ai�

�a� A� � ffxg� xg �b� A� � ffxg� yg �c� A� � fxg � �d� A� � x �e� A� � fxg � x �f� A� � fxg � fg

�� Si A es el conjuntos de los estudiantes que practican atletismo� C el con�junto de los que practican ciclismo y N el conjunto de los que practicannataci�n� represente mediante diagramas de Venn y por medio de las ope�raciones b�sicas de conjuntos los siguientes conjuntos

�i� Los que practican al menos dos de los tres deportes�

�ii� Los que practican exactamente dos de los tres�

�iii� Los que practican solamente un deporte�

�iv� Practican s�lo nataci�n o s�lo atletismo y ciclismo�

� Escriba una o varias expresiones de los conjuntos representados en lossiguientes diagramas de Venn en base a las operaciones de conjunto�

A B

C

�v��

A B

C

�v��

A B

C

�v��

A B

C

�v �

A B

C

�v��

A B

C

�v��

�� Demuestre que

�i� A A �B �� A � B

�ii� A �B � B �� A � B

�� Si se dene la diferencia sim�trica de dos conjuntos A y B como

A�B � �A�B� � �B �A�

demuestre que

�i� A�B � �A� B�� �A�B�

�ii� A�C � B�C �� A � B

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�� CAP�TULO �� TEOR�A DE CONJUNTOS

�iii� A � �B�C� � �A�B���A�C��iv� A � B �� A�B �

�� Demuestre que

�i� A �B � �A�B� �B � �A�B� �B � �ii� A� �B � C� � �A�B� � �A� C�

�iii� A � B �� C � B � C �A

�� Demuestre que

�i� A � B �B C �� A C

�ii� A � C �B C �� A �B C

�iii� A �B C �D E �� �A�B� �D C �E

�� Demuestre que A � B �� A � �B � A� � B

�� Demuestre que

�i� A B �� B � A

�ii� A � A

�iii� A � �� A � ��� Demuestre que A � B � B � A� donde X es el complemento de X con

respecto al universo del discurso�

��� Demuestre que

�i� A � � A

�ii� A � A �B�iii� A �B � A

�iv� A � C �B � C �� A �B � C

��� Demuestre que �A�B� �C � �A �C�� �B � C�� � Demuestre que

�i� �A�B� �B � �ii� A� �B � C� � �A�B� � �A� C�

��� Una partici�n� de un conjunto A es una familia de subconjunto de Adisjuntos dos a dos cuya uni�n es A� Halle el conjunto de las particionesdel conjunto A � fa� b� c� dg�

��� Demuestre que

�Se estudiaran con detalle m�s adelante

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����� EJERCICIOS ��

�i� A � B �� �A � �B�ii� A B �� �B � A

��� Demuestre que

A � B � ��C��C A� �� �B � �A

��� Demuestre que

A � B � ��D��D A �C� �� ��B �C� � ��A�C�

��� Escriba los conjuntos potencias de A � fa� b� c� dg y de B � f�� �� �� � �g��Cu�ntos elementos tienen� �Qu� puede conjeturar�

��� Demuestre que

�i� P�A�B� � P�A�� P�B�

�ii� �P�A� � A

��� Dar ejemplos que prueben la falsedad de las siguientes proposiciones

�i� P�A�B� � P�A�� P�B�

�ii� P�A��P�B� � P�A�B�

��� Use el axioma de fundamentaci�n para probar que

��A B �B C �C A�

��� Dado un conjunto A� un grafo sobre A es un par G � hA�P i donde Pes una familia de pares de elementos de A� En otras palabras� P es unelemento del conjunto de todos los subconjuntos de tama�o dos de A�elconjunto de todas las parejas no ordenadas de A�que llamaremos Partesde tama�o dos de A y lo denotaremos por P��A�� Halle todos los grafosdel conjunto A � fa� b� cg� �Cu�ntos son� Cada grafo sobre un conjuntoA se puede representar por un gr�co que contenga todos los elementosde A y una l�nea entre los elementos x y z si el par fx� zg pertenece algrafo� Por ejemplo� si A � fa� b� c� dg los grafos ffa� bg� fa� cg� fa� dgg�ffa� cg� fb� cg� fb� dgg y ffa� dg� fb� cgg se representan como se muestra enla gura siguiente�

s s s s s s

s s s s s s

a a ab b b

c c cd d d

G� G� G�

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�� CAP�TULO �� TEOR�A DE CONJUNTOS

Represente todos los grafos de A � fa� b� cg�� � �Ser� cierto que �P��A� � A para todo A� �Y �P��A� � A� De no ser

cierto enuncie una proposici�n condicional que si lo sea�

��� Demuestre que A B � P�A� P�B�

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Cap�tulo �

Relaciones Binarias

No es bastante todav�a��No basta demostrar una cosa�

hay que persuadir a los hombres o elevarlos hasta ella�

Por eso el iniciado tiene que aprender a decir su sabidur�a�

y a veces a expresarla de modo que suene a locura�

Aurora� Federico Nietzsche�

En este cap�tulo se presenta una clase especial de conjuntos que llamaremosrelaciones binarias y que son la base de casi todas las estructuras matem�ticas�para mostrar su importancia bastar�a decir que las funciones� que estudiaremosm�s adelante� son una clase particular de relaciones� Pero� sin embargo� haym�s los conjuntos ordenados se construyen con un tipo especial de relacionesque denominaremos relaciones de orden y los conjuntos num�ricos tales comolos n�meros enteros� los n�meros racionales y los n�meros reales se construyenen base a otro tipo de relaciones que llamaremos relaciones de equivalencia�Digrafos� reticulados� �lgebras de boole son todas estructuras que tienen subase en las relaciones� El �lgebra se basa en las operaciones binarias que sonun tipo de funciones que a su vez son un tipo de relaciones� En este cap�tulodeniremos y estudiaremos las propiedades b�sicas de los pares ordenados y delas relaciones que se denen como un conjunto de pares ordenados�

��� Par Ordenado

De�nici�n ��� �Par Ordenado� Dados dos elementos cualesquiera a y b sedene el par ordenado �a� b� como el conjunto cuyos elementos son el conjuntofag y el conjunto fa� bg� Esto es� �a� b� � ffag� fa� bgg� A a se le denominaprimera coordenada o componente del par y a b segunda coordenada�

N�tese que �a� b� es una familia y por lo tanto� tiene sentido hablar de suuni�n e intersecci�n� De hecho

��a� b� � �ffag� fa� bgg � fa� bg��a� b� � �ffag� fa� bgg � fag

Obs�rvese tambi�n que �a� b� ��� b� a � si a �� b� A continuaci�n se enunciandos lemas y un teorema que permiten establecer bajo qu� condiciones dos pares

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�� CAP�TULO �� RELACIONES BINARIAS

ordenados son iguales�

Lema ��� fag � fbg �� a � b

Prueba� ��� Si fag � fbg� entonces a fbg lo cual implica que a � b� ���Si a � b� entonces a fbg y por consiguiente fag � fbg y de igual manerab fag lo cual implica que fbg � fag� Luego� por doble contenci�n se tiene quefag � fbg� �Recuerde que x fag � x � a� �

Lema ��� fa� bg � fc� dg �� �a � c � b � d� � �a � d � b � c�

Teorema �� �a� b� �� c� d �� a � c � b � d

Prueba� ��� Por casos� si a � b y si a �� b� Si a � b se tiene que�a� b� � ffag� fa� bgg � ffag� fa� agg � ffag� fagg � ffagg y como fc� dg �c� d� � �a� b� se tiene que fc� dg � fag y por consiguiente c � a � d � ade donde concluimos que a � c � b � d� Si a �� b Como fcg �c� d� y�c� d� � �a� b� tenemos que fcg � a� b �� ffag� fa� bgg� luego fcg � fago fcg � fa� bg� Pero fcg �� fa� bg� porque si fcg � fa� bg se tendr�a quea�c�b lo cual contradice la hip�tesis a �� b� En consecuencia� se tiene quefcg � fag de donde se deduce que a � c� Ahora bien� como a � c tenemos que�c� d� � �a� d� � ffag� fa� dgg y como fa� bg �c� d� entonces fa� bg � fago fa� bg � fa� dg� Dado que fa� bg � fag no puede cumplirse porque se tendr�aa � b concluimos que fa� bg � fa� dg y aqu� concluimos que b � d� QED��� Como a � c implica que fag � fcg y como a � c � b � d impli�ca que fa� bg � fc� dg se tiene por sustituci�n que �a� b� � ffag� fa� bgg �ffcg� fc� dgg � �c� d� �

��� Producto Cartesiano

De�nici�n ��� �Producto Cartesiano� Dados dos conjuntos A y B se de�ne el producto cartesiano de A por B como el conjunto de todos los paresordenados cuya primera componente pertenece a A y cuya segunda componentepertenece a B� Esto es�

A�B � f�a� b� a A � b Bg

El siguiente teorema establece bajo qu� condiciones el producto cartesiano dedos conjuntos es el conjunto vac�o�

Teorema �� A�B � � A � �B � Prueba� ��� �NECESIDAD� Supongamos que A � B � pero que A �� �B �� �que p pudiera ocurrir sin necesidad de que q ocurra� Como A �� y B �� tenemos que ��y��y A�� ��z��z B�� y por lo tanto �y � z� A�B�

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���� PRODUCTO CARTESIANO ��

lo cual contradice la hip�tesis� Por consiguiente� si A � B � se tiene queA � �B � ��� �SUFICIENCIA� Como por hip�tesis A � �B � tenemos dos casos�a saber si A � y si B � � Si A � � entonces � � �x��x A� y en conse�cuencia es falso que ��y���z��y A � z B � x � hy� zi� y por consiguiente�� �x��x A�B�� Luego� A� B � � Similar si B � � �

Ejercicio ��� Si P � fA�B�Cg y Q � fA�Dg halle P �Q y Q� P �

El ejercicio anterior muestra que el producto cartesiano no es conmutativoy el pr�ximo teorema establece las condiciones necesarias y sucientes para quedos conjuntos A y B conmuten mediante producto cartesiano�

Teorema ��� A�B � B �A� �A � �B � � A � B�

Prueba� ��� Necesidad!� Supongamos que la tesis es falsa� esto es� A �� � B �� � A �� B� Como A �� B� existe un x tal que x A � x � B o bienx � A � x B� Por casos si x A � x � B� como B �� tomando y Btenemos que �x � y� A � B� pero �x � y� � B � A porque x � B� entoncesser�a falso que A�B � B �A� El otro caso conduce a la misma contradicci�n���� Suciencia!� Si A � � B � tenemos por el teorema anterior queA�B � � B �A y si A � B tenemos que A� B � A�A � B �A� �

A continuaci�n se dan algunas propiedades b�sicas del producto cartesiano�Veamos primero un teorema y un ejercicio que tiene que ver con subconjuntos�

Teorema �� A �� � A� B � A� C �� B � C

Prueba� Consideremos dos casos� a saber Si B � se cumple que B � Cpues es subconjunto de cualquier conjunto� Si B �� � sea y B y sea x A�existen porque B �� �A �� �� por denici�n �x � y� A�B y en consecuen�cia� como por hip�tesis A � B � A � C� se tiene que �x � y� A � C lo cualimplica que y C� Luego� B � C� �

Los pr�ximos teoremas se dejan como ejercicio el primero de ellos estableceque el producto cartesiano preserva inclusi�n y los dos siguientes muestran ladistributividad del producto cartesiano respecto a la uni�n y a la intersecci�n�

Teorema ��� B � C �� A�B � A� C

Teorema ��� A� �B �C� � �A� B�� �A�C�

Teorema ��� A� �B �C� � �A� B�� �A�C�

Tambi�n hay distributividad del producto cartesiano con respecto a la diferenciade conjuntos�

Teorema ���� A� �B �C� � �A� B�� �A�C�

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�� CAP�TULO �� RELACIONES BINARIAS

Prueba� Por doble contenci�n� ��� Sea x A � �B � C�� tenemos quex � �y � z� con y A y z B � C� esto es� z B � z � C� Luego��y � z� A�B��y � z� � A�C y por consiguiente �y � z� �A�B���A�C��QED

��� Sea x �A�B���A�C�� entonces x A�B y x � A�C� Como x A�Bse tiene que x � �y � z� con y A y z B y como x � A � C tenemos quez � C� Luego� como y A�z B�C� tenemos que x � �y � z� A� �B�C��esto es� x A� �B � C�� QED �

��� Relaciones Binarias

De�nici�n �� �Relaci�n� Una relaci�n R es un conjunto de pares ordena�dos� simb�licamente se puede expresar como�

A es una relaci�n � ��x��x A� ��y���z��x � �y � z��� �

Para indicar que un par pertenece a una relaci�n se acostumbra usar la sim�bolog�a xRy en lugar de �x � y� R��

La clase de las relaciones incluye al conjunto vac�o� es cerrada bajo las ope�raciones de uni�n� intersecci�n y diferencia y adem�s todo subconjunto de unarelaci�n es una relaci�n� Todo �sto se formaliza mediante los siguientes teoremastodos ellos de f�cil demostraci�n�

Teorema ���� � es una relaci�n�

Teorema ���� Si R y S son relaciones� entonces R � S� R � S� y R � S sontambi�n relaciones�

Teorema ��� Todo subconjunto de una relaci�n� es una relaci�n�

Ejercicio ��� Demostrar los tres teoremas anteriores�

A continuaci�n deniremos tres conjuntos��que no tienen que ser relaciones�yque son los conjuntos de donde sacan sus coordenadas los pares de una relaci�n�

De�nici�n �� �Dominio� El dominio de una relaci�n R es el conjunto delas primeras coordenadas de los pares de la relaci�n�

DR � fx ��y��xRy�gDe�nici�n ��� �Recorrido� El recorrido de una relaci�n R es el conjunto delas segundas coordenadas de los pares de la relaci�n�

RR � fy ��x��xRy�g�Alerta� Mucha gente usa par�ntesis �x� y� para denotar a los pares ordenados� en este

texto usaremos �x � y�

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���� RELACIONES BINARIAS ��

Al recorrido de una relaci�n tambi�n se le denomina contra dominio� codominioo dominio converso�

De�nici�n �� �Campo� El campo de una relaci�n R es el conjunto de lasprimeras y segundas coordenadas de los pares de la relaci�n�

FR � DR � RR

Teorema ��� Dadas dos relaciones R y S se cumple quea D�R � S � � D�R��D�S �b D�R � S � � D�R��D�S �c D�R��D�S � � D�R � S�

Prueba� Demostraremos �c� y dejaremos las pruebas de �a� y �b� como ejerci�cio� Si x pertenece a D�R�� D�S�� se tiene que x D�R�� x � D�S�� luego laprimera parte de esta conjunci�n asegura la existencia de a tal que �x � a� R�sea y tal que �x � y� R� armo que �x � y� � S porque si �x � y� S se tieneque x D�S� lo cual es una contradicci�n con la segunda parte de la conjunci�n�Luego� se concluye que �x � y� R�S y por consiguiente x D�R�S�QED �

El recorrido de una relaci�n satisface propiedades an�logas a las denidas en elteorema anterior� Se deja como ejercicio establecer el teorema correspondientey probarlo�

De�nici�n ��� �Relaci�n de A en B� Una relaci�n binaria de A en Bes un subconjunto del producto cartesiano A� B� Esto es

R es de A en B � R � A� B

En particular A � B es una relaci�n binaria de A en B� Tambi�n el conjuntovac�o es una relaci�n binaria de A en B�

Si una relaci�n binaria R es de A en A se dice que R es sobre A� Paralas relaciones de A en B y las relaciones sobre A se denen los siguientes dosconceptos�

De�nici�n ��� �Dominio y Codominio de De�nici�n� Se denomina do�minio de de�nici�n de una relaci�n binaria de un conjunto A en un conjuntoB al conjunto A y se denomina codominio de de�nici�n al conjunto B�Cuando haga falta se denotar�n por dom�R� y por cod�R� respectivamente�

De�nici�n ��� �Grafo Dirigido� Un grafo dirigido o digrafo es un par or�denado hV�Ai tal que V es un conjunto denominado conjunto de v�rtices y Aes una relaci�n sobre V que se denomina conjunto de arcos�

Si hV�Ai es un digrafo y V � � entonces A � � Si hV�Ai es un digrafo yv V diremos que v est� aislado ssi no existe v� V distinto de v y tal que�v � v �� A o �v �� v� A y diremos que no tiene bucles ssi A es irre�exiva�

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�� CAP�TULO �� RELACIONES BINARIAS

De�nici�n ���� �Conversa de un Conjunto� Se dene la conversa de unconjunto A como el conjunto cuyos elementos son los pares que resulten deinvertir las coordenadas de los pares de A� Esto es� x bA si y s�lo si existeny� z tales que x � �y � z� y �z � y� A�

N�tese que denimos la conversa de un conjunto y no de una relaci�n� por lotanto� si el conjunto en cuesti�n no tiene pares ordenados la relaci�n conversaes la relaci�n vac�a� El conjunto original no tiene que ser una relaci�n� pero laconversa si es una relaci�n� Usaremos el s�mbolo bA para denotar a la conversadel conjunto A� Resulta que la conversa de A es una relaci�n aun cuando A nosea una relaci�n� y que la conversa de la conversa de A es subconjunto de Ay si A es ya una relaci�n se obtiene al igualdad� Adem�s� las tres operacionesb�sicas de conjuntos conmutan con la operaci�n de tomar conversa� todo estose formaliza en los siguientes teoremas�

Teorema ���� bR es una relaci�n�

Teorema ��� bbA � A�

Teorema ���� �A �B � bA � bB�

Teorema ���� �A �B � bA � bB�

Teorema ���� �A�B � bA� bB�

Teorema ���� Si R es una relaci�n� entoncesbbR � R�

A continuaci�n se presentan otras deniciones importantes para la manipulaci�nde relaciones�

De�nici�n ���� �Imagen de un Conjunto� Dada una relaci�n binaria R�de A en B y un conjunto S� se dene la imagen de S mediante R comoel conjunto de las segundas coordenadas de elementos de R que tienen comoprimera coordenada un elemento de S�

Img�S �R� � fb ��a S���a� b� R�g �

Tal vez es preferible usar la notaci�n R�S� en lugar de Img�S �R��

Obs�rvese que la imagen de un conjunto no es necesariamente una relaci�n� loes s�lo si todas las segundas coordenadas de elementos de R cuyas primerascoordenadas est�n en S son pares ordenados� De manera an�loga se dene lapreimagen de un conjunto�

De�nici�n ���� �Preimagen de un Conjunto� Dada una relaci�n binariaR �de A en B y un conjunto S se dene la preimagen de S mediante Rcomo el conjunto de las primeras coordenadas de elementos de R que tienencomo segunda coordenada un elemento de S�

Pim�S �R� � fa ��b S���a� b� R�g �

En ocasiones es preferible usar la notaci�n R���S� en lugar de Pim�S �R��

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��� PRODUCTO DE RELACIONES ��

De�nici�n ��� �Restricciones� Para denotar al subconjunto de R cuyasprimeras coordenadas est�n en el conjunto C se usar� la siguiente notaci�nRjizq�C�� Esto es

Rjizq�C� � f�a� b� R a CgY para denotar al subconjunto de R cuyas segundas coordenadas est�n en elconjunto C se usar� la siguiente notaci�n Rjder�C�� Esto es

Rjder�C� � f�a� b� R b CgNota� La restricci�n izquierda� que es la que aparece con mayor frecuencia� sesuele denotar por RjC � esto es� RjC � Rjizq�C��N�tese que estos conjuntos son relaciones�

��� Producto de Relaciones

De�nici�n ��� �Producto de Relaciones� Si R y S son relaciones� se de�ne el producto de relaciones RS o R �S como el conjunto cuyos elementos sonlos pares �x � y� tales que existe un z tal que xRz y zSy�

RS � f�x � y� ��z��xRz � zSy�gEsto tambi�n se puede escribir como R � S � f�x � y� ��z���x � z� r ��z � y� S�g�Ejemplo ��� Si R � f�� � ����� � ����� � ����� � ����� � ���� � � ��g y S �f�� � ����� � ����� � ����� � ����� � ����� � ��g� entonces se tiene que R �S � f�� � ����� � ����� � ����� � ����� � ��g

A continuaci�n se muestran varios teoremas relacionados con la denici�nde producto de relaciones� El primero de ellos establece que el producto de dosrelaciones es de nuevo una relaci�n� El segundo arma que la relaci�n vac�aes un elemento absorvente� El tercero da una caracteristica del dominio delproducto� Se invita al lector a escribir una relaci�n an�loga para el recorrido�

Teorema ���� A �B es una relaci�n�

Teorema ���� � A �

Teorema ��� D�A � B� � D�A�Teorema ��� A � B � C � D � A � C � B �DPrueba� Si x D�A � B�� en base a la denici�n de dominio� existe u talque �x �u� A � B y� en base a la denici�n de producto� existe w tal que�x �w� A y �w �u� B� Por consiguiente� usando de nuevo la denici�n dedominio� x D�A�� �

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� CAP�TULO �� RELACIONES BINARIAS

El producto de relaciones no es conmutativo� es asociativo y distributivo conrespecto a la uni�n pero no es distributivo con respecto a la intersecci�n ni ala diferencia� Esto se formaliza en los siguientes teoremas algunos de los cualesquedan como ejercicio�

Teorema ���� A � �B � C� � �A �B� � C�Teorema ��� A � �B �C� � �A � B� � �A � C��Teorema ���� A � �B �C� � �A � B� � �A � C��Teorema ���� �A � B�� �A � C� � A � �B �C��

Ejercicio �� Muestre que no se pueden sustituir las contenciones de los teo�remas ���� y ���� por igualdades�

El producto de relaciones no conmuta con la operaci�n de tomar conversa�sin embargo� se tiene el siguiente resultado�

Teorema ���� �A �B � bB � bA�Ejercicio �� Muestre un ejemplo que ponga en evidencia que la expresi�n�A � B � bA � bB no es cierta para todo par de conjuntos A y B�

De�nici�n ���� �Relaci�n Identidad de A� Dado un conjunto A se denela relaci�n Identidad de A como

IdA� � f�x � x� x AgHay una serie de propiedades interesantes que pueden o no satisfacer en

conjunto los elementos de una relaci�n� Estas propiedades permiten clasicar alas relaciones en base a dichas propiedades Las presentaremos en la pr�ximasecci�n�

Tipos de relaciones

Re�exividad

Una relaci�n R se llama re�exiva en A si para todo elemento a de A� el par�a� a� pertenece a la relaci�n� esto es

R es re�exiva en A�� �a A��a� a� R

�Irre�exividad

Una relaci�n R se llama irre�exiva en A si para todo elemento a de A� el par�a� a� no pertenece a la relaci�n�

R es irre�exiva en A�� �a A��a� a� � R

��Cuando quede claro usaremos I en lugar de IdA �

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��� PRODUCTO DE RELACIONES �

Simetr�a

Una relaci�n R se llama sim�trica en A si para todo par de elementos a� b deA� se tiene que si el par �a� b� pertenece a la relaci�n� entonces tambi�n el par�b� a� pertenece a la relaci�n� esto es

R es sim�trica en A�� �a� b A��a� b� R� �b� a� R

�Asimetr�a

Una relaci�n R se llama asim�trica en A si para todo par de elementos a� b deA� se tiene que si el par �a� b� pertenece a la relaci�n� entonces el par �b� a�no pertenece a la relaci�n� esto es

R es asim�trica en A�� �a� b A��a� b� R� �b� a� � R

�Antisimetr�a

Una relaci�n R se llama antisim�trica en A si para todo a� b A� si el par�a� b� y el par �b� a� pertenecen a la relaci�n� entonces a � b�

R es antisim�trica en A�� ��a� b A��aRb � bRa� a � b�

Transitividad

Una relaci�n R se llama transitiva en A si para toda terna a� b� c A se tieneque si �a� b� R y �b� c� R� entonces �a� c� R� esto es

R es transitiva en A�� ��a� b� c A��aRb � bRc� aRc�

Conectividad

Se dice que la relaci�n R es conexa en A si todo par de elementos x� y distintosde A est�n relacionados mediante R� esto es

R es conexa en A� ��x���y��x� y A � x �� y � xRy � yRx�

Conectividad Fuerte

Se dice que la relaci�n R es fuertemente conexa en A si todo par de elementosx� y de A est�n relacionados mediante R� esto es

R es fuertemente conexa en A� ��x���y��x� y A� xRy � yRx�

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� CAP�TULO �� RELACIONES BINARIAS

����� Generalizaci�n

Para nalizar este cap�tulo presentaremos una generalizaci�n del concepto depar ordenado� En la secci�n ��� se deni� el par �a� b� como el conjuntoffag� fa� bgg y demostramos que dos pares son iguales si y s�lo si tienen lasmismas coordenadas� Una denici�n similar de terna no nos permitir�a de�mostrar un teorema an�logo� Aclaratoria si se deniese � a� b� c � comoffag� fa� bg� fa� b� cgg se tendr�a que� por ejemplo� que � �� �� � ��� �� �� � � ysin embargo� sus segundas coordenadas no son iguales �Chequearlo�� Daremosuna denici�n de terna ordenada basada en la denici�n de par�

De�nici�n ��� �Terna Ordenada� Dados tres elementos cualquiera a� b� cse dene la terna ordenada � a� b� c � como el par ordenado �� a� b �� c ��

Tambi�n deniremos a continuaci�n el concepto de n�tupla o n�ada como lodenominan algunos autores�

De�nici�n ���� �k�tupla� Dados k�� elementos cualesquiera a�� a�� � � � � ak� ak��

se dene la �k � ���tupla � a�� a�� � � � � ak� ak�� � como el par ordenado ��a�� � � � � ak �� ak�� ��

Una consecuencia casi inmediata de esta denici�n es el siguiente teorema� quese deja como ejercicio�

Teorema ��� Dos k�tuplas � a�� � � � � ak � y � b�� � � � � bk � son iguales si ys�lo si a� � b�� � � � � ak � bk�

Para generalizar la denici�n de producto cartesiano se da a continuaci�n lasiguiente denici�n

De�nici�n ���� Dados los conjuntos A�� A�� � � � � Ak� no necesariamente dis�tintos� se dene su producto cartesiano como el conjunto cuyos elementos sonlas k�tuplas � a�� � � � � ak � tales que a� A�� � � � � ak Ak� Simb�licamente

�ki��Ai � A� �A� � � � � � Ak � f� a�� � � � � ak � ai Aig

En caso de que todos los Ai sean iguales a un conjunto A se representa por An

Daremos a continuaci�n la denici�n de matriz�

De�nici�n ���� �Matriz� Una matriz de m � n es una m�tupla en la quecada una de sus coordenadas es una n�tupla�Un ejemplo de una matriz de �� � es la siguiente ��tupla

�� a��� a��� a�� ��� a��� a��� a�� ��

observe que cada una de sus coordenadas es una ��tupla� Por comodidad seexpresan las dos ��tuplas en una la distinta

�� a��� a��� a�� ��� a��� a��� a�� ��

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��� GRAFOS Y DIGRAFOS

y por conveniencia se usa la siguiente notaci�n�a�� a�� a��a�� a�� a��

�donde se omiten los separadores y se sustituyen los corchetes angulares por unpar de par�ntesis�

a cada aij se le denomina entrada de la matriz y a la matriz se le representapor �aij ��

La denici�n que usualmente se da de matriz dice que una matriz es unarreglo de n�meros en las y columnas� En nuestra denici�n� al igual quetodos los objetos que hemos denido� una matriz es un conjunto y sus entradasson m�s generales pues son a su vez conjuntos que� en particular� pueden sern�meros�

Cuando todas las entradas de una matriz M de m�n pertenecen a un ciertoconjunto A� se dice que M es una matriz con entradas en A y al conjunto detales matrices se representa por Mm�n�A�� Si una matriz es de n�n se dice quees una matriz cuadrada y al conjunto de las matrices de n�n sobre el conjuntoA se le denota por Mn�A��

��� Grafos y Digrafos

De�nici�n ���� �Digrafo� Un digrafo o grafo dirigido es un par hV�Ri dondeV es un conjunto y R es una relaci�n sobre V � a V se le denomina el conjuntode v�rtices del grafo y a R se le denomina conjunto de arcos del grafo�

N�tese que siempre que tengamos una relaci�n R sobre un conjunto V auto�m�ticamente tenemos un grafo �nico formado por dicho par hV�Ri� A este grafolo denominamos el grafo asociado a la relaci�n� El nombre de grafo provie�ne de que en muchas ocasiones conviene representar gr�camente a la relaci�ncomo un conjunto de puntos �los v�rtices� unidos por �echas de tal forma quehaya una �echa de a a b si y s�lo si aRb�

De�nici�n ���� �Matriz de Adyacencias� Dada una relaci�n binaria sobreun conjunto A � �n� � f�� �� �� � � � � ng denimos la matriz de adyacencias delgrafo asociado a la relaci�n como la matriz cuadrada �mij � de n � n tal que

mij �

��� si �i � j� R� si �i � j� � R�

Por ejemplo� la matriz de adyacencias de la relaci�nR � f�� � ����� � ����� � ����� � ����� � ����� � ����� � ����� � ����� � ���

�Se restringe en este momento la de�nici�n al conjunto A porque no hemos dado la de�nici�n de conjunto �nito�

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� CAP�TULO �� RELACIONES BINARIAS

�� � ��g sobre el conjunto ��� es�BBB�� � � � � � � �� �

�CCCA�Ser� la relaci�n anterior re�exiva� sim�trica� transitiva� �C�mo se ve esto enla matriz�

De�nici�n ���� �Grafo� Un grafo es un par ordenado hV�Ai donde V es unconjunto que denominaremos el conjunto de v�rtices y A es un conjunto de paresno ordenados del conjunto A�

Si representamos al conjunto de los subconjuntos de tama�o dos del conjuntoV por P��V � se tiene que un grafo es un par hV�Ai donde A es un subconjuntode P��V ��

�� Ejemplos de Relaciones

En esta secci�n mencionaremos brevemente los tres tipos de relaciones m�simportantes� Cada una de ellas se tratar� en un cap�tulo por separado� perocomo las funciones se estudiar�n en un cap�tulo muy tard�o presentaremos sudenici�n y algunos de los tipos de funci�n�

Funciones

De�nici�n ��� �Funci�n� Dados dos conjuntos A y B una funci�n f de Aen B es una relaci�n binaria de A en B �un subconjunto de A�B que cumplelas siguientes condiciones

�a ��a A���b B���a� b� f�

�b ��a A���b� b� B���a� b� f� � a� b� � f � b � b��

Si los conjuntos A y B coinciden decimos que f es una funci�n sobre A� Alconjunto de las funciones de A en B lo denotaremos por BA�

De�nici�n ��� Sea f una funci�n de A en B� esto es� f A � B� se diceque

�a� f es inyectiva ssi f�a� � f�b� implica que a � b� o equivalentemente sia �� b implica que f�a� �� f�b�

�b� f es sobreyectiva ssi para todo b B existe a A tal que f�a� � b� oequivalentemente si f�A� � B�

�c� f es biyectiva ssi es inyectiva y sobreyectiva�

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���� EJEMPLOS DE RELACIONES �

Relaciones de Orden

Una relaci�n de orden parcial es una relaci�n que es re�exiva� antisim�trica ytransitiva� La relaci�n � en los enteros y en los reales es una relaci�n de orden�Se estudiar�n en detalle en el pr�ximo cap�tulo�

