96592511 TORSION FLEXION Demostracion de Formulas
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MECÁNICA DE MATERIALES INTEGRANTES: - GAMARRA PAREDES, JONATHAN. - IDROGO AGUILAR, ALEXIS. - ROSADO LUJAN, ANGEL. - RUIZ RUIZ, LUIS EDUARDO. DOCENTE: - RODRIGUEZ HERRERA, JORGE TORSIÓN Demostración de fórmulas del tema de Torsión Capítulo de Estructuras Indeterminadas UNIDAD 2 Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.
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MECÁNICA DE
MATERIALES
INTEGRANTES:
- GAMARRA PAREDES, JONATHAN.
- IDROGO AGUILAR, ALEXIS.
- ROSADO LUJAN, ANGEL.
- RUIZ RUIZ, LUIS EDUARDO.
DOCENTE: - RODRIGUEZ HERRERA, JORGE
TORSIÓN
Demostración
de fórmulas del
tema de
Torsión
Capítulo de
Estructuras
Indeterminadas
UNIDAD
2
Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.
MECÁNICA DE MATERIALES MECÁNICA DE MATERIALES
2 - 2
Torsión
Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.
Deformación Unitaria.
Deformación Unitaria máxima.
Esfuerzo máximo.
Momento Polar de Inercia.
Barra Circular Maciza.
Tubo Circular.
Ángulo de giro en el rango
elástico.
Contenido
Se
gu
nd
a
Un
idad
R L
A
A’
L A
A’
=
*Longitud de Arco
Deformación Unitaria
MECÁNICA DE MATERIALES MECÁNICA DE MATERIALES
2 - 3
Torsión
Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.
Se
gu
nd
a
Un
idad
Distancia del eje al punto a analizar
Longitud de la barra
< de torsión
Donde:
L
* Ahora, cuando la deformación unitaria
es máxima:
Tenemos que,
Se
gu
nd
a
Un
idad
MECÁNICA DE MATERIALES
2 - 4
Torsión
Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.
*Despejando:
*Reemplazando en:
*Obtenemos:
*Deformación Unitaria:
*Tenemos:
MECÁNICA DE MATERIALES
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Torsión
Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.
Se
gu
nd
a
Un
idad
MECÁNICA DE MATERIALES
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Torsión
Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.
Se
gu
nd
a
Un
idad
*Dela Ley de Hooke: *Para el esfuerzo y la deformación a cortante de la sección.
*Donde G es el módulo del material. *Ahora, cuando son
máximos:
*Dividiendo:
*Despejando:
*Obtenemos:
*Recordando que la suma de los momentos de las fuerzas elementales ejercidas sobre cualquier sección transversal de eje debe ser igual a la magnitud T de par ejercido sobre el eje.
dAT
*Sabemos que:
*Entonces:
*Tenemos:
MECÁNICA DE MATERIALES
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Torsión
Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.
Se
gu
nd
a
Un
idad
J
*Reemplazando:
*La integral en el último miembro representa el momento polar de inercia J de la sección transversal con respecto a su centro O.
*De:
*Reemplazamos:
*Constante:
MECÁNICA DE MATERIALES
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Torsión
Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.
Se
gu
nd
a
Un
idad
*Barra Circular maciza:
*Tubo circular:
44
2io ccJ
4
21 cJ
41
422
1 ccJ
MECÁNICA DE MATERIALES
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Torsión
Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.
Se
gu
nd
a
Un
idad
Ángulo de giro en el rango elástico
Permanece elástico = cumple la Ley de Hooke
*De la Ley de Hooke:
*Despejando:
*Igualando:
MECÁNICA DE MATERIALES
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Torsión
Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.
Se
gu
nd
a
Un
idad
MECÁNICA DE
MATERIALES
FLEXIÓN
Demostración
de fórmulas del
tema de Flexión
UNIDAD
2
Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.
FLEXIÓN
MECÁNICA DE MATERIALES MECÁNICA DE MATERIALES
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Flexión
Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.
Introducción.
Superficie Neutra.
Eje Neutro.
Deformación Unitaria
longitudinal(DUL).
DUL máxima.
Esfuerzo y Deformación.
Explicación de eje Neutro.
Esfuerzo máximo.
Contenido
Se
gu
nd
a
Un
idad
*Recordando de la estática que un par M en realidad consiste de dos fuerzas iguales y opuestas. La suma de las componentes de estas fuerzas en cualquier dirección, es igual a cero. Además el momento del par es el mismo alrededor de cualquier eje perpendicular a su plano y es ceo alrededor de cualquier eje contenido en dicho plano.
=
MECÁNICA DE MATERIALES
2 - 13 Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.
Se
gu
nd
a
Un
idad
Flexión
*La superficie neutra interseca el plano de simetría según un arco de círculo AB e interseca una sección transversal a lo largo de una línea recta llamada eje neutro de la sección.
C
MECÁNICA DE MATERIALES
2 - 14 Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.
Se
gu
nd
a
Un
idad
Flexión
*Longitud de Arco AB:
*Ahora la longitud de Arco CD:
*Entonces tenemos que:
*Sustituyendo:
MECÁNICA DE MATERIALES
2 - 15 Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.
Se
gu
nd
a
Un
idad
Flexión
*Deformación unitaria:
*Sabiendo que:
*Reemplazando:
*Obtenemos:
^
MECÁNICA DE MATERIALES
2 - 16 Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.
Se
gu
nd
a
Un
idad
Flexión
*Ahora cuando la Deformación unitaria es máxima:
*Entonces:
*Resolviendo y reemplazando
*Obtenemos:
MECÁNICA DE MATERIALES
2 - 17 Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.
