ENGINEERING STATISTICSสถตวศวกรรม

9 A l i f i 9. Analysis of variance

(ANOVA)(ANOVA)การวเคราะหความแปรปรวน

D r . A n a k k a p o n S a e n t h o n

K i n g M o n g k u t ' s I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y L a d k r a b a n g

Overview

1 การวเคราะหความแปรปรวน ANOVA1.การวเคราะหความแปรปรวน ANOVA

2. การวเคราะหความแปรปรวนทางเดยว

(One way ANOVA) (One- way ANOVA)

3 การวเคราะหความแปรปรวนแบบสองทาง3. การวเคราะหความแปรปรวนแบบสองทาง

(Two- way ANOVA)

I. เกรนนา

ในการทดสอบสมมตฐานเกยวกบผลตางระหวางคาเฉลยของ

ประชากร 2 ประชากร เชน ปร ชากร 2 ปร ชากร เชน การเปรยบเทยบผลตางของยอดขายเฉลยของรถยนต 2 ยหอ วา

ม ยอดขายเฉลย แตกตางกนหรอไม ซงจะใชตวสถตทดสอบ Z หรอ t

210 :H

211

210

:H:H

การทดสอบสมมตฐาน

2 ปของผลตางระหวางคาเฉลย 2 ประชากร

ยอดขายเฉลยยอดขายเฉลย

ศ ป ส 2 ใ น น เ ยศกษาประสทธภาพของอาหารหม 2 ชนด วามผลทาให นาหนกเฉลย ของหม

แตกตางกนหรอไม

210

H:H

211 :H

การทดสอบสมมตฐาน

ของผลตางระหวางคาเฉลย 2 ประชากร

นาหนกเฉลย

เปรยบเทยบยอดขายเฉลยของรถยนต 3 ยหอ วาแตกตางกนหรอไม

:H:H

1

3210

มคาเฉลยอยางนอย 1 ค ( 2 คา) ทไมเทากน1 มคาเฉลยอยางนอย 1 ค ( 2 คา) ทไมเทากน

210

:H:H

310

:H:H

320

:H:H

211 :H 311 :H 321 :H

:H :H:H

1

3210 มคาเฉลยอยางนอย 1 ค

( 2 ) ไ ( 2 คา) ทไมเทากน

ถาผลการทดสอบ คอ ปฏเสธสมมตฐานหลก หมายถง... มคาเฉลยฏ ฐ

อยางนอย 1 คทไมเทากน

21 31 32 oror

321 321

วตถประสงค ของการวเคราะหความแปรปรวน คอ การทดสอบ

ความแตกตางของการประชากรตงแต 3 ประชากรขนไป

Group 1 Group 2 Group 3

ขอกาหนดเบองตน ของการวเคราะหความแปรปรวน

ใ ป ในการทดลองสมมตฐานความเทากนของคาเฉลยประชากรตงแต 3

ประชากร ขนไป

I. ความคลาดเคลอนจะตองมการแจกแจงแบบปกต

ป ป II. ความแปรปรวนของความคลาดเคลอนจะตองเทากน

III. ความคลาดเคลอนจะตองเปนอสระตอกน

สมมตวามความแตกตางกน a ระดบ ของปจจยเดยวทตองการ

เปรยบเทยบในบางครงแตละระดบปจจยเรยกวา ทรทเมนต (Treatment)

Treatment คอ ปจจยททาใหขอมลแตกตางกน , วธการหรอ

ลกษณะตางๆทตองการเปรยบเทยบ

Experimental Unit คอ หนวยทดลอง

การเปรยบเทยบคณภาพของปยขาว 5 ชนด

จะตองเปรยบเทยบผลผลตขาวเฉลยตอไร ของขาวทไดรบปยตางชนดกน

Treatment คอ ชนดของปยขาว (k = 5)

Experimental Unit คอ ตนขาวแตละตน (หนวยทดลอง)

การเปรยบเทยบคณภาพของวธการสอน 4 วธ

จะตองเปรยบเทยบคะแนนสอบเฉลยของนกเรยน ทไดรบการสอนแตละวธวาแตกตางกน

หรอไม

Treatment คอ วธการสอน 4 วธ (k = 4)

Experimental Unit คอ นกเรยนแตละคน (หนวยทดลอง)

ตองการศกษาประสทธภาพของยารกษาโรคเบาหวาน

ยารกษาโรคเบาหวาน 3 ชนด สงทดลอง (treatment)