Relaciones de Equivalencia

Una relaci�n de orden parcial es una relaci�n que es re�exiva� sim�trica y tran�sitiva� La relaci�n de equivalencia m�s conocida es la relaci�n de igualdad�Las relaciones de equivalencia sirven para denir los conjuntos num�ricos ente�ros� racionales� reales� enteros modulo n� En general permiten construir nuevosconjuntos a partir de otros� Se estudiar�n en detalle en el cap�tulo seis�

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� CAP�TULO �� RELACIONES BINARIAS

�� Ejercicios Resueltos

Ejercicio Resuelto ��� Demuestre que A � �B � C� � �A � B� � �A � C� y d�un ejemplo que ponga en evidencia que la otra contenci�n es falsa�

Respuesta� Sea u A � �B�C�� entonces u es un par digamos �x � z� y existey tal que �x � y� A � �y � z� B � C� Como �y � z� B � C se tiene que�y � z� B��y � z� C y por consiguiente que �x � z� A �B��x � z� A �Clo que signica que u �A � B� � �A � C�� Como contraejemplo para la otracontenci�n consideremos los conjuntos A � f�r � s���r �u�g� B � f�s � t�g yC � f�u� t�g� Se tiene entonces que A � B � f�r � t�g y A � C � f�r � t�g ypor lo tanto que �A �B�� �A �C� � f�r � t�g� Mientras que A � �B �C� es vac�oporque B � C � y el conjunto vac�o no tiene subconjuntos propios� �

Ejercicio Resuelto ��� Si R es una relaci�n binaria de A en B y B�� B� � B�entonces�

�i� B� � B� � R���B�� � R���B��

�ii� R���B���R���B�� � R���B� �B��

Respuesta� �i Sea x R���B��� entonces existe y B� tal que �x � y� R�y como por hip�tesis B� � B�� se tiene que y B�� lo que implica que existey B� tal que �x � y� R y por consiguiente que x pertenece a R���B����ii Sea x R���B�� � R���B��� entonces se tiene que x R���B�� y x �R���B��� Luego� como x R���B�� se tiene que existe y B� tal que �x � y� R y como x � R���B�� se tiene que no existe u B� tal que �x � u� R� Estoimplica que y no pertenece a B� y por consiguiente y B� �B� lo que signicaque x R���B� � B��� �

Ejercicio Resuelto �� Muestre una relaci�n R y un par de conjuntos B� yB� tales que la proposici�n R���B���R���B�� � R���B��B�� no se cumpla�

Respuesta� Consideremos R � f�x � y����x � y��g� B� � fy�g y B� � fy�g�Por un lado se tiene que R���B�� � fxg� R���B�� � fxg y por consiguienteR���B���R���B�� � � Y por otro se tiene que B��B� � fy�g lo que implicaque R���B� �B�� � fxg� pero fxg �� � �

Ejercicio Resuelto �� Demuestre que�A �B � bA � bB�

Respuesta� Por doble contenci�n� ��� Sea x �A� B� entonces como�A� B es una relaci�n se tiene que x � �y � z� con �z � y� A � B� Lue�go� �z � y� A � �z � y� B y por consiguiente �y � z� bA � �y � z� bB ypor lo tanto �y � z� bA � bB� ��� Sea x bA � bB� entonces x bA � x bb ypor consiguiente es un par� esto es� existen y� z tales que x � �y � z� y adem�s

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���� EJERCICIOS RESUELTOS �

�z � y� A��z � y� B� Esto implica que �z � y� A�B y por consiguiente�y � z� �A �B� �

Ejercicio Resuelto ��� Dadas dos relaciones S y T demuestre que R�S�T � �R�S��R�T � y d� un ejemplo que ponga en evidencia que la otra contenci�n noes cierta�

Respuesta� Sea y R�S�T �� entonces existe x tal que �x � y� S�T � Estosignica que �x � y� S��x � y� T y por consiguiente y R�S��y R�T � locual implica que y R�S��R�T �� Para probar R�S�T � �� R�S��R�T � consi�deremos las relaciones S � f�u� v�g y T � f�s � v�g� Se tiene que R�S� � fvgy R�T � � fvg y por consiguiente queR�S� � R�T � � fvg� Mientras que comoS � T � se tiene que R�S � T � � R�� � y fvg �� � �

Ejercicio Resuelto �� Dada una relaci�n R demuestre que si A � B� enton�ces RjA � RjB � Muestre adem�s� un ejemplo en el cual A B y sin embargoRjA � RjB �

Respuesta� Sea x RjA� entonces x � �y � z� con y A y puesto queA � B� se tiene que y B� por lo tanto� como x � �y � z� y y B� setiene que �y � z� RjB � En la segunda pregunta consideremos� por ejem�plo� A � fag� B � fa� bg y R � f�a� b���a� c���c� b�g� Se tiene queRjA � f�a� b���a� c�g y RjB � f�a� b���a� c�g� Lo que muestra que A Bpero RjA � RjB � �

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� CAP�TULO �� RELACIONES BINARIAS

��� Ejercicios

�� Demuestre que

�i� A� �B � C� � �A�B� � �A� C�

�ii� �A�B�� �C �D� � �A� C�� �B �D�

�� Use el axioma de fundamentaci�n para probar que A � A�A �� A � �Sug�� Aplique el axioma al conjunto A � ��A�

� Vericar si es cierto que

�a� ��R��R A� R � R � R� �� �A � � A � �A�b� ��R��R A� R � R � R� �� �A � � A � �A

�� Demuestre que

�a� R es antisim�trica � R � S�R � S son antisim�tricas

�b� R es transitiva � bR es transitiva

�c� R y S son transitivas � R � S es transitiva

�� Mostrar un contraejemplo de cada una de las siguientes armaciones

�a� R y S son sim�tricas � R � S es sim�trica

�b� R y S son transitivas � R � S es transitiva

�c� R y S son transitivas � R � S es transitiva

�� Demuestre que

�i� R�A�B� � R�A��R�B�

�ii� DA�DB � D�A� B�

�� Demuestre que �A �B � bA � bB�� Demostrar las siguientes proposiciones

�i� �A � B� � C � A � �B � C��ii� A � �B � C� � �A � B�� �A � C��iii� A � B �C � D �� A � C � B �D

�� Demuestre que �A�B� � �A�B� � A� B

��� Demostrar las siguientes proposiciones

�i� RjA�B � �RjA�� �RjB��ii� R�A� � �� DR � A �

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���� EJERCICIOS �

��� Demuestre que para toda relaci�n R si A�B � D�R� y A B� entoncesRjA RjB �

��� Dada la relaci�n R denida mediante el siguiente digrafo

a b c

d e f

y los conjuntos B � fa� b� c� eg� C � fa� b� c� e� fg halle

�a� Las relaciones R� R�� R� y �R� �R� sus matrices de adyacencias ysus digrafos asociados�

�b� Los conjuntos R�B� �R�C�� R���B� y R���C��

�c� Y las relaciones RjB � RjC y �R� � R�jB � sus digrafos y sus matricesde adyacencias�

� � Dada la siguiente matriz de adyacencias de la relaci�n R denida sobre elconjunto A � fa� b� c� d� eg�BBB�

� � � � � � � � � � �

�CCCA�a� Dibuje el digrafo asociado a R y halle R�

�b� Determine cR�� bR �R� y R�

�c� Si A � fa� d� eg y B � fb� c� eg determine R�A� � R���B�� RjA�Rjder�B�� R��B� y R�jder�B��

��� Se denen las relaciones R� S y T sobre el conjunto A � f�� �� �� � �� �gde la siguiente maneraR � f�� � ����� � ����� � ����� � ����� � ����� � ����� � ����� � ����� � ��g�A S y a T las denimos respectivamente con el digrafo y la matriz de ad�yacencias siguientes

� �

� � �

�BBB� � � � � � � � � �

�CCCA

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�� CAP�TULO �� RELACIONES BINARIAS

Si B � f�� �� � �g y C � f�� �� �� �g determine

�a� La relaciones R� R�� R� y �T � � S� sus matrices de adyacencias y susdigrafos asociados�

�b� Los conjuntos R�B� �R�C�� R���B� y R���C��

�c� Y las relaciones RjB � RjC y �R� � R�jB � sus digrafos y sus matricesde adyacencias�

�d� �R � S�jC � �R � T ��B�� ��S � T � � R�e� �S � R� �S � T � ��R � S

��� Sean R y S relaciones sobre A� Determine cu�les de las siguientes propo�siciones son verdaderas o falsas� Dar un contraejemplo para las falsas�

�a� Si R es re�exiva� entonces bR es re�exiva�

�b� Si R es antisim�trica� entonces bR es antisim�trica�

�c� Si R es transitiva� entonces bR es transitiva�

�d� Si R y S son transitivas� entonces R � S es transitiva�

�e� Si R y S son transitivas� entonces R � S es transitiva�

�f� Si R y S son antisim�tricas� entonces R�S es antisim�trica�

�g� Si R y S son sim�tricas� entonces R � S es sim�trica�

�h� Si R y S son antisim�tricas� entonces R � S es antisim�trica�

�i� Si R y S son transitivas� entonces R�S es transitiva�

�j� Si R y S son transitivas� entonces R�S es transitiva�

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Cap�tulo �

Relaciones de Orden

Lo que alguien es comienza a delatarse cuando su talento

declina��cuando deja de mostrar lo que l es capaz de ha�

cer� El talento es tambi n un adorno� y un adorno es tambi n

un escondrijo�

M�s all� del bien y del mal� Federico Nietzsche�

Una relaci�n de orden sobre un conjunto A es una relaci�n sobre el conjuntoque proporciona un medio de comparar los elementos del conjunto� a�n cuandola misma no permita comparar cada par de elementos del conjunto� Considera�remos varios tipos de relaciones de orden� Empezaremos por presentar la noci�nde cuasi orden� seguiremos con el concepto de orden estricto� nos centraremosen el concepto de orden parcial y nalizaremos presentando los conceptos deorden total� buen orden� conjunto bien ordenado y conjunto bien fundado� Paranalizar el cap�tulo estudiaremos brevemente dos tipos de �rdenes parciales losreticulados y las �lgebras de boole�

��� Generalidades

De�nici�n �� �Cuasi Orden� Un cuasi orden sobre A es una relaci�n Rsobre A que es re�exiva y transitiva�

Ejemplos Si A � fa� b� cg� algunos cuasi ordenes sobre A sonA�A�R � f�a� a���b� b���c� c���a� b���b� a���b� c���a� c�g yIA � f�a� a���b� b���c� c�g�

N�tese que en un cuasi orden no existe realmente un orden entre los elemen�tos del conjunto A� en ninguno de estos casos podemos armar que a sea enalg�n sentido menor que b�

De�nici�n �� �Orden parcial estricto� Un orden estricto sobre A es unarelaci�n R sobre A que es irre�exiva y transitiva�

N�tese que si R es un orden estricto� entonces R es antisim�trica porque elantecedente de la condici�n de antisimetr�a �xRy � yRx� es siempre falso de�bido a que si fuera cierto por transitividad se tendr�a que xRx lo cual viola lairre�exividad de R�

��

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�� CAP�TULO �� RELACIONES DE ORDEN

Son ejemplos de �rdenes parciales estrictos�a� La relaci�n � en cualquier subconjunto de los n�meros reales��b� La relaci�n �subconjunto propio� en cualquier familia de conjuntos��c� Cualquier relaci�n de precedencia de tareas sobre cualquier conjunto detareas

De�nici�n � �Orden Parcial� Un orden parcial sobre un conjunto A esuna relaci�n binaria R sobre A que es re�exiva� antisim�trica y transitiva� Alpar hA�Ri se le denomina conjunto parcialmente ordenado �CPO � Tambi�n sedice que A est� parcialmente ordenado por R�

Ejemplos de �rdenes parciales son

�a� Para cualquier conjunto A� el conjunto de partes de A� esto es� P�A� conla relaci�n subconjunto de ��

�b� Los naturales menores que �� con la relaci�n �a divide a b�� Recuerde queajb si y s�lo si �k IN �b � k � a��

�c� Los divisores de �� con la relaci�n �divisibilidad�� M�s a�n� los divisoresde cualquier entero positivo con la relaci�n �divisibilidad��

�d� Los n�meros naturales con la relaci�n ��

Observe que si hA�Ri es un orden parcial� entonces es un cuasi orden� Poranalog�a con la relaci�n de orden de los naturales� la relaci�n R de un ordenparcial se suele representar por � y al CPO hA�Ri por hA��i� Tambi�n seacostumbra usar los s�mbolos ����v�

El concepto de orden estricto est� �ntimamente relacionado con el conceptode orden parcial� la �nica diferencia estriba en la irre�exividad de uno y lare�exividad del otro� En otras palabras la diferencia radica en que un ordenparcial contiene a IdA mientras que un orden estricto es disjunto con IdA�El siguiente teorema establece una relaci�n entre �rdenes estrictos y �rdenesparciales�

Teorema �� Sea R una relaci�n binaria sobre A�a� Si R es un orden estricto� entonces R � IdA es un orden parcial��b� Si R es un orden parcial� entonces R � IdA es un orden estricto�

De�nici�n � Dado un orden parcial hA��i se dice que dos elementos x� y A son comparable si x � y � y � x� en caso contrario se dice que no soncomparables� En otras palabras x� y son comparables si �x � y� R��y � x� R y no son comparables si �x � y� � R ��y � x� � R�

De�nici�n �� �Orden Total� Un orden total es un orden parcial hA��ien el que todo par de elementos es comparable� Tambi�n se le denomina ordenlineal u orden simple�

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���� CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS �

Dado un conjunto A� al conjunto de todos los ordenes lineales que se puedenconstruir sobre A se le denota por L�A� y al conjunto de todos los ordenesparciales por O�A��

Ejemplos de �rdenes totales son hIN ��i� hIR��i y las palabras de tama�o nde un alfabeto nito con el orden lexicogr�co�

Teorema �� Si R es una ordenaci�n total de A� entonces bR es una ordenaci�ntotal de A�

��� Conjuntos Parcialmente Ordenados

A continuaci�n daremos una serie de conceptos importantes en la manipulaci�nde conjuntos parcialmente ordenados�

De�nici�n � �Predecesor y Sucesor� Dado un orden parcial hA�Ri y unpar de elementos x� y de A� decimos que x es predecesor de y si xRy y y�Rx�tambi�n decimos que y es sucesor de x� Cuando la relaci�n la representamospor � si x es predecesor de y lo representamos por x � y�

Cuando x es predecesor de y tambi�n decimos que x es estrictamente menor quey� Este concepto da pie a la denici�n de una nueva relaci�n� a saber

De�nici�n �� �Orden Estricto Asociado� Dado un conjunto parcialmenteordenado hA��i� se dene la relaci�n de orden estricto asociada a hA��icomo la relaci�n que resulta de quitarle a � todos los arcos de re�exividad� Serepresenta por �� En s�mbolos� �� � � �I��

Esta relaci�n de orden estricto es un orden estricto� es el orden estricto asociadoal conjunto parcialmente ordenado hA�Ri� La relaci�n de orden estricto asociadaa hA�Ri es la relaci�n

f�x � y� R x �� yg

De�nici�n �� �Predecesor Inmediato� Dado un CPO hA��i y un par deelementos x� y de A� decimos que x es el predecesor inmediato de y si x � y yno existe z A tal que x � z� z � y� Tambi�n se dice que x es un cubrimientode y� Se representa por x �� y�

De�nici�n �� �Relaci�n de Hasse� La relaci�n de Hasse asociada al CPOhA�Ri es la relaci�n

H�R� � f�x � y� R �� �t A��xRt� tRy�g

La relaci�n de Hasse de un CPO es la relaci�n de precedencia inmediata� esdecir conserva del CPO s�lo los arcos consecutivos� esto es� elimina del CPO losarcos de re�exividad y los que se pueden obtener por transitividad�

Tambi�n puede hablarse del Hasse asociado a un orden estricto� En estecaso� se eliminan s�lo los arcos que pueden obtenerse por transitividad�

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�� CAP�TULO �� RELACIONES DE ORDEN

De�nici�n ��� �Segmentos� Dado un conjunto parcialmente ordenado hA��iy a A se denomina segmento inicial de a al conjunto de los predecesores de ay se denota por s�a�� esto es� s�a� � fx A x � ag� Si se incluye al elementoa en el conjunto se usa la notaci�n s�a� � fx A x � ag � s�a� � fag�En ocasiones es conveniente denir �a� b� � s�b� � s�a� etc� etc�

De�nici�n ��� �Minimales y Maximales� Si hA��i es un CPO y B esun subconjunto de A se dene Minimales de B como el conjunto de loselementos m�s peque�os de B� esto es� los elementos de B para los cuales noexiste en B algn elemento que sea mas peque�o que el elemento en cuesti�n�Simb�licamente�

Mins�B� � fx B �� �b B��b � x�g� fx B ��b B��b � x� x � b�g

An�logamente se dene Maximales de B� �Maxs�B��� como el conjuntode los elementos m�s grandes de B� Simb�licamente�

Maxs�B� � fx B � � �b B��x � b�g� fx B ��b B��x � b� x � b�g

Observe que Mins�B� es un subconjunto de B� que puede incluso ser vac�o�Observe adem�s que si x� y Mins�B� entonces x� y no pueden ser comparables�pues de serlo� sin p�rdida de generalidad� se tiene que x � y � x � y� lo cuales una contradicci�n�

De�nici�n ��� �M�nimo de B� Si hA��i es un CPO y B es un subconjuntode A se dice que x es el M�nimo de B si x pertenece a B y para todo bperteneciente a B se tiene que x � b� Si no existe en B un elemento con esapropiedad se dice que B no tiene m�nimo� Simb�licamente�

min�B� � x� �x B�� ��b B�x � b��

De�nici�n �� �M�ximo de B� Si hA��i es un CPO y B es un subconjuntode A se dice que x es el M�ximo de B si x pertenece a B y para todo bperteneciente a B se tiene que b � x� Si no existe en B un elemento con esapropiedad se dice que B no tiene m�ximo� Simb�licamente�

max�B� � x� �x B� � ��b B�b � x��

De�nici�n �� �Minorantes o Cotas Inferiores� Si hA��i es un CPO yB es un subconjunto de A� se dice que x es un elemento minorante de B ouna cota inferior de B si x pertenece a A y para todo b perteneciente a Bse tiene que x � b� Al conjunto de los elementos minorantes de B se denominaMinorantes de B� Simb�licamente�

cotinf�B� � fx A ��b B��x � b�g

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���� CONJUNTOS PARCIALMENTE ORDENADOS ��

De�nici�n ��� �Mayorantes o Cotas Superiores� Si hA��i es un CPOy B es un subconjunto de A� se dice que x es un elemento mayorante de Bo una cota superior de B si x pertenece a A y para todo b perteneciente a Bse tiene que b � x� Al conjunto de los elementos mayorantes de B se denominaMayorantes de B� Simb�licamente�

cotsup�B� � fx A ��b B��b � x�g �

De�nici�n �� �Supremo de un Conjunto� Si hA��i es un CPO y B esun subconjunto de A� se dice que x es el supremo del conjunto B si x es elm�nimo de las cotas superiores de B� Simb�licamente�

sup �B� � min �cotsup�B�� �

o equivalentemente

x � sup �B��� x � min �cotsup�B�� �

De�nici�n ��� ��n�mo de un Conjunto� Si hA��i es un CPO y B es unsubconjunto de A� se dice que x es el �n�mo del conjunto B si x es el m�ximode las cotas inferiores de B� Simb�licamente�

inf �B� � max�cotinf �B�� �

o equivalentemente

x � inf �B��� x � max�cotinf �B�� �

Teorema � El m�nimo de un CPO� si existe� es nico�

Teorema � Si hA��i es un conjunto parcialmente ordenado y B es un sub�conjunto de A� se tiene que�a� Si x es el m�nimo de B� entonces x es un elemento minimal de B�b� Si x es el m�nimo de B� entonces x es el �nmo de B�c� Si x es una cota inferior de B y x B� entonces x el m�nimo de B

Teorema �� En un CPO el �nmo de un conjunto� si existe� es nico�

De�nici�n ��� �Buen Orden� Se dice que una relaci�n binaria R sobre Aes un buen orden si R es lineal �total y todo subconjunto no vac�o de A tieneun elemento m�nimo� Tambi�n suele decirse que A est� bien ordenado por R oque A es un conjunto bien ordenado�

Un conjunto bien ordenado es un par B � hA�Ri que es un orden lineal y talque todo subconjunto no vac�o de A tiene m�nimo�

De�nici�n ��� �Conjunto Bien Fundado� Un orden hA�Ri es bien fun�dado si todo subconjunto S no vac�o de A tiene un elemento minimal� esto es�un elemento m� S tal que para todo a S � fm�g se tiene que a�Rm��

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�� CAP�TULO �� RELACIONES DE ORDEN

Un conjunto bien fundado es un par hA�Ri que es un conjunto parcialmenteordenado y tal que todo sub�conjunto no vac�o de A tiene un elemento minimal�En base a esta nueva denici�n� un buen orden es un orden bien fundado y total�N�tese que todo conjunto bien ordenado es bien fundado� pero lo contrario esfalso�

De�nici�n ��� �Ordenamiento Topol�gico� Un ordenamiento topol�gicode un CPO hA��i es una relaci�n de orden total sobre A que preserva �contiene los elementos de �� En otras palabras� T es un ordenamiento topol�gico de unconjunto ordenado hA�Ri ssi T L�A��R � T �

Todo CPO nito tiene al menos un ordenamiento topol�gico� Un proce�dimiento para construir un ordenamiento topol�gico consiste en �� elegir unelemento minimal del conjunto A y colocarlo como el menor elemento del or�denamiento topol�gico� �� repetir el proceso con el nuevo CPO que resulta deeliminar al elemento elegido en el paso anterior hasta que se agoten los elemen�tos� Nota� Al eliminar un elemento de un CPO se eliminan todos los arcos quelo usan�

Hay dos puntos no muy claros en este procedimiento que son �Tiene to�do CPO nito un elemento minimal� y �Es hA� fxg��i un CPO�� Estasinterrogantes se dejan como ejercicio�

Ejercicio �� Demuestre que todo CPO nito tiene un elemento minimal�

Ejercicio �� Probar que si hA��i es un CPO entonceshA� fxg��i es un CPO�

De�nici�n ��� �Subconjunto Parcialmente Ordenado� Dado el cpo hA�Rise dice que hB �R�i es un subcpo de hA�Ri si y s�lo si hB �R�i es un cpo� B � Ay para todo x� y B se tiene que xR�y � xRy�

El diagrama de Hasse un subcpo con conjunto base B se obtiene del diagramade Hasse del cpo borrando los elementos que no est�n en B y los arcos queconectaban dichos elementos y agregando arcos entre los elementos a� b B sihab�a en el original un camino de a a b que se haya eliminado al eliminar alg�narco�

��� Reticulados

De�nici�n ��� �Reticulado� Un reticulado es un conjunto parcialmente or�denado en el cual todo par �no ordenado de elementos tiene supremo e �nmo

De�nici�n �� �Reticulado� Un conjunto parcialmente ordenado hA�Ri sedenomina reticulado si para todo a� b A se tiene que sup �fa� bg� y inf �fa� bg�existen�

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���� RETICULADOS ��

En la siguiente gura se muestra la forma de algunos diagramas de Hasse paraalgunos conjuntos parcialmente ordenados� N�tese� por ejemplo� que si el con�junto base del orden fuese A � fa� b� c� d� eg� en todos los ejemplos con cincoelementos habr�a varias formas de nombrar los v�rtices dando cada una de ellasun orden parcial distinto� sin embargo� estructuralmente iguales� Digamos queson equivalentes�

s

s s

s s

s

������

������

���

��

��

��

�f�s

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ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

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�g�s

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�a�s

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��

��

�c�s

s

s

�d�s

s

s

s

s

s

s

�����

�����

PPPPP

PPPPP

�e�

Figura �� Diagramas de Hasse de algunos CPO

Algunos de ellos son reticulados y otros no�

Ejercicio � Diga cu�les de los diagramas de la gura anterior son reticuladosy cu�les no� Justique su respuesta�

De�nici�n �� �Reticulado Acotado� Un reticulado se llama acotado si ys�lo si posee m�ximo y m�nimo� Se denota al m�ximo por b� y al m�nimo por b�De�nici�n ��� �Complemento� Dado un reticulado acotado hL��i y unelemento x de L� se dice que y L es un complemento de x si y s�lo sisup�fx� yg� � b� y inf�fx� yg� � b�De�nici�n �� �Reticulado Complementado� Un reticulado hL��i se lla�ma complementado si y s�lo si para todo x L existe y L tal que sup �x� y� � b�� y inf �x� y� � b

r

r

r

r

�a�

������

������

��

��

��

��

r

r r

r r

r

��

�b�

JJJJJ

JJJJJ

r

r

rr

��

�c�

Figura �� Reticulados Dn

�sup �x� y� e inf �x� y� son abreviaturas de sup �fx� yg� y de inf �fx� yg� respectivamente�

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�� CAP�TULO �� RELACIONES DE ORDEN

Ejercicio � Analice cada uno de los diagramas de Hasse de la gura ���y decida cu�les de los que son reticulados son complementados y cu�les no�Justique su respuesta�

De�nici�n ��� �Reticulado Completo� Un reticulado hL��i se llama com�pleto si y s�lo si para todo A � L se tiene que existen inf �A� y sup �A��

Teorema � Si hL��i es nito� entonces es completo

Teorema �� Si hL��i es completo� entonces tiene b y b�De�nici�n ��� �Reticulado Distributivo� Un Reticulado hL��i se dice dis�tributivo si y s�lo si el supremo y el �nmo son distributivas mutuamente� estoes� si para toda terna x� y� z de elementos de L se tiene que sup �x� inf �y� z�� �inf �sup� x� y �� sup �x� z�� yinf �x� sup �y� z�� � sup �inf � x� y �� inf �x� z��

En un reticulado es com�n y conveniente representar al supremo del conjuntofx� yg como x�y y al �nmo del mismo conjunto como x�y� Con esta notaci�nla denici�n anterior se reescribe como Un reticulado hL��i es distributivo siy s�lo si para toda terna x� y� z de elementos de L se cumple que x � �y � z� ��x� y� � �x � z� y x � �y � z� � �x� y� � �x � z��

Son ejemplos de reticulados distributivos hP�A���i es un reticulado distri�butivo para todo conjunto A� Porque el supremo y el �nmo son justamente launi�n y la intersecci�n de conjuntos que ya vimos son mutuamente distributivas�

Si denotamos por Dn al conjunto de los divisores de n� el reticulado hDn� jies un reticulado distributivo pero no siempre es complementado�

r

r

r

r r

�����

��

���

�����

��

���

a

b

c

d e

�a�

�����

QQ

QQQ

������

����

r

r

r

r

r

a

b

c

d

e

�b�

Figura � Reticulados no Distributivos

Ejercicio �� Muestre que hD��� ji y hD��� ji no son complementados�

Toda cadena de un reticulado es distributiva�

Ejercicio � Analice cada uno de los diagramas de Hasse de la gura ��� ydecida cu�les de los que son reticulados son distributivos y cu�les no� justiquesu respuesta�

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���� RETICULADOS ��

El pr�ximo teorema garantiza la unicidad de los complementos en los reti�culados distributivos� Alerta no garantiza la existencia�

Teorema �� En un reticulado distributivo si un elemento tiene complemento�el mismo es nico�

Ejercicio �� Dibuje el diagrama de Hasse de todos los reticulados con a losumo cinco v�rtices� Nota� interesa es la forma���� no los etiquete�

De�nici�n ��� �Subreticulado� Un subreticulado de un reticulado hL�Ries un subcpo hS�R�i en el cual se cumple que para todo par de elementos x� y Ssup�x� y� y inf�x� y� pertenecen a S� Alerta� El sup y el inf en hL�Ri�

De�nici�n �� ��lgebra de Boole� Un �lgebra de Boole es un reticuladodistributivo y un�vocamente complementado�

Teorema �� Para todo conjunto A� se tiene que hP�A���i es un �lgebra deboole�

En la gura � se muestra el diagrama de Hasse del �lgebra de boole hP�A���ipara el conjunto A � fa� b� cg�

fbg

fa� cg

fa� b� cg

fag

fa� bg

fcg

fb� cg

������

������

������

������

QQ

QQ

QQ

QQ

QQ

QQ

QQ

QQ

QQ

QQ

QQ

QQ

Figura �� Hasse del "lgebra de Boole hP�A���i

Teorema ��� Toda �lgebra de boole es isomorfa a un reticulado hP�A���i

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�� CAP�TULO �� RELACIONES DE ORDEN

��� Ejercicios Resueltos

Ejercicio Resuelto �� Demuestre que si hA�Ri es un conjunto parcialmenteordenado y a� b son elementos de A tales que aRb� entonces sup �a� b� � b�

Respuesta� El supremo de un conjunto es la menor de las cotas superioresdel conjunto� Tenemos que probar que b es cota superior de fa� bg y que si ces cota superior de fa� bg� entonces bRc� b es cota superior de fa� bg porquebRb debido a que hA�Ri es un conjunto parcialmente ordenado y adem�s porhip�tesis aRb� esto es� para todo x fa� bg se cumple que xRb� Si c es cotasuperior de fa� bg se tiene que aRc� bRc y por lo tanto tenemos que b es menor�bRc� que cualquier cota superior c de fa� bg� �

Ejercicio Resuelto �� Demuestre hP�A���i es un conjunto parcialmente or�denado para todo conjunto A�

Respuesta� Tenemos que probar que � es re�exiva� antisim�trica y transitiva�Es re�exiva porque para todo B P�A� se cumple que B � B� Es antisim�tricaporque �B�C P�A� si B � C�C � B� en base al teorema de doble contenci�nse tiene que B � C� Y es transitiva porque para toda terna B�C�D P�A� siB � C �C � D� entonces B � D� Todas estas son propiedades generales de losconjuntos� �

Ejercicio Resuelto � Demuestre en el conjunto parcialmente ordenado hP�A���i� se tiene que sup �B�C� � B �C e inf �B�C� � B �C�Respuesta� Tenemos que probar que B �C es cota superior de fB�Cg y quesi D es cota superior de fB�Cg se tiene que B�C � D� B�C es cota superiorde fB�Cg porque B � B�C �C � B�C� Sea D una cota superior de fB�Cg�entonces se tiene que B � D�C � D lo que implica que B�C � D� La pruebadel �nmo es an�loga� �

Ejercicio Resuelto � Dado un conjunto A denotaremos por G�A� al con�junto de los grafos sobre el conjunto A� Denimos sobre este conjunto la siguien�te relaci�n� hA�P�i v hA�P�i si y s�lo si P� � P�� Demuestre que hG�A��vi esun orden parcial�

Respuesta� Es re�exiva porque para toda hA�P i se tiene que hA�P i v hA�P idebido a que para todo conjunto de pares no ordenados P se tiene P � P �Es antisim�trica porque si hA�P�i v hA�P�i y hA�P�i v hA�P�i� entonces setiene que P� � P� � P� � P� lo cual implica que P� � P� y por consiguienteque hA�P�i � hA�P�i� Finalmente� es transitiva porque si hA�P�i v hA�P�i yhA�P�i v hA�P�i� entonces P� � P� � P� � P� implicando que P� � P� y porconsiguiente que hA�P�i v hA�P�i� �

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��� EJERCICIOS RESUELTOS ��

Ejercicio Resuelto �� Demuestre que si hA�Ri es un reticulado� entonces

hA� bRi es tambi�n un reticulado�

Respuesta� Sean a� b A� como hA�Ri es un reticulado se tiene que existe elsupR �a� b�� digamos que supR �a� b� � c� esto signica que aRc� bRc y que paratodo d tal que aRd� bRd se tiene que cRd� Esto a su vez implica que c bRa� c bRby que para todo d tal que d bRa � d bRb se tiene que d bRc lo cual signica que c

es el �nmo de fa� bg en bR� esto es� infbR �a� b� � c� La forma de mostrar que

tiene supremo es an�loga� Como todo par de elementos a� b de A tiene supremoe �nmo en bR� se tiene que bR es un reticulado� �

Ejercicio Resuelto � Dado el conjunto A � fx IN x � ��g se dene larelaci�n de divisibilidad como ajb� ��k IN ��b � k � a��

�� Demuestre brevemente que hA� ji es un CPO�Sug�� Use cualquier propiedad de IN

�� Dibuje el diagrama de Hasse del CPO�

�� Dado B � f�� �� � �g� halle sup �B�� inf �B�� cotsup�B�� Maxs�B�

�� Dado C � f� �� ��g� halle max�C�� min �C�� sup �C�� inf �C��

�� Dado D � f � �g� halle R���D�� R�D�� RjD� con R��j��Respuesta�

�� Es re�exiva porque para toda a A se tiene que a � � � a� Es transitivaporque para toda terna a� b� c A si ajb y bjc se tiene que ajc� por si ajb ybjc� se tiene que existen k y k� tales que b � ka y c � k�b lo que implica quec � kk�a y por consiguiente existe k�� � kk� tal que c � k��a implicandoque ajc� Y es antisim�trica porque si ajb y bja� existen constantes k yk� tales que b � ka y a � k�b de donde se deduce que b � kk�b y porconsiguiente que kk� � � que permite concluir que k � k� � �� por lotanto a � b�

�� Diagrama de Hasse

��

� � ���

��

��

��

��

��

��SSSS

SSSS

AAAA

��

��

QQ

QQ

QQ�����

������

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�� CAP�TULO �� RELACIONES DE ORDEN

� B � f�� �� � �g sup �B� � ��� inf �B� � �� cotsup�B� � f��� g� Maxs�B� �f � �g�

�� C � f�� ��� g max �C� � � min �C� � � �� sup �C� � � �C� � ��

�� D � f � �g R�D� � f � �� ��� � �g� R���D� � f�� �� � �g�RjD � f�� � ����� � ����� � ������ � ���� � ��� � ��g�

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��� EJERCICIOS �

��� Ejercicios

�� Una persona debe realizar � tareas bajo las siguientes restricciones Nopuede realizar la tarea d si antes no ha realizado las tareas b y e� Deberealizar la tarea f despu�s de la e y antes de la c� No debe realizar latarea a antes de la d ni la f antes de la g� La tarea h es la primera quedebe realizar�

�a� Muestre que cualquier relaci�n de precedencia de tareas es un ordenestricto para cualquier conjunto de tareas

�b� Construya el diagrama de Hasse para la relaci�n de precedencia detareas dada

�c� Muestre todas las formas de realizar las tareas sin violar las reglasdadas

�� Dado un conjunto parcialmente ordenado U � hA��i y un par de elemen�tos x� y A demuestre que x � y �� inf �fx� yg� � x

� D� ejemplo de los siguientes conjuntos

�a� Un orden parcial que no tenga elementos maximales

�b� Un conjunto no vac�o totalmente ordenado en el cual no todo sub�conjunto tenga m�nimo

�c� Un conjunto parcialmente ordenado hA��i tal que A sea nito y novac�o� no sea un orden lineal y no todo subconjunto tenga m�nimo

�d� Un orden parcial que tenga un �nico elemento maximal pero no tengam�ximo

�� Dado un conjunto no vac�o A denotaremos por O�A� al conjunto de los�rdenes parciales del conjunto A� El par hO�A���i es un conjunto par�cialmente ordenado

�a� Pruebe que los �rdenes lineales son los elementos maximales

�b� Diga qui�n es el m�nimo del cpo

�c� �Cu�les son los sucesores inmediatos del m�nimo�

�� Si denotamos por Q� al conjunto de los n�meros racionales positivos ypor � a la relaci�n de orden usualmente denida en dicho conjunto� setiene que el par hQ���i es un conjunto parcialmente ordenado� Muestreque Q� con esta relaci�n no es un conjunto bien ordenado� �Es hQ���ibien fundado�

�� DetermineR si se sabe que es una relaci�n de orden sobreA � fa� b� c� d� e� fgy H�R� � f�a� b���b� c���f � a���f � e���a� d���e� d�gRepita el ejercicio si R es un orden estricto

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�� CAP�TULO �� RELACIONES DE ORDEN

�� Decimos que �x divide a y� y escribimos� xjy si y s�lo si existe z Z talque y � z � x� Sea A � fx IN xj�g� Considere el CPO hA� ji��a� Pruebe que hC� ji es un CPO para todo C � IN �

�b� Dibuje el diagrama de Hasse de hA� j i�c� DadoB � f�� � �� ��� �g halle Maxs�B��Mins�B�� max �B�� min �B��

cotsup�B�� cotinf�B�� sup �B�� inf �B�

�d� Dado B � f � �� �g halle sup �B�� inf �B�� cotsup�B�

�e� Dado B � f � �� �g hallar R���B�� R�B�� RjB �

�f� Demuestre que hC�� i es un ordenamiento topol�gico de hC� ji paratodo C � IN � ��� es el orden usual de los naturales�

�� Demuestre que si hA�Ri es un buen orden� entonces R es asim�trica�

�� Demuestre que si R es conexa en A y todo subconjunto no vac�o de Atiene m�nimo� entonces R bien ordena a A�

��� Se dice que un cpo hB�R�i es un subcpo de hA�Ri si y s�lo si para todox� y B se tiene que xR�y si y s�lo si xRy� Demuestre que para todoB � A existe un �nico subcpo hB�R�i� Muestre adem�s que un subcpopuede ser distributivo aun cuando el cpo original no lo sea� Demuestreque que si hA�Ri es distributivo� entonces todos sus subcpo tambi�n loson� Muestre que un cpo no complementado puede tener alg�n subcpoque sea complementado�

��� Demuestre que hP�A���i es un reticulado distributivo y un�vocamentecomplementado� esto es� demuestre que es un �lgebra de Boole�

��� D� ejemplos de ordenes bien fundados�

� � Demuestre que un conjunto parcialmente ordenado R es un orden totalsobre A si y s�lo si R � bR � A�A�

��� Dado el orden parcial hA��i con A � fa�� a�� � � � � ang� se dene la relaci�nbinaria v sobre A�A como sigue �x � y� v �u� v�� x � u � y � v

�a� Demuestre que hA�A�vi es un orden parcial

�b� Si fM��M�� � � � �Mkg y fm��m�� � � � �msg son respectivamente los ma�ximales y los minimales de hA��i� �cu�les son los maximales y losminimales de hA� A�vi�

�c� �Qu� condiciones son necesarias para que hA�A�vi tenga m�ximoy cu�l es�

��� Dado un conjunto parcialmente ordenado hA��i se dene la relaci�n vsobre A�A como

�x�� y�� v �x�� y���� �x� � x�� � �x� � x� � y� � y��

Pruebe o d� un contraejemplo de las siguientes proposiciones

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��� EJERCICIOS ��

�i� hA� A�vi es un orden parcial

�ii� Si � es un orden lineal sobre A� entonces v es un orden linealsobre A�A

�iii� Si � es un buen orden sobre A� entonces v es un buen ordensobre A�A

��� Probar que si hA�Ri es un conjunto parcialmente ordenado y B � A�entonces

�i� Si existe m�nimo de B� es �nico

�ii� Si B tiene m�ximo� entonces tiene un �nico elemento maximal

�iii� si B tiene m�ximo� entonces tiene supremo

��� Hallar el diagrama de Hasse de cada uno de los reticulados de a lo sumocinco elementos�

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�� CAP�TULO �� RELACIONES DE ORDEN

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Cap�tulo �

N�meros Naturales

El sabio como astr�nomo��Mientras contin�es sintiendo las

estrellas como un �por�encima�de�ti� sigue falt�ndote la mi�

rada del hombre de conocimiento�

M�s all� del bien y del mal� Federico Nietzsche�

En este cap�tulo se denir� al conjunto de los n�meros naturales� como unconjunto de conjuntos� esto es� cada n�mero natural ser� denido como unconjunto� Esto les producir�� al principio� una leve sensaci�n de incomodidad�pero ser� una molestia pasajera� porque la estructura que heredan los naturalesde la denici�n que presentaremos la usaremos para deducir sus propiedadesb�sicas y luego la olvidaremos en favor de la simplicidad de la exposici�n de lostemas siguientes� Estudiaremos en este cap�tulo el orden de los naturales y lasoperaciones b�sicas sobre los naturales� a saber� la adici�n� la multiplicaci�n� lapotenciaci�n y la resta�

Es importante resaltar que los n�meros naturales junto con otros temas dela teor�a de conjunto son la base de toda la matem�tica porque permiten denira los n�meros enteros� racionales� reales y complejos�

��� La De�nici�n

Empecemos por denir la noci�n de sucesor� para luego� a partir de la misma�denir recursivamente al conjunto de los n�meros naturales�

De�nici�n �� �Sucesor de un Conjunto� Dado un conjunto A se dene elsucesor del conjunto A como el conjunto cuyos elementos son el conjunto A ylos elementos del conjunto A� Si lo denotamos por suc �A� tenemos que

suc �A� � A � fAg �

Por ejemplo si A � fa� bg se tiene que suc �A� � fA� a� bg � ffa� bg� a� bg�Observe que suc �A� tiene un elemento m�s que A� Observe adem�s que

suc �suc �A�� � fsuc �A�� fa� bg� a� bgtiene un elemento m�s que suc �A�� N�tese adem�s que A pertenece y es subcon�junto de suc �A�� Adem�s� A es subconjunto propio de suc �A� pues A suc �A�y A � A�

��

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�� CAP�TULO � N�MEROS NATURALES

Si partimos del conjunto vac�o y le hallamos su sucesor se obtiene quesuc �� � � fg � fg� Si a su vez a este conjunto le tomamos el sucesor setiene que

suc �suc ��� � suc �fg� � f� fggRepitiendo este proceso se tiene la siguiente lista de conjuntos�� fg� f� fgg� f� fg� f� fggg�f� fg� f� fgg� f� fg� f� fgggg � � �

N�tese que cada conjunto contiene a todos los que est�n a su izquierda enla lista y que cada conjunto est� contenido en cada uno de los que est�n a suderecha en la lista� Tambi�n puede observarse que las contenciones son estrictas�De igual forma cada conjunto pertenece a todos los que est�n a su derecha ylos que est�n a su izquierda pertenecen a �l� Puede verse tambi�n que todos losconjuntos listados son diferentes�

La representaci�n de los elementos de la lista se hace cada vez m�s compli�cada� Por esta raz�n denotaremos a los elementos de la lista anterior con loss�mbolos � �� �� �� � �� � � �� Podemos por lo tanto armar que � y que � ��� � y � � �� y que �� ��

Si bien cada uno de los elementos de esta lista es un conjunto�esto logarantiza los axiomas de apareamiento y de uni�n�� no tenemos garant�a deque esta lista en s� sea un conjunto� En este punto debemos introducir un nuevoaxioma que llamaremos el axioma de innitud� Por simplicidad lo deniremosde la siguiente manera� pero debe quedar claro que otros autores lo denen demanera diferente�

Axioma �� �Axioma de In�nitud� Existe un conjunto que contiene al con�junto vac�o y al sucesor de cada uno de sus elementos�

A este conjunto que este axioma garantiza que existe y del cual vimos comoconstruir sus elementos a partir del conjunto vac�o es al que denominaremosconjunto de n�meros naturales� Adem�s el axioma de extensi�n garantiza launicidad de dicho conjunto� Hemos logrado una denici�n informal de n�merosnaturales� Daremos a continuaci�n la denici�n formal� que se basa obviamenteen el axioma de innitud y el axioma de extensi�n�

De�nici�n �� �N�meros Naturales�Denimos al conjunto de nmeros naturales que denotaremos por IN por mediode las siguientes tres cl�usulas�

�� El conjunto vac�o es un nmero natural � � �

�� Si n es un natural� entonces suc �n� es tambi�n un natural

�� Si S es un conjunto de naturales tal que

� S

� n S � suc �n� S

entonces S es el conjunto de los nmeros naturales�

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��� LA DEFINICI�N ��

Otra notaci�n muy extendida para representar al conjunto de los n�meros natu�rales es �� tambi�n suele usarse la N en negrillas en lugar de la IN de pizarr�nque usaremos en este texto� Para referirnos al conjunto de n�meros naturalessin incluir al cero usaremos la notaci�n IN �� En general� en este libro� si a uns�mbolo que representa un conjunto num�rico se le pone un asterisco se quieredenotar al conjunto en cuesti�n sin el cero�

Alerta En lo que falta de este cap�tulo cuando se hable de m�n� p nosestaremos reriendo a n�meros naturales arbitrarios y en algunos teoremas debeentenderse que la proposici�n enunciada se aplica a todo n�mero natural�

Teorema �� El natural � no es el sucesor de ningn nmero natural� esto es�no existe n IN tal que suc �n� � � O dicho de otra forma��n IN �suc �n� �� ��

Prueba� Supongamos que si� esto es� existe n IN tal que suc �n� � � Por ladenici�n de sucesor se tiene que suc �n� � n � fng� esto indica que n suc �n�pero n � � por lo tanto no pueden ser iguales� �

Teorema � El sucesor de cualquier nmero natural es nico�

Prueba� Supongamos que existen dos sucesores del n�mero natural n� deno�t�molos por k y k�� Como k � suc �n� � n � fng y k� � suc �n� se tiene quek � k� porque la igualdad de conjuntos es re�exiva y transitiva� �

Lema � Para todo nmero natural n se tiene que

�i� n suc �n��ii� n � suc �n�

Prueba� Por denici�n de sucesor se tiene que suc �n� � n � fng� Luegon suc �n� pues n fng y fng � n � fng� Adem�s como A � A � B se tieneque n � n � fng� �

Lema �� Si m � suc �n�� entonces m � n � n m�

Prueba� Como suc �n� � n � fng y m � suc �n� se tiene que los elementosde m pertenecen a n o pertenecen a fng o pertenecen a ambos �def� de uni�n��Luego tengo dos casos� a saber �todos los elementos de m pertenecen a n� o�no todos los elementos de m pertenecen a n�� Si �todos los elementos de mpertenecen a n� entonces m � n� Mientras que si �no todos los elementos de mpertenecen a n� entonces existe un elemento en m que no est� en n� luego ese ele�mento debe pertenecer a fng� por consiguiente� debe ser n� y entonces n m� �

Lema � m � n �� suc �m� � suc �n�

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�� CAP�TULO � N�MEROS NATURALES

La prueba es por doble contenci�n� se deja como ejercicio� Su rec�proco tambi�nes cierto y es una consecuencia inmediata del siguiente teorema�

Teorema �� �n IN ��m IN �m n� suc �m� � n��

Prueba� Lo probaremos por inducci�n sobre nSea S � fn IN �m IN �m n� suc �m� � n�g� S� pues el enunciado �m IN �m � suc �m� � � es cierto� dado que elantecedente es falso �el conjunto vac�o no tiene elementos��Sea n S� veamos que suc �n� S�

Hip�tesis �m IN �m n� suc �m� � n�

Tesis �m IN �m suc �n�� suc �m� � suc �n��

Si m suc �n� � n � fng se tiene que m n � m � n� Si m � n entoncessuc �m� � suc �n� y por lo tanto suc �m� � suc �n�� Si m n por hip�tesis in�ductiva se tiene que suc �m� � n� y como n � suc �n� se tiene� por transitividad�que suc �m� � suc �n��Como en ambos casos se obtuvo que suc �m� � suc �n� se concluye que

m suc �n�� suc �m� � suc �n�

Luego S � IN � esto es� el enunciado se cumple para todo natural n� �

Corolario �� �m�n IN �m suc �n�� m � n��

Prueba� Por el Lema ������ se tiene que m � n � n m� pero si n m�se tiene por el lema anterior que suc �n� � m� lo cual contradice la hip�tesism suc �n�� pues tendr�amos m suc �n� � m� lo cual implica que m m�Luego� si m suc �n� s�lo puede ocurrir que m � n �

Corolario �� Si m n� entonces m � n

Prueba� Por el teorema anterior se tiene que m n � suc �m� � n� Adem�sse tiene que m � suc �m�� Luego� por transitividad� se tiene que m � n� �

Realmente la contenci�n del corolario es estricta pues m suc �m�� Por lotanto se tiene que� m n� m n� Esto se enuncia el pr�ximo corolario�

Corolario ��� Si m n� entonces m n

Lema ��� suc �m� � suc �n� �� m � n

El pr�ximo teorema junto con su rec�proco establecen que para los n�merosnaturales #estar contenido propiamente$ es equivalente a #pertenecer$�

Teorema ��� �n IN ��m IN �m n� m n��

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��� LA DEFINICI�N ��

Prueba� Lo probaremos usando la tercera cl�usula de la denici�n de n�merosnaturales� por inducci�n sobre nSea S � fn IN �m IN �m n� m n�g� S� pues el enunciado �m IN �m � m � es cierto dado que elantecedente es falso ya que el conjunto vac�o no tiene subconjuntos propios�Sea n S� veamos que suc �n� S�

Hip�tesis �m IN �m n� m n�

Tesis �m IN �m suc �n�� m suc �n��

m suc �n� � n � fng implica que m � n � n m� Si m � n tengo dos casosm n �m � n� Si m n por hip�tesis tengo que m n� y por consiguientem suc �n�� Si m � n� entonces suc �m� � suc �n� y por lo tanto m suc �n��Si n m� en base al Lema ���� se tiene que suc �n� � m� lo cual contradice lahip�tesis �m suc �n��� Luego se concluye que

m suc �n�� m suc �n�

Luego S � IN � esto es� el enunciado se cumple para todo natural n� �

Lema �� m � n �� suc �m� � suc �n�

Lema �� �n IN ��m IN �m n� n �� m��

Prueba� Lo probaremos usando la tercera cl�usula de la denici�n de n�merosnaturales� por inducci�n sobre n�Sea S � fn IN �m IN �m n � n �� m�g� S pues el enunciado�m IN �m � �� m� es cierto debido a que el antecedente es falso�Sea n S� veamos que suc �n� S�

Hip�tesis �m IN �m n� n �� m�

Tesis �m IN �m suc �n�� suc �n� �� m�

m suc �n� � n � fng� se tiene que m � n o m n� Si m � n entoncessuc �m� � suc �n� y suc �n� �� n � m� pues n suc �n� y n � n� Si m n porhip�tesis n �� m� y con mayor raz�n suc �n� �� m pues n � suc �n���Si suc �n� � m se tiene que n � suc �n� � m� contradicci�n�� En ambos casosse obtuvo que suc �n� �� m� luego se concluye que

m suc �n�� suc �n� �� m

y que S � IN � Esto es� el enunciado se cumple para todo natural n� �

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�� CAP�TULO � N�MEROS NATURALES

��� Orden en los Naturales

La relaci�n � ordena a la n�meros naturales linealmente� esto es� hIN ��i esun conjunto parcialmente ordenado� Como existe la costumbre de comparara los n�meros naturales con las relaciones ���� ��� y no con las relaciones���� ��� se denen las siguientes relaciones�

De�nici�n � �Menor o igual� Dados dos nmeros naturales n y m� se diceque n es menor o igual que m y se escribe n � m� si y s�lo si n � m�

De�nici�n � �Mayor o igual� Dados dos nmeros naturales n y m� se diceque n es mayor o igual que m y se escribe n � m� si y s�lo si n � m�

An�logamente se denen las relaciones de orden estricto como

De�nici�n �� �Menor� Dados dos nmeros naturales n y m� se dice que nes menor que �o estrictamente menor que m y se escribe n � m� si y s�lo sin m�

De�nici�n � �Mayor� Dados dos nmeros naturales n y m� se dice que nes mayor que m y se escribe n � m� si y s�lo si n � m�

Una consecuencia inmediata de esta denici�n es que hIN ��i es un conjuntoparcialmente ordenado� ello se expresa en el siguiente teorema�

Teorema ��� Dados los nmeros naturales n�m� p� se tiene que se cumplenlas siguientes propiedades

Re�exividad � n � nAntisimetr�a � �n � m �m � n�� n � mTransitividad � �n � m�m � p�� n � p

Para ver que hIN ��i es un orden lineal falta probar que todo par de n�merosnaturales es comparable�

Teorema �� Si m y n son naturales� se tiene que m � n � n � m�

Teorema ��� �Tricotom�a� Dado un par de nmeros naturales se cumples�lo una de las siguientes armaciones n � m� n � m o n � m �exclusivo el o �

De�nici�n �� �M�nimo de un Conjunto� Dado un subconjunto S de n�meros naturales decimos que S tiene m�nimo si existe en S un elemento m talque para todo x S se tiene que m � x� de lo contrario diremos que S no tienem�nimo�

De�nici�n �� �M�ximo de un Conjunto� Dado un subconjunto S de n�meros naturales decimos que S tiene m�ximo si existe en S un elemento m talque para todo x S se tiene que x � m� de lo contrario diremos que S no tienem�ximo�

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��� ARITM�TICA �

Principio de Buena Ordenaci�n

El principio de buena ordenaci�n de los n�meros naturales establece quetodo subconjunto no vac�o de n�meros naturales tiene un elemento m�nimo� estoes� que en todo conjunto de naturales existe un elemento que es menor o igualque todos los restantes elementos del conjunto�

Teorema ��� �Principio de Buena Ordenaci�n� Todo subconjunto no va�c�o de nmeros naturales tiene m�nimo

Ejercicio �� Demuestre este principio� Sug�� Dado un subconjunto no vac�o S

de IN def�nase un S�k como el conjunto de los elementos de S menores o iguales que k� y

demuestre por inducci�n que si Sk es un conjunto cuyo m�ximo es k� entonces dicho conjunto

tiene m�nimo�

Alerta Este principio es muy �til para probar otros teoremas� En particularpuede usarse para probar el siguiente principio de inducci�n que es a su vez �tilpara hacer pruebas por inducci�n�

Principio de Inducci�n Generalizada

Teorema ��� �Segundo Principio de Inducci�n� Si P �n� es una propo�sici�n que pueden o no satisfacer los nmeros naturales y para cualquier m � la hip�tesis de que P �k� es verdadera para todo � k � m implica que P �m� esverdadera� entonces P �n� es cierta para todo nmero natural�

Ejercicio �� Demuestre el teorema anterior�

��� Aritm�tica

El principio de inducci�n de los n�meros naturales� adem�s de permitirnos pro�bar proposiciones sobre los n�meros naturales� nos permite denir funciones deIN en un conjunto arbitrario A� A dichas funciones se les denomina funcionesrecursivas o inductivas� Las misma se denen especicando la imagen del cero yla imagen de cada uno de los restantes n�meros naturales en t�rmino de valoresde la funci�n para n�meros previamente denidos�

Estas deniciones se justican por medio del siguiente teorema que presen�tamos en dos versiones

Teorema ��� �Principio de las De�niciones Recursivas�Dado un conjunto A y una f�rmula que dene f�� como un elemento nicode A y para todo i � dene f�i� como un elemento de A en t�rmino de losvalores de f para los naturales menores que i� entonces esta f�rmula determinauna nica funci�n f IN � A

Teorema ��� �Principio de las De�niciones Recursivas�Dado un conjunto A y un elemento a de A� si es una funci�n que asigna� a

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�� CAP�TULO � N�MEROS NATURALES

cada funci�n f de una secci�n de nmeros naturales en A� un elemento de A�entonces existe una nica funci�n h IN � A tal que

h��� � a�h�n� � �hjf�� �� � � � � n � �g� n � �

De�nici�n �� �Adici�n� Se dene la adici�n de nmeros naturales recursi�vamente como sigue

n �m �

�n� si m � �suc �n� x�� si m � suc �x��

De�nici�n ��� �Multiplicaci�n� Se dene la multiplicaci�n de nmeros na�turales recursivamente como sigue

n �m �

�� si m � �n � �n � x�� si m � suc �x��

Teorema ��� Para todo nmero natural n� se tiene que suc �n� � n� �

Prueba� Sea n un n�mero natural cualquiera� se tiene que

n � � � n� suc �� def� de �� suc �n� � def� de suma� suc �n� n � m� suc �n� � suc �m�

Teorema �� Para todo nmero natural n� se tiene que � n � n

Prueba� Por inducci�n sobre n se tiene queSea S � fn IN � n � ngPaso base S pues � � por denici�n de suma�Paso inductivo Hip�tesis � n � n

Tesis � suc �n� � suc �n�

� suc �n� � suc � � n� def� de suma� suc �n� hip� inductiva

Luego� S � IN y� por consiguiente� �n IN � � n � n� �

Teorema �� La suma de dos nmeros naturales es un nmero natural� Sim�b�licamente� �m�n IN �m� n IN ��

Prueba� Por inducci�n sobre n�Sea S � fn IN �m IN �m� n� IN gPaso base S pues �m IN �m� � IN � por denici�n de suma�

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��� ARITM�TICA ��

Paso inductivo Hip�tesis �m IN �m� n IN �Tesis �m IN �m� suc �n� IN

m� suc �n� � suc �m� n� por denici�n de suma� y como por hip�tesis in�ductiva m�n IN y puesto que el sucesor de un n�mero natural es un n�meronatural� se tiene que m � suc �n� S� Luego� S � IN y� por consiguiente��m�n IN �m� n IN �� �

Teorema ��� La multiplicaci�n de dos nmeros naturales es un nmero na�tural� Simb�licamente� �m�n IN �m � n IN ��

La prueba es por inducci�n y similar a la anterior� Se deja como ejercicio�

Lema �� Para todo par de nmeros naturales n�m se cumple que n�suc �m� �suc �n� �m

Prueba� Sea S � fm IN �n IN �n� suc �m� � suc �n� �m�g�Paso base S pues n � suc �� � suc �n� � � suc �n� � suc �n� � Paso inductivo Hip�tesis n�suc �m� � suc �n��m� Tesis n�suc �suc �m�� �suc �n� � suc �m�

n � suc �suc �n�� � suc �n� suc �m�� def� de suma� suc �suc�n� �m� hip� inductiva� suc �n� � suc �m� def� suma

Luego es cierto que

�m IN ��n IN �n� suc �m� � suc �n� �m��

Teorema ��� La suma de nmeros naturales es conmutativa� esto es� paratodo par n�m de nmeros naturales se tiene que n�m � m� n�

Prueba� Sea S � fn IN �m IN �m� n � n �m�g�Paso base S pues para todo m IN m� � �mPaso inductivo Hip�tesis �m IN �m� n � n �m��Tesis �m IN �m� suc �n� � suc �n� �m�

m� suc �n� � suc �m� n def� de suma� suc �n�m� hip� inductiva� n� suc �m� def� suma� suc �n� �m por Lema

Teorema ��� La suma de nmeros naturales es asociativa� esto es� para todaterna m�n� p de nmeros naturales� se tiene que �m� n� � p � m� �n� p��

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�� CAP�TULO � N�MEROS NATURALES

Prueba� �m�n� p IN �m� �n � p� � �m� n� � p�� Por inducci�n sobre mSea S � fm IN �n� p IN �m� �n� p� � �m� n� � p�g�Paso base S pues para todo m IN � � �n � p� � � � n� � p� debido aque n� p IN y � k � k para todo k IN

Paso inductivo Hip�tesis �n� p IN �m� �n� p� � �n�m� � p��Tesis �n� p IN �suc �m� � �n� p� � �suc �m� �m� � p�

suc �m� � �n� p� � m� suc �n� p� Lema� suc �m� �n� p�� def� de suma� suc ��m� n� � p� hip� ind�� �m� n� � suc �p� def� suma� suc �m� n� � p Lema� �m� suc �n�� � p def� de suma� �suc �m� � n� � p Lema

Teorema ��� Para todo nmero natural n� se tiene que � n �

Prueba� Por inducci�n sobre n se tiene que�Sea S � fn IN � n � gPaso base S� pues � � por denici�n de producto�Paso inductivo Hip�tesis � n �

Tesis � suc �n� �

� suc �n� � � � � n� def� de producto� � hip� ind�� hip� ind�

Lema �� �n�m IN �suc �n�m � m� nm�

Prueba� Por inducci�n sobre m se tiene que�Sea S � fm IN �n IN �suc �n�m � m� nm�gPaso base S� pues �n IN �suc �n� � � � n � ��Paso inductivo Hip�tesis �n IN �suc �n�m � m� nm�

Tesis �n IN �suc �n� suc �m� � suc �m� � n suc �m��

suc �n� suc �m� � suc �n� � suc �n� �m� suc �n� �m� n �m� �m� suc �n�� � n �m� �suc �m� � n� � n �m� suc �m� � �n� n �m�� suc �m� � n � suc �m�

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��� ARITM�TICA ��

Teorema �� La multiplicaci�n de nmeros naturales es conmutativa� estoes� para todo par n�m de nmeros naturales� se tiene que n �m � m � n�

Prueba� Es una consecuencia inmediata del lema anterior� �

Teorema �� La multiplicaci�n de nmeros naturales es asociativa� esto es�para toda terna n�m� p de nmeros naturales se cumple que�m � n� � p � m � �n � p��

Prueba� Se deja como ejercicio� �

Teorema � La multiplicaci�n de nmeros naturales es distributiva con res�pecto a la suma� esto es� para toda terna n�m� p de nmeros naturales� se tieneque �m� n� � p � m � p � n � p�

Prueba� Se deja como ejercicio� �

De�nici�n ��� �Potenciaci�n� Se dene la potenciaci�n de nmeros natu�rales recursivamente como sigue

mn �

��� si n � �m �mx� si n � suc �x��

De�nici�n ��� �M�ximo y M�nimo� Dados dos nmeros naturales se de�ne el m�ximo y el m�nimo de dichos naturales como sigue�max�m�n� � m � nmin �m�n� � m � n

Teorema � m � n� ��k��m� k � n�

Teorema �� m � n � p � q � m� p � n � q

Teorema � m� n � k � n � k

Teorema �� La potencia de dos nmeros naturales es un nmero natural�

Teorema �� �m�n� p IN �m � n� m� p � n � p�

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�� CAP�TULO � N�MEROS NATURALES

En la Tabla ����� se muestra una lista de las propiedades de los n�merosnaturales que se mencionan en el cap�tulo� El estudiante debe asegurarse depoder demostrar cada una de esas propiedades�

Tabla ��� Propiedades de los Naturales�� m� n IN ��� mn �mp � mn�p

�� m� � �m � m ��� �mn�p � mn�p

� m� �n� p� � �m� n� � p ��� m � n � n � m�m � n�� m� n � n �m ��� m � n �� m� p � n� p�� m � n IN ��� m � n � p � q �� m� p � n� q�� m � � �m � ��� m � m� n�� m � � � � �m � m ��� m� n � p �� m � p�� m � n � n �m � � m � n �� m � p � n � p�� m � �n � p� � �m � n� � p ��� m � n � p �� m � p � n �

��� �m� n� � p � m � p� n � p ��� n �� �� m � m � n��� m � �n� p� � m � n �m � p ��� m � n � n � p �� m � p��� m� n � �� m � � n � ��� m � n � n � m �� m � n� � m � n � �� m � � n � ��� m � n �� ��k IN ��m� k � n���� m � n � � �� m � � � n � � ��� m y suc �m� son consecutivos��� m �� �m � n � m � p �� n � p �� n � p �� mn � mp