Se
gu
nd
a
Un
idad
Flexión
Esfuerzo y Deformación
* Se analizan elementos homogéneos y elásticos.
*Ley de Hooke:
*Recordando:
* Reemplazando y multiplicando ambos miembros por E:
Obtenemos: Módulo de elasticidad
Deformación unitaria es máxima:
MECÁNICA DE MATERIALES
2 - 18 Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.
Se
gu
nd
a
Un
idad
Flexión
*Explicación del eje Neutro:
*Constante:
*Primer momento de Inercia
*Cuando pasa por su centroide de la sección transversal
F F
MECÁNICA DE MATERIALES
2 - 19
Flexión
Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.
Se
gu
nd
a
Un
idad
*De Momentos alrededor del eje Z:
*Sustituyendo:
*Constante:
*Entonces: I
=
MECÁNICA DE MATERIALES
3 - 20 Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston
Flexión
Se
gu
nd
a
Un
idad
MECÁNICA DE
MATERIALES
FLEXIÓN
Desarrollo de
ejercicio
referente al
tema de
Flexión.
UNIDAD
2
Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston – Dr. Genner Villarreal C.
FLEXIÓN
MECÁNICA DE MATERIALES
3 - 22 Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston
Flexión
Se
gu
nd
a
Un
idad
• EJEMPLO
La viga de hierro fundido soporta las cargas mostradas en la figura. Si los esfuerzos admisibles son de 48MPa y 120MPa en tracción y compresión, respectivamente, determinar el valor máximo de la longitud del voladizo, sabiendo que la posición racional de la sección transversal de la viga es la mostrada en la figura
MECÁNICA DE MATERIALES
3 - 23 Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston
Flexión
Se
gu
nd
a
Un
idad
CALCULO DE REACCIONES 20 KN/m
15 KN 15 KN
Ax
By
X X
Ay
4 m
∑ Fx=0
Ax=0
∑ Fy=0
Ay+By= 15+15+(20*4)
Ay+By= 110……..(I)
∑ MA=0
(15*x)-(20*4*2)+(By*4)-(15*(4+x))=0
By=55 KN………..(II)
15x-160+4By-60-15x=0
Reemplazando en (II) en (I)
Ay+55= 110
Ay=55 KN
A B
MECÁNICA DE MATERIALES
3 - 24 Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston
Flexión
Se
gu
nd
a
Un
idad
20 KN/m
15 KN 15 KN
55 KN
X X
55 KN
4 m
DIAGRAMA DE CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR
V (KN) +
-
15
15
40
40
-
+ +
- -
M (KN-m) -
+
M(I)= 0 2 m
III
15X 15X
15X-40
DIAGRAMA DE MOMENTOS
A B
I
II
M(A)=15*x
M(II)= 15x+1/2(2*40)=15x-40
M(B)=15x-40-(1/2(2*40))=15x
M(III)=15x-(15*x)=0
-
+
RELACION DE TRIANGULOS X=2m
MECÁNICA DE MATERIALES
3 - 25 Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston
Flexión
Se
gu
nd
a
Un
idad
CENTRO DE GRAVEDAD
EJE BASE 7
5
75
15
0 m
m
30
mm
30 mm 30 mm 120 mm
CENTROIDES
Ab mm2 yb mm Abyb mm3 I Ab(yb-y)2
1 (30)(150)=4500 75 337500 8437500 5125781.25
2 (30)(150)=4500 75 337500 8437500 5125781.25
3 (180)(30}=5400 165 891000 405000 17085937.5
∑ 14400 1566000 17280000 27337500
I= bh3
12
y= Abyb mm3
Ab mm2
y= 1566000
= 108.75 mm 14400
MECÁNICA DE MATERIALES
3 - 26 Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston
Flexión
Se
gu
nd
a
Un
idad
MOMENTO DE INECIA
EJE BASE
75
75
15
0 m
m
30
mm
30 mm 30 mm 120 mm
CENTROIDES
Ab mm2 yb mm Abyb mm3 I Ab(yb-y)2
1 (30)(150)=4500 75 337500 8437500 5125781.25
2 (30)(150)=4500 75 337500 8437500 5125781.25
3 (180)(30}=5400 165 891000 405000 17085937.5
∑ 14400 1566000 17280000 27337500
I= bh3
12
IEN= I + Ab(yb-y)2
IEN= 17280000 + 27337500
IEN= 44617500 mm4
MECÁNICA DE MATERIALES
3 - 27 Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston
Flexión
Se
gu
nd
a
Un
idad
POSICION RACIONAL DE LA VIGA
EJE NEUTRO
15
0 m
m
30
mm
30 mm 30 mm 120 mm
Tiene que cumplir las siguientes condiciones:
1. POR AREAS
10
8.7
5m
m
71
.25
mm
Asup=(41.25)(30)+(180)(30)+(41.25)(30)=7875 mm2
Ainf=(108.75)(30)+(108.75)(30)=6525 mm2
Por lo tanto la parte superior se encuentra en tracción. Entonces el momento máximo debe ser negativo.
2. POR MOMENTO MAXIMO
MECÁNICA DE MATERIALES
3 - 28 Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston
Flexión
Se
gu
nd
a
Un
idad
CONDICIONES DE RESISTENCIA
TRACCION
COMPRESION
MECÁNICA DE MATERIALES
3 - 29 Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston
Flexión
Se
gu
nd
a
Un
idad
2.003 3.282
Por lo tanto el valor máximo de “x” es 2.003 m
MECÁNICA DE MATERIALES
3 - 30 Bibliografía: Ferdinand P. Beer johnston
Flexión
Se
gu
nd
a
Un
idad
GRACIAS