โดยทดลองรกษากบหน 24 ตว(หนทดลอง)

หนวยทดลอง (experimental unit)

แบงหนเปนกลม

กลมละเทาๆกน

ฉดยา ฉดยา 22

หนวยทดลองฉดยา ฉดยา 11 ฉดยา ฉดยา 33

เรยกหนแตละตววา... หนวยทดลอง

หนวยทดลอง (หนแตละตว) จะตองควบคมอะไรบางหนวยทดลอง (หนแตละตว) จะตองควบคมอะไรบาง

หนวยทดลอง (หนแตละตว) จะตองมอาการของโรคเบาหวานในระยะ

เดยวกน ขนาด นาหนกตว เทาๆกน

- ใหยาแตละชนดกบหนแตละกลม

เดยวกน ขนาด นาหนกตว เทาๆกน

- วดปรมาณนาตาลในเลอด ของหนแตละตว

Type1 Type2 Type3

ชนดยา 3 =ชนด

ปรมาณรวมนาตาลในเลอด 44.0 38.4 40.0

ปรมาณนาตาลในเลอดโดยเฉลย 5.5 4.8 5.0

II. การวเคราะหความแปรปรวนทางเดยว (One- way ANOVA)

เปนการจาแนกขอมลดวย เปนการจาแนกขอมลดวย...

ตวแปร หรอปจจยเพยงตวเดยว

การเจรญเตบโตของพชทใหปยแตละชนด

ประเภทปย

ปยคอก ปยหมก ปยยเรย ปยอนทรยปยคอก ปยหมก ปยยเรย ปยอนทรย

133.8 151.2 225.8 193.4

125.3 149.0 224.6 185.3

143.1 162.7 220.4 182.8

128.9 145.8 212.3 188.5

135.7 153.5 198.6

การเจรญเตบโตของพชทใหปยแตละชนด

ประเภทปย

การเจรญเตบโตของพชทใหปยแตละชนด

ปยคอก ปยหมก ปยยเรย ปยอนทรย1 2 3 4133.8 151.2 225.8 193.4

11X 21X 31X 41X125.3 149.0 224.6 185.3

143.1 162.7 220.4 182.823X13X12X

128.9 145.8 212.3 188.5

2313

14X135.7 153.5 198.615X 45X

1 2 ... i … k...X X X X...

...

11X

12X21X

22X1iX

2iX1kX

2kX

... ...j1X j2X ijX kjX

ผลรวมของคาสงเกตทงหมดj1X j2X ijX kjX

คาเฉลยของคาสงเกตทงหมด... ...

1n1X2n2X

iinX1knX

X X X X X

.1X .2X .iX .kX..X

.1X .2X .iX .kX..X

ตารางวเคราะหความแปรปรวนแบบตารางวเคราะหความแปรปรวนแบบจาแนกทางเดยวจาแนกทางเดยว

Sov. df SS MS F

Treatment 1k SSTrMSTr

MSTrTreatment

k

1k SSTr MSEMSTr

SSTrError kn

1ii

SSE MSE

1kSSTr

Total

k

1i1n SST

kSSE

1i

1i

i kn

Total sum of squares ( SST ) หาไดจาก2k n Xi

k

i

2..

k

1i

n

1j

2ij

n

XXSSTi1

T t t f ( SST )

1i

Treatment sum of squares ( SSTr )

k

2..

k 2.i XXSSTr2

k

1ii

1i i nn

Error sum of squares ( SSE )3

SSTrSSTSSE 3

บรเวณปฏเสธสมมตฐานหลก

df1 df2

k

k1kFF

1i

i kn,1k,

= ระดบนยสาคญ

F

k

1ii kn,1k,

F

ตองการเปรยบเทยบประสทธภาพอาหารหม 4 สตร วาม ประสทธภาพแตกตางกน

หรอไม ทระดบนยสาคญ 0.05ญ

ตวอยาง

1 2 3 4 ผลรวมทงหมด

ตวอยาง

1 2 3 4 133.8 151.2 225.8 193.4 125 3 149 0 224 6 185 3

ผลรวมทงหมด

125.3 149.0 224.6 185.3 143.1 162.7 220.4 182.8 128.9 145.8 212.3 188.5 135.7 153.5 198.6 666.8 762.2 883.1 948.6 3260.7