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�� EJERCICIOS RESUELTOS ��

��� Ejercicios Resueltos

Ejercicio Resuelto �� Si n � m� entonces suc �n� � suc �m�

Respuesta� Si x suc �n� � n � fng� se tiene que x n � x � n�Si x n� dado que n � m� se tiene que x m y� por consiguiente� x suc �m��Si x � m� dado que n � m� se tiene que x � m� De nuevo tengo dos casos�Si x � m� se tiene que x � m � n y� por lo tanto� suc �n� � suc �m�� luegox suc �m�� Si x m� se tiene que x m y� por consiguiente� x suc �m��Como en todo caso se tiene que x suc �m�� concluimos que suc �n� � suc �m�si n � m� �

Ejercicio Resuelto �� Si n�m son nmeros naturales� se tiene que m �m� n�

Respuesta� Por inducci�n sobre n�Sea S � fn IN �m IN �m � m� n�gPaso base S� pues �m IN �m � m�� es equivalente a �m IN �m � m�y todo conjunto es subconjunto de s� mismo�Paso Inductivo Hip�tesis �m IN �m � m� n�Tesis �m IN �m � m� suc �n��Para toda m se tiene que m � suc �n� � suc �m� n�� Pero� adem�s� m � n �suc �m� n� y por hip�tesis m � m�n� por lo tanto se tiene que m � m�suc �n��

Ejercicio Resuelto � Para todo par de nmeros naturales n�m se tiene quesi n �m � � entonces n � �m � �

Respuesta� Como n � n �m� si n�m � se tiene que n � � Por lo tanton � � pues el conjunto vac�o es el �nico subconjunto del conjunto vac�o� Porid�ntico razonamiento� m � � �

Ejercicio Resuelto � Si n �� � se tiene que m m� n

Respuesta� Como m � m � n� basta ver que si n �� � se tiene que m m � n � m � m� Como n �� existe x tal que n � suc �x�� por lo tan�to� m � n � m � suc �x� � suc �m� x�� Pero adem�s� m � m � x y� porconsiguiente� suc �m� � suc �m� x�� Luego como m suc �m� se tiene quem suc �m� x� � m� n� �

Ejercicio Resuelto �� Si n �� � se tiene que m � n �m

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�� CAP�TULO � N�MEROS NATURALES

Respuesta� Sea S � fm IN �n IN �n �� � m � n �m�g S pues �n IN �n �� � � n � � es cierta pues equivale a �n IN �n ��� � �Hip�tesis �n IN �n �� � m � n �m�Tesis �n IN �n �� � suc �m� � n � suc �m��Usando la denici�n de producto se tiene que la tesis es equivalente a �n IN �n �� � suc �m� � n � n �m� Veremos que �x suc �m�� x n � n �m��Si x suc �m�� y n �� � se tiene que x m � x � m� Si x m usando la HI�se tiene que x n � m y por consiguiente x n � n � m� Si x � m usando lahip�tesis inductiva� se tiene que x � m � n �m� Esto es� x � n �m y como n �� se tiene que x n �m� n y� por consiguiente� x n� n � n� �

Ejercicio Resuelto � Para todo par de nmeros naturales n�m se tiene quesi n �m � �� entonces n � � �m � ��

Respuesta� n �� �m �� porque si alguno de los dos es cero la hip�tesis esfalsa� ya que � n � n � � y �� �� Como n �� � m � n �m y por hip�tesisn �m � �� se tiene que m � � �m �� entonces m � � ��Porqu������� De igualmodo se concluye que n � �� �

Ejercicio Resuelto �� Para todo par de nmeros naturales n�m se tiene quesi n �m � � entonces n � �m � �

Respuesta� Tengo dos casos n � y n �� � Si n � se cumple la primeracl�usula del �� Si n �� � se tiene por ejercicio anterior que m � n �m� y comon �m � � se tiene que m � � por lo tanto m � � lo cual hace que cumpla sela segunda clausula del �� Por consiguiente� se obtiene lo deseado� �

Ejercicio Resuelto �� Para todo par de naturales� se tiene quesuc �n� � suc �m�� n � m

Respuesta� Veamos que suc �n� � suc �m� � n � m� Como n suc �n� �suc �m� tenemos que n suc �m� � m � fmg� Luego n � m � m n� Perom � n� pues si m n� se tiene que suc �m� � n� lo cual es contradictorio conel hecho de que n suc �m�� Por consiguiente� n � m� De forma an�loga seobtiene que m � n y por lo tanto n � m� �

Ejercicio Resuelto �� Para todo par de naturales� se tiene quen � m� suc �n� � suc �m�

Respuesta� Por doble contenci�n� Sea x suc �n� � n� fng� Entonces x n� x � n� Si x n� se tiene que x m y� por consiguiente� x suc �m�� Si x � nentonces x � m y� por consiguiente� x suc �m�� Luego� suc �n� � suc �m�� Laotra contenci�n se prueba an�logamente� �

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�� EJERCICIOS RESUELTOS ��

Ejercicio Resuelto ��� Demuestre que n y suc �n� son consecutivos� esto es�que no existe k IN � tal que n k suc �n��

Respuesta� Supongamos que existe k tal que n k suc �n�� Comok suc �n� � n�fng� se tiene que k � n � n k� Si k � n� como n k� se tieneuna contradicci�n� Si n k se tiene que suc �n� � k� pero como k suc �n� setiene una contradicci�n� Luego no existe k tal que n k suc �n�� �

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�� CAP�TULO � N�MEROS NATURALES

��� Ejercicios

�� Demuestre que

�i� m �� suc �m��ii� m suc �m��iii� suc �m� � n �� m n

�� Demuestre que

�i� ��n IN ��n �� � n�

�ii� Si n �� � entonces existe m IN tal que n � suc �m�

� Demuestre por inducci�n que el natural n no es subconjunto de ningunode sus elementos� esto es

��n IN ���m IN �n � m� m � n��

�� Demuestre que todo par de n�meros naturales es comparable mediante ��esto es� que ��m�n IN ��m � n� n � m�� Dado que hIN ��i es un ordenparcial� esto dice que es un orden lineal o total�

�� Demuestre que si m� p � n � p� entonces m � n�

�� Demuestre que para toda terna de n�meros naturales m�n� p se cumpleque m� n � p �� m � p�

�� El principio de buena ordenaci�n de los n�meros naturales estableceque todo subconjunto no vac�o de n�meros naturales tiene un elementom�nimo� esto es� que en todo conjunto de naturales existe un elemento quees menor o igual que todos los restantes elementos del conjunto� Demuestreeste principio� Sug�� Dado un subconjunto no vac�o S de IN def�nase un S�k como

el conjunto de los elementos de S menores o iguales que k y demuestre por inducci�n

que si Sk es un conjunto cuyo m�ximo es k entonces dicho conjunto tiene m�nimo�

�� Primer Principio de Inducci�n Matem�tica� Si P �n� es una pro�posici�n que pueden o no satisfacer los n�meros naturales� se cumple queP �� es verdadera y para cualquier k IN � P �k� implica que P �k� �� esverdadera� entonces P �n� es verdadera para todo n�mero natural� �Sug��

De�na a S como el conjunto de los n � IN para los cuales P �n� no se cumple y apl�quele

el Principio de Buena Ordenaci�n�

�� Segundo Principio de Inducci�n Matem�tica� Si P �n� es una propo�sici�n que pueden o no satisfacer los n�meros naturales� y para cualquierm IN la hip�tesis de que P �k� es verdadera para para todo � k � mimplica que P �m� es verdadera� entonces P �n� es verdadera para todon�mero natural�

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�� EJERCICIOS �

��� Demuestre que a� n � p �� mn � mp y b� �mn�p � mn�p�

��� Demostrar que si m�n� p son naturales se cumple que�m� n� � p � m � p � n � p

��� Demuestre que

�a� ��m�n� p IN ��m � n� �m� p � n� p��

�b� m � n � p � q � m� p � n � q� �Use la parte anterior�

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�� CAP�TULO � N�MEROS NATURALES

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Cap�tulo �

Clausuras de Relaciones

Las cuatro virtudes��Leal con nosotros mismos y con los que

a�n son nuestros amigos� valiente frente al enemigo� generoso

con el vencido� cort�s siempre� as� quieren que seamos las

cuatro virtudes cardinales�

Aurora� Federico Nietzsche�

El objetivo de este cap�tulo es estudiar las clausuras de las relaciones binarias�Empezaremos recordando la denici�n de producto de relaciones y deniendorecursivamente la potencia de una relaci�n� Luego estudiaremos los distintostipos de clausuras y nalmente se recuerdan las deniciones de digrafo asociadoa una relaci�n y matriz de una relaci�n con el n de usarlas para determinar lasclausuras y estudiar propiedades de las relaciones�

��� Composici�n y Potencia de Relaciones

Si R es una relaci�n de A en B y S es una relaci�n de B en C se dene unanueva relaci�n de A en C de manera natural como sigue

S �R � f�x � z� A�C �x � y� R��y � z� S para alg�n y Bg�En palabras� es el conjunto de todos los posibles caminos de A a C usando unarco de R y otro de S en ese orden� Nota El orden en la escritura es para que seaconsistente con la denici�n que usamos en c�lculo de composici�n de funciones�Sin embargo� si se desea representar como una palabra es conveniente escribirlaal rev�s� esto es� decir que la primera relaci�n que se aplica es la primera queaparece�

R � S � RS � S �REjemplo ���

Explicaci�n� Dados los conjuntos A � fa� b� cg� B � f�� �� �� g y C �fa� b� c� dg y las relaciones R � f�a� ����b� ����b� ����c� ����c� ��g y S �f�� � a���� � c���� � b�g� se tiene que���� �

Esto es particularmente �til si se aplican secuencias de relaciones de un conjuntoen si mismo� Este concepto se conoce como Secuenciaci�n de Relaciones yes computacionalmente muy �til para la manipulaci�n de estructuras con grafos�La palabra secuencia es sin�nimo de sucesi�n

��

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�� CAP�TULO � CLAUSURAS DE RELACIONES

Ejemplo ��� Dada una relaci�n R de A en A� demuestre que R es transitivasi y s�lo si R� � R�

Respuesta� ��� Sea �x � z� R�� por denici�n de R� existe y A tal que�x � y���y � z� R� pero como R es transitiva� que �x � y���y � z� R implicaque �x � z� pertenece a R���� Si �x � y� y �y � z� R� entonces por denici�n de R� �x � z� pertenecea R�� Pero como� por hip�tesis R� � R se tiene que �x � z� pertenece a R�Luego� R es transitiva� �

Si R es una relaci�n de A en A� se puede denir recursivamente la n��simapotencia de la relaci�n R como

Rn �

�I� si n � RxR� si n � suc �x��

En ocasiones� es m�s conveniente tener esta denici�n desglosada como sigue�x � z� Rn�� ssi existen y�� y�� � � � � yn A tales que

�x � y����y� � y����y� � y��� � � � � �yn � z� R�

Que intuitivamente nos dice que �x � z� pertenece a Rn si y s�lo si en el grafoasociado a R existe un camino de longitud n de x a y�

Ejemplo ��Dado A � fa� b� c� d� e� fg y R � f�a� b���a� d���c� e���b� f���d � e���e� a�g

�i� determinar R�� R�� R�� R�� R�

�ii� que puede concluir de Ri para i � �

Respuesta�

�i� � R� � f�a� f���a� e���c� a���d � a���e� b���e� d�g� R� � f�a� a���c� b���c� d���d � b���d � d���e� e���e� f�g� R� � f�a� b���a� d���c� e���c� f���d � e���d � f���e� a�g� R� � f�a� f���a� e���c� a���d � a���e� b���e� d�g

Se recomienda vericarlo gr�camente con el digrafo asociado a R�Veremos luego que tambi�n se pueden usar las matrices de la relaci�npara obtener el resultado�

�ii� Se repiten���� puede ver cu�l es el patr�n� si lo hay�

Lema ��� Si R es una relaci�n sobre A y I es la identidad de A� entoncesR � I � R y I � R � R�

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��� CLAUSURAS ��

Ejercicio ��� Probar el lema anterior

Teorema ��� Para todo par m�n de nmeros naturales� se tiene que Rm �Rn �Rm�n

Prueba� Por inducci�n sobre n�Sea S � fn IN �m IN �Rm �Rn � Rm�n�gPaso base S pues Rm � R� � Rm � I � Rm � Rm��

Paso inductivo Hip�tesis �m IN �Rm �Rn � Rm�n�Tesis �m IN �Rm � Rn�� � Rm�n���

Rm �Rn�� � Rm � �Rn �R� def� de potencias� �Rm � Rn� � R asociatividad� Rm�n � R hip� ind�� Rm�n�� def� de pot�� Rm�n�� asoc� de nat

Luego� S � IN y� por consiguiente� �m�n IN �Rm � Rn � Rm�n��

��� Clausuras

Puesto que las relaciones sobre A son sub�conjuntos de A�A se tiene que est�nordenadas parcialmente por inclusi�n� y en algunos casos tiene sentido hablardel m�nimo de un conjunto de relaciones sobre A� En esta secci�n estaremos in�teresados en hallar el m�nimo� si existe� del conjunto de las relaciones transitivas�re�exivas o sim�tricas que contienen a una cierta relaci�n R�

Clausura Transitiva

Dada una relaci�n R sobre A� existen relaciones transitivas que contienen aR� en particular� A � A es transitiva y contiene a R� Estamos interesados enextender a R a una relaci�n transitiva agregando el menor n�mero posible depares� A continuaci�n formalizamos esta idea mediante la siguiente denici�n�

De�nici�n ��� �Clausura Transitiva� Dada una relaci�n R de A en A� sedene la clausura transitiva de R como la menor relaci�n transitiva de A en Aque contiene a R� La denotaremos por t�R� o R��

N�tese que si R es transitiva� entonces t�R� � R� Para facilitar las demostracio�nes es conveniente expresar este concepto formalmente mediante sus propiedadesdenitorios� Esto es� precisaremos lo que signica �la menor relaci�n transitivade A en A que contiene a R��

De�nici�n ��� �De�nici�n Equivalente� Si R es una relaci�n de A en Ase dene la clausura transitiva de R� t�R� como la relaci�n de A en A quesatisface las siguientes propiedades

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�� CAP�TULO � CLAUSURAS DE RELACIONES

�i� t�R� es transitiva�

�ii� R � t�R��

�iii� Si R� es transitiva � R � R� entonces t�R� � R�

Teorema �� La clausura transitiva� si existe� es nica�

Prueba� Si S y S� fuesen clausuras transitivas diferentes de R� se tendr�a�en base a la denici�n de clausura que S y S� son transitivas y que R � S yR � S�� Luego como S� es transitiva y R � S�� se tiene que S � S�� porqueS es clausura transitiva� De igual forma como S es transitiva� R � S y S� esclausura transitiva de R se tiene que S� � S� Luego por el teorema de doblecontenci�n S � S�� �

Los siguientes teoremas conrman la existencia de la clausura transitiva deuna relaci�n R� El primero arma que es la intersecci�n de todas las relacionestransitivas que contienen a R� con lo cual da una prueba de su existencia� perono un mecanismo para su construcci�n� El segundo arma que es la uni�ncontable de todas las potencias de R� De nuevo esto no proporciona un m�todopara la construcci�n de la misma a menos que a partir de cierto momento launi�n deje de crecer lo que ocurre cuando A es nito� El tercero de los teoremasque presentamos considera un caso particular de este caso�

Teorema �� Si T �R� es el conjunto de las relaciones transitivas que contienena R� entonces la clausura transitiva de R es �S�T RS�Teorema ��� Si R es una relaci�n binaria sobre A entonces su clausura tran�sitiva es

�i��

Ri � R �R� �R� � � � �

Prueba� Recordemos que

�x � y� ��i��Ri � ��k IN ����x � y� Rk�

Veamos que ��i��Ri es transitiva� Sean �x � y���y � z� ��i��R

i� queremosver que �x � z� ��i��R

i� Como �x � y� ��i��Ri� se tiene que �Rj tal que

�x � y� Rj � y como �y � z� ��i��Ri� se tiene que �Rl tal que �y � z� Rl�

Por lo tanto� �x � z� Rj �Rl� y como Rj �Rl � Rj�l se tiene que �x � z� Rj�l

y por consiguiente �x � z� ��i��Ri�

Veamos que ��i��Ri contiene a R� Si �x � y� R� entonces �x � y� ��i��R

i�pues �x � y� R� � R�Falta probar que si R� es transitiva y R � R�� entonces ��i��R

i � R�� Sea�x � y� ��i��R

i� Esto implica que� �Rj tal que �x � y� Rj �A�rmaci�n� ��j IN ���R � R� � R transitiva � Rj � R��Es claro que si esta armaci�n es cierta� �x � y� Rj � R� y por consiguiente��i��R

i � R�� QED�

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��� CLAUSURAS ��

Probemos la armaci�n por inducci�n sobre j�Sea S � fj IN R � R� �R� transitiva � Rj � R�gPaso base � S� pues R � R� � R� transitiva � R� � R�� R � R�

Paso Inductivo Hip�tesis R � R� �R� transitiva � Rj � R�

Tesis R � R� �R� transitiva � Rj�� � R�

Si �x � y� Rj��� como por denici�n� Rj�� � Rj �R� se tiene existe z tal que�x � z� Rj y �z � y� R� luego� debido a que por hip�tesis inductiva� R � R�

y Rj � R�� se tiene que �x � z� R� � �z � y� R�� y por lo tanto� gracias ala transitividad de R� tenemos que �x � y� R�� lo cual implica que Rj�� � R�

Basados en los dos teoremas anteriores podemos armar que toda relaci�n tieneuna clausura transitiva �nica que denotaremos por t�R� o por R�

Si el conjunto base de la relaci�n tiene n elementos las potencias Ri del teo�rema anterior se empiezan a repetir a partir de n y en consecuencia no aportannada a la uni�n� Esto trae como consecuencia el siguiente teorema que se dejacomo ejercicio�

Teorema �� Si R es una relaci�n binaria sobre un conjunto de n elementos�entonces

t�R� �n��i��

Ri

Clausura Re�exiva� r�R�

Si R es una relaci�n de A en A la clausura re�exiva de R es la menor relaci�nre�exiva que contiene a R� Esto es� la clausura re�exiva de R� r�R�� se denepor las siguientes propiedades

�i� Es re�exiva

�ii� Contiene a R

�iii� Si alguna relaci�n re�exiva contiene a R tambi�n contiene a r�R��

Si R es re�exiva coincide con su clausura re�exiva� La clausura re�exiva de R seobtiene a partir de R a�adi�ndole los arcos re�exivos� esto es a�adi�ndole todoslos pares de la forma �a� a� que ya no est�n en R� Luego r�R� � R�f�a� a� A�Ag�

Clausura Sim�trica

Si R es una relaci�n de A en A la clausura sim�trica de R es la menor relaci�nsim�trica que contiene a R� La misma puede obtenerse a partir de R a�adi�ndolelos arcos de simetr�a�

Como el resultado de clausurar a R ya sea sim�trica� re�exiva o transitiva�mente es a su vez una relaci�n de A en A� Se puede aplicar clausura a unaclausura� Por ejemplo� rt�R� es la clausura re�exiva de la clausura transitiva

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�� CAP�TULO � CLAUSURAS DE RELACIONES

de R� o la clausura transito�re�exiva de R� Mientras que tr�R� es la clausurare�exotransitiva de R� Obs�rvese que tt�R� � t�R�� porque t�R� es transitiva�Re�exione sobre las dem�s� qu� puede concluir sobre combinaciones de tres� i�e��tst� trs� sts � La clausura re�exo�transitiva es de particular inter�s en compu�taci�n� Se representa por tr�R� � R��

Ejercicio ��� Demuestre que si R es una relaci�n binaria� entonces R � R� �R�� donde R� � ��i��R

i y R� � ��i��Ri son las clausuras transitiva y re�exo�

transitiva respectivamente�

Ejercicio �� Demuestre que las clausuras re�exo�transitiva y transito�re�exivason iguales� esto es� que

rt�R� � tr�R��

Teorema ��� Si R es una relaci�n binaria sobre A entonces

�i� r�R� � R � IdA�ii� s�R� � R �R��

Prueba�

�i� R � IdA es re�exiva pues ��a A �a� a� IdA� por lo tanto��a A �a� a� R � IdA�R � R � IdA �def� de uni�n�Si R� es re�exiva y contiene a R veamos que tambi�n contiene aR � IdA�Sea x R � I� Por denici�n de uni�n� x R � x I� Si x Rentonces x R� pues R � R�� Mientras que si x I entonces x ��a� a� para alg�n a A� y por lo tanto como R� es re�exiva x R��Luego� en cualquier caso x R�� Por consiguiente� R � I � R��Se concluye que� R � I es la clausura re�exiva de R�

�ii� R � R �R�� �def� de uni�n���x � y� R�R�� e tiene que �x � y� R � �x � y� R�� �def� deuni�n�� Si �x � y� R entonces �y � x� R�� �def� de R��� y porlo tanto �y � x� R � R��� Si �x � y� R�� entonces �y � x� R�def� de R��� y por lo tanto �y � x� R � R��� En cualquiera delos casos� si �x � y� R �R�� se tiene que �y � x� R �R��� porlo tanto R �R�� es sim�trica�Sea �x � y� R � R��� Por def� de uni�n �x � y� R � �x � y� R��� Si �x � y� R entonces �x � y� R� pues R � R�� Si�x � y� R�� entonces �y � x� R y por lo tanto �y � x� R��y por consiguiente �x � y� R� pues R� es sim�trica� Luego si R� essim�trica y R � R� entonces R � R�� � R�

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��� MATRIZ ASOCIADA ��

��� Matriz Asociada

Dada una relaci�n R de A en B� si A tiene m elementos y B tiene n elementos�puesto que R es un subconjunto de A�B� la misma puede representarse por unamatriz MR de m� n� en la que un � en la posici�n mij de la matriz indica queel par �ai � bj� pertenece a la relaci�n y un en la misma indica lo contrario�

De�nici�n �� Dada una relaci�n R de A en B� si A � fa�� a�� � � � � amg yB � fb�� b�� � � � � bng denotaremos por MR � �mij� a la matriz de m� n tal que�

mij �

��� si �ai � bj� R� si �ai � bj� � R�

Observe que si R � � entonces todas las entradas de la matriz son nulas yque si� por el contrario� R � A � B� todas las entradas son �� El n�mero deunos en la matriz cuenta el n�mero de elementos de R� Alerta Hay un ordenen la escritura de los elementos de los conjuntos A y B�una enumeraci�n��Si se cambia� obviamente cambia la matriz�

Por ejemplo� la matriz asociada a la relaci�n R � f� �� � ��� �� � ����� � ��� �� � ��� �� � ��� �� � ��� �� ��� �� � ��� �� ��� � � �g sobreel conjunto ��� es �BBB�

� � � � � � � �� �

�CCCA�Ser� la relaci�n anterior re�exiva� sim�trica� transitiva� �C�mo se ve esto enla matriz�

Ejercicio �� Halle la matriz de la relaci�n R de A en B denida por� R �f�a� ����b� ����b� ����b� ����c� ����c� ��g donde A � fa� b� cg y B �f�� �� �� g�

La matriz de la relaci�n �o asociada a la relaci�n� es una estructura algebraicamuy �til para representar las relaciones en un computador� �Puede concebirsecomo una estructura de datos� o una implementaci�n del tipo relaci�n�� Tambi�nes �til para deducir propiedades de las relaciones y es de particular importanciapara la representaci�n de digrafos� Para muchos algoritmos sobre grafos es laestructura de representaci�n de datos obligada�

Con el n de tener una herramienta que permita deducir informaci�n sobrelas relaciones a partir de sus matrices asociadas presentamos a continuaci�nalgunas operaciones sobre estas matices�

Uni�n A �B � C� signica que cij � aij � bij �

Intersecci�n A �B � C� signica que cij � aij � bij �

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�� CAP�TULO � CLAUSURAS DE RELACIONES

Producto A�B � C� �A de m�n y B de n�p� signica que cij �Pn

k�� aik�bkjTraspuesta At � C� signica que cij � aji

Orden A � B si y s�lo si para todo i� j� ai�j � bij�� � ���

Identidad In es la matriz identidad de n� n

Las tablas de las operaciones � y � se dan a continuaci�n�

� � �� � �

� � � �

El siguiente teorema provee una herramienta para decidir si una relaci�nes re�exiva� sim�trica antisim�trica y transitiva en base a su matriz asociada�Se invita al lector a escribir un programa� que use este teorema para hallardeterminar si una relaci�n es re�exiva� sim�trica� antisim�trica o transitiva�

Teorema ��� Si R es una relaci�n sobre A� A tiene n elementos y M es lamatriz asociada a R� entonces

�� R es re�exiva si y s�lo si In �M

�� R es sim�trica si y s�lo si M � M t

�� R es antisim�trica si y s�lo si M �M t � In

�� R es transitiva si y s�lo si M� �M

Tambi�n se puede usar la matriz asociada a una relaci�n para hallar susclausuras re�exiva� sim�trica y transitiva� Ello se formaliza en el siguiente teo�rema�

Teorema ��� Si R es una relaci�n sobre A� A tiene n elementos y MR es lamatriz asociada a R� entonces las matrices asociadas a las clausuras se hallancomo sigue�

�� Re�exiva� MrR � In �MR

�� Sim�trica� MsR �MR �M tR

�� Transitiva� MtR �Wn��i�� M

iR

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�� EJERCICIOS RESUELTOS �

��� Ejercicios Resueltos

Ejercicio Resuelto ��� Demuestre que si S y T son relaciones� entonces siS � T � se tiene que Sn � Tn�

Respuesta� Lo probaremos por inducci�n sobre n� Si n � � se tiene queS � T � S� � T � pues S� � S y T � � T � Supongamos que la proposi�ci�n se cumple para n� esto es� que S � T � Sn � Tn y probaremos queS � T � Sn�� � Tn��� Sea x Sn��� por denici�n de potencia� se tiene quex Sn � S y por denici�n de relaci�n x es un par digamos x � �a� c� y pordenici�n de producto de relaciones existe b tal que �a� b� Sn ��b� c� S�Luego� como por hip�tesis tenemos que S � T � en base a la hip�tesis inductivapodemos concluir que �a� b� Tn y como S � T tenemos que �b� c� T ypor consiguiente �a� c� Tn � T � Tn��� �

Ejercicio Resuelto ��� Dadas dos relaciones S y T demuestre que t�S�T � �t�S�� t�T �

Respuesta� Sea x t�S�T �� entonces como t�S�T � � ��i���S�T �i� se tieneque existe n IN � tal que x �S � T �n� Dado que S � T � S � S � T � Tusando el ejercicio anterior se tiene que �S � T �n � Sn y �S � T �n � Tn lo queimplica que x Sn y que x Tn y por consiguiente que x t�S� y x t�T � ypor lo tanto que x t�S�� t�T �� �

Ejercicio Resuelto �� Demuestre que R es sim�trica si y s�lo si s�R� � R�

Respuesta� ��� Como R � s�R�� basta probar que s�R� � R� sea x s�R��entonces x � �y � z� y como s�R� � R � bR� tenemos que x R o x bR�Si �y � z� bR� se tiene que �z � y� R y como R es sim�trica� se tiene que�y � z� R y por consiguiente s�R� � R� ��� Si s�R� � R� se tiene que R essim�trica porque s�R� lo es por denici�n� �

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�� CAP�TULO � CLAUSURAS DE RELACIONES

��� Ejercicios

�� Si R y S son relaciones binarias sobre un conjunto A� demuestre que��n IN ��Rn � �R � S�n��

�� �a� Si R y S son relaciones binarias sobre un conjunto A� demuestre que��n IN ��Rn � Sn � �R � S�n�� �b� Muestre un ejemplo en el que no secumpla la otra contenci�n�

� Demuestre por inducci�n que si R� es transitiva y R � R�� entonces ��n IN ���Rn � R���

�� Demuestre que si R es una relaci�n sobre A� entonces para todo par den�meros naturales m�n se tiene que �Rm�n � Rm�n�

�� Demuestre que R es re�exiva si y s�lo si r�R� � R�

�� �a� Demuestre que si R y S son relaciones binarias sobre A� entoncest�R�� t�S� � t�R�S�� �b� Muestre que la otra contenci�n no se cumple�

�� Demuestre que si R es re�exiva� entonces R � R��

�� Si R es una relaci�n sobre A� demuestre que �x � z� Rn�� si y s�lo siexisten y�� y�� � � � � yn A tales que�x � y����y� � y����y� � y��� � � � � �yn � z� R�

�� Demuestre que R es transitiva si y s�lo si t�R� � R�

��� Pruebe por inducci�n que si R es una relaci�n binaria re�exiva sobre A�entonces ��n IN ���R � Rn��

��� Construya las matrices asociadas de las siguientes relaciones sobre A �f�� �� �� g y a partir de ellas determine si la relaci�n en cuesti�n es re��exiva� sim�trica� antisim�trica o transitiva� Halle las potencias de cadarelaci�n� y a partir de ella halle las clausuras transitivas�

�a� R� � f�� � ����� � ����� � ����� � ����� � ��g�b� R� � f�� � ����� � ����� � ����� � ����� � ����� � ����� � ���

�� � ����� � ����� � ��g�c� R� � f�� � ����� � ����� � ����� � ����� � ����� � ����� � ���

�� � ��g

��� En cada una de las proposiciones siguientes indique si es verdadera paratodo par de relaciones R� y R�� y si es falsa� muestre un contra�ejemplo�

�a� s�R� � R�� � s�R�� � s�R���

�b� r�R� �R�� � r�R�� � r�R���

�c� t�R� � R�� � t�R�� � t�R���

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�� EJERCICIOS ��

� � Demuestre que si R es una relaci�n binaria sobre un conjunto de n ele�mentos� entonces

t�R� �n��i��

Ri �

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�� CAP�TULO � CLAUSURAS DE RELACIONES

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Cap�tulo �

Relaciones de Equivalencia

�Aqu� la vista es despejada� el esp�ritu est� elevado���Existe�

sin embargo� una especie opuesta de hombres� la cual tambi n

est� el la altura y tambi n tiene despejada la vista�pero mira

hacia abajo�

M�s all� del bien y del mal� Federico Nietzsche�

En este cap�tulo se tratar�n las relaciones de equivalencia� que son unos delos pilares fundamentales de las matem�ticas� Su primera aparici�n en estetratado ocurre en la noci�n de igualdad entre conjuntos dada por el axioma deextensi�n� La relaci�n de igualdad entre conjuntos resulta ser re�exiva sim�tricay transitiva� propiedades que ser�n la base de la denici�n por analog�a de otrasrelaciones entre otras estructuras conjunt�sticas� Las relaciones de equivalenciason la herramienta conceptual necesaria para denir todos los otros conjuntosnum�ricos a partir de los n�meros naturales� Se dar� la denici�n de particionesy se mostrar� una estrecha relaci�n entre las relaciones de equivalencia y lasparticiones de un conjunto y como a partir de las primeras se generan nuevosconjuntos� A partir de los n�meros naturales deniremos en este cap�tulo alconjunto de los n�meros enteros a partir de los cuales se denen los n�merosracionales� y a partir de estos �ltimos se denen los n�meros reales usando encada caso el concepto de relaciones de equivalencia�

�� Relaciones de Equivalencia

De�nici�n �� �Relaciones de Equivalencia� Una relaci�n de equivalenciasobre un conjunto A es una relaci�n sobre A que es re�exiva� sim�trica y tran�sitiva�

Ejemplos� Semejanza de tri�ngulos �dos tri�ngulos son semejantes si tie�nen sus tres �ngulos iguales�� Paralelismo entre rectas� La igualdad de conjuntosy en general de n�meros�

Dado un conjunto A la relaci�n de equivalencia m�s peque�a que se puedeformar es la relaci�n de igualdad en A� y la m�s grande es A�A� Al conjuntode las relaciones de equivalencia que se pueden construir sobre un conjunto Alo denotaremos por E�A��Ejercicio �� Halle todas las relaciones de equivalencias que se pueden formar

��

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�� CAP�TULO �� RELACIONES DE EQUIVALENCIA

sobre el conjunto A � f�� �� �g� �Cu�ntas son� Repita el proceso con B �f�� �� �� g�

Teorema �� R es una relaci�n de equivalencia sobre A si y s�lo si R � bR � R

De�nici�n �� �Particiones� Una partici�n de un conjunto A es una familiade subconjuntos de A� no vac�os� disjuntos dos a dos y cuya uni�n es A�

A los subconjuntos de la familia se les llama bloques de la partici�n� Si porejemplo� A � f�� �� �� g� se tiene que algunas de las particiones de A sonff�� �g� f�g� f ggff�� �� �g� f ggff�g� f�g� f�g� f ggque se suelen representar� por simplicidad� como �� �j�j � �� �� �j y �j�j�j � perono debe perderse de vista que en realidad es una familia� Al conjunto de lasparticiones del conjunto A se le suele representar por ��A�

Toda relaci�n de equivalencia sobre un conjunto A parte al conjunto A en unconjunto de subconjuntos no vac�os disjuntos dos a dos cuya uni�n es A� Estoes� genera una partici�n sobre A� Esta armaci�n se formaliza con la siguientedenici�n y los siguientes teoremas�

De�nici�n � �Clase de Equivalencia� Si R es una relaci�n de equivalen�cia sobre un conjunto A y x es un elemento de A se dene la clase de equi�valencia de x como el conjunto de los elementos de A que est�n relacionadosmediante R con x

R�x� � fy A xRyg �

Teorema �� Si R es una relaci�n de equivalencia sobre A� entonces para todox A se tiene que R�x� �� y x R�x��

Prueba� Si x A se tiene que xRx pues R es re�exiva� luego x R�x� y porconsiguiente R�x� �� �

Teorema � Si R es una relaci�n de equivalencia sobre A� entonces para todopar x� y A se tiene que R�x� � R�y� si y s�lo si xRy�

Prueba� �� � Si R�x� � R�y�� puesto que x R�x�� se tiene que x R�y� ypor consiguiente xRy��� � Sea z R�x�� por denici�n de R�x� tenemos que zRx y como por hi�p�tesis xRy y R es transitiva tenemos que zRy� lo cual implica que z R�y��Luego� R�x� � R�y�� An�logamente� tenemos que R�x� � R�y� y por consiguienteR�x� � R�y� �

Teorema � Si R es una relaci�n de equivalencia sobre un conjunto A� en�tonces R�x� � R�y� �R�x� � R�y� � �

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���� RELACIONES DE EQUIVALENCIA ��

Prueba� Por absurdo� supongamos que esta proposici�n es falsa� esto es� queR�x� �� R�y��R�x��R�y� �� � Si R�x��R�y� �� � entonces existe z R�x��R�y�y por lo tanto z R�x� y z R�y�� y por consiguiente zRx � zRy y como R essim�trica se tiene que xRz� zRy y como R es transitiva se tiene que xRy� Peroesto� en base al teorema anterior implica que R�x� � R�y� lo cual contradice lahip�tesis R�x� �� R�y�� �

Como antes se indic� estos tres teoremas permiten concluir que las clases deequivalencia son sub�conjuntos no vac�os de A� que todo elemento de A pertenecea alguna clase y que son disjuntas dos a dos� Esto es� que forman una partici�nde A� Se formalizar� despu�s de las siguientes deniciones�

De�nici�n � �Conjunto Cociente� Al conjunto de las clases de equivalen�cia en las cuales una relaci�n de equivalencia R sobre un conjunto A parte alconjunto se denomina conjunto cociente de A con respecto a R y se denota por

A�R � fR�x� x AgEl nombre de conjunto cociente se debe a que R divide a A en bloques cada unode los cuales se considera como una unidad�

De�nici�n �� �Partici�n Asociada a una Relaci�n� Dada una relaci�n deequivalencia R sobre un conjunto A se dene la partici�n asociada a R como lapartici�n cuyos bloques son los elementos de A que est�n relacionados median�te R� esto es� x� y pertenecen al mismo bloque si y s�lo si est�n relacionadosmediante R�

�R � fR�x� x Ag � fB ��x��B � R�x� �B �� �gRepetidoA�R � R

Teorema �� Si R es una relaci�n de equivalencia sobre un conjunto A� en�tonces �R es una partici�n de A�

De�nici�n � �Relaci�n asociada a una partici�n�

R � f�x � y� ��B��B � � x B � y B�g

xR�y �� x y y pertenecen al mismo bloque de �

Teorema � Si � es una partici�n de un conjunto A� entonces R es unarelaci�n de equivalencia de A�

De�nici�n �� �Re�namiento� Dadas dos particiones �� y �� decimos que�� es m�s na que �� o que �� es un renamiento de ��� si �� �� �� y todobloque de � est� contenido en un bloque de ��� esto es

�� � �� � �� �� �� � ��A��A �� � ��B��B �� � A � B��

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�� CAP�TULO �� RELACIONES DE EQUIVALENCIA

Tambi�n se dice que �� rena a ��� El conjunto de las particiones de un conjuntocon la relaci�n de renamiento forma un orden estricto� Si sobre el conjunto delas particiones de un conjunto se dene la relaci�n �menor o igual na� que sedenota por � se tiene que h��A���i es un CPO� La demostraci�n se deja comoejercicio�

a�

���

�j�� �j�� �j��

�%�%

�����

QQ

QQQ

�����

QQ

QQQ

b� IdA

A� A

� � �

�����

QQ

QQQ

�����

QQ

QQQ

Figura ��� Diagramas de Particiones y Equivalencias

La parte a de la gura ��� muestra el diagrama de Hasse las particiones delconjunto A � f�� �� �g y la parte b muestra el diagrama de Hasse del conjuntode todas las relaciones de equivalencia que se pueden construir sobre A� Enotras palabra� se ilustran los diagramas de Hasse de los conjuntos parcialmenteordenados h��A���i y hE�A���i para el conjunto A � f�� �� �g� En el gr�co�� representa la relaci�n de equivalencia IdA�f�� � ����� � ��g� y las otras dostienen signicados an�logos�

Ejercicio �� Dado el conjunto A � fa� b� c� dg construya el diagrama de Hassedel CPO h��A���i�Teorema �� Si R� y R� son relaciones de equivalencia sobre A� entoncesR� R� � �R�

es m�s na que �R��

Teorema �� Si � es una partici�n sobre A y R es una RE sobre A� entonces� � �R � R� � R�

Las siguiente dos secciones mostraran dos ejemplos importantes de la apli�caci�n de las relaciones de equivalencia� Dichos ejemplos son la construcci�n delos n�meros enteros y la construcci�n de las clases residuales m�dulo un n�meronatural k�

�� N�meros Enteros

Al igual que en el caso de los n�meros naturales construiremos al conjunto den�meros enteros con una super�estructura que al principio nos parecer� compli�cada e inc�moda de manipular� Sin embargo� no debemos perder de vista que

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���� N�MEROS ENTEROS ��

esta estructura debe servirnos solamente para deducir las propiedades b�sicasde los enteros y que una vez deducidas estas seguiremos trabajando con los en�teros y sus propiedades como lo hac�amos antes de conocer su estructura� Dehecho� de aqu� en adelante� trabajaremos con los n�meros naturales usando suspropiedades sin preocuparnos ni mencionar su super�estructura�

����� La Construcci�n

La Relaci�n de Equivalencia

Sobre el conjunto de los pares de n�meros naturales� IN�IN se dene la siguienterelaci�n

�a� b� �� c� d ��� a� d � b� c

Teorema �� La relaci�n � es una relaci�n de equivalencia�

Prueba� Es re�exiva porque para todo par �a� b� IN � IN se tiene que�a� b� � �a� b� porque a � b � b � a� Es sim�trica porque para todopar de elementos �a� b���c� d� de IN � IN tales que �a� b� � �c� d� setiene� por denici�n de � que a � d � b � c� y como la suma de natura�les es conmutativa y la igualdad es sim�trica� tenemos que c � b � d � aque implica que �c� d� � �a� b�� Y es transitiva porque para toda terna�a� b���c� d���e� f� IN � IN si �a� b� � �c� d� y �c� d� � �e� f�� setiene que �a� b� � �e� f� ya que si �a� b� � �c� d�� entonces a� d � b� c ysi �c� d� � �e� f� se tiene que c� f � d� e� si sumamos estas dos igualdadesse obtiene �a � d� � �c� f� � �b� c� � �d � e� de donde asociando conmutan�do y cancelando se tiene que a�f � b�e lo que implica que �a� b� � �e� f�� �

Como � es una relaci�n de equivalencia sobre IN � IN dicho conjunto se parteen clases� a continuaci�n describiremos dichas clases�

Descripci�n de las Clases

Como � es una relaci�n de equivalencia el conjunto IN � IN se parte en clasesy cada par de naturales se encuentra en alguna clase� Observe� por ejemplo�que la clase del par �� � �� son todos los pares de la forma �n�n� pues dichospares son equivalentes debido a que � n � � n para todo n IN � El par�� � �� no pertenece a esta clase pues � � �� � � por consiguiente debeformar una clase diferente que denotaremos la clase del �� � ��� Es claro que aesta clase pertenecen todos los pares de la forma �n � � �n�� Concluimos que��� � ���� � ��� � ���� ��� � ���� ��� � ��� � � � y ��� � ������ � ������ � ������ � ��� � � �son todas clases diferentes �Verif�quelo�� Adem�s verique que no hay m�s cla�ses� esto es� que todo par �m�n� pertenece a alguna de estas clases� N�teseque la clase ��i � ��� es igual a la clase ��m � i �m�� para todo m y de igualforma que la clase ��� � i�� es igual a la clase ��m�m � i���

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�� CAP�TULO �� RELACIONES DE EQUIVALENCIA

El conjunto cociente

De lo anterior concluimos que el conjunto cociente es

f��� �n�� n IN �g � f��� � ���g � f��n� ��� n IN �g

A dicho conjunto lo denominamos conjunto de los n�meros enteros racionales ylo denotamos por Z� en dicho conjunto distinguimos tres subconjuntos impor�tantes que son el conjunto de los enteros negativos Z� � f��� �n�� n IN �g�el conjunto de los enteros positivos Z� � f��n� ��� n IN �g y al conjuntof��� � ���g a cuyo �nico elemento denominamos CERO� Tambi�n es �til la no�taci�n Z� para denotar a los enteros no nulos� esto es� Z� � Z��Z� � Z�fg�

Por comodidad al entero ��n� ��� lo denotaremos por n y el entero ��� �n��lo denotaremos por �n� mientras que al entero ��� � ��� lo denotamos por �El conjunto Z de los n�meros enteros racionales es el conjunto de cociente de larelaci�n � sobre IN � IN � esto es� Z � IN � IN � �� En la pr�xima sub�secci�nprobaremos algunas de las propiedades de los enteros�

����� Aritm�tica del Nmero Entero

Sobre este conjunto denimos las operaciones de adici�n y multiplicaci�n comosigue

��a� b�� � ��c� d�� � ��a � c� b � d��

��a� b�� � ��c� d�� � ��ac � bd � ad � bc��

Teorema ��� La suma de dos nmeros enteros es un nmero entero�

Prueba� Dados dos enteros ��a� b��� ��c� d�� se tiene que a� b� c� d IN � Lue�go� como por denici�n de suma se de enteros tiene que ��a� b�� � ��c� d�� ���a � c� b � d�� y por ser a� b� c� d n�meros naturales se tiene que a� c y b� dson n�meros naturales� concluimos que ��a � c� b � d�� es un n�mero entero� �

La prueba del siguiente teorema es an�loga� se deja como ejercicio�

Teorema ��� El producto de dos nmeros enteros es un nmero entero�

Alerta Cada n�mero entero es una clase� esto es� un conjunto de pares� noun par� Pero con frecuencia por comodidad se usara un par perteneciente a laclase en lugar de la clase en s�� esto queda justicado por el siguiente teorema�M�s a�n� como ya se mencion�� denotaremos al entero ��n� ��� por n y diremosque es un entero positivo y al entero �� � n �� por �n y diremos que es unentero negativo� Al entero ��� � ��� lo denotamos por �

Teorema ��� La suma de dos nmeros enteros no depende de cu�les repre�sentantes de los nmeros tome para ejecutar la suma� Esto es� si �a� � b�� ��a� b�� y �a� � b�� ��a� b��� entonces ��a� � b��� � ��c� d�� � ��a� � b��� ���c� d��

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���� N�MEROS ENTEROS �

Prueba� Si �a� � b�� ��a� b����a� � b�� ��a� b��� se tiene que �a� � b�� ��a� � b�� y por consiguiente a��b� � b��a�� Si sumamos c�d en ambos lados�asociamos y conmutamos tenemos que �a� � c� � �b� � d� � �b� � d� � �a� � c��lo cual implica que ��a� � c� b� � d�� � ��a� � c� b� � d�� y por consiguienteque ��a� � b��� � ��c� d�� � ��a� � b��� � ��c� d�� �

La multiplicaci�n de n�meros enteros tambi�n goza de esta propiedad� ello loenunciamos en el siguiente teorema que dejamos como ejercicio�

Teorema �� La multiplicaci�n de dos nmeros enteros no depende de cu�lrepresentantes de los nmeros tome para ejecutar la multiplicaci�n� Esto es� si�a� � b�� ��a� b�� y �a� � b�� ��a� b��� entonces ��a� � b��� � ��c� d�� ���a� � b��� � ��c� d��

Dado que la suma de dos n�meros enteros es un n�mero entero y que nodepende del representante de la clase que use para hacer la suma se dice que laadici�n de n�meros enteros est� bien denida� Similar armaci�n puede hacersesobre la multiplicaci�n de n�meros enteros�

Podemos armar que la suma de n�meros enteros goza de las siguientespropiedades

�� Est� bien denida

�� Es asociativa� esto es� ��a� b� c Z���a� b� � c � a � �b� c�� �

� Es Conmutativa� esto es� ��a� b Z��a� b � b � a�

�� Tiene Neutro� esto es� ��a Z���z Z��a� z � z � a � z�

�� Todo elemento tiene opuesto� esto es� ��a Z���b Z��a� b � �� donde es el neutro de Z�

Es claro que el elemento neutro es la clase ��� � ��� porque si z es un entero�entonces es de la forma ��n� ��� o ��� �n�� para alg�n n IN � por casos si��n� ���� entonces ��n� ��� � ��� � ��� � ��n � � � � � ��� � ��n� ���� Noolvide que la suma dentro de los corchetes angulares es la suma de naturales� Siinvierto el orden de los sumandos el resultado es el mismo y el caso ��� �n�� esan�logo� Adem�s� el opuesto de ��n� ��� es ��� �n�� pues ��n� ������� �n�� ���n � � � � � n�� � ��n�n�� � ��� � ���� La asociatividad y la conmutatividadse enuncian en el siguiente teorema que se deja como ejercicio�

Teorema �� La suma de nmeros enteros es conmutativa y asociativa�

La multiplicaci�n de enteros goza de las siguiente propiedades b�sicas

�� Est� bien denida�

�� Es asociativa� ie�� ��a� b� c Z��a � �b � c� � �a � b� � c���Alerta� a� b� c son clases y el s�mbolo � se re�ere a la igualdad de clases esto es es la

igualdad de dos conjuntos

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�� CAP�TULO �� RELACIONES DE EQUIVALENCIA

� Es conmutativa� ie�� ��a� b Z��a � b � b � a���� Tiene elemento neutro�

�� Elemento absorbente� ie�� ��a Z�� � a � a � � ��

El siguiente teorema enuncia una propiedad conjunta de la suma y multi�plicaci�n de los n�meros enteros� Dicha propiedad se conoce como PropiedadDistributiva del producto con respecto a la suma� Recuerde que tambi�n losn�meros naturales gozan de esta propiedad�

Teorema ��� Para toda terna de nmeros enteros a� b� c se cumple que a�b�c� � ab� ac�

El siguiente teorema suele enunciarse diciendo que Z no tiene divisores decero distintos de cero� la raz�n de esto es que en otras estructuras �conjunto conrelaciones� puede que esto si ocurra�

Teorema �� Para todo par de nmeros enteros a� b se cumple que si a�b � �entonces a � � b � �

Es en base a dicha propiedad� del conjunto de los n�meros reales que� cuandotenemos que resolver una ecuaci�n del estilo �x � ���x � �� � � decimos quex� � � � x� � � �

Teorema ��� �Leyes Cancelativas� Para toda terna de enteros a� b� c setiene que si a �� � a � b � a � c� entonces b � c�

Realmente esta es s�lo la ley cancelativa a izquierda� la otra es an�loga s�lo quela a est� a la derecha�

���� Orden en los Enteros

Se dene en Z la siguiente relaci�n

��a� b�� � ��c� d���� a � d � b� c

Nota La relaci�n � en los enteros se dene en base a la relaci�n � en losnaturales usando la denici�n de suma de los naturales� El lector debe estaralerta� aunque del contexto se debe poder deducir a cu�l de las dos se reere�

Teorema ��� hZ��i es un conjunto parcialmente ordenado�

Prueba� Es re�exiva porque para todo ��a� b�� Z se tiene que a�b � b�a�Es transitiva porque si ��a� b�� � ��c� d�� y ��c� d�� � ��e� f�� se tiene quea� d � b� c y c� f � d� e de donde sumando se tiene que �a� d�� �c� f� ��b � c� � �d � e� y cancelando se tiene que a � f � b � e lo cual implicaque ��a� b�� � ��e� f��� Y es antisim�trica porque si ��a� b�� � ��c� d�� y��b� a�� � ��a� b�� se tiene que a�d � b� c y c� b � d�a de donde se deduceque a� d � b� c lo que signica que ��a� b�� � ��c� d��� �

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���� CONGRUENCIAS ��

����� Comentarios sobre el Orden

El conjunto hZ ��i es un orden lineal pero no es un conjunto bien ordenado�Sin embargo� el conjunto de los enteros positivos� los enteros no negativos ycualquier subconjunto de enteros que tenga m�nimo est� bien ordenado por ��Puesto que hZ ��i es una cadena� es un reticulado y es no acotado� No es un�lgebra de boole� Se invita al lector a probar todas estas aseveraciones� Tam�bi�n es importante que se entienda que el conjunto de n�meros naturales noes subconjunto del conjunto de los n�meros enteros� lo que es cierto es que elconjunto de los enteros no negativos es an�logo al conjunto de los n�meros na�turales� Es importante resaltar que sobre el conjunto de los enteros positivos yde los enteros no negativos es v�lido el principio de inducci�n�

Algunas propiedades de los enteros����

Tabla ��� Algunas Propiedades del orden de los Enteros�� m � m �� m � n � p � q �� m� p � n� q�� m � n � n � m �� m � n �� m � n � p � �� mp � np � m � n � n � p �� m � p �� m � n � p � �� np � mp�� m � n �� m� p � n� p �� m � n � n � m �m � n

�� Congruencias

Dado un entero positivo n � � se dene sobre Z la siguiente relaci�n

a �n b �� ��z Z��a � b� nz��� ��z Z��a� b � nz�

Ejercicio � Demuestre que �n es una relaci�n de equivalencia

En el caso de tener n � � las clases son

� �� � f� � � � �������� � �� �� � � � �g M�ltiplos de tres

� ��� � f� � � � �������� �� � �� � � � �g Dan resto � al dividir por �

� ��� � f� � � � ��� ���� �� �� �� �� � � �g Dan resto � al dividir por �

Otra manera de representar a ��� es ��� � fx Z x � �k���k Zg� Observeque la uni�n de estas tres clases dan el conjunto Z de los enteros� que son novac�as y disjuntas dos a dos� esto es� que forman una partici�n de Z� Usualmentese denotan las clases bajo esta relaci�n por x en lugar de �x� o R�x�� El conjuntocociente usando esta notaci�n es

Z� ��� f� �� �g

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�� CAP�TULO �� RELACIONES DE EQUIVALENCIA

Generalice para cualquier n� A dichos conjuntos se les denomina clasesresiduales m�dulo n y se les denota por Zn�

Ejercicio � Halle los elementos de Zn� para un n cualquiera� esto es� describacomo se parte Z para formar Zn� �C�mo luce Zn�

���� Aritm�tica de Zn

Se dene sobre Zn las operaciones de adici�n y multiplicaci�n como sigue

�r� � �s� � �r � s��r� � �s� � �r � s�

Alerta El � dentro de los corchetes es el signo de adici�n de los n�meros enterosmientras que el de afuera es el de los enteros m�dulo n� Igual con el ��

Ejemplo �� En Z� � f� �� �� �g� se tiene que � � � � � � � y � � � � � � ��Una forma de hacer las cuentas es ejecutar la operaci�n en los enteros y luegotomar el resto de dividir entre n� en este caso� otra es restarle al resultadotantas veces cuatro como sea necesaria para que d� un nmero menor que cuatro�

Ejercicio �� Demuestre que para toda terna r� s� t de elementos de Zn se cum�plen las siguientes propiedades�

�i� � r � r � � r

�ii� r � n� r � n� r � r �

�iii� r � �s� t� � �r � s� � t

�iv� r � s � s � r

�v� � � r � r � � � r

�vi� r � �s � t� � �r � s� � t

�vii� r � s � s � r

�viii� r � �s� t� � r � s� r � t

�ix � �r � s� � t � r � t � s � t

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��� CONSTRUCCI�N DE LOS RACIONALES ��

�� Construcci�n de los Racionales

A continuaci�n presentamos los pasos que se deben seguir para la construcci�ndel conjunto de los n�meros racionales a partir del conjunto de los n�merosenteros� Asumimos que todas las propiedades de los n�meros enteros han sidoprobadas� Esta construcci�n tiene car�cter de tarea especial y el lector intere�sado deber�a realizarla�

Tarea EspecialConstrucci�n del conjunto de los N�meros Racionales

�� Considere el conjunto Z �Z� y sobre dicho conjunto dena la relaci�n �de la siguiente manera

�a� b� � �c� d�� a � d � b � c

y demuestre que es una relaci�n de equivalencia�

�� Describa las clases de equivalencia de dicha relaci�n y forme el conjuntocociente Z � Z�� � que denominaremos conjunto de n�meros racionalesQ�

� Sobre este conjunto dena las siguientes operaciones que denominaremosadici�n y multiplicaci�n respectivamente

��a� b�� � ��c� d�� � ��ad � bc� bd����a� b�� � ��c� d�� � ��ac� bd��

y demuestre que

� Adici�n

�a� Est� bien denida�b� Es asociativa�c� Es Conmutativa�d� Tiene Neutro�e� Todo elemento tiene opuesto

� Multiplicaci�n

�a� Est� bien denida�b� Es asociativa�c� Es Conmutativa�d� Tiene Neutro�e� Todo elemento no nulo tiene inverso multiplicativo

� Se cumple la propiedad distributiva ��a� b� c Q��a�b�c� � ab�ac��

� ab � � a � � b �

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�� CAP�TULO �� RELACIONES DE EQUIVALENCIA

� Se cumplen las leyes cancelativas ab � ac � a �� � b � c

�� Orden en Q� Se dene en Q la relaci�n � como sigue

�a� b� � �c� d�� a � d � b � c

Demuestre que

� Es un orden total

� Se cumple la tricotom�a

� � no es un buen orden para Q� ���� y para Q��

�Qu� pasa si usamos Z � Z� en lugar de Z � Z��

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��� EJERCICIOS RESUELTOS ��

�� Ejercicios Resueltos

Ejercicio Resuelto �� Demuestre que si S y T son relaciones de equivalenciasobre el conjunto A tales que S � T � entonces para todo x A se tiene queS�x� � T �x��

Respuesta� Si a S�x� se tiene que aSx� esto es� �a� x� S� pero comopor hip�tesis S � T � se tiene que aTx y por consiguiente que a T �x�� Luego�S � T � S�x� � T �x�� �

Ejercicio Resuelto �� Sobre el conjunto de los nmeros enteros positivos Z�

se dene la siguiente relaci�n R� xRy � ��n Z��x � y�n�� Demuestre queR es una relaci�n de equivalencia� Adem�s describa las clases de equivalenciay halle el conjunto cociente�

Respuesta� R es re�exiva porque para todo x Z� se tiene que x � x��� Essim�trica porque para todo par x� y Z� si xRy entonces se tiene que existen Z tal que x � y�n� Pero como y � x��n se tiene que yRx� Es transitivaporque si xRy�yRz� entonces existen n�� n� Z tales que x � y�n� y y � z�n� �lo cual implica que x � z�n��n� y por consiguiente que xRz�Consideremos la clase de cada elemento en Z� empezando por la del �� La clasedel � x R��� � � � x�n para alg�n n Z� o por simetr�a x � � � �n conn Z�� Luego todas las potencias de � pertenecen a la clase del �� esto es�R��� � f�� �� � �� ��� � � �g � fx Z� x � �n� n Zg� Como las clases sondisjuntas y el primer entero positivo que no pertenece a la clase del � es el �consideremos la clase del �� Como antes x R���� ��n Z���x � � ��n�� Nossale que R��� � f�� �� ��� � � � � �g � fx Z� x � � � �n� n Zg� La del cinco esR��� � fx Z� x � � � �n� n Zg y en general se tiene una clase para cadaimpar R��k � �� � fx Z� x � ��k � �� � �n� n Zg� Finalmente el conjuntocociente es Z��R � f��k � �� k Zg� �

Ejercicio Resuelto � Sea f A � B una funci�n� Dados dos elementosa�� a� A diremos que a� est� relacionado con a� y lo representaremos por a� �a� si y s�lo si f�a�� � f�a��� Muestre que � es una relaci�n de equivalenciasobre A� Al conjunto cociente de esta relaci�n se denomina kernel de f y a lasclases de equivalencia �bras de f�

Respuesta� Es re�exiva porque f�a� � f�a� para toda a A lo cual impli�ca que a � a para toda a A� Es sim�trica porque si a� � a� se tiene quef�a�� � f�a�� y como la igualdad es sim�trica se tiene que f�a�� � f�a�� locual signica que a� � a�� Y es transitiva porque si a� � a� y a� � a�� entoncesf�a�� � f�a�� y f�a�� � f�a�� lo que implica que f�a�� � f�a�� y por consi�guiente que a� � a�� �

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��� CAP�TULO �� RELACIONES DE EQUIVALENCIA

Ejercicio Resuelto � Demuestre que si R es una relaci�n de equivalencia�entonces R � R � R�

Respuesta� Por doble contenci�n���� Sea �x � z� R �R� entonces existe y talque �x � y���y � z� R y puesto que R es transitiva� se tiene que �x � z� R���� Si �x � z� R� como R es re�exiva� �x � x� R y dado que �x � x� R y�x � z� R� se tiene que �x � z� R�� �

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���� EJERCICIOS ���

� Ejercicios

�� Demuestre que si R y S son relaciones de equivalencia sobre A� entonces�R � S��x� � R�x� � S�x�

�� Demuestre que si R� S y R � S son relaciones de equivalencia sobre A�entonces �R � S��x� � R�x� � S�x�

� Demuestre que si R es una relaci�n de equivalencia sobre un conjunto A�entonces ��n IN ���Rn � R�� �Qu� propiedades de R us��

�� Dado un conjunto no vac�o A� denotamos por E�A� al conjunto de lasrelaciones de equivalencia sobre A� Si A � fa� b� cg�a� Halle todas las relaciones de equivalencia sobre A

�b� Muestre que hE�A���i es un conjunto parcialmente ordenado

�c� Construya su diagrama de Hasse

�d� �Es hE�A���i un reticulado�

�� Si S y R son relaciones de equivalencia sobre A� diga si son ciertas lassiguientes armaciones� Justique su respuesta�

�a� R � S es una relaci�n de equivalencia sobre A�

�b� R � S es una relaci�n de equivalencia sobre A�

�c� R � S es una relaci�n de equivalencia sobre A�

�d� R � S es una relaci�n de equivalencia sobre A�

�� Si todo elemento de X es una relaci�n de equivalencia sobre A� �a� �Es�X una relaci�n de equivalencia sobre A� �b� �Es �X una relaci�n deequivalencia sobre A�

�� Pruebe que si R� S y R �S son relaciones de equivalencia sobre A� entoncesR � S � S � R

�� Dada una partici�n � de un conjunto A y una relaci�n de equivalenciasobre el mismo conjunto demuestre que R� � R�� �R � �

�� sea R una relaci�n sobre Z� denida como aRb� mcd�a� �� � mcd�b� ��

�a� Muestre que R es de equivalencia�

�b� Halle las clases de equivalencia y el conjunto cociente�

��� Dado el conjunto A � f�� �� �� � �g�a� Halle la relaci�n de equivalencia asociada a la partici�n

� � ff�� �g� f�� g� f�gg

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��� CAP�TULO �� RELACIONES DE EQUIVALENCIA

�b� Halle la partici�n asociada a la relaci�n de equivalenciaR � f�� � ����� � ����� � ����� � ����� � ����� � ����� � ���

�� � ����� � ��g

��� Dado un conjunto A se denota por ��A� al conjunto de las particiones deA� Se dice que una partici�n �� es m�s o igual de na que �� y se denotapor � si todo bloque de �� est� contenido en un bloque de ��

�a� Demuestre que h��A���i es un conjunto parcialmente ordenado

�b� �Es h��A���i un reticulado�

�c� Tomando A � fa� b� cg construya todas las particiones de A y dibujeel diagrama de Hasse de h��A���i

��� Demuestre que el producto de dos n�meros enteros es un n�mero entero�

� � Demuestre que el producto de dos enteros no depende del representante dela clase� esto es� si �a� � b�� ��a� b�� y �a� � b�� ��a� b��� entonces��a� � b��� � ��c� d�� � ��a� � b��� � ��c� d��

��� Se dene la relaci�n �k sobre IN como sigue

a �k b�� ��z IN ��a � b� zk � b � a� zk�

�i� Demuestre que �k es una relaci�n de equivalencia sobre IN

�ii� �Cu�ntas clases tiene IN � �k�

�iii� Muestre las clases si k � � y si k �

��� Dado el conjunto A � fa� b� cg�a� Halle todas las particiones de A y construya el diagrama de Hasse de

h�A��i�b� Halle todas las relaciones de equivalencia sobre A� Denote a este

conjunto por Req�A� y dibuje el diagrama de Hasse del conjuntoparcialmente ordenadohReq�A���i

�c� �Qu� relaci�n encuentra entre las partes �a� y �b��

��� Demuestre que el conjunto de los n�meros enteros con la relaci�n � de�nida como ��a� b�� � ��c� d��� a � d � b � c es un orden total�

��� Demuestre que si a� b Z y a � b � �� entonces �a � � � b � �� � �a ��� � b � ���� Sug�� Use los representantes can�nicos y pruebe por casos

��� Demuestre que si �� y �� son particiones de A� entonces �� � �� ��R�� � R��

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���� EJERCICIOS ��

��� Dada la matriz de una relaci�n de equivalencia R sobre A� diga comohallar f�cilmente la clase de un elemento a A�

��� Pruebe o desmienta las proposiciones siguientessi F es una familia no vac�a de relaciones de equivalencia sobre el conjuntoA� entonces