ให เปนนาหนกเฉลยของสกรทถก

เลยงดวยอาหาร สตรท 1 ,2 ,3 และ 4 ตามลาดบ4321 ,,,

เลยงดวยอาหาร สตรท 1 ,2 ,3 และ 4 ตามลาดบ

วธทา

43210 : H1. สมมตฐานหลก

H1 : มคาเฉลยอยางนอย 2 คาทไมเทากน

050

2. สมมตฐานรอง

3 ระดบนยสาคญ 05.03. ระดบนยสาคญ

4 คานวณ และสรางตาราง ANOVA 4. คานวณ และสรางตาราง ANOVA

4.1 คานวณคา SST

2..2 k

k n

ijXXSST

i

1

1 1

k

ii

i jij

n

)7.3260()6198(

...)3.125()8.133(2

2

22

81.083,2119

)6.198(

22k XX

4.2 คานวณคา SSTr

1

..

1

.

k

ii

i i

i

n

XnXSSTr

19

7.32605

6.9484

1.8835

2.7625

8.666 222221

i

40.461,20195455

SSSSSS

4.3 คานวณคา SSE

41.2046181.083,21 SSTrSSTSSE

4.622

ANOVA T blANOVA Table

Sov. df SS MS F

Treatment 3 41.461,20 47.820,6 39.164

Error 15 40622 4941Error 15 40.622 49.41

Total 18 81.083,21

5. บรเวณปฏเสธสมมตฐานหลก 293F 29.3F

05.0

419,14,05.0F

= 0.05 , df1 = 3, df2 = 15

6. สรปผลการทดสอบ

ปฏเสธสมมตฐานหลก ปฏเสธสมมตฐานหลก

293 3916429.3 39.164

อาหารสกรทง 4 สตร มประสทธภาพแตกตางกนอาหารสกรทง 4 สตร มประสทธภาพแตกตางกน

ทระดบนยสาคญ 0.05

แบบฝกหด

ในการทดลองอยางหนงเปนแบบจาแนกทางเดยวซงประกอบดวย

5 treatment โดยแตละ treatment ม 6 หนวยทดลอง(n) เมอคานวณ ได

คา MSE = 24

1.จงเตมตาราง ANOVA ขางลางนใหสมบรณ

2.ทระดบนยสาคญ 0.05 จงทดสอบวา 5210 ...: H

Sov df SS MS F

Treatment

Error

1

52

4

7

6 8

Totals 11763

3. การวเคราะหความแปรปรวนแบบสองทาง

(T ANOVA)(Two- way ANOVA)

เมอมตวแปร หรอลกษณะทสนใจ

2 ตว หรอ 2 ลกษณะททาใหขอมลตางกน

การเจรญเตบโตของพชแตละชนดทใหปยแตละประเภท

พชแตละชนดปยแตละประเภท

1 2

พชแตละชนดปยยเรย ปยหมก ปยอนทรย ปยคอก

ไ ไมดอก 131131 125125 152152 100100

กระบองเพชร 128128 136136 111111 142142กระบองเพชร 128128 136136 111111 142142

ไมยนตน 100100 140140 102102 158158100100 140140 102102 158158

ลกษณะขอมลทใชการวเคราะหความแปรปรวนสองทางลกษณะขอมลทใชการวเคราะหความแปรปรวนสองทาง

สตรนามน ยหอรถยนต

BMW BENZ TOYOTA NISSAN ISUZU Sum

91 73 68 74 71 67 353

95 73 67 75 72 70 357

NGV 75 68 78 73 68 362 E10 73 71 75 75 69 363 E10 73 71 75 75 69 363

Sum 294 274 302 291 274 1435

การวเคราะหขอมลจากหนวยทดลองทไดจากการทดลอง

ทประกอบดวยปจจย 2 ปจจย โดยแตละปจจยแยกออกเปนหลายทประกอบดวยปจจย 2 ปจจย โดยแตละปจจยแยกออกเปนหลายระดบ หรอหลายชนด

I ปจจยหนง คอ สงทดลอง (Treatment)I. ปจจยหนง คอ สงทดลอง (Treatment)

II. ปจจยสอง คอ กลม (Block)

สง กลม ผลรวม คาเฉลย

ทดลอง 1 2 ... j … b1 X11 X12 X1j X1b T1 X1 X11 X12 … X1j … X1b T1.

2 X21 X22 … X2j … X2b T2.

.1X

.2X

i Xi1 Xi2 … Xij … Xib Ti. .iX

k kk1 kk2 … Xkj … Xkb Tk kX

k1 k2 kj kb k.

ผลรวม T.1 T.2 … T.j … T.b T..

X X X X X

.k

คาเฉลย … …1.X 2.X j.Xb.X ..X

ในการทดลองเพอศกษาประสทธภาพของยารกษา

โรคเบาหวาน 4 ชนด โดยใชหนทมอาการของโรคเบาหวาน 3 ระยะ คอ

ระยะเรมแรก ระยะกลาง และระยะรนแรง ระยะละ 4 ตว รวม 12 ตวระยะเรมแรก ระยะกลาง และระยะรนแรง ระยะละ 4 ตว รวม 12 ตว

หน 12 ตว คอ หนวยทดลอง

ยารกษาโรคเบาหวาน 4 ชนด คอ ทรทเมนต(สงทดลอง)

ระยะของอาการโรค 3 ระยะ คอ กลม

ความแปรผนความแปรผน((ความแปรปรวนความแปรปรวน))

ป ใ ป ใ 12 12 ของของปรมาณนาตาลในเลอดหนทง ปรมาณนาตาลในเลอดหนทง 12 12 ตว ตว

• ความแปรปรวนทเกดจากสงทดลองหรอชนดของยาทแตกตางกน

• ความแปรปรวนทเกดจากกลมหรอระยะอาการทแตกตางกน

• ความแปรปรวนทเกดจากความคลาดเคลอนในการทดลอง• ความแปรปรวนทเกดจากความคลาดเคลอนในการทดลอง

'

สมมตฐานททดสอบคาเฉลย ของ k สงทดลอง.i

..2.1 ...: k'0H

คาเฉลย อยางนอย 2 คาไมเทากน:'1H i1 .i

สมมตฐานททดสอบคาเฉลย ของ b กลมj

b.2.1.''0 ...:H

:H ''1 คาเฉลย อยางนอย 2 คาไมเทากนj:H 1 คาเฉลย อยางนอย 2 คาไมเทากนj.

ตารางวเคราะหความแปรปรวนแบบตารางวเคราะหความแปรปรวนแบบจาแนกจาแนก 2 2 ทางทาง

F

คาวกฤต1 )1b)(1k),(1k,(F F

)1b)(1k),(1b,(F คาวกฤต2 ))(),(,(

2k b2 T 2 ..ij

i 1 j 1

TSST Xkb

ผลบวกกาลงสองของทงหมด

ผลบวกกาลงสองของสงทดลอง2 2k

i . ..

i 1

T TSST rb kb

i 1 b kb

2 2b T Tb. j ..

j 1

T TS S Bk kb

ผลบวกกาลงสองของกลม

ผลบวกกาลงสองของความคลาดเคลอน SSE SST SSTr SSB

ตวอยาง ในการศกษาคณภาพของนามนรถ 4 สตร กบรถยนต 5 ยหอ ทดลอง

แลนรถดวยความเรวและเสนทางเดยวกนจากการเตมนามนทละสตร สตรละ 3

แกลลอนครบทง 4 สตร

ทระดบ นยสาคญ 0.01 จงทดสอบวา

1 นามนแตละสตรมผลทาใหระยะทางทรถยนตแลนไดแตกตางกนหรอไม 1.นามนแตละสตรมผลทาใหระยะทางทรถยนตแลนไดแตกตางกนหรอไม

2.ระยะทางทรถยนตแตละยหอแลนไดแตกตางกนหรอไม

แบบฝกหด เกษตรกรผหนง ตองการศกษาความแตกตางของคณภาพ

โ ของปย 3 ชนด ทมผลตอขาวโพด 4 พนธ ( A, B, C และ D ) จงทาการ

ทดลองแลวเกบขอมลไดดงน

ชนดปย ชนดของขาวโพด

A B C D

1 86 88 77 84

2 92 91 81 9392 91 81 93

3 75 80 83 79

1. จงทดสอบความแตกตางระหวางชนดของปยทมตอผลผลตของ

ขาวโพด ทระดบนยสาคญ 0 05ขาวโพด ทระดบนยสาคญ 0.05

2 จงทดสอบความแตกตางระหวางชนดของขาวโพดทมตอผลผลตของ2. จงทดสอบความแตกตางระหวางชนดของขาวโพดทมตอผลผลตของ

ขาวโพด ทระดบนยสาคญ 0.05

3. จงประมาณคาแบบชวงของผลตางระหวางผลผลตเฉลยตอไรของ

โ ขาวโพดพนธ B และพนธ C ทระดบความเชอมน 90%