�a� �F es de equivalencia si y s�lo si toda R F es de equivalencia�

�b� �F es de equivalencia si y s�lo si toda R F es de equivalencia�

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��� CAP�TULO �� RELACIONES DE EQUIVALENCIA

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Cap�tulo �

Funciones

�Ten is valor� oh hermanos m�os� �Est�is resueltos� �No el valor

ante los testigos� sino el valor de los solitarios� el valor de las �guilas�

que no tienen ning�n dios espectador� Las almas fr�as� los mulos� los

ciegos� los hombres ebrios no tienen lo que yo llamo coraz�n� S�lo

tiene coraz�n el que conoce el miedo� pero que domina el miedo� el

que ve el abismo� pero con �altivez�� El que ve el abismo� pero con

ojos de �guila� se es el que tiene valor�

As� habl� Zaratustra� Federico Nietzsche�

El concepto de funci�n es un concepto con el que todos estamos de una formau otra familiarizados� Una funci�n f de un conjunto A en un conjunto B esuna regla que asigna a cada elemento de A un �nico elemento de B� En c�lculo�a menudo� una funci�n se da por una f�rmula sencilla tal como f�x� � �x�� ��o por una f�rmula no tan sencilla como

f�x� ��Xn��

xn

n�

Adem�s� con frecuencia� ni siquiera se mencionan los conjuntos A y B expl�cita�mente� asumiendo t�citamente que A es el conjunto de todos los n�meros realespara los cuales tiene sentido la regla y B es el conjunto de todos los n�merosreales� Para muchos prop�sitos la denici�n de una funci�n por medio de unaf�rmula sin especicar los conjuntos A y B es satisfactoria y no vale la penacomplicarla� sin embargo cuando uno se adentra algo m�s en las matem�ticassurge la necesidad de precisar m�s el concepto de funci�n�

�� La De�nici�n

De�nici�n ��� �Funci�n� Dados dos conjuntos A y B una funci�n de A enB es una relaci�n binaria de A en B �un subconjunto de A � B que cumplecon�

�a ��a A���b B���a� b� f�

�b ��a A���b� b� B���a� b� f� � a� b� � f � b � b��

Para denir una funci�n es necesario indicar los conjuntos A y B que se de�nominan como en las relaciones binarias dominio y codominio respectivamente�denir la regla de asignaci�n o mostrar los pares de la funci�n y vericar quese satisfacen �a� y �b�� esto es� vericar que f asigna a cada elemento de Aexactamente un elemento de B� Cuando se ha vericado todo esto decimos quela funci�n f en cuesti�n est� bien denida�

���

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��� CAP�TULO �� FUNCIONES

Para indicar que f es una funci�n de A en B se escribe f A� B� Puestoque por �b� todo elemento a A puede tener s�lo una imagen mediante f �dicha imagen se denota por f�a� � b y se lee �b es la imagen de a mediante f ��N�tese que el hecho de que se use la notaci�n f�x� � � � � no signica que dichaexpresi�n sea forzosamente una funci�n� Usualmente las funciones se denotanpor las letras f� g� h y el conjunto de las funciones de A en B se denota por BA�esto es BA � ff jf A� Bg�

Ejemplos

� f IR � IR� con f�x� � �x es una funci�n porque para � x IR��x IR�y dados x� y IR si x � y entonces �x � �y y por lo tanto f�x� � f�y��

� f�x� � �x no es una funci�n de IR en IR porque f�� � �

� no pertenece aIR� No obstante� es una funci�n de IR� a IR�

� f�x� x�� x IRg es una funci�n de IR en IR que denotamos por f�x� � x�

� y � x�� mientras que f�x�� x� x IRg no es una funci�n de IR en IR

porque se viola la condici�n �b� �considerar� por ejemplo� ��� �� y ��������

De�nici�n ��� �Imagen de un Conjunto� Sea f una funci�n de A en B ysea A� un subconjunto de A se dene la imagen de A� mediante f comoel conjunto de los elementos de B que son im�genes de algn elemento de A��Simb�licamente�

f�A�� � fy B �x A��f�x� � y�g

Obs�rvese que f�A�� � B y que por lo tanto� si f A � B la denici�n deimagen induce de manera natural una nueva funci�n F P�A� � P�B� queasigna a cada elemento de P�A� un elemento de P�B��

Igualdad de Funciones

Dos relaciones binarias son iguales si tienen iguales dominios y codominios ycomo conjuntos son iguales� Debido a que las funciones son relaciones estamisma denici�n se aplica a las funciones� Dos funciones f y g son iguales ssisus dominios y codominios son iguales y para todo elemento a de sus dominiosf�a� � g�a��

Composici�n de Funciones

Como las funciones son un tipo particular de relaciones la denici�n de compo�sici�n de relaciones se aplica directamente a las funciones� Si g es una funci�nde A en B y f es una funci�n de B en C entonces f � g es por denici�n derelaciones una relaci�n de A en C�

El siguiente teorema asegura que la composici�n de dos funciones es a su vezuna funci�n�

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���� TIPOS DE FUNCIONES ���

Teorema ��� Dadas las funciones g A � B y f B � C� se tiene que lacomposici�n f � g es una funci�n de A en C y que para toda x A� se cumpleque f � g�x� � f�g�x���

Prueba��a� Sea a A� como g A � B existe b B tal que �a� b� g y comob B � f B � C �c C tal que �b� c� f � Luego� por denici�n decomposici�n se tiene que �a� c� f � g��b� Supongamos que �a� c���a� c�� f � g� Por denici�n de composici�n derelaciones �b� b� B tales que �a� b���a� b�� g y �b� c���b�� c�� f � Comog es funci�n se tiene que b � b� y por lo tanto como �b� c���b� c�� f y f esfunci�n se tiene que c � c��Luego por �a� y �b� f �g es una funci�n� Adem�s� si �a� c� f �g entonces �b B tal que �a� b� g ��b� c� f � esto es� �b B tal que g�a� � b � f�b� � c�pero como f � g es una funci�n �a� c� f � g se puede expresar como

f � g�a� � c � f�b� � f�g�a��

Como la composici�n de relaciones es asociativa y las funciones son relacionesla composici�n de funciones es asociativa� Si se quiere probar esto sin usar elhecho de que la composici�n de relaciones es asociativa basta ver que �x en eldominio de �f � g� � h se tiene que

�f � g� � h�x� � �f � g��h�x�� � f�g�h�x���

mientras que �x en el dominio de f � �g � h� se tiene que

f � �g � h��x� � f�g � h�x�� � f�g�h�x���

Luego� en efecto� �f � g� � h � f � �g � h�La composici�n de funciones no es conmutativa� De hecho f � g y g � f no

tienen por que tener el mismo dominio y&o codominio� por ejemplo si f B � Ay g A � B se tiene que f � g A � A mientras que g � f B � B� A�ncoincidiendo los dominios se pueden conseguir f�cilmente ejemplos que ponenen evidencia la no conmutatividad de la composici�n de funciones� Considere�por ejemplo� f IR � IR� f�x� � x� y g IR � IR g�x� � �x� Se tiene quef � g�x� � f�g�x�� � �g�x��� � ��x�� � �x� mientras que g � f�x� � g�f�x�� ��f�x� � �x�� y claramente son funciones distintas�

Si f A � A entonces se puede componer f consigo misma para producirotra funci�n de A en A�

�� Tipos de Funciones

De�nici�n �� Sea f una funci�n de A en B� esto es� f A� B� se dice que

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��� CAP�TULO �� FUNCIONES

�a� f es inyectiva ssi f�a� � f�b� implica que a � b� o equivalentemente sia �� b implica que f�a� �� f�b�

�b� f es sobreyectiva ssi para todo b B existe a A tal que f�a� � b� oequivalentemente si f�A� � B�

�c� f es biyectiva ssi es inyectiva y sobreyectiva�

Para denotar que la funci�n f A� B es inyectiva se puede usar la expresi�nf A��B� para denotar que es sobreyectiva se puede usar la expresi�n f A��By para denotar que es biyectiva se puede usar f A���B�

De�nici�n �� �Imagen Inversa� Dada una funci�n f A � B� y B� � Bse dene la imagen inversa de B� mediante f�tambi�n denominada preima�gen de f�como el conjunto de los elementos de A cuyas im�genes mediantef pertenecen a B�� Simb�licamente�

f���B�� � fx A f�x� B�g

Observe que el s�mbolo f�� representa una funci�n de P�B� en P�A�� Estes�mbolo se usa tanto para determinar la inversa de una funci�n biyectiva f comopara denotar la imagen inversa de un conjunto bajo una funci�n cualquiera f ����

Si f es una funci�n de A en B se denen las bras de f como las preim�genesno vac�as de cada uno de los elementos de B� Esto es� �b B si f���fbg� �� es una bra de f � N�tese que si f no es sobreyectiva alguna preimagen de fes vac�a� El conjuntos de las bras de f forman una partici�n de A que sedenomina la partici�n inducida por f � A la relaci�n de equivalencia asociada aesta partici�n se le denomina la relaci�n de equivalencia inducida por f � Estose formaliza con el siguiente teorema�

Teorema ��� Dada una funci�n f A� B� si denimos la siguiente relaci�nsobre A�

a � b� f�a� � f�b�

se tiene que � es una relaci�n de equivalencia sobre A�

Prueba�� es re�exiva porque �a A�a � a� ya que �a A�f�a� � f�a���� es sim�trica porque �a� b A�a � b� b � a� ya que �a� b A�f�a� � f�b��f�b� � f�a���� es transitiva porque �a� b� c A�a � b � b � c � a � c� ya que �a� b� c A�f�a� � f�b�� f�b� � f�c�� f�a� � f�c�� �

Esta relaci�n de equivalencia parte al conjunto A en bloques cada uno de loscuales son las preim�genes no vac�as de elementos de B mediante f � A estapartici�n se le denomina el kernel de f �

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���� TIPOS DE FUNCIONES ���

De�nici�n ��� �Sobreyecci�n Can�nica� Dada una relaci�n de equivalen�cia sobre un conjunto A la funci�n g A� A�R denida por

g�a� � �a�R

se denomina la sobreyecci�n can�nica de A al conjunto cociente A�R

De�nici�n �� Sea f A� B� y sea A� un subconjunto del dominio de f � Sedene la restricci�n de f a A� como la funci�n f jA� de A� en B que coincidecon f en A�� Esto es� f A� � B y f jA� �x� � f�x�

De�nici�n ��� Dada una funci�n f A� � B y g A � B� y A� � B se diceque g es una extensi�n de f al dominio A si gjA� � f �

De�nici�n ��� �Funci�n Constante� Dados dos conjuntos A y B una fun�ci�n f A� B es una funci�n constante si existe b B tal que f�a� � b� a A� equivalentemente si la imagen de A mediante f es un singlet�n�f�A� � fbgpara algn b B�

Observe que se pueden denir tantas funciones constantes como elementos tengaB� Observe tambi�n� que la funci�n constante es inyectiva ssi A tiene un soloelemento�

De�nici�n ��� �Funci�n Identidad� Dado un conjunto A se dene la fun�ci�n identidad IdA A� A como la funci�n tal que IdA�a� � a �a A

La funci�n identidad de un conjunto es claramente biyectiva� Sobre la fun�ci�n identidad vale la pena mencionar el siguiente teorema�

Teorema �� Si f A� B entonces f � IdA � IdB � f � f

De�nici�n ���� �Permutaci�n� Una permutaci�n del conjunto A es una fun�ci�n biyectiva sobre A�

De�nici�n ���� �Funci�n Caracter�stica de un Conjunto� Dado un con�junto A y un subconjunto B de A se dene la funci�n caracter�stica de B como��B A� f� �g

�B�x� �

��� si x B�� si x � B�

Vale la pena repetir que �B es una funci�n de A en f� �g� esto es� �B f� �gA�Adem�s� puede probarse que toda funci�n en f� �gA es la funci�n caracter�sticade alg�n subconjunto B de A� �Ejercicio��

De�nici�n ���� �Funci�n Inclusi�n� Dado A� � A se dene una funci�nI A� � A con la regla a � a

Esta funci�n no es m�s que la funci�n identidad restringida a A�� por lo tantoes inyectiva�

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��� CAP�TULO �� FUNCIONES

Teorema �� Dadas g A� B y f B � C se tiene que�

�a si f y g son sobreyectivas� entonces f � g es sobreyectiva

�b si f y g son inyectivas� entonces f � g es inyectiva

�c si f y g son biyectivas� entonces f � g es biyectiva�

Prueba�

�a� Sea g A � B y f B � C funciones sobreyectivas� Como g y fson sobreyectivas se tiene que g�A� � B y f�B� � C� luego f � g�A� �f�g�A�� � f�B� � C� Por lo tanto� f � g A� C es sobreyectiva�Otra prueba Sea g A� B y f B � C entonces f � g A� C� Dadoc C quiero ver que existe a A tal que f � g�a� � c� Si c C� como fes sobre� se tiene que �b B�f�b� � c�� adem�s� como g es sobreyectiva��a A�g�a� � b�� por lo tanto f�g�a�� � c y f � g�a� � c� Luego�� c C�a A�f � g�a� � c� y por consiguiente f � g es sobreyectiva�

�b� Sean g A� B y f B � C entonces f � g A� C� Quiero probar quef � g es inyectiva� esto es� que � x� y A si f � g�x� � f � g�y� entoncesx � y� Sea x� y A tales que f � g�x� � f � g�y�� Por denici�n decomposici�n se tiene que f�g�x�� � f�g�y��� pero como f es inyectiva setiene que g�x� � g�y�� y como a su vez g es inyectiva sale que x � y�

�c� Como f� g son biyectivas se tiene que son inyectivas y sobreyectivas y por lotanto por las partes �a� y �b� se tiene que f � g es inyectiva y sobreyectiva�por consiguiente biyectiva�

Teorema ��� Dadas g A� B y f B � C se tiene que

�a si f � g es sobreyectiva� entonces f es sobreyectiva

�b si f � g es inyectiva� entonces g es inyectiva

�c si f � g es biyectiva� entonces f es sobreyectiva y g es inyectiva

Prueba�

�a� Sean g A � B y f B � C funciones tales que f � g A � C essobreyectiva� quiero ver que f es sobreyectiva� Como f � g es sobreyectiva�� c C��� a A� tal que f � g�a� � c� esto es� f�g�a�� � c� pero comog es una funci�n de A en B existe b B�g�a� � b�� Luego� � c C�b B�f�b� � c�

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���� FUNCIONES INVERSAS ���

�b� Sean g A � B y f B � C funciones tales que f � g A � C esinyectiva� quiero ver que g es inyectiva� esto es� debo ver que � x� y A sig�x� � g�y� entonces x � y� Sea x� y A tales que g�x� � g�y�� como f esfunci�n se tiene que f�g�x�� � f�g�y���si son el mismo elemento tienenla misma imagen�� pero como por hip�tesis f �g es inyectiva se tiene quex � y�

�c� Es inmediata de las partes �a� y �b��

�� Funciones Inversas

Dada una funci�n f A� B� como f es una relaci�n� siempre existe la relaci�ninversa de f que resulta de invertir las coordenadas de los pares ordenados quepertenecen a f � Esto es� f�� como relaci�n est� siempre denida� sin embargono hay ninguna garant�a de que f�� sea una funci�n� La pregunta obligada esbajo qu� condiciones es f�� una funci�n� Para responder esta pregunta puedeser �til observar las funciones representadas en la gura junto con sus respectivasrelaciones inversas� Tenga en mente que para hallar la relaci�n inversa bastacon invertir las �echas�

N�tese que f��� no es funci�n pues viola la condici�n �b�� esto ocurre porque

como f� no es inyectiva al invertir las �echas queda un elemento con m�s de unaimagen� Observe tambi�n que f��

� tampoco lo es pues se viola la condici�n �a��en este caso la causa es que f� no es sobreyectiva y por consiguiente al invertirlas �echas existe un elemento en B del que no sale �echa� f��

� si es funci�n puesf� es tal que a cada elemento de B le llega exactamente una �echa�

Estas observaciones se formalizan en el siguiente teorema�

Teorema ��

�a Si f A� B no es inyectiva� entonces la relaci�n f�� no es una funci�n�

�b Si f A � B no es sobreyectiva� entonces la relaci�n f�� no es unafunci�n�

�c Para que f�� sea una funci�n es condici�n necesaria y suciente que f seabiyectiva�

Prueba��a� Si f A� B no es inyectiva ��a� a� A� a �� a��b B� tal que �a� b� fy �a �� b� f � Luego �b� a���b� a �� f��� Por lo tanto f�� no es funci�n��b� Si f A� B no es sobreyectiva �b B tal que �a A��a� b� � f�� Luego�b B��a A �a� b� � f� y por lo tanto f�� no es funci�n��c� Por contrarrec�proco de �a� y �b� si f�� es funci�n entonces f es biyectiva�Adem�s si f es biyectiva entonces cada b B aparece como segunda coordenadade exactamente un par de f � Luego al invertir las coordenadas cada elemento

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��� CAP�TULO �� FUNCIONES

b B aparece como primera coordenada de exactamente un par de f��� Porconsiguiente f�� es funci�n� �

Este teorema permite concluir que s�lo si la funci�n f es biyectiva la relaci�ninversa f�� es una funci�n� M�s a�n� nos permite concluir que f�� es funci�nssi f es biyectiva� El siguiente teorema muestra una propiedad interesante dela relaci�n inversa�

Teorema ��� Dada una funci�n f A � B si f�� es funci�n� entoncesf�� � f � IdA y f � f�� � IdB�

Inversas Unil�teras

De�nici�n ��� �Inversas Unil�teras� Dada f A � B� decimos que g B � A es una inversa a izquierda de f ssi g � f � IdA� y decimos queh B � A es una inversa a derecha de f ssi f � h � IdB �

Inversas

De�nici�n ��� �Inversas� Dada f A� B decimos que g B � A es unainversa de f � ssi g � f � IdA y f � g � IdB� esto es� si g es inversa a derecha ya izquierda de f � Tambi�n se dice que g es inversa bil�tera de f �

Una funci�n puede tener varias inversas a derecha o varias inversas a iz�quierda� pero si tiene inversa a izquierda y a derecha� entonces dichas inversascoinciden y son �nicas� Esto dice que la inversa de una funci�n� si existe� es�nica� El siguiente teorema formaliza estos comentarios�

Teorema ��� Si f A� B� con A �� entonces�

�a f es inyectiva ssi tiene �al menos una inversa por la izquierda�

�b f es sobreyectiva ssi tiene �al menos una inversa por la derecha�

�c f es biyectiva ssi tiene una nica inversa bil�tera�

�d f es biyectiva ssi las inversas derechas e izquierdas coinciden�

Prueba�

�a� ��� Si f es inyectiva construiremos una inversa a izquierda para f � To�memos a� un elemento cualquiera de A� que sabemos que existe porqueA �� y denamos g B � A por

g�b� �

�a� si b f�A�� f�a� � b�a�� si b � f�A��

a es �nico porque f es inyectiva� Por lo tanto g asigna a cada b B un�nico elemento de A� Luego est� bien denida� Adem�s� g es una inversa aizquierda de f porque � a A si f�a� � b se tiene que g�f�a�� � g�b� � a�

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���� FUNCIONES INVERSAS ��

��� Supongamos que f tiene inversa a izquierda� esto es� supongamos queexiste g B � A tal que g � f � IdA� quiero ver que f es inyectiva� ComoIdA es inyectiva por el Teorema ��� f es inyectiva� A continuaci�n se dauna prueba directa Sean x� y A tales que f�x� � f�y�� quiero ver quex � y� Si f�x� � f�y� se tiene que g�f�x�� � g�f�y�� porque g es funci�nel lado izquierdo de esta igualdad es x mientras que el lado derecho es yluego x � y�

�b� ��� Si f es sobreyectiva construyamos una inversa por la derecha� esto es�debemos construir h B � A tal que f � h � IdB � Como �b B�a A�f�a� � b�� N�tese que como f no es necesariamente inyectiva este a noes necesariamente �nico� Para cada b B tomamos uno de los a tales quef�a� � b y denimos �b B�h�b� � a� con a tal que f�a� � b�� N�teseque f � h�b� � f�h�b�� � f�a� � b� por lo tanto� en efecto f � h � IdB ���� Si h es inversa a derecha de f entonces f �h � IdB � Sea b B� comoh B � A �a A�h�b� � a� y como f �h � IdBse tiene que f�h�b�� � b�por lo tanto f�a� � b� Luego� �b B�a A�f�a� � b� y por consiguientef es sobreyectiva�

De la parte �c� de este teorema concluimos que para saber si una funci�n fde A en B es una biyecci�n basta con exhibir la funci�n inversa�

Funciones Parciales

Otro tipo interesante de relaciones son las funciones parciales� Una funci�nparcial de A en B es una relaci�n de A en B que asigna a algunos de loselementos de A un �nico elemento de B� Su diferencia con las funciones esque no forzosamente asigna a cada elemento de A un elemento de B� N�teseque si consideramos el subconjunto A� � A al cual la funci�n parcial le asignaelementos de B la restricci�n de la funci�n parcial a dicho conjunto es unafunci�n en el amplio sentido de la palabra� Es esta la raz�n por la cual ladenominamos funci�n parcial�

Las funciones parciales aparecen de manera natural cuando pretendemosdenir ciertas funciones sobre un conjunto A con el inconveniente de que paraciertos valores del dominio no tiene sentido denir a dicha funci�n� En dichocaso� podr�amos averiguar para que valores la funci�n en cuesti�n no est� de�nida y establecer expl�citamente cual es el conjunto A que tiene sentido para ladenici�n� Sin embargo� este procedimiento podr�a ser tedioso y no aportarnosning�n benecio� salvo el de que la funci�n sea realmente una funci�n� En estoscasos es m�s conveniente aceptar que la funci�n que estamos manipulando esuna funci�n parcial�

De�nici�n ���� �Funci�n parcial� Dados dos conjuntos A y B una funci�nparcial de A en B es una relaci�n binaria de A en B �un subconjunto de A�B

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��� CAP�TULO �� FUNCIONES

que cumple con�

��a A���b� b� B���a� b� f ��a� b�� f � b � b��

Note que si f es una funci�n de A a B entonces f es una funci�n parcial deA en B� pero no lo contrario� Algunos autores para evitar confusi�n denominana las funciones funciones totales� Nosotros� usaremos el calicativo �parcial�cuando queramos hacer referencia a una funci�n parcial�

Ejemplos

f�x� � �x es una funci�n parcial f IR � IR pues no est� denida para x �

La operaci�n de tomar ra�z cuadrada de un n�mero real es una funci�n parcialde IR en IR pues

px no est� denida para x �

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��� EJERCICIOS RESUELTOS ���

�� Ejercicios Resueltos

Ejercicio Resuelto ��� Demuestre que la funci�n f IN � IN � IN � denidapor f��x � y�� � �x��y��� es biyectiva� �Nota� Esta prueba requiere del teoremafundamental de la aritm�tica

Respuesta� Inyectividad Sean �u� v� y �s � t� dos elementos de IN � IN

tales que f��u� v�� � f��s � t��� Por denici�n de f se tiene que �u��v� �� ��s��t � ��� Como �u��v � �� es un n�mero natural se tiene que su descom�posici�n en primos es �nica� Adem�s como �v � � es impar en dicha descom�posici�n la potencia de � es justamente u� Aplicando el mismo razonamien�to a �s��t � �� se concluye que �u � �s de donde concluimos que u � sy por consiguiente �v � � � �t � � lo que implica que v � t y en conse�cuencia �u� v� � �s � t�� Sobreyectividad Sea n IN por el teorema fun�damental de la aritm�tica se tiene que n tiene una �nica descomposici�n enprimos digamos que ella es n � ��p��� � � � p�kk con � � y i � �� Claramen�

te� el par � ��p������p

�kk��

� � pertenece a IN � IN pues p��� � � � p�kk es impar y

f�� ��p������p

�kk��

� �� � �����p������p

�kk��

� � � �� � n �

Ejercicio Resuelto ���

Dados m�n IN y X �� � si X� representa al conjunto de tuplas innitas� estoes� X� � f�x�� x�� x�� � � �� xi Xg halle una funci�n�

�a sobreyectiva fa Xm � Xn si m � n�

�b biyectiva fb X� �Xn � X��

Respuesta� �a� Denimos fa�� x�� x�� � � � � xm �� �� x�� x�� � � � � xn �� Es�ta funci�n construye la imagen de una m�tupla usando la primeras n coor�denadas de la m�tupla� Es una proyecci�n� Es sobreyectiva porque si �a�� a�� � � � � an � Xn� entonces � a�� a�� � � � � an� a�� � � � � a� � Xm y fa��a�� a�� � � � � an� a�� � � � � a� �� �� a�� a�� � � � � an � Xn��b� Denimosfb��� x�� x�� � � � ��� y�� y�� � � � � yn ��� �� y�� y�� � � � � yn� x�� x�� � � � � �

Ejercicio Resuelto �� Halle una biyecci�n entre el conjunto de los polino�mios de grado menor o igual que n con coecientes en el conjunto F y el con�junto de las n tuplas de elementos de F �

Respuesta� Representemos por Fn�x� al conjunto de los polinomios de gradomenor o igual que n con coecientes en el conjunto F y por Fn�� al conjun�to de las n � ��tuplas con coordenadas en F � Se dene f�a� � a�x � a�x

� �� � � � anxn� �� a�� a�� � � � � an �� Esta funci�n es inyectiva y sobreyectiva�Inyectiva Sean P �x� y Q�x� dos polinomios de Fn�x� tales que f�P �x�� �

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��� CAP�TULO �� FUNCIONES

f�Q�x��� Entonces se tiene que P �x� � a� � a�x � a�x� � � � � � anx

n yQ�x� � b� � b�x � b�x� � � � � � bnxn con ai� bi F para todo i y que �a�� a�� a�� � � � � an ��� b�� b�� b�� � � � � bn � lo cual implica que ai � bi para todai y por consiguiente P �x� � Q�x�� Sobreyectiva Sea � a�� a�� a�� � � � � an �Fn��� entonces el polinomio a� � a�x � a�x

� � � � � � anxn pertenece aFn�x� y

f�a� � a�x� a�x� � � � � � anxn� �� a�� a�� a�� � � � � an � � �

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��� EJERCICIOS ���

�� ejercicios

�� D� un ejemplo de una funci�n compuesta g � f que sea inyectiva pero queg no lo sea�

�� D� un ejemplo de dos funciones f� g tales que g � f sea sobreyectiva peroque f no lo sea�

� Si f A� B es inyectiva� explique como construir una funci�n sobreyec�tiva g B � A�

�� Sean A�� A�� B�� B� conjuntos no vac�os tales que A��A� � y B��B� �� demuestre que si f� A� � B� y f� A� � B� son biyectivas� entonces

f�x� �

�f��x�� si x A��f��x�� si x A�

es biyectiva�

�� D� ejemplos de funciones biyectivas entre los conjuntos indicados

f� IR � IR��

f� IR� � IR�

f� �� ��� IR�

f� �� ��� �a� b��

f� �a� b�� �c� d��

f� f �n n IN �g � f �� � �� � �� � � � �g�

f� f�� �� � �� � �� � � � � � g � f �� � �� � �� � � � �g�f� �� ��� �� ���

f� IR � IR � fg��� Halle una biyecci�n entre A� B y B �A�

�� Muestre una funci�n biyectiva entre el conjunto de los polinomios de gradon con coecientes enteros� Zn�x�� y el conjunto Zn���

�� Halle una biyecci�n entre el conjunto de partes de un conjunto de n ele�mentos y el conjunto de las n�tuplas de ceros y unos f� �gn� Observeadem�s que cada n�tupla de ceros y unos se puede pensar como unafunci�n de �n� en f� �g� con �n� � f�� �� �� � � � � ng� Muestre la biyecci�n�

�� Una sucesi�n es una funci�n cuyo dominio es el conjunto de los n�merosnaturales IN � Por simplicidad suele representarse a sus im�genes por fnen lugar de f�n��La sucesi�n de Fibonacci que es una funci�n f IN � IN se dene por

fn �

� si n � ��� si n � ��fn�� � fn��� si n � �

Muestre si es inyectiva o sobreyectiva�

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��� CAP�TULO �� FUNCIONES

��� Dadas f A � B y g B � C� si C � � C muestre que �g � f����C �� �f���g���C ���

��� Dada f A� B� A� � A y B� � B�a� Muestre que f���f�A��� � A� y que la igualdad se cumple si f esinyectiva�b� Muestre que f�f���B��� � B� y que la igualdad se cumple si f essobreyectiva�

��� Dada f A� B y B�� B� � B� muestre que f�� preserva inclusi�n� uni�n�intersecci�n y diferencia de conjuntos

�a� B� � B� � f���B�� � f���B��

�b� f���B� �B�� � f���B�� � f���B��

�c� f���B� �B�� � f���B�� � f���B��

�d� f���B� �B�� � f���B��� f���B��

� � Tendr� la funci�n f IN � IN � dada por la regla n � n�� inversa por laderecha�� Mostrar dos inversas por la izquierda de f �

��� �a� Si f es una funci�n constante f A � B y g B � C entoncesg � f A� C es constante�

�b� Si g A � B y la funci�n f B � C es constante� entoncesf � g A� C es constante�

��� Dados m�n IN y X �� � si X� representa al conjunto de tuplas innitas�esto es� X� � f�x�� x�� x�� � � �� xi Xg halle una funci�n

�a� inyectiva fa Xm � Xn si m � n�

�b� biyectiva fb Xm �Xn � Xm�n�

�c� inyectiva fc Xn � X� �

�d� biyectiva fd X� �X� � X��

�e� biyectiva fe Xn �X� � X��

�f� inyectiva ff XA � XB si A � B

��� Dados A�B dos conjuntos no vac�os� muestre una biyecci�n de A� B enB �A�

��� �a� Si n � � halle una biyecci�n entre A� �A� � � � � �An y �A� �A� �� � � �An���� An�

�b� Si J es un conjunto de �ndices tal que J � K � L y K�L son disjun�tos y no vac�os� muestre que existe una biyecci�n entre

Q��J A� y

�Q

��K A��� �Q

��LA��

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��� EJERCICIOS ���

��� Muestre una biyecci�n entre el conjunto de partes P�A� del conjunto A yel conjunto de las funciones de A en f� �g� f� �gA� � P�A�� f� �gA�

��� Verique que las funciones caracter�sticas de uniones� intersecciones y di�ferencias de conjuntos se pueden expresar en t�rmino de los conjuntos basecomo sigue

�a� �A�B � �A � �B � �A�B

�b� �AB � �A�B

�c� �A�B � �A��� �B�

��� Demuestre que si la funci�n f A � B es inyectiva� entonces existeB� � B y g A� B� con g � f tal que g es biyectiva�

��� Muestre una biyecci�n entre Z� y Z�p�� � fa � b

p� a� b Zg� Pruebe

que� en efecto� es una biyecci�n�

��� Sea A � Z� � Z� y sea B � f�x � y� Z� � Z� x � yg� La gura ��muestra como el conjunto A se puede transformar en el conjunto B� �a�Use esta gura para hallar una biyecci�n f A � B� Demuestre que lafunci�n que hall� es� en efecto� una biyecci�n� �b� Construya una biyecci�nde B en Z��

s s s s s

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f

Figura ��� Transformaci�n de A en B

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��� CAP�TULO �� FUNCIONES

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Cap�tulo

Cardinalidad

No me basta que el rayo no haga da�o� No quiero desviarle� quiero

que aprenda a trabajar para m�� Mi sabidur�a se amontona� desde

hace tiempo� como una nube� cada vez m�s tranquila y sombr�a� As�

hace toda sabidur�a que haya de engendrar un d�a un rayo� Para los

hombres de hoy no quiero ni ser �luz� ni ser llamado luz� A stos los

quiero cegar� �Rayo de mi sabidur�a� destroza sus ojos�

As� habl� Zaratustra� Federico Nietzsche�

En este cap�tulo estudiaremos la noci�n de cardinalidad de un conjunto�Dicha noci�n es una de las brillantes ideas del matem�tico alem�n Georg Can�tor� quien retom� la idea de la ya conocida #correspondencia biun�voca$ queapareci�� en los albores de la civilizaci�n cuando el hombre aprendi� a contarsus reba�os amontonando tantas piedras como ovejas contaba� Cantor propu�so que dos conjuntos tienen igual cantidad de elementos� igual cardinalidad�si y s�lo si existe una correspondencia biyectiva entre ellos� Una de las cosasm�s sorprendentes es que en algunos casos el tama�o de un conjunto puede sernum�ricamente igual al de una de sus partes�

Empezaremos deniendo qu� es un conjunto nito� estudiaremos varios teo�remas y corolarios sobre conjuntos nitos� luego deniremos conjuntos innitos�mostraremos ejemplos de conjuntos innitos� para luego denir qu� es un con�junto contable� Mostraremos algunas propiedades de los conjuntos contables onumerables y nalizaremos presentando ejemplos de conjuntos no numerables�No estudiaremos aqu� el concepto de n�mero cardinal� ni las propiedades de losmismos�

��� Conjuntos Finitos

De�nici�n ��� �Cardinalidad� Dados dos conjuntos A y B� decimos que Atiene el mismo tama�o que B o que la cardinalidad de A es igual que la deB� y lo denotaremos por jAj � jBj� si y s�lo si existe una funci�n biyectivaf A� B� Tambi�n diremos que A y B son coordinables�

Si n es un n�mero natural denotaremos por �n� al conjunto de todos los naturalesmayores que � y menores o iguales que n� esto es�

�n� � fx IN � � x � ng � f�� �� �� � � � � ngA este conjunto lo llamaremos una secci�n o segmento de los naturales� Estosconjuntos son los prototipos de los conjuntos nitos�

De�nici�n ��� �Conjuntos Finitos� Se dice que un conjunto A es nito si esvac�o o si existe una correspondencia biyectiva con una secci�n de los naturales�

���

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��� CAP�TULO �� CARDINALIDAD

esto es� si existe f biyectiva

f A� �n� biyectiva

En el primer caso decimos que A tiene � elementos o que la cardinalidad deA es cero y se abrevia jAj � mientras que en el �ltimo decimos que A tienen elementos o que jAj � n �cardinalidad de A es n�� N�tese que como hemosdenido a cada n�mero natural como un conjunto una denici�n alternativapodr�a ser A es nito si existe una funci�n f biyectiva de A en n �f A� n�en cuyo caso diremos que jAj � n� Recuerde que n�' ������ �� � � �n��( y n�teseque esta �ltima denici�n contempla el caso A � pues si A � la funci�nf A� � es una biyecci�n�

La denici�n de conjunto nito asegura que si A es un conjunto nito existeuna funci�n biyectiva f �n� � A� para alg�n n�mero natural n� dicha funci�n

se puede representar como f �

�� � � � � � n

f��� f��� f��� � � � f�n�

�y por ser f

biyectiva en la lista f���� f���� � � � � f�n� aparece exactamente una vez cada ele�mento de A� por lo cual� esta funci�n proporciona una manera de enumerar ylistar los elementos de A aun cuando no conozcamos su naturaleza y ni siquieraconozcamos cual es la biyecci�n� Por lo general� la enumeraci�n se abrevia as�f�� f�� � � � � fn�

Lema ��� Si n es un nmero natural� A es un conjunto y a� es un elementode A� entonces existe una correspondencia biyectiva f A � �n � �� ssi existeuna correspondencia biyectiva g A� fa�g � �n��

Prueba� Asumamos primero que hay una biyecci�n

g A� fa�g � �n��

Entonces denimos la funci�n f A� �n� ��

f�x� � g�x� si x A� fa�g� n� � si x � a��

f es biyectiva� Para probar el rec�proco� asumimos que existe una biyecci�n

f A� �n � ��

Si f�a�� � n� �� la restricci�n f jA� fa�g es la biyecci�n buscada de A� fa�gen �n�� De lo contrario� sea f�a�� � m y sea a� el punto de A para el cualf�a�� � n� �� Entonces a� �� a�� Denimos una nueva funci�n

h A� �n� ��

dada por

h�a�� � n � �

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���� CONJUNTOS FINITOS ��

h�a�� � m�h�x� � f�x� si x A� fa�� a�g

h es una biyecci�n y como antes hjA�fa�g es la biyecci�n buscada de A�fa�gen �n�� �

Teorema ��� Sea A un conjunto tal que existe una funci�n biyectiva f A��n� para algn n IN �� Si B A entonces no existe biyecci�n g B � �n�� perosi B �� entonces existe biyecci�n h B � �m� para algn m � � m � n �

Prueba� Si B � la proposici�n es cierta porque no existe biyecci�n entreun conjunto no vac�o y el conjunto vac�o� Si B �� lo haremos por inducci�nsobre n� Sea P �n� la proposici�n que arma que el teorema es cierto para n ysea S � fn IN P �n�g�� S pues como el �nico subconjunto propio de un conjunto con un solo ele�mento es el conjunto vac�o y no existe biyecci�n entre un conjunto no vac�o y elconjunto vac�o se tiene que

�f A� ��� �B A��� �g B � ���

Supongamos P �n� y probemos P �n� ��� esto es� que

f A� �n� �� biy � B A�� �g B � �n � ��

Pero si B ��

�h B � �m� biy para alg�n m � n � �

Sea a� B �existe pues B �� �� consideremos A � fa�g� Por lema anteriorf A � �n � �� biy � B A � �g A � fa�g � �n� biy adem�s comoB � fa�g A � fa�g se tiene por HI que � �g� B � fa�g � �n� biy � Por lotanto� por el lema se tiene que � �f� B � �n � �� biy � Falta ver que si B �� entonces �m IN tal que �g B � �m� biy Por casos� si B�fa�g � entoncesB tiene un solo elemento que es a� y es claro que existe una biyecci�n de B a���� Si B � fa�g �� por hip�tesis inductiva existe una biyecci�n de B � fa�gen �p� con p � n

Corolario �� Si A es un conjunto nito� no existe una biyecci�n de A conuno de sus subconjuntos propios�

Prueba� Por absurdo� supongamos que A es un conjunto nito y que B es unsubconjunto propio de A y que adem�s f A � B es una biyecci�n� Como Aes nito existe g A � �n� para alg�n n� Luego la composici�n g � f�� es unabiyecci�n de B en �n� lo cual contradice al teorema anterior� �

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��� CAP�TULO �� CARDINALIDAD

El siguiente corolario establece que el n�mero de elementos de un conjuntonito s�lo depende de A mismo y que es un �nico elemento n de IN � El n�merode elementos de A es �nico� existe un �nico n en los naturales tal que n es eln�mero de elementos de A�

Corolario �� El nmero de elementos de un conjunto nito A est� nicamen�te determinado por A�

Prueba� Sean n�m dos n�meros naturales tales que m � n y tales que m esel n�mero de elementos de A y n es el n�mero de elementos de A� Se tieneentonces que existen biyecciones f A � �n� y g A � �m�� Luego la compo�sici�n g � g�� �n� � �m� es una biyecci�n del conjunto nito �n� a uno de sussubconjuntos propios� lo cual contradice al corolario anterior� �

Corolario ��� Si B es subconjunto de un conjunto nito A� entonces B esnito� Si B es subconjunto propio de A� entonces el nmero de elementos de Bes menor que el nmero de elementos de A�

Corolario �� IN no es nito�

Prueba� La funci�n f IN � IN � fg denida como f�n� � n � � es unabiyecci�n de IN en un subconjunto propio de si mismo� por consiguiente IN noes nito por el corolario anterior� �

Teorema ��� Si B es un conjunto no vac�o y n un nmero natural mayor que� entonces las siguientes armaciones son equivalentes�

�� Existe una funci�n sobreyectiva f �n�� B�

�� Existe una funci�n inyectiva g B � �n��

�� B es nito y tiene a lo sumo n elementos�

Prueba� Probaremos que ���� ���� ���� ������� � ���� Dada una funci�n sobreyectiva f �n� � B� denimos g B � �n�como

g�b� � min �f���fbg���Esta funci�n est� bien denida porque �� f���fbg� no es vac�o debido a que f essobreyectiva y �� f���fbg� � �n� � IN tiene m�nimo porque todo subconjunto novac�o de un conjunto bien ordenado tiene m�nimo� Adem�s� g es inyectiva porquesi b �� b� los conjuntos f���fbg� y f���fb�g� son disjuntos y por consiguiente susm�nimos son diferentes����� ���� Dada una funci�n inyectiva

g B � �n�

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���� CONJUNTOS FINITOS ���

se tiene que g�B� es subconjunto de �n� y por lo tanto es nito y tiene a lo sumon elementos� adem�s la funci�n

g� B � g�B�

dada por g��b� � g�b� es biyectiva� Por consiguiente� B es nito y tiene a losumo n elementos���� � ���� Si B es nito y tiene a lo sumo n elementos� se tiene que existenm IN tal que � � m � n y h biyectiva y tal que h �m� � B� Si m � nentonces h es la sobreyecci�n deseada� Si � � m � n extendemos a h a unafunci�n f �n�� B denida por

f�x� �

�h���� si m � x � n�h�x�� si � � x � m�

El siguiente corolario formaliza un c�lebre principio de matem�ticas que seconoce como �Principio del Palomar�� El mismo establece que si tenemos m�sde n palomas y tan solo n nichos para palomas entonces existe alg�n nicho enel que duermen m�s de una paloma�

Corolario ��� �Principio de Palomar� Si jAj � n � � y jBj � n� no existefunci�n inyectiva de A en B

Prueba� Dado que B es nito con jBj � n existe una biyecci�n g B � �n��Por lo tanto� si existiese f A� B inyectiva� se tendr�a que g�f A� B � �n�es una funci�n inyectiva y por consiguiente A es nito y tiene a lo sumo n ele�mentos� Esto es una contradicci�n� pues jAj � n� �� �

Ejercicio ��� Demuestre que si A �B es nito� entonces A es nito

Ejercicio ��� Demuestre que si A es nito� entonces A�B y A�B son nitos

Ejemplo ��� Demuestre que si A y B son nitos� entonces A �B es nito�

Explicaci�n� Dado que si A y B no son disjunto podemos expresar A � Bcomo �A�B��B que si es una uni�n disjunta� basta con considerar s�lo el casoen el cual A�B � � Como A es nito existe una funci�n biyectiva f� A� �n�para alg�n n IN � y como B es nito existe f� B � �m�� Para probar queA �B es nito tengo que mostrar una funci�n biyectiva f� A �B � �n �m��La siguiente funci�n conserva las im�genes de los elementos de A y traslada enn unidades las de los elementos de B� Verique que es biyectiva�

f��x� �

�f��x�� si x A�f��x� � n� si x B�

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��� CAP�TULO �� CARDINALIDAD

Ejercicio �� Demuestre que si A�B es nito y B �� � entonces A es nito�

Ejemplo ��� Demuestre que si A y B son nitos� entonces A�B es nito�

Explicaci�n� Si A � o B � se tiene que A�B � y por consiguiente nito�De lo contrario� basta con construir una funci�n biyectiva f� A�B � �n �m��Como A y B son nitos existen f� A � �n� y f� B � �m� para alg�n parm�n de n�meros naturales� Luego� la funci�n buscada es

f��x� y� � f��x� � n�f��y�� ��

Corolario ��� Sea fA�g��J una familia indexada de conjuntos� Si cada A�

es nito y el conjunto de �ndices es nito entonces los conjuntos��J

A� yY��J

A�

son nitos�

Ejercicio �� Demuestre que Z es innito�

��� Conjuntos Contables

De�nici�n �� �Conjuntos In�nitos� Un conjunto es in�nito si no es ni�to�

Para mostrar que un conjunto es innito se puede usar cualquiera de lassiguientes estrategias Mostrar una biyecci�n del conjunto en cuesti�n con unode sus conjuntos propios� mostrar una biyecci�n con un conjunto innito� omostrar que contiene un subconjunto innito� Las dos �ltimas estrategias sebasan en los siguientes dos ejercicios� mientras que la primera se basa en elcorolario que arma que si un conjunto es nito no existe biyecci�n entre �l yuno de sus subconjuntos propios�

Ejercicio ��� Demuestre que si f A� B es biyectiva y B es innito� enton�ces A es innito�

Ejercicio �� Demuestre que si A � B y A es innito� entonces B es innito�

De�nici�n �� �Alfabeto� Un alfabeto � es un conjunto de s�mbolos distintosque llamaremos letras� con las cuales se construyen palabras� una palabra esuna secuencia nita de letras� �formalmente es una funci�n f �n� � � � Unapalabra de longitud n o n�palabra del alfabeto �� luce como a�a� � � � an dondelos ai son elementos de �� Se denota por �n al conjunto de todas las palabrasde longitud n que se pueden formar con las letras de � y por �� al conjunto detodas las palabras que se pueden formar con letras del alfabeto �

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���� CONJUNTOS CONTABLES ���

Ejemplo �� Demuestre que �� es innito si � es un alfabeto nito no vac�o

Explicaci�n� Como � es no vac�o existe por lo menos una letra en �� sea adicha letra� Luego� el conjunto C � fa� aa� aaa� aaaa� � � �g es subconjunto de�� y es innito pues la funci�n f Z� � fa� aa� aaa� aaaa� � � �g denida porf�n� � aa � � � a� �z

nveces

es una biyecci�n� Luego� C es innito y en consecuencia �� no

puede ser nito� �

De�nici�n ��� �In�nito Contable� Un conjunto A es in�nito contable siexiste una biyecci�n

f Z� � A

De�nici�n �� �Contable� Un conjunto A es contable si es nito o innitocontable� esto es� si existe una biyecci�n f �n� � A o existe una biyecci�nf Z� � A�

Si un conjunto es innito contable� en virtud� de la funci�n biyectiva f Z� � A que debe existir� se puede enumerar �si se quiere listar� los elementosde A como f���� f���� f���� � � � o m�s c�modamente como f�� f�� f�� � � � Recuerde

que f luce como f �

�� � � � � �

f��� f��� f��� � � ��

y que la sobreyectividad de f

garantiza que todo elemento de A aparece en la lista y la inyectividad aseguraque aparezca una sola vez� Si el conjunto es contable� entonces tiene una enu�meraci�n nita� en caso de ser nito� o una enumeraci�n innita en el caso deser innito numerable�

Se puede deducir f�cilmente de las deniciones anteriores que Z� es innitocontable� Lo que no parece tan inmediato es el resultado que exponemos en elsiguiente lema�

Lema ���� Todo subconjunto de Z� es contable

Prueba� Sea B � Z�� Probaremos que B es contable� Por casos si B esnito� entonces es contable� por denici�n� si B es innito� entonces deniremosuna funci�n biyectiva f Z� � B como sigue

h�n� �

�min �B�� si n � ��min �B � fh���� h���� � � � � h�n � ��g�� si n � ��

La existencia de esta funci�n est� garantizada por el Principio de la Deni�ciones Recursivas� A continuaci�n probaremos que es inyectiva y sobreyectiva�Inyectiva� Si m �� n consideremos sin perdida de generalidad que m � n�Esto implica que h�m� fh���� h���� � � � � h�n � ��g y por consiguiente queh�m� � B � fh���� h���� � � � � h�n � ��g y por lo tanto no puede ser su m�ni�mo� Por lo tanto h�m� �� h�n�� Sobreyectiva� Sea b B� probaremos queexiste m Z� tal que h�m� � b� Como h es inyectiva todas las im�genesde Z� no pueden ser menores que b� Sea m el menor de los enteros positivos

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��� CAP�TULO �� CARDINALIDAD

x tal que h�x� � b� esto es� h�m� � b y h���� h���� � � � � h�m � �� � b� Comoh�m� � min �B � fh���� h���� � � � h�m� ��g� y b B�fh���� h���� � � � � h�m���g�entonces h�m� � b� lo cual implica que h�m� � b� �

����� Axioma de Elecci�n

En esta secci�n haremos una breve digresi�n para presentar el �ltimo de losaxiomas que estudiaremos en este curso� La intenci�n inmediata es poder usarloen la demostraci�n del teorema base para caracterizar conjuntos contables y nocontables�

En la p�gina �� �Teorema ���� se prob� que dados dos conjuntos A y B�para que su producto cartesiano sea no vac�o es condici�n necesaria y sucienteque A y B sean no vac�os� Esto se puede generalizar para el caso de familiasnitas de conjuntos como sigue� Si fXig es una familia nita de conjuntos�entonces para que su producto cartesiano sea no vac�o es condici�n necesariay suciente que todos los conjuntos de la familia sean no vac�os� Y se puedeprobar f�cilmente por inducci�n� Sin embargo� en el caso de familias arbitrariasesto no es cierto� El axioma de Elecci�n establece una de las implicaciones deesta armaci�n que aceptaremos sin prueba� a saber� la necesidad�

Axioma ���� �Axioma de Elecci�n� El producto cartesiano de una familiano vac�a de conjuntos no vac�os es no vac�a�

Una versi�n m�s popular del axioma de elecci�n es la siguienteAxioma de Elecci�n� Si C es una colecci�n de conjuntos no vac�os disjuntosdos a dos� entonces existe un conjunto A que contiene exactamente un elementode cada uno de los miembros de la colecci�n� Esta versi�n justica el nombre delaxioma porque este conjunto A puede verse como el resultado de haber elegidoun elemento en cada uno de los miembros de la familia C�

����� Caracterizaci�n de Conjuntos Contables

Teorema ���� Si B es un conjunto no vac�o� entonces las siguientes proposi�ciones son equivalentes�

�� Existe una funci�n sobreyectiva f Z� � B�

�� Existe una funci�n inyectiva g B � Z��

�� B es contable�

Prueba� La prueba de este teorema es muy parecida a la de un teorema queprobamos antes� Por ello daremos s�lo las ideas de la misma� El lector debecompletar los detalles� Para probar que ���� ��� observe que dado que Z� est�bien ordenado por � todos sus subconjuntos tienen m�nimo� Para probar que���� ��� observe que si g B � Z� es inyectiva� entonces g� B � g�B�� cong��b� � g�b� es biyectiva� Luego� use el lema para concluir que B es contable�

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���� CONJUNTOS CONTABLES ���

Para probar que ���� ��� considere los casos B innito contable y B nito� Enel primer caso existe una biyecci�n f Z� � B y en el segundo use la biyec�ci�n existente h �n� � B para extenderla a una de sobreyecci�n f Z� � B� �

Corolario ��� Todo subconjunto de un conjunto contable es contable

Corolario ��� El conjunto Z� � Z� es innito contable�

Prueba� En base al teorema anterior� es suciente construir una funci�n in�yectiva f Z� � Z� � Z�� Denimos f por la ecuaci�n f�m�n� � �m�n� f esinyectiva� pues si f�m�n� � f�p� q�� entonces �m�n � �p�q� Si m � p entonces�n � �p�m�q lo cual contradice el hecho de que �n es impar para todo n� porconsiguiente m � p� Luego queda que �n � �q� de nuevo si n � q se tiene que� � �q�m que tambi�n es contradictorio� luego n � q� �

Ejemplo �� El conjunto de los nmeros racionales positivos es contable�

Explicaci�n� En virtud del teorema� basta con construir una sobreyecci�n en�tre Z� y Q�� Y como Z��Z� es contable existe una biyecci�n entre f Z� �Z� � Z�� luego basta construir una funci�n sobreyectiva g Z� � Z� � Q� yconsiderar g � f � Tomamos como g a g�m�n� � m

n �

Teorema ���� Toda uni�n contable de conjuntos contables es contable�

Prueba� Sea fA�g��J una familia indexada de conjuntos contables cuyo con�junto de �ndices es contable� Probaremos que ���JA� es contable exhibiendouna funci�n sobreyectiva de Z� �Z� en ���JA�� Asumiremos que J �� por�que de ser vac�o J � ���JA� ser�a el conjunto vac�o que es contable� Asumiremostambi�n que todos los A� son no vac�os ya que si hubiere alguno vac�o la uni�nser�a equivalente a la uni�n sobre los no vac�os� esto es

��J

A� � ���J�A���

A��

���JA� ���

A�� ���JA� ���

A�

Como J es contable se tiene que existe g Z� � J sobreyectiva � y adem�scomo cada A� es contable existe f� Z� � A� sobreyectiva� Denimos�

h Z� � Z� � ���JA�

�m�n� � fgm�n�

h es sobreyectiva porque si x ���JA� entonces x A� para alg�n � Jy como g es sobre �m Z��g�m� � ��� Luego� x Agm y adem�s comofgm Z

� � Agm es sobre existe n Z� tal que fgm�n� � x por lo tanto

�x ���JA���m�n� Z�Z��h�m�n� � fgm�n� � x�

Luego ���JA� es contable� �

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� � CAP�TULO �� CARDINALIDAD

Teorema ��� Todo producto nito de conjuntos contables es contable�

Ejemplo ��� Demuestre que si A es nito y B es contable� el conjunto de todaslas funciones de A en B� BA� es contable�

Explicaci�n� Como A es nito existe una biyecci�n entre A y �n� para al�g�n n IN � Antes que nada� hay que mostrar una biyecci�n entre el con�junto de las funciones de A en B y el conjunto de las n�tuplas de elemen�tos de B� esto es� h BA � Bn� Una funci�n g BA luce como g �f�a� � g�a� ����a� � g�a� ��� � � � � �an � g�an��g donde a�� a�� � � � � an es la enume�raci�n f �n� � A que sabemos que existe pues A es nito� Luego� denimosh�g� �� g�a��� g�a��� � � � � g�an� �� Vericar que es biyectiva� Finalmente� comoB es contable� se tiene que Bn es contable y en consecuencia BA es contable� �

��� Conjuntos no Contables

Hasta los momentos todos los conjuntos que hemos presentado han sido o biennitos o bien contables� El siguiente teorema muestra un ejemplo de un conjun�to no contable� La t�cnica usada en la demostraci�n de este teorema se conocecomo �T�cnica de diagonalizaci�n de Cantor� en honor Georg Cantor quien lauso para probar el siguiente teorema y otros relacionados� Dicha t�cnica se usafrecuentemente en la teor�a de la computabilidad� Existen varias variantes de lat�cnica pero en esencia consiste en exhibir una lista innita de elementos cadauno de los cuales tiene una representaci�n innita� y mostrar un elemento quedeber�a esta en la lista pero que no puede estar���

El primer ejemplo de conjunto no contable lo proporcionan las tuplas in�nitas de ceros y unos� que tambi�n pueden pensarse como sucesiones binariasinnitas de ceros y unos� A continuaci�n se prueba esta armaci�n�

Teorema ���� El conjunto de las tuplas innitas de ceros y unos es no conta�ble�

Teorema ���� El subconjunto �� �� de los nmeros reales no es contable�

Prueba� Para que fuese contable� seg�n el teorema ����� tendr�a que existiruna funci�n sobreyectiva g Z� � �� ��� Probaremos que no existe tal fun�ci�n y por consiguiente �� �� no es contable� Ahora bien� todo n�mero real serepresenta por una sucesi�n decimal innita� en particular� los n�meros en elintervalo �� ��� se representan por una sucesi�n de la forma �x�x�x�x� � � � concada xi un d�gito entre y �� Hay n�meros que una sola representaci�n de estaforma� como el � � � � � y el � � ������ � � �� pero hay otros que tienen dos

�Se usan tres tipos de intervalos de n�meros reales a saber los intervalos cerrados a� b�que representa a todos los n�meros reales entre a y b incluyendo los extremos los abiertos�a� b� que no incluye los extremos y los semiabiertos �a� b� o a� b� que incluyen un extremo yel otro no�

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���� CONJUNTOS NO CONTABLES � �

representaciones como �� que se representa por �� � � � y por � ���� � � �� For�memos un conjunto de representaciones de los elementos de �� �� que contengauna sola representaci�n de cualquier n�mero en �� �� de la siguiente manerasi x �� �� tiene una sola representaci�n dicha representaci�n pertenece a C�si x �� �� tiene m�s de una representaci�n a C s�lo pertenece la que tieneinnitos ceros�

Probaremos que no existe una funci�n sobreyectiva g Z� � C� Si g Z� � C entonces se tiene que g�n� � �xn�xn�xn�xn� � � � xnn � � ��Construiremos una sucesi�n en C que no tenga preimagen mediante g� Lasucesi�n y � �y�y�y� � � � yn � � � con

yn �

��� si xnn �� ���� si xnn � ��

pertenece a C porque es una sucesi�n decimal que no tiene innitos nueves� perono es imagen de ning�n n mediante g� Esto es� �n�y �� g�n�� porque dieren enpor lo menos la n��sima coordenada� Por lo tanto no existe g sobreyectiva deZ� en C y por consiguiente en �� �� �

De�nici�n ��� �Continuo� Se dice que un conjunto A tiene la cardinalidaddel continuo si existe una biyecci�n del mismo con �� ��� y se representa porjAj � c� Tambi�n se representa por !��

Ejemplos

�� j�� ��j � j�� ��j� Estos dos conjuntos dieren s�lo en que el segundocontiene los dos extremos del intervalo y el primero no� No obstanteson coordinables� Para construir una biyecci�n entre ellos denimos elconjunto A � f� �� �� � �� � �� � � � �g y denimos f �� ��� �� �� como

f�x� �

����� � si x � ��

n�� � si x � �n n � ��

x� si x �� �� �A

Esta funci�n manda el � en el �� � el � en el �

� y al resto de los n�meros deA los corre dos espacios y para los elementos que no pertenecen a A es laidentidad�

�� Todo intervalo cerrado �a� b� de IR tiene cardinalidad c�

� La cardinalidad de IR es c� ���

Comparaci�n de los N�meros Cardinales

De�nici�n ��� La cardinalidad del conjunto A es menor o igual a la cardina�lidad del conjunto B si existe una funci�n inyectiva de A en B� Se denota porjAj � jBj� La cardinalidad de A es menor que la cardinalidad de B si existeuna inyecci�n de A en B pero no existe biyecci�n entre A y B�

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� � CAP�TULO �� CARDINALIDAD

Teorema ���� �Zermelo� Dados dos conjuntos A y B exactamente una delas siguientes condiciones se cumple�

�a jAj � jBj��a jBj � jAj��a jAj � jBj�Teorema ���� �Cantor�Sch�der�Bernstein� Dados dos conjuntos A y B�si jAj � jBj y jBj � jAj entonces jAj � jBj�Prueba� Sea f una funci�n inyectiva de A en B� esto es� f A��B y sea guna funci�n inyectiva de B en A� nuestro problema consiste en construir unafunci�n biyectiva de A en B� Supongamos que A y B no tienen elementos encom�n� ��Por qu��� Dado un elemento a A diremos que a es padre delelemento f�a� de B y que el elemento f�a� de B es hijo del elemento a de A�An�logamente diremos que b B es padre de g�b� y que g�b� es hijo de b� N�teseque cada elemento a A tiene una sucesi�n innita de descendientes� a saber�f�a�� g�f�a��� f�g�f�a���� � � �� Similarmente� los descendientes de un elementos bde B son g�b�� f�g�b��� g�f�g�b���� � � �� En cada una de estas sucesiones se tieneque cada t�rmino es un descendiente de cada uno de los t�rminos anteriores yes un ancestro de cada uno de los t�rminos siguientes�

Para cada elemento� en estas sucesiones� ya sea de A o de B� si buscamos su�cesivamente todos sus ancestros� tan anteriores a �l como sea posible� se obtieneexactamente uno de los siguientes tres resultados llegaremos a un elemento deA que no tiene padres �estos hu�rfanos son los elementos de A� g�B��� o llega�remos a un elemento de B que no tiene padre �elementos de B � f�A�� o bienpodremos estar inn�tamente consiguiendo ancestros del elemento en cuesti�n�tiene un linaje innito�

Denotemos por AA al conjunto de los elementos A que se originan en A� estoes� a los elementos de A�g�B� junto con todos sus descendientes en A� adem�s�denotemos por AB al conjunto de los elementos en A que se originan en B� estoes� los descendientes de A de los elementos de B�f�A�� y denotemos por A� alconjunto de los elementos de A que no tienen ancestro sin padre� An�logamentese divide a B en BB � BA y B��

Luego� si x AA� se tiene que f�x� BA y por lo tanto la restricci�n de f aAA es una biyecci�n� Por otro lado� si x AB � entonces x pertenece al dominiode la funci�n inversa g�� y por consiguiente g�� restringida a AB es una biyec�ci�n entre AB y BB � Y si x A�� entonces f�x� B� y por consiguiente� larestricci�n de f a A� es una biyecci�n entre A� y B�� Juntando estas tresfunciones se obtiene una funci�n biyectiva entre A y B� �

Teorema ���� La relaci�n de orden � sobre el conjunto de los nmeros cardi�nales es una relaci�n de orden total y la relaci�n � es un orden estricto�

Teorema ���� Si A es un conjunto innito� entonces !� � jAj�

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���� CONJUNTOS NO CONTABLES �

El siguiente teorema� que se debe a Cantor establece que todo conjunto est�estrictamente acotado o dominado por su potencia�

Teorema ��� �Cantor� Si A es un conjunto� entonces jAj � jP�A�j�Prueba� Por casos Si A � � entonces tenemos que jAj � y jP�A�j � jfgj ��� Si A �� � entonces consideremos la funci�n f A� P�A� denida por f�a� �fag� Esta funci�n es inyectiva porque si f�a� � f�b�� se tiene que fag � fbglo cual implica que a � b� Luego� jAj � jf�A�j � jP�A�j porque f�A� � P�A��Falta probar que la desigualdad es estricta� esto es� que jAj �� jP�A�j� lo cualsignica que no existe una correspondencia biyectiva g A � P�A�� Suponga�mos que si existe tal funci�n� Sea g A���P�A� y observe que como g�a� � A�se tiene que a g�a� � a � g�a�� Sea X � fa A a � g�a�g� como adem�s�X � A� se tiene que X P�A� y como g es sobreyectiva se tiene que existez A tal que g�z� � X� Por tercero excluido se tiene que z X o que z � X�Por casos� si z X� por denici�n de X se tiene que z � g�z� � X� lo cual esuna contradicci�n� Mientras que� si z � X� por la misma denici�n de X� setiene que z X lo que es� de nuevo� contradictorio� Concluimos que no existeuna biyecci�n g A� P�A�� �

Corolario ��� Si A es un conjunto� entonces jAj � j�Aj � �jAj� donde �A esel conjunto de las funciones de A en � � f� �g�

Paradoja ���� �Cantor� Si C es el conjunto de todos los conjuntos� entoncestodo subconjunto de C es a su vez un elemento de C� Luego� el conjunto departes de C es subconjunto de C� Luego �C � C y por consiguiente j�Cj � jCj�Pero por el teorema de Cantor se tiene que

jCj � j�Cj�

lo cual es una contradicci�n�

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� � CAP�TULO �� CARDINALIDAD

��� Ejercicios Resueltos

Ejercicio Resuelto ��� Dado un conjunto no vac�o A y un nmero natural n�una secuencia nita de longitud n de elementos de A es una funci�n f �n�� A�suele representarse listando las im�genes de f en l�nea como se muestra a con�tinuaci�n f�� f�� f�� � � � � fn en donde se usa la notaci�n fi en lugar de f�i� porcomodidad� Recuerde que f � f�� � f����� � f����� � f��� � � � � �n� fn�g� y porlo tanto queda justicada la simplicaci�n en la representaci�n de la secuen�cia f �

�i� Muestre una biyecci�n entre el conjunto de las secuencias de lon�gitud n y el conjunto de las n� tuplas de elementos de A� esto es�halle � A�n����An

�ii� Concluya que si A es nito� entonces A�n� es nito

Respuesta� �i� Sea f A�n�� se tiene que f � f�� � f����� � f��� � � � � �n� fn�gdonde fi A es la imagen mediante f de i� Luego� denimos ��f� ��f�� f�� � � � � fn �� claramente� f�� f�� � � � � fn � pertenece a An� Adem�s� � es in�yectiva porque si ��f� � ��g� se tiene que � f�� f�� � � � � fn ��� g�� g�� � � � � gn �lo cual implica que ��i �n���fi � gi� lo que a su vez implica que f � g� � essobreyectiva porque si x An se tiene que x �� a�� a�� � � � � an � con ai A yla funci�n h � f�� � a����� � a��� � � � � �n� an�g pertenece a A�n� y es tal que��h� � x��ii� Como A es nito se tiene que An es nito� por ser producto cartesiano nitode conjuntos nitos� y como existe una biyecci�n entre An y A�n� se tiene queA�n� es nito� �

Ejercicio Resuelto ��� Demuestre que si B es nito� A es innito y B � A�entonces A� B es innito

Respuesta� Como a A puedo escribirlo como A � �A � B� � B� si A � Bfuese nito� entonces tendr�a que A es la uni�n de dos conjuntos nitos y enconsecuencia A ser�a nito� esto es una contradicci�n pues A es innito� luegoA� B es innito� �

Ejercicio Resuelto �� Demuestre que si A es nito� entonces f� �gA es �nito

Respuesta� f� �gA es el conjunto de las funciones de A en f� �g� Co�mo A es nito existe f �n����A para alg�n n IN � si n � se tiene queA � y solamente existe una funci�n de en f� �g� la funci�n vac�a� estoes� el conjunto vac�o y por consiguiente f� �gA es nito� si n �� se tiene quef � f�� � f����� � f����� � f��� � � � � �n� fn�g donde fi es la imagen mediantef de i� Se tiene entonces que A � ff�� f�� � � � � fng y fi �� fj ssi i �� j� Cons�truiremos una funci�n f� �gA���f� �gn� Sea � f� �gA� se tiene que � �

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��� EJERCICIOS RESUELTOS � �

f�f� � �f����f� � �f��� � � � � �fn � �fn�g� Denimos ��� �� �f�� �f� � � � � � �fn �� es inyectiva porque si ��� � ��� se tiene que � �f�� �f� � � � � � �fn ����f� � �f� � � � � � �fn � implicando que �fi � �fi y por consiguiente que � � � � essobreyectiva porque si x f� �gn se tiene que x �� a�� a�� � � � � an � con ai f� �g y en consecuencia la funci�n � � f� f�� a� �� f�� a� �� � � � � � fn� an �gpertenece a f� �gA y ��� � x� Finalmente� como f� �gn es nito por ser pro�ducto nito de conjuntos nitos y existe una biyecci�n entre f� �gA y f� �gnse tiene que f� �gA es nito� �

Ejercicio Resuelto �� Pruebe que si B � A y A es contable� entonces B escontable

Respuesta� Como A es contable existe f A���Z�� luego� la restricci�n de fa B es inyectiva� esto es� f jB B��Z� y en consecuencia B es contable� �

Ejercicio Resuelto ��� Demuestre que el conjunto de las secuencias nitassobre un conjunto nito A es contable

Respuesta� Una secuencia nita sobre un conjunto A es una funci�n f �n�� A para alg�n n IN � si el n se ja se denomina una secuencia de longitudn� Si denotamos por Sn al conjunto de las secuencias de longitud n� esto es�Sn � ff �f �n�� A�g � A�n� se tiene que el conjunto de todas las secuenciasnitas es igual a �n�INSn� Y como es una uni�n contable de conjuntos contableses contable� �

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� � CAP�TULO �� CARDINALIDAD

��� Ejercicios

�� �a� Muestre que A �B es nito si y s�lo si A y B son nitos��b� Si todo Ai es nito� demuestre que

Sni��Ai es nito�

�� �a� Muestre que A�B es nito si A y B son nitos��b� Muestre que si A�B es nito y B �� � entonces A es nito��c� Muestre que

Qni��Ai es nito si cada Ai es nito�

� Muestre que si A es un conjunto nito� entonces el conjunto P�A� de todoslos subconjuntos de A es nito�

�� Si A y B son conjuntos nitos� entonces el conjunto de todas las funcionesf A� B es nito�

�� Demuestre que si A � B y B es nito� entonces A es nito�

�� Muestre que si B no es nito y B � A� entonces A no es nito

�� Supongamos que existe f A� B sobreyectiva� Explique como construiruna g B � A inyectiva�

�� Demuestre que j�� ��j � c�

�� Demuestre que el conjunto de n�meros irracionales II no es contable�

��� Demuestre que si � es un alfabeto nito� entonces �� es contable� Re�cuerde que �� es el conjunto de todas las palabras de longitud nita conletras en el alfabeto � incluyendo a la palabra vac�a�

��� Si F es un conjunto nito� demuestre que el conjunto de los polinomioscon coecientes en F es contable� Se puede denotar por F �x��

��� Sea A el conjunto de todas las rectas de IR� que pasan por �� �� De�muestre que A y IR son coordinables� Esto dice que A es no contable�

� � �Existe f Q� IR sobreyectiva�

��� Suponga que existe f A � B inyectiva y g A � B sobreyectiva� Esnecesariamente cierto que A es coordinable con B� Enuncie el teoremaque utiliza�

��� Si f es una funci�n inyectiva de A en B y g es una funci�n inyectiva de B enA� demuestre que existen subconjuntos A� y B� de A y B respectivamentetales que f�A�� � B y g�B � B�� � A� A�� Use este resultado para darotra prueba del teorema de Cantor�Sch)der�Bernstein�

��� Demuestre que el conjunto de los n�meros arm�nicos es numerable�

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��� EJERCICIOS � �

��� Demuestre que todo producto cartesiano nito de conjuntos contables escontable� �Qu� pasa si cambiamos la palabra nito en el enunciado ante�rior por contable�

��� Demuestre por inducci�n que si F es nito� entonces el conjunto de todaslas n�tuplas con coecientes en F � Fn� es nito� Use el resultado anteriorpara probar que el conjunto de los polinomios de grado menor o igual quen con coecientes en F � Fn�x�� es nito�

��� �a� Muestre que si B no es nito y B � A� entonces A no es nito

�b� Muestre que Z� no es nito

�c� Muestre que Z y Q no son nitos

��� �Cu�l es la cardinalidad del conjunto de las funciones de un conjuntoinnito contable en un conjunto nito� �Y la cardinalidad del conjuntode las funciones de un conjunto nito en un conjunto innito contable�

��� �a� Un n�mero real se dice que es algebraico �sobre los racionales� si esra�z de alg�n polinomio

anxn � an��x

n�� � � � � � a�x� a�

con coecientes racionales� Asumiendo que todo polinomio tiene unn�mero nito de ra�ces� demuestre que el conjunto de los n�merosalgebraicos es contable�

�b� Un n�mero real se dice que es transcendente si no es algebraico� De�muestre que el conjunto de los n�meros transcendente es no�contable��Sorprendentemente� s�lo usamos con frecuencia dos n�meros trans�cendentes que son e y ��

��� En �� � Gelfond y Schneider probaron que los n�meros de la forma ai

tales que a� i son algebraicos e i es irracional� son transcendentes� Useeste hecho para hallar otra prueba de que los n�meros transcendentes sonno numerables�

� � Demuestre que si F es nito� el conjunto de todas las matrices de � � �con entradas en F es nito� Generalice este resultado para matrices den � n� �Cu�ntas matrices hay si F tiene s�lo dos elementos�

��� Demuestre que el conjunto de grafos dirigidos que se puede hacer con losnodos en un conjunto de n elementos es nito�

��� Demuestre que las tuplas innitas de ceros y unos en las que a partir decierta posici�n todas las coordenadas son nulas� son contables�

��� Demuestre que si A � B y A no es contable� entonces B no es contable�

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� � CAP�TULO �� CARDINALIDAD

��� Demuestre que el conjunto de los polinomios en la indeterminada x concoecientes enteros� Z�x�� � es contable�

��� Halle una biyecci�n de Z� � Z� en Z��

��� Muestre un conjunto no contable cuya cardinalidad no sea la de IR�

�� Demuestre que si P�A� es nito� entonces A es nito�

�Un polinomio con coe�cientes en Z es una expresi�n algebraica de la forma� anxn �

an��xn��� � � ��a�x�a� donde los ai son n�meros enteros y a la x se le llama indeterminada

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Apndice A

Comentarios de L�gica

A continuaci�n se da una lista de los s�mbolos de l�gica que se usan en el texto

� � s�mbolo de disyunci�n� la expresi�n p � q es verdadera si y s�lo si almenos una de las dos proposiciones �enunciados o frases� p� q es cierta�

� � s�mbolo de conjunci�n� la expresi�n p� q es verdadera si y s�lo si tantop como q son cierta�

� � negaci�n� la expresi�n �p es cierta si y s�lo si p es falsa�

� p� q implicaci�n l�gica� p implica q� la expresi�n p� q es falsa si y s�losi p es cierta y q es falsa�

� p� q equivalencia l�gica� p si y s�lo si q� la expresi�n p� q es verdaderasi y s�lo si p y q son ambas ciertas o ambas falsas�

� �x cuanticador universal� signica que todo objeto x satisface la propo�sici�n que sigue en el discurso�

� �x� cuanticador existencial� signica que existe un objeto x que satisfacela proposici�n siguiente�

� ��x cuanticador de existencia �nica� signica que existe un �nico objetoque satisface la proposici�n siguiente�

� � Q � par�ntesis� son b�sicamente los �nicos signos de puntuaci�n queusamos de la l�gica� Cualquier otro que se use se tuvo que haber denidoen el texto� Los mismos se omitir�n s�lo cuando no haya ambig*edades�

Una teor�a se compone de armaciones sobre ciertos objetos� dichas arma�ciones se denominan proposiciones� Alguna de tales armaciones se aceptan sindemostraci�n y se denominan axiomas de la teor�a� Los axiomas son las basesde la teor�a y deben ser tales que cualquier otra proposici�n se pueda deduciro negar a partir de ellos pero no las dos cosas� Las proposiciones que requieren

� �

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��� AP�NDICE A� COMENTARIOS DE L�GICA

ser probados se denominan teoremas�mientras se prueben o no se pruebe sufalsedad�� Hay varias categor�as de teoremas seg�n su importancia� A un teo�rema cuyo n es� por ejemplo� facilitar la prueba de otro de mayor importanciase le denomina lema� Mientras que los teoremas que se prueban con relativamenor facilidad usando un teorema particular se denominan corolarios de dichoteorema�

Los teoremas son por lo general armaciones del estilo #Si p� entonces q$que se abrevia en s�mbolos como p� q y que se lee #p implica q$�

Dado un teorema en forma de implicaci�n p � q� al teorema q � p se ledenomina teorema rec�proco� al teorema�p� �q se denomina teorema contrarioy al teorema �q � �p se denomina teorema contrarrec�proco por ser el contrariodel rec�proco�

N�tese que el hecho de que el teorema p � q sea cierto tiene como conse�cuencia que el teorema contrarrec�proco tambi�n es cierto pero ello no signicaque los teoremas rec�procos y contrario lo sean� Cuando tanto el teorema directoy su rec�proco son ciertos se escriben en un �nico teorema que se expresa como#p si y s�lo si q$ y que se simboliza por p� q� esto signica que la proposici�np se cumple si se cumple la q y solamente si se cumple la q� Esto es es sucienteque se cumpla q para que se cumpla la proposici�n p y adem�s es necesario quese cumpla q para que se cumpla p�

Cuando se quiere probar un teorema del estilo #p si y s�lo si q$ generalmenteconviene dividir la tarea en dos subtareas� a saber� probar que p� q� la cual sesuele denominar necesidad y probar que q � p que se denomina su�ciencia�Es por esto que un teorema del estilo #p si y s�lo si q$ se suele encontrar escritocomo #q es necesario y suciente para p$� Tambi�n se suele decir la condici�nes necesaria pero no suciente�

Si el teorema que se quiere probar es una disyunci�n como p� q hay probarque al menos una de las dos p o q es cierta� Para ello puede ser �til recordarque p � q es equivalente a �p� q�

A continuaci�n se dan unos teoremas de l�gica que pueden ser �tiles�

Leyes Booleanas

�� Conmutativas� p � q �� q � p� p � q �� q � p�� Asociativas� p � �q � r�� �p� q� � r� p � �q � r�� �p� q�� r � Distributivas� p � �q � r�� �p � q�� �p � r��

p � �q � r�� �p � q� � �p� r��� Idempotencia� p � p� p� p � p� p

�� De absorci�n� p � �p � q�� p� p � �p� q�� p

�� de De Morgan� ��p� q�� �p � �q� ��p� q�� �p � �q�� Tercero Excluido� p � �p

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���

�� Contrarrec�proco� �p� q�� ��q � �p��� Traducci�n de la Implicaci�n� �p� q�� �p � q

��� Traducci�n de la Negaci�n de la Implicaci�n� ��p� q�� p � �q��� Traducci�n de la Equivalencia� �p � q� �� �p � q� � �q � p��

�p� q��� �p � q�� ��p� �q���� Silogismo Hipot�tico� �p� q�� �q� r�� �p� r�

� � Exportaci�n Importaci�n� �p � q � r�� �p� �q � r��

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��� AP�NDICE A� COMENTARIOS DE L�GICA

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Apndice B

Respuestas o Sugerencias

As� es como yo quiero al hombre y a la mujer� el uno apto para la

guerra� la otra apta para engendrar� pero ambos aptos para bailar con

la cabeza y con las piernas� �y que el d�a que no hayamos danzado una

vez� por lo menos� est perdido para nosotros� �Y que toda verdad que

no nos haga re�r� por lo menos� una vez� nos parezca falsa�

As� habl� Zaratustra� Federico Nietzsche�

Cap�tulo �

�� Resp�

�a� x A� y x �� A� �b� x � A� y x �� A�

�c� x � A� y x �� A� �d� x � A� y x � A�

�e� x A� y x � A� �f� x A� y x �� A�

Nota Si x fuese vac�o� x � Ai para toda i�

��

N C

A

�i�

N C

A

�ii�

N C

A

�iii�

N C

A

�iii�

� Resp�v� A� �B �C�v� A �B � C � ��A� B�� �A �C�� �B �C��v� A � �B �C�v A �C �Bv� A �C �A �Bv� �A �B�� �A�C�� �B �C��A �B �C

�� Sug� Usar la denici�n de sub�conjunto� Tomar x A y probar que x B�

��

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��� AP�NDICE B� RESPUESTAS O SUGERENCIAS

�� Sug� Doble contenci�n� Tal vez conviene usar tercero excluido�

�� Sug� �i� Para probar la inclusi�n propia tomar x C tal que x � B yprobar que x � A�

��� Sug� Recuerde que si nos restringimos a un universo de discurso� todoelemento x pertenece a A o pertenece al complemento de A�

��� ��A� � f ffag� fbg� fcg� fdgg� ffag� fbg� fc� dgg� ffag� fb� cg� fdgg�ffag� fb� dg� fcgg� ffa� cg� fbg� fdgg� ffa� bg� fdg� fcgg� ffa� dg� fbg� fcgg�ffa� bg� fc� dgg� ffa� cg� fb� dgg� ffa� dg� fb� cgg� ffag� fb� c� dgg�ffbg� fa� c� dgg� ffcg� fa� b� dgg� ffdg� fa� b� cgg� ffa� b� c� dgg g�En forma m�s compacta se puede expresar comoajbjcjd� abjcjd� acjbjd� adjbjc� bcjajd� bdjajc� cdjajb� abjcd� acjbd� adjbc� ajbcd�bjacd� cjabd� djabc� abcd

��� P�A� � f� fag� fbg� fcg� fdg� fa� bg� fa� cg� fa� dg� fb� cg� fb� dg� fc� dg�fa� b� cg� fa� b� dg� fa� c� dg� fb� c� dg� fa� b� c� dgg�P�B� � f� fag� fbg� fcg� fdg� feg� fa� bg� fa� cg� fa� dg� fa� eg� fb� cg�fb� dg� fb� eg� fc� dg� fc� eg� fd� eg� fa� b� cg� fa� b� dg� fa� b� eg� fa� c� dg�fa� c� eg� fa� d� eg� fb� c� dg� fb� c� eg� fb� d� eg� fc� d� eg� fa� b� c� dg� fa� b� c� eg�fa� b� d� eg� fa� c� d� eg� fb� c� � d� eg� fa� b� c� d� eg g� Tienen �� � �� y �� � ��

elementos respectivamente� Revisando los casos m�s peque�os se conje�tura que El n�mero de subconjuntos de un conjunto con n elementoses �n�

��� Resp� �i� Si A � fag y B � fbg� se tiene que A � B P�A � B� peroA �B � P�A�� P�B���i� P�A�B� pero � P�A��P�B�

��� Sug� Probar que si existen A�B�C tales que A B �B C �C A� nose cumplir�a el axioma de fundamentaci�n� Usar el conjunto fA�B�Cg�

� � Resp� No� si por ejemplo� tomamos A � fag� se tiene que P��A� � yclaramente A �� �

Cap�tulo �

�� Sug� Doble contenci�n y las deniciones de producto cartesiano�uni�n eintersecci�n�

�� Sug� Demuestrelo por reducci�n al absurdo� Suponga que A � A � A yque A �� � Esto implica que A � ��A� �� y podemos usar el axiomade fundamentaci�n� Hay que probar que no existe x A � ��A� talque ��y��y x � y � A � ��A��� Proceder por casos� Es crucial usarla hip�tesis A � A � A para deducir que si x A� entonces x es unpar� por ejemplo� x � �u�w�� con u�w A y adem�s recordar que�u�w� � ffug� fu�wgg�

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���

�� Sug� Usando la hip�tesis demostrar que si � x� y � y �y � x� pertenecen aR � S� entonces x � y�

�� Sug� Elegir R y S sim�tricas y tales que R � S no sea sim�trica� Similar enlos otros dos casos�

�� Sug� Doble contenci�n Si x �A �B� entonces como x �A �B es unarelaci�n existen u�w tales que x � �u�w� ���

�� Sug� Usar las deniciones y probar las contenciones�

�� Sug� Tomar x �A � B� � �A � B� y probar que x A � B usando lasdeniciones�

��� Probar que RjA � RjB y exhibir x RjA tal que x � RjB �

��� R � f�a� b���b� a���b� b���c� b���c� f���d � a���d � e���e� e���f � c�gR� � f�a� a���a� b���b� a���b� b���c� a���c� b���c� c���d � b���d � e���e� e���f � b���f � f�g

Cap�tulo �

�� Sug� �a� Cualquiera sea el conjunto de tarea� dada una tarea a de dichoconjunto la misma no se puede realizar antes de si misma porque se realizansecuenciales� Es f�cil ver la transitividad y la antisimetr�a��c� Usar el procedimiento para construir los ordenamientos topol�gicos�

�� Resp� ��� inf �fx� yg� � maxfu A u � x � u � yg usando la hip�tesissale que x est� en este conjunto y adem�s que es mayor que todos los queest�n� por lo tanto es su m�ximo�

� Resp� �a� hIN ��i� �b� hZ ��i� �c� A � f�� �g� R � IdA � f�� � ��g� �d�hIN � fag��i�

�� Sug� �a� Pruebe que todo orden lineal tiene� adem�s de los arcos de re�exi�vidad� nn��

� pares para garantizar la transitividad� Pruebe adem�s que

una relaci�n con m�s de nn��� pares no puede ser antisim�trica y por lo

tanto no puede ser un orden parcial��b� Una relaci�n para ser un orden parcial debe ser re�exiva� la identidad�IdA� es adem�s si+metrica y transitiva� por lo tanto es la menor relaci�nde orden parcial cualquiera sea A��c� Los las relaciones de la forma IdA � �a� b� con a� b A y tal quea �� b�

�� Sug� Todo lo que tiene que hacer es mostrar un sub�conjunto de Q� queno tenga m�nimo� Mismo con minimal�

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��� AP�NDICE B� RESPUESTAS O SUGERENCIAS

�� Resp� R � IdA �H�R� � f�a� c���f � b���f � c���f � d�g� Si es estrictono hay que a�adir a la identidad�

�� Resp� �c� Maxs �B� � f��� �g� Mins �B� � f�g� min �B� � �� max�B� noexiste� cotsup�B� � f�g� cotinf �B� � f�� �g� sup �B� � �� inf �B� � ���d� sup �B� � �� inf �B� � �� cotsup �B� � f�� �g��e� R���B� � f�� �� � �� �� �g� R���B� � f � ��� �� �� �� �g� RjB �IdB�f�� � ������ � ������ � ������� � ������� � ������� � ������� � ���g

�� Sug� Como todo par de elementos distintos son comparables y todo sub�conjunto no vac�o tiene m�nimo� falta probar todo elemento es comparableconsigo mismo�re�exividad�� la transitividad y la antisimetr�a� Convie�ne hacerlo en dicho orden y usar la hip�tesis de la existencia de m�nimoen cada caso con el conjunto adecuado�

��� Sug� �b� es subcpo de �a� y �b� es distributivo mientras que �a� no lo es�El cpo �c� de la gura no es complementado�ni siquiera tiene m�nimo��sin embargo� al quitarle un elemento al conjunto resulta el �d� que s� escomplementado�

s

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s

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�����

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PPPPP

PPPPP

�a�s

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PPPPP

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�c�s s

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��

��

�d�

Cap�tulo �

�� Sug� �i� y �ii� son consecuencia inmediata de la denici�n de sucesor y �ii�implica �iii��

�� Sug� Probar ambos casos por inducci�n sobre n�

� Sug� Usar inducci�n�

�� Sug� Demuestre que si m �� n� entonces n �� m�

�� Sug� Hacer inducci�n sobre p� Tal vez conviene probar que suc �m� �suc �n�� m � n

�� Sug� Por inducci�n�

�� Sug� Dado un conjunto no vac�o S de IN � de nase Sk como el conjuntode los elementos de S menores o iguales que k� y demuestre por inducci�nque si Sk es un conjunto de naturales cuyo m�ximo es k� entonces dichoconjunto tiene m�nimo�

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���

�� Sug� Dena a S como el conjunto de los n IN para los cuales no secumple P �n�� Asuma que S no es vac�o y aplique el principio de BuenaOrdenaci�n para llegar a una contradicci�n�

�� Sug� Aplique el principio de buena ordenaci�n al conjunto adecuado�

��� Sug� Por inducci�n�

��� Sug� Pruebe �a� por inducci�n y �sela para probar la parte �b��

Cap�tulo �

�� Sug� Usar inducci�n�

�� Sug� Use inducci�n y el ejercicio anterior�

�� Sug� Use el teorema que arma que r�R� � R � IdA�

�� Sug� �a� Tal vez necesite probar que Rn � �R � S�n� �b� Tomar R �f�a� b�g� S � f�b� c�g� Sale que R � S � f�a� b���b� c�g y que t�R �S� � f�a� b���b� c���a� c�g mientras que como t�R� � f�a� b�g � Ry t�S� � f�b� c�g � S se tiene que t�R � S�notsubseteqt�R�� t�S��

�� Sug� Use inducci�n y la deniciones de producto y potencia de relaciones�

�� Sug� Probarlo por inducci�n�

�� Sug� Use el teorema que arma que t�R� � ��k��Rk e inducci�n� Quiz� es

m�s f�cil si usa el teorema ���

��� Las matrices de adyacencia son

MR��

�B�� � � � �

�CAMR��

�B�� � � � � � � � � �

�CAMR��

�B�� � � � � � � �

�CAa� R� no es re�exiva ni sim�trica y es antisim�trica� b� R� es re�exiva�sim�trica y no es antisim�trica� y c� R� es re�exiva� no es sim�trica niantisim�trica�Las matrices de adyacencias de las clausuras transitivas son

MtR� �

�B�� � � � � � � �

�CAMtR� �

�B�� � � �� � � �� � � �� � � �

�CAMT R� �

�B�� � � � �� � � �� �

�CADe aqu� se obtienen f�cilmente las clausuras transitivas�

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��� AP�NDICE B� RESPUESTAS O SUGERENCIAS

� � Sug� Use el ejercicio � y el principio del Palomar� Su enunciado apareceen la p�gina ��� del cap�tulo �� En nuestro caso puede interpretarse as��Si tenemos una lista de n � � elementos de un conjunto que tiene s�lo nelementos� en la lista hay alg�n elemento repetido�

Cap�tulo

�� Sug� Demostrar por doble contenci�n� utilizando la denici�n de clase deequivalencia y de intersecci�n de conjuntos�

�� Sug� Usar la denici�n de clases� de uni�n y la proposici�n A � A �B�

� Sug� Probar por inducci�n� Se usa s�lo la transitividad�

�� Resp� �a� Las posibles relaciones de equivalencia son

R� � IdA�

R� � IdA � f�a� b���b� a�g�R� � IdA � f�a� c���c� a�g�R� � IdA � f�b� c���c� b�g�R� � A�A�

�� Resp� �a� Si� �b� No� falla la transitividad� �c� No� es irre�exiva� �por qu����d� No es sim�trica ni transitiva� considere� por ejemplo� A � f�� �� �g�R � IdA�f�� � ����� � ��g y S � IdA�f�� � ����� � ��g� Se tiene queR �S � IdA �f�� � ����� � ���� � ����� � ���� � ��g no es ni sim�tricani transitiva�

�� Resp� �a� S� lo es� �b� �X no es necesariamente una relaci�n de equivalen�cia�

�� Resp� Para probar que R � S � S �R tomar �x � z� R � S y usar simetr�aantes que nada�

�� Resp� �b� ��� � fx Z� mcd �x� �� � �g � f�� �� � �� �� �� � � �g � Z���Z�

��� � fx Z� mcd�x� �� � �g � f�� �� ��� ��� ��� � � � � �g � �Z� � �Z�

��� � fx Z� mcd�x� �� � �g � f�� �� � �� �� �� � � �g � �Z�

��� Resp� �a� R� � IdA � f�� � ���� � ����� � ����� � ��g�b� �R � ff�� �g� f�� �g� f gg

��� Resp� �ii� Tiene k clases� una por cada uno de los posibles resto de dividirentre k��iii� Si k � � las clases son �� � fn IN ��x IN ��n � kx�g���� � fn IN ��x IN ��n � kx� ��g y ��� � fn IN ��x IN ��n �kx� ��g�

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���

��� Sug� Use la denici�n de relaci�n asociada a una partici�n y la denici�nde renamiento�

��� Resp� �a� Ambas implicaciones son falsas � ��� porque si tomamos� porejemplo� A � f�� �� �g� R� � IdA�f�� � ��g y R� � IdA�f�� � ��g se tie�ne que R� ni R� son de equivalencia pero F � fR�� R�g si es de equivalen�cia� Y � ��� porque si tomamosA � f�� �� �g� R� � IdA�f�� � ����� � ��gy R� � IdA � f�� � ����� � ��g se tiene que R� y R� son de equivalenciapero F � fR�� R�g no es de equivalencia��b� Si toda R F es de equivalencia� se tiene que �F es de equivalencia�pero no lo contrario�

Cap�tulo

�� Resp� f f�� �g � fa� b� cg denida por f � f�� � a���� � c�g y g fa� b� cg � fa� bg denida por g � f�a� a���b� a���c� b�g� Se tiene quef � g � f�� � a���� � b�g es inyectiva� pero g no lo es�

�� Sug� El ejemplo del ejercicio anterior�

� Resp� Considere A � y A �� � en el primer caso la funci�n deseada esla funci�n vac�a y en el segundo tome a� A jo y considere la siguientefunci�n a trozos�

g�y� �

�f���fyg�� si y f�A�a�� si y � f�A��

�� Sug� Probar la inyectividad y la sobreyectividad de f por casos y en basea la inyectividad y sobreyectividad de f� y de f� y a que A� � A� � yque B� �B� � �

�� Sug�

f� Construya una funci�n creciente con as�ntotas en y en � y que pasepor ����

f� Una recta puede ser lo m�s conveniente� Hallar una de las diagonalesdel rect�ngulo �� ��� �a� b��

f� Trasladar�

f� Expresar tanto el dominio como el codominio como una uni�n dis�junta y usar f� y el ejercicio ��

f� Escribir dominio y codominio como uni�n disjunta y aplicar el ejer�cicio ��

�� Sug� Halle una entre una entre Zn�x� y Z� � Zn y otra entre Z� � Zn yZn���

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��� AP�NDICE B� RESPUESTAS O SUGERENCIAS

�� Sug� Conviene usar la funci�n caracter�stica de un conjunto� Para la se�gunda parte puede ser de ayuda representar las funciones adecuadamente�

por ejemplo� g ��� � � � � � n � � � � �

��

�� Sug� La sucesi�n de Fibonacci es inyectiva pero no es sobreyectiva� Loprimero puede verse como una consecuencia de que es estrictamente cre�ciente�

��� Sug� Pruebe que existe y C tal que para toda x A se tiene queg � f�x� � y�

��� Sug� Usar la denici�n de imagen inversa de un conjunto y las denicionesde subconjunto� uni�n� intersecci�n o diferencia seg�n el caso�

��� Sug� Conviene usar la funci�n caracter�stica de un conjunto�

��� Sug� Muestre en cada caso que ambos lados dan el mismo valor� Recuerdeque �A es la funci�n caracter�stica del conjunto A�

��� Sug� Tome B� como la imagen de A y g � f �

��� Sug� La biyecci�n es la natural y para probar que es una biyecci�n bastacon mostrar su inversa�

��� Sug� �a� Observaci�n crucial La suma de las dos coordenadas de todoslos puntos en una l�nea oblicua de la primera gura es siempre la mismay que la rotaci�n de � �� no altera a la altura y del punto��b� Enumere los elementos de B en el orden de las �echas� para ello sumelos puntos en las primeras x � � columnas y agreguele los de la x��simacolumna�

Cap�tulo �

�� Sug� �a� Use el teorema ���� �b� Use inducci�n sobre n�

�� Sug� �b� Use el teorema ���� �c� Pru�belo por inducci�n�

� Sug� Halle una biyecci�n de P�A� con An adecuado�

�� Sug� Construya una biyecci�n con un conjunto adecuado que sepa que esnito�

�� Sug� Por absurdo�

�� Sug� Use el axioma de elecci�n�

�� Sug� Por absurdo usando el teorema ����

��� Sug� Clasique las palabras seg�n su longitud y use alg�n teorema de losestudiados�

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���

��� Sug� Clasique los polinomios seg�n su grado�

� � Sug� No� pero explique por qu� no�

��� Sug� Muestre una biyecci�n con los enteros positivos�

��� Sug� �a� Recuerde que todo polinomio de grado n tiene a lo sumo n ra�ces�Asocie a cada polinomio el conjunto de sus ra�ces� �b� Use la denici�nde n�meros transcendentes y alg�n resultado previo� El razonamiento espor absurdo�

��� Sug� Use el teorema �����

��� Sug� Clasique los polinomios seg�n su grado y demuestre que el conjuntode los polinomios de grado jo es contable exhibiendo una biyecci�n conun conjunto adecuado